Transfert de chaleur - Exercices
université de technologie de
compiègne
Transfert de chaleur
Énoncés des travaux dirigés
Table des matières
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Rappels de thermodynamique
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Conduction - Murs plans - Conduites cylindriques
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Barres encastrées
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Source de chaleur
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Régime transitoire
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Convection - Échangeurs de chaleur
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Rayonnement
Rappels de thermodynamique
Exercice 1
Donner la conversion entre kcal/h et watt ; entre kWh et joule.
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Calculer la consommation d'électricité de la salle de TD pendant la durée de la séance.
Exercice 2
La capacité calorifique du quartz (Si02) à 100 kPa entre 298 K et 848 K est donnée par l'équation :
CP = 46,98 + 34,33.10-3 T - 11,3.105 T-2 (J/mol.K)
Quelle est la quantité de chaleur nécessaire pour porter 1000 kg de quartz de 300 K à 700 K sous 100 kPa de pression ?
Si = 28
Exercice 3
(supprimé)
Exercice 4
Calculer le débit de chaleur nécessaire pour produire 1,5 tonne/h de vapeur à 120°C, à partir d'eau à 15°C.
La capacité calorifique de l'eau liquide sera supposée indépendante de la tempé-rature et égale à 1 kcal/kg.°C.
La chaleur de vaporisation de l'eau est égale à 526 kcal/kg.
Capacité calorifique de H2O vapeur (cal/mol.K) :
CP = 8,22 + 1,5.10-4 T + 1,34.10-6 T-2
Exercice 5
Les fumées sortant d'un foyer possèdent la composition suivante en volumes :
CO2
9,3 %
O2
3,5 %
N2
71,4 %
H2 O
15,8 %
1. Quelles sont les valeurs des chaleurs spécifiques pour : 1 kg, 1 Nm3, 1 kmole à 0°C et sous la pression de 760 mm de
mercure (1 atm) ?
2. Quelle quantité de chaleur peut-on théoriquement recueillir dans une chaudière de récupération traversée par heure par
5000 Nm3 de ces fumées, qui se refroidissent de 300 à 150 °C ?
Données :
CO2
O2
N2
H2O
Cp à 0°C = 0,198 kcal/kg.°C
Cp vraie à t °C = 8,71 + 5,28.10-3 t kcal/kmol.°C
Cp à 0°C = 0,218 kcal/kg.°C
Cp vraie à t °C = 6,97 + 9,31.10-4 t kcal/kmol.°C
Cp à 0°C = 0,249 kcal/kg.°C
Cp vraie à t °C = 6,97 + 1,06.10-3 t kcal/kmol.°C
Cp à 0°C = 0,433 kcal/kg.°C
Cp vraie à t °C = 7,79 + 2,52.10-3 t kcal/kmol.°C
Exercice 6
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Transfert de chaleur - Exercices
On réalise la décomposition du carbonate de baryum, à 900 K, dans un four chauffé au gaz naturel (c'est-à-dire par combustion
de méthane CH4).
BaCO3(s) = BaO(s) + CO2(g)
∆rH°298 = 269,3kJ/mol
1. Quel volume de méthane (mesuré à 20°C et sous 1 atm.) faut-il brûler pour produire 1 tonne de Baryte (BaO), le
carbonate de baryum étant initialement à 20°C ?
2. Afin de faire des économies sur le chauffage du four, au lieu de laisser le dioxyde de carbone à 900 K s'échapper dans
l'atmosphère, on l'utilise pour réchauffer le carbonate de baryum, dans un échangeur de chaleur placé avant l'entrée du
four, où BaCO3 et CO2 sont mis en contact. Quelle économie relative sur la consommation de méthane peut-on ainsi
espérer ? Quelle serait alors la température du dioxyde de carbone à la sortie de l'installation ?
Ba = 137
Données :
Chaleurs molaires (J/mol.K)
BaCO3(s) 86,9 + 49,0.10-3 T - 12,0.105 T-2
BaO(s)
53,3 + 4,35.10-3 T - 8,30.105 T-2
CO2(g)
44,2 + 9,04.10-3 T - 8,54.105 T-2
Enthalpies de formation ∆fH°298 (kJ/mol)
CH4
-74,8
CO2
-393,5
H2O
-285,2
Exercice 7
On envoie sur du coke chauffé à 1000°C, un mélange de vapeur d'eau et d'air, porté préalablement à 100°C. Quel doit être le
rapport des nombres de moles d'air et d'eau pour que la température du coke ne varie pas ?
C + ½ O2 = CO
C + H2O = CO + H2
∆H291 = -26,62 kcal/mol
∆H291 = 31,38 kcal/mol
Données :
Capacités calorifiques (cal/mol.K) :
CP = 1,1 + 4,8 10-3 T
C
CO O2 N2
CP = 6,5 + 1,0 10-3 T
H2
CP = 6,63 + 0,8 10-3 T
CP = 8,15 + 0,5 10-3 T
H 2O
Conduction - Murs plans - Conduites cylindriques
Exercice 1
Calculer la perte calorifique au travers d'un mur en briques de 8 cm d'épaisseur, 4 m de hauteur et de 2 m de largeur. Les
températures des deux faces du mur sont respectivement de 35°C et de 3°C. (λ = 0,69 W/m.°C)
Exercice 2
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Transfert de chaleur - Exercices
Le mur d'un four comporte trois couches de matériaux différents accolées les unes aux autres :
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Une couche de briques réfractaires ( λ = 1,21 W/m.°C);
Une couche de revêtement calorifuge ( λ = 0,08 W/m.°C);
Une couche de briques ( λ = 0,69 W/m.°C).
Chaque couche a une épaisseur de 10 cm. La température est de 872°C à l'intérieur du four et de 32°C à l'extérieur.
1. Si la surface du mur est de 42 m2, calculer la perte calorifique par conduc-tion pendant 24 heures.
2. Quelle est la température Tm au milieu du revêtement ?
Exercice 3
La paroi d'un four est constituée de trois matériaux isolants en série :
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Une couche intérieure de 18 cm d'épaisseur est en briques réfractaires ( λ = 1,175 W/m.°C);
Une couche de briques isolantes de 15 cm d'épaisseur ( λ = 0,259 W/m.°C);
Et une épaisseur suffisante de briques ( λ = 0,693 W/m.°C).
1. Quelle épaisseur de briques doit-on utiliser pour réduire la perte de chaleur à 721 W/m2 lorsque les surfaces extérieures
et intérieures sont res-pectivement à 38°C et 820°C ?
2. Lors de la construction on maintient un espace libre de 0,32 cm, ( λ = 0,0317 W/m.°C) entre les briques isolantes et les
briques. Quelle épais-seur de briques est alors nécessaire ?
3. La température ambiante étant de 25°C, calculer le coefficient de trans-fert convectif hC à l'extérieur de la paroi.
Exercice 4
Un local est composé de murs composites :
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Bois à l'extérieur :
Conductivité thermique : λb = 0,15 W/m.K et épaisseur eb = 20 mm
Calorifuge au milieu :
Conductivité thermique : λc = 0,038 W/m.K et épaisseur ec = 100 mm
Plâtre à l'intérieur :
Conductivité thermique : λp = 0,17 W/m.K et épaisseur ep = 10 mm
En hiver, il faut maintenir une température intérieure Ti = 19°C, le coefficient de convection intérieure étant hi = 30 W/m2.K pour
une température moyenne extérieure de Te = -2°C et un coefficient de convection extérieure he = 60 W/m2.K. La surface totale
des parois est de 350 m2.
1. Évaluer les déperditions thermiques du local.
2. Déterminer le pourcentage d'augmentation de ces déperditions lorsqu'en hiver la violence du vent entraîne une
augmentation du coefficient de convection à une valeur h'e = 300 W/m2.K.
