Rovnice, lineárne rovnice – základné pojmy
I.
Rovnica
je zápis rovnosti dvoch výrazov.
Premennú
v rovnici nazývame neznáma.
Koreň rovnice
je hodnota premennej, pre ktoré sa výrazy rovnajú.
I.
II.
Def Nech f, g sú funkcie s premennou x. Rovnicou s jednou neznámou nazývame výrokovú formu
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). Ak za x dosadíme konkrétne číslo 𝑥0 ∈ 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔) dostaneme výrok.
Pr. 1.
x0=10
2x – 6 = 3x +11
2.10 – 6=3.10 + 11
lineárna rovnica – výroková forma
rovnosť – nepravdivý výrok
Koreň rovnice
𝒙𝟎 ∈ 𝑫 , po dosadení za x dostaneme pravdivý výrok
Obor rovnice
číselná množina v ktorej hľadáme hodnotu neznámej
„O“
Definičný obor rovnice
číselná množina v ktorej sú všetky výrazy v rovnici definované
„D“
Obor pravdivosti rovnice
množina všetkých koreňov danej rovnice
„P“
Riešiť rovnicu znamená určiť množinu všetkých riešení (koreňov) 𝐾 ⊂ 𝐷 , (𝑃 ⊂ 𝐷)danej rovnice
Pr. 2. Riešte danú rovnicu pre 𝑥 ∈ 𝑅 ∶
10
𝑥
𝑂 = 𝑅 ; 𝐷 = 𝑅 − {0} ; 𝑃 = {2}
=5
Riešenie rovnice
je postupnosť krokov, ktorými sa chceme dopracovať k riešeniu danej rovnice. Pri
riešení rovnice využívame ekvivalentné a dôsledkové úpravy rovnice
Ekvivalentné úpravy
pri ich využití sa nemení množina koreňov danej rovnice. Pri využití
ekvivalentných úprav nie je potrebné vykonať skúšku
a)
b)
c)
d)
e)
výmena strán rovnice
pričítanie alebo odčítanie výrazu definovaného na množine D
vynásobenie alebo vydelenie oboch strán rovnice nenulovým výrazom
umocnenie / odmocnenie oboch strán rovnice, ak obe strany nadobúdajú nezáporné hodnoty
logaritmovanie oboch strán rovnice, ak obe strany nadobúdajú kladné hodnoty
Dôsledkové úpravy pri ich využití nestrácame žiadne korene rovnice, ale množina koreňov danej rovnice sa
môže zväčšiť, pri využití dôsledkových úprav je potrebné vykonať skúšku.
a) vynásobenie obidvoch strán rovnice výrazom, ktorý je definovaný na celom obore rovnice
b) umocnenie oboch strán rovnice
Pr. 3. Riešte dané rovnice: 𝑎) 7 +
Lineárna rovnica
Riešenie
má tvar
danej rovnice má tvar
𝑥 2 −4
𝑥−2
= 𝑥 + 5 𝑏) √𝑥 − 5 = −3
𝑎. 𝑥 + 𝑏 = 0 ; 𝑎 , 𝑏 ∈ 𝑅 , 𝑎 ≠ 0
𝑏
𝑥 = −𝑎
x - neznáma
škola
samostatná práca
1.
1/abf
1/cde
2/adgh
2/bcef
Kohanová 1
102 / 9 Riešte dané rovnice. Koľko majú riešení ?
𝑥+3
1
2𝑥+6
3𝑥+1
𝑥−1
𝑎) 6𝑥 − 3 = 6𝑥 − 4
𝑏) 4 = 4 (𝑥 + 3)
𝑐) 4 = 3 − 2
𝑑) 2𝑥 − 5 = 5𝑥 − 2
𝑒) 6𝑥 +
−2𝑥−12
27
𝑥
3
= −2𝑥 − 6. (𝑥 − 3) − 22
𝑓) 1,2. 𝑥 − 3,7. (𝑥 − 1) = 10 + 0,5. (2 + 2)
riešenie 𝑎) 𝑃 = ∅ 𝑏) 𝑃 = 𝑅 𝑐) 𝑃 = ∅ 𝑑) 𝑃 = {−1} 𝑒) 𝑃 = {0} 𝑓) 𝑃 = {0}
2.
Kohanová 1
103 / 12
𝑎) 3𝑥 − √2 = √2 + 𝑥
𝑑) √2. 𝑥 − 1 = 𝑥 + √2
𝑔) √2. 𝑥 + 1 = 3 − √2. 𝑥
riešenie 𝑎) √2 𝑏) − 1 𝑐)
Riešte rovnice v R
𝑏) √3. 𝑥 − 6 = 6𝑥 − √3
𝑒) 6𝑥 + √5 = 4𝑥 − √5
ℎ) √3. 𝑥 + 1 = 𝑥 − √3
−√5
5
𝑑)
√2+1
√2−1
𝑐) √5. 𝑥 + 5 = 3 − √5. 𝑥
𝑓) √10. 𝑥 − 10 = 10𝑥 − √10
= 3 + 2. √2 𝑒) − √5 𝑓) − 1 𝑔)
Rovnice, lineárne rovnice – základné pojmy
škola
samostatná práca
3.
3/ab
3/cd
4
5/a
5/bcd
1
√2
=
√2
2
ℎ)
√3+1
1−√3
= −2 − √3
II.
6/cfi
6/abdeghj
Určte či je riešením danej rovnice iracionálne, alebo racionálne číslo
𝑎) 𝜋. 𝑥 − 3 = 3𝑥 − 𝜋 𝑏) 𝜋. 𝑥 − 3 = 3𝑥 + 𝜋
𝑐) 𝜋. 𝑥 + 3 = 3𝑥 − 𝜋
𝜋+3
𝜋+3
riešenie 𝑎) − 1 ; 𝑄 𝑏) 𝜋−3 ; 𝐼 𝑐) 𝜋−3 ; 𝐼 𝑑) 1 ; 𝑄
7/d
7/abc
𝑑) 𝜋. 𝑥 + 3 = 3𝑥 + 𝜋
4.
Kohanová 1
102 / 8
Určte počet riešení daných rovníc na množine R.
𝑎) 0𝑥 = 2
𝑏) 4𝑥 = 4
𝑐) 4𝑥 = 0
𝑑) 4𝑥 = 0𝑥
𝑒) 0𝑥 = 4
𝑓) 4𝑥 = 8𝑥
𝑔) 4𝑥 = 4𝑥
ℎ) 8𝑥 = 4
𝑖) 8𝑥 = 2.4𝑥
𝑗) 0𝑥 = 8
𝑘) 0𝑥 = 8𝑥
𝑙) 4.2𝑥 = 4
riešenie 𝑗𝑒𝑑𝑛𝑜 𝑟𝑖𝑒š𝑒𝑛𝑖𝑒: 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑓, ℎ, 𝑘, 𝑙 ; ž𝑖𝑎𝑑𝑛𝑒 𝑟𝑖𝑒š𝑒𝑛𝑖𝑒: 𝑎, 𝑒, 𝑗 ; 𝑛𝑒𝑘𝑜𝑛𝑒č𝑛𝑒 𝑣𝑒ľ𝑎 𝑟𝑖𝑒š𝑒𝑛í: 𝑔, 𝑖
5.
Kohanová 1
102 / 6 Overte dosadením, či sú −2 ; 5 riešením rovníc.
𝑎) 𝑥 − 5 = 2. (𝑥 − 2) − 𝑥
𝑏) 4𝑥 = −3𝑥 − 7. (1 − 𝑥) + 7
1
1
1
𝑐) 4. (𝑥 + 1) + (1 − 𝑥) = 5𝑥 − 3. (1 + 2𝑥)
𝑑) − 3 𝑥 = 1 − 2 . (𝑥 + 3)
riešenie 𝑎) 𝑛𝑖𝑒, 𝑛𝑖𝑒 𝑏) á𝑛𝑜, á𝑛𝑜 𝑐) á𝑛𝑜, 𝑛𝑖𝑒 𝑑) 𝑛𝑖𝑒, á𝑛𝑜
6.
Kohanová 1
101 / 4 Riešte rovnice na množine R:
𝑎) 4. (𝑥 + 6) − 8𝑥 = −12
𝑏) 10𝑥 − 6. (3𝑥 − 4) = 24𝑥 − 32
𝑐) 0,2𝑥 + 1,4 = −2,3𝑥 + 6,4
𝑑) 6,3 − 0,9𝑥 = −4,5 + 1,8𝑥
4𝑥−5
3𝑥−4
2𝑥−6
3𝑥−5
30−15𝑥
𝑒) 3 = 2
𝑓) 5 − 2 = −6𝑥 − 3
𝑔) 2. [−(𝑥 + 6) + 3. (𝑥 + 7)] − (𝑥 − 7) = 34
ℎ) 2. (𝑥 + 3) − 4. (3𝑥 − 1) = 5. (3𝑥 − 1) − 7. (𝑥 + 3)
𝑖) 𝑥 − {2 − 𝑥 + 3. [𝑥 − 2. (𝑥 + 4)]} = −[2. (𝑥 − 6) + 5. (3 − 2𝑥)] − 2
𝑗) − {−[−3. (𝑥 − 1) + 2. (𝑥 + 2)]} = 3 − [4 − (2𝑥 − 1)]
7
riešenie 𝑎) 9 𝑏) 4 𝑐) 2 𝑑) 4 𝑒) 2 𝑓) 113 𝑔) − 1 ℎ) 2 𝑖) 9 𝑗) 3
7.
Určte hodnotu X v pyramídach, ak platí, že súčet dvoch susedných tehličiek sa nachádza v tehličke nad nimi.
a)
c)
41
41
X
7
18
b)
7
X
18
d)
41
X
7
55
18
6
riešenie 𝑎) 16 𝑏) 9 𝑐) 8 𝑑) 11
3
X
7
Lineárne rovnice – zátvorky, zlomky
škola
samostatná práca
1/acf
1/bde
2/def
2/abc
3/gh
3/acf
1.
Zb 1
96 / 7 Riešte dané rovnice na množine Z
𝑎) (𝑥 − 3) . (𝑥 + 4) − 2. (3𝑥 − 2) = (𝑥 − 4)2
𝑏) (𝑣 + 5) . (𝑣 + 2) − 3. (4𝑣 − 3) = (𝑣 − 5)2
𝑐) 12 − 2. (𝑦 − 1)2 = 4. (𝑦 − 2) − (𝑦 − 3) . (2𝑦 − 5)
𝑑) (3𝑧 − 1)2 − 5. (2𝑧 + 1)2 + (6𝑧 − 3) . (2𝑧 + 1) = (𝑧 − 1)2
𝑒) 2𝑥 2 + (𝑥 + 5)2 − 2. (𝑥 + 7)2 = 2. (3𝑥 − 72,5) + (𝑥 − 6)2
𝑓) 3. (𝑥 + 1)2 + (𝑥 − 4)2 = 101 + 4. (𝑥 − 3)2
riešenie 𝑎) 8 𝑏) ∅ 𝑐) 3 𝑑) ∅ 𝑓) 3 𝑔) ∅
2.
Zb 1
96 / 8 Riešte dané rovnice na množine N
2𝑥
5𝑥
4𝑥
5𝑥
𝑎) 3 + 2 = 19
𝑏) 9 − 12 = 1
5𝑥−4
16𝑥+1
5−𝑡
𝑐)
18−5𝑡
𝑑) 2 = 7
𝑒) 8 = 12
riešenie 𝑎) 6 𝑏) 36 𝑐) 9 𝑒) 10 𝑓) 3 ℎ) ∅
3.
I.
𝑓)
3𝑥
𝑥
+ −
2
6
4𝑎+33
21
=
2𝑥
= 13
9
17+𝑎
14
Učebnica pre SVŠ
29 , 30 / 152 ... 159
Riešte rovnice v množine R
𝑎) (5𝑥 − 4)2 − (5 − 3𝑥)2 = (3 − 4𝑥)2
𝑏) (6𝑦 − 1)2 − (3𝑦 + 3)2 − 2. (𝑦 2 − 1) = (5𝑦 − 2)2
𝑐) (2𝑧 − 3)2 + (3𝑧 − 4)2 + (4𝑧 − 5)2 = 29𝑧 2 − 26
𝑑) (𝑧 − 3). (𝑧 + 2) − (𝑧 + 2). (𝑧 − 4) = 7
𝑒) (4𝑢 − 1). (9𝑢 + 10) = (2𝑢 − 3). (18𝑢 − 1) + 16
𝑃
𝑃
𝑃
𝑃
𝑃
𝑓) (2𝑥 − 5). (8𝑥 − 1) − (4𝑥 − 3)2 = 12. (𝑥 − 1) − 7
𝑃 = {2}
𝑔) (3𝑣 − 1)2 − 5. (2𝑣 + 1)2 + 2. (6𝑣 − 3). (𝑣 + 1) = (𝑣 − 1)2 + 3. (2𝑣 − 1)
𝑃 = {− }
3
𝑃 = {− 3}
Lineárne rovnice – zátvorky, zlomky
4.
