MAT 1720 - Calcul différentiel et intégral I
Section 1.1 - Fonctions et modèles
Sommaire
Dans cette section, vous allez voir:
La définition d'une fonction
Le domaine de définition et l'ensemble image d'une fonction
Représentations des fonctions
Symétries des fonctions (Fonctions paires et impaires)
Fonctions croissantes, décroissantes
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MAT 1720 - Calcul différentiel et intégral I
Section 1.1 - Fonctions et modèles
Qu'est-ce qu'une fonction?
Une fonction f d'un ensemble A dans un ensemble B , notée f : A ⟶ B, est une règle de
correspondance qui fait correspondre à chaque élément x de l'ensemble A exactement un
élément y de l'ensemble B . L'élément y est appelé l'image de x et est noté y = f(x) .
L'ensemble A est appelé le domaine de définition de la fonction et l'ensemble
le codomaine de la fonction.
f(x)
est la valeur de f en x et se lit "
f
de
x
B
est appelé
".
L'ensemble de toutes les valeurs y = f(x) possibles lorsque x parcourt le domaine de
définition s'appelle l'ensemble image de la fonction (ou simplement l'image de f ).
Dans l'expression y = f(x) d'une fonction f , le symbole x (élément du domaine de f )
s'appelle la variable indépendante et le symbole y (élément de l'image de f ) s'appelle
variable dépendante.
Il est parfois utile de comparer une fonction à une machine dont la valeur à l'entrée est la
variable indépendante x et celle à la sortie est la valeur f(x):
La machine accepte les valeurs à l'entrée une à la fois et pour chaque valeur à l'entrée, la
machine fait sortir une et une seule valeur à la sortie.
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MAT 1720 - Calcul différentiel et intégral I
Section 1.1 - Fonctions et modèles
Représentations des fonctions
Il y a quatre façons possibles pour représenter une fonction:
Avec une description verbale (en mots);
Visuellement avec un graphe dans le plan;
Numériquement avec un tableau de valeurs;
Algébriquement avec une formule mathématique.
Il est important de noter qu'il est souvent possible de passer d'une représentation à l'autre pour
la même fonction.
Représentation verbale des fonctions
Exemple :
Un réservoir d'eau de $2 X 106L contient initialement de l'eau pure. De l'eau contenant
0.2kg/L de sel est introduite dans le réservoir avec un taux de 60L/min. De l'eau
contenant 0.4kg/L de sel est aussi introduite dans le réservoir avec un taux de 40L/min.
La solution est bien mélangée et rejetée du réservoir avec un taux de 100L/min. Si Q est
la quantité du sel dans le réservoir au temps t , alors le taux de variation T de Q est égal
à la différence entre le taux rentrant et le taux sortant du sel à ce moment. Exprimer T
comme une fonction de Q.
Solution :
Il y a deux sources du sel dans le réservoir. La première source fait rentrer 60L par
minute avec 0.2kg du sel par litre, donc elle contribue par $0.2\times 60=12$ kg du sel
par minute. De même, la deuxième source contribue par $0.4\times 40=16$ kg du sel par
minute. Ceci veut dire que le taux rentrant du sel est de $12+16=28$ kg par minute.
Pour le taux sortant du sel, il faut savoir combien du sel y-a-t-il dans 100L de l'eau du
réservoir (c'est le taux sortant du mélange).
Comme la quantité Q (en Kg) se trouve dans
= 0.0001Q Kg du sel.
contient
10
6
L, alors $100$ L du même mélange
100Q
10
Alors
T =
6
Taux rentrant
−
Taux sortant
= 28 − 0.0001Q
Représentation graphique des fonctions
. Donc,
T = 28 − 0.0001Q
Si f est une fonction dont le domaine de définition est D, on définit le graphe de f comme
étant l'ensemble des couples (x, f(x)) du plan cartésien où la variable indépendante x
parcourt tout le domaine D.