3. Déterminer la résistance qui contrôle le transfert de chaleur.
4. Pour tenir compte des conditions de températures extérieures plus réalistes, les fluctuations des températures nocturnes
et diurnes au cours de 24 heures sont représentées par les équations suivantes :
Te (K) = 273 + 5 sin(2πt/24)
Te (K) = 273 + 11 sin(2πt/24)
0 < t < 12 h
12 h < t < 24 h
En considérant des conditions quasi-stationnaires (accumulation de chaleur négligeable au sein des parois) déterminer les pertes
journalières de chaleur du local pour he de la question 1.
Exercice 5
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Transfert de chaleur - Exercices
Une conduite cylindrique en acier (diamètre intérieur 53 mm, diamètre extérieur 60 mm, λ = 40,4 W/m.°C) transportant de la
vapeur est calorifugée par 32 mm d'un revêtement fondu à haute température, composé de terre à diatomée et d'amiante
(λ = 0,101 W/m.°C). Ce revêtement est isolé par 65 mm de feutre d'amiante feuilleté (λ = 0,072 W/m.°C).
Au cours d'un essai, on a trouvé que la température du milieu environnant était de 30°C, la température moyenne intérieure au
tuyau dans lequel circule la vapeur était de 482°C et la température de la surface extérieure du revêtement de 50°C.
On demande de calculer :
1. les pertes de chaleur exprimées par unité de longueur de tuyau.
2. la température de la surface comprise entre les deux couches de calorifuge.
3. le coefficient de transfert convectif hc à l'extérieur de la conduite, exprimé par unité de surface extérieure de revêtement.
Exercice 6
Un tuyau cylindrique ayant une température intérieure constante de 85°C est isolé par une couche d'isolant de 10 cm d'épaisseur
et de conductibilité thermique λ = 0,0462 + 0,00015 T (W/m.K). La conduite a un diamètre intérieur de 9 cm et l'épaisseur de sa
paroi est de 6 mm (λ = 1,52 W/m.K).
1. Calculer les pertes thermiques par mètre linéaire sachant que la tempé-rature à la surface de l'isolant est de 20°C.
2. On utilise cette conduite, d'une longueur de 100 mètres, pour véhiculer de l'eau chaude dont le débit est de 1200 l/h. La
température d'entrée de l'eau est de 86°C et on désire qu'elle sorte à 84°C. Quelle épaisseur minimale d'isolant doit-on
mettre autour de la conduite pour atteindre cet objectif ?
Exercice 7
Une canalisation cylindrique en acier de rayon intérieur R1 et de rayon extérieur R2 sert au transport dans l'air ambiant à TF d'une
vapeur sèche dont la température de mélange vaut T0. La conductivité thermique de l'acier est λ1. Les coefficients de convection
vapeur-paroi et paroi-air sont respectivement h1 et h2.
1. Calculer, en régime permanent, le flux de chaleur par surface unitaire externe de canalisation.
2. Même question lorsque l'on recouvre la canalisation d'un isolant d'épaisseur e et de conductibilité λ2. On supposera
d'une part que le coefficient de convection isolant-air est égal au coefficient acier-air et d'autre part que le contact
thermique acier-isolant est parfait.
3. Définir et donner la valeur du rendement du calorifuge.
Données :
λ1 acier = 60 W/m.°C
λ2 isolant = 0,08 W/m.°C
T0 = 200°C
h1 = 1,163 104 W/m2.°C
h2 = 14 W/m2.°C
TF = 15°C
R1 = 9,5 cm
R2 = 10,0 cm
e = 5 cm
Exercice 8
Un tube cylindrique en acier de diamètre intérieur 18 mm et de diamètre extérieur 20 mm est recouvert d'un manchon
cylindrique en amiante (λm = 0,200 W/m.°C) d'épaisseur e. Le tube cylindrique baigne dans un milieu exté-rieur à 15°C et le
coefficient de transfert de chaleur convectif avec l'air ambiant est hc = 11,6 W/m².°C. La température intérieure du tube
métallique étant main-tenue constante à 100°C (condensation de vapeur d'eau saturée sous 1 atm), on demande de trouver le
débit de chaleur par unité de longueur de tube transféré vers le milieu extérieur en fonction de l'épaisseur du manchon isolant.
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Montrer qu'il existe une épaisseur de ce manchon pour laquelle le flux transféré est maximal.
Déterminer l'épaisseur permettant de réduire par un facteur 2 les pertes par rapport au tube non calorifugé.
Que faut-il penser de ces résultats ?
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Donnée complémentaire : conductibilité thermique de l'acier λa = 45,2 W/m.°C.
Exercice 9
Le dispositif représenté par le schéma, supposé à symétrie sphérique, est destiné à isoler thermiquement de l'extérieur une
cavité, initialement remplie d'azote liquide. La paroi r = R0 est donc maintenue à 80 K. Un petit évent, que l'on négligera, impose
la pression atmosphé-rique dans la cavité.
La face externe de la première enceinte métallique R0 < r < R1 et la face interne de la seconde R2 < r < R3 sont polies, de telle
façon que les échanges radiatifs soient négligeables. L'espace intermédiaire R1 < r < R2 est rempli d'air.
La deuxième enceinte métallique est entourée d'une couche d'isolant thermique R3 < r < R4. La surface externe du dispositif
r = R4 est baignée par l'air ambiant à la température Tex = 25°C. On ne considèrera qu'un transfert convectif avec une valeur
constante hc du coefficient de transfert.
1. Calculer les pertes thermiques à travers l'enceinte.
2. Calculer au bout de combien de temps la moitié de l'azote liquide sera vaporisée.
Données :
Masse volumique de l'azote ρ = 808 kg/m3.
Chaleur latente de vaporisation à la pression atmosphérique LV = 2.105 J/kg à 80 K.
R0 = 0,146 m
R1 = 0,150 m
R2 = 0,200 m
R3 = 0,204 m
R4 = 0,300 m
λair = 0,025 W/m.°C
λmétal = 15 W/m.°C
λisolant = 0,010 W/m.°C
hc = 10 W/m2.°C
Exercice 10
La figure ci-après représente un tronc de cône en aluminium (λ = 202 W/m.K) dont la section transversale est circulaire et de
diamètre D = K x1/2 (K = 0,5 m1/2).
La petite base est à une distance x1 = 25 mm, sa température est T1 = 600 K.
La grande base est à une distance x2 = 125 mm, sa température est T2 = 400 K.
La surface latérale est parfaitement isolée.
1. Déterminer la distribution de température T(x), en considérant le transfert de chaleur en régime monodimensionnel.
2. Déterminer le flux de chaleur à travers le tronc de cône.
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Barres encastrées
Exercice 1
Un cylindre de 0,10 m de diamètre et de 1 m de long est encastré dans la surface d'un bloc de cuivre dont la température est de
120°C. Ce cylindre est plongé dans un courant d'air à la température de 20°C. La conductivité du cuivre est λ = 384 W/m.°C et le
coefficient de transfert convectif est hc = 34,9 W/m2.°C. Tracer en fonction de la distance x à l'encastrement, les courbes donnant
la température et le flux de chaleur dans la barre.
Exercice 2
On mesure la température d'un gaz circulant à l'intérieur d'une conduite avec le dispositif suivant : un thermocouple est placé à
l'intérieur d'une gaine encastrée dans la paroi de la conduite.
On cherche à évaluer l'erreur commise lors de cette mesure, c'est-à-dire à évaluer la température indiquée par le thermocouple.
On schématisera le problème en assimilant la gaine à une barre encastrée dans un solide à la température de 260°C et plongeant
dans un fluide à la tempé-rature de 320°C. La gaine, de 3 mm de diamètre intérieur, et 7 mm de diamètre extérieur, a une
longueur de 100 mm et est terminée par une calotte hémi-sphérique. L'extrémité du thermocouple est placée au voisinage de
cette calotte que l'on supposera de température uniforme. Le coefficient de transmission entre le gaz et la gaine est hc = 23,3 W/
m2.°C.
