纠错码的代数理论

纠错码的代数理论冯克勤著清华大学出版社内容简介本书概要介绍半个世纪以来由数字通信的可靠性要求所建立和不断发展的纠错码数学理论。书中不涉及纠错技术和工程具体实现问题，但也介绍了一些纠错译码算法。本书适用于代数专业的研究生和具有较好代数基础的高年级本科生。书中所讲述的知识和方法对于研究信息科学与计算机科学中许多其他问题也会有所帮助。版权所有，翻印必究。举报电话：０１０唱６２７８２９８９１３５０１２５６６７８１３８０１３１０９３３图书在版编目（ＣＩＰ）数据纠错码的代数理论＝ＡｌｇｅｂｒａｉｃＴｈｅｏｒｙｏｆＥｒｒｏｒ唱ＣｏｒｒｅｃｔｉｎｇＣｏｄｅｓ／冯克勤著．— 北京：清华大学出版社，２００５．１０（研究生数学丛书；４）ＩＳＢＮ７唱３０２唱１１２５４唱１ Ⅰ ．纠 … Ⅱ ．冯 … Ⅲ ．教材英文 Ⅳ ．Ｏ１５７．４中国版本图书馆ＣＩＰ数据核字（２００５）第０６８８７３号出版者：清华大学出版社地址：北京清华大学学研大厦ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｔｕｐ．ｃｏｍ．ｃｎ邮编：１０００８４社总机：０１０唱６２７７０１７５客户服务：０１０唱６２７７６９６９责任编辑：陈朝晖封面设计：印刷者：装订者：发行者：新华书店总店北京发行所开本：１７０ × ２３０印张：１０字数：１９３千字版次：２００５年１０月第１版２００５年１０月第１次印刷书号：ＩＳＢＮ７唱３０２唱１１２５４唱１／Ｏ · ４７４印数：１～定价：２９．００元研究生数学丛书ＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＳｅｒｉｅｓｆｏｒＧｒａｄｕａｔｅＳｔｕｄｅｎｔｓ编审委员会主编：李大潜副主编：冯克勤编委：（姓氏按拼音字母排序）程崇庆陈木法陈叔平陈志杰李克正李忠邵嘉裕王维克文志英肖杰袁亚湘周张伟平青研究生数学丛书ＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＳｅｒｉｅｓｆｏｒＧｒａｄｕａｔｅＳｔｕｄｅｎｔｓ１．连续介质力学中的数学模型（ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＭｏｄｅｌｉｎｇｉｎＣｏｎｔｉｎｕｕｍＭｅｃｈａｎｉｃｓ）２．应用密码学（ＡｐｐｌｉｅｄＣｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｙ）３．ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｔｏＭａｌｌｉａｖｉｎＣａｌｃｕｌｕｓ（Ｍａｌｌｉａｖｉｎ随机变分引论）４．纠错码的代数理论（ＡｌｇｅｂｒａｉｃＴｈｅｏｒｙｏｆＥｒｒｏｒ唱ＣｏｒｒｅｃｔｉｎｇＣｏｄｅｓ）５．抽象代数学基础（ＦｕｎｄａｍｅｎｔａｌｓｏｆＡｂｓｔｒａｃｔＡｌｇｅｂｒａ）６．ＡｌｇｅｂｒａｉｃＧｅｏｍｅｆｒｙ（代数几何）７．反问题（ＩｎｖｅｒｓｅＰｒｏｂｌｅｍ）总序数学是一门在非常广泛的意义下研究自然和社会现象中的数量关系和空间形式的科学。长期以来，在人们认识世界和改造世界的过程中，数学作为一种精确的语言和一个有力的工具一直发挥着重要的作用。在现代，数学科学已构成包括纯粹数学及应用数学内涵的众多分支学科和许多新兴交叉学科的庞大的科学体系。作为各门科学的重要基础，作为“四化”建设的重要武器，作为人类文明的重要支柱，数学科学在很多重要的领域中已起着关键性甚至决定性的作用，数学技术已成为高技术的突出标志和重要组成部分，数学的影响和作用已深入到各行各业，可以说无处不在。马克思当年的预言： “一门科学只有当它成功地运用了数学之后，才算达到了真正完善的地步”，正在不断得到证实。在这样的背景下，数学科学的重要性已得到空前广泛的认同。在研究生（不限于数学专业的研究生）的培养中，重视数学基础的训练，强调数学思想的熏陶，也已成为一种必然的趋势。但是，国内研究生数学教材及参考读物的实际情况，无论从品种、数量及质量哪一方面来看，都远远不能适应这个形势，甚至也远远落后于本科生的数学教材。这已成为制约提高研究生培养质量的一个重要瓶颈。清华大学出版社和施普林格出版社（Ｓｐｒｉｎｇｅｒ唱Ｖｅｒ唱ｌａｇ合）作，倡议出版这一套《研究生数学丛书》（ＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＳｅｒｉｅｓｆｏｒＧｒａｄｕａｔｅＳｔｕｄｅｎｔｓ），可望改善这方面的状况，为我国的研究生打好数学基础、提高数学素质起到积极的作用。根据数学这门科学的特点，同时考虑到研究生学习数学的基本要求和特有方式，这套以面向研究生（包括高年级本科生、硕士及博士研究生）的数学教材或参考读物，将力求体现以下的一些原则：瞯主题有理论或（和）应用方面的重要性；瞯在重点介绍基础性内容的前提下，兼顾学科前沿的重要发展趋势和研究成果；瞯在讲授数学内容的同时，充分体现数学的思想方法和精神实质；瞯少而精，在较小的篇幅中展现基本的内容； Ⅵ 纠错码的代数理论瞯有相当好的可读性，适宜读者自学；瞯附有习题、思考题及参考资料目录，书末有索引，方便读者深入学习与思考。为了有利于体现这些原则，本丛书将采取相当灵活的体例及风格：内容可以是纯粹数学、应用数学或数学与其他学科的交叉；可以是较系统地介绍某一个分支的教材，或是介绍某一前沿分支状况的综述，也可以是课外参考书；可以是原著，也可以是译著；可以是国内作者，也可以是国外作者；可以用中文编写，也可以用英文编写，等等。要实现本丛书的目标和宗旨，任重而道远，但千里之行，始于足下，在学界同仁和广大读者的支持和帮助下，让我们共同努力。李大潜２００３年９月于上海前言２０世纪５０年代以来，数字计算机和数字通信得到极大的发展。在今天，人们从每个层面上都能感受到计算机和通信的这种进步所产生的广泛而深刻的影响。除了技术进步之外，这种发展也得益于新的数学思想和工具的运用。数字脉冲信号的数学描述方式，从连续性数学（Ｆｏｕｒｉｅｒ分析和Ｌａｐｌａｃｅ变换）一下子扩展到离散性数学（组合学、数论、代数）。与此同时，数字计算和数字通信中提出许多具有重要应用背景的数学问题，也促进离散性数学自身的发展，注入新的活力。本书的目的是介绍半个世纪以来，由数字通信的可靠性要求所建立和不断发展的纠错码数学理论。纠错码的数学理论是一个很好的题目，用来表达理论和应用之间相互联系和促进的过程。通信的可靠性提出纠错的要求，建立起明确的数学概念和问题，以反映工程上的需求，然后数学家用各种数学工具构作性能愈来愈好的纠错码。纯粹数学和应用数学具有不尽相同的价值观念和美学标准。本书讲述纠错码的数学理论，不涉及纠错技术和工程具体实现问题，但是也要介绍一些纠错译码算法，这是应用中十分关心的数学问题。纯粹数学家可能只对构作好的纠错码更有兴趣，但是像关于ＢＣＨ码的Ｂｅｒｌｅｋａｍｐ唱Ｍａｓｓｅｙ算法这样的内容，对于工程师和应用数学家来说，不仅是必需和重要的，而且也是美的。纠错码的数学理论也是一个很好的场所，在这里，不同的数学知识和方法被用来解决通信中一个共同的课题，本书所用的数学工具主要涉及到组合学、初等数论、线性代数和抽象代数（群、环、域的基本知识）。事实上，近２０年来纠错码的研究用到了更深刻的数学：代数几何、代数数论和群表示理论。这本书希望代数专业的研究生和具有较好代数基础的高年级本科生能够使用。本书的基本内容是前三章（到ＢＣＨ码为止）。由于代数几何码需要较为专门的代数几何和代数数论知识（有限域上的代数曲线和代数函数域），本书略去这方面内容。最后一章介绍１９９６年产生的量子纠错码的数学理论，其中用到一点群表示论（有限交换群的特征理论）。附录中介绍有限域的基本知识和线性移存器序列。 Ⅷ 纠错码的代数理论读者在本书中可以学到纠错码的基本知识，并通过这些材料能复习和加深关于初等数论、线性代数和抽象代数的知识与方法，这些知识和方法对于研究信息科学与计算机科学中许多其他问题也是有用的，我们希望读者通过对这些材料的学习，感受到数学工具和思考方式对应用领域的重要作用，并且能够在今后从事各种工作中，有意识地采用数学工具和思考方式，从而终生与数学相伴并喜欢它。冯克勤于清华园目录总序 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … Ⅴ 前言 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … Ⅶ １２什么是纠错码 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … １１．１１．２通信和纠错的数学模型 … … … … … … … … … … … … … … … … １纠错码的基本概念和主要数学问题 … … … … … … … … … … … ５１．３纠错码的界 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … １０线性码 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … １４２．１生成阵和校验阵 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … １４２．２２．３２．４２．５３ … … … … … … … … … ２２ＭＤＳ线性码：多项式码 … … … … … … … … … … … … … … … ３１二元Ｒｅｅｄ唱Ｍｕｌｌｅｒ码 … … … … … … … … … … … … … … … … … ３９ＭａｃＷｉｌｌｉａｍｓ恒等式 … … … … … … … … … … … … … … … … … ４６循环码 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ５４３．１３．２３．３３．４４完全线性码：Ｈａｍｍｉｎｇ码和Ｇｏｌａｙ码生成式和校验式 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ５４循环码的迹表达式 … … … … … … … … … … … … … … … … … … ６０循环码的根，ＢＣＨ码 … … … … … … … … … … … … … … … … … ６５Ｇｏｐｐａ码 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ７６量子纠错码 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ８１４．１什么是量子纠错码 … … … … … … … … … … … … … … … … … … ８２４．２Ｓｔａｂｉｌｉｚｅｒ量子码 … … … … … … … … … … … … … … … … … … ８９４．３４．４由经典码构作量子码 … … … … … … … … … … … … … … … … … ９４量子权多项式和Ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ界 … … … … … … … … … … … … … ９９附录Ａ：有限域 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … １０８Ａ．１有限域 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … １０８ Ⅹ 纠错码的代数理论Ａ．２Ａ．３Ａ．４有限域上的多项式环 … … … … … … … … … … … … … … … … １１５有限域上的幂级数环 … … … … … … … … … … … … … … … … １２３有限域的加法特征 … … … … … … … … … … … … … … … … … １２９附录Ｂ：线性移存器序列 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … １３３Ｂ．１线性移存器序列 … … … … … … … … … … … … … … … … … … １３３Ｂ．２线性移存器的综合算法 … … … … … … … … … … … … … … … １３９参考文献 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … １４５１什么是纠错码１畅１通信和纠错的数学模型１９４８年Ｓｈａｎｎｏｎ发表枟通信的数学理论枠一文，奠定了通信的数学基础 ——— 信息论和通信的可靠性理论。具体的通信方式可以是多种多样的（打电话，传送电子邮件，宇宙飞船将金星图片传回地球，邮差传送信件和公文，… … ），它们的抽象的数学模型可以表示成以下最基本的形式：发方ｘｘ信道 … … 收方要发送的原始信息可以有不同形式（声音、文字、图像、数据、… … ）。利用各种物理技术手段，把原始信息统一编成离散的脉冲电信号发出，脉冲信号只有有限多个状态，假设有ｍ个状态（ｍ ≥ ２），可以表示成０，１，… ，ｍ－１，并且将集合｛０，１，… ，ｍ－１｝按模ｍ做加、减、乘运算，即状态集合是模ｍ同余类环Ｚｍ。也可把状态集合取成有限域Ｆｑ，其中ｑ＝ｐ（ｐ为素数，ｌ ≥ １），这时还可做除法运算。ｌ本书只研究状态集合为ｑ元有限域Ｆｑ的情形。事实上，数字通信中最常用的脉冲信号只有两个状态，即最常用的是二元域Ｆ２＝｛０，１｝（１＋１＝０），关于有限域的基本知识见附录Ａ。以Ｆｑ表示Ｆｑ上的ｎ维向量空间，其中ｑ个不同向量（ｃ０，… ，ｃｎ－１）（ｃｉ ∈ Ｆｇ）可ｎｎ以表示ｑ个不同的信息，比如Ｆ２中有８个向量，可表示０，１，… ，７这８个信息：ｎ３０＝（０００），１＝（１００），２＝（０１０），３＝（１１０），４＝（００１），５＝（１０１），６＝（０１１），７＝（１１１）。设想发方把数字３传给对方，即把码字（１１０）传出去。如果信道（电话线，大气层，… … ）受到干扰（或发生设备故障）使信息（１１０）的某位出错，比如第３位由０２纠错码的代数理论变成１，则收方得到（１１１）。由于（１１１）也代表信息（数字７），收方无法发现传送的错误，即无法判定发来的就是７（无错），还是发来其他数字错成了７。这表明，通信系统完全没有检查错误和纠正错误的能力。如何使通信系统具有纠错能力？这需要将信息进行一次纠错编码。我们先举两个最简单的例子，它们也是通信系统最早采用的检错和纠错方式。例１（奇偶校验码）前面已经把０，１，… ，７分别用长为３的二元向量（０００），（１００），… ，（１１１）传输，现在再把每个向量后面加上１位（０或１），使新的码字有偶数个１，于是均变成长为４的二元向量：０＝（００００），１＝（１００１），２＝（０１０１），３＝（１１００），４＝（００１１），５＝（１０１０），６＝（０１１０），７＝（１１１１）。长为４的二元向量共１６个，其中只有上述８个是有意义的码字（ｃｏｄｅｗｏｒｄ），其余８个（ａ０ａ１ａ２ａ３）（ａｉ ∈ Ｆ２，ａ０＋ａ１＋ａ２＋ａ３＝１）均没有意义，不是码字。如果码字在传输中只有１位出错，比如（１１００）错成（１１１０），收到的（１１１０）不是码字，这是由于任意两个不同码字至少有２位是不同的，所以一个码字出现１位错误不可能变成另一个码字，收方收到的（１１１０）不是码字，便知出了错误。但是收方不能纠错，因为（１１１０）也可能是码字（１１１１）的最后一位出错而造成的，这表明：奇偶校验码可检查出１位错（收到向量有奇数个１，便知出错），但不能纠正１位错（即不知哪位出错）。另一方面，８个信息本来用长为３的二元向量即可表示，现在为了检查１位错误，改用长为４的向量，传输信息的速度为原来的４３，从而效率为原来的。３４例２（重复码）电话中噪音很大时，常常把讲话重复几遍。现在我们也把每个信息０＝（０００），１＝（１００），… ，７＝（１１１）重复三遍，即改用０＝（０００００００００），１＝（１００１００１００），２＝（０１００１００１０），… ，７＝（１１１１１１１１１）。长为９的二元向量共２＝５１２个，其中只有形如（ｃ０ｃ１ｃ２ｃ０ｃ１ｃ２ｃ０ｃ１ｃ２）的８个９是码字，不同的码字至少有３位是不一样的，所以若一个码字在传输中有１位或２位发生错误，收到的不是码字，即发现错误。如果码字ｘ＝（ｃ０ｃ１ｃ２ｃ０ｃ１ｃ２ｃ０ｃ１ｃ２）只有１位出错，变成ｙ，则ｙ与ｘ只有１位不同，而ｙ与其他码字至少有２位不同，于是收方便可把ｙ译成与ｙ最 “ 相近 ” 的码字ｘ。事实上，设ｙ＝（ａ０ａ１ａ２ａ３ａ４ａ５ａ６ａ７ａ８），如果它只有１个错位，那么（ａ０ａ１ａ２），（ａ３ａ４ａ５），（ａ６ａ７ａ８）第１章什么是纠错码当中有两个相同，而另一个和它们相差１位，那１位的数字改动，就可纠正错误。例如若ｙ＝（１０１１１１１０１），马上知道中间那位出错，纠正成（１０１１０１１０１），这叫纠错译码。总之，上述纠错码可检查２位错误，也可纠正１位错误。另一方面，效率是原来的３１＝。９３从以上两个例子可以看出纠错码的本质。（１）为了使通信系统具有检错和纠错能力，我们把每个信息（ｃ０，… ，ｃｋ－１） ∈ Ｆ的长度加大，即将信息编成Ｆｑ中的向量ｘ，使Ｆｑ中只有一部分是码字（代表信ｋｑｎ息），效率为原来的ｎｋ。所以，我们是在降低通信效率的情况下提高通信纠错能ｎ力的。（２）为了使纠错编码具有好的检错和纠错能力，我们要使不同码字之间，有许多位上均是不同的元素（这叫相异位）。在例１中，不同码字之间至少有２个相异位，从而可检查１位错。在例２中，不同码字之间至少有３个相异位，从而可检查２位错，也可纠正１位错。将通信系统加上纠错功能之后，数学模型便成为如下形式：ｘ发方纠错编码ｃ信道 … … ε ｖ＝ｃ＋ ε 纠错译码ｃ收方ｘ发方将信息ｘ ∈ Ｆｑ编成有纠错能力的码字ｃ ∈ Ｆｑ，传给收方的过程中信道出ｋｎ现错误 ε∈ Ｆｑ（ε 叫错误向量），从而收方得到ｖ＝ｃ＋ ε 。收方进行纠错，恢复成正ｎ确的码字ｃ，然后得到信息ｘ。国际上标准的书号设计ＩＳＢＮ（Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ习题１（书号的纠错编码）ＳｔａｎｄａｒｄＢｏｏｋＮｕｍｂｅｒ）是将每本书编成Ｆ１１＝｛０，１，２，… ，１０｝上的十位数字。例如书号为ＩＳＢＮ０唱１９唱８５９６１７唱０，其中０表示语种（英语），１９表示出版社（牛津大学出版社），８５９６１７是该出版社真正的书号，末位０是校验位，使得每个书号ａ１唱ａ２ａ３唱ａ４ａ５ａ６ａ７ａ８ａ９唱ａ１０都满足１０ ∑ ｉ＝１ｉａｉ ≡ ０（ｍｏｄ１１）。前九位均用０到９中的数字，如果末位为１０，则表示成Ｘ，如ＩＳＢＮ０５５０唱１０２０６唱Ｘ３４纠错码的代数理论（各出版社在１０个数字之间加横线的方式不尽相同）。证明如此设计的书号有以下纠错功能。（１）可以检查任何１位发生错误；（２）可以检查任何２位数字相互置换的错误（即ｉ ≠ ｊ时，ａｉ印成ａｊ，而ａｊ印成ａｉ，其余不变）。习题２构作一个二元纠错码，可传送８个信息，能纠正２位错误。第１章什么是纠错码１畅２纠错码的基本概念和主要数学问题有了以上直观描述，现在可以给出纠错码确切的数学概念。定义１畅２畅１Ｆｑ表示有限域Ｆｑ上的ｎ维向量空间。Ｆｑ的每个非空子集合Ｃ都叫作一个ｑ元码，ｎ叫该码的码长，Ｃ中向量叫作码字。ｎ用Ｋ表示Ｃ中码字个数，即Ｋ＝｜Ｃ｜，则１ ≤ Ｋ ≤ ｑ。ｋ＝ｌｏｇｑＫ叫作码Ｃ的信息位数（ｋ为实数，０ ≤ ｋ ≤ ｎ）。ｋ叫作码Ｃ的效率（或叫信息率）。ｎｎｎ我们还需要一个概念来衡量码Ｃ的纠错能力，由上节直观描述可知，这个概念应当是不同码字之间的相异位个数。定义１畅２畅２设ａ＝（ａ１，… ，ａｎ）和ｂ＝（ｂ１，… ，ｂｎ）是Ｆｑ中两个向量，则向量ａ的Ｈａｍｍｉｎｇ权（ｗｅｉｇｈｔ）定义为非零分量ａｉ的个数，表示成ｗＨ（ａ），即ｗＨ（ａ）＝＃｛ｉ｜１ ≤ ｉ ≤ ｎ，ａｉ ≠ ０｝。而向量ａ和ｂ之间的Ｈａｍｍｉｎｇ距离是指它们相异位的个数，表示成ｄＨ（ａ，ｂ），即ｄＨ（ａ，ｂ）＝＃｛ｉ｜１ ≤ ｉ ≤ ｎ，ａｉ ≠ ｂｉ｝＝ｗＨ（ａ－ｂ）。ｎＦｑ中这个距离的定义非常简单，下面习题表明它具有通常距离类似的性质，本书除最后一章之外，均研究Ｈａｍｍｉｎｇ距离，所以将ｗＨ（ａ）和ｄＨ（ａ，ｂ）分别简记为ｗ（ａ）和ｄ（ａ，ｂ）。ｎ习题１对于ａ，ｂ，ｃ ∈ Ｆｑ，证明（１）ｄ（ａ，ｂ） ≥ ０，并且ｄ（ａ，ｂ）＝０，当且仅当ａ＝ｂ；（２）ｄ（ａ，ｂ）＝ｄ（ｂ，ａ）；（３）（三角形不等式）ｄ（ａ，ｃ） ≤ ｄ（ａ，ｂ）＋ｄ（ｂ，ｃ）。ｎ定义１畅２畅３设Ｃ是码长为ｎ的ｑ元码（即Ｃ为Ｆｑ的非空子集合），Ｋ＝｜Ｃ｜ ≥ ２，定义Ｃ的最小距离为不同码字之间Ｈａｍｍｉｎｇ距离的最小值，表示成ｄ（Ｃ），即ｄ＝ｄ（Ｃ）＝ｍｉｎ｛ｄ（ｃ，ｃ′）｜ｃ，ｃ′ ∈ Ｃ，ｃ ≠ ｃ′｝。ｎ５６纠错码的代数理论下面结果虽然简单，但却是整个纠错码理论的基础。对于实数 α ，以［α］表示不超过 α 的最大整数，叫 α 的整数部分。定理１畅２畅４如果纠错码Ｃ的最小距离为ｄ，则Ｃ可检查 ≤ ｄ－１位错，也可ｄ－１纠正 ≤ 位错。２证明设发出码字ｃ ∈ Ｃ，信道出错，但错位不超过ｄ－１，即错误向量 ε 满足１ ≤ ｗ（ε） ≤ ｄ－１，则收到向量为ｖ＝ｃ＋ ε 。由 ε ≠ ０可知ｖ ≠ ｃ，进而ｄ（ｃ，ｖ）＝ｗ（ｖ－ｃ）＝ｗ（ε） ≤ ｄ－１。由于对每个码字ｃ′ ≠ ｃ，ｄ（ｃ，ｃ′） ≥ ｄ，所以ｖ也不为ｃ′ ，这表明ｖ不是码字，从而收方知道出错，即可检查出 ≤ ｄ－１位错。ｄ－１ｄ－１现在设１ ≤ ｗ（ε） ≤ ，这时ｄ（ｃ，ｖ）＝ｗ（ε） ≤ ，而对每个码字２２ｃ′ ≠ ｃ，由三角形不等式知ｄ（ｃ′ ，ｖ） ≥ ｄ（ｃ′ ，ｃ）－ｄ（ｃ，ｖ）ｄ－１ｄ－１ ≥ ｄ－＞。２２这表明ｃ是惟一的与ｖ最近的码字，收方将ｖ译成ｃ是正确纠错，从而可纠 ≤ ｄ－１２位错，证毕。对每个固定的有限域Ｆｑ，ｑ元纠错码Ｃ（彻Ｆｑｎ）有三个基本参数：码长ｎ，码字个数Ｋ＝｜Ｃ｜（或用信息位数ｋ＝ｌｏｇｑＫ），０ ≤ ｋ ≤ ｎ，最小距离ｄ＝ｄ（Ｃ），１ ≤ ｄ ≤ ｎ。我们把这个纠错码表示成（ｎ，Ｋ，ｄ）ｑ或者［ｎ，ｋ，ｄ］ｑ，也说成：ｑ元码（ｎ，Ｋ，ｄ）或ｑ元码［ｎ，ｋ，ｄ］。纠错码数学理论的最基本研究课题有以下两个：ｋ（１）构作性能良好的纠错码，即要求效率和反映纠错能力的ｄ愈大愈好。ｎ（２）寻求好的译码算法。对于问题（１），易知三个参数ｎ，Ｋ（或ｋ）和ｄ之间是相互制约的，有两个极ｋｎｎ端的情形：一种情形，若为最大值１，即ｋ＝ｎ，则Ｋ＝ｑ，从而Ｃ＝Ｆｑ（每个向量ｎ第１章什么是纠错码都是码字），则ｄ为最小值１（不能检错和纠错）；另一种情形，若ｄ为最大值ｄ＝ｎ，则ｑ元码Ｃ的码字最多有ｑ个，即Ｋ ≤ ｑ，ｋ ≤ １，于是效率ｋ１ ≤ 。所以我们可ｎｎ以固定其中两个参数，而问第三个参数最佳可能的值是多少。比如：对固定的ｎ和Ｋ（１ ≤ Ｋ ≤ ｑ），Ｆｑ中一个Ｋ元子集合Ｃ的最小距离ｄ最大ｎｎ可能是多少？对于固定的ｎ和ｄ（１ ≤ ｄ ≤ ｎ），码长为ｎ且最小距离为ｄ的纠错码，最多可以有多少码字？我们在下节将给出一个码（ｎ，Ｋ，ｄ）ｑ的参数之间应当满足的一些不等式，叫作纠错码的各种界，达到这些界的码就是性能最好的纠错码。例３考虑由以下１６个码字构成的二元码（码长ｎ＝７，Ｋ＝１６）。００１０１１１１１０１０００１００１０１１０１１０１００１１００１０１００１１０１０１１１００１００００１１０１０１１１００１１０００１１０１０１１１０００１０００１１０１０１１１０１０１０００１０００００００１１１１１１１这是（００１０１１１）循环移位给出的７个码字，与（１１０１０００）循环移位给出的７个码字，再加上（０００００００）和（１１１１１１１）。可直接验证此码的最小距离为３，即为二元码（７，１６，３）（或表示为［７，４，３］）。例２中的重复码是二元码［９，３，３］，例３中二元码［７，４，３］的效率ｋ４＝比ｎ７３１＝要好，而纠错能力相同，所以例３中二元码比例２中重复码要好，事实上。９３［７，４，３］２是一种性能最好的纠错码，达到下节中的Ｈａｍｍｉｎｇ界，构作好的纠错码是很有学问的。问题（２）则源于应用，一个好的纠错码在通信中真正能够被采用，还需要有好的纠错编码和纠错译码方法，使得工程上得以实用，纠错编码是希望给出一种方便的办法把Ｋ个信息一一对应于Ｃ中的Ｋ个码字，通常容易实现，而纠错译码是收方得到ｖ＝ｃ＋ ε 之后，要有方便的办法译出正确的码字ｃ。让我们考察一７８纠错码的代数理论下定理１畅２畅４，它的证明实际上给出了一种译码算法：每收到向量ｖ＝ｃ＋ ε ，都要把ｖ与Ｃ中所有码字加以比较，即对所有ｃ′ ∈ Ｃ，计算ｄ（ｖ，ｃ′）＝ｗ（ｖ－ｃ′），从中找到码字ｃ使ｄ（ｖ，ｃ）最小，将ｖ译成码字ｃ，这是非常耗时的译码算法。所以，找到好的纠错码之后，要给出好的译码算法，在工程上才能应用。围绕以上两个基本问题，还需要研究纠错码的一些其他问题，特别是分析好码的组合结构、代数结构甚至是几何结构。这就需要使用各种组合学、代数学甚至是几何学的工具，利用码的结构特点不仅可以发现好码，也可用来找到好的译码算法。每个数学分支都有主要的研究对象，研究这些对象的基本性质，并且研究基本对象的分类问题，要求同一类的对象具有相同的基本性质。在纠错码理论中，对于固定的有限域Ｆｑ，我们也把所有ｑ元纠错码加以分类，使得同一类中的纠错码有相同参数ｎ，Ｋ和ｄ。最容易想出的是以下三类变换。 ① 分量置换设Ｃ是ｑ元码（ｎ，Ｋ，ｄ），对于集合｛１，２，… ，ｎ｝的每个置换 σ ，我们把Ｃ中每个码字ｃ＝（ｃ１，… ，ｃｎ）变成 σ（ｃ）＝（ｃσ（１），ｃσ（２），… ，ｃσ（ｎ）） ∈ Ｆｑｎ即把码字ｃ的各分量作置换 σ ，新的集合 σ（Ｃ）＝｛σ（ｃ）｜ｃ ∈ Ｃ｝给出具有相同参数（ｎ，Ｋ，ｄ）的ｑ元码。 ② 元素置换设ｆ是集合Ｆｑ到Ｆｑ的一一映射（Ｆｑ中ｑ个元素的一个置换），ｆ（０）＝０。于是每个码Ｃ彻Ｆｑ，将码字ｃ＝（ｃ１，… ，ｃｎ） ∈ Ｃ变成ｆ（ｃ）＝（ｆ（ｃ１），… ，ｎｆ（ｃｎ）） ∈ Ｆｑ，易知新的码ｎｆ（Ｃ）＝｛ｆ（ｃ）｜ｃ ∈ Ｃ｝与Ｃ具有相同的参数ｎ，Ｋ和ｄ。 ③ 码的平移设Ｃ彻Ｆｑｎ，对每个ｖ ∈ Ｆｑｎ，新的码Ｃ′ ＝Ｃ＋ｖ＝｛ｃ＋ｖ｜ｃ ∈ Ｃ｝与Ｃ具有相同的参数ｎ，Ｋ，ｄ。定义１畅２畅５设Ｃ和Ｃ′是两个ｑ元码，如果通过有限次上述三种变换把Ｃ变成Ｃ′ ，称Ｃ和Ｃ′是等价的码。习题２一个码长为８的二元码，最小距离为５，试问最多能有多少码字？习题３一个码长为ｎ的ｑ元码，最小距离为２，试问最多能有多少码字？习题４能否构作一个参数为［８，４，４］的二元码？第１章习题５彼此等价。习题６什么是纠错码证明二元码（ｎ，Ｋ，ｄ）＝（５，４，３）是存在的，并且所有这种二元码均设Ｃ和Ｃ′分别是参数为（ｎ，Ｋ，ｄ）和（ｎ′ ，Ｋ′ ，ｄ′）的ｑ元码。证明ｎ＋ｎ′ Ｃ磑Ｃ′ ＝｛（ｃ｜ｃ′） ∈ Ｆｑ｜ｃ ∈ Ｃ，ｃ′ ∈ Ｃ′｝是参数为（ｎ＋ｎ′ ，ＫＫ′ ，ｍｉｎ（ｄ，ｄ′））的ｑ元码（这个码叫作Ｃ和Ｃ′的直和）。９１０纠错码的代数理论１畅３纠错码的界现在我们给出纠错码三个参数之间一些相互制约的关系。定理１畅３畅１（Ｈａｍｍｉｎｇ界）如果存在纠错码（ｎ，Ｋ，ｄ）ｑ，则ｑ ≥ Ｋｎｄ－１２ ∑ ｉ＝０ｉ（ｑ－１）ｎｉ，这里ｎｉ是组合数（ｎ个物体中取ｉ个的方法数）ｎ！ｎ＝ｎ（ｎ－１） … （ｎ－ｉ＋１）＝。ｉｉ（ｉ－１） … １（ｎ－ｉ）！ｉ！证明对每个整数ｒ ≥ ０和向量ｖ＝（ｖ１，… ，ｖｎ） ∈ Ｆｑｎ，我们用Ｓｑ（ｖ，ｒ）表示与ｖ的Ｈａｍｍｉｎｇ距离 ≤ ｒ的所有向量组成的集合ｎＳｑ（ｖ，ｒ）＝｛ｕ ∈ Ｆｑ｜ｄ（ｕ，ｖ） ≤ ｒ｝叫作以ｖ为中心，半径为ｒ的（闭）球，不难算出这个球中向量的个数：对每个ｉ ≥ ０，若ｕ与ｖ的Ｈａｍｍｉｎｇ距离为ｉ，则ｕ和ｖ恰有ｉ个分量不同。由于ｖ＝（ｖ１，… ，ｖｎ）是固定的，ｎ个分量中选ｉ个的方法数为ｎｉ。在这ｉ个分量上ｕ的元素与ｖ不一致，从而每分量均有ｑ－１种取法，其余分量上与ｖ一致，因此ｄ（ｕ，ｖ）＝ｉ的ｕｉ共（ｑ－１）ｎｉ个。于是球Ｓｑ（ｖ，ｒ）中元素个数为｜Ｓｑ（ｖ，ｒ）｜＝ｒ ∑ ｉ＝０ｎ（ｑ－１）ｉ。ｉｄ－１，考虑以Ｃ中每个２码字为中心的所有半径均为ｌ的球Ｓｑ（ｃ，ｌ）（ｃ ∈ Ｃ）。这样的球共Ｋ个，对于其中两个不同的球Ｓｑ（ｃ１，ｌ）和Ｓｑ（ｃ２，ｌ）（ｃ１，ｃ２ ∈ Ｃ，ｃ１ ≠ ｃ２），由ｄ（ｃ１，ｃ２） ≥ ｄ可知这两个球不相交，因若有向量ｕ同时在这两个球中，则ｄ（ｕ，ｃ１） ≤ ｌ，ｄ（ｕ，ｃ２） ≤ ｌ。由ｄ－１三角形不等式，ｄ（ｃ１，ｃ２） ≤ ｄ（ｃ１，ｕ）＋ｄ（ｕ，ｃ２） ≤ ２ｌ＝２ ≤ ｄ－１。这与２ｄ（ｃ１，ｃ２） ≥ ｄ相矛盾，于是，上述Ｋ个球两两不相交，这些球所有元素之和为现在设存在参数为（ｎ，Ｋ，ｄ）的ｑ元码Ｃ，令ｌ＝Ｋ· ｒ ∑ ｉ＝０ｎ（ｑ－１）ｉ，它应不超过整个空间Ｆｑｎ的元素个数ｑｎ，这就给出定理１畅３畅１。ｉ ■ 第１章定义１畅３畅２什么是纠错码设Ｃ为ｑ元码（ｎ，Ｋ，２ｌ＋１）。如果ｌｑ＝Ｋ· ｎ ∑ ｉ＝０ｉ（ｑ－１）ｎｉ，则称Ｃ为完全（ｐｅｒｆｅｃｔ）码。完全码是一类好的纠错码，几何上，如果Ｃ是上述参数的ｑ元完全码，则Ｋｎ个球Ｓｑ（ｃ，ｌ）（ｃ ∈ Ｃ）恰好填满整个空间Ｆｑ，上节例３中的二元码（７，１６，３）是完全码，因为ｑ＝２＝１２８，Ｋ · ｎ７ｌ ∑ （ｑ－１）ｎｉ＝１６ · ｉｉ＝０１ ∑ ｉ＝０７＝１６（１＋７）＝１２８。ｉ１９７３年，ｖａｎＬｉｎｔ和Ｔｉｅｔ惫ｖ惫ｉｎｅｎ决定出所有完全码。下面是另一个（平凡的）例子。习题１设ｎ为奇数，则由长为ｎ的两个码字（００ … ０）和（１１ … １）组成的码是二元完全码。定理１畅３畅３（Ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ界）如果存在ｑ元码（ｎ，Ｋ，ｄ），１ ≤ ｄ ≤ ｎ－１，则ｎ－ｄ＋１Ｋ ≤ ｑ（即ｎ ≥ ｋ＋ｄ－１）。证明设Ｃ是ｑ元码（ｎ，Ｋ，ｄ），对每个ａ ∈ Ｆｑ，令Ｃａ是Ｃ中所有末位是ａ的码字去掉ａ之后组成的Ｆｑ中一个子集合，ｎ－１Ｃａ＝｛（ｃ１，ｃ２，… ，ｃｎ－１）｜（ｃ１，ｃ２，… ，ｃｎ－１，ａ） ∈ Ｃ｝。易知ｄ（Ｃａ） ≥ ｄ（Ｃ）＝ｄ。对于码长为ｎ－１的ｑ个码Ｃａ（ａ ∈ Ｆｑ），所有码字个数之和为｜Ｃ｜＝Ｋ，即Ｋ＝必存在参数（ｎ－１， ≥ ≥ ｑＫｎ－ｄ ∑ ａ∈ Ｆｑ｜Ｃａ｜。从而至少存在ａ ∈ Ｆｑ，使｜Ｃａ｜ ≥ Ｋ，所以ｑＫ， ≥ ｄ）的ｑ元码。这样做下去，即知存在参数为（ｄ，ｑ，ｄ）的ｑ元码Ｃ′ 。由于Ｃ′的码长和最小距离均为ｄ，可知Ｃ′ 至多有ｑ个码字，于是ｑ ≥ ｜Ｃ′ ｜ ≥ 定义１畅３畅４ｑＫｎ－ｄ，从而Ｋ ≤ ｑｎ－ｄ＋１。设Ｃ是ｑ元码（ｎ，Ｋ，ｄ），如果Ｋ＝ｑｎ－ｄ＋１（即ｎ＝ｋ＋ｄ－１），则Ｃ叫作极大距离可分码，简称为ＭＤＳ（ＭａｘｉｍａｌＤｉｓｔａｎｃｅＳｅｐａｒａｂｌｅ）码。１１１２纠错码的代数理论习题２如果存在ｑ元码（ｎ，Ｋ，ｄ），其中ｄ＝２ｌ是偶数，证明ｌ－１ｑ ≥ Ｋ（ｑ－１） ∑ ｎｉ＝０ｎ（ｑ－１）ｉ。ｉＭＤＳ码也是一类好的纠错码，一个平凡的例子是码长为ｎ的Ｃ＝｛（ａ，ａ，… ，ａ）｜ａ ∈ Ｆｑ｝。由于Ｋ＝ｑ，ｋ＝１，ｄ＝ｎ，从而ｎ＝ｋ＋ｄ－１，所以Ｃ是ＭＤＳ码，进一步的例子见第２章。下面由Ｐｌｏｔｋｉｎ给出的界只对二元码有效。定理１畅３畅５（二元码的Ｐｌｏｔｋｉｎ界）如果存在参数为（ｎ，Ｋ，ｄ）的二元码，并且２ｄ＞ｎ，则Ｋ ≤ ｄ，当Ｋ为偶数时，２ｄ－ｎｄ２－１，当Ｋ为奇数时。２ｄ－ｎ２证明设Ｃ＝｛ｃ１，… ，ｃＫ｝是参数为（ｎ，Ｋ，ｄ）的二元码，码字ｃｉ（１ ≤ ｉ ≤ Ｋ）均ｎ为Ｆ２中的向量，我们构作Ｆ２上一个Ｋ２行ｎ列的矩阵ｃ１＋ｃ２Ａ＝ｃ１＋ｃ３ ⁝ ｃＫ－１＋ｃＫ。其中２Ｋ行分别是不同码字之差ｃｉ－ｃｊ（＝ｃｉ＋ｃｊ）（１ ≤ ｉ＜ｊ ≤ Ｋ）。我们用两种方式计算矩阵Ａ中１的个数Ｎ。由于ｗ（ｃｉ－ｃｊ） ≥ ｄ，可知每行都至少有ｄ个１，于是Ｎ ≥ ｄ２Ｋ；另一方面，对每个ｉ（１ ≤ ｉ ≤ ｎ），设码字ｃ１，… ，ｃＫ的第ｉ位共有Ｎｉ个为１，其余Ｋ－Ｎｉ个为０，则ｃｉ＋ｃｊ（１ ≤ ｉ＜ｊ ≤ Ｋ）这Ｋ２个向量的第ｉ位共有Ｎｉ（Ｋ－Ｎｉ）个为１，这也正好是矩阵Ａ的第ｉ列中１的个数，因此Ｎ＝ｎ ∑ ｉ＝１Ｎｉ（Ｋ－Ｎｉ）。由于Ｎｉ和Ｋ－Ｎｉ之和为Ｋ，可知当Ｋ为偶数时，Ｎｉ和Ｋ－Ｎｉ均为Ｋ时乘积最大，于是２第１章Ｋ（Ｋ－１）ｄ２Ｋ＝ｄ ≤ Ｎ ≤ ２ｎ ∑ ｉ＝１Ｋ２什么是纠错码ｎＫ，４２２＝２ｄ即２ｄ（Ｋ－１） ≤ ｎＫ，于是Ｋ ≤ （由假设２ｄ＞ｎ），由于Ｋ为偶数，所以２ｄ－ｎｄＫ ≤ 。２ｄ－ｎ２Ｋ ≤ ２即ｄ。２ｄ－ｎ若Ｋ为奇数，则整数Ｎｉ和Ｋ－Ｎｉ为Ｋ－１Ｋ＋１和时乘积最大，这时２２ｎｄＫ（Ｋ－１） ≤ Ｎ ≤ （Ｋ－１）（Ｋ＋１）＝ｎ（Ｋ－１）（Ｋ＋１）， ∑ ２４４ｉ＝１ｄＫｎ（Ｋ＋１）Ｋ＋１ｄＫ＋１即 ≤ ，由此得出 ≤ ，由于是整数，可知２４２２ｄ－ｎ２ｄｄＫ＋１ ≤ ，即Ｋ ≤ ２－１，证毕。２ｄ－ｎ２ｄ－ｎ２例４码长为９并且最小距离为５的二元码，最多能有多少码字？解设Ｃ为参数（ｎ，Ｋ，ｄ）＝（９，Ｋ，５）的二元码，考虑新的二元码Ｃ′ ＝｛（ｃ１，… ，ｃ９，ｃ１０） ∈ Ｆ２｜（ｃ１，… ，ｃ９） ∈ Ｃ，ｃ１＋ … ＋ｃ１０＝０｝，６ｄ＝＝３，由Ｐｌｏｔｋｉｎ易知二元码Ｃ′的参数为（１０，Ｋ，６），由于２畅６－１０２ｄ－ｎ界知Ｋ ≤ ６。１０习题３试构作参数为（ｎ，Ｋ，ｄ）＝（９，６，５）和（１０，６，６）的二元码。习题４设ｄ为偶数，２ ≤ ｄ ≤ ｎ。证明：存在参数为（ｎ，Ｋ，ｄ）的二元码当且仅当存在参数为（ｎ－１，Ｋ，ｄ－１）的二元码。寻求性能良好的纠错码本质上是一个组合学问题，因为只要求码Ｃ是Ｆｑｎ的一个子集合。下一章考虑一类特殊的码Ｃ，即Ｃ是Ｆｑ的线性子空间。这时我们有线性代数作为工具，为构作好码和好的译码算法带来很多益处。ｎ１３２线性码２畅１生成阵和校验阵定义２畅１畅１向量空间Ｆｑ的一个Ｆｑ上的线性子空间Ｃ叫作ｑ元线性码。换ｎ句话说，Ｆｑ的一个非空子集合Ｃ叫作ｑ元线性码，是指若ｃ，ｃ′ ∈ Ｃ，则对任意ａ，ａ′ ∈ Ｆｑ，均有ａｃ＋ａ′ｃ′ ∈ Ｃ。ｎ记ｋ＝ｄｉｍＦｑＣ（Ｆｑ唱向量子空间Ｃ的维数），则Ｋ＝｜Ｃ｜＝ｑｋ，所以Ｃ的维数ｋ就是码Ｃ的信息位数，Ｃ的码长为ｎ。根据定义，码Ｃ的最小距离ｄ＝ｄ（Ｃ）应为Ｋ１＝Ｋ（Ｋ－１）个ｄ（ｃ，ｃ′）（ｃ，ｃ′ ∈ Ｃ，ｃ ≠ ｃ′）的最小值。下面引理表明，对２２于线性码Ｃ，ｄ（Ｃ）可以有更简单的刻画方式。引理２畅１畅２对于线性码Ｃ，ｄ（Ｃ）＝ｍｉｎｗ（ｃ）｜０ ≠ ｃ ∈ Ｃ，即ｄ为Ｃ中所有Ｋ－１个非零码字ｃ的Ｈａｍｍｉｎｇ权的最小值。证明零向量０是线性码Ｃ中的码字，并且任何两个不同码字之差仍是码字，可知Ｃ中不同码字之差所成的集合就是Ｃ的所有非零码字所成的集合。由此即证引理。对于线性码可以利用线性代数工具，取Ｃ的一组Ｆｑ唱基ｖ１，… ，ｖｋｖｉ＝（ａｉ１，… ，ａｉｎ）（１ ≤ ｉ ≤ ｋ），其中ａｉｊ ∈ Ｆｑ（１ ≤ ｊ ≤ ｎ，１ ≤ ｉ ≤ ｋ）。则每个码字可惟一表示成，第２章ｃ＝ｂ１ｖ１＋ … ＋ｂｋｖｋ＝（ｂ１，… ，ｂｋ）Ｇ，线性码（ｂ１，… ，ｂｋ ∈ Ｆｑ）其中Ｇ是Ｆｑ上秩为ｋ的ｋ × ｎ（ｋ行ｎ列）矩阵Ｇ＝ｖ１ａ１１ａ１２ … ａ１ｎ ⁝ ＝ｖｋ ⁝ ａｋ１ ⁝ ａｋ２ ⁝ … ⁝ ａｋｎ，Ｇ叫作线性码Ｃ的一个生成阵。我们可以先把Ｋ＝ｑ个信息编成Ｆｑ中向量ｋｋ（ｂ１，… ，ｂｋ）（共ｑ个），为了纠错，再把它们编成Ｃ中码字ｃ＝（ｂ１，… ，ｂｋ）Ｇ，所以ｋ纠错编码即是Ｆｑ唱线性的单射 φ ：Ｆｑｋ → Ｃ彻Ｆｑｎ，（ｂ１，… ，ｂｋ）｜ → （ｂ１，… ，ｂｋ）Ｇ。另一方面，Ｆｑ的一个ｋ维向量子空间Ｃ必是某个齐次线性方程组ｎｂ１１ｘ１＋ｂ１２ｘ２＋ … ＋ｂ１ｎｘｎ＝０，ｂ２１ｘ１＋ｂ２２ｘ２＋ … ＋ｂ２ｎｘｎ＝０， ⁝ ｂｎ－ｋ，１ｘ１＋ｂｎ－ｋ，２ｘ２＋ … ＋ｂｎ－ｋ，ｎｘｎ＝０的全部解，其中Ｈ＝（ｂｉｊ）１ ≤ ｉ ≤ ｎ－ｋ，１≤ ｊ≤ ｎ是Ｆｑ上（ｎ－ｋ） × ｎ（ｎ－ｋ行ｎ列）矩阵，并且秩为ｎ－ｋ。Ｈ叫作线性码Ｃ的一个校验阵。由定义可知，对每个ｖ ∈ Ｆｑ，ｎｖ ∈ Ｃ骋ｖＨ＝０（长为ｎ－ｋ的零向量），Ｔ所以可用Ｈ来检查向量ｖ是否为Ｃ中的码字（这里Ｈ表示矩阵Ｈ的转置Ｔ矩阵）。校验阵还可用来决定线性码Ｃ的最小距离。为此，我们把Ｈ表示成列向量的形式：ｂ１ｉＨ＝（ｕ１，ｕ２，… ，ｕｎ），引理２畅１畅３ｕｉ＝ｂ２ｉ ⁝ ｂｎ－ｋ，ｉ（１ ≤ ｉ ≤ ｎ）。设Ｃ是参数为［ｎ，ｋ］的ｑ元线性码，Ｈ＝（ｕ１，… ，ｕｎ）是Ｃ的一个校验阵。如果ｕ１，… ，ｕｎ当中任意ｄ－１个均Ｆｑ唱线性无关，并且存在ｄ个列向量是Ｆｑ唱线性相关的，则Ｃ的最小距离为ｄ。１５１６纠错码的代数理论证明设ｃ＝（ｃ１，ｃ２，… ，ｃｎ）是Ｆｑ中Ｈａｍｍｉｎｇ权为ｌ的向量，即ｃ有ｌ个分ｎ量ｃｊ１，… ，ｃｊｌ不为零，而其余分量为零，则ｃ１ｃ ∈ Ｃ骋０＝Ｈｃ＝（ｕ１，… ，ｕｎ） ⁝ ｃｎＴ＝ｃｊ１ｕｊ１＋ … ＋ｃｊｌｕｊｌ。这表明：Ｃ中每个权为ｌ的非零码字对应给出Ｈ中ｌ个Ｆｑ唱线性相关的列向量。从而Ｃ的最小距离（即非零码字的最小权）就等于ｕ１，… ，ｕｎ中线性相关列向量的最少个数。由此即证引理。由于线性码Ｃ中的基有不同的选取方式，所以Ｃ的生成阵不是惟一的。习题１设Ｃ是参数［ｎ，ｋ］的ｑ元线性码，Ｇ是Ｃ的一个生成阵。则（１）对每个Ｆｑ上ｋ × ｎ的矩阵Ｇ′ ，Ｇ′是Ｃ的生成阵当且仅当存在Ｆｑ上ｋ阶可逆方阵Ａ，使得Ｇ′ ＝ＡＧ。（２）Ｆｑ上（ｎ－ｋ） × ｎ的矩阵Ｈ是Ｃ的校验阵当且仅当Ｈ的秩为ｎ－ｋ并且ＧＨ＝０ｋ，ｎ－ｋ（ｋ × （ｎ－ｋ）的零矩阵）。Ｔ（３）存在着与Ｃ等价的线性码Ｃ′ ，使得Ｃ′具有以下形式的生成阵Ｇ′ ＝［Ｉｋ ┆ Ｐ］，其中Ｉｋ是ｋ阶单位方阵，Ｐ是Ｆｑ上ｋ × （ｎ－ｋ）的矩阵。并且这时，Ｃ′有校验阵Ｈ′ ＝［－Ｐ ┆ Ｉｎ－ｋ］。Ｔ例１考虑以Ｇ＝０１１１００１１１００１０１０１１０１１１１０１１１１１为生成阵的二元线性码Ｃ，Ｇ的前４列构成的行列式其值为１，于是Ｇ的秩为４，可知Ｃ是［ｎ，ｋ］＝［７，４］的二元线性码。这个码具有码字（１０００１１０）（Ｇ的４行之和），（０１０００１１）（Ｇ的第１，２，４行之和），（００１０１１１）（Ｇ的第１行），（０００１１０１）（Ｇ的第１，３，４行之和）。这４个码字是线性无关的，从而也构成线性码Ｃ的一组基。于是Ｃ也有生成阵第２章１０Ｇ′ ＝Ｉ４１１线性码０１＝（Ｉ４ ┆ Ｐ）。１１１１０１由习题１（３）便可写出线性码Ｃ的一个校验阵１０１１１００Ｈ＝（Ｐ ┆ Ｉ３）＝１１１００１０。０１１１００１二元矩阵Ｈ的７列恰好是Ｆ２上长为３的全部非零列向量，任意两列均线性无关，而第１列和第２列相加为第４列，即第１，２，４这三列线性相关，由引理２．１．３可Ｔ知线性码Ｃ的最小距离为３。即Ｃ是［ｎ，ｋ，ｄ］＝［７，４，３］的二元线性码。写出它的全部１６个码字，可知这就是１．２节例３中给出的纠错码（二元完全码）。线性码的校验阵不仅可用来决定码的最小距离，而且还可用来纠错。定理２．１．