Kinematika part 1
Oleh Widya Sari, S.Pd., M.Sc.
Gerak lurus terdiri atas gerak lurus beraturan (GLB), gerak lurus berubah beraturan (GLBB), dan
Gerak Vertikal (ke bawah dan ke atas), Gerak Jatuh Bebas, dan Gerak Parabola.
1.
Jarak dan Perpindahan
Jarak adalah panjang lintasan yang ditempuh oleh suatu benda dalam selang waktu tertentu
(total panjang lintasan). Sementara, perpindahan adalah perubahan kedudukan suatu benda dalam
selang waktu tertentu.
Ilustrasi. Seorang anak hendak pergi ke sekolah. Ia mulai perjalanan dari rumahnya menuju barat
sejauh 8 m dan berbelok menuju ke utara sejauh 6 m. Seberapa jauh perpindahan yang dilakukan
oleh anak tersebut dan jarak yang ditempunya.
panjang lintasan AB = 8 cm; BC = 6 cm
perpindahan anak = AC = …?
Jarak yang ditempuh = … ?
Untuk mencari AC, maka menggunakan teorema phytagoras
𝐴𝐶 = √𝐴𝐵 2 + 𝐵𝐶 2
= √82 + 62
= √64 + 36
= √100
𝑝𝑒𝑟𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎ℎ𝑎𝑛 = 𝐴𝐶 = 10 𝑚 dengan arah timur laut
Panjang lintasan total = jarak = 8 m + 6 m = 14 m
Mengapa perpindahan harus disertakan nilai dan arah, sementara jarak hanya dinyatakan
nilai saja?
Jika sudah paham tentang jarak dan perpindahan, maka kecepatan dan kelajuan dipelajari.
KecePatan berhubungan dengan Perpindahan
KelaJuan berhubungan dengan Jarak
2.
Kelajuan dan Kecepatan
a. Kelajuan rata-rata dan Kecepatan rata-rata
Kelajuan rata-rata: Jarak total yang ditempuh dengan selang waktu.
𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑠
𝐾𝑒𝑙𝑎𝑗𝑢𝑎𝑛 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 = 𝑣̅ =
=
(1)
𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢
𝑡
Kecepatan rata-rata: perpindahan dengan selang waktu.
𝑝𝑒𝑟𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎ℎ𝑎𝑛 ∆𝑥 𝑥2 − 𝑥1
𝐾𝑒𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 = 𝐯̅ =
=
=
𝑠𝑒𝑙𝑎𝑛𝑔 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 ∆𝑡
𝑡2 − 𝑡2
(2)
b. Kelajuan sesaat dan Kecepatan sesaat
Kelajuan sesaat adalah kelajuan benda pada suatu saat atau selang waktu yang singkat (∆𝑡 → 0)
∆𝑥 𝑑𝑥
=
(3)
∆𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑥
Secara matematis, 𝑑𝑡 berarti penurunan atau differensial variabel dalam fungsi waktu.
𝑣 = lim
∆𝑡→0
𝑑
𝑎(𝑡)𝑛 = 𝑛. 𝑎𝑛−1
𝑑𝑡
(4)
Contoh soal 1:
𝑑 2
2𝑡 + 3𝑡 = 2.2𝑡 2−1 + 3.1𝑡1−1
𝑑𝑡
= 4𝑡 + 3
Contoh soal 2:
Sebuah partikel bergerak memenuhi persamaan 𝑦 = 10𝑡 − 2𝑡 2 dengan y dalam satuan meter dan
t dalam satuan sekon. Tentukan kecepatan partikel pada saat t=1 sekon.
Penyelesaian:
Diketahui persamaan gerak partikel
𝑦 = 10𝑡 − 2𝑡 2
Persamaan kecepatan didapatkan dengan menurunkan pertama dari persamaan posisi.
𝑑𝑦
𝑑
𝑣=
= (10𝑡 − 2𝑡 2 ) = 10 − 4𝑡
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑣(1) = 10 − 4(1) = 6 𝑚/𝑠
3. Gerak Lurus Beraturan (GLB)
Gerak lurus beraturan dapat diartikan gerak suatu benda dengan kecepatan tetap. Hubungan
antara jarak (s), kecepatan (v), dan selang waktu (t) dinyatakan oleh persamaan berikut ini.
