Ths. Nguyễn Thị Lệ Nhung
Toán Cao Cấp C-C1
Phần I : CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
1. Giả sử chi phí sản xuất ra x sản phẩm của công ty A là: C(x) = 5x + 200 triệu đồng. Chi phí sản
xuất ra sản phẩm thứ 3 là: C(3)-C(2)=
A. 215 triệu đồng B. 210 triệu đồng C. 5 triệu đồng D. 10 triệu đồng
2. Doanh thu (triệu đồng) của công ty Thành Đạt khi sản xuất ra x sản phẩm được cho bởi: R(x) =
- 3x2 + 140 x . Doanh thu trung bình của mỗi sản phẩm khi sản xuất 10 sản phẩm là: =R(x)/x
A. 110 triệu đồng B. 120 triệu đồng C. 1100 triệu đồng D. 1200 triệu đồng
3. Công ty A nhận định rằng, khi sản xuất x sản phẩm thì giá bán của mỗi sản phẩm là p = 120 - x
(nghìn đồng). Hàm doanh thu của công ty là: Doanh thu= Giá*số đơn vị
A. 120 - x
B. x2 - 120 x
C. 120 - x2
D. 120 x - x2
4. Công ty A nhận định rằng, khi sản xuất x sản phẩm thì giá bán của mỗi sản phẩm là p = 120 - x
(nghìn đồng). Biết rằng chi phí sản xuất x sản phẩm là C(x) = x2 + 5x + 300 (nghìn đồng). Hàm lợi
nhuận của công ty là: P= R-C = (Giá bán – chi phí 1 đơn vị)*số đơn vị
A. 2x2 - 115x + 300
B. -2x2 + 115x - 300
C. 120 x2 - x3
D. x3 + 5x2 + 300x
5. Biểu thức đại số của hàm tuyến tính có dạng:
A. y = a B. y = -a x + b C. y = -a x - b D. y = a x + b , a khác 0
6. Một chiếc xe ủi đất đã được mua bởi một công ty xây dựng với giá là 224,000$ và giá trị của nó
sau 8 năm là 100,000$. Biết rằng giá trị của xe ủi là một hàm tuyến tính theo thời gian. Vậy hàm
biểu diễn giá trị V(x) của xe ủi sau x năm là:
A. V(x) = 8,000x + 224,000
B. V(x) = 100,000x – 224,000
C. V(x) = - 15,500x + 224,000
D. V(x) = 15,500x + 224,000
7. Các nhà kinh tế nhận định rằng, giá của mặt hàng S trên thị trường đang giảm với một tốc độ
không đổi là 5000 đồng/ tháng. Khi đó hệ số góc a của hàm biểu diễn giá mặt hàng S là:
A. a = 5000
B. a = 6000
C. a = -6000
D. a = - 5000
8. Các nhà kinh tế nhận định rằng, giá của mặt hàng S trên thị trường đang giảm với một tốc độ
không đổi là 5000 đồng/ tháng. Biết giá mặt hàng S hiện tại là 230 nghìn đồng. Hàm biểu diễn giá
p(x) của mặt hàng S theo thời gian x là:
A. p(x) = -5000x +230.000
B. p(x) = -5000x + 230
C. p(x) = 5000x + 230.000
D. p(x) = 5000x + 230
9. Khách sạn Thăng Long có 120 phòng hoạt động hết công suất mỗi đêm khi giá cho thuê mỗi
phòng 5 (triệu đồng). Khách sạn ước tính rằng cứ tăng giá cho thuê phòng 0.1 (triệu đồng) thì sẽ có
2 phòng bị bỏ trống. Hãy xác giá cho thuê của mỗi phòng để doanh thu mỗi đêm của khách sạn lớn
nhất ?
A. 6 triệu đồng
B. 5 triệu đồng
C. 5.2 triệu đồng
1
D. 5.5 triệu đồng
Ths. Nguyễn Thị Lệ Nhung
Toán Cao Cấp C-C1
10. Bạn A gửi 300 triệu đồng vào Ngân hàng Vietcombank với lãi suất 6%/năm. Bạn A chọn
phương thức tính lãi theo tháng. Hãy tính thời gian tối thiểu để bạn A nhận được số dư là 350 triệu
đồng khi đáo hạn. A=P*(1+ r/m)m*t
A. 3.123 năm
B. 2.412 năm
C. 2.575 năm
D. 2.812 năm
11. Nếu 1000$ được đầu tư trong tài khoản với lãi suất 10% mỗi năm và lãi được tính theo tháng.
Thì số tiền có trong tài khoản sau 10 năm là:
A. 2707.04$
B. 2717.5$
C. 2603.9$
D. 2809.2$
11. Một người muốn mua một lô đất trị giá 3 tỷ trong 2 năm tới. Vậy người đó phải đầu tư ngây từ
bây giờ là bao nhiêu để thực hiện điều đó ? Biết rằng lãi suất hằng năm không đổi là 7.5% và tiền
lãi được tính 2 tháng một lần  m=6.
