Universitatea „Dunărea de Jos” din Galaţi
Facultatea de Științe și Mediu
Specializarea Matematică Didactică
LUCRARE DE DISERTAȚIE
Funcții elementare
Coordonator:
Masterand:
Lect. univ. dr. Patriciu Alina-Mihaela
Cristea (Antoniu) Mihaela
Galați, 2020
Cuprins
INTRODUCERE................................................................................................................................... 2
CAPITOLUL 1 FUNCȚII .................................................................................................................... 5
1.1.
Definiții. Terminologie. Notaţii ............................................................................................ 5
1.2.
Elemente asociate unei funcții.............................................................................................. 8
1.3.
Proprietăți generale ale funcțiilor ..................................................................................... 10
1.3.1.
Mărginirea ................................................................................................................... 10
1.3.2.
Paritatea ....................................................................................................................... 11
1.3.3.
Periodicitatea ............................................................................................................... 12
1.3.4.
Monotonia .................................................................................................................... 13
CAPITOLUL 2 FUNCȚII ELEMENTARE..................................................................................... 14
2.1.
Funcția identitate ................................................................................................................ 14
2.2.
Funcția constantă ................................................................................................................ 15
2.3.
Funcția putere ..................................................................................................................... 16
2.4.
Funcția radical .................................................................................................................... 18
2.5.
Funcția exponențială ........................................................................................................... 20
2.6.
Funcția logaritmică ............................................................................................................. 23
2.7.
Funcții trigonometrice ........................................................................................................ 24
2.7.1.
Funcția sinus ................................................................................................................. 25
2.7.2.
Funcția cosinus ............................................................................................................ 26
2.7.3.
Funcția tangentă.......................................................................................................... 28
2.7.4.
Funcția cotangentă ...................................................................................................... 30
2.8.
Funcții trigonometrice inverse ........................................................................................... 31
2.8.1.
Funcția arcsinus .......................................................................................................... 31
2.8.2.
Funția arccosinus ........................................................................................................ 33
2.8.3.
Funcția arctangentă .................................................................................................... 34
2.8.4.
Funcția arccotangentă ................................................................................................ 35
2.9.
Funcţii elementare .............................................................................................................. 36
BIBLIOGRAFIE ................................................................................................................................. 37
1
INTRODUCERE
„Matematica este un domeniu vast, pe care nimeni nu îl poate cunoaște în întregime.
Ceea ce poate fiecare să facă este să exploreze și să găsească o cale individuală. Posibilitățile
care ni se deschid ne vor conduce în alte vremuri și în alte culturi, către idei care îi preocupă
de secole pe matematicieni. …
Bineînțeles că Matematica din școală este altceva, predată deseori cu gândul la
examene. Presiunea timpului nu ajută nici ea, pentru că Matematica este un domeniu în care
rapiditatea nu este o calitate”1.
Matematica este un subiect atât de amplu, ce traversează toate domeniile acțiunii
umane, încât, uneori, poate să pară copleșitoare. Datorită acestui fapt, uneori, trebuie să ne
întoarcem la noțiunile elementare: numere, mulțimi de numere, relații între mulțimi, funcții
elementare.
În ceea ce privește noțiunea de funcție, voi încerca să privesc întâi în trecut și să
conturez un mic istoric.

1634 – Lui Galileo Galilei2 i se datorează primele observații sistematice privitoare la
dependenţa unei măsuri în funcție de alta. El a înțeles parabola, atât în termeni de secțiune
conică, cât și în termeni de ordonată ( ) ce variază în raport cu pătratul abscisei ( ). Galileo
în ultima parte a „Discursuri și demonstrații matematice legate de două noi științe” a
demonstrat „că traiectoria unui proiectil ce traversează un mediu fără frecare este o
parabolă”.3
1
Tony Crilly, 50 de idei pe care trebuie să le cunoști din Matematică, Ed. Litera, București, 2017.
2
Galileo Galilei (n. 15 februarie 1564 – d. 8 ianuarie 1642) a fost un fizician, matematician,
astronom și filosof italian, care a jucat un rol important în Revoluția Științifică. Printre realizările sale se numără
îmbunătățirea telescoapelor și observațiile astronomice realizate astfel, precum și suportul pentru copernicanism.
Galileo a fost numit „părintele astronomiei observaționale moderne”, „părintele fizicii moderne”, „părintele
științei”, și „părintele științei moderne”. Stephen Hawking a spus că „Galileo, poate mai mult decât orice altă
persoană, a fost responsabil pentru nașterea științei moderne.”
3
Stillman Drake and James MacLachlan, Scientific American, Vol.232, No. 3, March, 1975, pp. 102-111,
https://www.jstor.org/stable/24949756?seq=1, accesat la data: 01.04.2020
2

1636 – Pierre de Fermat4 în lucrarea sa „Des resolution problematium geometricarum
desertatio tripartite”, lucrare ce tratează utilizarea ecuațiilor binome în rezolvarea grafică a
ecuațiior, a introdus axele oblice (care nu se intersectau neapărat după un unghi drept) în plan
și a considerat că orice ecuație cu două coordonate variabile definește o curbă. Fermat
preluând ideile lui Descartes, a extins coordonatele carteziene plane la trei dimensiuni,
menționând suprafețe precum elipsoizi și paraboloizi determinate de ecuații cu trei variabile.

1637 – Rene Descartes5 introduce noțiunea de coordonate carteziene și sisteme de
coordonate carteziene, care îi poartă numele (Cartesius).
Ideea acestui sistem a fost dezvoltată în 2 lucrări ale acestuia. În partea a doua a
„Discursului asupra metodei”, introduce ideea specificării poziției unui punct sau obiect de pe
o suprafață, folosind două axe intersectate. În „La Geometrie”, a explorat în profunzime noile
concepte.

1694 – Jacob Bernoulli6 introduce noțiunea de funcție, noțiune ce provine din latinescul
foncio,-onis care înseamnă executare, îndeplinire. Tot lui îi aparține și notarea cu
a variabilei
4
Pierre de Fermat (n. 17 august 1601, Beaumont-de-Lomagne, Franța – d. 12 ianuarie 1665,
Castres, Franța) a fost un avocat, funcționar public și matematician francez, cunoscut pentru contribuțiile sale
vaste în diferite domenii ale matematicii, precursor al calculului diferențial, geometriei analitice și calculului
probabilităților. Lui Fermat îi este atribuit într-o măsură mai mică calculul modern, în special, pentru contribuția
sa referitoare la tangente și punctele staționare. Fermat este considerat de unii autori „părinte” al calculului
diferențial și al teoriei numerelor. A avut contribuții și în geometria analitică, precum şi în teoria probabilităţilor.
5
René Descartes (n. 31 martie 1596, Descartes, Franța – d. 11 februarie 1650, Stockholm,
Suedia), cunoscut de asemenea cu numele latin Cartesius, a fost un filozof și matematician francez.
6
Jacob Bernoulli (cunoscut și ca Jacques sau Iacob Bernoulli) (n. 27 decembrie 1654, Basel; d.