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Calculer la température indiquée par le thermocouple si la gaine est en cuivre ( λ = 384 W/m.°C).
Même question si la gaine est en acier ( λ = 46,5 W/m.°C), en acier inox ( λ = 16,3 W/m.°C), en ardoise ( λ = 4,9 W/m.°C),
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Transfert de chaleur - Exercices
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en pyrex ( λ = 1,3 W/m.°C).
Que faut-il faire pour diminuer considérablement l'erreur commise ?
Exercice 3
Pour améliorer le refroidissement de la surface extérieure d'un réfrigérateur à semi-conducteurs, les parois latérales sont munies
d'ailettes verticales en aluminium. Vue dans le plan, la chambre de réfrigération est carrée. La largeur des parois latérales est
b = 0,8 m et la hauteur h = 1 m . Chaque paroi est munie de 40 ailettes d'épaisseur δ = 3 mm et de hauteur l = 30 mm.
La température à la base de l'ailette est Tb = 30 °C et celle de l'air ambiant Ta = 20 °C. On admettra que le coefficient d'échange
convectif des parois est égal à celui des ailettes h = 7 W/m2.K.
La conductivité thermique de l'aluminium est égale à λ = 202 W/m.K
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Calculer la température à l'extrémité de l'ailette.
Déterminer la quantité de chaleur perdue par les parois latérales munies d'ailettes et comparer à celle perdue par les
parois sans ailettes.
Exercice 4
Dans un tube en acier inoxydable, de 40 mm de diamètre intérieur, circule du sodium dont on veut connaître la température,
considérée comme indépendante de r*. Pour ce faire, on soude sur le tube un cylindre creux en acier inoxydable, appelé doigt de
gant, de 4 mm de diamètre extérieur et de 1 mm d'épaisseur, destiné à recevoir un thermocouple.
Conductivité acier : λ = 20 W.m-1.°C-1
Coefficient d'échange tube sodium : hc = 103 W.m-2.°C-1
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Quelle doit être la longueur de ce doigt de gant pour que l'erreur entre la température mesurée et la température du
sodium ne soit que 0,5 % de la différence de température entre le sodium et la paroi interne à T1 du tube dans lequel
s'écoule le sodium. Chaque section droite est supposée isotherme (approximation de l'ailette). On considérera aussi que
la section droite notée Ω sur la figure est à une température T1 imposée par le tube principal.
On supposera le contact thermique parfait entre le bout du doigt de gant et le thermocouple et on considérera le flux
évacué en bout du doigt de gant comme nul.
On négligera les transferts causés par l'air dans le doigt de gant.
Exercice 5
Un système de freinage peut être simulé par le dispositif suivant :
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Transfert de chaleur - Exercices
Une tige de section Ω et de longueur semi-infinie prend appui
avec une force F sur une surface plane. Cette tige se déplace sur
cette plaque à la vitesse v.
La force de frottement ainsi appliquée est proportionnelle à la
vitesse de déplacement et à la section de contact : F = α v Ω.
Ce frottement engendre une dissipation de chaleur (la puissance
dissipée est totalement transmise à la tige). La puissance
dissipée P est alors proportionnelle à la force de frottement et à
la vitesse : P = α Ω v2.
1. Déterminer l'expression du profil de température dans la tige en considérant la tige comme une ailette de dimension semiinfinie, et en supposant que l'air ambiant est à la température Tamb et que le coefficient d'échange convectif est hc.
On admettra que la température du barreau est uniforme transversalement et qu'elle ne dépend que de z.
2. Vérifier que la puissance dissipée par la surface latérale de l'ailette correspond à la puissance dégagée par frottement.
3. Calculer la température à la base de l'ailette.
Données :
λtige = 40 W/m °C
h = 20 W/m2 °C
Tamb = 20 °C
P = 25 W/m2
Rayon de la tige :
R = 1 cm
Source de chaleur
Exercice 1
Un tuyau en cuivre (longueur = 50 cm, diamètre extérieur = 2,5 cm, épaisseur de la paroi = 2 mm) est bien isolé thermiquement
et ses extrémités sont à 0°C. Un courant électrique traverse le tuyau et débite une énergie de 20 W.
Déterminer le profil de température le long du tuyau et calculer la tempé-rature au milieu du barreau. ( λ = 384 W/m.°C)
Exercice 2
Soit un barreau de carbone de 10 cm de large, 2 mm d'épaisseur et 90 cm de long. En appliquant une d.d.p. de 12 volts aux deux
extrémités, la surface du barreau atteint une température uniforme de 760°C.
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Quelle est la distribution de température suivant l'épaisseur du barreau ?
Quelle est la température au centre du barreau ?
Résistivité électrique du carbone : 0,346 10-4 Ω.m.
Conductivité thermique du carbone : 5,7 W/m.°C.
Exercice 3
Une plaque de grandes dimensions et d'épaisseur 10 cm est le siège d'un échauffement interne d'intensité q = 34,9.104 W/m3. Sa
conductivité thermique est de 17,5 W/m.K. D'un coté, les gaz qui la lèchent sont à 200°C et le coefficient de transfert de chaleur
est de 34,5 W/m2.K. De l'autre, les gaz sont à 30°C et le coefficient n'est que de 11,6 W/m2.K. Établir le profil de température
dans la plaque.
Exercice 4
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Transfert de chaleur - Exercices
Une plaque de grandes dimensions et d'épaisseur 10 cm est le siège d'un échauffement interne localisé dans le plan médian de la
plaque et d'intensité q = 1,163 104 W/m2. De chaque côté de la plaque l'air qui circule est à 100°C et le coefficient de transfert de
chaleur vaut 29 W/m2.K. La conductivité thermique de la plaque est de 17,5 W/m.K. Établir le profil de température dans la
plaque et évaluer en particulier la température dans le plan médian et à la surface externe de la plaque.
Exercice 5
Un four électrique cylindrique est chauffé par une résistance électrique enroulée en spirales jointives situées entre les surfaces
intérieure et extérieure (rayons Ri et Re). La longueur du four étant grande par rapport au diamètre, le transfert de chaleur par
conduction à l'intérieur de la paroi se fait uniquement dans le sens radial. On se limitera donc à l'étude d'une section droite. On
admet-tra que les débits de chaleur transférés vers l'intérieur et vers l'extérieur sont égaux. On désignera par RS le rayon de la
spirale de la résistance électrique dans la section étudiée. Le fil électrique constituant la résistance sera supposé de section
constante et sa résistivité sera supposée indépendante de la température.
1. Ri = 0,20 m, Re = 0,25 m, RS = 0,21 m, on demande de préciser la puissance électrique par spirale qu'il faut fournir pour
que la température intérieure du four en régime stationnaire soit de 420°C.
La paroi du four est constituée d'un matériau réfractaire de conductivité thermique λ = 5,8 W/m.°C. Le four est placé dans
un milieu extérieur dont la température sera supposée uniforme et égale à 20°C. Le transfert de chaleur entre la paroi
extérieure du four et le milieu extérieur se fait essentiellement par convection, avec un coefficient global de transfert de
chaleur égal à 23,3 W/m2.°C.
2. Ri et RS ayant les valeurs précédentes, on demande de trouver la valeur de Re pour laquelle la puissance dissipée par
spirale sera maximale, la tempé-rature intérieure du four étant maintenue constante et égale à 420°C. Toutes les autres
grandeurs seront supposées identiques à celles de la question 1. On justifiera qu'il s'agit bien d'un maximum.
