El Universo Inflacionario
Misael Arnaldo Espinal Valladares1
1
Secretarı́a Nacional de Ciencia, Tecnologı́a e Innovación
SENACIT - Honduras
8 de octubre de 2022
Resumen: Estudiar el universo, comprender su origen y evolución siempre ha sido de
gran interés para la humanidad. En este contexto la cosmologı́a lo propone, buscando responder preguntas relacionadas con su estructura, composición y dinámica. En sus inicios,
habı́an varios modelos propuestos, el que ha obtenido un éxito considerable al compararlo con las diferentes observaciones cosmológicas fue el modelo del Big Bang Caliente, este
implica un universo en expansión, homogéneo e isotrópico a gran escala, es decir, no hay
puntos o direcciones preferenciales en el universo (WEINBERG, 2008). Sin embargo, a
pesar de su gran éxito, tiene algunos problemas, entre ellos se pueden resaltar los problemas del horizonte y la planitud. Una propuesta ampliamente aceptada para resolverlos es
que el universo en su momento inicial se sometió a una fase de crecimiento exponencial.
Tal propuesta constituye lo que se conoce como modelos inflacionarios, que además de
resolver los problemas presentes en el modelo del Big Bang Caliente, proporciona una
buena explicación de la formación de las anisotropı́as del universo como consecuencia
de la expansión de las fluctuaciones cuánticas en el campo escalar generador del perı́odo
inflacionario denominado inflatón.
Palabras clave: Cosmologı́a, Big Bang Caliente, Inflación, Inflatón, Campo Escalar.
1.
Introducción
dinámica del universo en todas las escalas puede describirse por la teorı́a de Relatividad general de Einstein y también se
supone que el contenido del universo se
puede describir como un fluido perfecto.
(VAZQUEZ; PADILLA; MATOS, 2020).
Basados en las observaciones cosmológicas, habı́an varios modelos que proponen explicar el funcionamiento del universo, entre ellos uno se destacó y se ganó
el reconocimiento frente a la comunidad
cientı́fica, el modelo del Big Bang Caliente. Este modelo tiene su base teórica en
algunos pilares importantes, entre ellos, el
principio cosmológico, que nos dice cuando se observa a gran escala el universo es
homogéneo e isotrópico, es decir, no hay
puntos o direcciones preferenciales en el
universo. También la hipótesis de que la
Este modelo tiene resultados muy satisfactorios en comparación con las observaciones. Entre sus éxitos se puede citar la
predicción correcta de la temperatura de
la radiación del fondo cósmico de microondas, la abundancia de los elementos y
quizás su consecuencia más famosa, la evidencia de un universo en expansión acele1
ve plana; esta geometrı́a se confirmó experimentalmente alrededor del año 2000.
Luego, los teóricos tuvieron que usar las
leyes de la fı́sica para resolver el problema
de cómo detener la inflación para que el
universo enfrı́e y la estructura comience a
formarse (THOMAS, 2014).
rada. Es importante destacar que los datos astronómicos indican que las galaxias
se alejan con una velocidad proporcional
a la distancia, esto no significa que la Vı́a
Láctea sea el centro del universo, desde
el principio cosmológico asegura que no
puede haber un punto en el espacio privilegiado (una analogı́a muy común para
ejemplificar la expansión del universo).
“El modelo estándar de la cosmologı́a del
Big Bang Caliente requiere condiciones
iniciales que son problemáticas de dos formas: (1) se supone que el universo primitivo es altamente homogéneo, a pesar
del hecho de que las regiones separadas
estaban causalmente desconectadas (problema del horizonte); y (2) el valor inicial
de la constante de Hubble debe ajustarse
con precisión extraordinaria para producir un universo tan plano (es decir, cerca de la densidad de masa crı́tica) como
el que vemos hoy (problema de planitud).
Estos problemas desaparecerı́an si, en su
historia temprana, el universo se sobreenfriara a temperaturas de 28 o más órdenes de magnitud por debajo de la temperatura crı́tica para alguna transición de
fase. Un enorme factor de expansión resultarı́a entonces de un perı́odo de crecimiento exponencial, y la entropı́a del universo se multiplicarı́a por un factor enorme cuando se liberara el calor latente. Tal
escenario es completamente natural en el
contexto de grandes modelos unificados
de interacciones de partı́culas elementales. En tales modelos, el sobreenfriamiento también es relevante para el problema
de la anulación de monopolos. Desafortunadamente, el escenario parece conducir a algunas consecuencias inaceptables,
por lo que se deben buscar modificaciones
(GUTH, 1981)”.
