PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
PDB Orde Pertama
Resmawan
UNIVERSITAS NEGERI GORONTALO
September 2018
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
1 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1. Pengantar Persamaan Diferensial
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
2 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.1 Pengertian dan Notasi Persamaan Diferensial
1.1 Pengertian dan Notasi Persamaan Diferensial
1.1 Pengertian dan Notasi Persamaan Diferensial
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
3 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.1 Pengertian dan Notasi Persamaan Diferensial
1.1 Pengertian dan Notasi Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial (di¤erential equation) adalah persamaan yang
memuat satu atau lebih variabel tak bebas beserta turunannya
terhadap variabel-variabel bebas.
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
4 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.1 Pengertian dan Notasi Persamaan Diferensial
1.1 Pengertian dan Notasi Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial (di¤erential equation) adalah persamaan yang
memuat satu atau lebih variabel tak bebas beserta turunannya
terhadap variabel-variabel bebas.
Persamaan diferensial yang memuat suatu variabel tak bebas y dan
variabel bebas x biasa dinotasikan dengan
dy
atau y 0 (x ) atau y 0
dx
dibaca
"Turunan Pertama Variabel Tak Bebas y terhadap variabel bebas x"
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
4 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.1 Pengertian dan Notasi Persamaan Diferensial
1.1 Pengertian dan Notasi Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial (di¤erential equation) adalah persamaan yang
memuat satu atau lebih variabel tak bebas beserta turunannya
terhadap variabel-variabel bebas.
Persamaan diferensial yang memuat suatu variabel tak bebas y dan
variabel bebas x biasa dinotasikan dengan
dy
atau y 0 (x ) atau y 0
dx
dibaca
"Turunan Pertama Variabel Tak Bebas y terhadap variabel bebas x"
Secara umum persamaan diferensial yang melibatkan variabel-variabel
ini dapat dinyatakan dalam bentuk
F x, y , y 0 , y 00 , ..., y (n ) = 0
dengan y (n ) merupakan turunan ke n dari y terhadap x.
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
4 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.1 Pengertian dan Notasi Persamaan Diferensial
1.1 Pengertian dan Notasi Persamaan Diferensial
Examples
Berikut diberikan beberapa contoh Persamaan Diferensial
dy
dx
(2) y 00 2y 0 + y
∂2 u
∂2 u
+
(3)
∂x 2
∂y 2
∂2 u
(4)
∂t 2
(1)
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
= e x + sin x
= cos x
∂u
=
∂t
∂2 u
=
∂x 2
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
∂2 u
∂y 2
September 2018
5 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.2 Klasi…kasi Persamaan Diferensial
1.2 Klasi…kasi Persamaan Diferensial
1.2 Klasi…kasi Persamaan Diferensial
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
6 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.2 Klasi…kasi Persamaan Diferensial
1.2 Klasi…kasi Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial dapat diklasi…kasikan menjadi 2 macam, yaitu
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
7 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.2 Klasi…kasi Persamaan Diferensial
1.2 Klasi…kasi Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial dapat diklasi…kasikan menjadi 2 macam, yaitu
1
Persamaan diferensial biasa (ordinary di¤erential equation), disingkat
PDB
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
7 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.2 Klasi…kasi Persamaan Diferensial
1.2 Klasi…kasi Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial dapat diklasi…kasikan menjadi 2 macam, yaitu
1
2
Persamaan diferensial biasa (ordinary di¤erential equation), disingkat
PDB
Persamaan diferensial parsial (parsial di¤erential equation), disingkat
PDP
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
7 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.2 Klasi…kasi Persamaan Diferensial
1.2 Klasi…kasi Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial dapat diklasi…kasikan menjadi 2 macam, yaitu
1
2
Persamaan diferensial biasa (ordinary di¤erential equation), disingkat
PDB
Persamaan diferensial parsial (parsial di¤erential equation), disingkat
PDP
PDB adalah persamaan diferensial yang melibatkan hanya satu
variabel bebas, sedangkan PDP adalah persamaan diferensial yang
melibatkan lebih dari satu variabel bebas.