Exercice 6
Soit un bâtonnet ayant un diamètre extérieur de 2,5 cm et dans lequel la chaleur est engendrée intérieurement selon l'équation :
q est la quantité de chaleur engendrée par unité de volume en un point situé à la distance r du centre, R est le rayon du
bâtonnet et q1 la quantité de chaleur engendrée par unité de volume dans l'axe du bâtonnet. La quantité de chaleur totale
quittant la surface est uniforme le long du bâtonnet et vaut 1,58.106 W/m2.
Calculer la chute de température existant entre le centre de ce bâtonnet et sa surface ; la conduction thermique du bâtonnet est
de 31,9 W/m.°C.
Exercice 7
Un barreau combustible d'uranium (λU = 31 W/m.°C) a la forme d'un cylindre creux de diamètre intérieur d1 = 14 mm et de
diamètre extérieur d2 = 24 mm. Ce barreau est le siège d'un échauffement interne, réparti uniformément, d'intensité
q = 2.108 W/m3.
Les deux surfaces du barreau sont recouvertes d'une couche d'acier inoxydable (λa = 21 W/m.°C) de 0,5 mm d'épaisseur.
Le refroidissement du barreau est assuré par une circulation d'eau le long des surfaces intérieure et extérieure. La température
moyenne de l'eau au contact de la paroi interne est Ti = 200°C et au contact de la paroi extérieure Te = 220°C. Les coefficients
d'échange convectifs entre l'eau et les parois sont respectivement hi = 8200 W/m2.°C et he = 7800 W/m2.°C.
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Transfert de chaleur - Exercices
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Calculer la température maximale Tm atteinte par l'intérieur du barreau.
Calculer les températures aux surfaces du barreau (T1 et T2) et des enveloppes (T0 et T3), ainsi que les densités de flux
thermiques correspondantes (ϕ1, ϕ2 et ϕ0, ϕ3).
Exercice 8
Géothermie
La croûte continentale terrestre a une épaisseur L d'environ 35 km. On peut la considérer comme équivalente à une couche
homogène de conductivité λ=23 W/m K. Au niveau du sol, la température est T0=273 K, et à la profondeur L, elle vaut TL=873 K.
1. Exprimer la densité de flux ϕth (puissance géothermique par unité de surface) issue de la croûte continentale, en fonction
du rayon terrestre R et de l'épaisseur L de cette croûte (ainsi que λ, T0 et TL).
2. En considérant que l'épaisseur L est très petite devant le rayon R (L<<R), exprimer ϕth en fonction de L (ainsi que λ, T0 et
TL). En déduire que le problème pourra être traité en géométrie plane.
3. En fait, il faut tenir compte du caractère radioactif des éléments de la croûte continentale terrestre qui dissipent une
puissance interne volumique supposée uniformément répartie qra=2,25·10−5 W/m3. Déterminer le profil de la
température de la croûte.
4. Représenter graphiquement ce profil.
5. Calculer la température T5 à la profondeur de 5 km.
6. En déduire ϕra puissance géothermique par unité de surface au niveau du sol, quand on tient compte des éléments
radioactifs.
Régime transitoire
Exercice 1
Une sphère métallique (CP = 0,46 kJ/kg.K, λ = 35 W/m.K) de 5 cm de diamètre, initialement à la température de 550°C est
immergée brutalement dans une ambiance maintenue à une température constante de 80°C. Le coefficient de trans-fert externe
est égal à 10 W/m2.K. Calculer le temps au bout duquel le centre de la sphère atteint la température de 100°C.
ρ = 7800 kg/m3
Exercice 2
Un fer à repasser électrique est constitué d'une semelle métallique de masse m = 1 kg (ρ = 7840 kg/m3; Cp = 450J/kg.°C ;
λ= 70 W/m.°C ). Cette plaque métallique a une surface de A = 0,025 m2 et est chauffée par la face interne au fer par une
résistance chauffante de 250 W. Initialement le fer est à la température uniforme Ti = 20 °C.
Au temps t = 0, le fer est branché. La semelle dissipe alors de la chaleur par convection avec l'air ambiant par la face extérieure
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Transfert de chaleur - Exercices
(face opposée à la face chauffée). La température de l'air ambiant est Ta = 20 °C, le coefficient d'échange convectif métal/air est
hc = 50 W/m2.K1.
1. Écrire le bilan sur la semelle métallique à un temps t > 0.
2. Calculer la température de la face externe après 5 minutes de chauffage.
3. Calculer la température limite atteinte par la semelle du fer si celui-ci reste branché en permanence.
Exercice 3
Un réacteur parfaitement agité, contenant 2 tonnes d'un liquide de chaleur spéci-fique CP = 3,8 kJ/kg.K, est chauffé au moyen
d'un serpentin immergé, de surface totale égale à 2 m2, alimenté en vapeur d'eau à 390 K. Le coefficient d'échange global U1
serpentin/liquide est égal à 600 W/m2.K. La surface externe du réacteur est de 20 m2 et le coefficient de déperdition ther-mique
vers l'extérieur est de U2 = 8,5 W/m2.K. La température ambiante est de 290 K.
Calculer le temps nécessaire pour porter le liquide contenu dans le réacteur d'une température de 290 K à 350 K.
Exercice 4
Une plaque de grandes dimensions, d'épaisseur 2L = 10 cm, et initialement à la température •0 = 20°C, est introduite à l'instant
t = 0 dans un four balayé par des gaz à une température T1 = 300°C. Le coefficient d'échange convectif entre la plaque et le gaz
étant hc = 300 W/m2.°C, on cherche à déterminer le temps au bout duquel le milieu de la plaque atteint la température • = 150°C
dans les deux cas suivants :
1. Plaque de cuivre
2. Plaque en acier allié
Cuivre
Acier
ρ (kg/m3)
λ (W/m.°C)
CP (J/kg.°C)
8900
7900
395
15
385
502
On justifiera les éventuelles approximations et l'on pourra utiliser si nécessaire les abaques fournis.
Exercice 5
Une bille métallique de 15 mm de rayon est initialement à une température uniforme de 400°C. Cette bille est soumise à un
traitement thermique en deux étapes.
1. Dans la première, on la refroidit dans l'air à 20°C pendant un temps tair nécessaire pour avoir une température au centre
de la sphère égale à 320°C. Pendant cette étape, le coefficient à la surface vaut hair=10 W/m²K.
1. L'hypothèse d'une résistance thermique interne négligeable est-elle applicable à cette étape ?
2. Calculer le temps tair.
2. Dans une deuxième étape, la bille est alors introduite dans un bain d'eau à la température de 20°C. Ce bain est fortement
mélangé et le coefficient heau vaut alors 6000 W/m²K.
1. Quel est le temps requis pour avoir une température au centre de 35°C ?
2. Quelle est alors la température à la surface ?
Données :
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Transfert de chaleur - Exercices
λ = 90 W/m.K
ρ = 3000 kg/m3
cP = 1000 J/kg.K
On pourra, si nécessaire, utiliser les diagrammes fournis, en remarquant que la conductivité λ est notée k, que T0 est la
température au centre, et T la température initiale, T étant la température du fluide environnant. On note que la diffusivité
∞
i
thermique α (m²/s) est bien :
Exercice 6
L'objet de l'exercice est de comparer la température donnée par un thermocouple avec celle donnée par un thermomètre à
mercure lorsque ces capteurs sont utilisés pour mesurer la température Tf d'un fluide variant sinusoïdalement en fonction du
temps :
Tf = T1 + T2 sin ωt
avec ω = 2 π / τ
τ = 10 min (période)
La température initiale de chaque capteur est T0.
On suppose que le coefficient d'échange hC entre chaque capteur et le fluide est le même : hC = 28,4 W m-2 K-1.
Le thermocouple a un diamètre de 1 mm et sa longueur immergée est de 30 mm, les substances constitutives sont considérées
comme homogènes.
Le thermomètre sera idéalisé par un cylindre de mercure de 6 mm de diamètre et 15 mm de long. On négligera les variations de
cP avec la température ainsi que le volume de mercure dans la colonne au-dessus du réservoir.
