ỨNG DỤNG CÔNG THỨC HIỆU SỐ PHƯƠNG TÍCH
Trần Minh Ngọc
Sinh viên cao học, chuyên ngành Hình Học và Topo, ĐHSP.TPHCM
Giới thiệu
Trong bài viết này, tôi sẽ giới thiệu công thức hiệu số phương tích
và ứng dụng của nó trong giải toán.
I. Phát biểu và chứng minh công thức hiệu số phương tích
Định lý 1: Cho hai đường tròn  O1 , R1  ,  O2 , R2  có trục đẳng phương d và điểm M bất kì. Gọi
H là hình chiếu của M lên d . Khi đó: PM
 O1 
 PM
 O2 
 2.O1O2 .HM
Chứng minh:
O1
M
H
K
L
O2
d
PM
 O1 
 PM
 O2 
 MO12  MO22  R22  R12
 MO  MO22  HO22  HO12
2
1

 MO  MO    HO  HO  HO  HO 
 O O  MO  MO   O O  HO  HO 
 O O  HO  MO  HO  MO 
 MO1  MO2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2
 2.O1O2 .HM  2.O1O2 .HM
2
2
2
1
1
2
1
II. Ứng dụng của công thức hiệu số phương tích
Ví dụ 1 (công thức Euler): Cho tam giác ABC nội tiếp  O, R  và ngoại tiếp  I, r  . Chứng minh:
OI 2  R 2  2Rr .
Chứng minh:
A
I
O
B
C
D
J
AI cắt  O  tại điểm khác là J .
Gọi D là tiếp điểm của  I  với BC
B A B
C
BJI


 90 
 90 
2
2
2
2
2
 BIJ cân tại J  JB  JI . Tương tự: JC  JI .
Trước hết, ta có: JBI  JBC 
Áp dụng công thức hiệu phương tích cho  O, R  ,  J, JI  và điểm J , ta được:
PI
 O
PI
J
 2.OJ.DI  P I
 O
PI
J
 2OJ.DI  OI2  R 2  2Rr  OI 2  R 2  2Rr (vì
OI  R )  OI 2  R 2  2Rr .
Ví dụ 2: Cho đường tròn  O  và đường tròn  I  nằm trong  O  . Đường thẳng d tiếp xúc với
 I
và cắt  O  tại M, N . Chứng minh rằng: tâm của đường tròn  IMN  thuộc đường tròn cố
định.
Chứng minh:
J
P
M
N
O
I
Gọi P là tiếp điểm của MN,  I  .
J là tâm đường tròn  IMN  .
Áp dụng công thức hiệu phương tích cho  O  ,  J  có trục đẳng phương MN và điểm I , ta được:
PI
PI
O
PI
J
 2.OJ.PI  P I
O
 2.OJ.R  J   OJ 
 O
2R  J 
 R* .
Vậy J   O,R *  - cố định.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC nội tiếp  O  và ngoại tiếp  I  . Đường thẳng d tiếp xúc với  I  và
cắt  O  tại M, N .
a. Chứng minh rằng: tâm của đường tròn  IMN  thuộc  O  .
b. Hai tiếp tuyến từ M, N khác MN của  I  cắt nhau tại P . Chứng minh: P thuộc  O  (Định
lý Poncelet)
Chứng minh:
J
A
N
M
I
O
C
B
P
a. Gọi J là tâm  IMN  .
Theo ví dụ 2, J   O, R
*

PI
với R 
*
O
2R  I 
PI
. Mà theo chứng minh ví dụ 1: R 
J   O, R  .
b. Vì I là tâm đường tròn nội tiếp MNP nên MIN  90 
MPN
2
MJN 

 MPN  2MIN  180  2 180 
  180  180  MJN
2 

 P   JMN  , hay P   O  .
O
2R  I 
 R * . Nên
Ví dụ 4: Cho ba đường tròn  O1  ,  O2  ,  O3  có cùng trục đẳng phương d . Chứng minh rằng:
M   O3  
PM
PM
 O1 

 O2 
O1O3
.
O2O3
Chứng minh:
M
H
O3 O1
O2
d

Giả sử M   O3 
Áp dụng công thức hiệu số phương tích cho  O1  ,  O3  có trục đẳng phương d và điểm M , ta
được: PM
 O1 
 PM
Tương tự: PM
 O2 
 O3 
 2O1O3 .HM  PM
 O1 
 2O1O3 .HM
 2O2O3 .HM
PM
O1O3
 O1 

Do đó
cố định.
O2O3 PM
 O2 
 
Qua M vẽ đường tròn  O4  có cùng trục đẳng phương với  O1  ,  O2  .
Áp dụng    cho  O1  ,  O2  ,  O4  và điểm M   O4  , ta được:
PM
OO
O1O4
 O1 

