Département de Mathématiques et Informatique
École Nationale Supérieure d’Arts et Métiers,
Université Moulay Ismail,
Meknès.
Cours & Travaux Dirigés de Mathématiques
Intitulé de l’élément de module : Algèbre 1
Chapitre 1 : Théorie des ensembles
Filière : Cycle préparatoire Intégré
Volume horaire : 34h
Année universitaire : 2020/2021
Mohamed BENDAOUD
Email : m.bendaoud@ensam-umi.ac.ma
..........................................................................................................................
École Nationale Supérieure d’Arts et Métiers, Marjane II, B.P. 15290, Al Mansour, Meknès
Tél : +212(0)535457160/61- +212(0)648313896
Fax : +212(0)535467163, E-mail : m.bendaoud@ensam-umi.ac.ma
Table des matières
Introduction
1
Théorie des ensembles
1.1 Opérations sur les ensembles
1.2 Applications . . . . . . . . .
1.3 Relations d’équivalence . . .
1.4 Relations d’ordre . . . . . .
4
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6
6
8
11
13
Table des figures
1.1
1.2
1.3
1.4
Opérations sur les ensembles. . . .
Relation binaire. . . . . . . . . . .
Image direct et image réciproque.
Partition d’un ensemble. . . . . .
3
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Introduction
Introduction
Situé dans le cadre de l’algèbre générale, ce cours a pour
but de donner aux étudiants une formation, de base, aux structures algébriques, à travers le formalisme d’algèbre. Les aider
à acquérir un esprit critique d’analyse, de synthèse et de la résolution des problèmes mathématiques.
Ce cours s’articule sur trois chapitres. Même si les contenus
des chapitres sont commentés au début de chacun d’eux, peutêtre est-il bon d’expliquer ici rapidement ce qu’ils englobent.
Le premier chapitre s’intéresse à la théorie des ensembles
qui a pour objectifs spécifiques, la mise en place des notions de
logique et des notions fondamentales relatives aux ensembles,
l’acquisition des principes de raisonnements, et l’entraînement
à la rédaction de solutions de questions mathématiques sur des
notions générales.
Le deuxième chapitre, consacré aux structures algébriques :
groupes, anneaux et corps. Il a pour objectifs la définition et
l’étude de ces structures, ainsi que l’étude des morphismes
entre ces structures.
Tandis que le dernier chapitre est destiné à l’étude des polynômes et des fractions rationnelles à une indéterminée à coefficients dans un anneau. Ce chapitre a pour objectifs spéciMohamed BENDAOUD
4
Introduction
fiques : la construction et l’utilisation des polynômes, la mise
en place de l’arithmétique dans l’anneau des polynômes à coefficients dans un anneau analogue à celle dans l’anneau des
entier relatifs Z, l’étude des zéros des polynômes, la décomposition primaire des polynômes et la décomposition des fractions rationnelles en éléments simples.
Ces notes de cous constituent une introduction à l’algèbre
générale, domaine fascinant de l’algèbre aux nombreuses ramifications. Ces notes ne vous seront profitables que si vous
préparez régulièrement et sérieusement les T.D.s et ne vous
dispensent bien évidement pas d’assister au cours.
N’hésitez pas à me signaler les erreurs et les coquilles qui
subsisteraient dans ces notes. Vos suggestions sont les bienvenues, c’est grâce à elles que ces notes pourront être améliorées
pour vos camarades des prochaines années. J’espère que ce
polycopié vous sera utile et vous en souhaite une bonne lecture.
Mohamed BENDAOUD
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Chapitre 1
Théorie des ensembles
L’utilisation du vocabulaire de la théorie des ensembles a induit des modes de raisonnement, clairs, simples et généraux et a permis de simplifier les mathématiques. Ce chapitre a pour objectifs la mise en place des notions de logique et des notions fondamentales
relatives aux ensembles, l’acquisition des principes de raisonnements, et l’entraînement à
la rédaction de solutions de questions mathématiques sur des notions générales.
1.1
Opérations sur les ensembles
Contentons nous de dire, de façon naïve, et sans aborder la notion de relation, qu’un
ensemble est une collection d’objets. Ces objets sont appelés éléments. La proposition
x ∈ E signifie l’élément x appartient à l’ensemble E, et sa négation e(x ∈ E) se note
x∈
/ E. L’ensemble qui n’a aucun élément est appelé l’ensemble vide et est noté ∅. Dans
la suite, on note, comme usuelle, par N , Z, Q, R et C, l’ensemble des entiers naturels,
entiers relatifs, rationnels, réels et nombres complexes ; respectivement.