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
7 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.2 Klasi…kasi Persamaan Diferensial
1.2 Klasi…kasi Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial dapat diklasi…kasikan menjadi 2 macam, yaitu
1
2
Persamaan diferensial biasa (ordinary di¤erential equation), disingkat
PDB
Persamaan diferensial parsial (parsial di¤erential equation), disingkat
PDP
PDB adalah persamaan diferensial yang melibatkan hanya satu
variabel bebas, sedangkan PDP adalah persamaan diferensial yang
melibatkan lebih dari satu variabel bebas.
Dengan demikian, jelas bahwa persamaan (1) dan (2) pada Contoh
sebelumnya merupakan persamaan diferensial biasa sedangkan
persamaan (3) dan (4) merupakan persamaan diferensial parsial.
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
7 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.2 Klasi…kasi Persamaan Diferensial
1.2 Klasi…kasi Persamaan Diferensial
Examples
Klasi…kasikan PD berikut sebagai PDB atau PDP. Nyatakan variabel
bebas dan tak bebasnya
ty 0 y
∂y
∂y
+
+ y2
(2)
∂x
∂t
x 2 + 1 dy
(3) 2x (y + 1) dx
∂u ∂u
+
+ xt
(4)
∂x
∂t
(1)
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
= 2t 4
= 0
= 0
= 0
September 2018
8 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.3 Order dan Derajat Persamaan Diferensial
1.3 Orde dan Derajat Persamaan Diferensial
1.3 Orde dan Derajat Persamaan Diferensial
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
9 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.3 Order dan Derajat Persamaan Diferensial
1.3 Orde dan Derajat Persamaan Diferensial
Penentuan pangkat dan derajat suatu persamaan diferensial
tergantung pada kandungan fungsi turunan di dalam persamaan
diferensial tersebut.
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
10 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.3 Order dan Derajat Persamaan Diferensial
1.3 Orde dan Derajat Persamaan Diferensial
Penentuan pangkat dan derajat suatu persamaan diferensial
tergantung pada kandungan fungsi turunan di dalam persamaan
diferensial tersebut.
Orde atau pangkat suatu persamaan diferensial merupakan pangkat
tertinggi dari turunan yang muncul dalam persamaan diferensial.
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
10 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.3 Order dan Derajat Persamaan Diferensial
1.3 Orde dan Derajat Persamaan Diferensial
Penentuan pangkat dan derajat suatu persamaan diferensial
tergantung pada kandungan fungsi turunan di dalam persamaan
diferensial tersebut.
Orde atau pangkat suatu persamaan diferensial merupakan pangkat
tertinggi dari turunan yang muncul dalam persamaan diferensial.
Degree atau derajat dari suatu persamaan diferensial adalah pangkat
dari suku yang memuat turunan tertinggi dalam persamaan diferensial
(pangkat dari orde).
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
10 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.3 Order dan Derajat Persamaan Diferensial
1.3 Orde dan Derajat Persamaan Diferensial
Examples
Identi…kasi orde dan pangkat dari persamaan diferensial berikut
1+
(1)
(2)
(3)
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
y 00
3
dy
dx
4
+ y0
dy
dt
2
= 3
y
d 2y
dx 2
= 0
2
+ 2y = 0
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
11 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.3 Order dan Derajat Persamaan Diferensial
1.3 Orde dan Derajat Persamaan Diferensial
Solution
1 PDB Orde Dua Derajat Satu
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
12 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.3 Order dan Derajat Persamaan Diferensial
1.3 Orde dan Derajat Persamaan Diferensial
Solution
1 PDB Orde Dua Derajat Satu
2
PDB Orde Dua Derajat Tiga
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
12 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.3 Order dan Derajat Persamaan Diferensial
1.3 Orde dan Derajat Persamaan Diferensial
Solution
1 PDB Orde Dua Derajat Satu
2
PDB Orde Dua Derajat Tiga
3
PDB Orde Satu Derajat Dua
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
12 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
13 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
Suatu persamaan diferensial dikatakan liniar jika tidak ada perkalian
antar variabel-variabel tak bebas dan derivatif-derifatifnya atau dapat
ditulis dalam bentuk
a 0 ( x ) y ( n ) + a1 ( x ) y ( n
1)
+ ... + an (x ) y = F (x )
dengan a0 , a1 , ..., an dan F merupakan fungsi-fungsi dari x saja,
a0 (x ) 6= 0.