A pesar de estos y varios otros éxitos del
Modelo del Big Bang Caliente, todavı́a hay
fenómenos observados que no pueden ser
explicados por este modelo. Es con esta
motivación que para remediar estos problemas encontrados surgen modelos cosmológicos inflacionarios (GUTH, 1981).
Con una interesante propuesta de que el
universo, en su momento inicial, ha pasado por una fase de crecimiento exponencial, los modelos inflacionarios proponen
complementar el Big Bang Caliente, resolver sus problemas y aún proporcionar un
buena explicación sobre la formación de
las anisotropı́as del universo a través de la
expansión de fluctuaciones cuánticas en el
campo generador de inflación (inflatón).
2.
Teorı́a Inflacionaria
Inicialmente, el universo era caliente y
denso con partı́culas que interactuaban.
Se ha conjeturado que antes de esta fase,
el universo experimentó un breve perı́odo
de expansión acelerada conocido como inflación cuando las fluctuaciones cuánticas,
extendidas a escalas cosmológicamente
grandes, se convirtieron en las semillas de
las estrellas y galaxias del universo. De
acuerdo con la teorı́a de la inflación, a medida que el universo se expande exponencialmente rápido, su geometrı́a se vuel2
3.
El Big Bang Caliente
Para describir las propiedades generales
del Universo, se asume que su dinámica se
describe como un fluı́do perfecto con presión p(t) y densidad de energı́a ρ(t). Ambas cantidades a menudo se relacionan a
través de una ecuación de estado con la
forma de p = p(ρ). Los casos más estudiados son los tres siguientes:
El modelo del Big Bang Caliente describe
un universo que obedece el principio cosmológico y su evolución está determinada
por las ecuaciones de Friedmann obtenidas a partir de las ecuaciones de campo
de Einstein (COLES, 2002).
3.1.
Homogeneidad e Isotropı́a
El principio cosmológico establece que el
Universo a escalas cosmológicas es homogéneo e isotrópico (FIXSEN, 2009). La
homogeneidad quiere decir que cualquier
punto del Universo luce igual y tiene las
mismas propiedades que cualquier otro
punto dado. La isotropı́a significa que sin
importar en qué dirección se esté observando, veremos las mismas propiedades
en el Universo (esto aplica para grandes
escalas), a escalas diminutas el universo
no es homogéneo ni isotrópico.
3.2.
Figura 1: Evolución de ρ(a), a(t) y H(t)
cuando el universo está dominado por la
radiación, la materia o una constante cosmológica (VAZQUEZ; PADILLA; MATOS,
2020).
1. Radiación:
ρ
3
(2)
p=0
(3)
p=
La Métrica FLRW
2. Materia (polvo):
2
2
2 −1
ds = dr (1−kr )
2
2
2
2
2
+r dθ +r sin θdϕ [−a2 (t)]+dt2
(1)
La anterior expresión matemática es
la métrica de Friedmann-Lemaı̂treRobertson-Walker, la cuál reúne las
caracterı́sticas de teorı́a geométrica que
describe al universo.
3.2.1.
3. Constante cosmológica:
p = −ρ
(4)
Las ecuaciones de Einstein para este tipo
de constituyentes, con la métrica FLRW,
vienen dadas por la ecuación de Friedmann:
Ecuaciones de Friedmann
Las ecuaciones de Friedmann son un conjunto de ecuaciones que gobiernan la expansión métrica del espacio en modelos que cumplen el principio cosmológico
según lo establecido en la Teorı́a General
de la Relatividad.
H2 ≡
ȧ 2
a
=
8π
k
ρ− 2
2
a
3mP l
(5)
La ecuación de aceleración es:
ä
4π
= − 2 (ρ + 3p)
a
3mP l
3
(6)
La ecuación de continuidad es:
ρ̇ + 3H(ρ + p) = 0
(7)
Primer ecuación de Friedmann:
8
= πGρ − c2 ka−2
a
3
Segunda ecuación de Friedmann:
ä
4
P
= − πG ρ + 3 2
a
3
c
3.3.
2(1 + 3ω)−1 H0−1 a(
(8)
4.
(9)
Problemas del Big Bang Caliente
4.1.