A. 2.589 tỷ đồng
B. 2.584 tỷ đồng
D. 2.582 tỷ đồng
C. 2.583
12. Trong thời gian bao lâu thì số tiền trong tài khoản sẽ tăng gấp đôi, biết rằng lãi suất hằng năm
là 10% và tiền lãi được tính theo năm ? A=2P
A. 7.05 năm
B. 6.93 năm
C. 6.96 năm
D. 7.27 năm
13. Người ta ước tính rằng sau t năm tính từ bây giờ, dân số ở một vùng ngoại ô sẽ là:
P(t)  20 
8
nghìn người. Hỏi dân số sẽ tăng bao nhiêu trong năm thứ bảy ?
t 1
A. 140 người
B 14 người
C. 1.4 người
D. 0.14 người
14. Một người sở hữu một món đồ cổ có giá trị hiện tại là 100 triệu đồng. Biết giá trị của nó tăng
với tốc độ không đổi và sau 5 năm nó có giá trị 350 triệu đồng . Hỏi giá trị của món đồ cổ sẽ là bao
nhiêu sau 12 năm? V(x)= 50x+100
A. 600 triệu đồng
B. 650 triệu đồng
C. 700 triệu đồng D. 750 triệu đồng
15. Công ty A sản xuất x máy tính bảng mỗi ngày thì tổng chi phí là :
C(x) = x2 + 5x + 60 triệu đồng. Dùng hàm chi phí cận biên hãy ước tính chi phí sản xuất của
điện thoại thứ 20?  C’(19)
A. 45 triệu đồng/máy
B. 43 triệu đồng.
C. 44 triệu đồng
D. 42 triệu đồng.
16 . Một Công ty sản xuất x ti vi mỗi ngày thì tổng doanh thu là R(x)  3x  150x triệu đồng.
Dùng hàm doanh thu cận biên hãy tính doanh thu gần đúng khi sản xuất ti vi thứ 11 ? R’(10)
2
A. 87 triệu đồng
B. 90 triệu đồng
C. 84 triệu đồng
D. 1287 triệu đồng
17. Ông An gửi ngân hàng với số tiền là 2 tỷ đồng, với lãi suất hằng năm là 8% và lãi được tính
liên tục. Hãy tìm tốc độ thay đổi của số dư trong tài khoản sau 1 năm ? A=P*e^(r*t)
A. 2.167 tỷ đồng
B. 0.167 tỷ đồng/năm
C. 0.5 tỷ đồng/năm D. 0.173 tỷ đồng/năm
2
Ths. Nguyễn Thị Lệ Nhung
Toán Cao Cấp C-C1
18. Một công ty nhận định rằng, khi sản xuất x sản phẩm thì hàm chi phí và hàm doanh thu (triệu
đồng) là: C(x)  x  30x  120 ; R(x)  200x  5x . Dùng hàm lợi nhuận cận biên, tính
gần đúng lợi nhuận khi sản xuất và bán sản phẩm thứ 5 ? P(x)= -6x2 +170x -120  P’(4)
2
A. 110 triệu đồng
2
B. 122 triệu đồng
C. 98 triệu đồng
D. 580 triệu đồng
19. Tổng lợi nhuận (tính bằng đô la) từ việc bán x ván trượt là
P(x) = 30x - 0.3x2 – 250
Sử dụng lợi nhuận cận biên tính gần đúng lợi nhuận từ việc bán ván trượt thứ 20. P’(19)
A . 18 đôla
B. 18.3 đôla
C. 18.6 đôla
D. 19 đôla
20. Nhịp tim trung bình y (nhịp đập mỗi phút) của một người khỏe mạnh cao x inch được cho xấp
xỉ bởi
y
400
. Ước tính nhịp tim sẽ thay đổi như thế nào khi chiều cao tăng từ 49 đến 50 inch.
x y’(x0)*(x1-x0)
A. Nhịp tim tăng 0.583 nhịp
B. Nhịp tim giảm 0.583 nhịp
C. Nhịp tim tăng 0.566 nhịp
D. Nhịp tim giảm 0.566 nhịp
21. Một quán cà phê tại trường đại học bán được 400 ly cà phê mỗi ngày với giá là 2.60$. Một
khảo sát thị trường cho thấy cứ giảm 0.1$ trong giá bán thì sẽ bán thêm được 40 ly. Hỏi quán cà
phê nên bán với giá bao nhiêu để thu được doanh thu lớn nhất?