𝑠 = 𝑣. 𝑡
(5)
Contoh-contoh grafik pada GLB
Grafik kecepatan terhadap waktu
Dari grafik hubungan v-t, kita dapat menentukan jarak (s)
𝑠 = 𝑣. 𝑡 = 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑎𝑒𝑟𝑎ℎ
(6)
Dari grafik hubungan s-t berbentuk kemiringan. Kemiringan dari garis ini menyatakan
kecepatan tetap gerak lurus beraturan (v). Semakin curam garis, maka kecepatan semakin
besar. Kecepatan dapat dinyatakan dengan persamaan 3.
𝑣 = tan 𝜃
(7)
∆𝑠
𝑣=
(8)
∆𝑡
Contoh soal 3: Sebuah mobil bergerak pada lintasan lurus dengan kecepatan tetap 72 km/jam.
Hitunglah jarak yang ditempuh mobil setelah melaju 20 menit.
Penyelesaian:
𝑘𝑚
1000 𝑚
𝑣 = 72
= 72 ×
= 20 𝑚/𝑠
𝑗𝑎𝑚
3600 𝑠
𝜃
𝑡 = 20 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 = 1200 𝑠𝑒𝑘𝑜𝑛
𝑠 = 𝑣. 𝑡
Gambar 1. Grafik hubungan v-t dan grafik hubungan s-t
𝑠 = 20
𝑚
. 1200 𝑠 = 2400 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟
𝑠
Latihan:
1. Gambar di samping menunjukkan gerak
sebuah benda yang dalam selang waktu tertentu
bergerak lurus beraturan. Lintasan manakah yang
memiliki kecepatan tertinggi?
2. Sebuah mobil mengelilingi lapangan berbentuk lingkaran dengan radius 500 meter. Untuk
mengelilingi satu putaran, pengemudi membutuhkan satu jam. Tentukan kecepatan yang
dimiliki oleh mobil.
4. Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB)
GLBB diartikan gerak suatu benda yang lintasannya lurus dengan percepatan tetap.
a. Percepatan rata-rata dan Percepatan sesaat
Percepatan rata-rata ditunjukkan dengan persamaan (9):
∆𝑣 𝑣2 − 𝑣1
𝑎=
=
(9)
∆𝑡
𝑡2 − 𝑡1
Persamaan 9 menjelaskan hasil bagi antara perubahan kecepatan (∆v) dengan perubahan
waktu (∆𝑡)
Percepatan sesaat ditunjukkan pada persamaan (10)
∆𝑣 𝑑𝑣
𝑑 𝑑𝑠
𝑎 = lim
=
=
(10)
∆𝑡→0 ∆𝑡
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡
Aturan pada percepatan:
a. Percepatan bernilai positif ,artinya benda mengalami gerak lurus dipercepat.
b. Percepatan bernilai negatif, artinya benda mengalami gerak lurus diperlambat.
Grafik-grafik pada GLBB
Pada grafik b terdapat kemiringan yang menunjukkan percepatan a sehingga percepatan dapat
dicari dengan persamaan 11
𝑎 = tan 𝜃 =
𝑣 𝑣𝑡 − 𝑣𝑜
=
𝑡
𝑡
(11)
Semakin curam kemiringan garis (atau semakin besar sudut), maka percepatan semakin besar.
Dari persamaan 11, GLBB berlaku rumus sebagai berikut.
𝑎. 𝑡 = 𝑣𝑡 − 𝑣𝑜
𝑣𝑡 = 𝑣𝑜 + 𝑎. 𝑡
𝑣=
𝑑𝑠
𝑑𝑡
(12)
↔ 𝑑𝑠 = 𝑣. 𝑑𝑡
∫ 𝑑𝑠 = ∫ 𝑣. 𝑑𝑡
𝑠 = ∫(𝑣𝑜 + 𝑎. 𝑡) 𝑑𝑡
1
𝑠 = 𝑣𝑜 𝑡 + 𝑎. 𝑡 2 + 𝐶 (13)
2
Masukkan persamaan 𝑡 =
𝑣𝑡 −𝑣0
𝑎
pada persamaan 13.
