Inhalt
Klausurbegleitend ................................................................................................................................... 2
Markierungsalgorithmus ..................................................................................................................... 2
Wahrheitstabelle ................................................................................................................................ 2
Klassenkalkül ....................................................................................................................................... 3
KNF ...................................................................................................................................................... 4
Resolution ........................................................................................................................................... 4
Formel umwandeln / Operatoren ersetzen ........................................................................................ 5
Grundbegriffe:..................................................................................................................................... 6
Extended Euklid................................................................................................................................... 7
RSA - Verschlüsseln ............................................................................................................................. 8
Chinese Postman................................................................................................................................. 9
Traveling Salesman Problem ............................................................................................................. 10
Decision Tree: ................................................................................................................................... 11
Bonusaufgaben: ................................................................................................................................ 11
Naive Bayes - Das Handtaschen-Modell der Texterzeugung: ........................................................... 11
Bonusaufgaben: Insel der Ritter und Schurken ................................................................................ 11
Klausurvorbereitend: ............................................................................................................................ 12
Markierungsalgorithmus ausführlich: ............................................................................................... 12
Klassenkalkül ausführlich: ................................................................................................................. 13
KNF ausführlich: ................................................................................................................................ 14
Resolution ausführlich: ..................................................................................................................... 14
NOR / NAND ausführlich: .................................................................................................................. 15
Grundbegriffe ausführlich: ................................................................................................................ 16
Beispielanwendung Grundbegriffe ausführlich: ............................................................................... 20
Extended Euclid ausführlich: ............................................................................................................. 21
RSA ausführlich: ................................................................................................................................ 22
Chinese Postman ausführlich: ........................................................................................................... 23
TSP ausführlich: ................................................................................................................................. 24
Graphen Begriffe ausführlich: ........................................................................................................... 24
Decision Tree / Entscheidungsbaum ausführlich: ............................................................................. 25
Bonusaufgaben ausführlich: ............................................................................................................. 25
Naive Bayes ausführlich: ................................................................................................................... 25
Formale Logik z.B Insel der Ritter und Schurken ausführlich: .......................................................... 26
Klausurbegleitend
Markierungsalgorithmus
Implikationsform! z.B. (1->Y) ∧ (X ∧ Z ->0) ∧ (M ∧ N -> L)
Tipps: (Umwandlungsregeln)
ersetze
durch
A
1 -> A
¬A
A -> 0
¬A∨ ¬B
A ∧ B -> 0
¬A ∨ ¬B ∨ C
A ∧ B -> C
-------------------------------------------------------------------------------------------------------Reihenfolge der Atome die der Markierungsalgorithmus markiert: z.B. X, Y, Z
Tipps:
1 -> L
markiere alle Ls
Q* ∧ R* -> P
markiere alle Ps, wenn links alles markiert ist
-------------------------------------------------------------------------------------------------------Ergebnis des Markierungsalgorithmus unerfüllbar oder das minimale Modell angeben z.B.
“unerfüllbar oder z.B. A(Z)=A(X)=A(Y)=0, A(V)=A(P)=1
Tipps:
A* ∧ B* -> 0
Wenn links alles markiert, gib unerfüllbar aus
kein A* ∧ B* -> 0
Nicht alles links markiert, gib erfüllbar aus
(X = jeweilige atomare Formel, Angabe für alle atomaren Formeln)
Die Markierung gibt die erfüllende Belegung für das minimale Modell A für F an
A(X) = 1, falls X markiert ist
A(X) = 0, falls X nicht markiert ist
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Wahrheitstabelle (Tipps im Erklärteil)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------Wahrheitstabelle: Ist der Ausdruck gültig? Wahr oder Falsch
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Klassenkalkül
Klassenkalkülausdruck zu folgender Behauptung angeben:
NUR die ausgeschriebenen Wörter in Logiksymbole umschreiben.
Rest abschreiben.
Tipps: (Umwandlungsregeln)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------Spezielle KNF zum Klassenkalkülausdruck:
Tipps: z.B. X | Y ∨ Z | ¬M ∨ N ∨ P | ¬J ∨ K ∧¬J ∨ L
-------------------------------------------------------------------------------------------------------Ist der Klassenkalkülausdruck harmlos?