3−7𝑣
𝑒) 2𝑠 −
𝑔)
5.
5𝑥+1
6
=
5
5𝑠−3
−
𝑣+3
=
4
7𝑥−3
8
−
2𝑣−1
5
3𝑠−5
4
=1−
3
; 𝑃 = {5}
; 𝑃=∅
3𝑥−1
4
II.
5/abd
5/cef
Učebnica pre SVŠ
30 / 160 ... 166
7𝑦−1
5+3𝑦
𝑎) 3 + 2 = 5𝑦 − 6 ; 𝑃 = {7}
𝑐) 𝑣 +
1
3
2
ℎ) (𝑝 + 1) − (𝑝 − 1) = 6. (𝑝 + 2). (𝑝 − 1) + 9. (𝑝 + 1) − 9. (𝑝 − 1)
4/bdg
4/acef
1
= {3}
1
3
škola
samostatná práca
9
= {7}
= {−1}
= {1}
= {5}
Riešte rovnice v množine R
𝑡+5
𝑡
𝑡−2
𝑡−3
𝑏) 3 − 2 = 3 − 2 ; 𝑃 = ∅
𝑑)
𝑓)
6+25𝑥
15
3+2𝑦
2
− (𝑥 − 1) =
7
− 6 = 5𝑦 −
2𝑥
+
7
3
5
12𝑦−1
3
; 𝑃=𝑅
; 𝑃=𝑅
; 𝑃 = {1}
Napíšte rovnicu v súčinovom tvare tak, aby jej riešením boli nasledujúce korene.
𝑎) 𝑥1 = 0 ; 𝑥2 = 2
𝑏) 𝑥1 = 3 ; 𝑥2 = −4
𝑐) 𝑥1 = −2 ; 𝑥2 = 2
1
7
2
5
𝑑) 𝑥1 = 7 ; 𝑥2 = −5 ; 𝑥3 = − 2
𝑒) 𝑥1 = −4 ; 𝑥2 = 4 ; 𝑥3 = 1
𝑓) 𝑥1 = 11 ; 𝑥2 = 5 ; 𝑥3 = − 3
6.
Kohanová 1
110 / 8 Riešte dané rovnice na množine R.
𝑎) (𝑥 − 2)2 − 5 = (𝑥 + 3)2
𝑏) 𝑥 2 = (𝑥 − 1)2
𝑐) 20 + (2𝑥 − 1)2 = (2𝑥 + 1)2 − 3𝑥
𝑑) 𝑥 2 − 5 = (𝑥 + 3)2 − 2
𝑒) 5 − 2𝑥 2 = −(𝑥 + 2)2 − (𝑥 − 1)2
1
riešenie 𝑎) − 1 𝑏)
2
𝑓)
2𝑥 2 +6
3
5
+ 𝑥 2 = 3 (𝑥 − 3)2 + 7
𝑐) 4 𝑑) − 2 𝑒) − 5 𝑓) 2
Lineárne rovnice – zátvorky, zlomky
škola
samostatná práca
7.
7/abejls
7 / ostatné
8/b
8/a
Kohanová 1
109 / 1 Riešte dané rovnice na množine R.
(𝑥
𝑎) 𝑥. − 2) = 0
𝑏) 6𝑥. (𝑥 + 2) = 0
𝑐) (𝑥 − 5). (𝑥 + 7) = 0
2
𝑑) (4𝑥 − 3). (2𝑥 + 9) = 0
𝑒) (𝑥 − 4). (𝑥 + 3) = 0
𝑓) (𝑥 − 1). (𝑥 + 3). (𝑥 − 2) = 0
2
2
𝑔) 5𝑥 = 0
ℎ) 4𝑥 − 16 = 0
𝑖) 𝑥 2 − 16𝑥 + 64 = 0
𝑗) ∗ (2𝑥 + 3). (𝑥 − 2). (4𝑥 − 1) = 2𝑥. (𝑥 − 2) − 3. (𝑥 − 2)
𝑘) 𝑥 2 − 13𝑥 + 36 = 0
𝑙) 𝑥 2 + 64 = 0
𝑚) 81𝑥 2 = 9𝑥
𝑛) 5𝑥. (𝑥 + 7) = 2𝑥
2
2
𝑜) (𝑥 + 2) = 𝑥 − 4
𝑝) 𝑥 2 . (𝑥 − 7) = 4. (𝑥 − 7) 𝑟) 𝑥 2 − 12𝑥 + 20 = (𝑥 − 2). (𝑥 + 2)
𝑠) ∗ 𝑥 3 + 𝑥 2 − 12𝑥 = 4. (𝑥 − 3) − 𝑥. (3 − 𝑥)
3
9
riešenie 𝑎) 𝑃 = {0 ; 2} 𝑏) 0 ; −2 𝑐) 5 ; −7 𝑑) 4 ; − 2 𝑒) ± 2 ; −3 𝑓) − 3 ; 1 ; 2 𝑔) 0 ℎ) ± 2
𝑖) 8 𝑗) − 1 ; 0 ; 2 ; 5 𝑘) 4 ; 9 𝑙) ∅ 𝑚) 0 ;
8.
III.
1
9
𝑛) 0 ; −
33
5
𝑜) − 2 𝑝) ± 2 ; 7 𝑟) 2 𝑠) − 4 ; 1 ; 3
Riešte dané rovnice na množine R:
𝑡 2 −3
𝑎) (𝑥 + 5). (𝑥 + 2) − 3. (4𝑥 − 3) = (𝑥 − 5)2
𝑡+1
4
𝑏) 1−𝑡 2 + 𝑡−1 = 1+𝑡
6
riešenie 𝑎) 𝑃 = {5} 𝑏) 𝑃 = {4}
9.
Vyriešte dané rovnice na množine R
𝑎) 10𝑥 − 1 = 15 − 6𝑥
𝑏) 2 𝑥 + 5 =
𝑑) 9𝑥 − 8 = 11𝑥 − 10
𝑒) 2 + 3 = 5
2
𝑔) 𝑥 − 3 =
𝑗) 3 − 𝑦 +
5𝑥
7
5𝑦
6
𝑥
1
+2
1
3
𝑥
5𝑥
2
𝑦
𝑥
17
𝑖) − 19 𝑥 + 51 = 0
𝑥
𝑘) 1,2 − 1,2 + 4,5𝑥 − 4,5 = 5,6 + 𝑥
𝑚) 2𝑎 − (8𝑎 + 1) − (𝑎 + 2). 5 = 9
3
𝑥
𝑓) 7 + 3 = 8 + 4
𝑥
ℎ) 2𝑥 − 2 + 4 = 𝑥 + 3
=2−8
1
𝑐) 1 2 . 𝑥 − 2 = 3 4 𝑥 − 9
𝑥
𝑥
1
1
−1
3
𝑛) 2 5 + 𝑥 = 8. (−4,5) − (−2𝑥)
3
1
5
𝑒
𝑙) 3 . (𝑒 − 6) = 7 + 22
5𝑥
4
𝑜) 8 2 𝑥 + 2,5 = 10,7 + 1 4 𝑥 + 2
𝑝) 8 . [10. (𝑥 − 5) + 𝑥] = 4𝑥 − 6 4
𝑞)
𝑟) 2 −
𝑠) − 1 − 5. [2𝑥 − 8. (2𝑥 − 3)] = 19
𝑡) − 1 −
5
3𝑥−2
0,2
=
𝑥−0,1
riešenie
20
0,3
49
9
𝑎) 1 𝑏) 6 𝑐) 4 𝑑) 1 𝑒) 6 𝑓) 12 𝑔) 12 ℎ) − 24 𝑖) 57 𝑗) 60 𝑘)
𝑙) 21 𝑚) − 11 𝑛)
193
5
68
3
𝑜) 45 𝑝) 100 𝑞) 5 𝑟)
7
10
1
𝑠) 2 𝑡) − 5
− 15 =
9
5
2𝑥−1
3𝑎−𝑎
4
3
=
2𝑎−5
6
10. Vyriešte dané rovnice na množine R.
2
18
riešenie 𝑎) 18 𝑏) − 2 𝑐) 32 𝑑) 5 𝑒) 9 𝑓) − 5 𝑔) 𝑅 ℎ) 10 𝑖)
24
𝑛) 7 𝑜) − 9 𝑝) 17 𝑞) − 11 𝑟)
49
19
5
6
𝑠) 8 𝑡)
2
5
𝑘)
1
𝑙) 2 𝑚) ∅
2
5
Rovnice s neznámou v menovateli
škola
samostatná práca
𝑗)
I.
1
2/3
pozn. Pri rovniciach s neznámou v menovateli určíme definičný obor alebo na záver vykonáme skúšku.
1.
1
Riešte dané rovnice v množine R: 𝑎) 𝑥 − 3 + 𝑥−2 = 𝑥 − 4 −
𝑏)
𝑥+11
𝑥−7
1
𝑥+7
5
2.
1
5
𝑥 𝑥−1
−
3
2
𝑥 𝑥+1
−
3
4
2𝑥+19
5𝑥 2 −5
6𝑦−2
;𝑃 = { }
3𝑥
98/16 Riešte dané rovnice na množine Z:
Zb 1
3𝑡−1
𝑡−3
3𝑢−5
2𝑢−5
𝑢−2
=1
98 / 17 Riešte dané rovnice na množine R:
Zb 1
12
1−3𝑥
𝑡 2 −3
1+3𝑥
𝑏) 1−9𝑥 2 = 1+3𝑥 + 3𝑥−1
3
17
− 1−𝑥 = 3 + 𝑥 2 −1 ; 𝑃 = {3}
= 𝑥 ; 𝑃 = {−2}
𝑓) 3𝑡+1 = 2 − 𝑡+3
𝑔) 𝑢−1 −
riešenie 𝑎) ∅ 𝑒) 10 𝑓) ∅ 𝑔)3 𝑗) 5
3.
7
2−𝑥
+ 𝑥−11 = 2 ; 𝑃 = {9} ; 𝑐) 2𝑦−3 + 4𝑦−6 = 6 − 10𝑦−15 ; 𝑃 = {−33}
𝑑) 𝑥−3 − 𝑥+2 = 𝑥 2 +6 ; 𝑃 = {−12} ; 𝑒)
𝑓)
3𝑦+8
2𝑥−3
4
𝑡+1
4
𝑐) 1−𝑡 2 + 𝑡−1 = 1+𝑡
7
𝑒) ∗ (2𝑥+5)2 + (2𝑥+1)2 = (2𝑥+5) .(2𝑥+1)
riešenie 𝑎) 1 𝑏) − 1 𝑐) 4 𝑑) 5 𝑒) − 8,5 𝑓) 0
𝑎)
1
−
2𝑥
14
1
5𝑥
=1
𝑒)
2+𝑧
3
𝑥
𝑥−5
5
𝑗) 3𝑧−12 − 𝑧−4 = 8−2𝑧 − 6
2𝑥−1
2𝑥+1
8
𝑎) 2𝑥+1 = 2𝑥−1 + 1−4𝑥 2
𝑑)
𝑦 2 +17
𝑦 2 −1
2
𝑦−2
5
= 𝑦+1 − 1−𝑦
7
5
𝑓) ∗ (1−𝑧)2 = (1+𝑧)2 − (1−𝑧)2
=
𝑥−2
𝑥−6
Rovnice s neznámou v menovateli
škola
samostatná práca
4.
4/de
4/abc
6/def
6/abc
7/a
7/b
𝑥
𝑎
𝑏) 𝑎 − 2𝑥 =
2𝑥+𝑎
𝑎
−𝑥
2𝑎
𝑎𝑥−𝑏
𝑎𝑥+𝑏
𝑐) ∗
𝑎
𝑥+𝑚
riešenie 𝑎)𝑥 =
𝑏
𝑥−𝑛
1−𝑎
𝑏) 𝑥 = 𝑎 𝑐) 𝑥 =
𝑥+𝑛
8
2
𝑑)
𝑥+𝑎
𝑑) ∗
2−𝑎2
2
𝑛
2
− 𝑥+𝑎 =
𝑥−𝑎
2
𝑎+𝑏
𝑒) 𝑥 = 𝑚 . 𝑎−𝑏
𝑎
2
1
2
MAT 1 223 / 5 Riešte rovnice v množine R:
5
3
2
1
2
𝑥+1
𝑥−3
𝑎) + + = 20
𝑏)
−
=0
𝑐)
=
𝑥
𝑥
𝑥−4
𝑥
𝑥+4
𝑥−1
1
𝑒) 2𝑥−2 + 2𝑥+2 = 1
𝑥−2
1
𝑥+3
𝑥−10
𝑑)
𝑥+9
1
𝑥2
+
1
2𝑥
=
4
𝑥
𝑓) 3𝑥+6 − 𝑥−4 = (𝑥+2).(𝑥−4)
1
riešenie 𝑎) 2 𝑏) 0 𝑐) − 1,8 𝑑)
7.