16 august 1705) a fost un matematician și fizician elvețian ce a aparținut celebrei familii Bernoulli. Contemporan
cu Newton și Leibniz, a dezvoltat calculul diferențial și integral introdus de aceștia.
3
independente, notație care este și astăzi consacrată. În periodicul „Acta Eroditorum” (1691),
Jacob Bernoulli a folosit un sistem cu un punct pe o linie, numit pol, respectiv axă polară.

1734 – Leonard Euler7 introduce notația
pentru funcție.
După cum am evidențiat, istoria funcțiilor este vastă, dar întrebarea firească este dacă
aceste dependențe funcționale au aplicabilitate practică sau rămân doar în sfera Matematicii.
Răspunsul evident este: da! Se poate demonstra foarte ușor folosirea lor în domenii precum:
medicină, seismologie, arhitectură, afaceri, economie, etc.
Cu toate acestea, lucrarea de față nu urmărește aplicabilitatea funcțiilor în alte domenii,
ci analiza lor ca structuri matematice.
Această lucrare de disertaţie, structurată pe 2 capitole, prezintă, după cum indică şi titlul
ei, funcțiile elementare. Aceste funcții au o bine cunoscută importanță în: trigonometrie,
matematica financiară, fizică, economie, etc., importanță datorată pe de o parte bogației
rezultatelor ce se obțin cu ajutorul acestor funcții, și pe de altă parte frumuseții acestor rezultate.
În primul capitol al lucrării sunt evidențiate noțiuni generale precum: noțiunea de
funcție, proprietățile funcțiilor, funcții injective, funcții surjective, funcții bijective,
compunerea funcțiilor, monotonie şi inversa unei funcții.
Funcțiile de bază precum: funcția identitate, funcția constantă, funcția valoare absolută,
funcția de gradul întâi, funcția de gradul al doilea, funcția rațională, funcția radical, funcția
putere, funcția exponențială, funcția logaritmică, funcțiile trigonometrice (sinus, cosinus,
arcsinus, arcosinus, tangentă, cotangentă, arctangentă, arccotangentă) sunt prezentate în cel de
al doilea capitol al lucrării, urmărind structura primului capitol.
În finalul lucrării este prezentată bibliografia studiată pentru realizarea acestei lucrări.
7
Leonhard Euler (n. 15 aprilie 1707, Basel, Elveția – d. 18 septembrie 1783, Sankt Petersburg,
Imperiul Rus) a fost un mathematician și fizician elvețian. Euler este considerat a fi fost forța dominantă a
matematicii secolului al XVIII-lea și unul dintre cei mai remarcabili matematicieni și savanți multilaterali ai
omenirii. Alături de influența considerabilă pe care a exercitat-o asupra matematicii și matematizării științelor
stau atât calitatea și profunzimea, cât și prolificitatea extraordinară a scrierilor sale, opera sa exhaustivă putând cu
ușurință umple 70 - 80 de volume de dimensiuni standard (dacă ar fi publicată vreodată integral).
4
CAPITOLUL 1
FUNCȚII
1.1.
Fie
Definiții. Terminologie. Notaţii
și
două mulțimi (distincte sau nu).
Definiția 1.1.1.
Dacă, printr-un procedeu oarecare, facem să corespundă fiecărui element
∈ , spunem că am definit o funcție pe
singur element
→
iar
cu valori în .
Prin funcție se înțelege ansamblul format din: mulțimea , mulțimea
de la
∈
un
și corespondența
la .
Mulțimea
se numește mulțimea de definiție (sau domeniul de definiție) a (al) funcției,
se numește mulțimea în care ia valori (sau codomeniu).
O funcție se notează cu o literă, de exemplu
, ℎ, , , , etc.).
Dacă
aplicație a lui
este o funcție definită pe
(se pot folosi și alte litere,
cu valori în , se spune, de asemenea, că
este o
în .
Se folosește adesea notația
care se citește: funcția
:
definită pe
→ ,
cu valori în , sau, aplicația
a lui
în .
Dacă într-un raționament intervin două sau mai multe funcții, vom folosi diagrame de
forma următoare:
/→
→
unde printr-un grup de semne ca
Dacă printr-o funcție :
∈ , spunem că
lui
→
,
\→
se înțelege că este o aplicație a lui
→ , unui element
este valoarea funcției
îi corespunde elementul (unic)
în punctul , și se notează
=
.
Spunem, de asemenea, că
este imaginea lui
prin funcția , sau, că funcția
transformă pe
Uneori, se folosește în loc de
∈
prin funcția , sau
în .
notația indicială
5
în .
.
. Astfel:
este transformatul
Un element oarecare
al domeniului de definiție
sau argument al funcției . Funcția
se reprezintă, de asemenea, prin notația simbolică:
→
Observații:
"° .
Trebuie făcută distincție între
ansamblul ei) și elementul
din
se notează adesea cu
se numește, de asemenea, variabilă
; ∈ .
(care reprezintă corespondența de la
(care reprezintă valoarea funcției
→
în loc de
, ceea ce constituie un abuz de limbaj foarte
mulțimea numerelor reale, va fi notată, mai simplu, 2% .8
Aplicațiile
(° .
Dacă :
ale unei mulțimi
mulțimea aplicațiilor lui
reală sau că
→
într-o mulțime
' 9
în , care se notează
⊂ ℝ și
cu
, în
în ). Totuși, funcția
frecvent și de foarte multe ori necesar. De exemplu, funcția exponențială
&° .
la
→ 2% , definită pe
sunt elementele unei mulțimi, numită
.
⊂ ℝ vom spune că
este funcție reală de variabilă
este funcție numerică.
O funcţie poate fi definită:
i)
sintetic: printr-o diagramă sau prin tabloul de valori;
ii)
analitic: printr-o formulă.
Funcţiile :
→
şi : + → , sunt egale dacă şi numai dacă:
= +,
=,
şi
=
Definiţia 1.1.2.
Fie
funcţiei
(i)
(ii)
o mulţime,
la
.,
.
⊆
o submulţime şi :
notată |'1 , funcţia |'1 :
|'1
Pentru o funcţie oarecare :
dacă
dacă
.,
2
4 4∈5
∈3
∈3
,∀ ∈ .
şi
.
→
⊂
.
=
→
→
o funcţie. Se numeşte restricţia
definită prin
,∀ ∈
..
au loc proprietăţile:
2,
atunci
, atunci
67
4∈5
8
48
.
⊂
=7
4∈5
2
;
4
M. Nicolescu, N. Dinculeanu, S. Marcus, Analiză Matematică, Ediția a IV-a, Ed. Didactică și Pedagogică,
București, 1971, pp. 14-17.
9
Idem 7
6
şi
Dacă
atunci pe
:
→ ℝ şi
69
48
4∈5
:
⊂9
.
4
4∈5
→ ℝ sunt funcţii reale, având acelaşi domeniu de definiţie,
+ , − ,< , ∙ ,>
se pot defini funcţiile reale
+
>
∙
,
>?@
=
<
+
=<
=
,
,
,
A
=>
= >?@A
,
,
,
,
, >?@
,
prin:
B,
B,
numite suma funcţiilor, diferenţa funcţiilor, produsul unei funcţii cu un scalar, produsul a două
funcţiilor, maximul a două funcţii, respectiv minimul a două funcţii.
