Aplicaţii: limite de şiruri
n , n  N ,  R

I) Şirul puterilor cu exponent real
+,    0,  

lim n  1,   0
.
n 
0,   , 0





Radicali convenţii:
par
  ,
impar
  ,
impar
1
1
 ,
 
+0
0
   ,
5
2
1) lim n 3  ........ ,
n 
 3 
3) lim  2   ........ , 4) lim n  ........ ,
n 
n  n
 
2) lim n 5  ........ ,
n 
1
 ........
n3
5) lim
n 
5
8
 5
 1 
3
n 2
 .......
 ....... , 10) lim 3 2
6) lim n  ...... , 7) lim  2   ...... , 8) lim  5   ...... , 9) lim 3
n 
n 
n 
n  n
n 
n + n3
7


 n 
3
2
II) Şir exponenţial cu baza a
1) lim 3  ...... ,
n
 + , a  1
1, a  1

n
n
a 
 a  , n  1, a  R , lim
n 
0, a   1,1
  , a  1

n 
2) lim
n 


n
 2 
2  1  ...... , 3) lim 
  ......
n 
 3
n
5

4) lim    ...... , 5) lim    ...... ,
n  7
n  3
 
 
n


6) lim  sin   ......
n 
3

n
n
7) lim   + 2   ...... , 8) lim    5   ...... ,9) lim  sin    ......
n
n
n 
n
n 
n 
Dacă a   0,1 şi k  N  lim n  a  0
n
2
 
10) lim    ...... , 11) lim  tg   ...... , 12) lim     ......
n 
n  
n 
 
 



13) lim    ...... , 14) lim  cos   ....
n  4
n 
3
 

 2
15) lim   
n 
 
1

18) lim n     .... , 19) lim n 5    ....
n 
n

3
5
III) Şir defint prin funcţie polinomială



20) lim  cos + sin 
n 
4
4


k
n
n
n 
n
3n
n
n
4
n
2n
 
 
 ...... , 16) lim  tg   ..... , 17) lim  tg   ....
n 
n 
 3
 
n
10n
3n

 
 ...... , 21) lim  tg + ctg 
n 
4
 4
10n
 ......
, a k   0,  
lim x n  lim a k n k  
n 
n 
, a k   , 0 
1) lim  n 3 + 5n 2 + 7   ...... , 2) lim  n 3  5n 2   ...... , 3) lim  n 3  1000n + 3  ...... 4) lim  n 3  5n 4 + n 7   ......
x n  a k n k + a k 1n k 1 + ... + a1n + a 0 , a k  0, k  N ,
n 
n 
n 

1
5) lim  3n  5n   ...... , 6) lim  n 3 +  
n 
n 
3

n

  ...... ,

IV) Şir definit prin câtul a două funcţii
polinomiale
a n k + a k 1n k 1 + ... + a1n + a 0
xn  k q
, unde
b q n + b q 1n q 1 + ... + b1n + b 0
a k  bq  0, k, q  N
 ak
  b , k  q
q

k

a n
a
lim x n  lim k q   k , k  q
m 
m  b n
q
 bq
0, k  q


n
k
11) lim
n 
k 1
 n + 3n  1
2
 1
7) lim  n 2   
n 
  4 
 ...... , 12) lim
n 
k 1
3
n + n +1

  ...... ,

8) lim 5 + n 3  3 n   ......
n 
5n 2 + 3n  7
 n 2 + 6n + 2

....
,
2)
lim
 ......
n  n 2  n  3
n 
n2 + n 1
n 5 + 2
n 3 + 3n 2  2
3) lim 2
 .... ,
4) lim 4
 ....
n  n + 6n
n  n  n 3 + 3
 n 2 + 8n + 2
n + 2
5) lim 3
 ...... , 6) lim 2
 ....
n  n + n 2 + 3n  1
n  n + 6n + 5
 n2
n 2 +1 
1+ 2 + 3 + ... + n

 .... , 8) lim
7) lim 
 ....

n  n +1
n 
n+2 
n2

1) lim
 n + 2 +  2  n 
lim
3
n 
n3   n  2
2
9)
n
 k2
n 
n
2
 n  1 +  n +1
lim
3
n 
n3 +  n  2
3
 .. , 10)
n
 ...... , 13) lim
n 
 k  k +1
k 1
n + n + 5
3
3

n
 ...... , 14) lim
n 
k
2
k 1
k
n
k 1
2
 2k + 3
 ......
 , a  1
,
, a   0,1
, a  1
log a  +0   
, a   0,1
25n + 2
1000n + 2
n+2
2) lim log 5
 ...... , 3) lim lg
 ...... , 4) lim log 1
 ......
n 
n 
n 
n 1
10n  1
2 n +5
V) Logaritmi convenţii: log a   
1) lim log 3
n 
n+2
 ...... ,
3n  1
n2 + 2
n 2 + 2n + 3
5n + 2
n+2
 ...... , 6) lim log 0,5 3
 ......
 ...... , 7) lim lg 3
 ...... , 8) lim log 0,7
n 
n 
n 
n 
3n  1
n +5
n 1
n + 5n  1
27n 2 + 2
n 3 + 3n  2
100n 3 + 2n 2  7
9) lim log 0,3
 ...... , 10) lim log 5