Comme, en chaque point (x, y) de la courbe, l'ordonnée y est égale à la valeur de
peut être lue comme la hauteur de la courbe au point x. (voir la figure ci-dessous)
f(x),
elle
En plus de donner des informations importantes sur la fonction (comme croissance, concavité,
etc...), la représentation graphique de $f$ nous permet aussi de visualiser le domaine de
définition et l'ensemble image de f sur les axes Ox et Oy respectivement, comme sur la figure
suivante.
Exemple :
La figure ci-dessus montre le graphe d'une fonction
f.
a) Calculer les valeurs de
et de
b) Estimer la valeur de
f(0) , f(1) , f(2) , f(6)
f(7) .
f(5) .
c) Quel est le domaine de définition de
f
et quel est son ensemble image?
Solution :
a) Nous lisons sur la figure que la courbe représentative de f passe par les points (0, 1),
(1, 3) , (2, 4) , (6, −2) et (7, 0) . Ceci veut dire que f (0) = 1 , f (1) = 3 , f (2) = 4 , f (6) = −2
et f (7) = 0 .
b) Quand x = 5 , la courbe se situe sous l'axe des
nous estimons que f (5) approx -0,7$.
x
à environ 0,7 unité, de sorte que
c) à partir du graphe, on voit que la variable indépendante
réelles entre 0 et 7 .
Le domaine de définition de
f
x
parcourt toutes les valeurs
est alors l'intervalle fermé et borné
Comme toutes les valeurs prises par
f est {y | − 2 ≤ y ≤ 4} = [−2, 4]
f
sont comprises entre
−2
[0, 7]
.
et 4 , l'ensemble image de
Exemple :
Tracer la courbe représentative de chacune des fonctions suivantes et déterminer le
domaine de définition et l'ensemble image.
a)
f(x) = 2x + 2
b)
g(x) = x
2
+ 1
Solution :
a) La fonction
y = 2x + 2
représente une droite de pente 2 et d'ordonné à l'origine 2 .
Ceci nous permet de tracer une partie du graphe de
f
de la façon suivante:
Comme l'expression 2x + 2 est définie pour toutes les valeurs réelles de x , le domaine de
définition de f est l'ensemble des nombres réels au complet, noté R ou ] − ∞, +∞[ .
Le graphe montre que l'ensemble image est aussi
b) Puisque
g(−2) = (−2)
+ 1 = 5
2
,
R =] − ∞, +∞[
.
, g(0) = 0 + 1 = 1 ,
g(1) = (1) + 1 = 2 , et g(2) = 2 + 1 = 5 , on marque les points (−2, 5) , (−1, 2) ,
(1, 2) et (2, 5) dans le plan et les relie pour obtenir la courbe suivante:
2
2
g(−1) = (−1)
2
+ 1 = 2
2
(0, 1)
,
L'équation de cette courbe étant
Le domaine de définition de
L'ensemble image de
la forme x + 1 .
g
g
y = x
est
R
2
+ 1
, il s'agit d'une parabole.
.
comprend toutes les valeurs
g(x)
, c'est-à-dire tous les nombres de
2
Or, x
forme
2
quel que soit
+ 1.
≥ 0
x
2
x
et alors
Il s'ensuit que l'ensemble image de
figure.
x
2
g
+ 1 ≥ 1
est
. Tout
y
plus grand ou égale à 1 est de la
{y | y ≥ 1} = [1, ∞[
, ce qui est confirmé pas la
Quelles sont les courbes du plan Oxy susceptibles de représenter une fonction ? Pas n'importe
quelle courbe dans le plan représente le graphe d'une certaine fonction f . Le théorème suivant
nous donne un critère pour décider si la courbe est un graphe d'une fonction.
Théorème (Test de la droite verticale)
Une courbe du plan est la représentation graphique d'une fonction si et seulement si
aucune droite verticale ne la coupe plus d'une fois. Dans le diagramme suivant, la
courbe à gauche représente le graphe d'une certaine fonction et celle à gauche ne
l'est pas.
Représentation numérique des fonctions
Souvent, tout ce qu'on connait au propos d'une fonction est un ensemble de quelques-unes de
ses valeurs en des points particuliers de son domaine. Ceci est typique pour des fonctions qui
résultent d'une expérience en science ou en génie. Un Tableau de valeurs pour la fonction f est
un tableau qui donne des valeurs numériques f(x) pour quelques valeurs particulières de la
variable indépendante x.