𝑚+𝑛
1
Zb 1
99 / 19 Z nasledujúcich rovníc postupne vyjadrite všetky veličiny:
1
1
1
𝑣 −𝑣
𝑟 .𝑟
𝑎+𝑏
𝑎) 𝑅 = 𝑅 + 𝑅
𝑏) 𝑎 = 1 𝑡 2
𝑐) 𝑅 = 𝑟 1+𝑟2
𝑑) 𝑆 = 2 . 𝑣
1
6.
𝑎
𝑎) 𝑥 − 1 = 𝑥 − 9
+ 𝑥−𝑚 = 2
𝑒) ∗ 𝑚𝑥−𝑚 − 𝑛𝑥−𝑛 = 𝑚 − 𝑛
5.
8/ifjn
8/ackm
98 / 18 Vyjadrite z daných rovníc neznámu x:
Zb 1
II.
2
𝑒) ∅ 𝑓) ∅
7
Učebnica 1. roč. 224 / 6 Riešte rovnice v množine N: 𝑎)
riešenie 𝑎) ∅ 𝑏) 6
2−𝑥
3
2+𝑥
2−𝑥+
4
2+𝑥+
8
= 13
𝑏)
1 1
+
3 𝑥
1 1
−
3 𝑥
=
Riešte rovnice s neznámou v menovateli
8.
1
2
1
6
𝑎) 𝑥−2 − 3.(𝑥−2) = 3 , 𝑃 = {3}
𝑥
𝑥+3
𝑏) 𝑥−5 + 1 =
1
(𝑥+1)3
𝑥3
−
2
(𝑥+1)2
2𝑧+3
1
1
1
3
1
24
𝑔) 𝑦−3 − 𝑦+2 = 𝑦+6 , 𝑃 = {− 7 }
3𝑥
1
𝑖) 𝑥−2 + 2−𝑥 + 1 =
2
1
3𝑥+3
1
𝑥−2
5
10−7𝑥
𝑥−1
2
1
𝑟+2
3𝑟 2 +𝑟+9
1
3.(𝑟 2 −4)
𝑥 2 −2
ℎ) 𝑟−2 − 1 =
4
+ 2−𝑥 , 𝑃 = ∅
𝑘) 1−𝑥 2 − 𝑥+1 = 1−𝑥 , 𝑃 = 𝑅 − {±1}
𝑚) 𝑥+1 − 7 =
,𝑃 = ∅
𝑓) 𝑣+1 = 𝑣+3 + 𝑣−2 , 𝑃 = {17}
= 𝑥 , 𝑃 = {− 2}
𝑥2
𝑥−5
2𝑧+9
𝑑) 𝑧+12 = 𝑧+22 , 𝑃 = {3}
𝑐) 1 + 1−2𝑥 = 2𝑥+1 , 𝑃 = {3}
𝑒)
2𝑥−4
1
𝑗) 𝑥 2 +𝑥 + 𝑥 2 −𝑥 + 𝑥 2 −1 = 1 , 𝑃 = ∅
1,1−0,1𝑥
1,01−0,01𝑥
𝑙) 1,2𝑥−0,2 = 0,12𝑥−1,82 ; 𝑃 = {−2}
𝑥
; 𝑃 = {4}
𝑛) ∗ 𝑥 2 −𝑥−12 + 2 +
11+3𝑥
𝑥+3
Rovnice s neznámou v menovateli
škola
samostatná práca
9.
Učebnica pre SVŠ
𝑥−
𝑎) 3
𝑐)
𝑒)
2
3
−𝑥
2
𝑥 1
−
3 12
𝑥 1
+
4 6
2
3
2
+𝑥
3
9/bdf
9/ace
1
4
1
−
28 6
2
2
𝑥+
4
3
3
2
3
𝑥+
3
−
= −
III.
10 / h j s t
𝑦 3
+
4
3
−
3 4
𝑧
−2
2
8
𝑥
5𝑥
= 𝑥−4 ; 𝑃 = {−4}
38 / 236 ... 241
𝑏) 𝑦3
+ 3 = 0 ; 𝑃 = {2}
= 21
𝑥
𝑟−2
− 𝑟+2 , 𝑃 = {27}
𝑦+3
9
= 𝑦−4 ; 𝑃 = {− 10}
𝑧
+2
2
𝑑) 𝑧−1 + 𝑧+1
= 1; 𝑃 ={ }
; 𝑃 = {14}
2
; 𝑃 = {3}
2𝑦 1
−
3
3
𝑓) 3𝑦
2
−1
+
5𝑦 4
−
3 3
2
𝑦−
3
= 2 ; 𝑃 = {2}
𝑥
+1
3
𝑥
6
10. Určte podmienky riešiteľnosti a vyriešte dané rovnice
riešenie
Iracionálne rovnice
I.
Úvod Ide o rovnice, v ktorých je neznáma pod odmocninou. Riešime ich dôsledkovými úpravami, tak že
umocňujeme obe strany rovnice pokiaľ neodstránime všetky odmocniny, v ktorých je neznáma. Pri riešení
rovníc je vždy potrebné vykonať skúšku.
škola
samostatná práca
1
2/de
2/abc
3/cfikl
Riešte dané rovnice na množine R
1.
𝑎) √𝑥 − 2 = √2𝑥 − 3
𝑏) √𝑥 2 − 39 = 𝑥 − 3
𝑑) √3𝑥 − 17 − √133 − 2𝑥 = 0
𝑒) √𝑥 + 11 + √𝑥 − 1 = 6
50
riešenie 𝑎) ∅ 𝑏) 8 𝑐) 3 𝑑) 30 𝑒) 5
2.
𝑎) 2. √𝑥 + 1 + √4𝑥 − 3 = 3
𝑐) 2. √3𝑥 + 16 = 3. √2𝑥 − 4
𝑏) √15 − 𝑥 + √3 − 𝑥 = 6 𝑐) √𝑥 + 1 − 3. √𝑥 − 5 = √𝑥 − 1
𝑒) √9𝑥 2 + 4. √6𝑥 + 2 = 3𝑥 + 2
𝑑) 2. √𝑥 − 2 + √4𝑥 + 2 = √8𝑥 − 6
7
1
riešenie 𝑎) 9 𝑏) − 1 𝑐) 9 𝑑) 2 𝑒) ± 3
3.
Kohanová 1
110 / 7 Riešte dané rovnice na množine R.
𝑎) √3𝑥 + 1 = √4𝑥 − 7
𝑏) √−2𝑥 + 1 = √−𝑥 − 5
𝑐) √4𝑥 + 1 = 7
2
2
𝑑) √𝑥 + 2𝑥 + 1 = 4
𝑒) √𝑥 + 6𝑥 + 9 = √−𝑥 + 9
𝑓) √𝑥 2 − 16 = 𝑥 − 4
𝑔) 𝑥 − 1 = √𝑥 2 + 1
ℎ) √𝑥 2 + 𝑥 + 1 − 𝑥 = 0
𝑖) √𝑥 2 − 6𝑥 + 9 − 2 = 0
𝑗) √𝑥 2 + 6𝑥 + 9 + 2 = 0
𝑘) 𝑥 + √𝑥 2 + 𝑥 + 3 = 2
𝑙) 𝑥 − √𝑥 2 + 𝑥 + 3 = 2
1
riešenie 𝑎) 8 𝑏) ∅ 𝑐) 12 𝑑) 3 ; −5 𝑒) − 7 ; 0 𝑓) 4 𝑔) ∅ ℎ) ∅ 𝑖) 1 ; 5 𝑗) ∅ 𝑘) 5 𝑙) ∅
Iracionálne rovnice
škola
samostatná práca
4
II.
6/aceg
6/bdf
4.
Učebnica pre SVŠ
82 / 120
Ktoré z daných rovníc majú / nemajú riešenie. Vysvetlite prečo. Tie
rovnice, ktoré majú riešenie vyriešte.
𝑎) √𝑥 + 2 = 3
𝑏) √𝑥 + 2 = −3
𝑐) − √𝑥 + 3 = 3
𝑑) − √𝑥 + 3 = −3
𝑒) √2𝑥 + 1 = 5
𝑓) √2𝑥 + 1 = −5
𝑔) − √3𝑥 + 2 = 6
ℎ) − √3𝑥 + 2 = −6
5.
Učebnica pre SVŠ
82 / 123
Riešte rovnice na množine R.
𝑏) √4𝑥 + 4 = √5𝑥 − 4
𝑐) √𝑥 2 − 39 = 𝑥 − 3
𝑑) 2. √3𝑧 + 6 = 3. √2𝑧 − 4
𝑒) √3𝑧 − 17 = √133 − 2𝑧
riešenie 𝑎) ∅ 𝑏) 8 𝑐) 8 𝑑) 10 𝑒) 30
6.
Učebnica pre SVŠ
83 / 128 , 129 Riešte rovnice na množine R. 𝑎) √5 + 𝑥 + √5 − 𝑥 = √10
𝑏) √5 + 𝑥 + √5 − 𝑥 = 4
𝑐) ∗ √𝑥 + 5 − √𝑥 2 − 7 = 0
𝑑) √𝑥 + 5 + √𝑥 − 2 = 7
𝑒) √𝑥 + √𝑥 + 9 = 9
𝑓) √𝑥 + 3 + √𝑥 = 4
𝑔) √𝑥 + 27 = 2 + √𝑥 − 5
169
riešenie 𝑎) ± 5 𝑏) ± 4 𝑐) − 3 ; 4 𝑑) 11 𝑒) 16 𝑓) 64 𝑔) 54
𝑎) √𝑥 − 2 = √2𝑥 − 3
Lineárne nerovnice a ich sústavy
Lineárna nerovnica má tvar
I.
x – neznáma
𝑎. 𝑥 + 𝑏 ≠ 0 ; 𝑎 , 𝑏 ∈ 𝑅 , 𝑎 ≠ 0
pri násobení nerovnice záporným výrazom meníme znamienko nerovnosti na opačné
pozn.
Sústavu nerovníc s jednou neznámou riešime tak, že určíme obor pravdivosti každej nerovnice. Obor
pravdivosti sústavy je ich prienikom.
škola
samostatná práca
1.
1/2/3
4/5
𝑏) 𝑥 ∈ 𝑅 ;
2𝑥+1
3
<
𝑑) 𝑥 ∈ 𝑁 ; 4𝑥 −
3𝑥+2
6
3𝑥+1
4
𝑎) 𝑥 ∈ 𝑅 ; 10𝑥 + 2 ≥ 3. (𝑥 − 1) +
; 𝑃 = (−∞ ; 0)
3𝑥
4
22
; 𝑃 =< − 25 ; ∞)
𝑐) 𝑥 ∈ 𝑁 ; 3𝑥 − 2 < 2. (0,1𝑥 + 3) ; 𝑃 = {1 ; 2}
≥ 18 ; 𝑃 = {6 ; 7 ; 8 ; … }
𝑒) 𝑥 ∈ (−20 ; 20 > ; −6. (𝑥 + 18) ≤
2.
5
Riešte nerovnice na daných množinách:
𝑥−3
4
; 𝑃 =< −
429
25
; 20 >
7
Riešte dané sústavy pre 𝑥 ∈ 𝑅 : 𝑎) 3. (−𝑥 + 2) ≥ 𝑥 − 1 ; 3 < 2𝑥 + 1 ; 𝑃 = (1 ; 4 >
49
𝑏) 5. (𝑥 + 1) < 13𝑥 + 0,1 ; 0,1. 𝑥 < 5. (𝑥 − 0,3) ; 𝑃 = (80 ; ∞)
88
𝑐) − 7𝑥 − 1 ≤ 6. (0,2. 𝑥 − 3,1) < 𝑥 + 1,2. (𝑥 + 1) ; 𝑃 =< 41 ; ∞)
3.
Zb 1. roč. 101 / 39
Nájdite najväčšie celé číslo, ktoré je riešením nerovnice
16−𝑥
𝑥−1
𝑥−3
−
(3
−
)
<
4,8
−
10
5
10
riešenie 𝑥 = 33
4.