Paradoxe de Russell. Au début du XXe siècle le logicien et philosophe Russell, qui a
obtenu le prix Nobel de littérature en 1950, a donné le « paradoxe de Russell » suivant
pour montrer que
l’ensemble de tous les ensembles ne peut exister.
Par l’absurde, supposons qu’un tel ensemble E contenant tous les ensembles existe. Considérons
n
o
F = E∈E |E∈
/E .
Expliquons l’écriture E ∈
/ E : le E de gauche est considéré comme un élément, en effet
l’ensemble E est l’ensemble de tous les ensembles et E est un élément de cet ensemble ;
le E de droite est considéré comme un ensemble, en effet les élément de E sont des
ensembles ! On peut donc s’interroger si l’élément E appartient à l’ensemble E. Si non,
alors par définition on met E dans l’ensemble F .
La contradiction arrive lorsque l’on se pose la question suivante : a-t-on F ∈ F ou
F ∈
/ F ? L’une des deux affirmation doit être vraie. Et pourtant :
— Si F ∈ F alors par définition de F , F est l’un des ensembles E tel que F ∈
/ F . Ce
qui est contradictoire.
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Chapitre 1
1.2. Applications
— Si F ∈
/ F alors F vérifie bien la propriété définissant F donc F ∈ F ! Encore
contradictoire.
Aucun des cas n’est possible. On en déduit qu’il ne peut exister un tel ensemble E contenant tous les ensembles.
Définition 1.1.1 Soient A et E deux ensembles. On dit que A est une partie de E (ou A
est inclus dans E) et on écrit A ⊆ E si : ∀x; x ∈ A =⇒ x ∈ E. L’ensemble de toutes les
parties de E on le note P(E).
Exemple 1.1.2 Pour E = {a, b}, on a P(E) = {∅, {a}, {b}, E}
Définition 1.1.3 Soient E un ensemble et A, B ∈ P(E). On définit les parties de E
suivantes :
• A ∩ B = {x ∈ E : x ∈ A et x ∈ B} l’intersection de A et B. En particulier, si
A ∩ B = ∅ on dit que A et B sont disjoints.
• A ∪ B = {x ∈ E : x ∈ A ou x ∈ B} la réunion de A et B.
• A − B = {x ∈ E : x ∈ A et x∈
/ B} la différence A moins B. La partie E − A
se note CEA ou Ac s’appelle le complémentaire de A dans E.
• A4B = (A − B) ∪ (B − A) la différence symétrique de A et B.
E
B
A
A−B
A∩B
B−A
CEA
F IGURE 1.1 – Opérations sur les ensembles.
Définition 1.1.4 Soient E et F deux ensembles. On appelle produit cartésien de E et F
l’ensemble noté E × F et défini par :
E × F = {(x, y) : x ∈ E et y ∈ F }.
Les propriétés suivantes des opérations sur les ensembles sont faciles à vérifier.
Proposition 1.1.5 Soient E un ensemble et A, B, C ∈ P(E).
1) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) et A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
2) ∅c = E, E c = ∅, (A ∩ B)c = Ac ∪ B c et (A ∪ B)c = Ac ∩ B c .
3) A4A = ∅, A4∅ = A et A4B = (A − B) ∪ (B − A).
4) A × ∅ = ∅ × A = ∅, A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) et
A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C).
Preuve. A faire en exercice.
Mohamed BENDAOUD
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Chapitre 1
1.2
1.2. Applications
Applications
Dans la suite de ce paragraphe, E et F désignent deux ensembles non vides.
Définition 1.2.1 On appelle relation binaire R sur E×F la donnée d’un triplet R(E, F, G) ;
où G est une partie de E × F , c.-à-d., une propriété sur les éléments de E × F . On dit
que E est l’ensemble de départ de la relation R, F est l’ensemble d’arrivée de R et G est
le graphe de R.
Si (x, y) ∈ G, on dit que x et y sont reliés par R, et on écrit xRy.
Exemple 1.2.2 Soient E = {a, b, c, d, e}, F = {1, 2, 3, 4, 5, 6} et R la relation binaire
définit sur E × F par son graphe G = {(a, 2), (b, 1), (b, 3), (d, 3)} qu’on peut la représenter par le Schémas 1.2 suivant :
R
F
E
•1
a•
b•
•2
c•
•3
d•
•4
•5
e•
•6
F IGURE 1.2 – Relation binaire.