Exemple :
La distance de freinage d'un véhicule est la distance parcourue par le véhicule du moment
où les freins sont appliqués jusqu'à l'arrêt complet du véhicule. Il est connu que la
distance de freinage d dépend essentiellement sur la vitesse du véhicule moment où les
freins sont appliqués (vitesse initiale). Des expériences sont faites, et le tableau suivant
montre la distance de freinage d'un véhicule pour des vitesses initiales différentes.
vitesse (km/h)
30 50 90 110 130
distance de freinage (m) 15 32 83 118 158
Représentation algébrique des fonctions
Trop souvent, les fonctions qu'on va rencontrer dans ce cours sont données explicitement par
x+2
des expressions algébriques précises comme f(x) = x2 + 1 , g(x) =
et
2
x +1
h(x) = sin(2x) cos(x) .
En analysant ces expressions algébriques, on peut avoir beaucoup
d'information sur la fonction.
Exemple :
Considérer la fonction
h ≠ 0.
f(x) = 2x
2
− 5x + 1 ,
simplifier l'expression
f(a+h)−f(a)
h
pour
Solution :
On calcul d'abord
f (a + h)
f (a + h) = 2(a + h)
= 2(a
= 2a
x
par
a + h
partout dans l'expression de
f (x)
:
− 5(a + h) + 1
2
2
2
2
en remplaçant
+ 2ah + h ) − 5(a + h) + 1
+ 4ah + 2h
2
− 5a − 5h + 1
Ensuite, on substitue l'expression obtenue et on simplifie :
f (a+h)−f (a)
(2a
2
+4ah+2h
2
−5a−5h+1)−(2a
=
h
=
2a
2
+4ah+2h
2
2
−5a+1)
h
−5a−5h+1−2a
2
+5a−1
h
4ah+2h
=
2
−5h
h
h(4a+2h−5)
=
h
= 4a + 2h − 5
Exemple :
Donner le domaine de définition de chaque fonction :
a)
−−−−−−−−−
2
f(x) = √x − 4x + 3
b)
g(x) =
1
x
c)
2
+ 2x
1
h(x) =
−−−−−
2
√x + 2
3
Solution :
a) Comme la racine carrée d'un nombre négatif n'est pas définie (ce n'est pas un nombre
réel), le domaine de définition de f ne comprend pas les valeurs réelles pour lesquelles
x − 4x + 3 < 0 .
2
Les racines de
sont x = 1 et x = 3 et pour 1 < x < 3 , on a que
x − 4x + 3 < 0 . Alors, le domaine de f comprend toutes les valeurs de x telles que
x ≤ 1 ou x ≥ 3 .
x
2
− 4x + 3
2
Comme intervalle, le domaine de définition de
b) Pour le domaine de définition de la fonction
valeurs de x qui annulent le dénominateur
x = 0 ou x = −2.
f
est
] − ∞, 1] ∪ [3, ∞[
g(x) =
x(x + 2)
1
x
2
+2x
. Alors
Le domaine de définition de g est alors {x ∈ R | x ≠ 0,
intervalle, s'écrit comme ] − ∞, −2[∪] − 2, 0[∪]0, ∞[ .
=
1
x(x+2)
g(x)
x ≠ −2}
,
.
on doit éviter les
n'est pas définie lorsque
qui, comme un
c) Comme la racine cubique existe pour n'importe quel nombre réel (négatif, nul, ou
positif), les seules valeurs de x qui ne sont pas dans le domaine de définition de h sont
celles qui annulent le dénominateur.
Mais
x
2
+ 2 ≠ 0
pour n'importe quel nombre réel x .
On conclut que domaine de définition de
] − ∞, ∞[ .
h
est l'ensemble de tous les nombres réels :
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Section 1.1 - Fonctions et modèles
Fonctions définies par morceaux
Comme on a vu avant, parfois le domaine de définition d'une fonction est donné comme l'union
de plusieurs parties (ou intervalles). En pratique, on doit travailler parfois avec des fonctions qui
sont définies par expressions (ou formules) différentes sur chaque partie de leur domaine de
définition. Une telle fonction est dite définie par morceaux.