𝑣𝑡 − 𝑣0
1
𝑣𝑡 − 𝑣0 2
𝑠 = 𝑣𝑜 (
) + 𝑎. (
)
𝑎
2
𝑎
𝑣𝑡 − 𝑣0
1
𝑣𝑡2 − 2𝑣𝑡 𝑣0 + 𝑣02
𝑠 = 𝑣𝑜 (
) + 𝑎. (
)
𝑎
2
𝑎2
𝑣𝑡 𝑣0 𝑣02 1 𝑣𝑡2 𝑣𝑡 𝑣0 1 𝑣02
𝑠=
− +
−
+
𝑎
𝑎 2𝑎
𝑎
2𝑎
1 𝑣02 1 𝑣𝑡2
𝑠=−
+
2𝑎 2𝑎
2𝑎𝑠 = 𝑣𝑡2 − 𝑣02
𝑣𝑡2 = 𝑣02 + 2𝑎𝑠
(14)
Untuk mencari jarak (s), dihitung dengan cara menghitung luas daerah asiran.
Pada grafik d menjelaskan percepatan yang dialami berlawanan dengan kecepatan, sehingga di
akhir kecepatan akan sama dengan nol, artinya benda akan berhenti.
𝑣𝑡 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
1
𝑠 = 𝑣𝑜 𝑡 + 𝑎. 𝑡 2
2
𝑣𝑡2 = 𝑣02 + 2𝑎𝑠
h
Gambar 2. Perbedaan Gerak Jatuh Bebas dan Gerak Vertikal ke
Bawah
Contoh Soal 4:
Sebuah benda yang sedang bergerak dengan laju 30 m/s diberi percepatan konstan selama 5
sekon sampai mencapai laju akhir 50 m/s. Hitung percepatan yang dialami benda tersebut.
Penyelesaian:
𝑣𝑡 = 50 𝑚/𝑠
𝑣0 = 30 𝑚/𝑠
t = 5 sekon
Ditanyakan:
𝑣𝑡 = 𝑣0 + 𝑎. 𝑡
50 = 30 + a. 5
50 – 30 = 5a
20 = 5a
a= 4 𝑚/𝑠 2
Latihan
1. Grafik manakah yang
berlaku untuk gerak lurus
berubah beraturan?
2. Gerak mobil menghasilkan grafik hubungan kecepatan (v) terhadap waktu (t) seperti
gambar di bawah ini. Bila jarak yang ditempuh mobil selama 4 sekon adalah 48 sekon,
maka berapa kecepatan awal dari mobil.
5.
Gerak Vertikal ke Bawah
Gerak vertikal ke bawah didefinisikan sebagai gerak suatu benda yang dilepaskan tegak lurus
ke bawah dengan kecepatan awal tertentu (𝑣0 ≠ 0) dan percepatan yang dialami merupakan
percepatan tetap sama dengan percepatan gravitasi (𝑎 = 𝑔). Dikarenakan benda mengalami
gerak vertikal ke bawah, arah ke bawah ditetapkan sebagai arah positif.
𝑣𝑡 = 𝑣0 + 𝑔𝑡
1
ℎ = 𝑣𝑜 𝑡 + 𝑔. 𝑡 2
2
ℎ = 𝑘𝑒𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖𝑎𝑛 (𝑚)
𝑣𝑡2 = 𝑣02 + 2𝑔ℎ
6.
Gerak Jatuh Bebas
Gerak jatuh bebas adalah gerak suatu benda yang dijatuhkan dari suatu ketinggian dengan
kecepatan awal sama dengan nol (𝑣0 = 0) serta dengan percepatan tetap yang sama dengan
percepatan gravitasi (𝑎 = 𝑔)
𝑣𝑡 = 𝑔𝑡
1
ℎ = 𝑔. 𝑡 2
2
𝑣𝑡2 = 2𝑔ℎ
7.