Tipps: horn=harmlos, horn war er, wenn er höchstens 1 positives Literal je Disjunktion hat
-------------------------------------------------------------------------------------------------------Überführen sie folgenden Klassenkalkülausdruck in Aussagenlogik:
Tipps: (Umwandlungsregeln)
A∪B
A∩B
A⊆B
A=B
∅
Ā
ĀŪĒ
A–B
A∨B
A∧B
A -> B
A <-> B
0
¬A
¬(A ∨ E)
A ∧ ¬B
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
KNF
KNF zu folgender Formel angeben:
Tipps: (Umwandlungsregeln)
Schritt 0
0
0
ersetze
G -> H
G <-> H
durch
(¬G ∨ H)
(¬G ∨ H) ∧ (G ∨ ¬H)
Schritt 1
1
1
1
ersetze
¬¬G
¬(G ∧ H)
¬(G ∨ H)
durch
G
(¬G ∨ ¬H)
(¬G ∧ ¬H)
Schritt 2
2
2
ersetze
F ∨ (G ∧ H)
(F ∧ G) ∨ (H ∧ I)
durch
(F ∨ G) ∧ (F ∨ H)
(F ∨ H) ∧ (F ∨ I) ∧ (G ∨ H) ∧ (G
∨ I)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Resolution
Klauselmenge: …..............
Geben Sie eine Herleitung der leeren Klausel an:
Tipps:
➢ Je Runde darf 1 Literal gestrichen werden!
➢ Keine Klauseln doppelt erzeugen.
➢ Leere Klausel herleiten!
Wenn da die Meldung kommt das die Aufgabe noch nicht abgeschlossen wäre einfach ignorieren.
Das liegt an den freien Feldern! Moodle ist schuld!
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Formel umwandeln / Operatoren ersetzen
Direktes umformen:
Alles mit Nand ausdrücken:
Nächste Seite ist noch ne Tabelle!
Alles mit Nor ausdrücken:
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Grundbegriffe:
Für Erläuterungen im Erklärteil nachschauen!
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Extended Euklid
Gegeben sind die Primzahlen q= X und p= Y
Bestimmen Sie n = X*Y
Bestimmen Sie TF(n):
X-1
*
*
Y-1
=
=
TF(n)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bestimmen sie mithilfe des euklidischen Algorithmus nun d:
TF(n)
e
a
b
| [a/b]
t
x
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
Tipp deine letzte Zeile muss so aussehen:
a
b
1
0
Ergebnis d =
|
|
[a/b]
-
t
1
x
1
d
Platz für deine Nebenrechnung!
Formel: x’ - [a/b] * d’ = d
x'
- [a/b]
* d'
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
d
0
Wenn da die Meldung kommt das die Aufgabe noch nicht abgeschlossen wäre einfach ignorieren.
Das liegt an den freien Feldern! Moodle ist schuld!
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
RSA - Verschlüsseln
M= X, e = Y, n = Z
Lösung e= f + k + l + m
Tipps: (Exponent mit 2er Potenzen ausdrücken)
2^6
2^5
2^4
2^3
2^2
2^1
64
32
16
8
4
2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
2^0
1
Bestimmen sie durch fortgesetztes Quadrieren die benötigten Faktoren:
Anfangsbeispiel:
m mod n = Z
Z^2 mod n = Y
Y^2 mod n = X
e
Potenz
mod
n
=
Ergebnis
1
mod
=
2
mod
=
4
mod
=
8
mod
=
16
mod
=
32
mod
=
64
mod
=
-------------------------------------------------------------------------------------------------------Führe nur die benötigten Faktoren zusammen
z.B. (f*k*l*m)
( f*k*l*m
) mod
n
= Ergebnis
=c
(
) mod
=
=c
Wenn da die Meldung kommt das die Aufgabe noch nicht abgeschlossen wäre einfach ignorieren.
Das liegt an den freien Feldern! Moodle ist schuld!
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chinese Postman
A
B
C
D
E
-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bestimmen Sie zunächst die Eulertour.
Tipp: Einmal rum z.B. Y.......Z
-------------------------------------------------------------------------------------------------------Bestimmen Sie nun den Rückweg mit den optimalen Kosten:
Tipps: Schau dir alle Rückwege an!
