Moto di cariche in campo elettrico uniforme
1
r = r 0 + v 0t + at 2
2
v = v 0 + at
r = xi + y j
v = vx i + v y j
r 0 = x0 i + y0 j
v 0 = vx,0 i + v y ,0 j
a = ax i + a y j
1 2
x = x0 + v0, x t + a x t
2
v x = v0, x + a x t
1 2
y = y0 + v0, y t + a y t
2
v y = v0, y + a y t
Per un corpo con carica q e massa m in un campo elettrico E :
ma = F = q E → a =
(
qE q
=
Ex i + E y j
m m
)
Se il campo elettrico è uniforme, il moto è uniformemente
accelerato
v 0  v0
v 0 = v0 i
F e = qe E = −e E = −eE i
E E
E = Ei
F e − eE
a=
=
i
me
me
qe = −1.6 10 −19 C  −e
me = 9.11 10 −31 kg
y
1 2
1 eE 2
x = x0 + v0t + at = v0t −
t
2
2 me
v = v0 + at = v0 −
• Velocità iniziale e accelerazione hanno
la stessa direzione
→ problema unidimensionale
• Accelerazione costante
→ moto uniformemente accelerato
(possiamo porre x0  0 )
eE
t
me
v0
x
E
Cerco t1 tale che v = 0
→ v0 −
→ t1 =
eE
t1 = 0
me
v0 me
= 2.8 10 −8 s = 28ns
eE
Fe
a
Calcolo la posizione x1 al tempo t1 =
1
1 eE 2
x = x0 + v0t + at 2 = v0t −
t
2
2 me
v0 me
eE
1 eE 2 v02 me 1 eE v02 me2 me v02
x1 = v0t1 −
t1 =
−
=
= 7.1cm
2 2
2 me
eE
2 me e E
2eE
Nota: a questa seconda domanda si poteva rispondere direttamente utilizzando la relazione tra
lavoro (facile da calcolare in caso di forza costante) ed energia cinetica:
LE = F s cos  F , s
F = − e E = eE
Fe
s  s (spazio percorso),
cos  F , s = cos180 = −1
v0
LE = Ek
1
1
Ek = 0 − me v02 = − me v02
2
2
(moto in verso contrario alla forza)
LE = F s cos  F , s = − F s = −eEs
me v02
1
2
LE = Ek → −eEs = − me v0 → s =
= 7.1cm
2
2eE
Lavoro della forza elettrica:
Ek , B − Ek , A = LAB = U A − U B = q (VA − VB )
B
Nm 2
k0 = 8.99 10
C2
9
Potenziale coulombiano:
q1
V12 = k0
+K
r12
A
P1, q1
r12
r 12 = r2 − r1 = ( x2 − x1 )i + ( y2 − y1 ) j
P2
Energia potenziale coulombiana
P1, q1
r12
P2, q2
(vettore spostamento da P1 a P2)
r12 = r 12 = r2 − r1 = ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2
(distanza tra P1 e P2)
q1q2
U12 = q2V12 = k0
+C
r12
Q1
Q4
Q3
Q2
• Calcolare il potenziale elettrico nel punto P2, nell’ipotesi che questo valga 0 nel punto P1 e che
i due potenziali siano uguali quando le 4 cariche si trovano all’infinito
Q4
Q1
Principio di sovrapposizione:
Q3
4
Qi
V ( P1 ) =  k0
+K
ri1
i =1
4
lim
𝑟11 ,𝑟21 ,𝑟31 ,𝑟41 →∞
𝑉 (𝑃1 ) =
lim
𝑟11 ,𝑟21 ,𝑟31 ,𝑟41 →∞
෍ 𝑘0
𝑖=1
𝑄𝑖
+𝐾 =𝐾
𝑟𝑖1
Q2
Per avere
4
V ( P1 ) =  k0
i =1
= k0
lim
r11 , r21 , r31 , r41 →
V ( P1 ) = 0 deve essere K = 0
Qi
Q
k 
Q
Q
Q
5 
= k 0 1 + k 0 2 + k 0 3 + k 0 4 = 0  5 q + 5q − 5 q − q 
ri1
d
d
d
2d d 
2 
5q  1 
5q
1
−
=
k