......
,
11)
lim
lg
 ......
n 
n 
n 
3n  1
125n 3 + n  1
n 3 + 5n  1
5) lim log 3
n
1 1
1
 1
e n  1+  ; E n  1+ + + ... + ,
1! 2!
n!
 n
VI) Numărul e:
2 

1) lim 1+

n 
 n 1 
2n
n2
 ...... , 2) lim 

n  n +1


2n+1
lim e n  lim E n  e, e  2,71828...  R  Q
n 
n 
 n 2 + n +1 
 ...... , 3) lim  2

n  n + n + 2


n 2 +1
1 

 ...... , 4) lim 1+

n 
n

2 n+1
 ......
n
3n
 n + n +3 
 n 2 + 3n 
 3n + 5 
 n +1 
lim
2n

1
ln

......
5) lim 
,
6)
,
7)
,
8)
lim

....
lim
n
ln

......



  ......





2
n 
n  
n  3n  2
n 


 n 
 n +2 
 2 n +1 
VII) Funcţii trigonometrice sin    , cos    , tg    , ctg    nu există


, arctg     , arcctg  0, arcctg     


2 

ctg  n + 3 n   ....
1) lim sin 4n  .... , 2) lim cos 3n + 5  .... , 3) lim tg2n  .... , 4) lim  sin n +
  .... , 5) lim
n 
n 
n

n 
n 
n +3

2
7
6) lim arcsin  .... , 7) lim arccos
 .... , 8) lim arctg  2n + 3n   .... , 9) lim arcctg  n  3n 2   ....
n 
n 
n 
n

n
3n +1
n + 5
n +1
n +1
10) lim arctg   n 2 + 5n   .... , 11) limsin
 .... , 12) lim arccos
 .... , 13) lim tg
 ....
n 
n 
n

n

3n  2
2n  2
3n + 7
 n 2 + 5n
n 2 +1
n 3 +1
n +3
14) arcctg
 .... , 15) lim arccos 2
 .... , 16) lim arcsin
 ....
 .... , 17) lim ctg
n 
n 
n 
2n + 5
n +2
3n + 5
2n + 2
arctg 
convenţii:
VIII) Limite remarcabile:
xn
1

1 
sin x n
tgx n
arcsin x n
arctgx n
lim
 lim
 lim
 lim
 1 , lim 1+   lim 1+ x n  xn  e
x n 
x n 0
x n 0
x n 0 x
x n 0
x n 0
xn
xn
xn
 xn 
n
2n 2 +1
1
2
1
1
1) lim 7n sin  .... , 2) lim
sin
 .... , 3) lim
 .... ,
 .... , 4) lim 5n arcsin
n

n 
n

n

7
7n  3
n +3
n
n
+
2
 3n + 2  sin
3n  1
5n
 5n 2 + 5 
1
3
 3n + 5  n+1
lim
5) lim  5n  2  tg
,
8)
 .... , 6) lim  2n  7  arctg
 .... 7) lim 

....



n  5n 2  2
n 
n 
n  3n  2
3n + 2
7n  2




 n +1  n 4
lim
3
n 
 n + 2
4
IX) Diverse:
1)
3
 ...... ,
2) lim
n 
8n 6 + n 4 + 3
9n 4  n 3 + 5n
3n  4
 ....
3n+2 + 4n 1
 .... ,
n  2 2n+3 + 2 n+1
 ...... , 3) lim
 1

C2n
1
1
1
1
 1 1 1
4) lim 2
 .... , 5) lim 1+ + 2 + 3 + ... + n   .... , 6) lim 
+
+
+ ... +
  ....
n  n  4n + 3
n 
n  1  2
5 
2 3 3 4
n   n +1 
 5 5 5

7) lim 2n
n 


n + 3  n  ...... , 8) lim n sin
n 



n +1  n  .... , 9) lim
n 


3

n 3 + 3n 2  n  .... ,
n 2 +1
 n + 5 
 5n + 5 
2
2
10) lim 
arccos 2
 .... ,
n + n  n  n  .... , 12) lim 
  .... , 11) lim
  .... , 13) lim
n 
n 
n  3n  2
n  7n  2
2n + 2




3n  2
125n + 2
14) lim arc tg
 .... , 15) lim log 5
 ...... , 16) lim ln  n 2 +1  ln n  ....
n 
n 
n

n +5
5n  1
3n
3n