-------------------------------------------------------------------------------------------------------Gesamtkosten:
Tipps:
Eulertour + Rückweg
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Traveling Salesman Problem
Starten sie nun in A und geben sie eine optimale Rundtour an.
Tipps: (Alle 3 möglichen Wege)
A
B
C
D
A=
A
B
D
C
A=
A
C
B
D
A=
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Fragen zu Eigenschaften von Graphen
Eulertour
Conen Musterlösung: Nein, weil es mehr als 2 Knoten mit ungeradem Grad gibt.
Eulersch
Keine ungrade Gradanzahl bei Knoten
Semi-Eulersch
Max. 2 ungerade Gradanzahlen bei Knoten
Planar:
Graphen, die man kreuzungsfrei (in der Ebene) zeichnen kann
Bipartit
Conen Musterlösung: Nein, weil es Zyklen ungerader Länge gibt.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Decision Tree:
Tipps:
Struktur vermutlich vorgegeben, schaue was du an den Daten ablesen kannst. Z.B. 2 Eigenschaften, 3
Eigenschaften, 2 Eigenschaften
Dann siehst du am Baum wo die mit 3 Eigenschaften hin muss.
Überprüfe ob eine der anderen beiden in eine der anderen 2 Plätze passt, also ob es dort auch
wirklich mit klaren Aussagen Fälle aussortiert (Klar auf Ja / Nein antwortet)
Komplettes Beispiel unten im Erklärteil.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bonusaufgaben:
Naive Bayes - Das Handtaschen-Modell der Texterzeugung:
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bonusaufgaben: Insel der Ritter und Schurken
Tipps: Wahrheitstabelle oder Entscheidungsbaum
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Klausurvorbereitend:
Markierungsalgorithmus ausführlich:
Schritt 1 – in Implikationsform bringen
ersetze
A
¬A
¬A ∨ ¬B
¬A ∨ ¬B ∨ C
durch
1 -> A
A -> 0
A ∧ B -> 0
A ∧ B -> C
Schritt 2 – Markieren
1 -> A
A* ∧ B* -> C
A* ∧ B* -> 0
kein A* ∧ B* -> 0
markiere alle As
markiere alle Cs
gib unerfüllbar aus
gib erfüllbar aus
(X = jeweilige atomare Formel, Angabe für alle atomaren Formeln)
Die Markierung gibt die erfüllende Belegung für das minimale Modell A für F an
A(X) = 1, falls X markiert ist
A(X) = 0, falls X nicht markiert ist
Angaben (Beispiele)
Markieren:
Angabe der Markier-Reihenfolge:
Schritt 2.1, Schritt 2.2, erfüllbar
oder nicht erfüllbar
Angabe der erfüllenden Belegung
wie oben beschrieben
erfüllende Belegung:
A, C, B, D, erfüllbar
A(A) = 1, A(B) = 1, A(C) = 0,
...
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Wahrheitstabelle:
F
0
0
1
1
G
0
1
0
1
F∧G
0
0
0
1
F∨G
0
1
1
1
F -> G
1
1
0
1
F <-> G
1
0
0
1
¬F
1
1
0
0
Klassenkalkül ausführlich:
Klassenkalkülausdruck aus der Behauptung ableiten
(Text durch Logiksymbole ersetzen (∧, ∨,¬,->,<->)
Spezielle KNF erzeugen
Jeden einfachen Klassenkalkülausdruck durch eine geschwungene Variable ersetzen
(jeder einfache Ausdruck hat einen Vergleichsoperator ( ⊆, =) als Topleveloperator)
(KEINE Pfeile)
Die geschwungenen Variablen-Form in KNF bringen
KNF ist horn -> harmlos
Kalkülausdruck in Aussagenlogik übersetzen und mit Wahrheitstafel auf (1-)Gültigkeit untersuchen
KNF ist nicht horn -> nicht harmlos
Disjunktionen, die nicht horn sind aufspalten, sodass sich Teilausdrücke ergeben, die horn sind:
aus
¬A ∨ ¬B ∨ C ∨ D
werden
¬A ∨ ¬B ∨ C
und
¬A ∨ ¬B ∨ D
Variablen durch die Klassenkalkülausdrücke ersetzen und in Aussagenlogik übersetzen
Teilausdrücke mit separaten Wahrheitstafeln untersuchen
Wahrheitstabelle von innen nach außen nummerieren (3(2(1))) "nicht" wird mitnummeriert und
ist die 1 wenn am Literal n(a) ansonsten wird "nicht" bevorzugt vor anderen Zeichen
umgewandelt
Beispiel: (4(3v 2n(X 1v Y)))
Eine nicht harmlose Disjunktion ist (1-) gültig, wenn mindestens einer der geprüften
Teilausdrücke (1-) gültig ist.