Pe mulţimea
\A ∈
|
→
și :
Fie funcțiile :
se numește compusa funcțiilor
= 0B putem defini funcţia reală prin:
D E
.
=
→ +. Funcția notată
∘
= G
și .
În general,
∘ℎ =
∘
≠
→ +, definită prin
H, ∀ ∈
Compunerea funcţiilor este asociativă, adică:
∘
∘ :
∘
adică, compunerea funcţiilor nu este comutativă.
∘ ℎ.
∘ ,
Definiția 1.1.3.
Funcția :
→
Definiția 1.1.4.
Funcția :
→
Definiția 1.1.5.
Funcția :
→
se numește injectivă dacă
∀ .,
2
∈ ,
.
≠
2
⇒
.
se numește injectivă dacă
∀ .,
2
∈ ,
.
=
2
se numește surjectivă dacă
∀ ∈ ,∃ ∈
astfel încât
7
⇒
≠
.
=
2
=
.
2.
.
Definiția 1.1.6.
O funcție :
→
este bijectivă dacă este și injectivă și surjectivă, adică pentru orice
∈ , există și este unic un
∘
Dacă
şi
∈
= .
astfel încât
sunt amândouă funcţii injective (surjective, respectiv bijective), atunci
este, de asemenea, injectivă (surjectivă, respectiv bijectivă).
Definiţia 1.1.7.
Spunem că funcția :
∘
→
este inversabilă dacă există o funcție :
= 1'
și
∘
N.
.
= 1M
,
→
astfel încât
unde 1' este aplicaţia identică în , iar 1M este aplicaţia identică în .
Inversa funcției
Funcția
se notează cu
este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă.
Inversa unei funcții este unică.
și
1.2.
O1
Elemente asociate unei funcții
Definiția 1.2.1.
Fie funcția :
mulțimea:
→ . Se numește imaginea funcției , și se notează cu P> sau
P> = A
sau
P> = A ∈
Definiția 1.2.2.
Fie funcția :
→
|∃ ∈ ,
(ii)
Pentru o funcţie oarecare :
dacă
şi
2
4 4∈5
∈3
∈3
şi
N.
Q =A ∈Q|
N.
.,
= B.
al funcţiei.
şi fie Q ⊂ . Se numește imaginea reciprocă sau contraimaginea
sau preimaginea prin funcția , și se notează cu
dacă
,
/ ∈ B
P> reprezintă o submulțime a codomeniului
(i)
= .
sunt simetrice față de prima bisectoare, de ecuație
.
→
⊂
Q , mulțimea:
∈ QB.
au loc proprietăţile:
2,
atunci
N.
.
, atunci
N.
67
4∈5
8
48
=7
4∈5
⊂
N.
N.
4
2
;
N.
(iii)
dacă R ⊂ , atunci
(iv)
dacă
.,
Fie funcția :
perechi G ,
deoarece
2
∈3
N.
∈
∈ .
și
= TG ,
Graficul funcției
Orice element
una.
.
H∶
∈
=
→
=
N.
.
\
stabilită de
N.
2
.
se poate reprezenta prin
graficului funcției .
⊂
×
,
=
ale lui
,
,
∈ , elementul unic
Mulțimea
Exemplu.
,
cu
,
∈ .
,
verifică egalitatea
, avem
∈ .
∈
× .
9
.
face parte dintr-o pereche
→ , făcând să corespundă
∈ , adică punând
=
în ea însăși este mulțimea
Graficul funcției identice se numește diagonala produsului cartezian
=
≠
astfel definite.
Graficul funcției identice a mulțimii
2
, și numai din
și numai de acestea, se numește ecuația
∈ , pentru care
reprezintă graficul funcției
∈
,
și numai din una. Putem atunci defini o funcție :
pentru fiecare pereche
a graficului
care nu aparține lui
× , care are proprietatea că fiecare element
fiecărui element
H cu
× ,
și este caracterizat de următoarele
a graficului, cele două coordonate și
. Pentru orice altă pereche
verificată de toate elementele
perechilor
2
;
4
\R .
N.
face parte dintr-o pereche
,
În fiecare pereche
∈
\
N.
∈ V a tuturor perechilor de forma G ,
Egalitatea
,
4∈5
este o submulțime a lui
proprietăți:
Fie
=9
R =
N.
→ . Corespondența
se numește graficul funcției .
ii)
4∈5
\
, atunci
48
H, ordonate. O astfel de pereche este un element al produsului cartezian
Mulțimea
i)
69
Observații:
"° .
Graficul unei funcții :
&° .
O mulțime W ⊂
mulțimea
coincide cu produsul cartezian
este formată dintr-un singur element.
element , dar cu
×
dacă și numai dacă
, ′ , cu același prim
și
i se asociază două elemente diferite
Datorită corespondenței dintre o funcție
folosește, uneori, pentru funcție, notația
Dacă o funcție
funcției
,
care conține două perechi
×
≠ ′, nu poate reprezenta graficul unei funcții, deoarece în corespondența
stabilită de mulțimea W, lui
(° .
→
=
=
și ecuația
.
și ′.
a graficului său
, se
este injectivă, atunci orice paralelă la axa Y intersectează graficul
în cel mult un punct.
Dacă o funcție
este surjectivă, atunci orice paralelă la Y printr-un punct
Dacă o funcție
este bijectivă, atunci orice paralelă la axa Y printr-un punct
Y intersectează graficul funcției în cel puțin un punct.
pe Y intersectează graficul funcției
în exact un punct.
∈
de pe
∈
de
Reciprocele celor trei afirmaţii precedente sunt adevărate.
1.3.
Proprietăți generale ale funcțiilor
1.3.1. Mărginirea
Definiția 1.3.1.
(i)
Funcția numerică : , → ℝ este:
mărginită inferior dacă mulţimea valorilor ei
, = A ∈ ℝ | ∃ ∈ , Z[ \] î@_â[
este minorată, adică, dacă există un număr real > astfel încât
∈ ,;
(ii)
(iii)
≥ > pentru orice
, este majorată, adică, dacă
mărginită superior dacă mulţimea valorilor ei
există un număr real R astfel încât
= B
≤ R pentru orice
∈ ,;
mărginită dacă mulţimea valorilor funcţiei este inclusă într-un interval mărginit de
numere reale, adică, dacă
∃ ,
sau
Echivalent,
∈ ℝ astfel încât P>
∃>, R ∈ ℝ astfel încât > ≤
⊂
,
≤ R, ∀ ∈ ,.
: , → ℝ este mărginită dacă ∃R > 0 astfel încât |
10
| ≤ R, ∀ ∈ ,
sau
: , → ℝ este mărginită dacă graficul ei este cuprins între două drepte paralele cu axa Y .