Zb 1
100 / 26
Riešte na množine R
𝑎) 12𝑥 − 1 < 3. (4𝑥 − 3)
𝑏) (𝑥 − 1)2 − (𝑥 − 7) . (𝑥 − 3) < 2𝑥 + 0,8
52
riešenie 𝑎) ∅ 𝑏) (−∞ ; 15)
5.
Zb 1
𝑐)
4−𝑥
5
Riešte na množine R
100 / 27
−𝑥 <2
𝑑)
2𝑥−1
4
−
𝑥+3
7
2
𝑎)
>1
𝑒)
3+𝑥
4
𝑥−1
2
+
−
2−𝑥
3
𝑥−4
3
<0
𝑏) 𝑥 −
škola
samostatná práca
6
7/pqst
7/nr
𝑥
5𝑥+2
6.
Riešte danú sústavu pre 𝑥 ∈ 𝑅 ∶ 3 −
7.
Vyriešte dané nerovnice v množine R
6
1
>2 ;
II.
8/hp
8/go
1+𝑥
4
≤
𝑥−3
8
5
> 2𝑥 − 1 ; 2𝑥 −
riešenie 𝑎) (17 ; ∞) 𝑏) (−∞ ; 2) 𝑐) (−1 ; ∞) 𝑑) ∅ 𝑒) (−7 ; 1)
Lineárne nerovnice a ich sústavy
𝑥−3
; 𝑃 = (−∞ ; −5 >
+
2𝑥−1
𝑥−5
3
10
<4
>𝑥−3
riešenie
8.
Vyriešte dané sústavy
riešenie
Sústava dvoch lineárnych rovníc s dvomi neznámymi
𝑎11 . 𝑥 + 𝑎12 . 𝑦 = 𝑏1
; 𝑎11 … 𝑏2 ∈ 𝑅
𝑎21 . 𝑥 + 𝑎22 . 𝑦 = 𝑏2
Def Je to sústava rovníc tvaru:
I.
x , y – neznáme
Riešením
danej sústavy je usporiadaná dvojica čísel [𝒙𝟎 ; 𝒚𝟎 ] po dosadení, ktorých za neznáme x , y
dostaneme pravdivé výroky.
Metódy riešenia
dosadzovacia , sčítacia , porovnávacia , grafická , pomocou determinantov
Pr. 1. Riešte dané sústavy v množine R x R :
3x − 2y = 6
a)
sčítacia metóda
12x − 8y = 24
𝑏)
7𝑥 + 8𝑦 = −3
−14𝑥 − 16𝑦 = 4
dosadzovacia metóda
𝑐)
2𝑥 + 𝑦 = 5
−2𝑥 + 3𝑦 = −1
grafická metóda
vyjadriť y
P = {[x ;
3x−6
]}
2
𝑃={ }
𝑃 = {[2 ; 1]} G1 4 / 6 Grafické riešenie sústavy 2x2
záver sústava dvoch rovníc môže mať jedno , žiadne alebo nekonečne veľa riešení (súvis s koeficientmi)
Riešenie rovníc pomocou determinantov – Cramerovo pravidlo:
7𝑥 + 6𝑦 = 18
Pr. 2. Riešte rovnicu:
3𝑥 − 10𝑦 = 14
(nepovinné učivo)
7
6
)
3 −10
a) ľavú časť danej sústavy prepíšeme vo forme matice 2 x 2: 𝐴 = (
b) vypočítame determinant danej matice, ide o číslo, ktorého hodnotu určíme pre maticu 2 x 2 podľa pravidla
|𝑨| = 𝒂𝟏𝟏 . 𝒂𝟐𝟐 − 𝒂𝟏𝟐 . 𝒂𝟐𝟏 (načrtnúť aj grafickú pomôcku pre výpočet determinantu)
|𝐴| = −88
c) ak |𝑨| = 𝟎
Cramerovo pravidlo nemôžeme použiť, ak |𝑨| ≠ 𝟎 nahradíme postupne jednotlivé
stĺpce v matici pravou stranou sústavy a vypočítame determinanty týchto matíc
d) 𝐴1 = (
e) 𝑥 =
18
6
7
) ; 𝐴2 = (
14 −10
3
|𝐴1 |
|𝐴|
=
−264
−88
škola
samostatná práca
1.
=3 ; 𝑦=
|𝐴|
44
|𝐴1 | = −264 ; |𝐴2 | = 44
1
1
= −88 = − 2
𝑃 = {[3 ; − 2]}
1
2
Zb 1
127 / 28
𝑥 =2+𝑦
𝑎)
3𝑥 − 2𝑦 = 9
𝑒)
|𝐴2 |
18
)
14
𝑥 − 3𝑦 − 12 = 0
2𝑥 + 4𝑦 − 90 = 0
Riešte dané sústavy v 𝑁 × 𝑁 najvýhodnejším spôsobom:
𝑥 = 3 + 2𝑦
𝑦 = 11 − 2𝑥
𝑦 = 2 − 4𝑥
𝑏)
𝑐)
𝑑)
5𝑥 + 𝑦 = 4
5𝑥 − 4𝑦 = 8
8𝑥 + 3𝑦 = 5
𝑓)
𝑥 + 5𝑦 − 7 = 0
3𝑥 − 2𝑦 − 4 = 0
𝑔)
2𝑥 + 5𝑦 = 15
3𝑥 + 8𝑦 = −1
riešenie 𝑎) [5 ; 3] 𝑏) ∅ 𝑐) [4 ; 3] 𝑑) ∅ 𝑒) ∅ 𝑓) [2 ; 1] 𝑔) ∅ ℎ) ∅
ℎ)
2𝑥 + 3𝑦 = −4
5𝑥 + 6𝑦 = −7
2.
Riešte dané sústavy v 𝑍 × 𝑍 najvýhodnejším spôsobom:
𝑥 − 3𝑦 − 4 = 0
4𝑥 + 3𝑦 + 4 = 0
𝑥 + 5𝑦 = 7
𝑏)
𝑐)
𝑑)
2𝑥 + 𝑦 − 4 = 0
𝑥 − 3𝑦 = −1
5𝑥 + 3𝑦 + 1 = 0
Zb 1
127 / 29
2𝑥 + 𝑦 = 11
𝑎)
3𝑥 − 𝑦 = 9
𝑒)
7𝑥 − 3𝑦 − 15 = 0
5𝑥 + 6𝑦 − 27 = 0
𝑓)
12𝑥 + 16𝑦 + 1 = 0
3𝑥 + 4𝑦 + 2 = 0
𝑔)
28𝑥 + 35𝑦 + 3 = 0
12𝑥 + 15𝑦 + 25 = 0
ℎ)
7𝑥 + 3𝑦 + 1 = 0
4𝑥 − 5𝑦 + 17 = 0
riešenie 𝑎) [4 ; 3] 𝑏) [2 ; 1] 𝑐) ∅ 𝑑) [8 ; −12] 𝑒) [3 ; 2] 𝑓) ∅ 𝑔) ∅ ℎ) ∅
Sústava dvoch lineárnych rovníc s dvomi neznámymi
škola
samostatná práca
3.
3/adfg
3/bceh
8/d
4* / 5* / 6*
II.
7/ghi
Zb 1
127 / 31
Riešte dané sústavy v 𝑅 × 𝑅
2. (𝑥 + 𝑦) − 3. (𝑥 − 𝑦) = 4
5. (3𝑥 + 𝑦) − 8. (𝑥 − 6𝑦) − 200 = 0
𝑎)
𝑏)
4. (𝑥 + 𝑦) − 7. (𝑥 − 𝑦) = 2
20. (2𝑥 − 3𝑦) − 13. (𝑥 − 𝑦) − 520 = 0
𝑥+1
𝑐)
3
𝑥−3
4
−
−
𝑦+2
4
𝑦−3
3
=
2.(𝑥−𝑦)
2𝑥−𝑦+3
5
3
3𝑥−4𝑦+3
𝑑)
= 2𝑦 − 𝑥
4
−
+
𝑥−2𝑦+3
=4
4
4𝑥−2𝑦−9
3
=4
𝑒)
(𝑥 + 3). (𝑦 + 5) = (𝑥 + 1). (𝑦 + 8)
(𝑥 + 5). (𝑦 − 2) = (𝑥 + 2). (𝑦 − 1)
𝑓)
(2𝑥 − 3). (5𝑦 + 7) = 2. (5𝑥 − 6). (𝑦 + 1)
(𝑥 − 4). (𝑦 + 7) = (𝑥 − 3). (𝑦 + 4)
𝑔)
(𝑥 + 4) ∶ (𝑦 + 1) = 2 ∶ 1
(𝑥 + 2) ∶ (𝑦 − 1) = 3 ∶ 1
17
𝑥−1
𝑦−6
ℎ) 𝑥+15 = 𝑦+2 ;
𝑥−3
𝑥
𝑦−4
= 𝑦−1
5
riešenie 𝑎) [ 2 ; 2] 𝑏) [21 ; 1] 𝑐) [11 ; 6] 𝑑) [7 ; 5] 𝑒) [3 ; 1] 𝑓) [7 ; 5] 𝑔) [4 ; 3] ℎ) [9 ; 10]
4𝑥 + ⎕. 𝑦 = ⎕
miesto štvorčekov čísla (môžu byť aj rôzne) tak, aby platilo:
⎕. 𝑥 + 𝑦 = 3
a) riešením sústavy je 𝑥 = 2 ; 𝑦 = −1
b)
sústava má nekonečne veľa riešení
c) sústava nemá žiadne riešenie
riešenie a) napr. 7 ; 1 ; 2
b) napr. 2 ; 6 ; 2
c) napr. 2 ; 5 ; 2
4.* Doplňte do rovníc
5.* Kohanová 1
107 / 1 Vyjadrite X pomocou Y ak súčet čísel v dvoch tehličkách je nad nimi.
a)
b)
18
18
X
X
Y
-2
Y
-2
riešenie 𝑎) 𝑥 = 20 − 2𝑦 𝑏) 𝑥 = 8 − 0,5. 𝑦
6.* Existuje dvojica čísel [𝑥 ; 𝑦], ktorá sa dá doplniť do obidvoch číselných pyramíd z predchádzajúcej úlohy? Ak
áno nájdite ju.
riešenie Existuje, 𝑥 = 4 ; 𝑦 = 8
7.
Kohanová 1
107 / 4 Vyriešte nasledujúce sústavy na množine 𝑅 × 𝑅.
3𝑥 + 𝑦 = −12
4𝑥 + 3𝑦 = 20
0,7𝑥 − 0,5𝑦 = −0,5
𝑎)
𝑏)
𝑐)
2𝑥 − 𝑦 = −8
−2𝑥 − 3𝑦 = −16
𝑥 + 3𝑦 = 29
10𝑥 + 𝑦 = 12,1
𝑑)
𝑥 + 10𝑦 = 2,2
𝑥−1
𝑔)
4
𝑥
3
+
+
𝑦+2
3
7𝑦−1
9
𝑥
1,2𝑥 − 0,4𝑦 = 3
𝑒)
6𝑥 − 2𝑦 = 10
3𝑥
=4
ℎ)
=6
7
𝑥
+
−2 +
2𝑦
3
7𝑦−1
3
=
𝑓)
𝑦
+3=3
2
𝑥−1
4
21
=−
6
𝑦
+5=2
3
𝑥
𝑖)
11
3
𝑥+15
𝑥−3
𝑥
=
𝑦−6
𝑦+2
𝑦−4
= 𝑦−1
1
riešenie 𝑎) [−4 ; 0] 𝑏) [5 ; 8] 𝑐) [2 ; 4] 𝑑) [5 ; 10] 𝑒) ∅ 𝑓) [6 ; 0] 𝑔) [9 ; 4] ℎ) [2 ; −1] 𝑖) [9 ; 10]
129 / 34
Riešte dané sústavy v 𝑅 × 𝑅
1
1
pouvažujte o vhodnej substitúcii napr.
= 𝑢 ;𝑦 = 𝑣
𝑥
8.* Zb 1
návod
1
𝑎)
𝑥
1
1
3
1
𝑥
15
+𝑦 =5
𝑏)
−𝑦 =1
𝑥
1
𝑒) ∗
𝑥+𝑦
1
𝑥
1
5
1
3
+ 𝑥−𝑦 = 8
− 𝑥+𝑦 = 8
𝑥−𝑦
1
1
𝑓)
8
1
+𝑦 =3
𝑐)
4
−𝑦 =4
1
𝑥−𝑦+2
+
𝑥
3
𝑥
𝑦
1
1−𝑥−𝑦
10
3
+𝑦 =2
= 0,1 ;
𝑑) ∗
1
=6
1
𝑥−𝑦+2
𝑥−5
25
𝑥−5
+
1
𝑥+𝑦−1
= 0,3
riešenie 𝑎) [3 ; 2] 𝑏) [3 ; 4] 𝑐) [1 ; 6] 𝑑) [10 ; −3] 𝑒) [5 ; 3] 𝑓) [7 ; 4]
9.