A. 1.8 $/ly
B. 0.8 $/ly
C. 8 $/ly
D. 2 $/ly
22. Một công ty sẽ bán N quyển sách sau khi chi tiêu x nghìn $ cho việc quảng cáo quyển sách mới
này, được cho bởi
N  60x  x 2
5  x  30
N’(8)*(8,2-8)
Ước tính sự tăng lên trong doanh số bán hàng khi tăng ngân sách quảng cáo từ 8000$ đến 8200$ ?
A. 8.76 quyển sách. B. 8.8 quyển sách. C. 8 quyển sách.
D. 8.5 quyển sách.
23. Một công ty thuê thuyền đánh cá mua một cái thuyền mới có giá là $220,000 và giả sử rằng nó
có giá trị là $130,000 sau 15 năm. Hỏi khi nào giá trị của thuyền rơi xuống dưới $100,000?
V(x)=-6x+220
A. Sau 20 năm. B. Sau 18 năm. C. Sau 19 năm. D. Sau 17 năm.
24. Một nghiên cứu về năng suất làm việc vào buổi sáng tại một nhà máy nào đó cho thấy rằng,
trung bình một người công nhân đến làm việc lúc 8 giờ sáng sẽ sản xuất được
f (x)  x3  4x2  20x đơn vị sau x giờ làm việc. Hỏi người công nhân sẽ sản xuất được bao nhiêu
đơn vị giữa 10 giờ và 11 giờ sáng? f(3)-f(2)
A. 25 đơn vị.
B. 24 đơn vị.
C. 23 đơn vị.
D. 21 đơn vị.
25. Một nghiên cứu chỉ ra rằng sau x năm tính từ năm 2012, dân số của thành phố A sẽ tăng với
tốc độ f '(x)   9x 2  4x  5  người/năm. Biết năm 2015, dân số của thành phố là 6000 người. Hỏi
dân số của thành phố là bao nhiêu vào năm 2020?
f(2020)= f(2020)- f(2015) +f(2015)= Tích phân 3 tới 8 của f’(x) + 6000
A. 5922 người B. 7370 người C. 7498 người.
D. 7500 người.
3
Ths. Nguyễn Thị Lệ Nhung
Toán Cao Cấp C-C1
26. Doanh thu cận biên của một cửa hàng thể thao khi bán x đôi giày quần vợt được cho bởi
4
Ths. Nguyễn Thị Lệ Nhung
Toán Cao Cấp C-C1
R '(x)  60  0.02x
với R(x) là doanh thu tính bằng đôla. Biết doanh thu khi bán 100 đôi giày là 8000 đôla. Tính doanh
thu khi bán 2000 đôi giày. R(x)=60x -0.01x2+C  C=2100 
A. 8200 đôla.
B. 81000 đôla
C. 82100 đôla.
D. 82000 đôla.
27. Diện tích A của một vết thương đang lành thay đổi với tốc độ A’(t) = -8t-3, với t là số ngày.
Biết A(1) = 4 cm2. Tính diện tích vết thương sau 8 ngày?
A. 0.0625 cm2
B. 0.625 cm2
C. 0.065 cm2
D. 0.0635 cm2
28. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x)  6x  2x  10
2
A. F (x)  2x  x  10x  C
B. F (x)  3x  x  10x  C
C. F (x)  6x3  x2  10x  C
D. F (x)  12x  2
3
2
3
2
29. Doanh thu cận biên hàng tuần khi bán x sản phẩm được cho bởi
R’(x) = 1000 -2x
với R(x) là doanh thu tính bằng đôla. Hãy tính doanh thu sẽ tăng bao nhiêu khi mức bán tăng từ
200 sản phẩm đến 300 sản phẩm R(300)- R(200)= Tích phân từ 300 đến 200 cuat R’(x)
A. 200000 đôla. B. 210000 đôla C. 160000 đôla. D. 50000 đôla.
30. Tốc độ biến thiên doanh số hàng tháng của một game bóng đá mới phát hành được cho bởi
S '(x) 
2
500x 3
Với x là số tháng tính từ khi trò chơi được phát hành và S(x) là số lượng bản game được bán sau x
tháng. Biết doanh số sau 1 tháng đạt 300 bản. Tính doanh số bán hàng sau 5 tháng?
S(5)= S(5) – S(1) + S(1)= Tích phân từ 1 tới 5 của S’(x) + 300
A. 4386 bản
B. 877 bản.
C. 4275 bản
D. 800 bản.
31. Giá cận biên dp/dx của mức cung cấp x đvsp mỗi ngày tỉ lệ thuận k= 0.03 với giá bán p. Mức
cung bằng 0 với giá $10/đvsp [p(0) = 10]. Hỏi khi mức cung là 50 đvsp thì giá là bao nhiêu?