De la primer ecuación de Friedmann, el
3H 2
término 8πG
es una densidad crı́tica de un
universo plano, por lo que |1 − Ω| ≈ 0.
(10)
Modelo Inflacionario
Cantidad de Inflación (Número de e-folds)
N = ln
Resulta impresionante que desde su origen hasta nuestro tiempo Ω ≈ 1. Nuestro
Universo en el pasado tendrı́a que ser más
plano, el que conocemos en el presente
es aproximadamente plano (PLANCK COLLABORATION, 2020) .
3.3.2.
(11)
El tamaño de la expansión durante el
perı́odo inflacionario es muy grande, para
la cantidad de inflación en un perı́odo de
t a tf en términos del número de e-folds
(N ) (LYTH; RIOTTO,1999) se rige por la
siguiente expresión:
Problema de Planitud
1 − Ω = −R2H k 2
1+3ω
)
2
Los problemas de planitud y el horizonte
son solucionados por el Modelo Inflacionario, el cuál consiste en la expansión acelerada que experimentó nuestro universo
en un tiempo temprano.
La teorı́a inflacionaria resuelve dos problemas del modelo del Big Bang Caliente, estos son: Problema de planitud y horizonte
(NASTASE; SKENDERIS, 2020).
3.3.1.
y ω = 0 (MARTÍNEZ,
El CMB presenta (con base en el modelo
del Big Bang caliente) 1,000,000 de regiones causalmente desconectadas, estas debieron estar causalmente conectadas porque a una T = 2,725 K el CMB es isotrópico.
También se tiene otra forma de expresar las ecuaciones de Friedmann (conocidas comunmente como primer y segunda
ecuación de Friedmann):
ȧ 2
1
3
esto es si ω =
2016).
a(tf )
=
a(t)
tf
Z
Z
ϕf
H dt =
H(ϕ̇)−1 dϕ
ϕ
t
(12)
Para la aproximación de slow-roll tiene la
siguiente forma:
Z
ϕ
N = 8πG
V (V ′ )−1 dϕ
(13)
ϕf
Problema del Horizonte
4.2.
El horizonte de partı́culas aumenta con a y
t, este era más pequeño en el pasado. Las
partı́culas que ingresan al horizonte en el
presente estaban muy lejos en el pasado,
Solución al Problema de Planitud
Es solucionado mediante inflación, un radio de Hubble comóvil decreciente harı́a
4
que Ω se aproximara a 1, durante el
perı́odo inflacionario el universo tenderı́a
hacia la planitud en lugar de alejarse de
esta.
De la ecuación del problema de planitud,
2 ≈ e−2N donde N = 60.
|1 − Ω| ≈ 0, RH
4.3.
Solución al Problema del Horizonte
ä > 0
(16)
La inflación cosmológica es definida como
el perı́odo de expansión acelerada, ası́ que
la ecuación (14) puede ser expresada como:
d
(aH)−1 = −a−1 (1 − ϵ)
dt
(17)
y por tanto, se tiene una condición de
Hubble decreciente, resultando:
ϵ = −ḢH −2 < 1
(18)
En la ecuación de campo de Einstein en
unidades naturales es evidente que al ser
ä > 0, entonces:
1
p<− ρ
(19)
3
Es importante mencionar que la materia y
la radiación radiación no cumplen la condición anterior. La constante cosmológica se considera idónea para generar estas
soluciones porque un universo dominado
por Λ puede ser p = −ρ (un fluido perfecto). Si se sustituye esta condición en
la ecuación de Friedmann se tendrı́a un
universo en expansión exponencial (VAZQUEZ; PADILLA; MATOS, 2020):
Inflación soluciona este problema tomando en cuenta que el universo en expansión
se comporta exponencialmente dado por
a = ai eN , RH (t0 ) < RH (ti ) donde serı́a
necesario que 57 < N (CLESSE, 2015).
Condiciones para Inflación
Las condiciones para el universo decreciente de radio de hubble y los modelos
con este tipo de restricción se denominan
modelos inflacionarios y lo que se pretende es que:
d
(aH)−1 < 0
dt
(15)
Donde H es la constante de Hubble y a el
factor de escala del universo.