Les capteurs sont considérés comme isothermes à chaque instant.
1. A partir de l'écriture d'un bilan d'énergie sur un capteur, écrire l'équation différentielle régissant l'évolution de la
température.
2. Résoudre l'équation différentielle sachant que la solution est la somme de deux termes : un terme transitoire (solution
générale) et un terme harmonique (solution particulière) de la forme
« A sin (ωt - ϕ ) ».
3. Application numérique : donner l'évolution de la température pour les deux capteurs. On tracera l'évolution des
températures, en précisant la constante de temps pour le régime transitoire, le déphasage et l'atténuation d'amplitude
pour le régime établi. Commentaires.
Données :
ρ (kg/m3)
Thermomètre
13600
cP (J/kg.K)
140
T0 = 60°C
T1 = 100°C
Thermocouple
7900
460
T2 = 50°C
Exercice 7
Estimer le temps nécessaire pour cuire un hot-dog dans l'eau bouillante.
On suppose que le hot dog est initialement à 6 °C, que le coefficient de transfert de chaleur par convection est de 100 W/m2 K, et
que la température finale doit être de 80°C au centre (axe central).
Quelle est à ce moment la température à la surface ?
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Transfert de chaleur - Exercices
Traiter le hot-dog comme un long cylindre de 20 mm de diamètre ayant les propriétés :
λ = 0,52 W/m.K
cP = 3350 J/kg.K
ρ = 880 kg/m3
On pourra, si nécessaire, utiliser les diagrammes fournis, en remarquant que la conductivité λ est notée k, que T0
est la température au centre (axe central), et Ti la température initiale, T étant la température du fluide
environnant. On note que la diffusivité thermique α (m²/s) est bien :
∞
Exercice 8
Pare-brise
Sur une voiture en stationnement au cours d'une nuit froide où l'air ambiant atteint une température de - 20 °C, une épaisse
couche de glace se forme sur le pare-brise d'épaisseur L = 5 millimètres.
Le matin, au démarrage, grâce à un nouveau et puissant système de dégivrage, la surface intérieure est soudainement exposée à
un air à 30 °C.
1. En supposant que la glace se comporte comme une couche isolante sur la surface extérieure, quel est la valeur du
coefficient de convection intérieur h qui permettrait à la surface extérieure de parvenir à 0 °C en 60 s ?
2. Quelle est alors la température à la surface intérieure ?
λ = 1,2 W/m.K
cP = 830 J/kg.K
ρ = 2200 kg/m3
On pourra, si nécessaire, utiliser les diagrammes fournis, en remarquant que la conductivité λ est notée k, que T0
est la température au centre (x = 0), et Ti la température initiale, T étant la température du fluide environnant.
On note que la diffusivité thermique α (m²/s) est bien :
∞
.
Température du centre en fonction du temps dans une sphère de rayon r0
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Transfert de chaleur - Exercices
Distribution de la température dans une sphère de rayon r0
Température du centre en fonction du temps dans un cylindre de rayon r0
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Transfert de chaleur - Exercices
Distribution de la température dans un cylindre de rayon r0
Température du plan central en fonction du temps dans une plaque plane d'épaisseur 2·L, soumise à des conditions convectives
h identiques de part et d'autre (le plan central s'assimile à une paroi isolée)
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Transfert de chaleur - Exercices
Distribution de la température dans la même plaque plane d'épaisseur 2·L
Convection - Échangeurs de chaleur
Exercice 1
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Transfert de chaleur - Exercices
Introduction aux critères adimensionnels. Formules liant Nusselt, Reynolds et Prandtl.
Exercice 2
De l'eau à 25°C, alimente un tube de 2,5 cm de diamètre, permettant de refroidir un réacteur nucléaire, avec un débit de 100 l/
mn.
Déterminer le débit de chaleur transféré et la température de l'eau à la sortie pour un tube de 4,5 m de long, la température de
la surface interne du tube étant constante et égale à 150°C.
Viscosité
• = 10-3 Pa.s
Capacité calorifique
CP = 4,18 kJ/kg.°C
Masse volumique
ρ = 1000 kg/m3
Conductibilité thermique λ = 0,64 W/m.°C
Exercice 3
De l'eau à 20°C alimente avec un débit volumique total de 800 l/mn un échangeur constitué d'un faisceau tubulaire de 20 tubes
cylindriques en parallèle de 2 cm de diamètre intérieur.
A l'extérieur de ce faisceau se condense de la vapeur d'eau saturée à 100°C, ce qui permet de maintenir la température des
parois extérieures du faisceau à 100°C.
En admettant que leur épaisseur est négligeable, on demande de préciser la longueur de chacun des tubes du faisceau
permettant d'amener la température de l'eau de 20°C à 80°C.
Les propriétés physico-chimiques de l'eau seront supposées indépendantes de la température :
Viscosité
• = 8.10-4 Pa.s
Capacité calorifique
CP = 4,18 kJ/kg.°C
Masse volumique
ρ = 1000 kg/m3
Conductibilité thermique λ = 0,64 W/m.°C
Exercice 4
De l'eau à 10°C est préchauffée dans un serpentin cylindrique de 10 m de long et de 1 cm de diamètre intérieur. La température
de la paroi extérieure est maintenue constante et égale à 100°C.
1. En supposant que le coefficient de transfert global entre la paroi exté-rieure du serpentin cylindrique et le fluide intérieur
est constant tout au long de l'échangeur, quelle est la température de l'eau à la sortie du serpentin, le débit massique
d'eau à 10°C étant égal à 3 kg/mn.
2. A la sortie du serpentin, l'eau chaude alimente un circuit de chauffage par l'intermédiaire d'un tube cylindrique de 4 cm
de diamètre recouvert par un manchon cylindrique d'isolant de 4 cm d'épaisseur et de conductibilité thermique
λ = 0,07 W/m.°C.
La température du milieu extérieur est constante et égale à 20°C et le coefficient de transfert convectif de chaleur avec le
milieu extérieur étant constant et égal à 11,6 W/m2.°C, on demande de préciser la température de l'eau chaude à
l'extrémité de 25 m de conduite thermiquement isolée. Quel est le pourcentage d'énergie perdue au cours du transport
par rapport au débit de chaleur fourni dans le serpentin.
Les propriétés physico-chimiques de l'eau seront supposées indépendantes de la température :
ρ = 1000 kg/m3
• = 10-3 Pa.s
CP = 4,18 kJ/kg.°C
λ = 0,64 W/m.°C
Exercice 5
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Transfert de chaleur - Exercices
Un réacteur parfaitement agité est le siège d'une réaction exothermique. Il est alimenté par un débit massique de 45 t/h d'un
mélange réactionnel à 15°C. On désire maintenir le fluide contenu dans le réacteur à une température uniforme de 45°C avec un
taux de conversion du réactif limite tel que le débit de chaleur produit par la réaction est de 106 W.
Le réacteur étant bien isolé extérieurement, on pense réaliser l'isothermicité en incorporant un serpentin interne de
refroidissement cylindrique de 2 cm de diamètre, alimenté par une saumure à -5°C, avec un débit massique de 5 t/h.
Déterminer la longueur du serpentin ainsi que la température de la saumure à la sortie du serpentin. Pour cela :
1. Écrire le bilan de chaleur dans un élément de longueur dx du serpentin, en supposant que la seule résistance au transfert
de chaleur est celle existant à l'intérieur du tube cylindrique constituant le serpentin.
2. En supposant constant le coefficient de transfert entre le serpentin et le fluide réactionnel, écrire le bilan global de
chaleur dans le réacteur.
