1.- TRIGONOMETRÍA PLANA
1.1.- INTRODUCCIÓN.
Si se desea entrar a las matemáticas superiores es necesario tener muy claros algunos conceptos
previos. En las páginas siguientes el lector podrá encontrar conceptos básicos de geometría y trigonometría
de uso frecuente en los estudios de Geometría Analítica y Cálculo, entre otras materias de orden científico.
1.2.- SISTEMAS DE MEDIDAS PARA ÁNGULOS.
En forma análoga a como, por ejemplo, para la medición de longitudes hay un vasto número de sistemas y
unidades de medida, entre ellas el sistema métrico decimal cuya unidad es el “ metro” - con sus
subunidades, decímetro, centímetro y milímetro; supra unidades decámetro, hectómetro y kilómetro – , para
longitudes más pequeñas están la micra y el angstrom; otros sistemas de unidades incluyen las pulgadas,
yardas, leguas, millas terrestres, millas marinas, pies, codos, cuartas, jemes, brazas, paños, etc. Para la
medición de ángulos hay diferentes sistemas de medición donde los más conocidos son el sistema
sexagesimal, sistema centesimal y el sistema radial
1.2.1.- SISTEMA SEXAGESIMAL
La unidad del sistema sexagesimal es el “grado
sexagesimal” que se denota por “ 1° “ (un grado
sexagesimal) y cuya definición es:
“Un grado sexagesimal es la medida de un ángulo
equivalente a la 360 ava parte de un ángulo
completo.”
Esto es, si un ángulo completo se divide en 360
partes iguales, entonces cada uno de estos ángulos
obtenidos mide 1°.
1°
360°
De esta manera un ángulo completo mide 360°.
180°
Un ángulo extendido mide 180°.
Un ángulo recto mide 90°
90°
VERSIÓN 01
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5
Los ángulos de menor magnitud que los ángulos
extendidos se denominan “ángulos cóncavos”
𝜑
𝜑
0° < 𝜑 < 180°
Los ángulos de mayor magnitud que los ángulos
extendidos se denominan “ángulos convexos”
𝜑
𝜑
180° < 𝜑 < 360°
Los ángulos de menor magnitud que un ángulo recto
se denominan “ángulos agudos”
𝜑
0° < 𝜑 < 90°
Los ángulos de mayor magnitud que un ángulo recto,
pero de menor magnitud que un ángulo extendido,
se denominan “ángulos obtusos”
𝜑
90° < 𝜑 < 180°
Subunidades del grado sexagesimal.
Las subunidades del grado sexagesimal son el “minuto sexagesimal” y el “segundo sexagesimal” .
Un minuto se denota por 1’ y un segundo se denota por 1”. Sus definiciones son:
Def.: Un minuto (1´) es la medida de un ángulo equivalente a la 60 ava parte de un ángulo de un grado.
Def.: Un segundo (1”) es la medida de un ángulo equivalente a la 60 ava parte de un ángulo de un minuto.
Por lo tanto:
1° = 60’
,
1’ = 60”
y
1° = 3.600”
VERSIÓN 01
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6
Reducción de unidades
Conforme con las definiciones para las subunidades del grado sexagesimal, para reducir grados a minutos
basta con multiplicar la cantidad de grados por 60; de igual manera para reducir minutos a segundos, basta
con multiplicar por 60 y; para reducir grados a segundos se debe multiplicar la cantidad de grados por 3.600.
Al revés, para reducir segundos a minutos se debe dividir la cantidad de segundos por 60; de igual manera
para reducir minutos a grados se divide por 60 y; para reducir segundos a grados se divide por 3.600.