４（线性码的纠错译码算法）设Ｃ是参数［ｎ，ｋ，ｄ］的ｑ元线性码，ｄ－１ｌ＝，并且Ｃ有校验阵２Ｈ＝（ｕ１，… ，ｕｎ），其中ｕｉ（１ ≤ ｉ ≤ ｎ）均是Ｆｑ上长为ｎ－ｋ的列向量。如果码字ｃ ∈ Ｃ在传送时错位个数 ≤ ｌ，即收到向量ｙ＝ｃ＋ ε ，其中ｗ（ε） ≤ ｌ。则用下列算法可以纠错。（１）计算ｖ＝Ｈｙ，Ｔ这是Ｆｑ上长为ｎ－ｋ的列向量，叫作ｙ的校验向量；（２）如果ｖ＝０（零向量），则 ε＝０，ｙ＝ｃ（无错）；（３）如果ｖ ≠ ０，则ｖ必可表示成ｕ１，… ，ｕｎ当中不超过ｌ个列向量的线性组合：ｖ＝ａｉ１ｕｉ１＋ … ＋ａｉｔｕｉｔ（１ ≤ ｉ１＜ｉ２＜ … ＜ｉｔ ≤ ｎ），（１）其中１ ≤ ｔ ≤ ｌ，而ａｉ１，… ，ａｉｔ均是Ｆｑ中非零元素，这时， ε ＝（ε１，ε２，… ，εｎ），其中 εｉ１＝ａｉ１，… ，εｉｔ＝ａｉｔ，而当ｉ ≠ ｉ１，… ，ｉｔ时，εｉ＝０，于是ｃ＝ｙ－ ε 。换句话说，传送时出现了ｔ位错误，错位为ｉ１，ｉ２，… ，ｉｔ，而错值分别为ａｉ１，… ，ａｉｔ。证明由于ｃ是码字，从而Ｈｃ＝０。于是Ｔｖ＝ＨｙＴ＝Ｈ（ｃ＋ ε ）＝Ｈε ＝ ε１ｕ１＋ ε２ｕ２＋ … ＋ εｎｕｎ。ＴＴＴ１７１８纠错码的代数理论由于ｗ（ε） ≤ ｌ，可知ｖ必是ｕ１，… ，ｕｎ当中不超过ｌ个的线性组合。为了证明上面译码算法的正确性，我们只需证明：将ｖ表示成ｕ１，… ，ｕｎ中不超过ｌ个列向量线性组合的方式是惟一的。现在设有两个向量ａ＝（ａ１，… ，ａｎ），ｂ＝（ｂ１，… ，ｂｎ） ∈ Ｆｑ，ｗ（ａ） ≤ ｌ，ｗ（ｂ） ≤ ｌ，使得ｎＨａ＝ａ１ｕ１＋ … ＋ａｎｕｎ＝ｖ，Ｈｂ＝ｂ１ｕ１＋ … ＋ｂｎｕｎ＝ｖ，ＴＴ于是Ｈ（ａ－ｂ）Ｔ＝ｖ－ｖ＝０。从而ａ－ｂ ∈ Ｃ。但是ｗ（ａ－ｂ） ≤ ｗ（ａ）＋ｗ（ｂ） ≤ ２ｌ＜ｄ，而Ｃ中非零码字的Ｈａｍｍｉｎｇ权均 ≥ ｄ。这表明ａ－ｂ＝０，即ａ＝ｂ，这就表明ｖ表成ｕ１，… ，ｕｎ中不超过ｌ个列向量线性组合的方式是惟一的。所以由译码算法中的表达式（１）得到的错误向量 ε 是正确的，证毕。继续前面的例１。即考虑以１０１１０１Ｈ＝１１１１０１１００００１０＝（ｕ１ｕ２ｕ３ｕ４ｕ５ｕ６ｕ７）０１为校验阵的二元线性码Ｃ。它的最小距离为ｄ＝３，从而可纠ｌ＝１个错。设发出码字ｃ＝（０１０１１１０） ∈ Ｃ（它是生成阵Ｇ中第２，３行之和）。传送时出现１位错误：ε＝（０１０００００），于是收到向量为ｙ＝ｃ＋ ε＝（０００１１１０）。我们计算校验向量ｖ＝ＨｙＴ１１０＝０１１１１１１０１１００１００００１０００１＝１１００１＝ｕ２，１可知第２位出现错误，于是得出 ε ＝（０１０００００），而ｃ＝ｙ－ ε ＝（０００１１１０）＋（０１０００００）＝（０１０１１１０）。例２设Ｃ是以Ｆ７上的矩阵Ｈ＝１０１１２１３１００１２２２３２１３２３３３１４２４３４１５２５３５１６２６２３６３１０＝００为校验阵的７元线性码。Ｈ中任意４列构成方阵１１１１１２４１１３２６１４２１１５４６１６１６第２章１ａ１１ａ２１ａ３１ａ４ａ１２ａ２２ａ３２ａ４ａ１ａ２ａ３ａ４３３３线性码，２３其中ａ１，ａ２，ａ３，ａ４是Ｆ７中不同元素。从而它的行列式（Ｖａｎｄｅｒｍｏｎｄｅ行列式）不为零。这表明Ｈ中任意４列均线性无关。特别地，Ｈ的秩为４。Ｈ中任意５列显然线性相关，于是ｄ＝５。所以Ｃ是Ｆ７上参数为［ｎ，ｋ，ｄ］＝［７，３，５］的线性码（这是ＭＤＳ码）。对于每个ｖ＝（ｖ０，… ，ｖ６） ∈ Ｆ７，ｖ ∈ Ｃ当且仅当Ｈｖ＝０，所以线性码Ｃ是线性方程组ｖ０＋ｖ１＋ｖ２＋ｖ３＋ｖ４＋ｖ５＋ｖ６＝０，７Ｔｖ１＋２ｖ２＋３ｖ３＋４ｖ４＋５ｖ５＋６ｖ６＝０，ｖ１＋４ｖ２＋２ｖ３＋２ｖ４＋４ｖ５＋ｖ６＝０，ｖ１＋ｖ２＋６ｖ３＋ｖ４＋６ｖ５＋６ｖ６＝０，在Ｆ中的所有解（ｖ０，ｖ１，… ，ｖ６）组成的。分别令（ｖ４，ｖ５，ｖ６）＝（１，０，０），（０，１，０）和（０，０，１），得到（ｖ０，ｖ１，ｖ２，ｖ３）＝（１，３，６，３），（４，６，６，４）和（３，６，３，１）。于是得到线性码Ｃ的生成阵１３６３１００Ｇ＝４６６４０１０。３６３１００１由于ｄ＝５，从而可以纠正 ≤ ２位错。设发出码字ｃ＝（１３６３１００），信道传送时有两位错误：ε＝（０１００２００）。从而收到ｙ＝ｃ＋ ε＝（１４６３３００）。收方计算校验向量１４１１１１１１１３６０１２３４５６２ＴＨｙ＝３＝０１４２２４１５３０１１６１６６３００１１１４＝＋２· （Ｈ的第２列加上第５列的２倍）。１２１１由定理２．１．４可知，错误在第２位和第５位，错值分别为１和２。即 ε ＝（０１００２００），于是发出的码字为ｃ＝ｙ－ ε＝（１４６３３００）－（０１００２００）＝（１３６３１００）。７７１９２０纠错码的代数理论定义２．１．５的内积为对于Ｆｑ中的向量ｖ＝（ｖ１，… ，ｖｎ）和ｕ＝（ｕ１，… ，ｕｎ），定义它们ｎ（ｖ，ｕ）＝ｖ１ｕ１＋ … ＋ｖｎｕｎ＝ｖｕ ∈ Ｆｑ。Ｔ易知（ｖ，ｕ）＝（ｕ，ｖ），并且对于 α ，β ∈ Ｆｑ，ｖ１，ｖ２，ｕ ∈ Ｆｑ，（αｖ１＋ βｖ２，ｕ）＝ α（ｖ１，ｕ）＋ β（ｖ２，ｕ）。如果（ｖ，ｕ）＝０，称ｖ和ｕ正交。注意在有限域上的向量空间中，非零向量可２以自正交，例如在Ｆ２中，对于ｖ＝（１，１），（ｖ，ｖ）＝１ · １＋１ · １＝０。ｎ设Ｃ是Ｆｑ上参数为［ｎ，ｋ］的线性码，则Ｆｑ的子集合ｎＣ＝｛ｖ ∈ Ｆｑ｜对每个ｃ ∈ Ｃ，（ｖ，ｃ）＝０｝ｎ ⊥ 也是Ｆｑ上的线性子空间，并且ｄｉｍＦｑＣ＋ｄｉｍＦｑＣ＝ｎ，所以Ｃ是参数为［ｎ，ｎ－ｋ］ ⊥ ⊥ 的ｑ元线性码，叫作线性码Ｃ的对偶码。如果Ｃ彻Ｃ，称Ｃ为自正交码。若 ⊥ ⊥ ⊥ Ｃ＝Ｃ，则Ｃ叫自对偶码。对于自对偶码Ｃ，ｄｉｍＣ＋ｄｉｍＣ＝ｎ，ｄｉｍＣ＝ｄｉｍＣ，ｎ。从而ｄｉｍＣ＝２ ⊥ 定理２．１．６设Ｃ是Ｆｑ上线性码。则（１）（Ｃ）＝Ｃ； ⊥ （２）若Ｇ是线性码Ｃ的生成阵，则Ｇ是线性码Ｃ的校验阵。 ⊥ 若Ｈ是线性码Ｃ的校验阵，则Ｈ是线性码Ｃ的生成阵。 ⊥ ⊥ （１）设线性码Ｃ的参数为［ｎ，ｋ］。由对偶码的定义可知ｄｉｍＦｑＣ＝证明 ⊥ ｎ－ｄｉｍＦｑＣ＝ｎ－ｋ。同样由定义可知（Ｃ）澈Ｃ，因为Ｃ中每个码字均与Ｃ中 ⊥ ⊥ ⊥ 所有码字正交。但是ｄｉｍ（Ｃ）＝ｎ－ｄｉｍＣ＝ｎ－（ｎ－ｋ）＝ｋ＝ｄｉｍＣ。所以（Ｃ ⊥ ） ⊥ ＝Ｃ。ｖ１ ⊥ （２）设Ｇ＝ ⁝ ｖｋ ⊥ ⊥ ，ｖｉ ∈ Ｆｑ（１ ≤ ｉ ≤ ｋ）。则对每个ｖ ∈ Ｆｑ，ｎｎｖ ∈ Ｃ骋（ｖ，ｃ）＝０（对每个ｃ ∈ Ｃ）骋（ｖ，ｖｉ）＝０（１ ≤ ｉ ≤ ｋ）（因为ｖ１，… ，ｖｋ是Ｃ的一组基） ⊥ 骋ＧｖＴ＝０（零列向量）， ⊥ Ｔ这就表明Ｇ是Ｃ的校验阵。另一方面，由ＧＨ＝０可知Ｈ的每个行向量均属 ⊥ ⊥ 于Ｃ。但是Ｈ的ｎ－ｋ个行向量是线性无关的，从而张成整个Ｃ（因为 ⊥ ⊥ ｄｉｍＣ＝ｎ－ｋ）。于是Ｈ为Ｃ的生成阵。第２章例３线性码考虑例１中以００１０１１１１００１０１１Ｇ＝１１００１０１１１１１１１１为生成阵的二元线性码Ｃ，它的参数为（ｎ，ｋ，ｄ）＝［７，４，３］。它的扩充码８Ｃ′ ＝｛（ｃ１，ｃ２，… ，ｃ７，ｃ８） ∈ Ｆ２｜（ｃ１，ｃ２，… ，ｃ７） ∈ Ｃ，ｃ１＋ｃ２＋ … ＋ｃ７＋ｃ８＝０｝８是Ｆ２中的线性码，参数为［８，４，４］（见后面习题２），并且Ｃ′有生成阵ｖ１００１０１１１０ｖ２１００１０１１０Ｇ′ ＝＝。１１００１０１０ｖ３１１１１１１１１ｖ４不难验证Ｇ′的４个行向量相互正交，即对任意１ ≤ ｉ，ｊ ≤ ４，（ｖｉ，ｖｊ）＝０。从而Ｃ′ ８是自正交码。再由ｄｉｍＣ′ ＝４＝，可知Ｃ′是自对偶码。２习题２设Ｃ是参数为［ｎ，ｋ，ｄ］的二元线性码，其中ｄ为正奇数。则扩充码ｎ＋１Ｃ′ ＝｛（ｃ１，… ，ｃｎ，ｃｎ＋１） ∈ Ｆ２｜（ｃ１，… ，ｃｎ） ∈ Ｃ，ｃ１＋ … ＋ｃｎ＋ｃｎ＋１＝０｝是参数为［ｎ＋１，ｋ，ｄ＋１］的二元线性码。习题３设ｎ ≥ １（１）求证重复码Ｃ＝｛（ｃｃｎ个… ｃ）｜ｃ ∈ Ｆｑ｝是ｑ元线性码并决定Ｃ的码长，信息位数和最小距离；（２）给出重复码Ｃ的一个生成阵和校验阵； ⊥ （３）决定对偶码Ｃ的最小距离。习题４设Ｃ１和Ｃ２是ｑ元线性码，证明（１）Ｃ１磑Ｃ２是线性码并且（Ｃ１磑Ｃ２） ⊥ ＝Ｃ１磑Ｃ２；（２）若Ｇ１和Ｈ１分别是Ｃ１的生成阵和校验阵，Ｇ２和Ｈ２分别是Ｃ２的生成阵和校验阵，证明Ｇ１０Ｈ１０Ｇ＝，Ｈ＝０Ｇ２０Ｈ２分别是Ｃ１磑Ｃ２的生成阵和校验阵；（３）若Ｃ１和Ｃ２分别是参数［ｎ１，ｋ１，ｄ１］和［ｎ２，ｋ２，ｄ２］的ｑ元线性码，试决定ｑ元线性码Ｃ１磑Ｃ２＝｛（ｃ１，ｃ２）｜ｃ１ ∈ Ｃ１，ｃ２ ∈ Ｃ２｝的参数。 ⊥ ⊥ ２１２２纠错码的代数理论２畅２完全线性码：Ｈａｍｍｉｎｇ码和Ｇｏｌａｙ码ｎ线性码是纠错码当中的一部分（因为线性码不仅是Ｆｑ的子集合，而且要求是ｎＦｑ的线性子空间）。但是多数性能良好的纠错码都是线性码。本节中我们介绍一类好的线性码：完全线性码。根据定义，参数为［ｎ，ｋ，ｄ］的ｑ元码叫作完全码，是指它达到Ｈａｍｍｉｎｇ界（定义１．３．２），即ｄ＝２ｌ＋１并且ｑｎ－ｋｌ＝ ∑ ｉ＝０ｉ（ｑ－１）ｎｉ。首先，我们有两类平凡的完全线性码：ｎ（１）ｑ元线性码［ｎ，ｎ，１］，即Ｃ＝Ｆｑ。这时ｌ＝０，ｋ＝ｎ。易知这是完全码。（２）对于ｎ＝２ｌ＋１，ｑ＝２，Ｃ由码长为２ｌ＋１的零向量和全１向量（１，１，… ，１）２ｌ＋１ ∈ Ｆ２两个码字组成的二元线性码，参数为［ｎ，ｋ，ｄ］＝［２ｌ＋１，１，２ｌ＋１］。由于ｌｌｌｎｎｎ１＝＋ ∑ ∑ ∑ ２ｉ＝０ｉ＝０ｉ＝０ｉｉｎ－ｉ＝１２ｌ ∑ ｉ＝０ｎ＋ｉｎ ∑ ｉ＝ｌ＋１ｎｉ＝１２ｎ ∑ ｉ＝０ｎｎ－１ｎ－ｋ＝２＝２，ｉ可知它们为完全码。ｍｍ现在介绍一类重要的完全线性码。设ｍ ≥ ２，Ｆｑ中非零向量共ｑ－１个。其倡中任意两个非零向量ｖ１和ｖ２是Ｆｑ唱线性相关的，当且仅当存在 α ∈ Ｆｑ，使得ｖ１＝ α ｖ２。我们将这样两个非零向量叫作是射影等价的。这是一个等价关系。每个等价类中均恰好有ｑ－１个向量（因为与非零向量ｖ等价的向量为 αｖ（α ∈ ｍｑ－１倡Ｆｑ））。从而共有个等价类。现在从每个等价类中取出一个代表向量，共ｑ－１ｍｑ－１取出ｎ＝个向量ｕ１，… ，ｕｎ，每个向量表成长为ｍ的列向量，排成Ｆｑ上一个ｑ－１ｍ × ｎ的矩阵Ｈｍ＝（ｕ１，… ，ｕｎ）定义２．２．１设ｍ ≥ ２，以Ｈｍ为校验阵的ｑ元线性码Ｃ叫作Ｈａｍｍｉｎｇ码。 · · 定理２．２．２Ｈａｍｍｉｎｇ码是参数为［ｎ，ｋ，ｄ］＝元完全线性码。ｑ－１ｑ－１，－ｍ，３的ｑｑ－１ｑ－１ｍｍ第２章证明线性码（１，０，… ，０），（０，１，０，… ，０），… ，（０，０，… ，０，１）属于不同的射影等价类。这ｍ个等价类取出的代表元构成矩阵Ｈ中ｍ个列向量是线性无关的。这表明Ｈ的秩为ｍ。于是ｎ＝ｑ－１ｑ－１（等价类数），ｋ＝ｎ－ｍ＝－ｍ。进而，Ｈｑ－１ｑ－１ｍｍ中诸列属于不同的等价类，所以任意两个不同的列是线性无关的。特别地，任意两个不同列之和是非零向量，从而必与Ｈ中某个列向量等价。于是这三列是线性相关的，这表明ｄ＝３（引理２．１．３）。最后，由于１ ∑ ｉ＝０ｉｍｍｎ－ｋ（ｑ－１）ｎｉ＝１＋（ｑ－１）ｎ＝１＋ｑ－１＝ｑ＝ｑ，可知Ｈａｍｍｉｎｇ码是完全码。例４（二元Ｈａｍｍｉｎｇ码）当ｑ＝２时，Ｈｍ即是由全部２－１个长为ｍ的非ｍ零列向量构成的矩阵。从而二元Ｈａｍｍｉｎｇ码的参数为［ｎ，ｋ，３］＝［２－１，２－ｍｍ１－ｍ，３］（对每个ｍ ≥ ２）。比如对于ｍ＝３，Ｈ３＝１０００１０００１０１１１０１１１１１＝（Ｉ３ ┆ Ｐ），０１从而以Ｈ３为校验阵的二元Ｈａｍｍｉｎｇ码有生成阵Ｇ３＝（Ｐ ┆ Ｉ４）＝Ｔ０１１１１０１１１１０１１００００１００００１０００。０１这个二元线性码的参数为［７，４，３］。不难看出，这个线性码与２．１节例１中的线性码是等价的，因为这两个码的校验阵中诸列只是排列的次序不同。例５取ｑ＝３，ｍ＝３，则Ｆ３中非零向量共有３ｑ－１３－１＝＝１３个等价类。ｑ－１３－１３３取出１３个代表向量组成Ｆ３上矩阵Ｈ３＝１００００１０１００１１０１２１０１１０２１１０１１２１０１１１２１２１１２＝（Ｉ３ ┆ Ｐ）２以Ｈ３为校验阵的三元Ｈａｍｍｉｎｇ码是参数［ｎ，ｋ，ｄ］＝［１３，１０，３］的完全码，它有生成阵Ｇ３＝（－Ｐ ┆ Ｉ１０）。Ｔ２３２４纠错码的代数理论现在介绍１９４９年Ｇｏｌａｙ发现的两个完全线性码。一个参数为［ｎ，ｋ，２ｌ＋１］的ｑ元完全码要满足ｑｎ－ｋｌ＝ ∑ ｉ＝０ｉ（ｑ－１）ｎｉ。满足这个等式的ｎ，ｋ，ｄ（＝２ｌ＋１）和ｑ（为素数幂）是很少的。Ｇｏｌａｙ首先求出满足这个等式的三组参数（ｑ，ｎ，ｋ，ｄ）＝（２，２３，１２，７），（２，９０，７８，５）和（３，１１，６，５）。他证明了：参数为［９０，７８，５］的二元线性码是不存在的。然后通过精细的组合学考虑，构作出二元线性码［２３，１２，７］和三元线性码［１１，６，５］。先介绍二元Ｇｏｌａｙ线性码［２３，１２，７］。由２．１节的习题２知道，若存在二元线性码［２３，１２，７］，则存在扩充的二元线性码［２４，１２，８］。Ｇｏｌａｙ先构作了二元线性码［２４，１２，８］，然后通过“收缩”得到二元线性码［２３，１２，７］。定理２．２．３（Ｇｏｌａｙ）０１１１１１Ｐ＝１１１１１１０１１１１１＝１１１１１１设１１１１１１１０１１１０１１１０１１１０１１１００１１０００１０００１０００１０００１０１０１０１１１０１１００１１０１１１１１１Ｐ′ １１０００１０１１０１１１１０００１０１１０１１１１１００１０１１０１１１０１１０１０１１０１１１００１１１０１１０１１１０００１１０１１０１１１０００１１，第２章线性码则以Ｇ＝（Ｉ１２ ┆ Ｐ）为生成阵的二元线性码Ｇ２４具有参数［ｎ，ｋ，ｄ］＝［２４，１２，８］。证明我们首先说明一下Ｆ２上１２阶方阵Ｐ的构作方式，这个方阵的左上角元素为０，第１行和第１列中的其他元素均为１，剩下的１１阶方阵Ｐ′ ，其第１行为（１１０１１１０００１０），而其余诸行依次为第１行向左循环移位。由于Ｇ中有子方阵Ｉ１２，可知Ｈ的秩为１２，于是［ｎ，ｋ］＝［２４，１２］。为了证明ｄ＝８，我们要分几步进行。（１）Ｇ２４是自对偶码首先证明Ｇ２４是自正交码，这只需验证生成阵Ｇ中任意两行（包括每行和它自身）都是正交的，由于Ｇ的每行都包含偶数个１，所以每行都是自正交的，于是只需验证Ｇ中任意两个不同行向量是自正交的。由于生成阵Ｇ的左半部分Ｉ１２中任意两个不同行向量是正交的，所以只需证右半部分Ｐ的任意两个不同行向量是正交的，由于Ｐ′中每行均有６个１，可知Ｐ的第１行与其余诸行均正交，所以只需再验证Ｐ的后１１行彼此正交，这也相当于验证方阵Ｐ′的任两个不同行的内积均为１。再由方阵Ｐ′ 的循环特性，可知只需验证Ｐ′ 的第１行（１１０１１１０００１０）和其余诸行（即第１行的所有循环移位）的内积均为１，这件事容 ⊥ ⊥ 易逐个验证，于是证明了Ｇ２４是自正交码，即Ｇ２４彻Ｇ２４，但是ｄｉｍＧ２４＝２４－１２＝１２＝ｄｉｍＧ２４，从而Ｇ２４＝Ｇ２４，即Ｇ２４是自对偶码。（２）（Ｐ ┆ Ｉ１２）也是Ｇ２４的生成阵 ⊥ 由于Ｐ＝Ｐ，可知（Ｐ ┆ Ｉ１２）＝（Ｐ ┆ Ｉ１２）是Ｇ２４的校验阵，但是Ｇ２４为自对偶码，所以（Ｐ ┆ Ｉ１２）也是Ｇ２４的生成阵。（３）Ｇ２４中每个码字的Ｈａｍｍｉｎｇ权都是４的倍数对于向量ｕ＝（ｕ１，… ，ｕ２４）和ｖ＝（ｖ１，… ，ｖ２４） ∈ Ｆ２４，定义２ＴＴｕ ∩ ｖ＝（ｕ１ｖ１，… ，ｕ２４ｖ２４） ∈ Ｆ２。２４于是当ｕ，ｖ ∈ Ｇ２４时，ｗ（ｕ ∩ ｖ）＝２４ ∑ ｉ＝１ｕｉｖｉ ≡ （ｕ，ｖ） ≡ ０（ｍｏｄ２）（（ｕ，ｖ）＝０是由于Ｇ２４为自对偶码）。即ｗ（ｕ ∩ ｖ）均为偶数。进而，对每个 α ∈ Ｆ２，以ｗ（α）表示 α 的Ｈａｍｍｉｎｇ权，即ｗ（０）＝０，ｗ（１）＝１。容易验证：ｗ（ｕｉ＋ｖｉ）＝ｗ（ｕｉ）＋ｗ（ｖｉ）－２ｗ（ｕｉｖｉ），于是对于Ｆ２中任意向量ｕ和ｖ，ｗ（ｕ＋ｖ）＝ｗ（ｕ）＋ｗ（ｖ）－２ｗ（ｕ ∩ ｖ）。（２）Ｇ２４中每个码字ｃ都是生成阵Ｇ＝（Ｉ１２ ┆ Ｐ）中一些行之和，容易看出Ｇ中每行的Ｈａｍｍｉｎｇ权均是４的倍数，如果码字ｃ是Ｇ中两行ｕ和ｖ之和，由于ｗ（ｕ）和ｗ（ｖ）均是４的倍数，上面证明了ｗ（ｕ∩ ｖ）为偶数，由式（２）知ｗ（ｃ）＝ｗ（ｕ＋ｖ）也是４的倍数。进而，若码字ｃ是Ｇ中三行ｖ１，ｖ２，ｖ３之和，令ｕ＝ｖ１＋ｖ２，ｖ＝２４２５２６纠错码的代数理论ｖ３，再利用式（２）便知ｗ（ｃ）＝ｗ（ｕ＋ｖ）也是４的倍数。继续下去便知Ｇ２４中每个码字的Ｈａｍｍｉｎｇ权均是４的倍数。（４）Ｇ２４中没有Ｈａｍｍｉｎｇ权为４的码字Ｇ２４中码字ｃ表示成（ｘ｜ｙ），其中ｘ和ｙ分别是码字ｃ的前１２位和后１２位，则ｗ（ｃ）＝ｗ（ｘ）＋ｗ（ｙ），如果ｗ（ｃ）＝４，则有以下几种可能。 ① ｗ（ｘ）＝０，ｗ（ｙ）＝４，ｃ是生成阵Ｇ＝（Ｉ１２ ┆ Ｐ）的某些行之和，而ｘ是单位方阵Ｉ１２中对应行之和，由ｗ（ｘ）＝０可知所取的行数为０，即ｃ是零向量，于是ｙ＝０，这与ｗ（ｙ）＝４相矛盾。换句话说，ｗ（ｘ）＝０，ｗ（ｙ）＝４是不可能的。同样地，由于（Ｐ┆ Ｉ１２）也是Ｇ２４的生成阵，可知ｗ（ｘ）＝４，ｗ（ｙ）＝０也不可能。 ② ｗ（ｘ）＝１，ｗ（ｙ）＝３，由ｗ（ｘ）＝１知ｃ为生成阵Ｇ＝（Ｉ１２ ┆ Ｐ）中的某１行，但是Ｐ中每行的Ｈａｍｍｉｎｇ权均大于３，所以ｗ（ｘ）＝１，ｗ（ｙ）＝３是不可能的，同样地用生成阵（Ｐ ┆ Ｉ１２），可知ｗ（ｘ）＝３，ｗ（ｙ）＝１也不可能。 ③ ｗ（ｘ）＝ｗ（ｙ）＝２，这时ｃ是生成阵（Ｉ１２ ┆ Ｐ）中两行之和，但是Ｐ中任意两行之和的Ｈａｍｍｉｎｇ权均不为２，所以ｗ（ｘ）＝ｗ（ｙ）＝２也不可能。综合上述，便知Ｇ２４中没有Ｈａｍｍｉｎｇ权为４的码字。现在证明定理２．２．３：由（３）和（４）可知Ｇ２４中每个非零码字的Ｈａｍｍｉｎｇ权均 ≥ ８，由于生成阵（Ｉ１２ ┆ Ｐ）的第２行Ｈａｍｍｉｎｇ权为８，于是ｄ＝８，这就完成了定理２．２．３的证明。推论２．２．４（Ｇｏｌａｙ）全码。存在参数为［２３，１２，７］的二元线性码Ｇ２３，并且是完证明考虑将二元线性码Ｇ２４的所有码字去掉最后一位而得到的集合２３Ｇ２３＝｛（ｃ１，… ，ｃ２３） ∈ Ｆ２｜存在ｃ２４ ∈ Ｆ２，使得（ｃ１，… ，ｃ２３，ｃ２４） ∈ Ｇ２４｝。易知这是二元线性码（叫Ｇ２４的收缩码）。将Ｇ２４的生成阵（Ｉ１２ ┆ Ｐ）去掉最后一列，便是Ｇ２３的生成阵。由于这个生成阵仍包含子阵Ｉ１２，从而秩为１２，于是Ｇ２３的参数［ｎ，ｋ］＝［２３，１２］。进而，由于Ｇ２４的最小距离为８，码字去掉１位之后，可知Ｇ２３的最小距离 ≥ ７，容易看出Ｇ２３中有权７的码字，因此Ｇ２３的最小距离为７。最后，由于３ ∑ ｉ＝０ｎ＝ｉ２３２３２３２３＋＋＋＝１＋２３＋２３ · １１＋２３ · １１ · ７０１２３＝２０４８＝２可知Ｇ２３为完全码。１１＝２ｎ－ｋ，第２章线性码最后介绍Ｇｏｌａｙ的三元线性码Ｇ１１，它是参数［ｎ，ｋ，ｄ］＝［１１，６，５］的完全码。其构作方式与二元线性码Ｇ２３相似。定理２畅２畅５（Ｇｏｌａｙ）（１）以Ｇ＝（Ｉ６ ┆ Ｐ）＝Ｉ６０１１１１１１０１２２１１１０１２２１２１０１２１２２１０１１１２＝２１０Ｉ６０１１１１１１１１１１Ｐ′ 为生成阵的三元线性码Ｇ１２是［ｎ，ｋ，ｄ］＝［１２，６，６］的自对偶码。（２）将Ｇ１２中所有码字去掉末位，得到的收缩码Ｇ１１是［ｎ，ｋ，ｄ］＝［１１，６，５］的三元线性码，并且是完全码。证明仿照定理２．２．３和推论２．２．４的证明。请读者自行补足。１９６０年以前，人们猜想已经找到了所有的完全码。确切地说，猜想每个ｑ元完全码（ｑ为素数幂）均为平凡完全码，或者等价于Ｈａｍｍｉｎｇ码、二元Ｇｏｌａｙ码Ｇ２３和三元Ｇ１１当中的一个。但是在１９６２年至１９６８年，人们对每个ｑ均陆续得到非线性的完全码，参数和Ｈａｍｍｉｎｇ码相同，而与Ｈａｍｍｉｎｇ码不等价。后来人们又提出一个较弱的猜想：每个非平凡的ｑ元完全码（线性或非线性，ｑ为素数幂），其参数ｎ，ｋ，ｄ必与Ｈａｍｍｉｎｇ码或Ｇｏｌａｙ码的参数一致。这个猜想于１９７３年由Ｔｉｅｔ惫ｖ惫ｉｎｅｎ唱ｖａｎＬｉｎｔ和Ｚｉｎｏｖ＇ｅｖ唱Ｌｅｏｎｔ＇ｅｖ独立地证明。１９７５年，Ｄｅｌｓａｒｔｅ和Ｇｏｅｌｈａｌｓ证明了：具有参数［２３，１２，７］的二元线性码和参数［１１，６，５］的三元码（线性或非线性）必分别等价于Ｇｏｌａｙ码Ｇ２３和Ｇ１１。另一方面，具有Ｈａｍｍｉｎｇ码参数ｑ－１ｑ－１，－ｍ，３的ｑ元码共有多少彼此不等ｑ－１ｑ－１ｍｍ价的？这是一个相当困难的未解决问题。人们相信：有成千个彼此不等价的非线性二元码具有参数［１５，１１，３］（ｑ＝２，ｍ＝４）。二元Ｇｏｌａｙ码Ｇ２３是参数为［２３，１１，７］的线性码，所以可以纠正 ≤ ３位错误。我们可以根据定理２．１．４，采用线性码的一般纠错译码算法。在传送码字ｃ ∈ ２３Ｇ２３时发生不超过３位的错误 ε ∈ Ｆ２，０ ≤ ｗ（ε） ≤ ３。接收到ｙ＝ｃ＋ ε 之后，计算ｖ＝ｙＨＴ，其中Ｈ是Ｇ２３的一个校验阵，然后看ｖ是Ｈ中不超过３个列向量之和，由此决定错误 ε ，得到正确码字ｃ＝ｙ＋ ε 。现在我们用二元Ｇｏｌａｙ码作为例子，说明如何利用一个线性码的特殊代数结构和组合结构，可以得到更方便和有效２７２８纠错码的代数理论的纠错译码算法。我们先考虑二元Ｇｏｌａｙ码Ｇ２４＝［２４，１２，８］，研究如何利用此码的特殊结构纠正 ≤ ３位错。这个自对偶二元线性码有校验阵Ｈ＝［Ｉ１２ ┆ Ｐ］和生成阵Ｇ＝ＴＴ（Ｐ ┆ Ｉ１２）。由于Ｐ＝Ｐ，并且Ｇ２３是自对偶码，所以Ｇ＝（Ｐ ┆ Ｉ１２）也是校验阵。设码字ｃ ∈ Ｇ２４在传输中有错误 ε ＝（ε１｜ε２） ∈ Ｆ２，０ ≤ ｗ（ε） ≤ ３。其中 ε１，ε２ ∈ ２４Ｆ２，于是０ ≤ ｗ（ε）＝ｗ（ε１）＋ｗ（ε２） ≤ ３。令ｂ１１２Ｐ＝ ⁝ ｂ１２，ｂｉ ∈ Ｆ２１２由于Ｈ既是校验阵也是生成阵，可知（１ ≤ ｉ ≤ １２）。Ｉ２＝Ｉ＋Ｐ，Ｐ２从而Ｐ＝Ｉ１２。我们可以用两个校验阵Ｈ＝（Ｉ ┆ Ｐ）和Ｇ＝（Ｐ ┆ Ｉ）来计算ｙ的校验向量：ＩＴＴｓ１＝ｙＨ＝ εＨ＝（ε１｜ ε２）＝ ε１＋ ε２Ｐ，ＰＰＴＴ２ｓ２＝ｙＧ＝ εＧ＝（ε１｜ ε２）＝ ε１Ｐ＋ ε２＝ｓ１Ｐ（由于Ｐ＝Ｉ）。Ｉ１２我们以ｅｉ表示Ｆ２中向量，其第ｉ位为１，其余位均为０（１ ≤ ｉ ≤ １２）。由于ｗ（ε１）＋ｗ（ε２） ≤ ３，可知有以下两种可能：（１）ｗ（ε２）＝０，这时ｓ１＝ ε１，ｗ（ｓ１）＝ｗ（ε１） ≤ ３， ε＝（ε１｜０）＝（ｓ１｜０）。同样地，当ｗ（ε１）＝０时，ｓ２＝ ε２，ｗ（ｓ２） ≤ ３，而 ε＝（０｜ε２）＝（０｜ｓ２）。（２）如果 ε１，ε２均不为０，即ｗ（ε１） ≥ １，ｗ（ε２） ≥ １。由ｗ（ε１）＋ｗ（ε２） ≤ ３，可知必然ｗ（ε１）＝１或ｗ（ε２）＝１。如果ｗ（ε２）＝１，即 ε２＝ｅｉ（对某个ｉ，１ ≤ ｉ ≤ １２），则ｓ１＝ ε１＋ｅｉＰ＝ ε１＋ｂｉ。于是ｗ（ｓ１＋ｂｉ）＝ｗ（ε１） ≤ ２。这时 ε ＝（ｓ１＋ｂｉ｜ｅｉ）。同样地，如果ｗ（ε１）＝１，即 ε１＝ｅｊ（对某个ｊ，１ ≤ ｊ ≤ １２），则ｓ２＝ｅｊＰ＋ ε２＝ｂｊ＋ ε２，于是ｗ（ｓ２＋ｂｊ） ≤ ２，而 ε ＝（ｅｊ｜ｓ２＋ｂｊ）。通过以上分析，我们便得到用二元线性码Ｇ２４纠正 ≤ ３个位错的如下译码算法。设码字ｃ ∈ Ｇ２４发生错误 ε ，其中０ ≤ ｗ（ε） ≤ ３。收到ｙ＝ｃ＋ ε 。ＩＰ（１）计算校验向量ｓ１＝ｙ和ｓ２＝ｙ；ＰＩ（２）若ｓ１＝０或ｓ２＝０，则 ε＝０（ｙ＝ｃ）；（３）若ｗ（ｓ１） ≤ ３，则 ε＝（ｓ１｜０）；若ｗ（ｓ２） ≤ ３，则 ε＝（０｜ｓ２）；０＝ＨＨ＝（Ｉ ┆ Ｐ）Ｔ第２章线性码（４）若对某个ｂｉ，ｗ（ｓ１＋ｂｉ） ≤ ２，则 ε ＝（ｓ１＋ｂｉ｜ｅｉ）。若对某个ｂｊ，ｗ（ｓ２＋ｂｊ） ≤ ２，则 ε＝（ｅｊ｜ｓ２＋ｂｊ）。其中ｂｉ（１ ≤ ｉ ≤ １２）是Ｐ的１２个行向量，Ｐ如定理２．２．３中所示。例如：收到ｙ＝（０００１１１０００１１１｜０１１０１１０１００００）＝（ｙ１｜ｙ２）（１）计算Ｉｓ１＝ｙ＝ｙ１＋ｙ２Ｐ＝（０００１１１０００１１１）＋（１０１０１０１０１０１１）Ｐ＝（１０１１０１１０１１００），ｓ２＝ｙ１Ｐ＋ｙ２＝（０１１０１０１００１０１）＋（０１１０１１０１００００）＝（０００００１１１０１０１）。（２）ｓ１ ≠ ０，ｓ２ ≠ ０。（３）ｗ（ｓ１）＞３，ｗ（ｓ２）＞３。（４）ｓ１＋ｂ９＝（１０１１０１１０１１００）＋（１００１０１１０１１１０）＝（００１０００００００１０），ｗ（ｓ１＋ｂ９）＝２。于是 ε ＝（ｓ１＋ｂ９｜ｅ９）＝（００１０００００００１０｜００００００００１０００），从而正确码字为ｃ＝ｙ＋ ε＝（００１１１１０００１０１｜０１１０１１０１１０００）。现在考虑Ｇ２３的译码。我们知道Ｇ２３中的码字是将Ｇ２４中码字去掉最末位数２３字而得到的。设发出ｃ＝（ｃ１，ｃ２，… ，ｃ２３） ∈ Ｇ２３，发生错误 ε ∈ Ｆ２，０ ≤ ｗ（ε） ≤ ３，收２。考虑向量到向量ｙ＝ｃ＋ ε＝（ｙ１，… ，ｙ２３） ∈ Ｆ２３２ｙ′ ＝（ｙ１，… ，ｙ２３，ｙ２４） ∈ Ｆ２４，ｙ２４＝ｙ１＋ … ＋ｙ２３＋１。由于ｙ和Ｇ２３中码字的最小Ｈａｍｍｉｎｇ距离不超过３，可知ｙ′与Ｇ２４中码字的最小Ｈａｍｍｉｎｇ距离不超过４。但是Ｇ２４中每个码字的Ｈａｍｍｉｎｇ权均为偶数（因为Ｇ２４是自对偶码，每个码字都自正交），而ｙ′的Ｈａｍｍｉｎｇ权为奇数（由于ｙ１＋ … ＋ｙ２３＋ｙ２４＝１），所以ｙ′与Ｇ２４中每个码字的Ｈａｍｍｉｎｇ距离均为奇数。于是ｙ′与Ｇ２３中码字的最小Ｈａｍｍｉｎｇ距离仍不超过３。于是可以用上述Ｇ２４的译码算法，得到Ｇ２４中与ｙ′的Ｈａｍｍｉｎｇ距离不超过３的惟一码字ｃ′ ＝（ｃ１，ｃ２，… ，ｃ２３，ｃ２４） ∈ Ｇ２４。去掉末位Ｇ２４之后，就给出ｙ在Ｇ２３中的正确译码ｃ＝（ｃ１，… ，ｃ２３） ∈ Ｇ２３。２３例如：设发生ｃ＝（ｃ１，… ，ｃ２３） ∈ Ｇ２３，发生错误 ε ∈ Ｆ２，０ ≤ ｗ（ε） ≤ ３，收到向量为ｙ＝（０００１１１０００１１１０１１０１１０１０００） ∈ Ｆ２。由于ｙ中共有１１个分量为１，将后面加２３上０成为ｙ′ ∈ Ｆ２。用上述Ｇ２４的译码算法给出ｃ′ ＝（００００１１０００１１１０１１０１０００００００）。去掉末位数字０之后，便得到ｙ在Ｇ２３中的正确码字ｃ。２４习题１证明不存在参数为（ｎ，Ｋ，ｄ）＝（９０，２，５）的二元纠错码Ｃ。（提示：（ａ）不妨设０ ∈ Ｃ。则Ｃ中非零码字的Ｈａｍｍｉｎｇ权均 ≤ ５。定义Ｙ＝９０｛ｖ＝（ｖ１，… ，ｖ９０） ∈ Ｆ２｜ｗ（ｖ）＝３，ｖ１＝ｖ２＝１｝，则｜Ｙ｜＝８８。７８２９３０纠错码的代数理论（ｂ）对于Ｆ２中任意两个向量ｕ＝（ｕ１，… ，ｕｎ）和ｖ＝（ｖ１，… ，ｖｎ），称ｕ覆盖ｖ，是指对每个ｉ（１ ≤ ｉ ≤ ｎ），若ｖｉ＝１则必然ｕｉ＝１。ｎ对于Ｙ中每个向量ｙ，恰好存在一个以Ｃ中码字ｃ为中心，半径为２的球Ｓ（ｃ，２），使得ｙ ∈ Ｓ（ｃ，２）。证明ｗ（ｃ）＝５并且ｃ覆盖ｙ。（ｃ）考虑集合Ｘ＝｛ｃ＝（ｃ１，… ，ｃ９０） ∈ Ｃ｜ｗ（ｃ）＝５，ｃ１＝ｃ２＝１｝。我们用两种方法计算集合Ｄ＝｛（ｃ，ｙ）｜ｃ ∈ Ｘ，ｙ ∈ Ｙ，ｃ覆盖ｙ｝中元素个数。一方面，每个ｙ ∈ Ｙ被Ｘ中惟一的ｃ所覆盖，于是｜Ｄ｜＝｜Ｙ｜＝８８；另一方面，每个ｃ∈ Ｘ覆盖Ｙ中３个ｙ，于是｜Ｄ｜＝３｜Ｘ｜。由此导出矛盾。）习题２为２５３；（１）证明：二元Ｇｏｌａｙ码Ｇ２３中Ｈａｍｍｉｎｇ权为７的码字个数（提示：对于Ｆ２中每个权为４的向量ｙ，Ｇ２３中均有惟一的权７码字覆盖ｙ。）２３（２）证明：在［ｎ，ｋ，ｄ］＝［２－１，２－１－ｍ，３］的二元Ｈａｍｍｉｎｇ码中，权３ｍｍ－１的码字个数为（２－１）（２－１）／３；（３）证明：三元Ｇｏｌａｙ码Ｇ１１中权５的码字个数为１３２。ｍｍ习题３证明定理２．２．５。习题４对于ｎ ≥ ３，０ ≤ ｋ ≤ ｎ，证明：ｑ元线性码［ｎ，ｋ，３］存在，当且仅当Ｈａｍｍｉｎｇ界成立，即ｑｎ－ｋ习题５译码算法。 ≥ １＋ｎ（ｑ－１）。仿照二元Ｇｏｌａｙ码的情形，给出三元Ｇｏｌａｙ码纠正 ≤ ２位错的一个第２章２．３线性码ＭＤＳ线性码：多项式码现在介绍另一类好的线性码：ＭＤＳ线性码（即达到Ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ界ｎ＝ｋ＋ｄ－１）。首先给出这种线性码的一些刻画方式。定理２．３．１设Ｃ是参数为［ｎ，ｋ，ｄ］的ｑ元线性码。Ｇ和Ｈ分别为码Ｃ的生成阵和校验阵。则下列四个条件彼此等价。（１）Ｃ是ＭＤＳ码（即ｎ＝ｋ＋ｄ－１）；（２）Ｇ中任意ｋ列均是Ｆｑ唱线性无关的；（３）Ｈ中任意ｎ－ｋ列均是Ｆｑ唱线性无关的；（４）Ｃ是ＭＤＳ码。 ⊥ 证明（１）骋（３）：若ｄ＝ｎ－ｋ＋１，可知Ｈ中任ｎ－ｋ列均线性无关（引理２．１．３）。反之若Ｈ中任ｎ－ｋ列均线性无关，由引理２．１．３知ｄ ≥ ｎ－ｋ＋１。但是我们有Ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ界ｄ ≤ ｎ－ｋ＋１。因此ｄ＝ｎ－ｋ＋１。 ⊥ （２）骋（４）：由于Ｇ是Ｃ的校验阵。从而与（１）骋（３）的证明一样。（１）骋（２）：记ｖ１Ｇ＝ ⁝ ＝（ｕ１ … ｕｎ），ｖｋ其中ｖ１，… ，ｖｋ是线性码Ｃ的一组基，而ｕ１，… ，ｕｎ均是长为ｋ的列向量。如果Ｃ不是ＭＤＳ码，即ｄ＜ｎ－ｋ＋１，则Ｃ中有非零码字ｃ＝ α１ｖ１＋ … ＋ αｋｖｋ（αｉ ∈ Ｆｑ，αｉ不全为零）使得１ ≤ ｗ（ｃ） ≤ ｎ－ｋ。于是ｃ＝（ｃ１，… ，ｃｎ）至少有ｋ位为０。设ｃｉ１＝ｃｉ２＝ … ＝ｃｉｋ＝０。则ｋ阶方阵（ｕｉ１ｕｉ２ … ｕｉｋ）的ｋ行是线性相关的。从而此阵的ｋ列ｕｉ１，… ，ｕｉｋ也是线性相关的。反推回去可知：如果Ｇ有ｋ列是线性相关的，则Ｃ中必有权＜ｎ－ｋ＋１的非零码字，即Ｃ不是ＭＤＳ码。这就证明了（１）骋（２）。综合上述，我们完成了定理２．３．１的证明。推论２．３．２ｎ－ｋ，ｋ＋１］。若Ｃ是ＭＤＳ线性码，参数为［ｎ，ｋ，ｄ］，则Ｃ的参数为［ｎ， ⊥ 证明由定理２．３．１知Ｃ也是ＭＤＳ码，它的码长和信息位数分别为ｎ和ｎ－ｋ，从而最小距离为ｎ－（ｎ－ｋ）＋１＝ｋ＋１。 ⊥ ３１３２纠错码的代数理论习题１试问哪些Ｈａｍｍｉｎｇ码为ＭＤＳ线性码？设Ｃ是参数为［ｎ，ｋ，ｄ］的ＭＤＳ线性码，ｄ ≥ ２。定义它的收缩码Ｃ′ ＝｛（ｃ１，… ，ｃｎ－１）｜有ｃｎ使（ｃ１，… ，ｃｎ－１，ｃｎ） ∈ Ｃ｝证明Ｃ′也是ＭＤＳ线性码，参数为［ｎ－１，ｋ，ｄ－１］。习题２习题３设Ｃ是ＭＤＳ线性码，参数为［ｎ，ｋ，ｄ］。证明对任意１ ≤ ｉ１＜ｉ２＜ … ＜ｉｄ ≤ ｎ，Ｃ中均存在码字ｃ＝（ｃ１，… ，ｃｎ），使得当ｉ＝ｉ１，… ，ｉｄ时，ｃｉ ≠ ０，而当ｉ ≠ ｉ１，… ，ｉｄ时，ｃｉ＝０。现在构作一批ＭＤＳ线性码。定理２．３．３（多项式码）设ａ１，… ，ａｎ是Ｆｑ中ｎ个不同的元素（从而ｎ ≤ ｑ），１ ≤ ｋ ≤ ｎ。则集合ｎＣ＝｛ｃｆ＝（ｆ（ａ１），ｆ（ａ２），… ，ｆ（ａｎ）） ∈ Ｆｑ｜ｆ（ｘ） ∈ Ｆｑ［ｘ］，ｄｅｇｆ ≤ ｋ－１｝是ｑ元线性码，参数为［ｎ，ｋ，ｄ］，其中ｄ＝ｎ－ｋ＋１，从而Ｃ是ＭＤＳ线性码。证明集合Ｍ＝｛ｆ ∈ Ｆｑ［ｘ］｜ｄｅｇｆ ≤ ｋ－１｝是Ｆｑ上的ｋ维向量空间，｛１，ｘ，ｘ２，… ，ｘｋ－１｝是Ｍ的一组Ｆｑ唱基。考虑映射 φ ：Ｍ → Ｆｑ， φ（ｆ）＝ｃｆ＝（ｆ（ａ１），ｆ（ａ２），… ，ｆ（ａｎ）），ｎ易知这是Ｆｑ唱线性映射，并且Ｃ＝Ｉｍ φ（＝ φ（Ｍ））。所以Ｃ为Ｆｑ的向量子空间，即ｎＣ是ｑ元线性码，码长为ｎ。为了证明ｄｉｍＦｑＣ＝ｋ（＝ｄｉｍＭ），我们只需证明 φ 是单射，即要证Ｋｅｒ（φ）＝（０），这里Ｋｅｒ φ ＝｛ｆ ∈ Ｍ｜φ（ｆ）＝ｃｆ＝（０，… ，０）｝＝｛ｆ ∈ Ｍ｜ｆ（ａ１）＝ｆ（ａ２）＝ … ＝ｆ（ａｎ）＝０｝（φ 的核）。由于ｄｅｇｆ ≤ ｋ－１ ≤ ｎ－１，当ｆ厨０时，ｆ至多有ｎ－１个零点。所以当ａ１，… ，ａｎ均为ｆ（ｘ）的零点时，必然ｆ ≡ ０。这就表明Ｋｅｒ（φ）＝（０），于是ｄｉｍＣ＝ｄｉｍＭ＝ｋ。现在决定线性码Ｃ的最小距离ｄ。先证ｄ ≥ ｎ－ｋ＋１。设ｃｆ＝（ｆ（ａ１），… ，ｆ（ａｎ）） ∈ Ｃ，ｆ（ｘ） ∈ Ｆｑ［ｘ］，ｄｅｇｆ（ｘ） ≤ ｋ－１。如果ｗ（ｃｆ） ≤ ｎ－ｋ，则ｆ（ａｉ）（１ ≤ ｉ ≤ ｎ）当中至少有ｎ－（ｎ－ｋ）＝ｋ个为０，即ｆ（ｘ）至少有ｋ个不同的零点。由于ｄｅｇｆ ≤ ｋ－１，可知必然ｆ ≡ ０，于是ｃｆ为零向量。这表明Ｃ中非零码字的Ｈａｍｍｉｎｇ权均 ≥ ｎ－ｋ＋１。于是ｄ ≥ ｎ－ｋ＋１，再由Ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ界可知ｄ＝ｎ－ｋ＋１。从而Ｃ是ＭＤＳ线性码。第２章线性码习题４（定理２．３．３的另一证明）对于定理２．３．３中的线性码Ｃ，证明ｃ１ｃｘＧ＝ｃｘ２＝１ａ１１ａ２ … … １ａｎａ１２ａ２２ … ａｎ ⁝ ⁝ ⁝ ⁝ … ａｎ ⁝ ｃｘａａｋ－１１ｋ－１ｋ－１２２ｋ－１是Ｃ的生成阵。并且Ｇ的任意ｋ列均是线性无关的。于是Ｃ为ＭＤＳ码。从 ⊥ 而Ｃ也是ＭＤＳ码。习题５（多项式码的校验阵）记Ｖ（ｘ１，… ，ｘｋ）＝１ｘ１１ｘ２ … … １ｘｋｘ２１ｘ２２ … ｘ２ｋ ⁝ ⁝ ⁝ ⁝ … ｘｋｋ－１ｘｋ－１１ｘｋ－１２＝ ∏ １ ≤ ｉ＜ｊ ≤ ｋ（ｘｊ－ｘｉ）为Ｖａｎｄｅｒｍｏｎｄｅ行列式。则定理２．３．３中的多项式码Ｃ有如下的校验阵Ｈ＝Ａ ┆ －Ｉｎ－ｋ，Ａ＝（αｉｊ）（１ ≤ ｉ ≤ ｎ－ｋ，１ ≤ ｊ ≤ ｋ），其中 αｉｊ＝Ｖ（ａ１，… ，ａｊ－１，ａｉ＋ｋ，ａｊ＋１，… ，ａｋ）＝Ｖ（ａ１，… ，ａｋ）（αｉｊ的分子是将分母中的ａｊ改成ａｉ＋ｋ）ｋ ∏ λ＝１ λ≠ ｊａｉ＋ｋ－ａλ ａｊ－ａλ 如果在定理２．３．３中ａ１，… ，ａｋ取成Ｆｑ中全部元素，则得到以下结果。推论２．３．４设ａ１，ａ２，… ，ａｑ为Ｆｑ中全部元素。对于１ ≤ ｋ ≤ ｑ－１，记Ｃｋ＝｛ｃｆ＝（ｆ（ａ１），ｆ（ａ２），… ，ｆ（ａｑ）） ∈ Ｆｑｑ｜ｆ（ｘ） ∈ Ｆｑ［ｘ］，ｄｅｇｆ ≤ ｋ－１｝，则（１）Ｃｋ是参数为［ｑ，ｋ，ｄ］的ｑ元ＭＤＳ线性码，其中ｄ＝ｑ－ｋ＋１。（２）Ｃｋ＝Ｃｑ－ｋ。特别当２ｋ ≤ ｑ时，Ｃｋ是自正交码。而当ｑ为偶数（即ｑ是２ ⊥ ｑｑ的方幂）时，Ｃｑ／２是参数ｑ，，＋１的ｑ元自对偶码。２２证明（１）是定理２．３．３的直接推论。（２）ｃｘ＝（ａ１，ａ２，… ，ａｑ）（０ ≤ ｉ ≤ ｋ－１）是线性码Ｃｋ的一组Ｆｑ唱基。ｃｘｊ（０ ≤ ｉｉｉｉ３３３４纠错码的代数理论ｊ ≤ ｑ－ｋ－１）是Ｃｑ－ｋ的一组Ｆｑ唱基。而ｄｉｍＣｋ＋ｄｉｍＣｑ－ｋ＝ｋ＋ｑ－ｋ＝ｑ。为证Ｃｋ＝Ｃｑ－ｋ，我们只需证明对任意０ ≤ ｉ ≤ ｋ－１，０ ≤ ｊ ≤ ｑ－ｋ－１，ｃｘｉ和ｃｘｊ正交。当ｉ＝ｊ＝０时，ｑ（ｃ１，ｃ１）＝ ∑１ λ＝１当ｉ＋ｊ ≥ １时（ｃｘｉ，ｃｘｊ）＝ｑ ∑ ａλ ｉ＋ｊ ∑ ＝ａ ∈ Ｆｑ λ＝１ｑ－２＝ ∑ ｌ＝０ｑ－２＝ ∑ ｌ＝０（αｌ）ｉ＋ｊｉ＋ｊ（α ｌ）＝倡ａ＝ｑ＝０ ∈ Ｆｑ。ｉ＋ｊ（其中 α 是Ｆｑ的一个本原元素）ｑ－１ｉ＋ｊ１－（α ）ｉ＋ｊ１－α ＝０（由于１ ≤ ｉ＋ｊ ≤ ｋ－１＋ｑ－ｋ－１＝ｑ－２， α ≠ １。而 α ＝１）。 ⊥ 这就证明了Ｃｋ＝Ｃｑ－ｋ。由定义可知当１ ≤ ｋ ≤ ｋ′ ≤ ｑ－１时，Ｃｋ彻Ｃ′ｋ。从而当２ｋ ≤ ⊥ ⊥ ｑｑ时，Ｃｋ＝Ｃｑ－ｋ澈Ｃｋ，即Ｃｋ是自正交的。当ｋ＝ ∈ Ｚ时，Ｃｋ＝Ｃｑ－ｋ＝Ｃｋ，所以２ｉ＋ｊｑ－１Ｃｑ／２自对偶。习题６设ａ１，ａ２，… ，ａｑ－１为Ｆｑ中全部非零元素。对于１ ≤ ｋ ≤ ｑ－２，定义Ｃ′ｋ＝｛ｃｆ＝（ｆ（ａ１），ｆ（ａ２），… ，ｆ（ａｑ－１）） ∈ Ｆｑ｜ｆ（ｘ） ∈ Ｆｑ［ｘ］，ｄｅｇｆ ≤ ｋ－１｝，ｑ－１Ｃ″ｋ＝｛ｃｆ＝（ｆ（ａ１），ｆ（ａ２），… ，ｆ（ａｑ－１）） ∈ Ｆｑ｜ｆ（ｘ） ∈ Ｆｑ［ｘ］，ｄｅｇｆ ≤ ｋ－１，ｆ（０）＝０｝。ｑ－１证明：（１）Ｃ′ｋ是参数为［ｑ－１，ｋ，ｄ］的ｑ元ＭＤＳ线性码，其中ｄ＝ｑ－ｋ。Ｃ″ｋ是参数为［ｑ－１，ｋ－１，ｄ′］的ｑ元ＭＤＳ线性码，其中ｄ′ ＝ｑ－ｋ＋１。（２）（Ｃ″ｋ）＝Ｃ′ｑ－ｋ。特别当２ｋ ≤ ｑ时，Ｃ″ｋ是自正交码。 ⊥ 例６考虑２．１节的例２，即考虑Ｆ７上的线性码Ｃ，它以Ｈ＝１０１１１２１３１４１５１６０２１２２２３２４２５２６２３３３３３３３０１２３４５６ ⊥ ⊥ 为校验阵。用推论２．３．４中的记号，Ｃ即是Ｃ４，从而Ｃ＝Ｃ４即是Ｃ７－４＝Ｃ３。第２章线性码于是Ｃ的参数为［ｎ，ｋ，ｄ］＝［７，３，５］并且由Ｈ的前三行构成的矩阵是Ｃ的一个生成阵。码Ｃ的最小距离为５，从而当码字ｃ在传输中产生 ≤ ２位错时，可以纠正错误。我们将向量ｖ＝（ｖ０，ｖ１，… ，ｖ６）的７位从左到右依次叫作第０，１，２，… ，６位。设错误向量为 ε ，０ ≤ ｗ（ε） ≤ ２。收到向量为ｙ＝ｃ＋ ε 。收方计算校验向量ａ０ＨｙＴａ１＝ａ２＝ａ。ａ３根据定理２．１．４给出的译码算法。若ａ０＝ａ１＝ａ２＝ａ３＝０，则 ε＝０，ｙ＝ｃ（无错）。当ａ是校验阵某一列乘以非零常数时ａ０１ａ１ａ２ａ３＝ α ｔ（α ≠ ０，０ ≤ ｔ ≤ ６），ｔ２ｔ３则ｗ（ε）＝１，ε 的第ｔ位为 α ，即只有１位错误，错位在第ｔ位，错值为０。不难看出，这种恰有１位错误的情形等价于ａ０ ≠ ０并且（ａ０，ａ１，ａ２）与（ａ１，ａ２，ａ３）相差一个常数因子（即（ａ１，ａ２，ａ３）＝ｔ（ａ０，ａ１，ａ２））。否则，校验向量必为Ｈ中两列的线性组合ａ０１１ａ１ａ２＝ｘｉｉ２ｊ＋ｙｊ２，（３）ｉｊａ３其中１ ≤ ｘ，ｙ ≤ ６，０ ≤ ｉ ≠ ｊ ≤ ６。这时ｗ（ε）＝２，ε＝（ε０，… ，ε６），其中 εｉ＝ｘ，εｊ＝ｙ，而其余 ελ （λ ≠ ｉ，ｊ）为０。即第ｉ位和第ｊ位出错，错值分别为ｘ，ｙ。现在我们给出一个新的译码算法，它是第３章中ＢＣＨ码Ｂｅｒｌｅｋａｍｐ唱Ｍａｓｓｅｙ算法的基础。假设错位个数 ≤ ２，即可能的错位为ｉ和ｊ，错值分别为ｘ和ｙ。于是式（３）成立。从而有关于ｉ，ｊ，ｘ，ｙ的方程组ｘ＋ｙ＝ａ０，ｉｘ＋ｊｙ＝ａ１，ｉ２ｘ＋ｊ２ｙ＝ａ２，ｉ３ｘ＋ｊ３ｙ＝ａ３。（４）我们要求出这个方程组在Ｆ７中的解（ｉ，ｊ，ｘ，ｙ），其中ａ０，ａ１，ａ２，ａ３是已知的Ｆ７中Ｔ元素，由Ｈｙ算出。新的译码算法是考虑幂级数环Ｒ＝Ｆ７［［Ｚ］］，Ｒ中每个元素是（形式）幂级数３ ∞ α＝ ∑ λ＝０３ｂλ Ｚ＝ｂ０＋ｂ１Ｚ＋ … ＋ｂλ Ｚ＋ … λ λ （ｂｉ ∈ Ｆ７）。３５３６纠错码的代数理论我们知道，α 是环Ｒ中乘法可逆元素当且仅当ｂ０ ≠ ０。于是对每个ａ ∈ Ｆ７，１－ａＺ均可逆。事实上， ∞ λ λ ２２３３１＝ ∑ ａＺ＝１＋ａＺ＋ａＺ＋ａＺ＋ … １－ａＺ λ＝０于是由方程组（４）可知在环Ｒ中，ｘｙ＋＝１－ｉＺ１－ｊＺ ∞ ∑ （ｘｉ＋ｙｊ）Ｚ＝ａ０＋ａ１Ｚ＋ａ２Ｚ＋ａ３Ｚ＋ … λ λ λ ２３ λ＝０由于上式左边为（ｘ＋ｙ－（ｘｊ＋ｙｉ）Ｚ）／（１－（ｉ＋ｊ）Ｚ＋ｉｊＺ２）。