P= 10*e^(0.03*x)
A. 44 đôla
B. 11 đôla
C. 44.8 đôla
D. 43 đôla
32. Khi một liều thuốc được tiêm cho một bệnh nhân, lượng thuốc Q trong cơ thể sau đó giảm với
tốc độ tỉ lệ thuận với lượng thuốc hiện còn như sau:
Q '(t)  0.3Q
với t là thời gian tính bằng giờ. Biết lượng thuốc tiêm ban đầu là 4ml. Hỏi sau 5 giờ, lượng thuốc
còn lại trong cơ thể là bao nhiêu? Q= 4*e^(-0.3t)
A. 1.2 ml
B. 1 ml.
C. 2.96 ml
D. 0.89 ml
33. Tính các đạo hàm riêng của hàm số f (x, y)  3xy2  4x  5 y  2xy
5
Ths. Nguyễn Thị Lệ Nhung
A. f x  3y  4  3y, f y  6xy  2x  5
2
Toán Cao Cấp C-C1
B. f x  3y  4  2 y, f y  6xy  5  2x
2
6
Ths. Nguyễn Thị Lệ Nhung
Toán Cao Cấp C-C1
C. f x  3y 2  2, f y  6xy  5  2x
D. f x  3y 2  5 y, f y  6xy  5  2x
34. Tính các đạo hàm riêng của hàm số f (x, y)  (3x  2 y)4
A. fx  4(3x  2 y) , f y  8(3x  2 y)
3
B. f x  12(3x  2 y) , f y  8(3x  2 y)
3
C. fx  12(3x  2 y) , f y  8(3x  2 y)
3
3
D. f x  4(3x  2 y) , f y  4(3x  2 y)
3
3
3
3
35. Một nhà máy nhỏ sản xuất hai mẫu ván lướt sóng: mẫu 1 và mẫu 2. Biết hàm chi phí sản xuất
mỗi tháng được cho là
C(x, y) = 6000 + 210x + 300y
trong đó x và y lần lượt là số lượng ván lướt mẫu 1 và 2 được sản xuất hàng tháng. Tìm C(20, 10).
A. 7200
B. 14100
C. 8100
D. 13200
36. Một siêu thị bán hai nhãn hiệu cà phê: nhãn hiệu A với giá $p mỗi pound và nhãn hiệu B với
giá $q mỗi pound. Phương trình đường cầu hàng ngày của nhãn hiệu A và B lần lượt là:
x = 200 - 5p + 4q
y = 300 + 2p - 4q
(cả hai đều tính bằng pound). Tìm hàm doanh thu hàng ngày R(p, q).
A. R( p, q)  200 p  5 p 2  4 pq  300q  4q2
B. R( p, q)  200 p  5 p 2  6 pq  300q  4q2
C. R( p, q)  200  5 p  6 pq  300q  4q
2
2
D. R( p, q)  200 p  5 p 2  6 pq  300  4q2
36. Tìm cực trị của hàm sau: f (x, y)  x 2  2xy  3y 2  4x  8 y  20
B1) Tìm fx và fy. Cho 2 cái nớ =0
B2) Tìm fxx , fyy , fxy. Lập fxx *fyy –[fxy]2
B3) Nếu denta < 0 không đạt cực trị
Nếu denta >0 và fxx<0 đạt cực đại
Nếu denta >0 và fxx>0 đạt cực tiểu
A. Hàm số đạt cực đại tại điểm A(5, 3)
B. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm A(5, 3)
C. Hàm số đạt cực đại tại điểm A(3, 5)
D. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm A(3, 5)
37. Tìm cực trị của hàm sau f (x, y)  x 2  2xy  2 y 2  4x  8 y  20
A. Hàm số đạt cực đại tại điểm A(0, 2)
B. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm A(0, 2)
C. Hàm số đạt cực đại tại điểm A(2, 0)
7
Ths. Nguyễn Thị Lệ Nhung
Toán Cao Cấp C-C1
D. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm A(2, 0)
38. Một công ty sẵn sàng giới thiệu một dòng xe mới thông qua đợt bán hàng trong nước.
Bộ phận nghiên cứu thị trường ước tính doanh thu (tính bằng triệu đôla) sẽ tăng với tốc độ
8
Ths. Nguyễn Thị Lệ Nhung
Toán Cao Cấp C-C1
R'(t)  30 - 5e0.1t , với t là số tháng tính từ khi đợt bán hàng bắt đầu. Biết doanh thu bằng
0 khi bắt đầu.Tìm hàm doanh thu,
A. R(t)  30t  50e0.1t
B. R(t)  30t  50e0.1t  50
C. R(t)  30t  50e0.1t  50
D. R(t)  30t  50e0.1t  50
39. Chi phí cận biên hàng tuần của việc sản xuất x đôi giày quần vợt được cho bởi :
300
, với C(x) là chi phí tính bằng usd. Nếu chi phí cố định là $2,000 mỗi
C '(x)  30 
2x  1
tuần. Tìm hàm chi phí C(x).