Vyriešte dané sústavy
riešenie
1
+ 𝑦+2 = 1
3
+ 𝑦+2 = 2
10. Vyriešte dané sústavy
riešenie
Písomná práca
Témy - lineárne rovnice – zátvorky, zlomky, rovnice s neznámou v menovateli
- iracionálne rovnice
- lineárne nerovnice s jednou neznámou a ich sústavy
- sústava dvoch lineárnych rovníc – sčítacia a dosadzovacia metóda
Absolútna hodnota reálneho čísla
Absolútnou hodnotou reálneho čísla „a“
𝑎𝑘 𝑎 ≥ 0 𝑝𝑜𝑡𝑜𝑚 |𝑎| = 𝑎
𝑎𝑘 𝑎 < 0 𝑝𝑜𝑡𝑜𝑚 |𝑎| = −𝑎
Geometrický význam
začiatku.
Vlastnosti
absolútna hodnota udáva vzdialenosť obrazu reálneho čísla na číselnej osi od jej
1) |𝑎| = |−𝑎| ;
škola
samostatná práca
nazývame číslo, ktoré označujeme |𝒂| a pre ktoré platí:
2) |𝑎| = √𝑎2 ; 3) |𝑎 − 𝑏| = |𝑏 − 𝑎| ; 4) |𝑎 + 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏|
1/2/3
4/5/6
1.
Vypočítajte:
𝑎) |−3 + (−8)| − (2 − 4) = {13} ; 𝑏) |−6 − 3| − |2 − 11| + |3 + (−2)| = {1}
𝑐) |2 − 5| + |−0,5. (−2)| − |0,8. (−4)| = {0,8}
2.
Znázornite dané množiny na číselnej osi a zapíšte ich pomocou intervalov:
𝑎) 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑅 ; |𝑥| ≥ 4} ; 𝑏) 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑅 ; |𝑥| < 5} ; 𝑐) 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑅 ; |𝑥 + 3| ≤ 4}
𝑑) 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅 ; |𝑥 − 4| ≥ 2}
3.
Vypíšte prvky patriace do daných množín:
𝑎) 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑍 ; |𝑥 − 4| < 1}
𝑏) 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑍 ; |𝑥 + 11| < 3}
𝑐) 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑁 ; |𝑥 − 4| ≥ 2}
riešenie 𝐴 = {4} 𝐵 = {−13 ; −12 ; −11 ; −10 ; −9} 𝐶 = {1 ; 2 ; 6 ; 7 ; … }
4.
Znázornite dané množiny na číselnej osi a zapíšte ich pomocou intervalov:
𝑎) 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑅 ; |𝑥 − 7| ≥ 6} ; 𝑏) 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑅 ; |𝑥 + 3| < 8} ; 𝑐) 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑅 ; |𝑥 − 6| ≤ 0}
5.
Zoraďte dané čísla od najväčšieho po najmenšie:
𝑎 = |3 − 𝜋| ; 𝑏 = |2 − 1| ; 𝑐 = |4 − 𝜋| ; 𝑑 = |−0,5| ; 𝑒 = |2 − 𝜋| ; 𝑓 = |0,3 − 0, 3̅|
riešenie
6.
Zoraďte dané čísla od najväčšieho po najmenšie:
𝑎 = |1,414 − √2|; 𝑏 = | 7 − 𝜋| ; 𝑐 = |√3 − 1,732|
𝑑 = |0,2 − 0, 2̅| ; 𝑒 = |6,28 − 2𝜋| ; 𝑓 = |√5 − √2 − 0,821|
riešenie
22
Lineárne rovnice s absolútnou hodnotou
Úvod sú to rovnice, v ktorých sa neznáme vyskytuje v absolútnej hodnote
- pri ich riešení využívame definíciu absolútnej hodnoty a nulové body
- ide o body, v ktorých sa výraz v absolútnej hodnote rovná nule
Pr. Riešte danú rovnicu v množine R:
škola
samostatná práca
|𝑥 + 3| = |4 − 2𝑥| + 2. (7 − 𝑥) ; 𝑃 = 𝑃1 ∪ 𝑃2 ∪ 𝑃3 = {7}
1/2
3/a
3/b
5
6
7
Riešte dané rovnice v množine R:
1.
Riešte spamäti: |𝑥| = 9 ; |𝑥| = 0 ; |𝑥| = −7 ; |𝑥| = 3 − √5
2.
Riešte spamäti: |𝑥 + 3| = 11 ; |𝑥 + 2| = 17 ; |𝑥 − 4| = 10 ; |𝑥 − 5| = 44
3.
Riešte dané rovnice:
4.
Riešte pre
𝑥 ∈ 𝑅 ; |2𝑥 − 7| + |𝑥 − 2| = 3 ; 𝑃 = {2 ; 4}
5.* Riešte dané rovnice:
6.
5
𝑎) |2𝑥 − 1| = 𝑥 + 6 ; 𝑃 = {7 ; − 3} ; 𝑏) |𝑥 − 2| = 2. |𝑥 + 1| ; 𝑃 = {0 ; −4}
Pre ktoré 𝑎 ∈ 𝑅 platí:
2
𝑎) |3𝑎 − 2| = 3𝑎 − 2 ; 𝑃 = (−∞ ; 3) ; 𝑏)
𝑎) |𝑎 − 5| = 𝑎 − 5
1
𝑏)
|12−4𝑎|
12−4𝑎
|10𝑎−5|
10𝑎−5
= 1 ; 𝑃 = (−∞ ; 3)
=1
riešenie 𝑎) 𝑎 ∈< 5 ; ∞) 𝑏) 𝑎 ∈ (2 ; ∞)
7.
Riešte pre 𝑥 ∈ 𝑅
𝑎) |7𝑥 − 1| = 21 − 9𝑥
11
4
riešenie 𝑎) 𝑃 = { 8 } 𝑏) 𝑃 = {−2 ; 5}
8.
Vyriešte dané rovnice
𝑏) |1 − 3𝑥| = |3 − 2𝑥|
riešenie
Lineárne nerovnice s absolútnou hodnotou
Pr. Riešte danú nerovnicu v množine R:
škola
samostatná práca
1
1
|2𝑥 + 6| − 3𝑥 ≤ 2𝑥 + 5 ; 𝑃 =< ; ∞)
3
2/ac
2/bd
4/abh
riešte nerovnice v množine R
1.
Riešte spamäti: |𝑥 + 5| ≥ 7 ; |𝑥 − 2| < 6 ; |𝑥 − 4| ≤ 10 ; |𝑥 + 8| > 3
2.
𝑎) |𝑥 + 3| > |𝑥 − 2| ; 𝑃 = (− 2 ; ∞)
𝑐) 𝑦 − |𝑦| < 4 ; 𝑃 = 𝑅
𝑏) 2. |𝑥 − 1| + 3 > 5𝑥 ; 𝑃 = (−∞ ; 7)
𝑑) |𝑥 − 2| < 3 ; 𝑃 = (−1 ; 5)
3.* Zb 1
103 / 58
Dokážte, že
|𝑥|
𝑏) 𝑝𝑟𝑒 ∀ 𝑥 ∈ 𝑅 − {0} 𝑝𝑙𝑎𝑡í ∶ 𝑥 < 1,001
𝑎) 𝑝𝑟𝑒 ∀ 𝑥 ∈ 𝑅 𝑝𝑙𝑎𝑡í ∶ 𝑥 + |𝑥| ≥ 0
𝑥−|𝑥|
𝑐) 𝑝𝑟𝑒 ∀ 𝑥 ∈ 𝑅 − {0} 𝑝𝑙𝑎𝑡í ∶ 𝑥 ≤ 2
1
5
4.
Vyriešte dané nerovnice v množine R
riešenie
Nerovnice v tvare súčinu a podielu
škola
samostatná práca
I.
1/2
3/4
Riešte dané nerovnice v množine R:
1.
𝑎) 5. (𝑥 + 7). (𝑥 − 2) ≤ 0 ; 𝑏) − 2. (3𝑥 − 1). (11 − 𝑥) > 0 ; 𝑐) (2𝑥 + 2). (𝑥 + 8) < 0
𝑑) (2𝑥 + 2). (𝑥 + 8) ≥ 0 ; 𝑒) (𝑥 − 6). (3𝑥 + 5). (𝑥 + 10) ≤ 0
𝑥−2
𝑥−11
3.
𝑎) (𝑥 − 1). (𝑥 + 2) ≤ 0 ; 𝑃 =< −2 ; 1 >
𝑏) (𝑥 + 5). (𝑥 + 4) ≥ 0 ; 𝑃 = (−∞ ; −5 >∪< −4 ; ∞)
4
𝑐) 2. (3𝑥 − 4). (𝑥 + 4) > 0 ; 𝑃 = (−∞ ; −4) ∪ ( ; ∞)
12−𝑥
≥ 0 ; 𝑑)
(3𝑥+14).(𝑥−2)
𝑎) 𝑥+5 ≤ 0 ; 𝑏)
𝑥−3
> 0 ; 𝑐)
3𝑥−1
2.
(𝑥+10)
≤0
3
1
𝑑) − 3. (1 − 2𝑥). (2 + 𝑥) < 0 ; 𝑃 = (−2 ; 2)
4.
𝑥−1
𝑎) 𝑥+2 ≥ 0 ; 𝑃 = (−∞ ; −2) ∪< 1 ; ∞)
𝑐)
2𝑥−3
𝑥−4
𝑏)
3
3+𝑥
𝑥−1
≤ 0 ; 𝑃 =< −3 ; 1)
> 0 ; 𝑃 = (−∞ ; 2) ∪ (4 ; ∞)
Nerovnice v tvare súčinu a podielu
škola
samostatná práca
𝑥+2
II.
5/6
7/8
6.
𝑎) 𝑥−2 > 𝑥−2 − 0,5 ; 𝑏)
7.
𝑎) 𝑥−1 < 3 ; 𝑃 = (−∞ ; 1) ∪ (2 ; ∞) ; 𝑏)
8.
Z uvedených čísel vyberte najmenšie, ktoré patrí do množiny riešenia nerovnice: 2𝑥+5 ≥ 5−3𝑥
𝑥+1
1−𝑥
3
2+𝑥
< −1 ; 𝑐)
𝑥+8
𝑎)
𝑥−7
≥ −2 ; 𝑏)
3𝑥−4
5.
𝑥+1
2−5𝑥
≤2
𝑥−2
≥ 𝑥+2 ; 𝑐)
𝑥−1
5
𝑥
𝑥
+ 𝑥+3 ≥ 2 ; 𝑑)
𝑥−2
2
(𝑥−4).𝑥 2
1−𝑥
<0
1
5
+ 𝑥−3 < 0 ; 𝑃 = (−∞ ; −1) ∪ (3 ; 3)
𝑥+1
1−2𝑥
3
5
7
𝐴 = −2 ; 𝐵 = −3 ; 𝐶 = −3 ; 𝐷 = −
11
2
3𝑥+1
odpoveď: C
Sústava lineárnych rovníc s tromi neznámymi
𝑎11 . 𝑥 + 𝑎12 . 𝑦 + 𝑎13 . 𝑧 = 𝑏1
Def Je to sústava rovníc tvaru:𝑎21 . 𝑥 + 𝑎22 . 𝑦 + 𝑎23 . 𝑧 = 𝑏2 ; 𝑎11 … 𝑏3 ∈ 𝑅
𝑎31 . 𝑥 + 𝑎32 . 𝑦 + 𝑎33 . 𝑧 = 𝑏3
x , y , z – neznáme
Riešením
danej sústavy je usporiadaná trojica čísel [𝒙𝟎 ; 𝒚𝟎 ; 𝒛𝟎 ] po dosadení, ktorých za neznáme x , y , z
dostaneme pravdivé výroky.
škola
samostatná práca
1/2
3
1
1.
Riešte dané sústavy v 𝑅 3 .
𝑥+𝑦+𝑧 =6
𝑎) −𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 5
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 13
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
𝑥 + 3 𝑦 + 4 𝑧 = 60
𝑏) 3 𝑥 + 4 𝑦 + 5 𝑧 = 60
1
4
𝑥 + 5 𝑦 + 6 𝑧 = 60
riešenie 𝑎) 𝑃 = {[3 ; −2 ; 5]} 𝑏) 𝑃 = {[5 ; −1 ; 1]}
2.
