Relatório de Seminário sobre
Distribuição de Rayleigh
Rafael Bernardo Nunes Neto
Centro de Informática
Universidade Federal de Pernambuco
rbnn@cin.ufpe.br
Resumo—Este documento discorre sobre a distribuição de
Rayleigh, uma distribuição de probabilidade que, como tal,
descreve o comportamento de uma variável aleatória de acordo
com seus possíveis valores. Também são discutidos a origem de
tal distribuição, sua definição, suas aplicações e seus usos, bem
como sua importância num contexto geral.
Palavras-chave—probabilidade, distribuição de Rayleigh, variável aleatória
I. I NTRODUÇÃO
A distribuição de Rayleigh tem seu nome dado em homenagem ao matemático e físico John William Strutt, também
conhecido como o terceiro barão de Rayleigh, que mostrou
sua aplicação na amplitude de ondas de som, em 1877. A
distribuição é definida para variáveis aleatórias não negativas,
e pode ser descrita, também, como uma distribuição qui com
dois graus de liberdade.
A distribuição de Rayleigh é obtida quando consideramos
um vetor bidimensional Y = (U, V ) cujos componentes são
independentes e seguem uma distribuição
normal centrada
√
em zero. O módulo do vetor X = U 2 + V 2psegue então
uma
p distribuição de Rayleigh com a = σ = V ar(U ) =
V ar(V ).
II. D EFINIÇÃO
Uma variável aleatória contínua X é dita ter uma distribuição de Rayleigh quando sua função de densidade de
probabilidade é dada como
2
−x
x
f (x, a) = 2 exp
, x ≥ 0, a > 0
a
2a2
A. Demonstração
Como U e V têm distribuição normal N (0, σ 2 ) e são independentes, a função de densidade de probabilidade conjunta
é:
2 −u
1
√ exp
f (u, v) = f (u)f (v) =
×
2σ 2
σ 2π
2 1
−v
× √ exp
=
2σ 2
σ 2π
1
−(u2 + v 2 )
=
exp
=
2πσ 2
2σ 2
1
exp
=
2πσ 2
−1
2
u2 + v 2
σ2
, (u, v) ∈ <2
Escrevendo u e v em coordenadas polares:
u = r cos(θ)
v = r sin(θ)
A função de distribuição acumulada é:
2
Z 2π Z x
−r
1
exp
rdrdθ
F (x) =
2
2σ 2
0
0 2πσ
2
Z 2π Z x
−r
1
dθ
exp
=
rdr
2πσ 2 0
2σ 2
0
2
Z x
−r
1
exp
rdr
= 2
σ 0
2σ 2
2
Z x
−r
r
exp
=
dr
2
σ
2σ 2
0
Z x
=
f (r)dr
0
Portanto, a função de densidade de probabilidade é:
2
−x
x
, x ≥ 0,
f (x) = 2 exp
σ
2σ 2
onde σ é o desvio-padrão das distribuições N (0, σ 2 ) das
componentes do vetor. Como queríamos demonstrar.
III. P ROPRIEDADES
A expectância e a variância de uma variável aleatória X
com distribuição de Rayleigh são:
r
π
E(X) = σ
2
4−π 2
σ
2
Além desses valores elementares, temos a moda e a mediana
da distribuição:
M oda(X) = σ
p
M ediana(X) = σ 2ln(2)
V (X) =
Figura 1. Distribuições de Rayleigh
IV. E XEMPLOS
A figura 1 exibe gráficos mostrando fdps e fds de distribuições de Rayleigh para diferentes parâmetros σ:
V. A PLICAÇÕES
Uma das áres mais notáveis em que a distribuição de
Rayleigh se aplica a partir da sua definição é no estudo e
modelagem de ventos. Isso se dá de uma forma relativamente
simples levando em conta a origem da distribuição. Como
citado anteriormente, a distribuição de Rayleigh vem da observação do módulo de um vetor com componentes distribuídos
normalmente. Essa definição pode ser extendida para além de
duas dimensões, caso em que se torna fácil a relação com o
fenômeno dos ventos.
Outra área em que essa distribuição se aplica é na propagação de sinais, dado que canais de propagação são aleatoriamente variáveis, tanto no tempo quanto no espaço. Dessa
forma, devem ser criados modelos para o estudo desses canais
para melhor interpretação dos sinais recebidos. A distribuição
de Rayleigh provê um bom modelo de aproximação para esse
tipo de problema.
Uma aplicação não tão óbvia da distribuição de Rayleigh
é na descrição aleatória de altura de ondas, como mostrada
pelo oceanógrafo Prof. M.S. Longuet-Higgins. Esse resultado
foi observado a partir da exploração das propriedades da
distribuição já citadas neste trabalho.
VI. C ONCLUSÃO
Vimos, portanto, o surgimento, a descrição e algumas aplicações da distribuição de Rayleigh. Nota-se a sua notória
importância em estudos envolvendo vetores aleatóros. A definição e estudo aprofundado da distribuição é imprescindível
para que as áreas em que ela se aplica tenham melhor proveito,
a fim de obter os melhores resultados e as melhores previsões
possíveis.
R EFERÊNCIAS
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