Dacă , : , → ℝ sunt două funcţii mărginite pe ,, atunci funcţiile
∙ : , → ℝ sunt mărginite pe , pentru că, dacă
şi
atunci:
> ≤
≤ R ,∀ ∈ ,
> ≤
≤ R , ∀ ∈ ,,
> +> ≤
∙
≤ R + R ,∀ ∈ , ⇔
−
≤ R − R ,∀ ∈ , ⇔
> +> ≤
+
> −> ≤
−
> −> ≤
|
+
|≤>
± : , → ℝ,
≤ R + R , ∀ ∈ ,,
≤ R − R , ∀ ∈ ,,
Tf> f, fR fV ∙ >
Tf> f, fR fV, ∀ ∈ ,.
Mărginirea nu se transferă şi în cazul . De exemplu, funcţiile : 0,1 → ℝ,
şi
: 0,1 → ℝ,
= 1 sunt mărginite, însă funcţia
’ = Zlm%∈n
g
=h
) şi un infimum (notat ?@
, atunci se spune că funcţia
se numeşte maximul funcţiei
dacă există ′′ ∈ , astfel încât
marginea inferioară. Numărul
şi se notează >?@%∈n
.
definită pe 0,1 nu este
1, R < 1
.
, avem
,R > 1
jk.
: , → ℝ este mărginită, atunci mulţimea
Dacă funcţia
(notat Zlm%∈n
.
%
> 0, dar nu este superior mărginită pe 0,1
mărginită (ea este inferior mărginită deoarece
deoarece pentru orice număr real R, luând
=
%∈n
g
%∈n
> R).
, are un supremum
). Dacă există
’ ∈ , astfel încât
îşi atinge marginea superioară. Numărul ’
relativ la mulţimea , şi se notează >
′′ = ?@
=1
%∈n
, atunci se spune că funcţia
′′ se numeşte minimul funcţiei
. Analog,
îşi atinge
relativ la mulţimea ,
1.3.2. Paritatea
Definiţia 1.3.2.
Mulţimea
⊂ ℝ,
rezultă că şi − ∈ .
≠ ∅ se numeşte simetrică faţă de origine dacă din faptul că
11
∈
Definiţia 1.3.3.
Funcția :
unde
→
∈ ,
este pară dacă pentru orice
−
=
,
este o mulțime simetrică față de origine.
Graficul unei funcții pare este simetric față de axa Y a sistemului ortogonal de axe.
Definiţia 1.3.4.
Funcția :
unde
axe.
→
este impară dacă pentru orice
−
este o mulțime simetrică față de 0.
=−
,
∈ ,
Graficul unei funcții impare este simetric față de originea Y a sistemului ortogonal de
Proprietăți.
P1.
Singura funcție care este și pară și impară este funcția constantă egală cu zero.
P2.
Suma și diferența a două funcții de aceeași paritate mențin acea paritate.
P3.
Orice multiplu al unei funcții are aceeași paritate ca funcția originală.
P4.
Produsul a două funcții de aceeași paritate este o funcție pară.
P5.
Produsul unei funcții pare cu o funcție impară este o funcție impară.
P6.
Raportul dintre două funcții de aceeași paritate este o funcție pară.
P7.
Raportul dintre o funcție pară şi o funcție impară este o funcție impară.
1.3.3. Periodicitatea
Definiţia 1.3.5.
orice
Funcția :
∈
→
pentru care
este periodică de perioadă q dacă există q ∈ ℝk astfel încât pentru
+q ∈
avem
+q =
.
Numărul q se numeşte perioadă a funcţiei . Dacă :
→
este funcţie periodică şi q
este o perioadă a funcţiei , atunci pentru orice @ ∈ ℕ∗ , numărul @ ∙ q este, de asemenea, o
perioadă a funcţiei .
Dacă există cea mai mică perioadă pozitivă, atunci aceasta se notează cu q ∗ și se
numește perioadă principală.
Graficul unei funcții periodice se trasează mai întâi pe intervalul 0, q de lungime egală
cu perioada principală a funcției. Apoi, graficul se extinde pe intervalele q, 2q , ș.a.m.d. prin
deplasarea
R′G + q,
oricărui
H.
punct
RG ,
H
12
paralel
cu
axa
Y ,
în
punctul
Dacă
sunt două funcții periodice de perioade principale q, respectiv t, cu
şi
q, t ∈ ℤk , atunci
+
=
unde q, t = _. >. >. >. _. q, t .
+
+ q, t ,
1.3.4. Monotonia
Dată fiind o mulțime ordonată , o funcție monotonă cu domeniul
este o funcție care
păstrează sau inversează ordinea elementelor din mulțimea .
Definiția 1.3.6.
pentru
.
O funcție :
≤
oricare
2
→
două
se numește funcție crescătoare pe o submulțime R a lui
.
Definiția 1.3.7.
oricare
O funcție :
., 2
∈ R, _l
→
.
Definiția 1.3.8.
pentru
.
O funcție :
≥
oricare
2
., 2
elemente
→
două
<
2
.
avem
., 2
proprietatea
că
.
<
→
<
2
.
2
are
loc
dacă pentru
se numește funcție descrescătoare pe o submulțime R a lui
dacă
se numește strict descrescătoare pe o submulțime R a lui
dacă
., 2
elemente
Definiția 1.3.9.
pentru oricare
cu
se numește strict crescătoare pe o submulțime R a lui
.
O funcție :
∈R
dacă
∈ R, _l
.
<
2
∈R
cu
.
avem
>
proprietatea
2
că
.
<
2
are
.
loc
O funcție se numește funcție crescătoare dacă este crescătoare pe tot domeniul.
O funcție se numește funcție descrescătoare dacă este descrescătoare pe tot domeniul.
O funcție se numește funcție monotonă dacă este crescătoare sau descrescătoare.
O funcție se numește funcție strict monotonă dacă este strict crescătoare sau strict
descrescătoare.
Două proprietăţi importante a funcţiilor monotone sunt:
P1.
P2.
Dacă funcţia : , → ℝ este strict monotonă pe ,, atunci
Dacă funcţia
:
→
este injectivă pe ,.
este surjectivă şi strict crescătoare (respectiv strict
descrescătoare) pe , atunci funcţia sa inversă
strict descrescătoare) pe .
13
N.
:
→
este strict crescătoare (respectiv
CAPITOLUL 2
FUNCȚII ELEMENTARE
2.1.
Funcția identitate
Funcția identitate este funcția care întoarce întotdeauna aceeași valoare care a fost
folosită ca argument. Adică,
este funcţia identitate dacă egalitatea
=
pentru orice . Funcția identitate definită pe mulţimea A se notează 1' sau id' .
Dacă :
→ , ,
⊆ ℝ este o funcție oarecare, atunci
→ , ,
⊆ ℝ este o funcție inversabilă și
∘ 1' =
este valabilă
= 1' ∘ , adică 1'
este elementul neutru al monoidului tuturor funcţiilor definite pe A în raport cu compunerea
funcţiilor.
∘
Dacă :
N.
= 1' .
N.
:
→
este inversa ei, atunci
Graficul funcției identitate reprezintă prima bisectoare.
Alte proprietăţi ale funcţiei identitate:
P1)
Funcția identitate este un operator liniar, atunci când este definită pe spații vectoriale.