6𝑥 − 4𝑦 + 4𝑧 = 6
𝑎) 3𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 = 5
3𝑥 − 2𝑦 − 8𝑧 = 6
riešenie 𝑎) 𝑃 = { } 𝑏) 𝑛𝑒𝑘𝑜𝑛𝑒č𝑛𝑒 𝑣𝑒ľ𝑎 𝑟𝑖𝑒š𝑒𝑛í
Stará MAT 1
pozn.
3.
284 / 25
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 4
𝑏) 2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 5
3𝑥 + 4𝑦 + 5𝑧 = 6
- vysvetliť cez vzájomnú polohu rovín v priestore
- zvážiť ukážku riešenia úpravou matice na trojuholníkový tvar
Zb 1
128 / 32 b , c , h
6𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 4
𝑏) 𝑥 − 10𝑦 − 2𝑧 = 7
5𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 5
𝑥 + 𝑧 = 37
𝑥
𝑐) + 𝑦 = 25
𝑦 + 𝑧 = 22
3𝑥 + 4𝑦 + 5𝑧 = 0
ℎ) 3𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = 0
3𝑥 + 4𝑦 − 3𝑧 = 0
riešenie 𝑏) 𝑃 = {[−1 ; −2 ; 6]} 𝑐) 𝑃 = {[20 ; 5 ; 17]} ℎ) 𝑃 = {[0 ; 0 ; 0]}
4.
Vyriešte dané sústavy
riešenie
Slovné úlohy – lineárne rovnice
škola
samostatná práca
1/3/4
2/5/6
I.
7*
1.
Kohanová 1
103 / 16
Syn je o 27 rokov mladší ako jeho otec. V tomto roku majú spolu trojnásobok
synovho veku. Koľko majú rokov?
riešenie Otec má 54 rokov, syn 27.
2.
Kohanová 1
103 / 19
Jano odpovedal na otázku koľko má rokov takto: Keď od trojnásobku môjho
veku o tri roky odčítate trojnásobok môjho veku pred troma rokmi dostanete môj vek. Koľko má Jano rokov?
riešenie Jano má 18 rokov.
3.
Kohanová 1
104 / 20
Je dané dvojciferné číslo. Ak zameníme poradie jeho cifier dostaneme
dvojciferné číslo, ktoré je 4,5 – krát väčšie ako dané číslo. Aké je pôvodné číslo?
riešenie Pôvodné číslo bolo 18.
4.
Kohanová 1
104 / 21
Traja študenti mali spolu 48 €. Keď sa suma prvého zvýši o 5 €, suma
druhého zníži o 8 € a suma tretieho zväčší štvornásobne, budú mať všetci rovnako. Koľko € mali pôvodne?
riešenie
5.
Kohanová 1
103 / 17
Otec má o 32 rokov viac ako jeho syn. O 25 rokov bude mať otec dvakrát
toľko rokov ako jeho syn. Koľko rokov majú otec a syn teraz?
riešenie Syn má 7 rokov, otec 39.
6.
Kohanová 1
104 / 22
Koľko kociek treba na postavenie 12, 13 a 25 poschodovej veže? Aká
najvyššia veža by sa dala postaviť z milióna kociek? Veže staviame spôsobom ako na obrázku.
riešenie 144
169
625
1000
7.* Kohanová 1
103 / 18
Nápis na náhrobku gréckeho matematika Diofanta: „Pútnik, tu odpočíva
popol Diofanta. A čísla povedia, že je zázrak aký dlhý bol jeho život. Šestina života patrila krásnemu detstvu.
Ešte dvanástina života ubehla, kým sa jeho brada pokryla strniskom. Sedminu života a 5 rokov strávil
v bezdetnom manželstve. Až potom sa mu narodil krásny syn, ktorému osud vymeral šťastný život na Zemi
dlhý len polovicu toho, čo jeho otcovi. A v hlbokom smútku ukončil starý muž svoju púť tu na Zemi, štyri
roky po strate syna.“ Ako dlho Diofantos žil?
riešenie
Slovné úlohy – lineárne rovnice
škola
samostatná práca
II.
8 / 10 / 11
9 / 12
8.
Kohanová 1
104 / 23
Filip Šťastný sa kvôli „neodkladným“ záležitostiam nestihol naučiť na test
z biológie. V teste bolo za správnu odpoveď 10 bodov, za zlú – 5 bodov, za neodpovedanie 0 bodov. Filip sa
spoľahol na svoje priezvisko a úlohy, ktoré nevedel iba natipoval. Test mal 20 úloh a Filip získal 80 bodov.
Koľko jeho odpovedí bolo správnych ?
riešenie
9.
Kohanová 1
105 / 29
Priemerný vek 39 účastníkov exkurzie bez šoféra autobusu je 18 rokov. So
šoférom je priemerný vek o rok vyšší. Koľko rokov má šofér?
riešenie Šofér má 58 rokov.
10. Kohanová 1
105 / 33
Pán Zemiak nakupuje zemiaky na zimu. Má dve možnosti. Pôjde na trh kde 1
kg zemiakov stojí 0,6 €. Pocestuje autom do veľkoskladu, kde predávajú 1 kg zemiakov po 0,35 €, benzín ho
však bude stáť 6,4 €. Najmenej koľko kg zemiakov musí kúpiť aby sa mu cesta vyplatila?
riešenie Viac ako 25,6 kg zemiakov.
11. Kohanová 1106 / 36
Otec maľuje steny svetložltou farbou. Vyrobil ju zmiešaním bielej a žltej farby
v pomere 3 : 2. Neskôr prilial do zmesi po 6 litrov z oboch farieb a tým zmenil jej pomer na 6 : 5. Koľko
litrov bielej a žltej farby bolo v zmesi pred priliatím 6 litrov farieb?
riešenie Bielej bol 6 litrov, žltej 4 litre.
12. Kohanová 1
106 / 41
Bratia Andrej, Damián a Oliver zdedili po bohatom dedkovi 96 800 €. Andrej
býval často neposlušný, preto mal dostať o 10 000 € menej ako Damián. Oliver bol okrem neposlušnosti aj
lenivý a tak mal dostať iba štyri pätiny z toho čo Andrej. Ako si mali rozdeliť dedičstvo?
riešenie Andrej 31 000 €, Damián 41 000 €, Oliver 24 800 €.
13. Slovné úlohy na lineárne rovnice
115 / 128
115 / 133
Zb 1
116 / 139
116 / 142
116 / 143
117 / 147
Slovné úlohy – sústavy lineárnych rovníc
škola
samostatná práca
2/5/8/9
1/3/4/6/7
1.
Kohanová 1
108 / 6 Pred troma rokmi mala mama trojnásobok veku svojho syna, za 9 rokov bude mať
presne dvojnásobok jeho veku. Koľko rokov má mama a syn teraz?
riešenie Mama má 39 rokov, syn 15.
2.
Kohanová 1
108 / 9 Obvod obdĺžnika je 306 cm, dve tretiny jeho dĺžky predstavujú tri štvrtiny jeho šírky.
Vypočítajte jeho rozmery.
riešenie Šírka je 72 cm, dĺžka 81 cm.
3.
Kohanová 1
108 / 11
V 1.A a 1.B je spolu 60 žiakov. Ak z 1.B odíde 8 žiakov do 1.A, tak v 1.A
bude dvojnásobok počtu žiakov, ktorí ostali v 1.B. Koľko žiakov je v 1.A a koľko v 1.B?
riešenie V 1.A je 32 a v 1.B je 28 žiakov.
4.
Kohanová 1
108 / 15
Mama urobila 20 litrov bazového sirupu. Má naň pripravené 0,5 litrové a 0,2
litrové fľaše. Koľko ktorých fliaš naplnila, ak ich bolo spolu 55.
riešenie 0,5 litrových bolo 30, 0,2 litrových bolo 25.
5.* Kohanová 1
109 / 18
V dvojcifernom čísle je počet desiatok o 4 menší ako počet jednotiek. Ak
odčítame hľadané číslo od čísla s vymeneným poradím číslic dostaneme číslo 27. Nájdite dané číslo.
riešenie Také číslo neexistuje
6.
Obvod obdĺžnika je 120 m, jeho dĺžka je 4 krát väčšia ako jeho šírka. Určte jeho rozmery.
riešenie Dĺžka je 48 m, šírka 12m.
7.
Kohanová 1
108 / 10
Ak zmenšíme dĺžku obdĺžnika o 2 cm a šírku o 1 cm zmenší sa jeho obsah
o 8 𝑐𝑚2. Ak zväčšíme jeho dĺžku o 1 cm a šírku o 2 cm zväčší sa jeho obsah o 13 𝑐𝑚2. Aké boli pôvodné
rozmery obdĺžnika?
riešenie 𝑎 = 4 𝑐𝑚 ; 𝑏 = 3 𝑐𝑚
8.
Kohanová 1
108 / 12
Súčet dvojciferného čísla a dvojnásobku jeho ciferného súčtu je 45. Súčet
čísla zapísaného rovnakými číslicami ale v opačnom poradí a štvornásobku jeho ciferného súčtu je 108. Určte
pôvodné číslo.
návod
riešenie Hľadané číslo je 27.
9.
Kohanová 1
108 / 14
Po okruhu dlhom 2500 m jazdia dvaja pretekári na motorkách. Ak idú
v protismere, stretnú sa každú minútu. Ak idú v rovnakom smere stretnú sa každých 5 minút. Akou
rýchlosťou jazdia?
návod
𝑘𝑚
𝑘𝑚
riešenie 90 ℎ ; 60 ℎ
Opakovanie – lineárne rovnice, nerovnice a sústavy
1.
Riešte na množine R x R:
3𝑥+10
𝑏)
4
−
𝑎)
2𝑦−5
5
2
I. – II.
3. (𝑥 + 4) + 2. (𝑦 + 3) = 4𝑦 + 𝑥 + 4
; 𝑃 = {[7 ; 2]}
(𝑥 + 8) . (2𝑦 − 5) = (2𝑦 − 3) . (𝑥 + 3) − 25
= −3
(2𝑥 + 7)2 + (𝑦 − 1) = 𝑦 2 + 4𝑥 2 − 128
; 𝑃 = {[−6 ; 5]}
𝑥
2.
Riešte danú sústavu nerovníc:
riešenie 𝑎) 𝑃 =< −
2𝑥 − 7. (𝑥 + 2) ≤ 3
3𝑥
5
21
−
Riešte danú sústavu nerovníc:
riešenie 𝑎) 𝑃 = (1 ;
7
> 3. (0,2. 𝑥 − 1)
na množine
a) R
b) Z
na množine
a) R
b) N
; 9) 𝑏) 𝑃 = {−2 ; −1 ; 0 ; 1 ; … ; 8}
8
3,2.𝑥
3.
2𝑥+3
105
32
7
+ 0,5. (𝑥 − 3) ≤ 0,5 . 𝑥
3𝑥 − 2,2. (𝑥 + 2) >
2𝑥
5
−4
> 𝑏) 𝑃 = {2 ; 3}
4.
Znázornite dané množiny na číselnej osi a zapíšte ich ako intervaly: 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑅 ; |𝑥| < 6}
𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑅 ; |𝑥| ≥ 3}
𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑅 ; |𝑥 + 2| ≤ 8}
𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅 ; |𝑥 − 3| > 1}
5.
Vypíšte všetky prvky patriace daným množinám:
𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑍 ; |𝑥 + 2| > 3}
𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑁 ; |𝑥 − 7| > 2}
6.
Riešte spamäti dané rovnice: 𝑎) |𝑥 − 3| = 8
𝑑) |𝑥| = 7
𝑒) |𝑥 − 10| = −4
7.
Riešte na množine R:
𝑎) |3𝑥 − 8| + 2. (𝑥 − 1) = |𝑥 + 5| + 9 ; 𝑃 = {−4 ; 6}
𝑏) |2 − 5𝑥| + |3 + 𝑥| = 7𝑥 − 4 ; 𝑃 = {5}
8.
Riešte na množine R:
𝑎) |3𝑥 − 1| ≥ 2𝑥 + 7 ; 𝑃 = (−∞ ; − 5 > ∪ < 8 ; ∞)
b) riešte nerovnicu z predchádzajúceho cvičenia na množine N
𝑐) |2𝑥 + 6| < 3𝑥 − 2 ; 𝑃 = (8 ; ∞)
9.