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
14 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
Suatu persamaan diferensial dikatakan liniar jika tidak ada perkalian
antar variabel-variabel tak bebas dan derivatif-derifatifnya atau dapat
ditulis dalam bentuk
a 0 ( x ) y ( n ) + a1 ( x ) y ( n
1)
+ ... + an (x ) y = F (x )
dengan a0 , a1 , ..., an dan F merupakan fungsi-fungsi dari x saja,
a0 (x ) 6= 0.
Persamaan ini merupakan kasus khusus dari bentuk umum PD yang
disebut dengan Persamaan Diferensial Linear orde n.
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
14 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
Suatu persamaan diferensial dikatakan liniar jika tidak ada perkalian
antar variabel-variabel tak bebas dan derivatif-derifatifnya atau dapat
ditulis dalam bentuk
a 0 ( x ) y ( n ) + a1 ( x ) y ( n
1)
+ ... + an (x ) y = F (x )
dengan a0 , a1 , ..., an dan F merupakan fungsi-fungsi dari x saja,
a0 (x ) 6= 0.
Persamaan ini merupakan kasus khusus dari bentuk umum PD yang
disebut dengan Persamaan Diferensial Linear orde n.
Persamaan diferensial yang tidak dapat ditulis dalam bentuk ini
disebut persamaan diferensial tak linear.
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
14 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
Suatu persamaan diferensial dikatakan liniar jika tidak ada perkalian
antar variabel-variabel tak bebas dan derivatif-derifatifnya atau dapat
ditulis dalam bentuk
a 0 ( x ) y ( n ) + a1 ( x ) y ( n
1)
+ ... + an (x ) y = F (x )
dengan a0 , a1 , ..., an dan F merupakan fungsi-fungsi dari x saja,
a0 (x ) 6= 0.
Persamaan ini merupakan kasus khusus dari bentuk umum PD yang
disebut dengan Persamaan Diferensial Linear orde n.
Persamaan diferensial yang tidak dapat ditulis dalam bentuk ini
disebut persamaan diferensial tak linear.
Selain itu, persamaan diferensial yang tak linear dalam beberapa
variabel tak bebas dikatakan tak liniar dalam variabel tersebut.
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
14 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
Suatu persamaan diferensial dikatakan liniar jika tidak ada perkalian
antar variabel-variabel tak bebas dan derivatif-derifatifnya atau dapat
ditulis dalam bentuk
a 0 ( x ) y ( n ) + a1 ( x ) y ( n
1)
+ ... + an (x ) y = F (x )
dengan a0 , a1 , ..., an dan F merupakan fungsi-fungsi dari x saja,
a0 (x ) 6= 0.
Persamaan ini merupakan kasus khusus dari bentuk umum PD yang
disebut dengan Persamaan Diferensial Linear orde n.
Persamaan diferensial yang tidak dapat ditulis dalam bentuk ini
disebut persamaan diferensial tak linear.
Selain itu, persamaan diferensial yang tak linear dalam beberapa
variabel tak bebas dikatakan tak liniar dalam variabel tersebut.
Persamaan diferensial yang tak liniar dalam himpunan semua variabel
tak bebas secara sederhana dikatakan tak linear.