P2)
Într-un spațiu vectorial dimensional funcția identitate este reprezentată de matricea
identitate Px , indiferent de bază.
14
P3) Într-un spațiu metric identitatea este o izometrie. Un obiect fără nicio simetrie are ca grup
de simetrie grupul banal care conține doar această izometrie.
P4) Într-un spațiu topologic, funcția identitate este întotdeauna continuă.
P5) Funcția identitate este idempotentă (1' ∘ 1' = 1' ).
2.2.
Funcția constantă
Se numește funcție constantă funcția
_ ∈ ℝ este o constantă.
:
→ , ,
⊆ ℝ,
= _, ∀ ∈
unde
Graficul funcției constante reprezintă o paralelă la axa Y , de exemplu, dacă
: ℝ → ℝ,
= 4, atunci graficul ei este:
În particular, pentru _ = 0 graficul funcției constante reprezintă axa Y .
15
= 0 este singura funcție și pară și impară.
Funcția
O funcție constantă este o funcție pară, adică graficul unei funcții constante este
întotdeauna simetric față de axa Y .
Derivata unei funcții este o măsură a vitezei de modificare a valorilor funcției în raport
cu modificarea valorilor de intrare. Deoarece o funcție constantă nu se schimbă, derivata sa
este 0. De asemenea, reciproca este adevărată şi anume, dacă ′
reale , atunci
este o funcție constantă.
= 0 pentru toate numerele
Fiecare funcție constantă al cărei domeniu și codomeniu coincid este idempotentă.
Fiecare funcție constantă între spații topologice este continuă.
2.3.
Funcția putere
Puterea @ a unui număr , notată
x
, este o operație între numărul
, numit bază,
respectiv, @ numit exponent. Dacă @ ∈ ℕ, atunci ridicarea la putere poate fi definită ca o
înmulțire repetată:
x
= z{
∙ {|{
∙ …{}
∙ .
x
Definiția 2.3.1.
Se numește funcție putere funcția
:ℝ → ,
1. Pentru @ par avem:
⊆ ℝ,
=
: ℝ → ℝk ,
16
x
, @ ∈ ℕ, @ ≥ 2.
=
x
Proprietăți:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
Funcţia putere cu exponent par este descrescătoare pe ℝN și crescătoare
pe ℝk .
Funcţia putere cu exponent par este pară.
Funcţia putere cu exponent par nu este injectivă pe ℝ, dar restricțiile lui
la ℝk sunt funcții injective.
la ℝN și
Funcţia putere cu exponent par este surjectivă pe ℝ.
: ℝ → ℝk nu este bijectivă, dar restricțiile
Funcţia putere cu exponent par
|ℝO : ℝN → ℝk și |ℝ~ : ℝk → ℝk sunt bijective.
2. Pentru @ impar avem:
: ℝ → ℝ,
=
x
Proprietăți:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
Funcţia putere cu exponent impar este crescătoare pe ℝ.
Funcţia putere cu exponent impar este impară.
Funcţia putere cu exponent impar este injectivă pe ℝ.
Funcţia putere cu exponent impar este surjectivă pe ℝ.
Funcţia putere cu exponent impar este bijectivă pe ℝ.
Funcţia putere cu exponent impar : ℝ → ℝ este inversabilă, iar inversa ei este
N.
: ℝ → ℝ,
N.
= √ .
€
17
Puterea −@, unde @ ∈ ℕ* , a unui număr
=
Nx
Definiția 2.3.2.
Fie @ ∈ ℕ* . Funcţia : ℝ* → ℝ,
=
exponent negativ.
∈ ℝ* , notată
1
x
Nx
, este egală cu
.
Nx
, ∀ ∈ ℝ* se numeşte funcţia putere cu
3. Pentru @ par au loc următoarele proprietăţi:
Funcţia putere cu exponent negativ este strict descrescătoare pe 0, ∞ și strict
i)
crescătoare pe −∞, 0 .
ii)
Funcţia putere cu exponent negativ este pară.
4. Pentru @ impar au loc următoarele proprietăţi:
Funcţia putere cu exponent negativ este strict descrescătoare pe intervalele −∞, 0
i)
şi 0, ∞ , dar nu este strict descrescătoare pe ℝ* .
ii)
Funcţia putere cu exponent negativ este impară.
2.4.
Fie
Funcția radical
∈ ℝ,
≥ 0 şi @ ∈ ℕ* .
Teorema 2.4.1.
Ecuaţia
x
are o rădăcină pozitivă şi numai una.
=
Proprietatea pusă în evidenţă de Teorema 2.4.1. permite definirea noţiunii de radical.
Definiția 2.4.1.
Fie
∈ ℝ,
numărul pozitiv
≥ 0 și @ ∈ ℕ un număr natural nenul. Se numește radical de ordinul @
pentru care
x
= .
Conforma Teoremei 2.4.1, un astfel de număr există şi este unic.
Notații:


√ − radical de ordinul @ din ;
€
√ − radical de ordinul 2 din .
Definiția 2.4.2.
Fie @ ∈ ℕ, @ ≥ 2. Se numește funcție radical funcția :
18
→ , ,
⊆ ℝ,
= √ .
€
1. Pentru @ par avem:
: ℝk → ℝk ,
= √ .
€
Proprietăți:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
Funcţia radical de ordin par este crescătoare pe ℝk .
Funcţia radical de ordin par este injectivă pe ℝk .
Funcţia radical de ordin par este surjectivă pe ℝk .
Funcţia radical de ordin par este bijectivă pe ℝk .
Funcţia radical de ordin par
N.
: ℝk → ℝk ,
N.
2. Pentru @ impar avem:
=
x
.
: ℝk → ℝk este inversabilă, iar inversa ei este
: ℝ → ℝ,
19
= √ .
€
Proprietăți:
Funcţia radical de ordin impar este crescătoare pe ℝ.
i)
ii)
Funcţia radical de ordin impar este impară.
Funcţia radical de ordin impar este injectivă pe ℝ.
iii)
Funcţia radical de ordin impar este surjectivă pe ℝ.
iv)
Funcţia radical de ordin impar este bijectivă pe ℝ .
v)
vi)
Funcţia radical de ordin impar
N.
2.5.
:ℝ → ℝ,
N.
=
x
.
: ℝ → ℝ este inversabilă, iar inversa ei este
Funcția exponențială
Definiția 2.5.1.
Se numește funcție exponențială funcția
: ℝ → 0, +∞ ,
=\ m
= \%,
unde \ este o constantă matematică, baza logaritmului natural, egală cu aproximativ
2,718281828.
Graficul funcţiei exponenţiale este mereu pozitiv (deasupra axei Y ) și în creștere
(de la stânga la dreapta). El nu atinge niciodată axa Y , deși se apropie oricât de mult de
ea (astfel, axa Y este asimptotă orizontală a graficului).
20
Uneori, termenul funcție exponențială este folosit în sens mai general, pentru a denumi
funcțiile de forma
%
, unde , denumit bază, este orice număr real pozitiv diferit de unu.
Definiția 2.5.2.