Para el problema del horizonte es importante entender claramente la distinción entre los conceptos de Horizonte
de Partı́culas χp y Horizonte de Hubble (aH)−1 . Si los eventos están separados por una distancia mayor a χp nunca
podrı́an haber estado en contacto, ya que
la distancia que los separa es mayor que
(aH)−1 . Ahora no pueden estar en contacto, es decir, es posible que el horizonte de
partı́culas es mucho más grande que el horizonte de Hubble, por lo que las partı́culas no pueden comunicarse en el universo
actual, pero estaban en contacto causal en
el universo primordial.
4.4.
−ä(aH)−2 < 0
1
a(t) ∝ exp(Λ/3) 2 t
(14)
(20)
Por lo que la ecuación (14) es satisfecha.
La anterior condición puede reescribirse
como:
5
de movimiento (CHENG, 2005):
En resumen inflación ocurre cuando ϵ < 1.
Para resolver el problema del horizonte
debe poseer una duración de N ≈ 60 efold, ϵ debe mantenerse en un valor pequeño por un tiempo suficiente, por lo que
la resticción que asegura que lo anterior
ocurra está dado por:
d
η=
(ln ϵ) = ϵ̇(Hϵ)−1
dN
∂Lϕ
∂L
− ∂µ
∂ϕ
∂(∂µ ϕ)
1
Lϕ = g µν ∂µ ϕ∂ν ϕ − V (ϕ)
2
(21)
ϕ̈ + 3H ϕ̇ +
Un campo escalar único que genera expansión acelerada se denomina como
inflatón. Inicialmente considerando que
puede depender del tiempo como de la posición espacial (CARROLL, 2019). Asociado a cada valor del campo ϕ se tiene entonces una densidad de energı́a potencial
V(ϕ). Por lo tanto, se quiere determinar
las condiciones para que este campo escalar genere el perı́odo inflacionario. Se utilizará como parámetro para medir la evolución de la inflación.
S=
d x(Lϕ + LE−H )
(25)
1
Tµν = ∂µ ϕ∂ν ϕ − gµν ( g µν ∂µ ϕ∂ν ϕ) (26)
2
T ji = −pϕ δ ji
(27)
T 00 = ρϕ
(28)
Donde T ji es la componente espacial y T 00
la componente temporal (MELIA, 2015).
La densidad de energı́a se calcula con el
tensor energı́a-momento y tiene la forma
siguiente:
Para estudiar esta dinámica, se puede describir por un término de acción del campo escalar sumándole la acción EinsteinHilbert (UNANUÉ, 2011), como lo muestra siguiente expresión:
4
∂V (ϕ)
=0
∂ϕ
La forma para el tensor energı́a-momento
del inflatón será:
Dinámica del Campo Escalar
Z
(24)
En este caso, al realizarlo para el lagrangiano del inflatón se obtiene la ecuación
de movimiento o mejor conocida como
ecuación de Klein-Gordon del inflatón:
Por tanto, para tener una expansión acelerada se debe tener que ϵ ≪ 1 y η ≪ 1,
estos son los denominados parámetros de
slow-roll.
4.5.
(23)
1
ρϕ = ϕ̇2 + V (ϕ)
(29)
2
y de forma similar la presión, expresada
como:
1
pϕ = ϕ̇2 − V (ϕ)
2
(22)
A partir de las ecuaciones de EulerLagrange se puede obtener las ecuaciones
6
(30)
5.
Sustituyendo en la ecuación de estado p =
ωρ y despejando para ω:
ω=
4.6.
pϕ
ω=
ρϕ
(31)
1 2
2 ϕ̇
1 2
2 ϕ̇
(32)
− V (ϕ)
+ V (ϕ)
La importancia de estudiar el universo inflacionario es porque resuelve varios de
los problemas presentes en el Big Bang Caliente y con el avance de los instrumentos
de observación, se encamina cada vez más
a convertirse en una teorı́a sólida. A partir
de una breve revisión de Cálculos Tensoriales y Teorı́a de la Relatividad General,
se formuló las bases del modelo del Big
Bang Caliente destacando sus aciertos, su
dinámica, en el cuál el universo requiere
la suposición de condiciones iniciales que
son muy poco plausibles por dos razones:
(i) El problema del horizonte. Se supone
que las regiones causalmente desconectadas son casi idénticas; en particular, están
simultáneamente a la misma temperatura. (ii) El problema de la planitud. Para
una temperatura inicial fija, el valor inicial
de la constante de Hubble debe ajustarse con precisión extraordinaria para producir un universo tan plano como el que
observamos. Ambos problemas desaparecerı́an si el universo se sobreenfriara 28 o
más órdenes de magnitud por debajo de la
temperatura crı́tica para alguna transición
de fase. Bajo tales circunstancias, el universo estarı́a creciendo exponencialmente en el tiempo (GUTH, 1981), principal
motivación para el desarrollo de modelos inflacionarios, donde en este caso con
el campo escalar único, las ecuaciones de
movimiento se pueden simplificar debido
a la suposición de que el campo escalar es
el único campo de materia presente en el
Universo primitivo y por tanto, los campos
escalares son utilizados en Cosmologı́a para proporcionar modelos para los enigmas
sin respuesta del universo (LÓPEZ, 2016).
