Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH - CHÂU
Chöông 1: ÑOÄNG HOÏC CHAÁT ÑIEÅM
1.1 Caùc khaùi nieäm cô baûn:
-
Chaát ñieåm laø 1 vaät coù khoái löôïng, coù kích thöôùc raát nhoû so vôùi khoaûng caùch vaø kích
thöôùc cuûa vaät khaùc.
- Heä chaát ñieåm: laø taäp hôïp nhieàu chaát ñieåm rôøi raïc.
- Vaät raén: laø taäp hôïp nhieàu chaát ñieåm phaân boá lieân tuïc vaø coù moái lieân keát raén
(khoaûng caùch giöõa caùc chaát ñieåm laø khoâng thay ñoåi).
Vd: Ñoáng caùt khoâng phaûi laø vaät rắn do khoaûng caùch thay ñoåi.
Cuïc gaïch: vaät raén.
- Chuyeån ñoäng: laø söï thay ñoåi vò trí cuûa chaát ñieåm trong suoát quaù trình chuyeån ñoäng.
- Heä quy chieáu: laø heä vaät quy öôùc ñöùng yeân ñeå khaûo saùt caùc vaät khaùc chuyeån ñoäng
ñoái vôùi noù. Thöôøng ngöôøi ta gaén heä truïc toïa ñoä vaøo heä quy chieáu.
1.2 Phöông trình chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm:
-
Vectô vò trí cuûa chaát ñieåm:
r
r
r
r
r = x.i + y. j + z.k
x, y, z laø haøm theo thôøi gian t.
⎧x
⎪
Toïa ñoä ñieåm M: ⎨y
⎪z
⎩
-
-
-
Vd:
y
M
r
r
r
Phöông trình chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm M: .
r
j
i
*vectô vò trí
r
* toïa ñoä ñieåm M
k
Z
0
Quyõ ñaïo cuûa chaát ñieåm M: f (x,y,z) = 0: laø taäp hôïp
caùc vò trí cuûa chaát ñieåm trong suoát quaù trình
chuyeån ñoäng.
Muoán tìm phöông trình quyõ ñaïo cuûa chaát ñieåm, ta khöû t ôû phöông trình chuyeån
ñoäng chaát ñieåm: 2 daïng
+ Daïng 1: phöông phaùp theá
+ Daïng 2: sin & cos theo t: aùp duïng sin2 + cos2 = 1
r
r tr
r = i + (t 2 − 2 ) j
2
t
⎧
⎧t = 2 x ≥ 0
⎪x =
M⎨
⇒⎨
2
2
⎪y = t 2 − 2 ⎩y = (2x ) − 2
⎩
⇒ y = 4x 2 − 2 = 0
Giôùi haïn quyõ ñaïo: t > 0 → 2x > 0 → x > 0
x
Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH - CHÂU
r
r
r
r = ( A cos ωt ) i + ( A sin ωt ) j
x
⎧
cos ωt =
⎪
x
A
t
cos
ω
=
⎧
⎪
A
⇒M⎨
⇔⎨
⎩ y = A sin ωt
⎪sin ωt = y
⎪⎩
A
2
2
y
x
sin 2 ωt + cos 2 ωt = 1 ⇔ 2 + 2 = 1
A
A
Tröôøng hôïp naøy khoâng coøn giôùi haïn quyõ ñaïo
r
ϑ
y
1.3 Vectô vaän toác:
r
1/ Vectô vaän toác trung bình: ϑ
r
t1 → M 1 → r1
r
t2 → M 2 → r2
r rr − rr Δrr
ϑ= 2 1=
t2 − t1 Δt
r
2/ Vectô vaän toác töùc thôøi: ϑ
r
r
Δr
ϑ = lim
Δt → 0 Δt
r drr
ϑ=
dt
r r r v
r = xi + y j + zk
r drr dx r dy r dz r
ϑ=
=
i+
j+ k
dt dt
dt
dt
2
2
2
r
⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎛ dz ⎞
ϑ = ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
Vd:
r
r1
z
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
r
Δr
r
r2
x
0
Ñieåm ñaët: ñieåm ñang xeùt
Phöông: tieáp tuyeán vôùi quyõ ñaïo taïi M
Chieàu: cuøng chieàu chuyeån ñoäng
r
Ñoä lôùn: ϑ = ϑ = ϑ 2x + ϑ 2y + ϑ 2z
r
r
r
r = (t + 1)i + t 2 j
r r
r
ϑ = i + 2tj
r
⇒ ϑ = 1 + 4t 2
1.4 Vectô gia toác:
2/ Vectô gia toác töùc thôøi:
r
a
r
r
1/ Vectô gia toác trung bình: a
r
r
r
r
r ϑ 2 − ϑ1 Δϑ
t1 → M 1 → ϑ1
⇒ a=
=
r
t 2 − t1
Δt
t2 → M 2 → ϑ2
r
r
r
r
r Δϑ
Tònh tieán ϑ 2 veà ϑ1 => Δϑ → a =
Δt
ϑ1
y
r
ϑ2
r
a
z
0
r
ϑ2
r
Δϑ
x
Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH - CHÂU
r
Δϑ
r
a = lim
⎧ Ñieåm đặt: ñieåm ñang xeùt M
Δt → 0 Δt
⎪ Phöông: ñöôøng thaúng ñi qua M
r
⎪ Chieàu: höôùng veà beà loõm cuûa quyõ ñaïo
r dϑ
a=
⎪
dt
⎪ Ñoä lôùn:
r
r
r
r
r
⎨
a = ax .i + a y . j + az .k
a = a = a x2 + a y2 + a z2
⎪
r
⎪
2
r dϑ dϑx r dϑ y r dϑz r
2
2
⎪
k
a=
i+
j+
=
⎛ dϑ x ⎞ ⎛ dϑ y ⎞ ⎛ dϑ z ⎞
⎟ +⎜
⎟ +⎜
⎟
dt
dt
dt
dt
⎪ = ⎜
dt ⎠ ⎜⎝ dt ⎟⎠ ⎝ dt ⎠
⎝
⎩
2
2
2
⎛ d 2x ⎞ ⎛ d 2 y ⎞ ⎛ d 2z ⎞
r
a = ⎜ 2 ⎟ +⎜ 2 ⎟ +⎜ 2 ⎟
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
Vd:
r
r
r
r
r
r dϑ
r
ϑ = i + 2tj ⇒ a =
= 0i + 2 j ⇒ a = 02 + 22 = 2
dt
r
Vectô gia toác töùc thôøi ñöôïc chieáu leân phöông tieáp tuyeán vaø phaùp tuyeán, ta coù vectô gia
r
r
toác tieáp tuyeán at vaø vectô gia toác phaùp tuyeán a n .
Vectô gia toác tieáp tuyeán
r
at
⎧
⎪
⎪
⎪⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪⎩
M
Ñieåm ñaët: ñieåm ñang xeùt
r
Phöông: tieáp tuyeán vôùi quyõ ñaïo taïi M (cuøng phöông ϑ )
r
r
r
a
↑↓
ϑ
dϑ < 0 , ϑ2 < ϑ1 : chuyeån ñoäng chậm daàn => t
r
dϑ
Ñoä lôùn: a t = at =
dt
r
Vectô gia toác tieáp tuyeán at ñaëc tröng cho söï biến đổi veà ñoä lôùn cuûa vectô vaän toác. Chieàu
ñaëc tröng: chaäm daàn, nhanh daàn.
r
an
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
r
Chieàu: dϑ > 0 , ϑ 2 > ϑ1 : chuyeån ñoäng nhanh daàn => at ↑↑ ϑ
Ñieåm ñaët: ñieåm ñang xeùt
Phöông: ñt ⊥ tieáp tuyeán vôùi quyõ ñaïo taïi M
Chieàu: höôùng vaøo taâm cuûa voøng troøn quyõ ñaïo taïi M
Ñoä lôùn: a n =
ϑ2
R
(R: baùn kính quyõ ñaïo taïi M)
r
r
Do ñoù ñeå tìm baùn kính cong: phaûi coù ñoä lôùn ϑ vaø a n .
