Invers Matrik
RTI-2114 Aljabar Linier
Pengertian
 A=[aij], i=1, 2, ..., n; j=1, 2, ..., n, disebut
mempunyai invers jika terdapat matrik A-1,
sehingga: AA-1=A-1A=I, I matrik satuan
 Jika A mempunyai invers, maka A disebut
matrik tak singular
 Jika tidak mempunyai invers disebut matrik
singular
RTI-2114 Aljabar Linier
1
Ketunggalan Invers Matrik
Jika A mempunyai invers, maka invers-nya
tunggal (unik)
Andaikan B dan C invers dari A, maka dipenuhi:
BA=I dan CA=I
B=IB=(CA)B=C(AB)=CI=C
Jadi, B = C, atau kedua invers matrik tersebut
tunggal
RTI-2114 Aljabar Linier
Sifat-sifat invers matrik
(A+B)-1=A-1+B-1
2. (AB)-1=B-1A-1
3. (kA)-1=(1/k)A-1, dimana k: skalar (bilangan
riil)
1


4. An  A1 A1  A1   AA A  , jika n  1,2,

 
  

 
sebanyak n kali
 sebanyak n kali 
1.
RTI-2114 Aljabar Linier
2
Matrik Elementer
Definisi: Matrik elementer adalah matrik
bujursangkar yang diperoleh dari matrik
satuan yang sesuai, yang dikenai hanya oleh
satu Operasi Baris Elementer
1 0 
1 0 0
E1  



0  3 E 2  0 0 1
0 1 0
1 0  5
E3  0 1 0 
0 0 1 
1 0 0
E 4  0 0 0
0 1 0
RTI-2114 Aljabar Linier
Contoh 1
 Buat perkalian antara matrik E3, dan
berikutnya perkalian dengan E2, terhadap
 1 3 0  3
A   0 2  4 4 
 2 1  1 5 
 11  2 5  28 
E 3 A   0 2  4
4 
 2 1  1
5 
0 3 
 1 3

E 2 A   2 1  1
5 
 0 2  4
4 
RTI-2114 Aljabar Linier
3
OBE dan Lawannya
OBE yang mengubah I menjadi E
Mengalikan satu baris dengan konstanta c0
Menukar baris ke-i dengan baris ke-j
Menjumlahkan kelipatan k kali baris ke-i
dengan baris ke-j
OBE yang mengubah E menjadi I
Mengalikan satu baris dengan 1/c
Menukar baris ke-i dengan baris ke-j
Menjumlahkan kelipatan –k kali baris
ke-i dengan baris ke-j
RTI-2114 Aljabar Linier
Proses Mencari Invers (1/ 2)
Jika A matrik bujursangkar nxn, dan matrik A ekivalen baris dengan
matrik satuan In, maka dapat ditemukan m matrik elementer,
sehingga jika dikalikan dengan matrik A, maka matrik A tersebut
menjadi matrik satuan:
Em ... E2E1A=In
Karena setiap matrik elementer mempunyai invers, maka jika dilakukan
perkalian dengan invers masing-masing matrik elementer, didapat:
E1-1E2-1 ... Em-1 Em ... E2E1A= E1-1E2-1 ... Em-1 In
Atau
A= E1-1E2-1 ... Em-1 In
RTI-2114 Aljabar Linier
4
Proses Mencari Invers (2/ 2)
Persamaan di atas menyatakan bahwa matrik A
mempunyai invers.
Sebaliknya jika A mempunyai invers, berarti dipenuhi
hubungan:
A-1A=I
Dengan mengambil
A-1= Em ... E2E1In
karena matrik invers tunggal, maka diperoleh, jika A
mempunyai invers, maka A ekivalen baris dengan matrik
satuan I.
RTI-2114 Aljabar Linier
Mencari Invers
[AM I ]
OBE
~
[I M A ]
1
RTI-2114 Aljabar Linier
5
Contoh 2
Tentukan invers matrik berikut:
 4 1  2
  1 2
 12  3 7 
A





 3 1  B    3 1  2 C   3 1  1 
 4  2 0 
 15  3 7 
M


M 

1  2 M  1 0
 1 2 1 0  b1

[AM I ] 
0 7 3 1  1 7 b ~
 3 1 M 0 1 ~
2

M


M 
M

1
1 0M  7
0 1 3 7

M
M


1  2 M  1 0  b1  2b2 ~
0 1 3 7 17 


M


1 
7

2
7
 1 7
A 
 37
1
RTI-2114 Aljabar Linier

1 
7
2
7
Contoh 3
[BM I ]
M
M




 12  3 7 M 1 0 0 b2  3 1  2 M 0 1 0
  3 1  2 M 0 1 0 b1 ~ 12  3 7 M 1 0 0 b2  4b1 ~
 15  3 7 0 0 1
 15  3 7 0 0 1 b3  5b1
M
M