3. Calculer le coefficient de transfert de chaleur .
4. Calculer la longueur du serpentin et la température de la saumure à la sortie du serpentin.
ρ
(kg/m³)
Cp
(kJ/kg°C)
λ
(W/m°C)
•
mPa.s
Saumure
1230
4,1
0,780
1,15
Fluide réactionnel
980
2,26
Exercice 6
De l'eau chauffée à 80°C alimente, avec un débit massique de 360 kg/h, un échangeur à double tube cylindrique concentrique
afin de préchauffer un gaz de -5°C à +55°C.
Le gaz circule dans le tube intérieur avec un débit massique de 180 kg/h. Le tube intérieur, de diamètre 0,175 m, a une épaisseur
négligeable et le coefficient de transfert de chaleur convectif côté liquide est supposé constant et égal à 5225 W/m2.°C. Le
coefficient de transfert convectif côté gaz sera évalué à l'aide de la relation de Petukhov-Gnielinski.
L'échangeur étant globalement adiabatique et le coefficient de transfert global étant supposé constant, on demande de préciser
la surface d'échange permettant de répondre à l'objectif proposé dans les deux cas suivants :
●
●
l'écoulement du gaz et de l'eau se faisant à co-courant;
l'écoulement du gaz et de l'eau se faisant à contre-courant.
Quelle est dans les deux dispositions la température de l'eau à la sortie de l'échangeur ?
(CP de l'eau : 4190 J/kg.K)
Les propriétés physico-chimiques du gaz, supposées indépendantes de la température, seront prises égales à:
ρ = 0,676 kg/m3
CP = 2238 J/kg.K
λ = 32,81 mW/m.K
• = 10,28.10-6 Pa.s
On rappelle que dans un échangeur à double tube cylindrique concentrique, le débit de chaleur transféré entre le fluide chaud et
le fluide froid est égal à :
Φ = U.S.∆•
où
U est le coefficient de transfert de chaleur global;
S est la surface d'échange;
∆• est la moyenne logarithmique des températures.
Exercice 7
On veut refroidir 3000 kg/h de nitrobenzène de 80 °C à 30 °C en utilisant 1500 kg/h d'eau, la température initiale de l'eau est de
20 °C. On utilise un échangeur constitué par deux tubes concentriques (tube intérieur, diamètres 25/33; tube extérieur,
diamètres 50/60). Le nitrobenzène passe dans le tube intérieur et l'eau dans l'espace annulaire.
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Transfert de chaleur - Exercices
1. Calculer la température de sortie de l'eau.
2. Peut-on opérer à contre- courant et à courants parallèles ?
3. Sachant que le coefficient h1 (nitrobenzène/paroi) est égal à 1410 W/m2°C, que le coefficient d'échange h2 (paroi/eau) est
égal à 1935 W/m2°C, calculer le coefficient d'échange global Uext rapporté au diamètre extérieur du tube intérieur.
4. En déduire la longueur de l'échangeur Le.
Données :
ρ
(kg/m³)
Cp
(kJ/kg°C)
λ
(W/m°C)
•
mPa.s
eau
1000
4,18
0,630
0,7
nitrobenzène
1200
1,38
0,159
1
conductivité thermique de la paroi λ = 46,4 W/m°C
Exercice 8
De l'acide sulfurique circule avec un débit de 4500 kg/h dans un circuit qui comprend deux réservoirs en série où il est en
contact, par agitation avec des serpentins de refroidissement. De l'eau circule dans les serpentins à contre-courant de l'acide.
Sachant que le premier réservoir traversé par l'acide a un coefficient global de transmission U1 = 1160 W/m².°C et le second un
coefficient U2 = 731 W/m².°C, calculer la surface totale de serpentins nécessaire pour le refroidissement. On négligera les
déperditions calorifiques dans le circuit. On commencera par calculer le débit d'eau de refroidissement et la température de
l'eau entre 1 et 2.
Acide sulfurique :
Cp = 1,50 kJ/kg.°C
Eau :
Cp = 4,18 kJ/kg°C
Les températures aux différents points des circuits sont indiquées sur le schéma ci-dessous :
Exercice 9
Un échangeur coaxial de 36 m de long est constitué par un tube cylindrique de 4,2 cm de diamètre extérieur à l'intérieur duquel
est situé un tube cylindrique coaxial de diamètre intérieur 2,5 cm. L'épaisseur du tube intérieur et du tube extérieur est de 2 mm
De l'eau chaude à 85 °C est introduite dans le tube intérieur avec un débit de 60 l/mn. On se propose de refroidir l'eau avec une
solution aqueuse à 5 °C alimentée dans l'espace annulaire avec un débit de 30 l/mn.
1. L'alimentation des deux fluides pouvant se faire à co-courant ou à contre-courant on demande d'évaluer théoriquement
dans les deux cas le débit transféré du fluide chaud au fluide froid avec les hypothèses suivantes :
❍ le tube extérieur est adiabatique;
❍ le coefficient de transfert global entre le fluide chaud et le fluide froid est constant tout au long de l'échangeur.
2. Les coefficients de transfert locaux supposés constants étant évalués dans tous les cas par la relation de Sieder et Tate. On
demande de préciser quantitativement pour les deux associations possibles :
❍ les températures des deux fluides à la sortie de l'échangeur
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Transfert de chaleur - Exercices
❍
le débit de chaleur transféré du fluide chaud au fluide froid
Les propriétés physico-chimiques des deux fluides seront supposées égales à celles de l'eau à une température moyenne de 45 °
C, soit :
ρ = 990 kg/m³
Cp = 4,18 kJ/kg.°C
λ = 0,602 W/m.°C
• = 0,65 mPa.s
La conductivité thermique du métal constituant les tubes est égale à λ = 45,2 W/m.°C
Quelle est l'association qui conduit au débit de chaleur transféré maximal ?
Exercice 10
On veut refroidir 4,5 t/h de benzène d'une température de 80°C à 30°C à l'aide d'un échangeur tubulaire simple à contrecourant. L'eau de refroidissement circule en double enveloppe et entre dans l'échangeur à une température de 20°C.
Le tube interne, dans lequel circule le benzène, a un diamètre intérieur de 22 mm et un diamètre extérieur de 25 mm et est en
acier (λP = 45 W/m °C).
La double enveloppe est parfaitement isolée de l'extérieur.
Les coefficients d'échange convectif eau/paroi et benzène/paroi sont respectivement :
he = 850 W/m2 °C et hb = 1700 W/m2 °C
1. Quelle est la longueur totale Lt du tube nécessaire si on cherche à avoir le plus faible débit d'eau avec une température de
sortie de l'eau ne dépassant pas 50°C ?
Cpbenzène = 1,900 kJ/kg °C et Cpeau = 4,185 kJ/kg °C
2. Pour des questions d'encombrement on désire remplacer l'échangeur tubulaire simple par un système à deux calandres quatre passes.
Calculer la nouvelle surface S2 nécessaire à l'échangeur (rapportée au diamètre extérieur du tube intérieur). En déduire la
longueur d'une passe.
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Transfert de chaleur - Exercices
Exercice 11
Un réservoir de vapeur cylindrique, horizontal, est rempli d'une masse M = 19,3 kg d'eau sous forme de vapeur saturante.
Ce réservoir est constitué d'un cylindre métallique de résistance thermique négligeable, de longueur L = 5 m et de diamètre
D = 50 cm.
Ce réservoir est parfaitement isolé sur les faces correspondantes aux sections droites, mais perd de la chaleur par sa face latérale
par convection naturelle et par rayonnement.
Ce réservoir est placé dans l'air ambiant supposé à la température constante de Ta = 15°C.
1. Calculer la température de surface du réservoir . On admettra que cette température est pratiquement égale à celle de la
vapeur saturante Tvs.