Se numește funcție exponențială funcția
1. Pentru
: ℝ → 0, +∞ ,
> 1 avem:
21
=
%
,
> 0,
≠ 1.
Proprietăți:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
Funcţia exponenţială de bază mai mare decât 1 este strict crescătoare pe ℝ.
Funcţia exponenţială de bază mai mare decât 1 este injectivă pe ℝ .
Funcţia exponenţială de bază mai mare decât 1 este surjectivă pe ℝ .
Funcţia exponenţială de bază mai mare decât 1 este bijectivă pe ℝ .
Funcţia exponenţială de bază mai mare decât 1, : ℝ → 0, +∞ , este inversabilă,
iar inversa ei este
2. Pentru
N.
∈ 0,1 avem:
: 0, +∞ → ℝ ,
Proprietăți:
i)
Funcţia exponenţială de bază
ii)
Funcţia exponenţială de bază
iii)
Funcţia exponenţială de bază
iv)
Funcţia exponenţială de bază
v)
Funcţia exponenţială de bază
inversa ei este
N.
N.
= log
.
∈ 0,1 este strict descrescătoare pe ℝ.
∈ 0,1 este injectivă pe ℝ .
∈ 0,1 este surjectivă pe ℝ .
∈ 0,1 este bijectivă pe ℝ .
∈ 0,1 ,
: 0, +∞ → ℝ ,
22
N.
: ℝ → 0, +∞ , este inversabilă, iar
= log
.
2.6.
Funcția logaritmică
Definiția 2.6.1.
Logaritmul unui număr real pozitiv
exponentul la care
în baza , un număr real pozitiv diferit de 1, este
trebuie să fie ridicat pentru a da .
Cu alte cuvinte, logaritmul lui
în baza
ˆ
este soluția
= .
a ecuației:
Din modul în care se defineşte logaritmul unui număr, din proprietăţile funcţiei
exponenţiale
Definiția 2.6.2.
Se numește funcție logaritmică de bază
Observații.
1° .
2° .
Pentru
Pentru
1. Pentru
: 0, +∞ → ℝ,
= \, log ‰
= 10, log.g
> 1 avem:
funcția
= log
,
> 0,
≠ 1.
= ln se numește logaritm natural.
=]
se numește logaritm zecimal.
Proprietăți:
i)
ii)
iii)
Funcţia logaritmică de bază mai mare decât 1 este strict crescătoare pe 0, +∞ .
Funcţia logaritmică de bază mai mare decât 1 este injectivă pe 0, +∞ .
Funcţia logaritmică de bază mai mare decât 1 este surjectivă pe 0, +∞ .
23
Funcţia logaritmică de bază mai mare decât 1 este bijectivă pe 0, +∞ .
iv)
Funcţia logaritmică de bază mai mare decât 1, : 0, +∞ → ℝ, este inversabilă,
v)
iar inversa ei este
2. Pentru
∈ 0,1 avem:
N.
: ℝ → 0, +∞ ,
Proprietăți:
i)
Funcţia logaritmică de bază
ii)
Funcţia logaritmică de bază
iii)
Funcţia logaritmică de bază
iv)
Funcţia logaritmică de bază
v)
Funcţia logaritmică de bază
inversa ei este
2.7.
N.
N.
=
%
.
∈ 0,1 este strict descrescătoare pe 0, +∞ .
∈ 0,1 este injectivă pe 0, +∞ .
∈ 0,1 este surjectivă pe 0, +∞ .
∈ 0,1 este bijectivă pe 0, +∞ .
∈ 0,1 ,
: ℝ → 0, +∞ ,
N.
: 0, +∞ → ℝ, este inversabilă, iar
=
%
.
Funcții trigonometrice
Prin funcția de acoperire universală, fiecărui număr real [ îi corespunde, în mod unic,
un punct R pe cercul trigonometric, numit imaginea sa, notată cu R [ .
Pe de altă parte, punctul R, fiind în plan, are două coordonate carteziene:
abscisa punctului R, iar
j
reprezintă ordonata punctului R.
24
j
este
Astfel, avem numărul real [ ∈ ℝ, căruia i se asociază pe cercul trigonometric, punctul
R [ ∈ ‹ 0,1 ,
R [ =R
j, j
= R cos , sin
.
2.7.1. Funcția sinus
Definiția 2.7.1.
Se numește funcție sinus funcția care îi asociază oricărui număr real [ ∈ 0,2Ž ,
ordonata imaginii sale de pe cercul trigonometric, adică numărul
Așadar, avem funcția:
Graficul funcției sinus
sin [ =
: ℝ → ℝ,
j.
= sin .
Pentru a reprezenta grafic funcția sinus, este nevoie de tabelul de valori:
unde, punctele de pe grafic au coodonatele:
−Ž, 0 ,
Proprietăți:
i)
Funcția sinus este mărginită.
25
•
•− , −1‘ , + 0,0 și ’ Ž, 0 .
2
Avem
sin
ceea ce este echivalent cu
∈ −1,1 ,
|sin | ≤ 1, oricare ar fi
ii)
Funcția sinus este o funcție impară:
iii)
Intersecția graficului cu axele

sin −
Intersecția cu axa Y :
; atunci:

iv)
Intersecția cu axa Y :
= − sin , oricare ar fi
= 0 , avem: sin
= 0, dacă și numai dacă
= “Ž, “ ∈ ℤ
= 0. În acest caz, avem că
sin 0 = 0 ⇒ ”•–— = AY 0,0 B.
Funcția sin nu este monotonă pe mulțimea ℝ, dar: funcția sin este strict
descrescătoare pe intervalul închis š
vi)
∈ ℝ.
”•–— ∩ Y = A™ “Ž, 0 | “ ∈ ℤB.
crescătoare pe intervalul închis š
v)
∈ ℝ.
›œN. •
2
›œk. •
2
,
,
›œk. •
2
›œkž •
2
•, pentru “ ∈ ℤ și este strict
• , “ ∈ ℤ.
Funcția sin este periodică, de perioadă q = 2“Ž, “ ∈ ℤ și de perioadă
principală qg = 2Ž.
sin
+ 2“Ž = sin , ∀
∈ ℝ, ∀ “ℤ.
Funcția sin nu este bijectivă pe mulțimea ℝ, dar restricția sa
Ž Ž
:̅ š− , • → −1,1 , ̅
= sin
2 2
este bijectivă și are ca inversă funcția
N.
vii)
Ž Ž
: −1,1 → š− , • ,
2 2
Semnul funcției sin:
sin
sin
≥0⟺
<0⟺
N.
= arcsin .
∈ 2“Ž, 2“ + 1 Ž , “ ∈ ℤ;
∈ G 2“ + 1 Ž, 2“ŽH, “ ∈ ℤ.
2.7.2. Funcția cosinus
Definiția 2.7.2.
Se numește funcție cosinus funcția care îi asociază oricărui număr real [ ∈ 0,2Ž ,
abscisa imaginii sale de pe cercul trigonometric, adică numărul
cos [ =
26
j.
Așadar, avem funcția:
Graficul funcției cosinus
: ℝ → ℝ,
= cos .