Exemple :
Considérer la fonction
définie par
f
1 − x
{
f(x) =
x
Calculez
f(−1) , f(0) , f(1)
et
f(3)
2
si x ≤ 1
.
si x > 1
et représentez la fonction graphiquement.
Solution :
Il faut toujours se souvenir qu'une fonction est une règle qui à chaque valeur
fait associer une et une seule valeur f (x) à la sortie.
x
à l'entrée
Dans le cas de la fonction f donnée à l'exemple, la valeur de f (x) dépend pas seulement
sur la valeur x mais aussi sur la position de x par rapport à la constante 1 .
Si
x ≤ 1
, alors la valeur de
Par contre, si
x > 1
est
f (x)
, la valeur de
Comme
x = −1 ≤ 1
,
Comme
0 ≤ 1
,
f (0) = 1 − 0 = 1
.
Comme
1 ≤ 1
,
f (1) = 1 − 1 = 0
.
Comme
3 > 1
,
f (3) = 3
1 − x
f (x)
est
.
x
2
f (−1) = 1 − (−1) = 2
2
= 9
.
.
.
Comment faire pour obtenir le graphique de
f
?
Tout d'abord, pour x ≤ 1 (la partie du graphe située à gauche de la droite verticale x = 1 ,
la fonction est donnée par la formule f (x) = 1 − x qui est représentée graphiquement
par la droite y = 1 − x , de pente −1 et d'ordonnée à l'origine 1.
D'autre part, pour x > 1 (la partie du graphe située à droite de la droite verticale x = 1 )
/(f(x) = x^2\), la fonction est donnée par la formule y = x dont le graphe est une
parabole.
2
En traçant la partie de la droite = 1 − x dans l'intervalle ] − ∞, 1] et la partie de la
parabole y = x dans l'intervalle ]1, +∞[ , on obtient le graphe de la fonction f comme
suit:
2
Le point de coordonnées (1, 0) est plein pour indiquer qu'il fait partie du graphe
contrairement au point de coordonnées (1, 1) qui est vide parce qu'il n'en fait pas partie.
Définition
Une fonction que vous allez rencontrer souvent (dans ce cours et dans d'autres) est la
valeur absolue d'un nombre réel. C'est la fonction définie par morceaux suivante :
f(x) = |x| =
x
six ≥ 0
−x
six < 0
{
Ainsi
| − 2| = −(−2) = 2
car
x = −2
est négatif et
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|2| = 2
car
x = 2
est positif.
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Section 1.1 - Fonctions et modèles
Symétries
Définition
Une fonction f telle que f(−x)
de définition est dite paire.
= f(x)
pour toutes les valeurs de
x
dans son domaine
Le graphe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des y. Ceci veut
dire que pour tracer le graphe de f , il suffit de tracer la partie du graphe pour laquelle
x ≥ 0 ensuite adjoindre à cette partie son image symétrique dans l'axe des y .
Définition
Une fonction f telle f(−x) =
de définition est dite impaire.
−f(x)
pour toutes les valeurs de
x
dans son domaine
Le graphe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine. Ceci veut
dire que pour tracer le graphe de f , il suffit de tracer la partie du graphe pour laquelle
∘
x ≥ 0 ensuite adjoindre à cette partie l'image obtenue après une rotation de 180 .
Exemple :
Pour chacune des fonctions suivantes, déterminez s'il s'agit d'une fonction paire, impaire
ou ni l'une ni l'autre.
a)
f(x) = x
b)
g(x) = 1 − x
c)
h(x) = x + 2x
5
− 3x
2
+ x
4
2
Solution :
a)
f (−x) = (−x)
5
− 3(−x)
5
= (−1) x
= −x
5
= −(x
5
+ 3x
+ 3x
5
− 3x)
= −f (x)
La fonction
b)
f
est est donc impaire.
g(−x) = 1 − (−x)
2
+ (−x)
4
= 1 − x
2
+ x
4
= g(x)
Cette fonction est donc paire.
c)
h(−x) = (−x) + 2(−x)
Comme
h(−x) ≠ h(x)
et
2
= −x − x
2
h(−x) ≠ −h(x)
, on conclut que
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h
n'est ni paire, ni impaire.
