수학Ⅱ
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
지 은 이
新 수학의 바이블 수학Ⅱ
201712 제 5판 1쇄
펴낸이
펴낸곳
2547
고객센터 1599-3225
등록 번호
2007-000035
ISBN 979-11-6123-425-0 [53410]
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
학
교과서보다 더 자세한 新수학의 바이블!!
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상세 풀이
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수
2017. 12
학
바이블만의 노하우는 이것이다!!
많
2017. 12
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1 3
1. 단계별 유형 공부
2. 수준별 문제 풀이
3. 자세한 풀이 이해
접근 방법
상세 풀이
보충 설명
접근 방법
상세 풀이
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수학의 바이블의...
섬세한 개념 구성
새로운 개념에 대한 공식 및 원리의 완벽한 이해를 도와줍니다!
1
5
4
3
2
6
2
1
2
3
설명
Bible Focus
Example
4
Bible Point와 Plus
Proof
5
약점 휘어잡기
6
개념 확장하기
개념 콕콕
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수학의 바이블의...
단계별 문제 구성
유형에 대한 적응력을 높일 수 있습니다!
1
3
2
4
5
1
2
예제
3
Bible
4
숫자 바꾸기
5
표현 바꾸기
개념 넓히기
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수학의 바이블의...
수준별 문제 구성
기본에서 고난도까지 문제 해결력을 기를 수 있습니다!
1
1
기본 다지기
2
2
실력 다지기
수학의 바이블의...
접근 방법
상세 풀이
자세한 풀이 구성
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문제에 대한 접근 및 해결 방법을 쉽게 이해할 수 있습니다!
1
접근 방법
2
상세 풀이
3
보충 설명
3
1
2
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Contents
Ⅱ
미분
03. 미분계수와 도함수
01
093
02
108
124
126
04. 접선의 방정식과 평균값 정리
01
131
02
144
152
Ⅰ
154
함수의 극한과 연속
05. 함수의 극대, 극소와 그래프
01. 함수의 극한
01
159
02
176
01
013
02
024
184
050
186
052
06. 도함수의 활용
02. 함수의 연속
01
191
01
057
02
200
02
072
03
210
086
218
088
220
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Ⅲ
적분
07. 부정적분
01
225
238
240
08. 정적분
01
245
272
274
09. 정적분과 함수
01
279
302
304
10. 정적분의 활용
01
309
02
326
334
●
정답
338
336
●
찾아보기
347
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01
함수의 극한
01 함수의 극한
013
02 함수의 극한의 성질
024
기본 다지기
050
실력 다지기
052
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
01 함수의 극한
02 함수의 극한의 성질
01
02
020
022
03
0
0
034
04
¶
¶
036
05
06
07
08
09
10
¶-¶ ¶_0
038
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040
042
044
046
048
01 | 함수의 극한
01 함수의 극한
1 함수의 극한과 수렴
f(x)
x
a
a
L
f(x)
x ⁄a
lim f(x)=L
x ⁄a
x ⁄a
f(x)
L
f(x) ⁄L
x ⁄a
L
f(x)
f(x)
f(x)
x=a
x ⁄a+
L
x ⁄a-
L
lim f(x)=L HjK lim f(x)= lim f(x)=L
x ⁄a
x ⁄a+
x ⁄a-
f(x)
02 함수의 극한의 성질
1 함수의 극한에 대한 성질
f(x) g(x)
lim f(x)=a lim g(x)=b a b
x ⁄a
x ⁄a
lim { f(x)—g(x)}= lim f(x)— lim g(x)=a—b
x ⁄a
x ⁄a
x ⁄a
lim cf(x)=c lim f(x)=ca
x ⁄a
c
x ⁄a
lim f(x)g(x)= lim f(x)_ lim g(x)=ab
x ⁄a
lim
x ⁄a
x ⁄a
x ⁄a
lim f(x)
f(x)
a
x ⁄a
= 11113
=
b
lim g(x)
g(x)
b+0
x ⁄a
2 함수의 극한의 대소 관계
lim f(x)=a lim g(x)=b a b
x ⁄a
f(x)…g(x)
lim f(x)… lim g(x)
x ⁄a
f(x)…h(x)…g(x)
012
a
x ⁄a
x ⁄a
a…b
lim f(x)= lim g(x)=a
x ⁄a
x ⁄a
x
lim h(x)=a
x ⁄a
Ⅰ.
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01
01
1 함수의 극한과 수렴
1. x ⁄a일 때 함수의 수렴
f(x)
x
f(x)
f(x)=x+2
1
x
f(x)
y
1
3
3
2
x
y
0.99
y
0.999
y
1
y
1.001
y
1.01
y
f(x)
y
2.99
y
2.999
y
3
y
3.001
y
3.01
y
g(x)=
x+1
x¤ +x-2
x-1
-2
O
x=1
y
x
g(x)=
g(x)=
x2+x-2
x-1
-2
O
1
g(x)
x
1
3
2
(x+2)(x-1)
=x+2
x-1
x
f(x)=x+2
x
1
1
3
f(x)
x
a
L
a
f(x)
x ⁄a
lim f(x)=L
x ⁄a
L
x ⁄a
L
f(x)
수렴
f(x) ⁄L
f(x)
x=a
극한값
극한
g(x)
x=a
f(a)
lim f(x)
x ⁄a
01
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013
f(x)=x-1
Example
x
2
f(x)
f(x)
x ⁄2
1
1
y
2
lim (x-1)=1
f(x)=x-1
1
x ⁄2
O
f(x)
x ⁄a
a
f(x)
f(x)=c c
c
1
x
2
f(x)
x=a
lim f(x)=f(a)
x ⁄a
y
x
f(x)=c
c
a
lim f(x)= lim c=c
x ⁄a
x ⁄a
a
O
Example
f(x)=x-1
Example
f(2)=2-1=1
lim f(x)= lim (x-1)=1
x ⁄2
x ⁄2
lim f(x)=f(2)
x ⁄2
f(x)=2
x ⁄a
x
f(x)
y
a
f(x)=2
2
a b
2
lim 2= lim 2=2
x ⁄a
x ⁄b
O
a
b
2. x ⁄a+, x ⁄a-일 때 함수의 극한(우극한과 좌극한)
x
a
a
x
a
x
x
a
a
x
a
a
x ⁄a+
x ⁄a-
014
a
a
x
a
x
a
a
a
Ⅰ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
x
x
f(x)
x
a
a
x ⁄a+
L
x
f(x) ⁄L
a
M
lim f(x)=M
x ⁄a-
L
x
f(x)
f(x) ⁄L
좌극한
f(x) ⁄M
f(x)
a
f(x)
f(x)
x ⁄a-
x ⁄a
x ⁄a
01
a
x ⁄a-
M
L
우극한
f(x)
x ⁄a+
lim f(x)=L
x ⁄a+
f(x)
f(x)
a
L
x ⁄a+
f(x)
x ⁄a-
f(x)
L
lim f(x)=L HjK lim f(x)= lim f(x)=L
x ⁄a
x ⁄a+
x ⁄a-
f(x)
Example
f(x)=
|x|
x
f(x)= [
y
1 (x>0)
-1 (x<0)
1
|x|
x
= lim
=1
lim
x ⁄0+
x ⁄0+ x
x
lim
x ⁄0-
lim
x ⁄0+
-1
|x|
-x
= lim
=-1
x ⁄0x
x
|x|
|x|
+ lim
x ⁄0x
x
lim
x ⁄0
x
O
|x|
x
3. x ⁄¶, x ⁄-¶일 때 함수의 수렴
x
01
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015
x
x ڦ
¶
x ⁄-¶
x
무한대
¶
¶
f(x)
f(x)
x
f(x)
L
L
x ڦ
lim f(x)=L
x ڦ
f(x)
f(x) ⁄L
x
f(x)
M
f(x)
x ⁄-¶
lim f(x)=M
x ⁄-¶
x ڦ
M
f(x) ⁄M
x ⁄-¶
Example
f(x)=
f(x)
1
x¤
0
x ڦ
1
=0
x¤
lim
x ⁄-¶
f(x)=
x
f(x)
lim
y
x
0
O
1
=0
x¤
함수의 극한과 수렴
1
f(x)
f(x)
x
a
a
L
lim f(x)=L
x ⁄a
x ⁄a
2
L
f(x)
x ⁄a
L
f(x) ⁄L
x ⁄a
f(x)
f(x)
L
x=a
f(x)
f(x)
L
lim f(x)=L HjK lim f(x)= lim f(x)=L
x ⁄a
x ⁄a+
x ⁄a-
f(x)
016
1
x¤
Ⅰ.
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x
2 함수의 발산
x
f(x)
01
f(x)=
1
|x|
0
x
0
y
f(x)
f(x)
x
f(x)=
a
1
|x|
a
f(x)
f(x)
x
O
발산
x ⁄a
lim f(x)=¶
x ⁄a
f(x)=0
f(x) ڦ
1
x¤
x
y
0
x
f(x)
O
f(x)=- 12
x
f(x)
x
a
a
f(x)
f(x)
x ⁄a
lim f(x)=-¶
x ⁄a
f(x)=x¤
f(x) ⁄-¶
y f(x)=x2
x
f(x)
f(x)
x
O
x
f(x)
lim f(x)=¶
x ڦ
lim f(x)=¶
x ⁄-¶
01
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017
f(x)=-x¤
y
x
O
x
f(x)
f(x)
f(x)=-x2
x
f(x)
lim f(x)=-¶
lim f(x)=-¶
x ڦ
x ⁄-¶
Example
f(x)=
2
1
|x-2|
x
y
f(x)=
f(x)
x ⁄2
lim
x ⁄2
1
|x-2|
O
1
=¶
|x-2|
2
x
함수의 발산
1
f(x)
x
a
a
f(x)
x ⁄a
lim f(x)=¶
x ⁄a
2
f(x)
x
f(x)
f(x) ڦ
a
a
f(x)
f(x)
x ⁄a
lim f(x)=-¶
x ⁄a
3
f(x)
lim f(x)=¶
f(x)
lim f(x)=¶
x ⁄-¶
lim f(x)=-¶
x ڦ
018
f(x) ⁄-¶
x
x ڦ
1
|x-2|
lim f(x)=-¶
x ⁄-¶
Ⅰ.
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1
lim (x¤ +1)
x¤ -1
x-1
lim
x ⁄1
x ⁄1
01
2
lim
x ڦ
1
x
lim x‹
lim x‹
x ڦ
풀이
1
1
x
lim
x ⁄-¶
x ⁄-¶
f(x)=x¤ +1
x
y
f(x)=x¤ +1
1
1
f(x)
2
2
1
lim (x¤ +1)=2
x ⁄1
f(x)=
f(x)=
x+1
x
x ⁄1
1
f(x)=
2
1
x2-1
x-1
-1
1
O
x
1
x¤ -1
=2
x-1
1
x
f(x)=
f(x)
f(x)=
y
2
lim
f(x)=
x=1
(x+1)(x-1)
f(x)=
=x+1
x-1
x
2
x¤ -1
x-1
x
1
O
x¤ -1
x-1
f(x)
f(x)=x2+1
1
x
x
0
lim
x ڦ
1
x
f(x)=
f(x)
y
1
f(x)= x
1
=0
x
1
x
x
O
x
y
f(x)=x‹
0
1
=0
lim
x ⁄-¶ x
f(x)=x‹
f(x)=x‹
x
f(x)=x‹
x
f(x)
lim x‹ =¶
x ڦ
f(x)=x‹
O
x
f(x)
lim x‹ =-¶
x ⁄-¶
01
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019
그래프에서의 함수의 극한
01
정의역이 {x|-2…x…2}인 함수 y=f(x)의 그래프
y
가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음 극한을 조사하여라.
1
lim f(x)
y=f(x)
O
x ⁄-1-
-2 -1
lim f(x)
1
2
x
-1
x ⁄0
lim f(x)
x ⁄1+
접근 방법
x ⁄a+
x
a
x ⁄a-
a
x
a
a
lim f(x)는 x의 값이 a보다 클 때, lim f(x)는 x의 값이
x ⁄ a+
x ⁄ a-
a보다 작을 때의 함수 f(x)의 극한이다.
상세 풀이
x ⁄-1-
f(x)
x ⁄-1-
x ⁄0+ x ⁄00
x ⁄0+
1
f(x) ⁄0
lim f(x)=0
x ⁄1+
-2 -1
f(x)
x ⁄0
0
lim f(x)=0
x ⁄1+
정답
⑴0 ⑵0 ⑶0
보충 설명
위의 그래프에서 다음과 같이 극한값을 구할 수 있습니다.
lim f(x)=1, lim f(x)=-1, lim f(x)=-1, lim f(x)=1
x ⁄-1+
x ⁄1-
x ⁄2-
또한 lim f(x), lim f(x)의 값은 존재하지 않습니다.
x ⁄-1
020
x
f(x) ⁄0
f(x)
x ⁄-2+
2
lim f(x)=0
x ⁄0-
f(x) ⁄0
1
-1
lim f(x)= lim f(x)=0
x ⁄1+
y=f(x)
O
x ⁄-1-
f(x) ⁄0 x ⁄0-
x ⁄0+
y
0
x ⁄1
Ⅰ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.2
01-1
함수 y=f(x)의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음 극한을
y
1
y=f(x)
O
1
조사하여라.
lim f(x)
-1
x ⁄-1+
lim f(x)
x ⁄0-
x
-1
lim f(x)
x ⁄1-
01-2
함수 y=f(x)의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, `
y
lim f(x-1)+ lim f(x+1)의 값을 구하여라.
1
x ⁄0-
y=f(x)
x ⁄-1+
-2
O
-1
x
1
-1
01-3
함수 y=f(x)의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때,
y
2
lim f {;[!;}+ lim f {1+;[!;}의 값을 구하여라.
1
x ⁄-¶
x ڦ
-2
01-1
1
-1
1
01-2 2
O
-1
y=f(x)
1
x
01-3 3
01
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021
01
함수의 극한의 존재성
함수 `f(x)= [
02
x¤ +a¤ x-a (xæ1)
에 대하여 lim f(x)의 값이 존재할 때, 양
x ⁄1
4x+3
(x<1)
수 a의 값을 구하여라.
접근 방법
lim f(x)
x ⁄1
lim f(x)
x ⁄1+
lim f(x)
x>1 x ⁄1-
lim f(x)
x ⁄1+
x<1
x ⁄1-
lim f(x)
xæ1
x ⁄1+
x<1
x ⁄1-
함수의 극한이 존재한다. HjK 우극한, 좌극한이 존재하고 그 값이 일치한다.
즉, lim f(x)=L`(L은 실수) HjK lim f(x)= lim f(x)=L
x ⁄a
x ⁄a+
x ⁄a-
상세 풀이
lim f(x)
lim f(x)= lim f(x)
x ⁄1
x ⁄1+
x ⁄1-
lim (x¤ +a¤ x-a)= lim (4x+3)
x ⁄1+
x ⁄1-
1+a¤ -a=7 a¤ -a-6=0
(a+2)(a-3)=0
a=3
a>0
3
정답
보충 설명
다항함수 y=`f(x)의 그래프에서 x의 값이 a와 다른 값을 가지면서 a에 한없이 가까워지면 `f(x)의 값은 x=a
에서의 함숫값 `f(a)에 한없이 가까워집니다. 즉, 다항함수의 어느 한 점에서의 극한값은 그 점에서의 함숫값과
같습니다. 따라서 다항함수 `f(x)와 실수 a에 대하여 lim f(x)=f(a), 즉 lim f(x)= lim f(x)=f(a)가 성
x ⁄a
립합니다.
x ⁄a+
x ⁄a-
단, 이는 일반적인 함수에서 성립하는 성질이 아님에 주의합니다.
일반적으로 극한값과 함숫값은 서로 같지 않습니다.
f(x)= [
x (x+0)
1 (x=0)
에서 lim f(x)= lim x=0, f(0)=1이므로 lim f(x)+f(0)
x ⁄0
x ⁄0
x ⁄0
y y=f(x)
1
O
022
Ⅰ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
x
p.2
02-1
함수
f(x)=[
x¤ +a¤
(xæ-1)
ax+7 (x<-1)
01
에 대하여 lim f(x)의 값이 존재할 때, 상수 a의 값을 구하여라. (단, a<0)
x ⁄-1
02-2
함수
f(x)=[
x¤ +a
(x>2)
x¤ -x+b (x…2)
에 대하여 lim f(x)=3일 때, 상수 a, b의 값을 각각 구하여라.
x ⁄2
02-3
x+1인 모든 실수 x에서 정의된 함수
f(x)=[
x¤ +ax+1 (x>1)
'ƒ1-x+b
(x<1)
에 대하여 lim f(x)의 값이 존재할 때, 상수 a, b에 대하여 a¤ +b¤ 의 최솟값을 구하여라.
x ⁄1
02-1 -3
02-2 a=-1 b=1
02-3 2
01
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023
02
1 함수의 극한에 대한 성질
f(x)=x¤ g(x)=2x
lim f(x) lim g(x)
x ⁄1
x ⁄1
lim f(x)= lim x¤ =1 lim g(x)= lim 2x=2
x ⁄1
x ⁄1
x ⁄1
x ⁄1
yy
x ⁄1
f(x)+g(x)
lim { f(x)+g(x)}= lim (x¤ +2x)=3
x ⁄1
x ⁄1
lim f(x)+ lim g(x)=1+2=3
x ⁄1
x ⁄1
lim { f(x)+g(x)}= lim f(x)+ lim g(x)
x ⁄1
x ⁄1
x ⁄1
f(x)-g(x) cf(x) c
f(x)g(x)
f(x)
g(x)
함수의 극한에 대한 성질
f(x) g(x)
lim f(x)=a lim g(x)=b a b
x ⁄a
x ⁄a
{ f(x)—g(x)}= lim f(x)— lim g(x)=a—b
1 lim
x ⁄a
x ⁄a
x ⁄a
c f(x)=c lim f(x)=ca
2 lim
x ⁄a
x ⁄a
c
f(x)g(x)= lim f(x)_ lim g(x)=ab
3 lim
x ⁄a
x ⁄a
x ⁄a
4 lim
x ⁄a
lim f(x) a
f(x)
x ⁄a
=11113=
g(x)
lim g(x) b
b+0
x ⁄a
x ⁄a+ x ⁄a- x ⁄¶ x ⁄-¶
f(x) g(x)
024
Ⅰ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
lim (2x¤ +3)= lim 2x¤ + lim 3=2 lim x¤ + lim 3=2_4+3=11
Example
x ⁄2
x ⁄2
x ⁄2
x ⁄2
x ⁄2
01
lim (x'ßx )= lim x_ lim 'ßx =1_1=1
x ⁄1
x ⁄1
lim
x ⁄-1
x ⁄1
lim (x¤ +4)
lim x¤ + lim 4
x ⁄-1
x ⁄-1
x ⁄-1
1+4
x¤ +4
=
=
=
=5
x+2
-1+2
lim (x+2)
lim x+ lim 2
x ⁄-1
x ⁄-1
x ⁄-1
합성함수의 극한값
lim f( f(x))+f( lim f(x))
x ⁄a
x ⁄a
lim f( f(x))
x ⁄a
f(x)=t
x ⁄a
lim f( f(x))
f(x) ⁄
t⁄
lim f(t)
t⁄
f( lim f(x))
lim f(x)
x ⁄a
lim f(x)=a
x ⁄a
x ⁄a
f( lim f(x))=f(a)
x ⁄a
Example
y
f(x)
2
⁄ lim f( f(x))
y=f(x)
x ⁄1
1
f(x)=t
x ⁄1+
f(x) ⁄1-
t ⁄1-
O
1
2
x
lim f( f(x))= lim f( f(x))= lim f(t)=1
x ⁄1-
x ⁄1+
f(x) ⁄1+
f(x) ⁄1-
t ⁄1+
t ⁄1-
lim f( f(x))= lim f( f(x))= lim f(t)=1
x ⁄1-
f(x) ⁄1+
lim f( f(x))= lim f( f(x))=1
x ⁄1+
x ⁄1-
t ⁄1+
lim f( f(x))=1
x ⁄1
¤ f( lim f(x))
x ⁄1
lim f(x)= lim f(x)=1
x ⁄1+
x ⁄1-
lim f(x)=1
x ⁄1
f( lim f(x))=f(1)=0
x ⁄1
lim f( f(x))+f( lim f(x))
x ⁄1
x ⁄1
01
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
025
2 극한값의 계산
f(x)
g(x)
0
f(x)
g(x)
Example
lim
x ⁄-1
lim
x ⁄'2
lim (x‹ -1)
x ⁄-1
x‹ -1
-2
=
=
=-2
x+2
1
lim (x+2)
x ⁄-1
lim (2-x¤ )
x ⁄'2
2-x¤
=
x
lim x
x ⁄'2
f(x)
g(x)
=
0
=0
'2
f(x)
g(x)
0
0
0
lim f(x)=0 lim g(x)=0
x ⁄a
lim f(x)=¶ lim g(x)=¶
x ⁄a
lim
x ⁄a
f(x)
g(x)
x ڦ
0
0
lim f(x)=¶ lim g(x)=¶
x ڦ
x ڦ
lim { f(x)-g(x)}
x ڦ
¶
¶-¶ ¶_0
¶
¶-¶
x ڦ
lim
x ڦ
f(x)
g(x)
¶
¶
lim f(x)=¶ lim g(x)=0
x ڦ
x ڦ
lim f(x)g(x)
x ڦ
¶_0
1. ;0); 꼴의 극한
;0);
026
Ⅰ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
Example
lim
x ⁄2
(x+2)(x-2)
x¤ -4
= lim
= lim (x+2)=4
x ⁄2
x ⁄2
x-2
x-2
≈2 x ⁄2
x+2
x-2
(' )
01
0
0
Example
lim
x ⁄0
1-'ƒ1+x
(1-'ƒ1+x )(1+'ƒ1+x )
= lim
x ⁄0
x
x(1+'ƒ1+x )
= lim
x ⁄0
-x
-1
= lim
=-;2!;
x ⁄0 1+'ƒ1+x
x(1+'ƒ1+x )
¶
2. ¶ 꼴의 극한
Example
3x¤ +5x+4
= lim
lim
x ڦ
x ڦ
-x¤ +5
5
4
3+1+14
x x¤ =-3
5
-1+14
x¤
lim
x ڦ
1
1
=0 xlim
=0
⁄¶ x¤
x
(' )
x ⁄-¶
Example
x ⁄-¶
-x=t
x ⁄-¶
-x=t
xæ0
x="çx¤ x<0
x=-"çx¤
t ڦ
1
æ≠≠6+14
x¤
"‘6x¤ +1
= lim
='6
lim
x ڦ
x ڦ
x+3
3
1+1
x
lim
x ⁄-¶
2x+1
3x+øπx¤ +2
-x=t
x ⁄-¶
t ڦ
1
-2+1
t
2x+1
-2t+1
= lim
= lim
=1
lim
x ⁄-¶
t ڦ
t ڦ
2
3x+øπx¤ +2
-3t+øπt¤ +2
-3+æ≠1+1
t¤
01
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
027
3. ¶-¶ 꼴의 극한
¶_a a
¶-¶
¶
a<0
¶_a
0
a>0
¶
-¶
Example
lim (2x¤ -3x+1)= lim x¤ {2-
x ڦ
x ڦ
1
3
+
}=¶
x
x¤
lim (-3x¤ +2x+1)= lim x¤ {-3+
x ڦ
x ڦ
1
2
+
}=-¶
x
x¤
(' )
Example
("‘x¤ -x-x)("‘x¤ -x+x)
lim ("√x¤ -x-x)= lim
x ڦ
¶
¶
1
x ڦ
("√x¤ -x-x)= lim
x ڦ
øπx¤ -x+x
-x
= lim
øπx¤ -x +x x ⁄¶
-1
=-;2!;
1
æ≠1-1+1
x
4. ¶_0 꼴의 극한
0
0
Example
lim
x ⁄0
1
1
x
1
{1}= lim
= lim
=1
x ⁄0 x(x+1)
x ⁄0 x+1
x
x+1
(' )
¶
¶
Example
lim x {1-
x ڦ
028
'ƒx+1
x('ßx-'ƒx+1 )
}= lim
x ڦ
'ßx
'ßx
x {1-
}= lim
x('ßx-'ƒx+1 )('ßx+'ƒx+1 )
-x
= lim
x ⁄¶ 'ßx ('ßx+'ƒx+1 )
'ßx ('ßx+'ƒx+1 )
x {1-
}= lim
-1
-x
= lim
=-;2!;
x ڦ
1
x+"√x¤ +x
1+æ≠1+1
x
x ڦ
x ڦ
Ⅰ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
부정형의 극한의 계산
0
0
0
1 0
¶
2 ¶
01
0 ¶
a
¶_a
a
0 ¶
¶
3 ¶-¶ ¶_0
3 함수의 극한의 대소 관계
함수의 극한의 대소 관계
lim f(x)=a lim g(x)=b a b
x ⁄a
1 f(x)…g(x)
lim f(x)… lim g(x)
x ⁄a
2 f(x)…h(x)…g(x)
1
a
x ⁄a
f(x)<g(x) 2
x
a…b
x ⁄a
lim f(x)= lim g(x)=a
x ⁄a
lim h(x)=a
x ⁄a
x ⁄a
f(x)<h(x)<g(x)
x ⁄a+ x ⁄a- x ⁄¶ x ⁄-¶
2
f(x)
x ⁄0
x
x
0
| f(x)|…1
f(x)
-1
x f(x)
1
lim x f(x)=0
x ⁄0
| f(x)|…1
⁄ xæ0
-x…xf(x)…x
¤ x<0
x…xf(x)…-x
⁄ ¤
lim (-x)=0 lim x=0
x ⁄0+
x ⁄0+
lim x=0 lim (-x)=0
x ⁄0-
x ⁄0-
-1… f(x)…1
lim xf(x)=0
x ⁄0+
lim x f(x)=0
x ⁄0-
lim x f(x)=0
x ⁄0
01
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
029
4 미정계수의 결정
lim
x ⁄a
f(x)
g(x)
0
0
0
0
lim
x ⁄a
x ⁄a
f(x)
=a a
g(x)
0
f(x)
g(x)
f(x)
=a a
g(x)
lim
x ⁄a
Proof
lim
x ⁄a
lim g(x)=0
x ⁄a
x ⁄a
x ⁄a
lim
ax+b
=2
x-1
lim
ax+b
=2
x-1
x ⁄1
x ⁄1
x ⁄a
⁄0
⁄0
f(x)
=a lim g(x)=0
x ⁄a
g(x)
lim f(x)= lim [
Example
lim f(x)=0
f(x)
f(x)
_g(x)]= lim
_ lim g(x)=a_0=0
x ⁄a g(x)
x ⁄a
g(x)
a b
x ⁄1
⁄0
⁄0
lim (ax+b)=a+b=0
x ⁄1
b=-a
lim
x ⁄1
a=2
yy
a(x-1)
ax-a
= lim
=a
x ⁄1
x-1
x-1
b=-2
a=2 b=-2
lim
x ⁄a
f(x)
=a a+0
g(x)
lim f(x)=0
lim g(x)=0
⁄0
⁄0
x ⁄a
f(x)
=a a+0 lim f(x)=0
lim
x ⁄a g(x)
x ⁄a
Proof
lim g(x)= lim [ f(x)÷
x ⁄a
030
x ⁄a
x ⁄a
f(x)
f(x)
]= lim f(x)÷ lim
=0÷a=0
x ⁄a
x ⁄a g(x)
g(x)
Ⅰ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
Example
lim
x+1
=3
ax+b
lim
x+1
=3+0
ax+b
x ⁄-1
x ⁄-1
a b
x ⁄-1
⁄0
lim (ax+b)=-a+b=0
⁄0
b=a
x ⁄-1
yy
01
x+1
x+1
= lim
=;a!;
lim
x ⁄-1 ax+a
x ⁄-1 a(x+1)
a=;3!;
b=;3!;
a=b=;3!;
f(x) g(x)
f(x)
lim
x ڦ
lim
x ڦ
}={ g(x)
}
{ f(x)
}<{ g(x)
}
{ f(x)
}>{ g(x)
}
lim
x ڦ
¶
¶
g(x)
{ f(x)
Example
f(x)
g(x)
lim
x ڦ
lim
2x¤ +1
=;3@;
3x¤ +5x+1
lim
f(x) g(x)
{ f(x)
{ g(x)
lim
x ڦ
}
}
lim
x ڦ
f(x)
=-¶
g(x)
x-2x¤
=0
x‹ -5x¤
lim
x ڦ
f(x)
=a a+0
g(x)
}
}
f(x)
=0
g(x)
f(x)
=¶
g(x)
x ڦ
f(x) g(x)
a=
f(x)
{ f(x)
=
g(x)
{ g(x)
lim
x ڦ
x ڦ
f(x)
g(x)
f(x)
=a a
g(x)
f(x) g(x)
a
a=0
01
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
031
Example
ax¤ +bx+1
=2
2x-3
lim
x ڦ
a b
0
a=0
a=0
lim
x ڦ
b
=2
2
bx+1
b
=
2x-3
2
b=4
¶_0
lim f(x)=¶
lim f(x)g(x)=a a
x ⁄a
Proof
lim f(x)=¶
lim
x ⁄a
x ⁄a
x ⁄a
x ⁄a
f(x) g(x)
f(x)g(x)
1
= lim f(x)g(x)_ lim
=a_0=0
x ⁄a
x ⁄a f(x)
f(x)
lim f(x)=¶ lim { f(x)-g(x)}=2
x ⁄1
x ⁄1
lim [1x ⁄1
lim
x ⁄1
lim { f(x)-g(x)}= lim f(x)[1x ⁄1
x ⁄a
1
=0
f(x)
lim g(x)= lim
Example
lim g(x)=0
x ⁄a
g(x)
]=2
f(x)
g(x)
]=0
f(x)
lim
x ⁄1
x ⁄1
lim f(x)=¶
x ⁄1
g(x)
=1
f(x)
미정계수의 결정
1 lim
x ⁄a
f(x)
=a a
g(x)
2 lim
x ⁄a
f(x)
=a a+0
g(x)
3
x ⁄a
lim f(x)=0
x ⁄a
f(x) g(x)
a=
{ f(x)
{ g(x)
f(x)=¶
4 lim
x ⁄a
032
lim g(x)=0
lim
x ڦ
lim f(x)=0
x ⁄a
lim g(x)=0
x ⁄a
f(x)
=a a+0
g(x)
f(x) g(x)
}
}
lim f(x)g(x)=a a
x ⁄a
lim g(x)=0
x ⁄a
Ⅰ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
g(x)
f(x)
1
lim (x¤ +3x-1)
lim
x ⁄2
x ⁄1
x¤ -x+1
2x-1
01
2
lim
x¤ +2x-3
x-1
lim
2x¤ -3x-1
x¤ +1
x ⁄1
lim
x-4
'ßx -2
lim
x
"√x¤ +1+x
x ⁄4
lim
x ⁄1
"√x¤ +3-2
x-1
3
x ڦ
x ڦ
x¤ +ax+b
=3
4 lim
x ⁄1
x-1
풀이
1
a b
lim (x¤ +3x-1)= lim x¤ +3 lim x- lim 1=4+3_2-1=9
x ⁄2
x ⁄2
x ⁄2
lim (x¤ -x+1)
lim
x ⁄1
2
x¤ -x+1
= x ⁄1
=
2x-1
lim (2x-1)
x ⁄1
x ⁄2
lim x¤ -lim x+lim 1
x ⁄1
x ⁄1
x ⁄1
2 lim x-lim 1
x ⁄1
=
x ⁄1
1-1+1
=1
2_1-1
lim
(x+3)(x-1)
x¤ +2x-3
= lim
= lim (x+3)=4
x ⁄1
x ⁄1
x-1
x-1
lim
(x-4)('ßx+2)
(x-4)('ßx+2)
x-4
= lim
= lim
= lim ('ßx +2)=4
x ⁄4 ('ßx-2)('ßx+2)
x ⁄4
x ⁄4
x-4
'ßx-2
lim
"√x¤ +3-2
("√x¤ +3-2)("√x¤ +3+2)
(x+1)(x-1)
x+1
= lim
= lim
= lim
=;2!;
x ⁄1
x ⁄1 (x-1)("√x¤ +3+2)
x ⁄1 "√x¤ +3+2
x-1
(x-1)("√x¤ +3+2)
lim
2x¤ -3x-1
= lim
x ڦ
x¤ +1
x ⁄1
x ⁄4
x ⁄1
3
lim "√4x¤ -x-2x )
x ڦ
x ڦ
3
1
2-1-13
x x¤
=2
1
1+13
x¤
lim ("√4x¤ -x -2x)= lim
x ڦ
lim
x ڦ
"√4x¤ -x+2x
-x
= lim
= lim
x ڦ
"√4x¤ -x+2x x ⁄¶
x ⁄1
lim (x¤ +ax+b)=1+a+b=0
x ⁄1
lim
x ⁄1
2+a=3
1
=;2!;
1
æ≠1+14 +1
x¤
("√4x¤ -x -2x)("√4x¤ -x +2x)
x ڦ
x¤ +ax+b
=3
4 lim
x ⁄1
x-1
x
= lim
"√x¤ +1+x x ⁄¶
-1
=-;4!;
1
æ≠4-1 +2
x
⁄0
⁄0
b=-a-1
yy
(x-1)(x+a+1)
x¤ +ax-a-1
= lim
= lim (x+a+1)=2+a
x ⁄1
x ⁄1
x-1
x-1
a=1 a=1
b=-2
01
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
033
0 꼴의 극한값의 계산
0
03
다음 극한값을 구하여라.
lim
x ⁄1
x¤ +2x-3
x¤ +x-2
lim
x ⁄0
'ƒ2+x-'ƒ2-x
x
lim
x ⁄3
x¤ -2x-3
'ƒx+1-2
접근 방법
0
0
꼴의 극한은 인수분해하거나 유리화한 후
꼴이 되도록 하는 식을
0
0
약분하여 극한값을 구한다.