Définition 1.2.3 Une relation binaire f sur E × F est dite une application de E vers F
si ∀x ∈ E; ∃!y ∈ F : xf y, c.-à-d., chaque élément x de E est relié à un unique élément
de y de F . L’unique élément y de f s’appelle l’image de x par f , x s’appelle l’antécédent
de y par f , et on écrit f (x) = y. L’application f se note
f :E→F
x 7→ f (x)
ou f : E → F , x 7→ f (x).
Mohamed BENDAOUD
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Chapitre 1
1.2. Applications
Exemple 1.2.4 L’application exponentielle e : R → R, x 7→ ex est bien une application
de R vers R.
Définition 1.2.5 On appelle fonction de E vers F toute application f d’une partie D de
E vers F . La partie D s’appelle l’ensemble (ou le domaine) de définition de f et se note
Df .
Exemple 1.2.6
1) La fonction logarithme népérienne Ln est une fonction de R vers R, et DLn =
]0, +∞[.
2) L’application idE : E → E, x 7→ x, s’appelle l’identité de E.
3) Soit A ⊆ E. L’application χA : E → {0, 1} définie par :
1, si x ∈ A ;
χA (x) =
0, si x∈
/ A.
s’appelle la fonction caractéristique de A.
Définition 1.2.7 On dit qu’une application f : E → F est :
• injective si : ∀x, x0 ∈ E : f (x) = f (x0 ) =⇒ x = x0 ;
• surjective si : ∀y ∈ F, ∃x ∈ E : f (x) = y ;
• bijective si f est à la fois injective et surjective.
Exemple 1.2.8 L’application f : Z → N, n 7→ n2 n’est ni injective (car f (−1)√= f (1)
/ Z).
mais −1 6= 1) ni surjective (car 3 n’admet pas d’antécédent par f du fait que ± 3∈
Remarque 1.2.9 Soit f : E → F une application. Alors
f est bijective ⇐⇒ ∀y ∈ F, ∃!x ∈ E : f (x) = y.
Définition 1.2.10 Soit f : E → F une bijection. L’application notée f −1 et définie de F
vers E par f −1 (y) = x pour tout y ∈ F , où x est l’unique élément de E tel que f (x) = y,
s’appelle l’application réciproque de f .
Remarque 1.2.11 Soit f : E → F une application.
1) Si f est bijective, alors f −1 est bijective, f −1 ◦ f = idE et f ◦ f −1 = idF .
2) Inversement, s’il existe une application g : F → E telle que g ◦ f = idE et
f ◦ g = idF , alors f est bijective et f −1 = g.
En effet, le fait que
∀x, x0 ∈ E; f (x) = f (x0 ) =⇒ g(f (x)) = g(f (x0 ))
=⇒ g ◦ f (x) = g ◦ f (x0 )
=⇒ x = x0
entraine que f est injective, et la surjectivité de f est une conséquence de l’égalité
f ◦ g = idF . L’égalité f −1 = g découle du fait que
∀y ∈ F, f −1 (y) = f −1 (idF (y)) = f −1 (f ◦ g(y)) = g(y);
ce qui achève la preuve.
Mohamed BENDAOUD
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Chapitre 1
1.2. Applications
Exercice 1.2.12 Montrer que l’application f : R →] − 1, 1[ définie par
f (x) =
x
, ∀x ∈ R,
1 + |x|
est bijective, et déterminer sa fonction réciproque.
Définition 1.2.13 Soient f : E → F une application, A ⊆ E et B ⊆ F . On appelle :
• L’image de A par f l’ensemble f (A) = {f (x) : x ∈ A}.
L’ensemble f (E) est souvent noté Im(f ) et s’appelle l’image de f .
• L’image réciproque de B par f est l’ensemble noté f −1 (B) et définit par
f −1 (B) = {x ∈ E : f (x) ∈ B}.
Dans l’exemple définie par le Schémas 1.3 ci-dessous on a : f (A) = {1, 2, 5} et
f −1 (B) = {c, d}.
f
F
E
•1
a•
b•
•2
c•
•3
A
B
•4
•5
d•
•6
F IGURE 1.3 – Image direct et image réciproque.
Proposition 1.2.14 Soit f : E → F une application. Alors
f est surjective ⇐⇒ f (E) = F.
Preuve. Clairement, si f (E) = F alors f est surjective. Inversement, si f est surjective
alors F ⊆ f (E). Et comme f (E) est une partie de E par définition, on en déduit que
f (E) = F .
Proposition 1.2.15 Soit f : E × F une application.