A. C(x)  30x 
150
 2x  12
 2150
B. C(x)  30x  300 ln 2x 1  2000
C. C(x)  30x 150 ln 2x 1  2000
D. C(x)  30x 
300
 2x  1
2
 2000
40. Giá trị của một cái máy sẽ giảm dần theo thời gian sử dụng. Giả sử tốc độ giảm giá trị
của máy là: V '(t)  600(t 15) đôla/năm, với V(t) là giá trị của máy sau t năm. Hỏi trong
năm thứ sáu, giá trị của máy giảm bao nhiêu? Tích phân từ 5 đến 6 của V’(t)
A. Giảm 5,100 đôla
B. Giảm 6,800 đôla
C. Giảm 7,500 đôla
D. Giảm 5700 đôla
40. Người ta dự đoán rằng sau t năm tính từ năm 2010, số khách du lịch đến thành phố A
tăng với tốc độ f '(t)  30e0.2t trăm người/năm. Biểu thức nào sau đây biểu diễn lượng
khách du lịch đến thành phố A tăng trong suốt năm 2018?
9
A. 30e0.2tdt
8
8
8
B. 30e0.2tdt
C.  30e0.2tdt
7
1
8
D.  30e0.2tdt
0
600
.
(2x  20)2
Nhà sản xuất sẵn sàng cung cấp 40 chai nước giặt mỗi ngày với giá 5 đôla mỗi chai. Tìm
biểu thức giá theo mức cung.
300
300
7
A. p(x) 
B. p(x) 
8
2x  20
2x  20


300
600
5
C. p(x) 
D. p(x) 
 11
2x  20
2x  20
41. Giá cận biên của mức cung cấp x chai nước giặt mỗi ngày là: p '(x) 
9
Ths. Nguyễn Thị Lệ Nhung
Toán Cao Cấp C-C1
42. Năm 2015, mức tiêu thụ đồng tinh chế của nước Mỹ là 30 nghìn tấn. Từ năm 2010, mức
tiêu thụ đồng tăng với tốc độ là: f '(t)  0.02t  10 nghìn tấn/năm, với t là số năm tính từ
năm 2010. Tìm hàm f (t) .
A. f (t)  0.01t 2  10t  20.25
B. f (t)  0.01t 2  10t  25.25
C. f (t)  0.01t 2  10t  20.25
D. f (t)  0.02t 2  10t  30
43. Nhà quản lí của một công ty dầu mỏ ước tính rằng dầu sẽ được bơm lên ở một giếng
dầu với năng suất : R(t) 
100
t 1
10 (tính bằng ngàn thùng trên năm) sau t năm kể từ khi
bắt đầu bơm. Hỏi số thùng dầu mà giếng dầu sản xuất được trong bảy năm đầu tiên là bao
nhiêu.
A. 168.6 ngàn thùng.
B. 22.5 ngàn thùng.
C. 198.63 ngàn thùng.
D. 277.94 ngàn thùng.
44. Tìm cực trị của hàm sau: f (x, y)  x2  y2  2x  6 y  4
A. Hàm số đạt cực đại tại điểm A(-1, -3)
B. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm A(-1, -3)
C. Hàm số đạt cực đại tại điểm A(-3, -1)
D. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm A(1, 3)
45. Tìm cực trị của hàm sau: f (x, y)  x  2xy  2 y  2x  6 y  4
2
2
A. Hàm số đạt cực đại tại điểm A(5, 4)
B. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm A(5, 4)
C. Hàm số đạt cực đại tại điểm A(4,5)
D. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm A(-5, -4)
46. Tìm cực tiểu của hàm f (x, y)  x2  y2 thoả điều kiện x  y  10
A. Hàm số đạt cực đại tại điểm A(5, 5)
B. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm A(5, 5)
C. Hàm số đạt cực đại tại điểm A(-5,-5)
D. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm A(-5, -5)
47. Tìm cực đại của hàm f (x, y)  6xy  4x thoả điều kiện 2x  3y  18

A. Hàm số đạt cực đại tại điểm A  4,


10 


3

10
Ths. Nguyễn Thị Lệ Nhung
Toán Cao Cấp C-C1
 B. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm A 4, 10 
 3 



 C. Hàm số đạt cực đại tại điểm A 10 , 4 
 3 



 D. Hàm số đạt cực đại tại điểm A 4,  10 

3 








Phần 2: CÂU HỎI TRẢ LỜI NGẮN
21. (0.25 Point)
Bạn A gửi 200 triệu đồng vào Ngân hàng Agribank với lãi suất 6%/năm. Bạn A chọn phương thức
tính lãi theo kỳ hạn 2 tháng. Hãy tính thời gian để bạn A nhận được số dư là 250 triệu đồng.