상세 풀이
lim
(x+3)(x-1)
x¤ +2x-3
x+3
4
= lim
= lim
=
x ⁄1 (x+2)(x-1)
x ⁄1 x+2
3
x¤ +x-2
lim
('ƒ2+x-'ƒ2-x )('ƒ2+x+'ƒ2-x )
'ƒ2+x-'ƒ2-x
= lim
x ⁄0
x
x('ƒ2+x+'ƒ2-x )
x ⁄1
x ⁄0
= lim
(2+x)-(2-x)
x('ƒ2+x+'ƒ2-x )
= lim
2x
x('ƒ2+x+'ƒ2-x )
= lim
'2
2
=
2
'ƒ2+x+'ƒ2-x
x ⁄0
x ⁄0
x ⁄0
lim
x ⁄3
(x+1)(x-3)('ƒx+1+2)
x¤ -2x-3
= lim
x ⁄3
('ƒx+1-2)('ƒx+1+2)
'ƒx+1-2
= lim
x ⁄3
(x+1)(x-3)('ƒx+1+2)
x-3
= lim (x+1)('ƒx+1+2)=4_4=16
x ⁄3
정답
⑴ ;3$; ⑵
보충 설명
'2
2
⑶ 16
⑴`에서 x ⁄1은 x의 값이 1과 다른 값을 가지면서 1에 한없이 가까워지는 것을 의미합니다. 따라서 x ⁄1이면
x+1, 즉 x-1+0이므로 극한값을 계산할 때 분자, 분모에서 공통인수인 x-1을 약분할 수 있습니다.
034
Ⅰ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.3
03-1
다음 극한값을 구하여라.
lim
x ⁄0
03-2
lim
x ⁄1
'ƒx+3-(x+1)
x-1
'ƒx+1-2
x¤ -4x+3
lim
x ⁄3
01
다음 극한값을 구하여라.
lim
x ⁄a
03-3
(x-1)‹ +1
x
x‹ -ax¤ +a¤ x-a‹
(
x‹ -a‹
a+0)
lim
x ⁄a
x'ƒa+1-a'ƒx+1
(
x-a
y
오른쪽 그림은 이차함수 y=f(x)의 그래프이다.
a>0)
y=f(x)
f(x-1)
=-10일 때, 다음 극한값을 구하여라.
lim
x-1
x ⁄1
lim
x ⁄1
f(x+4)
x¤ -1
03-1
3
lim
x ⁄2
-;4#;
;8!;
f(x+3)
'ƒx+2-2
03-2
;3@;
O
a+2
2'ƒa+1
03-3
5
5
01
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
x
40
035
¶
꼴의 극한값의 계산
¶
다음 극한값을 구하여라.
04
lim
x ڦ
-x¤ +x-1
3x¤ -2x+1
lim
x ڦ
3x
"√x¤ +2-1
lim
x ⁄-¶
4-x
"√3x¤ +2x+1
접근 방법
x¤
x
x ⁄-¶
-x=t
¶
꼴의 극한은 분모의 최고차항으로 분자, 분모를 각각 나누어 극한값을 구한다.
¶
상세 풀이
1
1
-1+1-13
x x¤
=-;3!;
2
1
3-1+13
x x¤
3
3x
= lim
=3
lim
x ڦ "x +2 -1
x ڦ
2
1
√ ¤
æ≠1+13-1
x¤
x
-x¤ +x-1
= lim
lim
x ⁄¶ 3x¤ -2x+1
x ڦ
x ⁄-¶
-x=t
lim
x ⁄-¶
t ڦ
4-x
4+t
= lim
t ڦ
"√3x¤ +2x+1
"√3t¤ -2t+1
4
1+1
t
= lim
t ڦ
2
1
æ≠–3-1+1
t
t¤
=
1
'3
=
3
'3
정답
'3
⑴ -;3!; ⑵ 3 ⑶ 3
보충 설명
¶
꼴의 극한은 분모의 최고차항으로 분자, 분모를 각각 나누어 분자, 분모가 모두 수렴하도록 식을 변형한 후
¶
극한값을 구합니다.
036
Ⅰ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.4
04-1
다음 극한값을 구하여라.
6x¤ -5x+1
3x¤ +2x-1
lim
x ڦ
04-2
"√x¤ +3-2x
4x
lim
x ⁄-¶
"√2x¤ -1
x+1
01
다음 극한값을 구하여라.
2x+3
"√4x¤ +x+"√x¤ -2x
lim
x ڦ
lim
x ⁄-¶
lim
x ڦ
04-3
lim
x ڦ
x+1
"√x¤ +x-x
"√1+x-"√1+x¤
"√1+x¤ +x
이차방정식 x¤ -x-1=0의 서로 다른 두 실근 a, b에 대하여
"√x+≈aΩ¤ -"√x+≈bΩ¤
'ƒ4x∂+åa-'ƒ4x∂+ßb
lim
x ڦ
의 값을 구하여라.
04-1
2
-;4!;
-'2
04-2
;3@;
-;2!;
-;2!;
04-3 2
01
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
037
¶-¶, ¶_0 꼴의 극한값의 계산
05
다음 극한값을 구하여라.
lim ("√x¤ +2x-x)
x ڦ
lim 'ßx ('ƒx-1-'ƒx+1)
lim
x ڦ
x ⁄0
1
2
{
-1}
x x+2
접근 방법
¶
¶
1
¶-¶ 꼴은
¶
0
꼴로, ¶_0 꼴은
꼴로 변형하여 극한값을 구한다.
¶
0
상세 풀이
lim ("√x¤ +2x-x)= lim
x ڦ
x ڦ
("√x¤ +2x-x)= lim
x ڦ
("√x¤ +2x-x)("√x¤ +2x+x)
"√x¤ +2x+x
2x
= lim
x ڦ
"√x¤ +2x+x
lim 'ßx ('ƒx-1-'ƒx+1)= lim
x ڦ
x ڦ
'x('ƒx-1-'ƒx+1)= lim
x ڦ
'x('ƒx-1-'ƒx+1)= lim
x ڦ
lim
x ⁄0
2
=1
Æ…1+;[@; +1
'ßx ('ƒx-1-'ƒx+1)('ƒx-1+'ƒx+1)
'ƒx-1+'ƒx+1
-2'x
'x {(x-1)-(x+1)}
= xlim
⁄¶ 'ƒx-1+'ƒx+1
'ƒx-1+'ƒx+1
-2
=-1
Æ…1-;[!;+Æ…1+;[!;
1
2
1
2-(x+2)
1
-x
-1
{
-1} = lim [ _
]= lim { _
}= lim
=-;2!;
x ⁄0
x ⁄0
x ⁄0 x+2
x x+2
x
x+2
x
x+2
정답
⑴ 1 ⑵ -1 ⑶ -;2!;
보충 설명
다음의 경우에는 수렴하는 꼴로 변형되지 않으므로 극한의 판단은 다음과 같이 합니다. (단, k는 실수)
⑴ ¶_k 꼴,
¶
꼴에서는 k>0일 때 ¶, k<0일 때 -¶입니다.
k
⑵
k
꼴의 극한값은 0입니다.
¶
⑶
k
꼴에서는 k>0일 때 ¶, k<0일 때 -¶입니다.
+0
038
Ⅰ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.5
05-1
다음 극한값을 구하여라.
lim ("√4x¤ +3x-2x)
lim x("√x¤ +4-"√x¤ +1)
x ڦ
lim
x ⁄3
05-2
x ڦ
01
1
1
1
{
- }
x-3 x+1
4
다음 극한값을 구하여라.
lim ("√4x¤ +[x]+3-2x)
x ڦ
[x]
x
lim (3x+1+"√9x¤ +4x+1)
x ⁄-¶
05-3
lim {"√x¤ +2x+3-(ax+b)}=0이 성립할 때, lim x{"√x¤ +2x+3-(ax+b)}의 값
x ڦ
x ڦ
을 구하여라. (단, a, b는 상수이다.)
05-1
;4#;
;2#;
-;1¡6;
05-2
;4!;
;3!;
05-3 1
01
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
039
미정계수의 결정
다음 등식을 만족시키는 상수 a, b의 값을 각각 구하여라.
06
lim
x ⁄1
x¤ -ax+b
=2
x¤ -1
lim
x ⁄-1
a"√x¤ +Ω8+b
=-;3@;
x+1
접근 방법
⁄0
lim
x ⁄a
⁄0
b
f(x)
=a`(a는 실수)일 때, lim g(x)=0이면 lim f(x)=0
x ⁄a
x ⁄a
g(x)
상세 풀이
x ⁄1
lim (x¤ -ax+b)=1-a+b=0
b=a-1
x ⁄1
lim
x ⁄1
⁄0
yy
x¤ -ax+b
x¤ -ax+a-1
(x-1)(x-a+1)
= lim
= lim
x ⁄1
x ⁄1
(x+1)(x-1)
x¤ -1
x¤ -1
= lim
x ⁄1
b=-2-1=-3
x-a+1
2-a
=
=2
x+1
2
x ⁄-1
lim (a"√x¤ +Ω8+b)=3a+b=0
x ⁄-1
lim
⁄0
x ⁄-1
a=-2
⁄0
b=-3a
⁄0
yy
a"√x¤ +Ω8+b
a("√x¤ +Ω8-3)
a (x¤ -1)
= lim
= lim
x ⁄-1
x ⁄-1 (x+1)("√x¤ +Ω8+3)
x+1
x+1
= lim
x ⁄-1
a(x+1)(x-1)
a(x-1)
a
2
= lim
=- =x
⁄-1
3
3
(x+1)("√x¤ +Ω8+3)
"√x¤ +Ω8+3
a=2
b=-3_2=-6
정답
⑴ a=-2, b=-3 ⑵ a=2, b=-6
보충 설명
lim
x ⁄a
040
f(x)
f(x)
f(x)
=a일 때, lim g(x)=0이면 lim f(x)= lim [
_g(x)]= lim
_ lim g(x)=a_0=0
x ⁄a
x ⁄a
x ⁄a
x ⁄a g(x)
x ⁄a
g(x)
g(x)
Ⅰ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.7
06-1
다음 등식을 만족시키는 상수 a, b의 값을 각각 구하여라.
lim
x ⁄2
06-2
06-3
lim
x ⁄0
"√x¤ +≈a -b
=;5@;
x-2
lim
x ⁄2
x¤ -(a+2)x+2a
=3
x¤ -b
01
'ƒ1+x-ax-1
=b일 때, 상수 a, b에 대하여 a+b의 값은?
x¤
-;8!;
;8!;
;8%;
;8&;
;8#;
10보다 작은 두 자연수 a, b에 대하여
lim
x ⁄4
|x-a|-|a-4|
=b
x-4
가 성립할 때, a¤ +b¤ 의 최댓값을 구하여라.
06-1
a=21 b=5
a=-10 b=4
06-2
06-3 10
01
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
041
다항함수에서의 극한
다항함수 `f(x)가
07
lim
x ⁄-¶
f(x)
f(x)
=1, lim
=2
x ⁄-1 1-x¤
1-x¤
를 만족시킬 때, `f(2)의 값을 구하여라.
접근 방법
lim
f(x)
=1
1-x¤
lim
f(x)
=2
1-x¤
x ⁄-¶
x ⁄-1
f(x)
f(x)
x ⁄-1
⁄0
⁄0
lim f(x)=0
x ⁄-1
x+1
다항함수 `f(x)에 대하여 lim
x ⁄a
f(x)
=b가 성립하면 lim `f(x)=0이므로
x-a
x ⁄a
f(x)=(x-a)f¡(x)`(``f¡(x)는 다항식)로 나타낼 수 있다.
상세 풀이
f(x)
lim
x ⁄-¶
lim
x ⁄-1
f(x)
=1
1-x¤
f(x)
x ⁄-1
f(x)
=2
1-x¤
lim f(x)=0
⁄0
f(x)
x ⁄-1
-1
⁄0
x+1
f(x)=-(x+1)(x+a) a
lim
x ⁄-1
f(x)
-(x+1)(x+a)
x+a
= lim
= lim
x ⁄-1 -(x+1)(x-1)
x ⁄-1 x-1
1-x¤
=
-1+a
=2
-2
a=-3
f(x)=-(x+1)(x-3)
f(2)=-3_(-1)=3
정답
보충 설명
다항함수 `f(x)에서 lim
x ⁄-¶
f(x)
f(x)
=1 대신에 lim
=1, 즉 x ⁄¶일 때의 극한이 주어진 경우에도 f(x)의
x ⁄¶ 1-x¤
1-x¤
최고차항의 차수, 계수는 각각 분모의 최고차항의 차수, 계수와 서로 일치하게 됩니다.
042
Ⅰ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
3
p.8
07-1
다항함수 `f(x)가
f(x)-x
f(x)
=2, lim
=1
x ⁄2 x¤ -2x
x¤ +x+3
lim
x ڦ
을 만족시킬 때, `f(3)의 값을 구하여라.
07-2
다항함수 `f(x)가 다음 조건을 만족시킬 때, `f(-1)의 값은?
lim
x ڦ
07-3
01
f(x)-x‹
=-2
x¤ +2x-3
lim
x ⁄1
-10
-8
-4
-2
f(x)
=2
x-1
-6
다항함수 `f(x)가
lim
x‹ f {;[!;}-1
x ⁄0+
x‹ +x
=2, lim
x ⁄1
f(x)
=;2#;
x¤ -1
을 만족시킬 때, lim f(x)의 값을 구하여라.
x ⁄2
07-1 4
07-2
07-3 9
01
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
043
수렴하는 형태로의 변형
다항함수 `f(x)에 대하여 lim
08
x ⁄1
lim
x ⁄1
f(x)
=4가 성립할 때, 다음 극한값을 구하여라.
x-1
f(x)
x¤ -1
lim
x ⁄1+
f(x)
'ƒx-1
접근 방법
f(x)
=4
x-1
lim
x ⁄1
두 함수 f(x), g(x)에 대하여 lim f(x)=a, lim g(x)=b (a, b는 실수)일 때,
x ⁄a
x ⁄a
lim f(x)g(x)= lim f(x)_ lim g(x)=ab
x ⁄a
x ⁄a
x ⁄a
상세 풀이
lim
x ⁄1
f(x)
=4
x-1
lim
x ⁄1
f(x)
f(x)
f(x)
1
1
= lim [
_
]= lim
_ lim
=4_;2!;=2
x ⁄1
x ⁄1 x-1
x ⁄1 x+1
x-1
x+1
x¤ -1
f(x)
'x
ƒ -1
x ⁄1+
x>1
lim
x ⁄1+
f(x)
f(x)'ƒx-1
f(x)'ƒx-1
= lim
= lim
x ⁄1+
x-1
'ƒx-1 x ⁄1+ 'ƒx-1'ƒx-1
= lim
x ⁄1+
f(x)
_ lim 'ƒx-1=4_0=0
x ⁄1+
x-1
lim
x ⁄1+
f(x)
f(x)
= lim
=4
x ⁄1 x-1
x-1
정답
⑴2 ⑵0
보충 설명
⑴ lim
x ⁄a
f(x)
=b`(b는 실수)에서 x ⁄a일 때 (분모) ⁄0이므로 (분자) ⁄0입니다. 즉, lim f(x)=0입니다.
x ⁄a
x-a
단, 일반적으로 극한값과 함숫값은 서로 같지 않으므로 `f(a)=0이라고 할 수 없습니다.
⑵ 위의 예제 ⑵에서 함수
044
f(x)
는 x>1에서 정의되므로 x ⁄1-일 때의 극한은 정의되지 않습니다.
'ƒx-1
Ⅰ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.9
08-1
x ⁄-1
lim
x ⁄-1
08-2
f(x)
x¤ -1
lim
x ⁄-1
다항함수 `f(x)에 대하여 lim
x ⁄1
lim
x ⁄1
08-3
f(x)
=3이 성립할 때, 다음 극한값을 구하여라.
x+1
다항함수 `f(x)에 대하여 lim
x‹ +1
f(x)
lim
x ⁄-1-
f(x)
"√x¤ -1
01
f(x)
=3이 성립할 때, 다음 극한값을 구하여라.
x-1
x+f(x)-1
x¤ -f(x)-1
lim
x ⁄1
'ßx-1+f(x)
x‹ -1
다항함수 `f(x)가
lim
x ⁄0
f(x)
f(x)
=3, lim
=4
x
x ⁄1 x-1
를 만족시킬 때, lim
x ⁄1
08-1
-;2#;
f( f(x))
의 값을 구하여라.
x‹ -1
1
0
08-2
-4
;6&;
08-3 4
01
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
045
합성함수의 극한
두 함수 y=f(x), `y=g(x)의 그래프가 아래 그림과 같을 때, 다음 극한값을 구하
09
여라.
y
y
y=f(x)
2
1
O
2
1
1
2
lim g( f(x))
3 x
-1 O
lim f( g(x))
x ⁄1
y=g(x)
1
2
x
g( lim f(x))
x ⁄0
x ⁄0
접근 방법
합성함수의 극한값은 치환한 후 우극한과 좌극한을 각각 구하여
그 값을 비교하여 구한다.
상세 풀이
f(x)=t
x ⁄1+
x ⁄1
y=f(x)
t ⁄0+ x ⁄1-
t ⁄0+
g(x)=t
x ⁄0+
x ⁄0-
t ⁄0+
lim g( f(x))= lim g(t)=2
x ⁄1
t ⁄0+
y=g(x)
t=2
lim f(g(x))=f(2)=1
yy
lim f(g(x))=f(1)=1
yy
x ⁄0+
t=1
x ⁄0-
lim f(g(x))=1
x ⁄0
lim f(x)=1
x ⁄0
g( lim f(x))=g(1)=0
x ⁄0
정답
⑴2 ⑵1 ⑶0
보충 설명
일반적으로 lim g( f(x))+g( lim f(x))임을 알아둡시다.
x ⁄0
x ⁄0
⑶에서 lim f(x)=1이므로 g( lim f(x))=g(1)=0입니다.
x ⁄0
x ⁄0
그러나 lim g(f(x))= lim g(t)=2, lim g(f(x))=g(1)=0이므로 lim g(f(x))의 값은 존재하지 않습니다.
x ⁄0+
046
t ⁄1-
x ⁄0-
x ⁄0
Ⅰ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.11
09-1
두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프가
y
오른쪽 그림과 같을 때, 다음 극한값을 구
2
1
하여라.
lim g( f(x))
O
x ⁄0
y
y=f(x)
2
1
1
2
3 x
-1 O
y=g(x)
1
2 x
lim f(g(x))
x ⁄1
g( lim f(x))
x ⁄1
09-2
y
함수 y=f(x)의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때,
y=f(x)
lim f( f(x))+ lim f( f(x))의 값을 구하여라.
x ⁄-1-
x ⁄0
1
-2 -1
O
1
2
x
-1
09-3
집합 {x|-2…x…2}에서 정의된 두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프가 다음 그림과
같을 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 골라라.
y
1
-2 -1
O
y=f(x)
1
2 x
y=g(x)
-2 -1
y
2
1
O
1
2
x
-1
-1
-2
보기
lim g( f(x))= lim f(g(x))
x ⁄1-
x ⁄1+
lim f(| g(x)|+1)=0
x ⁄0
f( lim { f(x)+g(x)})=-1
x ⁄-1
09-1
2
1
1
09-2 0
09-3
01
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
047
01
함수의 극한에 대한 참과 거짓 판단
두 함수 f(x), g(x)에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 골라라.
10
(단, a는 실수이다.)
보기
lim { f(x)+g(x)}
lim f(x)
x ⁄a
lim g(x)
x ⁄a
x ⁄a
lim f(x) lim { f(x)-g(x)}
x ⁄a
lim g(x)
x ⁄a
lim f(x) lim
x ⁄a
x ⁄a
x ⁄a
f(x)
g(x)
lim g(x)
x ⁄a
접근 방법
lim f(x), lim g(x)의 값이 각각 존재하면 lim { f(x)— g(x)}의 값이 존재한다.
x ⁄a
x ⁄a
x ⁄a
상세 풀이
f(x)=[
1
(xæ0)
g(x)=[
-1 (x<0)
f(x)+g(x)=0
-1 (xæ0)
1
x
(x<0)
lim { f(x)+g(x)}=0
x ⁄0
lim f(x) lim g(x)
x ⁄0
x ⁄0
lim f(x)=L lim { f(x)-g(x)}=M L M
x ⁄a
x ⁄a
lim g(x)= lim [ f(x)-{ f(x)-g(x)}]= lim f(x)- lim { f(x)-g(x)}=L-M
x ⁄a
x ⁄a
f(x)=x+1 g(x)=
x ⁄a
1
x
lim f(x)=1 lim
x ⁄0
x ⁄0
x ⁄a
f(x)
= lim x(x+1)=0
x ⁄0
g(x)
lim g(x)
x ⁄0
정답
보충 설명
ㄷ에서 lim g(x)= lim [ f(x)÷
x ⁄a
x ⁄a
lim g(x)= lim [ f(x)÷
x ⁄a
048
x ⁄a
f(x)
f(x)
]입니다. 이때, lim
+0이라는 조건이 더 있어야
x ⁄a g(x)
g(x)
f(x)
f(x)
]= lim f(x)÷ lim
로 계산할 수 있습니다.
x ⁄a
x ⁄a g(x)
g(x)
Ⅰ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
ㄴ
p.12
10-1
두 함수 `f(x), g(x)에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 골라라.
(단, a는 실수이다.)
보기
lim f(x)g(x)
x ⁄a
x ⁄a
lim f(x) lim f(x)g(x)
x ⁄a
x ⁄a
10-2
lim g(x)
x ⁄a
lim g(x) lim
x ⁄a
01
lim f(x) lim g(x)
x ⁄a
x ⁄a
f(x)
g(x)
lim f(x)
x ⁄a
두 함수 `f(x), g(x)에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 골라라.
(단, a는 실수이다.)
보기
lim { f(x)+g(x)} lim { f(x)-g(x)}
x ⁄a
x ⁄a
lim f(x) lim g(x)
x ⁄a
x ⁄a
lim { f(x)-g(x)}=0
x ⁄a
f(x)<g(x)
10-3
lim f(x)= lim g(x)
x ⁄a
x ⁄a
lim f(x)< lim g(x)
x ⁄a
x ⁄a
함수 f(x)에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 골라라. (단, a는 실수이다.)
보기
lim f(x)
x ⁄a
lim { f(x)}¤
x ⁄a
lim | f(x)|
lim f(x)
x ⁄a
x ⁄a
lim ( f`Á`f )(x)
lim f(x)
x ⁄a
10-1
x ⁄a
10-2
10-3
01
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
049
01-
1
y
y=f(x)
1
lim f(x)
-1 O
-1
x ⁄-1
lim f(x)
x ⁄1-
lim f( f(x))
x ⁄1+
f( lim f(x))
x ⁄-1
01-
2
lim
f(x)
=1
x
lim
f(x)
=2
x
lim
x‹ +27
x¤ -x-12
x ⁄0
x ڦ
01-
lim
x¤ -f(x)
x¤ +f(x)
x ڦ
lim
"√x¤ +Ω1+x-1
x
lim
'ƒ1+x-"√1+4x¤
"√1-x¤ -'ƒ1-4x
x ⁄0
lim
1
3
{3- }
x-1
x
lim
x-3
x-"√√18-x¤
lim
'ƒ1+4x-"√1+x¤
"√1+4x¤ -'ƒ1+x
x ⁄1
x ⁄3
4
x ⁄0
01-
x¤ -f(x)
x¤ +f(x)
x ⁄0
3
x ⁄-3
01-
lim
5
x ڦ
f(x)
1
1
<xf(x)<
2x
"√4x¤ +1
lim (2x¤ +4x+3)f(x)
x ڦ
050
Ⅰ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
y=f(x)
1 2
x
p.340 |
01-
6
a b
lim
a'ƒx+1+b
=1
x
lim
1
1
{
-;b!;}=-;1¡6;
x-3 x+a
x ⁄0
x ⁄3
01-
7
01-
8
lim
x ⁄0
f(x)
x ⁄1
9
lim
x ⁄1
01
a<0
"√1+√2x+ç4xΩ¤ -(ax+1)
=b
x¤
lim
01-
p.13
a b
a+b
f(x)
=6
x-1
x+2f(x)-1
x¤ -f(x)-1
lim
x ⁄-1
f(x+2)
x‹ +1
f(x) g(x)
lim f(x)=¶ lim { f(x)-g(x)}=2
x ⁄a
lim
x ⁄a
01-
10
C{a a+
x ⁄a
2 f(x)-g(x)
f(x)+2g(x)
1
}
a
d(a)
y=x
lim
a ڦ
O
d(a)
a
a>0
01
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
051
01-
11
f(x)
x-1
f(x)-3
=2
lim
x ⁄1
x¤ -1
01-
12
g(x)
f¡(x)
lim
x ⁄1
g(x)-2x
x-1
f(x)+x-1=(x-1)g(x)
01-
13
r
{ f(x)-3} f¡(x)
lim
x ⁄1
'x-1
f(x)
lim
x ⁄1
f(x)g(x)
x¤ -1
f(x)
f(x)
f(x)
=10 lim
=-4
lim
x ⁄0
x ⁄1 x-1
x
01-
14
1
f(x)
f(x)-(x+2)
=;7#;
lim
x ⁄-2 f(x)+(x+2)
f(2)
01-
15
f(x) g(x)
x+f(x)=g(x){x-f(x)}
lim g(x)=3
x ⁄0
보기
lim
x ⁄0
052
f(x)
x
lim f(x)
x ⁄0
lim
x ⁄0
x¤ +f(x)
x¤ -f(x)
Ⅰ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.340 |
01-
16
p.19
y
A(0 1) O(0 0) B(x 0)
A(0, 1)
B
x
O
AOB
l
x
l
B(x, 0) x
O
x>0
01-
17
y=
A
P
1
(x>0)
x
P
OA
y
A(1 1)
AP
Q
1
y= x
Q
P
P
A
1
Q
O
A
O
x
1
challenge
01-
18
1
O
A
O
lim
r ⁄2-
P
r
P Q
R
A
O
APRQ
AB
B
1
r
R
O
A
S(r)
Q
S(r)
'ƒ2-r
0<r<2
challenge
01-
19
y
A(2 0) B(0 3)
y=mx y=nx+1
AB
y
y=mx
3 B
P
y=nx+1
S
P
1
P
A
nS
P
B
mS
O
01
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
A
2
x
053
01
02
함수의 연속
01 함수의 연속
057
02 연속함수의 성질
072
기본 다지기
086
실력 다지기
088
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
01 함수의 연속
02 연속함수의 성질
01
02
03
04
064
05
06
07
080
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
066
068
070
082
084
02 | 함수의 연속
01 함수의 연속
1 함수의 연속
f(x)
f(x)
f(x)
⁄
x=a
lim f(x)
¤
x=a
lim f(x)= lim f(x)
x ⁄a
x ⁄a+
x ⁄a-
‹ lim f(x)= f(a)
x ⁄a
2 구간의 뜻
a b
a<b
{x|a<x<b}
(a b)
{x|a…x…b}
[a b]
3 닫힌구간 [a, b]에서의 함수의 연속
f(x)
(a b)
lim f(x)= f(a) lim f(x)=f(b)
x ⁄a+
x ⁄b-
f(x)
[a b]
02 연속함수의 성질
1 연속함수의 성질
f(x) g(x)
x=a
x=a
f(x)—g(x)
cf(x)
f(x)
g(x)
f(x)g(x)
c
g(a)+0
2 최대·최소 정리
f(x)
[a b]
f(x)
[a b]
f(a)+ f(b)
3 사잇값의 정리
f(x)
k
056
f(c)=k
c
a
f(a)
f(b)
b
Ⅰ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
01
1 함수의 연속
02
y=f(x)
y=f(x)
1. x=a에서의 함수의 연속
y=f(x)
x=a
x=a
y=f(x)
x=a
f(x)=x+1
y
x=1
f(x)=x+1
x=1
2
1
f(1)=2 lim f(x)= lim (x+1)=2
x ⁄1
x ⁄1
-1 O
x
1
lim f(x)=f(1)
x ⁄1
f(x)
a
f(x)
x=a
연속
f(x)
⁄
x=a
lim f(x)
¤
x ⁄a
lim f(x)= lim f(x)
x ⁄a+
x ⁄a-
‹ lim f(x)= f(a)
x ⁄a
02
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
057
(
f(x)= “
9
Example
x¤ -6x+9
x-3
(x+3)
0
(x=3)
x=3
f(3)=0 lim f(x)= lim
x ⁄3
lim f(x)=f(3)
x ⁄3
f(x)
x ⁄3
x¤ -6x+9
= lim (x-3)=0
x-3
x ⁄3
x=3
2. x=a에서의 함수의 불연속
f(x)
f(x)
x=a
f(x)
x=a
불연속
x=a
f(x)
x=a
⁄
f(a)
¤
lim f(x)
‹
f(a)
x ⁄a
f(x)
lim f(x)
x ⁄a
x=a
x=2
f(x)=
x¤ -4
x-2
x=2
x=2
y=f(x)
y
x=2
f(x)=
™
x -4
x-2
4
2
-2 O
g(x)=[
-x+4 (xæ2)
x+2
(x<2)
x
2
lim g(x)
lim g(x)
x ⁄2
x ⁄2+
lim g(x)
x ⁄2-
lim g(x)= lim (-x+4)=2 lim g(x)= lim (x+2)=4
x ⁄2+
x ⁄2+
lim g(x)+ lim g(x)
x ⁄2+
x ⁄2-
x ⁄2-
x ⁄2-
lim g(x)
y
x ⁄2
y=g(x)
4
g(x)
x=2
x=2
058
y=g(x)
2
-2
O
Ⅰ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
2
4
x
· x¤ -4 (x+2)
x-2
h(x)= {
ª 2
(x=2)
h(2)
h(2)=2 lim h(x)= lim
x ⁄2
x ⁄2
lim h(x)
x ⁄2
x¤ -4
= lim (x+2)=4
x ⁄2
x-2
lim h(x)
y
h(2)+ lim h(x)
4
h(2)
x ⁄2
y=h(x)
x ⁄2
h(x)
x=2
y=h(x)
-2
f(x)=[
x¤ +1 (x+0)
0
y=f(x)
(x=0)
f(0)
x=0
x=1
x ⁄0
2
x ⁄0
lim f(x)+f(0)
f(x)
x ⁄0
f(1)
y=f(x)
lim f(x)
f(0)=0 lim f(x)=1
x=1
x
y
y=f(x)
x=0
2
O
x=2
Example
02
2
1
x=0
O
1
x
lim f(x)
x ⁄1
f(1)=2 lim f(x)=2
x ⁄1
lim f(x)=f(1)
x ⁄1
f(x)
x=1
x=a에서의 함수의 연속
f(x)
a
f(x)
⁄
f(x)
x=a
x=a
lim f(x)
¤
x ⁄a
‹ lim f(x)=f(a)
x ⁄a
f(x)
lim f(x)=f(a)
x ⁄a
lim f(x)=f(a)
x ⁄a
f(x)
f(x)
x=a
x=a
02
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
059
2 구간
구간
a b(a<b)
{x|a<x<b} ˙k (a, b)
{x|a<x…b} ˙k (a, b ]
{x|a…x<b} ˙k [ a, b)
{x|a…x…b} ˙k [ a, b ]
b
x
a
b
x
a
b
x
a
b
x
열린구간 [ a b ]
(a b)
열린 구간
a
닫힌구간
(a b ] [ a b)
반
반닫힌 구간
a
{x|x>a} ˙k (a ¶)
{x|xæa} ˙k [ a ¶)
{x|x<a} ˙k (-¶ a)
a
x
a
x
{x|x…a} ˙k (-¶ a ]
a
x
a
x
(-¶ ¶)
(-3 4 ]
Example
x
(-2 ¶)
{x|-3<x…4}
x
{x|x>-2}
구간의 뜻
a b
1
2
3
a<b
{x|a<x<b}
(a b)
{x|a…x…b}
[a b]
{x|a<x…b} {x|a…x<b}
{x|1<x<2
3<x<4}
{x|x<0
(1 2)'(3 4)
(a b ] [ a b)
(-¶ 0)'(0 ¶)
x>0}
(a b)
060
Ⅰ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
x
3 구간에서의 함수의 연속
f(x)
f(x)
연속함수
f(x)=;[!;
f(x)
f(x)=x¤
x
x
(-¶ 0) (0 ¶)
x+0
(-¶ ¶)
02
|x|
( x (x+0)
f(x)= “
9 0
(x=0)
Example
x
( 1
f(x)= { 0
(x>0)
(x=0)
9 -1 (x<0)
f(x)
(-¶ 0) (0 ¶)
f(x)
f(x)
a
lim f(x)=f(a)
x ⁄a
[a b]
y
y=f(x)
f(b)
f(x)
(a b)
⁄
f(a)
¤ lim ˘f(x)=f(a) lim f(x)=f(b)
x ⁄a+
x ⁄b-
f(x)
Example
a
[a b]
f(x)='ƒx-1
[ 1 ¶)
x>1
O
b
x
x
x=1
lim f(x)= lim 'ƒx-1=0=f(1)
x ⁄1+
x ⁄1+
f(x)
[ 1 ¶)
02
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
061
f(x)=ax+b
ax+b
cx+d
f(x)=
f(x)=
f(x)=ax¤ +bx+c
(-¶ ¶)
x=-;cD;
ax+b
cx+d
x=-;cD;
{-¶ -;cD;} {-;cD; ¶}
0
f(x)='ƒax+åb
[-;aB; ¶}
a>0
a<0
{-¶ -;aB;]
0
f(x)=[x] ([x]
y
x
y=f(x)
2
1
f(x)
-2 -1
x=n (n
O
[ n n+1)
1
-1
-2
f(x) g(x)
Example
1
( x (x+0)
f(x)= “
9 0 (x=0)
x ⁄a
(0 1)
(0 1)
lim f(x)= lim ;[!;=;a!;=f(a)
lim ;[!;=1=f(1)
[0 1]
a
f(x)
x ⁄a
(0 1)
lim ;[!;=¶+f(0)
x ⁄1-
x ⁄0+
f(x)
[0 1]
x¤ -1
( x-1 (x+1)
g(x)= “
9 2
(x=1)
a+1
lim g(x)=g(a)
g(x)
x ⁄a
a
(-¶ 1) (1 ¶)
[ 0 1)
lim g(x)= lim
x ⁄1-
g(x)
062
2
x ⁄1-
x¤ -1
= lim (x+1)=2=g(1)
x-1
x ⁄1-
[0 1]
Ⅰ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
3
x
닫힌구간 [ a, b ]에서의 함수의 연속
f(x)
(a b)
lim f(x)=f(a) lim f(x)=f(b)
x ⁄a+
x ⁄b-
f(x)
[a b]
02
x¤ -x-2
( 112411
(x+2)
f(x)= “
1
x-2
a
9
2
x
(x=2)
a
x=1
f(x)=
x¤ -1
( 111
(x+1)
g(x)= “ x-1
1
(x=1)
9
1
x-1
3
f(x)='ƒ4-x
풀이
1 x+2
g(x)='ƒ2x-å6
f(x)=
x¤ -x-2
(x+1)(x-2)
=
=x+1
x-2
x-2
f(x)
x
x ⁄2
x ⁄2
f(2)=3
x=1
x+2
x=2
lim f(x)=f(2)
x ⁄2
a=3
1
x-1
f(x)=
g(1)=1 lim g(x)= lim
x ⁄1
x ⁄1
lim g(x)+g(1)
x=1
불연속
f(x)='ƒ4-x
0
g(x)='ƒ2x-å6
0
0
2x-6æ0 xæ3
[ 3, ¶)에서 연속
g(x)
1
x+1
4-xæ0 x…4
(-¶, 4 ]에서 연속
f(x)
h(x)=
불연속
x¤ -1
= lim (x+1)=2
x ⁄1
x-1
x=1
x ⁄1
3
f(x)
1
x+1
x¤ -x-2
(x+1)(x-2)
= lim
= lim (x+1)=3
x ⁄2
x ⁄2
x-2
x-2
lim f(x)= lim
2
h(x)=
x
x=-1
h(x)
(-¶ -1), (-1 ¶)에서 연속
02
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
063
함수의 연속과 미정계수의 결정
( a'ƒx-1+b
11x-2
11125 (x+2)
함수 `f(x)={
가 x=2에서 연속일 때, 상수 a, b에 대하여
9
2
(x=2)
01
a¤ +b¤¤ 의 값을 구하여라.