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Chapitre 1
1.3. Relations d’équivalence
1) f (A ∪ A0 ) = f (A) ∪ f (A0 ) et f (A ∩ A0 ) ⊆ f (A) ∩ f (A0 ), ∀A, A0 ∈ P(E).
2) f −1 (B ∪ B 0 ) = f −1 (B) ∪ f −1 (B 0 ) et f −1 (B ∩ B 0 ) = f −1 (B) ∩ f −1 (B 0 ), pour
tous B, B 0 ∈ P(F ).
3) ∀A ∈ P(E), A ⊆ f −1 (f (A)), et on a égalité si f est injective.
4) ∀B ∈ P(F ), f (f −1 (B)) ⊆ B, et on a égalité si f est surjective.
f −1 (B)
5) ∀B ∈ P(F ), f −1 (CFB ) = CE
.
f (A)
A
6) f est bijective ⇐⇒ f (CE ) = CF , ∀A ∈ P(E).
Preuve. Voir les travaux dirigés.
Définition 1.2.16 On dit qu’un ensemble E est :
— Fini s’il ne contient qu’un nombre fini d’éléments. Dans ce cas, le nombre d’éléments de E s’appelle le cardinal de E et se note card(E) ou |E|.
— Dénombrable s’il est en bijection avec N, c.-à-d., il existe une bijection de E vers
N ou de N vers E.
Exercice 1.2.17 Montrer que les ensembles Z et N2 sont dénombrables.
Définition 1.2.18 Soient E et I deux ensembles. On appelle famille d’éléments de E
indexés par I toute application x : I → E, i → x(i). Si on note x(i) = xi pour tout
i ∈ I, alors la famille x se note x = (xi )i∈I .
Définition
1.2.19 Soit (Ai )i∈I une famille
\
[ de parties de E. On définit alors :
Ai = {x ∈ E : x ∈ Ai , ∀i ∈ I},
Ai = {x ∈ E : ∃i ∈ I, x ∈ Ai } et
i∈I
i∈I
Y
Ai = {(xi )i∈I : xi ∈ Ai , ∀i ∈ I}.
i∈I
Axiome de Choix : "Le produit d’une famille non videY
(c.-à-d., I 6= ∅) d’ensembles non
Ai 6= ∅)". Cet axiome est très
vides (c.-à-d., Ai 6= ∅, ∀i ∈ I) est non vide (c.-à-d.,
i∈I
utilisé en mathématiques et a plusieurs énoncés équivalents.
1.3
Relations d’équivalence
Définition 1.3.1 Soit R une relation binaire sur E × E. On dit que R est une ralation
d’équivalence sur E s’elle est :
— réflexive : ∀x ∈ E, xRx ;
— symétrique : ∀x, y ∈ E, xRy =⇒ yRx ;
— transitive : ∀x, y, z ∈ E, xRy et yRz =⇒ xRz.
Exemple 1.3.2
1) Dans Z, la relation R définie par
xRy ⇐⇒ x − y est pair
est une relation d’équivalence, et la relation R0 définie par
xR0 y ⇐⇒ x − y est impair
n’est pas d’équivalence puisque R0 n’est pas réflexive.
Mohamed BENDAOUD
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Chapitre 1
1.3. Relations d’équivalence
2) Soit f : E → F une application. La relation Rf définie sur E par
xRf y ⇐⇒ f (x) = f (y)
est une relation d’équivalence sur E dite canoniquement associée à f .
Définition 1.3.3 Soit R une relation d’équivalence sur E. L’ensemble :
• Cl(x) = {y ∈ E : xRy} s’appelle la classe d’équivalence de x modulo R et se
.
note x ou x.
• E/R = {x : x ∈ E} s’appelle l’ensemble quotient de E par R.
Proposition 1.3.4 Soit R une relation d’équivalence sur E. Alors :
1) ∀x ∈ E : x 6= ∅.
2) ∀x, y ∈ E : xRy ⇐⇒ x = y.
3) ∀x,
[ y ∈ E : x = y ou x ∩ y = ∅.
4)
x = E.
x∈E
Preuve. L’assertion 1) est une conséquence du fait que, pour tout x ∈ E, x ∈ x puisque
R est refléxive.
2) Soient x, y ∈ E. Si x = y, alors xRy du fait que x ∈ x = y. Inversement, si xRy
alors y ⊆ x. En effet, pour tout z ∈ y, on a yRz et donc xRz puisque R est transitive.
Ainsi, z ∈ x et y ⊆ x. De même on montre que x ⊆ y, et le résultat s’en découle.