22. (0.25 Point)
Một người mua một chiếc ô tô với giá 20,000 đôla. Sau 7 năm, chiếc ô tô có giá trị là 13,000 đôla.
Biết giá trị của chiếc xe giảm tuyến tính theo thời gian. Hãy xác định hệ số góc của hàm biểu diễn
giá trị của chiếc ô tô theo thời gian?
23. (0.25 Point)
Tổng sản phẩm quốc nội GDP của một quốc gia A tăng với tốc độ không đổi. Vào năm 2000 GDP
là 250 tỷ đôla, và năm 2005 là 400 tỷ đôla. Nếu chiều hướng vẫn duy trì thì GDP của quốc gia đó
vào năm 2020 là bao nhiêu?
24. (0.25 Point)
Người ta ước tính rằng sau t năm tính từ bây giờ, dân số ở một vùng ngoại ô sẽ là : P(t)  20 
8
t
nghìn người. Hỏi dân số sẽ tăng bao nhiêu trong năm thứ tám ?
25. (0.25 Point)
Giả sử rằng nhu cầu hàng ngày (tính bằng pound) về kẹo trái cây tại giá x $ mỗi pound được cho
bởi: D(x)  1000  20x2 . Nếu giá tăng từ 2.0 $ mỗi pound đến 2.2 $ cho mỗi pound, tính gần
đúng sự thay đổi trong nhu cầu ?
26. (0.25 Point)
Một nghiên cứu dựa trên các ghi chép ở bệnh viện đã đưa ra mô hình toán học thể hiện mối liên hệ
giữa áp suất máu và độ tuổi như sau: P(x) = 40 + 25 ln(x + 1). Trong đó, P(x) là áp suất máu, đo
bằng đơn vị mmHg, x là độ tuổi tính bằng năm. Tính tốc độ thay đổi của áp suất sau 14 năm.
27. (0.25 Point)
Một người trồng cây ăn quả ước tính rằng nếu trồng 40 cây trên một mảnh vườn, thì sản lượng
trung bình trên mỗi cây sẽ là 200 quả. Ông ước tính rằng cứ trồng thêm một cây trên cùng mảnh
đất đó, thì sản lượng trung bình sẽ giảm 4 quả/cây. Hỏi người đó nên trồng bao nhiêu cây để tổng
sản lượng lớn nhất?
28. (0.25 Point)
Một công ty thuê thuyền đánh cá mua một cái thuyền mới có giá là $220,000 và giả sử rằng nó có
giá trị là $130,000 sau 15 năm. Hỏi khi nào giá trị của thuyền rơi xuống dưới $100,000?
29. (0.25 Point)
Công ty A sản xuất x máy tính bảng mỗi ngày thì tổng chi phí là : C(x)  x2  5x  60 triệu
đồng. Dùng hàm chi phí cận biên hãy ước tính chi phí sản xuất của điện thoại thứ 20?
30. (0.25 Point)
11
Ths. Nguyễn Thị Lệ Nhung
Toán Cao Cấp C-C1
Một nhà máy nhận định rằng khi sản xuất q đơn vị sản phẩm thì hàm tổng chi phí (triệu đô) là:
C(q)  3q2  20q  100 và số đơn vị sản phẩm sản xuất sau t giờ là q(t)  5t  t 2 . Tính tốc độ
thay đổi của tổng chi phí sau 2 giờ sản xuất ?
31. (0.25 Point)
Một cửa hàng bán sản phẩm P với giá 15 đôla/đvsp, tại giá bán này thì bán được 120 đvsp trong
một tháng. Cửa hàng dự định tăng giá bán và ước tính nếu giá tăng 1 đôla thì ban ít hơn 10 đvsp
trong một tháng. Hỏi cửa hàng nên bán sản phẩm P với giá bao nhiêu để lợi nhuận hàng tháng lớn
nhất? Biết cửa hàng mua sản phẩm trên từ nhà phân phối với giá 10 đvtt/đvsp.
32. (0.25 Point)
Một người dự định đi du lịch nước ngoài sau 5 năm nữa. Người đó ước tính chi phí cho chuyến du
lịch này là 5000 đôla. Biết lãi suất hiện hành là 6.5%/năm. Hỏi người đó nên đầu tư bao nhiêu tiền
ngay từ bây giờ để đủ tiền cho chuyến du lịch của mình biết tiền lãi được tính kỳ hạn 2 tháng.
2
33. Tổng lợi nhuận (bằng đô la) từ việc bán x tấm lịch là P(x)  22x  0.2x  400 0  x  100
Sử dụng lợi nhuận cận biên tính gần đúng lợi nhuận từ việc bán tấm lịch thứ 30.