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Übersetzung Mengenalgebra in Aussagenlogik
A∪B
A∩B
A⊆B
A=B
∅
Ā
ĀŪĒ
A–B
A∨B
A∧B
A -> B
A <-> B
0
¬A
¬(A ∨ E)
A ∧ ¬B
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
KNF ausführlich:
Schritt 0
0
0
ersetze
G -> H
G <-> H
durch
(¬G ∨ H)
(¬G ∨ H) ∧ (G ∨ ¬H)
Schritt 1
1
1
1
ersetze
¬¬G
¬(G ∧ H)
¬(G ∨ H)
durch
G
(¬G ∨ ¬H)
(¬G ∧ ¬H)
Schritt 2
2
2
ersetze
F ∨ (G ∧ H)
(F ∧ G) ∨ (H ∧ I)
durch
(F ∨ G) ∧ (F ∨ H)
(F ∨ H) ∧ (F ∨ I) ∧ (G ∨ H) ∧ (G
∨ I)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Resolution ausführlich:
1.
2.
3.
4.
5.
6 Klauseln+-1, 3 Literale
Umschreiben (wenn nötig) (nA v B nC) -> {nA,B,nC}
Je Runde darf 1 Literal gestrichen werden!
Keine Klauseln doppelt erzeugen.
Leere Klausel herleiten!
NOR / NAND ausführlich:
“Und” umgeformt, alles hier heißt immer noch “A ∧ B”:
Formel
A∧B
¬¬ (A ∧ B)
≡
Ist das gleiche wie:
Ist das gleiche wie:
Umgeformt
¬¬ (A ∧ B)
¬ (A ⊼ B)
Regel
Doppelverneinung ändert nicht die Aussage
Ein “nicht” außerhalb der Klammer auf das
“und” ziehen
¬¬ (A ∧ B)
Ist das gleiche wie:
¬ (¬ A ∨ ¬ B)
¬ (¬ A ∨ ¬ B)
Ist das gleiche wie:
(¬ A ⊽ ¬ B)
Mit DeMorgan das “nicht” in die Klammer
ziehen, wobei das “und” ein “oder” wird
Das “nicht” vor der Klammer auf das “oder”
in der Klammer ziehen
“Oder” umgeformt, alles hier heißt immer noch “A ∨ B”:
Formel
A∨B
¬¬ (A ∨ B)
≡
Ist das gleiche wie:
Ist das gleiche wie:
Umgeformt
¬¬ (A ∨ B)
¬ (A ⊽ B)
Regel
Doppelverneinung ändert nicht die Aussage
Ein “nicht” außerhalb der Klammer auf das
“oder” ziehen
¬¬ (A ∨ B)
Ist das gleiche wie:
¬ (¬ A ∧ ¬ B)
¬ (¬ A ∧ ¬ B)
Ist das gleiche wie:
(¬ A ⊼ ¬ B)
Mit DeMorgan das “nicht” in die Klammer
ziehen und das “oder” wird zum “und”
Das “nicht” vor der Klammer auf das “und”
in der Klammer ziehen
Alles mit Nand ausdrücken:
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Alles mit Nor ausdrücken:
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Grundbegriffe ausführlich:
(Mengenlehre+Berechbarkeit)
Entscheidbar:
JA/NEIN Fragestellung immer beantwortbar
Semi-Entscheidbar:
JA/NEIN Fragestellung nur teilweise möglich
Unentscheidbar:
Weder JA/ noch NEIN Fragen können beantwortet werden
Halteproblem
Halteproblem (Turingmaschine, die alle Turingmaschinen mit allen Eingaben sicher testen kann) ->
Gibt nur für manche Eingaben Werte aus -> Semi-Entscheidbar
Post'sche Korrespondenzproblem
Post'sche Korrespondenzproblem semi-entscheidbar (Gibt nur für manche Eingaben Werte aus)
Rado Funktion:
Rado Funktion wächst schneller als jede berechbare Funktion! Kann man bis Rado 4 noch berechnen,
danach nichtmehr! Also ab n > = 4 unberechenbar.