On pourra également utiliser avec une bonne approximation la relation de Bertin reliant la pression de vapeur saturante
de l'eau Pvs à son volume spécifique Vvs sous la forme :
PvsVvs = 2,038 (avec Pvs en bars et Vvs en m³/kg)
ainsi que la relation de Duperay donnant, pour l'eau, la température de la vapeur saturante Tvs en fonction de la pression
Pvs :
(avec Pvs en bars et Tvs en °C)
2. On désire maintenir la vapeur d'eau stockée dans l'état ci-dessus, malgré les pertes thermiques du réservoir. Pour cela, on
dispose une résistance électrique chauffante dans le réservoir. On va chercher à déterminer la puissance de chauffe de
cette résistance, par effet Joule.
1. Calculer le flux de déperdition ΦCV par convection libre du réservoir. On négligera les pertes aux extrémités du
cylindre.
2. Calculer le flux de déperdition du réservoir par rayonnement ΦR. On considérera la face latérale du cylindre
assimilable à un corps noir rayonnant vers l'extérieur sous 4π stéradians, en négligeant les faces extrêmes, les
surfaces réceptrices étant supposées également noires, de température constante et égale à la température de
l'air ambiant Ta = 15°C. On rappelle la valeur de la constante de Stefan σ = 5,67 10-8 W/m2K4
3. En déduire la puissance de chauffe électrique P (en kW) nécessaire pour maintenir l'eau contenue dans le réservoir
sous forme de vapeur saturante.
On rappelle qu'en convection libre et pour un cylindre horizontal (échelle caractéristique L = D diamètre) :
régime laminaire
régime turbulent
104 < Ra < 109
109 < Ra < 1012
C = 0,53
C = 0,13
Les propriétés physiques de l'air pourront être évaluées par :
T (K)
Pr
λ (W/m.K
ν (m2/s)
300
15,68 · 10-6
0,02624
0,708
400
25,90 · 10-6
0,03365
0,689
500
37,90 · 10-6
0,04038
0,680
600
51,34 · 10-6
0,04659
0,680
700
68,20 · 10-6
0,05132
0,680
Exercice 12
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n = 1/4
n = 1/3
Transfert de chaleur - Exercices
Un échangeur coaxial, parfaitement isolé extérieurement, est utilisé pour réchauffer un fluide de chaleur spécifique CP = 3,8 kJ/kg
°C et de masse volumique ρ = 950 kg/m3.
Ce fluide circule à l'intérieur du tube, tandis que de la vapeur saturante, à une température TVS = 130°C, circule dans la double
enveloppe, cédant sa chaleur par condensation externe aux tubes. On suppose que la vapeur est toujours saturante en sortie de
l'échangeur.
Le fluide entre dans l'échangeur à la température TE = 20°C et à un débit volumique QV1 = 0,7 m3/h. Sa température de sortie est
TS1 = 100°C.
On cherche à déterminer, dans ces conditions, le coefficient d'échange global U1, ainsi que la surface totale d'échange A. Pour
cela, on augmente le débit du fluide jusqu'à une valeur QV2 = 1,2 m3/h, correspondant à une conductance globale U2. La
température de sortie du fluide devient, dans ces conditions TS2 = 95°C, la température d'entrée restant fixée à TE = 20°C.
Les régimes d'écoulement dans les tubes étant supposés turbulents, on pourra supposer, a priori, une dépendance de la
conductance interne fluide/paroi hi, du type : hi = KV·QV0,8, où KV est une constante à déterminer.
La conductance externe en condensation, sera supposée rester constante et égale à he = 3 000 W/m2°C. On pourra négliger la
résistance conductive des tubes.
1.
2.
3.
4.
5.
Calculer les puissances Φ1 et Φ2 échangées (en W), lors de chacun des essais.
Calculer les moyennes logarithmiques des températures lors des deux essais, soient ∆•L1 et ∆•L2.
En déduire le rapport U1/U2.
Déterminer la valeur de la constante KV (unités SI).
Calculer la conductance U1, conductance globale de transfert correspondant au débit QV1 (unités SI).
6. En déduire la surface totale d'échange A (m2) nécessaire.
Reprendre le problème en utilisant la méthode NUT - efficacité.
Rayonnement
Exercice 1
Présentation de la notion de facteur d'angle (facteur géométrique, facteur de forme, facteur de vue).
●
Cas d'un corps convexe dans un corps concave.
Exercice 2
Un four tubulaire vertical semi-ouvert de forme cylindrique, d'un diamètre D = 75 cm et de hauteur L = 150 cm, est ouvert à son
extrémité supérieure, vers l'extérieur considéré comme un corps noir à la température T constante de 20°C .
∞
Les parois intérieures du four, chauffées électriquement sont considérées comme des corps noirs maintenus par régulation aux
températures respectives de T1 = 1200°C pour la paroi interne latérale cylindrique de surface S1 et T2 = 1600°C pour la paroi
intérieure du fond inférieur de surface S2 du four.
La surface extérieure du four est supposée parfaitement isolée de l'extérieur et on négligera les effets de convection naturelle.
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Transfert de chaleur - Exercices
En considérant l'ouverture supérieure du four comme une surface fictive à la température T3 = T du milieu ambiant :
∞
1. Calculer les facteurs d'angles Fij internes du four tubulaire.
2. En déduire la puissance Φ (W) nécessaire pour maintenir les températures de consigne du four.
Facteurs de vue pour deux disques parallèles :
Exercice 3
Un tube de diamètre externe D = 3 cm, d'épaisseur e = 1 mm et de conductivité thermique λ = 20 W/m°C dans lequel circule un
fluide caloporteur (sel fondu) est disposé à l'intérieur d'un four.
Le tube est chauffé exclusivement par rayonnement dans le four parallélépipédique de température de parois TF = 1200°C et
assimilables à un corps noir. Le tube est supposé gris d'émissivité ε = 0,8.
Le coefficient de transfert convectif interne fluide/paroi est h = 1 kW/m2 °C.
Le débit de sel fondu est de 1080 kg/h, sa masse volumique 1900 kg/m3 et sa capacité calorifique cP = 1560 J/kg°C.
1. Déterminer la longueur de tube nécessaire pour porter le fluide caloporteur d'une température à l'entrée TE = 120°C à
une température de sortie TS = 220°C. On supposera que le rayonnement émis par la face externe du tube est négligeable
par rapport au rayonnement du four (hypothèse à justifier par la suite).
2. Déterminer l'écart de température entre le fluide et la paroi externe du tube. En déduire la température maximale (Tmax)
atteinte par la surface extérieure du tube.
3. Quel serait le rayonnement émis par ce tube si celui-ci était dans sa totalité à la température Tmax ? Justifier alors
l'hypothèse émise à la question l.
Exercice 4
Utilisation d'un écran associé à un thermocouple
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Transfert de chaleur - Exercices
Un thermocouple [1] soudé bout à bout est utilisé pour mesurer la température d'un gaz transparent s'écoulant dans une grande
conduite [2] dont les parois sont à une température T2 = 500 K. Le thermocouple est entouré d'un écran [3] cylindrique mince
dont le diamètre est quatre fois plus grand que le diamètre du thermocouple (D3 = 4 D1).
Les facteurs d'émission de l'écran et du thermocouple sont ε3 = 0,3 et ε1 = 0,8 et les coefficients d'échange par convection sont
h3 = 100 W/m2K (écran-gaz) et h1 = 120 W/m2K (thermocouple-gaz). La température enregistrée par le thermocouple est
T1 = 800 K.
1. Calculer la température du gaz en faisant les hypothèses suivantes :
❍ Les longueurs considérées sont grandes devant les diamètres;
❍ Le diamètre de l'écran est très petit devant celui de la conduite (D <<D );
3
2
❍ On négligera la conduction dans les fils du thermocouple.
2. Calculer la température du thermocouple T'1 en l'absence d'écran. Comparer les températures T1 et T'1 en présence et en
l'absence de l'écran à la température Tg du gaz.