접근 방법
f(x)
x=2
x=2
lim f(x)= f(2)
x ⁄2
lim
x ⁄2
⁄0
x ⁄2
a'ƒx-1 +b
=2
x-2
⁄0
함수 f(x)가 x=a에서 연속이면 x=a에서의 함숫값과 극한값이 서로 같다.
즉, lim f(x)= f(a)
x ⁄a
상세 풀이
f(x)
x=2
lim f(x)=f(2)
x ⁄2
a'ƒx-1+b
=2
lim
x-2
x ⁄2
x ⁄2
yy
⁄0
⁄0
lim (a'ƒx-1+b)=a'∂2∂-å1+b=0
x ⁄2
b=-a
b=-a
lim
x ⁄2
a'ƒx-1-a
a('ƒx-1-1)
a('ƒx-1-1)('ƒx-1+1)
= lim
= lim
x-2
x-2
x ⁄2
x ⁄2
(x-2)('ƒx-1+1)
= lim
x ⁄2
a(x-2)
a
= lim
x ⁄2 'ƒx-1+1
(x-2)('ƒx-1+1)
=;2A;=2
a=4, b=-4
a¤ +b¤ =4¤ +(-4)¤ =32
정답
보충 설명
함수 f(x)가 x=a에서 연속이려면 다음의 세 조건을 만족시켜야 합니다.
⁄ 함수 f(x)가 x=a 에서 정의되어 있다. Δ 함숫값 `f(a)가 존재한다.
¤ 극한값 lim f(x)가 존재한다. Δ lim f(x)= lim f(x)
x ⁄a
x ⁄ a+
x ⁄ a-
‹ x=a 에서의 함숫값과 극한값이 서로 같다. Δ lim f(x)=f(a)
x ⁄a
064
Ⅰ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
32
p.25
01-1
a'ƒx+3-b
(1
11114 (x+1)
x-1
함수 f(x)={
이 x=1에서 연속일 때, 상수 a, b에 대하여 a¤ +b¤
;2!
;
(x=1)
9
의 값을 구하여라.
02
01-2
( x¤ +(b-1)x-b
111211112 (x+1)
x+a
함수 f(x)={
가 모든 실수 x에 대하여 연속일 때, 상수 a, b
9
3a-b
(x=1)
에 대하여 a¤ +b¤ 의 값을 구하여라. (단, 3a+b)
01-3
다항식 g(x)에 대하여 함수 f(x)를 다음과 같이 정의한다.
( g(x)-3x
1112124 (x+0)
x
f(x)={
9
6
(x=0)
함수 f(x)가 x=0에서 연속일 때, 다항식 g(x)를 x¤ 으로 나눈 나머지를 구하여라.
01-1 20
01-2 5
01-3 9x
02
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
065
연속함수에서 함숫값 정하기
실수 전체에서 연속인 함수 f(x)에 대하여 등식
02
(x-1) f(x)=x¤ +4x+a
가 성립할 때, 상수 a와 f(1)의 값을 각각 구하여라.
접근 방법
x=1
f(1)
0
f(x)
lim f(x)=f(1)
f(1)
x=1
f(1)
x ⁄1
함수 f(x)가 실수 전체에서 연속이면
함수 `f(x)는 모든 실수 a에 대하여 x=a에서 연속이다.
상세 풀이
x+1
f(x)=
x¤ +4x+a
x-1
f(x)
x=1
f(1)= lim f(x)= lim
x ⁄1
x ⁄1
⁄0
x ⁄1
x¤ +4x+a
x-1
yy
⁄0
lim (x¤ +4x+a)=5+a=0
a=-5
x ⁄1
a=-5
f(1)= lim
x¤ +4x-5
x-1
f(1)= lim
(x+5)(x-1)
x-1
x ⁄1
x ⁄1
f(1)= lim (x+5)=6
x ⁄1
정답
a=-5, f(1)=6
보충 설명
함수 f(x)가 실수 전체에서 연속이면 함수 `f(x)는 모든 실수 a에 대하여 x=a에서 연속입니다.
즉, 모든 실수 a에 대하여 lim f(x)=f(a)가 성립합니다.
x ⁄a
따라서 연속함수 f(x)에 대하여 f(a)의 값을 쉽게 알 수 있을 때에는 lim f(x)의 값을 f(a)의 값으로 정하면
x ⁄a
되고, f(a)의 값을 알 수 없을 때에는 lim f(x)의 값을 이용하여 f(a)의 값을 정할 수 있음을 잘 알아두도록 합
x ⁄a
니다.
066
Ⅰ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.25
02-1
실수 전체에서 연속인 함수 f(x)에 대하여 등식
(x-2)f(x)=x¤ +4x+a
가 성립할 때, 상수 a와 f(2)의 값을 각각 구하여라.
02
02-2
x>0인 모든 실수 x에 대하여 연속인 함수 f(x)가 등식
(x¤ +x-2)f(x)=x-3+2'ßx
를 만족시킬 때, f(1)의 값을 구하여라.
02-3
모든 실수 x에 대하여 연속인 함수 f(x)가 등식
(x-2)¤ f(x)=x‹ +ax+b
를 만족시킬 때, f(2)의 값을 구하여라. (단, a, b는 상수이다.)
02-1 a=-12 f(2)=8
02-2 ;3@;
02-3 6
02
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
067
연속과 불연속의 판정
다음 함수의 x=0에서의 연속성을 조사하여라.
03
(단, [x] 는 x보다 크지 않은 최대의 정수이다.)
(
f(x)={
9
x
12 (x+0)
|x|
0
g(x)=x[x] (-1…x…2)
(x=0)
접근 방법
f(x)
x=0
lim f(x)=f(0)
f(x)
x ⁄0
lim f(x)
lim f(x)+f(0)
x ⁄0
lim f(x)
lim f(x)
x ⁄0
f(x)
x ⁄0
x=0
x=0
lim f(x)
x ⁄0+
x ⁄0-
함수 f(x)가 x=a에서 연속이다. HjK lim f(x)= lim f(x)=f(a)
x ⁄ a+
x ⁄ a-
상세 풀이
lim f(x)= lim
x ⁄0+
x ⁄0+
x
x
x
x
= lim =1 lim f(x)= lim
= lim
=-1
|x| x ⁄0+ x
x ⁄0x ⁄0- |x|
x ⁄0- -x
lim f(x)+ lim f(x)
x ⁄0+
lim f(x)
x ⁄0-
f(x)
⁄ x=0
x ⁄0
x=0
g(0)=0
¤ 0…x<1
[x]=0
¤ -1…x<0
lim g(x)= lim x[x]= lim x_0=0
x ⁄0+
x ⁄0+
⁄ ¤
x ⁄0+
lim g(x)= lim x[x]= lim x_(-1)=0
[x]=-1
x ⁄0-
lim g(x)= lim g(x)=0
¤
x ⁄0+
x ⁄0-
lim g(x)=g(0)
x ⁄0-
x ⁄0
g(x)
x ⁄0
x ⁄0-
lim g(x)=0
x=0
정답
⑴ 불연속 ⑵ 연속
보충 설명
주어진 함수의 x=0에서의 연속성을 조사할 때, 다음 그림과 같이 그래프를 그려서 조사하는 방법도 있습니다.
[그림 1]
1
O
-1
y
4
[그림 2]
y
y=f(x)
y=g(x)
2
1
x
-1
O1 2
x
[그림 1]에서 함수 y=f(x)의 그래프가 x=0에서 끊어져 있으므로 함수 f(x)는 x=0에서 불연속이고, [그림 2]
에서 함수 y=g(x)의 그래프는 x=0에서 이어져 있으므로 함수 g(x)는 x=0에서 연속입니다.
068
Ⅰ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.26
03-1
다음 함수의 x=1에서의 연속성을 조사하여라.
(단, [x]는 x보다 크지 않은 최대의 정수이다.)
x¤ -1
( 1114
(x+1)
|x-1|
f(x)={
1
(x=1)
9
03-2
g(x)=[2x]-[x] (0…x…2)
02
열린구간 (-2, 2)에서 정의된 함수 y=f(x)의 그래
y
프가 오른쪽 그림과 같을 때, 극한값이 존재하지 않는
1
점의 개수는 m이고, 불연속인 점의 개수는 n이다.
y=f(x)
1
10m+n의 값을 구하여라.
-2 -1
O
2
x
-1
03-3
모든 실수에서 정의된 함수 f(x)가
( 1ax
12
M x-1
f(x)= { a
112
M 1-x
9 b
(|x|>1)
(|x|<1)
(|x|=1)
일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 골라라. (단, a, b는 실수이다.)
보기
a=2b
f(x)
a+2b
f(x)
x=-1
f(x)
03-1
a
03-2 13
03-3
02
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
069
연속과 불연속의 활용
실수 t에 대하여 직선 y=t가 함수 y=|x¤ -4|의 그래프와 만나는 점의 개수를
04
f(t)라고 할 때, 다음 물음에 답하여라.
lim f(t)
lim f(t)
t ⁄4-
t ⁄4+
f(t)
t
접근 방법
y=|x¤ -4|
y=t
f(t)
극한값과 함숫값을 확인하여 불연속인 점을 찾는다.
상세 풀이
y=|x¤ -4|
y=x¤ -4
y<0
x
y
™
y=|x -4|
t>4
t=4
4
t ⁄ 4-
y=|x¤ -4|
y=t
0<t<4
lim f(t)=4
t ⁄4-
t ⁄ 4+
-2 O
y=|x¤ -4|
x
2
y=t
t=0
t<0
lim f(t)=2
t ⁄4+
( 0 (t<0)
M 2 (t=0)
f(t)= { 4 (0<t<4)
y
y=f(t)
M 3 (t=4)
4
3
2
9 2 (t>4)
y=f(t)
t
O
t=0 t=4
정답
4
t
⑴ lim f(t)=4, lim f(t)=2 ⑵ t=0, t=4
t ⁄4-
t ⁄4+
보충 설명
함수 f(t)는 t=0, t=4에서 교점의 개수가 달라진다는 것을 확인하여 극한값과 함숫값을 조사하여 불연속임을
판단할 수도 있습니다. 즉, lim f(t)=4이고 lim f(t)=2이므로 lim f(t)의 값은 존재하지 않으므로 f(t)는
t ⁄4-
t ⁄4+
t ⁄4
t=4에서 불연속입니다.
마찬가지로 lim f(t)=0이고 lim f(t)=4이므로 lim f(t)의 값은 존재하지 않으므로 f(t)는 t=0에서 불연
t ⁄0-
t ⁄0+
t ⁄0
속입니다.
070
Ⅰ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.28
04-1
실수 t에 대하여 직선 y=t-1이 함수 y=|x¤ -4x|의 그래프와 만나는 점의 개수를 f(t)
라고 할 때, 함수 f(t)가 불연속이 되는 t의 값을 모두 구하여라.
02
04-2
y
오른쪽 그림과 같이 좌표평면에 중심의 좌표가 (0, 3)이고 반
4
지름의 길이가 1인 원 C가 있다. 양수 r에 대하여 반지름의 길
3
이가 r일 때, 원 C와 한 점에서 만나면서 x축에 접하는 원의
2
개수를 f(r)라고 하자. 열린구간 (0, 4)에서 함수
y=f(r)의 불연속점의 개수는 n이고, lim
f(r)의 값은 k
⁄
r
n+
04-3
x
O
이다. 10n+k의 값을 구하여라.
양수 t에 대하여 함수 y=|x|의 그래프와 원
y
y=|x|
(x-1)¤ +(y-2)¤ =t¤ 이 만나는 점의 개수를 f(t)라고
2
하자. 함수 f(t)가 불연속인 점은 n개이고, f(n-1)의 값
은 k이다. n+k의 값을 구하여라.
O
04-1 t=1 t=5
04-2 24
1
x
04-3 5
02
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
071
02
1 연속함수의 성질
f(x) g(x)
x=a
x=a
f(x) g(x)
x=a
lim f(x)=f(a) lim ˘g(x)=g(a)
x ⁄a
x ⁄a
lim { f(x)+g(x)}= lim f(x)+ lim g(x)= f(a)+ g(a)
x ⁄a
x ⁄a
f(x)+g(x)
x ⁄a
x=a
f(x) g(x)
x=a
lim { f(x)—g(x)}= lim f(x)— lim g(x)=f(a)— g(a)
x ⁄a
x ⁄a
x ⁄a
lim cf(x)=c lim f(x)=cf(a)
x ⁄a
c
x ⁄a
lim f(x)g(x)= lim f(x)_ lim g(x)=f(a)g(a)
x ⁄a
x ⁄a
lim
x ⁄a
x ⁄a
lim f(x)
f(x) x ⁄a
f(a)
=
=
g(x) g(a)
g(x) lim
x ⁄a
g(a)+0
f(x) g(x)
f(x)-g(x) cf(x) c
f(x)g(x)
x=a
f(x)+g(x)
f(x)
(g(a)+0
g(x)
x=a
연속함수의 성질
f(x) g(x)
x=a
x=a
1 f(x)—g(x)
2 cf(x)
3 f(x)g(x)
4 g(x)
f(x)
f(x) g(x)
072
c
g(a)+0
1 4
Ⅰ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
0
02
y=x
y=x
y=x¤ y=x‹ y y=x« n
f(x)=a« x« +an-1 xn-1+y+a¡ x+aº n
f(x)
g(x)
f(x) g(x)
0
Example
x
f(x)=
x¤
x-2
x¤
x-2
x
x
0
x=2
f(x)
x+2
f(x)
Example
a« a«–¡ y a¡ aº
(-¶ 2) (2 ¶)
f(x)=x g(x)=x¤ +2
g(x)
f(x)
2 f(x)+3 g(x)
f(x)=x
g(x)=x¤ +2
x
2 f(x) 3 g(x)
2 f(x)+3 g(x)
x
(-¶ ¶)
g(x) x¤ +2
=
x
f(x)
x+0
x
x
0
x
x=0
(-¶ 0) (0 ¶)
02
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
073
a«x« +a«–¡x« —⁄ +y+a¡x+aº
n
-¶ ¶
a« a«–¡ y aº
f(x)
g(x)
f(x) g(x)
g(x)+0
f(x)æ0
"çf(x)
( fΩg)(x)
f(x) g(x)
1
Example
f(x)=[
x=a
(xæ0)
-1 (x<0)
1
( fΩg)(x)=[
x=a
g(x)=x-1
x=1
(xæ1)
x=1
-1 (x<1)
f(x) g(x)
( fΩg)(x)
g(x)
f(x)
f(x) g(x)
( fΩg)(x)
( fΩg)(x)
f(x)=x¤ g(x)='x
Example
f(x)
{x|x
g(x)
{ g(x)|g(x)æ0}
}
( fΩg)(x)=f( g(x))=x (xæ0)
f(x) g(x)
( fΩg)(x)=x (xæ0)
f(x)='x g(x)=1-x¤
f(x)
g(x)
{x|xæ0}
x<-1
{ g(x)|g(x)…1}
( fΩg)(x)
g(x)<0
x>1
f(x) g(x)
( fΩg)(x)
( fΩg)(x)
x=a
lim f( g(x))
x=a
x ⁄a
lim f( g(x))= f( g(a))
( fΩg)(x)
x ⁄a
lim f(g(x))= lim f(g(x)) lim f(g(x))=f(g(a))
x ⁄a+
x ⁄a-
( fΩg)(x)
074
x ⁄a
x=a
Ⅰ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
y
y=f(x)
Example
g(x)=x¤
x=1
y=g( f(x))
y=f(x)
2
x ⁄1+
f(x)=t
x
1
O
g( f(1))=g(2)=4
-2
t ⁄2+
lim g( f(x))= lim g(t)=2¤ =4
x ⁄1-
x ⁄1+
t ⁄-2+
t ⁄2+
02
lim g( f(x))= lim g(t)=(-2)¤ =4
x ⁄1-
t ⁄-2+
lim g(f(x))=4
lim g( f(x))=g( f(1))
x ⁄1
x ⁄1
y=g( f(x))
x=1
불연속인 점을 포함한 함수끼리의 합, 차, 곱, 몫에서의 연속성
f(x) g(x)
x=a
f(x)+g(x) f(x)-g(x) f(x)g(x)
f(x)
g(x)
x=a
f(x) g(x)
x=a
x=a
x=a
y
f(x) g(x)
Example
x=a
y
y=g(x)
y=f(x)
2
f(x)g(x) f(x)+g(x)
2
x=2
O
2
x
O
-2
2
x
lim f(x)=0 lim g(x)=-2
x ⁄2+
x ⁄2+
lim f(x)g(x)=0
x ⁄2+
lim f(x)=2 lim g(x)=0
x ⁄2-
lim f(x)g(x)=0
x ⁄2-
f(2)=0 g(2)=-2
x ⁄2-
f(2)g(2)=0
lim f(x)g(x)=f(2)g(2)=0
x ⁄2
f(x)g(x)
x=2
02
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
075
lim { f(x)+g(x)}=0+(-2)=-2 lim { f(x)+g(x)}=2+0=2
x ⁄2+
x ⁄2-
lim { f(x)+g(x)}+ lim { f(x)+g(x)}
x ⁄2+
lim { f(x)+g(x)}
x ⁄2-
f(x)+g(x)
x ⁄2
x=2
2 최대·최소 정리
[-2 1]
f(x)=x¤
x=0
x=-2
4
0
(-2 1)
f(x)=x¤
(0 2)
y
f(x)=x¤
y
f(x)=x2
f(x)=x2
4
1
1
O
y
4
4
-2
f(x)=x2
1
x
-2
O
1
x
O
x
2
최대·최소 정리
최대·최소 정리
f(x)
[a b]
f(x)
y
f(x)=x
1
f(x)=x (-1<x<1)
-1
(-1 1)
O
1
x
-1
y
1
[a b]
f(x)=[x]
-1
O
f(x)=[x] [x]
076
x
[-1 1]
Ⅰ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
1
-1
x
Example
f(x)=
y
2
(-1…x…1
x+2
[-1 1]
2
3
-2 -1 O
f(x)
(
x=-1
2 x=1
x
(0…x<1)
0
(x=1)
g(x)= {
2
1 y=f(x)
x
1
;3@;
02
y
x=1
y=g(x)
9 x-2 (1<x…2)
1
2
[0 2]
O
x
1
-1
y=g(x)
g(x)
[0 2]
3 사잇값의 정리
[a b]
f(x)
(a f(a)) (b f(b))
f(x)
f(a)+f(b)
y
f(a)
f(b)
x
a
b
사잇값의 정리
y=f(x)
f(b)
f(a)
a
O
b
x
사잇값의 정리
f(x)
[a b]
f(b)
f(a)+ f(b)
k
a
y
f(b)
y=f(x)
y=k
k
f(c)=k
c
f(a)
f(a)
b
O ac
f(c)=k
c
a
b
c
cb
x
f(c)=k
c
02
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
077
f(x)
f(a)
y
[a b]
f(b)
0
f(a)
y=f(x)
f(b)
f(b)
f(c)=0
a
c
O
f(a)
(a b)
f(x)=0
c3 b
(-1 0)
f(x)=x‹ +4x¤ -3x-1
f(x)
[-1 0]
f(-1)=5>0 f(0)=-1<0
f(c)=0
0
x‹ +4x¤ -3x-1=0
c
[a b]
[a b]
f(a) f(b)<0
f(x)
f(a) f(b)<0
f(a)<0<f(b)
f(c)=0
c
f(x)=0
f(a)+0 f(b)+0
b
f(a) f(b)
f(b)<0<f(a)
[a b]
f(x)
f(x)=0
f(a) f(b)<0
f(a) f(b)æ0
f(x)=0
(a b)
y
y
f(b)
f(a)
y=f(x)
y=f(x)
b
O
O a
b
f(a)f(b)>0
078
a
(a b)
(a b)
x
a
-1
(-1 0)
방정식의 실근의 존재
f(x)
x
(a b)
x‹ +4x¤ -3x-1=0
Example
c1 c2
x
f(b)
f(a)f(b)=0
Ⅰ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
1
f(x)=2x¤ +3x-1
2
f(x)=[
1
g(x)=
(xæ0)
-1 (x<0)
g(x)=x¤
x=0
f(x) g(x)
3
02
( fΩg)(x)
f(x)=x¤ -2x
[0 3]
4
풀이
2x+1
x-2
(0 3)
2x‹ +x¤ -x-4=0
1
(0 3]
(1 2)
모든 실수에서 연속
f(x)
0
x
g(x)
x+2인 모든 실수
02
079
에서 연속
2
f(0)g(0)=1_0=0
lim f(x)g(x)= lim f(x)_ lim g(x)=1_0=0
x ⁄0+
x ⁄0+
x ⁄0+
lim f(x)g(x)= lim f(x)_ lim g(x)=-1_0=0
x ⁄0-
x ⁄0-
x ⁄0-
lim f(x)g(x)=0
x ⁄0
lim f(x)g(x)=f(0)g(0)
x ⁄0
f(x)g(x)
f( g(0))=f(0)=1
x ⁄0+
x ⁄0-
연속
x=0
g(x)=t
t ⁄0+
lim f(g(x))= lim f(t)=1
x ⁄0+
t ⁄0+
t ⁄0+
lim f(g(x))= lim f(t)=1
x ⁄0-
t ⁄0+
lim f(g(x))=1
x ⁄0
lim f(g(x))=f(g(0))
x ⁄0
( fΩg)(x)
f(x)
(0 3]
최댓값 3 x=1
x=3
최솟값 -1
최댓값을 가지지 않고, x=1
(0 3)
f(x)
연속
x=0
3 f(x)=x¤ -2x=(x-1)¤ -1
f(x)
[0 3]
x=3
4 f(x)=2x‹ +x¤ -x-4
최댓값 3 x=1
f(x)
최솟값 -1
최솟값 -1
[1 2]
f(1)=-2<0 f(2)=14>0
f(1)f(2)<0
2x‹ +x¤ -x-4=0
f(c)=0
c
1
2
(1 2)
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
두 함수에서의 연속성
두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 물음에 답하여라.
05
y=g(x) y
y y=f(x)
1
1
-1
-1
x
O
y=f(x)g(x)
y=
x
1
O
-1
x=-1
f(x)
g(x)
x=-1
접근 방법
x=-1
f(x)
g(x)
x=-1
두 함수 f(x), g(x)가 x=a 또는 닫힌구간 [a, b] 에서 연속이면
다음 함수도 x=a 또는 닫힌구간 [a, b] 에서 연속이다.
⑴ f(x)— g(x)
⑵ cf(x) (단, c는 상수)
f(x)
⑷
(단, g(x)+0)
g(x)
⑶ f(x)g(x)
상세 풀이
lim f(x)=0
x ⁄-1
lim g(x)=-1
x ⁄-1+
lim g(x)=1
x ⁄-1-
lim f(x)g(x)=0_(-1)=0
x ⁄-1+
f(-1)=0, g(-1)=0
lim f(x)g(x)=0_1=0
x ⁄-1-
lim f(x)g(x)=0
x ⁄-1
f(-1)g(-1)=0
lim f(x)g(x)=f(-1)g(-1)
x ⁄-1
y=f(x)g(x)
g(-1)=0
y=
y=
f(x)
g(x)
f(x)
g(x)
x=-1
x=-1
x=-1
정답
⑴ 연속 ⑵ 불연속
보충 설명
x=-1에서 함수 f(x)는 연속이고 함수 g(x)는 불연속이므로 함수 f(x)g(x)가 x=-1에서 불연속이라고
생각하면 안 됩니다. 연속과 불연속인 함수의 곱의 연속성은 반드시 x=-1에서의 함숫값과 극한값을 직접 확
인하여 연속성을 판단해야 합니다.
080
Ⅰ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.30
05-1
두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 물음에 답하여라.
y
y
y=f(x)
1
-1 O
1
05-2
x
2
y=f(x)g(x)
y=
y=g(x)
1
O
x
1
02
x=0
f(x)
g(x)
x=1
두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 물음에 답하여라.
y
y
y=f(x)
2
y=g(x)
2
1
1
-1
-2
O
2 x
1
-1 O
1
x
2
-1
y=f(x)g(x)
y=
05-3
x=2
f(x)
g(x)
x=1
두 함수 y=g(x), y=h(x)의 그래프가 다음 그림과 같고, 최고차항의 계수가 1인 이차
함수 f(x)에 대하여 함수 f(x)g(x), f(x)h(x)가 모두 연속함수일 때, f(5)의 값을
구하여라.
y
1
y
y=g(x)
y=h(x)
1
-1
O
1
x
-1
-1
05-1
x
O
05-2
05-3 20
02
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
081
합성함수에서의 연속성
두 함수
06
f(x)=[
x¤ -x+1 (xæ1)
x+1
(x<1)
, g(x)=|2x-a|
에 대하여 함수 ( gΩf)(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 상수 a의
값을 구하여라.
접근 방법
f(x) g(x)
g(x)
( gΩf )(x)
x
f(x)
( gΩf )(x)
a
함수 ( gΩf)(x)가 x=a에서 연속이다.
HjK lim g( f(x))= lim g( f(x))=g( f(a))
x ⁄ a+
x ⁄ a-
상세 풀이
f(x)=[
x¤ -x+1 (xæ1)
x+1
(x<1)
g(x)=|2x-a|
y
y=g(x)
y=f(x)
2
1
O
f(x)
1
x=1
x
a
2
g(x)
x
(gΩf )(x)
x=1
g( f(1))=g(1)=|2-a|
lim g( f(x))= lim g(x¤ -x+1)=g(1)=|2-a|
x ⁄1+
x ⁄1+
lim g( f(x))= lim g(x+1)=g(2)=|4-a|
x ⁄1-
x ⁄1-
|2-a|=|4-a|
a=3
정답
보충 설명
실수 전체에서 정의된 두 함수 f(x), g(x)가 모두 연속이면 그 합성함수 또한 연속이지만, 함수 f(x) 또는 함
수 g(x)가 불연속이 되는 점이 존재할 때에는 그 합성함수가 반드시 연속이라고 할 수 없습니다. 위의 문제에서
합성함수 (gΩf )(x)는 a=3일 때에만 실수 전체에서 연속이고 a+3일 때에는 x=1에서 불연속입니다.
082
Ⅰ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
3
p.31
06-1
두 함수
f(x)=[
x¤ +3x+1 (xæ1)
x+2
(x<1)
, g(x)=|3x-a|
에 대하여 함수 (gΩ f)(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 상수 a의 값을
구하여라.
02
06-2
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 y=f(x)의 그래프는 오른
y
쪽 그림과 같이 x=-1, x=0, x=1에서만 불연속이다. 이차
3
함수 g(x)=x¤ -4x+k에 대하여 함수 y=( fΩg)(x)가
2
y=f(x)
x=2에서 불연속이 되도록 하는 상수 k의 값은?
06-3
1
2
4
5
3
-1 O
x
1
두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 닫힌구간 [-1, 3]에서
함수 y=( gΩf)(x)가 불연속이 되는 x의 값을 모두 구하여라.
y
y
2
y=f(x)
-1
1
2
O
-1
3
x
3
-1
x
O 1 2
-1
-2
06-1 12
y=g(x)
06-2
06-3 ;2!; 2
02
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083
사잇값의 정리의 활용
07
다음 방정식이 주어진 구간에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 사잇값의 정리를 이
용하여 보여라.
x‹ -3x+1=0 (1 2)
(x‹ +3x-2)(x¤ +1)=0 (-1 1)
접근 방법
f(x)=x‹ -3x+1
f(x)
f(x)=0
[1 2]
f(1)f(2)<0
(1 2)
f(x)=(x‹ +3x-2)(x¤ +1)
f(x)
f(-1)f(1)<0
[-1 1]
f(x)=0
(-1 1)
함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 f(a)f(b)<0이면 방정식
f(x)=0은 열린구간 (a, b)에서 적어도 하나의 실근을 가진다.
상세 풀이
f(x)=x‹ -3x+1
f(x)
[1 2]
f(1)=-1<0 f(2)=3>0
f(1)f(2)<0
x‹ -3x+1=0
f(x)=(x‹ +3x-2)(x¤ +1)
f(c)=0
c
1
2
(1 2)
f(x)
[-1 1]
f(-1)=-6_2=-12<0 f(1)=2_2=4>0
f(-1)f(1)<0
(x‹ +3x-2)(x¤ +1)=0
f(c)=0
c
-1
1
(-1 1)
정답
풀이 참조
보충 설명
연속함수 f(x)에 대하여 방정식 f(x)=0이 주어진 구간에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 사잇값의 정리를 이용
하면 쉽게 증명할 수 있다는 것을 잘 알아둡시다. 즉, 연속함수 f(x)가 주어진 구간의 양 끝점에서 서로 다른 부호
의 함숫값을 가지면 방정식 f(x)=0은 주어진 구간에서 반드시 적어도 하나의 실근을 가진다고 할 수 있습니다.
084
Ⅰ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.33
07-1
다음 방정식이 주어진 구간에서 실근을 가짐을 사잇값의 정리를 이용하여 보여라.
x› +x‹ -7x+1=0 (1 2)
(x‹ +2x+4)(2x¤ -1)=0 (-1 1)
02
07-2
방정식 x‹ +3x¤ +4x-6=0이 오직 하나의 실근을 가질 때, 다음 중 이 방정식의 실근이
존재하는 구간은?
07-3
(-2 -1)
(-1 0)
(1 2)
(2 3)
(0 1)
닫힌구간 [-1, 2]에서 연속인 함수 `f(x)가 f(-1)f(1)<0, f(-1)f(2)>0을 만족시
킬 때, 열린구간 (-1, 2)에서 방정식 f(x)=0은 적어도 n개의 실근을 가진다. 정수 n
의 값을 구하여라.