 1 3  O4  O3 . Ta đi đến kết luận !
O2O4 PM
O2O3
 O2 
Nhận xét: Đây là công thức tỉ số phương tích, có nhiều ứng dụng trong giải toán. Hai ví dụ tiếp
theo là hai bài toán ứng dụng công thức này.
Ví dụ 5: Cho hai đường tròn  O1  ,  O2  ,  O3  cùng đi qua hai điểm X , Y . Từ điểm M di động
trên  O3  , kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới  O1  ,  O2  sao cho AB lần lượt cắt  O1  ,  O2  tại điểm
thứ hai là C , D và C , D thuộc đoạn AB . Hai đường tròn  MAD  ,  MBC  cắt nhau tại điểm thứ
hai là N . MN  AB  L . Chứng minh rằng:
LA
không đổi.
LB
Chứng minh:
B
M
L
C
A
D
N
X
O3
O1
O2
Y
Áp dụng công thức tỉ số phương tích Cho ba đường tròn  O1  ,  O2  ,  O3  có cùng trục đẳng
phương XY , ta được:
PM
OO
O1O3
MA2 O1O3
MA
 O1 
 1 3 



2
PM
MB
O2O3
MB
O2O3
O2O 3
 O2 
Áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác MAB , ta được:
BO2 D
MA sin MBA
2  BD . 2 R1  BD . R1


MB sin MAB sin AO1C 2 R2 AC AC R2
2
AC R1 MB R1 O2O3

 .
 .
 const
BD R2 MA R2 O1O3
sin
Bây giờ, ta có: LA.LD  LB.LC 
LA LC AC


 const .
LB LD BD
Ví dụ 6: Cho đường tròn  O  và đường tròn  I  nằm trong  O  . Đường tròn  K  có bán kính
không đổi, tiếp xúc với  I  và cắt  O  tại M, N . Chứng minh rằng: tâm của đường tròn  IMN 
thuộc đường tròn cố định.
Chứng minh:
M
K
N
J
IT O
Kí hiệu  J    IMN 
Dễ thấy: IK không đổi
Áp dụng công thức tỉ số phương tích với  O  ,  K  ,  J  có chung trục đẳng phương MN , ta
được:
PI
PI
JO
O
O

 2
(không đổi)
KI  R 2K 
JK P I
K
Trên OI lấy T sao cho JT / / KI .
TO JO

 T cố định.
TI JK
TJ OJ
OJ

 JT 
.KI  R * (không đổi)
Theo hệ quả định lý Thales:
IK OK
OK
Theo định lý Thales:
Vậy J   T, R *  - cố định.
Nhận xét: Ví dụ 6 là một mở rộng của ví dụ 2, khi thay đường thẳng d thành đường tròn  K  có
bán kính không đổi.
Ứng dụng của công thức tỉ số phương tích rất đa dạng, không chỉ dừng ở tính toán tỉ số như ví dụ
5, 6. Bạn đọc có thể tham khảo trong [1]. Các ví dụ tiếp theo là sự trở lại của các bài toán ứng
dụng công thức hiệu số phương tích.
Ví dụ 7: Cho đường tròn  O  và đường tròn  I  nằm trong  O  . Đường tròn  K  có bán kính
không đổi, tiếp xúc với  I  và cắt  O  tại M, N . Gọi H là hình chiếu của I lên MN . Chứng
minh rằng: H thuộc một đường tròn cố định.
Chứng minh:
M
K
H
I
N
O
Dễ thấy IK không đổi
Áp dụng công thức hiệu số phương tích cho  O  ,  K  và điểm I , ta được:
2.OK .HI  P I
O 
 PI
K 
 OI 2  R2O   IK 2  R2K  (không đổi)
Do đó, ta quy về bài toán sau:
Bài toán phụ: Cho  I  và điểm O cố định, điểm K di động trên  I  . Dựng điểm H thỏa
OK.HI  k Chứng minh: H thuộc đường tròn cố định.
Tôi xin trình bày 2 cách để giải bài toán phụ này
Cách 1:
K
H
L
O
I
K*
Gọi L là trung điểm OI . Ta được:
Phép đối xứng tâm L , S L : K  K *  OK .HI  IK * .IH  k
Phép nghịch đảo cực I , phương tích k , I Ik : K *  H
 I Ik SL : K  H
Mà K thuộc đường tròn  I 
Nên H thuộc đường tròn I Ik S L  I  
Cách 2:
H
K
H1
K1
I
O
K2
H2
OI   I   K1 , K 2  .
Dựng H1 , H 2 sao cho OK1.H1I  OK 2 .H 2 I  k
Ta có: OK .HI  OK1.H1I 
OK H1I