34. Một công ty sản xuất và bán ra x máy ảnh kĩ thuật số mỗi tuần. Giá bán hằng tuần– nhu cầu,
chi phí lần lượt như sau :
p = 400 - 0.4x và C(x) = 2000 + 160x
Hỏi Giá bán của máy ảnh, số lượng máy ảnh được sản xuất hằng tuần là bao nhiêu để công ty thu
được lợi nhuận lớn nhất?
35. Doanh thu cận biên hàng tuần khi bán x đôi giày quần vợt được cho bởi
R '(x)  50  0.2x 
200
x 1
với R(x) là doanh thu tình bằng đôla. Biết R(2)= 300. Tìm doanh thu khi bán 1,000 đôi giày.
36. Người ta ước tính rằng sau t năm tính từ năm 2015, GDP của quốc gia A sẽ tăng với tốc độ
6(2t 1) 2  5 tỷ đôla/năm. Hỏi GDP của quốc gia tăng bao nhiêu trong năm 2021?
37. Khi một liều thuốc được tiêm cho một bệnh nhân, lượng thuốc Q trong cơ thể sau đó giảm với
tốc độ tỉ lệ thuận với lượng thuốc hiện còn. Đối với một loại thuốc nào đó, tỷ lệ này là 3% mỗi giờ.
Tức là
Q '(t) 
dQ
 0.03Q
Q(0)  Q
0
dt
với t là thời gian tính bằng giờ. Nếu lượng thuốc tiêm ban đầu là 3 ml [Q(0) = 3], hỏi lượng thuốc
còn lại trong cơ thể sau 10 giờ là bao nhiêu ml (chính xác đến 2 chữ số thập phân)?
38. Giá cận biên dp/dx của mức cung cấp x sản phẩm mỗi ngày tỉ lệ thuận với giá bán p. Mức cung
bằng 0 với giá $10 mỗi sản phẩm [p(0) = 10], và mức cung là 50 sản phẩm với giá $12.84 mỗi sản
phẩm [p(50) = 12.84].
(A) Tìm biểu thức giá theo nguồn cung.
(B) Ở mức cung cấp 100 sản phẩm/ ngày, giá bán là bao nhiêu?
38. Một công ty sản xuất 2 loại bánh A và B. Hàm giá-cầu và chi phí được cho như sau:
p  260  8x  2 y ; q  140  2x  2 y
12
Ths. Nguyễn Thị Lệ Nhung
Toán Cao Cấp C-C1
trong đó $p là giá của một hộp bánh A và $q là giá của một hộp bánh B, x là nhu cầu mỗi ngày
của bánh A, y là nhu cầu mỗi ngày của bánh B. Lập hàm doanh thu hàng ngày của công ty?
39. Một công ty sản xuất 2 loại bánh A và B. Hàm giá-cầu và chi phí được cho như sau:
p  260  8x  2 y ; q  140  2x  2 y
C(x, y)  200  120x  40 y
trong đó $p là giá của một hộp bánh A và $q là giá của một hộp bánh B, x là nhu cầu mỗi ngày
của bánh A, y là nhu cầu mỗi ngày của bánh B và C(x, y) là hàm tổng chi phí. LẬP HÀM tổng
lợi nhuận hàng ngày công ty?
40. Tính các đạo hàm riêng của hàm sau : F(x, y)  3x2 y3  3xy  3x  5 y
41. Tính đạo hàm riêng của hàm sau : F(x, y)  3x2 y3  e2xy tại điểm đã cho Fyx (1, 2)
42. Chi phí bảo trì cho các căn hộ chung cư thường tăng lên khi các tòa nhà cũ đi. Theo hồ sơ lưu
trữ, tốc độ tăng chi phí bảo trì (tính bằng đôla / năm) cho một khu căn hộ A được cho xấp xỉ bằng
C '(x)  18x2  9 x
với x là độ tuổi của khu căn hộ tính bằng năm và C(x) là tổng chi phí bảo trì cho x năm.
a) Tính tổng chi phí bảo trì trong bốn năm đầu tiên.
b) Tính chi phí bảo trì trong năm thứ hai.
43. Nếu lợi nhuận cận biên của việc sản xuất x sản phẩm mỗi ngày được cho bởi
P '(x)  200 
x
4
với P(x) là lợi nhuận tính bằng đôla, Hỏi tổng lợi nhuận sẽ thay đổi như thế nào khi mức sản xuất
tăng từ 10 sản phẩm đến 30 sản phẩm mỗi ngày.
44. Giá cận biên theo nhu cầu hàng tuần của x chai dầu gội trong một nhà thuốc được cho bởi
p '(x) 
4000
(2x  100)2
Tìm biểu thức giá theo nhu cầu nếu nhu cầu hàng tuần là 150 khi giá của một chai dầu gội là $8.
Nhu cầu hàng tuần là bao nhiêu khi giá bán là $7?