On rappelle que le flux net échangé entre deux surfaces grises s'exprime par :
Constante de Stefan σ = 5,67·10-8 W/m2K4.
Exercice 5
On considère une chaudière destinée à la production de vapeur d'eau saturante constituée d'une enceinte cubique de côté
L = 1 m, alimentée en eau à 20°C à un débit • inconnu par une pompe imposant la pression dans l'enceinte.
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Transfert de chaleur - Exercices
La sortie vapeur de cette chaudière est équipée d'une vanne de
régulation de pression permettant de maintenir une pression
P = 10 bars (179°C) dans le réservoir (équilibre liquide/vapeur).
On néglige la résistance thermique conductive des parois du
réservoir.
On se place en régime permanent de l'installation où le débit de
vapeur saturante 10 bars est égal au débit d'alimentation.
Sur le même axe que le réservoir est disposée à la distance
D1 = 0,5 m une plaque chaude P à la température constante de
TP = 500°C, transmettant son énergie calorifique au fond du
réservoir par rayonnement (on négligera le transfert convectif
entre la plaque chaude et le fond du réservoir).
Les émissivités radiatives de la plaque chaude et du fond du
réservoir sont respectivement prises égales à ε1 = 0,9 et ε2 = 0,6.
La chaleur latente de vaporisation de l'eau à 10 bars, 179°C est égale à Lv = 2018 kJ/kg, sa chaleur spécifique en phase liquide
pourra être prise égale à cP = 4,187 kJ/kg°C.
1. Calculer le débit de vapeur • produit dans ces conditions, en supposant les parois externes latérales et supérieures du
réservoir parfaitement isolées.
2. On rapproche la plaque chauffante du réservoir à une distance D2 = 0,1 m. Calculer la nouvelle température T' de la
plaque pour maintenir le débit de vapeur constant (•).
3. Le réservoir est maintenant non isolé, maintenu à D2 = 0,1 m, et perd de l'énergie par convection naturelle dans l'air
ambiant supposé à 20°C et par rayonnement dans l'environnement externe supposé également à 20°C et assimilé à un
corps noir.
1. Calculer le flux de déperdition thermique par convection naturelle des faces latérales et supérieure ΦCN (W).
2. Calculer le flux de déperdition thermique par rayonnement des faces latérales et supérieure ΦR (W).
3. Déterminer la nouvelle température TP" de la plaque chauffante de façon à maintenir le débit • de vapeur 10 bars
à sa valeur.
Rappel : Corrélations valables en convection naturelle pour des plaques planes :
L est l'échelle caractéristique (hauteur de la plaque verticale ou largeur de la plaque horizontale)
Paroi verticale
régime laminaire
régime turbulent
104 < Ra < 109
régime laminaire
régime turbulent
104 < Ra < 109
109 < Ra < 1013
C = 0,59
C = 0,10
n = 1/4
n = 1/3
C = 0,53
C = 0,13
n = 1/4
n = 1/3
Paroi horizontale
109 < Ra < 1012
Les propriétés physiques de l'air pourront être évaluées par :
T (K)
Pr
λ (W/m.K
ν (m2/s)
300
15,68 · 10-6
0,02624
0,708
400
25,90 · 10-6
0,03365
0,689
500
37,90 · 10-6
0,04038
0,680
600
51,34 · 10-6
0,04659
0,680
700
68,20 · 10-6
0,05132
0,680
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Transfert de chaleur - Exercices
Facteur de forme pour : Rectangles identiques parallèles et opposés :
Exercice 6
Une résistance électrique cylindrique de longueur L = 10 cm et de diamètre d1 = 2 mm est placée verticalement dans de l'air au
repos à la température T =20°C.
∞
La résistance électrique a une valeur de R = 10 kΩ et elle est traversée par un courant électrique continu d'intensité I = 0,1 A.
1. Calculer la puissance P (W) dissipée par effet Joule par cette résistance en régime permanent.
2. Cette puissance calorifique est évacuée par convection naturelle et par rayonnement dans l'air ambiant.
En ce qui concerne la convection naturelle, celle-ci pourra être supposée en régime laminaire (104 < [GrPr] < 109) et la
corrélation utilisable dans l'air, aux températures supposées de l'équilibre thermique de la résistance, est :
où ∆T est la différence de température entre la surface de la résistance
TS et la température au loin T : ∆T = TS - T .
∞
∞
En ce qui concerne le rayonnement, on pourra considérer que la surface de la résistance a une émissivité radiative ε1 = 0,5
et que celle-ci rayonne vers l'environnement supposé à la température uniforme de T . On pourra prendre la constante
∞
de Stefan Boltzman σ = 5,67×10-8 W/m2.K4. On négligera l'émission radiative des extrémités de la résistance.
En déduire la température de surface TS (K) prise par la résistance en régime permanent.
3. Cette résistance est maintenant entourée d'une enveloppe en matériau semi transparent, d'émissivité ε2 = 0,5 et
d'épaisseur négligeable, coaxiale avec la résistance cylindrique de longueur identique L = 10 cm et de diamètre d2 = 6 mm.
Cette ampoule cylindrique est scellée à ses extrémités et l'intérieur est tiré au vide, l'ensemble étant placé verticalement.
1. Calculer la température TV (K) de l'enveloppe, en régime permanent, du passage de courant électrique dans la
résistance interne.
2. Calculer la nouvelle température TS' (K) de surface de la résistance électrique. On pourra prendre le facteur d'angle
de deux cylindres coaxiaux infinis, compte tenu du fait que
Exercice 7
Patinoire
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.
Transfert de chaleur - Exercices
Les architectes savent bien que le plafond d'une piste de patinage sur glace doit avoir une réflectivité élevée. Sinon, il risque de
se former de la condensation sur le plafond, et de l'eau peut tomber goutte à goutte sur la glace, provoquant des bosses sur la
piste. La condensation se produit sur le plafond lorsque la température de sa surface descend en dessous du point de rosée de
l'air de la patinoire.
Votre mission est d'effectuer une analyse afin de déterminer l'effet de l'émissivité du plafond sur sa température, et donc sa
propension à la condensation.
La patinoire a une forme globalement cylindrique. La piste a un diamètre de D = 50 m et une hauteur de L = 10 m. La
température de la glace est de TG = -5 °C et celle des murs est de TM = 15 °C. La température de l'air de la patinoire est de
Tint = 15 °C, son humidité relative est de 70 %, et un coefficient de convection de hPint = 5 W/m² K caractérise les conditions sur la
surface du plafond. L'épaisseur et la conductivité thermique de l'isolation du plafond sont de eP = 30 cm et λP = 0,035 W/m K.
La température de l'air extérieur est de Text = -5 °C, et le coefficient de convection est hPext = 100 W/m² K.
La température de rosée correspondant aux conditions indiquées (70% d'humidité à 15°C sous pression atmosphérique) est :
Tpr = 9,4°C.
On suppose que le plafond est une surface grise d'émissivité εP et que les murs et la glace sont assimilés à des corps noirs.
Diagramme en fin d'énoncé.
1. Effectuer un bilan énergétique sur le plafond.
2. Considérer un plafond ayant une émissivité de εP = 0,05 (panneaux très réfléchissants). Calculer la température du
plafond. Va-t-on avoir de la condensation ?
3. Supposer que l'émissivité est de ε'P = 0,94 (panneaux peints). Calculer la température du plafond. Va-t-on avoir de la
condensation ?
4. On double l'épaisseur de l'isolation du plafond : e'P = 60 cm. Recalculer la température du plafond pour chacune des
émissivités εP et ε'P.
5. Conclusions sur les conditions qui entrainent ou évitent la condensation sur le plafond.
Facteurs de vue pour deux disques parallèles :
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Transfert de chaleur - Exercices
Mis en ligne le 21/03/2012
Modifié le 13/06/2013
© Michel Houdé
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