 0
d  2
2d
Q4
Q1
Principio di sovrapposizione:
Q3
4
V ( P2 ) =  k0
i =1
Qi
+ K'
ri 2
4
lim
𝑟12 ,𝑟22 ,𝑟32 ,𝑟42 →∞
𝑉 (𝑃2 ) =
Q2
Per avere
4
V ( P2 ) =  k0
i =1
lim
r12 , r22 , r32 , r42 →
lim
𝑟12 ,𝑟22 ,𝑟32 ,𝑟42 →∞
෍ 𝑘0
𝑖=1
V ( P2 ) = 0 deve essere K’ = 0
Qi
Q
Q1
Q2
Q
5q
5 q 5q 
 5q
= k0
+ k0
+ k0 3 + k0 4 = k0 
+
−
− 
2
2
2
2
ri 2
2
d
3
d
2
d
3d 
d 2 d 2
d +d
d +d
5q  2 1 1 
5q  12 2 − 6 − 4 
5q  6 2 − 5 




= k0
− −  = k0 
= k0



d  2 2 3
d 
12
d  6 

𝑄𝑖
+ 𝐾′ = 𝐾′
𝑟𝑖2
L12 = q0 [V ( P1 ) − V ( P2 )]
5q
V ( P1 ) = k0
2d
5q  6 2 − 5 


V ( P2 ) = k0

d  6 
q0 q  1 6 2 − 5 
q0 q  3 − 6 2 + 5 
q0 q  4 − 3 2 
 −
 = 5k 0

 = 5k 0


L12 = 5k0

d  2
6 
d 
6
d  3 

1 2 1 2
L12 = Ek , 2 − Ek ,1 = mv2 − mv1
2
2
4 − 3 2  −0.24  0
Se q0q > 0 → L12 < 0, il campo elettrico si oppone al moto, Ek(P2) < Ek(P1) e v2 < v1
Se q0q < 0 → L12 > 0, il campo elettrico agevola il moto, Ek(P2) > Ek(P1) e v2 > v1
4
lim
𝑟11 ,𝑟21 ,𝑟31 ,𝑟41 →∞
𝑉 (𝑃1 ) =
Per avere
lim
𝑟11 ,𝑟21 ,𝑟31 ,𝑟41 →∞
lim
r11 , r21 , r31 , r41 →
𝑄𝑖
෍ 𝑘0 + 𝐾 = 𝐾
𝑟𝑖1
𝑖=1
4
lim
𝑟12 ,𝑟22 ,𝑟32 ,𝑟42 →∞
𝑉 (𝑃2 ) =
lim
𝑟12 ,𝑟22 ,𝑟32 ,𝑟42 →∞
෍ 𝑘0
𝑖=1
𝑄𝑖
+ 𝐾′ = 𝐾′
𝑟𝑖2
V ( P1 ) = V0 deve essere K = V0 , e analogamente in P2 deve essere K’ = V0
4
4
𝑄𝑖
5𝑞
𝑉(𝑃1 ) = ෍ 𝑘0 + 𝑉0 = 𝑘0
+ 𝑉0
𝑟𝑖1
2𝑑
𝑉(𝑃2 ) = ෍ 𝑘0
𝑖=1
𝑖=1
𝑄𝑖
5𝑞 6 2 − 5
+ 𝑉0 = 𝑘0
+ 𝑉0
𝑟𝑖2
𝑑
6
• Calcolare il potenziale elettrico nel punto P2, nell’ipotesi che questo valga 0 nel punto P1 e che
i due potenziali siano uguali quando le 4 cariche si trovano all’infinito
4
4
Qi
5q
V ( P1 ) =  k0
+ K = k0
+K
ri1
2d
i =1
V ( P1 ) = 0 → K = −k0
4
𝑉(𝑃2 ) = ෍ 𝑘0
𝑖=1
5q
2d
𝑉(𝑃2 ) = ෍ 𝑘0
𝑖=1
𝑄𝑖
5𝑞 6 2 − 5
+ 𝐾′ = 𝑘0
+ 𝐾′
𝑟𝑖2
𝑑
6
Ma, siccome i due potenziali devono essere uguali all’infinito, si ha K ' = K
𝑄𝑖
5𝑞 6 2 − 5
5𝑞
5𝑞 3 2 − 4
+ 𝐾 = 𝑘0
− 𝑘0
= 𝑘0
𝑟𝑖2
𝑑
6
2𝑑
𝑑
3
Nota: cambiano V(P1) e V(P2), ma si ha sempre:

q q  4−3 2 
q  3 2 − 4 
 = 5k0 0 

L12 = q0 [V ( P1 ) − V ( P2 )] = q0 0 − 5k0 


d  3 
d  3 

Lavoro della forza elettrica:
Ek , 2 − Ek ,1 = L12 = U1 − U 2 = q (V1 − V2 )
P1
P2
Campo elettrico uniforme (e.g. in un condensatore piano di superficie infinita o approssimabile a infinita)
P1
P2
E
V1 − V2 =  E  d s = E  s = E s cos 

P2
P1
90 <  < 180˚
0 <  < 90˚
s
0 <  < 90˚ → V1 – V2 > 0
90 <  < 180˚ → V1 – V2 < 0
Proiez. > 0
Proiez. < 0
Il potenziale decresce se per andare da P1 a P2 ci si muove
nel verso del campo elettrico (cioè se la proiezione di s su E è positiva),
e viceversa
molto grandi
molto grandi
P2
Tutti i punti di una piastra
conduttrice si trovano allo
stesso potenziale
→ possiamo scegliere
arbitrariamente la posizione
di B e C per il calcolo
V1 − V2 =  E  d s = E  s = E s cos 
P1
B
E
VC − VB = E  s = E d cos 0 = E d

→E =
d
VC − VB 120V
V
=
= 1200
d
0.1m
m
C
Direzione: perpendicolare alle piastre (per simmetria)
VC – VB > 0 → VC > VB
→ Il verso del campo è da C a B
B
s
E
C
s =d
P2
d/2
B
A
V1 − V2 =  E  d s = E  s = E s cos 
d/2
P1
C
E
B
s
d
2
A
s=
C
d
s=
2
d
d

VA − VB = E  s = E cos 0 = E = 60V
2
2
E
A
s
E
VA − Vc = E  s = E
d
d
cos180 = − E = −60V
2
2
2. Un protone si trova immerso in un campo elettrico uniforme E = -2.4 N/C j. La velocità iniziale del protone
vale v0 = 4.9x105 m/s i.
Trascurando la forza peso, calcolare:
- il vettore forza che agisce sul protone
- la distanza dal punto di partenza una volta trascorsi 2.7 ms
- il lavoro compiuto dal campo elettrico sul protone durante questi 2.7 ms
Massa protone: mp = 1.67x10-27 kg
Carica protone: qp = 1.6x10-19 C
2. Un protone si trova immerso in un campo elettrico uniforme
E = -2.4 N/C j. La velocità iniziale del protone vale v0 = 4.9x105 m/s i.
Trascurando la forza peso, calcolare:
- il vettore forza che agisce sul protone
F = q p E = −3.8 10 −19 N j
- la distanza dal punto di partenza una volta trascorsi t = 2.7 ms
→
𝐹
m→
→
→
→
8
𝑎 =
= −2.3 ⋅ 10 2 𝑗 ≡ 𝑎𝑦 𝑗 ; →
𝑣 0 = 𝑣0𝑥 𝑖
𝑚𝑝
s
1
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑥 Δ𝑡 + 𝑎𝑥 Δ𝑡 2 = 𝑣0𝑥 𝑡 = 1320 m
2
1
1
2
𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0𝑦 Δ𝑡 + 𝑎𝑦 Δ𝑡 = 𝑎𝑦 Δ𝑡 2 = −840 m
2
2
𝑑 = 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1570 m
- il lavoro compiuto dal campo elettrico sul protone durante questi 2.7 ms
m
𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 + 𝑎𝑦 Δ𝑡 = 𝑎𝑦 Δ𝑡 = −6.2 ⋅ 105
s
1
1
1
2
2
𝐿 = 𝐸𝐾 − 𝐸𝐾,0 = 𝑚𝑝 𝑣𝑦2 + 𝑣0𝑥
− 𝑚𝑝 𝑣0𝑥
= 𝑚p𝑣𝑦2 = 3.2 ⋅ 10−16 J
2
2
2
Massa protone: mp = 1.67x10-27 kg
Carica protone: qp = 1.6x10-19 C
2. Una carica q1 = 3 mC si trova nel punto P1(0 m, 1.1 m). Una seconda carica q2 = -4 mC si trova nel punto
P2(-0.2 m, 1.1 m). Calcolare:
- il vettore campo elettrico generato da q2 nell’origine
- il potenziale elettrico generato da q1 nell’origine (asssumendo che valga 0 all’infinito)
- modulo, direzione e verso della forza agente su q1
Costante elettrica: k0 = 8.99x109 N m2/C2
2. Una carica q1 = 3 mC si trova nel punto P1(0 m, 1.1 m). Una seconda carica q2 = -4 mC si
trova nel punto P2(-0.2 m, 1.1 m). Calcolare:
Costante elettrica: k0 = 8.99x109 N m2/C2
- il vettore campo elettrico generato da q2 nell’origine
r 20 = (0 − x2 )i + (0 − y2 ) j = − x2 i − y2 j;
E 20
u 20 =
r 20
=
r 20
q2
q2  − x2 i − y2 j
= k0 2 u 20 = k0 2
r20
x2 + y22  x22 + y22