Riešte dané nerovnice na množine R: 𝑎) (3𝑥 − 2) . (𝑥 + 6) > 0
𝑏) (2 − 7𝑥) . (𝑥 − 4) ≤ 0
𝑐) (5𝑥 − 3) . (2𝑥 + 8) ≤ 0
𝑑) (𝑥 + 2) . (𝑥 − 7) < 0
2
2
3
riešenie 𝑎) 𝑃 = (−∞ ; −6) ∪ (3 ; ∞) 𝑏) (−∞ ; 7 > ∪ < 4 ; ∞) 𝑐) < −4 ; 5 > 𝑑) (−2 ; 7)
4𝑥−5
𝑥+2
>2
𝑏) |𝑥 + 6| = 10
𝑐) |𝑥 − 8| = 6
6
10. Riešte dané nerovnice na množine R:
𝑑)
𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑍 ; |𝑥 − 5| ≤ 4}
𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑁 ; |𝑥 + 3| ≥ 6}
𝑒)
2𝑥+3
𝑥−1
5
𝑎)
2𝑥−5
𝑥+4
≥0
7𝑥−2
𝑏) 3𝑥+8 < 0
3−𝑥
𝑐) 𝑥+8 ≥ 0
≤ −2
8
2
9
1
riešenie 𝑎) (−∞ ; −4) ∪< 2 ; ∞) 𝑏) (− 3 ; 7) 𝑐) (−8 ; 3 > 𝑑) (−∞ ; −2) ∪ (2 ; ∞) 𝑒) < − 4 ; 1)
Písomná práca
Témy - lineárne rovnice, sústava dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi
- lineárne nerovnice s jednou neznámou a ich sústavy
- absolútna hodnota reálneho čísla, rovnice a nerovnice s absolútnou hodnotou
- nerovnice v tvare súčinu a podielu
- slovné úlohy
Kvadratická rovnica
Kvadratická rovnica
I.
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ; 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 ∈ 𝑅 , 𝑎 ≠ 0
s neznámou x má tvar
x – neznáma
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
kvadratický trojčlen, obsahuje kvadratický, lineárny a absolútny člen
Riešenie kvadratickej rovnice:
𝐷 = 𝑏 2 − 4. 𝑎. 𝑐
1. Vypočítame diskriminant kvadratickej rovnice:
rovnica má 2 rôzne reálne korene:
2. 𝐷 > 0
𝑥1/2 =
𝑥 = 2.𝑎
𝑓: 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 s osou x
Grafický význam riešenia korene sú priesečníkmi grafu funkcie
škola
samostatná práca
1.
1/3
4/5
2.𝑎
−𝑏
rovnica má jeden koreň (dvojnásobný):
rovnica nemá riešenie v množine R
𝐷=0
𝐷<0
−𝑏±√𝐷
2*
MAT 1 241 / 19 a, c, d, f
Riešte dané rovnice podľa vzorca v množine R
1
2
𝑎) 3𝑥 − 5𝑥 − 2 = 0 ; 𝑃 = {2 ; − 3}
𝑏) 4𝑥 2 + 𝑥 + 3 = 0 ; 𝑃 = { }
1
1
𝑐) 3𝑥 2 − 2𝑥 + 3 = 0 ; 𝑃 = {3}
𝑑) 𝑥 2 − 8𝑥 − 15 = 0 ; 𝑃 = {4 ± √31}
2.* MAT 1 241 / 19 e, b Riešte dané rovnice úpravou na štvorec v množine R
3
𝑎) 𝑥 2 − 15 = 2𝑥 ; 𝑃 = {5 ; −3}
𝑏) 2𝑥 2 = 7𝑥 − 6 ; 𝑃 = {2 ; 2}
3.
MAT 1 241 / 20
Riešte v množine Z
𝑎) (𝑥 − 4). (4𝑥 − 3) + 3 = 0 ; 𝑃 = {1}
𝑐)
𝑥2
5
−
2𝑥
3
=
𝑥−5
; 𝑃={ }
6
𝑏) 2. (𝑥 − 1)2 = 3. (1 − 𝑥) ; 𝑃 = {1}
𝑑)
(𝑥+3)2
5
+7=
𝑥.(2𝑥+3)
2
+
(3𝑥−1)2
5
; 𝑃 = {2}
4.
Riešte pre 𝑥 ∈ 𝑅
𝑎) 𝑥 2 − 𝑥 − 56 = 0 ; 𝑃 = {8 ; −7}
5
𝑏) 3𝑥 2 + 2𝑥 − 5 = 0 ; 𝑃 = {1 ; − 3} 𝑐) (𝑥 − 3)2 + (𝑥 + 4)2 − (𝑥 − 5)2 = 17𝑥 + 24 ; 𝑃 = {8 ; −3}
5.
Riešte pre 𝑥 ∈ 𝑍 𝑎)
𝑥.(𝑥−7)
3
−2=𝑥−
𝑥−4
3
; 𝑃 = {10 ; −1}
𝑏)
Kvadratická rovnica
škola
samostatná práca
6.
5.(𝑥−1)
4
𝑥
II.
6/7
8
Zb 1
105 / 66
Riešte v množine R.
𝑥+3
𝑥−1
5−3𝑥
3−5𝑥
5
1
𝑎) 𝑥−3 + 𝑥−5 = 4 ; 𝑃 = {4 ; 9}
𝑏) 3−5𝑥 + 5−3𝑥 = 2 ; 𝑃 = {7 ; 7}
5
3
7
𝑐) 𝑥−2 + 𝑥−3 − 𝑥−1 = 0 ; 𝑃 = {−3 ± √30}
𝑥.√5
2𝑥
𝑒) 2𝑥−√5 = 𝑥.√5−3 ; 𝑃 = {0 ; √5}
1
1
9
𝑑) 𝑥−1 + 𝑥+1 = 4𝑥 ; 𝑃 = {±3}
2𝑥
𝑥.√3
6
= 6 + 𝑥 ; 𝑃 = {3}
𝑓) 𝑥.√3−5 = 𝑥−2.√3 ; 𝑃 = {0 ; √3}
7.
Riešte pre 𝑥 ∈ 𝑅:
𝑎)
𝑥 2 −3𝑥+2
𝑥 2 +1
𝑥 2 −3𝑥+2
= 0 ; 𝑃 = {1 ; 2}
1
−1
𝑏) 𝑥 2 −2𝑥+1 = 0 ; 𝑃 = {2}
−15±5.√3
𝑐) 𝑥+5 + 0,2 = 5+2𝑥 ; 𝑃 = {
8.
5
Riešte pre 𝑥 ∈ 𝑅:
𝑎) 𝑥 − 𝑥 =
11
4
𝑥−1
𝑥+3
2
5
; 𝑃 = {4 ; − 4}
}
𝑏)
𝑐) 𝑥−3 + 𝑥−5 = 4 ; 𝑃 = {9 ; 4}
4𝑥+5
𝑥
𝑥+3
9.
𝑥−6
𝑑) 𝑥−3 + 𝑥+6 =
Kvadratická rovnica
škola
samostatná práca
12
2
− 𝑥−2 = 1 ; 𝑃 = {5 ; − 3}
11
5
; 𝑃 = {9 ; −42}
III.
11 / 12 / 13
9 / 10
Zb 1
105 / 70 a, b Vyriešte dané rovnice s presnosťou na
0,01
2
2
𝑎) 2𝑥 + 15𝑥 + 5 = 0 ; 𝑃 = {−7,15 ; −0,35}
𝑏) 3𝑥 + 14𝑥 + 4 = 0 ; 𝑃 = {−0,31 ; −4,36}
10. Riešte v množine R:
𝑎) (𝑥 + 3). (𝑥 + 4) + (𝑥 − 2). (𝑥 − 1) = 30 ; 𝑃 = {2 ; −4}
𝑏) (𝑥 − 5)2 + (2 + 𝑥)2 = (3 + 𝑥)2 ; 𝑃 = {2 ; 10}
𝑐) 𝑥. (𝑥 − √3) − √3. (𝑥 − 1) − (5 + √3) = 0 ; 𝑃 = {√3 ± 2. √2}
1
4
3𝑥
4
𝑥 2 −20
2
7
3
1
1
9
3
1
11. Riešte v množine R:
𝑎) 𝑥+4 − 𝑥−4 + 𝑥 2 −16 = 0 ; 𝑃 = {8 ; −5} 𝑏) 1−𝑥 − 𝑥+1 = 𝑥 ; 𝑃 = {4 ; − 3}
12. Riešte v množine R:
𝑎) 𝑥+6 − 𝑥−1 = 4 ; 𝑃 = {0 ; −27}
13. Riešte v množine R:
𝑎) (5𝑧 − 24)2 − (3𝑧 − 11)2 = 21 ; 𝑃 = {7 ; 8 }
31
4
1
𝑏) (6𝑧 − 5)2 − (5𝑧 − 2)2 = 37 ; 𝑃 = {4 ; − 11}
5
4
𝑏) 𝑥−1 + 𝑥+1 = 4𝑥 ; 𝑃 = {±3}
5
4
4
𝑐) 𝑥 + 𝑥+3 + 𝑥−3 = 0 ; 𝑃 = {±1}
8
𝑑) 3−2𝑥 + 𝑥−2 = 𝑥+1 ; 𝑃 = {4 ; 7}
Neúplná kvadratická rovnica
a)
𝑎𝑥 2 + 𝑐 = 0
b) 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 = 0
rýdzo kvadratická rovnica
kvadratická rovnica bez lineárneho člena
kvadratická rovnica bez absolútneho člena
škola
samostatná práca
1 až 10
11
1) 𝑥 2 − 49 = 0
2) 4𝑥 2 − 16 = 0
3) 5𝑥 2 − 125 = 0
4) 7𝑥 2 − 5 = 0
5) 11𝑥 2 − 3 = 0
6) − 2𝑥 2 + 50 = 0
7) 𝑥 2 + 16 = 0
8) − 10𝑥 2 + 80 = 0
9) 3𝑥 2 − 42𝑥 = 0
10) 4𝑥 2 + 11𝑥 = 0
11. Riešte v množine R:
𝑎) 3𝑥 2 = 0
𝑑) 𝑥 2 − 7𝑥 = 0
12. Riešte dané rovnice na množine R
𝑏) − 3𝑥 2 + 8 = 0
𝑒)
15𝑥 2
2
𝑐) 2𝑦 2 − 0,001 = 0
= 270 ; 𝑃 = {±6}
riešenie
Rozklad kvadratického trojčlena na súčin
Veta Daná je rovnica
Potom platí:
škola
samostatná práca
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ; 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 ; 𝑎 ≠ 0.
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎. (𝑥 − 𝑥1 ) . (𝑥 − 𝑥2 )
Nech 𝑥1 , 𝑥2 sú korene tejto rovnice.
rozklad na súčin koreňových činiteľov
1/2/3
4/5
1.
MAT 1 246 / 29 b, c, d, f
Zostavte kvadratickú rovnicu, ktorá má korene:
1
1
𝑎) 0 ; 5 𝑏) 2 ; − 3 𝑐) − 3 𝑑) 2 ± √3 𝑒) ± 6
2.
Rozložte na súčin dané kvadratické trojčleny: 𝑎) 20𝑥 2 − 11𝑥 − 3
𝑐) 𝑥 2 − 12𝑥 + 35
𝑑) 𝑥 2 − 7𝑥 − 18
𝑒) 𝑥 2 + 10𝑥 + 25
3.
Zjednodušte dané výrazy:
4.
Zostavte kvadratickú rovnicu, ktorá má korene.
5.
Zjednodušte dané výrazy:
𝑥 2 +𝑥−6
𝑎) 𝑥 2 +4𝑥+3
𝑎)
𝑥 2 −𝑥−6
𝑥+2
𝑏)
2𝑥 2 −5𝑥−3
𝑥 2 −3𝑥
𝑏) 2𝑥 2 + 11𝑥 − 21
2𝑥 2 −5𝑥−3
𝑐) 2𝑥 2 +6𝑥+5
𝑑)
10𝑥 2 −3𝑥−1
6𝑥 2 −5𝑥+1
𝑎) 2 , −7 𝑏) 5 , −5 𝑐) ± √7 𝑑) 2 ± √5
2𝑥+1
𝑏) 10𝑥 2 +11𝑥+3
Vzťahy medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice
Vietove vzťahy
škola
samostatná práca
Ak je daná kvadratická rovnica
𝑏
𝑐
𝑥1 + 𝑥2 = − 𝑎 ; 𝑥1 . 𝑥2 = 𝑎
1/2/3
4/5/6
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
potom
7*
1.