记 σ ＝ｉ＋ｊ， τ ＝ｉｊ，可知（ｘ＋ｙ）－（ｘｊ＋ｙｉ）Ｚ＝（１－ σＺ＋ τＺ）（ａ０＋ａ１Ｚ＋ａ２Ｚ＋ａ３Ｚ＋ … ）２２３比较这个等式两边Ｚ和Ｚ的系数，得到０＝ａ０ τ －ａ１ σ ＋ａ２，２（５）３０＝ａ１ τ －ａ２ σ ＋ａ３。这是关于 τ和 σ 的线性方程组，系数行列式为ａ０－ａ１２＝ａ１－ａ０ａ２。ａ１－ａ２由方程组（４）我们有２２２２２ａ１－ａ０ａ２＝（ｉｘ＋ｊｙ）－（ｘ＋ｙ）（ｉｘ＋ｊｙ）＝（ｉ－ｊ）ｘｙ，（６）所以在产生两位错误的时候（即ｉ ≠ ｊ并且ｘ和ｙ均不为零），ａ１－ａ０ａ２ ≠ ０。于是我们可以将线性方程组（６）解出：２ａ２－ａ１ａ３ａ１ａ２－ａ０ａ３ τ＝２， σ＝。２ａ１－ａ０ａ２ａ１－ａ０ａ２再由２２（Ｚ－ｉ）（Ｚ－ｊ）＝Ｚ－（ｉ＋ｊ）Ｚ＋ｉｊ＝Ｚ－ σＺ＋ τ ，２可知方程Ｚ－ σＺ＋ τ＝０的两个解就是错位ｉ和ｊ。然后由式（４）中前两个方程ｘ＋ｙ＝ａ０和ｉｘ＋ｊｙ＝ａ１，算出错值ｊａ０－ａ１ａ１－ｉａ０ｘ＝，ｙ＝。（７）ｊ－ｉｊ－ｉ综合上述，我们给出线性码Ｃ的如下译码算法。设码字ｃ ∈ Ｃ在传输时出现错误 ε ，ｗ（ε） ≤ ２。收到向量为ｙ＝ｃ＋ ε 。２第２章线性码（１）计算校验向量ａ０ＨｙＴａ１＝ａ２ ∈ Ｆ７；４ａ３（２）若ａ０＝ａ１＝ａ２＝ａ３＝０，则ｃ＝ｙ（无错）；（３）若ａ０ ≠ ０并且（ａ０，ａ１，ａ２）＝ α（ａ１，ａ２，ａ３），其中 α 为Ｆ７中非零元素，则只有一位错，错位为ａ１，错值为ａ０；ａ０（４）若（２）和（３）均不成立，则ａ１－ａ０ａ２ ≠ ０，并且方程２Ｚ－２ａ１ａ２－ａ０ａ３ａ２－ａ１ａ３Ｚ＋２＝０２ａ１－ａ０ａ２ａ１－ａ０ａ２２在Ｆ７中有两个不同的解ｉ和ｊ。这时，传输时有两位错误，错位为ｉ和ｊ，而错值分别为由式（７）算出的ｘ和ｙ。比如说收到向量为ｙ＝（１１１４１３１），并且错位的个数 ≤ ２。按照上面的算法先计算校验向量１ａ０ａ１ａ２＝Ｈｙａ３Ｔ＝１１１１１１１０１２３４５６０１４２２４１０１１６１６６１１４＝１３５５０。２１由于ａ０ ≠ ０并且（ａ０，ａ１，ａ２）＝（５，５，０）和（ａ１，ａ２，ａ３）＝（５，０，２）不成比例，可知有两位错误。再计算ａ２－ａ１ａ３ａ１ａ２－ａ０ａ３－５·２－５·２＝＝１， σ＝＝＝１。２２２２ａ１－ａ０ａ２５ａ１－ａ０ａ２５２ τ＝而方程Ｚ－ σＺ＋ τ＝Ｚ－Ｚ＋１在Ｆ７中的两个解为２２１ ± １－４１± ４１±２＝＝＝３和５。２２２于是两个错位为ｉ＝３和ｊ＝５。而错值分别为ｘ，ｙ，其中ｘ＝ｊａ０－ａ１ａ１－ｉａ０５·５－５５－３·５＝＝３，ｙ＝＝＝２。ｊ－ｉ２ｊ－ｉ２３７３８纠错码的代数理论于是错误向量为 ε＝（０００３０２０），而发出的码字为ｃ＝ｙ－ ε ＝（１１１４１３１）－（０００３０２０）＝（１１１１１１１）。习题７对于上例中的Ｆ７上线性码Ｃ，如果收到向量为ｙ＝（０２６５６２６），（２４１０１４２）和（２３１５３２４），并且在传输时错位数均 ≤ ２。试将它们恢复成码字。第２章线性码２．４二元Ｒｅｅｄ唱Ｍｕｌｌｅｒ码本节介绍一类重要的线性码：Ｒｅｅｄ唱Ｍｕｌｌｅｒ码。为简单起见，我们只讨论ｑ＝２的情形（二元码）。这种线性码有许多等价的刻画方式（用有限几何，或者用多项式环Ｆ２［ｘ］）。我们这里用最容易接受的布尔函数刻画方式。定义２．４．１设ｍ ≥ １。向量空间Ｆ２到Ｆ２的每个映射ｍｆ＝ｆ（ｘ１，… ，ｘｍ）：Ｆ２ → Ｆ２，（ａ１，… ，ａｍ）｜ → ｆ（ａ１，… ，ａｍ）ｍ叫作ｍ元布尔（Ｂｏｏｌｅ）函数。由于Ｆ２中共有２个元素，对Ｆ２中每个元素（ａ１，… ，ａｍ），ｆ的取值均有两种ｍｍｍｍ可能（０或１），所以ｍ元布尔函数共有２个。我们用Ｂｍ表示全体ｍ元布尔函２２数构成的集合，｜Ｂｍ｜＝２ｍ。现在我们证明：每个ｍ元布尔函数ｆ（ｘ１，… ，ｘｍ）都可表示成关于ｘ１，… ，ｘｍ的多项式形式，并且系数属于Ｆ２。首先注意，对每个ｉ（１ ≤ ｉ ≤ ｍ），ｘｉ和ｘｉ是２同一个Ｆ２上的函数（即同时取值为０或同时取值为１）。于是对每个正整数ｔ，看成Ｆ２上的函数均有ｘｉ＝ｘｉ。这就表明：如果ｆ（ｘ１，… ，ｘｍ）可以表示成ｘ１，… ，ｘｍｔ的多项式（系数属于Ｆ２），则可使每个单项式中ｘｉ的次数均 ≤ １。定理２．４．２每个ｍ元布尔函数ｆ（ｘ１，… ，ｘｍ）均可惟一地表示成ｍｆ（ｘ１，… ，ｘｍ）＝ ∑ ∑ ｃ（ｉ１，… ，ｉｒ）ｘｉ１ｘｉ２ … ｘｉｒ，ｒ＝０１ ≤ ｉ１＜ … ＜ｉｒ ≤ ｍ（８）其中ｃ（ｉ１，… ，ｉｒ） ∈ Ｆ２（这里对ｒ＝０时，规定ｘｉ１ｘｉ２ … ｘｉｒ＝１）。事实上，我们有ｆ（ｘ１，… ，ｘｍ）＝ ∑ ｍ（ａ１，… ，ａｍ） ∈ Ｆ２ｆ（ａ１，… ，ａｍ）（ｘ１＋ａ１＋１） … （ｘｍ＋ａｍ＋１）。（９）证明我们先证式（９），由于ｘｉ＋ａｉ＋１＝０，若ｘｉ＝ａｉ＋１（即ｘｉ ≠ ａｉ），１，若ｘｉ＝ａｉ，可知（ｘ１＋ａ１＋１） … （ｘｍ＋ａｍ＋１）＝１，若（ｘ１，… ，ｘｍ）＝（ａ１，… ，ａｍ），０，否则。３９４０纠错码的代数理论所以对每个（ｂ１，… ，ｂｍ） ∈ Ｆ２，在式（９）右边的求和式中，当（ｘ１，… ，ｘｍ）＝（ｂ１，… ，ｍｂｍ）时，只剩下（ａ１，… ，ａｍ）为（ｂ１，… ，ｂｍ）的那一项不为零，于是在（ｘ１，… ，ｘｍ）＝（ｂ１，… ，ｂｍ）时，式（９）右边的多项式取值为ｆ（ｂ１，… ，ｂｍ），这正是ｆ（ｘ１，… ，ｘｍ）在（ｘ１，… ，ｘｍ）＝（ｂ１，… ，ｂｍ）的取值。所以式（９）两边是同一个布尔函数。由式（９）右边可知每项展开后，每个ｘｉ的次数均 ≤ １。所以再合并同类项之ｍ后，就可表示成式（８）的形式，它是２个单项式１，ｘ１，… ，ｘｍ，ｘ１ｘ２，ｘ１ｘ３，… ，ｘｍ－１ｘｍ，ｘ１ｘ２ｘ３，… ，ｘ１ｘ２ … ｘｍ（１０）的Ｆ２唱线性组合，其中单项式ｘｉ１ … ｘｉｒ的系数ｃ（ｉ１，… ，ｉｒ）属于Ｆ２。由于这２个ｍｍ系数每个均有两种选取可能，从而式（８）右边的表达式共有２２种可能，而ｍ元ｍ布尔函数也恰有２个。这就表明每个ｍ元布尔函数均可惟一地表示成式（８）右边的形式。证毕。２定理２．４．２表明：ｍ元布尔函数集合Ｂｍ是以式（１０）中的单项式为一组基ｍ的２维Ｆ２唱向量空间。例７对于ｍ＝３，设三元布尔函数ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）在（０００），（０１０），（１１１）处取３值为１，而在Ｆ２的其余５个向量处取值为０。由式（９）知ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ ∑ （ａ１，ａ２，ａ３） ∈ Ｆ２ｆ（ａ１，ａ２，ａ３）＝１（ｘ１＋ａ１＋１）（ｘ２＋ａ２＋１）（ｘ３＋ａ３＋１）３＝（ｘ１＋１）（ｘ２＋１）（ｘ３＋１）＋（ｘ１＋１）ｘ２（ｘ３＋１）＋ｘ１ｘ２ｘ３＝１＋ｘ１＋ｘ３＋ｘ１ｘ３＋ｘ１ｘ２ｘ３。ｍ元布尔函数ｆ的定义域Ｆ２是有限集合，可以按０，１，２，… ，２－１的二进ｍｍｍｍ制方式把Ｆ２中２个向量排成次序：ｖ０＝（００ … ０），ｖ１＝（１０ … ０），ｖ２＝（０１０ … ０），… ，ｖｎ－１＝（１１ … １）（ｎ＝２），ｍ即对于０ ≤ ｉ ≤ ｎ－１，由ｉ的二进制展开ｉ＝ａ０＋ａ１２＋ … ＋ａｍ－１２ｍ－１给出ｖｉ＝（ａ０ａ１ … ａｍ－１）。然后便可把每个ｍ元布尔函数ｆ＝ｆ（ｘ１，… ，ｘｍ）依次在这些点上的值表示成一个Ｆ２上长为ｎ（＝２）的向量：ｍｃｆ＝（ｆ（ｖ０），ｆ（ｖ１），… ，ｆ（ｖｎ－１）） ∈ Ｆ２。ｎ这时，函数的加法和乘法运算分别对应于向量按分量进行加法和乘法运算：ｃｆ＋ｇ＝（ｆ（ｖ０）＋ｇ（ｖ０），… ，ｆ（ｖｎ－１）＋ｇ（ｖｎ－１）），ｃｆｇ＝（ｆ（ｖ０）ｇ（ｖ０），… ，ｆ（ｖｎ－１）ｇ（ｖｎ－１））。第２章线性码例８对于ｍ＝２，ｎ＝２＝４，共有２＝１６个二元布尔函数ｆ（ｘ１，ｘ２）：Ｆ２ → Ｆ２。它们的多项式表示和向量表示如下所示：ｍ函数ｆ（ｘ１，ｘ２）ｎ自变量ｖｉ０１＋ｘ１＋ｘ２＋ｘ１ｘ２ｘ１＋ｘ１ｘ２１＋ｘ２ｘ２＋ｘ１ｘ２２（００），（１０），（０１），（１１）００００１００００１１１０００００１００１１０００１１１１１００１＋ｘ１＋ｘ２ｘ１０１０１００１１００００１１１１１＋ｘ１＋ｘ１ｘ２ｘ１＋ｘ２＋ｘ１ｘ２０１０１００１１１１１１１１１１１＋ｘ１ｘ１＋ｘ２１＋ｘ１ｘ２ｘ１ｘ２１＋ｘ２＋ｘ１ｘ２ｘ２１习题１对每个有限域Ｆｑ，函数ｆ（ｘ１，… ，ｘｍ）：Ｆｑ → Ｆｑ叫作Ｆｑ上的ｍ元广义布尔函数。证明：（１）每个Ｆｑ上的ｍ元广义布尔函数ｆ（ｘ１，… ，ｘｍ）均可表示成ｍｆ（ｘ１，… ，ｘｍ）＝ ∑ ｍ（ａ１，… ，ａｍ） ∈ Ｆｑｆ（ａ１，… ，ａｍ）（１－（ｘ１－ａ１）） … （１－（ｘｍ－ａｍ））；ｑ－１ｑ－１（２）每个Ｆｑ上的ｍ元广义布尔函数ｆ均可惟一地表示成ｘ１，… ，ｘｍ的多项式，系数属于Ｆｑ，并且对每个ｉ（１ ≤ ｉ ≤ ｍ），多项式对ｘｉ的次数均不超过ｑ－１。习题２证明存在函数ｆ＝ｆ（ｘ）：Ｚ４ → Ｚ４（这里Ｚ４＝Ｚ／４Ｚ），它不能表示４２３成ｘ的多项式（系数属于Ｚ４）。（提示：ｘ和ｘ是Ｚ４上的同一个函数，２ｘ和２ｘ也是Ｚ４上同一个函数。）定义２．４．３设ｍ ≥ １，ｎ＝２，０ ≤ ｒ ≤ ｍ。向量空间Ｆ２中的子集合ｍｎＲＭ（ｒ，ｍ）＝｛ｃｆ ∈ Ｆ２｜ｆ ∈ Ｂｍ，ｄｅｇｆ ≤ ｒ｝叫作ｒ阶的二元Ｒｅｅｄ唱Ｍｕｌｌｅｒ码（简称ＲＭ码）。ｎ４１４２纠错码的代数理论由于Ｂｍ中所有满足ｄｅｇｆ ≤ ｒ的ｍ元布尔函数形成Ｆ２上的向量空间，可知ＲＭ（ｒ，ｍ）是Ｆ２的一个向量子空间，即ＲＭ（ｒ，ｍ）是二元线性码。码长为ｎ＝２。次数 ≤ ｒ的所有单项式所对应的码字｛ｃｆ｜ｆ＝ｘｉ１ｘｉ２ … ｘｉｔ（０ ≤ ｔ ≤ ｒ，１ ≤ ｉ１＜ｉ２＜ … ＜ｉｔ＜ｍ）｝形成线性码ＲＭ（ｒ，ｍ）的一组Ｆ２唱基。从而此码的信息位数为ｒｍｍｍｍｋ＝ｋ（ｒ，ｍ）＝ｄｉｍＦ２ＲＭ（ｒ，ｍ）＝＋＋ … ＋＝ ∑ 。ｔ＝００１ｒｔ现在决定码ＲＭ（ｒ，ｍ）的最小距离。ｎ对于每个ｍ元布尔函数ｆ＝ｆ（ｘ１，… ，ｘｍ），向量ｃｆ ∈ Ｆ２的Ｈａｍｍｉｎｇ权ｎｗ（ｃｆ）就是函数ｆ在Ｆ２上取值为１的个数。我们用Ｎｍ（ｆ＝１）和Ｎｍ（ｆ＝０）分别表示ｍ元布尔函数ｆ取值为１和０的个数，则ｎｍＮｍ（ｆ＝１）＝ｗ（ｃｆ），Ｎｍ（ｆ＝１）＋Ｎｍ（ｆ＝０）＝２（ｎ＝２）。ｎｍ引理２．４．４设ｍ ≥ １，ｆ＝ｆ（ｘ１，… ，ｘｍ）是ｍ元布尔函数，ｄｅｇｆ＝ｒｍ－ｒｒ ≤ ｍ）。则Ｎｍ（ｆ＝１） ≥ ２。并且当ｒ ≤ ｍ－１时Ｎｍ（ｆ＝１）为偶数。（０ ≤ 证明先证最后论断。对每个次数 ≤ ｍ－１的单项式ｇ＝ｘｉ１ … ｘｉｔ（ｔ ≤ ｍ－１，１ ≤ ｉ１＜ｉ２＜ … ＜ｉｔ ≤ ｍ），Ｎｍ（ｇ＝１）＝２为偶数，即ｗ（ｃｇ）＝２。而每个次ｎ数 ≤ ｍ－１的多项式ｆ均是这样一些多项式之和，即ｃｆ为Ｆ２中一些Ｈａｍｍｉｎｇ权为偶数的向量之和，可知ｗ（ｃｆ）＝Ｎｍ（ｆ＝１）仍为偶数。ｍ－ｒ现在对于ｄｅｇｆ＝ｒ，０ ≤ ｒ ≤ ｍ，证明Ｎｍ（ｆ＝１） ≥ ２。当ｍ＝１时易知命题成立。现在设命题对ｍ－１成立（ｍ ≥ ２），我们来证明命题对ｍ也成立。ｍ当ｒ＝０时，ｆ ≡ １，Ｎｍ（ｆ＝１）＝２。当ｒ＝ｍ时，ｆ厨０，从而Ｎｍ（ｆ＝１） ≥ １。这表明命题对ｒ＝０和ｒ＝ｍ情形成立。以下设１ ≤ ｒ ≤ ｍ－１。我们可把ｒ次ｍ元布尔函数ｆ（ｘ１，… ，ｘｍ）惟一地写成ｆ＝ｘｍｈ（ｘ１，… ，ｘｍ－１）＋ｇ（ｘ１，… ，ｘｍ－１），其中ｈ，ｇ ∈ Ｂｍ－１，ｄｅｇｈ ≤ ｒ－１，ｄｅｇｇ ≤ ｒ。如果ｈ ≡ ０，则ｆ＝ｇ（ｘ１，… ，ｘｍ－１）不依赖于ｘｍ。当ｇ（ａ１，… ，ａｍ－１）＝１时，ｆ（ａ１，… ，ａｍ－１，０）＝ｆ（ａ１，… ，ａｍ－１，１）＝１。于是ｍ－１－ｒＮｍ（ｆ＝１）＝２Ｎｍ－１（ｇ＝１） ≥ ２ · ２（由归纳假设）ｍ－ｔｍ－ｒｍ－ｔ＝２。如果ｈ厨０，则当ｈ（ａ１，… ，ａｍ－１）＝１时，ｆ（ａ１，… ，ａｍ－１，ａｍ）＝ａｍ＋ｇ（ａ１，… ，ａｍ－１）。而当ｈ（ａ１，… ，ａｍ－１）＝０时，ｆ（ａ１，… ，ａｍ－１，ａｍ）＝ｇ（ａ１，… ，ａｍ－１）。于是Ｎｍ（ｆ＝１）＝Ｎｍ－１（ｈ＝１）＋２Ｎｍ－１（ｈ＝０）Ｎｍ－１（ｇ＝１）第２章 ≥ Ｎｍ－１（ｈ＝１） ≥ ２（ｍ－１）－（ｒ－１）＝２ｍ－ｒ线性码。定理２．４．５设ｍ ≥ １，０ ≤ ｒ ≤ ｍ。则ｍｍ－ｒ（１）二元ＲＭ码ＲＭ（ｒ，ｍ）的参数为［ｎ，ｋ，ｄ］＝［２，ｋ（ｒ，ｍ），２］，其中ｒｍｋ（ｒ，ｍ）＝ ∑ ；ｔ＝０ｔ（２）当０ ≤ ｒ ≤ ｍ－１时，ＲＭ（ｒ，ｍ）＝ＲＭ（ｍ－ｒ－１，ｍ）。 ⊥ 证明（１）我们已经决定了ｎ和ｋ的值，并且引理２．４．４表明对ＲＭ（ｒ，ｍ）ｍ－ｒ。于是ｄ ≥ 中每个非零码字ｃｆ（ｆ ∈ Ｂｍ，０ ≤ ｄｅｇｆ ≤ ｒ），ｗ（ｃｆ）＝Ｎｍ（ｆ＝１） ≥ ２２ｍ－ｒ。对于ｆ＝ｘ１ｘ２ … ｘｒ，易知ｃｆ ∈ ＲＭ（ｒ，ｍ），ｗ（ｃｆ）＝Ｎｍ（ｆ＝１）＝２ｍ－ｒ。这表明ｄ＝２。（２）ＲＭ（ｒ，ｍ）中码字为ｃｆ，其中ｆ ∈ Ｂｍ，ｄｅｇｆ ≤ ｒ。ＲＭ（ｍ－１－ｒ，ｍ）中码字有形式ｃｇ，其中ｇ ∈ Ｂｍ，ｄｅｇｇ ≤ ｍ－１－ｒ。于是ｄｅｇ（ｆｇ） ≤ ｍ－１，由引理２．４．４知ｍ－ｒＮｍ（ｆｇ＝１）是偶数。而Ｆ２中向量ｃｆ和ｃｇ的内积为ｎ（ｃｆ，ｃｇ）＝ ∑ ｍａ∈ Ｆ２ｆ（ａ）ｇ（ａ）＝ ∑ ｍａ∈ Ｆ２（ｆｇ）（ａ）＝Ｎｍ（ｆｇ＝１）＝０ ∈ Ｆ２。即ＲＭ（ｒ，ｍ）中码字和ＲＭ（ｍ－１－ｒ，ｍ）中码字均正交。于是ＲＭ（ｒ，ｍ）澈ＲＭ（ｍ－１－ｒ，ｍ），但是ｒｍ－１－ｒｍｍｄｉｍＲＭ（ｒ，ｍ）＋ｄｉｍＲＭ（ｍ－１－ｒ，ｍ）＝ ∑ ＋ ∑ ｔ＝０ λ ＝０ｔ λ ⊥ ｒ＝ ∑ ｔ＝０ｒ＝可知ＲＭ（ｒ，ｍ）＝ＲＭ（ｍ－１－ｒ，ｍ）。 ∑ ｔ＝０ｍ＋ｔｍ＋ｔｍｍ－λ ｍｍｍ＝２＝ｎ。 ∑ ｔ＝ｒ＋１ｔｍ－１－ｒ ∑ λ＝０ ⊥ 例９ＲＭ（０，ｍ）＝｛ｃ０＝（０，… ，０），ｃ１＝（１，… ，１）｝，参数为［ｎ，ｋ，ｄ］＝［２，ｍ１，２］，生成阵为（１１ … １）。这也是对偶码ＲＭ（ｍ－１，ｍ）的校验阵，即对于（ｃ１，… ，ｍｃｎ） ∈ Ｆ２，ｎ（ｃ１，… ，ｃｎ） ∈ ＲＭ（ｍ－１，ｍ）骋ｃ１＋ … ＋ｃｎ＝０ ∈ Ｆ２，所以ＲＭ（ｍ－１，ｍ）即是Ｆ２ｎ中所有Ｈａｍｍｉｎｇ权为偶数的向量组成的线性码。参数为［ｎ，ｋ，ｄ］＝［２，２－１，２］。ｍｍ４３４４纠错码的代数理论例１０ＲＭ（１，ｍ）是以ｃｆ（ｆ＝１，ｘ１，ｘ２，… ，ｘｍ）为基的二元线性码，由定理２．４．５知道参数为［ｎ，ｋ，ｄ］＝［２，ｍ＋１，２］。对于每个０ ≤ ａ ≤ ２－１，记ａ的二进制展开为ｍ－１ａ＝ａ１＋ａ２ · ２＋ … ＋ａｍ · ２（ａｉ ∈ ｛０，１｝），ｍｍ－１ｍ则函数ｘｉ在（ａ１，ａ２，… ，ａｍ） ∈ Ｆ２处的取值为ａｉ。所以线性码ＲＭ（１，ｍ）有生成阵ｃ１１１ … １１１ … １ｍｃｘ１０１１１ … （２－１）１０ｍｃｘ２Ｇ＝＝ ⁝ ｃｘｍ０２１２ … ⁝ ⁝ ⁝ ０ｍ１ｍ（２ｍ ⁝ ０ ⁝ （２－１）ｍ０ｍ … －１）２＝，Ｇ１其中Ｇ１是Ｆ２上ｍ阶方阵，它的诸列恰好是长为ｍ的２－１个二元非零向量。于是ＲＭ（１，ｍ）的收缩码ｎ－１ＲＭ（１，ｍ）′ ＝｛（ｃ２，… ，ｃｎ） ∈ Ｆ２｜（０，ｃ２，… ，ｃｎ） ∈ ＲＭ（１，ｍ）｝是以Ｇ１为生成阵的二元线性码。由于以Ｇ１为校验阵的线性码是参数为［ｎ，ｋ，ｍｄ］＝［２－１，２－ｍ－１，３］的二元Ｈａｍｍｉｎｇ码Ｃ，所以ＲＭ（１，ｍ）′就是这个 ⊥ Ｈａｍｍｉｎｇ码的对偶码Ｃ。ＲＭ（１，ｍ）中码字为ｎｍｃｆ＝（ｆ（０，… ，０），ｆ（１，０，… ，０），… ，ｆ（１，… ，１）） ∈ Ｆ２（ｎ＝２），其中ｄｅｇｆ ≤ １，即ｆ＝ｂ０＋ｂ１ｘ１＋ … ＋ｂｍｘｍ（ｂｉ ∈ Ｆ２）。当ｆ ≡ ０时，ｗ（ｃｆ）＝０；当ｍｍｆ ≡ １时，ｗ（ｃｆ）＝ｎ＝２。而对其余２ｍｗ（ｃｆ）＝２ｍ－１ｍ＋１－２个ｆ，ｂ１，… ，ｂｍ不全为零，易知这时＝ｎ／２。这表明除了全０和全１码字之外，ＲＭ（１，ｍ）中所有码字的Ｈａｍｍｉｎｇ权均为２ｍ－１。进而：ｃｆ去掉第１位属于ＲＭ（１，ｍ）′ 骋ｆ（０，… ，０）＝０骋ｆ＝ｂ１ｘ１＋ｂ２ｘ２＋ … ＋ｂｍｘｍ。可知ＲＭ（１，ｍ）′中所有非零码字的Ｈａｍｍｉｎｇ权均为２ｍｍ－１的参数为［ｎ，ｋ，ｄ］＝［２－１，ｍ，２］。ｍ－１。特别地，ＲＭ（１，ｍ）′ 习题３证明参数为［２－１，２－１－ｍ，３］的二元线性码为（ｎ＝２）Ｃ＝｛（ａ２，… ，ａｎ） ∈ Ｆ２ｎ－１｜有ａ１ ∈ Ｆ２，使（ａ１，ａ２，… ，ａｎ） ∈ ＲＭ（ｍ－２，ｍ）｝。ｍｍ习题４对每个ｒ，０ ≤ ｒ ≤ ｍ，求ＲＭ（ｒ，ｍ）的收缩码ｎ－１ＲＭ（ｒ，ｍ）′ ＝｛（ｃ２，… ，ｃｎ） ∈ Ｆ２｜（０，ｃ２，… ，ｃｎ） ∈ ＲＭ（ｒ，ｍ）｝和它的对偶码的参数［ｎ，ｋ，ｄ］。ｍ第２章线性码习题５设Ａ是Ｆ２上的ｍ阶可逆方阵，ａ＝（ａ１，… ，ａｍ） ∈ Ｆ２。（１）证明映射ｍ σＡ，ａ：Ｆ２ → Ｆ２，ｖ｜ → σＡ，ａ（ｖ）＝ｖＡ＋ａ是一一映射。并且所有这样的映射全体对于合成运算形成群（叫作Ｆ２上的ｍ阶仿射群，表示成ＡＧ（ｍ，Ｆ２））。（２）对每个ｍ元布尔函数ｆ＝ｆ（ｘ１，… ，ｘｍ）和 σ ∈ ＡＧ（ｍ，Ｆ２），定义一个新ｍｍ的ｍ元布尔函数 σｆ，其中对每个ｖ ∈ Ｆ２，（σｆ）（ｖ）＝ｆ（σ（ｖ））。证明对每个ｒ（０ ≤ ｒ ≤ ｍ）和ｆ ∈ Ｂｍ，σ ∈ ＡＧ（ｍ，Ｆ２），若ｃｆ ∈ ＲＭ（ｒ，ｍ），则ｃσ（ｆ） ∈ ＲＭ（ｒ，ｍ）。从而每个仿射变换 σ 都以这种方式给出二元ＲＭ码ＲＭ（ｒ，ｍ）的一个自同构。ｍ４５４６纠错码的代数理论２．５ＭａｃＷｉｌｌｉａｍｓ恒等式参数［ｎ，ｋ，ｄ］是ｑ元线性码等价类的不变量，但是它不是“完全不变量” ，即在一般情况下，可以有彼此不等价的ｑ元线性码具有同样的参数［ｎ，ｋ，ｄ］。我们需要研究线性码一些更精细的不变量。定义２．５．１设Ｃ是参数为［ｎ，ｋ，ｄ］的ｑ元线性码。对每个ｉ，０ ≤ ｉ ≤ ｎ，我们用Ａｉ表示Ｃ中Ｈａｍｍｉｎｇ权为ｉ的码字个数。即Ａｉ＝＃｛ｃ ∈ Ｃ｜ｗ（ｃ）＝ｉ｝（０ ≤ ｉ ≤ ｎ）。（１１）易知Ａ０＝１（权为０的只有码字（０，… ，０）），Ａｉ为非负整数，Ａ０＋Ａ１＋ … ＋Ａｎ＝｜Ｃ｜＝ｑ，ｋｄ＝ｍｉｎ｛ｉ｜１ ≤ ｉ ≤ ｎ，Ａｉ ≥ １｝。关于ｘ和ｙ的多项式ｆＣ（ｘ，ｙ）＝ｎ ∑ ｉ＝０Ａｉｘ叫作ｑ元线性码Ｃ的权多项式。于是ｎ－ｉｙ ∈ Ｚ［ｘ，ｙ］ｉｆＣ（１，０）＝Ａ０＝１，ｆＣ（１，１）＝ｎ ∑ ｉ＝０Ａｉ＝ｑ。ｋ等价的线性码有同样的｛Ａ０，Ａ１，… ，Ａｎ｝，从而有同样的权多项式。下面是ＭａｃＷｉｌｌｉａｍｓ发现的一个美妙恒等式。定理２．５．２设Ｃ是参数为［ｎ，ｋ］的ｑ元线性码，Ｃ是它的对偶码。则－ｋｆＣ ⊥ （ｘ，ｙ）＝ｑｆＣ（ｘ＋（ｑ－１）ｙ，ｘ－ｙ）。（１２） ⊥ 证明记ｆＣ（ｘ，ｙ）＝ｎ ∑ ｉ＝０Ａｉｘｎ－ｉｙ，ｆＣ ⊥ （ｘ，ｙ）＝ｉｎ ∑ ｉ＝０Ａｉｘ ⊥ ｎ－ｉｙ，ｉ其中Ａｉ如式（１１）所定义，而Ａｉ为线性码Ｃ中权ｉ码字的个数。为证恒等 ⊥ ⊥ 式（１２），我们需要利用迹映射（设ｑ＝ｐ，其中ｐ为素数，ｍ ≥ １）ｍｍ－１Ｔ：Ｆｑ → Ｆｐ，Ｔ（α）＝ α ＋ α ＋ α ＋ … ＋ α （α ∈ Ｆｑ）。这个映射有如下三条基本性质：（１）Ｔ是Ｆｑ唱线性映射，即对任何 α ，β∈ Ｆｑ，ａ，ｂ ∈ Ｆｐ，均有ｐｐ２ｐ第２章线性码Ｔ（ａα ＋ｂβ）＝ａＴ（α）＋ｂＴ（β）；（２）Ｔ是满射；（３）记 ζ＝ｅｐ（复数），则对每个 α ∈ Ｆｑ，２πｉ ∑ζ Ｔ（α ｘ）ｑ，若α＝０，＝ｘ ∈ Ｆｑ（１３）０，若 α ∈ Ｆｑ。倡现在我们对每个ｕ＝（ｕ１，… ，ｕｎ） ∈ Ｆｑｎ，定义关于ｚ的复系数多项式ｇｕ（ｚ）＝ ∑ ｎｖ ∈ Ｆｑ ζＴ（（ｕ，ｖ））ｚｗ（ｖ）其中（ｕ，ｖ）为Ｆｑ中的内积，ｗ（ｖ）是ｖ的Ｈａｍｍｉｎｇ权。于是ｎｇｕ（ｚ）＝ ∑ ｖ１，… ，ｖｎ ∈ Ｆｑ ∑ ＝ｖ１ ∈ Ｆｑ ζＴ（ｕ１ｖ１＋ … ＋ｕｎｖｎ）ｚｗ（ｖ１）＋ … ＋ｗ（ｖｎ） ζ Ｔ（ｕ１ｖ１）ｚｗ（ｖ１） … ∑ ｖｎ ∈ Ｆｑ ζ Ｔ（ｕｎｖｎ）ｚｗ（ｖｎ），（１４）其中０，若ｖｉ＝０，ｗ（ｖｉ）＝１，若ｖｉ ∈ Ｆｑ。倡当ｕｉ＝０时（即ｗ（ｕｉ）＝０时）， ∑ ｖｉ ∈ Ｆｑ ζ Ｔ（ｕｉｖｉ）ｚｗ（ｖｉ）＝ ∑ ｖｉ ∈ Ｆｑｚｗ（ｖｉ）＝１＋（ｑ－１）ｚ；而当ｕｉ ≠ ０时（即ｗ（ｕｉ）＝１时），由式（１３）可算出 ∑ ｖｉ ∈ Ｆｑ ζ Ｔ（ｕｉｖｉ）ｚｗ（ｖｉ） ∑ ＝１＋ ζ Ｔ（ｕｉｖｉ）倡ｖｉ ∈ Ｆｑｚ＝１＋ｚ ∑ ζ Ｔ（ｕｉｖｉ）倡ｖｉ ∈ Ｆｑ＝１－ｚ。综合以上两种情形，代入式（１４）右边，可知ｇｕ（ｚ）＝（１－ｚ）ｗ（ｕ）ｎ－ｗ（ｕ）［１＋（ｑ－１）ｚ］从而 ∑ ｕ∈ Ｃｇｕ（ｚ）＝ ∑ ｕ∈ Ｃｎ＝ ∑ ｉ＝０（１－ｚ）ｗ（ｕ）［１＋（ｑ－１）ｚ］ｎ－ｗ（ｕ）Ａｉ［１＋（ｑ－１）ｚ］ｎ－ｉ（１－ｚ）。ｉ（１５）另一方面，又有 ∑ ｕ∈ Ｃｇｕ（ｚ）＝ ∑ ∑ ｕ∈ Ｃｖ ∈ Ｆｎｑ ζ Ｔ（（ｕ，ｖ））ｚｗ（ｖ）＝ ∑ ｎｖ∈ Ｆｑｚｗ（ｖ） ∑ζ ｕ∈ ＣＴ（（ｕ，ｖ））（１６）我们现在证明： ∑ ｕ∈ Ｃ ζ Ｔ（（ｕ，ｖ））ｑ，若ｖ ∈ Ｃ，０，否则。ｋ＝ ⊥ （１７）４７４８纠错码的代数理论这是因为：若ｖ ∈ Ｃ，则当ｕ∈ Ｃ时（ｕ，ｖ）＝０。于是 ⊥ ∑ζ Ｔ（（ｕ，ｖ））ｕ∈ Ｃ＝｜Ｃ｜＝ｑ。ｋ ∑１＝ｕ∈ Ｃ若ｖ臭Ｃ，则存在ｕ０ ∈ Ｃ，使（ｕ０，ｖ）＝ α ≠ ０，即 α ∈ Ｆｑ。由于迹映射Ｔ：Ｆｑ → －１Ｆｐ是满射，可知有 β ∈ Ｆｑ使得Ｔ（β）＝１ ∈ Ｆｐ。取ｕ１＝ α βｕ０ ∈ Ｃ，则 ⊥ 倡Ｔ（（ｕ１，ｖ）） ζ ＝ ζ Ｔ（α －１ β（ｕ０，ｖ））Ｔ（β）＝ ζ ＝ ζ≠ １，于是 ∑ζ Ｔ（（ｕ，ｖ））ｕ∈ Ｃ ∑ζ ＝ ∑ζ ＝Ｔ（（ｕ１，ｖ））由于 ζ （当ｕ跑遍加法群Ｃ，ｕ＋ｕ１也跑遍Ｃ）Ｔ（（ｕ＋ｕ１，ｖ））ｕ∈ ＣＴ（（ｕ，ｖ））＋Ｔ（（ｕ１，ｖ））Ｔ（（ｕ１，ｖ））＝ ζ ｕ∈ Ｃ＝ ζ ≠ １，可知 ∑ζ Ｔ（（ｕ，ｖ）） ∑ζ Ｔ（（ｕ，ｖ））。ｕ∈ Ｃ＝０。这就证明了式（１７）。ｕ∈ Ｃ将式（１７）代入式（１６）右边，得到 ∑ ｕ∈ Ｃｇｕ（ｚ）＝ｑｋ ∑ ｖ∈ Ｃｚｗ（ｖ）＝ｑｋ ⊥ ｎＡｉｚｉ。 ⊥ ∑ ｉ＝０（１８）由式（１５）和式（１８）给出ｎＡｉ［１＋（ｑ－１）ｚ］ｎ－ｉ ∑ ｉ＝０令ｚ＝（１－ｚ）＝ｑｉｋｎ ∑ ｉ＝０Ａｉｚ， ⊥ ｉｙｎ代入上式再将等式两边乘以ｘ，便得到恒等式（１２）。ｘ当Ｃ是参数为［ｎ，ｋ，ｄ］的ｑ元线性码时，设对偶码Ｃ的参数为［ｎ，ｋ， ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ｄ］，则ｎ＝ｎ，ｋ＝ｎ－ｋ，但是ｄ不容易决定。如果知道码Ｃ的权多项式 ⊥ ｆＣ（ｘ，ｙ）＝ｆＣ ⊥ （ｘ，ｙ）＝ｎＡｉｘ ∑ ｉ＝０ｎ ∑ ｉ＝０ｎ－ｉＡｉｘ ⊥ ⊥ ⊥ ｙ，即知道｛Ａ０，… ，Ａｎ｝，则由ＭａｃＷｉｌｌｉａｍｓ恒等式可求出ｉｎ－ｉｙ，特别地可得到码Ｃ的最小距离ｄ（它是满足Ａｉ ≠ ｉ ⊥ ⊥ ⊥ ０的最小正整数ｉ）。现在我们计算一些线性码的权多项式。例１１０阶的二元ＲＭ码ＲＭ（０，ｍ）只有两个码字：长为ｎ＝２的全０码ｎｎ字和全１码字。所以它的权多项式为ｘ＋ｙ。由定理２．５．２知它的对偶码（即ｍ－１阶的二元ＲＭ码）ＲＭ（ｍ－１，ｍ）有权多项式ｎｎｎ－ｉｉｎｎ１（ｘ＋ｙ）＋（ｘ－ｙ）＝ ∑ ｘｙ（１９）２ｉ＝０ｉｍ２｜ｉ第２章线性码事实上，ＲＭ（ｍ－１，ｍ）的校验阵为ＲＭ（０，ｍ）的生成阵（１１ … １），所以ＲＭ（ｍ－１，ｍ）中码字即是与（１１ … １）正交的Ｆ２中的向量，也即是Ｆ２中权为偶数的全部向ｎｎｎ个，由此即知ＲＭ（ｍ－１，ｍ）的权多ｉ量。而当２｜ｉ时，Ｆ２中权为ｉ的向量共有ｎ项式有公式（１９）的形式。更一般地，对任一个素数方幂ｑ，以长为ｎ的全１向量（１１ … １）为生成阵的ｑ元线性码Ｃ＝｛（ａ … ａ）｜ａ ∈ Ｆｑ｝具有参数［ｎ，ｋ，ｄ］＝［ｎ，１，ｎ］，权多项式为ｎｎｆＣ（ｘ，ｙ）＝ｘ＋（ｑ－１）ｙ。对偶码Ｃ以（１１ … １）为校验阵，从而 ⊥ Ｃ＝｛ｃ＝（ｃ１，… ，ｃｎ） ∈ Ｆｑ｜ｃ１＋ｃ２＋ … ＋ｃｎ＝０｝。ｎ ⊥ 由定理２．５．２，Ｃ的权多项式为 ⊥ ｆＣ ⊥ （ｘ，ｙ）＝１ｎｎ［（ｘ＋（ｑ－１）ｙ）＋（ｑ－１）（ｘ－ｙ）］，ｑ易知Ｃ的参数为［ｎ，ｎ－１，２］，而Ｃ中权２的码字个数Ａ２为ｆＣ ⊥ （ｘ，ｙ）中ｘ的系数，于是 ⊥ ⊥ ⊥ Ａ２＝ ⊥ １ｑｎｎ（ｑ－１）２＋（ｑ－１）２２＝（ｑ－１）ｎ－２ｙ２ｎ。２事实上，Ｃ中每个权２码字ｃ＝（ｃ１，… ，ｃｎ）恰有两位数字不为０，这两位ｉ，ｊ共有 ⊥ ｎ个选取方式，而对固定的两位ｉ和ｊ（１ ≤ ｉ ≠ ｊ ≤ ｎ），要求ｃｉ＋ｃｊ＝０。在Ｆｑ中的２非零解共ｑ－１个。于是Ａ２＝（ｑ－１） ⊥ 例１２码字为ｎ。２１阶的二元ＲＭ码ＲＭ（１，ｍ）参数为［ｎ，１＋ｍ，２ｍ－１ｍ］（ｎ＝２）。每个ｃｆ＝（ｆ（００ … ０），ｆ（１０ … ０），ｆ（０１０ … ０），… ，ｆ（１１ … １）），其中（ａｉ ∈ Ｆ２）。ｆ（ｘ１，… ，ｘｍ）＝ａ０＋ａ１ｘ１＋ … ＋ａｍｘｍ对于ａ１＝ａ２＝ … ＝ａｍ＝０的情形，ｗ（ｃ０）＝０，ｗ（ｃ１）＝ｎ。而当ａ１，… ，ａｍ不全为零时，方程ａ０＋ａ１ｘ１＋ … ＋ａｍｘｍ＝１在Ｆ２中共有２ｗ（ｃｆ）＝２ｍ－１＝ｍ－１个解（ｘ１，… ，ｘｍ）。于是ｎ。这表明二元线性码ＲＭ（１，ｍ）＝Ｃ的权多项式为２４９５０纠错码的代数理论ｆＣ（ｘ，ｙ）＝ｘ＋（２ｎｍ＋１－２）ｘｎ／２ｙｎ／２＋ｙ，ｎ从而ｍ－２阶二元ＲＭ码Ｃ＝ＲＭ（ｍ－２，ｍ）的权多项式为１（ｘ＋ｙ）ｎ＋（２ｍ＋１－２）（ｘ２－ｙ２）ｎ／２＋（ｘ－ｙ）ｎ。（２０）ｆＣ ⊥ （ｘ，ｙ）＝ｍ＋２１ ⊥ 我们知道当ｍ ≥ ２时，Ｃ的参数为［ｎ，ｎ－ｍ－１，４］。事实上，由于ＲＭ（ｍ－２，ｍ）彻ＲＭ（ｍ－１，ｍ），可知ＲＭ（ｍ－２，ｍ）中码字的权均为偶数（这件事也可由 ⊥ ⊥ ｎ－２２式（２０）看出）。Ｃ中权２码字的个数Ａ２为ｆＣ ⊥ （ｘ，ｙ）中ｘｙ的系数，即ｎｎ／２ｎ ⊥ ｍ＋１１Ａ２＝ｍ＋１－（２－２）＋２２１２ ⊥ １ｎ（ｎ－１）－（２ｎ－２） · ｎ＝０。ｍ＋１２２ ⊥ ｎ－４４ ⊥ 而Ａ４应为ｆＣ（ｘ，ｙ）中ｘｙ的系数，即ｎｎ／２ｎ ⊥ １Ａ４＝ｍ＋＋（２ｎ－２）＋＝ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）＞０。１２４２４２４ ⊥ 从而Ｃ的最小距离为４。＝例１３我们在２．４节证明了，参数为［ｎ，ｋ，ｄ］＝［２－１，２－１－ｍ，３］的二元Ｈａｍｍｉｎｇ码是ｎ－１ＲＭ（１，ｍ）′ ＝｛（ｃ２，… ，ｃｎ） ∈ Ｆ２｜（０，ｃ２，… ，ｃｎ） ∈ ＲＭ（１，ｍ）｝ｍｍｎｎ的对偶码。二元ＲＭ码ＲＭ（１，ｍ）的权多项式为ｘ＋（２－２）ｘ２ｙ２＋ｙ。易知ＲＭ（１，ｍ）＝｛（０，ｃ２，… ，ｃｎ），（１，ｃ２＋１，… ，ｃｎ＋１）｜（ｃ２，… ，ｃｎ） ∈ ＲＭ（１，ｍ）′｝。如果ｗＨ（ｃ２，… ，ｃｎ）＝ｌ，则ｗＨ（０，ｃ２，… ，ｃｎ＋１）＝ｌ，ｗＨ（１，ｃ２＋１，… ，ｃｎ＋１）＝ｎ－ｌ。从而ＲＭ（１，ｍ）′中每个权ｌ的码字对应于ＲＭ（１，ｍ）中权分别为ｌ和ｎ－ｌ的两个码字。由此事实和ＲＭ（１，ｍ）的权多项式不难得到ＲＭ（１，ｍ）′的权多项式ｎｎｍ＋１ｎｎ为ｘｎ－１＋（２ｍ－１）ｘ２－１ｙ２。而参数［２ｍ－１，２ｍ－１－ｍ，３］的二元Ｈａｍｍｉｎｇ码Ｃ是ＲＭ（１，ｍ）′的对偶。从而二元Ｈａｍｍｉｎｇ码Ｃ的权多项式为ｆＣ（ｘ，ｙ）＝２－ｍ（ｘ＋ｙ）ｎ－１ｎ＋（２－１）（ｘ＋ｙ）２ｍ－１ｎｎ（ｘ－ｙ）２＝２（ｘ＋ｙ）＋（２－１）（ｘ－ｙ）２（ｘ－ｙ）（ｎ＝２）。ｎ－４３特别地，这个二元Ｈａｍｍｉｎｇ码Ｃ中权为３的码字个数为ｆＣ（ｘ，ｙ）中ｘｙ中的系数，即为ｎ－１ｎ－１１（ｎ－１）（ｎ－２）（ｎ－３）＋（ｎ－１）（ｎ－２）－ｍｍ２２＋（２－１）＝６２ｎ３１－ｍｎ－１ｍ２２－１ｍ第２章＝线性码１（ｎ－１）（ｎ－２）。６ｑ元线性码Ｃ的权多项式ｆＣ（ｘ，ｙ）＝ｎｄ］，因为ｎ＝ｄｅｇｆＣ（ｘ，ｙ），ｋ由ｑ＝ｋｎ ∑ ｉ＝０Ａｉｘｎ－ｉｙ可决定Ｃ的参数［ｎ，ｋ，ｉＡｉ＝ｆＣ（１，１）所决定，而ｄ由Ａ２＝ … ＝ ∑ ｉ＝０Ａｄ－１＝０，Ａｄ ≥ １所决定。一般来说，ｆＣ（ｘ，ｙ）（即Ａｉ（０ ≤ ｉ ≤ ｎ））给出线性码更多的信息。具有同样参数［ｎ，ｋ，ｄ］的ｑ元线性码可能有不同的权多项式。例如以１０１０１０１１和为生成阵的两个二元线性码，［ｎ，ｋ，ｄ］均为［４，２，２］。但是它们０１１００１１１４２２４２２３有不同的权多项式：前者为ｘ＋３ｘｙ，后者为ｘ＋ｘｙ＋２ｘｙ。下面结果表明：对于ＭＤＳ码，参数［ｎ，ｋ，ｄ］可完全决定其权多项式。设Ｃ是参数［ｎ，ｋ，ｄ］的ｑ元ＭＤＳ线性码（于是ｄ＝ｎ－ｋ＋１），定理２．５．３１ ≤ ｋ ≤ ｎ－１。ｆＣ（ｘ，ｙ）＝ｎ ∑ ｉ＝０Ａｉｘｎ－ｉｙ是Ｃ的权多项式（于是Ａ０＝１，Ａ１＝ｉＡ２＝ … ＝Ａｄ－１＝０）。则对于ｄ ≤ ｗ ≤ ｎ，ｗ－ｄｎｗ－１ｗ－ｄ－ｊｊＡｗ＝（ｑ－１） ∑ （－１）ｑ。ｊ＝０ｗｊ证明（２１）Ｃ的对偶码Ｃ也是ＭＤＳ码，参数为［ｎ，ｎ－ｋ，ｄ］，ｄ＝ｋ＋１。权 ⊥ ｎ多项式为ｆＣ ⊥ （ｘ，ｙ）＝ ∑ ｉ＝０ ⊥ Ａｉｘ ⊥ ｎ－ｉｙ，其中Ａ０＝１，Ａ１＝Ａ２＝ … ＝Ａｋ＝０。ｉＭａｃＷｉｌｌｉａｍｓ恒等式给出（令ｙ＝１）ｎ ∑ ｉ＝０Ａｉｘｎ－ｉ ⊥ ＝ｆＣ（ｘ，１）＝ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ １ ⊥ ｎ－ｋｆＣ（ｘ＋ｑ－１，ｘ－１）ｑｎ ⊥ １ｎ－ｉｉ＝ｎ－ｋ ∑ Ａｉ（ｘ＋ｑ－１）（ｘ－１）。ｑｉ＝０对于０ ≤ ｒ ≤ ｎ，将上式两边对ｘ微商ｒ次，然后令ｘ＝１，得出ｎ－ｒ ∑ ｉ＝０＝ｎ１－ｋｑ＝ｎ１－ｋｑＡｉ（ｎ－ｉ）（ｎ－ｉ－１） … （ｎ－ｉ－ｒ＋１）ｎ ∑ ｉ＝０ｒ ∑ ｉ＝０Ａｉ ⊥ Ａｉ ⊥ ｒ ∑ ｌ＝０ｒｄｒ－ｌ（ｘ＋ｑ－１）ｎ－ｉｄｌ（ｘ－１）ｉ · ｄｘｒ－ｌｄｘｌｌｘ＝１ｒｎ－ｉ－ｒ＋ｉ［（ｎ－ｉ）（ｎ－ｉ－１） … （ｎ－ｉ－ｒ＋ｉ＋１）］ｑ · ｉ！ｉ５１５２纠错码的代数理论＝ｑｒ１ ∑ ｒ－ｋｉ＝０ｒ！（ｎ－ｉ）！。（ｒ－ｉ）！（ｎ－ｒ）！Ａｉ ⊥ 这给出１ｑｋｎ－ｉｎ－ｒ ∑ ｒｉ＝０１ｑｒＡｉ＝ｎ－ｉｒ ∑ ｎ－ｒｉ＝０Ａｉ（０ ≤ ｒ ≤ ｎ）， ⊥ 于是ｑｎ－ｋｒｎ－ｉｎ－ｒ＋ ∑ ｒｉ＝ｄＡｉ＝ｑ－ｒｎ（０ ≤ ｒ ≤ ｋ）。ｒ（２２）在式（２２）中取ｒ＝ｋ－１，给出ｑｎ－ｋｋ－１于是（由于ｎ－ｄ＝ｋ－１）＋Ａｄ＝ｎ－ｄＡｄ＝ｑｋ－１ｎｄ－ｋ＋１ｎ，ｋ－１（ｑ－１），这表明式（２１）对ｗ＝ｄ是正确的。一般地，若式（２１）对于ｗ＝ｄ，ｄ＋１，… ，ｄ＋ｌ（ ≤ ｎ－１）均成立。利用式（２２）（取ｒ＝ｋ－ｌ－２）可推出式（２１）对ｗ＝ｄ＋ｌ＋１也成立（详细推导由读者补足）。由此即证定理２．５．３。由于Ａｉ均是非负整数，由定理２．５．３可给出ＭＤＳ码存在性的进一步必要条件。例如对于参数［ｎ，ｋ，ｄ］的ｑ元ＭＤＳ码，ｄ＝ｎ－ｋ＋１，ｎ ≥ ｄ＋１（即ｋ ≥ ２）。ｎ定理２．５．３给出Ａｄ＋１＝ｄ＋１１（ｑ－１） ∑ ｊ＝０ｊ（－１）ｄｊｑ１－ｊｎ＝ｄ＋１（ｑ－１）（ｑ－ｄ）。这就得到这种ＭＤＳ码存在的一个必要条件是ｄ ≤ ｑ。换句话说，推论２．５．４存在。若ｎ ≥ ｄ＋１，ｄ＞ｑ，则ｑ元ＭＤＳ码［ｎ，ｋ，ｄ］（ｋ＝ｎ－ｄ＋１）不例如Ｆ４上的线性码［６，２，５］不存在，虽然它满足Ｈａｍｍｉｎｇ界和Ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ界。习题１不存在参数为［ｎ，ｋ，ｄ］的ｑ元ＭＤＳ码，使得２ ≤ ｋ ≤ ｎ－ｑ或者ｑ ≤ ｋ ≤ ｎ－２。习题２证明二元Ｇｏｌａｙ码Ｇ２４的权多项式为ｘ２４＋ｙ２４＋７５９（ｘｙ＋ｘｙ）＋２５７６ｘｙ。１６８８１６１２１２第２章线性码（提示：对Ｆ２中每个权５向量ｖ，ｖ与Ｇ２４中恰好一个码字的距离 ≤ ３。由此２４算出Ｇ２４中权８码字个数为７５９。）习题３权多项式。习题４利用２．２节习题３（１）和Ｇ２４与Ｇ２３的关系，给出二元Ｇｏｌａｙ码Ｇ２３的计算三元Ｇｏｌａｙ码Ｇ１２和Ｇ１１的权多项式。５３３循环码３畅１生成式和校验式定义３畅１畅１码长为ｎ的ｑ元线性码Ｃ叫作循环码，是指若ｃ＝（ｃ０，ｃ１，… ，ｃｎ－１） ∈ Ｃ，则ｃ的循环移位（ｃｎ－１，ｃ０，ｃ１，… ，ｃｎ－２） ∈ Ｃ。（从而ｃ的任意多次循环移位所得向量均属于Ｃ。）把码字ｃ＝（ｃ０，ｃ１ … ，ｃｎ－１）写成多项式形式ｃ（ｘ）＝ｃ０＋ｃ１ｘ＋ … ＋ｃｎ－１ｘｎ－１ ∈ Ｆｑ［ｘ］，ｄｅｇｃ（ｘ） ≤ ｎ－１。ｘｃ（ｘ）＝ｃ０ｘ＋ｃ１ｘ＋ … ＋ｃｎ－２ｘ２则 ≡ ｃｎ－１＋ｃ０ｘ＋ … ＋ｃｎ－２ｘ所以看成是商环ｎ－１ｎ－１＋ｃｎ－１ｘｎ（ｍｏｄｘ－１）。ｎＲ＝Ｆｑ［ｘ］／（ｘ－１）ｎ中的元素，（ｃｎ－１，ｃ０，ｃ１，… ，ｃｎ－２）恰好对应于Ｒ中元素ｘｃ（ｘ）。对每个多项式ｈ（ｘ） ∈ Ｆｑ［ｘ］，用ｘ－１除ｈ（ｘ）的带余除法给出ｎｈ（ｘ）＝ｑ（ｘ）（ｘ－１）＋ｒ（ｘ），ｑ（ｘ），ｒ（ｘ） ∈ Ｆｑ［ｘ］，ｄｅｇｒ（ｘ） ≤ ｎ－１。ｎ从而商环Ｒ中元素ｈ（ｘ）有惟一的次数 ≤ ｎ－１多项式ｒ（ｘ）＝ｒ０＋ｒ１ｘ＋ … ＋ｒｎ－１ｘｎ－１ｎ作为代表，它对应于Ｆｑ中向量（ｒ０，ｒ１，… ，ｒｎ－１）。按这种方式，我们把集合Ｆｑ等同于Ｒ，它们均为Ｆｑ上ｎ维向量空间，｛１，ｘ，… ，ｘｎｎ－１｝是Ｒ的一组Ｆｑ唱基。Ｆ中的ｑ元线性码Ｃ按上述方式（ｃ看成ｃ（ｘ））等同于Ｒ的一个Ｆｑ唱线性子ｎｑ空间（仍记为Ｃ）。如果Ｃ又是循环码，这相当于Ｃ满足如下条件：ｃ（ｘ） ∈ Ｃ痴ｘｃ（ｘ） ∈ Ｃ。由此易知：Ｃ是循环码当且仅当Ｃ是环Ｒ中的一个理想。于是在分析和研究循环码时，我们不仅有线性代数工具，还需要抽象代数，特别是多项式环Ｆｑ［ｘ］作为第３章循环码工具。熟知Ｒ中每个理想Ｃ都是主理想Ｃ＝（ｇ（ｘ））＝ｇ（ｘ）Ｒ＝ａ（ｘ）ｇ（ｘ） ∈ Ｒ｜ａ（ｘ） ∈ Ｒ，ｎ并且可取ｇ（ｘ）是ｘ－１在Ｆｑ［ｘ］中的首１多项式因子。循环码Ｃ和ｇ（ｘ）是一一对应的，称ｇ（ｘ）为循环码Ｃ的生成（多项）式。令ｎｘ－１＝ｇ（ｘ）ｈ（ｘ），ｄｅｇｇ（ｘ）＝ｎ－ｋ，ｄｅｇｈ（ｘ）＝ｋ。称ｈ（ｘ）（Ｆｑ［ｘ］中首１多项式）为循环码Ｃ的校验（多项）式。对于循环码Ｃ＝（ｇ（ｘ））中每个码字ｃ（ｘ）＝ａ（ｘ）ｇ（ｘ） ∈ Ｒ，用ｈ（ｘ）去除ａ（ｘ）得到ａ（ｘ）＝ｑ（ｘ）ｈ（ｘ）＋ｒ（ｘ），ｄｅｇｒ（ｘ）＜ｋ（＝ｄｅｇｈ（ｘ）），ｋ－１其中ｑ（ｘ） ∈ Ｆｑ［ｘ］，ｒ（ｘ）＝ｒ０＋ｒ１ｘ＋ … ＋ｒｋ－１ｘ（ｒｉ ∈ Ｆｑ）。于是ｃ（ｘ）＝ａ（ｘ）ｇ（ｘ）＝［ｑ（ｘ）ｈ（ｘ）＋ｒ（ｘ）］ｇ（ｘ）＝ｑ（ｘ）（ｘｎ－１）＋ｒ（ｘ）ｇ（ｘ）ｋ－１＝（ｒ０＋ｒ１ｘ＋ … ＋ｒｋ－１ｘ）ｇ（ｘ） ∈ Ｒ。ｋ－１这就表明ｇ（ｘ），ｘｇ（ｘ），… ，ｘｇ（ｘ）是线性码Ｃ的一组Ｆｑ唱基（因为每个码字均是它们的Ｆｑ唱线性组合，而它们是Ｆｑ唱线性无关的）。所以Ｃ的维数（信息位数）为ｋ＝ｄｅｇｈ（ｘ）。并且Ｃ有生成阵ｇ０ｇ１ … ｇｎ－ｋｇ（ｘ）Ｇ＝ｘｇ（ｘ）＝ ⁝ ｘｋ－１ｇ０ｇ１ … ｇｎ－ｋ ⁝ ⁝ ｇ０ ⁝ ｇ１ｇ（ｘ） ⁝ … （ｋ行ｎ列），ｇｎ－ｋ其中ｇ（ｘ）＝ｇ０＋ｇ１ｘ＋ … ＋ｇｎ－ｋｘ，ｇｉ ∈ Ｆｑ，ｇｎ－ｋ＝１，ｇ０ ≠ ０。类似地，考虑循环码Ｃ的校验式ｋｈ（ｘ）＝ｈ０＋ｈ１ｘ＋ … ＋ｈｋｘ ∈ Ｆｑ［ｘ］，（ｈｋ＝１，ｈ０ ≠ ０）。则对每个ｆ（ｘ） ∈ Ｒ，ｎｆ（ｘ） ∈ Ｃ＝（ｇ（ｘ））骋ｇ（ｘ）｜ｆ（ｘ）骋ｘ－１＝ｇ（ｘ）ｈ（ｘ）｜ｆ（ｘ）ｈ（ｘ）骋ｆ（ｘ）ｈ（ｘ）＝０ ∈ Ｒ。ｎ－１若ｆ（ｘ）＝ｖ０＋ｖ１ｘ＋ … ＋ｖｎ－１ｘ＝（ｖ０，ｖ１ … ，ｖｎ－１）（ｖｉ ∈ Ｆｑ），则ｎ－１ｋｆ（ｘ）ｈ（ｘ）＝（ｖ０＋ｖ１ｘ＋ … ＋ｖｎ－１ｘ）（ｈ０＋ｈ１ｘ＋ … ＋ｈｋｘ）ｎ－１ｎ ≡ ｓ０＋ｓ１ｘ＋ … ＋ｓｎ－１ｘ（ｍｏｄｘ－１），其中ｓ０＝ｖ０ｈ０＋ｖｎ－１ｈ１＋ … ＋ｖｎ－ｋｈｋ，ｎ－ｋｓ１＝ｖ１ｈ０＋ｖ０ｈ１＋ｖｎ－１ｈ２＋ … ＋ｖｎ－ｋ＋１ｈｋ， ⁝ ｓｎ－１＝ｖｎ－１ｈ０＋ｖｎ－２ｈ１＋ … ＋ｖｎ－ｋ－１ｈｋ。（１）５５５６纠错码的代数理论所以若ｆ（ｘ） ∈ Ｃ，则ｆ（ｘ）ｈ（ｘ） ≡ ０（ｍｏｄｘ－１），即ｓｉ＝０（１ ≤ ｉ ≤ ｎ－１）。由式（１）中ｓｉ＝０（ｋ ≤ ｉ ≤ ｎ－１）给出ｖ０ｎＨｖ１＝０（长为ｎ－ｋ的零向量）， ⁝ ｖｎ－１其中ｈｋＨ＝ｈｋ－１ … ｈ１ｈ０ｈｋｈｋ－１ … ｈ１ｈ０（ｎ－ｋ行ｎ列）。筹筹筹筹ｈｋｈｋ－１ … ｈ１ｈ０由ｈｋ＝１知Ｈ的秩为ｎ－ｋ。所以Ｈ为循环码Ｃ的一个校验阵。 ⊥ 我们知道，循环码Ｃ的对偶码Ｃ以Ｈ和Ｇ分别为生成阵和校验阵，由矩阵Ｇ和Ｈ的形式可以看出定理３．１．２。筹定理３．１．２ｑ元循环码Ｃ的对偶码Ｃ也是循环码。确切地说，若ｇ（ｘ）＝ｎ－ｋｋｇ０＋ｇ１ｘ＋ … ＋ｇｎ－ｋｘ和ｈ（ｘ）＝ｈ０＋ｈ１ｘ＋ … ＋ｈｋｘ分别为Ｃ的生成式和校ｎ验式，其中ｇｉ，ｈｉ ∈ Ｆｑ，ｇｎ－ｋ＝ｈｋ＝１，ｘ－１＝ｇ（ｘ）ｈ（ｘ）（从而ｇ０ｈ０＝１ ≠ ０）。则对于ｇ（ｘ）和ｈ（ｘ）的反向多项式倡ｎ－ｋｎ－ｋ－１ｎ－ｋ－１ｇ（ｘ）＝ｇ０ｘ＋ｇ１ｘ＋ … ＋ｇｎ－ｋ＝ｘｇ（ｘ）， ⊥ ｈ（ｘ）＝ｈ０ｘ＋ｈ１ｘ＋ … ＋ｈｋ＝ｘｈ（ｘ）， ⊥ －１倡 ⊥ －１倡它们给出的首１多项式ｈ（ｘ）＝ｇ０ｇ（ｘ）和ｇ（ｘ）＝ｈ０ｈ（ｘ）分别为循环码Ｃ ⊥ 的校验式和生成式。倡ｋｋ－１ｋ－１本书中讨论的ｑ元循环码，均假定码长ｎ与ｑ互素（好的纠错码均是这种情ｎ形）。这时ｘ－１在Ｆｑ的扩域中没有重根。所以它在Ｆｑ［ｘ］中分解成有限个（设为ｇ个）不同的首１不可约多项式之乘积ｎｘ－１＝ｐ１（ｘ） … ｐｇ（ｘ）。ｎ而ｘ－１在Ｆｑ［ｘ］中的每个首１多项式因子ｇ（ｘ）均是这ｇ个不同因子ｐｉ（ｘ）（１ ≤ ｇｉ ≤ ｇ）当中一部分的乘积。所以当（ｎ，ｑ）＝１时，码长为ｎ的ｑ元循环码共有２个。循环码理论的一个基本问题是决定这些码的最小距离，并且从中发现良好的纠错码。为此，我们将用有限域Ｆｑ上多项式环Ｆｑ［ｘ］的理论和性质，给出刻画循环码的其他方式。这里先举两个例子。第３章例１ｑ＝３，ｎ＝１０。ｘ１０循环码－１在Ｆ３［ｘ］中分解成４个首１不可约多项式之积ｘ－１＝（ｘ－１）（ｘ＋１）（ｘ＋ｘ＋ｘ＋ｘ＋１）（ｘ－ｘ＋ｘ－ｘ＋１）。４４３所以码长为１０的三元循环码共２＝１６个。比如，取生成式为ｇ（ｘ）＝ｘ－ｘ＋２ｘ－ｘ＋１，给出三元循环码Ｃ＝（ｇ（ｘ））的参数［ｎ，ｋ，ｄ］，其中ｎ＝１０，ｋ＝１０－ｄｅｇｇ（ｘ）＝６。生成阵可取１２１２１００００００１２１２１００００００１２１２１０００Ｇ＝。０００１２１２１００００００１２１２１００００００１２１２１１０５６５由于校验式为ｈ（ｘ）＝（ｘ－１）／ｇ（ｘ）＝（ｘ－１）（ｘ＋１）＝ｘ＋ｘ－ｘ－１，可以取校验阵为１１０００２２００００１１０００２２００Ｈ＝。