r
Vectô gia toác phaùp tuyeán a n ñaëc tröng cho söï thay ñoåi veà phöông cuûa vectô vaän toác.
r
an nhoû => R lôùn
Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH - CHÂU
r
ϑ
r
ϑ1
r
an1
r
ϑ2
r
an2
r
an lôùn => R nhoû
Vectô vaän toác töùc thôøi:
r r r
a = at + a n
r
a = at2 + a n2
r
a ñaëc tröng cho söï thay ñoåi veà ñoä lôùn vaø phöông cuûa vectô vaän toác.
1.5 Chuyeån ñoäng thaúng:
Quyõ ñaïo laø ñöôøng thaúng: → R = ∞ → a n = 0 (vì a n =
ϑ2
; R = ∞ → an = 0 )
R
Neân ñöa chuyeån ñoäng thaúng veà 1 truïc -> chæ caàn 1 thaønh phaàn ñeå bieåu dieãn.
r
r
r = x.i → x
r
r
dx
ϑ = ϑ x i → ϑ ~ ϑx =
dt
r
dϑ
d 2x
r
a = ax i → a ~ ax = x = 2
dt
dt
r uuuuur
1/ Chuyeån ñoäng thaúng ñeàu: ϑ = const
(
)
x
t
dx
ϑ=
= const ⇒ dx = ϑdt ⇔ ∫ dx = ϑ ∫ dt ⇔ x = ϑt + x0
dt
x0
0
r
2/ Chuyeån ñoäng thaúng thay ñoåi ñeàu: (a = const )
r
r
r uuuuur
an = 0 ⇒ a = at = const
ϑ
dϑ
dx
→ ∫ dϑ = a ∫ dt ⇒ ϑ = at + ϑ0 =
dt
dt
0
ϑ0
a=
x
t
x0
0
t
⇒ ∫ dx = ∫ (at + ϑ0 )dt ⇔ x − x 0 =
1 2
at + ϑ0 t
2
Hay:
1 2
at + ϑ0 t + x0
2
ϑ 2 − ϑ 0 = 2a ( x − x 0 )
r
cuøng chieàu ϑ → chuyeån ñoäng nhanh daàn ñeàu
r
ngöôïc chieàu ϑ → chuyeån ñoäng chaäm daàn ñeàu
x=
r
a
r
a
Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH - CHÂU
1.6 Chuyeån ñoäng troøn: quyõ ñaïo laø ñöôøng troøn ⇒ R = const
r
1/ Vectô vaän toác goùc ω :
r
ω
r
ω
r
ϑ
r
at
r
R
r
an
⎧
⎪
⎪⎪
⎨
⎪
⎪
⎪⎩
Ñieåm ñaët: ∀ ñieåm ∈ truïc voøng troøn quyõ ñaïo (vectô truïc)
Phöông: truïc cuûa voøng troøn quyõ ñaïo
Chieàu: theo quy taéc vaën nuùt chai
⎛S⎞
d⎜ ⎟
r
d
1 dS ϑ
R
=
= ⎝ ⎠= .
Ñoä lôùn: ω = ω =
dt
R dt R
dt
r r r
Lieân heä giöõa ϑ , ω , R :
r
β
r
2/ Vectô gia toác goùc: β
r
β
R
=
ω 2 .R 2
r
r r r
r
at = β × R ( at cuøng chieàu ϑ : nhanh daàn)
R
= ω 2 .R
a = a + a = R ω4 + β 2
2
t
2
n
3/ Chuyeån ñoäng troøn ñeàu:
r
ϑ = const ⎫⎪
⎬ ⇒ a n = const
R = const ⎪⎭
r
r r
at = 0 → a = a n
r
ω = const
θ
r
⎛ϑ ⎞
d⎜ ⎟
r
dω
1 dϑ at
R
Ñoä lôùn: β = β =
=
= ⎝ ⎠= .
dt
dt
R dt
R
at = β .R
ϑ2
r
Ñieåm ñaët: ∀ ñieåm ∈ truïc voøng troøn quyõ ñaïo (vectô truïc).