Relation
Relation {a,b}
Domain
Domain Von X dom(X) = Startmenge alle Elemente!
Range
Range Nach Y rng(Y) Zielmenge (Teilmenge oder gleich der Menge)
Beispiel:
X: – {a,b,c} Y: - {h,i,j} {a,b,c} Range: Y {h,i,j}
F: Funktion von X nach Y
{(a,h), (b,I), (c,I)}
Domain: X
Beispiel 2 :
A= {1,2}B={a,b,c} Anzahl von Menge in A x B = 2*3=6
A x B = {1,a}, {1,b}, {1,c}, {2,a}, {2,b}, {2,c}
R1 = {(1,a),(2,b)}
Dom(R1)= {(1,2)}
Range(R1)= {(a,b)}
Reflexiv:
(a,a)
Symmetrisch:
(a,b) -> (b,a)
Transitiv
(a,b) -> (b,c) -> (a,c)
A=B Ʌ B=C ,dann ist A=C
Umkehrrelation
Umkehrrelation X-1 {a,b} -> {b,a}
Äquivalenz
Äquivalenzrelation: Ist es, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
Äquivalenzklasse: Welche Elemente werde nur zusammen genutzt.
Funktion:
Funktion von X nach Y (Jedes A wird nur einmal verwendet und muss benutzt werden! (Linkstotal,
Rechtseindeutig)
Injektiv:
Ist es eine Funktion? Injektiv : f: A–> B Injektiv, wenn es für jedes Element y- B höchstens ein
Element x- A gibt. (nur verschiedene B werden getroffen, braucht keine Range. Umkehrbar)
Surjektiv:
Ist es eine Funktion? Surjektiv? (alle B der Range werden getroffen, möglicherweise mehrfach)
Bijektiv:
Ist es eine Funktion? Bijektiv: vollständige Paarbildung der Elemente. (sowohl Injektiv als auch
surjektiv: Alle B in der Range wird genau einmal (also verschiedene B) getroffen, Umkehrbar.)
Umkehrfunktion
Umkehrfunktion f –1 Voraussetzung: Funktion und Injektiv (braucht keine Domain, um zu
funktionieren: Domain und Range werden vertauscht. (a,b)->(b,a).
Einschränkung
Der Strich | bedeutet Einschränkung Bei der Einschränkung reduziert man auf eine bestimmte
Teilmenge. Z.B. Menge M= {1,2,3,4} und L={a,b,c,d} mit der Funktion f= {(1,a),(2,b),(3,c),(4,d)}
eingeschränkt auf alle geraden Zahlen von M1={2,4} (g = f|M1 )ergibt die Relation: g ={(2,b),(4,d)}
Fortsetzung
Fortsetzung ist das Gegenteil von Einschränkung: Die Funktion g ={(2,b),(4,d)} ist eine Teilmenge der
Funktion f= {(1,a)(2,b)(3,c) (4,d)}, also ist hier f die Fortsetzung von g
Zerlegung
(Vereinigt man die Zerlegungen zu einer Menge, muss die Menge rauskommen ohne fehlende oder
doppelte Elemente)
So viele Zerlegungen sind möglich(Bellsche Zahl). Wenn leere Menge= falsch gibt es nicht!
Elemente der Menge (B) = Anzahl der Zerlegungen
B_0 = 1
B_1 = 1
B_2 = 2
B_3 = 5
B_4 = 15
B_5 = 52
B_6 = 203
Identität
Ist das “neutrale Element” Identität auf “a” ist “a” , id.(), wird benutzt beim Verketten von
Funktionen ???????????