００１１０００２２００００１１０００２２ ⊥ 因为Ｈ的第１和第６列线性相关，可知ｄ＝２。对偶码Ｃ有参数［１０，４，ｄ ⊥ ］。Ｃ ⊥ 也是循环码，生成式为ｇ ⊥ （ｘ）＝－（－ｘ６－ｘ５＋ｘ＋１）＝ｈ（ｘ），校验式 ⊥ ⊥ ⊥ 为ｈ（ｘ）＝ｇ（ｘ）。Ｈ是线性码Ｃ的生成阵。由Ｈ的形式可知Ｃ的每个码字１１００００１１００５可表示成ｃ＝（ｃ１，２ｃ１），其中ｃ１ ∈ Ｆ３，是以Ｈ的前５列为生成００１１００００１１ ⊥ 阵的三元线性码中的码字。此码的最小距离为２，因此ｄ＝４。１０例２４３２４３２对每个ｍ ≥ ２，取ｇ（ｘ）为Ｆ２［ｘ］中一个ｍ次本原多项式，根据本原多项式的定义，ｇ（ｘ）｜ｘ－１（ｎ＝２－１），并且ｇ（ｘ）的周期为ｎ，即ｎ＝２－１是满ｄ足ｇ（ｘ）｜ｘ－１的最小正整数ｄ（关于多项式的周期见本书附录Ａ）。于是ｘｎ－１＝ｇ（ｘ）ｈ（ｘ），ｄｅｇｇ（ｘ）＝ｍ，ｄｅｇｈ（ｘ）＝ｎ－ｍ＝２ｍ－１－ｍ。ｍ设Ｃ是以ｇ（ｘ）为生成式的二元循环码，它的参数为［ｎ，ｋ，ｄ］，其中ｋ＝２－１－ｎｌｌｌ′ ｌｍ。Ｆ２中Ｈａｍｍｉｎｇ权为１和２的向量可表示成ｘ（０ ≤ ｌ ≤ ｎ）和ｘ＋ｘ＝ｘ（１－ｎｍｍｘ）（０ ≤ ｌ＜ｌ′ ≤ ｎ）。由于ｇ（ｘ）的周期为ｎ，可知它们不可能为ｇ（ｘ）的倍式，所以Ｃ中没有权为１和２的非零码字。于是ｄ ≥ ３。再由Ｈａｍｍｉｎｇ界可知ｄ＝３。ｌ′ －ｌ５７５８纠错码的代数理论于是Ｃ与二元Ｈａｍｍｉｎｇ码有同样参数［ｎ，ｋ，ｄ］＝［２－１，２－１－ｍ，３］。Ｃ的ｍｍ校验阵Ｈ是Ｆ２上ｎ－ｋ＝ｍ行ｎ＝２－１列的矩阵，它的２－１列均是Ｆ２中的列ｍｍｍ向量。由ｄ＝３知这些列向量正是Ｆ２中彼此不同的全部非零列向量。所以Ｃｍ就是二元Ｈａｍｍｉｎｇ码。换句话说，每个二元Ｈａｍｍｉｎｇ均等价于循环码。Ｃ的对偶码Ｃ以ｇ（ｘ）＝ｈ（ｘ）＝ｘｈ（ｘ ⊥ ⊥ ｎｆＣ ⊥ （ｘ，ｙ）＝ｘ＋（２－１）ｘ２ｎｎ倡ｍ－１－１）为生成式。Ｃ的权多项式为 ⊥ ｎｙ２（第２章的例１０），即Ｃ中非零码字的权均为 ⊥ ｎｍ－１ ⊥ ｍｍ－１＝２。于是Ｃ的参数为［２－１，ｍ，２］。２比如，取Ｆ２［ｘ］中３次本原多项式ｇ（ｘ）＝ｘ＋ｘ＋１（ｍ＝３）。以ｇ（ｘ）为生３成式的二元循环码Ｃ＝（ｇ（ｘ））有参数［ｎ，ｋ，ｄ］＝［７，４，３］和生成阵１０００Ｇ＝１１０００１１０１０１１０１０１００１０００。０１Ｃ的校验式为ｈ（ｘ）＝（ｘ－１）／ｇ（ｘ）＝ｘ＋ｘ＋ｘ＋１。从而Ｃ有校验阵７４１００Ｈ＝０１０１０１２１１０１１１００１０。１１Ｃ的生成式为ｇ（ｘ）＝ｈ（ｘ）＝ｘ＋ｘ＋ｘ＋１，检验式为ｈ（ｘ）＝ｇ（ｘ）＝ ⊥ ⊥ 倡４３２ ⊥ 倡ｘ＋ｘ＋１，参数为［７，３，４］，Ｃ中非零码字的权均为４。３２ ⊥ 设Ｃ是参数［ｎ，ｋ］的ｑ元线性码，Ｇ和Ｈ分别为Ｃ的生成阵和校验阵。则Ｃ的全部码字为ａＧ，其中ａ过Ｆｑｋ中全部向量（这叫纠错编码），而Ｆｑｎ中向量ｖ是Ｃ中码字当且仅当ＨｖＴ＝０ ∈ Ｆｑｎ－ｋ。如果Ｃ为ｑ元循环码，ｇ（ｘ）和ｈ（ｘ）分别为其生成式和校验式，其中ｇ（ｘ）和ｈ（ｘ）分别是Ｆｑ［ｘ］中次数ｎ－ｋ和ｋ的首１多项式，并且ｘ－１＝ｇ（ｘ）ｈ（ｘ）。则Ｃ中全部码字为ａ（ｘ）ｇ（ｘ），其中ａ（ｘ）过ｎＦｑ［ｘ］中全部次数 ≤ ｋ－１的多项式。而对于ｖ（ｘ）＝ｖ０＋ｖ１ｘ＋ … ＋ｖｎ－１ｘｎ－１ ∈ Ｆｑ［ｘ］，ｖ（ｘ）是Ｃ中码字当且仅当ｖ（ｘ）ｈ（ｘ） ≡ ０（ｍｏｄｘ－１）（即ｘ－１｜ｎｎｖ（ｘ）ｈ（ｘ））。所以线性码的矩阵运算简化成多项式环Ｆｑ［ｘ］中的乘法和除法运算。在通信工程上，有一种元件可以快速而方便地进行有限域上的四则运算，这种元件叫作线性移位寄存器。这种元件产生的序列和循环码有密切关系。线性移位寄存器序列的有关知识请见附录Ｂ。第３章习题１循环码码长为７的三元循环码共有多少个？决定这些码的参数［ｎ，ｋ，ｄ］。习题２设Ｃ１和Ｃ２均为码长为ｎ的ｑ元循环码。证明（１）它们的交Ｃ１ ∩ Ｃ２以及和Ｃ１＋Ｃ２＝｛ｃ１＋ｃ２｜ｃ１ ∈ Ｃ１，ｃ２ ∈ Ｃ２｝仍为循环码。（２）若ｇ１（ｘ）和ｇ２（ｘ）分别为Ｃ１和Ｃ２的生成式，则Ｃ１ ∩ Ｃ２和Ｃ１＋Ｃ２的生成式分别为最小公倍式［ｇ１（ｘ），ｇ２（ｘ）］和最大公因子（ｇ１（ｘ），ｇ２（ｘ））。习题３当（ｎ，ｑ）＝１时，是否有码长为ｎ的ｑ元循环码是自正交码或自对偶码？若允许（ｎ，ｑ）＞１呢？习题４设ｘ－１在Ｆｑ［ｘ］中分解为ｘ－１＝ｇ（ｘ）ｈ（ｘ），其中ｇ（ｘ）和ｈ（ｘ）ｎｎ为Ｆｑ［ｘ］中的首１多项式，ｄｅｇｈ（ｘ）＝ｋ。用ｇ（ｘ）除ｘ（ｎ－ｋ ≤ ｌ ≤ ｎ－１）得到余式ｒｌ（ｘ）（ｄｅｇｒｌ（ｘ）＜ｎ－ｋ＝ｄｅｇｇ（ｘ）），即ｌｘ ≡ ｒｌ（ｘ）＝ａ０，ｌ＋ａ１，ｌｘ＋ … ＋ａｎ－ｋ－１，ｌｘ（ｍｏｄｇ（ｘ）），（ｎ－ｋ ≤ ｌ ≤ ｎ－１）。证明码长为ｎ的ｑ元循环码Ｃ＝（ｇ（ｘ））有校验阵ａ０，ｎ－ｋａ０，ｎ－ｋ＋１ … ａ０，ｎ－１ｌｎ－ｋ－１Ｈ＝（Ｉｎ－ｋ ┆ Ｐ），Ｐ＝ａ１，ｎ－ｋａ１，ｎ－ｋ＋１ … ａ１，ｎ－１ ⁝ ⁝ ⁝ ａｎ－ｋ－１，ｎ－ｋａｎ－ｋ－１，ｎ－ｋ＋１ ⁝ … 。ａｎ－ｋ－１，ｎ－１习题５设ｎ为奇数，ｘ－１＝（ｘ－１）ｇ（ｘ）ｈ（ｘ），其中ｇ（ｘ）和ｈ（ｘ）为Ｆ２［ｘ］中的首１多项式。试问码长为ｎ的二元循环码Ｃ＝（ｇ（ｘ））和Ｃ′ ＝（（ｘ－１）ｇ（ｘ））之间有何关系？如果Ｃ的最小距离为奇数ｄ，证明Ｃ′的最小距离 ≥ ｄ＋１。ｎ５９６０纠错码的代数理论３畅２循环码的迹表达式设（ｎ，ｑ）＝１，ｘ－１＝ｇ（ｘ）ｈ（ｘ），其中ｇ（ｘ）和ｈ（ｘ）分别是Ｆｑ［ｘ］中ｎ－ｋ次ｎ和ｋ次首１多项式。Ｃ是以ｇ（ｘ）为生成式（从而以ｈ（ｘ）为校验式）的ｑ元循环码，参数为［ｎ，ｋ］。由（ｎ，ｑ）＝１可知ｈ（ｘ）＝ｐ１（ｘ） … ｐｓ（ｘ），其中ｐ１（ｘ），… ，ｐｓ（ｘ）是Ｆｑ［ｘ］中彼此不同的首１不可约多项式。令ｄｅｇｐｉ（ｘ）＝ｄｉ（１ ≤ ｉ ≤ ｓ），并且在Ｆｑ的扩域中取多项式ｐｉ（ｘ）的一个零点 αｉ，则Ｆｑ（αｉ）＝Ｆｑｄｉ（１ ≤ ｉ ≤ ｓ）。定理３畅２畅１（循环码的迹表达式）对于上述ｑ元循环码Ｃ中的每个码字ｃ＝（ｃ０，ｃ１，… ，ｃｎ－１），均存在惟一确定的 βｉ ∈ Ｆｑｄｉ（１ ≤ ｉ ≤ ｓ），使得ｃλ ＝ｓ ∑ ｉ＝１Ｔｉ（βｉ αｉ）（０ ≤ λ ≤ ｎ－１），－λ 其中Ｔｉ是Ｆｑ对于Ｆｑ的迹映射，即对于 γ ∈ Ｆｑｄｉｄｉ，Ｔｉ（γ）＝ｄｉ－１ ∑ γ ｊ＝０ｑｊ ∈ Ｆｑ。证明每个码字ｃ＝（ｃ０，ｃ１，… ，ｃｎ－１） ∈ Ｃ等同于环Ｒ＝Ｆｑ［ｘ］／（ｘ－１）中的ｎ多项式ｃ（ｘ）＝ｃ０＋ｃ１ｘ＋ … ＋ｃｎ－１ｘｎ－１。现在我们再将码字ｃ对应于ｑ元周期序列ｃ＝（ｃ０，ｃ１，… ，ｃｎ－１，ｃ０，ｃ１ … ，ｃｎ－１，… ）＝（ｃ０，ｃ１，… ，ｃｎ－１），而这个周期序列可看 · ～ · 成是幂级数珓ｃ（ｘ）＝ｃ０＋ｃ１ｘ＋ … ＋ｃｎ－１ｘ＝ｎ－１ｃ０＋ｃ１ｘ＋ … ＋ｃｎ－１ｘｎ１－ｘ＋ｃ０ｘ＋ｃ１ｘｎｎ－１＝ｎ＋１＋ … ＋ｃｎ－１ｘ２ｎ－１＋ … ｃ（ｘ）ｎ ∈ Ｆｑ［［ｘ］］。１－ｘ关于有限域上幂级数环Ｆｑ［［ｘ］］的知识可见附录Ａ畅３。于是：ｃ（ｘ） ∈ Ｃ骋ｇ（ｘ）｜ｃ（ｘ）（令ｃ（ｘ）＝ａ（ｘ）ｇ（ｘ），ａ（ｘ） ∈ Ｆｑ［ｘ］，ｄｅｇａ（ｘ）＜ｋ）骋珓ｃ（ｘ）＝ｃ（ｘ）－ａ（ｘ）ｇ（ｘ）－ａ（ｘ）＝。ｎ＝ｇ（ｘ）ｈ（ｘ）ｈ（ｘ）１－ｘ这表明，循环码Ｃ中的码字ｃ（ｘ）一一对应于Ｆｑ［［ｘ］］中以ｈ（ｘ）为分母的真分式，并且ｃ０，ｃ１，… ，ｃｎ－１就是这个真分式－ａ（ｘ）幂级数展开的前ｎ位数字。然后ｈ（ｘ）再利用附录Ａ中的定理Ａ畅４畅５即得结果。第３章例３循环码设ｍ ≥ ２，ｈ（ｘ）为Ｆｑ［ｘ］中一个ｍ次本原多项式，则ｈ（ｘ）的周期为ｎ＝ｑ－１。令ｘ－１＝ｇ（ｘ）ｈ（ｘ），Ｃ是以ｈ（ｘ）为校验式，码长为ｎ的ｑ元循环码，ｍｎ则Ｃ（ｘ）＝（ｇ（ｘ））。［ｎ，ｋ］＝［ｑ－１，ｍ］。取 α 为ｈ（ｘ）的一个根，γ ＝ α ｍ－１，则Ｆｑ（γ）＝Ｆｑ，并且 γ 是Ｆｑ中一个本原元素（即 γ 的乘法阶为ｑ－１）。由定理ｍｍｍ３畅２畅１，Ｃ中每个非零码字ｃ＝（ｃ０，ｃ１，… ，ｃｎ－１）有迹表达式ｃλ ＝Ｔｒ（ａγ ）（０ ≤ λ ≤ ｎ－１）， λ （２）其中０ ≠ ａ ∈ Ｆｑｍ，而Ｔｒ是Ｆｑｍ对Ｆｑ的迹映射。由于｛γ ｜０ ≤ λ ≤ ｎ－１｝是Ｆｑｍ中全部 λ （ｎ－１＝ｑ－１个）非零元素，从而｛ａγ ｜０ ≤ λ ≤ ｎ－１｝也是Ｆｑｍ中全部非零元素。ｍ λ 但是映射Ｔｒ：Ｆｑｍ → Ｆｑ是ｑｍ－１对１的映射，即对Ｆｑ中每个元素 α ，均有ｑｍ－１Ｆｑ使得Ｔｒ（β）＝ α 。由此可知，对每个０ ≠ α ∈ Ｆｑ，均有ｑｍ－１ｍ个ｃλ ＝Ｔｒ（ａγ ）（０ ≤ λ ≤ ｎ－１）为 α 。这就表明Ｃ中每个非零码字的Ｈａｍｍｉｎｇ权均为ｑ特别地，循环码Ｃ的最小距离为ｑ＝［ｑ－１，ｍ，ｑｍ（ｑ－１）。（ｑ－１）］，并且Ｃ的权多项式为ｍ－１ｎ＝ｘｑｍｍ－１ｙｎ－ｄｍ＋（ｑ－１）ｘｑ（ｎ＝ｑ－１，ｄ＝ｑｄｍｍ－１ｙ－１ｑｍ－ｑｍ－１ｍ－１（ｑ－１））。ｑ－１ｎｎｑ－１＝，则 β＝ γ ′的乘法阶为ｑ－１。由 β ＝１可知 β ∈ ｑ－１ｑ－１ｍ进而，记ｎ′ ＝Ｆｑ，并且是Ｆｑ中一个本原元素。于是由式（２），ｃλ＋ｎ′ ＝Ｔｒ（ａγ ）＝Ｔｒ（βａγ ）＝ βＴｒ（ａγ ）＝ βｃλ λ＋ｎ′ λ 这就表明Ｃ中每个码字ｃ均可写成ｃ＝（ｃｃ（１）（ｊ）ｍ－１（ｑ－１），即ｑ元循环码Ｃ的参数为［ｎ，ｋ，ｄ］ｍ－１ｆＣ（ｘ，ｙ）＝ｘ＋（ｑ－１）ｘ其中ｃ个 β∈ λ …ｃ（２）（ｑ－１）（１））＝（ｃ（１），βｃ λ ，β ｃ２（１），… ，β （λ ≥ ０），ｑ－２ｃ），（１） ∈ Ｆｑ（１ ≤ ｊ ≤ ｑ－１）。由于ｃ（１ ≤ ｊ ≤ ｑ－１）均是ｃ乘以Ｆｑ中非零元ｎ′ （ｊ）（１）素，可知它们有同样的Ｈａｍｍｉｎｇ权。但是Ｃ中每个非零码字ｃ的Ｈａｍｍｉｎｇ权均为ｄ＝ｑｍ－１（ｑ－１），可知ｗＨ（ｃ）＝（１）它的前ｎ′位ｃ（１），即Ｃ′ ＝｛ｃ（１） ∈ Ｆｑ｜（ｃｎ′ 这是ｑ元线性码，每个码字ｃ（１）有参数［ｎ′ ，ｋ′ ，ｄ′］＝（１）ｄｍ－１＝ｑ。我们把Ｃ中每个码字ｃ取出ｑ－１（１），βｃ，… ，β ｑ－２ｃ） ∈ Ｃ｝，（１）＝（ｃ０，… ，ｃｎ′ －１）有迹表达式（１）（０ ≤ λ ≤ ｎ′ －１）。Ｃ′ ｑ－１ｍ－１，ｍ，ｑｑ－１ｍ，并且有权多项式ｆＣ′ （ｘ，ｙ）＝ｘ＋（ｑ－１）ｘｎ′ ｍｎ′ －ｑ由ＭａｃＷｉｌｌｉａｍｓ恒等式，对偶码Ｃ′ 的权多项式为ｍ－１ｙｑｍ－１ ⊥ ｆＣ′ ⊥ （ｘ，ｙ）＝ｑ［（ｘ＋（ｑ－１）ｙ）＋（ｑ－１）（ｘ＋（ｑ－１）ｙ）－ｍｎ′ ｍｎ′ －ｑｍ－１（ｘ－ｙ）ｑｍ－１］６１６２纠错码的代数理论ｎ′ Ａｉｘ ⊥ ∑ ＝ｉ＝０ｎ′ －ｉｙ。ｉ（３）由此可算出Ａ１＝ｑ ⊥ －ｍｎ′ ｍｍ－１ｍ－１（ｑ－１）＋（ｑ－１）（－ｑ＋（ｑ－１）（ｎ′ －ｑ））１＝０（式（３）中ｘｎ′ －１ｙ的系数），Ａ＝０（式（３）中ｘｎ′ －２ｙ的系数）， ⊥ ２２Ａ３ ≠ ０。 ⊥ 可知Ｃ′⊥ 最小距离ｄ⊥ 为３，它与ｑ元Ｈａｍｍｉｎｇ码有相同的参数ｑｍ－１ｑｍ－１，－ｑ－１ｑ－１ｍ，３（见定理２畅２畅２）。由于Ｃ′ 的校验阵Ｈ是Ｆｑ上ｍ行ｎ′列矩阵，由ｄ＝３知 ⊥ ⊥ ｑ－１列，可知Ｃ′ ⊥ 就是ｑ－１Ｈａｍｍｉｎｇ码。特别当ｑ＝２时，Ｃ＝Ｃ′ ，从而二元Ｈａｍｍｉｎｇ码Ｃ ⊥ 为循环码的对ｍＨ的任意两列在Ｆｑ上均线性无关，Ｈ一共有ｎ′ ＝偶，从而也是循环码（见３畅１节的例２）。 ⊥ 当ｑ＞２时，Ｈａｍｍｉｎｇ码Ｃ′ 不是循环码。但是Ｃ′类似于循环码，因为Ｃ′ 中每个码字ｃ对应于Ｃ中码字ｃ＝（ｃ（１）此可知，若ｃ（１）（１）（１），βｃ＝（ｃ０ｃ１ … ｃｎ′ －１） ∈ Ｃ′ ，则（β ｑ－２，… ，β ｑ－２ｃ），而Ｃ为循环码，由（１）ｃｎ′ －１，ｃ０，ｃ１，… ，ｃｎ′ －２） ∈ Ｃ′ 。由此易证Ｃ′ 也类似于循环码：若（ａ０ａ１ … ａｎ′ －１） ∈ Ｃ′ ，则（ａ１，… ，ａｎ′ －１，β ａ０） ∈ Ｃ′ 。 ⊥ ⊥ －１ ⊥ 比如对ｑ＝３，ｍ＝３，取Ｆ３［ｘ］中一个本原多项式ｈ（ｘ）＝ｘ３＋２ｘ＋１，它的周期为ｎ＝ｑ－１＝２６，而ｍｇ（ｘ）＝ｘ－１１３＝－ｆ（ｘ）（１＋ βｘ）， β＝－１，ｈ（ｘ）２６ｆ（ｘ）＝１＋ｘ＋ｘ＋２ｘ＋ｘ＋ｘ＋２ｘ＋ｘ＋ｘ。这表明ｆ（ｘ）＝（１１１０２１１２１０１００）是三元线性码Ｃ′ 中的一个码字ｍｑ－１码长＝１３，维数为ｍ＝３。由上述Ｃ′的类似循环性质，可知Ｃ′有生成阵ｑ－１２１Ｇ＝００１１１１０１０１１４２０１１２０５６１２１１２１７１２１０１２８１００１１０１０００。１而参数［１３，１０，３］的三元Ｈａｍｍｉｎｇ码Ｃ′ 以Ｇ为校验阵，这个码有如下性质： ⊥ 若（ｃ０，… ，ｃ１２） ∈ Ｃ′ ，则（ｃ１，… ，ｃ１２，－ｃ０） ∈ Ｃ′ 。 ⊥ 例４ ⊥ 仍设ｍ ≥ ２，但是加上条件（ｍ，ｑ－１）＝１，取 α 为Ｆｑｍ中一个本原元素，第３章ｑ－１ β＝ α ，则 β为ｎ＝ｑｉ循环码ｑ－１阶元素，令ｇ（ｘ）是 β 在Ｆｑ（ｘ）中的最小多项式，则ｇ（ｘ）ｑ－１ｍ（ｑ－１）ｑ的全部根为 β ＝ α ｉ（ｉ ≥ ０）。易知满足（ｑ－１）ｑ ≡ ｑ－１（ｍｏｄｑ－１）的最小ｉｍｉ正整数ｉ为ｍ，于是ｇ（ｘ）是ｍ次不可约首１多项式，并且有ｍ个不同的根 β （０ ≤ ｑｉ ≤ ｍ－１）。设Ｃ是以ｇ（ｘ）为生成式的ｑ元循环码，［ｎ，ｋ］＝ｑ－１ｑ－１，－ｍ，我们ｑ－１ｑ－１ｍｍ现在证明这个码的最小距离ｄ为３，对Ｃ（ｘ）中每个非零码字ｃ（ｘ）（ｄｅｇｃ（ｘ） ≤ ｎ－１），ｇ（ｘ）｜ｃ（ｘ），于是ｃ（β）＝０，权为１的码字有形式ｃ（ｘ）＝ｘ（０ ≤ ｌ ≤ ｎ－１），ｌ但是ｃ（β）＝ β ｌ ≠ ０，若Ｃ中有权２码字ｘｌ＋ｉ－ａｘｉ，则像例３中那样可知ｇ（ｘ）｜ｘｌ－ａ，其中１ ≤ ｌ ≤ ｎ－１，ａ ∈ Ｆｑ倡，于是 β ｌ＝ａ ∈ Ｆｑ倡，从而 α（ｑ－１）ｌ＝ β （ｑ－１）ｌ＝２ａｑ－１＝１，所以ｑ－１｜（ｑ－１）ｌ，即ｍ２ｑ－１ｌ（ｑ－１），但是ｑ－１ｍｑｍ－１ｍ－１ｍ－２＝ｑ＋ｑ＋ … ＋ｑ＋１ ≡ ｍｑ－１ｑ－１ｑ－１，ｑ－１＝（ｍ，ｑ－１）＝１，因此＝ｎ｜ｌ，而这与１ ≤ ｌ ≤ ｎ－１ｑ－１ｑ－１ｍ由假设知（ｍｏｄｑ－１）。ｍ相矛盾，这表明ｄ ≥ ３，由于Ｃ的参数［ｎ，ｋ］和Ｈａｍｍｉｎｇ界可知ｄ＝３，所以Ｃ是Ｈａｍｍｉｎｇ码，这表明在（ｍ，ｑ－１）＝１时，参数为Ｈａｍｍｉｎｇ码均等价于循环码。ｑ－１ｑ－１，－ｍ，３的ｑ元ｑ－１ｑ－１ｍｍ比如和例３一样仍取ｑ＝ｍ＝３，则（ｍ，ｑ－１）＝１，取Ｆ３［ｘ］中ｇ（ｘ）＝ｘ＋２ｘ＋３ｑ－１的不可约多项式，它的根 β 的阶为１３，从而三元循环码ｑ－１ｍ２，这是周期为１３＝Ｃ＝（ｇ（ｘ））为参数［１３，１０，３］的Ｈａｍｍｉｎｇ码。ｘｇ（ｘ）（０ ≤ ｉ ≤ ｑ）是Ｃ的一组Ｆｑ唱ｉ基，由于Ｃ的校验式为ｈ（ｘ）＝（ｘ－１）／ｇ（ｘ）＝ｘ＋ｘ＋ｘ＋ｘ＋２ｘ＋２ｘ＋１３１０８１２０１２０１２１７６５４ｘ＋２ｘ＋１，所以有校验阵２１Ｈ＝００习题１（１）证明０１０１０１１１１１０１２１１２２１０２２０１２００。１ｈ１（ｘ）＝ｘ＋２ｘ＋１是Ｆ３［ｘ］中本原多项式。３（２）设 α 是ｈ１（ｘ）在Ｆ３的扩域中一个根，求 α 在Ｆ３［ｘ］中的最小多项式２ｈ２（ｘ）。（３）设Ｃ，Ｃ１和Ｃ２分别是码长为２６的三元循环码，其校验式分别为６３６４纠错码的代数理论ｈ１（ｘ）ｈ２（ｘ），ｈ１（ｘ）和ｈ２（ｘ）。求Ｃ中一个码字ｃ＝（ｃ０，ｃ１，… ，ｃ２５），使得（ｃ０，ｃ１，… ，ｃ５）＝（０１２２１０），并将ｃ表示成ｃ（１）＋ｃ（２），使得ｃ（１） ∈ Ｃ１，ｃ（２） ∈ Ｃ２。习题２设Ｃ１是以ｈ１（ｘ）＝ｘ＋２ｘ＋１为校验式的三元循环码，码长为２６。（１）证明２６Ｃ′ ＝｛（ｃ０，ｃ２，ｃ４，… ，ｃ５０） ∈ Ｆ３｜（ｃ０，ｃ１，… ，ｃ２５） ∈ Ｃ１｝也是三元循环码。这里当ｍ ≥ ２６时，规定ｃｍ＝ｃｍ－２６。（２）计算三元循环码Ｃ′的校验式。３第３章循环码３．３循环码的根，ＢＣＨ码现在介绍循环码的又一种刻画方式。定义３．３．１设Ｃ是以ｇ（ｘ）为生成式的ｑ元循环码，则ｇ（ｘ）（在Ｆｑ的扩域中）的根也叫作循环码Ｃ的根。以下设Ｃ的码长ｎ与ｑ互素。这时，ｇ（ｘ）｜ｘ－１ ∈ Ｆｑ［ｘ］，而ｘ－１在Ｆｑ的ｎｎ扩域中没有重根，从而ｇ（ｘ）也是如此，记Ｒ为ｇ（ｘ）的全部根所成的集合，｜Ｒ｜＝ｄｅｇｇ（ｘ），则对每个多项式ｃ（ｘ） ∈ Ｆｑ［ｘ］，ｃ（ｘ）为Ｃ中码字骋ｇ（ｘ）｜ｃ（ｘ）骋ｃ（γ）＝０，对每个 γ ∈ Ｒ。所以给出循环码的如下刻画：Ｃ＝｛ｃ（ｘ） ∈ Ｆｑ［ｘ］｜ｄｅｇ（ｘ） ≤ ｎ－１，ｃ（γ）＝０（对每个 γ ∈ Ｒ）｝。现在设ｇ（ｘ）＝ｐ１（ｘ） … ｐｇ（ｘ），其中ｐ１（ｘ），… ，ｐｇ（ｘ）是Ｆｑ［ｘ］中彼此不同的首１不可约多项式，ｄｅｇｐｉ（ｘ）＝ｄｉ（１ ≤ ｉ ≤ ｇ）。设 γｉ是ｐｉ（ｘ）在Ｆｑ的扩域中的一个根，则Ｆｑ（γｉ）＝Ｆｑｄｉ，并且全部根为 γｉ（０ ≤ λ ≤ ｄｉ－１）。对每个ｃ（ｘ） ∈ Ｆｑ［ｘ］，ｑ λ 由于ｐｉ（ｘ）不可约，只要ｃ（γｉ）＝０，ｐｉ（ｘ）的全部根均为ｃ（ｘ）的根。所以ｃ（ｘ） ∈ Ｃ骋ｇ（ｘ）｜ｃ（ｘ）骋ｐｉ（ｘ）｜ｃ（ｘ）骋ｃ（γｉ）＝０（１ ≤ ｉ ≤ ｇ）（１ ≤ ｉ ≤ ｇ）。因此可以用Ｃ的一部分根（每个ｐｉ（ｘ）取一个根 γｉ）来刻画Ｃ：Ｃ＝｛ｃ（ｘ） ∈ Ｆｑ［ｘ］｜ｄｅｇｃ（ｘ） ≤ ｎ－１，ｃ（γｉ）＝０（１ ≤ ｉ ≤ ｇ）｝。用这种根刻画方式可以给出循环码的一个校验阵，设ｃ（ｘ）＝ｃ０＋ｃ１ｘ＋ … ＋ｃｎ－１ｘｎ－１，它等同于ｃ＝（ｃ０，… ，ｃｎ－１） ∈ Ｆｑ，则ｎｃ（ｘ） ∈ Ｃ骋ｃ（γｉ）＝ｃ０＋ｃ１ γｉ＋ … ＋ｃｎ－１ γｉｃ０骋Ｈ珦 ⁝ ＝０ｃｎ－１ｎ－１＝０（长为ｇ的零向量），其中Ｈ珦＝ｎ－１１ γ１ … γ１１ γ２ … γ２ ⁝ ⁝ ⁝ ⁝ １ γｇ … γｇｎ－１ｎ－１，（１ ≤ ｉ ≤ ｇ）６５６６纠错码的代数理论其中 γｉ是Ｆｑｄｉ中元素，取Ｆｑｄｉ的一组Ｆｑ唱基｛ｖ１，… ，ｖｄｉ｝（比如取为｛１，γｉ，… ，ｊｄ－１（ｉ）（ｉ）ｊ｝），则 γｉ可惟一表示成ｊ（ｉ）（ｉ）（ｉ）（ｉ） γｉ＝ａｊｖ１＋ … ＋ａｄｉｊｖｄｉ γｉｉ（ａλ ｊ ∈ Ｆｑ）。（ｉ）这时ｎ－１ｃ（γｉ）＝ ∑ ｊ＝０ｎ－１ｃｊ γ ＝ｊｉｄｉｃｊ ∑ ｊ＝０ ∑ ａｖ（ｉ） λｊ λ＝１（ｉ） λ ｄｉｎ－１ ∑ ∑ ＝ λ＝１ｊ＝０ａλ ｊｃｊｖ λ （ｉ）（ｉ）所以ｎ－１ｃ（γｉ）＝０骋 ∑ （１ ≤ λ ≤ ｄｉ）骋Ｈｉｃ＝０Ｔａλ ｊｃｊ＝０（ｉ）ｊ＝０其中ａ１０（ｉ）Ｈｉ＝ ⁝ ａ（ｉ）ｄｉ，０ａ１１ … ⁝ ⁝ （ｉ）ａ（ｉ）ｄｉ，１ａ１，ｎ－１（ｉ）（Ｆｑ上ｄｉ行ｎ列矩阵）。 ⁝ ａ（ｉ）ｄｉ，ｎ－１ … 而ｃ（ｘ） ∈ Ｃ骋ｃ（γｉ）＝０（１ ≤ ｉ ≤ ｇ）骋ＨｃＴ＝０，其中Ｈ１Ｈ＝ ⁝ Ｈｇ为Ｆｑ上ｎ列的矩阵，行数为ｄ１＋ … ＋ｄｇ＝ｄｅｇｐ１（ｘ）＋ … ＋ｄｅｇｐｇ（ｘ）＝ｄｅｇｇ（ｘ），所以Ｈ就是线性码Ｃ的一个校验阵，但是今后把更紧凑的ｇ × ｎ的矩阵Ｈ珦（系数属于Ｆｑ的有限扩域）也叫作Ｃ的校验阵。例５ｘ＋ｘ＋ｘ＋２是Ｆ３［ｘ］中不可约多项式，周期为１３，设 γ 是此多项式３２的一个根，Ｆ３（γ）＝Ｆ２７，｛１，γ ，γ ｝为Ｆ２７的一组Ｆ３唱基。３２设Ｃ是以ｇ（ｘ）＝（ｘ－１）（ｘ＋ｘ＋ｘ＋２）为生成式，并且码长为１３的三元循环码，则２Ｃ＝从而Ｃ有校验式ｃ（ｘ）＝１２ ∑ ｉ＝０Ｈ珦＝ｃｉｘ ∈ Ｆ３［ｘ］｜ｃ（１）＝ｃ（γ）＝０。ｉ１１１ … １。１２１ γ γ … γ ｊ２将 γ （０ ≤ ｊ ≤ １２）以｛１，γ ，γ ｝为基表示成向量：ｊ２３ γ ＝ａ１ｊ＋ａ２ｊ γ ＋ａ３ｊ γ ＝（ａ１ｊ，ａ２ｊ，ａ３ｊ） ∈ Ｆ３２第３章由３２３ γ ＋ γ ＋ γ ＋２＝０，可知循环码２ γ ＝１＋２ γ ＋２ γ ＝（１２２），于是０１２ γ ＝１＝（１００）， γ ＝（０１０）， γ ＝（００１），３４５６７８９１０ γ ＝（１２２）， γ ＝（０１２）＋２（１２２）＝（２２０）， γ ＝（０２２）， γ ＝（００２）＋（２１１）＝（２１０）， γ ＝（０２１）， γ ＝（００２）＋（１２２）＝（１２１），１１ γ ＝（１０１）， γ １２ γ ＝（１０２）， γ １３＝（１１１），（γ ＝（２２１），＝（０１１）＋（１２２）＝（１００）＝１）所以Ｃ有Ｆ３上的校验阵１１００Ｈ＝１０１０１００１１１２２１２２０１０２２１２１０１０２１１１２１１１０１１１０２１２２１１１。１１循环码的根刻画方式可用来构作最小距离很大的循环码，这种码由Ｒ．Ｃ．Ｂｏｓｅ和Ｄ．Ｋ．Ｒａｙ唱Ｃｈａｕｄｈｕｒｉ于１９６０年和Ａ．Ｈｏｃｑｕｅｎｇｈｅｎ于１９５９年相互独立地给出，后人称为ＢＣＨ码。定义３．３．２设（ｎ，ｑ）＝１，β 是Ｆｑ的某扩域中的ｎ阶元素（当（ｎ，ｑ）＝１时，这样的 β是存在的），ｌ和 δ 是正整数，２ ≤ δ ≤ ｎ－１，以 β ，β ｌｌ＋１ｌ＋ δ－２，… ，β 为根的码长为ｎ的ｑ元循环码Ｃ＝ｃ（ｘ）＝ｎ－１ ∑ ｉ＝０ｃｉｘ ∈ Ｆｑ［ｘ］｜ｃ（β ）＝ｃ（β ｉｌ叫作设计距离为 δ 的ＢＣＨ码。由定义可知，循环码Ｃ的生成式就是 β ，β ｌｌ＋１ｌ＋１）＝ … ＝ｃ（β ，… ，β ｌ＋ δ－２ｌ＋ δ－２）＝０在Ｆｑ［ｘ］中诸最小多项式的最小公倍式ｇ（ｘ），而Ｃ的参数为［ｎ，ｋ］，其中ｋ＝ｎ－ｄｅｇｇ（ｘ）。定理３．３．３ＢＣＨ码Ｃ的最小距离ｄ ≥ 设计距离 δ 。证明对于ｃ（ｘ）＝ｎ－１ ∑ ｉ＝０ｃｉｘ ∈ Ｆｑ［ｘ］，由ＢＣＨ码的定义可知，ｉｃ０ｃ（ｘ） ∈ Ｃ骋Ｈ ⁝ ＝０，ｃｎ－１其中６７６８纠错码的代数理论１ β １ ⁝ Ｈ＝ β ｌ β ｌ＋１ β … ２（ｌ＋１） β ⁝ １２ｌ２（ｌ＋ δ －２） β （ｎ－１）ｌ（ｎ－１）（ｌ＋１） … ⁝ ⁝ ｌ＋ δ－２ β β 。 ⁝ （ｎ－１）（ｌ＋ δ －２） … β 为证ｄ ≥ δ ，只需证明Ｈ的任意 δ －１列都是Ｆｑ唱线性无关的，取Ｈ中任意 δ －１列，给出 δ －１阶方阵ｉｌｉｌ β１Ｍ＝ β２ｉ（ｌ＋１） β１ｉ（ｌ＋１） β２ ⁝ ⁝ ｉ（ｌ＋ δ－２） β１ｉ（ｌ＋ δ－２） β２ｉ … β δ－１ … ⁝ β δ－１ ⁝ ｉ（ｌ＋１）ｉ … ｌ β δ－１（０ ≤ ｉ１＜ｉ２＜ … ＜ｉδ－１ ≤ ｎ－１）。（ｌ＋ δ－２）我们要证它的行列式ｄｅｔＭ必不等于零，由于１１ｉ１ｉ２ β ⁝ ｄｅｔＭ＝ β （ｉ１＋ｉ２＋ … ＋ｉ δ －１）ｌ … β ⁝ ｉ（δ －２） β１ｉ（δ －２） β２１ｉδ －１ … ⁝ β … β δ－１ ⁝ ｉ，（δ －２）而 β １，… ，β δ －１彼此不同且均不为零，上式右边的行列式是Ｖａｎｄｅｒｍｏｎｄｅ行列ｉｉ式，从而也不为零，因此ｄｅｔＭ ≠ ０，这就证明了ｄ ≥ δ 。例６设ｍ ≥ ３，ｑ＝２，α 是Ｆ２ｍ中一个本原元素，则 α 的阶为ｎ＝２－１。令Ｃｍ是以 α 和 α 为根的二元循环码（码长为ｎ），即３Ｃ＝ｎ－１ｃ（ｘ）＝ ∑ ｉ＝０ｃｉｘ ∈ Ｆ２［ｘ］｜ｃ（α）＝ｃ（α ）＝０。ｉ３由于 α 为码Ｃ的根，可知 α ，α 也是Ｃ的根，从而 α ，α ，α ，α 均是Ｃ的根，这表２４２３４明Ｃ是设计距离为 δ ＝５的ＢＣＨ码，从而Ｃ的最小距离ｄ ≥ ５。以ｇ１（ｘ）和ｇ３（ｘ）分别表示 α 和 α 在Ｆ３［ｘ］中的最小多项式，则ｇ１（ｘ）是Ｆ２［ｘ］中的ｍ次本３２４２原多项式，根为 α ，α ，α ，… ，α ｍ－１，而ｇ３（ｘ）的根为 α ，α ，α ，… 。当ｍ ≥ ３时，易３６１２知满足３ · ２ｌ ≡ ３（ｍｏｄ２ｍ－１）的最小正整数ｌ为ｍ，所以ｇ３（ｘ）是Ｆ３［ｘ］中ｍ次不可约多项式，Ｃ是以２ｍ次多项式ｇ（ｘ）＝ｇ１（ｘ）ｇ３（ｘ）为生成式的二元循环码，参数为［ｎ，ｋ，ｄ］＝［２－１，２－１－２ｍ，ｄ］，其中ｄ ≥ ５，此码有校验阵ｍｍＨ＝２ … ６ … １ α α １ α ３ α ｎ－１ α ３（ｎ－１） α 。由于ｄ ≥ ５，此码可纠正 ≤ ２位错，现在我们介绍用这个ＢＣＨ码Ｃ纠正 ≤ ２位错的译码方法。第３章ｎ－１设发出码字ｃ（ｘ）＝循环码ｃｉｘ ∈ Ｃ（ｃｉ ∈ Ｆ２），而信道中产生 ≤ ２位的错误，它ｉ ∑ ｉ＝０ｎ－１可表示成错误多项式 ε（ｘ）＝ ∑ ｉ＝０ εｉｘ ∈ Ｆ２［ｘ］，其中 εｉ ≠ ０的个数至多有２个，ｉ即 ε（ｘ）的Ｈａｍｍｉｎｇ权ｗＨ（ε（ｘ）） ≤ ２，收到的多项式为ｕ（ｘ）＝ｃ（ｘ）＋ ε（ｘ）＝ｎ－１ ∑ ｉ＝０ｕｉｘ，ｕｉ＝ｃｉ＋ εｉ ∈ Ｆ２。ｉＣ作为线性码，收到ｕ（ｘ）之后计算校验子ｕ０ｕ（α）Ｈ ⁝ ＝ｕｎ－１＝ｕ（α ）３ｃ（α）＋ ε（α）ｃ（α ）＋ ε（α ）３３ ε（α）＝３ ε（α ）。记Ａ１＝ｕ（α），Ａ３＝ｕ（α ），这是Ｆ２ｍ中元素，它们在收方接收到ｕ（ｘ）之后可以计３算，而事实上Ａ１＝ ε（α），Ａ３＝ ε（α ），而多项式 ε（ｘ）至多包含两个单项式。３当 ε（ｘ）＝０（无错）时，Ａ１＝Ａ３＝０。当 ε（ｘ）＝ｘ（有一位错）时（０ ≤ ｉ ≤ ｎ－１），Ａ１＝ ε（α）＝ α ，Ａ３＝ ε（α ）＝ α ，ｉｉ３３ｉ从而Ａ１和Ａ３均不为零，并且Ａ１＝Ａ３。３当 ε（ｘ）＝ｘｉ＋ｘｊ时（有两位错，０ ≤ ｉ ≠ ｊ ≤ ｎ－１），Ａ１＝ α ＋ α （ ≠ ０），Ａ３＝ α ＋ α （ ≠ ０）。ｉｊ３ｉ３ｊ这时Ａ１＝ α ＋ α ３ｉ３２ｉ＋ｊｉ＋２ｊ＋α ＋ α ＝Ａ３＋ α ３ｊｉ＋ｊ（α ＋ α ） ≠ Ａ３。ｉｊ记Ｘ１＝ α ，Ｘ２＝ α ，则ｉｊＸ１＋Ｘ２＝Ａ１，Ｘ１＋Ｘ２＝Ａ３。３３于是Ａ３＝（Ｘ１＋Ｘ２）（Ｘ１＋Ｘ１Ｘ２＋Ｘ２）＝Ａ１（Ａ１＋Ｘ１Ｘ２），２２２从而Ｘ１Ｘ２＝Ａ３２＋Ａ１（ ≠ ０）Ａ１定义关于ｚ的二次多项式（叫错位多项式） σ（ｚ）＝（１－Ｘ１ｚ）（１－Ｘ２ｚ）＝１＋（Ｘ１＋Ｘ２）ｚ＋Ｘ１Ｘ２ｚ＝１＋Ａ１ｚ＋Ａ３＋Ａ１２ｚ ∈ Ｆ２ｍ［ｚ］。Ａ１２３由于 σ′（ｚ）＝Ａ１ ≠ ０，Ａ３＋Ａ１ ≠ ０，可知 σ（ｚ）有两个不同的根，这两个根应当３是 α 和 α （０ ≤ ｉ ≠ ｊ ≤ ｎ－１），由此得出错位为ｉ和ｊ（错值当然均为１）。－ｉ－ｊ６９７０纠错码的代数理论综合起来，在假设ｗＨ（ε（ｘ）） ≤ ２之下，对于本例中的二元ＢＣＨ码Ｃ我们有如下的译码算法。（１）收到ｕ（ｘ）之后计算Ａ１＝ｕ（α）和Ａ３＝ｕ（α ）（均为Ｆ２ｍ中元素）；（２）若Ａ１＝Ａ３＝０，则ｃ（ｘ）＝ｕ（ｘ）（无错）；３（３）若Ａ３＝Ａ１ ≠ ０，记Ａ１＝ α （０ ≤ ｉ ≤ ｎ－１），则 ε（ｘ）＝ｘ，即有一位错，将ｕ（ｘ）中ｕｉ改为ｕｉ＋１便得码字ｃ（ｘ）；ｉ３ｉ（４）若Ａ１ ≠ ０，并且Ａ１ ≠ Ａ３，二次方程３Ａ３＋Ａ３１２ｚ＝０Ａ１ σ（ｚ）＝１＋Ａ１ｚ＋在Ｆ２ｍ中必有两个不同的非零解，设解为 α 和 α （０ ≤ ｉ ≠ ｊ ≤ ｎ－１），则 ε（ｘ）＝ｘ－ｉ－ｊｉ＋ｘ，即ｕ（ｘ）有两位错，错位为ｉ和ｊ，ｃ（ｘ）＝ｕ（ｘ）＋ｘ＋ｘ。４比如对ｍ＝４，取 α 是Ｆ２［ｘ］中４次本原多项式ｇ１（ｘ）＝ｘ＋ｘ＋１的一个ｊｉｊ根，则Ｆ２（α）＝Ｆ１６，α ＝１＋ α ，Ｆ１６中元素惟一表示成４ａ０＋ａ１ α＋ａ２ α ＋ａ３ α ＝（ａ０，ａ１，ａ２，ａ３）（ａｉ ∈ Ｆ２）。事实上，０＝（００００）而２３１＝（１０００）， α ＝（０１００）， α ＝（００１０）， α ＝（０００１），２３４５６８９１０７ α ＝（１１００）， α ＝（０１１０）， α ＝（００１１）， α ＝（１１０１），１１ α ＝（１０１０）， α ＝（０１０１）， α １２１３＝（１１１０）， α １４＝（０１１１），１５ α ＝（１１１１）， α ＝（１０１１）， α ＝（１００１），（α α 的阶为５，所以 α３在Ｆ２［ｘ］中的最小多项式为＝１）３ｇ３（ｘ）＝（ｘ＋ α ）（ｘ＋ α ）（ｘ＋ α ）（ｘ＋ α ）＝ｘ＋ｘ＋ｘ＋ｘ＋１。３６１２９４３２３所以以 α 和 α 为根的二元循环码（码长为１５）为Ｃ＝ｃ（ｘ）＝１４ ∑ ｉ＝０ｃｉｘ ∈ Ｆ２［ｘ］｜ｃ（α）＝ｃ（α ）＝０，ｉ３其参数［ｎ，ｋ，ｄ］＝［１５，７，≥ ５］，Ｃ的生成式为４６７８ｇ（ｘ）＝ｇ１（ｘ）ｇ３（ｘ）＝１＋ｘ＋ｘ＋ｘ＋ｘ。由于ｇ（ｘ）是Ｈａｍｍｉｎｇ权为５的码字，从而ｄ＝５。４５６９设发送码字ｃ（ｘ）＝（１＋ｘ）ｇ（ｘ）＝１＋ｘ＋ｘ＋ｘ＋ｘ＋ｘ＝１５４９（１１００１１１００１０００００） ∈ Ｆ２，信道错误为 ε（ｘ）＝ｘ＋ｘ，则收到的为ｕ（ｘ）＝ｃ（ｘ）＋ ε（ｘ）＝１＋ｘ＋ｘ＋ｘ。３收方计算校验子（ｕ（α），ｕ（α ））＝（Ａ１，Ａ３），则５６Ａ１＝１＋ α ＋ α ＋ α ＝（１０００）＋（０１００）＋（０１１０）＋（００１１）＝（１００１）＝ α ，５６Ａ３＝１＋ α ＋１＋ α ＝０。３３由Ａ１ ≠ ０，Ａ＝ α ≠ Ａ３可知有两位错，错位多项式为３１１２１４第３章 σ（ｚ）＝１＋Ａ１ｚ＋循环码Ａ３＋Ａ１２１４１３２ｚ＝１＋ α ｚ＋ α ｚ，Ａ１３反向多项式ｚ＋ α ｚ＋ α 的两个根为 α 和 α ，于是错位为４和９，从而正确码字为ｃ（ｘ）＝ｕ（ｘ）－（ｘ４＋ｘ９）＝１＋ｘ＋ｘ４＋ｘ５＋ｘ６＋ｘ９。２１４１３４９现在介绍ＢＣＨ码的一般译码算法。２２ｔ设Ｃ是码长为ｎ的ｑ元循环码，以 β ，β ，… ，β 为根，其中 β 是Ｆｑ的某扩域中的ｎ阶元素。则Ｃ的设计距离为 δ ＝２ｔ＋１，所以可纠正 ≤ ｔ位错。设码字为ｃ（ｘ）＝ｎ－１ ∑ ｉ＝０ｃｉｘ ∈ Ｃ，错误多项式为ｉｎ－１ ε（ｘ）＝ ∑ ｉ＝０ εｉｘ ∈ Ｆｑ［ｘ］，ｗＨ（ε（ｘ）） ≤ ｔ。ｉ定义错位集合为Ｍ＝｛ｉ｜０ ≤ ｉ ≤ ｎ－１，εｉ ≠ ０｝，ｌ＝｜Ｍ｜＝ｗＨ（ε（ｘ）） ≤ ｔ。我们需要从收到的ｒ（ｘ）＝ｃ（ｘ）＋ ε（ｘ）＝ｎ－１ ∑ ｉ＝０ｒｉｘｉ ∈ Ｆｑ［ｘ］计算出错位集合Ｍ和错值 εｉ（ｉ ∈ Ｍ）。为了求出错位集合Ｍ，只需求出 β （ｉ ∈ Ｍ），我们称ｉ朝 σ（ｚ）＝（１－ β ｚ） ∈ Ｆｑｍ［ｚ］（Ｆｑｍ＝Ｆｑ（β））ｉｉ∈ Ｍ为错位多项式。ｄｅｇ σ（ｚ）＝ｌ ≤ ｔ。而由 εｉ β ｚ ω（ｚ）＝ ∑ ｉ σ（ｚ）１－βｚｉ∈ Ｍ定义出的多项式 ω（ｚ） ∈ Ｆｑｍ［ｚ］叫作错值多项式。因若能求出多项式 σ（ｚ）和－ｉ ω（ｚ），则由 σ（ｚ）可决定错位（ｉ ∈ Ｍ骋 σ（β ）＝０）。然后对ｉ ∈ Ｍ，可算出错值－ｉｉ－ｉ εｉ＝－ ω（β ）β ／σ′（β ），其中，σ′（ｚ）表示多项式 σ（ｚ）的微商。在幂级数环Ｆｑｍ［［ｚ］］中， ω（ｚ）＝ σ（ｚ） εｉ β ｚ＝ｉ１－βｚｉ ∑ ｉ∈ Ｍ ∞ ＝ｉ ∑ λ＝１ｚ ∞ ∑ε ∑ ｉｉ∈ Ｍ ∑ ｉ∈ Ｍ λ εｉ β ｉ＝ σ（ｚ）＝ λ ｚ ε（β ）＝ λ ∑ λ＝１其中ｓλ ＝ ε（β ）。当１ ≤ λ ≤ ２ｔ时，由ｃ（β ）＝０可知 λ λ λ ｓλ ＝ ε（β ）＋ｃ（β ）＝ｒ（β ） ∈ Ｆｑｍ它们可由收到的ｒ（ｘ）计算出来，令 λ ｉ λ＝１ ∞ λ （β ｚ） ∞ ｓλ ｚ，（４）（１ ≤ λ ≤ ２ｔ），（５） λ ∑ λ λ＝１ λ 朝ｉ∈ Ｍ（１－ β ｚ）＝１＋ σ１ｚ＋ … ＋ σｌｚｉｌ（σ０＝１），ｌ＝｜Ｍ｜。７１７２纠错码的代数理论由式（４）可知ｚ｜ω（ｚ），令 ω（ｚ）＝ｚｂ（ｚ），则ｂ（ｚ）是Ｆｑｍ［ｚ］中次数 ≤ ｌ－１的多项式，而ｂ（ｚ）＝ σ（ｚ） ∞ ∑ λ＝０ｓλ＋１ｚ，ｄｅｇ σ（ｚ）＝ｌ ≤ ｔ，ｄｅｇｂ（ｚ） ≤ ｌ－１， λ ｂ（ｚ）所以是真分式，我们已知它的前２ｔ位ｓ λ ＋１（０ ≤ λ ≤ ２ｔ－１），所以Ｆｑｍ上的序列 σ（ｚ）｛ｓ１，ｓ２，… ，ｓ２ｔ，ｓ２ｔ＋１，… ｝是以 σ（ｚ）为联接多项式的线性移存器ＬＳＲ（σ（ｚ））生成的序列。利用附录Ｂ．２中的Ｂ唱Ｍ综合算法，可求出Ｆｑｍ上一个位数最短的线性移存器ＬＳＲ（ｆ（ｚ）），使得它生成前２ｔ位为ｓ１，ｓ２，… ，ｓ２ｔ的序列。由于ＬＳＲ（σ（ｚ））也生成ｓ１，ｓ２，… ，ｓ２ｔ，而ｄｅｇ σ（ｚ） ≤ ｔ，附录Ｂ中的定理Ｂ．２．３表明这个移存器是惟一的，所以用Ｂ唱Ｍ算法求出的ｆ（ｚ）就是 σ（ｚ）。综合上述，我们给出ＢＣＨ码的如下译码算法。２设Ｃ是设计距离为２ｔ＋１的ｑ元ＢＣＨ码，码长为ｎ，（ｎ，ｑ）＝１。码Ｃ以 β ，β ，… ， β 为根，β 为ｎ阶元素，Ｆｑ（β）＝Ｆｑｍ。２ｔ现在发出码字ｃ（ｘ）＝ｎ－１ ∑ ｉ＝０ｃｉｘ ∈ Ｃ，错误为 ε（ｘ）＝ｉｎ－１ｗＨ（ε（ｘ）） ≤ ｔ，收到ｒ（ｘ）＝ｃ（ｘ）＋ ε（ｘ） ∈ Ｆｑ［ｘ］。（１）计算ｓλ ＝ｒ（β ） ∈ Ｆｑｍ λ ∑ ｉ＝０ εｉ（ｘ） ∈ Ｆｑ［ｘ］，（１ ≤ λ ≤ ２ｔ）；（２）（Ｂ唱Ｍ算法）求一个Ｆｑ上最短的线性移存器ＬＳＲ（σ（ｚ）），可生成序列ｍａ（ｚ）＝２ｔ－１ ∑ ｓλ＋１ｚ，设此线性移存器的联接多项式为 λ λ＝０ σ（ｚ）＝１＋ σ１ｚ＋ … ＋ σｌｚｌ ∈ Ｆ２ｍ［ｚ］，则ｌ＝ｄｅｇ σ（ｚ） ≤ ｔ，令生成ａ（ｚ）的序列为ｂ（ｚ），ｂ（ｚ） ∈ Ｆｑｍ［ｚ］，ｄｅｇｂ（ｚ） ≤ ｌ－１，令 σ（ｚ） ω（ｚ）＝ｚｂ（ｚ）；（３）（求错位）求出 σ（ｚ）的全部根 β－ｉ１，… ，β－ｉｌ（０ ≤ ｉ１，… ，ｉｌ ≤ ｎ－１），则错位集合为Ｍ＝｛ｉ１，ｉ２，… ，ｉｌ｝；（４）（求错值）错位ｉ ∈ Ｍ处的错值为－ｉｉ－ｉ εｉ＝－ ω（β ）β ／σ′（β ），于是 ε（ｘ）＝ ∑ εｘｉ∈ Ｍｉｉ，而正确码字为ｃ（ｘ）＝ｒ（ｘ）－ ε（ｘ）。这个译码算法在工程上可以有效的实现（除了Ｂ唱Ｍ算法之外，还需要在有限域Ｆｑｍ上求多项式 σ（ｚ）全部根的好算法）。由于可以设计任意大的最小距离，所以ＢＣＨ码一直在通信中被采用。第３章循环码ｑ元ＢＣＨ码的一个特殊情形是取ｎ＝ｑ－１，这时，ｎ阶元素 α 就是Ｆｑ中的本原元素，从而 α 在Ｆｑ［ｘ］中的最小多项式就是ｘ－ α 。ｊｊ定义３．３．４设 α 是Ｆｑ的一个本原元素，ｎ＝ｑ－１，２ ≤ ｄ ≤ ｎ，以 α ，α ，… ，α 为根的ｑ元ＢＣＨ码（码长为ｎ－１）叫作Ｒｅｅｄ唱Ｓｏｌｏｍｏｎ码（ＲＳ码），即 · · · · · ··· · · · · ２Ｃ＝ｎ－１ｃ（ｘ）＝ｃｉｘ ∈ Ｆｑ［ｘ］｜ｃ（α）＝ｃ（α ）＝ … ＝ｃ（α ｉ ∑ ｉ＝０ｄ－１２ｄ－１）＝０。下面定理表明ＲＳ码是２．３节中多项式码的一个特殊情形（通常多项式码只是线性码，而ＲＳ码是循环码）。定理３．３．５（１）定义３．３．４中的ＲＳ码Ｃ有参数［ｎ，ｋ，ｄ］，其中ｎ＝ｑ－１，ｋ＝ｎ－ｄ＋１，从而为ＭＤＳ码。（２）Ｃ为多项式码ｎ－１ｎＣ＝｛ｃｆ＝（ｆ（１），ｆ（α），… ，ｆ（α ）） ∈ Ｆｑ｜ｆ（ｘ） ∈ Ｆｑ［ｘ］，ｄｅｇｆ ≤ ｋ－１（＝ｎ－ｄ）｝。（６）证明（１）Ｃ的生成式为ｇ（ｘ）＝（ｘ－ α）（ｘ－ α ） … （ｘ－ α ），于是ｋ＝ｎ－ｄｅｇｇ（ｘ）＝ｎ－ｄ＋１，由于Ｃ是设计距离为ｄ的ＢＣＨ码，从而Ｃ的最小距离ｄ（Ｃ） ≥ ｄ＝ｎ－ｋ＋１，再由Ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ界可知ｄ（Ｃ） ≤ ｎ－ｋ＋１＝ｄ，于是ｄ（Ｃ）＝ｄ。ｋ－１（２）以Ｃ′表示式（６）右边定义的多项式码，则Ｃ′是以｛ｃｆ｜ｆ＝１，ｘ，… ，ｘ｝为基的ｑ元线性码，ｄｉｍＣ′ ＝ｋ，并且Ｃ′有生成阵ｃ１１１１ … １ｄ－１２ｃｘＧ＝ ⁝ ｃｘｋ－１＝１ ⁝ α ⁝ １ α ２ α ⁝ ｋ－１２（ｋ－１） α ｎ－１ … ⁝ α ⁝ … α 。（ｎ－１）（ｋ－１）考虑矩阵Ｈ＝１ α α２ … αｎ－１１ ⁝ α ⁝ ２ α ⁝ ４ … ⁝ α ⁝ ｎ－ｋ２（ｎ－ｋ）２（ｎ－１），（ｎ－１）（ｎ－ｋ）１ α α … α Ｇ的第ｉ行（０ ≤ ｉ ≤ ｋ－１）和Ｈ的第ｊ行（１ ≤ ｊ ≤ ｎ－ｋ）的内积为ｎ－１ ∑ λ＝０ｉλ α α ｊλ ｎ－１＝ ∑ λ＝０ α（ｉ＋ｊ）λ ＝０（由于１ ≤ ｉ＋ｊ ≤ ｎ－１），并且Ｈ的秩为ｎ－ｋ（因为Ｈ的前ｎ－ｋ列组成的Ｖａｎｄｅｒｍｏｎｄｅ行列式不为零）。７３７４纠错码的代数理论这表明Ｈ是码Ｃ′的校验阵。从而Ｃ′是以 α ，α ，… ，α 环码，即Ｃ′ ＝Ｃ。ｎ－ｋ２（ｎ－ｋ＝ｄ－１）为根的循ＢＣＨ码的最小距离ｄ大于或等于设计距离 δ ，在很多情形下，ｄ大于 δ ，这里举两个例子。例７（二元Ｇｏｌａｙ码Ｇ２３是循环码）设 α 是Ｆ２的扩域中的２３阶元素。由于２模２３的阶为１１，从而 α 在Ｆ２［ｘ］中的最小多项式ｇ１（ｘ）是１１次不可约多项式，ｇ１（ｘ）的全部根为｛ α ，α ，α ，α ，α ，α ，α ，α ，α ，α ，α ｝，而 α ＝ α 在Ｆ２［ｘ］中的最小多项式为ｇ１（ｘ）的反向多项式ｇ２（ｘ），次数也为１１。所以２３２２２１ｘ－１＝ｇ１（ｘ）ｇ２（ｘ）（ｘ－１），ｇ１（ｘ）ｇ２（ｘ）＝ｘ＋ｘ＋ … ＋ｘ＋１。设Ｃ是码长２３并且以ｇ１（ｘ）为生成式的二元循环码，则［ｎ，ｋ］＝［２３，１２］。２４８１６９１８１３３６１２－１１０由于Ｃ有根 α ，α ，α ，α ，这是设计距离 δ＝５的ＢＣＨ码，所以ｄ ≥ ５，我们现在证ｄ＝７，从而Ｃ与二元Ｇｏｌａｙ码Ｇ２３有相同的参数［ｎ，ｋ，ｄ］＝［２３，１２，７］，即是完全码。２３２２设ｃ（ｘ）＝ ∑ ４ｃｉｘ ∈ Ｆ２［ｘ］是Ｃ中非零码字，则ｇ１（ｘ）｜ｃ（ｘ），于是ｃ（ｘ）的ｉｉ＝０反向多项式ｃ（ｘ）＝倡２２ ∑ ｉ＝０ｃｉｘ２３－ｉ被ｇ１（ｘ）的反向多项式除尽，即ｇ２（ｘ）｜ｃ（ｘ），倡于是２２（ｘ＋ｘ２１＋ … ＋ｘ＋１）＝ｇ１（ｘ）ｇ２（ｘ）｜ｃ（ｘ）ｃ（ｘ）＝倡２２ ∑ ｉ，ｊ＝０ｃｉｃｊｘｉ＋２３－ｊ。所以２２ ∑ ｉ，ｊ＝０ｃｉｃｊｘｉ＋２３－ｊ ≡ ０或ｘ２２＋ｘ２１＋ … ＋ｘ＋１（ｍｏｄｘ２３－１）。现在设ｗＨ（ｃ（ｘ））为偶数ｌ，则ｃｉ（０ ≤ ｉ ≤ ２２）有ｌ个为１，其余为０，所以上式左２２３边共有ｌ个ｃｉｃｊ＝１，将上式右边模ｘ－１化成次数 ≤ ２２的多项式之后，常数项为 ∑ ｃｃｉ＝ｊｉｊ＝ ∑ ｉｃｉ＝ｌ＝０，从而ｃｉｃｊｘｉ－ｊ ≡ ０（ｍｏｄｘ２３－１），即ｌ２－ｌ＝ ∑ ０ ≤ ｉ ≠ ｊ ≤ ２２ｌ（ｌ－１）个非零项ｃｉｃｊｘ（ｃｉｃｊ＝１）在指数模２３之后彼此相消，但是若ｉ－ｊ ≡ ｉ′ －ｊ′（ｍｏｄ２３）（ｉ ≠ ｉ′ ，ｉ ≠ ｊ），则ｊ－ｉ ≡ ｊ′ －ｉ′（ｍｏｄ２３）所以每次都是４项一起消掉，于是４｜ｌ（ｌ－１），由于ｌ－１为奇数，所以４｜ｌ，这表明Ｃ中码字的权若为偶数，则必是４的倍数。所以ｌ ≠ ６，即Ｃ中没有权６的码字。ｉ－ｊ现在设ｌ为５，这时２２ ∑ ｉ，ｊ＝０ｃｉｃｊｘｉ－ｊ（ｍｏｄｘ２３－１）的常数项为５＝１ ∈ Ｆ２，所以第３章２２ ∑ ｉ，ｊ＝０ｃｉｃｊｘ ≡ １＋ｘ＋ｘ＋ … ＋ｘ（ｍｏｄｘｉ－ｊ２２２２３－１），但是 ∑ ０ ≤ ｉ ≠ ｊ ≤ ２２ｃｉｃｊｘｉ－ｊ循环码当中非零项只有５－５＝２０项，它不可能同余于具有２２项的ｘ＋ｘ＋ … ＋ｘ，所以ｌ ≠ ５，综合上述可知ｄ ≥ ７，由Ｈａｍｍｉｎｇ界可知ｄ＝７。