45. Tìm cực trị của hàm sau:
f (x, y)  x2  y2  2x  6 y  4
Hàm số đạt cực đại tại (2,2)
46. Tìm cực trị của hàm sau:
f (x, y)  3x2  2xy  2 y2  14x  2 y  10
13
Ths. Nguyễn Thị Lệ Nhung
Toán Cao Cấp C-C1
47. Tìm cực trị của hàm sau: f (x, y)  x3  y3  3xy
48. Tìm cực đại của hàm sau f (x, y)  25  x  y thoả điều kiện: 2x + y =10
2
2
Phần 3 CÂU TỰ LUẬN
27. (3.00 Points)
Một quán cà phê tại trường đại học bán được 400 ly cà phê mỗi ngày với giá là 2.60$. Một khảo
sát thị trường cho thấy cứ giảm 0.1$ trong giá bán thì sẽ bán thêm được 40 ly. Hỏi quán cà phê nên
bán với giá bao nhiêu để thu được doanh thu lớn nhất?
28. (3.00 Points)
Ban điều hành khách sạn Xanh nhận định rằng, khi cho thuê mỗi phòng với giá 6 triệu đồng thì
mỗi ngày khách sạn sẽ có 80 phòng được thuê. Khách sạn tiến hành giảm giá và ước tính rằng cứ
giảm giá cho thuê phòng 0.2 triệu đồng thì mỗi ngày sẽ có thêm 4 phòng được thuê. Hãy xác định
giá cho thuê mỗi phòng để doanh thu mỗi ngày của khách sạn lớn nhất ?
29. Một công ty sản xuất 2 loại bánh A và B. Hàm giá-cầu và chi phí được cho như sau:
p  260  8x  2 y ; q  140  2x  2 y
C(x, y)  200  120x  40 y
trong đó $p là giá của một hộp bánh A và $q là giá của một hộp bánh B, x là nhu cầu mỗi ngày
của bánh A, y là nhu cầu mỗi ngày của bánh B và C(x, y) là hàm tổng chi phí. Hỏi công ty nên
sản xuất bao nhiêu hộp mỗi loại bánh để tổng lợi nhuận hàng ngày lớn nhất?
30. Một công ty sản xuất x đơn vị sản phẩm A và y đơn vị sản phẩm B (cả hai đều tính theo đơn vị
trăm đơn vị mỗi tháng). Hàm lợi nhuận hàng tháng (ngàn USD) được cho bằng
P(x, y)  4x2  4xy  3y2  4x  10 y  81
Hỏi mỗi tháng công ty nên sản xuất bao nhiêu đơn vị mỗi loại để lợi nhuận lớn nhất? Lợi nhuận
lớn nhất là bao nhiêu?
31. Một cửa hàng bán hai loại sản phẩm P1 và P2, giá bán sản phẩm P1 là x đvtt/đvsp và P2 là y
đvtt/đvsp. Tại giá bán này thì cửa hàng sẽ bán được 80  7x  6 y đvsp P1 và 60  5 y  4x đvsp
P2 trong tuần. Biết cửa hàng mua sản phẩm P1 với giá là 30 đvtt/đvsp và P2 với giá 20 đvtt/đvsp
từ nhà sản xuất. Hỏi cửa hàng nên bán hai loại sản phẩm trên với giá bao nhiêu để tổng lợi nhuận
hàng tuần lớn nhất?
33. Hàm sản xuất Cobb- Douglas cho một sản phẩm là N (x, y)  10x0.8 y0.2 , trong đó x là số đơn
vị nhân công và y là số đơn vị vốn cần thiết để sản suất ra N đơn vị sản phẩm. Nếu mỗi đơn vị
nhân công tốn 50$ và mỗi đơn vị vốn tốn 100$, và 5000$ được đầu tư để sản xuất sản phẩm này
thì nên phân bổ giữa nhân công và nguồn vốn như thế nào để sản xuất nhiều sản phẩm nhất. Tìm
mức sản xuất lớn nhất đó?
34. Một khách hàng dùng 560 đô để mua hai loại mặt hàng, biết rằng mặt hàng thứ nhất có gía là 4
đô/ đơn vị và mặt hàng thứ hai có giá là 10 đô/ đơn vị. Giả sử rằng khi người đó mua x đơn vị mặt
1 3
1600x 4 y 4 . Vậy
hàng thứ nhất và y đơn vị mặt hàng thứ hai thì hàm hữu dụng sẽ là
f (x, y) 
khách hàng đó nên mua lần lượt mua bao nhiêu đơn vị mặt hàng thứ nhất và mặt hàng thứ hai để
hàm hữu dụng đạt giá trị lớn nhất ?
14
Ths. Nguyễn Thị Lệ Nhung
Toán Cao Cấp C-C1
15