Potenzmenge
Menge A = {X,Y} -> Potenzmenge P(A) = { {}, {X}, {Y}, {X,Y} } 2^n (n ist die Anzahl von die Elementen in
die Menge A) 2^(2) = 4
Komplement:
Das Relative Komplement der Menge A ist das Gegenteil der Menge A innerhalb einer Definierten
Obermenge D.
A,B ⊆ D
A ∪ A c =D
Verkettung
Beispiel : X o Y
A: (Grün, Rot, Gelb)
B: (Gurke, Erdbeere, Banane)
C:(Lecker, Nichtlecker,Gehtso)
Laut Regeln der Verkettung MUSS Y eine Funktion von A nach B sein. Also –(Grün,Gurke)-,(Rot,Erdbeere)-,-(Gelb,Banane)Laut Regeln der Verkettung MUSS X eine Funktion von B nach C sein. Also –(Gurke,Lecker)-,-(
Erdbeere,Nichtlecker)-,-(Banane,Gehtso)-
Die Verkettung selber ist nun die Funktion von A nach C. Also –(Grün,Lecker)-,-(Rot,Nichtlecker)-,(Gelb,Gehtso)Anders gesagt: Der Domain von Y muss den Domain von X als Range haben. Der Domain der
Verkettung ist der Domain von Y , während die Range die Range von X ist.
Beispielanwendung Grundbegriffe ausführlich:
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Extended Euclid ausführlich:
Gegeben: 2 Primzahlen p und q
−
−
n=p*q
TN(n) = (p - 1) * (q - 1)
Gegeben: e (Teilerfremd zu TF(n))
Gesucht: d
Von OBEN nach UNTEN
−
−
erstes a = TF(n)
erstes b = e
−
⌊a/b⌋ (immer) = a/b ohne Nachkommastellen (“Wie oft passt b in a?”)
−
folgendes a = vorheriges b
folgendes b = vorheriges a mod vorheriges b
Solange bis a = 1, b = 0, ⌊a/b⌋ = “-”
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Von UNTEN nach OBEN
Unterste Reihe: t = 1, x = 1, e = 0
alle t = 1
nächstes x = vorheriges d
nächstes d = vorheriges x - (aktuelles⌊a/b⌋ * vorheriges d)
−
−
Solange bis Tabelle voll
Oberstes d ist das Ergebnis
a
b
⌊a/b⌋
TF(n)
e
e'
TF(n)’ mod e’
...
...
...
1
0
Hier: mit ‘ == Wert aus vorheriger Zeile
t
x
d
1
1
1
1
...
...
d'
1
ERGEBNIS
...
x’ - (⌊a/b⌋ * d’)
0
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
RSA ausführlich:
m = 413
e = 479
n = 689
y = (Höchste Potenz, die Größer ist als e) – 1 ß Schleifen Rechnung
me = mod n = m(Y) mod n
(1) Zeigen, wie man die Nachricht verschlüsseln würde
Y = Mit der höchsten Potenz, die Größer als e ist beginnen, jedoch diese Potenz -1 rechnen.
Anschließend zieht man diese Potenz von e ab. Vom Ergebnis nimmt man erneut die nächste
höchste Potenz -1 und wiederholt dies bis 0 rauskommt.
m = 6 --> 22 = 4, 23 = 8, da 23 größer ist als 6, nehmen wir 22.
6 - 4 = 2 --> 21 = 2, da 2 = 2 ist, ist 2 die nächste Potenz
2 – 2 = 0 --> Ende
Y=2+1
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(2) mod der Nachricht bis zum höchsten Exponenten berechnen (Y)
Im obersten Beispiel wäre Y = 256+128+64+16+8+4+2+1
4131 mod 689 = 413
4132 mod 689 = (4131 mod 689)2 mod 689 = 4132 mod 689 = 386
4134 mod 689 = (4132 mod 689)2 mod 689 = 3862 mod 689 = 172
4138 mod 689 = (4134 mod 689)2 mod 689 = 1722 mod 689 = 646
41316 mod 689 = (4138 mod 689)2 mod 689 = 6462 mod 689 = 471
41332 mod 689 = (41316 mod 689)2 mod 689 = 4712 mod 689 = 672
41364 mod 689 = (41332 mod 689)2 mod 689 = 6722 mod 689 =289
413128 mod 689 = (41364 mod 689)2 mod 689 = 2892 mod 689 = 152
413256 mod 689 = (413128 mod 689)2 mod 689 = 1522 mod 689 = 367
(3) Verschlüsselung durchführen
Man nimmt hier mY mod n, wobei man im rechten Abschnitt die Ergebnisse von der jeweiligen
Potenz aus der 2. Rechnung nimmt.