可以证明，参数［２３，１２，７］的所有二元线性码均彼此等价，所以推论２．２．４中构作的二元Ｇｏｌａｙ码Ｇ２３等价于这里的循环码Ｃ。例８（三元Ｇｏｌａｙ码Ｇ１１是循环码）设 α 是Ｆ３的某个扩域中的１１阶元素，２２２２ｇ１（ｘ）为 α 在Ｆ３［ｘ］中的最小多项式，则ｇ１（ｘ）的全部根为｛ α ，α ，α ，α ＝ α ，３９２７５ α ＝ α ｝，于是ｄｅｇｇ１（ｘ）＝５，记ｇ２（ｘ）为 α 在Ｆ３［ｘ］中的最小多项式，它也是５１５４－１次不可约多项式，于是ｘ－１＝（ｘ－１）ｇ１（ｘ）ｇ２（ｘ）。设Ｃ是码长为１１并且以ｇ１（ｘ）为生成式的三元循环码，则参数［ｎ，ｋ］＝１１［１１，６］。由于Ｃ是以 α ，α ，α 为根的ＢＣＨ码，所以Ｃ的最小距离 ≥ ４，我们现ｎｎｎｎ在证明ｄ＝５，设ｃ（ｘ）＝ａ１ｘ１＋ａ２ｘ２＋ａ３ｘ３＋ａ４ｘ４ ∈ Ｆ３［ｘ］是Ｃ中权４的码字，其中０ ≤ ｎ１＜ｎ２＜ｎ３＜ｎ４ ≤ １０，ａ１，ａ２，ａ３，ａ４ ∈ ｛１，２｝。则ｇ１（ｘ）｜ｃ（ｘ）。于是３ｇ２（ｘ）｜ｘｃ（ｘ１１（ａ１ｘｎ１－１＋ａ２ｘ４５）＝ｃ（ｘ），但是ｇ１（ｘ）ｇ２（ｘ）＝１＋ｘ＋ｘ＋ … ＋ｘ倡＋ａ３ｘｎ２２ｎ３＋ａ４ｘ）（ａ１ｘｎ４１１－ｎ１＋ａ２ｘ１１－ｎ２１０＋ａ３ｘ１１－ｎ３，所以＋ａ４ｘ１１－ｎ４） ≡ α（１＋ｘ＋ｘ＋ … ＋ｘ）（ｍｏｄｘ－１），２２２２其中 α ∈ Ｆ３，上式左边的常数项为ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４＝１＋１＋１＋１＝１，可知 α ＝１，２１０１１在此同余式中代入ｘ＝１，得到（ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４）＝１１＝２，这个等式在Ｆ３中是不可能的，因此Ｃ中没有权４的码字，于是ｄ ≥ ５，再由Ｈａｍｍｉｎｇ界可知ｄ＝５，即Ｃ是参数［ｎ，ｋ，ｄ］＝［１１，６，５］的三元完全码，它与定理２．２．５中的三元Ｇｏｌａｙ码Ｇ１２有同样参数，可以证明这两个码等价。２习题１设ｘ－１＝ｇ（ｘ）ｈ（ｘ），其中ｇ（ｘ）和ｈ（ｘ）为Ｆｑ（ｘ）中首１多项式，（ｎ，ｑ）＝１，令Ｃ是以ｇ（ｘ）为生成式的ｑ元循环码（码长为ｎ）。证明：Ｃ是自正交码－１当且仅当对于ｈ（ｘ）的每个根 α ，α 均为ｇ（ｘ）的根。ｎ习题２试构作一个参数为［ｎ，ｋ，ｄ］＝［３１，１６，７］的二元循环码。习题３设 α是Ｆ２［ｘ］中本原多项式ｘ＋ｘ＋１的一个根，Ｃ是以 α 和 α 为根的二元ＢＣＨ码（码长３１），如果收到ｙ＝（１００１０１１０１１１１００００１１０１０１０１０１１１１１１），并且错位不超过２个，试将它译成Ｃ中码字。５２３７５７６纠错码的代数理论３．４Ｇｏｐｐａ码ＢＣＨ码在工程中得到实际应用，因为可以设计出任意大的最小距离，并且有好的译码算法，但是在理论上，ＢＣＨ码并不是好的纠错码。我们知道，好的纠错码用一些界来刻画，Ｈａｍｍｉｎｇ界和Ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ界都是一个纠错码的参数ｎ，ｋ，ｄ（以及ｑ）所满足的必要条件；另一方面，１９５２年，Ｇｉｌｂｅｒｔ和Ｖａｒｓｈａｍｏｖ独立地给出纠错码如下的一个充分条件。引理３．４．１设１ ≤ ｄ ≤ ｎ，２ ≤ Ｋ＜ｑ，ｑ为素数幂，如果ｎｄ－１（Ｋ－１） ∑ ｉ＝０ｉ（ｑ－１）ｎｉ＜ｑ，ｎ则必存在参数为（ｎ，Ｋ，ｄ）的ｑ元纠错码。证明当Ｋ＝１时引理显然成立，现在设存在参数为（ｎ，Ｎ，ｄ）的ｑ元码Ｃ，并且１ ≤ Ｎ＜Ｋ，则不同码字之间的Ｈａｍｍｉｎｇ距离均 ≥ ｄ，考虑以所有码字为中心，半径为ｄ－１的Ｎ个球ｎＳｄ－１（ｃ）＝｛ｖ ∈ Ｆｑ｜ｄＨ（ｃ，ｖ） ≤ ｄ－１｝（ｃ ∈ Ｃ），这Ｎ个球在整个空间中可能重叠，所占向量的总数不超过ｄ－１ｄ－１ｎｉｉ｜Ｃ｜ · ∑ （ｑ－１） ≤ Ｎ · ∑ （ｑ－１）ｎｉｉ＝０ｉ＝０ｉｄ－１ ≤ （Ｋ－１） · ∑ ｉ＝０ｉｎｎ（ｑ－１）ｎｉ＜ｑ＝｜Ｆｑ｜。所以Ｆｑ中必有向量ｖ不在这Ｎ个球的任何一个之中，即ｖ与Ｃ的任何一个码字的Ｈａｍｍｉｎｇ距离均 ≥ ｄ，将ｖ加到Ｃ之中，得到新的码有Ｎ＋１个码字，最小距ｎ离仍 ≥ ｄ。这就表明Ｆｑ中必有Ｋ个向量使它们的相互距离均 ≥ ｄ，证毕。ｎ由引理３．４．１和一些估计技巧，可以得到如下的结果，叫作Ｇ唱Ｖ渐近界。ｑ－１对每个固定的素数幂ｑ和０＜ δ ＜，均存在一族ｑ元线性码［ｎｉ，ｋｉ，ｄｉ］ｑｄｉｋｉ＝ δ 并且ｌｉｍ＝１－Ｈｑ（δ），其中Ｈｑ（δ）＝（当ｉ → ∞ 时，ｎｉ → ∞ ），使得ｌｉｍｉ → ∞ ｎｉｉ → ∞ ｎｉｑ－１ δｌｏｇｑ（ｑ－１）－ δｌｏｇｑ δ －（１－ δ）ｌｏｇｑ（１－ δ）（注意当 δ 从０到时，Ｈｑ（δ）从０增加ｑ到１）。第３章ｌｉｍｉ→ ∞ 循环码可以证明：对每个固定的素数幂ｑ，不存在一族ｑ元ＢＣＨ码［ｎｉ，ｋｉ，ｄｉ］使得ｋｉｄｉ和ｌｉｍ均为正数。所以从渐近的观点看，ＢＣＨ码不是好码。尽管在理ｉ → ∞ ｎｉｎｉ论上达到Ｇ唱Ｖ渐近界的线性码族是存在的，但是长时间里人们没有给出构作这种码的具体方法。２０世纪７０年代，前苏联数学家Ｇｏｐｐａ提出一种构作线性码的新方法，是ＢＣＨ码的一种推广，用这种码可以构作出达到Ｇ唱Ｖ渐近界的线性码族。这种线性码的发现是由于Ｇｏｐｐａ对ＢＣＨ码作了新的思考。设（ｎ，ｑ）＝１，Ｆｑ（β）＝Ｆｑｍ，其中 β是ｎ次本原单位根（即 β为ｎ阶元素）。Ｃ是以｛β ｜１ ≤ ｊ ≤ ｄ－１｝为根的ＢＣＨ码（码长为ｎ，设计距离为ｄ）。于是，对于ｃ（ｘ）＝ｊｎ－１ ∑ ｉ＝０ｃｉｘ ∈ Ｆｑ［ｘ］，ｉｃ（ｘ） ∈ Ｃ骋ｃ（β ）＝０ｊ由于（ｚｎ－１）ｎ－１ ∑ ｉ＝０（１ ≤ ｊ ≤ ｄ－１）骋ｃｉ＝－ｉｚ－β ｎ－１ ∑ ｉ＝０ｎ－１＝可知ｃ（ｘ） ∈ Ｃ骋（ｚｎ－１）ｎ－１骋 ∑ ｉ＝０ ∑ ｋ＝０ｎ－１ ∑ ｉ＝０ｃｉ β ＝０ｃｉｚ－１－ｉ＝ｚ－β ｎｚｎ－１ ∑ ｉ＝０ｋｎ－１ ∑ ｉ＝０ｃｉ β ｉ（ｋ＋１）ｎ－１ ∑ ｉ＝０ｃｉｎ－１ ∑ ｋ＝０ｚｋ（β －ｉ）ｎ－１－ｋ，ｃｉ ≡ ０－ｉｚ－β ｃｉ－ｉ ≡ ０ｚ－β （１ ≤ ｊ ≤ ｄ－１）。ｉｊ（ｍｏｄｚｄ－１（ｍｏｄｚｄ－１））（因为ｚ－１是环Ｆｑ［［ｚ］］中可逆元）。ｎ ∞ （后一个同余式的意思为：将同余式左边展成为幂级数 ∑ ｉ＝０ αｉｚ之后，αｉ＝０（对０ ≤ ｉ ≤ ｄ－２），它也等价于：将左边表示成互素多项式之商ｉｄ－１ｆ（ｚ），则ｚ｜ｇ（ｚ）ｆ（ｚ）。）ｄ－１ｉＧｏｐｐａ的推广是把模ｚ改用Ｆｑｍ［ｚ］中一般的多项式ｇ（ｚ），并且 β （０ ≤ ｉ ≤ ｎ－１）也改用Ｆｑｍ中任意不同的元素。定义３．４．２设ｇ（ｚ）是Ｆｑｍ［ｚ］中ｔ次首１多项式，Ｌ＝｛ γ０，γ１，… ，γｎ－１｝为Ｆｑｍ中ｎ个不同元素组成的集合，并且ｇ（γｉ） ≠ ０（０ ≤ ｉ ≤ ｎ－１）。码长为ｎ的ｑ元７７７８纠错码的代数理论Ｇｏｐｐａ码定义为 · · · · · · ｃ＝（ｃ０，ｃ１，… ，ｃｎ－１ ∈ Ｆｑ｜Ｇ（Ｌ，ｇ）＝ｎｎ－１ ∑ ｉ＝０这是ｑ元线性码，现在估计它的参数ｋ和ｄ。定理３．４．３ｍｔ，ｄ ≥ ｔ＋１。证明ｃｉ ≡ ０ｚ－ γｉ对于上面定义的Ｇｏｐｐａ码Ｇ（Ｌ，ｇ），参数ｋ和ｄ满足ｋ ≥ ｎ－ｔ设ｇ（ｚ）＝ ∑ ｉ＝０ｇｉｚ ∈ Ｆｑｍ［ｚ］（ｇｔ＝１），则对每个 γ ∈ Ｆｑｍ，ｉ１－１ｇ（ｚ）－ｇ（γ）＝ｚ－γ ｚ－γ ｇ（γ）从而（ｍｏｄｇ（ｚ））。ｎ－１（ｍｏｄｇ（ｚ）），ｎ－１ｃｉ－１ｇ（ｚ）－ｇ（γｉ）＝ ∑ ｃｉ ∑ ｚ－ γｉｉｉ）ｚ－ γ ｇ（γ ｉ＝０ｉ＝０ｎ所以对于ｃ＝（ｃ０，ｃ１，… ，ｃｎ－１） ∈ Ｆｑ，ｎ－１ｃ ∈ Ｇ（Ｌ，ｇ）骋 ∑ ｉ＝０（ｍｏｄｇ（ｚ））。ｇ（ｚ）－ｇ（γｉ）ｃｉ ≡ ０ｚ－ γｉｇ（γｉ）（ｍｏｄｇ（ｚ））ｎ－１ｇ（ｚ）－ｇ（γｉ）ｃｉ＝０ｚ－ γｉｉ＝０ｇ（γｉ）（因为左边多项式的次数小于ｄｅｇｇ（ｚ））由于 ∑ 骋（７）ｊｉｇ（ｚ）－ｇ（ｘ）＝ ∑ ｇｉ＋ｊ＋１ｘｚ，ｚ－ｘｉ＋ｊ ≤ ｔ－１－１ｔ－１ｔ－２０记ｈｊ＝ｇ（γｊ）考虑式（７）中ｚ，ｚ，… ，ｚ的系数，可知线性码Ｇ（Ｌ，ｇ）有如下的校验阵ｈ０ｇｔ … ｈｎ－１ｇｔＨ＝ｈ０（ｇｔ－１＋ｇｔ γ０） … ｈｎ－１（ｇｔ－１＋ｇｔ γ ｎ－１） ⁝ ⁝ ⁝ 。ｈ０（ｇ１＋ｇ２ γ０＋ … ＋ｇｔ γ０） … ｈｎ－１（ｇ１＋ｇ２ γｎ－１＋ … ＋ｇｔ γ ｎ－１）由于ｇｔ ≠ ０，可知Ｇ（Ｌ，ｇ）也有如下的校验阵ｈ０ … ｈｎ－１ｔ－１Ｈ′ ＝ｔ－１ｈ０ γ０ … ｈｎ－１ γｎ－１ ⁝ ⁝ ⁝ … ｈｎ－１ γ ｎ－１ｈ０ γ ０ｔ－１ｔ－１，ｈｊ＝ｇ（γｊ）－１ ∈ Ｆｑｍ第３章循环码Ｈ′中每个元素属于Ｆｑｍ，对于一组固定的Ｆｑ唱基，这些元素可看成是长为ｍ的列向量（元素属于Ｆｑ），从而Ｈ′可看成是Ｆｑ上ｍｔ行ｎ列的矩阵，它在Ｆｑ上的秩 ≤ ｍｔ，于是ｋ＝ｄｉｍＦｑＧ（Ｌ，ｑ） ≥ ｎ－ｍｔ，进而，Ｈ′中任ｔ列构成的行列式均不为零（Ｖａｎｄｅｒｍｏｎｄｅ行列式），所以ｄ ≥ ｔ＋１。当ｑ＝２时，可以给出Ｇｏｐｐａ码最小距离的更强结果。定理３．４．４对于定义３．４．２中的Ｇｏｐｐａ码Ｇ（Ｌ，ｇ），若ｑ＝２，并且ｇ（ｚ）在Ｆ２的扩域中没有重根，则ｄ ≥ ２ｔ＋１。证明对于非零向量（ｃ０，ｃ１，… ，ｃｎ－１） ∈ Ｆ２，令ｆ（ｚ）＝ｎ则ｆ′（ｚ）＝ｆ（ｚ）ｎ－１ ∑ ｉ＝０ｎ－１朝ｉ＝０ｃ（ｚ－ γｉ）ｉ（ ≠ １），ｃｉ。ｚ－ γｉ于是ｆ′（ｚ）（ｃ０，ｃ１，… ，ｃｎ－１） ∈ Ｇ（Ｌ，ｇ）骋 ≡ ０（ｍｏｄｇ（ｚ））ｆ（ｚ）骋ｇ（ｚ）｜ｆ′（ｚ）（由于ｆ（ｚ）无重根，（ｆ，ｆ′）＝１）。但是对于特征２的域Ｆ２ｍ，Ｆ２ｍ［ｚ］中多项式的微商ｆ′（ｚ）是ｚ的多项式，并且每２个数ａ ∈ Ｆ２ｍ，ａ也属于Ｆ２ｍ（ａ＝ａ２ｍ－１于ｇ（ｚ）无重根可知），因此ｆ′（ｚ）＝ｈ（ｚ），ｈ（ｚ） ∈ Ｆ２ｍ［ｚ］，由２ｇ（ｚ）｜ｆ′（ｚ）骋ｇ（ｚ）｜ｈ（ｚ）骋ｇ（ｚ）｜ｈ（ｚ）＝ｆ′（ｚ）。２２所以ｃ＝（ｃ０，ｃ１，… ，ｃｎ－１） ∈ Ｇ（Ｌ，ｇ）骋ｇ（ｚ）｜ｆ′（ｚ）痴ｄｅｇｆ′（ｚ） ≥ ２ｄｅｇｇ（ｚ）＝２ｔ２痴ｄｅｇｆ（ｚ） ≥ ２ｔ＋１。由ｆ（ｚ）的定义知ｄｅｇｆ（ｚ）＝ｗＨ（ｃ），所以二元线性码Ｇ（Ｌ，ｇ）中每个非零码字ｃ的Ｈａｍｍｉｎｇ权均 ≥ ２ｔ＋１，这表明ｄ ≥ ２ｔ＋１。现在于定义３．４．２中取ｍ＝１，则定理３．４．３给出ｋ ≥ ｎ－ｔ，ｄ ≥ ｔ＋１，于是ｋ＋ｄ ≥ ｎ＋１，但是由Ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ界有ｋ＋ｄ ≤ ｎ＋１，于是ｋ＝ｎ－ｔ并且ｄ＝ｔ＋１，因此有以下结果。定理３．４．５设ｇ（ｘ）为Ｆｑ［ｘ］中ｔ次首１多项式０ ≤ ｔ ≤ ｎ－１，Ｌ＝｛ γ０，… ，７９８０纠错码的代数理论 γｎ－１｝为Ｆｑ中ｎ个不同元素（所以ｎ ≤ ｑ），并且ｇ（γｉ） ≠ ０（０ ≤ ｉ ≤ ｎ－１）。则ｑ元Ｇｏｐｐａ码ｎ－１ｃｉＧ（Ｌ，ｇ）＝（ｃ０，ｃ１，… ，ｃｎ－１） ∈ Ｆｑｎ｜ ∑ ≡ ０（ｍｏｄｇ（ｘ））ｉ＝０ｘ－ γｉ的参数为［ｎ，ｋ，ｄ］，其中ｋ＝ｎ－ｔ，ｄ＝ｔ＋１，从而为ＭＤＳ码。Ｇｏｐｐａ码也具有与ＢＣＨ码相类似的好的译码算法，并且Ｇｏｐｐａ码族可以渐近地达到Ｇ唱Ｖ界（详见ｖａｎＬｉｎｔ书［２］第９章）。Ｇｏｐｐａ在发明这种线性码之后，又从几何的角度加以审视，得到更大的推广，这就是代数几何码。这种码在建立后不久，于１９８２年得到代数几何码族，渐近地超过了Ｇ唱Ｖ界。由于这种码需要更多的代数几何（有限域上代数曲线）和代数数论（代数函数域的算术理论）方面的知识，本书略去代数几何码的内容。有兴趣的读者可参阅关于代数几何码的书［７～１２］。习题１设 α 是Ｆ２［ｘ］中多项式ｘ＋ｘ＋１的一个根，Ｌ＝｛α ｜１ ≤ ｉ ≤ １５，（ｉ，ｉ４１５）＝１｝，ｇ（ｚ）＝ｘ＋１，分析Ｇｏｐｐａ码Ｇ（Ｌ，ｇ），证明这个二元线性码的参数为［ｎ，ｋ，ｄ］＝［８，４，４］。２习题２（线性码的Ｇ唱Ｖ界）设１ ≤ ｋ ≤ Ｎ，ｄ ≥ １，如果ｑ则存在参数［ｎ，ｋ，ｄ］的ｑ元线性码。ｎ－ｋ＋１ｄ－１＞ ∑ ｉ＝０ｉ（ｑ－１）ｎｉ，４量子纠错码我们在前四章介绍的“经典”纠错码理论已经有五十余年的历史，它来源于数字和网络通信可靠性的实际需要，显示出纯粹数学的一些学科（组合学、数论、抽象代数、代数几何 … … ）的重要应用和巨大作用。２０世纪后期，量子计算和量子通信成为通信界、物理学界和数学界的热门话题。在理论上，利用量子物理的并行计算机制，可以极大地加快计算和通信速度。在实际上，尽管目前仍无法预料何时能建成量子计算机，而量子计算和量子通信的真正应用则更为遥远，但是实验的进展很快，发达国家均以政府行为支持这方面的研究工作。量子纠错码的历史只有不到八年的时间，与经典情形（数字通信）一样，纠错性能不仅是量子通信而且是量子计算得以实现的必要保障之一。１９９５年以前，人们认为解决量子纠错问题比经典的数字通信情形要困难得多，这是由于量子物理的特殊机制所造成的（不可复制性，与环境的相互影响，纠缠态，信息状态的连续性等），１９９５ — １９９６年取得重要的突破，ＰｅｔｅｒＳｈｏｒ和Ｓｔｅａｎｅ在物理上把复杂的纠缠态错误归结和简化成只需考虑每个量子位上发生的几种错误类型（Ｐａｕｌｉ算子 σｘ，σｚ和 σ ｙ）。由此，Ｓｈｏｒ构作出世界上第一个量子纠错码［［９，１，３］］，用９个量子位的码可纠１位错误，随后人们把所需的９位减到７位和５位。１９９８年，Ｃａｌｄｅｒｂａｎｋ，Ｒａｉｎｓ，Ｓｈｏｒ，Ｓｔｅａｎｅ，Ｓｌｏａｎｅ等人给出量子纠错码理论的数学形式和构作量子码的一种系统而有效的数学方法，由此建立了经典纠错码和量子码之间的联系。此后，量子码的研究进展加速，不仅利用经典码（ＲＭ码，ＲＳ码，ＢＣＨ码，代数几何码）构作出一批好参数的量子码，而且开展了其他课题的研究（权函数的ＭａｃＷｉｌｌｉａｍｓ恒等式，界估计，多态量子码，构作量子码的其他方法等）。２００１年，量子码［［５，１，３］］已经成功地在实验室范围内实现了纠错功能。我们在本章介绍量子纠错码的基本数学概念和主要结果，我们只涉及量子码理论的数学侧面，不讨论其物理机制，特别对于物理文献中的某些结果，我们试图给出纯数学的证明，此外，我们在介绍量子纠错码的基本概念时，常常与经典纠错码情形加以参照和对比。８２纠错码的代数理论４．１什么是量子纠错码１．量子位（ｑｕａｎｔｕｍｂｉｔ，ｑｕｂｉｔ）、量子态和量子码在数字通信中，一个数字位（ｂｉｔ）为有限域Ｆｑ中的元素，而一个状态（字）是Ｆ中的一个向量ｖ＝（ｖ１，… ，ｖｎ）（ｖｉ ∈ Ｆｑ）（叫作ｎ唱ｂｉｔ），在量子通信中，一个量子ｎｑ位（ｑｕｂｉｔ）和量子态（ｎ唱ｑｕｂｉｔ）均是复向量空间中的对象，以下用Ｃ表示复数域。定义４．１．１２一个量子位是Ｃ中的一个非零向量。２在物理上常常把二维复向量空间Ｃ的一组基表示成｜０枛和｜１枛。所以一个量子位表示成（α ，β ∈ Ｃ，（α ，β） ≠ （０，０））。｜ｖ枛＝ α ｜０枛＋ β ｜１枛一个ｎ位的量子态（ｎ唱ｑｕｂｉｔ）是张量积空间（Ｃ）２的非零向量。ｎ我们可以取Ｃ２的如下一组基碅ｎ２ｎ＝Ｃ碅 … 碅Ｃ＝Ｃ中２２｛｜ａ０枛碅｜ａ１枛碅 … 碅｜ａｎ－１枛：（ａ０，… ，ａｎ－１） ∈ Ｆ２｝。ｎ对于ａ＝（ａ０，… ，ａｎ－１） ∈ Ｆ２，我们把纯张量积｜ａ０枛碅 … 碅｜ａｎ－１枛简记为ｎ｜ａ０ａ１ … ａｎ－１枛或者｜ａ枛，于是一个ｎ位量子态惟一地表达成０ ≠ ｜ｖ枛＝ ∑ ｎ（ａ０，… ，ａｎ－１） ∈ Ｆ２ｃａ０ … ａｎ－１｜ａ０ａ１ … ａｎ－１枛＝其中 ∈ Ｃ（系数不全为零）。熟知复向量空间Ｃ ∑ ｎａ ∈ Ｆ２２ｎ中有厄米特内积：对于｜ｖ枛＝ｂａ｜ａ枛（ｃａ，ｂａ ∈ Ｃ），定义它们的内积为枙ｕ｜ｖ枛＝ ∑ ｎａ ∈ Ｆ２ ∑ ｎａ ∈ Ｆ２ ∑ ｎａ ∈ Ｆ２ｃａ｜ａ枛ｃａ｜ａ枛和｜ｕ枛＝ｂａｃａ ∈ Ｃ，这里ｂａ表示ｂａ的复共轭，如果枙ｕ｜ｖ枛＝０，称ｕ和ｖ正交。量子物理与经典情形有一个重大区别，在数字通信中，两个状态ｕ＝（ｕ０，… ，ｕｎ－１）和ｖ＝（ｖ０，… ，ｖｎ－１） ∈ Ｆｑ是不同的，是指ｕ ≠ ｖ，即至少有一个ｉ（０ ≤ ｉ ≤ ｎｎ－１）使ｕｉ ≠ ｖｉ，而对于两个量子态｜ｕ枛和｜ｖ枛（１）如果｜ｕ枛＝ α｜ｖ枛（其中 α ∈ Ｃ子态； × ＝Ｃ－｛０｝），则｜ｕ枛和｜ｖ枛看作是同一个量第４章量子纠错码（２）｜ｕ枛和｜ｖ枛完全可区分，是指它们正交：枙ｕ｜ｖ枛＝０。定义４．１．２一个量子码Ｑ即指（Ｃ）２碅ｎｎ＝Ｃ的一个非零子空间，ｎ叫作Ｑ２的码长，记Ｋ＝ｄｉｍＣＱ（子空间Ｑ的维数），而ｋ＝ｌｏｇ２Ｋ，于是０ ≤ ｋ ≤ ｎ。和经典情形类似，量子码Ｑ的基本参数除了ｎ和Ｋ（或ｋ）之外，还应有一个重要参数反映纠错能力，首先要说明什么是量子错误。２．量子错误群对于经典情形，码字ｃ和错误 ε 均是Ｆｑ中向量，错误 ε 对码字ｃ的作用是相ｎ加 ε ＋ｃ；在量子情形，量子码和量子错误是完全不同的物理对象，量子错误是作ｎ２用在空间Ｃ上的酉线性算子。Ｓｈｏｒ等人已经把问题简化成按每个量子位作用的情形，对于每个量子位｜ｖ枛＝ α｜０枛＋ β｜１枛＞ ∈ Ｃ２，量子错误算子对于基｜０枛和｜１枛可表示成二阶复酉阵，一共有３个基本的错误算子（Ｐａｕｌｉ矩阵）σｘ，σｚ和 σ ｙ，它们是０１ α β σｘ＝， σｘ｜ｖ枛＝ β ｜０枛＋ α ｜１枛， σｘ＝（位错），１０ β α １０ α α σｚ＝， σｚ｜ｖ枛＝ α ｜０枛－ β ｜１枛， σｚ＝（相错）， β －β ０－１ σｙ＝ｉ σｘ σ ｚ＝ σｙ α ＝ β －ｉβ ｉα ０ｉ－ｉ， σｙ｜ｖ枛＝－ｉβ ｜０枛＋ｉα ｜１枛，０（ｉ＝１０当然还有Ｉ＝－１），０，Ｉ｜ｖ枛＝｜ｖ枛，无错。１这些二阶酉阵之间的基本关系为２２２ σｘ＝ σｙ＝ σｚ＝Ｉ， σｘ σ ｚ＝－ σｚ σ ｘ。定义４．１．３作用在Ｃ２ｅ＝ｉ ω０碅 … 碅 ωｎ－１ λ 这是酉线性算子，它在Ｃ分别作用：碅ｎ２碅ｎ上的量子错误算子有如下形式（λ ∈ ｛０，１，２，３｝，ω ｊ ∈ ｛ σｘ，σｙ，σｚ，Ｉ｝）。的基元｜ａ枛＝｜ａ０枛碅 … 碅｜ａｎ－１枛上的作用为逐位ｅ｜ａ枛＝ｉ（ ω０｜ａ０枛）碅 … 碅（ ωｎ－１｜ａｎ－１枛）。 λ 然后线性地扩充到Ｃ所有量子错误算子２碅ｎ（１）的所有元素上。８３８４纠错码的代数理论Ｅｎ＝｛ｉ ω０碅 … 碅 ωｎ－１｜ λ ∈ ｛０，１，２，３｝， ωｊ ∈ ｛σｘ，σｙ，σｚ，Ｉ｝（０ ≤ ｊ ≤ ｎ－１）｝ λ 形成一个有限群，｜Ｅｎ｜＝４定义群运算为ｎ＋１ｅｅ′ ＝ｉ例１，其中对于ｅ＝ｉ ω ０碅 … 碅 ω ｎ－１和ｅ′ ＝ｉ ω′０碅 … 碅 ω′ｎ－１， λ λ＋ λ′ λ′ （ ω０ ω′０）碅 … 碅（ ωｎ－１ ω′ｎ－１）。（ｎ＝２），对于ｅ＝Ｉ碅 σｘ，ｅ′ ＝ σｙ碅 σｚ，则ｅｅ′ ＝ σｙ碅 σｘ σ ｚ＝ｉ σｙ碅 σｙｅ′ｅ＝ σｙ碅 σｚ σ ｘ＝ｉ σｙ碅 σｙ。３Ｅｎ不是交换群，由关系式（１）容易看出，群Ｅｎ的中心（即与Ｅｎ中所有元素均可交换的那些元素形成的子群）为Ｃ（Ｅｎ）＝｛ｉλ ＝ｉλ （Ｉ碅 … 碅Ｉ）｜ λ ∈ ｛０，１，２，３｝｝＝｛ ± １，± ｉ｝。进而，由关系式（１）可知对Ｅｎ中任何元素ｅ，ｅ′均有ｅｅ′ ＝ｅ′ｅ或ｅｅ′ ＝－ｅ′ｅ，于是商群Ｅｎ＝Ｅｎ／Ｃ（Ｅｎ）是４阶交换群，并且对Ｅｎ中每个元素珋ｅ均有珋ｅ２＝１，从而Ｅｎ是初级２唱群，即为ｎ２ｎ个二阶循环群的直和，从而同构于Ｆ２的加法群，我们现在给出群Ｅｎ的另种２ｎ表达方式，由此自然给出Ｅｎ和Ｆ２的一种同构。２ｎ将Ｅｎ中元素ｅ＝ｉ λ＋ｌｅ＝ｉ ω ０碅 … 碅 ω ｎ－１表示成 λ Ｘ（ａ）Ｚ（ｂ）其中，对于０ ≤ ｊ ≤ ｎ－１，而ｌ＝＃（０（１（ａｊ，ｂｊ）＝（０（１ｊ｜０ ≤ ｊ ≤ ｎ－１，ω ｊ＝ σｙＸ（ａ）＝ ω′０碅 … 碅其中 ω′ｊ＝例２（ａ＝（ａ０，… ，ａｎ－１），ｂ＝（ｂ０，… ，ｂｎ－１） ∈ Ｆ２），，０），若 ω ｊ＝Ｉ，，０），若 ω ｊ＝ σｘ，，１），若 ω ｊ＝ σｚ，，１），若 ω ｊ＝ σｙ（＝ｉ σｘ σ ｚ）。，于是 ω′ｎ－１，Ｚ（ｂ）＝ ω″０碅 … 碅 ω″ｎ－１，Ｉ，若ａｊ＝０， σｘ，若ａｊ＝１， ω″ｊ＝ｅ＝ｉ σｘ碅 σｙ碅 σｚ碅Ｉ（ｎ＝４）＝ｉ σｘ碅 σｘ σ ｚ碅 σｚ碅Ｉ２＝ｉ（σｘ碅 σｘ碅Ｉ碅Ｉ）（Ｉ碅 σｚ碅 σｚ碅Ｉ）２ｎＩ，若ｂｊ＝０， σｚ，若ｂｊ＝１。第４章量子纠错码＝ｉＸ（１１００）Ｚ（０１１０）。２２ｎ下面引理表明这种新的记号容易表达错误算子在Ｃ的基元上的作用。引理４．１．４２ｎ（１）Ｘ（ａ）和Ｚ（ｂ）（ａ，ｂ ∈ Ｆ２）在Ｃ的基元｜ｖ枛＝｜ｖ０ｖ１ … ｖｎ－１枛ｎ（ｖ ∈ Ｆ２）上的作用为ｎＸ（ａ）｜ｖ枛＝｜ａ＋ｖ枛，Ｚ（ｂ）｜ｖ枛＝（－１）｜ｖ枛。 λ λ′ （２）对于ｅ＝ｉＸ（ａ）Ｚ（ｂ）和ｅ′ ＝ｉＸ（ａ′）Ｚ（ｂ′） ∈ Ｅｎ，ａ · ｂ′ ＋ａ′ · ｂｅｅ′ ＝（－１）ｅ′ｅ，ｂ· ｖ其中对ａ＝（ａ０，… ，ａｎ－１）和ｂ＝（ｂ０，… ，ｂｎ－１） ∈ Ｆ２，ａ· ｂ＝ｎｎ－１ ∑ ｊ＝０（２）（３）ａｊｂｊ ∈ Ｆ２为Ｆ２中ｎ通常的内积。证明（１）由定义知 σｘ｜０枛＝｜１枛，σｘ｜１枛＝｜０枛，由于Ｘ（ａ）＝ ω０碅 … 碅 ωｎ－１，其中 ωｊ＝Ｉ，若ａｊ＝０， σｘ，若ａｊ＝１。可知 ω ｊ｜ｖｊ枛＝｜ｖｊ＋ａｊ枛，从而Ｘ（ａ）｜ｖ枛＝｜ａ＋ｖ枛。类似地，Ｚ（ｂ）＝ ω０碅 … 碅 ω ｎ－１，其中Ｉ，若ｂｊ＝０， ωｊ＝ σｚ，若ｂｊ＝１。因为 σｚ｜０枛＝｜０枛，σｚ｜１枛＝－｜１枛，可知 ω ｊ｜ｖｊ枛＝（－１）ｊｊ｜ｖｊ枛，从而Ｚ（ｂ）｜ｖ枛＝ｂｖｂ· ｖ（－１）｜ｖ枛。ｎ（２）对每个基元｜ｖ枛（ｖ ∈ Ｆ２）， λ ＋ λ′ ｅｅ′｜ｖ枛＝ｉＸ（ａ）Ｚ（ｂ）Ｘ（ａ′）Ｚ（ｂ′）｜ｖ枛ｂ′ · ｖ λ ＋ λ′ ＝（－１）ｉＸ（ａ）Ｚ（ｂ）Ｘ（ａ′）｜ｖ枛＝（－１）ｂ′ · ｖｉλ ＋ λ′ Ｘ（ａ）Ｚ（ｂ）｜ａ′ ＋ｖ枛ｂ′ · ｖ＋ｂ · （ａ′ ＋ｖ） λ ＋ λ′ ＝（－１）ｉＸ（ａ）｜ａ′ ＋ｖ枛（ｂ＋ｂ′） · ｖ＋ａ′ · ｂ λ ＋ λ′ ＝（－１）ｉ｜ａ＋ａ′ ＋ｖ枛。同样地可算出（ｂ＋ｂ′） · ｖ＋ａ · ｂ′ λ ＋ λ′ ｅ′ｅ｜ｖ枛＝（－１）ｉ｜ａ＋ａ′ ＋ｖ枛。ａ · ｂ′ ＋ａ′ · ｂ由此即知ｅｅ′ ＝（－１）ｅ′ｅ。证毕。对Ｅｎ中每个元素ｅ＝ｉＸ（ａ）Ｚ（ｂ），将它在Ｅｎ＝Ｅｎ／｛ ± １，± ｉ｝中的象表示成 λ ８５８６纠错码的代数理论（ａ，ｂ ∈ Ｆ２）。珋ｅ＝（ａ｜ｂ）ｎ这时对于ｅ′ ＝ｉＸ（ａ′）Ｚ（ｂ′），ｅ′ ＝（ａ′｜ｂ′），我们由式（３）便知 λ′ ｅｅ′ ＝ｅｅ′ ＝Ｘ（ａ＋ａ′）Ｚ（ｂ＋ｂ′）＝（ａ＋ａ′｜ｂ＋ｂ′）。２ｎ这就给出了乘法群Ｅｎ和加法群Ｆ２的同构：Ｆ２，ｉＸ（ａ）Ｚ（ｂ）＝（ａ｜ｂ）Ｅｎ进而，由式（３）知，２ｎ λ （ａ，ｂ ∈ Ｆ２）。ｎｅｅ′ ＝ｅ′ｅ骋（－１）＝１骋ａ · ｂ′ ＋ａ′ · ｂ＝０ ∈ Ｆ２（４）２ｎ所以自然考虑向量空间Ｆ２中的“辛内积” （ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃｉｎｎｅｒｐｒｏｄｕｃｔ）：对于ａ · ｂ′ ＋ａ′ · ｂ（ａ｜ｂ）和（ａ′｜ｂ′） ∈ Ｆ２，定义它们的辛内积为２ｎ（（ａ｜ｂ），（ａ′｜ｂ′））ｓ＝ａ · ｂ′ ＋ａ′ · ｂ＝（ａ，ｂ）０ＩｎＩｎａ′ ∈ Ｆ２。ｂ′ ０对于Ｆ的一个子空间Ｃ，它的辛对偶空间定义为２ｎ２Ｃｓ＝｛ｖ ∈ Ｆ２｜（ｖ，ｃ）ｓ＝０，对每个ｃ ∈ Ｃ｝。２ｎ ⊥ 这是Ｆ２的子空间，并且ｄｉｍＣ＋ｄｉｍＣｓ＝ｄｉｍＦ２＝２ｎ，而且（Ｃｓ）ｓ＝Ｃ。如果２ｎ２ｎ ⊥ ⊥ ⊥ Ｃ彻Ｃｓ，称Ｃ为辛自正交的，如果Ｃ＝Ｃｓ（从而ｄｉｍＣ＝ｎ），称Ｃ是辛自对偶的，由式（４）便知引理４．１．５成立。 ⊥ ⊥ 引理４．１．５设Ｓ是Ｅｎ的一个子群，则Ｓ是交换群当且仅当Ｓ是Ｆ２２ｎ的辛自正交子空间。今后在构作量子码时，要使用Ｅｎ的交换子群，由引理４．１．５可知这相当于２ｎ采用Ｆ２中的辛自正交线性码。３．量子纠错定义４．１．６量子错误算子ｅ＝ｉλ ω ０碅 ω１碅 … 碅 ω ｎ－１＝ｉλ′ Ｘ（ａ）Ｚ（ｂ），ｅ＝（ａ｜ｂ）（ ω ｊ ∈ ｛Ｉ，σｘ，σｙ，σｚ｝，ａ＝（ａ０，… ，ａｎ－１），ｂ＝（ｂ０，… ，ｂｎ－１） ∈ Ｆ２）的量子权定义为ｗＱ（ｅ）＝ｗＱ（ｅ）＝＃｛ｊ｜０ ≤ ｊ ≤ ｎ－１｝，（ａｊ，ｂｊ） ≠ （０，０）｝＝＃｛ｊ｜０ ≤ ｊ ≤ ｎ－１，ω ｊ ≠ Ｉ｝。它表示真正有错误作用的量子位的个数，对于０ ≤ ｌ ≤ ｎ，令Ｅｎ（ｌ）＝｛ｅ ∈ Ｅｎ｜ｗＱ（ｅ） ≤ ｌ｝，Ｅｎ（ｌ）＝｛ｅ ∈ Ｅｎ｜ｗＱ（ｅ） ≤ ｌ｝。则易知｜Ｅｎ（ｌ）｜＝４ · ｌ ∑ ｉ＝０３ｉｎ，ｉ｜Ｅｎ（ｌ）｜＝ｌ ∑３ｉ＝０ｉｎ。ｉｎ第４章ｎ量子纠错码现在我们表达一个量子码Ｑ彻Ｃ的纠错能力，对于经典情形，Ｆｑ中一个码２ｎＣ可以纠正 ≤ ｌ个错，可以用下列形式来刻画：如果ｃ１，ｃ２ ∈ Ｃ，ｃ１ ≠ ｃ２（不同），则对任意ｅ１，ｅ２ ∈ Ｆｑ，ｗＨ（ｅ１） ≤ ｌ，ｗＨ（ｅ２） ≤ ｌ，ｎ均有ｃ１＋ｅ１ ≠ ｃ２＋ｅ２（不同）。让我们回忆，经典情形两个向量ｃ１和ｃ２不同，对应于量子情形两个量子状态｜ｕ枛和｜ｖ枛“完全可区分”这一概念，即｜ｕ枛和｜ｖ枛对厄米特内积正交：枙ｕ｜ｖ枛＝０（物理上把内积表示成枙ｕ｜ｖ枛），于是有如下的定义。定义４．１．７ｎ设Ｑ为Ｃ中一个量子码（复线性子空间），称Ｑ可以纠正 ≤ ｌ２个量子错（０ ≤ ｌ ≤ ｎ），是指Ｑ满足如下条件：如果｜ｖ１枛，｜ｖ２枛 ∈ Ｑ并且枙ｖ１｜ｖ２枛＝０（完全可区分），则对任意ｅ１，ｅ２ ∈ Ｅｎ（ｌ）（即ｗＱ（ｅ１） ≤ ｌ，ｗＱ（ｅ２） ≤ ｌ），均有枙ｖ１｜ｅ１ｅ２｜ｖ２枛＝０（即ｅ１｜ｖ１枛和ｅ２｜ｖ２枛完全可区分）。注记ＴＴ由于 ω ＝ σｘ，σｙ，σｚ都是厄米特算子（即 ω ＝ ω ，其中 ω 和 ω 分别表示矩阵的共轭和转置），所以对每个ｅ ∈ Ｅｎ，ｅ＝ｉ ω ０碅 … 碅 ωｎ－１本质上也是厄米 λ 特算子，即可取适当的ｌ，使ｉｅ为厄米特算子，而ｅ和ｉｅ的作用本质上是相同ｌｌ的。于是，物理学家用枙ｖ１｜ｅ１ｅ２｜ｖ２枛表示复向量ｅ１｜ｖ１枛和ｅ２｜ｖ２枛的厄米特内积是合理的，它也可看成是｜ｖ１枛和ｅ１ｅ２｜ｖ２枛的内积，或者是ｅ２ｅ１｜ｖ１枛和｜ｖ２枛的内积。量子码Ｑ叫作具有最小距离ｄ，是指ｄ为满足如下条件的最大值：如果｜ｖ１枛，｜ｖ２枛 ∈ Ｑ，枙ｖ１｜ｖ２枛＝０，则对每个ｅ ∈ Ｅｎ（ｄ－１），均有枙ｖ１｜ｅ｜ｖ２枛＝０。由于ｗＱ（ｅｅ′） ≤ ｗＱ（ｅ）＋ｗＱ（ｅ′），所以我们有如下结果，它可看成是量子纠错码理论的基本出发点。引理４．１．８设ｄ是量子码Ｑ的最小距离，ｌ＝ｄ－１２，则Ｑ可纠正 ≤ ｌ个量子错误。类似于经典情形，量子码Ｑ有三个基本参数：ｎ，Ｋ（或ｋ）和ｄ，其中Ｑ为Ｃ２ｎ的子空间，ｄｉｍＱ＝Ｋ，ｋ＝ｌｏｇ２Ｋ，我们用符号（（ｎ，Ｋ，ｄ））或者［［ｎ，ｋ，ｄ］］表示这ｋ和ｄ愈大愈好，与经典情形一样，ｎ这三个参数相互制约，体现在一些不等式给出的界，类比于经典情形，我们现在ｎ给出量子码的Ｈａｍｍｉｎｇ界，回忆经典情形：设Ｃ是Ｆｑ的一个子集合（码），｜Ｃ｜个量子码Ｑ。我们希望构作好的量子码，即８７８８纠错码的代数理论＝Ｋ，Ｃ的最小距离为ｄ，对于ｌ＝ｄ－１，所有的子集ｅ＋Ｃ（ｗＨ（ｅ） ≤ ｌ）是彼此２不相交的，所以ｑ＝｜Ｆｑ｜ ≥ ｎｎ ∑ ｅｗＨ（ｅ） ≤ ｌ｜ｅ＋Ｃ｜＝ ∑ ｅｗＨ（ｅ） ≤ ｌ｜Ｃ｜＝Ｋ· ｌ ∑ ｉ＝０ｉ（ｑ－１）ｎｉ，这就是Ｈａｍｍｉｎｇ界，对于量子情形，我们又要指出一个与经典情形不同之处，在经典情形，每个错误ｅ ≠ ０加在ｃ上，得到与ｃ不同的向量ｃ＋ｅ，在量子情形，对于一个量子错误ｅ ≠ Ｉ，作用在某个量子状态｜ｖ枛上，ｅ｜ｖ枛不必与｜ｖ枛完全可区分（即不必枙ｖ｜ｅ｜ｖ枛＝０），甚至于ｅ｜ｖ枛和｜ｖ枛本质上相等（即｜ｖ枛是线性算子ｅ的特征向量），所以线性子空间ｅＱ与Ｑ不必正交，甚至可能彼此重合。定义４．１．９ｄ－１，如果２设Ｑ是码长为ｎ，最小距离为ｄ的量子码，ｌ＝ｎＣ的诸线性子空间｛ｅＱ｜ｅ ∈ Ｅｎ，ｗＱ（ｅ） ≤ ｌ｝彼此正交（对于厄米特内积），称Ｑ为纯的（ｐｕｒｅ）量子码。２ｄ－１，２引理４．１．１０（量子Ｈａｍｍｉｎｇ界）对于纯的量子码（（ｎ，Ｋ，ｄ）），ｌ＝我们有２ ≥ Ｋ· ｎｌ ∑３ｉ＝０ｉｎｉ（５）证明２＝ｄｉｍＣｎ２ｎ ≥ ∑ ｅ ∈ Ｅｎ（ｌ）ｄｉｍ（ｅＱ）＝ｄｉｍＱ · ｜Ｅｎ（ｌ）｜＝Ｋ · ｌ ∑３ｉ＝０ｉｎｉ量子码叫作是完全的（ｐｅｒｆｅｃｔ），是指式（５）中的等式成立，我们在４．２节要１构作纯量子码［［５，１，３］］，这是完全码（２５＝２１ · 出量子Ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ界：ｎ ≥ ｋ＋２ｄ－２。 ∑３ｉ＝０ｉ５），我们在４．３节要给ｉ２２ｍ－１，ｋ＝３ｎ－２ｍ。（注记：我们在４．３节要证明，对每个ｍ ≥ １，参数为［［ｎ，ｋ，ｄ］］＝２ｍ２ｍ２－１２－１，－２ｍ，３的完全量子码都是存在的（量子Ｈａｍｍｉｎｇ码））。３３习题１若［［ｎ，ｋ，３］］是完全量子码，则存在正整数ｍ，使得ｎ＝第４章量子纠错码４畅２Ｓｔａｂｉｌｉｚｅｒ量子码本节介绍Ｃａｌｄｅｒｂａｎｋ，Ｒａｎｉｓ，Ｓｈｏｒ和Ｓｌｏａｎｅ等人于１９９８年给出的一种构作量子码的系统数学方法。这种方法的思想为：首先选取错误算子群Ｅｎ的一个交换子群Ｇ，根据引理４畅１畅５，这种子群来源于Ｆ２中的一个辛自正交码Ｃ（Ｃ彻２ｎｎＣＳ），由于Ｇ是交换群，Ｇ在Ｃ上的作用把整个空间分解成Ｇ的一些公共本征 ⊥ ２子空间的直和：Ｃ２ｎ＝ χ 碄∈ Ｇ＾Ｑ（χ），其中Ｇ＾是Ｇ的特征群，可以证明所有子空间Ｑ（χ）的维数相同，于是每个Ｑ（χ）作为量子码，码长均为ｎ，并且若｜Ｇ｜＝｜＾Ｇ｜＝２，则Ｋ＝ｄｉｍＱ（χ）＝２／｜＾Ｇ｜＝ｔ２ｎ－ｔｎ，即ｋ＝ｎ－ｔ。最后，可以由经典线性码Ｃ的特性来决定量子码Ｑ（χ）（χ ∈ Ｇ＾）的最小距离。我们首先需要有限交换群表示论的一些知识，设Ｇ是有限交换群，它作用在一个有限维复向量空间Ｖ之上。对每个ｇ ∈ Ｇ，ｇ是Ｖ上的Ｃ唱线性算子，并且对ｇ，ｇ′ ∈ Ｇ，（ｇｇ′）（ｖ）＝ｇ（ｇ′ｖ），ｇｇ（ｖ）＝１（ｖ）＝ｖ，（ｖ ∈ Ｖ），－１其中群Ｇ的幺元素１在Ｖ上的作用为恒等算子。令Ｇ＾是Ｇ的特征群（＾Ｇ和Ｇ是同构的群），对每个特征 χ ∈ Ｇ＾，定义Ｖ上的线性算子ｅχ ＝１｜Ｇ｜ ∑ 珔χ （ｇ）ｇ。ｇ∈ Ｇ根据下面引理所述的性质，称｛ｅχ ：χ ∈ Ｇ＾｝为本原幂等算子的正交系。引理４畅２畅１（２）１＝ ∑ ＾ χ∈ Ｇ（１）ｅχ ＝ｅχ ，而当 χ ≠ χ′时，ｅχ ｅ χ′ ＝０；２ｅχ ；（３）对每个ｇ ∈ Ｇ，ｇｅχ ＝ χ（ｇ）ｅχ 证明（χ（ｇ） ∈ Ｃ）。（１）由特征的正交关系和 χ ＝ χ －１可知ｅχ ｅ χ′ ＝＝１２｜Ｇ｜ ∑ ｇ∈ Ｇ χ（ｇ）ｇ ∑ ｈ∈ Ｇ χ′（ｈ）ｈ（令ｇｈ＝ａ）１－１ χ（ｇ） χ′（ｇａ）ａ｜Ｇ｜２ａ，ｇ∑∈ Ｇ８９９０纠错码的代数理论（２） ∑ ＾ χ∈ Ｇ１２｜Ｇ｜＝０，１｜Ｇ｜１｜Ｇ｜ｅχ ＝（３）ｇｅ χ ＝＝ ∑ ｈ∈ Ｇ引理４．２．２Ｇ＾，令 ∑ ａ∈ Ｇ ∑ ∑ ｇ∈ Ｇ若 χχ′ ≠ １（即 χ ≠ χ′）， ∑ ａ∈ Ｇ＾ｇ∈ Ｇ χ∈ Ｇ χ（ｈ）ｇｈ＝ χ′（ａ）ａ ∑ （χχ′）（ｇ） χ（ａ）ａ＝ｅχ ，若 χ ＝ χ′ 。１｜Ｇ｜ χ（ｇ）ｇ＝ ∑ ａ∈ Ｇ ∑ｇ∑ ｇ∈ Ｇ χ（ｇ）＝１。＾ χ∈ Ｇ－１ χ（ａｇ）ａ＝ χ（ｇ） ∑ χ（ａ）ａ＝ χ（ｇ）ｅχ 。ａ∈ Ｇ设有限交换群Ｇ作用于有限维复向量空间Ｖ上，对每个 χ ∈ Ｖ（χ）＝ｅχ Ｖ＝｛ｅχ （ｖ）｜ｖ ∈ Ｖ｝。（１）对ｖ ∈ Ｖ（χ），ｇ ∈ Ｇ，则ｇ（ｖ）＝ χ（ｇ）ｖ，从而Ｖ（χ）是所有ｇ ∈ Ｇ的公共本征子空间，且ｇ在Ｖ（χ）上的本征值为 χ（ｇ）；（２）我们有直和分解Ｖ＝碄＾Ｖ（χ）。（６） χ∈ Ｇ并且若每个ｇ ∈ Ｇ均是Ｖ上的厄米特线性算子，则当 χ ≠ χ′时，Ｖ（χ）和Ｖ（χ′）对于厄米特内积是正交的。（１）对于ｖ ∈ Ｖ（χ），则ｖ＝ｅχ （ｗ）（对某个ｗ ∈ Ｖ），从而对每个ｇ ∈ Ｇ，ｇ（ｖ）＝ｇｅ χ （ｗ）＝ χ（ｇ）ｅχ （ｗ）＝ χ（ｇ）ｖ。（２）ｖ＝ ∑ ｅ χ ｖ＝ ∑ ｅ χ （ｖ）＝ ∑ ｖ χ ，其中ｖ χ ＝ｅχ （ｖ） ∈ Ｖ（χ），我们再证明 χ∈ Ｇ＾ χ∈ Ｇ＾ χ∈ Ｇ＾证这个分解的惟一性，如果又有ｖ＝ｗχ ∈ Ｖ）。于是，由特征的正交关系可知ｖ χ ＝ｅχ （ｖ）＝ｅχ ＝ ∑ χ′ ∈ Ｇ＾ ∑ ｕχ ，ｕχ ∈ Ｖ（ χ），则ｕχ ＝ｅχ （ｗχ ）（对某个 χ∈ Ｇ＾ ∑ χ′ ∈ Ｇ＾ｕχ′ ＝ｅχ ∑ ｅ χ′ （ｗχ′ ） χ′ ｅ χ ｅ χ′ （ｗχ′ ）＝ｅχ （ｗχ ）＝ｕχ 。这就证明了直和分解式（６），如果每个ｇ均是厄米特线性算子，则当 χ ≠ χ′时，存在ｇ ∈ Ｇ使得 χ（ｇ） ≠ χ′（ｇ），由于Ｖ（ｘ）和Ｖ（ｘ′）是厄米特线性算子的本征子空间，其本征值 χ（ｇ）和 χ′（ｇ）不同，熟知Ｖ（χ）和Ｖ（χ′）对于厄米特内积是正交的，这就证明了引理４．２．２。第４章量子纠错码现在我们取Ｇ为Ｅｎ的一个交换子群，｜Ｇ｜＝２，从而Ｇ同构于加法群Ｆ２，则ｋｎＧ在Ｃ上的作用给出直和分解２ｋＣ２ｎ＝ χ 碄Ｑ（χ），（７） ∈Ｇ＾其中Ｑ（χ）是Ｇ的 χ唱本征子空间ｎｎ２２Ｑ（χ）＝ｅχ Ｃ＝｛ｖ ∈ Ｃ｜ｇｖ＝ χ（ｇ）ｖ，对每个ｇ ∈ Ｇ｝。ｎ如果Ｇ中每个元素ｇ均是Ｃ上的厄米特线性算子，则式（７）是正交分解。有了这些准备，我们可证明构作量子码的第一个重要结果。２定理４．２．３（１９９８，Ｃａｌｄｅｒｂａｎｋ唱Ｒａｉｎｓ唱Ｓｈｏｒ唱Ｓｌｏａｎｅ）设Ｃ是Ｆ２中一个辛自正交线性子空间（线性码），则存在量子码［［ｎ，ｎ－ｋ，ｄ］］，其中ｋ＝ｄｉｍＦ２Ｃ，而２ｎｄ＝ｗＱ（Ｃｓ＼Ｃ）＝ｍｉｎ｛ｗＱ（ｃ）｜ｃ ∈ Ｃｓ＼Ｃ｝。 ⊥ ⊥ 由Ｃ的自正交性可知，Ｃ彻Ｃｓ并且ｋ ≤ ２ｎ－ｋ，从而ｋ ≤ ｎ。取Ｃ的一 ⊥ 证明组Ｆ２唱基｛（ａｊ｜ｂｊ）｜ａｊ，ｂｊ ∈ Ｆ２，１ ≤ ｊ ≤ ｋ｝，（ａｊ｜ｂｊ）可等同于Ｅｎ中元素，它在Ｅｎ中ｎ的原象为ｉＸ（ａｊ）Ｚ（ｂｊ），我们总可取 λ ∈ ｛０，１，２，３｝，使ｅｊ＝ｉＸ（ａｊ）Ｚ（ｂｊ）是厄米ｋ特算子。于是｛ｅｊ｜１ ≤ ｊ ≤ ｋ｝生成Ｅｎ的一个２阶交换子群Ｇ（由于Ｃ是辛自正交的，利用引理４．１．５），并且Ｇ中每个元素ｇ均是厄米特算子。从而有分解式（７），并且当 χ ≠ χ′时，Ｑ（χ）和Ｑ（χ′）正交。ｎ－ｋ我们现在证明对每个 χ ∈ Ｇ＾，均有ｄｉｍＱ（χ）＝２。为此要考虑Ｅｎ在子空间集合｛Ｑ（χ）｜χ ∈ Ｇ＾｝上的作用。对每个｜ｖ枛 ∈ Ｑ（χ），ｇ ∈ Ｇ，则ｇ｜ｖ枛＝ χ（ｇ）｜ｖ枛（χ（ｇ） ∈ Ｃ）。所以对每个ｅ ∈ Ｅｎ，（珔ｇ，珋ｅ）ｇ（ｅ｜ｖ枛）＝ｇｅ｜ｖ枛＝（－１）ｓｅｇ｜ｖ枛（引理４．１．４（２）） λ λ ＝（－１）（珔ｇ，珋ｅ）ｓ χ（ｇ）ｅ｜ｖ枛（对每个ｇ ∈ Ｇ），易知 χ珋ｅ：Ｇ → ｛ ± １｝， χ珋ｅ（ｇ）＝（－１）（珔ｇ，珋ｅ）ｓ是Ｇ的一个特征。所以对每个ｇ ∈ Ｇ，ｇ（ｅ｜ｖ枛）＝ χ珋ｅ（ｇ）χ（ｇ）ｅ｜ｖ枛＝ χ′（ｇ）ｅ｜ｖ枛（χ′ ＝ χ珋ｅ · χ ∈ Ｇ＾）。这表明ｅ｜ｖ枛 ∈ Ｑ（χ′）。于是群元素ｅ把Ｑ（χ）映成Ｑ（χ′）。这表明ｄｉｍＱ（χ）＝ｄｉｍＱ（χ′）。当ｅ过Ｅｎ中所有元素时，χ珋ｅ从而 χ′ ＝ χ珋ｅ χ 也过Ｇ的所有特征。这表明所有子空间Ｑ（χ）（χ ∈ Ｇ＾）的维数相同，于是维数为２ｎ／｜＾Ｇ｜＝２ｎ／２ｋ＝２ｎ－ｋ。 ⊥ 将每个子空间Ｑ（χ）看成是量子码，我们来证其最小距离为ｄ ≥ ｗＱ（Ｃｓ＼Ｃ）。也即要证明：若ｅ ∈ Ｅｎ（ｄ－１），ｖ１，ｖ２ ∈ Ｑ（χ），枙ｖ１｜ｖ２枛＝０，则枙ｖ１｜ｅ｜ｖ２枛＝０。９１９２纠错码的代数理论（１）如果珋ｅ ∈ Ｇ珚＝Ｃ，则ｅ｜ｖ２枛＝ χ（珋ｅ）｜ｖ２枛，于是枙ｖ１｜ｅ｜ｖ２枛＝ χ（珋ｅ）枙ｖ１｜ｖ２枛＝０。（２）如果珋ｅ臭Ｃ。由ｄ的定义知（Ｃｓ＼Ｃ） ∩ Ｅｎ（ｄ－１）＝碬。再由ｗＱ（珋ｅ） ≤ ⊥ ｄ－１可知珋ｅ臭Ｃｓ。这意味着存在ｅ′ ∈ Ｇ珚＝Ｃ，使得ｅｅ′ ＝－ｅ′ｅ。从而对ｖ２ ∈ Ｑ（χ）， ⊥ ｅ′ｅ｜ｖ２枛＝－ｅｅ′ ｜ｖ２枛＝－ χ（ｅ′）ｅ｜ｖ２枛，－ χ（ｅ′） ≠ χ（ｅ′）。这表明ｅ｜ｖ２枛 ∈ Ｑ（χ′），其中 χ′ ≠ χ 。但是｜ｖ１枛 ∈ Ｑ（χ），ｅ｜ｖ２枛 ∈ Ｑ（χ′），而Ｑ（χ）和Ｑ（χ′）是正交的。所以｜ｖ１枛和ｅ｜ｖ２枛的内积为零，即枙ｖ１｜ｅ｜ｖ２枛＝０。这就完成了定理４．２．３的证明。今后把用定理４．２．３构作的量子码叫作ｓｔａｂｉｌｉｚｅｒ量子码。容易看出，若Ｃ ∩ Ｅｎ（ｄ－１）＝（０），则如此构作的量子码Ｑ（χ）均是纯的（定义４．１．９）。例３１０考虑Ｆ２中生成阵为１０００Ｍ＝１１０００１１０００１１０００１０１０１００１０１００１０１００ａ１｜ｂ１ｖ１１０＝１０ｖ２ｖ３ｖ４＝ａ２｜ｂ２ａ３｜ｂ３ａ４｜ｂ４的线性码Ｃ。容易验证码Ｃ的基向量ｖ１，ｖ２，ｖ３，ｖ４彼此是辛正交的（注意：每个向量ｖ＝（ａ｜ｂ）与自身都是辛正交的：（ｖ，ｖ）ｓ＝ａ · ｂ＋ａ · ｂ＝０ ∈ Ｆ２）。所以Ｃ中任意两个码字都是辛正交的，即Ｃ是辛自正交码，参数［２ｎ，ｋ］＝［１０，４］，（ｎ＝ ⊥ ⊥ ⊥ ５）。由于Ｃ彻Ｃｓ，ｄｉｍＣｓ＝１０－４＝６，从而Ｃｓ的基是ｖ１，ｖ２，ｖ３，ｖ４再加上两个向量ｖ５和ｖ６。易知可取ｖ５和ｖ６为（０００００｜１１１１１）和（１１１１１｜０００００）（只需验证它们和ｖ１，ｖ２，ｖ３，ｖ４线性无关，并且和ｖ１，ｖ２，ｖ３，ｖ４均辛正交即可）。不难看出Ｃ中非零向量的量子权最小值为４，而Ｃｓ中非零向量的量子权的最小值是３（例如 ⊥ （１１０００｜００１０１）＋（１１１１１｜０００００）＝（００１１１｜００１０１） ∈ Ｃｓ，而ｗＱ（００１１１｜００１０１）＝ ⊥ ３），于是ｗＱ（Ｃｓ＼Ｃ）＝３。所以用Ｃ构作出的量子码Ｑ（χ）（对每个 χ ∈ Ｇ＾，Ｇ＝Ｃ）均是纯的，其参数为［［５，１，３］］，（ｎ－ｋ＝５－４＝１），这是１９９６年发现的第一个完３２全的量子码。它们均是Ｃ中的二维子空间，可以纠正５个量子位中任何一位的任何Ｐａｕｌｉ型量子错误 σｘ，σｙ或者 σ ｚ。现在我们对于平凡特征 χ０（即 χ０的取值恒为１），明显写出量子码Ｑ＝Ｑ（χ０）。 ⊥ 对于由生成阵Ｍ给出的Ｃ的基ｖｊ＝（ａｊ｜ｂｊ）（１ ≤ ｊ ≤ ４），可提升成Ｅｎ中元素ｇｊ＝Ｘ（ａｊ）Ｚ（ｂｊ）（１ ≤ ｊ ≤ ４）。可验证它们均是厄米特算子。于是由ｇｊ（１ ≤ ｊ ≤ ４）生成Ｅｎ的一个２阶交换子群４第４章量子纠错码Ｇ＝枙ｇ１，ｇ２，ｇ３，ｇ４枛＝｛１，ｇ１，ｇ２，ｇ３，ｇ４，ｇ１ｇ２，… ，ｇ３ｇ４，… ，ｇ１ｇ２ｇ３ｇ４｝，其中ｇ１＝Ｘ（１１０００）Ｚ（００１０１）＝ σｘ碅 σｘ碅 σｚ碅Ｉ碅 σｚ，ｇ２＝Ｘ（０１１００）Ｚ（１００１０）＝ σｚ碅 σｘ碅 σｘ碅 σｚ碅Ｉ， … １３２由于ｄｉｍＱ＝２＝２，我们需要求出Ｑ在Ｃ中的两个基向量，由于３２Ｑ＝Ｑ（ χ０）＝｛ｖ ∈ Ｃ｜ｇ（ｖ）＝ χ０（ｇ）ｖ＝ｖ，对每个ｇ ∈ Ｇ｝，３２３２即Ｑ是由Ｃ中被所有Ｇ的元素固定的向量组成的子空间，对每个｜ｖ枛 ∈ Ｃ，考虑｜ｖ枛＝～易知它属于Ｑ，因为对每个ｇ ∈ Ｇ，ｇ｜ｖ枛＝ｇ ∑ ｈ｜ｖ枛＝～ｈ∈ Ｇ ∑ ｈ∈ Ｇ ∑ ｈ∈ Ｇｈ｜ｖ枛（ｇｈ）｜ｖ枛＝ ∑ ｓ∈ Ｇｓ｜ｖ枛＝｜ｖ枛。～取｜ｖ０枛＝｜０００００枛，则利用引理４．１．４（１）可算出｜ｖ０枛＝～ ∑ ｈ∈ Ｇｈ｜０００００枛＝｜０００００枛＋＋ ∑ １ ≤ ｉ＜ｊ＜ｋ≤ ４４ ∑ ｊ＝１ｇｊ｜０００００枛＋ ∑ １ ≤ ｉ＜ｊ ≤ ４ｇｉｇｊ｜０００００枛ｇｉｇｊｇｋ｜０００００枛＋ｇ１ｇ２ｇ３ｇ４｜０００００枛＝｜０００００枛＋（｜１１０００枛＋｜０１１００枛＋｜００１１０枛＋｜０００１１枛＋｜１０００１枛）－（｜１０１００枛＋｜０１０１０枛＋｜００１０１枛＋｜１００１０枛＋｜０１００１枛）＋（｜１１１１０枛＋｜０１１１１枛＋｜１０１１１枛＋｜１１０１１枛＋｜１１１０１枛）。例如ｇ１ｇ２｜０００００枛＝Ｘ（１１０００）Ｚ（００１０１）Ｘ（０１１００）Ｚ（１００１０）｜０００００枛＝Ｘ（１１０００）Ｚ（００１０１）Ｘ（０１１００）｜０００００枛＝Ｘ（１１０００）Ｚ（００１０１）｜０１１００枛＝－Ｘ（１１０００）｜０１１００枛＝－｜１０１００枛。再取｜ｖ１枛＝｜１１１１１枛，可算出｜ｖ１枛＝～ ∑ ｈ∈ Ｇｈ｜１１１１１枛＝｜１１１１１枛＋（｜００１１１枛＋｜１００１１枛＋｜１１００１枛＋｜１１１００枛＋｜０１１１０枛）－（｜０１０１１枛＋｜１０１０１枛＋｜１１０１０枛＋｜０１１０１枛＋｜１０１１０枛）＋（｜００００１枛＋｜１００００枛＋｜０１０００枛＋｜００１００枛＋｜０００１０枛）。｜ｖ０枛和｜ｖ１枛是线性无关的，从而它们形成量子码Ｑ的一组基。～～９３９４纠错码的代数理论４畅３由经典码构作量子码定理４．２．３给出了量子码与经典的二元线性码之间的联系，它需要的经典码Ｃ是辛自正交的，而量子码的最小距离用Ｃｓ＼Ｃ中元素的量子权来刻画。现 ⊥ 在给出定理４．２．３的一些推论，使用起来更为方便。定理４．３．１（ＣＲＳＳ，１９９８）如果存在二元线性码Ｃ，参数为［ｎ，ｋ，ｄ］，并且Ｃ澈Ｃ，其中Ｃ是Ｃ对于Ｆ中通常内积的对偶，则存在量子码［［ｎ，２ｋ－ｎ，ｄ］］。 ⊥ ｎ２ ⊥ 证明由ｄｉｍＣ＝ｋ，ｄｉｍＣ＝ｎ－ｋ和Ｃ澈Ｃ可知２ｋ ≥ ｎ，考虑Ｆ２中的线 ⊥ 性码２ｎ ⊥ Ｇ珚＝Ｃ磑Ｃ＝｛（ｖ１｜ｖ２） ∈ Ｆ２｜ｖ１，ｖ２ ∈ Ｃ｝， ⊥ ２ｎ ⊥ ⊥ 则ｄｉｍＦ２Ｇ珚＝２（ｎ－ｋ），容易看出Ｇ珚ｓ＝｛（ｖ１，ｖ２） ∈ Ｆ２｜ｖ１，ｖ２ ∈ Ｃ｝＝Ｃ磑Ｃ澈Ｇ珚，ｄｉｍＧ珚ｓ＝２ｎ－２（ｎ－ｋ）＝２ｋ。２ｎ ⊥ ⊥ 于是由定理４．２．３便知存在量子码［［ｎ，ｋ′ ，ｄ′］］，其中ｋ′ ＝２ｋ－ｎ，而ｄ′ ≥ 珚ｓ＼珚Ｇ｝＝ｍｉｎ｛ｗＨ（ｃ）｜ｃ ∈ Ｃ＼Ｃ｝＝ｄ。ｍｉｎ｛ｗＱ（ｖ）｜ｖ ∈ Ｇ ⊥ 例４ ⊥ 考虑二元Ｈａｍｍｉｎｇ码的对偶码［７，４，４］，其生成阵为１１１０１００Ｍ＝０１１１０１０。００１１１０１它的扩充码Ｃ有生成阵０Ｍ′ ＝Ｍ０，０１１１１１１１１这是参数为［８，４，４］的自对偶二元线性码（Ｃ＝Ｃ）。于是由定理４．３．１给出量 ⊥ 子码Ｑ，其参数为［［８，０，４］］。由于ｄｉｍＣＱ＝２＝１，所以这个码本质上是Ｃ０Ｃ２５６２８＝中的一个向量作为码字，它可纠正８个量子位中任一位发生的量子错误 σｘ， σｙ或 σ ｚ。如果我们稍加修改，而考虑Ｆ２中的线性码Ｇ珚，其生成阵为１６第４章量子纠错码０１１１０１００００１１１０１０００１１１０１００００１１１０１０００１１１０１０１００１１１０。１１１１１１１１００００００００００００００００１１１１１１１１ ⊥ ⊥ ⊥ 珚＝５，Ｇ珚彻Ｇ珚ｓ，ｗＱ（珚Ｇｓ＼珚Ｇ）＝ｗＱ（珚Ｇｓ）＝３。由定理４．２．３给这时ｎ＝８，ｋ＝ｄｉｍＦ２Ｇ出量子码［［８，３，３］］，并且是纯的量子码。这是一个好的量子码，因为由量子Ｈａｍｍｉｎｇ界可知不存在量子码［［７，３，３］］。定理４．３．２如果存在二元线性码Ｃ１＝［ｎ，ｋ１，ｄ１］和Ｃ２＝［ｎ，ｋ２，ｄ２］，并且Ｃ彻Ｃ２（从而ｎ ≤ ｋ１＋ｋ２），则存在量子码［［ｎ，ｋ１＋ｋ２－ｎ，ｍｉｎ｛ｄ１，ｄ２｝］］。 ⊥ １证明设Ｇｉ和Ｈｉ是线性码Ｃｉ的生成阵和校验阵（ｉ＝１，２），考虑以ｎｎＨ１０ｎ－ｋ１０Ｈ２ｎ－ｋ２为生成阵的Ｆ中线性码Ｃ。由Ｃ彻Ｃ２可知Ｈ１Ｈ２＝０。而Ｃｓ有校验阵Ｈ２０Ｇ２０ ⊥ ⊥ 和生成阵。由此即知，Ｃ彻Ｃｓ，并且ｗＱ（Ｃｓ＼Ｃ） ≥ ｍｉｎ｛ｄ１，ｄ２｝。０Ｈ１０Ｇ１由定理４．２．３给出量子码［［ｎ，ｋ′ ，ｄ′］］，其中ｋ′ ＝ｎ－ｄｉｍＣ＝ｎ－（ｎ－ｋ１＋ｎ－ｋ２）＝ｋ１＋ｋ２－ｎ，ｄ′ ≥ ｍｉｎ｛ｄ１，ｄ２｝。２ｎ２ ⊥ １Ｔ ⊥ 利用更多的组合与矩阵技巧，Ｓｔｅａｎｅ（１９９９）得到定理４．３．２的改进结果，从而可得到参数更好的量子码。基于定理４畅３畅２和Ｓｔｅａｎｅ的改进结果，近三年来，人们用各种经典二元线性码（ＲＭ码、ＢＣＨ码、ＲＳ码、代数几何码）构作出许多好的量子码，使Ｃａｌｄｅｒｂａｎｋ等人于１９９８年给出的量子码参数表不断加以改进。上述定理给出由二元线性码构作量子码的方法。现在我们介绍量子码和四元线性码的联系，四元域可表示成２２Ｆ４＝｛０，１，ω ，珔ω ＝ ω ｝，ω ＋ ω ＋１＝０。考虑映射２ｎｎ Φ ：Ｅ珚ｎ＝Ｆ２ → Ｆ４，２ｎ对于ｖ＝（ａ｜ｂ）＝（ａ０，… ，ａｎ－１｜ｂ０，… ，ｂｎ－１） ∈ Ｆ２，定义 Φ（ｖ）＝ ω ａ＋珔ωｂ＝（ω ａ０＋珔ω ｂ０，… ，ω ａｎ－１＋珔ω ｂｎ－１） ∈ Ｆ４。由于｛ ω ，珔ω｝是Ｆ４的一组Ｆ２唱基，可知 Φ 是Ｆ２唱向量空间的同构。下列引理表明同ｎ９５９６纠错码的代数理论构 Φ 有很好的性质。引理４．３．３（１）（保持权）对ｖ ∈ Ｆ２＝Ｅｎ，ｗＱ（ｖ）＝ｗＨ（ Φ（ｖ））。ｎ（２）（保持内积）对于 α ＝（α０，… ，αｎ－１｝，β ＝（β０，… ，βｎ－１） ∈ Ｆ４，定义“迹唱厄米特”（ｔｒａｃｅ唱Ｈｅｒｍｉｔｉａｎ）内积为２ｎｎ－１（α ，β）ｔｈ＝Ｔｒｎ－１ αｉ珋β ｉ＝Ｔｒ ∑ ｉ＝０ ∑ （ｖ，ｖ ′）ｓ＝（ Φ（ｖ），Φ（ｖ ′））ｔｈ。ｉ＝０ｎ－１２ αｉ βｉ＝（αｉ βｉ＋ αｉ βｉ），则对ｖ，ｖ ′ ∈ Ｆ２，２ ∑ ｉ＝０２ｎ２证明（１）设ｖ＝（ａ｜ｂ），ａ＝（ａ０，… ，ａｎ－１），ｂ＝（ｂ０，… ，ｂｎ－１） ∈ Ｆ２。则 Φ（ｖ）＝（ωａ０＋珔ωｂ０，… ，ωａｎ－１＋珔ω ｂｎ－１）。由于｛ ω ，珔ω｝为Ｆ４的一组Ｆ２唱基，从而ｗＱ（ａｊ｜ｂｊ）＝０骋（ａｊ，ｂｊ）＝（０，０）骋 ωａｊ＋珔ωｂｊ＝０骋ｗＨ（ωａｊ＋珔ω ｂｊ）＝０。这表明ｗＱ（ｖ）＝ｗＨ（ Φ（ｖ））。（２）又设ｖ ′ ＝（ａ′｜ｂ′），ａ′ ＝（ａ′０，… ，ａ′ｎ－１），ｂ′ ＝（ｂ′０，… ，ｂ′ｎ－１）。则ｎｎ－１（ Φ（ｖ），Φ（ｖ ′））ｔｈ＝Ｔｒｎ－１＝ ∑ ｉ＝０ ∑ ｉ＝０（ω ａｉ＋ ω ｂｉ）（ω ａ′ｉ＋ ωｂ′ｉ）２２Ｔｒ（ａｉａ′ｉ＋ ω ａｉｂ′ｉ＋ ω ａ′ｉｂｉ＋ｂｉｂ′ｉ）（由于Ｔｒ（１）＝０）２ｎ－１＝（ ∑ ａｉｂ′ｉ）Ｔｒ（ω ）＋２ｉ＝０ｎ－１ ∑ ｉ＝０ａ′ｉｂｉＴｒ（ω）（由于Ｔｒ（ω）＝Ｔｒ（珔ω）＝ ω ＋珔ω ＝１）ｎ－１＝ ∑ ｉ＝０（ａｉｂ′ｉ＋ａ′ｉｂｉ）＝（ｖ，ｖ ′）ｓ。由引理４．３．３我们知道２ｎｎＣ为Ｆ２的线性码骋 Φ（Ｃ）为Ｆ４的加性码（加法子群）。Ｃ彻Ｃｓ骋 Φ（Ｃ）彻 Φ（Ｃ）ｔｈ，并且ｍｉｎ｛ｗＱ（ｃ）｜０ ≠ ｃ ∈ Ｃ｝＝ｍｉｎ｛ｗＨ（ｃ）｜０ ≠ ｃ ∈ Φ （Ｃ）｝。｜ Φ （Ｃ）｜＝｜Ｃ｜＝ｄｉｍ２Ｆ２Ｃ根据这些事实，定理４．２．３可以翻译成如下的结果。 ⊥ 定理４．３．４ ⊥ 设存在Ｆ４ｎ的加性码（加法子群）Ｃ，Ｃ彻Ｃｔｈ，｜Ｃ｜＝２ｎ－ｋ，则存在 ⊥ 量子码［［ｎ，ｋ，ｄ］］，其中ｄ＝ｗＨ（Ｃｔｈ＼Ｃ）＝ｍｉｎ｛ｗＨ（ｃ）｜ｃ ∈ Ｃｔｈ＼Ｃ｝。 ⊥ ⊥ 下面引理表明，如果定理４．３．４中的Ｃ是Ｆ４中的Ｆ４唱线性码（不仅是加法子群），则定理中关于Ｃ的“迹唱厄米特自正交”条件等价于“厄米特自正交”条件。ｎ第４章引理４．３．５量子纠错码设Ｃ是Ｆ４中的四元线性码，则Ｃ彻Ｃｔｈ骋Ｃ彻Ｃｈ。ｎ ⊥ ⊥ 其中，对ｕ＝（ｕ０，… ，ｕｎ－１），ｖ＝（ｖ０，… ，ｖｎ－１） ∈ Ｆ４，ｎ（ｕ，ｖ）ｈ＝ｎ－１ｕｉｖｉ ∈ Ｆ４，２ ∑ ｉ＝０Ｃｈ＝｛ｖ ∈ Ｆ４｜（ｖ，ｃ）ｈ＝０，对所有ｃ ∈ Ｃ｝。ｎ ⊥ 证明迟：显然，因为（ｕ，ｖ）ｈ＝０推出（ｕ，ｖ）ｔｈ＝０。痴：如果Ｃ彻Ｃｔｈ，即对任何ｃ，ｃ′ ∈ Ｃ，均有（ｃ，ｃ′）ｔｈ＝０。记（ｃ，ｃ′）ｈ＝ａ＋ｂω（ａ，ｂ ∈ Ｆ２，注意１，ω 为Ｆ４的一组Ｆ２唱基）。则０＝（ｃ，ｃ′）ｔｈ＝Ｔｒ（ａ＋ｂω）＝ｂ。因此（ｃ，ｃ′）ｈ＝ａ。但是Ｃ为四元线性码，ωｃ′ ∈ Ｃ。 ⊥ 因此又有０＝（ｃ，ωｃ′）ｔｈ＝Ｔｒ（ｃ，ωｃ′）ｈ＝Ｔｒ（ω２（ａ＋ｂω））＝Ｔｒ（ａω２＋ｂ）＝ａ，因此（ｃ，ｃ′）ｈ＝ａ＝０。这就表明Ｃ彻Ｃｈ。证毕。 ⊥ Ｆ４的子集合Ｃ叫作偶码，是指Ｃ中每个码字的Ｈａｍｍｉｎｇ权定义４．３．６ｎ均为偶数。引理４．３．７设Ｃ彻Ｆ４。ｎ（１）若Ｃ为偶加性码，则Ｃ彻Ｃｔｈ。 ⊥ （２）若Ｃ彻Ｃｔｈ，并且Ｃ是Ｆ４唱线性码，则Ｃ为偶码。 ⊥ 证明（１）设ｕ＝（ｕ０，… ，ｕｎ－１），ｖ＝（ｖ０，… ，ｖｎ－１），ｕｉ，ｖｉ ∈ Ｆ４，ｕｉ＝ａ＋ｂω ，ｖｉ＝ｃ＋ｄω ，ａ，ｂ，ｃ，ｄ ∈ Ｆ２，则Ｔｒ（ｕｉｖｉ）＝Ｔｒ（（ａ＋ｂω）（ｃ＋ｄω２））＝ａｄ＋ｂｃ ∈ Ｆ２。－进而，由于ｗＨ（ｕｉ）＝０骋ａ＝ｂ＝０。所以ｗＨ（ｕｉ） ≡ ａ＋ｂ＋ａｂ（ｍｏｄ２）。同样地，ｗＨ（ｖｉ） ≡ ｃ＋ｄ＋ｃｄ（ｍｏｄ２）。ｗＨ（ｕｉ＋ｖｉ） ≡ （ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ）＋ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ（ｍｏｄ２）。因此ｗＨ（ｕｉ＋ｖｉ）＋ｗＨ（ｕｉ）＋ｗＨ（ｖｉ） ≡ ａｄ＋ｂｃ＝Ｔｒ（ｕｉｖｉ） ∈ Ｆ２。这表明ｗＨ（ｕ＋ｖ）＋ｗＨ（ｕ）＋ｗＨ（ｖ） ≡ （ｕ，ｖ）ｔｈ（ｍｏｄ２）。由此即可证（１）。（２）设ｕ＝（ｕ０，… ，ｕｎ－１） ∈ Ｃ，ｕｉ ∈ Ｆ４。由假设 ωｕ ∈ Ｃ，从而－ｎ－１０＝（ｕ，ωｕ）ｔｈ＝Ｔｒ（ ∑ ｕｉ ω ｕｉ）＝Ｔｒ２ｉ＝０２ｎ－１ ∑ ｉ＝０ ω ｕｉ２３９７９８纠错码的代数理论 ≡ ｗＨ（ｕ） · Ｔｒ（ω ） ≡ ｗＨ（ｕ）２（ｍｏｄ２）。这里用到ｕ＝１（若ｕｉ ≠ ０），于是Ｃ为偶码。３ｉ例５（量子Ｈａｍｍｉｎｇ码）设ｍ ≥ ２，α是Ｆ４ｍ中本原元素（即 α的阶为４－１）。ｍｍ－１由于｛１，α ，… ，α ｃｍ－１ α ｍ－１｝是Ｆ４ｍ的一组Ｆ４唱基，Ｆ４ｍ中元素惟一表成ｃ＝ｃ０＋ｃ１ α ＋ … ＋（ｃｉ ∈ Ｆ４），将ｃ看成向量ｃ＝（ｃ０，… ，ｃｍ－１），从而Ｆ４ｍ等同于向量空间Ｆ４。ｍｍ４－１中的四元线性码Ｃ，它的校验阵为３ＴＴ２Ｔｎ－１ＴＨ＝（１，α ，（α ），… ，（α ）），ｉＴｉｍ这里（α ）表示 α 看作Ｆ４中元素的列向量，Ｃ是Ｆ４上的Ｈａｍｍｉｎｇ码，参数为ｎ考虑Ｆ４ｎ＝ｍｍｍ４－１４－１４－１ｍ－１，并，－ｍ，３。而对偶码Ｃ ⊥ 的参数为，ｍ，４３３３ ⊥ ｍ－１ ⊥ 且Ｃ中非零码字的Ｈａｍｍｉｎｇ权均为４，即Ｃ为偶码，根据引理４．３．５和引 ⊥ ⊥ 理４．３．７，Ｃ对于内积（，）ｔｈ和（，）ｈ都是自正交的，因为Ｃ是四元线性码。于是［ｎ，ｋ，ｄ］＝｜Ｃ｜＝２，Ｃ彻（Ｃ）ｔｈ＝（Ｃ）ｈ，而（Ｃ）ｈ为｛（ｃ０，… ，ｃｎ－１）｜（ｃ０，… ，ｃｎ－１） ∈ Ｃ｝，从而它的最小距离就是Ｃ的最小Ｈａｍｍｉｎｇ距离３，利用定理４．３．４便知对每ｍｍ４－１４－１，－２ｍ，３。由于它们满个ｍ ≥ ２均存在纯的量子码［［ｎ，ｋ，ｄ］］＝３３ｍ２ｍｎ－ｋ足量子Ｈａｍｍｉｎｇ界：１＋３ｎ＝４＝２＝２。所以它们均是完全的量子码。利用定理４．３．４还可进一步由四元码构作好的量子码，见Ｃａｌｄｅｒｂａｎｋ等人１９９８年文章。 ⊥ ２ｍ ⊥ ⊥ ⊥ 例６（量子ＢＣＨ码） ⊥ ⊥ ２２取Ｆ６４中一个本原元素 α（α 的阶为６３），令ｈ１（ｘ），ｈ２（ｘ）和ｈ３（ｘ）分别是 α ，α 和 α 在Ｆ４［ｘ］中的最小多项式，ｈ（ｘ）＝ｈ１（ｘ）ｈ２（ｘ）ｈ３（ｘ）。而２ｘ３－１＝ｈ（ｘ）ｇ（ｘ）。令Ｃ＝（ｇ（ｘ））是以ｇ（ｘ）为生成６３式的四元循环码，码长为６３。由于ｈ（ｘ）的根集合为Ｍ＝｛ α ，α ，α ，α ，α ，α ，３１２４８ α ，α ，α ｝，可知ｄｅｇｈ（ｘ）＝９。于是Ｃ的参数为［ｎ，ｋ，ｄ］＝［６３，９，ｄ］，｜Ｃ｜＝９１８ ⊥ （－１）－ｊｊ ⊥ ４＝２。Ｃ的根集合为Ｍ＝｛α ｜α ∈ Ｍ｝。Ｃ是设计距离为５的ＢＣＨ码， ⊥ 于是ｄ（Ｃ） ≥ ５。而循环码 ⊥ ４｜（ｃ０，… ，Ｃｈ＝｛（ｃ２０，… ，ｃ２６２） ∈ Ｆ６３ｃ６２） ∈ Ｃ ⊥ ｝４的根集合为Ｍ（－２）＝｛α －２ｉ｜α ∈ Ｍ｝。容易看出Ｃｈ的根集合Ｍｉ（即Ｍ对｛１，α ，… ，α ｝的补集）之中，因为Ｍ理４．３．４可知存在纯量子码［［６３，４５，５］］。６２ ⊥ （－２）（－２）１６２８３２在Ｃ的根集合 ∩ Ｍ＝碬。因此Ｃ彻Ｃｈ。由定 ⊥ 第４章量子纠错码４．４量子权多项式和Ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ界本节介绍量子码的权多项式，在形式上，它与经典码的权函数相仿，并且也有ＭａｃＷｉｌｌｉａｍｓ恒等式。但是在内容上反映了不同的物理背景。２ｎ设Ｑ是（（ｎ，Ｋ））量子码，即Ｑ是Ｃ中的Ｋ维复向量子空间。以Ｐ：Ｃ表示正交投影算子，即对于厄米特内积有正交分解Ｃ２ｎ２ｎ →Ｑ＝Ｑ磑Ｑ，而Ｐ把ｖ＝ ⊥ ｖ１＋ｖ２（ｖ１ ∈ Ｑ，ｖ２ ∈ Ｑ）映成ｖ１。如果取Ｑ和Ｑ的基分别为（ｖ１，… ，ｖｋ）， ⊥ ⊥ ｎ（ｖｋ＋１，… ，ｖ２ｎ），则Ｐ对Ｃ２的这组基的表示方阵为ＩＫ０００。因此Ｐ２＝Ｐ，并且Ｐ是厄米特线性算子。定义４．４．１对于每个ｉ（０ ≤ ｉ ≤ ｎ），定义 ⊥ ２Ｂｉ＝１２ ∑ Ｔｒ（ｅＰ），Ｂｉ＝１ ∑ Ｔｒ（ｅＰｅＰ）。Ｋｅ ∈ ＳｉＫｅ ∈ Ｓｉ其中Ｓｉ＝｛ｅ＝ σ０磗 … 磗 σｎ－１｜ σｊ ∈ ｛Ｉ，σｘ，σｙ，σｚ｝（０ ≤ ｊ ≤ ｎ－１），ｗＱ（ｅ）＝ｉ｝。由于Ｓｉ中每个ｅ均是厄米特算子，可知Ｔｒ（ｅＰ）和Ｔｒ（ｅＰｅＰ）均为实数。于是Ｂｉ和Ｂｉ均为实数。 ⊥ 量子码Ｑ的权多项式定义为Ｂ（ｘ，ｙ）＝ＢＱ（ｘ，ｙ）＝ｎ ∑ ｉ＝０Ｂｉｘｎ－ｉｙｉ，Ｂ ⊥ （ｘ，ｙ）＝ＢＱ（ｘ，ｙ）＝ ⊥ ｎ ∑ ｉ＝０Ｂｉｘｎ－ｉｙｉ。 ⊥ 定理４．４．２（量子ＭａｃＷｉｌｌｉａｍｓ恒等式）对于量子码Ｑ＝（（ｎ，Ｋ）），则Ｂ（ｘ，ｙ）＝１ ⊥ ＢＫｘ＋３ｙｘ－ｙ，。２２证明最早的证明（Ｓｈｏｒ和Ｌａｆｌａｍｍｅ，１９９７）混和采用了数学和物理方法。下面的纯数学证明是Ｒａｉｎｓ于１９９８年给出的。２ｎ取Ｃ的一组基｛｜ｊ枛＝｜ｊ０ … ｊｎ－１枛：ｊ＝ｊ０＋ｊ１２＋ … ＋ｊｎ－１２ｎ－１（０ ≤ ｊ ≤ ２ｎ－１）｝。而ｅ和Ｐ对这组基的表示阵为ｅ＝（ｅｉｊ），Ｐ＝（Ｐｉｊ）０ ≤ ｉ，ｊ ≤ ２ｎ－１，则对ｅ＝ σ０磗 … 磗 σｎ－１，我们有ｅ｜ｉ枛＝ ∑ ｊｅｉｊ｜ｊ枛，其中９９１００纠错码的代数理论ｅｉｊ＝（σ０）ｉ０ｊ０ … （σｎ－１）ｉｎ－１ｊｎ－１， σｉ ∈ Ｉ＝１００， σｘ＝１０１１， σｚ＝０１００， σｙ＝－１ｘ ∑ －ｉ００ｉ于是Ｂ（ｘ，ｙ）＝１Ｋ２ｎ ∑ ｔ＝０ｎ－ｔｙｔ ∑ ｗＱ（ｅ）＝ｔｉ，ｊ，ｋ，ｌ＝１２ ∑ ＰｊｉＰｌｋＫｉ，ｊ，ｋ，ｌ＝１２ ∑ ＰｊｉＰｌｋＫｉ，ｊ，ｋ，ｌ ∑ｅｅｎ－１ｉｊｅｋｌｘＰｊｉｅｉｊＰｌｋｅｋｌｎ－ｗＱ（ｅ）ｙｗＱ（ｅ）ｂｉｔｊｔｋｔｌｔ（ｘ，ｙ），朝ｔ＝０其中ｂｉｔｊｔｋｔｌｔ（ｘ，ｙ）＝ｘ（Ｉ２）ｉｔｊｔ（Ｉ２）ｋｔｌｔ＋ｙ（σｘ）ｉｔｊｔ（σｘ）ｋｔｌｔ＋（σｙ）ｉｔｊｔ（σｙ）ｋｔｌｔ＋（σｚ）ｉｔｊｔ（σｚ）ｋｔｌｔ。类似地有Ｂ（ｘ，ｙ）＝ ⊥ １Ｋ ∑ ｉ，ｊ，ｋ，ｌＰｊｉＰｌｋｎ－１朝ｔ＝０ｂｉｔｊｔｋｔｌｔ（ｘ，ｙ）， ⊥ 其中ｂｉｔｊｔｋｔｌｔ（ｘ，ｙ）＝ｘ（Ｉ２）ｉｔｌｔ（Ｉ２）ｋｔｊｔ ⊥ ＋ｙ（σｘ）ｉｔｌｔ（σｘ）ｋｔｊｔ＋（σｙ）ｉｔｌｔ（σｙ）ｋｔｊｔ＋（σｚ）ｉｔｌｔ（σｚ）ｋｔｊｔ。我们只需对所有１６种情形ｉ，ｊ，ｋ，ｌ ∈ ｛０，１｝，证明ｂｉｊｋｌ（ｘ，ｙ）＝ｂｉｊｋｌ（ ⊥ ｘ＋３ｙｘ－ｙ，）。２２例如对（ｉ，ｊ，ｋ，ｌ）＝（０，０，１，１），则ｂ００１１（ｘ，ｙ）＝ｘ（Ｉ２）００（Ｉ２）１１＋ｙ＋１００－１００１００１０－１１０００＋１１０１１００ｉ－ｉ０＝ｘ＋ｙ（０－１＋０）＝ｘ－ｙ，０１０ ⊥ ｂ００１１（ｘ，ｙ）＝ｘ（Ｉ２）０１（Ｉ２）１０＋ｙ１００１１＋１００－１０１１００－１＝ｙ（１＋０＋１）＝２ｙ。＋１００ｉ１０１１０００ｉ－ｉ０１１０１０ｉ－ｉ０１０１０－ｉ０。第４章因此ｂ００１１（ｘ，ｙ）＝ｂ００１１ ⊥ 引理４．４．３（ｎ，２ｎ－ｋ量子纠错码１０１ｘ＋３ｙｘ－ｙ，＝ｘ－ｙ。其余１５种情形可类似地证明。２２如果量子码Ｑ＝［［ｎ，ｋ］］是由定理４．３．４利用Ｆ４ｎ中加性码Ｃ＝）得到的ｓｔａｂｉｌｉｚｅｒ量子码，Ｃ彻Ｃｔｈ，则 ⊥ Ｂｉ＝＃｛ｃ ∈ Ｃ：ｗＨ（ｃ）＝ｉ｝，Ｂｉ＝＃｛ｃ ∈ Ｃｔｈ：ｗＨ（ｃ）＝ｉ｝。 ⊥ 证明 ⊥ 用Ａｉ和Ａｉ分别表示上面两个等式的右边。我们将Ｃ等同于 ⊥ ｎＧ珚（炒Ｅ珚ｎ）（由 ωａ＋ ω ｂ｜→ 珋ｅ＝（ａ｜ｂ） ∈ Ｇ珚），而Ｑ＝Ｑ（χ）是Ｇ在Ｃ上的作用给出的２２ χ唱本征子空间（χ ∈ Ｇ＾），则Ｋ＝ｄｉｍＱ＝２。而投射算子Ｐ：ＣｋＰ＝２－（ｎ－ｋ） ∑ ｅ∈ Ｇ这是因为对每个ｖ ∈ Ｃ２有正交分解ｖ＝ｎ－（ｎ－ｋ） ∑ ｅ∈ Ｇ χ（ｅ）ｅｖ＝２＝－（ｎ－ｋ） ∑ ｅ∈ Ｇ ∑ χ∈ Ｇ＾ ∑ χ（ｅ）ｅ１ｅ χ′ ｖ｜Ｇ｜ χ′∑∈ Ｇ＾ ∑ ｅ∈ Ｇ → Ｑ＝Ｑ（χ）可表达成 χ（ｅ）ｅ。ｅχ ｖ＝而Ｐ把ｖ投射为ｅ χ ｖ。另一方面，由特征的正交关系知２ｎ２ χ′ ∈ Ｇ＾ｅ χ′ ｖ＝（８） ∑ｅｖ，其中ｅχ ｖ ∈ Ｑ（χ）， χ χ∈ Ｇ＾１｜Ｇ｜ ∑ ∑ ｅ ∈ Ｇ χ′ ∈ Ｇ＾ χ（ｅ）χ′（ｅ）ｅχ′ ｖ（χχ′）（ｅ）＝ｅχ ｖ。因此式（８）成立。于是对每个ｅ ∈ Ｅｎ，Ｔｒ（ｅＰ）＝２－（ｎ－ｋ） ∑ ｅ′ ∈ Ｇ２ χ（ｅ′）Ｔｒ（ｅｅ′） χ（ｅ） ∑ χ（ｅ″）Ｔｒ（ｅ″）＝ χ（ｅ）Ｔｒ（Ｐ）＝ χ（ｅ）２，若珋ｅ ∈ Ｇ珚＝Ｃ，－（ｎ－ｋ）ｋｅ″ ∈ Ｇ＝否则。０，所以Ｂｉ＝１２Ｋ ∑ ｅ∈ ＧｗＱ（ｅ）＝ｉ２Ｔｒ（ｅＰ）＝１２ｋ２２ｋ ∑ ｅ∈ ＧｗＱ（ｅ）＝ｉ２＝ ∑ ｅ∈ ＧｗＱ（ｅ）＝ｉ ∑ １＝ｃ∈ ＧｗＨ（ｃ）＝ｉ类似地，Ｔｒ（ｅＰｅＰ）＝２＝２＝２－２（ｎ－ｋ） ∑ χ（ａｂ）Ｔｒ（ｅａｅｂ） ∑ （－１） ∑ （－１）ａ，ｂ ∈ Ｇ－２（ｎ－ｋ）ａ，ｂ ∈ Ｇ－２（ｎ－ｋ）ａ∈ Ｇ２－（ｎ－ｋ）＝０，（珋ｅ，珔ａ）ｓ（珋ｅ，珔ａ）ｓ ∑ ｂ∈ Ｇ χ（ａｂ）Ｔｒ（ａｂ） ∑ ｂ∈ Ｇ１＝Ａｉ。（因为ｅｅａｂ＝ａｂ） χ（ｂ）Ｔｒ（ｂ） χ（ｂ）Ｔｒ（ｂ）＝Ｔｒ（Ｐ）＝２，若珔ａ ∈ （珚Ｇ）ｓ，否则。ｋ ⊥ １０２纠错码的代数理论于是ｋ２１＝Ｋ珔ａ ∈ ∑ ⊥ （珚Ｇ）Ｂｉ＝ ⊥ ｓｗＱ（珔ａ）＝ｉ ∑ ⊥ ｃ ∈ （Ｃ）ｔｈ１＝Ａｉ。 ⊥ ｗＨ（ｃ）＝ｉ下面结果表明量子码Ｑ的权多项式可决定它的最小距离ｄ（Ｑ）。引理４．４．４（１）Ｂ０＝Ｂ０＝１，Ｂｉ ≥ Ｂｉ ≥ ０ ⊥ （对于０ ≤ ｉ ≤ ｎ）； ⊥ （２）若ｔ是满足Ｂｉ＝Ｂ（０ ≤ ｉ ≤ ｔ）的最大整数，则ｄ（Ｑ）＝ｔ＋１；（３）量子码Ｑ可纠正 ≤ ｌ位错，当且仅当对每个ｅ ∈ Ｅｎ（２ｌ），ＰｅＰ＝ λｅＰ ⊥ ｉ（λｅ ∈ Ｃ）。证明（１）Ｂ０＝ ⊥ １２１２Ｔｒ（Ｐ）＝１。由定义知Ｂｉ ≥ ０。进而２Ｔｒ（Ｐ）＝１，Ｂ０＝ＫＫ由熟知的不等式Ｔｒ（ＡＢ） ≤ Ｔｒ（ＡＡ）Ｔｒ（ＢＢ）和Ｔｒ（ＡＢ）＝Ｔｒ（ＢＡ）可知：当２祰祰祰ｅ＝ｅ时，祰Ｔｒ（ｅＰ）＝Ｔｒ（ＰｅＰＰ） ≤ Ｔｒ（ＰｅＰＰｅＰ）Ｔｒ（Ｐ）＝Ｔｒ（ｅＰｅＰ） · Ｋ。２２２（９）可知Ｂ ≥ Ｂｉ。（２）由不等式（９）可知： ⊥ Ｂｉ＝Ｂｉ当且仅当对每个ｅ ∈ Ｅｎ（ｉ），ＰｅＰ＝ λｅＰ。 ⊥ ｉ然后（２）可由（３）推出。（３）迟：若｜ｃ枛，｜ｃ′枛 ∈ Ｑ，枙ｃ｜ｃ′枛＝０。要证对任意ｅ，ｅ′ ∈ Ｅｎ（ｌ），均有枙ｃ｜ｅｅ′｜ｃ′枛＝０。由于ｅｅ′ ∈ Ｅｎ（２ｌ），由假设知Ｐｅｅ′Ｐ＝ λｅｅ′ Ｐｃ′ 。因此（λｅｅ′ ∈ Ｃ）。另一方面，Ｐｃ＝ｃ，Ｐｃ′ ＝枙ｃ｜ｅｅ′ ｜ｃ′枛＝枙ｃＰ｜ｅｅ′ ｜Ｐｃ′枛＝枙ｃ｜Ｐｅｅ′Ｐ｜ｃ′枛＝ λｅｅ′ 枙ｃ｜Ｐ｜ｃ′枛＝ λｅｅ′ 枙ｃ｜ｃ′枛＝０痴：设｜ｃ枛，｜ｃ′枛 ∈ Ｑ，枙ｃ｜ｃ′枛＝０，并且枙ｃ｜ｃ枛＝枙ｃ′ ｜ｃ′枛＝１。则ｃ ± ｃ′ ∈ Ｑ并且枙ｃ＋ｃ′｜ｃ－ｃ′枛＝枙ｃ｜ｃ枛－枙ｃ′｜ｃ′枛＝０。每个ｅ ∈ Ｅｎ（２ｌ）可分解成ｅ＝ｅ１ｅ２，其中ｅ１，ｅ２ ∈ Ｅｎ（ｌ）。由于Ｑ已假设可纠正 ≤ ｌ位错，所以０＝枙ｃ＋ｃ′ ｜ｅ｜ｃ－ｃ′枛＝枙ｃ｜ｅ｜ｃ枛－枙ｃ′ ｜ｅ｜ｃ′枛。（１０）Ｔ现在取Ｑ的一组基｛ｃ１，… ，ｃｋ｝，其中枙ｃｉ｜ｃｊ枛＝珋ｃｉ · ｃｊ＝ δｉｊ（１ ≤ ｉ，ｊ ≤ Ｋ）。由（１０）式知对每个ｅ ∈ Ｅｎ（２ｌ），枙ｃｉ｜ｅ｜ｃｉ枛＝珋ｃｉｅｃｉ＝ λｅ ∈ Ｃ不依赖于ｉ，Ｐ对于基Ｔ｛ｃ１，… ，ｃｋ｝的矩阵为Ｐ＝Ｋ ∑ ｉ＝１ｃｉｃｉ，而对每个ｅ ∈ Ｅｎ（２ｌ），Ｔ－第４章ＰｅＰ＝＝注记 ∑ｃｉ ∑ ｉ，ｊＴｉｃｉｅ－ｃｊｃｊ＝Ｔ ∑ ｊ－ｃｉｃｊ枙ｃｉ｜ｅ｜ｃｊ枛＝ λｅＴ１ｎ２由定理４畅４畅２可知Ｋ＝ｃｉ（ｃｉｅｃｊ）ｃｊＴ ∑ ｉ，ｊ ∑ ｉ，ｊｎ ∑ ｉ＝０量子纠错码１０３Ｔ－－ｃｉｃｊ δｉｊ＝ λｅＴ ∑ｃＴｉｉｃｉ＝ λｅＰ。－Ｂｉ。 ⊥ 作为ＭａｃＷｉｌｌｉａｍｓ恒等式的一个应用，我们现在给出量子码的Ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ界。像经典情形一样，下面定义的多项式是编码理论的重要工具。对于固定的正整数ｎ，Ｋｒａｗｔｃｈｏｕｋ多项式定义为ｉｘｎ－ｘｊｉ－ｊＰｉ（ｘ）＝ ∑ （－１）３（０ ≤ ｉ ≤ ｎ），ｊ＝０ｊｉ－ｊ这些是有理系数的多项式，ｄｅｇＰｉ（ｘ）＝ｉ。前几个多项式为Ｐ０（ｘ）＝１，Ｐ１（ｘ）＝３ｎ－４ｘ，定义４畅４畅５１（１６ｘ２＋８ｘ（１－３ｎ）＋９ｎ（ｎ－１））。２下面是这批多项式的基本性质和与量子码权多项式的联系。Ｐ２（ｘ）＝引理４畅４畅６（１）（对称性质）３ｉｎｎｊＰｊ（ｉ）＝３Ｐｉ（ｊ）ｉｊ（０ ≤ ｉ，ｊ ≤ ｎ）；（２）（正交性质）ｎ ∑ ｉ＝０ｎＰｒ（ｉ）Ｐｉ（ｓ）＝４ δｒｓ，ｎｎｎｎｒＰｒ（ｉ）Ｐｓ（ｉ）＝４ · ３ δｒｓ；ｉ＝０ｉｒ（３）每个ｄ次实系数多项式ｆ（ｘ） ∈ Ｒ［ｘ］均可惟一表示成 ∑３ｆ（ｘ）＝ｉｄ（ｆｉ ∈ Ｒ），ｆｉＰｉ（ｘ） ∑ ｉ＝０其中ｆｉ＝１ｎ４ｎ ∑ ｊ＝０（４）设Ｂ（ｘ，ｙ）＝ｆ（ｊ）Ｐｊ（ｉ）＝ｎ４ ·３ｎ ∑ ｔ＝０Ｂｔｘｎ－ｔｎ１ｉｎｉ ∑ ｊ＝０ｙ和Ｂ（ｘ，ｙ）＝ｔ ⊥ ３ｎｆ（ｊ）Ｐｉ（ｊ）；ｊｊｎ ∑ ｔ＝０Ｂｔｘ ⊥ ｎ－ｔｙ为量子码（（ｎ，ｔ１０４纠错码的代数理论ｋ，ｄ））的权函数，则证明ｎＰｉ（ｊ）ｚ＝ｉ＝０ ∑ ｎＰｉ（ｊ）Ｂｊ。 ⊥ ｊ＝０（１）由定义４畅４畅５可知ｉ ∑ ｎ１２ＫＢｉ＝ｎｉ ∑ ∑ ｉ＝０ μ＝０ μ （－１）３ｊ μ ｎ＝ ∑ μ （－１） μ＝０ｎ－ｊｉ－μ ｉ－μ ｎ ∑３ｎ－ｊｉｚ＝ｉ－ μ ｉ－ μ ｉ＝ μ ＝（１－ｚ）（１＋３ｚ）ｊｊｉｚ μ ＝（１＋３ｚ）ｎ－ｊｎｎ μ ∑ （－１） μ＝０１－ｚ１＋３ｚｊ μ ｚ μ ｎ－ｊ ∑３ｉｉ＝０ｎ－ｊｉｚｉｊ。于是ｎ ∑ ｉ，ｊ＝０３ｎｉｊＰｉ（ｊ）ｚｗ＝ｊｊｎ ∑ ｊ＝０ｎ１－ｚｊｎ（３ｗ）（１＋３ｚ）１＋３ｚｊｎ＝（１＋３ｚ）１＋３ｗ · １－ｚ１＋３ｚｎｊ＝（１＋３ｚ＋３ｗ－３ｚｗ），ｎ后边是ｚ和ｗ的对称函数，于是３ｊｎＰｉ（ｊ）＝３ｊｎｉｉＰｊ（ｉ）（０ ≤ ｉ，ｊ ≤ ｎ）。（２）由（１）中等式可知ｎｎ ∑ ∑ ｒ，ｓ＝０ｉ＝０３ｉｎｒｓＰｒ（ｉ）Ｐｓ（ｉ）ｚｗ＝ｉｎ ∑３ｎｉｎ－ｉｉｎ－ｉ（１－ｚ）（１＋３ｚ）（１－ｗ）（１＋３ｗ）ｉｉｉ＝０＝（１＋３ｚ）（１＋３ｗ）ｎｎｎ ∑ ｉ＝０３ｎｉｉ（１－ｚ）（１－ｗ）（１＋３ｚ）（１＋３ｗ）＝［（１＋３ｚ）（１＋３ｗ）＋３（１－ｚ）（１－ｗ）］ｎ＝４（１＋３ｚｗ），ｎｎ于是ｎ ∑３ｉ＝０ｉｎｎｎｒＰｒ（ｉ）Ｐｓ（ｉ）＝４ · ３ δｒｓ。ｉｒ再由（１）即得另一个正交关系。（３）由ｄｅｇＰｉ（ｘ）＝ｉ可知展开式的惟一性。再由正交关系可知ｎ ∑ ｊ＝０ｆ（ｊ）Ｐｊ（ｉ）＝ｎ ∑ ｊ＝０Ｐｊ（ｉ）ｎ ∑ ｋ＝０ｆｋＰｋ（ｊ）＝（４）由ＭａｃＷｉｌｌｉａｍｓ恒等式可知ｎ ∑ ｋ＝０ｆｋｎ ∑ ｊ＝０Ｐｋ（ｊ）Ｐｊ（ｉ）＝４ｆｉ。ｎｉ量子纠错码１０５第４章ｎＢｔｘ ∑ ｔ＝０ｎ－ｔｔｙ＝１Ｋ＝ｎ ∑ ⊥ ｉ＝０１２Ｋｎｘ＋３ｙ２ＢｉｎＢｉ ⊥ ∑ ｉ＝０ｘ－ｙ２ｎ－ｉｎ－ｉ λ ∑ λ ，μ ≥ ０ｉｉｎ－ｉ－ λ λ ｉ－ μ μ ｘ（３ｙ）ｘ（－ｙ）， μ 因此Ｂｔ＝１２ＫｎｎＢｉ ⊥ ∑ ｉ＝０ ∑ λ ，μ ≥ ０ λ＋ μ ＝ｔｎ－ｉ λ ｉ λ １ μ ３（－１）＝ｎ２Ｋ μ ｎ ∑ ｉ＝０ＢｉＰｔ（ｉ）。 ⊥ 下面引理表明：适当选取实系数多项式ｆ（ｘ）可给出Ｋ的上界估计。引理４畅４畅７设Ｑ为量子码（（ｎ，Ｋ，ｄ）），如果存在多项式ｆ（ｘ）＝ｎｆｉＰｉ（ｘ） ∈ Ｒ［ｘ］，（ｆｉ ∈ Ｒ） ∑ ｉ＝０满足（１）ｆｉ ≥ ０（０ ≤ ｉ ≤ ｎ）；（２）ｆ（ｊ）＞０（０ ≤ ｊ ≤ ｄ－１），但是ｆ（ｊ） ≤ ０（ｄ ≤ ｊ ≤ ｎ），则Ｋ≤２ｍａｘ－ｎ０≤ ｊ≤ ｄ－１ｆ（ｊ）。ｆｊ证明由引理假设和引理４畅４畅６中的公式可知２Ｋｎｄ－１ ∑ ｉ＝０ｆｉＢｉ ≤ ２Ｋｎｎ＝ ∑ ｊ＝０ｎ ∑ ｉ＝０ｎｆｉＢｉ＝ ∑ ｉ＝０ｄ－１Ｂｊｆ（ｊ） ≤ ⊥ ∑ ｊ＝０ｆｉｎ ∑ ＢｊＰｉ（ｊ）＝ ⊥ ｊ＝０Ｂｊｆ（ｊ）＝ ⊥ ｄ－１ ∑ ｊ＝０ｎ ∑ ｊ＝０Ｂｊ ⊥ ｎ ∑ ｉ＝０ｆｉＰｉ（ｊ）Ｂｊｆ（ｊ）（由引理４畅４畅４（２））。因此ｄ－１２Ｋ≤ ｎＢｊｆ（ｊ） ∑ ｊ＝０ｄ－１ ∑ ｊ＝０ｆｊＢｊｆ（ｊ）。 ≤ ０ ≤ｍａｘｊ ≤ ｄ－１ｆｊ作为引理４畅４畅７的应用，我们给出经典码Ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ界ｎ ≤ ｋ＋ｄ－１的一个模拟。１０６纠错码的代数理论定理４畅４畅８（量子Ｓｉｎｇｌｅｔｏｎ界）对于任意量子码（（ｎ，Ｋ，ｄ）），其中ｄ ≤ ｎ＋１，均有Ｋ ≤ ２ｎ－２ｄ＋２。（于是对量子码［［ｎ，ｋ，ｄ］］，ｎ ≥ ２ｄ－２时，均有ｎ ≥ ｋ＋２２ｄ－２）。证明考虑实系数多项式ｆ（ｘ）＝４ｎ－ｄ＋１ｎ朝（１－ｊ＝ｄｎ－ｘｎ－ｄ＋１，ｎｎ－ｄ＋１ｘｎ－ｄ＋１）＝４ｊ函数值ｆ（ｊ）（０ ≤ ｊ ≤ ｎ）满足引理４畅４畅７中条件（２）。其次计算ｆ（ｘ）＝的系数ｆｉ，为此我们考虑ｎｆ（λ）ｚ λ ＝ λ ｎ ∑ ３ λ λ＝０＝４４３λ ∑ ｎｎ－ｄ＋１ λ＝０ ∑ ｉ＝０ｆｉＰｉ（ｘ）ｎ－λ ｚλ ｎ－ｄ＋１ｄ－１ λ ｎ－ｄ＋１ｄ－１（３ｚ）＝４（１＋３ｚ）。 λ ｎｎ－ｄ＋１ｎ λ ｎｎ－ｄ＋１ｎ ∑ λ＝０另一方面，ｎ λ ｆ（λ）ｚ＝ λ ｎ ∑ ３ λ λ＝０ｎ ∑ ３ λ λ＝０ｎ ∑ ＝ｉ＝０３ｉｎ λ ｚ λ ｎｆｉｉｎｆｉＰｉ（λ）＝ ∑ ｉ＝０ｎＰλ （ｉ）ｚ＝ｎ ∑ ｉ，λ ＝０ｎ λ ∑ λ＝０３ ∑ ｉ＝０３ｉｉｎ λ ｚｆｉＰλ （ｉ）ｉｎ１－ｚｎｆｉ（１＋３ｚ）１＋３ｚｉｉ，于是ｎ ∑ ３ｉ＝０令ｗ＝ｎ１－ｚｆｉ１＋３ｚｉｉｉ＝４ｎ－ｄ＋１／（１＋３ｚ）ｎ－ｄ＋１。１－ｚ１－ｗ，则ｚ＝，而１＋３ｚ１＋３ｗｎ ∑ ｉ＝０３ｉｎｉｆｉｗ＝ｉｎ－ｄ＋１４４１＋３ｗｎ－ｄ＋１＝（１＋３ｗ）ｎ－ｄ＋１ｎ－ｄ＋１＝ ∑ ｉ＝０ｎ－ｄ＋１ｉｉ３ｗ。ｉ因此算出ｎ－ｄ＋１ｉ这满足引理４畅４畅７中条件（１），于是ｆｉ＝ｎ＝ｉｎ－ｉｄ－１ｎｄ－１（０ ≤ ｉ ≤ ｎ）。第４章Ｋ ≤ ２－ｎ０ ≤ｍａｘｊ≤ ｄ－１＝２易知在ｄ ≤ ｎ－２ｄ＋２ｆ（ｊ）４ｎ－ｄ＋１＝２－ｎ０ ≤ｍａｘｊ≤ ｄ－１ｆｊｍａｘ０≤ ｊ≤ ｄ－１ｎ－ｊｎ－ｄ＋１。ｎ－ｊｄ－１ｎ－ｊｎ－ｄ＋１ｎｎ－ｄ＋１量子纠错码１０７ｎｄ－１ｎ－ｊｄ－１ｎ＋１时，上式右边的ｍａｘ值 ≤ １。因此Ｋ ≤ ２ｎ－２ｄ＋２，证毕。２附录Ａ：有限域有限域是计算机科学和数字通信领域的最基本数学工具之一。我们从初等数论中知道，对于每个素数ｐ，都存在ｐ元有限域Ｚｐ，它是由整数模ｐ的ｐ个同余类０，１，… ，ｐ－１组成的集合，其中ｉ（０ ≤ ｉ ≤ ｐ－１）是所有被ｐ除余ｉ的那些整数，ｉ是全体整数Ｚ的一个子集合，但是ｉ看成Ｚｐ中的一个元素。用抽象代数的观点，我们有环的满同态： φ ：Ｚ → Ｚｐ，ａ｜ → φ（ａ）＝ａ。这个同态的核为Ｋｅｒ φ ＝ｐＺ，它是整数环Ｚ的一个极大理想。由环的基本同态定理，我们有环同构Ｚ／ｐＺ碖Ｚｐ。但是左边为域，可知Ｚｐ为域，或者再用比较初等的数论观点。对Ｚｐ中每个非零元素ａ ≠ ０，即ｐ祰ａ（ａ不被ｐ整除），初等数论表明：同余方程ａｘ ≡ １（ｍｏｄｐ）一定有解，即存在整数ｂ，使得ａｂ ≡ １（ｍｏｄｐ），这相当于说在环Ｚｐ＝Ｚ／ｐＺ中，ａ · ｂ＝１，即ａ是Ｚｐ中（乘法）可逆元素，换句话说，环Ｚｐ中每个非零元素均可逆，所以Ｚｐ是域。例１对于ｐ＝７，有限域Ｚ７中非零元素的逆分别为（我们把ａ简记为ａ）。１－１６－１＝１，２＝６－１＝４，３－１＝５，４（注意６＝－１，于是６－１－１＝２，５＝（－１）－１－１＝３，＝－１＝６）。在这个附录中我们要决定出全部有限域，讲述有限域，有限域为系数的多项式和幂级数的基本性质，这些性质在信息科学中具有重要的应用。以下我们把上述ｐ元有限域Ｚｐ改记为Ｆｐ。Ａ畅１有限域首先我们决定全部有限域，设Ｆ是ｑ个元素构成的有限域，０和１分别是Ｆ中的零元素和幺元素。对每个整数ｎ，我们把Ｆ中元素ｎ · １简记成ｎ，当ｎ为正整数时，ｎ＝ｎ · １即是ｎ个１相加，（－ｎ） · １＝－（ｎ · １），而０ · １＝０。由于Ｆ是附录Ａ：有限域１０９有限域，１，２，３，… ，ｎ，… 看成是Ｆ中元素不可能彼此不同，于是存在整数ｉ和ｊ，０＜ｉ＜ｊ，使得在Ｆ中ｉ＝ｊ，即ｊ－ｉ＝０。换句话说，在有限域Ｆ中必存在正整数ｎ（＝ｊ－ｉ）。使得ｎ＝０，或者采用抽象代数的观点，Ｆ对于加法是有限（交换）群。所以每个元素都是加法有限阶元素，特别地，幺元素１是如此，即存在正整数ｎ，使得ｎ个１相加为０：ｎ＝ｎ · １＝０。满足此条件的最小正整数ｎ即是元素１对于加法的阶，叫作有限域Ｆ的特征。对于大家熟知的有理数域Ｑ，实数域Ｒ和复数域Ｃ，幺元素１没有上述性质，即对每个非零整数ｎ，均有ｎ＝ｎ · １ ≠ ０。这时称域的特征为零。于是，有限域具有和通常域一个不同的特点：有限域的特征为正整数。（１）有限域Ｆ的特征必是素数ｐ，从而Ｆ有ｐ元子域Ｆｐ＝定理Ａ畅１畅１Ｚ／ｐＺ。（２）有限域Ｆ的元素个数ｑ必是其特征ｐ的方幂：ｑ＝ｐ，而Ｆ为Ｆｐ上ｎ维ｎ向量空间。特别地，Ｆ的加法群是ｎ个ｐ阶循环群的直和。（３）ｑ元有限域Ｆ的非零元素全体形成的乘法群Ｆ × ＝Ｆ－｛０｝是ｑ－１阶循环群，于是存在ａ ∈ Ｆ，使得Ｆ＝Ｆｐ（ａ）（＝Ｆｐ［ａ］）。证明（１）若Ｆ的特征ｎ不是素数，则ｎ＝ｋｌ，其中ｋ和ｌ是比ｎ小的正整数。但是在Ｆ中，ｋｌ＝ｎ＝０，从而ｋ＝０或者ｌ＝０。这与ｎ为Ｆ的特征相矛盾，因为ｎ是在Ｆ中满足ｎ＝０的最小正整数。所以Ｆ的特征为素数ｐ，于是Ｆ包含ｐ元域Ｆｐ＝｛０，１，２，… ，ｐ－１｝（ｐ＝０）。（２）Ｆ是子域Ｆｐ上的向量空间，由于Ｆ有限，可知Ｆ作为Ｆｐ唱向量空间是有限维的，设维数为ｎ＝ｄｉｍＦｐＦ，取Ｆ在Ｆｐ上的一组基ｘ１，… ，ｘｎ，则Ｆ中每个元素惟一地表示成ａ１ｘ１＋ … ＋ａｎｘｎ（ａｉ ∈ Ｆｐ）。每个ａｉ有ｐ种取法，所以Ｆ中元素共ｐ个，这表明有限域Ｆ元素的个数必为素ｎ数幂ｑ＝ｐ，其中素数ｐ为Ｆ的特征，ｎ ≥ １。作为加法群，Ｆ是直和：Ｆ＝ｎＦｐｘ１磑 … 磑Ｆｐｘｎ，而每个Ｆｐｘｉ都同构于Ｆｐ（ｐ阶循环群）。（３）乘法群Ｆ是ｑ－１元交换群。由拉格朗日定理，对Ｆ中每个元素ａ，均 × 有ａｑ－１ × ＝１。这表明Ｆ的全部ｑ－１个元素都是ｘ × ｑ－１－１＝０的根。将ｑ－１分解成ｑ－１＝ｐ１１ … ｐｒｒ，ｅｅ其中ｐ１，… ，ｐｒ是不同的素数，ｅｉ ≥ １（１ ≤ ｉ ≤ ｒ）。则ｐｉｉ｜ｑ－１，可知ｘｅｅｐｉｉ－１｜１１０纠错码的代数理论ｘｑ－１－１。由于ｘｑ－１－１在Ｆ中有ｑ－１个不同的根，可知ｘ × 个不同的根。另一方面，ｘｅ－１ｐｉｉｅｐｉｉ－１＝０在域Ｆ中至多有ｐｉｉｅ－１ｅ－１ｐｉｉａｉ ∈ Ｆ，使得ａｉ＝１，但是ａｉ × ｅｐｉｉ－１在Ｆ中有ｐｉｉｅ × 个根。这表明存在 ≠ １。即ａｉ是Ｆ中ｐｉｉ阶元素（１ ≤ ｉ ≤ ｒ）。于是ｅ × ｅｅａ＝ａ１ａ２ … ａｒ为Ｆ中［ｐ１１，ｐ２２，… ，ｐｒｒ］＝ｐ１１ｐ２２ … ｐｒｒ＝ｑ－１阶元素，所以Ｆ是ｅ × ｅｅｅ × 由ａ生成的ｑ－１阶循环群。特别地，Ｆ＝｛０，１，ａ，ａ，… ，ａ｝＝Ｆｐ［ａ］＝Ｆｐ（ａ）。ｑ－２２上面定理表明：有限域Ｆ的元素个数必为ｐ，其中ｐ是素数（Ｆ的特征），ｎ而ｎ ≥ １，并且Ｆｐ为Ｆ的子域。由于Ｆ／Ｆｐ是有限次（ｎ次）扩张，Ｆ的每个元素在Ｆｐ上均是代数元素。从而Ｆ必包含在Ｆｐ的代数闭包之中。以下我们固定Ｆｐ的一个代数闭包，表示成 Ω ｐ。于是，每个特征为ｐ的有限域均是 Ω ｐ的子域。下面定理圆满地回答了：对每个ｑ＝ｐ，是否一定存在ｑ元有限域？ｎ定理Ａ．１．２（有限域的存在惟一性）对每个正整数ｎ ≥ １，在 Ω ｐ中均存在惟一的ｑ＝ｐ元有限域Ｆ，它是由方程ｘ－ｘ＝０在 Ω ｐ中全部解组成的集合。ｎｑ特别地，对于 Ω ｐ中元素ａ，ａ属于ｑ元有限域当且仅当ａｑ＝ａ。证明对于ｆ（ｘ）＝ｘ－ｘ ∈ Ω ｐ［ｘ］，ｆ′（ｘ）＝ｑｘｑｑ－１－１＝－１ ≠ ０（注意在 Ω ｐ中ｑ＝ｐ＝０）。于是（ｆ（ｘ），ｆ′（ｘ））＝１。这表明ｆ（ｘ）没有重根，即在 Ω ｐ中恰有ｎｑ个不同的根，于是Ｆ＝｛ａ ∈ Ω ｐ｜ａ－ａ＝０｝ｑ是 Ω ｐ的ｑ元子集合，我们要证它是域，即要证明：当ａ，ｂ ∈ Ｆ时，ａ ± ｂ ∈ Ｆ，ａｂ ∈ Ｆ。并且当ａ ≠ ０时，ａ ∈ Ｆ。ｎ－１由ａ，ｂ ∈ Ｆ，可知ａｑ＝ａ，ｂｑ＝ｂ，从而（ａｂ）ｑ＝ａｑｂｑ＝ａｂ，（ａ ± ｂ）ｑ＝（ａ ± ｂ）ｐ · ｐ＝－１（ａ ± ｂ）ｐ－１ｐｑｐｎ－１ｑｎｎ＝ … ＝ａ ± ｂ＝ａ ± ｂ＝ａ ± ｂ。因此ａｂ，ａ ± ｂ ∈ Ｆ。又若ａ ≠ ０，则（ａ）＝（ａ）ｐ－１＝ａ－１ｐ。所以ａｑ－１ｑ ∈ Ｆ。这就证明了Ｆ为域。进而，Ｆ是 Ω ｐ中惟一的ｑ元有限子域，因为ｑ元域中每个非零元素ａ均满足ａｑ－１＝１，即ａ＝ａ，从ｑ而ａ ∈ Ｆ。所以 Ω ｐ的ｑ元子域只有Ｆ。由于 Ω ｐ中只有惟一的ｑ元子域，我们把这个子域记成Ｆｑ。由上述定理可以得到有限域的许多重要性质。定理Ａ．１．３（１）设Ｆｑ，Ｆｑ′ 彻 Ω ｐ。则Ｆｑ为Ｆｑ′ 的子域当且仅当ｑ′ ＝ｑ（ｌ ≥ １）。ｌ附录Ａ：有限域１１１特别地，Ｆｐｎ为Ｆｐｍ的子域当且仅当ｎ｜ｍ。（２）对每个ｎ ≥ １，Ｆｑ［ｘ］中必存在ｎ次不可约多项式ｆ（ｘ）。并且对ｆ（ｘ）在 Ω ｐ中的每个根ａ，Ｆｑ［ａ］＝Ｆｑ（ａ）＝Ｆｑｎ。证明（１）若Ｆｑ为Ｆｑ′ 的子域，则Ｆｑ′ 是Ｆｑ上有限维向量空间。设维数为ｌ（正整数），则ｑ′ ＝ｑｌ。反之若ｑ′ ＝ｑｌ，则Ｆｑ中元素ａ都是ｘｑ－ｘ的根。由于ｘｑ－ｘ＝ｘ（ｘｑ－１－１）｜ｘ（ｘｌｑ－１ｌ－１）＝ｘ－ｘ＝ｘ－ｘ，从而ａ也是ｘ－ｘ的根，即ａ ∈ Ｆｑｑ′ ｑ′ ｑ′ 。这表明Ｆｑ是Ｆｑ′ 的子域。（２）Ｆｑｎ的非零元素形成ｑ－１阶循环群，从而Ｆｑｎ有ｑ－１阶元素ａ（ａｎ１），于是ｎ × Ｆｑｎ＝｛０，１，ａ，ａ，… ，ａｎｑ－２２ｎｑ－１＝｝＝Ｆｑ（ａ）＝Ｆｑ［ａ］由于Ｆｑ／Ｆｑ是有限次（ｎ次）扩张，ａ在Ｆｑ上是代数的，并且ａ在Ｆｑ上的最小多项ｎ式ｆ（ｘ） ∈ Ｆｑ［ｘ］是［Ｆｑｎ ∶ Ｆｑ］＝ｎ次首１不可约多项式。这就证明了对每个ｎ ≥ １，Ｆｑ［ｘ］中均有ｎ次不可约多项式。现在举两个例子，说明如何构作有限域。例２构求Ｆ９。我们首先需要Ｆ３［ｘ］中一个２次不可约多项式。考虑ｆ（ｘ）＝ｘ＋ｘ＋２ ∈ Ｆ３［ｘ］。由ｆ（０）＝２＝ｆ（２），ｆ（１）＝１，可知ｆ（ｘ）在Ｆ３中无根，所以２ｆ（ｘ）在Ｆ３（ｘ）中不可约。由定理Ａ．１．３，取ａ为ｆ（ｘ）在 Ω３中的一个根。则ａ＋ａ＋２＝０，即ａ＝２ａ＋１。而Ｆ９＝Ｆ３［ａ］，Ｆ９／Ｆ３是域的２次扩张，并且｛１，ａ｝是Ｆ９在Ｆ３上的一组基。２换句话说，Ｆ９中每个元素惟一表示成（ｃ０，ｃ１ ∈ Ｆ３）。 α ＝ｃ０＋ｃ１ａ将这个元素记成向量形式（ｃ０，ｃ１），则０＝（０，０），ａ＝（０，１），１＝（１，０），２ａ＝２ａ＋１＝（１，２），２ａ＝ａ（２ａ＋１）＝２ａ＋ａ＝２（２ａ＋１）＋ａ＝２＋２ａ＝（２，２），３２ａ＝ａ（２＋２ａ）＝２ａ＋２ａ＝２ａ＋２（２ａ＋１）＝２＝（２，０），４２ａ＝２ａ＝（０，２），５ａ＝ａ · ａ＝２（１，２）＝（２，１），６４ａ＝２ · ａ＝２（２，２）＝（１，１），７３２８（ａ＝１）。以上我们给出Ｆ９中所有元素Ｆ９＝｛０，１，ａ，ａ，… ，ａ｝的向量表示。它们可用来进２７行四则运算。例如３５６ａ＋ａ＝（２，２）＋（０，２）＝（２，１）＝ａ（＝２＋ａ），１１２纠错码的代数理论（１＋２ａ）（２＋ａ）＝ａ · ａ＝ａ＝１，２（１＋ａ）－１７＝（ａ）－１６＝ａ８＝ａ－７８－７＝ａ。例３构作Ｆ１６。由于１６＝２，我们需要Ｆ２［ｘ］中一个４次不可约多项式，考４３２虑ｆ（ｘ）＝ｘ＋ｘ＋ｘ＋ｘ＋１ ∈ Ｆ２［ｘ］。