Pentru a reprezenta grafic funcția cosinus, este nevoie de tabelul de valori:
unde punctele de pe grafic au coordonatele:
Ž
Ž
` −Ž, −1 , ` •− , 0‘ , +` 0,1 , ,` • , 0‘ , ’` Ž, −1 .
2
2
Proprietăți:
i)
Funcția cosinus este mărginită.
Avem
ceea ce este echivalent cu
ii)
cos
∈ −1,1 ,
|cos | ≤ 1, oricare ar fi
Funcția cosinus este o funcție pară:
cos −
∈ ℝ.
= cos , oricare ar fi
27
∈ ℝ.
iii)


iv)
v)
vi)
Intersecția graficului cu axele
Intersecția cu axa Y :
cu “ ∈ ℤ ; atunci:
= 0 , avem: cos
= 0, dacă și numai dacă
”¤¥• ∩ Y = h™ ¦ 2“ + 1
Intersecția cu axa Y :
= 0, avem:
•
2
,
Ž
, 0§¨ “ ∈ ℤ©.
2
cos 0 = 1 ⇒ ”¤¥• ∩ Y = A
0,1 B.
Funcția cos nu este monotonă pe mulțimea ℝ, dar: funcția cos este strict
crescătoare pe intervalul închis 2“ − 1 Ž, 2“Ž , pentru “ ∈ ℤ, respectiv este strict
descrescătoare pe intervalul închis 2“Ž, 2“ + 1 Ž , “ ∈ ℤ.
Funcția cos este periodică, de perioadă q = 2“Ž, “ ∈ ℤ și de perioadă
principală qg = 2Ž.
cos
+ 2“ = cos , ∀
∈ ℝ, ∀ “ ∈ ℤ.
Funcția cos nu este bijectivă pe mulțimea ℝ, dar restricția sa
:̅ 0, Ž → −1,1 , ̅
este bijectivă și are ca inversă funcția
N.
vii)
= 2“ + 1
: −1,1 → 0, Ž ,
Semnul funcției cosinus:
cos
≥0⟺
∈ª
cos
<0⟺
∈¦
= cos
N.
= arccos .
4“ − 1 Ž 4“ + 1 Ž
,
«,“ ∈ ℤ
2
2
4“ + 1 Ž 4“ + 3 Ž
,
§ , “ ∈ ℤ.
2
2
2.7.3. Funcția tangentă
Definiția 2.7.3.
Fie [ ∈ ℝ, astfel încât cos [ ≠ 0, adică
Definim raportul
•–— -
¤¥• -
≠
2œk. •
2
, “ ∈ ℤ.
ca fiind funcția tangentă a numărului [, notată cu tg [.
Avem funcția tangentă:
tg [ : ℝ\ h
2“ + 1 Ž
¨ “ ∈ ℝ© → ℝ,
2
28
= tg .
Graficul funcției tangentă
Pentru a reprezenta grafic
= tg , construim tabelul de valori:
Graficul funcției tangentă este:
Proprietăți:
i)
Imaginea funcției tangentă este reprezentată de întreaga mulțime a numerelor reale,
așadar funcția tangentă nu este mărginită, deoarece există puncte în care aceasta
tinde la infinit.
În acest caz avem, pentru funcția tangentă, dreapta
asimptotă verticală la ”¯° .
ii)
2œk. •
2
, “ ∈ ℤ ce reprezintă
Funcția tangentă este impară, deoarece, prin definiție ea reprezintă raportul dintre
o funcție impară sin și o funcție pară cos :
tg −
= − tg , ∀
∈ ℝ\ h
”¯° este simetric în raport cu originea axelor.
iii)
=
2“ + 1 Ž
¨ “ ∈ ℤ©.
2
Funcția tangentă nu este monotonă pe ℝ, dar este strict crescătoare pe intervalele
determinate de două asimptote verticale consecutive.
29
iv)
Funcția tangentă este o funcție periodică, de perioadă q = “Ž, “ ∈ ℤ și perioadă
principală qg = Ž.
tg
v)
+ “Ž = tg , ∀
Ž
∈ ℝ\ ± + “Ž² “ ∈ ℤ³ , ∀ “ ∈ ℤ.
2
Cum funcțiile sin și cos nu sunt bijective pe ℝ, rezultă că nici funcția tg
nu este bijectivă pe ℝ, dar asemenea funcțiilor sin și cos funcția tg are restricție
bijectivă:
Ž Ž
:̅ •− , ‘ → ℝ, ̅
= tg ,
2 2
deci este inversabilă și inversa sa este:
Ž Ž
̅N. : ℝ → •− , ‘ , ̅N. = arctg .
2 2
2.7.4. Funcția cotangentă
Definiția 2.7.4.
Fie [ ∈ ℝ, astfel încât sin [ ≠ 0, adică
Definim raportul
¤¥• •–— -
≠ “Ž, “ ∈ ℤ.
ca fiind funcția cotangentă a numărului [, notată cu ctg [.
Avem funcția cotangentă:
ctg [ : ℝ\A“Ž|“ ∈ ℝB → ℝ,
Graficul funcției cotangentă
Pentru a reprezenta grafic
= ctg .
= ctg , construim tabelul de valori:
Graficul funcției cotangentă este:
30
Proprietăți:
i)
Imaginea funcției cotangentă este reprezentată de întreaga mulțime a numerelor
reale, așadar funcția cotangentă nu este mărginită, deoarece există puncte în care
aceasta tinde la infinit.
În acest caz avem, pentru funcția cotangentă, dreapta
ce reprezintă asimptotă verticală la ”¤¯° .
ii)
= “Ž, “ ∈ ℤ
Funcția tangentă este impară, deoarece, prin definiție ea reprezintă raportul dintre o
funcție pară cos și o funcție impară sin :
ctg −
= − ctg , ∀
∈ ℝ\A“Ž|“ ∈ ℤB.
”¤¯° este simetric în raport cu originea axelor.
Funcția cotangentă nu este monotonă pe ℝ, dar este strict descrescătoare pe
iii)
intervalele determinate de două asimptote verticale consecutive.
Funcția cotangentă este o funcție periodică, de perioadă q = “Ž, “ ∈ ℤ și perioadă
iv)
principală qg = Ž:
ctg
+ “Ž = ctg , ∀
∈ ℝ\A“Ž|“ ∈ ℤB, ∀ “ ∈ ℤ.
Cum funcțiile sin și cos nu sunt bijective pe ℝ, rezultă că nici funcția ctg nu este
v)
bijectivă pe ℝ, dar asemenea funcțiilor sin și cos funcția ctg are restricție
bijectivă:
:̅ 0, Ž → ℝ, ̅
deci este inversabilă și inversa sa este:
= ctg ,
̅N. : ℝ → 0, Ž , ̅N. = arcctg .
2.8.
Funcții trigonometrice inverse
2.8.1. Funcția arcsinus
Definiția 2.8.1.
• •
Funcția : −1,1 → š− , • ,
2 2
= arcsin se numește funcția arcsinus.
Observații:
1° . arcsin
• •
∈ š− , • , ∀
2 2
∈ −1,1 .