413(256+128+64+16+8+4+2+1) mod 689 = 367 * 152 * 289 * 471 * 646 * 386 * 413 mod 689 = 576
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chinese Postman ausführlich:
Vorgehensweise:
1. Graph zeichnen
2. Start beginnt an einem Knoten mit ungeradem Grad und endet an dem anderen Knoten mit
ungeradem Grad.
3. Eulertour finden ( d.h alle Kanten entlang fahren ohne, dass eine Brücke entsteht)
4. Kosten und Eulertour aufschreiben
5. Kürzesten Weg (minimalste Kosten) vom Endknoten → Startknoten
6. Lösung: Eulertour & Rückweg (Knotenfolge aufschreiben und Gesamtkosten notieren)
Weiter nächste Seite:
Beispiel :
Graph mit den Knoten:
Eulertour ( A → E):
A-B-C-D-E-B-D-A-E (Kosten = 22)
Optimaler Rückweg ( E → A ):
E-B-D-A ( Kosten = 4)
Lösung:
A-B-C-D-E-B-D-A-E-B-D-A (Kosten =26)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
TSP ausführlich:
Enumeration aller möglichen Pfade (K4)
A,B,C,D,A ≡ A,D,C,B,A
A,B,D,C,A ≡ A,C,D,B,A
A,C,B,D,A ≡ A,D,B,C,A
Addition der Gewichte der verwendeten Kanten für die 3 unterschiedlichen Pfade
Angabe der optimalen Folge und ihrer Kosten
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Graphen Begriffe ausführlich:
Eulersch: wenn die Anzahl der Kanten des Graphs gerade sind.
Semi-Eulersch: wenn er genau zwei Knoten mit einem ungeraden Grad enthält
Bipartit: Ein Graph G ist genau dann bipartit, wenn jeder Cycle in einem Graph eine gerade Länge
hat.
Bipartit= ja, wenn alle knoten gleich viele Kanten haben.?????
Planar Graphen: Graphen, die man kreuzungsfrei (in der Ebene) zeichnen kann
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Decision Tree / Entscheidungsbaum ausführlich:
♦
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Aussagenspalte betrachten (z.B Attraktive)
Welche Wahl führt zu vielen klaren Aussagen? (Nur Yes oder No)
Das wählen was zu den meisten klaren Aussagen führt. (Je Spalte kann man addieren)
z.B. (Hair) Blonde 3xNo und Red 1x Yes = 4 klare Aussagen
-> Online Klausur schauen was zum vorgegebenen Baum passt
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Bonusaufgaben ausführlich:
Naive Bayes ausführlich:
Naive Bayes
Briefwahrscheinlichkeit (Prior)
-
Trenn
Liebe
2/7
5/7
es gab 7 Briefe 2 Trenn und 5 Liebe
Wortwahrscheinlichkeiten
nicht
1/8
1/9
liebe
3/8
1/9
Ausmultiplizieren
X
Summe davon
x+Y =Z
Einzelwahrscheinlichkeiten:
Y
X/Z=
Y/Z=höhere Wahrscheinlichkeit ist es dann.
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Formale Logik z.B Insel der Ritter und Schurken ausführlich:
Ritter sagen immer die Wahrheit
Schurken Lügen immer
Prof C sagt: E und L sind Ritter
Prof C sagt E ist kein Ritter
Wahrheitstabelle Prof C ist Ritter:
E
0
0
1
1
1
E^L
0
0
0
1
L
0
1
0
1
2
∧
0
0
0
0
1
¬E
1
1
0
0
Wahrheitstabelle Prof.C ist Schurke
E
0
0
1
1
L
0
1
0
1
2
¬
1
1
1
0
1
(E ^ L)
0
0
0
1
3
∧
0
0
1
0
1
E
0
0
1
1