我们证明ｆ（ｘ）在Ｆ２［ｘ］中不可约。如果它可约，则ｆ（ｘ）必有次数 ≤ ２的多项式因子，由于ｆ（０）＝ｆ（１）＝１，可知ｆ（ｘ）２没有一次多项式（ｘ或ｘ＋１）因子。进而，Ｆ２［ｘ］中２次不可约多项式只有ｘ＋ｘ＋２２２１，而ｘ＋ｘ＋１祰ｆ（ｘ）（带余除法：ｆ（ｘ）＝ｘ（ｘ＋ｘ＋１）＋ｘ＋１），这表明ｆ（ｘ）不可约。４２３取ａ为ｆ（ｘ）在 Ω２中一个根，ａ＝１＋ａ＋ａ＋ａ。则Ｆ１６＝Ｆ２［ａ］，并且Ｆ１６中每个元素惟一表示成 α ＝ｃ０＋ｃ１ａ＋ｃ２ａ２＋ｃ３ａ３ｃｉ ∈ Ｆ２＝｛０，１｝。 × Ｆ１６是１５阶乘法循环群，从而存在１５阶元素 β ，Ｆ１６× ＝枙 β枛。由于ｆ（ｘ）｜ｘ５＋１＝（１＋ｘ）ｆ（ｘ），可知ａ５＝１，所以ａ不是循环群Ｆ１６× 的生成元。另一方面，１＋１５ａ ≠ １并且（１＋ａ）＝１。而３２３（１＋ａ）＝１＋ａ＋ａ＋ａ ≠ １，４（１＋ａ）＝（１＋ａ）（１＋ａ）＝（１＋ａ）（１＋ａ）＝１＋ａ＋ａ＋ａ５４４４５５（ａ＝１）＝ａ＋ａ＝ａ＋（１＋ａ＋ａ＋ａ）＝１＋ａ＋ａ ≠ １可知 β＝１＋ａ是Ｆ１６× 中的１５阶元素，而Ｆ１６＝｛０，１，β ，β２，… ，β１４｝。４２３２３定义Ａ．１．４域Ｋ的自同构是双射（一一对应）φ ：Ｋ → Ｋ并且满足以下性质：对于ａ，ｂ ∈ Ｋ φ（ａ＋ｂ）＝ φ（ａ）＋ φ（ｂ）， φ（ａｂ）＝ φ（ａ）φ（ｂ）。Ｋ的所有自同构全体对于运算（映射）的复合（合成）形成群，叫作域Ｋ的自同构群，这个群的幺元素即是恒等映射（把Ｋ中每个元素ａ映成自身）。注意对于Ｋ的自同构 φ ，必然 φ（０）＝０，φ（１）＝１。由此可知对每个ａ ∈ Ｋ，－１－１ φ（－ａ）＝－ φ（ａ）， φ（ａ）＝ φ（ａ）（当ａ ≠ ０时）。设Ｌ／Ｋ是域的扩张，Ｌ的自同构 φ 叫作是Ｋ唱自同构，是指 φ 把Ｋ中每个元素ａ均保持不动（φ（ａ）＝ａ），即 φ 在Ｋ上的限制为Ｋ的恒等自同构。Ｌ的所有Ｋ唱自同构也形成群，是Ｌ的自同构群的一个子群，叫作域扩张Ｌ／Ｋ的伽罗瓦群，表示成Ｇａｌ（Ｌ／Ｋ），以纪念群论创始人 ——— 法国数学家伽罗瓦（Ｇａｌｏｉｓ）。我们现在对于有限域的扩张Ｆｑｎ／Ｆｑ，决定它的伽罗瓦群。定理Ａ．１．５对于ｎ次有限域扩张Ｆｑｎ／Ｆｑ，它的伽罗瓦群是由 τ＝ τｑ生成的附录Ａ：有限域１１３ｎ阶循环群，其中 τ ：Ｆｑｎ → Ｆｑｎ， τ（ａ）＝ａ（ａ ∈ Ｆｑｎ）。ｑ证明首先证明Ｆｑｎ的Ｆｑ自同构个数不超过ｎ个，即｜Ｇａｌ（Ｆｑｎ／Ｆｑ）｜ ≤ ｎ。由于Ｆｑｎ＝Ｆｑ（ａ），Ｆｑｎ中元素惟一表示成（ｃｉ ∈ Ｆｑ）。 α ＝ｃ０＋ｃ１ａ＋ … ＋ｃｎ－１ａｎ－１设 φ 是Ｆｑ的一个Ｆｑ唱自同构，则 φ（ｃｉ）＝ｃｉ（０ ≤ ｉ ≤ ｎ－１）。于是ｎ φ（α）＝ｃ０＋ｃ１ φ（ａ）＋ … ＋ｃｎ－１ φ（ａ）ｎ－１。这表明 φ 由 φ（ａ）所完全决定。ａ在Ｆｑ上的最小多项式是Ｆｑ（ｘ）中ｎ次不可约首１多项式ｆ（ｘ）＝ｘ＋ｂｎ－１ｘｎ（ｂｉ ∈ Ｆｑ）＋ … ＋ｂ０ｎ－１假设它的ｎ个根为ａ１，ａ２，… ，ａｎ（不妨设ａ＝ａ１）。则每个Ｆｑ（ａｉ）都是Ｆｑｎ。于是ａｉ ∈ Ｆｑｎ（１ ≤ ｉ ≤ ｎ），并且ｘ＋ｂｎ－１ｘ＋ … ＋ｂ１ｘ＋ｂ０＝ｆ（ｘ）＝（ｘ－ａ１）（ｘ－ａ２） … （ｘ－ａｎ）。将 φ 作用于此式两边多项式的系数，得到ｎｎ－１（ｘ－ φ（ａ１）） … （ｘ－ φ（ａｎ））＝ｘ＋ φ（ｂｎ－１）ｘｎ＝ｘ＋ｂｎ－１ｘｎｎ－１ｎ－１＋ … ＋ φ（ｂ０）＋ … ＋ｂ０＝ｆ（ｘ）这表明 φ（ａ）＝ φ（ａ１）也是ｆ（ｘ）的根，从而 φ（ａ）至多只有ｎ个可能。这就表明Ｆｑｎ的Ｆｑ唱自同构至多有ｎ个。现在我们给出Ｆｑｎ的ｎ个Ｆｑ唱自同构。首先验证 τ ：Ｆｑｎ → Ｆｑｎ， τ（α）＝ α （α ∈ Ｆｑｎ）ｑ是Ｆｑｎ的Ｆｑ唱自同构。对于 α ，β ∈ Ｆｑｎ， τ（α ＋ β）＝（α ＋ β）ｑ＝ αｑ＋ βｑ＝ τ（α）＋ τ（β），ｑｑｑ τ（αβ）＝（αβ）＝ α β ＝ τ（α）τ（β）。所以 τ是环的同态，进而 τ（α）＝０骋 α ＝０，从而同态 τ 的核Ｋｅｒ（τ）＝（０），因此 τ ｎｎ为单同态，又因 τ 由ｑ元集映到ｑ元集，单射 τ 必是满射。这就表明 τ 是域Ｆｑｎ的自同构。最后对ａ ∈ Ｆｑ，τ（ａ）＝ａ＝ａ，从而 τ 是Ｆｑ唱自同构。ｑ对于每个正整数ｋ， α ∈ Ｆｑｎ，ｋｋ－１ τ （α）＝ τ ｋ－２ｎ＝ τ ｋ－１（τ（α））＝ τ ｑ· ｑ（α）ｋ－２＝ τ ｑｋ－１（α ）＝ τ ｑ（α）２ｑ（α）ｑｋ＝ … ＝ α 。于是 τ （α）＝ α ＝ α ，即 τ 是恒等自同构：τ ＝１，而当１ ≤ ｋ ≤ ｎ－１时，τ （α）＝ α ｎｑｎｎｋｋｋ相当于 α ＝ α ，这又相当于 α ∈ Ｆｑｋ。由于ｋ＜ｎ，Ｆｑｎ中存在元素 β ，使得 β ≠ β ＝ｑｑ τ （β）。这表明当１ ≤ ｋ ≤ ｎ－１时，τ 不是恒等自同构。于是我们得到ｎ个不同ｋｋ１１４纠错码的代数理论的Ｆｑ－自同构 τ （０ ≤ ｋ ≤ ｎ－１），它就是Ｆｑｎ的全部Ｆｑ唱自同构，即Ｇａｌ（Ｆｑｎ／Ｆｑ）是由 τ 生成的ｎ阶循环群ｋ习题１构作有限域Ｆ８，并决定Ｆ８中乘法阶为７的元素。习题２设ｑ＝ｐ（ｐ为素数，ｎ ≥ １）。证明对Ｆｑ中每个元素ａ，均有惟一的 × ｎｂ ∈ Ｆｑ，使得ｂ＝ａ。ｐ习题３设ｎ为奇数，ａ，ｂ ∈ Ｆ２ｎ。求证：若ａ＋ａｂ＋ｂ＝０，则ａ＝ｂ＝１。２２习题４设ａ，ｂ ∈ Ｆｑ，ａｂ ≠ ０。证明对每个ｃ ∈ Ｆｑ，方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ在Ｆｑ中均有解（ｘ，ｙ）。２习题５设ｃ ∈ Ｆｑ，ｋ为正整数。证明：２ × （１）方程ｘ＝ｃ在Ｆｑ中或者无解，或者恰好有（ｋ，ｑ－１）个解（这里（Ａ，Ｂ）表示整数Ａ和Ｂ的最大公因子）。ｑ－１ × ｋ（２）Ｆｑ中恰好有个元素ｃ，使得方程ｘ＝ｃ在Ｆｑ中有解。（ｋ，ｑ－１）ｋ附录Ａ：有限域１１５Ａ．２有限域上的多项式环我们在本节研究有限域上多项式的一些性质。所有系数属于Ｆｑ的单变量多项式ｆ（ｘ）＝ａｎｘ＋ａｎ－１ｘｎｎ－１（ａｉ ∈ Ｆｑ）＋ … ＋ａ１ｘ＋ａ０全体组成的集合记为Ｆｑ［ｘ］，它对于自然定义的加法和乘法是一个交换环，并且是整环（即若ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝０，则ｆ（ｘ）＝０或者ｇ（ｘ）＝０），Ｆｑ［ｘ］叫作Ｆｑ上（关于ｘ的）多项式环，如果ｎ ≥ ０，ａｎ ≠ ０，ｆ（ｘ）叫作ｎ次多项式，ｆ（ｘ）的次数表示成ｄｅｇ（ｆ）（＝ｎ）。零次多项式为ｆ（ｘ） ≡ ａ０，其中ａ０是Ｆｑ中非零元素，而恒为零的多项式ｆ（ｘ） ≡ ０，规定次数为－ ∞ 。在抽象代数中我们对任意域Ｆ，给出多项式环Ｆ［ｘ］的下列性质，所以对Ｆｑ［ｘ］也成立。 × （１）整环Ｆｑ［ｘ］的单位群（即乘法可逆元素组成的乘法群）为Ｆｑ。换句话说，Ｆｑ［ｘ］中多项式ｆ（ｘ）可逆（即ｆ（ｘ）－１ ∈ Ｆｑ［ｘ］）当且仅当ｆ（ｘ） ≡ ａ（ａ∈ Ｆｑ）。 × （２）Ｆｑ［ｘ］是主理想整环，即每个理想Ａ都是主理想：Ａ＝（ｆ（ｘ））＝｛ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）｜ｇ（ｘ） ∈ Ｆｑ［ｘ］｝。当Ａ＝（０）时，ｆ（ｘ）＝０，而当Ａ ≠ （０）时，ｆ（ｘ）是非零多项式，并且（ｆ（ｘ））＝（ｇ（ｘ））当且仅当ｆ（ｘ）＝ｃｇ（ｘ），其中ｃ ∈ Ｆｑ。所以有惟一的首１多项式ｆ（ｘ）（即 × 最高次项系数为１），使得Ａ＝（ｆ（ｘ））。并且：Ａ是素理想当且仅当ｆ（ｘ）是Ｆｑ［ｘ］中的不可约多项式。Ｆｑ［ｘ］中的非零素理想都是极大理想。（３）Ｆｑ［ｘ］是惟一分解整环，即：Ｆｑ［ｘ］中每个次数 ≥ １的多项式ｆ（ｘ）都惟一地分解成其中ｃ ∈ Ｆｆ（ｘ）＝ｃｐ１（ｘ）ｐ２（ｘ） … ｐｇ（ｘ）， × ｑ，ｐ１（ｘ），… ，ｐｇ（ｘ）是Ｆｑ（ｘ）中首１不可约多项式。现在研究不可约多项式的性质。与通常实数域或复数域上的多项式相对比，下面一些结果可看到有限域上多项式有不少特别的性质。定理Ａ．２．１设ｆ（ｘ）是Ｆｑ［ｘ］中ｎ次不可约多项式（ｎ ≥ １），ｆ（ｘ） ≠ ｘ。 α 为ｆ（ｘ）在Ｆｑ的代数闭包中的一个根，则（１）ｆ（ｘ）有ｎ个不同的根，它们是 α ，α ，α ，… ，α ｑｑ２ｑｎ－１ｎ。并且ｎ是满足 α ＝ α ｑ的最小正整数。ｉｑｎｎ（２） α （０ ≤ ｉ ≤ ｎ－１）有相同的乘法阶ｌ，ｌ｜ｑ－１，并且ｎ也是满足ｑ ≡ １１６纠错码的代数理论１（ｍｏｄｌ）的最小正整数。ｎｑ（３）ｘ－ｘ是Ｆｑ［ｘ］中所有次数除尽ｎ的首１不可约多项式的乘积。（４）Ｆｑ［ｘ］中ｎ次首１不可约多项式的个数为ｎ／ｄＮｑ（ｎ）＝１ ∑ μ（ｄ）ｑ，ｎｄ｜ｎ其中，μ（ｎ）是初等数论中的莫比乌斯函数，定义为１，若ｎ＝１，（－１），若ｎ是ｌ个不同素数之乘积，０，否则。ｌ μ（ｎ）＝证明ｎ ∑ ｉ＝０（１）和（２）：先证Ｆｑ［ｘ］中不可约多项式ｆ（ｘ）没有重根，设ｆ（ｘ）＝ａｉｘ（ａｉ ∈ Ｆｑ，ａｎ ≠ ０），则ｆ（ｘ）的形式微商为ｆ′（ｘ） ∈ ｉｎｉａｉｘ ∑ ｉ＝０ｉ－１ ∈ Ｆｑ［ｘ］。我们知道，ｆ（ｘ）没有重根当且仅当（ｆ（ｘ），ｆ′（ｘ））＝１。由ｆ′（ｘ）的次数小于ｎ，而ｆ（ｘ）是ｎ次不可约，可知当（ｆ（ｘ），ｆ′（ｘ）） ≠ ０时，必然ｆ′（ｘ） ≡ ０，即ｉａｉ＝０ ∈ Ｆｑ（０ ≤ ｉ ≤ ｎ）。设Ｆｑ的特征为素数ｐ，则当ｐ祰ｉ时必然ａｉ＝０。所以ｆ（ｘ）有形式ｆ（ｘ）＝ｔ ∑ ｉ＝０ａｉｐｘｉｐｔ＝（ ∑ ｉ＝０ａｉｐｘ），这与ｆ（ｘ）不可约相矛盾，于是证明了Ｆｑ［ｘ］中ｉｐ不可约多项式没有重根。设 α１，… ，αｎ是ｆ（ｘ）的ｎ个（不同的）根，α＝ α１，则Ｆｑ［αｉ］＝Ｆｑｎ（１ ≤ ｉ ≤ ｎ）。于是ｎｎ－１ａｎｘ＋ａｎ－１ｘ＋ … ＋ａ１ｘ＋ａ０＝ｆ（ｘ）＝ａｎ（ｘ－ α１）（ｘ－ α２） … （ｘ－ αｎ），其中ｘ－ αｉ ∈ Ｆｑｎ［ｘ］（１ ≤ ｉ ≤ ｎ）。将上式两边作用Ｆｑｎ的Ｆｑ唱自同构 τ（τ（γ）＝ γ ）可知ｑｑｑｆ（ｘ）＝ａｎ（ｘ－ α１）（ｘ－ α２） … （ｘ－ αｎ）。ｑｉ所以若 α＝ α１为ｆ（ｘ）的根，则 α ＝ α１也是ｆ（ｘ）的根，于是 α （ｉ＝０，１，２ … ）均是ｆ（ｘ）的根。 × 由于ｆ（ｘ） ≠ ｘ，可知ａ０ ≠ ０，即ｆ（ｘ）的根均不为零，于是 α 为Ｆｑｎ中元素，并ｑｑｑｎｎ且 α 的乘法阶ｌ为ｑ－１为因子，这表明 α ＝１，即 α ＝ α 。我们现在证明ｉｉｊｊｉｑｑｑｑ－ｑ α （０ ≤ ｉ ≤ ｎ－１）彼此不同。假如 α ＝ α （０ ≤ ｉ＜ｊ ≤ ｎ－１），则１＝ α ＝ｊ－ｉｉｊ－ｉｊ－ｉｎｊ－ｉｉｎ－ｉｊ－ｉ（ｑ－１）ｑｑ－１（ｑ－１）ｑ（ｑ－１）ｑｑｑ α ，从而 α ＝ α ＝ α ＝１。即 α ＝ α 。这表明 α ∈ Ｆｑｊ－ｉ而１ ≤ ｊ－ｉ ≤ ｎ－１。这与Ｆｑ［α］＝Ｆｑｎ相矛盾。这就证明了：若 α 是Ｆｑ［ｘ］中ｎｑ－１ｑｉｎ次不可约多项式ｆ（ｘ）的一个根，则ｆ（ｘ）有ｎ个不同的根，它们是 α （０ ≤ ｉ ≤ ｎ－１）。（１）和（２）的其他论断由上面证明中可以看出。ｑ附录Ａ：有限域１１７（３）令Ｆ（ｘ）是Ｆｑ（ｘ）中所有次数除尽ｎ的首１不可约多项式之乘积。为证ｎｎｎＦ（ｘ）＝ｘ－ｘ，我们只需证明Ｆ（ｘ）和ｘ－ｘ有相同的根。由于ｘ－ｘ的ｑ的根即是Ｆｑｎ中全部元素，我们只需证明Ｆ（ｘ）的根也是Ｆｑｎ中全部元素。设ｆ（ｘ）是Ｆｑ［ｘ］中ｄ次首１不可约多项式，ｄ｜ｎ，α为ｆ（ｘ）的根，则Ｆｑ（α）＝Ｆｑｄ彻Ｆｑｎ。因此 α 是Ｆｑｎ中元素，反之，对Ｆｑｎ中每个元素 α ，令Ｆｑ（α）＝Ｆｑｄ。由 α ∈ Ｆｑｎ可知Ｆｑｄ＝Ｆｑ（α）彻Ｆｑｎ，于是ｄ｜ｎ。而 α 在Ｆｑ上的最小多项式ｆ（ｘ）是Ｆｑ（ｘ）中首１不可约多项式，次数ｄ除尽ｎ。ｑｑｑｎｎ这就证明了Ｆ（ｘ）的根也是Ｆｑｎ中全部元素，于是Ｆ（ｘ）＝ｘ－ｘ。（４）对每个ｄ ≥ １，以Ｎｑ（ｄ）表示Ｆｑ［ｘ］中ｄ次首１不可约多项式的个数。这Ｎｑ（ｄ）个ｄ次首１多项式共有ｄＮｑ（ｄ）个根。根据（３），将ｄ过ｎ的正因子求和，ｑ便得到全部ｑ个根（即Ｆｑｎ中全部元素），于是有ｎ ∑ ｄ｜ｎｄＮｑ（ｄ）＝ｑ。ｎ利用初等数论中的Ｍｏ̈ ｂｉｕｓ反演公式，给出ｎＮｑ（ｎ）＝ ∑ ｄ｜ｎＮｑ（ｎ）的公式。习题１ｎ为。（ｎ，ｌ）ｎ／ｄ μ（ｄ）ｑ。这就得到设 α 是乘法群Ｆｑ中的ｎ阶元素。证明对每个整数ｌ，元素 α 的阶ｌ × 习题２设ｆ（ｘ）是Ｆｑ［ｘ］中不可约多项式，ｆ（ｘ） ≠ ｘ。证明ｆ（ｘ）的所有根的乘法阶是相同的。定义Ａ．２．２乘法循环群Ｆｑ的生成元 α（即 α 为ｑ－１阶元素）叫作有限域Ｆｑ的一个本原元素。设Ｆｑｎ＝Ｆｑ（α），则 α 在Ｆｑ上的最小多项式ｆ（ｘ）为Ｆｑ［ｘ］中ｎ次首１不可约多项式，ｆ（ｘ）＝０。如果 α 是Ｆｑｎ中本原元素，则ｆ（ｘ）叫作Ｆｑ［ｘ］中的ｎ次本原多项式。换句话说，Ｆｑ［ｘ］中ｎ次首１不可约多项式ｆ（ｘ）叫作是Ｆｑ［ｘ］中的本原 × 多项式，是指ｆ（ｘ）的（每个）根的阶为ｑ－１。ｎ定理Ａ．２．３Ｆｑ［ｘ］中ｎ次本原多项式的个数为ｎ φ（ｑ－１）。ｎ证明设 α 是Ｆｑｎ中的一个本原元素，即 α 的阶为ｑ－１，则Ｆｑｎ中元素可表ｎ示成 α （１ ≤ ｌ ≤ ｑ－１）。由上面习题１知，α 的阶为ｌｎｌ × ｑ－１ｌ。所以 α 是Ｆｑｎ中ｎ（ｑ－１，ｌ）ｎ１１８纠错码的代数理论ｑ－１ｎｎ＝ｑ－１，即当且仅当（ｑ－１，ｌ）＝１。由于１ ≤ ｌ ≤ ｎ（ｑ－１，ｌ）ｎｎｎｎｑ－１并且（ｑ－１，ｌ）＝１的整数个数有 φ（ｑ－１）个，所以Ｆｑｎ中共有 φ （ｑ－１）个本原元素。因为Ｆｑ［ｘ］中每个ｎ次本原多项式的根是Ｆｑｎ中ｎ个本原元素，这就ｎ本原元素当且仅当证明了Ｆｑ［ｘ］中ｎ次本原多项式的个数为例４ φ（ｑｎ－１）。ｎ取ｑ＝２，ｎ＝４。则Ｆ２［ｘ］中４次不可约多项式的个数为１１４１４／ｄ２Ｎ２（４）＝ μ（ｄ）２＝２－２＝（１６－４）＝３。４ ∑ ４４ｄ｜２４ φ（２－１） φ（１５）８＝＝＝２。事实上，４４４Ｆ２［ｘ］中３个４次不可约多项式为ｆ１（ｘ）＝ｘ４＋ｘ＋１，ｆ２（ｘ）＝ｘ４＋ｘ３＋１和而Ｆ２［ｘ］中４次本原多项式的个数为ｆ３（ｘ）＝ｘ＋ｘ＋ｘ＋ｘ＋１。取这三个多项式当中任一多项式的一个根 α ，均有Ｆ２４＝Ｆ２［α］＝Ｆ２（α）。我们在例３中取ｆ３（ｘ）的一个根 α ，α 的阶为５。可知ｆ３（ｘ）不是Ｆ２［ｘ］中的本原多项式。于是ｆ１（ｘ）和ｆ２（ｘ）为Ｆ２［ｘ］中的本原多项式。我们在例３中指出，β＝１＋ａ是Ｆ１６中的一个本原元素（即阶为１６－１＝１５）。 β 在Ｆ２上的最小多项式ｆ（ｘ）应当为Ｆ２［ｘ］中的４次本原多项式ｆ１（ｘ）或ｆ２（ｘ）。根据定理Ａ．２．１，ｆ（ｘ）的４个根为 β ＝１＋ａ，β２＝（１＋ａ）２＝１＋ａ２，β４＝（１＋ａ）４＝１＋ａ４＝ａ＋ａ２＋ａ３，４３２ β ＝１＋ａ＝１＋ａ（注意：ａ＝ａ＋ａ＋ａ＋１，ａ＝１）。４３２令ｆ（ｘ）＝ｘ＋ｃ１ｘ＋ｃ２ｘ＋ｃ３ｘ＋１，则由韦达定理，８８３４３２５ｃ１＝ β ＋ β ＋ β ＋ β ＝１＋ａ＋１＋ａ＋ａ＋ａ＋ａ＋１＋ａ＝１。２４８２２３３这表明 β在Ｆ２上的最小多项式为ｆ２（ｘ）＝ｘ４＋ｘ３＋１。Ｆ１６中非零元素为 β （０ ≤ ｉ ≤ １４）。它们也惟一表示成ｉ β ＝ｃ０＋ｃ１ β ＋ｃ２ β ＋ｃ３ β ＝（ｃ０ｃ１ｃ２ｃ３）ｉ４２３３２３（ｃｉ ∈ Ｆ２）。利用 β ＝１＋ β ，便得到Ｆ１６中诸元素对于基｛１，β ，β ，β ｝的向量表示２０＝（００００），１＝（１０００），β ＝（０１００），β ＝（００１０），３４５６７８９１０ β ＝（０００１），β ＝（１００１），β ＝（１１０１），β ＝（１１１１）， β ＝（１１１０），β ＝（０１１１），β ＝（１０１０），β ＝（０１０１），１１１２１３１４ β ＝（１０１１），β ＝（１１００），β ＝（０１１０），β ＝（００１１）。５５如果求 β 在Ｆ２上的最小多项式ｇ（ｘ），由 β 的阶为１５可知 β 的阶为３。因ｘ３＋１２５１０此ｇ（ｘ）＝＝ｘ＋ｘ＋１。或者根据定理Ａ．２．１（１）：ｇ（ｘ）的根为 β ，β ，而ｘ＋１２０５５１０ β ＝ β 。所以ｇ（ｘ）是以 β ＝（１１０１）和 β ＝（０１０１）为根的２次不可约多项式。附录Ａ：有限域１１９ｇ（ｘ）＝ｘ＋（β ＋ β ）ｘ＋ β · β ＝ｘ＋ｘ＋１。５５２５即Ｆ２（β ）＝Ｆ４。由于ｇ（ｘ）的根 β 的阶为２－１＝３，可知 β 是Ｆ４中本原元素，即２５１０５１０２ｘ＋ｘ＋１是Ｆ２［ｘ］中的本原多项式。（注意：Ｆ２［ｘ］中２次本原多项式个数为２２ φ（２－１）＝１。）２习题３例５写出Ｆ３［ｘ］中所有３次首１不可约多项式，其中哪些是本原多项式？在Ｆ３［ｘ］中将ｘ６０－１分解成首１不可约多项式的乘积。解ｘ－１＝（ｘ－１），我们只需分解ｆ（ｘ）＝ｘ－１。由ｆ′（ｘ）＝２０ｘ＝１９２０８０８１２ｘ，（ｆ（ｘ），ｆ′（ｘ））＝１，可知ｆ（ｘ）没有重根。由于ｘ－１｜（ｘ－１）ｘ＝ｘ－ × × ２０２０ｘ，可知ｆ（ｘ）的根均在Ｆ８１＝Ｆ３４之中，若 α 和 β 为ｆ（ｘ）的根，即 α ＝ β ＝１，则－１２０２０－１（α ）＝（αβ）＝１，即 α 和 αβ 也是ｆ（ｘ）的根，可知ｆ（ｘ）的全部２０个根形成 × 循环群Ｆ８１的一个乘法子群，所以它也是循环群，这表明存在阶为２０的一个根 α ，６０２０３２０１９使得ｆ（ｘ）的全部根为 α （０ ≤ ｉ ≤ １９）。ｉｉ２０对每个 α ，α 在Ｆ３上的最小多项式ｇ（ｘ）都是ｆ（ｘ）＝ｘ－１在Ｆ３［ｘ］中的一ｉｌ－１ｌ个首１不可约多项式因子，而ｇ（ｘ）的根为 α ，α ，… ，α 。其中ｌ是满足 α ＝ｉｌ α 的最小正整数，即ｌ是满足３ｉ ≡ ｉ（ｍｏｄ２０）的最小正整数，并且ｄｅｇｇ（ｘ）＝ｌ。ｉｉｊ于是，ｆ（ｘ）的根 α （０ ≤ ｉ ≤ １９）分成一些等价类，其中 α 和 α 等价，是指存在整数ｉｎ３ｉ３ｉ３ｉｎ，使得 α ＝ α （即３ｉ ≡ ｊ（ｍｏｄ２０））。每个等价类对应于ｆ（ｘ）＝ｘ－１的一个首１不可约多项式因子ｇ（ｘ），并且ｇ（ｘ）的次数等于这个等价类中元素的个数。这些等价类为０｛α ＝１｝，３９７３·７２１｛α ，α ，α ，α ｝（α ＝ α ＝ α），２６１８１４３·１４４２｛α ，α ，α ，α ｝（α ＝ α ＝ α），４１２１６８３·８４｛α ，α ，α ，α ｝（α ＝ α ），｛α５，α１５｝（α３·１５＝ α５），｛α１０＝－１｝（α３·１０＝ α１０），１１１３１９１７３·１７１１｛α ，α ，α ，α ｝（α ＝ α ）。２０这表明ｘ－１在Ｆ３［ｘ］中是７个首１不可约多项式之乘积，次数分别为１，４，４，ｉ· ３ｊｎ２０４，２，１，４。我们可将ｘ２０－１初步地分解成２０１０１０ｘ－１＝（ｘ－１）（ｘ＋１）５５２８６４２＝（ｘ－１）（ｘ＋１）（ｘ＋１）（ｘ－ｘ＋ｘ－ｘ＋１）４３２４３＝（ｘ－１）（ｘ＋ｘ＋ｘ＋ｘ＋１）（ｘ＋１）（ｘ－ｘ１２０纠错码的代数理论＋ｘ－ｘ＋１）（ｘ＋１）（ｘ－ｘ＋ｘ－ｘ＋１）。可知上式右边只有最后的８次多项式应当再分解成两个４次不可约多项式的乘５ｘ－１４３２４３２积。由ｘ＋ｘ＋ｘ＋ｘ＋１＝，可知ｘ＋ｘ＋ｘ＋ｘ＋１的根均是５阶元ｘ－１ｘ５＋１４１２１６８４３２素，即根为等价类｛α ，α ，α ，α ｝。同样地，ｘ－ｘ＋ｘ－ｘ＋１＝的根均ｘ＋１是１０阶元素，从而对应等价类｛α２，α６，α１８，α１４｝。设８６４２ｘ－ｘ＋ｘ－ｘ＋１＝ｇ（ｘ）ｈ（ｘ），３其中ｇ（ｘ）和ｈ（ｘ）是Ｆ３［ｘ］中４次首１不可约多项式，则它们的根分别为｛ α ，α ，９７１１１３１９１７－１－３－９－７ α ，α ｝和｛α ，α ，α ，α ｝＝｛α ，α ，α ，α ｝。即３９７４３２ｇ（ｘ）＝（ｘ－ α）（ｘ－ α ）（ｘ－ α ）（ｘ－ α ）＝ｘ＋ｃ１ｘ＋ｃ２ｘ＋ｃ３ｘ＋ｃ４，２２８６４２ｈ（ｘ）＝（ｘ－ α ）（ｘ－ α ）（ｘ－ α ）（ｘ－ α ），其中ｃ４＝ α · α３ · α９ · α７＝ α２０＝１。由于ｇ（ｘ）和ｈ（ｘ）的根互为倒数（ｇ（β）＝０骋－１２ｈ（β ）＝０），可知ｈ（ｘ）为ｇ（ｘ）的“反向” 多项式，即ｈ（ｘ）＝１＋ｃ１ｘ＋ｃ２ｘ＋３４ｃ３ｘ＋ｃ４ｘ。于是８６４２ｘ－ｘ＋ｘ－ｘ＋１＝ｇ（ｘ）ｈ（ｘ）４３２４３２＝（ｘ＋ｃ１ｘ＋ｃ２ｘ＋ｃ３ｘ＋１）（ｘ＋ｃ３ｘ＋ｃ２ｘ＋ｃ１ｘ＋１）比较两边ｘ的系数，可知０＝ｃ１＋ｃ３。于是８６４２ｘ－ｘ＋ｘ－ｘ＋１＝（ｘ４＋ａｘ３＋ｂｘ２－ａｘ＋１）（ｘ４－ａｘ３＋ｂｘ２＋ａｘ＋１）（ａ，ｂ ∈ Ｆ３）－１－３－９－７＝（ｘ＋ｂｘ＋１）－（ａｘ－ａｘ）４２２２２２２＝（ｘ＋ｂｘ＋１）－ａ（ｘ－１）ｘ，４即２２３２ｙ４－ｙ３＋ｙ２－ｙ＋１＝（ｙ２＋ｂｙ＋１）２－ａ２（ｙ－１）２ｙ。２比较两边ｙ和ｙ的系数，可知２－１＝２ｂ－ａ，２从而２＝２－２ｂ＋ｂ，２２１＝２＋ｂ－ａ，２从而ｂ＝０或２。当ｂ＝２时，ａ＝５＝２在Ｆ３中无解，于是ｂ＝０而ａ＝ ± １。即８６４２４３４３ｘ－ｘ＋ｘ－ｘ＋１＝（ｘ＋ｘ－ｘ＋１）（ｘ－ｘ＋ｘ＋１）。从而２０２４３２４３ｘ－１＝（ｘ－１）（ｘ＋１）（ｘ＋１）（ｘ＋ｘ＋ｘ＋ｘ＋１）（ｘ－ｘ２４３４３＋ｘ－ｘ＋１）（ｘ＋ｘ－ｘ＋１）（ｘ－ｘ＋ｘ＋１），６０而ｘ－１在Ｆ３［ｘ］中分解成上式右边７个不可约多项式的三次方之乘积。附录Ａ：有限域１２１本节最后介绍有限域上多项式的周期特性，设ｆ（ｘ）＝ａｎｘ＋ … ＋ａ１ｘ＋ａ０ｎ是Ｆｑ［ｘ］中多项式，常数项ａ０＝ｆ（０）不是零，即０不为ｆ（ｘ）的根，我们要证明存在某个正整数ｌ，使得ｆ（ｘ）｜ｘ－１。这样的多项式ｆ（ｘ）叫作是具有周期的。ｌ定义Ａ．２．４Ｆｑ［ｘ］中多项式ｆ（ｘ）若是具有周期的，则满足ｆ（ｘ）｜ｘ－１的引理Ａ．２．５设ｆ（ｘ）为Ｆｑ［ｘ］中具有周期的多项式。则对每个正整数ｎ，ｌ最小正整数ｌ叫作是多项式ｆ（ｘ）的周期（ｐｅｒｉｏｄ），表示成ｐｅｒ（ｆ）。ｆ（ｘ）｜ｘ－１当且仅当ｐｅｒ（ｆ）｜ｎ。ｎ证明记ｌ＝ｐｅｒ（ｆ）。如果ｌ｜ｎ，则ｆ（ｘ）｜ｘｌ－１｜ｘｎ－１。反之若ｆ（ｘ）｜ｘｎ－１，用ｌ除ｎ有带余除法ｎ＝ｑｌ＋ｒ，ｑ，ｒ ∈ Ｚ，０ ≤ ｒ ≤ ｌ－１。于是ｆ（ｘ）｜（ｘ－１，ｘ－１）＝（ｘ－１，ｘ－１）。从而ｆ（ｘ）｜ｘ－１。由于ｌ是ｆ（ｘ）ｌｎｌｒｒ的周期而０ ≤ ｒ ≤ ｌ－１，可知ｒ＝０，即ｌ｜ｎ，证毕。下面定理表明Ｆｑ［ｘ］中每个常数项不为零的多项式都是具有周期的，并且给出决定周期的方法。定理Ａ．２．６设ｆ（ｘ） ∈ Ｆｑ［ｘ］，ｆ（０） ≠ ０（即ｘ祰ｆ（ｘ）），ｄｅｇｆ（ｘ） ≥ １。ｑ＝ｐ，其中ｐ为素数，ｍ ≥ １。则ｆ（ｘ）是具有周期的。具体地说，ｍｄｅｇｆｑ（１）若ｆ（ｘ）在Ｆｑ［ｘ］中不可约，则ｐｅｒ（ｆ）为ｆ的每个根的阶，于是ｐｅｒ（ｆ）｜－１。（２）若ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ），其中ｇ（ｘ）为Ｆｑ［ｘ］中不可约多项式，ｂ ≥ １。令ｔ是满ｂ足ｐ ≥ ｂ的最小整数，则ｐｅｒ（ｆ）＝ｐ · ｐｅｒ（ｇ）。ｔｔ（３）设ｆ（ｘ）＝ｆ１（ｘ）ｆ２（ｘ） … ｆｓ（ｘ），其中ｆ１，… ，ｆｓ为Ｆｑ［ｘ］中两两互素的多项式，ｄｅｇｆｉ ≥ １（１ ≤ ｉ ≤ ｓ）。则ｐｅｒｆ＝［ｐｅｒ（ｆ１），… ，ｐｅｒ（ｆｓ）］。证明以下记ｌ＝ｐｅｒ（ｆ）。ｎｑ（１）若ｆ（ｘ）为Ｆｑ（ｘ）中ｎ（ ≥ １）次不可约多项式，则ｆ（ｘ）｜ｘ－ｘ。再由ｆ（０） ≠ ０可知ｘ祰ｆ（ｘ）。于是ｆ（ｘ）｜（ｘｑｎ－ｘ）／ｘ＝ｘｎｑ－１－１。于是ｌ｜ｑ－１。进ｎ而，对ｆ（ｘ）的每个根 α ，ｆ（ｘ）｜ｘ－１骋（ｘ－ α）｜ｘ－１骋 α ＝１。可知ｆ（ｘ）的周期ｓｓｓｌ即是 α 的阶（特别地，ｌ＝ｑ－１当且仅当ｆ（ｘ）为本原多项式）。ｎ１２２纠错码的代数理论（２）记ｐｅｒ（ｇ）＝ｅ。由ｇ（ｘ）｜ｘ－１和ｂ ≤ ｐ可知ｔｔｔｂｐｅｐｅｐｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）｜ｇ（ｘ）｜（ｘ－１）＝ｘ－１。ｔｄ因此ｌ＝ｐｅｒ（ｆ）｜ｅｐ。另一方面，记ｄ＝ｄｅｇ（ｇ（ｘ）），则ｅ｜ｑ－１，从而（ｅ，ｐ）＝１。ｌｔ λ 由ｇ｜ｆ可知ｇ｜ｘ－１。于是ｅ＝ｐｅｒ（ｇ）｜ｐｅｒ（ｆ）＝ｌ｜ｅｐ。这表明ｌ＝ｅｐ（０ ≤ λ ≤ λ λ ｂｅｐｅｐｅｔ）。于是ｆ＝ｇ（ｘ）｜ｘ－１＝（ｘ－１）。由于ｇ（ｘ）和ｘ－１都没有重根，必然 λ ｔｂ ≤ ｐ。再由ｔ的定义可知 λ ≥ ｔ。于是 λ＝ｔ，即ｐｅｒ（ｆ）＝ｌ＝ｅｐ。（３）由于ｆ１，… ，ｆｓ两两互素，可知对每个正整数ｎ，ｅｔｆ（ｘ）｜ｘ－１骋ｆｉ（ｘ）｜ｘ－１ｎ（１ ≤ ｉ ≤ ｓ）ｎ骋ｐｅｒ（ｆｉ）｜ｎ（１ ≤ ｉ ≤ ｓ）骋［ｐｅｒ（ｆ１），… ，ｐｅｒ（ｆｓ）］｜ｎｐｅｒ（ｆ）＝［ｐｅｒ（ｆ１），… ，ｐｅｒ（ｆｒ）］。因此例６解求Ｆ２［ｘ］中多项式ｆ（ｘ）＝（ｘ＋ｘ＋１）（ｘ＋ｘ＋１）的周期。２３４ｘ＋ｘ＋１是Ｆ２［ｘ］中不可约多项式，周期为３，ｘ＋ｘ＋１为Ｆ２［ｘ］中本２４原多项式，周期为２－１＝１５。由定理Ａ．２．６可知（ｘ＋ｘ＋１）的周期为３ · ２２＝１２。而ｆ（ｘ）的周期为［１２，１５］＝６０。４２３列出Ｆ５［ｘ］中所有２次首１不可约多项式，其中哪些是本原多习题４项式？习题５将ｘ＋１在Ｆ２［ｘ］中分解成不可约多项式的乘积。习题６证明当ｎ ≥ ３时，ｘ２＋ｘ＋１在Ｆ２［ｘ］中可约。习题７证明ｘ－ｘ＋１是Ｆ３［ｘ］中本原多项式。２１ｎ５习题８设ｆ（ｘ）是Ｆｑ［ｘ］中ｎ次不可约多项式，对每个正整数ｋ，令ｄ＝（ｎ，ｋ）。ｎ证明ｆ（ｘ）是Ｆｑｋ［ｘ］中ｄ个次不可约多项式之积。ｄ习题９ｘｐ－１＋ｘ设ｐ为奇素数，２模ｐ的阶为ｓ。证明ｓ｜ｐ－１，并且多项式＋ … ＋ｘ＋１在Ｆ２［ｘ］中是ｐ－２习题１０ｐ－１个ｓ次不可约多项式的乘积。ｓｐ设ｆ（ｘ）是Ｆｑ［ｘ］中首１多项式，ｆ（０） ≠ ０，ｄｅｇｆ（ｘ）＝ｄ ≥ １。证明ｐｅｒ（ｆ） ≤ ｑ－１。并且ｐｅｒ（ｆ）＝ｑ－１当且仅当ｆ为本原多项式。ｄｘ－１＝ｘ－１ｄ附录Ａ：有限域１２３Ａ．３有限域上的幂级数环通信中一个信息序列可以表达成一个ｑ元序列（ａｎ ∈ Ｆｑ）， α ＝（ａ０，ａ１，… ，ａｎ，… ）它等同于一个“形式”幂级数 α（ｘ）＝ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ＋ … ＋ａｎｘ＋ … ＝ｎ２ ∞ ∑ ｎ＝０ａｎｘ。ｎ所有这种幂级数组成的集合记成Ｆｑ［［ｘ］］。上述幂级数 α（ｘ）和 β（ｘ）＝ ∞ ∑ ｎ＝０ｂｎｘｎ相等，当且仅当ａｎ＝ｂｎ（对每个ｎ ≥ ０），也就是 α 和 β ＝（ｂ０，ｂ１，… ，ｂｎ，… ）是同一个序列。我们在Ｆｑ［［ｘ］］中引入自然的加法和乘法运算： ∞ ∑ α（ｘ）＋ β（ｘ）＝ｎ＝０（ａｎ＋ｂｎ）ｘ，ｎ ∞ ∞ ∞ α（ｘ）β（ｘ）＝（ ∑ ａｎｘ）（ ∑ ｂｍｘ）＝ｎｎ＝０ ∑ λ＝０其中ｃλ ＝ ∑ ｎ，ｍ ≥ ０ｎ＋ｍ＝ λ （ ∑ ｍ＝０ ∞ ＝ｍ ∑ ｎ，ｍ ≥ ０ｎ＋ｍ＝ λ ｎ，ｍ＝０ ∞ ａｎｂｍ）ｘ＝ λ ａｎｂｍｘｎ＋ｍｃλ ｘ， λ ∑ λ＝０ａｎｂｍ。容易验证Ｆｑ［［ｘ］］对于这些运算形成含幺交换环，叫作Ｆｑ上的幂级数环，零元素０即对应全零序列（０，０，… ，０，… ），幺元素１对应于序列（１，０，０，… ，０，… ）。Ｆｑ上的每个多项式ｆ（ｘ）＝ａ０＋ａ１ｘ＋ … ＋ａｎｘ对应于有限ｎ序列（ａ０，ａ１，… ，ａｎ），它可看成是幂级数的特殊情形（当ｌ ≥ ｎ＋１时，ａｌ＝０），即看成是序列（ａ０，ａ１，… ，ａｎ，０，… ，０，… ）。于是Ｆｑ上的多项式环Ｆｑ［ｘ］是Ｆｑ［［ｘ］］的一个子环。 × 多项式环Ｆｑ［ｘ］的单位群（乘法可逆元素全体）为Ｆｑ。下面引理表明，幂级数环有更多的乘法可逆元素，从而可以比在Ｆｑ［ｘ］中更自由地做除法。引理Ａ．３．１ａ０ ≠ ０。Ｆｑ［［ｘ］］中的幂级数 α（ｘ）＝ ∞ ∑ ａｎｘ是乘法可逆的当且仅当ｎｎ＝０ ∞ 证明若 α（ｘ）可逆，则存在幂级数 β（ｘ）＝ ∑ ｎ＝０ｂｎｘ（ｂｎ ∈ Ｆｑ）使得ｎ１２４纠错码的代数理论 ∞ １＝ α（ｘ）β（ｘ）＝ ∑ ｎ＝０ｃｎｘ，ｃｎ＝ｎ ∑ λ＋ μ ＝ｎ λ ，μ ≥ ０ａλ ｂ μ 于是１＝ａ０ｂ０，从而ａ０ ≠ ０。反之若ａ０ ≠ ０，我们考察是否存在幂级数 β（ｘ）＝ ∞ ∑ ｎ＝０ｂｎｘ使得 α（ｘ）β（ｘ）＝１。这相当于ｂ０，ｂ１，… ，ｂｎ，… 满足ｎａ０ｂ０＝１，ａ１ｂ０＋ａ０ｂ１＝０， … ａｎｂ０＋ａｎ－１ｂ１＋ … ＋ａ１ｂｎ－１＋ａ０ｂｎ＝０， … 由于ａ０ ≠ ０，我们可以依次取ｂ０＝ａ０－１，ｂ１＝－ａ０ａ１ｂ０，－１ … ｂｎ＝－ａ０－１（ａｎｂ０＋ａｎ－１ｂ１＋ … ＋ａ１ｂｎ－１）， … ∞ 这样得到的 β（ｘ）＝ ∑ ｎ＝０ｂｎｘ就是 α（ｘ）的逆ｎ１。 α（ｘ）特别地，对于Ｆｑ［ｘ］中每个多项式ｆ（ｘ），如果常数项不为０，即ｆ（０） ≠ ０，则ｆ（ｘ）为Ｆｑ［ｘ］中的可逆元素，即则１ｎ ∈ Ｆｑ［［ｘ］］，例如ｆ（ｘ）＝１－ｘｆ（ｘ）（ｎ ≥ １），１ｎ为幂级数。事实上，１－ｘｎｎｎｎ１１－ｘｘ１１＋ｘｎｎ＝ｎ＋ｎ＝１＋ｘ · ｎ＝１＋ｘ１－ｘ１－ｘ１－ｘ１－ｘ１－ｘｎ＝１＋ｘ＋ｘｎ２ｎ＋ｘ３ｎ＋ … 。它对应于周期序列（１０ … ０１０ … ０１０ … ０ … ），即１后面有ｎ－１个０，然后周期地重复。定义Ａ．３．２Ｆｑ上序列 α ＝（ａ０，ａ１，… ，ａｎ，… ）叫作周期序列，是指存在某个正整数ｌ，使得ａｉ＋ｌ＝ａｉ（ｉ＝０，１，２，… ）。这时，此序列（ａ０，… ，ａｌ－１，ａ０，… ，ａｌ－１，… ）也表示成 α＝（痹ａ０，… ，痹ａｌ－１）。满足此条件的最小正整数ｌ叫作序列 α 的周期。附录Ａ：有限域１２５习题１设 α＝（ａ０，ａ１，… ，ａｎ，… ）是Ｆｑ上的周期序列，周期为ｌ。则对每个正整数ｍ，条件ａｉ＋ｍ＝ａｉ（ｉ＝０，１，２，… ）成立当且仅当ｌ｜ｍ。现在我们来刻画Ｆｑ上的周期序列。定理Ａ．３．３ ∞ 级数 α（ｘ）＝ ∑ ｎ＝０（１）Ｆｑ上序列 α ＝（ａ０，ａ１，… ，ａｎ，… ）是周期序列，当且仅当幂ａｎｘ为真分式ｎｄｅｇｆ（ｘ））并且ｆ（０） ≠ ０。（２）若ｇ（ｘ）（即ｇ（ｘ），ｆ（ｘ） ∈ Ｆｑ［ｘ］，ｄｅｇｇ（ｘ）＜ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）是既约真分式，即ｇ（ｘ），ｆ（ｘ） ∈ Ｆｑ［ｘ］，ｄｅｇｇ（ｘ）＜ｄｅｇｆ（ｘ），ｆ（ｘ）ｆ（０） ≠ ０并且（ｇ（ｘ），ｆ（ｘ））＝１。则对应序列的周期等于多项式ｆ（ｘ）的周期ｐｅｒ（ｆ）（见定义Ａ．２．４）。证明 ∞ α（ｘ）＝ ∑ ｎ＝０（１）若 α＝（ａ０，… ，ａｌ－１）是Ｆｑ上周期序列，则 · · ａｎｘ＝（ａ０＋ａ１ｘ＋ … ＋ａｌ－１ｘｎ＝（ａ０＋ａ１ｘ＋ … ＋ａｌ－１ｘ＝ａ０＋ａ１ｘ＋ … ＋ａｌ－１ｘｌ１－ｘｌ－１ｌ－１）＋ｘ（ａ０＋ａ１ｘ＋ … ＋ａｌ－１ｘｌｌ－１）＋ … ）（１＋ｘ＋ｘ＋ … ）ｌ２ｌｌ－１（１）这是真分式，并且分母的常数项不为零。反之，若ｇ（ｘ）为真分式，ｇ（ｘ），ｆ（ｘ） ∈ ｆ（ｘ）Ｆｑ［ｘ］，并且ｆ（０） ≠ ０。则由定理Ａ．２．６，存在正整数ｌ，使得ｆ（ｘ）｜１－ｘｌ。令１－ｘｌ＝ｆ（ｘ）ｈ（ｘ），其中ｈ（ｘ） ∈ Ｆｑ［ｘ］，则ｇ（ｘ）ｇ（ｘ）ｈ（ｘ）＝，ｌｆ（ｘ）１－ｘ其中右边仍是真分式，即ｄｅｇ（ｇ（ｘ）ｈ（ｘ）） ≤ ｌ－１。记ｇ（ｘ）ｈ（ｘ）＝ａ０＋ａ１ｘ＋ … ＋ａｌ－１ｘｌ－１，（ａｉ ∈ Ｆｑ），则ａ０＋ａ１ｘ＋ … ＋ａｌ－１ｘｇ（ｘ）＝ｌｆ（ｘ）１－ｘｌ－１，由（１）式即知它对应于周期序列（痹ａ０，… ，痹ａｌ－１）。（２）设ｇ（ｘ）为既约真分式，即ｇ（ｘ），ｆ（ｘ） ∈ Ｆｑ［ｘ］，ｆ（０） ≠ ０，ｄｅｇｇ（ｘ）＜ｆ（ｘ）ｄｅｇｆ（ｘ），并且（ｆ（ｘ），ｇ（ｘ））＝１。令ｇ（ｘ）对应的周期序列的周期为ｌ。我们要ｆ（ｘ）１２６纠错码的代数理论ｇ（ｘ）对应的序列有形式ｆ（ｘ）（痹ａ０，… ，痹ａｐｅｒ（ｆ）－１）。于是ｌ｜ｐｅｒ（ｆ）（习题１）。另一方面，由于序列的周期为ｌ，由ｇ（ｘ）ｈ（ｘ）ｌ（１）中证明可知＝。于是ｆ（ｘ）｜（１－ｘ）ｇ（ｘ）。由于ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）互ｆ（ｘ）１－ｘｌｌ素，从而ｆ（ｘ）｜１－ｘ，这表明ｐｅｒ（ｆ）｜ｌ（引理Ａ．２．５）。于是ｌ＝ｐｅｒ（ｆ）。证ｌ＝ｐｅｒ（ｆ）。由于ｆ（ｘ）｜１－ｘｐｅｒ（ｆ），由（１）中证明可知１＋ｘ２３５所对应的周期序列。１＋ｘ＋ｘ＋ｘ２３５２３５解（１＋ｘ，１＋ｘ＋ｘ＋ｘ）＝１＋ｘ，１＋ｘ＝（１＋ｘ）（１＋ｘ），１＋ｘ＋ｘ＋ｘ＝１＋ｘ３４３（１＋ｘ）（１＋ｘ＋ｘ）。于是 α（ｘ）＝这是既约真分式。ｆ（ｘ）＝１＋ｘ＋３４，１＋ｘ＋ｘｘ４是Ｆ２［ｘ］中本原多项式，周期为１５。所以 α（ｘ）对应的序列 α是周期为１５的二元序列，由于１５３４３４６８９１０１１１＋ｘ＝（１＋ｘ＋ｘ）（１＋ｘ＋ｘ＋ｘ＋ｘ＋ｘ＋ｘ＋ｘ），于是３４６８９１０１１＋ｘ＋ｘ＋ｘ＋ｘ＋ｘ＋ｘ） α（ｘ）＝（１＋ｘ）（１＋ｘ１５１＋ｘ例７求Ｆ２［［ｘ］］中真分式 α（ｘ）＝１＋ｘ＋ｘ＋ｘ＋ｘ＋ｘ＋ｘ＋ｘ１５１＋ｘ３＝５６ · ７８１２， · 所以 α（ｘ）对应的序列为（１１０１０１１１１０００１００）。例８对于以ｆ（ｘ）＝（ｘ＋ｘ＋１）为分母的真分式，可以对应多少二元周期序列？它们的周期是多少？ｇ（ｘ）（即ｇ（ｘ） ∈ Ｆ２［ｘ］，解以ｆ（ｘ）为分母的真分式 α（ｘ）＝３２（ｘ＋ｘ＋１）６ｄｅｇｇ（ｘ） ≤ ５）共有２＝６４个，从而共有６４个二元周期序列。当ｇ（ｘ）＝０时，对 · ｈ（ｘ）应一个周期为１的全零序列（０）（α（ｘ）＝０）。当 α（ｘ）为既约分式３时，由ｘ＋ｘ＋１３３于ｘ＋ｘ＋１为Ｆ２［ｘ］中本原多项式，周期为７。这样的既约分式共２－１＝７个（即要求ｄｅｇｈ（ｘ） ≤ ２，ｈ（ｘ） ≠ ０），对应７个周期为７的二元序列。其余６４－１－７＝ｇ（ｘ）３２５６个α（ｘ）＝３根据定理Ａ．２．６，（ｘ＋ｘ＋１）的周期２是既约真分式，（ｘ＋ｘ＋１）为１４，所以这５６个二元序列的周期为１４。３习题２２以ｆ（ｘ）＝（ｘ＋ｘ＋１）（ｘ＋ｘ＋１）为分母的真分式，可以对应多少３２附录Ａ：有限域１２７二元周期序列？它们的周期是多少？习题３设ｆ（ｘ），ｇ（ｘ） ∈ Ｆｑ［ｘ］，ｆ（０） ≠ ０。如果ｄｅｇｇ（ｘ） ≥ ｄｅｇｆ（ｘ），试问ｇ（ｘ）分式对应的Ｆｑ上序列有什么特性？ｆ（ｘ）将Ｆｑ上周期序列表示成真分式的好处是：我们常可以把周期序列表示成一些简单的周期序列之和，这要利用下面结果。引理Ａ．３．４设ｆ（ｘ）＝ｆ１（ｘ）ｆ２（ｘ） … ｆｓ（ｘ），其中ｆｉ（ｘ）（１ ≤ ｉ ≤ ｓ）是Ｆｑ［ｘ］ｇ（ｘ）ｆ（ｘ）Ｆｑ［ｘ］，ｄｅｇｇ（ｘ）＜ｄｅｇｆ（ｘ））可以惟一地表示成ｓ个真分式之和：ｇ１（ｘ）ｇ２（ｘ）ｇｓ（ｘ）ｇ（ｘ）＝＋＋ … ＋ｆ（ｘ）ｆ１（ｘ）ｆ２（ｘ）ｆｓ（ｘ）中两两互素的多项式，ｄｅｇｆｉ（ｘ） ≥ １（１ ≤ ｉ ≤ ｓ）。则每个真分式（ｇ（ｘ） ∈ （ｇｉ（ｘ） ∈ Ｆｑ［ｘ］，ｄｅｇｇｉ（ｘ）＜ｄｅｇｆｉ（ｘ））。证明我们只证明ｓ＝２的情形（一般情形用数学归纳法）。设ｆ（ｘ）＝ｆ１（ｘ）ｆ２（ｘ），ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ） ∈ Ｆｑ［ｘ］，（ｆ１，ｆ２）＝１。由于Ｆｑ［ｘ］是主理想整环，主理想（ｆ１（ｘ））＝ｆ１（ｘ）Ｆｑ［ｘ］和（ｆ２（ｘ））＝ｆ２（ｘ）Ｆｑ［ｘ］之和为主理想（（ｆ１，ｆ２））＝（１）＝Ｆｑ［ｘ］，即ｆ１Ｆｑ［ｘ］＋ｆ２Ｆｑ［ｘ］＝Ｆｑ［ｘ］，所以对于ｇ（ｘ） ∈ Ｆｑ［ｘ］，ｄｅｇｇ（ｘ）＜ｄｅｇｆ（ｘ），存在Ａ（ｘ），Ｂ（ｘ） ∈ Ｆｑ［ｘ］，使得Ａ（ｘ）ｆ１（ｘ）＋Ｂ（ｘ）ｆ２（ｘ）＝ｇ（ｘ）。于是Ａ（ｘ）ｆ１（ｘ）＋Ｂ（ｘ）ｆ２（ｘ）ｇ（ｘ）Ｂ（ｘ）Ａ（ｘ）＝＝＋ｆ（ｘ）ｆ１（ｘ）ｆ２（ｘ）ｆ１（ｘ）ｆ２（ｘ）作带余除法Ｂ（ｘ）＝ｂ（ｘ）ｆ１（ｘ）＋ｇ１（ｘ），Ａ（ｘ）＝ａ（ｘ）ｆ２（ｘ）＋ｇ２（ｘ），其中ｂ（ｘ），ａ（ｘ），ｇ１（ｘ），ｇ２（ｘ） ∈ Ｆｑ［ｘ］，ｄｅｇｇ１（ｘ）＜ｄｅｇｆ１（ｘ），ｄｅｇｇ２（ｘ）＜ｄｅｇｆ２（ｘ）。则ｇ（ｘ）＝ｂ（ｘ）＋ａ（ｘ）＋ｇ１（ｘ）＋ｇ２（ｘ）。ｆ（ｘ）ｆ１（ｘ）ｆ２（ｘ）ｇ（ｘ）由于左边是真分式，可知ｂ（ｘ）＋ａ（ｘ）＝０。因此表示成两个真分式之和：ｆ（ｘ）ｇ１（ｘ）ｇ２（ｘ）ｇ（ｘ）＝＋。ｆ（ｘ）ｆ１（ｘ）ｆ２（ｘ）１２８纠错码的代数理论令ｄｅｇｆ（ｘ）＝ｄ，ｄｅｇｆ１（ｘ）＝ｄ１，ｄｅｇｆ２（ｘ）＝ｄ２，则ｄ＝ｄ１＋ｄ２。以ｆ（ｘ）为分母的真分式共ｑ个，以ｆ１（ｘ）和ｆ２（ｘ）为分母的真分式分别有ｑ１和ｑ２个。ｄｄｄ所以上式右边也有ｑ１ · ｑ２＝ｑ个可能性。这就表示分解是惟一的，即ｇ１（ｘ）ｄｄｄ和ｇ２（ｘ）由ｇ（ｘ）所决定。 · 例９ · 考虑周期为２１的二元序列 α ＝（１０００１１００１０１０１１１１１００００）对应的真４５８１０１２１３１４１５１６１＋ｘ＋ｘ＋ｘ＋ｘ＋ｘ＋ｘ＋ｘ＋ｘ＋ｘ，用辗转相除法算分式为 α（ｘ）＝２１１＋ｘ１出分子和分母的最大公因子为分子多项式。由此得到 α（ｘ）＝４５。由于１＋ｘ＋ｘ４５２３２３１＋ｘ＋ｘ＝（１＋ｘ＋ｘ）（１＋ｘ＋ｘ），其中（１＋ｘ＋ｘ）和（１＋ｘ＋ｘ）分别是Ｆ２［ｘ］中周期为３和７的本原多项式。根据引理Ａ．３．４，我们可把 α（ｘ）惟一地分解为ｇ１（ｘ）ｇ２（ｘ）１ α（ｘ）＝４５＝２＋３１＋ｘ＋ｘ１＋ｘ＋ｘ１＋ｘ＋ｘ（ｇ１（ｘ），ｇ２（ｘ） ∈ Ｆ２［ｘ］，ｄｅｇｇ１（ｘ） ≤ １，ｄｅｇｇ２（ｘ） ≤ ２）。于是１＝ｇ１（ｘ）（１＋ｘ＋ｘ）＋ｇ２（ｘ）（１＋ｘ＋ｘ）。利用同余式方法，得到３２ｇ１（ｘ）（１＋ｘ＋ｘ） ≡ １（ｍｏｄ１＋ｘ＋ｘ）。３２因此ｇ１（ｘ） ≡ １１ｘ＋ｘ２３ ≡ ２３ ≡ ２３１＋ｘ＋ｘｘ＋ｘｘ＋ｘ２ ≡ １ ≡ ｘ＋ｘ ≡ １＋ｘ（ｍｏｄ１＋ｘ＋ｘ）。ｘｘ从而ｇ１（ｘ）＝１＋ｘ，而３ｇ２（ｘ）１１＋ｘ１＋（１＋ｘ）（１＋ｘ＋ｘ）＋３＝２３２＝２３１＋ｘ＋ｘ（１＋ｘ＋ｘ）（１＋ｘ＋ｘ）１＋ｘ＋ｘ（１＋ｘ＋ｘ）（１＋ｘ＋ｘ）２ｘｘ＋ｘ＋ｘ＝２３３，（１＋ｘ＋ｘ）（１＋ｘ＋ｘ）１＋ｘ＋ｘ２＝３４２因此１＋ｘｘ１＋ｘｘ＋ｘ＋ｘ＋ｘ。２＋３＝３＋７１＋ｘ＋ｘ１＋ｘ＋ｘ１＋ｘ１＋ｘ２ α（ｘ）＝２从而 · · · · α ＝（１０１）＋（００１１１０１）。２３４６附录Ａ：有限域１２９Ａ．４有限域的加法特征定义Ａ．４．１有限域加法群Ｆｑ到非零复数乘法群Ｃ的群同态 λ ：Ｆｑ → Ｃ叫定理Ａ．４．２对每个ｂ＝（ｂ１，… ，ｂｍ）（ｂｉ ∈ Ｆｐ），映射 × × 作有限域Ｆｑ的一个加法特征，换句话说，λ 为Ｆｑ的加法特征，是指对任意ａ，ｂ ∈ Ｆｑ，均有 λ（ａ＋ｂ）＝ λ（ａ）λ（ｂ）。ｍ我们来决定有限域Ｆｑ的全部加法特征。