• •
2° . Funcția arcsinus este inversa funcției sinus pe intervalul š− , •.
2 2
3° . Pentru funcția arsinus trebuie pusă următoarea condiției de existență: arcsin
dacă și numai dacă |
| ≤ 1.
31
are sens,
4° . Asemenea graficului funcției sinus şi graficul funcției arcsinus trece prin originea
Y 0,0 .
Graficul funcției arcsinus
Proprietăți:
i)
Funcția arcsinus este mărginită
arcsin
Ž Ž
∈ š− , • , ∀
2 2
∈ −1,1 .
ii)
Funcția arcsin este funcție impară
iii)
Funcția arcsin este o funcție crescătoare pe intervalul închis −1,1 .
iv)
arcsin −
= − arcsin , ∀
∈ −1,1 .
Semnul funcției arcsin este reprezentat în tabelul de semn:
arcsin
0
-1
1
−−−−−−−−−−−0++++++++++++++++
Funcţia arcsin este inversa funcţiei sin, aşadar avem:
sin arcsin
şi
arcsin sin
= , ∀ ∈ −1,1
Ž Ž
= , ∀ ∈ š− , •.
2 2
32
2.8.2. Funția arccosinus
Definiția 2.8.2.
Funcția : −1,1 → 0, Ž ,
Observații:
= arccos se numește funcție arccosinus.
1° . Funcția arccosinus este inversa funcției cosinus pe intervalul 0, Ž .
2° . Pentru funcția arcosinus trebuie impusă următoarea condiție de existență: arccos
sens, dacă și numai dacă |
| ≤ 1.
Graficul funcției arcosinus
Proprietăți:
i)
Funcția arccosinus este mărginită:
ii)
Funcția arccosinus nu este nici pară, nici impară:
iii)
Funcția arccosinus este o funcție descrescătoare pe intervalul închis −1,1 .
iv)
arccos
arccos −
∈ 0, Ž , ∀
∈ −1,1 .
= Ž − arccos , ∀
∈ −1,1 .
Semnul funcției arccosinus este reprezentat în tabelul de semn:
arccos
-1
1
++++++++++++++++++
33
are
Funcţia arccos este inversa funcţiei cos, aşadar avem:
şi
cos arccos
= , ∀ ∈ −1,1
arccos cos
= , ∀ ∈ 0, Ž .
2.8.3. Funcția arctangentă
Definiția 2.8.3.
• •
Funcția : ℝ → •− 2 , 2 ‘ ,
= arctg se numește funcție arctangentă.
Graficul funcției arctangentă
Proprietăți:
i)
Funcția arctangentă este o funcție impară:
ii)
Funcția arctangentă este o funcție strict crescătoare pe ℝ.
iii)
arctg −
= − arctg , ∀
∈ ℝ.
Semnul funcției arctangentă este redat în tabelul de semn:
arctg
−∞
0
+∞
− − − − − − − − − 0+ + + + + + + + +
Funcţia arctg este inversa funcţiei tg, aşadar avem:
tg arctg
şi
arctg tg
= ,∀ ∈ ℝ
Ž Ž
= , ∀ ∈ •− , ‘.
2 2
34
2.8.4. Funcția arccotangentă
Definiția 2.8.4.
Funcția : ℝ → 0, Ž ,
= arcctg se numește funcție arccotangentă.
Graficul funcției arccotangentă
Proprietăți:
i)
Funcția arccotangentă nu este o funcție nici pară și nici impară:
ii)
Funcția arccotangentă este o funcție strict descrescătoare pe ℝ.
iii)
arcctg −
= Ž − arcctg , ∀
∈ ℝ.
Semnul funcției arccotangentă este redat în tabelul de semn:
arcctg
•
−∞
2
+
+++++++0 +++++++
Funcţia arcctg este inversa funcţiei ctg, aşadar avem:
ctg arcctg
= ,∀ ∈ ℝ
şi
arcctg ctg
= , ∀ ∈ 0, Ž .
35
2.9.
Funcţii elementare
Funcţia identitate, funcţia constantă, funcţia
: ℝ\A0B → ℝ,
=
N.
, funcţia
exponenţială, funcţia logaritmică, funcţiile trigonometrice împreună cu inversele lor formează
o mulţime de funcţii numită mulţimea funcţiilor de bază.
Orice funcţie care se obţine prin efectuarea unui număr finit de operaţii de adunare,
scădere, înmulţire şi compunere efectuate asupra elementelor mulţimii funcţiilor de bază se
numeşte funcţie elementară.
Observaţie.
Din proprietăţile funcţiei putere rezultă că funcţia putere cu exponent natural şi funcţia
putere cu exponent întreg sunt funcţii elementare. De asemenea, deoarece pentru orice numere
@ ∈ ℕ∗ , > ∈ ℤ, [ ∈ ℝ avem:
şi
oricare ar fi
x́
= 10 x́ ∙µ
-
= 10-∙µ % ,
%
∈ ℝk , rezultă că funcţia putere cu exponent raţional şi funcţia putere cu exponent
real sunt şi ele funcţii elementare.
Mulţimea funcţiilor elementare joacă un rol deosebit în Analiza matematică, funcţiile
elementare bucurându-se de numeroase proprietăţi.
36
BIBLIOGRAFIE
[1]
Nicu Boboc, Analiză Matematică, Tipografia Universității București, București,
[2]
Constantin Crăciun, Eugen Popa, Ion Chiţescu, Liana Lupşa, Dorel Duca,
1988.
Eduard Asadurian, Matematică pentru studenţi străini, Editura Didactică şi Pedagogică,
Bucureşti, 1983.
[3]
Tony Crilly, 50 de idei pe care trebuie să le cunoști din Matematică, Editura
Litera, București, 2017.
[4]
Stillman Drake and James MacLachlan, Scientific American, Vol. 232, No. 3,
March, 1975.
[5]
Ion Lixandru, Elemente de logică matematică și structuri algebrice
fundamentale, Editura Fundației Universitare „Dunărea de Jos”, Galați, 2015.
[6]
Miron Nicolescu, Nicolae Dinculeanu, Solomon Marcus, Analiză Matematică,
Ediția a IV-a, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1971.
[7]
Vasile Postolică, Sinteze din fundamentele matematicii, Editura MatrixRom,
Bucureşti, 1998.
[8]
Anca Precupanu, Bazele Analizei matematice, Editura Polirom, Iaşi, 1998.
[9]
Marcel Roșculeț, Analiză matematică, Editura Didactică și Pedagogică,
București, 1984.
[10]
https://docplayer.gr/53753136-Functii-definitie-proprietati-grafic-functii-
elementare-a-definitii-proprietatile-functiilor-x-functia-f-1.html
[11]
https://functions.wolfram.com/functions.html
[12]
https://www.jstor.org/preview-page/10.2307/24949756
[13]
https://liceunet.ro/ghid-functii-elementare/tipuri-de-functii/trigonometrice-directe-
si-inverse
[14]
https://mathworld.wolfram.com/topics/CalculusandAnalysis.html
[15]
https://rechneronline.de/function-graphs/
[16]
https://ro.wikipedia.org/wiki
37