07-1 p.340
07-2
07-3 2
02
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
085
02-
1
f(x)=[
x¤ +x+a (xæ2)
x+b
(x<2)
x=2
a b
a-b
02-
02-
2
a b
3
(
f(x)= “
9
x¤ +ax+b
(x+1)
x-1
(
f(x)= “
9
"√x¤ +a-b
(x+1)
x-1
5
ab
(x=1)
(-¶, ¶)
10a+b
(x=1)
;2!;
x+2
f(x)
1
1
(x-4)f(x)= 2
x-2
f(4)
02-
02-
4
f(x)
5
a b
f(x)
(x-1)f(x)=x‹ -a‹
f(x)
x(x-1)f(x)=x‹ -ax+b
f(x)=
[x]¤ +x
[x]
f(a)
f(0)+f(1)
x=n
n
[x]
086
1
2
4
5
x
3
Ⅰ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.340 |
02-
6
p.34
(-1, 1)
[x]
f(x)=(x-1)[x]
x
g(x)=x [x-1]
02
02-
7
f(x)=[
x+3
(xæ1)
-x+2 (x<1)
g(x)=x+k
f(x)g(x)
x=1
k
02-
8
y=f(x), y=g(x)
y
1
y
y=f(x)
y=g(x)
1
1
-1 O
x
1
x
-1 O
-1
02-
9
y=( fΩg)(x)
x=1
y=f(x)g(x)
x=-1
t
x¤ +y¤ =2
y=x+t
2
g(x)
f(t)
f(x)g(x)
g(3)
02-
10
f(x)=(x-1)(x-2)+(x-2)(x-3)+(x-1)(x-3)
a
a
f(a)=0
k<a<k+1
k
02
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
087
02-
11
( f(x)-x¤
11112 (x+1)
x-1
g(x)= {
9
k
(x=1)
lim g(x)=2
x ڦ
02-
12
( x-1
1151
f(x)= { |x-1|
9 2x
t
k+f(3)
k
(x+—1)
(x=—1)
(t-1 t+1)
g(t)
02-
g(x)
f(x)
f(x)
x
g(t)
13
f(x)=[
x+2
(xæa)
x¤ -2x (x<a)
g(x)=x+a-8
f(x)g(x)
02-
a
14
t(t>0)
f(t)
|x-2|+|y|=4
t
a¡ a™ y aμ (m
02-
15
f(x) g(x)
a
f(t)
)
y=[
t
m+f(aμ–¡)
f(x) (x<a)
g(x) (xæa)
N( f g)
보기
f(x)=x¤ g(x)=x
N( f g)=2
N( f g)=N(g f )
h(x)=x¤
088
N( f g)=N(hΩf hΩg)
Ⅰ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.341 |
02-
16
p.39
( |x| (0<|x|…1)
( x-2 (x>1)
f(x)= { -x (|x|…1) g(x)= { -1 (x=0)
9 0
9 x+2 (x<-1)
(|x|>1)
y=(gΩf )(x)
02
02-
17
f(x)
f(0)=1 f {;4!;}=;2!; f{;2!;}=;3!; f{;4#;}=;2#; f(1)=0
f(x)-x=0
(0 1)
m
m
challenge
02-
18
f(x)
보기
f(x)
x=0
f(x)
x=0
( fΩf )(x)
|f(x)|
x=0
( fΩf )(x)
x=0
f(x)
x=0
x=0
challenge
02-
19
y
y=f(x) y=g(x)
y=f(x)
2
보기
g( f(x))
x=1
g( f(x))
x=-1
(0 2)
y=g(x)
1
-1
O
g( f(x))=0
1
2
x
-1
02
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
089
03
미분계수와 도함수
01 미분계수
093
02 도함수
108
기본 다지기
124
실력 다지기
126
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
01 미분계수
02 도함수
y=x«
n
01
02
03
04
100
05
06
07
08
09
114
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
102
104
106
116
118
120
122
03 | 미분계수와 도함수
01 미분계수
1 평균변화율과 미분계수
y=f(x)
x
a
b
Dy
f(b)-f(a)
f(a+Dx)-f(a)
=
=
Dx
Dx
b-a
y=f(x)
x=a
f'(a)= lim
Dx ⁄0
f(a+Dx)-f(a)
f(x)-f(a)
Dy
= lim
= lim
x ⁄a
Dx
x-a
Dx Dx ⁄0
2 미분계수의 기하학적 의미
y=f(x)
x=a
x=a
f'(a)
y=f(x)
(a f(a))
3 미분가능성과 연속성
f(x)
x=a
f(x)
x=a
02 도함수
1 도함수의 정의
y=f(x)
f'(x)= lim
Dx ⁄0
`f(x+h)-f(x)
`f(x+Dx)-f(x)
= lim
h ⁄0
h
Dx
2 함수 y=x« `과 상수함수의 도함수
y=x«
y'=nxn-1
næ2
y=x
y'=1
y=c c
y'=0
3 함수의 실수배, 합, 차, 곱의 미분법
f(x) g(x) h(x)
y=cf(x)
y'=cf'(x)
y=f(x)—g(x)
y=f(x)g(x)
y'=f'(x)—g'(x)
y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
y=f(x)g(x)h(x)
092
c
y'=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x)
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
01
1 평균변화율과 미분계수
1. 평균변화율
f(x)=x¤
x
1
x
3
y
1
03
9
9-1
=4
3-1
y
f(x)=x¤
(1 1) (3 9)
y=f(x)
f(a)
x
a
b
f(b)
x
Q
증분
x
Dy
f(a) P
y
Dx
Dx
y
O
Dy
Dx=b-a
y=f(x)
f(b)
b-a
f(b)-f(a)
y
y
Difference
D
a
b
x
D
(delta)
Dy=f(b)-f(a)=f(a+Dx)-f(a)
x
y
Dx
Dy
Dy
f(b)-f(a)
f(a+Dx)-f(a)
=
=
Dx
Dx
b-a
x
a
b
y=f(x)
f(x)=x¤
x
평균변화율
a
b
y=f(x)
P(a f(a)) Q(b f(b))
Example
f(x)=2x¤ +1
x
1
3
f(3)-f(1)
Dy
19-3
=
=
=8
Dx
3-1
2
03
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
093
2. 미분계수
f(x)=x¤
x
1
1+Dx
Dy
f(1+Dx)-f(1)
(1+Dx)¤ -1¤
=
=
=2+Dx
Dx
Dx
(1+Dx)-1
Dx ⁄0
lim
Dx ⁄0
`f(1+Dx)-f(1)
Dy
= lim
= lim (2+Dx)=2
Dx
Dx Dx ⁄0
Dx ⁄0
2
Dx
x
1
1+Dx
0
x
2
y=f(x)
x
1
x=1
a
a+Dx
Dy
f(a+Dx)-f(a)
=
Dx
Dx
Dx ⁄0
lim
Dx ⁄0
Dy
f(a+Dx)-f(a)
= lim
Dx Dx ⁄0
Dx
y=f(x)
미분가능
x=a
y=f(x)
f '(a)
f '(a)
f(x)=x¤ +2x
Example
순간변화율
x=a
f
x=2
미분계수
(prime) a
x
2
2+Dx
f '(2)= lim
f(2+Dx)-f(2)
Dx
f '(2)= lim
{(2+Dx)¤ +2(2+Dx)}-(2¤ +2_2)
Dx
f '(2)= lim
4+4Dx+(Dx)¤ +4+2Dx-8
Dx
Dx ⁄0
Dx ⁄0
Dx ⁄0
f '(2)= lim (6+Dx)=6
Dx ⁄0
y=f(x)
x
y=f(x)
y=f(x)
x
y=f(x)
094
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
a+Dx=x
Dx ⁄0
Dx=x-a
f '(a)= lim
Dy
f(a+Dx)-f(a)
= lim
Dx Dx ⁄0
Dx
f '(a)= lim
`f(x)-f(a)
x-a
Dx ⁄0
x ⁄a
x ⁄a
평균변화율과 미분계수
1
y=f(x)
x
2
y=f(x)
x=a
b
`f(a+Dx)-f(a)
`
f(b)-f(a)
Dy
=
=
Dx
b-a
Dx
Dy
f(a+Dx)-f(a)
f(x)-f(a)
= lim
= lim
x ⁄a
Dx Dx ⁄0
Dx
x-a
f'(a)= lim
Dx ⁄0
Dx
03
a
f'(a)= lim
h
h ⁄0
f(x)
Example
f(a+h)-f(a)
h
x=1
f '(1)
보기
lim
f(1+Dx)-f(1)
Dx
lim
f(1+h)-f(1)
h
lim
f(1+h)-f(1)
3h
lim
f(x)-f(1)
x-1
Dx ⁄0
h ⁄0
x=1
h ⁄0
x ⁄1
f'(1)
lim
Dx ⁄0
f(1+Dx)-f(1)
=f'(1)
Dx
Dx
lim
h ⁄0
h
x ⁄1
h ⁄0
f(1+h)-f(1)
=f'(1)
h
f(1+h)-f(1)
f(1+h)-f(1)
1
1
= lim
= f'(1)
3h
h
3 h ⁄0
3
1+Dx=x
lim
lim
Dx=x-1
Dx
0
x
1
f(x)-f(1)
=f'(1)
x-1
f'(1)
03
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
095
2 미분계수의 기하학적 의미
x
a
a+Dx
y
y=f(x)
y=f(x)
Q
f(a+Dx)
Dy
f(a+Dx)-f(a)
=
Dx
Dx
Dy
f(a) P
Dx
y=f(x)
P(a f(a))
O
a+Dx x
a
Q(a+Dx f(a+Dx))
Dx ⁄0
P
y=f(x)
P
PQ
P
Q
y
P Q
f(a+Dx)
y=f(x)
Q
PT
T
f(a) P
PT
y=f(x)
O
P
a+Dx x
a
P
PT
lim
Dx ⁄0
`f(a+Dx)-f(a)
Dy
= lim
=f '(a)
Dx
Dx Dx ⁄0
y=f(x)
x=a
y=x¤ -2x
Example
Dy
Dx
PQ
f '(a)
y=f(x)
P(a f(a))
(1 -1)
f(x)=x¤ -2x
(1 -1)
f '(1)
f '(1)= lim
f(1+h)-f(1)
{(1+h)¤ -2(1+h)}-(1¤ -2_1)
= lim
h
h
h ⁄0
f '(1)= lim
h¤
= lim h=0
h ⁄0
h
h ⁄0
h ⁄0
미분계수의 기하학적 의미
y=f(x)
x=a
x=a
f '(a)
y=f(x)
(a f(a))
096
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
평균변화율과 미분계수 사이의 대소 관계
y
y=f(x)
y=f(x)
Q
f(b)
f(b)-f(a)
b-a
f '(a) f '(b)
f(a)
O
f(b)-f(a)
b-a
f '(a)
P
f '(b)
Q
f '(b)<
P
a
x
b
PQ
03
f(b)-f(a)
<f '(a)
b-a
3 미분가능성과 연속성
y=f(x)
1. 미분가능 jK 연속
f(x)
f '(a)= lim
x ⁄a
f(x)-f(a)
x-a
x ⁄a
f(x)-f(a)
_(x-a)]
x-a
®
lim { f(x)-f(a)}= lim [
x ⁄a
x=a
lim
f(x)-f(a)
{ f(x)-f(a)}= lim
_ lim (x-a)
x-a
x ⁄a
x ⁄a
{ f(x)-f(a)}=f '(a)_0=0
x ⁄a
f(x)-f(a)
x-a
lim (x-a)
x ⁄a
lim (x-a)=0
x ⁄a
03
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
097
lim f(x)= f(a)
f(x)
x ⁄a
f(x)
x=a
x=a
f(x)
x=a
2. 연속 j/K``미분가능
f(x)=|x|
1
g(x)
x=0
2
x=a
y
y
y=g(x)
y=f(x)
x
O
a
1
x=a
O
x
2
x=a
x=a
Example
f(x)=|x|
Example
x=0
⁄ lim f(x)=f(0)=0
f(x)
x ⁄0
x=0
¤ lim
f(0+h)-f(0)
|h|
h
= lim
= lim
=1
h
h ⁄0+
h ⁄0+ h
h
¤ lim
f(0+h)-f(0)
|h|
-h
= lim
= lim
=-1
h
h ⁄0h ⁄0h
h
h ⁄0+
h ⁄0-
¤
lim
h ⁄0+
¤
lim
h ⁄0
f(0+h)-f(0)
f(0+h)-f(0)
+ lim
h
h
h ⁄0-
f(0+h)-f(0)
h
f(x)
x=0
¤
f(x)=|x|
098
x=0
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
미분가능성과 연속성
f(x)
x=a
f(x)
f(x)
x=a
x=a
f(x)
x=a
03
1
f(x)=-x¤ +3x
2
y=x¤ -2x+5
3
f(x)=|x-1|
풀이
1
f(x)
x=2
(-1 8)
x=1
x=2
f'(2)= lim
f(2+Dx)-f(2)
{-(2+Dx)¤ +3(2+Dx)}-(-2¤ +3_2)
= lim
Dx ⁄0
Dx
Dx
f'(2)= lim
Dx(-Dx-1)
= lim (-Dx-1)=-1
Dx ⁄0
Dx
Dx ⁄0
Dx ⁄0
2 f(x)=x¤ -2x+5
f(x)=x¤ -2x+5
x=-1
f '(-1)
f'(-1)= lim
`f(-1+Dx)-f(-1)
Dx
f'(-1)= lim
{(-1+Dx)¤ -2(-1+Dx)+5}-{(-1)¤ -2_(-1)+5}
Dx
f'(-1)= lim
Dx(Dx-4)
= lim (Dx-4)=-4
Dx ⁄0
Dx
Dx ⁄0
Dx ⁄0
Dx ⁄0
3
f(x)=|x-1|
lim f(x)=f(1)=0
x ⁄1
x=1
lim
f(1+h)-f(1)
|1+h-1|
h
= lim
= lim
=1
h ⁄0+
h ⁄0+ h
h
h
lim
f(1+h)-f(1)
|1+h-1|
-h
= lim
= lim
=-1
h ⁄0h ⁄0h
h
h
h ⁄0+
h ⁄0-
lim
h ⁄0+
f(x)
f(1+h)-f(1)
f(1+h)-f(1)
+ lim
h ⁄0h
h
x=1
f(x)=|x-1|
x=1
03
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
099
평균변화율과 미분계수
이차함수 f(x)=px¤ +qx+r 에 대하여 다음 물음에 답하여라.
01
(단, p, q, r는 상수이다.)
x
a
b
f(x)
x=c
f '(c)
c
a b
접근 방법
f(x)
x
x=c
a
f(b)-f(a)
b-a
b
f '(c)
x
x의 값이 a에서 b까지 변할 때의 평균변화율은
x=c에서의 미분계수는 f '(c)= lim
h ⁄0
Dy
f(b)-f(a)
=
이고,
Dx
b-a
f(c+h)-f(c)
이다.
h
상세 풀이
f(b)-f(a) (pb¤ +qb+r)-(pa¤ +qa+r)
p(b¤ -a¤ )+q(b-a)
Dy
=
=
=
Dx
b-a
b-a
b-a
=
p(b+a)(b-a)+q(b-a)
=p(a+b)+q
b-a
f '(c)= lim
h ⁄0
f(c+h)-f(c)
{ p(c+h)¤ +q(c+h)+r}-(pc¤ +qc+r)
= lim
h
h
h ⁄0
f '(c)= lim (2pc+ph+q)=2pc+q
h ⁄0
2pc+q=p(a+b)+q
p+0
c=
2pc=p(a+b)
a+b
2
정답
⑴ p(a+b)+q ⑵ c=
a+b
2
보충 설명
위의 예제로부터 오른쪽 그림과 같은 이차함수의 그래프 위의 임의의 두 점 A, B 를
y
물선과 만나는 점에서의 접선의 기울기와 서로 같음을 알 수 있습니다.
B
M
지나는 직선의 기울기는 점 C, 즉 AB” 의 중점 M을 지나고 x축에 수직인 직선이 포
A
x
O
C
100
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.45
01-1
함수 f(x)=x¤ +5x+3에 대하여 다음 물음에 답하여라.
x
1
5
f(x)
x=c
f '(c)
c
03
01-2
함수 f(x)=x¤ +2x에 대하여 x=1에서의 미분계수와 구간 [-1, k] 에서의 평균변화율이
같을 때, 상수 k의 값을 구하여라.
01-3
함수 f(x)=x¤ +x+1에 대하여 x의 값이 1에서 4까지 변할 때의 평균변화율을 k라고
할 때,
lim
x ⁄c
f(x)-f(c)
=k
x-c
를 만족시키는 실수 c의 값을 구하여라.
01-1
11
3
01-2 3
01-3 ;2%;
03
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
101
평균변화율의 극한과 미분계수`⑴
02
함수 f(x)가 x=a에서 미분가능할 때, 다음 등식이 성립함을 보여라.
lim
x ⁄a-1
lim
x ⁄a
f '(a)
f(x+1)-f(a)
=2
(x-a)¤ -1
a f(x)-x f(a)
f(a)
=;2!;[ f '(a)]
a
x¤ -a¤
접근 방법
f(x)
f '(a)= lim
x=a
lim
x ⁄a
x ⁄a
f(x)-f(a)
x-a
f(x)-f(a)
x-a
f '(a)
함수 f(x)의 x=a에서의 평균변화율의 극한을 f '(a)라고 한다.
즉, lim
x ⁄a
f(x)-f(a)
=f '(a)
x-a
상세 풀이
lim
x ⁄a-1
f(x+1)-f(a)
f(x+1)-f(a)
= lim
x ⁄a-1 (x-a+1)(x-a-1)
(x-a)¤ -1
= lim [
x ⁄a-1
f(x+1)-f(a)
1
_
]
x-a-1
(x+1)-a
=f '(a)_{-;2!;}=lim
x ⁄a
f '(a)
2
a f(x)-x f(a)
a{ f(x)-f(a)}-(x-a)f(a)
= lim
x ⁄a
x¤ -a¤
(x+a)(x-a)
= lim [
x ⁄a
f(x)-f(a)
f(a)
a
_
]
x-a
x+a x+a
=f '(a)_;2!;-
f(a)
f(a)
=;2!;[ f '(a)]
2a
a
정답
보충 설명
함수 f(x)가 실수 전체에서 미분가능할 때,
lim
x ⁄a
102
f(x¤ )-f(a¤ )
f(x¤ )-f(a¤ ) x+a
f(x¤ )-f(a¤ )
= lim [
_
]= lim [
_(x+a)]
x ⁄a
x ⁄a
x-a
x-a
x+a
x¤ -a¤
f(x¤ )-f(a¤ )
= lim
_ lim (x+a)=2a f '(a¤ )
x ⁄a
x¤ ⁄a¤
x¤ -a¤
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
풀이 참조
p.45
02-1
함수 f(x)가 x=a에서 미분가능할 때, 다음 극한값을 f '(a) 또는 f(a)를 이용하여 나타
내어라.
lim
x ⁄'a
f(x¤¤ )-f(a)
x-'a
lim
x ⁄a
a¤ f(x)-x¤ f(a)
x-a
03
02-2
함수 f(x)에 대하여 f(1)=0, `f '(1)=6일 때, 다음 극한값을 구하여라.
lim
x ⁄1
02-3
f(x)
x¤ -1
lim
x ⁄1
다항함수 f(x)에 대하여 lim
x ⁄2
f(x‹ )
x-1
lim
x ⁄1
x‹ -1
f(x¤ )
f(x+1)-5
=3이 성립할 때, f(3)+f '(3)의 값을 구
x¤ -4
하여라.
02-1
2'a f '(a)
a¤ f '(a)-2a f(a)
02-2
3
18
;4!;
02-3 17
03
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
103
평균변화율의 극한과 미분계수⑵
함수 f(x)가 x=a에서 미분가능할 때, 다음 등식이 성립함을 보여라.
03
lim
f(a+h)-f(a-h)
=2f '(a)
h
lim
f(a+mh)-f(a-nh)
=(m+n)f '(a)
h
h ⁄0
h ⁄0
접근 방법
f(x)
x=a
h
f '(a)= lim
h ⁄0
f(a+h)-f(a)
h
h
함수 f(x)가 x=a 에서 미분가능하면
f '(a)= lim
h ⁄0
f(a+h)-f(a)
f(x)-f(a)
= lim
h
x-a
x ⁄a
상세 풀이
f(x)
x=a
f(a+h)-f(a-h)
{ f(a+h)-f(a)}-{ f(a-h)-f(a)}
lim
= lim
h
h
h ⁄0
h ⁄0
= lim [
h ⁄0
f(a+h)-f(a)
f(a-h)-f(a)
+
]
h
-h
=f '(a)+f '(a)=2f '(a)
f(a+mh)-f(a-nh)
{ f(a+mh)-f(a)}-{ f(a-nh)-f(a)}
lim
= lim
h
h
h ⁄0
h ⁄0
= lim [
h ⁄0
f(a+mh)-f(a)
f(a-nh)-f(a)
+
]
h
-h
= lim [m_
h ⁄0
f(a+mh)-f(a)
f(a-nh)-f(a)
+n_
]
mh
-nh
=mf '(a)+nf '(a)=(m+n)f '(a)
정답
풀이 참조
보충 설명
함수 f (x)가 x=a에서 미분가능하므로 평균변화율의 극한이 미분계수임을 이용하여 미분계수를 쉽게 정할 수 있습
니다.
lim
h ⁄0
f(a+mh)-f(a-nh)
f(a+mh)-f(a-nh) (a+mh)-(a-nh)
= lim
_
h ⁄0 (a+mh)-(a-nh)
h
h
h ⁄0
(m+n)h
h
=f '(a)_(m+n)
104
▲
=f '(a)_ lim
lim f(a+mh)=f(a) lim f(a-nh)=f(a)
h ⁄0
lim
h ⁄0
h ⁄0
f(a+mh)-f(a-nh)
(a+mh)-(a-nh)
f '(a)
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.46
03-1
함수 f(x)가 x=a에서 미분가능할 때, 다음 극한값을 f '(a)를 이용하여 나타내어라.
lim
h ⁄0
f(a+3h)-f(a-2h)
h
lim
h ⁄0
f(a+m¤ h)-f(a+n¤ h)
(m-n)h
03
03-2
함수 f(x)의 x=a에서의 미분계수는 2이다. 미분가능한 함수 g(x)에 대하여
lim
h ⁄0
f(a+2h)-f(a)-g(h)
=0
h
이 성립할 때, lim
h ⁄0
03-3
g(h)
의 값을 구하여라.
h
연속함수 f(x)에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 골라라.
보기
lim
f(1+h)
=0
h
lim
f(h)-f(-h)
=0
2h
h ⁄0
h ⁄0
f(x)=|x-1|
03-1
5f '(a)
f '(1)=0
lim
h ⁄0
f '(0)=0
f(1+h)-f(1-h)
=0
2h
(m+n)f '(a)
03-2 4
03-3
03
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
105
함수의 미분가능성
함수 f(x)=|x(x-1)|의 x=0에서의 연속성과 미분가능성을 조사하여라.
04
접근 방법
f(x)
lim f(x)
f(0)
x ⁄0
lim
h ⁄0
x=0
f(0+h)-f(0)
h
함수 f(x)에 대하여 lim f(x)=f(a)이면 x=a에서 연속이고,
x ⁄a
f(a+h)-f(a)
=b이면 f '(a)=b이고 x=a에서 미분가능하다.
lim
h
h ⁄0
상세 풀이
⁄ f(0)=0 lim f(x)= lim |x(x-1)|=0
x ⁄0
lim f(x)=f(0)
x ⁄0
f(x)
x ⁄0
x=0
f(0+h)-f(0)
|h(h-1)|
-h(h-1)
= lim
= lim
=1
h
h
h
h ⁄0+
h ⁄0+
¤ lim
h ⁄0+
|h(h-1)|
f(0+h)-f(0)
h(h-1)
= lim
= lim
=-1
h
h
h ⁄0h ⁄0h
lim
h ⁄0-
lim
h ⁄0
f(0+h)-f(0)
h
f(x)
x=0
정답
풀이 참조
보충 설명
함수 f(x)=|x(x-1)|의 그래프는 오른쪽 그림과 같고, 이를 이용하여 판단해 보
y
면 x=0에서 함수의 그래프가 이어져 있으므로, 즉 lim f(x)= f(0)을 만족시키므
x ⁄0
로 `함수 f(x)는 x=0에서 연속임을 알 수 있습니다.
한편, x ⁄0+일 때의 접선의 기울기인 lim
x ⁄0+
접선의 기울기인 lim
x ⁄0-
f(x)
는 양수이고, x ⁄0-일 때의
x
O
f(x)
f(x)
는 음수이므로 lim
는 존재하지 않습니다.
x
x
x ⁄0
따라서 함수 f(x)는 x=0에서 미분가능하지 않음을 알 수 있습니다.
106
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
1
x
p.47
04-1
04-2
함수 f(x)=x|x-1|의 x=1에서의 연속성과 미분가능성을 조사하여라.
다음은 함수 f(x)=x+|x|가 x=0에서 연속이지만 미분가능하지 않음을 보이는 과정이
다. ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 각각 써넣어라.
lim f(x)=
=0
x ⁄0
lim
x ⁄0
lim
x ⁄0
x+|x|
=
x
lim
x ⁄0-
x+|x|
=
x
f(x)-f(0)
x-0
f(x)
04-3
x=0
f(x)-f(0)
x+|x|
= lim
x-0
x
x ⁄0
x ⁄0+
lim
f(x)
x=0
함수 f(x)가 x=0에서 연속이지만 미분가능하지 않을 때, <보기>에서 x=0에서 미분
가능한 함수만을 있는 대로 골라라.
보기
y=xf(x)
y=x¤ +f(x)
04-1 p.341
04-2
f(0)
y=
2
0
1
1+xf(x)
04-3
03
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
107
03
02
1 도함수의 정의
f(x)=x¤
x=a
f '(a)= lim
x ⁄a
f '(a)
f(x)-f(a)
x¤ -a¤
= lim
= lim (x+a)=2a
x-a
x ⁄a x-a
x ⁄a
x=1
f '(1)=2
x=2
f '(2)=4
x=3
f '(3)=6
f(x)=x¤
a
a
x=a
f '(a)
a
f '(a)
f '(a)
2
a
a
y=f(x)
x
f '(x)
f ' x ⁄ f '(x) f '(x)= lim
Dx ⁄0
f '(x)
f '(x) y'
y=f(x)
dy
dx
f(x)
d
f(x)
dx
f(x+Dx)-f(x)
Dx
도함수
dy
dx
y
x
x
y
f '(x)
x
y=f(x)
y
x
f(x)=3x¤ +2
Example
f'(x)= lim
f(x+Dx)-f(x)
{3(x+Dx)¤ +2}-(3x¤ +2)
= lim
Dx
Dx
Dx ⁄0
f'(x)= lim
6xDx+3(Dx)¤
Dx
Dx ⁄0
Dx ⁄0
f'(x)= lim (6x+3Dx)=6x
Dx ⁄0
108
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
f(x)
f '(x)
x=a
f '(a)
f(x)
x=a
f(x)=x¤ +x
Example
x=-1 x=2
f '(x)= lim
f(x+Dx)-f(x)
Dx
f '(x)= lim
{(x+Dx)¤ +(x+Dx)}-(x¤ +x)
Dx
f '(x)= lim
2xDx+(Dx)¤ +Dx
= lim (2x+Dx+1)=2x+1
Dx
Dx ⁄0
Dx ⁄0
Dx ⁄0
Dx ⁄0
03
f '(-1)=-1 f '(2)=5
도함수의 정의
y=f(x)
f '(x)= lim
Dx ⁄0
f(x+Dx)-f(x)
f(x+h)-f(x)
= lim
h ⁄0
Dx
h
평균변화율, 미분계수, 도함수의 비교
y=f(x)
Dy `f(b)-f(a)
=
Dx
b-a
x
a
b
x
y
P(a f(a)) Q(b f(b))
f'(a)= lim
Dx ⁄0
Dy
f(a+Dx)-f(a)
= lim
Dx Dx ⁄0
Dx
x=a
y=f(x)
f'(x)=
P(a f(a))
dy
Dy
f(x+Dx)-f(x)
= lim
= lim
Dx
dx Dx ⁄0 Dx Dx ⁄0
x
y=f(x)
(x f(x))
03
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
109
2 미분법의 공식
1. 함수 y=x« `(n은 양의 정수)과 상수함수의 도함수
næ2
f(x)=x«
y'= lim
f(x+h)-f(x)
(x+h)« -x«
= lim
h
⁄0
h
h
y'= lim
{(x+h)-x}{(x+h)« —⁄ +(x+h)« —¤ x+y+x« —⁄ }
h
h ⁄0
h ⁄0
y'= lim {(x+h)« —⁄ +(x+h)« —¤ x+y+x« —⁄ }
h ⁄0
y'=x« —⁄ +x« —⁄ +y+x« —⁄
a« -b« =(a-b)(a« —⁄ +a« —¤ b+y+ab« —¤ +b« —⁄ )
y'=nx« —⁄
n=1
y=x
y'= lim
h ⁄0
f(x)=x
f(x+h)-f(x)
(x+h)-x
= lim
=1
h ⁄0
h
h
y=c c
y'= lim
h ⁄0
f(x)=c
f(x+h)-f(x)
c-c
= lim
=0
h ⁄0
h
h
0
y=x‹
Example
y'=3x‹ —⁄ =3x¤
y=10fi
10fi
y'=0
함수 y=x« (n은 양의 정수)과 상수함수의 도함수
1 y=x« næ2
y'=1
2 y=x
3 y=c c
110
y'=nx« —⁄
(x n )'=n x n-1
y'=0
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
2. 함수의 실수배, 합, 차, 곱의 미분법
x«
f(x)=a«x« +a«–¡x« —⁄ +y+a™x¤ +a¡x+aº
03
f(x) g(x)
y=cf(x)
Proof
y'=cf '(x)
y'= lim
h ⁄0
cf(x+h)-cf(x)
f(x+h)-f(x)
=c lim
=cf '(x)
h
h
h ⁄0
y=f(x)—g(x)
Proof
c
y'=f '(x)—g'(x)
y'= lim
{ f(x+h)—g(x+h)}-{ f(x)—g(x)}
h
y'= lim
{ f(x+h)-f(x)}—{ g(x+h)-g(x)}
h
y'= lim
f(x+h)-f(x)
g(x+h)-g(x)
— lim
h
h
h ⁄0
h ⁄0
h ⁄0
h ⁄0
c
y'=f '(x)—g'(x)
y=f(x)g(x)
Proof
y'=f '(x)g(x)+f(x)g'(x)
y'= lim
f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)
h
y'= lim
f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)
h
h ⁄0
h ⁄0
y'= lim [
h ⁄0
y'= lim
h ⁄0
f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)
f(x)g(x+h)-f(x)g(x)
+
]
h
h
f(x+h)-f(x)
g(x+h)-g(x)
_ lim g(x+h)+ lim f(x)_ lim
h
h
h ⁄0
h ⁄0
h ⁄0
y'=f '(x)g(x)+f(x)g'(x)
g(x)
lim g(x+h)=g(x)
h ⁄0
03
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
111
y=x‹ +4x
Example
y'=(x‹ +4x)'=(x‹ )'+4(x)'=3x¤ +4
y=(x¤ +1)(x¤ +x+1)
y'=(x¤ +1)'(x¤ +x+1)+(x¤ +1)(x¤ +x+1)'
=2x(x¤ +x+1)+(x¤ +1)(2x+1)
=4x‹ +3x¤ +4x+1
f(x) g(x) h(x)
y=f(x)g(x)h(x)
y=f(x)g(x)h(x)
y'=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x)
y'={ f(x)g(x)h(x)}'
Proof
=[ { f(x)g(x)} h(x) ]'
={ f(x)g(x)}'h(x)+{ f(x)g(x)} h'(x)
={ f'(x)g(x)+f(x)g'(x)} h(x)+f(x)g(x)h'(x)
=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x)
함수의 실수배, 합, 차, 곱의 미분법
f(x) g(x) h(x)
1
2
3
4
y=cf(x)
y'=cf'(x)
y=f(x)—g(x)
y=f(x)g(x)
c
y'=f'(x)—g'(x)
y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
y=f(x)g(x)h(x)
y'=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x)
합성함수의 미분법
y=f(x)
⁄ n=1
y={ f(x)}« n
y'=n{ f(x)}« —⁄ f'(x)
y'=f'(x)
¤ n=k
y'=k{ f(x)}˚ —⁄ f '(x)
¤ n=k+1
y={ f(x)}˚ ±⁄ ={ f(x)}˚ f(x)
y'=[{ f(x)}˚ ] ' f(x)+{ f(x)}˚ f '(x)=k{ f(x)}˚ —⁄ f'(x) f(x)+{ f(x)}˚ f '(x)
¤
=(k+1){ f(x)}˚ f'(x)
n=k+1
n
⁄ ¤
112
y'=n{ f(x)}« —⁄ f '(x)
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
구간별로 정의된 함수의 도함수
f(x)= [
f '(x)= [
x (xæ0)
x‹
1
(x>0)
3x¤
(x<0)
f(x)
(x<0)
g(x)= [
g'(x)= [
x¤
(xæ0)
x‹
(x<0)
2x (xæ0)
3x¤
(x<0)
x=0
g(x)
x=0
03
x=0
f(x)
f '(x)= [
1
(xæ0)
3x¤
(x<0)
1
f(x)=x¤ -3x
2
f(x)=3x-6
x=3
3
y=4x‹ +2x¤ -5x
풀이
1 f '(x)= lim
h ⁄0
f '(x)= lim
h ⁄0
2 f '(x)=3
3
y=(3x¤ +2x)(x¤ -x)
f(x+h)-f(x)
{(x+h)¤ -3(x+h)}-(x¤ -3x)
= lim
h ⁄0
h
h
2xh+h¤ -3h
= lim (2x+h-3)=2x-3
h ⁄0
h
f '(3)=3
y'=12x¤ +4x-5
y'=(3x¤ +2x)'(x¤ -x)+(3x¤ +2x)(x¤ -x)'
=(6x+2)(x¤ -x)+(3x¤ +2x)(2x-1)
=12x‹ -3x¤ -4x
03
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
113
도함수와 미분계수
05
다음 함수의 도함수와 x=2에서의 미분계수를 구하여라.
f(x)=(x‹ +1)(x¤ -3)
f(x)=(x¤ -x+1)¤
f(x)=(x+1)(x-2)(x+3)
접근 방법
x=2
x=a 에서의 미분계수 f '(a)는 미분법의 공식을 이용하여 도함수
f '(x)를 구한 후 x=a 를 대입하여 구하도록 한다.
상세 풀이
f '(x)=(x‹ +1)'(x¤ -3)+(x‹ +1)(x¤ -3)'
=3x¤ (x¤ -3)+(x‹ +1)_2x
=5x› -9x¤ +2x
f '(2)=5_2› -9_2¤ +2_2=48
f '(x)=(x¤ -x+1)'(x¤ -x+1)+(x¤ -x+1)(x¤ -x+1)'
=(2x-1)(x¤ -x+1)+(x¤ -x+1)(2x-1)
=2(2x-1)(x¤ -x+1)
=4x‹ -6x¤ +6x-2
f '(2)=4_2‹ -6_2¤ +6_2-2=18
f '(x)=(x+1)'(x-2)(x+3)+(x+1)(x-2)'(x+3)+(x+1)(x-2)(x+3)'
=(x-2)(x+3)+(x+1)(x+3)+(x+1)(x-2)
=3x¤ +4x-5
f '(2)=3_2¤ +4_2-5=15
정답
보충 설명
세 함수 f, g, h의 곱의 도함수는 곱의 미분법의 공식을 이용하면
( fgh)'={ f(gh)}'=f '(gh)+f(gh)'=f 'gh+f(g'h+gh')=f 'gh+fg'h+fgh'
이 됨을 알 수 있습니다.