设ｑ＝ｐ，其中ｐ为素数，ｍ ≥ １，则Ｆｑ是Ｆｑ上ｍ维向量空间，取Ｆｑ的一组Ｆｐ唱基ｖ１，… ，ｖｍ，则Ｆｑ中元素可表示成向量ａ＝ａ１ｖ１＋ … ＋ａｍｖｍ＝（ａ１，… ，ａｍ）（ａｉ ∈ Ｆｐ）。 λｂ：Ｆｑ → Ｃ × ， λｂ（ａ）＝ ζｐａ１ｂ１＋ … ＋ａｍｂｍ（ζｐ＝ｅｐ）２πｉ是Ｆｑ的加法特征，并且当ｂ过全部向量时，λｂ给出Ｆｑ的全部ｐ＝ｑ个不同的加法特征。ｍ证明记ａ１ｂ１＋ … ＋ａｍｂｍ＝（ａ，ｂ） ∈ Ｆｐ，则（ａ＋ａ′ ，ｂ）（ａ，ｂ）＋（ａ′ ，ｂ）（ａ，ｂ）（ａ′ ，ｂ） λｂ（ａ＋ａ′）＝ ζ ｐ＝ ζｐ＝ ζｐ ζ ｐ＝ λｂ（ａ）λｂ（ａ′），可知 λｂ是Ｆｑ的加法特征。另一方面，设 λ 是Ｆｑ的一个加法特征，由于 λ 是群同态，可知 λ（０）＝１。对每个基元ｖｉ，ｐｖｉ＝０，从而１＝ λ（０）＝ λ（ｐｖｉ）＝ λ（ｖｉ）。这ｂ就表明 λ（ｖｉ）是ｐ次单位根，于是 λ（ｖｉ）＝ ζｐｉ（１ ≤ ｉ ≤ ｍ）。可认为ｂｉ ∈ Ｆｐ。于是对Ｆｑ中每个元素ａ＝ａ１ｖ１＋ … ＋ａｍｖｍ＝（ａ１，… ，ａｍ），（ａｉ ∈ Ｆｐ） χ（ａ）＝ χ（ａ１ｖ１＋ … ＋ａｍｖｍ）＝ χ（ａ１ｖ１） … χ（ａｍｖｍ）ｐａａａｂ＋ … ＋ａｂｍｍ＝ χ（ｖ１）１ … χ（ｖｍ）ｍ＝ ζ ｐ１１＝ χｂ（ａ），从而Ｆｑ的每个加法特征 χ 都可表成 χ ｂ，最后证ｑ个加法特征 χ ｂ（ｂ＝（ｂ１，… ，ｂｍ）ｍ ∈ Ｆｐ）彼此不同。设ｂ′ ＝（ｂ′１，… ，ｂ′ｍ），如果ｂ ≠ ｂ′ ，则存在某个ｉ（１ ≤ ｉ ≤ ｍ），使得ｂｉ厨ｂ′ｉ（ｍｏｄｐ），于是 ζ ｐｉ ≠ ζ ｐｉ。所以 χｂ（ｖｉ）＝ ζ ｐｉ ≠ ζ ｐｉ＝ χｂ′ （ｖｉ），即 χｂ ≠ χｂ′ 。这就完成了定理Ａ．４．２的证明。ｂｂ′ ｂｂ′ 对于Ｆｑ的两个特征 λ 和 λ′ ，定义（λλ′）（ａ）＝ λ（ａ）λ′（ａ）（ａ ∈ Ｆｑ），易知 λλ′也是＾ｑ成为群，叫Ｆｑ的加法特征Ｆｑ的加法特征。从而Ｆｑ的全部加法特征组成的集合Ｆ－１群。幺元素为 λ０，它将Ｆｑ中每个元素均映成１。容易验证 λａ λｂ＝ λａ＋ｂ。而 λｂ＝＾ｑ同构于Ｆｑ的加法群。由于 λ －ｂ。这表明特征群Ｆ（ａ，ｂ）－１（ａ，－ｂ）－１ λｂ（ａ）＝ λ －ｂ（ａ）＝ ζｐ＝珔ζｐ＝珔λｂ（ａ）（珔ζｐ＝ ζｐ为 ζｐ的复共轭），从而１３０纠错码的代数理论－１ λｂ＝珔λｂ，珔λｂ叫 λｂ的共轭特征。现在给出Ｆｑ的加法特征的另一种表达方式。定义Ａ．４．３设ｍ ≥ １，定义映射Ｔ＝ＴＦｑｍ／Ｆｑ：Ｆｑｍ → Ｆｑｍ－１Ｔ（ａ）＝ａ＋ａ＋ａ＋ … ＋ａ（ａ ∈ Ｆｑｍ）叫作有限域Ｆｑｍ对于子域Ｆｑ的迹映射（ｔｒａｃｅｍａｐｐｉｎｇ）。注意对每个ａ ∈ Ｆｑｍ，ｑｍｑｑ２ｍ－１ａ＝ａ。于是Ｔ（ａ）＝（ａ＋ａ＋ … ＋ａ）＝ａ＋ａ＋ … ＋ａｍＴ（ａ） ∈ Ｆｑ。所以Ｔ是从Ｆｑ到Ｆｑ的映射。ｑｑｑｑｑｑｑｑ２ｍ－１＋ａ＝Ｔ（ａ），即定理Ａ．４．４（１）定义Ａ．４．３中的迹映射Ｔ是加法群的满同态，并且是Ｆｑ唱线性映射，即对于ｃ ∈ Ｆｑ，ａ ∈ Ｆｑｍ，Ｔ（ｃａ）＝ｃＴ（ａ）。（２）设ｑ＝ｐ，其中ｐ为素数，ｍ ≥ １，Ｔ是Ｆｑ对于Ｆｐ的迹映射，ζｐ＝ｅｐ。则对每个ｂ ∈ Ｆｑ，映射ａｂ） ηｂ：Ｆｑ → Ｃ × ， ηｂ（ａ）＝ ζＴ（（ａ ∈ Ｆｑ）ｐ是Ｆｑ的加法特征，并且 ηｂ（ｂ ∈ Ｆｑ）给出Ｆｑ的全部ｑ个加法特征。进而，ηｂ＋ｂ′ ＝ ηｂ η ｂ′ 。ｍ证明２πｉ（１）对于ａ，ａ′ ∈ Ｆｑｍ，ｃ ∈ Ｆｑ，则ｃ＝ｃ。因此ｑＴ（ａ＋ａ′）＝Ｔ（ｃａ）＝ｍ－１ ∑ ｉ＝０ｍ－１ ∑ ｉ＝０ｉｃａｑｉ（ａ＋ａ′）＝ｑｑｉｍ－１＝ ∑ ｉ＝０ｃａｑｉｍ－１ ∑ ｉ＝０ｉｉ（ａ＋ａ′ ）＝Ｔ（ａ）＋Ｔ（ａ′），ｑｑ＝ｃＴ（ａ），所以Ｔ是加法群同态，并且是Ｆｑ唱线性映射。进而，对每个ａ ∈ Ｆｑｍ，ａ ∈ ＫｅｒＴ骋ａ＋ａ＋ … ＋ａｑ｜ＫｅｒＴ｜ ≤ ｑｑｍ－１ｍ－１＝０。由于ｘ＋ｘ＋ … ＋ｘｑｑｍ－１在Ｆｑｍ中至多有ｑ，由群同态Ｔ给出单射Ｆｑ／ＫｅｒＴ → Ｆｑ，所以ｍｑ＝｜Ｆｑ｜≥ ｜ＩｍＴ｜＝｜Ｆｑｍ／ＫｅｒＴ｜＝ｑ／｜ＫｅｒＴ｜ ≥ ｑ／ｑ这就表明｜ＩｍＴ｜＝ｑ＝｜Ｆｑ｜，所以Ｔ是满射。（２）对于ｂ，ａ，ａ′ ∈ Ｆｑ，令Ｔ是Ｆｑ对Ｆｐ的迹映射，则ｍｍｍ－１ｍ－１个根，所以＝ｑ。 ηｂ（ａ＋ａ′）＝ ζｐ＝ ζｐ＝ ηｂ（ａ）ηｂ（ａ′），可知 ηｂ是Ｆｑ的加法特征，我们只需再证当ｂ和ｂ′是Ｆｑ中不同元素时，ηｂ和 ηｂ′ 是ＦｑＴ（ｂ（ａ＋ａ′））Ｔ（ｂａ）＋Ｔ（ｂａ′）－１的不同加法特征，容易验证 ηｂ ηｂ′ ＝ ηｂ＋ｂ′ ，从而 ηｂ ≠ ηｂ′ 相当于１ ≠ ηｂ ηｂ′ ＝ ηｂ η －ｂ′ ＝ ηｂ－ｂ′ 。所以我们只需证明：当０ ≠ ｃ ∈ Ｆｑ时，ηｃ ≠ １（即不为恒取值为１的加法特征）。由于Ｔ是满射，所以有ｄ ∈ Ｆｑ，使得０ ≠ Ｔ（ｄ） ∈ Ｆｐ，于是 ηｃ（ｃ－１ｄ）＝ ζｐＴ（ｃｃ－１ｄ）＝附录Ａ：有限域１３１Ｔ（ｄ） ζｐ ≠ １，这就表明 ηｃ ≠ １，所以 ηｂ（ｂ ∈ Ｆｑ）给出Ｆｑ的全部ｑ个不同的加法特征。作为迹映射的一个应用，我们现在给出Ｆｑ上周期序列的另一种表达方式。定理Ａ畅４畅５（Ｆｑ上周期序列的迹表达式） ∞ 的周期序列，α（ｘ）＝ ∑ ｎ＝０设 α ＝（ａ０，ａ１，… ，ａｎ，… ）是Ｆｑ上ｎａｎｘ＝ｇ（ｘ）为真分式，其中ｇ（ｘ），ｆ（ｘ） ∈ Ｆｑ［ｘ］，ｆ（０） ≠ ｆ（ｘ）０，又设ｆ（ｘ）没有重根，于是ｆ（ｘ）＝ｆ１（ｘ）ｆ２（ｘ） … ｆｓ（ｘ），其中ｆｉ（ｘ）（１ ≤ ｉ ≤ ｓ）为Ｆｑ［ｘ］中两两不同的不可约多项式，ｄｅｇｆｉ（ｘ）＝ｄｉ ≥ １，取ｆｉ（ｘ）的一个根 αｉ，于是Ｆｑ（αｉ）＝Ｆｑｄｉ（１ ≤ ｉ ≤ ｓ）。令Ｔｉ为Ｆｑｄｉ对于Ｆｑ的迹映射（１ ≤ ｉ ≤ ｓ），则存在由序列 α 惟一决定的ｓ个元素 βｉ ∈ Ｆｑｄｉ（１ ≤ ｉ ≤ ｓ），使得ｓａｎ＝Ｔｉ（βｉ αｉ）－ｎ ∑ ｉ＝１（ｎ＝０，１，２，… ）。先证ｓ＝１的情形，即ｆ（ｘ）是Ｆｑ［ｘ］中ｄ次不可约多项式，令 α 为证明ｆ（ｘ）的一个根，由ｆ（０） ≠ ０可知 α ≠ ０，并且Ｆｑ（α）＝Ｆｑｄ。由于ｆ（ｘ）的全部根为ｑｑ α ，α ，… ，α ｄ－１，并且不妨设ｆ（ｘ）的常数项为１，从而ｆ（ｘ）＝（１－ α 将真分式 α（ｘ）＝－１ｘ）（１－ α ｘ）（１－ α －ｑ－ｑ２ｘ） … （１－ α －ｑｄ－１ｘ）ｉｇ（ｘ）在幂级数环Ｆｑｄ［［ｘ］］中可以分解成以（１－ α －ｑｘ）（０ ≤ ｉ ≤ ｆ（ｘ）ｄ－１）为分母的一些真分式之和：ｄ－１ βｉ α（ｘ）＝ ∑ ｉ－ｑｉ＝０１－ α ｘ（β０，β１，… ，βｄ－１ ∈ Ｆｑｄ）。（２）将此式两边取ｑ次方，ｄ－１ βｉｉ－ｑ１－α ｘ ∑ ｉ＝０ ∞ ｑ α（ｘ）＝ ∑ ｎ＝０ｄ－１ｑ ∑ ＝ａｎｘｎｉ＝０ｑｑ βｉ，ｉ＋１１－ α－ｑｘｑ ∞ ＝ ∑ ｎ＝０ａｘｑｎ ∞ ｎｑ＝ ∑ ｎ＝０（３）ａｎ（ｘ）ｑ式（３）和式（４）的右边应当相等，将ｘ改为ｘ，则得到ｑｄ－１ α（ｘ）＝ ∑ ｉ＝０ｑ βｉｉ＋１－ｑ１－α ｘ（α －ｑｄｎ（由于ａｎ ∈ Ｆｑ）。－１＝ α ）。（４）（５）但是 α（ｘ）的两个分解式（２）和式（５）应当一样，所以有 βｉ＋１＝ βｉ（０ ≤ ｉ ≤ ｄ－２）。ｑ１３２纠错码的代数理论ｉ记 β０＝ β ，则 βｉ＝ β （０ ≤ ｉ ≤ ｄ－１）。于是ｑ ∞ ∑ ｎ＝０ａｎｘ＝ α（ｘ）＝ｎ＝ｄ－１ ∑ ｉ＝０ ∞ ｄ－１ ∑ ∑ ｎ＝０ｉ＝０ｑｉ β ＝ｉ－ｑ１－α ｘｄ－１ ∑ ｉ＝０ｉ（βα －ｎ）ｑｘｎ＝ β ∞ ∑ ｎ＝０ｑｉ ∞ ∑ ｎ＝０（α －ｑｉｘ）ｎＴ（βα －ｎ）ｘｎ，所以ａｎ＝Ｔ（βα ）（ｎ＝０，１，２，… ），其中Ｔ是Ｆｑｄ对Ｆｑ的迹映射。对于一般情形，ｇｓ（ｘ）ｇ（ｘ）ｇ１（ｘ） α（ｘ）＝＝＋ … ＋，ｆ（ｘ）ｆ１（ｘ）ｆｓ（ｘ）ｇｉ（ｘ）ｇｉ（ｘ）其中（１ ≤ ｉ ≤ ｓ）都是真分式，将上面的证明用于每个，即得到定理中的ｆｉ（ｘ）ｆｉ（ｘ）－ｎ一般结果。最后，由于每个 βｉ ∈ Ｆｑｄｉ有ｑｉ个取法，所以｛β１，… ，βｓ｝共有ｑ１ｑ２ … ｑｓ＝ｄｄｄｄｓ种取法。另一方面，ｄｅｇｆ（ｘ）＝ｄ１＋ｄ２＋ … ＋ｄｓ，而真分式 α（ｘ）＝ｑ１１ｇ（ｘ）ｄ＋ｄ＋ … ＋ｄｓ也有ｑ１２个，所以｛ β１，… ，βｓ｝的不同取法给出不同的序列 α ＝（ａ０，ｆ（ｘ）ａ１，… ，ａｎ，… ），即｛β１，… ，βｓ｝由序列 α 所决定。ｄ＋ｄ＋ … ＋ｄ习题１设ｑ＝ｐ，其中ｐ为素数，ｍ ≥ １，ｆ（ｘ）为Ｆｑ［ｘ］中的不可约多项式，ｆ（０） ≠ ０，α 是ｆ（ｘ）在Ｆｑ的某个扩域中的一个根。设 α ＝（ａ０，ａ１，… ，ａｎ，… ）是Ｆｑｍ上的序列对应于以ｆ（ｘ）为分母的真分式，对于正整数ｋ，以ｆｋ（ｘ）表示 α 在Ｆｑ上ｋ的最小多项式（即ｆｋ（ｘ）是以 α 为根的Ｆｑ［ｘ］中不可约首１多项式），证明序列 α 的“ ｋ唱采样”序列（ｋ） α ＝（ａ０，ａｋ，ａ２ｋ，… ，ａｎｋ，… ）对应于以ｆｋ（ｘ）为分母的真分式。ｋ习题２（拉格朗日插值公式）设ｆ（ｘ）是Ｆｑ［ｘ］中ｎ次首１多项式，ｆ（ｘ）在Ｆｑ中有ｎ个不同根ａ１，ａ２，… ，ａｎ，则对每个ｇ（ｘ） ∈ Ｆｑ［ｘ］，ｄｅｇｇ（ｘ）＜ｎ，ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｎ ∑ ｉ＝１ｂｉ，ｘ－ａｉ其中ｇ（ａｉ）ｇ（ａｉ） ∈ Ｆｑ，＝ｉ１ｉｉ－１）（ａｉ－ａｉ＋１） … （ａｉ－ａｎ）（ａ－ａ） … （ａ－ａｆ′（ａｉ）而ｆ′（ｘ）为ｆ（ｘ）的微商多项式。ｂｉ＝附录Ｂ：线性移存器序列线性移存器序列与本书中的循环码有密切联系，在这个附录中我们只介绍线性移存器序列与纠错码理论有关的一些内容。Ｂ畅１线性移存器序列Ｆｑ上的一个ｋ位线性移位寄存器（ｌｉｎｅａｒｓｈｉｆｔ唱ｒｅｇｉｓｔｏｒ，以下简称线性移存器）如下图所示（ｋ ≥ １，ａ１，ａ２，… ，ａｋ ∈ Ｆｑ）：ｃ＝（ｃ０，ｃ１，ｃ２，… ）（移位寄存部分）（计算反馈部分）它由两部分组成：（１）移位寄存部分。有ｋ个存储单位，存放Ｆｑ中元素，开始时存入（ｃ０，ｃ１，… ，ｃｋ－１） ∈ Ｆｑ，叫作初始状态。（２）计算反馈部分。将寄存部分的内容（ｘ０，ｘ１，… ，ｘｋ－１）输入，并作线性计算ｆ（ｘ０，ｘ１，… ，ｘｋ－１）＝ａｋｘ０＋ａｋ－１ｘ１＋ … ＋ａ１ｘｋ－１ ∈ Ｆｑ。例如把初始状态（ｃ０，ｃ１，… ，ｃｋ－１）输入，计算出ｃｋ＝ｆ（ｃ０，ｃ１，… ，ｃｋ－１）＝ａｋｃ０＋ａｋ－１ｃ１＋ … ＋ａ１ｃｋ－１。ｋ在下一时刻，寄存部分的内容均向左移一位，ｃ０输出，而计算值ｃｋ反馈到空出的最右边那一位，所以寄存部分的状态成为（ｃ１，ｃ２，… ，ｃｋ），将这个状态输入到计算部分，算出ｃｋ＋１＝ｆ（ｃ１，ｃ２，… ，ｃｋ）＝ａｋｃ１＋ａｋ－１ｃ２＋ … ＋ａ１ｃｋ。在下一时刻，输出ｃ１，其他位向左移，将ｃｋ＋１反馈，状态变为（ｃ２，ｃ３，… ，ｃｋ＋１），然１３４纠错码的代数理论后计算ｃｋ＋２＝ｆ（ｃ２，ｃ３，… ，ｃｋ＋１）。如此继续下去，我们便得到输出序列ｃ＝（ｃ０，ｃ１，… ，ｃｎ，… ）（ｃｎ ∈ Ｆｑ），其中（ｃ０，… ，ｃｋ－１）为初始状态，而当ｌ ≥ ｋ时，依次得到ｃｌ＝ａｋｃｌ－ｋ＋ａｋ－１ｃｌ－ｋ＋１＋ … ＋ａ１ｃｌ－１（ｌ＝ｋ，ｋ＋１，… ）。（１）线性移存器由它的位数ｋ和联接系数ａ１，ａ２，… ，ａｋ ∈ Ｆｑ所完全决定，我们把ｆ（ｘ）＝１－ａ１ｘ－ … －ａｋｘ ∈ Ｆｑ［ｘ］叫作此线性移存器的联接多项式，并且这个线性移存器表示成ＬＳＲ（ｆ），若ａｋ＝０，则这个线性移存器本质上是一个ｋ－１位ｋ的线性移存器，所以今后总假设ａｋ ≠ ０，这时联接多项式ｆ（ｘ）的次数为ｋ，并且ｆ（０）＝１，这个线性移存器的初始状态（ｃ０，ｃ１，… ，ｃｋ－１）有ｑ个可能，所以ＬＳＲ（ｆ）ｋ共可产生ｑ个序列，这些序列组成的集合表示成Ｖ（ｆ）。ｋ定理Ｂ畅１畅１（１）以ｆ（ｘ）为联接多项式的ｋ位线性移存器ＬＳＲ（ｆ）产生的ｋｑ个序列所对应的幂级数，恰好是以ｆ（ｘ）为分母的ｑ个真分式，特别地，线性移存器序列都是周期序列。（２）Ｖ（ｆ）是Ｆｑ上的ｋ维线性空间。ｋ证明 ∞ 设ｃ（ｘ）＝ ∑ ｎ＝０ｃｎｘ ∈ Ｖ（ｆ）。考虑ｎｆ（ｘ）ｃ（ｘ）＝（１－ａ１ｘ－ａ２ｘ－ … －ａｋｘ）（ｃ０＋ｃ１ｘ＋ … ＋ｃｎｘ＋ … ）ｋ２ ∞ ＝ ∑ ｌ＝０ｂｌｘ，ｌｎ（２）其中ｂ０＝ｃ０，ｂ１＝ｃ１－ｃ０ａ１， … ｂｋ－１＝ｃｋ－１－ｃｋ－２ａ１－ … －ｃ０ａｋ－１。而当ｌ ≥ ｋ时，由（１）式可知ｂｌ＝ｃｌ－ｃｌ－１ａ１－ … －ｃｌ－ｋａｋ＝０，所以式（２）右边为多项式ｇ（ｘ）＝ｋ－１ ∑ ｌ＝０ｂｌｘ，而ｃ（ｘ）为真分式ｌ（３）ｇ（ｘ）。这样的真分式ｆ（ｘ）共ｑ个，对应于Ｖ（ｆ）中全部序列，以ｆ（ｘ）为分母的全部真分式形成Ｆｑ唱线性空间，维数为ｋ，所以Ｖ（ｆ）也是如此（也可由序列的线性递归关系（１）推出Ｖ（ｆ）是Ｆｑ唱线性空间）。ｋ附录Ｂ：线性移存器序列注记１可以有多种方法取Ｖ（ｆ）的一组Ｆｑ唱基。一种方法是取ｅ１＝（１０ … ０），ｅ２＝（０１０ … ０），… ，ｅｋ＝（００ … ０１） ∈ Ｆｑ，则以ｅｉ（１ ≤ ｉ ≤ ｋ）为初始状态的ｋ个周期序列形成Ｖ（ｆ）的一组Ｆｑ唱基，以（ｃ０，ｃ１，… ，ｃｋ－１）为初态的序列所对应的真分ｇ（ｘ）ｋ－１式，ｇ（ｘ）＝ｂ０＋ｂ１ｘ＋ … ＋ｂｋ－１ｘ的诸系数ｂｉ可以由式（３）算出；另一种方ｆ（ｘ）ｋ－１１ｘｘ法是：真分式，，… ，对应的ｋ个序列形成Ｖ（ｆ）的一组Ｆｑ唱基，而ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）ｂ０＋ｂ１ｘ＋ … ＋ｂｋ－１ｘｋ－１一般地，对应的Ｖ（ｆ）中序列，其初始状态（ｃ０，ｃ１，… ，ｆ（ｘ）ｃｋ－１）可由公式（３）给出，即ｃ０＝ｂ０，ｃ１＝ｂ１＋ｃ０ａ１， … ｃｋ－１＝ｂｋ－１＋ｃｋ－２ａ１＋ … ＋ｃ０ａｋ－１。而当ｌ ≥ ｋ时，ｃｌ可由线性递归式（１）给出。ｋｇ（ｘ） ∈ ｆ（ｘ）Ｆｑ［［ｘ］］，所以可以用附录Ａ中方法研究Ｖ（ｆ）中的序列，例如，若ｆ（ｘ）＝ｆ１（ｘ）ｆ２（ｘ），其中ｆ１（ｘ）和ｆ２（ｘ）是Ｆｑ［ｘ］中互素的多项式，则引理Ａ畅３畅４是说，Ｖ（ｆ）中每个序列惟一地表示成Ｖ（ｆ１）和Ｖ（ｆ２）中序列之和，又如，当ｆ（ｘ）没有重根时，Ｖ（ｆ）中序列有迹表达式（定理Ａ畅４畅５）。注记２ＬＳＲ（ｆ）产生的序列均是周期序列，并且对应着真分式关于Ｖ（ｆ）中序列的周期，我们有以下结果。定理Ｂ畅１畅２设ｆ（ｘ）＝１－ａ，ｘ－ … －ａｋｘｋ ∈ Ｆｑ［ｘ］，ａｋ ≠ ０，珟ｆ（ｘ）＝－ａｋ－１ｆ（ｘ）（即珟ｆ（ｘ）是与ｆ（ｘ）相差一个非零常数因子的首１多项式）。则（１）Ｖ（ｆ）中序列的周期均不超过ｑ－１，并且Ｖ（ｆ）中有序列周期为ｑ－１当且仅当珟ｆ（ｘ）是Ｆｑ［ｘ］中的ｋ次本原多项式。（２）若ｆ（ｘ）是Ｆｑ［ｘ］中不可约多项式，则Ｖ（ｆ）中每个非零序列的周期均为ｆ（ｘ）的周期ｐｅｒ（ｆ）。特别地，若ｆ（ｘ）是Ｆｑ［ｘ］中本原多项式，则Ｖ（ｆ）中非零序ｋｋ列的周期都为ｑ－１。ｋ证明 · （１）若线性移存器ＬＳＲ（ｆ）的初态为（０，０，… ，０），则生成全零序列（０）（周期为１）；若初态（ｃ０，… ，ｃｋ－１） ≠ （０，… ，０），则生成序列ｃ＝（ｃ０，ｃ１，… ，ｃｎ，… ）１３５１３６纠错码的代数理论的每个状态（ｃｌ，ｃｌ＋１，ｃｌ＋ｋ－１）（ｌ＝０，１，２，… ）均不为（０，０，… ，０）。非零状态一共有ｑ－１个可能，所以必存在ｌ和ｌ′ ，０ ≤ ｌ＜ｌ′ ≤ ｑ－１，使得（ｃｌ，ｃｌ＋１，… ，ｃｌ＋ｋ－１）＝（ｃｌ′ ，ｃｌ′ ＋１，… ，ｃｌ′ ＋ｋ－１），然后由线性递归关系（１）可知对每个ｉ ≥ ０，均有ｃｌ＋ｉ＝ｃｌ′ ＋ｉ。由于ｃ是周期序列，由此可知对每个ｉ ≥ ０均有ｃｌ′ －ｌ＋ｉ＝ｃｉ。从而序列ｃ的周期不ｋｋ超过ｌ′ －ｌ，１ ≤ ｌ′ －ｌ ≤ ｑ－１，这就表明ｋ位线性移存器生成序列的周期不超过ｋｑ－１。或者从另一个角度，Ｖ（ｆ）中序列的周期均是ｆ（ｘ）的周期ｐｅｒ（ｆ）的因子，利用定理Ａ畅２畅６可以证明：ｆ的周期ｐｅｒ（ｆ） ≤ ｑｋ－１（ｋ＝ｄｅｇｆ），并且ｐｅｒ（ｆ）＝ｑｋ－１当且仅当珘ｆ（ｘ）为Ｆｑ［ｘ］中ｋ次本原多项式（Ａ畅２中习题１０），由此证明了定理中的（１）。ｇ（ｘ）（２）Ｖ（ｆ）中每个非零序列ｃ对应于真分式，其中ｇ（ｘ） ∈ Ｆｑ［ｘ］，ｇ（ｘ） ≠ ｆ（ｘ）０，ｄｅｇｇ（ｘ）＜ｄｅｇｆ（ｘ），如果ｆ（ｘ）不可约，则（ｆ（ｘ），ｇ（ｘ））＝１，于是ｃ的周期等于ｆ的周期ｐｅｒ（ｆ）。ｋ定义Ｂ畅１畅３设ｆ（ｘ）＝１－ａ，ｘ－ … －ａｋｘ ∈ Ｆｑ［ｘ］，ｋ ≥ １，ａｋ ≠ ０，并且珘ｆ（ｘ）＝ｋ－ａｋｆ（ｘ）是Ｆｑ［ｘ］中本原多项式，则Ｖ（ｆ）中非零序列叫作ｑ元ｋ级ｍ唱序列。－１于是，ｑ元ｋ级ｍ唱序列是Ｆｑ上周期为ｑ－１的序列，由于Ｆｑ［ｘ］中ｋ次本原ｋｋｋ φ（ｑ－１） φ（ｑ－１）多项式共有个，从而共有个ｋ位线性移存器可生成ｑ元ｋ级ｋｋｍ唱序列。这些序列不仅周期长，而且有很好的统计平衡性质（见下面定理），所以用来作为保密通信中的密钥将信息加密。定理Ｂ畅１畅４设ｃ＝（ｃ０，ｃ１，… ，ｃｎ，… ）是ｑ元ｋ级ｍ唱序列。（１）存在Ｆｑｋ中一个本原元素 α ，和 β∈ Ｆｑｋ，使得ｃｎ＝Ｔ（βα ）ｋ其中Ｔ是Ｆｑ对于Ｆｑ的迹映射。ｎ（ｎ＝０，１，２，… ），（２）设１ ≤ ｌ ≤ ｋ，每连续ｌ位（ｃｉｃｉ＋１ … ｃｉ＋ｌ－１）（ｉ＝０，１，… ，ｑ－２）叫作ｍ唱序列ｃ＝（ｃ０，ｃ１，… ，ｃｎ，… ）＝（痹ｃ０ｃ１ … 痹ｃｑｋ－２）的一个ｌ唱游程，则对每个（０，０，… ，０） ≠ （ｂ１，ｋｂ２，… ，ｂｌ） ∈ Ｆｑ，上述ｑ－１个ｌ唱游程中恰有ｑｌｋｋ－ｌ是（０，０，… ，０），特别地（取ｌ＝１），｛ｃ０，ｃ１，… ，ｃｑｋ个是（ｂ１，… ，ｂｌ），恰有ｑ－１ｋ－ｌ｝当中恰有ｑｋ－１－１个－１个为０，而对Ｆｑ中每个非零元素ｂ，恰有ｑ个ｃｉ（０ ≤ ｉ ≤ ｑ－１）为ｂ。（３）Ｖ（ｆ）中任意两个非零序列都是平移等价的，即若（ａ０，ａ１，… ，ａｎ，… ）和（ｂ０，ｂ１，… ，ｂｎ，… ）是Ｖ（ｆ）中两个非零序列，则存在非负整数ｔ，使得ｂｎ＝ａｎ＋ｔ（ｎ＝ｋ－１ｋ０，１，２，… ）。从而Ｖ（ｆ）就是全零序列和任一非零序列的全部ｑ－１个平移序列ｋ附录Ｂ：线性移存器序列所组成的集合。证明（１）和（３），由于珟ｆ（ｘ）是Ｆｑ［ｘ］中ｋ次本原多项式，从而ｆ（ｘ）的根 α －１为Ｆｑｋ中本原元素，于是 α 也是Ｆｑｋ中本原元素，由定理Ａ畅４畅５，Ｖ（ｆ）中的序列ｃ＝（ｃ０，ｃ１，… ，ｃｎ，… ）有迹表达式ｃｎ＝Ｔ（βα ）ｎ（ｎ＝０，１，２，… ），并且 β过Ｆｑ中不同元素时，给出Ｖ（ｆ）的全部ｑ个不同的序列，ｃ为全零序列当ｋｋ且仅当 β ＝０，而Ｆｑ中非零元素惟一表示成 α （０ ≤ ｓ ≤ ｑ－２），因为 α 是Ｆｑｋ中本原ｓｋ元素，若（ａ０，ａ１，… ，ａｎ，… ）和（ｂ０，ｂ１，… ，ｂｎ，… ）为Ｖ（ｆ）中非零序列，则ａｎ＝Ｔ（βα ），ｂｎ＝Ｔ（β′α ）ｎ其中 β ，β′ ∈ Ｆ × ｋｑｎ（ｎ＝０，１，２，… ），。设 β＝ α ，β′ ＝ α ，其中０ ≤ ｓ ≤ ｓ′ ≤ ｑ－２。则ｓｓ′ ｂｎ＝Ｔ（α ｎ＋ｓ′ ＝ａｎ＋ｔｋ）＝Ｔ（α ｓ＋ｎ＋ｔ（ｔ＝ｓ′ －ｓ））（ｎ＝０，１，… ）。从而这两个序列是平移等价的（注意ａｎ＝ｂｑｋ－１－ｔ＋ｎ（ｎ＝０，１，２，… ））。对于Ｖ（ｆ）中任一个非零序列（ｃ０，ｃ１，… ，ｃｎ，… ）＝（ｃ０，… ，ｃｑｋ－２），它的连续ｑｋ－１个状态 · · （ｃｉ，ｃｉ＋１，… ，ｃｉ＋ｋ－１）（０ ≤ ｉ ≤ ｑ－２）彼此不同，从而是所有可能的非零状态。以这ｋｑ－１个状态分别作为ＬＳＲ（ｆ）的初态，得到Ｖ（ｆ）中ｑ－１个彼此不同但平移ｋｋ等价的非零序列，再加上全零序列就组成Ｖ（ｆ）。（２）ｍ唱序列（ｃ０，ｃ１，… ，ｃｑｋ－２） ∈ Ｖ（ｆ）的连续ｑ－１个状态恰好是每个可能的非零状态出现一次，所以，我们对于ｌ＝ｋ的情形证明了论断，因为每个状ｋ态都是序列的ｋ唱游程，现在对于任意ｌ，１ ≤ ｌ ≤ ｋ－１，序列连续ｑ－１个ｌ唱游程 · ｋ · （ｃｉｃｉ＋１ … ｃｉ＋ｌ－１）（０ ≤ ｉ ≤ ｑ－２）恰好是连续ｑ－１个状态（ｃｉｃｉ＋１ … ｃｉ＋ｋ－１）（０ ≤ ｉ ≤ ｋｋｑ－２）的前ｌ位，而后者是ｑ－１个所有可能的非零状态。当（０，… ，０） ≠ （ｂ１，… ，ｋｋｂｌ） ∈ Ｆｑ时，共有ｑｌｋ－ｌ个非零状态以（ｂ１，… ，ｂｌ）为它的前ｌ位。此外，共有ｑｋ－ｌ－１个非零状态前ｌ位均为零，由此即得（２）中结论。例１令ｆ（ｘ）＝１＋２ｘ＋ｘ，这是Ｆ３［ｘ］中本原多项式，从而Ｖ（ｆ）中８个非３零序列均是３元３级ｍ唱序列，周期为３－１＝２６，这个线性移存器ＬＳＲ（ｆ）如下３所示：１３７１３８纠错码的代数理论给了初态（ｃ０，ｃ１，ｃ２） ∈ Ｆ３，生成序列（痹ｃ０，ｃ１，… ，痹ｃ２５）可如下递归算出ｃｎ＝ｃｎ－１＋２ｃｎ－３（ｎ＝３，４，… ）。３取初态（ｃ０ｃ１ｃ２）＝（００１），则生成Ｖ（ｆ）中ｍ唱序列 · · ｃ＝（００１１１０２１１２１０１００２２２０１２２１２０２）。而Ｖ（ｆ）中２６个非零序列即是ｃ的所有平移序列。在序列ｃ的连续２６个数字（１唱游程）中，０出现８次，而１和２均出现９次。在连续２６个２唱游程００，０１，１１，… ，０２，２０当中，００出现２次，而每个（ｂ１ｂ２） ≠ （００）均出现３次。在连续２６个３唱游程００１，０１１，１１１，… ，２０２，０２０，２００当中每个非零（ｂ１，ｂ２，ｂ３）均出现１次。这个ｍ唱序列ｃ所对应的真分式为ｘ３ ∈ Ｆ３［［ｘ］］。１＋２ｘ＋ｘ２习题１构作一个２元４级ｍ唱序列。习题２构作全部２元３级ｍ唱序列和３元２级ｍ唱序列。习题３设ｆ（ｘ）是Ｆｑ［ｘ］中ｋ次多项式（ｋ ≥ １），ｆ（０）＝１，Ｖ（ｆ）中ｑ元序列ｇ（ｘ）ｃ＝（ｃ０，ｃ１，… ，ｃｎ，… ）对应于真分式，序列ｃ的周期为ｌ，对每个整数ｔ，０ ≤ ｆ（ｘ）ｌ－ｔｔ ≤ ｌ－１，用ｆ（ｘ）去除ｘｇ（ｘ）得到ｌ－ｔｘｇ（ｘ）＝ｑ（ｘ）ｆ（ｘ）＋ｒ（ｘ），ｑ（ｘ），ｒ（ｘ） ∈ Ｆｑ（ｘ），ｄｅｇｒ（ｘ）＜ｋ。ｒ（ｘ）证明ｃ的平移序列（ｃｔ，ｃｔ＋１，ｃｔ＋２，… ）对应的真分式为。ｆ（ｘ）习题４设（痹ａ０ａ１ … 痹ａｌ－１）是ｑ元ｋ级ｍ唱序列（ｌ＝ｑ－１），ｓ是与ｑ－１互素的正整数，证明（痹ａ０ａｓａ２ｓ … 痹ａ（ｌ－１）ｓ）也是ｑ元ｋ级ｍ唱序列。ｋｋ附录Ｂ：线性移存器序列Ｂ畅２线性移存器的综合算法假如从某个信道中截获了连续Ｎ个ｑ元信号ａ０ａ１ … ａＮ－１（ａｉ ∈ Ｆｑ）。我们想猜出它是由何种线性移存器生成的。显然它可由一个Ｎ级的任意移存器生成，取（ａ０ａ１ … ａＮ－１）为初始状态即可。我们的问题是：试求出一个级数最小的线性移存器，使得它可生成一个二元周期序列，其前Ｎ位为ａ０，ａ１，… ，ａＮ－１。也就是说，我们希望求出一个Ｆｑ［ｔ］中的多项式ｌｆ（ｔ）＝１＋ｃ１ｘ＋ … ＋ｃｌｘ（ｃｉ ∈ Ｆｑ，ｃｔ不必为１）（ｌ＜Ｎ），使得以ｆ（ｔ）为联接多项式的线性移存器（以下将它记为枙ｆ（ｔ），ｌ枛）可生成一个序列，前Ｎ位为ａ０，ａ１，… ，ａＮ－１，即以（ａ０ａ１ … ａｌ－１）为初始状态时，－ａｋ＝ｃ１ａｋ－１＋ｃ２ａｋ－２＋ … ＋ｃｌｃｋ－ｌ（ｋ＝ｌ，ｌ＋１，… ，Ｎ－１）。并且使ｌ为满足此条件的最小正整数，即枙ｆ（ｔ），ｌ枛是生成序列（ａ０ａ１ … ａＮ－１）的最短线性移存器。这叫作线性移存器的综合问题，在通信中有重要意义。本节介绍Ｊ．Ｌ．Ｍａｓｓｅｙ于１９６９年给出的一种迭代算法，解决这个综合问题。这个算法实质上就是Ｅ．Ｒ．Ｂｅｒｌｅｋａｍｐ所建议的ＢＣＨ码纠错译码的算法（见第３章），所以通常也叫作Ｂｅｒｌｅｋａｍｐ唱Ｍａｓｓｅｙ算法。这个算法的要点是归纳地依次求出一系列线性移存器枙ｆｎ（ｔ），ｌｎ枛，ｄｅｇｆｎ ≤ ｌｎ，ｎ＝１，２，… ，Ｎ，使得每个线性移存器枙ｆｎ（ｔ），ｌｎ枛均是生成给定序列（ａ０ａ１ … ａＮ－１）前ｎ位（ａ０ａ１ … ａｎ－１）的最短线性移存器。从而枙ｆＮ（ｔ），ｌＮ枛即为所求。我们先介绍这个算法并给出例子，然后证明此算法的正确性。我们约定０级线性移存器的联接多项式为ｆ（ｔ）＝１，并且生成全零序列。Ｂ唱Ｍ算法（线性移存器综合算法）（１）存在ｎ０ ≥ ０，使得ａ０＝ … ＝ａｎ０－１＝０，ａｎ０ ≠ ０。此时定义ｄ０＝ … ＝ｄｎ０－１＝０，ｄｎ０＝ａｎ０，ｆ１（ｔ）＝ … ＝ｆｎ０（ｔ）＝１，ｌ１＝ … ＝ｌｎ０＝０。并且任取枙ｆｎ０＋１（ｔ），ｌｎ０＋１枛。为确定起见，现在取ｎ＋１ｆｎ０＋１（ｔ）＝１－ｄｎ０ｔ０，ｌｎ０＋１＝ｎ０＋１。１３９１４０纠错码的代数理论（２）假设对某个ｎ，ｎ０＜ｎ＜Ｎ，已求出枙ｆｉ（ｔ），ｌｉ枛（１ ≤ ｉ ≤ ｎ），其中ｌ１＝ … ＝ｌｎ０＜ｌｎ０＋１ ≤ ｌｎ０＋２ ≤ … ≤ ｌｎ，ｆｎ（ｔ）＝１＋ｃｎ，１ｔ＋ … ＋ｃｎ，ｌｎｔｎ。ｌ计算ｄｎ＝ａｎ＋ｃｎ，１ａｎ－１＋ｃｎ，２ａｎ－２＋ … ＋ｃｎ，ｌｎａｎ－ｌｎ。 ① 若ｄｎ＝０，令ｆｎ＋１（ｔ）＝ｆｎ（ｔ）， ② 若ｄｎ ≠ ０，这时有ｍ（１ ≤ ｍ＜ｎ）使得ｌｎ＋１＝ｌｎ。ｌｍ＜ｌｍ＋１＝ｌｍ＋２＝ … ＝ｌｎ。令ｆｎ＋１（ｔ）＝ｆｎ（ｔ）－ｄｎｄｍｔｆｍ（ｔ），ｌｎ＋１＝ｍａｘ｛ｌｎ，ｎ＋１－ｌｎ｝。由此算法得到的枙ｆＮ（ｔ），ｌＮ枛就是生成（ａ０ａ１ … ａＮ－１）的一个最短的线性移存器。－１ｎ－ｍ例２用上述综合算法求生成二元序列（ａ０，ａ１，… ，ａ１０）＝（００１０００１１１０１）的最短线性移存器。解（１）ａ０＝ａ１＝０，ａ２＝１。因此ｄ０＝ｄ１＝０，ｆ１（ｔ）＝ｆ２（ｔ）＝１，ｌ１＝ｌ２＝０，ｄ２＝１，ｆ３（ｔ）＝１＋ｔ３，ｌ３＝３。（２）ｄ３＝ａ３＋ａ０＝０，ｄ４＝ａ４＋ａ１＝０，ｄ５＝ａ５＋ａ２＝１。于是ｆ４（ｔ）＝ｆ５（ｔ）＝１＋ｔ，ｌ４＝ｌ５＝３，３ｆ６（ｔ）＝ｆ５（ｔ）＋ｔ５－２ｄ６＝ａ６＝１，于是ｆ７（ｔ）＝ｆ６（ｔ）＋ｔ６－２ｄ７＝ａ７＋ａ３＝１，于是ｆ８（ｔ）＝ｆ７（ｔ）＋ｔ７－６ｆ２（ｔ）＝１，ｌ６＝ｍａｘ｛ｌ５，５＋１－ｌ５｝＝３。ｆ２（ｔ）＝１＋ｔ，ｌ７＝ｍａｘ｛ｌ６，６＋１－ｌ６｝＝４。４ｆ６（ｔ）＝１＋ｔ＋ｔ，ｌ８＝ｍａｘ｛ｌ７，７＋１－ｌ７｝＝４。４ｄ８＝ａ８＋ａ７＋ａ４＝０，于是ｆ９（ｔ）＝ｆ８（ｔ）＝１＋ｔ＋ｔ，ｌ９＝ｌ８＝４。４ｄ９＝ａ９＋ａ８＋ａ５＝１，于是ｆ１０（ｔ）＝ｆ９（ｔ）＋ｔ９－６ｆ６（ｔ）＝１＋ｔ＋ｔ＋ｔ，ｌ１０＝ｍａｘ｛ｌ９，９＋１－ｌ９｝＝６。ｄ１０＝ａ１０＋ａ９＋ａ７＋ａ６＝１，于是３４附录Ｂ：线性移存器序列ｆ１１（ｔ）＝ｆ１０（ｔ）＋ｔ１０－９ｆ９（ｔ）＝１＋ｔ＋ｔ＋ｔ＋ｔ，２３４５ｌ１１＝ｍａｘ｛ｌ１０，１０＋１－ｌ１０｝＝６。于是，枙１＋ｔ＋ｔ＋ｔ＋ｔ，６枛就是生成（００１０００１１１０１）的一个最短的线性移２３４５存器。现在我们证明Ｂ唱Ｍ算法给出的枙ｆＮ，ｌＮ枛是生成ｑ元序列（ａ０，… ，ａＮ－１）的一个最短线性移存器。事实上，我们将证明对每个ｎ，１ ≤ ｎ ≤ Ｎ＋１，Ｂ唱Ｍ算法中给出的枙ｆｎ（ｘ），ｌｎ枛都是生成此序列前ｎ位的一个最短线性移存器。首先需要一个预备性结果。引理Ｂ畅２畅１设（ａ０ａ１ … ａｎ）是ｑ元序列。（１）如果存在枙ｆ（ｔ），ｌ枛生成（ａ０ａ１ … ａｎ－１），但不能生成（ａ０ａ１ … ａｎ－１ａｎ），则每个可生成（ａ０ａ１ … ａｎ）的线性移存器级数均 ≥ ｎ＋１－ｌ。（２）对每个ｉ（１ ≤ ｉ ≤ ｎ），以ｌｉ表示生成（ａ０ａ１ … ａｉ－１）的线性移存器的最短级数，则ｌ１ ≤ ｌ２ ≤ … ≤ ｌｎ，ｌｉ ≤ ｉ。并且若对某个ｉ（１ ≤ ｉ ≤ ｎ－１）可生成（ａ０ａ１ … ａｉ－１），而不能生成（ａ０ａ１ … ａｉ－１ａｉ），则证明ｌｉ＋１ ≥ ｍａｘ｛ｌｉ，ｉ＋１－ｌｉ｝。（１）记ａ（ｔ）＝ａ０＋ａ１ｔ＋ … ＋ａｎ－１ｔｎ－１。用幂级数的表达方式，可知：枙ｆ（ｔ），ｌ枛生成（ａ０ａ１ … ａｎ－１）相当于存在ｇ（ｔ），ｆ（ｔ） ∈ Ｆｑ［ｔ］，ｄｅｇｆ ≤ ｌ，ｆ（０）＝１，ｄｅｇｇ（ｔ） ≤ ｌ－１，使得ｇ（ｔ） ≡ ａ（ｔ）ｆ（ｔ）（ｍｏｄｔｎ）。而枙ｆ（ｔ），ｌ枛不能生成（ａ０ａ１ … ａｎ－１ａｎ）。即指ｇ（ｔ）ｎ ≡ ａ（ｔ）＋ｂｔｆ（ｔ）（ｍｏｄｔｎ＋１），（４）其中ｂ ∈ Ｆｑ（ｔ），ｂ ≠ ０。现在设有枙ｆ′（ｔ），ｌ′枛生成（ａ０ａ１ … ａｎ－１ａｎ）。则指存在ｆ′（ｔ），ｇ′（ｔ） ∈ Ｆｑ［ｔ］，ｄｅｇｆ′ ≤ ｌ′ ，ｆ′（０）＝１，ｄｅｇｇ′（ｔ） ≤ ｌ′ －１，使得ｇ′（ｔ） ≡ ａ（ｔ）ｆ′（ｔ）（ｍｏｄｔｎ＋１）。（５）１４１１４２纠错码的代数理论由式（４）和式（５）得到ｇ（ｔ）ｇ′（ｔ）ｎｎ＋１－ ≡ ｂｔ（ｍｏｄｔ）。由ｆ（０）＝ｆ′（０）＝１，可知ｆ（ｔ）ｆ′（ｔ）ｇ（ｔ）ｆ′（ｔ）－ｇ′（ｔ）ｆ（ｔ） ≡ ｂｔ（ｍｏｄｔｎｎ＋１）。（６）如果ｌ′ ≤ ｎ－ｌ，则ｄｅｇ（ｇｆ′） ≤ ｌ－１＋ｌ′ ≤ ｎ－１，ｄｅｇ（ｇ′ｆ） ≤ ｌ′ －１＋ｌ ≤ ｎ－１。从而式（６）左边为次数 ≤ ｎ－１的多项式，但是右边为ｎ次单项式（ｂ ≠ ０）。所以同余式（６）不可能成立。这就表明必然有ｌ′ ≥ ｎ－ｌ＋１。（２）由定义即知ｌ１ ≤ ｌ２ ≤ … ≤ ｌｎ，ｌｉ ≤ ｉ。而最后一论断由（４）式给出。现在我们证明下面的定理。定理Ｂ畅２畅２（１）在Ｂ唱Ｍ算法中，对每个ｎ（１ ≤ ｎ ≤ Ｎ），枙ｆｎ（ｔ），ｌｎ枛都是生成（ａ０ａ１ … ａｎ－１）的一个最短线性移存器。（２）当１ ≤ ｎ ≤ Ｎ－１时，若枙ｆｎ（ｔ），ｌｎ枛可以生成（ａ０ａ１ … ａｎ），则ｌｎ＋１＝ｌｎ。若枙ｆｎ（ｔ），ｌｎ枛不能生成（ａ０ … ａｎ－１ａｎ），则ｌｎ＋１＝ｍａｘ｛ｌｎ，ｎ＋１－ｌｎ｝。证明对ｎ归纳。由算法第（１）步，ａ０＝ … ＝ａｎ０－１＝０，ａｎ０ ≠ ０。ｆ１（ｔ）＝ … ＝ｆｎ０（ｔ）＝１，ｌ１＝ … ＝ｌｎ０＝０。已约定０级线性移存器生成零序列。从而定理的论断（１）对ｎ ≤ ｎ０成立，论断（２）对ｎ ≤ ｎ０－１成立。由算法有ｆｎ０＋１（ｔ）＝１－ｄｎ０ｔ０ｎ＋１，ｌｎ０＋１＝ｎ０＋１（ｄｎ０＝ａｎ０）。可知枙ｆｎ０＋１，ｌｎ０＋１枛生成（ａ０ … ａｎ０），而级数 ≤ ｎ０的任何线性移存器均不能生成（ａ０ … ａｎ０）＝（０ … ０ａｎ０）（ａｎ０ ≠ ０），从而定理论断（１）对ｎ＝ｎ０＋１成立。进而由ｌｎ０＝０和ｍａｘ｛ｌｎ０，ｎ０＋１－ｌｎ０｝＝ｍａｘ｛０，ｎ０＋１｝＝ｎ０＋１＝ｌｎ０＋１，可知定理论断（２）对ｎ＝ｎ０成立。现在设ｎ０＜ｎ＜Ｎ，并且定理对１，２，… ，ｎ均成立，要证对ｎ＋１也成立。首先有ｌ１ ≤ … ≤ ｌｎ，而由综合算法有ｄｎ＝ａｎ＋ｃｎ，１ａｎ－１＋ … ＋ｃｎ，ｌｎａｎ－ｌｎ。当ｄｎ＝０时，由综合算法有ｆｎ＋１（ｔ）＝ｆｎ（ｔ），ｌｎ＋１＝ｌｎ。由归纳假设，枙ｆｎ（ｔ），ｌｎ枛是生成（ａ０ … ａｎ－１）的最短线性移存器，而ｄｎ＝０，则枙ｆｎ（ｔ），ｌｎ枛也生成（ａ０ … ａｎ－１ａｎ）。从而枙ｆｎ＋１（ｔ），ｌｎ＋１枛＝枙ｆｎ（ｔ），ｌｎ枛是生成（ａ０ … ａｎ－１ａｎ）的一个最短线性移存器，这时ｌｎ＋１＝ｌｎ。附录Ｂ：线性移存器序列当ｄｎ ≠ ０时，由算法有ｍ（１ ≤ ｍ＜ｎ），ｌｍ＜ｌｍ＋１＝ｌｍ＋２＝ … ＝ｌｎ，于是ｄｍ ≠ ０，而ｆｎ＋１（ｔ）＝ｆｎ（ｔ）－ｄｎｄｍｔ－１ｎ－ｍｆｍ（ｔ），ｌｎ＋１＝ｍａｘ｛ｌｎ，ｎ＋１－ｌｎ｝。我们有ｄｅｇｆｎ＋１ ≤ ｍａｘ｛ｄｅｇｆｎ，ｎ－ｍ＋ｄｅｇｆｍ｝ ≤ ｍａｘ｛ｌｎ，ｎ－ｍ＋ｌｍ｝。由归纳假设ｌｍ＋１＝ｍａｘ｛ｌｍ，ｍ＋１－ｌｍ｝。而ｌｍ＜ｌｍ＋１＝ｌｎ，从而ｌｎ＝ｌｍ＋１＝ｍ＋１－ｌｍ。于是ｄｅｇｆｎ＋１ ≤ ｍａｘ｛ｌｎ，ｎ＋１－ｌｎ｝＝ｌｎ＋１。这表明枙ｆｎ＋１（ｔ），ｌｎ＋１枛为ｌｎ＋１级的线性移存器。由于枙ｆｎ（ｔ），ｌｎ枛生成（ａ０ … ａｎ－１），而枙ｆｍ（ｔ），ｌｍ枛生成（ａ０ … ａｍ－１），因此ａｋ＋ｌｎ＋１ ∑ ｉ＝１ｃｎ＋１，ｉａｋ－ｉ＝ａｋ＋＝ｌｎ ∑ ｉ＝１ｃｎ，ｉａｋ－ｉ－ｄｎｄ－１ｍａｋ－ｎ＋ｍ＋ｌｍ ∑ ｉ＝１ｃｍ，ｉａｋ－ｎ＋ｍ－ｉ对ｌｎ＋１ ≤ ｋ ≤ ｎ－１，０，ｄｎ－ｄｎｄｄｍ＝０，对ｋ＝ｎ。－１ｍ从而枙ｆｎ＋１（ｔ），ｌｎ＋１枛生成（ａ０ … ａｎ－１ａｎ）。由于ｄｎ ≠ ０，枙ｆｎ（ｔ），ｌｎ枛不生成（ａ０ … ａｎ－１ａｎ）。由引理Ｂ畅２畅１知生成（ａ０ … ａｎ－１ａｎ）的线性移存器的级数 ≥ ｍａｘ｛ｌｎ，ｎ＋１－ｌｎ｝＝ｌｎ＋１。从而枙ｆｎ＋１（ｔ），ｌｎ＋１枛为生成（ａ０ … ａｎ－１ａｎ）的一个最短线性移存器。即定理对ｎ＋１成立。下面是最短线性移存器的惟一性。定理Ｂ畅２畅３设ｌＮ是生成Ｆｑ中序列（ａ０ａ１ … ａＮ－１）的线性移存器的最短级数，并且２ｌＮ ≤ Ｎ，则这个最短级数线性移存器是惟一的。证明记ａ（ｔ）＝ａ０＋ａ１ｔ＋ … ＋ａＮ－１ｔＮ－１。设枙ｆ（ｔ），ｌＮ枛和枙ｆ′（ｔ），ｌＮ枛均是生成（ａ０ … ａＮ－１）的线性移存器，则ｇ（ｔ）ｇ′（ｔ） ≡ ≡ ａ（ｔ）ｆ（ｔ）ｆ′（ｔ）（ｍｏｄｔ），Ｎ（７）其中ｇ（ｔ），ｇ′（ｔ），ｆ（ｔ），ｆ′（ｔ） ∈ Ｆｑ［ｔ］，ｆ（０）＝ｆ′（０）＝１，ｄｅｇｇ ≤ ｌＮ－１，ｄｅｇｇ′ ≤ ｌＮ－１，ｄｅｇｆ ≤ ｌＮ，ｄｅｇｆ′ ≤ ｌＮ。并且由ｌＮ的最短性知（ｇ，ｆ）＝（ｇ′ ，ｆ′）＝１。由式（７）可知ｇｆ′ ≡ ｇ′ｆ（ｍｏｄｔ）。Ｎ由于ｄｅｇｇｆ′ ，ｄｅｇｇ′ｆ均 ≤ ２ｌＮ－１＜Ｎ。从而ｇｆ′ ＝ｇ′ｆ。再由（ｇ，ｆ）＝（ｇ′ ，ｆ′）＝１可知ｆ′｜ｆ，并且ｆ｜ｆ′ 。最后由ｆ（０）＝ｆ′（０）＝１知ｆ＝ｆ′ 。这就证明了定理中１４３１４４纠错码的代数理论所述的惟一性。习题１求一个最短的线性移存器，使其生成Ｆ３上的序列（１１０１２２０００２１）。习题２设（ａ０ａ１ … ａＮ－１）为ｑ元序列。对于每个ｎ（１ ≤ ｎ ≤ Ｎ），设生成（ａ０ａ１ … ａｎ－１）的线性移存器最短级数为ｌｎ，假设２ｌＮ＞Ｎ，并且ｌｍ＜ｌｍ＋１＝ｌｍ＋２＝ … ＝ｌＮ。如果枙ｆＮ（ｔ），ｌＮ枛是由Ｂ唱Ｍ综合算法求出的一个生成（ａ０ａ１ … ａＮ－１）的线性移存器，枙ｆｍ（ｔ），ｌｍ枛是由Ｂ唱Ｍ综合算法求出的生成（ａ０ａ１ … ａｍ－１）的线性移存器。证明：生成（ａ０ａ１ … ａＮ－１）的所有ｌＮ级线性移存器的联接多项式为｛ｆＮ（ｔ）＋ｇ（ｔ）ｔＮ－ｍｆｍ（ｔ）｜ｇ（ｔ） ∈ Ｆｑ［ｔ］，ｄｅｇｇ（ｔ）＜２ｌＮ－Ｎ｝。参考文献１畅关于经典纠错码的书有很多，参考和引用较多的有以下两本：［１］ＭａｃＷｉｌｌｉａｍｓＦ．Ｊ．ａｎｄＳｌｏａｎｅＮ．Ｊ．Ａ．ＴｈｅＴｈｅｏｒｙｏｆＥｒｒｏｒ唱ＣｏｒｒｅｃｔｉｎｇＣｏｄｅｓ．Ａｍｓｔｅｒｄａｍ：Ｎｏｒｔｈ唱Ｈｏｌｌａｎｄ，１９７７［２］ｖａｎＬｉｎｔＪＨ．ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｔｏＣｏｄｉｎｇＴｈｅｏｒｙ．３ｔｈｅｄｉｔｉｏｎ．Ｂｅｒｌｉｎ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ唱Ｖｅｒｌａｇ，２０００其中［１］的内容比较详细，［２］是研究生教科书，叙述简洁，更为数学化，其他书籍还有：［３］ＢｅｒｌｅｋａｍｐＥＲ．ＡｌｇｅｂｒａｉｃＣｏｄｉｎｇＴｈｅｏｒｙ．ＮｅｗＹｏｒｋ：ＭｃＧｒａｗ唱Ｈｉｌｌ，１９６８［４］ＰｅｔｅｒｓｏｎＷＷａｎｄＷｅｌｄｏｎＥＪ．Ｅｒｒｏｒ唱ＣｏｒｒｅｃｔｉｎｇＣｏｄｅｓ．２ｎｄｅｄｉｔｉｏｎ．Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ，Ｍａ唱ｓｓ．，ＭＩＴＰｒｅｓｓ，１９７２［５］ＰｒｅｔｚｅｌＯ．Ｅｒｒｏｒ唱ＣｏｒｒｅｃｔｉｎｇＣｏｄｅｓａｎｄＦｉｎｉｔｅＦｉｅｌｄｓ．Ｏｘｆｏｒｄ：ＯｘｆｏｒｄＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｒｅｓｓ，１９９２［６］万哲先．代数与编码．北京：科学出版社，１９７６２畅本书未涉及代数几何码，对代数几何码有兴趣的可参见：［７］ＧｏｐｐａＶＤ．ＧｅｏｍｅｔｒｙａｎｄＣｏｄｅｓ．Ｄｏｒｄｒｅｃｈｔ：Ｋｌｕｗｅｒ，１９８８［８］ＭｏｒｅｎｏＣＪ，ＡｌｇｅｂｒａｉｃＣｕｒｖｅｓｏｖｅｒＦｉｎｉｔｅＦｉｅｌｄｓ．ＣａｍｂｒｉｄｇｅＴｒａｃｔｓｉｎＭａｔｈ．，ｖｏｌ．９７．Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ：ＣａｍｂｒｉｄｇｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｒｅｓｓ，１９９１［９］ＮｉｅｄｅｒｒｅｉｔｅｒＨａｎｄＸｉｎｇＣ．ＲａｔｉｏｎａｌＰｏｉｎｔｓｏｎＣｕｒｖｅｓｏｖｅｒＦｉｎｉｔｅＦｉｅｌｄｓ．ＬｏｎｄｏｎＭａｔｈ．ＳｏｃｉｅｔｙＬｅｃｔｕｒｅＮｏｔｅｓＳｅｒｉｅｓ２８５．Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ：ＣａｍｂｒｉｄｇｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｒｅｓｓ，２００１［１０］ＰｒｅｔｚｅｌＯ．ＣｏｄｅｓａｎｄＡｌｇｅｂｒａｉｃＣｕｒｖｅｓ．Ｏｘｆｏｒｄ：ＯｘｆｏｒｄＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｒｅｓｓ，１９９８［１１］ＳｔｉｃｈｔｅｎｏｃｈＨ．ＡｌｇｅｂｒａｉｃＦｕｎｃｔｉｏｎＦｉｅｌｄｓａｎｄＣｏｄｅｓ．Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｅｘｔ．Ｂｅｒｌｉｎ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ唱Ｖｅｒｌａｇｅ，１９９３［１２］ＴｓｆａｓｍａｎＭＡａｎｄＶｌａｄｕｔＳＧ，Ａｌｇｅｂｒａｉｃ唱ＧｅｏｍｅｔｒｉｃＣｏｄｅｓ．Ｄｏｒｄｒｅｃｈｔ：Ｋｌｕｗｅｒ，１９９１３畅量子纠错码目前还没有这方面的专门著作，重要文献为［１３］ＣａｌｄｅｒｂａｎｋＡＲ，ＲａｉｎｓＥＭ，ＳｈｏｒＰＷ，ａｎｄＳｌｏａｎｅＮＪＡ，ＱｕａｎｔｕｍｅｒｒｏｒｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｖｉａｃｏｄｅｓｏｖｅｒＧＦ（４）．ＩＥＥＥＴｒａｎｓ，１９９８，ＩＴ唱４４：１３６９唱１３８７以及１９９８年以来在上述杂志上发表的量子码文章（和它们的参考文献）。

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