M

M


 2 0 1 0

3
1

2
0
1
0
b

 1  2b3
M
M
 1 1 4 0
~  0 1 1 1
4 0 b2  b3 ~

M


M
 3 0 5 1 b3  2b2
 0 0  1  2  3 1
M
M



M

M


0 4
7  2 b1  b2
0  1  13 b1
 3 0 0 M 1
M
0 3
7  1
~ 0 1 0 3
7  1
~

M


M
1  2  3 1 
0 0  1  2  3 1   b3

M
M




 3 1
0 1

0 2


 3 1
0 1

0 0

M 1


1
1 0 0 M  3 0 3 
0 1 0 3 7  1


M
0 0 1 2 3  1
M


Jadi,
B
1

 1 3 0 1 3 
 3 7  1


 2 3  1
RTI-2114 Aljabar Linier
6
Contoh 4

M

 2 1 0 0 b1  b2
M
3
1  1 0 1 0
~


M

4

2
0
0
0
1


M


M



1 0  1 M 1  1 0
1 0
0 1
2  3 4 0
~ 0 1


M

0  2  4 4  4 1 b3  2b2
0 0
M



[C M I ]   4
1
M


 1 0  1M 1  1 0
 3 1  1 0 1 0 b2  3b1 ~


M
 4  2 0 0 0 1 b3  4b1
M


M

 1 1  1 0
M
2  3 4 0

M
0  2 4 1
M

Karena baris ketiga berupa baris nol yang berarti pula C tidak ekivalen
baris dengan matrik satuan I, maka pada kasus ini matrik C tidak
mempunyai invers.
RTI-2114 Aljabar Linier
Tantangan 1
1. Tentukan operasi baris elementer yang menyebabkan matrik
elementer di bawah ini menjadi matrik satuan (atau dengan istilah
lain, invers matrik elementer):
1 0 0
 1 0 0
0 0 1 






E1  0 1 0 E 2  0  3 0 E 3   1 1 0
 0 0 1
1 0 0
0 0 1
2. Tentukan invers matrik di bawah ini, jika ada:
 1  2
4 3
6 0 0
C
A

12 8 0

 2 4 
1 1
G
24 8 4
  1 2 1
5 3 1



48 16 4
E   3 5 2 F  3 2 1


 3  2 1
4 2 1
0
1
1

0
H 
 1
0


2
0
0 2 1
1 4 2
0 0 0

0 1 1
RTI-2114 Aljabar Linier
7
Penggunaan Invers
Pencarian solusi:
AX=B, jika A matrik bujursangkar dan A-1 ada, maka,
X=A-1B
Jika AX=B1, AX=B2, ..., AX=Bk, maka solusi didapat dengan cara
yang mudah:
X=A-1B1, X=A-1B2, ..., X=A-1Bk
Akibatnya dapat dilakukan eliminasi:
[AM B1 M B2 MM Bk ]
RTI-2114 Aljabar Linier
Contoh 5 (1/ 3)
Tentukan solusi dari AX=B1, AX=B2, AX=B3
2
A
1
1

1
1
0
3
0 
 

2B1  2 B2
3

2
M



2 1 3 M 1 0 0 b3 1
AM I  1 1 2 M 0 1 0 ~ 1
1 0 2 0 0 1 b1 2
M



M



1 0 2 M 0 0 1  b1  2b3 1 0
0 1 0 0 1  1
~ 0 1


M

0 0  1 1  1  1
0 0
M



[
]
2
  2
 


  3  B3   0 
 2
 2 
M


M

1 0 2 M 0 0 1 
0 2 0 0 1
M


~
1 2 0 1 0 b2  b1 ~ 0 1 0 M 0 1  1

M
1 3 1 0 0 b3  2b1 0 1  1M 1 0  2 b3  b2


M

M


0 2  2  1
1
M

0 0 1 1
~ 0


M
 1 1  1  1  b3 0
M


RTI-2114 Aljabar Linier
0
1
0
M
0 2 2
M
0 0
1
M
1 1 1
M

 1
 1

1

8
Contoh 5 (2/ 3)
1
A 
 2  2  1
0
1  1

 1 1
1 
 2  2  1  0   7 
X 1   0 1  1  2 =   1
 1 1 1  
3
  5 
 2  2  1  2
 0 1  1  3 
 =
X2  
 1 1 1   2 
 12
 1 
 
 7 
6
X3   2 
 
 4
RTI-2114 Aljabar Linier
Contoh 5 (3/ 3) Cara kedua
[AM B1 M B2 M B3 ] 
M M M 

M M M 

2 1 3 M 0 M  2 M 2  b3 1 0 2 M 3 M 2 M  2
1 1 2 2 3 0  ~ 1 1 2 2 3 0  b2  b1 ~

M M M 

M M M 
2 1 3 0  2 2  b3  2b1
1 0 2 3 2  2 b1 
M M M 
M M M 

M M M 


1 0 2 M 3 M 2 M  2
1 0
0 1 0  1 1 2 
~ 0 1

M M M 

0 1  1  6  6 6  b3  b2 0 0
M
M
M



M M
M 

 7 
1 0 0 M  7 M  12 M 6 
 
0 1 0  1 1 2  X 1    1 

M M
M 
 5 
0 0 1 5 7  4
M
M
M 

M M M 

M M M 
2 3 2  2 b1  2b3 1 0 0  7  12 6
M M M
M M M
~
0 1 1 2 
~ 0 1 0  1 1 2
M M M
M M M 
0
0

1

5

7
4

b

 3
1  5  7 4 
M M M 

M M M 
 12
X 2   1 
 7 
6
X 3   2 
 4
RTI-2114 Aljabar Linier
9
Tantangan 2
3.
Selesaikan SPL berikut:
 x  3 y  2 z  b1
 3 z  b2
3x
2x 
y  2 z  b3
b1=7, b2=-3, b3=-1
b1=5, b2=2, b3=-2
b1=3, b2=0, b3=-1
b1=2, b2=5, b3=3
a.
b.
c.
d.
RTI-2114 Aljabar Linier
Tantangan 3
4.
Tentukan X dari persamaan-persamaan matrik berikut:
 1 0 1 
 1 2 0
X  1 1 0   
 3 1 5
 3 1  1 
X2x3
2
0

2
3
2
4
 2 2 2 
 2 5
3
3
2  + 
 X2x3 =

  1 2
 4 2  2
0 1  1
1 0 2 


 1 3
1
5
2




= 3 0
2 X3x2 



 2 1    4 2
1 


RTI-2114 Aljabar Linier
10