114
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
풀이 참조
p.48
05-1
다음 함수의 도함수와 x=1에서의 미분계수를 구하여라.
f(x)=(2x¤ -1)(3x-x‹ )
f(x)=(x¤ -1)‹
f(x)=(x¤ +2)(x+3)(x+4)
03
05-2
함수의 도함수를 이용하여 다음 물음에 답하여라.
f(x)=1+x+x¤ +x‹ +x› +xfi
x=1
f(x)=(1+x)(1+2x)(1+3x)(1+4x)(1+5x)
05-3
x=0
두 함수 f(x)=(x¤ +1)(x+1), g(x)=(x+1)(x‹ +x)에 대하여
lim
⁄
h
0
f(1+h)g(1+2h)-f(1)g(1)
의 값을 구하여라.
h
05-1 p.341
05-2
15
15
05-3 104
03
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
115
미분계수와 미정계수
함수 f(x)=x‹ +ax¤ +b에 대하여 lim
06
x ⁄1
f(x)-4
=;2%;일 때, f '(2)의 값을 구하
x¤ -1
여라. (단, a, b는 상수이다.)
접근 방법
f(x)
=k k
g(x)
lim
x ⁄a
lim g(x)=0
lim f(x)=0
x ⁄a
x ⁄a
다항함수 f(x)가 lim
x ⁄a
f(x)-p
=q를 만족시키면
x-a
f(a)=p, f '(a)=q이다.
상세 풀이
x 2∞ 1
f(x)-4
=;2%;
x¤ -1
lim
x ⁄1
lim { f(x)-4}=0
x ⁄1
x ⁄1
2∞ 0
f(1)=4
f(1)=1+a+b=4
lim
2∞ 0
a+b=3
yy
f(x)-4
f(x)-f(1)
= lim
x ⁄1
x¤ -1
x¤ -1
= lim [
x ⁄1
f(x)-f(1)
1
_
]
x-1
x+1
=;2!; f '(1)=;2%;
f '(1)=5
f '(x)=3x¤ +2ax
f '(1)=3+2a=5
a=1
a=1
b=2
f '(x)=3x¤ +2x
f '(2)=3_2¤ +2_2=16
정답
보충 설명
lim
x ⁄a
116
f(x)-f(a)
=f '(a)임을 이용하여 f '(2)의 값을 구합니다.
x-a
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
16
p.49
06-1
함수 f(x)=ax¤ +bx+3에 대하여 lim
x ⁄1
f(x)+1
=2일 때, f '(2)의 값을 구하여라.
x‹ -1
(단, a, b는 상수이다.)
03
06-2
함수 f(x)=x‹ +x+2에 대하여 lim
h ⁄0
f(2+ah)-f(2)
=39를 만족시키는 실수 a가 존
h
재할 때, f '(a)의 값을 구하여라.
06-3
함수 f(x)=x› +ax¤ +bx+2a에 대하여 lim
x ⁄-1
f(x)+2
=3이 성립할 때, 상수 a, b
x‹ +1
에 대하여 a+b의 값을 구하여라.
06-1 26
06-2 28
06-3 43
03
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
117
구간별로 정의된 함수의 미분가능성
함수 f(x)=[
07
2x¤ +ax
(xæ2)
-x¤ +7x+b (x<2)
b의 값을 각각 구하여라.
가 x=2에서 미분가능하도록 하는 상수 a,
접근 방법
xæ2, x<2
x=2
x=2
f(x)
a, b
f¡(x), f™(x)가 다항함수이고, f(x)=[
f¡(x) (xæa)
f™(x) (x<a)
가 x=a에서 미분가능하면
⑴ 함수 f(x)는 x=a에서 연속이다. 즉, lim f™(x)=f¡(a)
x ⁄ a-
⑵ x=a에서 함수 f(x)의 미분계수가 존재한다. 즉, lim
x ⁄ a+
f¡(x)-f(a)
f™(x)-f(a)
= lim
x-a
x-a
x ⁄ a-
상세 풀이
f(x)
x=2
x=2
f(2)= lim f(x)
x ⁄2-
2_2¤ +2a= lim (-x¤ +7x+b) 8+2a=10+b
x ⁄2-
b=2a-2
yy
f '(2)
lim
x ⁄2+
f(x)-f(2)
(2x¤ +ax)-(8+2a)
2(x+2)(x-2)+a(x-2)
= lim
= lim
x ⁄2+
x-2
x-2
x-2
x ⁄2+
= lim {2(x+2)+a}=8+a
x ⁄2+
2a=b+2
f(x)-f(2)
(-x¤ +7x+b)-(8+2a)
-x¤ +7x-10
lim
= lim
= lim
x ⁄2x-2
x-2
x-2
x ⁄2x ⁄2= lim
x ⁄2-
8+a=3
a=-5
-(x-2)(x-5)
= lim (-x+5)=3
x-2
x ⁄2-
a=-5
b=-12
정답
a=-5, b=-12
보충 설명
함수 f(x)가 x=a에서 미분가능하면 lim
x ⁄a
f(x)-f(a)
=f '(a)가 존재한다는 뜻이고, x=a를 기준으로 구간별
x-a
로 나누어 정의된 다항함수에서의 기하학적인 의미는 함수 y=f(x)의 그래프가 x=a에서 이어져 있고 우극한
에서의 접선의 기울기와 좌극한에서의 접선의 기울기가 서로 같다는 것임을 잘 알아둡시다.
118
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.50
07-1
함수 f(x)=[
ax¤ +bx-1 (xæ1)
x‹
(x<1)
이 x=1에서 미분가능하도록 하는 상수 a, b의 값을
각각 구하여라.
03
07-2
2 이상의 자연수 n에 대하여 함수 f(x)=[
도록 상수 a, b, c의 값을 정할 때,
07-3
함수 f(x)=[
(xæ1)
가 실수 전체에서 미분가능하
a+c
를 n에 대한 식으로 나타내어라. (단, a+0)
b
ax‹ -3x+10 (x<2)
x‹ +5x+b
ax«
bx+c (x<1)
(xæ2)
가 x=2에서 미분가능하도록 하는 상수 a, b에
대하여 a+b의 값을 구하여라.
07-1 a=1 b=1
07-2
a+c
2
= -1
b
n
07-3 1
03
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
119
항등식에서의 미분법
08
모든 실수 x에 대하여 x f '(x)-f(x)=x¤ 이 성립하고 f '(0)=-2일 때, 이차함
수 f(x)를 구하여라.
접근 방법
f(x)
f(x)=ax¤ +bx+c(a+0)
a b
c
함수 f(x)가 이차함수이므로 f(x)=ax¤ +bx+c`(a+0)로 놓고 미분한다.
상세 풀이
f(x)
f(x)=ax¤ +bx+c(a+0)
f '(x)=2ax+b
x f '(x)-f(x)-x¤ =0
x(2ax+b)-(ax¤ +bx+c)-x¤ =0
(a-1)x¤ -c=0
x
a-1=0, c=0
a=1, c=0
f '(x)=2x+b
f '(0)=-2
f '(0)=b=-2
f(x)=x¤ -2x
정답
f(x)=x¤ -2x
보충 설명
위의 문제에서 이차함수 f(x)라는 조건 대신 다항함수 f(x)라는 조건이 주어진 경우에도 주어진 항등식을 이용
하여 f(x)의 차수가 2 차임을 알 수 있습니다.
즉, 다항함수 f(x)가 x에 대한 n차함수이면 f(x)=ax« +g(x)(a+0, g(x)는 (n-1)차 이하의 다항함수)라고
할 수 있고 f '(x)=nax« —⁄ +g'(x)입니다.
이때, x f '(x)-f(x)=x¤ 에서
x {nax« —⁄ +g'(x)}-ax« -g(x)=x¤ , (n-1)ax« +xg'(x)-g(x)=x¤
이고, xg'(x)-g(x)는 (n-1)차 이하의 다항함수입니다. 따라서 좌변의 최고차항의 차수는 n이고 우변의 최고
차항의 차수는 2이므로 n=2임을 알 수 있습니다.
120
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.51
08-1
모든 실수 x에 대하여 2 f(x)+3x-1=(x+1)f '(x)가 성립하고 f(0)=1일 때, 이차함
수 f(x)를 구하여라.
03
08-2
모든 실수 x에 대하여 3 f(x)=(x-1)f '(x)가 성립하고 f(0)=1일 때, 다항함수 f(x)
를 구하여라.
08-3
다항함수 f(x)가 f(2)=1, f '(2)=3을 만족시킬 때, f(x)를 (x-2)¤ 으로 나눈 나머
지를 구하여라.
08-1 f(x)=2x¤ +x+1
08-2 f(x)=-x‹ +3x¤ -3x+1
08-3 3x-5
03
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
121
정의를 이용하여 도함수 구하기
09
미분가능한 함수 f(x)가 다음 조건을 만족시킬 때, 도함수 f '(x)를 구하여라.
x y
f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy
f '(0)=2
접근 방법
f '(x)= lim
y=h
h ⁄0
f '(x)= lim
h ⁄0
f(x+h)-f(x)
h
f(x+h)-f(x)
f(x+y)-f(x)
= lim
h
y
y ⁄0
상세 풀이
x=0, y=0
f(0)=f(0)+f(0)
f(0)=0
f '(0)=2
f '(0)= lim
h ⁄0
f(h)-f(0)
f(h)
= lim
=2
h
h
h ⁄0
f '(x)
f '(x)= lim
h ⁄0
f(x+h)-f(x)
h
y=h
f(x+h)=f(x)+f(h)+2xh
f '(x)= lim
f(x+h)-f(x)
{ f(x)+f(h)+2xh}-f(x)
= lim
h
h
h ⁄0
f '(x)= lim
f(h)+2xh
f(h)
= lim [
+2x]=2x+2
h
h
h ⁄0
h ⁄0
h ⁄0
정답
f '(x)=2x+2
보충 설명
미분가능한 함수 f(x)가 임의의 두 실수 x, y에 대하여 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy를 만족시키므로 x를 상
수처럼 보고 양변을 y에 대하여 미분하면
f'(x+y)=0+f'(y)+2x
가 성립합니다. 이때, y=0을 대입하면 f '(x)=f'(0)+2x가 됨을 알 수 있습니다.
122
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.52
09-1
미분가능한 함수 f(x)가 다음 조건을 만족시킬 때, 도함수 f '(x)를 구하여라.
x, y
f(x+y)=f(x)+f(y)+4xy+2
f '(0)=3
03
09-2
미분가능한 함수 f(x)가 다음 조건을 만족시킬 때, f '(0)의 값을 구하여라.
x y
f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x+y)
f '(1)=6
09-3
다항함수 f(x)는 모든 실수 x, y에 대하여
f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy-1
을 만족시킨다. lim
x ⁄1
f(x)-f '(x)
=4일 때, f '(0)의 값을 구하여라.
x-1
09-1 f '(x)=4x+3
09-2 4
09-3 4
03
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
123
03-
1
f(x)=x‹ +x¤ +x+1
[1 a]
18
a
a>1
03-
03-
2
3
5
6
2
f(x)=x‹ -x+1
3
;2!;
2
3
f(1-h)- f(1+h)
h
lim
f(x¤ )-x¤ f(1)
x-1
x ⁄1
4
03-
5
124
x ⁄1
lim
x ⁄1
y=f(x)
h ⁄0
1
lim
f(x)=1+x+x¤ +y+x·
lim
a
f(1)=2 f '(1)=1
lim
h ⁄0
03-
f(a)-f(-1)
=f '(a)
a+1
;3!;
f(x)
4
x-1
f('x)-f(1)
f(x¤ )-f(1)
x-1
P(2 1)
2x+y=5
f(2-5h)-f(2+3h)
h
16
18
22
24
20
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.341 |
p.53
수능
03-
6
f(x) g(x)
lim
x ⁄3
f(x)-2
=1
x-3
lim
x ⁄3
y=f(x)g(x)
03-
7
g(x)-1
=2
x-3
x=3
03
f(x)
(x¤ +1) f(x)=xfi +x‹ +x+1
f'(1)
03-
8
f(x)=[
ax‹
(xæ1)
bx+4 (x<1)
x=1
a b
ab
수능
03-
9
y=f(x)
y
y=x
y=x
0<a<b
y=f(x)
보기
f(a)
f(b)
<
a
b
O
f(b)- f(a)>b-a
a
b
x
f '(a)> f '(b)
03-
10
f(x)
y={ f(x)}¤
y="√ f(x)
f(x)>0
03
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125
03-
11
f(x)
f(1)=2 lim
x ⁄1
{ f(x)}¤ -2 f(x)
=-36
1-x
f '(1)
03-
03-
12
f(x)=x› +2x‹ +3x¤
· f(x¤ )-f(1)
111112
x-1
g(x)={
13
ª
a
g(x)
x=1
x
g(x)
(x+1)
(x=1)
a
f(2x)=4 f(x)
f(x)
x=2
g(x)
· f(x)-4
1111 (x+2)
g(x)= { x-2
ª f '(2)
(x=2)
g(10)
03-
14
f(x)
(x¤ +1)f(x)= ¡ x˚
10
k=1
f '(1)
03-
15
f(x)=ax« ±⁄ +bx« +1
(x-1)¤
b
n
a b
126
-n-1
-n
n-1
n
-n+1
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.342 |
03-
16
f(x)=[
1-x (x<0)
x˚ f(x)
x¤ -1 (0…x<1)
p.57
x=0
k
03-
17
y= f(x)
y
y=f(x)
y=x f(x)
y=(x-1) f(x)
03-
18
a
x=0
f(x)=x¤ -x
O
x=1
03
1
2
x
g(x)=| f(x)|
보기
lim
g(|h|)
=1
|h|
lim
g(1+h¤ )-g(1)
= f'(1)
h¤
lim
g(1+h)-g(1-h)
=0
h
h ⁄0
h ⁄0
h ⁄0
challenge
03-
19
· 2x
(x<2)
f(x)={
ª ;2!;x+3 (xæ2)
a¤ +b¤
f(x){ f(x-a)+b}
a b
x
a<0
challenge
03-
20
f(x)
f '(x)
x y
f(x-y)= f(x)- f(y)+xy(x-y)
f '(0)=8
03
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127
04
접선의 방정식과 평균값 정리
01 접선의 방정식
131
02 평균값 정리
144
기본 다지기
152
실력 다지기
154
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
y=f(x)
f '(a)
(a f(a))
01 접선의 방정식
02 평균값 정리
01
02
03
136
04
142
05
06
148
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
138
140
150
04 | 접선의 방정식과 평균값 정리
01 접선의 방정식
y=f(x)
y
(a f(a))
f '(a)
y=f(x)
f(a)
y-f(a)=f '(a)(x-a)
(a, f(a))
yy
y
m
(a f(a))
f '(a)=m
x
a
O
y=f(x)
a
m
(a f(a))
x
O
y
(x¡ y¡)
(a f(a))
y=f(x)
(x¡ y¡)
(x¡, y¡)
a
x
O
02 평균값 정리
y
1 롤의 정리
f(x)
[a b]
y=f(x)
(a b)
f(a)=f(b)
f(a)=f(b)
f'(c)=0
c
2 평균값 정리
f(x)
a
O
(a b)
c2 b
x
b
x
y
y=f(x)
[a b]
f(b)-f(a)
=f'(c)
b-a
(a b)
c
(a b)
f(b)
f(a)
O a
130
c1
c
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
01
1 접선의 방정식
11 직선의 방정식
(x¡ y¡)
m
y-y¡=m(x-x¡)
04
yy
1. 접점의 좌표가 주어진 접선의 방정식
f(x)
x=a
y
y=f(x)
(a f(a))
y=f(x)
x=a
f(a)
(a, f(a))
f '(a)
O
a
x
y-f(a)=f '(a)(x-a)
Example
y=x‹ -4x
f(x)=x‹ -4x
(2 0)
f'(x)=3x¤ -4
y=f(x)
(2 0)
f'(2)=3_2¤ -4=8
y-0=8(x-2)
y=8x-16
04
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
131
접점을 지나고 접선과 수직인 직선의 방정식
y=f(x)
y
(a f(a))
1
f '(a)
y=f(x)
-1
f '(a)_{-
y=f(x)
1
}=-1
f '(a)
(a, f(a))
f(a)
(a f(a))
a
O
y-f(a)=-
1
(x-a)
f '(a)
x
f '(a)+0
2. 기울기가 주어진 접선의 방정식
m
y
y=f(x)
y=f(x)
m
(a f(a))
1
2
f '(a)=m
O
a
f '(a)
(a f(a))
3
y-f(a)=m(x-a)
2
y=x‹ +2x-3
Example
2
f(x)=x‹ +2x-3
f '(x)=3x¤ +2
(a a‹ +2a-3)
f '(a)=3a¤ +2=2 3a¤ =0
2
a=0
(0 -3)
y+3=2(x-0)
y=2x-3
3. 곡선 밖의 한 점에서 곡선에 그은 접선의 방정식
132
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
x
y=f(x)
y
(x¡ y¡)
y=f(x)
(x¡, y¡)
(a f(a))
1
O
y-f(a)=f '(a)(x-a)
(x¡ y¡)
2
2
a
Example
(0 2)
3
x
yy
x=x¡ y=y¡
a
04
y=x‹ -2x
f(x)=x‹ -2x
f '(x)=3x¤ -2
(a a‹ -2a)
y-(a‹ -2a)=(3a¤ -2)(x-a)
(0 2)
yy
x=0 y=2
2-(a‹ -2a)=(3a¤ -2)(0-a) 2a‹ +2=0
a‹ +1=0 (a+1)(a¤ -a+1)=0
a¤ -a+1={a-;2!;}¤ +;4#;>0
a=-1
a=-1
y-1=x+1
y=x+2
접선의 방정식
y=f(x)
1
(a f(a))
f '(a)
y-f(a)=f '(a)(x-a)
2
yy
m
(a f(a))
f '(a)=m
a
(a f(a))
3
(x¡ y¡)
(a f(a))
(x¡ y¡)
a
04
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
133
두 곡선에서의 접선
f(x) g(x)
y=f(x) y=g(x)
y=f(x)
y=g(x)
(a f(a))
y=f(x)
(a g(a))
y=g(x)
⁄ x=a
x
a
f(a)=g(a)
¤ x=a
f'(a)=g '(a)
y=f(x) y=g(x)
x=a
y=f(x) y=g(x)
x=a
⁄ ¤
y=f(x)
y=g(x)
(a f(a))
y=f(x)
(b g(b))
y=g(x)
g(b)-f(a)
=f'(a)=g '(b)
b-a
a+b
a
x
b
y=f(x) y=g(x)
f(x) g(x)
y
y=f(x)
y=g(x)
(a f(a))
y=g(x)
O
⁄ x=a
y=f(x)
f(a)=g(a)
(a g(a))
x
a
f(a)=g(a)
¤ x=a
-1
f '(a)_g'(a)=-1
134
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
1
y=x¤ -2x-3
(0 -3)
(2 -3)
2
y=3x¤ -4x+4
3
y=2x¤ -2x+1
4
(1 -1)
(3 0)
(1 3)
-2
y=x¤ -x
04
풀이
1 f(x)=x¤ -2x-3
f '(x)=2x-2
(0 -3)
f '(0)=-2
y=-2x-3
y+3=-2(x-0)
(2 -3)
f '(2)=2_2-2=2
y=2x-7
y+3=2(x-2)
(3 0)
f '(3)=2_3-2=4
y=4x-12
y-0=4(x-3)
2 f(x)=3x¤ -4x+4
f '(x)=6x-4
(1 3)
f'(1)=6_1-4=2
-;2!;
y=-;2!;x+;2&;
y-3=-;2!;(x-1)
3 f(x)=2x¤ -2x+1
y y=2x2-2x+1
f'(x)=4x-2
(a 2a¤ -2a+1)
-2
f'(a)=4a-2=-2 4a=0
a=0
O
y=-2x+1
y-1=-2(x-0)
4 f(x)=x¤ -x
1
2
1
(0 1)
x
y=-2x+1
f '(x)=2x-1
(a a¤ -a)
y-(a¤ -a)=(2a-1)(x-a)
(1 -1)
yy
x=1 y=-1
-1-(a¤ -a)=(2a-1)(1-a) a¤ -2a=0
a(a-2)=0
a=0
y=-x
y y=x2-x
y=3x-4
a=2
⁄ a=0
y=-x
¤ a=2
y-2=3(x-2)
1
y=3x-4
O
⁄ ¤
4
3
x
-1
y=-x 또는 y=3x-4
04
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
135
접점의 좌표가 주어진 접선의 방정식
다음 물음에 답하여라.
01
y=x¤ -2x+1
(2 1)
y=x‹ -3x+1
(0 1)
접근 방법
미분가능한 함수 y=f(x)의 그래프 위의 점 (a, f(a))에서의
접선의 방정식은 y-f(a)=f '(a)(x-a)이다.
상세 풀이
f(x)=x¤ -2x+1
y=f(x)
f '(x)=2x-2
(2 1)
x=2
f '(2)
x=0
f '(0)
f '(2)=2_2-2=2
2
y-1=2(x-2)
f(x)=x‹ -3x+1
y=f(x)
(2 1)
y=2x-3
f '(x)=3x¤ -3
(0 1)
f '(0)=-3
-3
y-1=-3(x-0)
(0 1)
y=-3x+1
⑴ y=2x-3 ⑵ y=-3x+1
정답
보충 설명
곡선 y=f(x) 위의 점 (a, f(a))에서의 접선은 x=a에서의 순간변화율(미분계수)을 기울기로 하고 점 (a, f(a))
를 지나는 직선을 뜻합니다.
[그림 1]과 같이 이차함수의 그래프 위의 한 점
y=f(x) y
y
y=f(x)
O
x
y
y=f(x)
에서의 접선은 이차함수의 그래프와 접점 이외
의 다른 점에서는 만나지 않지만 [그림 2]와 같
이 곡선에서의 접선이 곡선을 뚫고 지나가기도
하고, [그림 3]과 같이 곡선과 접선이 접점 이외
의 다른 점에서 만날 수도 있습니다.
136
O
[그림 1]
x
O
[그림 2]
[그림 3]
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
x
p.63
01-1
다음 물음에 답하여라.
y=-2x¤ +5x-2
y=x‹ -2x+1
(1 1)
(1 0)
04
01-2
곡선 y=x‹ -ax+b 위의 점 (1, 1)에서의 접선이 원점을 지날 때, 상수 a, b에 대하여 ab
의 값을 구하여라.
01-3
곡선 y=-x‹ +x 위의 점 P(2, -6)에서의 접선은 곡선 y=-x‹ +x와 점 P가 아닌
다른 한 점 Q에서 만난다고 한다. 점 Q에서의 접선의 방정식을 구하여라.
01-1
y=x
y=x-1
01-2 4
01-3 y=-47x-128
04
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
137
기울기가 주어진 접선의 방정식
02
다음 물음에 답하여라.
y=x¤ -3x+2
y=x
y=x‹ -9x
y=3x
접근 방법
y=x
-1
-1
y=3x
3
3
곡선 y=f(x) 위의 점에서의 접선의 기울기가 m이면 접점에서의 미분계수는 m이다.
상세 풀이
f(x)=x¤ -3x+2
f '(x)=2x-3
(a a¤ -3a+2)
y=x
f '(a)=2a-3=-1
-1
a=1
(1 0)
y-0=-1_(x-1)
f(x)=x‹ -9x
y=-x+1
f '(x)=3x¤ -9
(a a‹ -9a)
y=3x
3
f '(a)=3a¤ -9=3 a¤ -4=0
(a+2)(a-2)=0
a=-2
(-2 10)
y-10=3(x+2)
y=3x+16
a=2
(2 -10)
y+10=3(x-2)
y=3x-16
정답
⑴ y=-x+1 ⑵ y=3x+16 또는 y=3x-16
보충 설명
오른쪽 그림과 같이 곡선 y=f(x) 위의 접점 (a, f(a))에서의 접선의 기울기가
y
y=f(x)
f '(a)이므로 이 접선에 수직인 직선의 기울기를 m이라고 하면 f '(a)_m=-1에서
m=-
1
`( f '(a)+0)임을 쉽게 알 수 있습니다.
f '(a)
O
138
(a, f(a))
f(a)
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
a
x
p.63
02-1
다음 물음에 답하여라.
y=-x¤ +4x+2
2x+y-3=0
y=x‹ -3x¤ +2
x-3y-1=0
04
02-2
02-3
곡선 y=x‹ +5와 직선 y=3x+a가 접하도록 하는 모든 상수 a의 값의 합은?
3
5
8
10
7
곡선 y=x‹ -2x¤ +kx+3 위의 어떤 점에서도 직선 y=x에 수직인 접선을 그을 수 없
을 때, 상수 k의 값의 범위를 구하여라.
02-1
y=-2x+11
y=-3x+3
02-2
02-3 k>;3!;
04
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
139
곡선 밖의 한 점에서 곡선에 그은 접선의 방정식
다음 물음에 답하여라.
03
y=x¤ -2x+2
(-1 1)
y=x‹ +3x
접근 방법
y=x¤ -2x+2
(a, a¤ -2a+2)
a
y=x‹ +3x
(a a‹ +3a)
(-1 1)
a
곡선 밖의 한 점에서 곡선에 그은 접선의 방정식은 접점의 좌표를 미지수를 이용하여
놓고, 이 접점에서의 접선이 주어진 곡선 밖의 한 점을 지남을 이용하여 구한다.
상세 풀이
f(x)=x¤ -2x+2
f '(x)=2x-2
(a a¤ -2a+2)
y-(a¤ -2a+2)=(2a-2)(x-a)
yy
x=0 y=0
0-(a¤ -2a+2)=(2a-2)(0-a) a¤ -2=0
a='2
a=-'2
a='2 a=-'2
y=2('2-1)x
f(x)=x‹ +3x
y=-2('2+1)x
f '(x)=3x¤ +3
(a a‹ +3a)
y-(a‹ +3a)=(3a¤ +3)(x-a)
(-1 1)
yy
x=-1 y=1
1-(a‹ +3a)=(3a¤ +3)(-1-a) 2a‹ +3a¤ +4=0 (a+2)(2a¤ -a+2)=0
2a¤ -a+2=2{a-
1
15
}2 + >0
4
8
a=-2
a=-2
y=15x+16
정답
⑴ y=2('2-1)x 또는 y=-2('2+1)x ⑵ y=15x+16
보충 설명
접선의 방정식을 구할 때에는 주어진 점을 곡선의 방정식에 대입하여 그 점이 곡선 위의 점인지 아닌지를 반드시
확인해야 합니다. 즉, 주어진 점을 곡선의 방정식에 대입하여 성립하면 주어진 점은 곡선 위의 점이므로
을 이용하여 접선의 방정식을 구하고, 성립하지 않으면 주어진 점은 곡선 위의 점이 아니므로
03을 이용하
여 접선의 방정식을 구합니다.
140
01
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.64
03-1
다음 물음에 답하여라.
(1 -1)
y=x¤ +2
y=x‹ -3x¤ -5
04
03-2
점 (3, 1)에서 곡선 y=x‹ -2x¤ +1에 그은 접선은 세 개이다. 이 접선 중 기울기가 가장
큰 접선의 기울기를 구하여라.
03-3
점 (a,```2)에서 곡선 y=x‹ -3x¤ +2에 서로 다른 두 개의 접선을 그을 수 있을 때, 모든
상수 a의 값의 합을 구하여라.
03-1
03-2 32
y=-2x+1
y=6x-7
y=9x
03-3 ;;¡3º;;
04
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
141
공통접선
04
삼차함수 y=x‹ -x의 그래프와 이차함수 y=x¤ +k의 그래프가 교점 P(a, b)에서
공통접선을 가질 때, 정수 k의 값을 구하고 이때의 공통접선의 방정식을 구하여라.
접근 방법
f(x)=x‹ -x g(x)=x¤ +k
y=f(x) y=g(x)
x=a
P(a b)
f(a)=g(a) f '(a)=g '(a)
k
y-f(a)=f '(a)(x-a)
두 곡선 y=f(x),` y=g(x)가 x=a인 점에서 공통접선을 가진다.
HjK f(a)=g(a),` f '(a)=g'(a) (즉, 함숫값과 미분계수가 각각 같다.)
상세 풀이
f(x)=x‹ -x g(x)=x¤ +k
f '(x)=3x¤ -1 g '(x)=2x
P(a b)
f(a)=g(a)
a‹ -a=a¤ +k
yy
3a¤ -1=2a
yy
f '(a)=g '(a)
3a¤ -2a-1=0 (3a+1)(a-1)=0
a=-;3!;
a=1
⁄ a=-;3!;
k=;2∞7;
¤ a=1
k
k=-1
y=2(x-1)
P(1 0)
y=2x-2
f '(1)=2
k=-1, y=2x-2
정답
보충 설명
두 곡선의 공통접선은 접점이 일치하는 경우와 접점이 서로 다른 경우가 있습니다.
① [그림 1]과 같이 두 곡선 y=f(x), y=g(x)의 x=a
y=f(x)
y=f(x)
인 점에서의 접선이 일치할 때
`HjK f(a)=g(a), f '(a)=g'(a)
y=g(x)
y=g(x)
② [그림 2]와 같이 곡선 y=f(x)의 x=a인 점에서의
접선과 곡선 y=g(x)의 x=b인 점에서의 접선이 일
치할 때 HjK
142
g(b)-f(a)
=f '(a)=g'(b) (단, a+b)
b-a
a
[그림 1]
x
a
b
[그림 2]
Ⅱ.
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x
p.65
04-1
삼차함수 y=x‹ -3x¤ +3x+2의 그래프와 이차함수 y=x¤ -kx+4의 그래프가 교점
P(a`,``b)에서 공통접선을 가질 때, 정수 k의 값을 구하여라.
04
04-2
두 곡선 y=x¤ +ax, y=bx‹ +a가 x=1인 점에서 공통접선을 가질 때, 상수 a,```b에 대하
여 a+b의 값을 구하여라.
04-3
곡선 y=x¤ 위의 점 (-2, 4)에서의 접선이 곡선 y=x‹ +ax-2에 접할 때, 상수 a의
값을 구하여라.
04-1 2
04-2 2
04-3 -7
04
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143
02
1 롤의 정리
y=f(x)
A(a f(a)) B(b f(b))
f(a)=f(b)
A B
x
0
y
y
f(a)=f(b)
O
A
B
a
b
y
f(a)=f(b)
x
O
A
B
a
b
f(a)=f(b)
x
O
A
B
a
x
b
롤의 정리
롤의 정리
f(x)
[a b]
y
(a b)
y=f(x)
f(a)=f(b)
f(a)=f(b)
f'(c)=0
c
(a b)
f '(c)=0
O
y=f(x)
(a b)
(c f(c))
y=f(x)
f(x)=x¤ -2x+2
Example
(0 2)
a
c2 b
c1
0
x
[0 2]
y
y=x2-2x+2
f(0)=f(2)=2
f'(c)=0
c=1
c
(0 2)
0<1<2
f'(1)=0
2
1
O
144
x
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
1
2
x
Proof
y
f(x)
⁄
f(x)
y=f(x)
(a b)
c
f(a)=f(b)
f '(c)=0
f(x)
¤
O
f(x)
[a b]
a
x
b
y
f(x)
f(c)
y=f(x)
[a b]
f(a)=f(b)
f(x)
f(a)=f(b)
O
a
c
b
x
a b
f(x)
x=c (a<c<b)
f(c)
a<c+h<b
h(h+0)
f(c+h)…f(c)
f(c+h)-f(c)…0
h>0
h<0
f(x)
lim
f(c+h)-f(c)
…0
h
yy
lim
f(c+h)-f(c)
æ0
h
yy
h ⁄0+
h ⁄0-
x=c
0… lim
h ⁄0-
f'(c)= lim
h ⁄0
f(c+h)-f(c)
f(c+h)-f(c)
= lim
…0
h
h
h ⁄0+
f(c+h)-f(c)
=0
h
f(x)
x=c (a<c<b)
f(c)
f'(c)=0
[a b]
(a b)
y
f(x)=|x|
f(-1)=f(1)
x=0
1
[-1 1]
f '(c)=0
c
-1
(-1 1)
y=|x|
04
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
O
1 x
145
04
2 평균값 정리
y=f(x)
B(b f(b))
AB
AB
C(c f(c))(a<c<b)
f '(c)
C
f(c)
f(b)
B
A
f(a)
f(b)-f(a)
b-a
AB
y
A(a f(a))
c
C
y=f(x)
a
O
x
c b
(a b)
평균값 정리
f(a)+f(b)
f(a)=f(b)
평균값 정리
f(x)
[a b]
(a b)
y
y=f(x)
f(b)
f(b)-f(a)
=f'(c)
b-a
c
f(a)
(a b)
O a
a b
A(a f(a)) B(b f(b))
y
y=f(x)
f(b)
y=g(x)
f(b)-f(a)
b-a
f(a)
g(x)=
f(b)-f(a)
(x-a)+f(a)
b-a
A
h(x)=f(x)-
B
y=g(x)
O a
h(x)=f(x)-g(x)
146
x
b
AB
y=f(x)
Proof
c
f(b)-f(a)
(x-a)-f(a)
b-a
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
b
x
h(x)
[a b]
(a b)
h(a)=h(b)=0
h'(c)=f '(c)-g'(c)=f '(c)c
f(b)-f(a)
=0
b-a
(a b)
f(b)-f(a)
=f '(c)
b-a
c
(a b)
f(x)=x‹
Example
[0 3]
f(x)=x‹
04
c
[0 3]
y
(0 3)
y=x3
27
f(3)-f(0)
=f'(c)
3-0
c
3 '3
(0 3)
f '(x)=3x¤
c
27-0
=3c¤ 9=3c¤
3-0
0<c<3
c=-'3
a<x…b
c='3
(a b)
f(x)
Proof
x
c='3
[a b]
(a b)
O '3 3
[a b]
x
(a b)
f '(x)=0
x
f(x)
[a b]
[a x]
f(x)-f(a)
=f '(c)
x-a
c
(a x)
f'(c)=0
f(x)-f(a)
=0
x-a
f(x)
f(x)=f(a)
[a b]
04
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
147
롤의 정리
함수 `f(x)=x‹ -3x¤ 에 대하여 닫힌구간 `[0, 3]에서 롤의 정리를 만족시키는 c의
05
값을 구하여라.