3) Soient x, y ∈ E. Si x 6= y, alors x ∩ y = ∅. En effet, supposons par absurde que
x ∩ y 6= ∅. Alors x ∩ y contient au moins un élément z. En particulier, xRz et zRy. Ainsi,
xRy et, d’après 2), on aura x = y ; ce qui est absurde.
[
4) Calirement,
x ⊆ E du fait que x ⊆ E, ∀x ∈ E. D’autre part, pour tout y ∈ E,
x∈E
[
[
[
y∈y⊆
x. Ainsi, E ⊆
x, et par suite E =
x.
x∈E
x∈E
x∈E
Remarque 1.3.5 Les propriétés 1), 3) et 4) s’expriment en disant que la famille (x)x∈E
forme une partition de E.
Inversement, soit (Ai )i∈I une partition de E, c-à-d., une famille de parties de E telle
que :
1) ∀i ∈ I : Ai 6= ∅.
2) [
∀i, j ∈ I : Ai = Aj ou Ai ∩ Aj = ∅.
3)
Ai = E.
i∈I
Alors la relation d’équivalence R canoniquement associée à (Ai )i∈I définie sur E par
xRy ⇐⇒ ∃i ∈ I : x, y ∈ Ai
vérifie E/R = {Ai : i ∈ I}, c-à-d., ∀x ∈ E, ∃i ∈ I : x = Ai .
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Chapitre 1
1.4. Relations d’ordre
E
···
x1
x2
···
xn
···
···
F IGURE 1.4 – Partition d’un ensemble.
Exemple 1.3.6 Soit n ∈ N∗ . La relation R de congruence modulo n définie sur Z par
xRy ⇐⇒ n divise x − y
est une relation d’équivalence.
On rappelle que, dans ce cas, xRy se note x ≡ y[n] et se lit x est congru à y modulo
n, et que Z/R se note Z/nZ. De plus, Z/nZ est un ensemble fini de cardinal n et
Z/nZ = {0, 1, ..., n − 1}.
En effet, pour tout m ∈ Z, on a m = r ; où r est un entier naturel tel que m = nq + r
avec 0 ≤ r < n. Ainsi, Z/nZ = {0, 1, ..., n − 1}. De plus, si r, r0 ∈ {0, 1, ..., n − 1} avec
r 6= r0 , alors r 6= r0 . Car sinon, on aura
r = r0 =⇒ ∃k ≥ 1 : |r − r0 | = kn
=⇒ r = kn + r0 ≥ n ou r0 = kn + r ≥ n;
Ce qui est absurde. D’où, |Z/nZ| = n.
1.4
Relations d’ordre
Définition 1.4.1 Soit R une relation binaire sur E × E. On dit que R est une relation
d’ordre sur E s’elle est :
— réflexive ;
— antisymétrique : ∀x, y ∈ E, xRy et yRx =⇒ x = y ;
— transitive.
Une relation d’ordre R sur E est dite totale si, pour tous x, y ∈ E, on a
xRy ou yRx,
c.-à-d., deux éléments quelconques de E sont comparables. Si un ordre n’est pas total, on
dit quel est partiel.
Exemple 1.4.2
Mohamed BENDAOUD
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Chapitre 1
1.4. Relations d’ordre
1) (R, ≤) est un ensemble totalement ordonné.
2) (P(E), ⊆) est un ordre partiel si E contient plus de deux éléments.
3) (N∗ , /) est un ordre partiel ; où la relation / est définie sur N∗ par
∀x, y ∈ N∗ ; x/y ⇐⇒ x divise y
Définition 1.4.3 Soit (E, ≤) un ensemble ordonné et A une partie de E. On dit que A est
majorée (resp., minorée) s’il existe M ∈ E (resp., m ∈ E) tel que x ≤ M, ∀x ∈ A (resp.,
m ≤ x, ∀x ∈ A). Dans ce cas M (resp., m) est dit un majorant (resp. minorant) de A.
Le plus petit des majorant (resp., le plus grand des minorants) de A, s’il existe, s’appelle la borne supérieure (resp., la borne inférieur de A), et on la note sup(A) (resp.
inf (A)).
Quand sup(A) ∈ A (resp. inf (A) ∈ A) on l’appelle le plus grand élément de A
(resp., le plus petit élément de A).
Exemple 1.4.4 Dans (R, ≤), la partie A = { n1 , n ∈ N∗ } est majorée par 1 = sup(A) qui
est le plus grand élément de A, minorée par 0, mais A n’admet pas de plus petit élément
puisque inf (A) = 0∈
/ A.
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