MAT 1 246 / 31 b , c Určte číslo t tak, aby jeden koreň rovnice bol:
𝑎) 𝑥 2 − 5𝑥 + 𝑡 = 0 ; 𝑥1 = 3 𝑏) 𝑡. 𝑥 2 − 15𝑥 + 7 = 0 ; 𝑥1 = 7
𝑐) 3𝑥 2 + 𝑡. 𝑥 − 8 = 0 ; 𝑥1 = −8
riešenie 𝑎) 6 𝑏) 2 𝑐) 23
2.
MAT 1 246 / 32
Bez vyriešenia rovnice 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = 0 zostavte kvadratickú rovnicu, ktorej korene
sú dvojnásobky koreňov danej rovnice. Potom obe rovnice vyriešte.
riešenie 𝑥 2 − 4𝑥 − 12 = 0
3.
a) V rovnici
𝑥 2 + 𝑏𝑥 − 35 = 0 poznáte
𝑥1 = 7
2
b) V rovnici
𝑥 − 13𝑥 + 𝑐 = 0 poznáte
𝑥1 = 12,5
riešenie 𝑎) 𝑥2 = −5 , 𝑏 = −2 ; 𝑏) 𝑥2 = 0,5 , 𝑐 = 6,25
4.
Určte „t“ tak, aby jeden koreň rovnice bol: 𝑥 2 + 𝑡. 𝑥 + 4 = 0 , 𝑥1 = 4
riešenie 𝑡 = −5
5.
Zb 1
109 / 90
Zostavte rovnicu, ktorej korene sú opačné čísla ku koreňom rovnice
𝑥 2 − 15𝑥 + 11 = 0
riešenie 𝑥 2 + 15𝑥 + 11 = 0
6.
Zb 1
108/86 c
V rovnici 5𝑥 2 + 𝑏. 𝑥 + 24 = 0 poznáte 𝑥1 = 8. Určte 𝑥2 , 𝑏.
riešenie 𝑥2 = 0,6 , 𝑏 = −43
Určte
Určte
𝑥2 , 𝑏
𝑥2 , 𝑐
7.* MAT 1 246 / 33
Bez vyriešenia rovnice 𝑥 2 + 𝑥 − 30 = 0 zostavte kvadratickú rovnicu, ktorej korene
sú prevrátené ku koreňom danej rovnice. Potom obe rovnice vyriešte.
riešenie 30𝑥 2 − 𝑥 − 1 = 0
1
1
postup 𝑥1 + 𝑥2 = −1 , 𝑥1 . 𝑥2 = −30 → 𝑛𝑜𝑣é 𝑘𝑜𝑟𝑒𝑛𝑒 𝑥´1 = 𝑥 , 𝑥´2 = 𝑥
1
1
1
2
𝑥´1 + 𝑥´2 = 𝑥 + 𝑥 =
záver
𝑥2 +𝑥1
𝑥1 .𝑥2
1
= 30 =
−𝑏
𝑎
1
1
1
2
1
1
𝑐
2
; 𝑥´1 . 𝑥´2 = 𝑥 . 𝑥 = − 30 = 𝑎
𝑎 = 30 , 𝑏 = −1 , 𝑐 = −1 → 30𝑥 2 − 𝑥 − 1 = 0
Písomná práca
Témy - riešenie úplnej a neúplnej kvadratickej rovnice
- rozklad kvadratického trojčlena na súčin
- vzťahy medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice
Slovné úlohy – precvičovanie
1.
Turisti sú ubytovaní v troch hoteloch. V druhom hoteli je ubytovaných o 8 turistov viac ako v prvom a v
treťom o 14 viac ako v druhom. Koľko turistov býva v každom hoteli, ak ich je spolu 258?
riešenie V prvom hoteli býva 76 turistov, v druhom 84 turistov a v treťom 98 turistov.
2.
Sestry Janka a Danka majú ušetrených spolu 220 €. Na výlet si chce Janka zobrať pätinu svojich úspor a
Danka štvrtinu. Potom budú mať na výlete spolu 50 €. Koľko eur má ušetrených Janka a koľko Danka?
riešenie Janka má ušetrených 100 € a Danka má ušetrených 120 €.
3.
Čitateľ zlomku je o 2 menší ako menovateľ. Ak čitateľa tohto zlomku zmenšíme o 1 a menovateľa zväčšíme o
3, zlomok sa bude rovnať 1/4 . Urči tento zlomok.
riešenie Hľadaný zlomok je 3/5.
4.
Traja natierači majú natrieť most. Prvý by prácu vykonal za 5 dní, druhý za 6 dní a tretí za 7,5 dňa. Za aký čas
natrú most, ak budú pracovať spoločne?
riešenie Natierači natrú most spoločne za 2 dni.
5.
V podniku pracuje 1 440 zamestnancov (mužov aj žien). Za nadpriemerné výsledky dostalo prémie 18,75%
všetkých mužov a 22,5% všetkých žien. Prémiami bolo dohromady odmenených 20% zamestnancov. Koľko
mužov a koľko žien je zamestnaných v podniku?
riešenie V podniku je zamestnaných 960 mužov a 480 žien.
6.
Zo stanice A vyrazil o desiatej hodine osobný vlak rýchlosťou 55 km/h. O jeden a pol hodiny neskôr oproti
nemu vyrazil zo stanice B, vzdialenej 360 km od stanice A, rýchlik rýchlosťou 130 km/h. O koľkej hodine a
ako ďaleko od stanice A sa obidva vlaky stretnú?
riešenie Vlaky sa stretnú o trinástej hodine vo vzdialenosti 165 km od stanice A.
7.
Dĺžka obdĺžnika je o 12 cm väčšia ako trojnásobok jeho šírky. Obvod je 104 cm. Aké rozmery má obdĺžnik?
riešenie Obdĺžnik má dĺžku 42 cm a šírku 10 cm.
8.
Mestá A a B sú vzdialené 42 km. Z mesta A vyjde chodec rýchlosťou 6 km/h opačným smerom, ako je mesto
B. O ½ h neskôr vyjde z B cyklista za chodcom rýchlosťou 24 km/h. Za koľko hodín dobehne cyklista chodca
a v akej vzdialenosti od B?
riešenie Cyklista dobehne chodca za 2,5 hodiny a to vo vzdialenosti 60 km od mesta B.
9.
Na internáte je ubytovaných 51 žiakov v pätnástich izbách, z ktorých niektoré sú 4-miestne a ostatné 3miestne. Koľko izieb je na internáte 4-miestnych a koľko 3-miestnych, ak 2 miesta na internáte sú voľné?
riešenie Na internáte je osem 4-miestnych a sedem 3-miestnych izieb.
10. Povrchy dvoch kociek, z ktorých jedna má hranu o 22 cm dlhšiu ako druhá, sa odlišujú o 19272 cm2.
Vypočítaj dĺžku hrán oboch kociek.
riešenie Dĺžky hrán kociek sú 62 cm a 84 cm.
11. Morská voda obsahuje 5% soli. Koľko kg sladkej vody treba priliať do 40 kg morskej vody, aby sa obsah soli
znížil na 2% ?
riešenie Do morskej vody treba priliať 60 kg sladkej vody.
12. Vodná nádrž sa naplní prvým prítokom za 1 hodinu 10 minút, druhým za 60 minút. Za koľko minút sa naplní
nádrž do polovice obidvoma prítokmi, ak druhý prítok bude otvorený o 12 minút neskôr?
riešenie Vodná nádrž sa naplní do polovice obidvoma prítokmi za 24 minút.
13. Jeden traktorista by zoral pole za 15 hodín, druhý traktorista, s výkonnejším strojom, by tú istú prácu urobil za
12 hodín. Za aký čas urobia prácu spoločne, ak druhý začne orbu o 2 hodiny neskoršie ako prvý?
riešenie Traktoristi urobia prácu spoločne za 7 hodín a 47 minút.
14. Otec má 48 rokov, syn 21. Pred koľkými rokmi bol otec 10-krát taký starý ako jeho syn?
riešenie Otec bol 10-krát taký starý ako jeho syn pred 18 rokmi.
15. Pri prvej ceste autom sa spotrebovalo 20% benzínu v nádrži. Pri druhej ceste sa spotrebovalo 10% benzínu z
množstva, ktoré zostalo po prvej ceste. Po dvoch cestách zostalo v nádrži 9 litrov benzínu. Koľko litrov
benzínu bolo na začiatku v nádrži?
riešenie Na začiatku bolo v nádrži 12,5 litrov benzínu.
16. Do dielne zakúpili 40 kusov náradia pre práce na pozemku. Rýle boli po 16 €, motyky po 18 €. Za nákup
zaplatili spolu 690 €. Vypočítaj, koľko rýľov a koľko motýk zakúpili.
riešenie Do dielne zakúpili 15 rýľov a 25 motýk.
17. Polovica žiakov 9. ročníka chce študovať na stredných priemyselných školách, štvrtina na odborných
učilištiach, šestina na gymnáziách a 3 žiaci nechcú ďalej pokračovať v štúdiu. Koľko žiakov je v triede?
riešenie V triede je 36 žiakov.
18. Vypočítaj dĺžku strany štvorca a dĺžky strán obdĺžnika, ktorý má jednu stranu o 5 cm dlhšiu a druhú o 2 cm
kratšiu ako je strana štvorca. Obsah obdĺžnika je o 11 cm2 väčší ako obsah štvorca.
riešenie Dĺžka strany štvorca je 7 cm a dĺžky strán obdĺžnika sú 12 cm a 5 cm.
19. Rýchlik prejde vzdialenosť od východiskovej po konečnú stanicu za 4 h 20 min. Osobný vlak, ktorého
priemerná rýchlosť je o 30 km/h menšia, prejde túto vzdialenosť za 7 h 40 min. Aká je rýchlosť rýchlika a aká
osobného vlaku?
riešenie Rýchlosť rýchlika je 69 km/h a rýchlosť osobného vlaku je 39 km/h.
20. V školskej jedálni pre 141 stravníkov majú zakúpiť za 300 € múčniky dvojakého druhu. Lacnejšie múčniky sú
po 2 € a drahšie po 2,50 €. Koľko múčnikov z každého druhu musia kúpiť?
riešenie V jedálni musia zakúpiť 105 lacnejších a 36 drahších múčnikov.
21. Štvorec a obdĺžnik majú rovnaké obsahy. Dĺžka obdĺžnika je o 9 väčšia a šírka o 6 menšia než strana štvorca.
Vypočítaj stranu štvorca.
riešenie Strana štvorca je dlhá 18.
22. Dĺžka pozemku je o 8 m menšia než trojnásobok šírky. Ak zväčšíme šírku o 5% dĺžky a dĺžku zmenšíme o
14% šírky, zväčší sa obvod pozemku o 30 m. Aké sú rozmery pozemku?
riešenie Dĺžka pozemku je 4 612 m a šírka pozemku je 1 540 m.
23. Súčet druhých mocnín dvoch za sebou idúcich prirodzených čísel je 1 201. Urči obidve čísla.
riešenie Hľadané prirodzené čísla sú 24 a 25.
24. Obdĺžnik má obvod 28 cm a uhlopriečku dĺžky 10 cm. Urči rozmery obdĺžnika.
riešenie Rozmery obdĺžnika sú 6 cm a 8 cm.
25. Súčet čitateľa a menovateľa neznámeho zlomku je 49. Pomer tohto zlomku ku prevrátenému zlomku je 9:16.
Urči neznámy zlomok.
riešenie Hľadaný zlomok je 21/28.
26. Koľko percent povrchu Zeme by zabral povrch Mesiaca, ak polomer Zeme je 6 378 km a polomer Mesiaca je
1 741 km?
riešenie Povrch Mesiaca by zabral 7,45 % povrchu Zeme.
27. Pravouhlý trojuholník, ktorého odvesny sú v pomere 5:12, má preponu dĺžky 26 cm. Aké dĺžky majú jeho
odvesny?
riešenie Odvesny pravouhlého trojuholníka majú dĺžky 10 cm a 24 cm.
28. Predné koleso na voze má obvod 2,1 m, zadné 3,5 m. Akú dĺžku má dráha, na ktorej sa zadné koleso
otočí o 2 000 krát menej než predné koleso?
riešenie Dráha má dĺžku 10,5 km.
29. Pravouhlý trojuholník má preponu 17 cm. Ak zmenšíme obe odvesny o 3 cm, zmenší sa prepona o 4 cm. Urči
dĺžky odvesien.
riešenie Odvesny pravouhlého trojuholníka majú dĺžky 8 cm a 15 cm.
30. Ktorý mnohouholník má o 42 uhlopriečok viac ako strán?
riešenie O 42 uhlopriečok viac ako strán má 12-uholník.
Iracionálne rovnice – precvičovanie
1.
Riešte dané rovnice
riešenie