접근 방법
f(x)=x‹ -3x¤
f(0)=f(3)
함수 f(x)가 닫힌구간 `[a, b]에서 연속이고 열린구간 (a, b)에서 미분가능할 때, `f(a)=f(b)이면
f '(c)=0
인 c가 열린구간 (a, b)에 적어도 하나 존재한다. ÓΔ 롤의 정리
상세 풀이
f(x)=x‹ -3x¤
[0 3]
(0 3)
f(0)=f(3)=0
f '(c)=0
c
(0 3)
f '(x)=3x¤ -6x
f '(c)=3c¤ -6c=0 c(c-2)=0
c=0
c=2
c=2 (
0<c<3)
2
정답
보충 설명
롤의 정리가 성립하기 위해서는 닫힌구간에서 연속이고 열린구간에서 미분가능해야 한다는 조건이 필요하므로
주어진 함수에 대하여 이를 한 번 더 언급하고 정리를 적용하도록 합니다.
한편, 롤의 정리는 두 점 A(a, f(a)), B(b, f(b))에 대하여 f(a)=f(b)이면
두 점 A, B 사이에 `f '(c)=0, 즉 접선의 기울기가 0인 점이 적어도 하나 존재
y
y=f(x)
f(a)=f(b)
A
B
한다는 의미입니다.
O
148
a c1
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
c2 b
x
p.66
05-1
함수 f(x)=x‹ -x에 대하여 닫힌구간 `[0, 1]에서 롤의 정리를 만족시키는 c의 값을 구하
여라.
04
05-2
y
닫힌구간 [a,``b]에서 연속이고 열린구간 (a,``b)에서 미분가능한
y=f(x)
함수 y=f(x)의 그래프가 오른쪽 그림과 같고
f(a)=f(b)=0일 때, 롤의 정리를 만족시키는 c의 개수를 구하
a
O
b x
여라.
05-3
함수 f(x)=(x-a)(x-b)+1에 대하여 닫힌구간 `[a,``b]에서 롤의 정리를 만족시키는
c의 값을 a, b로 나타내어라.
05-1
'3
3
05-2 3
05-3 c=
a+b
2
04
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
149
평균값 정리
06
함수 f(x)=x‹ -3x¤ 에 대하여 닫힌구간 `[-1, 1]에서 평균값 정리를 만족시키는
c의 값을 구하여라.
접근 방법
f(x)=x‹ -3x¤
함수 f(x)가 닫힌구간 `[a, b]에서 연속이고 열린구간 (a, b)에서 미분가능하면
f(b)-f(a)
=f '(c)
b-a
인 c가 열린구간 (a, b)에 적어도 하나 존재한다. ÓΔ 평균값 정리
상세 풀이
f(x)=x‹ -3x¤
[-1 1]
(-1 1)
f(1)-f(-1)
=f '(c)
1-(-1)
c
(-1 1)
f '(x)=3x¤ -6x
-2-(-4)
=3c¤ -6c
1-(-1)
3c¤ -6c=1 3c¤ -6c-1=0
c=
3-2'3
(
3
-1<c<1)
정답
3-2'3
3
보충 설명
두 점 A(a, `f(a)), B(b, `f(b))에 대하여 직선 AB의 기울기는
f(b)-f(a)
이고
b-a
y
y=f(x)
f(b)
B
x=c인 점에서의 접선의 기울기는 f '(c)이므로 평균값 정리는 직선 AB와 평행하면
서 두 점 A, B 사이에 접점이 있는 접선이 적어도 하나 존재한다는 의미입니다.
f(a)
A
O a c1
150
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
c2
bx
p.67
06-1
함수 f(x)=x‹ -x에 대하여 닫힌구간 `[-'3, '3 ]에서 평균값 정리를 만족시키는 c의 값
을 구하여라.
04
06-2
함수 f(x)가 f(x)=x¤ -x일 때, 닫힌구간 [0, 2]에 속하는 서로 다른 임의의 두 실수 x¡,
f(x™)-f(x¡)
x™에 대하여 4444444444444444444444444 의 값의 집합을 S라고 하자. 집합 S에 속하는 정수의 개수를
x™-x¡
구하여라.
06-3
두 함수 f(x), g(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 열린구간 (a, b)에서 미분가능할
때, 열린구간 (a, b)에 속하는 모든 x에 대하여
f '(x)=g '(x)이면 f(x)=g(x)+k (k는 상수)
임을 증명하여라.
06-1 -1
1
06-2 3
06-3 p.342
04
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
151
04-
1
y=x‹ +2
P(a -6)
y=mx+n
a m n
y=f(x)
x=4
a+m+n
04-
2
lim
f(x)
x ⁄2
f(x¤ )-2
=4
x-2
y=g(x)
04-
3
A(1 0)
g(20)
y=x¤ -2x+5
B C
ABC
04-
4
y=x¤ -4x
A B
04-
5
y=-;2!;x+3
OAB
y=x‹ -4x¤
a b
y
a
y=x3-4x2
O
a¤ +b¤
152
y
O
1
x
x
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
b
x
p.342 |
04-
6
04-
7
y=-x‹ +3x¤ +x+1
y=x‹ -2x
x
8
45˘
(1 3)
y=x‹ -10x+16
04-
p.68
y=mx
04
m
y=x‹ +3 y=x‹ -1
y=mx+n
m n
m¤ +n¤
04-
9
f(x)
x¡ x™
04-
f(x)=
k=
10
[0 3]
f(x™)-f(x¡)
x™-x¡
f(x)
[0 5]
x‹
-x¤ +3
3
k
f(0)=5 f(5)=20
c
g(x)=x f(x)
g'(c)
04
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
153
04-
11
y=f(x)
y=3x
A
04-
A B
-4
12
y=f(x)
B
y=x¤ +2
y
™
y=x +2
2
x
O
04-
13
f(x)=ax‹ +bx¤ +x+c
x
c d
04-
14
15
A(2 a)
x
154
2
4
x
cd
ab
a+0
f(x)=x‹ +ax g(x)=bx¤ +c
a b c
04-
a b
(-1 0)
a-b+c
y=x‹ -3x+1
a
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.342 |
04-
16
f(x)=
P(t f(t)) (t>0)
y=f(x)
1
4
x‹ - x
3
3
P
y
m
l
p.73
y=f(x)
P
m
l
P
x
O
x
P
04-
17
04
y=x›
P(a a› ) (a>0)
l
x
y
A B
PA” : PB”
04-
18
f(x)=x‹ +3x
P(a f(a))
Q(b f(b))
|
y=f(x)
b
|
a
a+0
challenge
04-
19
f(x)
a…f(1)…b
a+b
f(2)=7
x
| f '(x)|…2
challenge
04-
20
f(x)
f(x)=x‹
[a a+h]
f(a+h)=f(a)+hf '(a+hh)
h
lim h
h ⁄0+
a>0 h>0 0<h<1
04
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
155
05
함수의 극대, 극소와 그래프
01 함수의 증가와 감소, 극대와 극소 159
02 함수의 그래프
176
기본 다지기
184
실력 다지기
186
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
01 함수의 증가와 감소, 극대와 극소
02 함수의 그래프
01
02
03
04
05
166
06
07
180
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
168
170
172
174
182
05 | 함수의 극대, 극소와 그래프
01 함수의 증가와 감소, 극대와 극소
1 함수의 증가와 감소
f(x)
x¡ x™
x¡<x™
f(x¡)<f(x™)
f(x)
x¡<x™
f(x¡)>f(x™)
f(x)
f(x)
x
f '(x)>0
f(x)
f '(x)<0
f(x)
2 함수의 극대와 극소
f(x)
x=a
x
f(x)… f(a)
f(x)
x=a
f(a)
f(x)æ f(a)
f(x)
x=a
f(a)
f(x)
x=a
f '(a)=0
f(x)
f '(x)
f '(a)=0
x=a
(+)
(-)
f(x)
x=a
(-)
(+)
f(x)
x=a
f(a)
f '(x)
f(a)
02 함수의 그래프
y=f(x)
158
1
f '(x)=0
2
f '(x)
3
x
x
f(x)
y
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
01
1 함수의 증가와 감소
1. 함수의 증가와 감소
f(x)
y
x¡ x™
x¡<x™
f(x2)
f(x¡)< f(x™)
f(x1)
증가
f(x)
O
f(x)
y=f(x)
f(x1)
f(x¡)> f(x™)
f(x2)
감소
f(x)
O
f(x)=x¤
Example
x¡<x™
f(x)=x¤
x2 x
x1
y
x¡ x™
x¡<x™
05
y=f(x)
[0 ¶)
x¡¤ <x™¤
x¡ x™
x1
y
f(x)=x2
f(x2)
f(x¡)< f(x™)
x
x2
[0 ¶)
f(x1)
O
x 1 x2
x
함수의 증가와 감소
f(x)
1 x¡<x™
2 x¡<x™
x¡ x™
f(x¡)<f(x™)
f(x)
f(x¡)>f(x™)
f(x)
05
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
159
2. 미분가능한 함수의 증가와 감소의 판정
f(x)
f(x)
f '(x)
(a b)
x¡ x™ (x¡<x™)
f(x)
f(x™)-f(x¡)
=f '(c)
x™-x¡
c
[ x¡ x™ ]
(x¡ x™)
yy
(x¡ x™)
(a b)
x
(a b)
f '(x)
x
f '(x)>0
y
y=f(x)
f(x™)-f(x¡)
=f '(c)>0
x™-x¡
x™-x¡
f(x™)-f(x¡)
x™-x¡>0
f(x™)-f(x¡)>0
f(x)
(a b)
f(x™)>f(x¡)
O a x1
c
x2 b x
c
x2 b x
(a b)
x
f '(x)<0
y y=f(x)
f(x™)-f(x¡)
=f '(c)<0
x™-x¡
x™-x¡
f(x™)-f(x¡)
x™-x¡>0
f(x™)-f(x¡)<0
f(x)
f(x)=x¤ -2x+2
Example
f(x™)< f(x¡)
O a x1
(a b)
y
x>1
f(x)=x2-2x+2
f '(x)=2x-2=2(x-1)>0
(1 ¶)
x=1
f(x)
[1 ¶)
160
2
1
O
1
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
x
도함수의 부호에 따른 함수의 증가와 감소의 판정
f(x)
x
1 f '(x)>0
2 f '(x)<0
f(x)
f(x)
f(x)=x‹
f '(x)=0
(-¶ ¶)
f '(x)=3x¤
f '(0)=0
x
05
2 함수의 극대와 극소
1. 함수의 극대와 극소
f(x)
x=a
f(x)
a
f(a)
y
x
y=f(x)
f(a)
f(x)… f(a)
f(x)
극대
x=a
f(x
f(a)
극댓값
O
y
b
a
x
y=f(x)
x
f(x)æ f(b)
f(b)
f(x)
x=b
극소
f(b)
극솟값
O
b
x
y
극값
O
05
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
x
161
f(x)
f(x)
x=a
x=a
x=a
f(x)
f(x)
x=a
f(x)
x=a
y
y
f(a)
y=f(x)
y=f(x)
f(a)
O
x
a
a
O
x
y
f(x)=|x-1|
Example
x=1
(0 2)
f(x)æ f(1)
f(x)
f(x)=|x-1|
x
x=1
1
f(1)=0
O
1
x
함수의 극대와 극소
f(x)
x=a
1 f(x)… f(a)
2 f(x)æ f(a)
x
f(x)
x=a
f(a)
f(x)
x=a
f(a)
2. 미분가능한 함수의 극값과 미분계수의 관계
f(x)
a
x=a
f '(a)=0
f(x)
162
x=a
h(h+0)
f(a+h)… f(a)
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
f(a+h)-f(a)
æ0
h
h<0
f(x)
0… lim
h ⁄0-
f(a+h)-f(a)
…0
h
h>0
x=a
f'(a)= lim
h ⁄0
f(a+h)-f(a)
h
f(a+h)-f(a)
f(a+h)-f(a)
= lim
…0
h ⁄0+
h
h
f '(a)= lim
h ⁄0
f(a+h)-f(a)
=0
h
f(x)
x=a
f '(a)=0
f(x)=-x¤ +2x=-(x-1)¤ +1
Example
(0 2)
f(x)… f(1)
f(x)
x=1
f '(1)=0
1
x
x=1
f(1)=1
O
f '(x)=-2x+2
05
y
f '(1)=-2_1+2=0
1
x
2
f(x)=-x2+2x
극값과 미분계수
f(x)
x=a
f '(a)=0
f(x)
£
y
x=a
f(x)=x
f '(a)=0
f(x)=x‹
f '(x)=3x¤
f '(0)=0
f '(a)=0
f(x)=x‹
O
x=0
x
x=a
y
f(x)=|x|
f(x)=|x|
x=0
f '(0)
x=0
f(x)
x=a
O
x
f '(a)=0
0
05
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
163
3. 미분가능한 함수의 극대와 극소의 판정
f(x)
f(x)
x=a
f '(a)=0
f(x)
f'(x)
f(x)
f '(a)=0
(-)
x=a
f'(x)
(+)
h
⁄ a-h<x<a
f '(x)>0
f(x)
f(x)… f(a)
¤ a<x<a+h
f '(x)<0
f(x)
f(a)æ f(x)
⁄ ¤
f(x)
(a-h a+h)
x
f(x)
f '(a)=0
f(x)… f(a)
x=a
(-)
(+)
f(x)
f(x)
x=a
f'(x)
x=a
f '(x)=0
f '(x)
x
f(x)
f '(x)<0 f '(x)>0
f '(a)=0
f '(a)=0
f '(x)>0 f '(x)<0
a
x
a
x
미분가능한 함수의 극대와 극소의 판정
f(x)
f '(a)=0
x=a
1 f '(x)
(+)
(-)
f(x)
x=a
f(a)
2 f '(x)
(-)
(+)
f(x)
x=a
f(a)
164
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
f(x)=x‹ +3x¤
Example
f(x)
f '(x)=3x¤ +6x=3x(x+2)
f '(x)=0
x=-2
x=0
f '(x)
f(x)
x
y
-2
y
0
y
f '(x)
+
0
-
0
+
0
4
f(x)
f(x)
x=-2
4
x=0
y
\ y=f '(x) \
-2 O x
f(x)
f(x)
|
0
05
1
f(x)=x¤
2
f(x)=x‹ -12x
3
f(x)=2x‹ +ax¤ +bx+c
(-¶ 0]
x=1
0
x=2
a b c
풀이
1
f(x)=x¤
(-¶ 0]
x¡ x™
x¡<x™
f(x¡)-f(x™)=x¡¤ -x™¤ =(x¡+x™)(x¡-x™)>0
f(x¡)>f(x™)
f(x)=x¤
(-¶ 0]
2 f '(x)=3x¤ -12=3(x+2)(x-2)
f '(x)=0
x=-2
x=2
f '(x)
f(x)
x
y
-2
y
2
y
f '(x)
+
0
-
0
+
16
f(x)
f(x)
x=-2
-16
극댓값 f(-2)=16 x=2
y y=f '(x)
\ -2
2 \
x
O
| f(x)
f(x)
-12
극솟값
f(2)=-16
3
f(x)
x=1 x=2
f '(x)=6x¤ +2ax+b=0
x=1
f '(1)=6+2a+b=0
yy
f '(2)=24+4a+b=0
yy
x=2
a=-9, b=12
f(x)
x=1
0
f(1)=2+a+b+c=2-9+12+c=0
05
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
c=-5
165
함수의 증가와 감소
01
다음 물음에 답하여라.
f(x)=x‹ -3x-4
x=2
g(x)=x‹ +3x¤
접근 방법
x=2
x=2
f '(2)
f(x)
g '(x)=0
g'(x)
x
g(x)
함수 `f(x)가 어떤 구간에서 미분가능하고, 이 구간의 모든 x에 대하여
⑴ `f '(x)>0이면 `f(x)는 이 구간에서 증가한다.
⑵ `f '(x)<0이면 `f(x)는 이 구간에서 감소한다.
상세 풀이
f(x)=x‹ -3x-4
f '(x)=3x¤ -3
f '(2)=3_2¤ -3=9>0
g(x)=x‹ +3x¤
g '(x)=0
f(x)
x=2
g '(x)=3x¤ +6x=3x(x+2)
x=-2
x=0
g'(x)
g(x)
x
y
-2
y
0
y
g'(x)
+
0
-
0
+
g(x)
g(x)
4
(-¶ -2] [0 ¶)
정답
0
[-2 0]
⑴ 증가상태
⑵ 구간 (-¶, -2], [0, ¶)에서 증가, 구간 [-2, 0]에서 감소
보충 설명
x=a에서 미분가능한 함수 f(x)에 대하여
① x=a에서의 미분계수가 양수, 즉 f '(a)>0이면 f(x)는 x=a에서 증가상태에 있습니다.
② x=a에서의 미분계수가 음수, 즉 f '(a)<0이면 f(x)는 x=a에서 감소상태에 있습니다.
③ f '(a)=0이면 f(x)는 x=a에서 증가상태에 있거나, 감소상태에 있거나, 극값을 가집니다.
(⑵의 x=-2와 x=0에서와 같이 극값을 가지는 점에서는 증가상태 또는 감소상태라고 하지 않습니다.)
166
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.78
01-1
다음 물음에 답하여라.
f(x)=x› -x¤ -16
x=1
g(x)=-x‹ +3x¤ +12x-7
01-2
함수 f(x)=x‹ -3ax¤ +(6a-3)x+5가 감소하는 x의 값의 범위가 1…x…3이다. f(a)
의 값을 구하여라. (단, a는 상수이다.)
01-3
함수 f(x)의 도함수 y=f '(x)의 그래프가 오른쪽 그림과
y
y=f '(x)
같을 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
보기
3
f(x)
x=1
O
f(x)
(2 4)
f(x)
(3 5)
01-1
01-2 7
1 2
4 5
x
[1-'5 1+'5 ]
01-3
05
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
167
05
실수 전체에서의 함수의 증가와 감소
함수 f(x)=x‹ +ax¤ +x가 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 실수 a의 값의
02
범위를 구하여라.
접근 방법
a
f'(x)æ0
x
a
삼차함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 증가한다.
HjK 임의의 실수 x에 대하여 f '(x)æ0
상세 풀이
f(x)=x‹ +ax¤ +x
x
f '(x)=3x¤ +2ax+1æ0
f '(x)=0
D
D
=a¤ -3…0 (a+'3 )(a-'3 )…0
4
-'3…a…'3
-'3…a…'3
정답
보충 설명
a=-'3`과 a='3`일 때, 함수 `f(x)=x‹ +ax¤ +x의 그래프를 살펴보면 다음과 같이 항상 증가합니다.
y
⁄ a=-'3`이면
y=f(x)
f '(x)=3x¤ -2'3x+1=('3x-1)¤
f '(x)=0에서 x=
1
(중근)
'3
O
따라서 함수 `y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같고, `f(x)는 항상 증가합니다.
y
¤ a='3`이면
f '(x)=3x¤ +2'3x+1=('3x+1)¤
f '(x)=0에서 x=-
1
(중근)
'3
1
'3
따라서 함수 y=`f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같고, `f(x)는 항상 증가합니다.
168
x
1
'3
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
y=f(x)
O
x
p.78
02-1
함수 `f(x)=x‹ +ax¤ +ax+1이 구간 (-¶, ¶)에서 증가하도록 하는 실수 a의 값의 범
위를 구하여라.
02-2
함수 `f(x)=-x‹ +ax¤ -3x+1과 임의의 두 실수 x¡, x™에 대하여 `f(x¡)=f(x™)이면
x¡=x™가 성립할 때, 정수 a의 개수를 구하여라.
02-3
두 함수 `f(x)=x‹ +ax¤ +ax, g(x)=-x‹ +(a+1)x¤ -(a+1)x가 임의의 두 실수
x¡, x™ (x¡<x™)에 대하여 `
f(x¡)<f(x™), g(x¡)>g(x™)
를 만족시킬 때, 실수 a의 값의 범위를 구하여라.
02-1 0…a…3
02-2 7
02-3 0…a…2
05
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
169
05
함수의 극대와 극소
함수 `f(x)=x‹ -3x+a의 극댓값이 16일 때, 상수 a의 값과 극솟값을 각각 구하
03
여라.
접근 방법
f(x)
f '(x)=0
f(x)
x
f '(x)
a
미분가능한 함수 `f(x)가 x=a에서 극값을 가지면 `f '(a)=0이다.
상세 풀이
f(x)=x‹ -3x+a
f '(x)=0
f '(x)=3x¤ -3=3(x+1)(x-1)
x=-1
x=1
f '(x)
f(x)
x
y
-1
y
1
y
f '(x)
+
0
-
0
+
2+a
f(x)
f(x)
x=-1
-2+a
f(-1)=16
f(-1)=2+a=16
a=14
f(x)=x‹ -3x+14
f(x)
x=1
f(1)=-2+a=-2+14=12
정답
a=14, 극솟값 : 12
보충 설명
미분가능한 함수 `f(x)가 x=a에서 극값을 가지면 `f '(a)=0이지만, f '(a)=0이라고 해서 x=a에서 반드시 극
값을 가지는 것은 아닙니다.
미분가능한 함수 `f(x)에서 `f '(a)=0일 때, x=a의 좌우에서 `f '(x)의 부호가 양(+)에서 음(-)으로 바뀌면
`f(x)는 x=a에서 극대이고, x=a의 좌우에서 `f '(x)의 부호가 음(-)에서 양(+)으로 바뀌면 `f(x)는 x=a
에서 극소입니다.
170
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.79
03-1
함수 `f(x)=-2x‹ +6x+a의 극솟값이 -7일 때, 상수 a의 값과 극댓값을 각각 구하여
라.
03-2
함수 `f(x)=-x‹ +ax¤ +bx+2가 -1…x…2에서 증가하고, x…-1과 xæ2에서 감소
할 때, f(x)의 극댓값을 구하여라. (단, a, b는 상수이다.)
05
03-3
y
오른쪽 그림은 연속함수 y=f(x)의 도함수 y=f '(x)의 그
y=f '(x)
래프이다. 함수 f(x)에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는
대로 골라라.
-1
O
1
2
x
보기
f(x)
x=-1
f(x)
x=0
f(x)
x=1
03-1 a=-3
1
03-2 12
03-3
05
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
171
함수의 극대, 극소와 미정계수
04
함수 `f(x)=x‹ +ax¤ +bx+c가 x=-1에서 극댓값 0을 가지고, x=1에서 극솟
값을 가질 때, 상수 a, b, c의 값과 극솟값을 각각 구하여라.
접근 방법
f(x)
x=-1
0
f '(-1)=0 f(-1)=0
x=1
f '(1)=0
미분가능한 함수 f(x)가 x=a에서 극댓값(또는 극솟값) b를 가지면
f '(a)=0, f(a)=b
상세 풀이
f(x)=x‹ +ax¤ +bx+c
f '(x)=3x¤ +2ax+b
f(x)
x=-1
0
f '(-1)=3-2a+b=0
-2a+b=-3
f(-1)=-1+a-b+c=0
f(x)
a-b+c=1
yy
yy
x=1
f '(1)=3+2a+b=0
2a+b=-3
yy
a=0 b=-3
c=-2
f(x)=x‹ -3x-2
f(x)
f(1)=1-3-2=-4
정답
a=0, b=-3, c=-2, 극솟값 : -4
보충 설명
삼차함수 `f(x)가 x=-1에서 극댓값을 가지고, x=1에서 극솟값을 가지므로 이차방정식
f '(x)=3x¤ +2ax+b=0의 두 실근이 x=-1 또는 x=1입니다. 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의
하여
-
2a
b
=-1+1=0, =-1_1=-1
3
3
이므로 a=0, b=-3임을 알 수도 있습니다.
또는 이차방정식 f '(x)=0의 이차항의 계수가 3이므로 f '(x)=3(x+1)(x-1)=3x¤ -3에서 a=0, b=-3
임을 알 수도 있습니다.
172
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.80
04-1
함수 `f(x)=-2x‹ +ax¤ +bx+c가 x=-2에서 극솟값 -10을 가지고, x=1에서 극댓
값을 가질 때, 상수 a, b, c의 값과 극댓값을 각각 구하여라.
04-2
함수 `f(x)=2x‹ +ax¤ +bx-4가 x=-2에서 극댓값 16을 가질 때, 상수 a, b에 대하여
05
a-b의 값을 구하여라.
04-3
삼차함수 `f(x)가 다음 조건을 만족시킬 때, f(x)의 극댓값을 구하여라.
lim
x ⁄0
f(x)-1
=-6
x
f(x)
x=1
04-1 a=-3 b=12 c=10
04-2 15
-3
17
04-3 5
05
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
173
극값을 가질 조건
05
다음 물음에 답하여라.
f(x)=x‹ -ax¤ +2ax+3
a
f(x)=-x‹ +ax¤ +3ax-7
a
접근 방법
f '(x)=0
D
f '(x)=0
D>0
f '(x)=0
f '(x)=0
D
D…0
삼차함수 f(x)가 극값을 가지면, 이차방정식 f '(x)=0이 서로 다른 두 실근을 가진다.
상세 풀이
f(x)=x‹ -ax¤ +2ax+3
f '(x)=3x¤ -2ax+2a=0
D
=a¤ -6a>0 a(a-6)>0
4
f '(x)=0
D
a<0
a>6
f(x)=-x‹ +ax¤ +3ax-7
f '(x)=0
f '(x)=-3x¤ +2ax+3a=0
D
=a¤ +9a…0 a(a+9)…0
4
D
-9…a…0
정답
a<0
a>6
-9…a…0
보충 설명
삼차함수 `f(x)가 극값을 가지지 않는 경우를 다른 표현으로 다음과 같이 나타내기도 합니다.
① 삼차함수 `f(x)가 실수 전체에서 증가한다.
f(x)
② 삼차함수 `f(x)가 실수 전체에서 감소한다.
f(x)
③ 삼차함수 `f(x)가 일대일대응이다. 즉, 임의의 두 실수 x¡, x™에 대하여 `f(x¡)=f(x™)이면 x¡=x™이다.
④ 삼차함수 `f(x)의 역함수가 존재한다.
또한 삼차함수 `f(x)가 극값을 가지지 않으면 이차방정식 f '(x)=0은 허근 또는 중근을 가집니다.
174
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.81
05-1
다음 물음에 답하여라.
f(x)=-x‹ +ax¤ -3x+a
a
f(x)=x‹ +ax¤ +ax+2
a
05
05-2
함수 `f(x)=x‹ +ax¤ +3x+1은 극값을 가지도록 하고, 함수 g(x)=x‹ +ax¤ -2ax+2
는 극값을 가지지 않도록 하는 정수 a의 개수는?
05-3
2
3
5
6
4
함수 `f(x)=;3!;x‹ -x¤ +ax+4가 -1<x<1에서 극댓값을 가지고, 1<x<2에서 극솟
값을 가질 때, 실수 a의 값의 범위를 구하여라.
05-1
05-2
a<-3
a>3
0…a…3
05-3 0<a<1
05
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
175
02
1 함수의 그래프
f(x)
f '(x)>0 ˙k
˙k
f(x)
f '(x)<0 ˙k
˙k
f(x)
˙k
˙k
0
f '(x)
+
-
0
f '(x)
-
+
˙k
˙k
y=f(x)
1
f '(x)=0
2
f '(x)
3
x
x
f(x)
y
x
f(x)=x‹ -6x¤ +9x-1
f(x)
f '(x)=3x¤ -12x+9=3(x-1)(x-3)
x=1
f '(x)=0
x
x=3
y
f '(x)
f(x)
y=f '(x)
\
\
3
1
O
x
|
x
y
1
y
3
y
f '(x)
+
0
-
0
+
3
f(x)
f(0)=-1
y=f(x)
176
y=f(x)
3
-1
f(x)
y
(0 -1)
O
-1
1
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
3
x
Example
f(x)=-x‹ +3x+1
f '(x)=-3x¤ +3=-3(x+1)(x-1)
f '(x)
f '(x)=0
x=-1
f(x)
x=1
f(0)=1
y=f(x)
x
y
-1
y
1
y
f '(x)
-
0
+
0
-
-1
f(x)
y
y=f(x)
3
1
3
-1
x
O1
-1
f(x)=-x‹ +3x¤ -3x-1
f '(x)=-3x¤ +6x-3=-3(x-1)¤
f '(x)
f '(x)=0
x=1
f(x)
f(0)=-1
05
y=f(x)
x
y
1
y
f '(x)
-
0
-
y
1
-1
-2
-2
f(x)
x
O
y=f(x)
미분가능한 함수의 그래프
y=f(x)
1
f '(x)=0
2
f '(x)
3
x
x
f(x)
y
y=f(x)
f '(x)=0
f(x)=ax‹ +bx¤ +cx+d (a>0)
f '(x)=3ax¤ +2bx+c
f '(x)=0
y=f(x)
f '(x)=0
y=f '(x)
y=f '(x)
\
\
a
|
b
x
y=f(x)
\
a
y=f'(x)
y=f'(x)
\
\
x
y=f(x)
x
y=f(x)
y=f(x)
a
b
a
05
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
177
사차함수의 그래프의 개형
>0
<0
f(x)
f '(x)=0
f(x)=ax› +bx‹ +cx¤ +dx+e (a>0)
f '(x)=4ax‹ +3bx¤ +2cx+d
f '(x)=0
y=f(x)
f '(x)=0
a
y=f '(x)
y=f '(x)
a
b c
y=f '(x)
a
b
a
y=f '(x)
a
x
x
y=f '(x)
a
x
x
y=f(x)
y=f(x)
y=f(x)
a
b
y=f(x)
y=f(x)
a
178
b
c
a
b
a
a
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
1
f(x)=x‹ -6x¤ +9x+1
2
f(x)=x› -2x¤ +2
3
f(x)
y=f '(x)
보기
f(x)
(-3 1)
f(x)
x=-3
f(x)
x=1
y
y=f'(x)
-1
O
-3
x
1
05
풀이
1 f '(x)=3x¤ -12x+9=3(x-1)(x-3)
f '(x)=0
x=1
x=3
f '(x)
f(x)
f(0)=1
x
y
1
y
3
y
f '(x)
+
0
-
0
+
5
f(x)
y=f(x)
y
5
y=f(x)
1
1
O1
x
3
2 f '(x)=4x‹ -4x=4x(x+1)(x-1)
f '(x)=0
x=0
x=-1
f '(x)
x=1
f(x)
y=f(x)
x
y
-1
y
0
y
1
y
f '(x)
-
0
+
0
-
0
+
1
f(x)
2
y
y=f(x)
2
1
1
-1 O
3
-3<x<1
f '(x)<0
f(x)
f '(-3)=0
x=-3
f '(x)
x
1
-3 1
+
-
f(x)
x=-3
f '(1)=0
x=1
f '(x)
-
+
f(x)
x=1
ㄴ, ㄷ
05
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
179
삼차함수의 그래프의 개형
다음 함수의 극값을 구하고 그래프의 개형을 그려라.
06
f(x)=x‹ -6x¤ +9x
f(x)=3x-x‹
접근 방법
f(x)
f '(x)
f '(x)=0
도함수 f '(x)를 구하여 함수의 증가와 감소, 극대와 극소를 판단한 후 그래프를 그린다.
상세 풀이
f(x)=x‹ -6x¤ +9x
f'(x)=3x¤ -12x+9=3(x-1)(x-3)
f'(x)=0
x=3
x=1
f'(x)
f(x)
x
y
1
y
3
y
f '(x)
+
0
-
0
+
4
f(x)
f(x)
f(x)=3x-x‹
f'(x)=0
x=1
y
y=f(x)
4
0
4 x=3
O
0
1
3
x
f'(x)=3-3x¤ =-3(x+1)(x-1)
x=-1
x=1
f'(x)
f(x)
x
y
-1
y
1
y
f '(x)
-
0
+
0
-
-2
f(x)
2
y
2
y=f(x)
-1
O 1
f(x)
x=-1
-2 x=1
2
x
-2
정답
풀이 참조
보충 설명
삼차함수 `f(x)의 도함수 f '(x)에 대하여 이차방정식 f '(x)=0이 서로 다른 두 실근을 가지지 않을 때에는 함수
f(x)가 극값을 가지지 않으므로 y=f(x)의 그래프는 모든 실수 x에서 증가하거나 감소하는 그래프가 됩니다.
180
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.82
06-1
다음 함수의 극값을 구하고 그래프의 개형을 그려라.
f(x)=-x‹ +3x¤ +9x-7
06-2
f(x)=-2x‹ +3x¤ -5
y
상수 a, b, c에 대하여 함수 `f(x)=x‹ +ax¤ +bx+c의 그래
y=f(x)
프가 오른쪽 그림과 같을 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대
로 골라라. (단, a<0<b, f '(a)= f '(b)=0, |a|<|b|)
b
보기
ab>0
06-3
x
aO
bc<0
ac>0
05
y
함수 `f(x)=x‹ +ax¤ +bx의 그래프가 오른쪽 그림과 같을
y=f(x)
때, 함수 `g(x)=x‹ +bx¤ +ax의 그래프의 개형은?
(단, a, b는 상수이다.)
y
y
x
O
y=g(x)
y=g(x)
O x
y
y
y=g(x)
O
x
O
y
O x
x
y=g(x)
06-1 p.343
y=g(x)
O
06-2
x
06-3
05
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
181
사차함수의 그래프의 개형
다음 함수의 극값을 구하고 그래프의 개형을 그려라.
07
f(x)=x› -4x‹
f(x)=;4!;x› -x‹ +x¤
접근 방법
f(x)
f '(x)
f '(x)=0
도함수 f '(x)를 구하여 함수의 증가와 감소, 극대와 극소를 판단한 후 그래프를 그린다.