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Section 1.1 - Fonctions et modèles
Fonctions croissantes et décroissantes
Définition
Une fonction f est dite strictement croissante sur une intervalle
à chaque fois que x1 < x2 dans I .
Une fonction
f(x1 ) >
I
est dite strictement décroissante sur une intervalle
f(x2 ) à chaque fois que x1 < x2 dans I .
f
si
I
f(x1 ) < f(x2 )
si
Il est important de noter que pour que la fonction f soit strictement croissante sur un
intervalle I , l'inégalité f(x1 ) < f(x2 ) doit être satisfaite pour toute paire des valeurs
x1 , x2 dans I qui sont tels que x1 < x2 . De même, pour que la fonction f soit
strictement décroissante sur un intervalle I , l'inégalité f(x1 ) > f(x2 ) doit être
satisfaite pour toute paire des valeurs x1 , x2 dans I qui sont tels que x1 < x2 .
Exemple :
Considérer la fonction
f
définie par son graphe sur l'intervalle
[a, d] .
La fonction est strictement croissante sur les intervalles
La fonction est strictement décroissante sur l'intervalle
]a, b[
et
]c, d[ .
]b, c[ .
La fonction est stationnaire (ni croissante ni décroissante) au point
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x = c.
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Section 1.1 - Fonctions et modèles
Exercices suggérés
Question 1
Le graphe d'une fonction
f
est donné par la figure suivante:
a) Donner le domaine de définition de
b) Estimer les valeurs
f.
Donner une approximation de l'image de
f.
f(0) , f (0.5) , f(1) , f(2) .
c) Estimer la valeur de
x
pour laquelle on
d) Pour quelles valeurs de
décroissante?
x
la fonction
f
f(x) = −0.5 .
est-elle strictement croissante? strictement
Solution :
a) À partir du gaphe, il est claire que la fonction est définie pour tout nombre réel. Le
domiane de définition de f est alors ] − ∞, +∞[ . Pour l'image de f , noter que toute
valeur y inférieure ou égale à 0.15 (approximativement) est une image ce qui implique
que l'ensemble image de f est l'intervalle ] − ∞, 0.15] .
b)
f (0) = −1
,
f (0.5) ≈ −0.3
,
f (1) = 0
,
f (2) ≈ 0.15
.
c) La droite horizontale y = −0.5 coupe le graphe de la fonction en un point dont
l'abscisse est approximativement égale à x = 0.3 .
d) La fonction f est strictement croissante dans l'intervalle ] − ∞, 2[ et elle est
strictement décroissante dans l'intervalle ]2, +∞[ (approximativement.)
Question 2
Parmi les courbes suivantes, lesquelles représentent le graphe d'une fonction. Pour celles qui le
sont, donner le domaine de définition et l'image de la fonction.
a)
b)
c)
d)
e)
Solution :
On utilise le test des droites verticales. S'il existe une droite verticale qui coupe le graphe
en plus qu'un seul point, la courbe ne représente pas le graphe d'une fonction. Ainsi, les
courbes a), c) et e) ne sont pas des graphes de fonctions, tandisque les courbes b) et d)
sont des graphes.
Question 3
Pour chacune des fonctions suivantes, donner le domaine de définition de la fonction.
a)
x
f(x) =
4
2
√x −3x+2
b)
g(ϵ) = √ϵ + √ϵ + √ϵ
c)
−
−−−−
−−−−
−
−−−
3
2
h(t) = √t + 2 + √ t − 4t + 3 + 2
d)
κ(α) =
3
5
|α|+α
2
Solution :
a)
f (x) =
x
4
√ x 2 −3x+2
: Comme le dénominateur est une racine paire (racine quatreième), le
domaine de définition de f est l'ensemble −
de
tous
les
nombres réels x qui satisfont
−
−
−−
−−
−−
−
√
x − 3x + 2 > 0 (strictement positif car
x − 3x + 2 se trouve au dénominateur). Noter
que x − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2) et le tableau de signes de x − 3x + 2 est le suivant:
4
2
2
2
2
Donc, le domaine de définition de
f
est
] − ∞, 1[∪]2, +∞[
.