∙ 60
°
∙ 3.600
60
∙ 60
´
´
÷ 60
÷ 60
÷3.600
60
´´
´´
´´
´´
Ej.1.- Exprese 2,5° en minutos
2,5° = 2,5 ∙ 1°
2,5° = 2,5 ∙ 60′
2,5° = 150′
Ej.2- Exprese 6° 12’ 15” en segundos
6° 12′ 15" = 6° + 12′ + 15"
= 6 ∙ 3.600" + 12∙60" + 15"
= 21.600" + 720" + 15"
6°12′15" = 22.335"
Ej.3.- Exprese 356,28’ en forma compleja [Exprese en (°) (‘) (“)]
356,28: 60 = 5
56
356,28′ = 5° 56,28′
= 5° 56,28′ = 5° 56′ + 0,28′
= 5° 56′ + 0,28 ∙ 60"
356,28′ = 5° 56′ 16,8"
VERSIÓN 01
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1.2.2.- SISTEMA RADIAL
Un sistema para la medición de ángulos usado frecuentemente en las ciencias y la tecnología es el “sistema
radial” cuya unidad es el “radian”. Un radian se abrevia por 1[rad].
Def.: Un ángulo completo mide 2𝜋 [𝑟𝑎𝑑] donde 𝜋 es el número trascendente 3,14159265… (el número 𝜋
tiene infinitas cifras decimales y no es número periódico).
2𝜋
Un ángulo completo mide 2𝜋 [𝑟𝑎𝑑].
Un ángulo extendido mide 1𝜋 [𝑟𝑎𝑑].
𝜋
Un ángulo recto mide 12𝜋 [𝑟𝑎𝑑]
𝜋
2
1.2.3.- SISTEMA CENTESIMAL.
Un tercer sistema de unidades para la medición de ángulo es el “sistema centesimal” cuya unidad es el
“grado centesimal”. Un grado centesimal se abrevia 1° c.
Def.: Un grado centesimal es la medida de un ángulo equivalente a las 400 ava parte de un ángulo completo.
400°𝐶
Un ángulo completo mide 400°c.
200°𝐶
Un ángulo extendido mide 200°c.
Un ángulo recto mide 100°c
100°𝐶
VERSIÓN 01
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8
1.2.4.- REDUCCIÓN DE UNIDADES ENTRE SISTEMAS DE UNIDADES PARA LA MEDICIÓN DE ÁNGULOS.
Para reducir entre el sistema sexagesimal y el sistema radial:
Como un ángulo completo mide 360° en el sistema sexagesimal y 2𝜋 [𝑟𝑎𝑑] en el sistema radial, entonces
360° es equivalente a 2𝜋 [𝑟𝑎𝑑]
que matemáticamente se pude anotar 360° = 2𝜋 [𝑟𝑎𝑑]
360 ∙ 1° = 2𝜋 ∙ 1[𝑟𝑎𝑑)
2𝜋
1° =
1° =
360
∙ 1[𝑟𝑎𝑑]
360
2𝜋
𝜋
[𝑟𝑎𝑑]
180
1° ≈ 0,01745329… [rad]
∙ 1° = 1[𝑟𝑎𝑑]
1[𝑟𝑎𝑑] = (
180 °
)
𝜋
1[𝑟𝑎𝑑] ≈ 57,295779°…
Análogamente, para reducir unidades entre el sistema radial y sistema centesimal
1°𝑐 =
𝜋
[𝑟𝑎𝑑]
200
1° ≈0,0157079… [rad]
1[𝑟𝑎𝑑] = (
200 °𝑐
)
𝜋
1[𝑟𝑎𝑑] ≈ 63,661977°𝑐 …
Para reducir entre el sistema sexagesimal y sistema centesimal
9 °
1 =( )
10
1° = (
°𝑐
VERSIÓN 01
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10 °𝑐
)
9
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GERMÁN ÁLVAREZ
9
Ej.1.- Exprese 135° en radianes.
135° = 135 ∙ 1°
3
𝜋
= 135 ∙ 180 [𝑟𝑎𝑑]
4
3
135° = 𝜋 [𝑟𝑎𝑑]
NOTA
Es frecuente que en las mediciones de ángulos en
radianes, 𝜋 aparezca en forma explícita.