Gerak Vertikal ke Atas
Gerak vertikal ke atas adalah gerak suatu benda yang dilempar tegak lurus ke atas dengan
kecepatan awal tertentu (𝑣0 ≠ 0). Untuk gerak vertikal ke atas, arah atas dijadikan sebagai
arah positif sehingga arah percepatan gravitasi yang mengarah ke bawah bernilai negatif (𝑎 =
−𝑔)
𝑣𝑡 = 𝑣0 − 𝑔𝑡
1
ℎ = 𝑣𝑜 𝑡 − 𝑔. 𝑡 2
2
ℎ = 𝑘𝑒𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖𝑎𝑛 (𝑚)
𝑣𝑡2 = 𝑣02 − 2𝑔ℎ
8. Gerak Parabola
Gerak parabola adalah gerak yang gabungan gerak lurus beraturan (GLB) yang dijelaskan
pada sumbu-x dan gerak lurus berubah beraturan (GLBB) yang dijelaskan pada sumbu-y.
Pada sumbu-x berlaku persamaan gerak lurus beraturan.
𝑣𝑡 = 𝑣0 𝑡𝑒𝑡𝑎𝑝
Dengan demikian,
𝑑𝑎𝑛 𝑥 = 𝑣0 . 𝑡
𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥
(15)
𝑥 = 𝑣0𝑥 . 𝑡
(16)
dengan:
𝑣𝑥 = kecepatan benda setelah t terhadap sumbu-x (m/s)
𝑣0𝑥 = kecepatan awal terhadap sumbu-x (m/s)
𝑥 = posisi benda terhadap sumbu-x pada saat t (m)
t = waktu (s)
Dari gambar tampak bahwa:
𝑣0𝑥 = 𝑣0 cos 𝛼
𝑑𝑎𝑛
𝑣𝑜𝑦 = 𝑣0 sin 𝛼
Dengan demikian:
𝑣𝑥 = 𝑣0 cos 𝛼
dan 𝑥 = 𝑣𝑥 . 𝑡 = (𝑣0 cos 𝛼)𝑡
(17)
Pada sumbu-y berlaku persamaan gerak lurus berubah beraturan:
1
𝑑𝑎𝑛 𝑠 = 𝑣0 𝑡 + 2 𝑎𝑡 2
𝑣𝑡 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
Dengan demikian:
𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡
𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑣𝑦 = 𝑣0 sin 𝛼 − 𝑔𝑡
(18)
1
1
𝑦 = 𝑣0𝑦 𝑡 − 𝑔𝑡 2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑦 = (𝑣0 sin 𝛼)𝑡 − 𝑔𝑡 2 (19)
2
2
Kecepatan benda pada saat t sekon dan arah kecepatannya
𝑣 = √𝑣𝑥 2 + 𝑣𝑦 2
tan 𝛼 =
𝑣𝑦
𝑣𝑥
Menentukan tinggi maksimum dan jarak terjauh pada gerak parabola
Dengan 𝑣𝑦 = 0,
𝑡𝑝 =
𝑣0𝑦 𝑣0 sin 𝛼
=
𝑔
𝑔
𝒘𝒂𝒌𝒕𝒖 𝒔𝒂𝒂𝒕 𝒎𝒆𝒏𝒄𝒂𝒑𝒂𝒊 𝒚 𝒎𝒂𝒌𝒔𝒊𝒎𝒖𝒎
𝒖𝒏𝒕𝒖𝒌 𝒎𝒆𝒏𝒄𝒂𝒓𝒊 𝒌𝒆𝒕𝒊𝒏𝒈𝒈𝒊𝒂𝒏 𝒎𝒂𝒌𝒔𝒊𝒎𝒖𝒎 𝒚 𝒎𝒂𝒌𝒔
1
𝑦 = 𝑣0𝑦 𝑡 + 𝑔𝑡 2
2
𝑦𝑚𝑎𝑘𝑠 =
1
𝑣0 sin 𝛼 2 𝑣02 sin2 𝛼
) =
𝑔 (
2
𝑔
2𝑔
𝒚𝒎𝒂𝒌𝒔 =
𝑣02 sin2 𝛼
2𝑔
𝒌𝒆𝒕𝒊𝒏𝒈𝒈𝒊𝒂𝒏 𝒎𝒂𝒌𝒔𝒊𝒎𝒖𝒎
Jangkauan maksimum 𝒙𝒎𝒂𝒌𝒔
𝑥𝑚𝑎𝑘𝑠 = 𝑣0𝑥 . 𝑡𝑥
𝑥𝑚𝑎𝑘𝑠 = (𝒗𝟎 . 𝐜𝐨𝐬 𝜶 )
𝑥𝑚𝑎𝑘𝑠
2. 𝑣0 . sin 𝛼 𝑣02 sin 2𝛼
=
𝑔
𝑔
𝑣02 sin 2𝛼
=
𝑔
Contoh soal
Sebuah benda dilempar dengan sudut elevasi 60° dengan kecepatan awal 10 m/s. Besar dan
1
arah kecepatan pada saat 𝑡 = 2 √3 𝑠𝑒𝑘𝑜𝑛 adalah
1
Diketahui: 𝛼 = 60°; 𝑣0 = 10 𝑚/𝑠; 𝑡 = 2 √3
Ditanya: v dan 𝜃 ?