b) g(ϵ) = √ϵ + √ϵ + √ϵ : La racine cubique et la racine cinquième sont toutes les deux
définies pour n'importe quel nombre réel ϵ (racines impaires). Par contre, la racine carrée
est définie pour ϵ ≥ 0 . Donc, le domaine de définition de g est [0, +∞[ .
3
h(t) =
5
−
−
−−−
−−
−−
2
+ √
− 4t + 3 + 2
−
−
−−−
−−
−−
√
−
−
−−−
−−
−−
−
−
−−−
−−
−−
−−−
c) h(t) = √−
t + 2 + √t − 4t + 3 + 2 : La racine cubique √t − 4t + 3 est définie pour
−−−
n'importe quelle valeur de t. La racine carrée √−
t + 2 , par contre, est définie pour les
valeurs de t telles que t + 2 ≥ 0 ⇔ t ≥ −2 . Alors, le domaine de définition de h est
[−2, +∞[ .
3
3
2
2
|α|+α
d) κ(α) =
: Cette expression est définie pour n'importe quel nombre réel
domaine de définition de κ est R ou )] − ∞, +∞[ .
2
α
. Le
Question 4
Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer s'il s'agit d'une fonction paire, impaire ou ni
l'une ni l'autre.
7
3
a)
f(x) =
b)
−
5 −
2
4
g(x) = x |x| + √x
+ 2
c)
h(x) =
d)
3x +7x +x
2
x +1
3
k(x) =
x +x
3
√x
−x
x+1
Solution :
a)
3(−x)
7
+7(−x)
f (−x) =
(−x)
−3x
=
7
−7x
3
2
3
+(−x)
+1
−x
x 2 +1
= −
3x
7
+7x
x
2
3
+x
+1
= −f (x)
La fonction
f
est donc impaire.
−
−
−−
−
b)
2
5
g(−x) = (−x) | − x| + √(−x)
4
+ 2
−−
5
2
4
= x |x| + √ x
+ 2 (Noter que | − x| = |x|)
= g(x)
La fonction
g
est donc paire.
(−x
h(−x) =
3
+(−x)
c)
(−x)
h(−x) =
+(−x)
3
√ −x
−x
=
3
3
−x
3
−√ x
−(x
=
3
−−
− 3
−
3
3 −−
3
, (Noter que √ −x = √ −1 √ x = −√ x )
+x)
3
−√ x
x
=
3
+x
3
√x
= h(x)
La fonction
d)
h
est donc paire.
−(−x)
k(−x) =
Comme
=
(−x)+1
k(−x) ≠ k(x)
et
.
x
−x+1
, la fonction
k(−x) ≠ −k(x)
k
n'est ni paire ni impaire.
Question 5
Pour chacune des fonctions suivantes, simplifier l'expression
a)
f(x) = 4x
b)
−
−
−
−
−
f(x) = √x + 1
c)
f(x) =
3
− x
2
f(a+h)−f(a)
h
+ 2
x+1
x+2
Solution :
a)
f (x) = 4x
3
2
+ 2
4(x+h)
f (x+h)−f (x)
h
− x
3
:
−(x+h)
2
=
+2−(4x
3
+3x
2
h+3xh
2
+h
=
3
)−(x
2
2
+2)
+2xh+h
h
12x
2
h+12xh
2
+4h
3
−2xh−h
2
h
h(12
=
−x
h
4(x
=
3
2
+12xh+4
2
−2x−h)
2
)+2−4x
3
+x
2
−2
pour
h ≠ 0.