Phöông: truïc cuûa voøng troøn quyõ ñaïo .
r
r
Chieàu: dω > 0 → β cuøng chieàu ω (chuyeån ñoäng nhanh daàn)
r
r
dω < 0 → β ngöôïc chieàu ω (chuyeån ñoäng chaäm daàn)
⎧
⎪
⎪
⎪⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩⎪
r r r
Lieân heä giöõa at , β , R :
an =
r
ϑ =ω×R
dθ
ω=
⇒ ∫ dθ = ω ∫ dt ⇒ θ = ωt + θ 0
dt
0
θ0
t
4/ Chuyeån ñoäng troøn thay ñoåi ñeàu:
Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH - CHÂU
r
β = const ⎫
⎬, a t = β .R ⇒ at = const
R = const ⎭
β=
Maø: ω =
ω
dω
⇒ ∫ dω = β ∫ dt ⇒ ω = βt + ω 0
dt
ω0
0
t
θ
1
dθ
⇒ ∫ dθ = ∫ (β t + ω 0 )dt ⇒ θ = βt 2 + ω 0 t + θ 0
2
dt
θ0
0
t
ω 2 − ω 02 = 2 β (θ − θ 0 )
r
1.7 Chuyeån ñoäng trong gia toác g :(chuyeån ñoäng parabol)
r
r r
a = g = − gj (1)
r
r
r
r dϑ
a=
⇒ dϑ = − gj .dt
dt
r
ϑ
r t r
⇔ ∫ dϑ = ∫ − gj .dt
r
ϑ0
r
0
r r
r
r
= − gt. j t0 ⇒ ϑ − ϑ0 = − gt. j
r
r
r
Maø: ϑ0 = (ϑ0 cos α )i + (ϑ0 sin α ) j
r
r
r drr
⇒ ϑ = (ϑ0 cos α ) i + ⎡⎣( − gt ) + ϑ0 sin α ⎤⎦ j =
(2)
1424
3
144
42444
3
dt
⇔ϑ
r
ϑ
r
ϑ0
ϑx
ϑy
r
r
t
r
r
r
⇒ ∫ dr = ∫ ⎡⎣(ϑ0 cos α ) i + ( − gt + ϑ0 sin α ) j ⎤⎦dt
r
r0
0
r
maø: ϑ = ϑ x2 + ϑ y2
r ⎧ 1
r
r r
⎫r
r − r0 = (ϑ0 cos α t ) i + ⎨− gt 2 j + (ϑ0 sin α t ) ⎬ j
⎩ 2
⎭
r ⎡ 1
r r
⎤r
⇔ r − r0 = ϑ0 ( cos α ) ti + ⎢ − gt 2 + ϑ0 ( sin α ) t ⎥ j
⎣ 2
⎦
maø:
r
r
r0 = hj
r ⎡ 1
r
⎤ r
⇒ r = ⎡⎣ϑ0 ( cos α ) t ⎤⎦ .i + ⎢ − gt 2 + ϑ0 ( sin α ) t + h ⎥ . j
14
4244
3
2
⎣14444
244443⎦
x
y
=> phöông trình quyõ ñaïo:
x
⎧
⎪⎪ x = (ϑ0 cos α ) t ⇒ t = ϑ cos α
0
M ⎨
⎪ y = − 1 gt 2 + ϑ sin α t + h
0
⎪⎩
2
=>
y=−
g
x 2 + ( tgα ) .x + h
2ϑ .cos 2 α
2
0
(3)
(4)
Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH - CHÂU
Caùc vaán ñeà thöôøng gaëp:
•
ÔÛ ñoä cao cöïc ñaïi: (B): tieáp tuyeán naèm ngang → ϑ y = 0 ; anB = g
ϑ sin α
ϑ By = 0 ⇒ ϑ Bx = ϑ0 cos α = ϑ B =>
tB = 0
g
Ta coù: a n =