4
Ej.2.- Exprese 1,2𝜋 [rad] en (°).
1,2 𝜋 [𝑟𝑎𝑑] = 1,2 𝜋 ∙ 1 [𝑟𝑎𝑑]
= 1,2 𝜋 ∙ (
180 °
= 216 °
𝜋
)
Ej.3.- Exprese 35° 25’ 45” en (°c)
35° 25′ 45" = 35° + (25: 60)° + (45: 3.600)°
= 35,429166° …
= 35,429166. . .∙ 1°
10 °𝑐
= 35,429166 … ∙ ( 9 )
35° 25′ 45" = 39,3657074°𝑐 …
Ej.4.- Exprese 2,1 [rad] en (°)
2,1 [𝑟𝑎𝑑] = 2,1 ∙ 1[𝑟𝑎𝑑]
= 2,1 ∙ (
378 °
180 °
𝜋
)
= (𝜋 )
2,1 [𝑟𝑎𝑑] = 120,321137° … = 120° 19′ 16,9931189" …
Ej.5.- Exprese 63°c en (°). Entregue el resultado en forma compleja.
63°𝑐 = 63 ∙ 1°𝑐
9
= 63 ∙ (10)
°
= 56,7°
= 56° + 0,7°
= 56° + 0,7 ∙ 60′
63°𝑐 = 56° 42′ 0"
1.2.5.- EJERCICIOS PROPUESTOS
Exprese las siguientes magnitudes del sistema sexagesimal, en unidades del sistema radial.
(los siguientes 17 ejercicios corresponden a transformaciones frecuentemente recurrentes)
1.- 0°
2.- 90°
3.- 180°
4.- 270° 5.- 360°
6.- 30°
7.- 45°
8.- 60°
9.- 120°
10.- 135° 11.- 150° 12.- 210° 13.- 225° 14.- 240° 15.- 300° 16.- 315°
17.- 330°
VERSIÓN 01
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GERMÁN ÁLVAREZ
10
Exprese en la unidad indicada
18.- 15° 24’ 36” en [rad]
21.- 70° 15’ 18” en (°c)
24.- 90°c en (°)
19.- 2,4 [rad] en (°c)
22.- 1,8π[rad] en (°)
20.- 48,81°c en (°)
23.- 1,8 [rad] en (°)
1.3.- REPRESENTACIÓN DE PUNTOS EN UN PLANO.
1.3.1.- Representación rectangular.
𝑃(𝑎; 𝑏)
La forma más conocida de la representación de un
punto P sobre un plano, es la representación de
puntos sobre un plano cartesiano.
Un punto se anota en la forma 𝑃(𝑎; 𝑏), donde la
primera coordenada de la pareja ordenada “𝑎” se
llama “abscisa” y su segunda coordenada “𝑏” se
llama “ordenada”
Abscisa
La representación geométrica del punto 𝑃(𝑎; 𝑏) se
obtiene desplazándose desde el origen del sistema,
“𝑎” unidades en forma paralela al eje horizontal (eje
de las abscisas) y a continuación “𝑏” unidades en
forma paralela la eje vertical (eje de la ordenadas),
Ordenada
𝑃(𝑎; 𝑏)
𝑏
(Obviamente también se obtiene el mismo
punto 𝑃 si primero se efectúa el desplazamiento
vertical de “𝑏” unidades desde el origen del sistema y
a continuación el desplazamiento horizontal de “𝑎”
unidades)
𝑎
1.3.2.- Representación polar.
Una segunda manera de representar puntos en el
plano es la denominada “representación polar”1
Un sistema de ejes polares (o frecuentemente
llamado Plano Polar) consiste en un rayo trazado en
forma horizontal llamado “eje polar” y sobre el cual
se representa a los números reales no negativos,
(esto es, los números reales positivos y el cero),
desde el punto de inicio del rayo, llamado “polo”.