Aproximación de Slow-Roll
Para que la inflación persista lo suficiente
y se resuelvan los problemas de horizonte
y planitud, se deben cumplir ciertas condiciones. Para el campo escalar ϕ se puede
tomar algunas aproximaciones que garantizan esta propiedad, la primera de ellas
es que el modelo parte de un potencial casi plano, es decir, ϕ̇2 ≪ V (ϕ), sin embargo, para asegurar que esta condición dure suficiente se puede hacer una segunda
aproximación donde |ϕ̈| ≪ V ′ (ϕ).
Primera condición de slow-roll:
ϵV (ϕ) =
1
(V ′ V −1 )2
16πG
(33)
|ϵV (ϕ)| ≪ 1
(34)
Segunda condición de slow-roll:
ηV (ϕ) =
1
V ′′ V −1
8πG
|ηV (ϕ)| ≪ 1
4.7.
Conclusión
(35)
(36)
Fin de Inflación
A medida que el campo ϕ rueda hacia el
potencial mı́nimo V (ϕ), las condiciones de
slow-roll comienzan a perder su validez y
termina la inflación, por lo que es natural
asumir el fin de inflación cuando ϵV = 1
(LIDDLE; LYTH, 2000).
7
6.
Referencias
CLESSE, “An introduction to inflation after
plank: from theory to observations”, notas
de clase, universidad de namur, 2015.
WEINBERG, S. Cosmology. New York: Oxford university press, 2008.
CARROLL, S. M. Spacetime and geometry.
Cambridge: Cambridge University Press,
2019.
VAZQUEZ, J. A.; PADILLA, L. E.; MATOS,
T. Inflationary cosmology: From theory to
observations. Revista Mexicana de Fisica
E, v. 17, 2020.
UNANUÉ, A. “Revisión de la teorı́a de perturbaciones en relatividad general”, Rev.
Mex. Fis, 57 (4) 276–303, Agosto 2011.
GUTH, A. H. Inflationary universe: A possible solution to the horizon and flatness
problems. Physical Review D, v. 23, 1981.
CHENG, T. Relativity, Gravitation and Cosmology. 1 o ed. New York: Oxford university press. 2005.
THOMAS D. K. BICEP: Spacetime Ripples
or Galaxy Dust? Doubts Arise Over Claims
of Evidence for Cosmic Inflation. 2014.
MELIA, F. “The cosmic equation of state”,
Springer, vol. 356, pp. 393-398. 2015.
COLES, P. Cosmology, The Origen and
Evolution of cosmic structure . 2 o
ed.Inglaterra: John Wiley sons, Ltd. 2002.
LIDDLE, A. R.; LYTH, D. H. Cosmological
inflation and large-scale structure. Cambridge: Cambridge university press, 2000.
FIXSEN, D. The temperature of the cosmic
microwave background. The Astrophysical Journal, v. 707, n. 2, p. 916, 2009.
LÓPEZ, U. A. L. 2016 J. Phys.: Conf. Ser.
761 012076
NASTASE, H.;SKENDERIS K. “Holography
for the very early universe and the classic
puzzles of hot big bang cosmology”, Physical Rev. D, vol. 101, Enero 2020.
PLANCK COLLABORATION, Resultados
Planck 2018. VI. Parámetros cosmológicos. Astronomı́a y Astrofı́sica, 641 A6-A6,
2020.
MARTÍNEZ, G. “Inflación cósmica: modelos inflacionarios con déficit de potencia a
gran escala y comparación con observaciones”, tesis de grado, Facultad de ciencias,
UC, 2016.
LYTH, D. H.; RIOTTO, A. Particle physics
models of inflation and the cosmological
density perturbation. Physics Reports, Elsevier, v. 314, n. 1-2, p. 1–146, 1999.
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