ϑ2
R
=>
ϑ B2
RB =
=
r
r
an
(Vì a ↓↓ g ⇒ a tB = 0, anB = g )
•
⇒ yB =
•
r
ϑB
g
r
ϑ0
Ñoä cao max: theá tB vaøo (1)
1
⇒ y = − gt 2 + (ϑ0 sin α ) t + h
2
ϑ sin α
1 ϑ 2 sin 2 α
⇒ yB = − g. 0 2
+ ϑ0 sin α 0
+h
g
g
2
1 ϑ sin α
+h
g
2
2
0
B
ϑ02 cos 2 α
2
α
A
r
g
r
r0
M
r
r
r
r
g
ϑ
0
Tại điểm chạm đất (C):
1
* Th ời gian chạm đất; yc = − gtc 2 + ϑ0 sin α tc + h = 0 ⇒ tc > 0
2
g
* Điểm chạm đất cách chân điểm ném: yc = − 2
xc 2 + ( tgα ) .xc + h = 0 ⇒ xc > 0
2
2ϑ0 .cos α
•
Khi ném tại mặt đất (h=0)
tC =
2ϑ0 sin α
g
2ϑ0 2 sin α .cos α ϑ0 2 sin 2α
=
g
g
2
2
1 ϑ0 sin α
*Độ cao cực đại: yB =
2
g
*Tầm xa : xC =
⇒ Ñeå xC max α = 45o
* Baùn kính cong cuûa quyõ ñaïo taïi C: ( at=gsinα ; an=gcosα ; ϑc=ϑ0 )
RC =
ϑC2
an
=
ϑo2
g. cos α
@Hoûi goùc α?: ϑ0 , xC cho tröôùc
sin β =
xC .g
ϑo2
⎧α = β
⎧2α = β
⎪ 1
2
= sin 2α ⇒ ⎨
⇒⎨
⎩2α = π − β
⎪α 2 = π − β
2
2
⎩
C
x
Giảng viên chính ĐHBKTPHCM: Th.S NGUYỄN – MINH - CHÂU
1.8 Pheùp bieán ñoåi vaän toác – gia toác:
r r r
⎧r = r '+ ro
⎪r r r
⎨ϑ = ϑ '+ϑo
⎪ar = ar '+ ar
o
⎩
•
r
r
r
ϑ t = ϑ ' t +ϑ n
b
n
b
Quan nieäm cô hoïc coå ñieån:
Thôøi gian coù tính tuyeät ñoái, khoâng phuï thuoäc vaøo heä quy chieáu. Trong khi vò trí, khoâng
gian coù tính töông ñoái, phuï thuoäc vaøo heä quy chieáu.
Xeùt 2 heä quy chiếu O, O’ ; vaø O’ chuyeån ñoäng tònh tieán so vôùi O. khi ñoù chuyển động
ñieåm M đ/v O và O’:
r
r
r
O : r = xi + yj + zk
r
r
r
O ' : r ' = x 'i + y ' j + z ' k
uuuur uuuur uuuuur
y’
M
⇒ OM = OO ' + O ' M
y
hay:
r r r
r = r '+ ro
r
r r r
r
ϑ = ϑ '+ϑo
r
r'
r r r
a = a '+ a o
r
⎧ϑ :
⎪⎪ r
⎨ϑ ':
⎪r
⎪⎩ϑo :
r
⎧a :
⎪r
⎨a ' :
⎪ar :
⎩ o
r
r0
Vaän toác ñieåm M so vôùi O
Vaän toác ñieåm M so vôùi O’
Vaän toác cuûa O’ so vôùi O
Gia toác ñieåm M so vôùi O
Gia toác ñieåm M so vôùi O’
Gia toác cuûa O’ so vôùi O
z
0
z’
0
x’
x