상세 풀이
f(x)=x› -4x‹
f'(x)=0
y
f'(x)=4x‹ -12x¤ =4x¤ (x-3)
x=0
x=3
x
O
x
y
0
y
f '(x)
-
0
-
f(x)
y=f(x)
3
3
y
0
+
-27
0
-27
f(x)
x=3
f(x)=;4!;x› -x‹ +x¤
f'(x)=0
-27
f'(x)=x‹ -3x¤ +2x=x(x-1)(x-2)
x=0
x=1
x=2
x
y
0
y
1
y
2
y
f '(x)
-
0
+
0
-
0
+
0
f(x)
f(x)
x=2
y=f(x)
1
4
0
;4!;
x=0
y
O
0 x=1
1
2
;4!;
정답
풀이 참조
보충 설명
최고차항의 계수가 양수인 사차함수 `y=f(x)의 그래프의 개형과 삼차방정식 `f '(x)=0의 근의 종류 사이의 관계
⑴ 서로 다른 세 실근
y=f(x)
182
⑵ 한 실근과 중근
y=f(x)
x
⑶ 삼중근
y=f(x)
⑷ 한 실근과 두 허근
y=f(x)
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.83
07-1
다음 함수의 극값을 구하고 그래프의 개형을 그려라.
f(x)=-x› -4x‹ -4
07-2
07-3
f(x)=3x› +4x‹ -12x¤ +12
함수 `f(x)=x› -4x‹ +2ax¤ 이 극댓값을 가지지 않도록 하는 양수 a의 최솟값을 구하여라.
사차함수 `f(x)가 다음 조건을 만족시킬 때,
f(x)
x=2
| f(x)-f(1)|
07-1 p.343
f '(5)
의 값을 구하여라.
f '(3)
x=a (a>2)
07-2 ;4(;
07-3 12
05
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
183
05
05-
1
f(x)=x‹ -6x¤ +9x+1
h
f(x-h)> f(x)> f(x+h)
(1 3)
[1 3]
[-1 3
[-1 3]
05-
2
f(x)=x‹ +ax¤ +(a¤ -6)x
05-
3
f(x)=x‹ +2x¤ +kx-1
05-
4
f(x)=(x-1)¤ (x-4)+a
05-
5
g¡(x) g™(x)
f(x)=[
(-1 3)
x=1
a
k
10
a
y
y=f'(x)
g¡(x) (xæ0)
g™(x) (x<0)
O
x
y=f '(x)
f(x)
n
184
m
10m+n
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.343 |
05-
6
f(x)=(x¤ -9)(x-a)
f(0)
05-
7
x=b
y= f(x)
f(x)
x
x=1
x
'2
'3
'5
'6
2
05
8
f(x)=x‹ +ax¤ -ax+b
(-1 0)
a
05-
a+b=;3@;
-3<a<3
y= f(x)
05-
x=a
p.85
9
(0 ¶)
b
1
f(x)
f(0)=0
b
05-
10
f(x)
x=a
f(x)
x=b
0
a
ab+0
f(x)
|x|+1
f '(x)=[
x¤
x
(|x|<1)
-1 (|x|>1)
보기
f(x)
x=-1
f(-x)=-f(x)
f(0)=0
f(1)>0
05
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
185
05-
11
f(x)
f '(x)
f '(x)=[
12
f(x)=;3!;x‹ -x¤ -3x
(2 f(2))
05-
13
(x…3)
-x¤ +8x-15 (x>3)
[ k k+1]
f(x)
05-
x¤ -2x-3
x=a
k
b
l
y=f(x)
(a b)
f(x)
l
d
a b c
f(a)=f(b)=0 f '(a)=f '(c)=0
c
a b
a+b
2
2a+b
3
a+b
a+2b
3
05-
14
f(x)=x‹ +ax¤ +bx+c
x=1
a+b
3
x=3
a b c
05-
15
f(x)=x‹ -3ax¤ +6x+a¤ -3
a
186
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
90d¤
p.343 |
05-
16
p.90
f(x)
x y
f(x-y)=f(x)-f(y)+xy(x-y)
f '(0)=8
f(x)
05-
17
x=a
x=b
x=0
a¤ +b¤
f(x)
보기
| f(x)|
x=0
f(|x|)
x=0
f(x)-x¤ |x|
05
x=0
challenge
05-
18
f(x)
x
f(-x)=-f(x)
f(1)=5
1<f '(1)<7
f(x)
m
m¤
challenge
05-
19
f(x)
y=f(x)
f(x)
y=f(x)
y
1
(2 f(2))
y=2
f '(0)=0
05
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
187
06
도함수의 활용
01 함수의 최대와 최소
191
02 방정식과 부등식에의 활용
200
03 속도와 가속도
210
기본 다지기
218
실력 다지기
220
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
01 함수의 최대와 최소
02 방정식과 부등식에의 활용
03 속도와 가속도
01
02
03
194
04
05
206
06
07
214
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
196
198
208
216
06 | 도함수의 활용
01 함수의 최대와 최소
[a b]
f(x)
f(x)
1
f(a) f(b)
2
3
1
f(a) f(b)
2
02 방정식과 부등식에의 활용
1 방정식에의 활용
f(x)=0
y= f(x)
f(x)=g(x)
x
y= f(x) y=g(x)
y= f(x)-g(x)
x
2 부등식에의 활용
f(x)>0
f(x)
f(x)>g(x)
f(x)-g(x)
03 속도와 가속도
1 속도와 가속도
P
v
t
x
x= f(t)
t
a
v=
dx
dv
= f '(t) a=
=v'(t)
dt
dt
2 시각에 대한 변화율
190
t
l
t
S
t
V
lim
Dl
dl
=
Dt
dt
lim
DS
dS
=
Dt
dt
lim
DV dV
=
Dt
dt
D t ⁄0
D t ⁄0
D t ⁄0
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
P
01
02 함수의 연속
f(x)
[a b]
f(x)
1 함수의 최대와 최소
f(x)
[a b]
f(x)
1
2
3
y
y
y=f(x)
y
y=f(x)
y=f(x)
f(b)
f(b)
f(b)
f(a)
f(a)
b x
O a
f(a)
b x
O a
1
b x
O a
2
f(x)
3
f(x)
[a b]
f(a) f(b)
f(a) f(b)
f(a) f(b)
Example
[0 3]
f(x)=x‹ -3x+2
f '(x)=3x¤ -3=3(x+1)(x-1)
[0 3]
f '(x)=0
x=-1
x=1
f(x)
x
0
f '(x)
f(x)
f(x)
x=3
y
1
y
-
0
+
0
2
20 x=1
3
20
0
06
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
191
06
함수의 최대와 최소
[a b]
f(x)
f(x)
1
f(a) f(b)
2
3
1
f(a) f(b)
2
2 함수의 최대, 최소의 활용
ΔΔΔ
ΔΔΔ
6m
6m
6m
xm
(6-2x) m
0<x<3
xm
xm
6-2x>0 x>0
x
(6-2x) m
0<x<3
(6-2x) m
V(x) m‹
V(x)=x(6-2x)¤ =4x‹ -24x¤ +36x
V'(x)=12x¤ -48x+36=12(x-1)(x-3)
0<x<3
192
V'(x)=0
x=1
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
(0 3)
V(x)
x
(0)
V '(x)
x=1
y
1
y
+
0
-
(3)
16
V(x)
16 m‹
함수의 최대, 최소의 활용
x
1
x
x
2
3
06
1
[-3 1]
2
[0 2]
f(x)=x‹ +3x¤
f(x)=x‹ -6x¤ +9x
3
16 cm
16 cm
10 cm
10 cm
풀이
1 f '(x)=3x¤ +6x=3x(x+2)
[-3 1]
f '(x)=0
x=-2
f(x)
x
f(x)
최댓값 4 x=-3
x=0
x=-2
x=1
최솟값 0
x=0
-3
f '(x)
f(x)
y
-2
y
0
y
+
0
-
0
+
0
4
0
1
4
2 f '(x)=3x¤ -12x+9=3(x-1)(x-3)
0…x…2
f '(x)=0
x=1
[0 2]
f(x)
x
f(x)
x=1
최댓값 4
최솟값 0
x=0
0
f '(x)
f(x)
y
1
y
+
0
-
0
4
2
2
x cm
3
V(x) cm‹
V(x)=x(16-2x)(10-2x)=4x‹ -52x¤ +160x (0<x<5)
V'(x)=12x¤ -104x+160=4(x-2)(3x-20)
0<x<5
(0 5)
V'(x)=0
x=2
V(x)
V
V '(x)
x=2
(0)
y
2
y
+
0
-
(5)
144
V(x)
144 cm‹
06
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
193
함수의 최댓값과 최솟값
다음 함수의 주어진 구간에서의 최댓값과 최솟값을 각각 구하여라.
01
f(x)=2x‹ +3x¤ -12x+5 [-3 3]
f(x)=-x‹ +2x¤ -x [0 2]
접근 방법
f(x)
f(x)
[a b]
f(a) f(b)
극값과 구간의 양 끝에서의 함숫값을 비교한다.
상세 풀이
f(x)=2x‹ +3x¤ -12x+5
f '(x)=0
f '(x)=6x¤ +6x-12=6(x+2)(x-1)
x=-2
[-3 3]
x=1
f(x)
x
-3
f '(x)
f(x)
x=3
50
x=1
-2
f(x)
y
-2
y
1
y
+
0
-
0
+
25
14
f(x)=-x‹ +2x¤ -x
f '(x)=-3x¤ +4x-1=-(3x-1)(x-1)
f '(x)=0
x=1
x=;3!;
[0 2]
-2
3
50
f(x)
x
f '(x)
f(x)
x=0
x=2
0
x=1
0
f(x)
-2
정답
0
y
;3!;
y
1
y
-
0
+
0
-
-;2¢7;
0
2
-2
⑴ 최댓값 : 50, 최솟값 : -2 ⑵ 최댓값 : 0, 최솟값 : -2
보충 설명
주어진 구간의 양 끝에서의 함숫값과 극댓값, 극솟값을 비교하여 최댓값, 최솟값을 구합니다. 이때, 극댓값과 최
댓값, 극솟값과 최솟값은 같지 않을 수 있다는 점에 유의해야 합니다.
194
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.95
01-1
다음 함수의 주어진 구간에서의 최댓값과 최솟값을 각각 구하여라.
f(x)=x‹ -3x¤ +2 [0 3]
f(x)=-x‹ +3x¤ +9x-7 [0 4]
01-2
함수 f(x)=x‹ -6x¤ +1이 구간 [0, a]에서 최댓값 f(0)을 가질 때, 정수 a의 최댓값을
구하여라. (단, a>0)
01-3
두 실수 x, y에 대하여 x¤ +2y¤ =4일 때, x¤ y의 최댓값과 최솟값을 구하여라.
01-1
01-2 6
2
-2
20
01-3
-7
8'6
9
-
06
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
8'6
9
195
06
좌표평면에서의 최대, 최소의 활용
오른쪽 그림과 같이 곡선 y=x(2-x)와 x축으로
02
y
둘러싸인 부분에 내접하고 한 변이 x축 위에 있는
y=x(2-x)
직사각형의 넓이의 최댓값을 구하여라.
O
x
2
접근 방법
x=1
직사각형의 가로, 세로의 길이를 한 문자에 대하여 나타낸 후 넓이를 구한다.
상세 풀이
y=x(2-x)
ABCD
C
x=1
y
y=x(2-x)
(1+a 0)(0<a<1)
A
O
A(1-a 1-a¤ ) B(1-a 0) D(1+a 1-a¤ )
ABCD
D
B
1-a
f(a)
C
1+a 2
1
x
x=1
f(a)=2a(1-a¤ )=-2a‹ +2a
f'(a)=-6a¤ +2
f'(a)=0
a=
f(a)
f{
'3
(
3
a=
0<a<1)
'3
3
4'3
'3
'3 ‹
'3
}=-2_{
} +2_
=
9
3
3
3
a
f '(a)
(0)
y
'3
3
y
+
0
-
(1)
f(a)
정답
4'å3
9
보충 설명
도형과 관련하여 최댓값 또는 최솟값을 구할 때에는 먼저 변수를 정하고 변수를 이용하여 관계식을 세웁니다. 이
때, 이 관계식이 의미를 가지게 되는 범위를 생각하여 최댓값 또는 최솟값을 구합니다.
196
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.96
02-1
y
오른쪽 그림과 같이 곡선 y=-x¤ +6x+16과 x축으로 둘
™
y=-x +6x+16
러싸인 부분에 내접하고 한 변이 x축 위에 있는 직사각형의
넓이의 최댓값을 구하여라.
-2
02-2
8
O
x
y
오른쪽 그림과 같이 곡선 y=-x¤ +3x와 직선
y=k`(k>0)가 만나는 두 점을 각각 P, Q라고 하자. 삼각
P
Q y=k
형 POQ의 넓이가 최대가 되도록 하는 실수 k의 값을 구하
여라. (단, O는 원점이다.)
x
3
O
™
y=-x +3x
02-3
오른쪽 그림과 같이 함수 y=x¤ (3-x)의 그래프와 직선
y
Q y=mx
y=mx가 제 1`사분면 위의 서로 다른 두 점 P, Q에서 만
난다. 세 점 A(3, 0), P, Q를 꼭짓점으로 하는 삼각형
PAQ의 넓이가 최대가 되도록 하는 양수 m의 값과 그때의
500'3
9
A
O
넓이를 구하여라.
02-1
P
02-2 ;2#;
02-3 m=;2#;
06
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
x
3
™
y=x (3-x)
9'3
4
197
06
도형의 부피에서의 최대, 최소의 활용
오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 1인 정삼각형 모양의 종
03
이에서 색칠한 부분을 잘라내고, 남은 부분으로 뚜껑이 없는
1
삼각기둥 모양의 상자를 만들려고 한다. 상자의 부피의 최댓
값을 구하여라.
(단, 색칠한 부분은 모두 합동인 사각형이다.)
접근 방법
x
x
변수를 정하고, 부피를 그 변수에 대한 함수로 나타낸다.
상세 풀이
x
x
1-2x
x
1-2x
x
'3
0<x<;2!;
x
x tan 30˘=
'3
'3
(1-2x)¤
4
x
30˘
V(x)
'3
x
V(x)=
(1-2x)¤ _
=;4!;x(1-2x)¤ =x‹ -x¤ +;4{;
4
'3
V'(x)=3x¤ -2x+;4!;=;4!;(6x-1)(2x-1)
V'(x)=0
V(x)
x=;6!; {
0<x<;2!;}
x=;6!;
V{;6!;}={;6!;}‹ -{;6!;}¤ +;4!;_;6!;=;5¡4;
x
V '(x)
(0)
y
;6!;
y
+
0
-
{;2!;}
V(x)
정답
;5¡4;
보충 설명
도형과 관련하여 최댓값 또는 최솟값을 구할 때에는 먼저 변수를 정하고 변수를 이용하여 관계식을 세웁니다. 이
때, 이 관계식이 의미를 가지게 되는 범위를 생각하여 최댓값 또는 최솟값을 구합니다.
198
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.97
03-1
오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 3인 정육각형 모양의 종이에서
3
색칠한 부분을 잘라내고, 남은 부분으로 뚜껑이 없는 육각기둥 모
양의 상자를 만들려고 한다. 상자의 부피의 최댓값을 구하여라.
(단, 색칠한 부분은 모두 합동인 사각형이다.)
03-2
한 변의 길이가 4인 정사각형 모양의 종이에서 오른쪽 그림과 같이
2
합동인 사각형을 잘라내고 남은 부분으로 밑면이 정사각형인 사각
2
06
2
뿔을 만들려고 한다. 이 사각뿔의 부피가 최대일 때, 밑면인 정사각
형의 한 변의 길이를 구하여라.
2
03-3
둘레의 길이가 일정한 직사각형 모양의 종이를 말아서 세로의 길이를 높이로 하는 원기둥
을 만들려고 한다. 이 원기둥의 부피가 최대일 때, 직사각형의 가로의 길이와 세로의 길이
의 비를 구하여라.
03-1 9
03-2 ;5*;
03-3 2 : 1
06
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
199
02
1 방정식에의 활용
f(x)=0
y=0
y= f(x)
x
x
f(x)=0
f(x)=0
y= f(x)
y=f(x)
x
x¡
x™
x£
x
x‹ -6x¤ +9x+2=0
Example
f(x)=x‹ -6x¤ +9x+2
f '(x)=3x¤ -12x+9=3(x-1)(x-3)
f '(x)=0
x=1
x=3
f(x)
x
y
1
y
3
y
f '(x)
+
0
-
0
+
6
f(x)
y
6
y=f(x)
2
2
y= f(x)
y=0
x
O1
x
3
1
f(x)=g(x)
x
y=f(x) y=g(x)
y=f(x)
y=g(x)
f(x)=g(x)
y=f(x) y=g(x)
x¡
x™
f(x)=g(x)
f(x)=g(x)
f(x)=g(x)
200
f(x)-g(x)=0
y=f(x)-g(x)
x
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
x£
x
f(x)=g(x)
y=f(x) y=g(x)
y=f(x)-g(x)
Example
2x‹ +3x¤ -12x+2=-;[!;
f(x)=2x‹ +3x¤ -12x+2 g(x)=-;[!;
f '(x)=6x¤ +6x-12=6(x+2)(x-1)
f '(x)=0
x=-2
x=1
f(x)
x
y
-2
y
1
y
f '(x)
+
0
-
0
+
22
f(x)
y
y=f(x)
22
06
-5
y=g(x)
1
-2 O
y=f(x) y=g(x)
x
-5
방정식에의 활용
1
f(x)=0
2
f(x)=g(x)
y= f(x)
x
y= f(x) y=g(x)
y= f(x)-g(x)
x
2x‹ -6x-a=0
2x‹ -6x-a=0
2x‹ -6x=a
a
y=2x‹ -6x
y=a
f(x)=2x‹ -6x
f '(x)=0
x=-1
f '(x)=6x¤ -6=6(x+1)(x-1)
x=1
06
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
201
f(x)
x
y
-1
y
1
y
f '(x)
+
0
-
0
+
4
f(x)
y
y=f(x)
4
y=a
-4
1
-1 O
y= f(x)
x
y=a
a
-4
-4<a<4
a
˙k -4<a<4
⁄
˙k a=-4
¤
˙k a<-4
‹
a=4
a>4
2x‹ -6x¤ -18x=k
Example
k
f(x)=2x‹ -6x¤ -18x
f '(x)=0
x=-1
f '(x)=6x¤ -12x-18=6(x+1)(x-3)
x=3
f(x)
x
y
-1
y
3
y
f '(x)
+
0
-
0
+
y=f(x)
10
3
-54
10
f(x)
y
-1 O
y=k
y= f(x)
y=k
-54
x
k
-54<k<0
삼차방정식의 근의 판별
f(x)=ax‹ +bx¤ +cx+d
ax‹ +bx¤ +cx+d=0
f(x)=ax‹ +bx¤ +cx+d(a>0)
f '(x)=3a(x-a)(x-b) (a<b)
f(x)
202
x
x=a
f(a) x=b
f(b)
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
f(a) f(b)
f(x)=0
⁄
y= f(x)
x
b
x
a
f(a) f(b)<0
_
<0
¤
y= f(x)
f(a) f(b)=0
_
b
a
x
x
a
b
x
a
b
x
=0
‹
y= f(x)
x
b
a
x
f(a) f(b)>0
_
>0
f(x)=ax‹ +bx¤ +cx+d(a>0)
⁄
¤
y= f(x)
f(x)=0
x
x
2x‹ -6x-a=0
Example
f(x)=2x‹ -6x-a
f '(x)=0
x=-1
a
f '(x)=6x¤ -6=6(x+1)(x-1)
x=1
f(x)
f(x)=0
_
x
y
-1
y
1
y
f '(x)
+
0
-
0
+
f(x)
4-a
-4-a
<0
(4-a)(-4-a)<0
-4<a<4
06
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
203
06
2 부등식에의 활용
x
xæ0
2x‹ -3x¤ +2>0
xæ0
2x‹ -3x¤ +2>0
HjK xæ0
HjK xæ0
f(x)=2x‹ -3x¤ +2
f(x)>0
f(x)=2x‹ -3x¤ +2
f(x)
xæ0
xæ0
>0
f(x)=2x‹ -3x¤ +2
2x‹ -3x¤ +2>0
xæ0
f(x)=2x‹ -3x¤ +2
f '(x)=6x¤ -6x=6x(x-1)
f '(x)=0
x=0
x=1
f(x)
xæ0
xæ0
x
0
y
1
y
f '(x)
0
-
0
+
f(x)
2
f(x)
f(x)>0
y
1
2
1
1
2x‹ -3x¤ +2>0
xæ0
y=f(x)
x
1
O
2x‹ -3x¤ +2>0
f(x)>g(x)
f(x)-g(x)>0
f(x)-g(x)
xæ0
Example
x‹ >3x¤ -5
f(x)=x‹ -3x¤ +5
f '(x)=0
xæ0
xæ0
x=0
x=2
f(x)
f(x)
f(x)>0
xæ0
204
f '(x)=3x¤ -6x=3x(x-2)
1
x
0
y
2
y
f '(x)
0
-
0
+
f(x)
5
1
x‹ -3x¤ +5>0
x‹ >3x¤ -5
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
x>a에서 성립하는 부등식의 증명
x>a
f(x)>0
x>a
x>1
f(x)
f(a)æ0
x‹ -x¤ -x+2>0
y
f(x)=x‹ -x¤ -x+2
y=f(x)
f '(x)=3x¤ -2x-1=(3x+1)(x-1)
x>1
f '(x)>0
f(1)=1>0
x>1
x>1
x>1
2
f(x)
x
1
f(x)>0
x
1
O
x‹ -x¤ -x+2>0
부등식에의 활용
1
2
f(x)>0
f(x)>g(x)
f(x)-g(x)
f(x)<0
f(x)
f(x)<g(x)
1
f(x)-g(x)
x‹ -6x¤ +12=0
2 xæ0
풀이
06
f(x)
x‹ æ3x¤ -4
1 f(x)=x‹ -6x¤ +12
f '(x)=0
x=0
y
f '(x)
+
f(x)
f '(x)=0
xæ0
x=0
0
0
y
-
12
y= f(x)
4
0
4
y
+
-20
3
f '(x)=3x¤ -6x=3x(x-2)
x=2
f(x)=x‹ -3x¤ +4æ0
x
O
-20
x
f(x)
y=f(x)
12
x=4
x
2 f(x)=x‹ -3x¤ +4
y
f '(x)=3x¤ -12x=3x(x-4)
0
x
0
y
2
y
f '(x)
0
-
0
+
f(x)
4
0
x‹ æ3x¤ -4
06
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
205
삼차방정식에서의 실근 조건
삼차방정식 x‹ -3x+a=0에 대하여 다음 물음에 답하여라.
04
a
a
a
접근 방법
y=-x‹ +3x
y=a
a
방정식 f(x)=a의 실근 Δ 곡선 y=f(x)와 직선 y=a의 교점의 x좌표
상세 풀이
x‹ -3x+a=0
-x‹ +3x=a
y=-x‹ +3x
y=a
f(x)=-x‹ +3x
f '(x)=-3x¤ +3=-3(x+1)(x-1)
f '(x)=0
x=1
x=-1
x
y
-1
y
1
y
f '(x)
-
0
+
0
-
2
2
-2
f(x)
y
-1
x
O1
a
a=-2
-2
a=2
y=f(x)
a
-2<a<2
a
-2<a<0
정답
⑴ a=-2 또는 a=2 ⑵ -2<a<2 ⑶ -2<a<0
보충 설명
g(x)=x‹ -3x+a 라고 하면 g '(x)=3x¤ -3=3(x+1)(x-1)이므로 g'(x)=0에서 x=-1 또는 x=1
⑴ 삼차방정식 g(x)=0이 서로 다른 두 실근을 가지려면
g(-1)g(1)=(2+a)(-2+a)=0
∴ a=-2 또는 a=2
⑵ 삼차방정식 g(x)=0이 서로 다른 세 실근을 가지려면
g(-1)g(1)=(2+a)(-2+a)<0
206
∴ -2<a<2
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.99
04-1
삼차방정식 2x‹ -3x¤ -12x-k=0에 대하여 다음 물음에 답하여라.
k
k
k
04-2
삼차방정식 x‹ -3ax+2=0이 서로 다른 세 실근을 가지도록 하는 실수 a의 값의 범위를
구하여라.
04-3
실수 p에 대하여 삼차방정식 x‹ -3x¤ -9x-p=0은 서로 다른 세 실근 a, b, c를 가질
때, ac의 최솟값을 구하여라. (단, a<b<c)
04-1
k=-20
04-2 a>1
k=7
-20<k<7
0<k<7
04-3 -;;¢4∞;;
06
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
207
06
부등식에의 활용
다음 물음에 답하여라.
05
x>2
x‹ +a>3x¤
x
a
;4!;x› -x‹ +x¤ -aæ0
a
접근 방법
x>2
f(x)=x‹ -3x¤ +a
f(x)=;4!;x› -x‹ +x¤ -a
f(2)æ0
( f(x)
)æ0
f(x)æ0의 증명 Δ ( f(x)의 최솟값)æ0임을 보인다.
상세 풀이
x‹ +a>3x¤
x‹ -3x¤ +a>0
f(x)=x‹ -3x¤ +a
x>2
f '(x)=3x¤ -6x=3x(x-2)
f '(x)>0
x>2
f(x)
f(x)>0
x>2
f(2)æ0
f(2)=2‹ -3_2¤ +a=-4+aæ0
f(x)=;4!;x› -x‹ +x¤ -a
f '(x)=0
f '(x)=x‹ -3x¤ +2x=x(x-1)(x-2)
x=1
x=0
x=2
x
y
0
y
1
y
2
y
f '(x)
-
0
+
0
-
0
+
f(x)
f(x)
-aæ0
aæ4
-a
-a
;4!;-a
-a
x
f(x)æ0
a…0
정답
⑴ aæ4 ⑵ a…0
보충 설명
주어진 구간에서 항상 성립하는 부등식의 증명은 다음을 이용할 수 있습니다.
⑴ 구간 (a, b)에서 감소하는 함수 f(x)가 f(x)>k이려면 f(b)æk이어야 합니다.
⑵ 구간 (a, b)에서 증가하는 함수 f(x)가 f(x)<k이려면 f(b)…k이어야 합니다.
208
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.100
05-1
다음 물음에 답하여라.
xæ1
x‹ +x¤ +2x-a>0
x
05-2
a
x› -4a‹ x+12>0
a
두 함수 f(x)=x› +2x¤ -6x+a, g(x)=-x¤ +4x가 모든 실수 x에 대하여 부등식
f(x)æg(x)가 성립하도록 하는 정수 a의 최솟값을 구하여라.
05-3
xy>0인 모든 실수 x, y에 대하여 부등식 3x› +y› æ4ax‹ y가 성립하도록 하는 양수 a
의 최댓값을 구하여라.
05-1
a<4
-'2<a<'2
05-2 6
05-3 1
06
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
209
06
03
1 속도, 가속도와 미분
P
t
P
x
x
t
x= f(t)
t
t+Dt
P
Dx
t
Dx= f(t+Dt)-f(t)
t
t+Dt
t
Dt
t+Dt
P
Dx
f(t)
f(t+Dt)- f(t)
Dx
=
Dt
Dt
x
f(t+Dt)
=
f(t)
t
x= f(t)
P
v
v
v= lim
Dx dx
=
Dt
dt
v= lim
f(t+Dt)- f(t)
= f '(t)
Dt
Dt ⁄0
Dt ⁄0
t
f '(t)
P
t
f(t)
t
P
|v|=| f '(t)|
t
P
P
0
v=v(t)
t
t
t
a
a= lim
Dt ⁄0
210
t
t
a
Dv
dv
=
=v'(t)
Dt
dt
t
v'(t)
v(t)
P
v(t)
t
P
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
P
P
Example
t
x
x=t‹ -4t-5
t=1
P
t
P
v=
v
a
dx
dv
=3t¤ -4 a=
=6t
dt
dt
t=1
P
v=3_1¤ -4=-1 a=6_1=6
속도와 가속도
P
P
t
x
dx
v=
= f '(t)
dt
v
P
x=f(t)
a
v
2⁄
2
t
x
2⁄
1
t
dv
a=
=v'(t)
dt
a
속도와 물체의 운동 방향
P
v
v= f '(t)
v>0
P
v<0
P
v=0
P
t
x
v
x= f(t)
t
P
P
v<0
v>0
P
P
P
0
t
s
s=f(t)
v= f '(t)=0
P
t
s=0
a=v'(t)
v'(t)>0
v'(t)<0
06
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
211
06
2 시각에 대한 변화율
t
D t ⁄0
t
1. 길이의 변화율
t
l
Dt
t
Dl
lim
Dt ⁄0
Dl
l
t+Dt
t
l
O
Dl
dl
=
Dt
dt
2. 넓이의 변화율
t
S
Dt
t
t+Dt
DS
t
S
S
lim
Dt ⁄0
DS
dS
=
Dt
dt
DS
3. 부피의 변화율
t
V
Dt
t
lim
Dt ⁄0
DV
V
t
DV dV
=
Dt
dt
V
1 cm
Example
3 cm
10 cm
t
r cm
t
r=1+3t
yy
S cm¤
S=pr¤ =p(1+3t)¤ =p(9t¤ +6t+1)
dS
=p(18t+6)
dt
10 cm
1+3t=10
3
212
t+Dt
DV
t=3
p(18_3+6)=60p cm¤ s
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
시각에 대한 변화율
t
l
S
V
Dt
Dl DS DV
1
t
l
2
t
S
3
t
V
lim
Dl
dl
=
Dt
dt
lim
DS
dS
=
Dt
dt
lim
DV
dV
=
Dt
dt
Dt ⁄0
Dt ⁄0
Dt ⁄0
1
P
t=2
t
x
x=2t‹ -12t¤ +18t
06
P
P
2
25 m/s
t
xm
x=25t-5t¤
1
풀이
t
1
3
P
v
a
dx
dv
v=
=6t¤ -24t+18 a=
=12t-24
dt
dt
t=2
P
x=2_2‹ -12_2¤ +18_2=4
v=6_2¤ -24_2+18=-6
a=12_2-24=0
P
0
t=1 또는 t=3
v=6t¤ -24t+18=0 6(t-1)(t-3)=0
2 t
v
v=
dx
=25-10t
dt
1
25-10_1=15 ( m/s)
3
25-10_3=-5 ( m/s)
0 m/s
25-10t=0
t=2.5
2.5초
25_2.5-5_2.5¤ =31.25 (m)
06
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
213
속도와 가속도
원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치 x가
06
x=t‹ -12t일 때, 다음 물음에 답하여라.
t=3
P
P
접근 방법
P
t
x
x= f(t)
t
v
a
v=
dx
dv
=f '(t) a=
=v'(t)
dt
dt
P
0
위치`(x) 11⁄ 속도`(v) 11⁄ 가속도`(a)
미분
미분
상세 풀이
t
P
v=
v
a
dx
dv
=3t¤ -12 a=
=6t
dt
dt
t=3
P
v=3_3¤ -12=15 a=6_3=18
P
0
3t¤ -12=0 3(t+2)(t-2)=0
0<t<2
v<0
t>2
t=2 (
v>0
t>0)
P
2
정답
⑴ 속도 : 15, 가속도 : 18 ⑵ 2
보충 설명
시각 t에서의 점 P의 위치 x가 x= f(t)일 때, 속도 v는 v=
dx
dv
=f '(t)이고, 가속도 a는 a=
임을 기억하
dt
dt
고 다음의 성질을 잘 알아두도록 합니다.
⑴ 속도의 크기는 |v|이고, 운동 방향은 v의 부호에 따라 결정됩니다.
⑵ 점 P의 운동 방향이 바뀐다는 것은 v의 부호가 바뀌는 것을 의미하므로 v=0일 때입니다.
⑶ 가속도의 크기는 |a|입니다.
214
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.101
06-1
원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치 x가 x=t‹ -6t¤ +9t일
때, 다음 물음에 답하여라.
t=1
P
P
06-2
원점에서 동시에 출발하여 x축 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 t에서의 좌표가 각각
x∏=t‹ +3t, xŒ=-t¤ -4t이다. 선분 PQ의 중점을 M이라고 할 때, 다음 물음에 답하여라.
M
t
M
P Q
06
06-3
두 자동차 A, B가 같은 지점에서 동시에 출발하여 직선 도로를 한 방향으로만 달리고 있
다. t초 동안 두 자동차 A, B가 움직인 거리는 각각 미분가능한 함수 f(t), g(t)로 주어지고
f(t), g(t)에 대하여 다음이 성립한다.
f(20)=g(20)
10…t…30
f '(t)<g'(t)
10…t…30일 때, 두 자동차 A, B의 위치에 대한 설명 중 옳은 것은?
A
B
B
A
A
B
B
A
A
B
06-1
06-2
0
3t¤ -2t-1
2
B
-6
3
t=1
P
A
6
Q
-6
06-3
06
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
215
시각에 대한 변화율
07
오른쪽 그림과 같이 길이가 20 cm인 선분 AB 위의
점 P가 1 cm/s의 속도로 점 A에서 출발하여 점 B
A
를 향해 움직이고 있다. 선분 AP, PB를 각각 지름
P
B
20 cm
으로 하는 두 원의 넓이의 합을 S cm¤ 라고 할 때,
점 P가 점 A를 출발한 지 15초 후의 S의 변화율을
구하여라.
접근 방법
P
A
B
1 cm/s
t
t
AP PB
AP PB
t
t
t
길이, 넓이, 부피 등을 시각 t에 대한 식으로 나타내어 미분한다.
