Metode Numerik
(Penyelesaian Akar Sebuah Fungsi)
Oleh :
AkhmadYusuf, M.Kom
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMBUNG MANGKURAT
BANJARBARU, 2022
TUJUAN
 Sub CPMK
Mahasiswa mampu menganalisis sebuah fungsi yang memiliki akar
 Indikator
a. Mahasiswa mampu menjelaskan penerapan metode bisection
dalam bentuk lisan
b. Mahasiswa mampu menjelaskan sebuah fungsi yang memiliki akar
dalam bentuk tulisan
c. Mahasiswa mampu menjelaskan algoritma dari metode bisection
dalam bentuk lisan
d. Mahasiswa mampu menganalisa error dari penggunaan metode
bisection dalam bentuk latihan
Pendahuluan
Fungsi y = f(x)
Fungsi lebih kompleks?
𝒇 𝒙 =
𝒙
𝒆
− 𝟒𝒙
Theorema
 Suatu range x = [a,b] mempunyai akar bila f(a) dan f(b)
berlawanan tanda atau memenuhi f(a).f(b)<0
 Theorema di atas dapat dijelaskan dengan grafik-grafik
sebagai berikut:
Karena f(a).f(b)<0 maka pada range
x=[a,b] terdapat akar.
Karena f(a).f(b)>0 maka pada
range x=[a,b] tidak dapat
dikatakan terdapat akar.
Metode Biseksi
Untuk menggunakan metode biseksi, terlebih dahulu ditentukan batas
bawah (a) dan batas atas (b). Kemudian menghitung nilai tengah :
x= a  b
2
Dari nilai x ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar. Secara
matematik, suatu range terdapat akar persamaan bila f(a) dan f(b)
berlawanan tanda atau dituliskan :
f(a) . f(b) < 0
Setelah diketahui dibagian mana terdapat akar, maka batas bawah dan batas
atas di perbaharui sesuai dengan range dari bagian yang mempunyai akar.
Konsep Dasar
Algoritma Biseksi
1.
Mendefinisikan fungsi f(x) yang akan dicari akarnya
2.
Menentukan nilai a dan b
3.
Menentukan toleransi error dan iterasi maksimum N
4.
Menghitung f(a) dan f(b)
5.
Jika f(a).f(b)>0, maka proses dihentikan karena tidak ada akar, jika tidak, maka
dilanjutkan
6.
Menghitung nilai 𝑡 ∶=
7.
Menghitung nilai f(t)
8.
Menghitung nilai f(a).f(t)<0, maka b:=t dan f(b)=f(t), jika f(a).f(t)>0, maka a:=t dan
f(a)=f(t)
9.
Menghitung nilai b -a ≤ error atau iterasi > N, maka proses dihentikan dan akar :=t,
selesai
𝑎+𝑏
2
10. Jika no.9 belum terpenuhi, ulangi Langkah no.6 sampai no.9
Contoh Soal
 Gunakan metode bisection untuk menemukan
salah satu akar dari sebuah fungsi berikut :
𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 − 4𝑥
Penyelesaian :
 Langkah 1
x
0
1
2
3
F(x)
1
-1,282
-0,611
8,086
𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 − 4𝑥
 Iterasi 1.
A=0, f(a) = 1 ( > 0)
B=1, f(b) = -1,282 (< 0)
T = (0+1)/2 = 0,5, f(t) = -0,351 (< 0), f(a)*f(t) < 0, sehingga b:= t,
dan error = b-a = 0,5 – 0 = 0,5
 Iterasi 2.
A=0, f(a) = 1 ( > 0)
B=0,5, f(b) = -0,351 (< 0)
T = (0+0,5)/2 = 0,25, f(t) = 0,284 (>0), f(a)*f(t) > 0, sehingga a:= t,
dan error = b-a = 0,5 – 0,25 = 0,25
Jika dilanjutkan sampai iterasi ke 17, maka akan diperoleh nilai error
< 0,0001 dan menghasilkan nilai t=0,3574 dan f(t) = 0,00001
Kelebihan dan Kekurangan
 Metode
bisection menjamin terdapatnya
akar karena metode bisection akan
konvergen ke suatu titik tertentu
 Besarnya nilai toleransi error yang diberikan
mempengaruhi ketelitian dan jumlah iterasi,
 Semakin kecil nilai error yang diberikan
maka akan semakin teliti dan semakin besar
iterasinya.
Any
question..?