− x2 i − y 2 j
x +y
2
2
2
2

 = − 5.2i + 28 j 106 N

C

(
)
x1 = 0 m
x2 = -0.2 m
y1 = y2 = 1.1 m
- il potenziale elettrico generato da q1 nell’origine (asssumendo che valga 0 all’infinito)
r 10 = (0 − x1 )i + (0 − y1 ) j = − y1 j;
V10 = k0
r10 = r 10 = y1 = y1
q1
q
q
+ c; lim V10 = c = 0 → V10 = k0 1 = k0 1 = 2.45 107 V
r10 →
r10
r10
y1
- modulo, direzione e verso della forza agente su q1
F 21 = k0
q2 q1
2
21
r
= k0
q2 q1
(x1 − x2 ) + ( y1 − y2 )
2
2
= 2.7 106 N
Direzione: congiungente tra q1 e q2 (asse x)
Verso: da q1 a q2 (x negative), poiché la forza è attrattiva
Backup
Lavoro per uno spostamento s in verso opposto alla forza:
cos  F , s = cos180 = −1
LE = F s cos  F , s = − F s = −eEs
Fe
v0
Per un moto a velocità costante v0:
s = v0 t
Potenza:
eEv0 t
LE
eEs
=−
=−
t
t
t
= −eEv0 = −8.0 10 −10 W
PE =
PE è la potenza sviluppata dal campo elettrico, negativa perchè
la forza elettrica si oppone al moto tendendo a rallentare l’elettrone.
Per far sì che l’elettrone si muova a velocità costante v0, occorre fornire
dall’esterno una potenza uguale ma opposta a quella del campo elettrico
Pext = − PE = eEv0 = 8.0 10 −10 W
Lavoro per uno spostamento s a un angolo  rispetto alla
forza:
LE = F s cos  F , s
150
3
= F s cos150 = −
eEs
2

Per un moto a velocità costante v0:
Fe
v0
30
E
cos  F , s = cos(180 − 30 ) = cos150 = −
3
2
s = v0 t
LE
3 eEs
3 eEv0 t
=−
=−
t
2 t
2
t
3
=−
eEv0 = −6.9 10 −10 W
2
Potenza: PE =
PE è la potenza sviluppata dal campo elettrico, negativa perchè
la forza elettrica si oppone al moto tendendo a rallentare l’elettrone.
Per far sì che l’elettrone si muova a velocità costante v0, occorre fornire
dall’esterno una potenza uguale ma opposta a quella del campo elettrico
Pext = − PE = eEv0 = 6.9 10 −10 W