h(12x
2
+12xh+4h
=
−2x−h)
h
= 12x
b)
2
2
+ 12xh + 4h
2
− 2x − h
−
−
−
−
−
f (x) = √ x + 1
:
√ x+h+1 −√ x+1
f (x+h)−f (x)
=
h
h
(√ x+h+1 −√ x+1 )(√ x+h+1 +√ x+1 )
=
h(√ x+h+1 +√ x+1 )
multiplier la fraction par
(√ x+h+1 )
=
2
−(√ x+1 )
−
−
−−
−−
−−
−
−
−
−
−
√x + h + 1 + √x + 1
2
h(√ x+h+1 +√ x+1 )
en utilisant la relation
(a − b)(a + b) = a
2
− b
(x+h+1)−(x+1)
h(√ x+h+1 +√ x+1 )
x+h+1−x−1
h(√ x+h+1 +√ x+1 )
h
h(√ x+h+1 +√ x+1 )
1
√ x+h+1 +√ x+1
c)
f (x) =
x+1
x+2
:
x+h+1
f (x+h)−f (x)
x+h+2
=
h
−
x+1
x+2
h
(x+h+1)(x+2)−(x+1)(x+h+2)
(x+h+2)(x+2)
=
h
(x
2
+2x+hx+2h+x+2)−(x
=
=
2
+xh+2x+x+h+2)
h(x+h+2)(x+2)
h
h(x+h+2)(x+2)
2
=
1
(x+h+2)(x+2)
Question 6
Pour chacune des fonctions suivantes, exprimer la fonction comme une fonction définie par
morceaux. La nouvelle expression de la fonction ne doit pas contenir la valeur absolue. Tracer le
graphe de la fonction.
a)
f(x) = |3x − 4|
b)
g(x) =
|x|+5x
x
Solution :
a)f (x) = |3x − 4| : Noter tout d'abord que
de 3x − 4 est le suivant:
3x − 4 = 0
pour
x =
4
3
. Le tableau de signes
Donc, 3x − 4 ≥ 0 ⇔ x ≥
et 3x − 4 < 0 ⇔ x < . En d'autres mots |3x − 4| = 3x − 4
si x ≥ et |3x − 4| = −(3x − 4) = −3x + 4 si x < . Ceci définit la fonction f comme
la fonction par morceaux suivante:
4
3
3
4
4
3
3
⎧
f (x) =
4
⎨
⎩
si
x ≥
3
⎧ 3x − 4
f (x) =
⎨
⎩
−3x + 4
Le graphe de
b)
|x|+5x
x
(c'est-à-dire que
|x| = x
et
si
x <
4
3
4
0
x = 0
n'est pas dans le domaine de définition de la fonction). Si
x > 0
|x|+5x
g(x) =
=
x
−x+5x
x
⎨ n'est pas d
⎩
⎪
4
Le graphe de
g
est:
=
x
6
⎧
⎪
g(x) =
3
: Noter tout d'abord que la fonction n'est pas définie pour
|x|+5x
g(x) =
x ≥
est:
f
g(x) =
si
=
x+5x
x
4x
x
éfinie
=
= 4.
6x
x
= 6
Alors:
si
x > 0
si
x = 0
si
x < 0
. Si
x < 0
,
|x| = −x
et
,
Question 7
Le diagramme suivant montre seulement une partie du graphe d'une fonction
f.
a) Tracer le graphe complet de
f
si on vous dit que
f
est une fonction paire.
b) Tracer le graphe complet de
f
si on vous dit que
f
est une fonction impaire.
Solution :
Rappelons que le graphe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des
le graphe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'origine. Alors
y
et
a) Pour compléter le graphe à celui d'une fonction paire, on n'a qu'à faire la réflexion de la
partie donnée par rapport à l'axe Oy :
b) Pour compléter le graphe à celui d'une fonction paire, on n'a qu'à adjoindre à cette
partie l'image obtenue après une rotation de 180 :
∘
Question 8
Tracer le graphe de chacune des fonctions définies par morceaux suivantes.
a)
f(x) =
2x + 3
si
x ≤ 2
3 − x
si
x > 2
si
x < −3
{
x
⎧
⎪
b)
g(x) =
Solution :
a)
2
⎨ 2x − 1
⎩
⎪
−2
si
si
− 3 ≤ x < 1
x ≥ 1
b)
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