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
14 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
Examples
Identi…kasi sifat linearitas dari beberapa contoh PD berikut
y 0 + 4xy 0 + 2y
= cos x
y + 4yy + 2y = cos x
∂2 x
∂y
+
+ xy = sin t
2
∂t
∂t
y 00 + x cos y 0 xy = x 2
y 00 4x 2 y 0 + 5y 2 = 0
00
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
0
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
15 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
Solution
1 Linear dalam y
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
16 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
Solution
1 Linear dalam y
2
Tak linear dalam y karena memuat yy 0
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
16 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
Solution
1 Linear dalam y
2
3
Tak linear dalam y karena memuat yy 0
Linear dalam setiap variabel tak bebas x atau y , namun tak linear
dalam himpunan fx, y g , sehingga PD tak linear
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
16 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
Solution
1 Linear dalam y
2
3
4
Tak linear dalam y karena memuat yy 0
Linear dalam setiap variabel tak bebas x atau y , namun tak linear
dalam himpunan fx, y g , sehingga PD tak linear
Tak linear
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
16 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
Solution
1 Linear dalam y
2
3
4
5
Tak linear dalam y karena memuat yy 0
Linear dalam setiap variabel tak bebas x atau y , namun tak linear
dalam himpunan fx, y g , sehingga PD tak linear
Tak linear
Tak linear
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
16 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
Problem
Tentukan sifat kelinearan, orde, dan derajat dari beberapa contoh PD
berikut
ty 0 y
d 2x
dx
5 2 + 2 + 9x
(2)
dt
dt
2
x + 1 dy
(3) 2x (y + 1) dx
(1)
(4)
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
y
00 2
0
+ 2y + 2y
2
= 2t 4
= 2 cos 3t
= 0
= 0
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
17 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.5 Menemukan Persamaan Diferensial
1.5 Menemukan Persamaan Diferensial
1.5 Menemukan Persamaan Diferensial
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
18 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.5 Menemukan Persamaan Diferensial
1.5 Menemukan Persamaan Diferensial
Menemukan persamaan diferensial dapat dilakukan dengan
langkah-langkah sebagai berikut:
1
Hitunglah banyaknya konstanta sembarang yang terdapat dalam
persamaan yang akan dicari bentuk persamaan diferensialnya.
2
Hilangkan semua konstanta sembarang itu dengan cara eliminasi.
3
Jika konstanta sembarang sebanyak n, maka dibutuhkan n + 1
persamaan untuk melakukan eliminasi. n + 1 persamaan dapat
diperoleh dengan cara mendiferensialkan persamaan semula sampai
turunan ke n.
4
Banyaknya konstanta sembarang menunjukkan pangkat tertinggi dari
turunan dalam persamaan diferensial yang dicari.
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
19 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.5 Menemukan Persamaan Diferensial
1.5 Menemukan Persamaan Diferensial
Examples
Tentukan bentuk persamaan diferensial dari persamaan-persamaan berikut:
4x ,
1
y = Ce
2
y = A sin 3x + B cos 3x, A dan B konstanta sembarang
3
y = Ae
2x
C merupakan konstanta sembarang
+ Be 3x , A dan B konstanta sembarang
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
20 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.5 Menemukan Persamaan Diferensial
1.5 Menemukan Persamaan Diferensial
Solution
1 Karena terdapat 1 konstanta, maka dibutuhkan 2 persamaan untuk
memperoleh bentuk persamaan diferensial yang dicari.
Persamaan kedua dapat diperoleh dengan melakukan diferensiasi pada
persamaan awal.