Penyelesaian:
𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥 = 𝑣0 cos 𝛼 = 10 cos 60° = 10 .
1
= 5 𝑚/𝑠
2
𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡 = 𝑣0 sin 𝛼 − 𝑔𝑡
1
= 10 sin 60° − 10. √3
2
𝑣𝑦 = 0 𝑚/𝑠
1
Maka kecepatan pada saat t = 2 √3 sekon adalah
𝑣 = √𝑣𝑥 2 + 𝑣𝑦2 = 5 𝑚/𝑠
𝑣𝑦 0
= =0
𝑣𝑥 5
𝜃 = 0°
tan 𝜃 =
Rangkuman:
dan 𝒙 = 𝒗𝒙 . 𝒕 = (𝒗𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝜶)𝒕
𝟏
𝒗𝒚 = 𝒗𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝜶 − 𝒈𝒕 𝒅𝒂𝒏 𝒚 = (𝒗𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝜶)𝒕 − 𝒈𝒕𝟐
𝟐
𝒗𝒙 = 𝒗𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝜶
𝑣𝑥 : 𝑘𝑒𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑥 (𝑚/𝑠)
𝑣𝑦 : 𝑘𝑒𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑦 (𝑚/𝑠)
𝑣0 : 𝑘𝑒𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑎𝑤𝑎𝑙 (𝑚/𝑠)
𝑡: 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 (𝑠)
𝑚
𝑔: 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑠𝑖 ( 2 )
𝑠
𝛼 ∶ 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑠𝑖 𝑠𝑎𝑎𝑡 𝑝𝑒𝑙𝑒𝑚𝑝𝑎𝑟𝑎𝑛
𝑥: 𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑏𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑡𝑖𝑛𝑗𝑎𝑢 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑥 (𝑚)
𝑦: 𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑏𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑡𝑖𝑛𝑗𝑎𝑢 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑦 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑘𝑒𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖𝑎𝑛 (𝑚)
Kecepatan benda pada saat t sekon dan arah kecepatannya
𝑣 = √𝑣𝑥 2 + 𝑣𝑦 2
𝑡𝑝 =
𝑣0𝑦 𝑣0 sin 𝛼
=
𝑔
𝑔
𝑦𝑚𝑎𝑘𝑠
𝑣02 sin2 𝛼
=
2𝑔
𝑥𝑚𝑎𝑘𝑠 =
𝑣02 sin 2𝛼
𝑔
𝑡𝑥 = 2𝑡𝑝 = 2
𝑣0 sin 𝛼
𝑔
tan 𝛼 =
𝑣𝑦
𝑣𝑥
𝒘𝒂𝒌𝒕𝒖 𝒔𝒂𝒂𝒕 𝒎𝒆𝒏𝒄𝒂𝒑𝒂𝒊 𝒚 𝒎𝒂𝒌𝒔𝒊𝒎𝒖𝒎
𝒌𝒆𝒕𝒊𝒏𝒈𝒈𝒊𝒂𝒏 𝒎𝒂𝒌𝒔𝒊𝒎𝒖𝒎
𝑱𝒂𝒏𝒈𝒌𝒂𝒖𝒂𝒏
Latihan
1. Sebuah benda dilempar dengan sudut elevasi 45° dengan kecepatan awal 10 m/s. Besar dan
1
arah kecepatan pada saat 𝑡 = 2 √2 𝑠𝑒𝑘𝑜𝑛
2. Sebuah peluru ditembakkan dari puncak Menara yang tingginya 500 meter dengan
kecepatan 100 m/s dan arah mendatar. Apabila g = 10 m/s2 maka peluru akan menyentuh
tanah jika dihitung dari kaki Menara adalah pada jarak …. m