Determinantes
1. Encontre o número de inversões em cada uma das seguintes permutações de S =
{1, 2, 3, 4, 5}
a) 52134
c) 42135
e) 35241
b) 45213
d) 13542
f) 12345
2. Utilizando a definição, calcule os determinantes das matrizes

"
#
1 2
3

3 −2

A=
B =  4 −2 3
4 5
2 5 −1




3. Calcule os determinantes
1 8
a)
b)
7 4
1
0
2
1
2
1
1 −1 2
4. Determine os valores dos parâmetros a, b e c, de modo que as matrizes seguintes sejam
singulares
"
a)
b−a
a
a
b+a


#
1 −1 1



b)  −1 c 0 

3
1 2
5. Das matrizes que se seguem, inverta as que forem

"
#
"
#
1

1 1
2 6
A=
B=
C=
 −1
0 1
3 9
−1
invertı́veis

−1 1

1 0 

1 2

2 −3
2




D=
1
−1
0


0 0 −1
6. Calcule os determinantes seguintes utilizando uma, e apenas uma, propriedade
1 20 30
a)
0
0
0
7 56 32
tpa
b)
1
1
1
1
1
1
7 56 32
−2 −2 −2
1 2 3
c)
2 4 6
1 0 1
d)
−6 −2 −6
3
2
3
1
7. Calcule o determinante seguinte utilizando uma, e apenas uma, propriedade

−1
9
0
−2
k
1
0
0
3
7
0
0
0
2
2 1 −1
3

 1 0 1
1
8. Considere a matriz M = 
 3 1 −2 1

4 0 1 −1
propriedades.
−1 0



, calcule o seu determinante aplicando


9. Determine a, b e c de forma a que as matrizes seguintes sejam regulares



1
1 −1
"
#
1 1 1


 1

2
c
a a
C=
A=
B=
1 b b 



4 2a
 −4 −1 3
0 1 2
−1 2 −1

2 0
2
1

 1 1 1 −1
10. Sendo A = 
 0 2 −1 1

2 1 2 −1
0


1 

c 

c






a) Calcule det(A);
b) Diga, justificando, se A é uma matriz regular e, em caso afirmativo, determine a sua
matriz inversa;
c) Represente uma matriz de 5ª ordem cujo determinante seja igual ao determinante
de A.
11. Sejam A = [aij ] e B = [bij ] matrizes regulares.
a) Sabendo que det(A · B) = det(A) · det(B), mostre que det(A) · det(A−1 ) = 1;
b) Mostre que det(A + B) ̸= det(A) + det(B).
tpa
2
12. Diga, justificando e utilizando apenas propriedades dos determinantes, se são verdadeiras ou falsas as igualdades
a)
b)
x+2 x+3
y+1
3+x 4+x
5+y
y
2y
3x + 2
x
y
x
x + z y + x 2x
z
c)
x
y
3+x 4+x
y
2y
2
3
+ 3+x 4+x
5+y
3x + 2
y
2y
1
5+y
3x + 2
x
y+1
3+x 4+x
5+y
2y
=
x
=0
x+2 x+3
y
x
3x + 2
=
x
x
y
3
4
5
+
y 2y 3x + 2
2
3
1
x
x
y
y 2y 3x + 2
13. Sejam A e B matrizes quadradas da mesma ordem. Diga, justificando, se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações
a) |A| ≥ 0
b) |A| = 0 se e só se A = 0
c) |−A| = − |A|
d) |AB| = |BA|
14. Utilizando propriedades dos determinantes, mostre que, sendo x ̸= y, x ̸= z e y ̸= z, se
x x 2 1 + x3
tem
y y2 1 + y3
= 0 se e só se 1 + xyz = 0.
z z2 1 + z3
15. Sendo n e m números naturais, mostre, utilizando apenas propriedades dos determi1 m n
nantes, que
m2
n2
m
n2
m2
n
é múltiplo inteiro de n − m.
16. Determine, utilizando apenas propriedades dos determinantes, o valor de k tal que
e|A| = 1, sendo
tpa

1

A=

2
−2
3k − 1
3
k + 2 −3


2k 

−2
3
17. Utilizando apenas propriedades dos determinantes, decomponha num produto de factores lineares
2 a + 1 a2
2 b + 1 b2
2 c + 1 c2
18. Utilizando apenas propriedades dos determinantes, prove que
a)
1
2
3
4
3
5
9
10
101 202 305 408
0
0
1
=0
2
a+b b+c c+d d+a
b)
b+c c+d d+a a+b
c+d d+a a+b b+c
=0
d+a a+b b+c c+d
a−b d−e g−h
c)
b−c e−f
h−i
=0
c−a f −d i−g
d)
a
b
c
d
a
a+b
a+b+c
a+b+c+d
a 2a + b 3a + 2b + c
4a + 3b + 2c + d
= a4
a 3a + b 6a + 3b + c 10a + 6b + 3c + d
19. Utilizando apenas propriedades dos determinantes, calcule
a a a a
a)
a b b b
d)
a+b
−1
0
a
2a + b
a
a + 3b −1 − 2a − b 2b
a b c c
a b c d
1 bc bc2 + b2 c
b)
1 ca ca2 + c2 a
e)
x+z y x
x+y y x
2x
tpa
x x
3a − b
a
b−a
2b − 2a
−a
3a − b 5a − 3b 2a − b
1 ab ab2 + a2 b
c)
2a
a b c
f)
c a b
b c a
4
20. Utilizando apenas propriedades dos determinantes, determine as raı́zes das equações
x a b c
1+x
2
3
4
1
2+x
3
4
1
2
3+x
4
1
2
3
4+x
a)
e)
=0
x x d e
x x x x
1
1
1
x+1
a+1
b+1
2 0 x
b)
c)
0 x 2
f)
=0
=0
x 2 0
x2 + x a 2 + a b 2 + b
1
−x − 2 −13x − 6 7x − 10
x
1
x x2 2
2 x
d)
=0
x x x f
3
g)
=0
4
a
a
a
a−x
b
b
b−x
b
c
c−x
c
c
d−x
d
d
d
3x − 5
−8 − 6x
3x + 2
14x + 19 11 − 6x
−x
a
b
c
a
−x
c
b
b
c
−x
a
c
b
a
−x
h)
=0
4x − 6
=0
=0
21. Utilizando apenas propriedades dos determinantes, mostre que
a b c d
a)
b c d a
= 0 se a + b + c + d = 0
c d a b
d a b c
b)
c)
tpa
b2 + c 2
a2
a2
b2
a2 + c 2
b2
c2
c2
a2 + b 2
x+z
y+z
2z
0 −c2 −b2
=2
b2
a2
0
c2
0
a2
w+z
k + x2 k + y 2 k + z 2 k + w 2
yzw
xzw
xyw
xyz
1
1
1
1
=
1 x
x2
x3
1 y
y2
y3
1 z
z2
z3
1 w w2 w3
5