𝑃𝑜𝑙𝑜
VERSIÓN 01
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𝑅0+
𝐸𝑗𝑒 𝑃𝑜𝑙𝑎𝑟
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Un punto P del plano polar es identificado por dos
coordenadas
𝑟
𝑃(𝑟; 𝜑)
𝑃(𝑟; 𝜑)
𝜑
y se interpreta como que el punto P está situado a
una distancia “r” del polo ( La distancia desde el polo
al punto se lo denomina radio polar o simplemente
radio), sobre una recta que forma un ángulo “  ” con
𝑅0+
respecto del eje polar.
Observación: Es importante observar que los ángulos asumen valores positivos cuando se miden en dirección
contraria a como avanzan los punteros de un reloj, en caso contrario al ángulo se le asignan valores negativos
Ej.: Represente los siguientes puntos sobre un plano polar:
A( 5; 30°),
B( 7; 120°) y C( 4; 7 / 4) .
Para representar el punto A(5;30°) sobre un plano
polar, se traza una recta que pase por el Polo y forme
un ángulo de 30° con el Eje Polar. ( Otra manera de
pensar es que la recta a trazar coincide con una imagen
del eje polar que ha rotado en 30°)
El punto A se encuentra sobre esta recta y a 5 unidades
del polo.
𝐴(5; 30°)
5
30°
𝑅0+
+
5
Para el punto B( 7; 120°)
En forma análoga al caso anterior, se dibuja una recta
que forme un ángulo de 120° con el eje polar (que es
equivalente a pensar de que eje polar rota en 120° en
sentido anti-reloj) y sobre esta recta se determina el
punto que está alejado 7 unidades del Polo.
𝐵(7; 120°))
7
120°
𝑅0+ 𝑅
7
7
7
La figura adjunta muestra la representación del punto
𝐶(4; 74𝜋) pero cuando el ángulo es mayor que un
ángulo extendido ( mayor que 180°; mayor que 𝜋),
algunos usuarios de las formas polares prefieren
referirse al ángulo cóncavo que falta para obtener un
ángulo completo, …
𝑅0+
4
7
𝜋
4
VERSIÓN 01
MARZO 2014-©
7
𝐶(4; 4𝜋)
ELABORADO POR:
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12
𝑅0+
… para este efecto el ángulo se expresa en forma
negativa y se mide en dirección contraria a como
avanzan las manecillas de un reloj.
En este caso el punto 𝐶(4; 74𝜋) se expresa como
𝐶(4; −14𝜋)
1
−4𝜋 4
1
𝐶(4; −4𝜋)
Pero también es posible expresar al radio en forma
negativa.
Como en el eje polar están los números no negativos,
𝑅0+ , es posible pensar que los números negativos
pueden situarse en dirección contraria a la dirección
del Eje Polar. (En la figura adjunta se ha destacado al
semieje real negativo de color rojo)
𝑅−
De esta manera el punto 𝐶(4; 74𝜋) también se puede
anotar como 𝐶(−4; 34𝜋)
−3 −2 −1
0
1 2
3
4
𝑅0+
3
𝜋
4
𝑅0+
4
3
𝐶(−4; 4𝜋)
1.3.3.- Ejercicios propuestos
1.- Represente los siguientes puntos sobre un plano rectangular:
i) A(6;2)
ii) B(-3; 5)
iii) C(4;0)
iv) D(0;-2)
v) E(-2;0)
2.- Represente los siguientes puntos sobre un plano polar:
i) A(5; 60°)
ii) B(6; 315°) iii) C(5,5; 56𝜋) iv) D(6,8; 0,5𝜋) v) E( 4; 0,5) vi) F(-4; 50°)
viii)H(-4; -50°) ix) I(6; 135°)
x) J(6; -225°) xi) K(-6; -45°) xii) L(-6; 315°).
VERSIÓN 01
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vii) G(4; -50°)
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