OK1 HI
Mà OK / / HI  HIH1  KOK1
Nên HIH1 ~ KOK1  H1 HI  K1KO
Tương tự: H 2 HI  K 2 KO .
Do đó: H1HH 2  K1KK 2  90  H   H1H 2  - cố định.
Ví dụ 8: Cho tứ giác ABCD có ABC  DCB . Hai điểm M , N thuộc đoạn thẳng BC . Gọi
I , J , K , L lần lượt tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM , ABN , CDM , CDN . Chứng minh
rằng: IJ  KL .
Chứng minh:
H
K
D
A
L
I
J
K
C
B
M
N
Áp dụng công thức hiệu số phương tích cho  I  ,  J  và điểm C , ta được:
PC
I 
 PC
J 
 2.IJ .CK  CB.CM  CB.CN  2.IJ .CK  IJ 
BC.MN
2CK
BC.MN
2.BH
Mà BH  CK vì ABC  DCB . Nên IJ  KL
Tương tự: KL 
Nhận xét: Ví dụ 8 có thể tổng quát như sau:
Cho tứ giác ABCD có AB  CD  E . Hai điểm M , N thuộc đoạn thẳng BC . Gọi I , J , K , L
lần lượt tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM , ABN , CDM , CDN . Chứng minh rằng:
IJ
EC

KL EB
Ví dụ 9: Cho tam giác ABC nội tiếp  O  . Đường tròn T  tiếp xúc hai tia AB, AC tại E , F và
cắt  O  tại X , Y . Gọi I , J , K , L lần lượt tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
BEX , BEY , CFX , CFY . Chứng minh: IJ  KL .
A
F
N
M
E
O
I
T
B
C
J
K
X
L
Y
Gọi M , N lần lượt là giao điểm thứ hai của  BEX  ,  CFX  ;  BEY  , CFY 
Ta có: EMX  180  EBX  FCX  180  FMX  M , E , F thẳng hàng .
Tương tự: N , E , F thẳng hàng
Do đó: M , N , E , F thẳng hàng.
Bây giờ, áp dụng ví dụ 8 cho tứ BEFC có BEF  CFE và điểm M , N thuộc EF , ta được:
IJ  KL .
Ví dụ 10: Cho tứ giác ABCD . Đường trung trực AD cắt BC tại M . AM , DM lần lượt cắt
 DMC  ,  AMB  tại điểm thứ hai là
cắt AD tại G . Chứng minh rằng:
E , F .  DMC  ,  AMB  cắt nhau tại điểm thứ hai là N . MN
AG AE

.
DG DF
Chứng minh:
D
G
A
N
F
J
I
B
M
C
E
Gọi I , J lần lượt là tâm của  ABM  ,  CDM 
Áp dụng công thức hiệu phương tích cho  I  ,  J  và điểm A , ta được:
PA
I 
 PA
J 
 2.IJ .d  A, MN   AM . AE  2.IJ .d  A, MN 
Tương tự: DM .DF  2.IJ .d  D, MN  .
Do đó:
AE d  A, MN  GA
.


DF d  D, MN  GD
Ví dụ 11: Cho tứ giác ABCD có AB  CD  E . Từ M  BC , vẽ  ABM  ,  DCM  cắt nhau tại
điểm thứ hai là N . Gọi F là đối xứng của E qua MN .
a. Chứng minh: F thuộc đường tròn cố định.
b. Gọi I , J lần lượt là tâm của
Chứng minh:
 ABM  ,  DCM  . Chứng minh:
EF  IJ không đổi.
T
E
F
D
A
N
J
I
B
M
C
a. Lấy T   EAD  sao cho ET BC . Khi đó: T cố định.
Ta có: TNA  TEA  ABM  180  ANM  M , N , T thẳng hàng
 TE  TF  F  T , TE  cố định.
b. Áp dụng công thức hiệu phương tích cho  I  ,  J  và điểm E , ta được:
PE
I 
 PE
J 
 2.IJ .d  E, MN   IJ .EF  IJ .EF  EA.EB  EC.ED không đổi
Qua 11 bài toán, bạn đọc đã phần nào thấy được sự hiệu quả của công thức hiệu số phương tích.
Tác giả xin ngừng bút tại đây, nhưng tác giả mong bạn đọc vẫn tiếp nghiên cứu. Đằng sau công
thức này vẫn còn nhiều điều chờ bạn đọc khám phá !
III. Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Văn Linh, Ratio of Powers, Euclidean Geometry Blog.
[2] Trần Văn Xuân, Vài ứng dụng của phương tích của một điểm đối với đường tròn, Tuyển
chọn theo chuyên đề Toán Học và Tuổi trẻ quyển 5, NXB Giáo Dục Việt Nam
[3] Lachlan, R. "The Radical Axis of two Circles." §311 in An Elementary Treatise on Modern Pure
Geometry. London: Macmillian, pp. 188-189, 1893.