Dengan demikian, diperoleh masing-masing
y
y0
= Ce 4x (1)
=
4e 4x (2)
Dari persamaan (1) diperoleh
C = ye 4x
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
(3)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
21 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.5 Menemukan Persamaan Diferensial
1.5 Menemukan Persamaan Diferensial
Solution
1
Subtitusi persamaan (3) ke persamaan (2) , maka diperoleh bentuk
persamaan diferensial
y0 =
=
4ye 4x e
4x
4y
Dengan demikian, diperoleh persamaan diferensial orde satu (sesuai
dengan banyak konstanta), yaitu
y 0 + 4y = 0 atau
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
dy
+ 4y = 0
dx
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
22 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.5 Menemukan Persamaan Diferensial
1.5 Menemukan Persamaan Diferensial
Solution
2. Dengan cara yang sama, persamaan ini dapat kita selesaikan sebagai
berikut
y
y
0
y 00
= A sin 3x + B cos 3x
= 3A cos 3x 3B sin 3x
=
9A sin 3x 9B cos 3x
(1)
(2)
(3)
Dari persamaan (1) dan (3) diperoleh
y 00 =
=
9A sin 3x
9B cos 3x =
9 (A sin 3x + B cos 3x )
9y
Dengan demikian, diperoleh persamaan diferensial orde dua
y 00 + 9y = 0
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
23 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.5 Menemukan Persamaan Diferensial
1.5 Menemukan Persamaan Diferensial
Solution
3. Dari turunan pertama dan kedua diperoleh
y
y
0
y 00
= Ae 2x + Be 3x
=
2Ae 2x + 3Be 3x
= 4Ae 2x + 9Be 3x
(1)
(2)
(3)
Dari persamaan (2) dan (3) , diperoleh
y 0 = 2Ae 2x + 3Be 3x
y 00 = 4Ae 2x + 9Be 3x
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
2
1
2y 0 = 4Ae 2x + 6Be 3x
y 00 = 4Ae 2x + 9Be 3x
y 00 + 2y 0 = 15Be 3x
(4)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
24 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.5 Menemukan Persamaan Diferensial
1.5 Menemukan Persamaan Diferensial
Solution
3. Dari persamaan (1) dan (3) , diperoleh
y = Ae 2x + Be 3x
y 00 = 4Ae 2x + 9Be 3x
4
1
4y = 4Ae 2x + 4Be 3x
y 00 = 4Ae 2x + 9Be 3x
y 00 4y = 5Be 3x
(5)
Dari persamaan (4) dan (5) , diperoleh
y 00 + 2y 0 = 15Be 3x
y 00 4y = 5Be 3x
1
3
y 00 + 2y 0 = 15Be 3x
3y 00 12y = 15Be 3x
2y 00 + 2y 0 12y = 0
(5)
Dengan demikian, diperoleh persamaan diferensial orde dua, yaitu
y 00
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
y 0 + 6y = 0 atau
d 2y
dx 2
dy
+ 6y = 0
dx
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
25 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
26 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
Solusi dari persamaan diferensial adalah sembarang fungsi yang
memenuhi untuk persamaan diferensial tersebut.
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
27 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
Solusi dari persamaan diferensial adalah sembarang fungsi yang
memenuhi untuk persamaan diferensial tersebut.
Solusi dari persamaan diferensial orde n pada suatu interval I adalah
suatu fungsi y = f (x ) yang memiliki paling sedikit turunan sampai ke
n pada I dan memenuhi persamaan diferensial yang diberikan untuk
semua x di interval I .
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
27 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
Solusi dari persamaan diferensial adalah sembarang fungsi yang
memenuhi untuk persamaan diferensial tersebut.
Solusi dari persamaan diferensial orde n pada suatu interval I adalah
suatu fungsi y = f (x ) yang memiliki paling sedikit turunan sampai ke
n pada I dan memenuhi persamaan diferensial yang diberikan untuk
semua x di interval I .
Secara umum, solusi persamaan diferensial dibedakan menjadi 2
macam, yaitu solusi umum dan solusi khusus:
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
27 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
Solusi dari persamaan diferensial adalah sembarang fungsi yang
memenuhi untuk persamaan diferensial tersebut.
Solusi dari persamaan diferensial orde n pada suatu interval I adalah
suatu fungsi y = f (x ) yang memiliki paling sedikit turunan sampai ke
n pada I dan memenuhi persamaan diferensial yang diberikan untuk
semua x di interval I .
Secara umum, solusi persamaan diferensial dibedakan menjadi 2
macam, yaitu solusi umum dan solusi khusus:
1
Solusi umum adalah solusi PDB yang mengandung suatu kontanta,
misalnya K atau C. sebagai contoh diketahui suatu PDB
y 0 = 3y + 1. = 3y + 1, maka solusi umumnya adalah
y = 1/3 + Ce 3x .
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
27 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
Solusi dari persamaan diferensial adalah sembarang fungsi yang
memenuhi untuk persamaan diferensial tersebut.
Solusi dari persamaan diferensial orde n pada suatu interval I adalah
suatu fungsi y = f (x ) yang memiliki paling sedikit turunan sampai ke
n pada I dan memenuhi persamaan diferensial yang diberikan untuk
semua x di interval I .
Secara umum, solusi persamaan diferensial dibedakan menjadi 2
macam, yaitu solusi umum dan solusi khusus:
1
2
Solusi umum adalah solusi PDB yang mengandung suatu kontanta,
misalnya K atau C. sebagai contoh diketahui suatu PDB
y 0 = 3y + 1. = 3y + 1, maka solusi umumnya adalah
y = 1/3 + Ce 3x .
Solusi khusus adalah solusi yang tidak mengandung suatu konstanta
yang disebabkan oleh tambahan syarat awal pada suatu PDB. Misal
suatu PDB y 0 = 3y + 1, y (0) = 1, maka solusi khususnya adalah
y = 1/3 + 4/3 e 3x , dengan syarat atau nilai awal y (0) = 1.
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
27 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
Example
Tunjukkan bahwa persamaan
1
2
3
y = ex
x
y=
3e x
x
y=
Ce x
x
adalah solusi dari persamaan diferensial
dy
dx
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
y =x
1
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
28 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
Solution
1 Diketahui
dy
= ex 1
dx
Subtitusi pada ruas kiri persamaan diferensial yang diberikan dan
tunjukkan kebenarannya
y = ex
dy
dx
x sehingga
y
= (e x
= x
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
1)
(e x
x)
1
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
29 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
Solution
2. Dengan cara yang sama,
y = 3e x
x sehingga
dy
= 3e x
dx
1
Subtitusi pada ruas kiri persamaan diferensial yang diberikan dan
tunjukkan kebenarannya
dy
dx
y
= (3e x
= x
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
1)
(3e x
x)
1
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
30 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
Solution
3. Dengan cara yang sama,
y = Ce x
x sehingga
dy
= Ce x
dx
1
Subtitusi pada ruas kiri persamaan diferensial yang diberikan dan
tunjukkan kebenarannya
dy
dx
y
= (Ce x
= x
1)
(Ce x
x)
1
Perhatikan bahwa nomor (1) dan (2) adalah contoh solusi khusus PD,
sedangkan nomor (3) menunjukkan salah satu contoh solusi umum PD.
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
31 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
* Soal-Soal Latihan 1
* Soal-Soal Latihan 1
Latihan 1
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
32 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
* Soal-Soal Latihan 1
* Soal-Soal Latihan 1
Problem
1 Carilah bentuk persamaan diferensial dari persamaan yang memuat
konstanta sembarang berikut:
a. y = x 3 + Ax 2 + Bx + C ; A, B, C konstanta sembarang
b. x = C1 cos (wt + C2 ) ; C1 , C2 konstanta sembarang
c. r = α (1 cos t ) ; α konstanta sembarang
d. (x c )2 + y 2 = r 2 ; c konstanta sembarang
2
Tunjukkan bahwa y = c1 sin x + c2 cos x, dimana c1 dan c2
konstanta, merupakan solusi dari persamaan diferensial linear
d 2y
+ y (x ) = 0
dx 2
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
33 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
* Soal-Soal Latihan 1
* Soal-Soal Latihan 1
Problem
3. Tunjukkan bahwa relasi x 2 + y 2 = 4, mende…nisikan suatu solusi
implisit dari persamaan diferensial tak linear
dy
=
dx
4. Tunjukkan bahwa relasi sin (xy ) + y 2
dari persamaan diferensial
x
y
x = 0, mende…nisikan solusi
1 cos (xy )
dy
=
dx
x cos (xy ) + 2y
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
34 / 77
3. Penutup
" Terima Kasih, Semoga Bermanfaat "
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
77 / 77