상세 풀이
P
A
t cm
B
PB
1 cm/s
t (0<t<20)
AP
(20-t) cm
AP PB
S=p {
t
20-t
p
}2 = (t¤ -20t+200)
}2 +p {
2
2
2
dS
p
= (2t-20)=p(t-10)
dt
2
t=15
S
p(15-10)=5p (cm¤ /s)
정답
5p cm¤ /s
보충 설명
어떤 물체의 시각 t에서의 길이가 l, 넓이가 S, 부피가 V일 때, 시간이 Dt만큼 경과하는 동안 길이, 넓이, 부피
가 각각 Dl, DS, DV만큼 변했다고 하면
⑴ 시각 t에서의 길이 l의 변화율은 lim
Dl
dl
=
Dt
dt
⑵ 시각 t에서의 넓이 S의 변화율은 lim
DS dS
=
Dt
dt
⑶ 시각 t에서의 부피 V의 변화율은 lim
DV dV
=
Dt
dt
Dt ⁄0
Dt ⁄0
Dt ⁄0
216
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.102
07-1
오른쪽 그림과 같이 길이가 10 cm인 선분 AB 위의 점 P가
매초 1 cm의 속도로 점 A에서 출발하여 점 B를 향해 움직
P
A
이고 있다. 선분 AP, PB를 각각 지름으로 하는 두 원의 넓
B
10 cm
이의 합을 S cm¤ 라고 할 때, 점 P가 점 A를 출발한 지 6초
후의 S의 변화율을 구하여라.
07-2
오른쪽 그림과 같이 길이가 20 cm인 선분 AB 위의 점 P가
매초 2 cm의 일정한 속도로 점 A에서 출발하여 점 B를 향
06
해 움직이고 있다. 선분 AP, PB를 각각 한 변으로 하는 두
20 cm
정사각형의 넓이의 합을 S cm¤ 라고 할 때, 점 P가 점 A를
출발한 지 8초 후의 S의 변화율을 구하여라.
07-3
A
B
P
오른쪽 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 10 cm, 높이가
10 cm
20 cm인 원뿔 모양의 용기에 수면의 반지름의 길이가 매초
0.5 cm씩 늘어나도록 물을 부었다. 수면의 반지름의 길이가 6 cm
20 cm
일 때, 용기에 채워진 물의 부피의 변화율을 구하여라.
07-1 p cm¤ /s
07-2 48 cm¤ /s
07-3 36p cm‹ /s
06
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
217
06-
1
f(x)
y
y=f'(x)
[-2 2]
y=f'(x)
f(x)
f(-2)
f(-1)
f(1)
f(2)
06-
2
x‹ -6x¤ -n=0
06-
3
4x‹ -3x+a=0
f(0)
O
2
n
a
a
06-
4
y=x‹ -9x¤ +15x-7
(0 n)
3
n
06-
5
f(x)=x› -2x¤ g(x)=-x¤ +2x+a
x
f(x)æg(x)
x¡ x™
218
f(x¡)>g(x™)
a
a
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
x
p.343 |
06-
6
x
;3!;x‹ +
p.103
1-a
x¤ -ax+a¤ >0
2
a
06-
7
x‹ -ax¤ +ax+b=0
b
a
06-
8
y
y=x¤ (0<x<1)
P
P
y
A B
y=x¤
y=1
y=1
A
C(0 1)
P
1
O
06-
06
B
C
APBC
9
P Q
x
t
P(t)=;3!;t‹ +4t-;3@; Q(t)=2t¤ -10
P Q
06-
P Q
10
20
P
A
AB
Q
3
B
2
A
B
P
C
ABCD
ABCD
20
D
P
BC
20
DPBQ
;2!0;!
PBQ
B
06
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
Q
C
219
06-
11
[0 2]
f(x)=3x¤ -ax‹
-4
[0 2]
a
수능
06-
12
;3!;x‹ -x=k
|a|+|b|+|c|
06-
13
a b c
m
k
m¤
y=;4!;x‹ -;2#;x-2
(x y)
xyæa
a
06-
14
a b c
f(x)
f'(x)
f '(x)=(x-a)(x-b)(x-c)
보기
a=b=c
06-
15
f(x)=0
a=b+c
f(a)<0
f(x)=0
a<b<c
f(b)<0
f(x)=0
f(x) g(x)
f(x)=x‹ -3x g(x)={ f(x)}‹ -3f(x)
g(x)=0
220
Ⅱ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
f(x)
p.344 |
06-
16
y=x¤
y
P
C: x¤ +y¤ -6x+8=0
Q
P
p.108
y=x¤
PQ
x
P
Q
C
x
O
06-
17
A(0 2)
OP
O
y
y=2
B
P(t 2) (0<t<2)
ABP
challenge
06-
18
6
06
6
6
challenge
06-
19
y
P, Q
t
f(t) g(t)
0…t…4
y=h(t)
P, Q
h(t)=f(t)-g(t)
3
O
y=h(t)
1
4
2
t
보기
0<t<2
Q
2<t<4
Q
3<t<4
P
P
P
Q
challenge
06-
20
10 cm
10 cm
1 cm
5 cm
06
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
221
07
부정적분
01 부정적분
225
기본 다지기
238
실력 다지기
240
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
f(x)
01 부정적분
01
02
03
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
232
234
236
07 | 부정적분
01 부정적분
1 부정적분의 뜻
f(x)
F'(x)=f(x)
f(x)
F(x)
: f(x)dx=F(x)+C
F(x)
f(x)
: f(x)dx= F(x)+C
C
2 부정적분의 기본 공식
n
: x« dx=
a b
a+0
1
x« ±⁄ +C
n+1
C
n
: (ax+b)« dx=
1
(ax+b)« ±⁄ _;a!;+C
n+1
C
3 부정적분의 성질
f(x) g(x)
: cf(x)dx=c: f(x)dx
c
: { f(x)+g(x)} dx=: f(x)dx+: g(x)dx
: { f(x)-g(x)} dx=: f(x)dx-: g(x)dx
224
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
01
1 부정적분의 뜻
x¤ +2x+3
2x+2
2x+2
x¤ +2x x¤ +2x+1 x¤ +2x-2
(x¤ +2x)'=2x+2 (x¤ +2x+1)'=2x+2 (x¤ +2x-2)'=2x+2
2x+2
2x+2
2x+2
x¤ +2x+C C
· x¤ +2x
\
“ x¤ +2x+1 ˙jjjk 2x+2
\
ª x¤ +2x-2
x¤ +2x+C
F(x)
07
x¤ +2x+C
2x+2
f(x)
F'(x)=f(x)
F(x)
f(x)
: f(x)dx
부정적분
:
Summa
f(x)
f(x)
d
f(x)
dx
: f(x)dx
F(x) G(x)
S
(integral)
x
x
f(x)
f(x)
f(x)
F'(x)=f(x) G'(x)=f(x)
07
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
225
{G(x)-F(x)}'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0
0
C
G(x)-F(x)=C
G(x)=F(x)+C
f(x)
F(x)
f(x)
F(x)+C C
: f(x)dx=F(x)+C C
f(x)
F(x)
Example
적분상수
C
f(x)
f(x)
(4x)'=4
: 4 dx=4x+C
'
{;2!;x¤ } =x
C
: x dx=;2!;x¤ +C
C
부정적분의 뜻
1
2
f(x)
F'(x)=f(x)
f(x)
F(x)
: f(x) dx=F(x)+C
f(x)
F(x)
f(x)
: f(x)dx= F(x)+C
C
f(x)
f(x)
: f(x)dx
f(x)
f(x)
f(x)
C
f(x)+C
C
d
d
[ : f(x)dx]=
{F(x)+C}=F'(x)=f(x)
dx
dx
:[
226
d
f(x)]dx=: f'(x)dx=f(x)+C
dx
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
d
{ : x¤ dx}=x¤
dx
Example
:{
f(x) ˙jjjjk F(x)+C ˙jjjjk f(x)
d
x¤ } dx=x¤ +C
dx
f(x) ˙jjjjk f'(x) ˙jjjjk f(x)+C
C
2 부정적분의 기본 공식과 성질
1. 함수 x« (n은 음이 아닌 정수)의 부정적분
: x« dx n
x«
07
(
)'=x«
{;2!;x¤ }'=x
: x dx=;2!;x¤ +C
C
{;3!;x‹ }'=x¤
: x¤ dx=;3!;x‹ +C
C
x«
: x« dx
x«
(xμ )'=mxμ —⁄
1
(xμ )'=xμ —⁄
m
m
{cf(x)}'=cf'(x)
1
{ xμ }'=xμ —⁄
m
m=n+1
1
{
x« ±⁄ }'=x«
n+1
: x« dx=
1
x« ±⁄ +C
n+1
C
yy ( )
07
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
227
kx
(kx)'=k k
Example
: k dx=kx+C C
k=1
: 1 dx=: x‚ dx=
1
x‚ ±⁄ +C=x+C
0+1
: 1 dx
: dx
: dx=x+C
n=0
: x¤ dx=
1
x¤ ±⁄ +C=;3!;x‹ +C
2+1
C
: x‹ dx=
1
x‹ ±⁄ +C=;4!;x› +C
3+1
C
ax+b a b
C
a+0
f(x)=(ax+b)« ±⁄ n
f '(x)=(n+1)(ax+b)« _a
[;a!;_
1
(ax+b)« ±⁄ ]'=(ax+b)«
n+1
: (ax+b)« dx=
1
(ax+b)« ±⁄ _;a!;+C
n+1
a+0 n
C
: (x+1)¤ dx
Example
: (x+1)¤ dx=
1
(x+1)¤ ±⁄ _;1!;+C'
2+1
: (x+1)¤ dx=;3!;(x+1)‹ +C'
: (x+1)¤ dx=;3!;x‹ +x¤ +x+{;3!;+C'}
: (x+1)¤ dx=;3!;x‹ +x¤ +x+C
228
;3!;+C'
C
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
부정적분의 기본 공식
1 n
: x« dx=
2 a b
a+0
1
x« ±⁄ +C
n+1
n
: (ax+b)« dx=
n 11⁄ n+1
C
1
(ax+b)« ±⁄ _;a!;+C
n+1
C
n
2
2. 부정적분의 성질
07
: cf(x)dx=c: f(x)dx
Proof
c
F(x)=: f(x)dx
c
{cF(x)}'=cF'(x)=cf(x)
: c f(x)dx=cF(x)=c: f(x)dx
: { f(x)+g(x)} dx=: f(x)dx+: g(x)dx
Proof
F(x)=: f(x)dx G(x)=: g(x)dx
{F(x)+G(x)}'=F'(x)+G'(x)=f(x)+g(x)
: { f(x)+g(x)} dx=F(x)+G(x)
: { f(x)+g(x)} dx=: f(x)dx+: g(x)dx
07
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
229
: { f(x)-g(x)} dx=: f(x)dx-: g(x)dx
Proof
F(x)=: f(x)dx G(x)=: g(x)dx
{F(x)-G(x)}'=F'(x)-G'(x)=f(x)-g(x)
: { f(x)-g(x)} dx=F(x)-G(x)
: { f(x)-g(x)} dx=: f(x)dx-: g(x)dx
부정적분의 성질
f(x) g(x)
1 : c f(x)dx=c: f(x)dx
c
2 : { f(x)+g(x)} dx=: f(x)dx+: g(x)dx
3 : { f(x)-g(x)} dx=: f(x)dx-: g(x)dx
2
f(x) g(x) h(x)
: { f(x)+g(x)+h(x)}dx=: [ f(x)+{ g(x)+h(x)}] dx
2
{ g(x)+h(x)}
: [ f(x)+{ g(x)+h(x)}] dx=: f(x)dx+: { g(x)+h(x)} dx
: [ f(x)+{ g(x)+h(x)}] dx=: f(x)dx+: g(x)dx+: h(x)dx
n
f¡(x) f™(x) f£(x) y f«(x)
: { f¡(x)+f™(x)+f£(x)+y+f«(x)} dx=: f¡(x)dx+: f™(x)dx+: f£(x)dx+y+: f« (x)dx
x« n
230
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
: (x+1)¤ dx
Example
: (x+1)¤ dx=: (x¤ +2x+1)dx=: x¤ dx+: 2x dx+: 1 dx
: (x+1)¤ dx={;3!;x‹ +C¡}+2_{;2!;x¤ +C™}+(x+C£)
: (x+1)¤ dx=;3!;x‹ +x¤ +x+(C¡+2C™+C£)
C¡+2C™+C£=C
: (x+1)¤ dx=;3!;x‹ +x¤ +x+C
Example
Example
07
1
f(x)
C
: f(x)dx=2x¤ +3x+C
: f(x)dx=-;3!;x‹ +2x+C
2
: x dx
: 7 dx
: (2x+3)› dx
: (2x¤ -3x+5)dx
3
풀이
: xfi dx
1
f(x)=(2x¤ +3x+C)'=4x+3
2
: x dx=
1
x⁄ ±⁄ +C=;2!;x¤ +C
1+1
: 7dx=7x+C
f(x)={-;3!;x‹ +2x+C}'=-x¤ +2
: xfi dx=
1
xfi ±⁄ +C=;6!;xfl +C
5+1
: (2x+3)› dx=
1
(2x+3)› ±⁄ _;2!;+C=;1¡0;(2x+3)fi +C
4+1
3 : (2x¤ -3x+5)dx=: 2x¤ dx-: 3x dx+: 5 dx=2: x¤ dx-3: x dx+: 5 dx
3 : (2x¤ -3x-5)dx=2_;3!;x‹ -3_;2!;x¤ +5x+C=;3@;x‹ -;2#;x¤ +5x+C
07
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
231
다항함수의 부정적분
01
다음 부정적분을 구하여라.
: (x¤ +2)¤ dx
: (3y+2)(3y-2)dy
: (x+1)¤ dx-: (x-1)¤ dx
: (x+1)(x-1)¤ dx
접근 방법
(x+1)(x-1)¤ ={(x-1)+2}(x-1)¤ =(x-1)‹ +2(x-1)¤
: x« dx=
1
x« ±⁄ +C (단, C는 적분상수)
n+1
: (x+a)« dx=
1
(x+a)« ±⁄ +C (단, C는 적분상수)
n+1
상세 풀이
: (x¤ +2)¤ dx=: (x› +4x¤ +4)dx=;5!;xfi +;3$;x‹ +4x+C
: (3y+2)(3y-2)dy=: (9y¤ -4)dy=3y‹ -4y+C
C
C
: (x+1)¤ dx-: (x-1)¤ dx=: {(x+1)¤ -(x-1)¤ } dx=: 4x dx=2x¤ +C
C
: (x+1)(x-1)¤ dx=: {(x-1)+2}(x-1)¤ dx=: {(x-1)‹ +2(x-1)¤ } dx
: (x+1)(x-1)¤ dx=;4!;(x-1)› +;3@;(x-1)‹ +C
정답
C
⑴ ;5!;xfi +;3$;x‹ +4x+C ⑵ 3y‹ -4y+C ⑶ 2x¤ +C ⑷ ;4!;(x-1)› +;3@;(x-1)‹ +C
보충 설명
⑴에서는 : (x¤ +2)¤ dx=;3!;(x¤ +2)‹ +C로 계산하지 않도록 주의합니다. 이와 같은 경우 거듭제곱은 전개한
후 적분해야 하고, 일차식의 거듭제곱 꼴인 (x+a)« 만 다음과 같이 부정적분을 구할 수 있다는 것을 알아두도
록 합니다.
: (x+a)« dx=
232
1 (x+a)« ±⁄ +C (단, C는 적분상수)
n+1
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.114
01-1
01-2
다음 부정적분을 구하여라.
: (x¤ -1)‹ dx
: y(y+1)(y+2)dy
: (x+1)‹ dx-: (x-1)‹ dx
: x(x-2)‹ dx
다음 부정적분을 구하여라.
:
x‹
1
dx+:
dx
x+1
x+1
:
x› +1
x¤
dx+:
dx
x¤ +x+1
x¤ +x+1
07
01-3
이차함수 f(x)의 부정적분 중 하나인 F(x)와 f(x) 사이에 항상 F(x)=xf(x)-x‹
인 관계가 성립한다고 한다. f(1)=10일 때, f(5)의 값을 구하여라.
01-1
;7!;x‡ -;5#;xfi +x‹ -x+C
01-1
2x‹ +2x+C
01-2
;3!; x‹ -;2!;x¤ +x+C
;4!; y› +y‹ +y¤ +C
;5!;(x-2)fi +;2!;(x-2)› +C
;3!;x‹ -;2!;x¤ +x+C
01-3 46
07
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
233
부정적분과 미분
02
두 다항함수 f(x), g(x)에 대하여
d
d
{ f(x)+g(x)}=2,
{ f(x)g(x)}=2x-5
dx
dx
가 성립한다. f(0)=-1, g(0)=-4일 때, 두 함수 f(x), g(x)를 각각 구하여라.
접근 방법
f(x) g(x)
x
f(x)+g(x) f(x)g(x)
f(0) g(0)
x=0
f(x) g(x)
:[
d
: f '(x)dx=f(x)+C (단, C는 적분상수)
f(x)]dx=:
dx
즉,
d
: g(x)dx
f(x)=g(x) HjK f(x)=:
dx
상세 풀이
d
{ f(x)+g(x)}=2
dx
x
f(x)+g(x)=2x+C¡
C¡
f(0)=-1 g(0)=-4
x=0
f(0)+g(0)=-5=C¡
C¡=-5
f(x)+g(x)=2x-5
yy`
d
{ f(x)g(x)}=2x-5
dx
x
f(x)g(x)=x¤ -5x+C™
C™
x=0
f(0)g(0)=4=C™
C™=4
f(x)g(x)=x¤ -5x+4=(x-1)(x-4)
yy`
f(0)=-1, g(0)=-4
f(x)=x-1, g(x)=x-4
정답
f(x)=x-1, g(x)=x-4
보충 설명
양변을 적분하는 경우 적분상수는 한쪽에만 나타내도록 하며, 적분상수는 적분할 때마다 다를 수 있으므로 위의
풀이에서와 같이 C¡, C™로 구분하여 사용하도록 합니다.
234
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.114
02-1
두 다항함수 f(x), g(x)에 대하여
d { f(x)+g(x)}=2x+1, d { f(x)g(x)}=3x¤ -2x+1
dx
dx
이 성립한다. f(0)=1, g(0)=-1일 때, 두 함수 f(x), g(x)를 각각 구하여라.
02-2
다음 물음에 답하여라.
f(x)
f'(x)=3x¤ -6x+5 f(0)=2
f(x)
f'(x)=-;5#;x¤ -;2#;x+2 f(1)=0
f(1)
f(-1)
07
02-3
실수 전체에서 미분가능한 함수 f(x)의 도함수 f '(x)가 f '(x)=[
3x¤ (x…1)
이고
2x+1 (x>1)
f(0)=-2를 만족시킬 때, f(2)의 값을 구하여라.
02-1 f(x)=x¤ +1 g(x)=x-1
02-2
5
-;;¡5•;;
02-3 3
07
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
235
부정적분으로 나타내어진 함수
03
다항함수 f(x)와 그 부정적분 F(x)에 대하여
F(x)=x f(x)+2x‹ -x¤ +1, f(1)=0
이 성립할 때, 함수 f(x)를 구하여라.
접근 방법
: f(x)dx=F(x)+C C
F'(x)=f(x)
x
f'(x)
f'(x)
f(x)
: f(x)dx HjK F'(x)=f(x)
F(x)=:
상세 풀이
F(x)
f(x)
F(x)=: f(x)dx, F'(x)=f(x)
F(x)=xf(x)+2x‹ -x¤ +1
x
f(x)=f(x)+xf'(x)+6x¤ -2x
xf'(x)=-6x¤ +2x
f'(x)=-6x+2
f'(x)
f(x)=: f'(x)dx
f(x)=: (-6x+2)dx=-3x¤ +2x+C
C
f(1)=0
f(1)=-3+2+C=0
C=1
f(x)=-3x¤ +2x+1
정답
f(x)=-3x¤ +2x+1
보충 설명
함수 `f(x)의 도함수 `f '(x)를 알 수 있으면 부정적분에 의하여 f(x)를 구할 수 있습니다. 즉,
: f'(x)dx=f(x)+C (단, C는 적분상수)
이때, 적분상수 C의 값에 따라 구하고자 하는 함수 f(x)가 될 수도 있고 그렇지 않을 수도 있습니다. 따라서 주
어진 조건에 의하여 적분상수를 구하여 구하고자 하는 함수 f(x)를 찾아야 합니다.
236
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.115
03-1
다항함수 f(x)와 그 부정적분 F(x)에 대하여
x f(x)-F(x)=x‹ -4x¤ , f(1)=-;;™2∞;;
가 성립할 때, 함수 f(x)를 구하여라.
03-2
다항함수 f(x)에 대하여
: { f(x)-2x} dx=x f(x)-2x‹ +5x¤ , f(1)=7
이 성립할 때, 함수 f(x)의 최솟값을 구하여라.
03-3
07
미분가능한 함수 `f(x)가 `f '(0)=2이고, 임의의 실수 x, y에 대하여
f(x+y)=f(x)+f(y)+2
를 만족시킬 때, f(10)의 값을 구하여라.
03-1 f(x)=;2#;x¤ -8x-6
03-2 4
03-3 18
07
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
237
07-
1
: (x+y)¤ dx+: (x-y)¤ dx
07-
2
: (x+y)‹ dy-: (x-y)‹ dy
f(x), g(x)
f(1)g(1)
C
: { f(x)g(x)+1} dx=3x¤ +12x+C
07-
3
07-
4
07-
5
f(x)=: (3x+4x¤ )dx
lim
h ⁄0
10
12
16
18
f(x)
f'(x)
f(x)
f(0)=4
f(1+2h)-f(1)
h
f'(x)=[
14
2x-1 (x<1)
-x+1 (x>1)
f(2)-f(0)
y
y=f '(x)
f(4)
y=f '(x)
1
O
1
3
5
7
-1
9
238
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
2 x
p.344 |
07-
6
y=f(x)
(2 1)
07-
7
(x f(x))
8
-2x+4
f(1)
0
1
3
4
f(x)
2
f '(x)=6x¤ +12x+5
y=-x+1
07-
p.117
y=f(x)
f(-2)
f(x)
f'(x)=3x¤ -6x-9
f(x)
M
m
07
239
M-m
07-
9
f(x)
lim
x ڦ
07-
10
f'(x)
=6
x
f(x)
lim
x ⁄1
f '(0)=3
f(x)
=4
x-1
x y
f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y)
f(x)
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
07
07-
11
f(x)
f(3)
f(x)
g(x)
x f(x)
f'(x)+g'(x)=4x¤ -2x+4
07-
07-
2
4
8
10
12
13
f(x)=:
14
f(x)
1
2
4
5
f(x)
m
07-
x¤ -2k
dx
x-k
6
x
k
3
: {1-f(x)}dx=-;4!;x› +;2#;x¤ +C
M-m
f(x)
M
C
f¡(x) f™(x) y f∞(x)
f«≠¡(x)=: f«(x)dx (n=1 2 3 4)
f∞(x)=xfi +x+1
07-
15
f(x)
f(x)
28
lim
x ڦ
f¡(x)
5x+10
y=f'(x)
y
-2 O
-12
240
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
y=f '(x)
4
x
p.344 |
07-
16
P(x)
P(x)+2
p.121
(x-2)¤
P(x)-3
x¤
f(x)-g(x)
f'(x)+g'(x)
P(4)
07-
17
f(x)=3x¤ +4x+5
g(x)
07-
18
f(x)
g(x)
g(x)=: { f(x)-x¤ } dx f(x)g(x)=x› +2x‹
f(1)+g(1)
07
challenge
07-
19
x
f(x)
F(x)=: f(x)dx
f(0)=-2
f(-x)= f(x)
f( f '(x))= f'( f(x))
challenge
07-
20
f(x)
f'(0)=3
f(0)=0
y
y=f'(x)
x
3
f(x)=kx
y=f'(x)
k
-2
07
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
O
2
x
241
08
정적분
01 정적분
245
기본 다지기
272
실력 다지기
274
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
01 정적분
01
02
262
03
266
04
05
268
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
264
270
08 | 정적분
01 정적분
1 정적분의 뜻
[a b]
: f(x)dx=F(x)+C C
f(x)
:Ab f(x)dx=[F(x)]bA=F(b)-F(a)
2 정적분과 미분의 관계
f(x)
[a b]
f(x)æ0
x=a x=b
y=f(x)
x
S
S= :Ab f(x)dx
f(x)
[a b]
a<x<b
d
:A/ f(t)dt=f(x)
dx
3 정적분의 기본 정의
a=b
:Aa f(x)dx=0
a>b
:Ab f(x)dx=- :Ba f(x)dx
4 정적분의 성질
a b c
:Ab c f(x)dx=c :Ab f(x)dx
f(x) g(x)
c
:Ab { f(x)+g(x)} dx= :Ab f(x)dx+ :Ab g(x)dx
:Ab { f(x)-g(x)} dx= :Ab f(x)dx- :Ab g(x)dx
:Ab f(x)dx= :Ac f(x)dx+ :Cb f(x)dx
244
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
01
1 정적분의 뜻
f(x)
F(x)
f(x)
G(x)
G(x)=F(x)+C C
07 부정적분
a b
G(b)-G(a)={F(b)+C}-{F(a)+C}
G(b)-G(a)=F(b)-F(a)
G(b)-G(a)
yy
C
f(x)
F(b)-F(a)
[a b]
F(b)-F(a)
a
f(x)
b
f(x)
:Ab f(x) dx
f(x)
f(x)
x=a
08
정적분
:Ab f(x)dx
a
F(x)
a
b
f(x)dx
:Ab f(x)dx
b
x=b
[a b]
x
F(b)-F(a)
[F(x)]Ab
▲▲
:Ab f(x)dx=[F(x)] bA=F(b)-F(a)
▲
▲
▲▲
정적분의 뜻
[a b]
f(x)
: f(x)dx=F(x)+C C
:Ab f(x)dx=[F(x)]bA=F(b)-F(a)
08
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
245
:Ab f(x)dx=[F(x)+C]bA={F(b)+C}-{F(a)+C}
=F(b)-F(a)=[F(x)]bA
C
: x dx=;2!;x¤ +C
Example
:)2 x dx=[;2!;x¤ ]2)=;2!;_2¤ -;2!;_0=2
: x¤ dx=;3!;x‹ +C
:!4 x¤ dx=[;3!;x‹ ]4!=;3!;_4‹ -;3!;_1‹ =21
: t dt=;2!;t¤ +C
:)2 t dt=[;2!;t¤ ]2)=;2!;_2¤ -;2!;_0=2
: (2t+4)dt=t¤ +4t+C
:_3! (2t+4)dt=[t¤ +4t]3_!=(3¤ +4_3)-{(-1)¤ +4_(-1)}=24
Example
:Ab f(x)dx= :Ab f(t)dt= :Ab f(y)dy
:Ab f(x)dx
b
f(x)
: f(x)dx+: f(t)dt
f(x)
x
2 정적분과 미분의 관계
1. 정적분의 기하학적 의미
246
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
a
f(t)=t
Example
(x>0)
t
S(x)
f(t)=t
y
t=x
S(x)
x
S(x)=;2!;x¤
O
x
t
t=x
S'(x)=x
S'(x)=f(x)
S(x)
y=f(t)
f(x)
[a b]
y=f(t)
f(t)æ0
t
y
y=f(t)
t=a t=x
S(x)
S(x)
x
S(x)
Dx
DS
O
a
x
b
t
DS=S(x+Dx)-S(x)
y=f(t)
[x x+Dx]
[x+Dx x]
08
⁄ Dx>0
[x x+Dx]
f(t)
M
y
y=f(t)
Dx
m
mDx…DS…MDx
Dx>0
M DS
m
Dx
O
x
a
DS
m…
…M
Dx
x+Dx
b
t
¤ Dx<0
[x+Dx x]
f(t)
M
y
y=f(t)
-Dx
m
m(-Dx)…-DS…M(-Dx)
m
-Dx>0
DS
m…
…M
Dx
-Dx
O
DS
M
a
x
x+Dx
08
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
b
t
247
m…
⁄ ¤
Dx ⁄0
DS
…M
Dx
f(x)…h(x)…g(x)
DS
… lim M
lim m… lim
Dx ⁄0
Dx ⁄0 Dx
Dx ⁄0
f(t)
lim
Dx ⁄0
x ⁄a
x ⁄a
Dx ⁄0
m ⁄ f(x) M ⁄ f(x)
Dx ⁄0
x ⁄a
lim h(x)=a
[a b]
f(x)… lim
lim f(x)= lim g(x)=a
DS
…f(x)
Dx
DS
=f(x)
Dx
d
DS
S(x)= lim
=f(x)
dx
Dx ⁄0 Dx
S'(x)=f(x)
f(x)
S(x)
f(x)
F(x)
S(x)=: f(x)dx=F(x)+C (C
S(x)
x=a
S(a)=F(a)+C
)
S(a)=0
C=-F(a)
S(x)=F(x)-F(a)
x=b
S(b)=F(b)-F(a)= :Ab f(x)dx
정적분의 기하학적 의미
f(x)
x
[a b]
x=a x=b
f(x)æ0
y=f(x)
y
y=f(x)
S
S= :Ab f(x)dx
S
O
248
a
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
b x
y=x+1
Example
x
y
x=1 x=3
y=x+1
4
S
S= :!3 (x+1)dx=[;2!;x¤ +x]3!=6
2
1
x
3
1
O
S=;2!;_(2+4)_2=6
y=x¤ +1
x
y
x=0 x=2
™
y=x +1
5
S
S= :)2 (x¤ +1)dx=[;3!;x‹ +x]2)=;;¡3¢;;
1
O
2
x
2. 정적분과 미분의 관계
08
07 부정적분
[a b]
t
y=f(t)
t
t=a t=x
S(x)
S(x)= :A/ f(t)dt
d
S(x)=f(x)
dx
d
:A/ f(t)dt=f(x)
dx
f(t)<0
[a b]
Example
f(x)
f(x)
d
:!/ (3t¤ +4t-5)dt=3x¤ +4x-5
dx
d
:)/ (y‹ -2y)dy=x‹ -2x
dx
08
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
249
정적분과 미분의 관계
f(x)
[a b]
a<x<b
d
:A/ f(t)dt=f(x)
dx
:A/ f(t)dt
x
:A/ f(t)dt
f(x)
f(x)
3 정적분과 넓이
y
y
f(x)æ0
y=f(x)
a
b
x
O
S™
S¡
y=f(x)
b x
a
O
f(x)…0
1
2
S¡ S™
[
1]
S¡
:Ab f(x)dx=S¡
[
2]
x=a
f(x)…0
x=b
f(x)
:Ab f(x)dx…0
y=f(x)
x
x=a x=b
:Ab f(x)dx=-S™
:Ab f(x)dx
:Ab f(x)dx
x
[a b]
250
[a b]
x
-
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
x
f(x)
[a b]
:Ab f(x)dx
x
y
y=f(x)
S¡
S¡
O
S™
a
b
x
S™
:Ab f(x)dx=S¡-S™
4 정적분과 부정적분은 어떤 관계??
S(x)= :A/ f(t)dt
x
S'(x)=f(x)
S(x)
f(x)
f(x)
08
F(x)
S(x)=F(x)+C C
S(x)
yy
y
x=a
y=f(t)
S(a)=0
S(a)= :Aa f(t)dt=0
O
S(a)=F(a)+C
x=a
b
t
C=-F(a)
C=-F(a)
S(x)=F(x)-F(a)
:A/ f(t)dt=F(x)-F(a)
x=b
t
x
y
y=f(x)
:Ab f(x)dx=F(b)-F(a)
F(b)-F(a)
O
a
b
08
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
x
251
미적분의 기본 정리
f(x)
[a b]
f(x)
F(x)
:Ab f(x)dx=[F(x)]bA=F(b)-F(a)
5 정적분의 성질
:Ab f(x)dx
a<b
a=b
정적분의 기본 정의
1 a=b
:Aa f(x)dx=0
2 a>b
:Ab f(x)dx=- :Ba f(x)dx
f(x)
F(x)
:Aa f(x)dx=F(a)-F(a)=0
:Ab f(x)dx=F(b)-F(a)=-{F(a)-F(b)}=- :Ba f(x)dx
a>b
f(x)
:Ab f(x)dx=- :Ba f(x)dx
F(x)
F'(x)=f(x)
f(x)dx=-[F(x)]aB=[F(x)]bA
252
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
a>b
:#3 x¤ dx=0
Example
:@1 4x‹ dx=- :!2 4x‹ dx
: 4x‹ dx=x› +C C
:@1 4x‹ dx=- :!2 4x‹ dx=-[x› ]2!=-(2› -1› )=-15
:@1 4x‹ dx=[x› ]1@=1› -2› =-15
1. 정적분의 성질
07 부정적분
08
f(x) g(x)
: c f(x)dx=c : f(x)dx
c
: { f(x)+g(x)} dx= : f(x)dx+ : g(x)dx
: { f(x)-g(x)} dx= : f(x)dx- : g(x)dx
f(x) g(x)
g(x)
[a b]
F(x)
G(x)
:Ab c f(x)dx=c :Ab f(x)dx
Proof
f(x)
c
:Ab c f(x)dx=[cF(x)]bA=cF(b)-cF(a)
: c f(x)dx=cF(x)+C
08
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
253
c f(x)dx=c{F(b)-F(a)}=c[F(x)]bA
c f(x)dx=c :Ab f(x)dx
:Ab { f(x)+g(x)} dx= :Ab f(x)dx+ :Ab g(x)dx
:Ab { f(x)+g(x)} dx=[F(x)+G(x)]bA={ F(b)+G(b)}-{ F(a)+G(a)}
Proof
={ F(b)-F(a)}+{ G(b)-G(a)}
: { f(x)+g(x)} dx
=F(x)+G(x)+C
=[F(x)]bA+[G(x)]bA
= :Ab f(x)dx+ :Ab g(x)dx
:Ab { f(x)-g(x)} dx= :Ab f(x)dx- :Ab g(x)dx
:Ab { f(x)-g(x)} dx=[F(x)-G(x)]bA={ F(b)-G(b)}-{ F(a)-G(a)}
Proof
={ F(b)-F(a)}-{ G(b)-G(a)}
: { f(x)-g(x)} dx
=F(x)-G(x)+C
=[F(x)]bA-[G(x)]bA
= :Ab f(x)dx- :Ab g(x)dx
정적분의 성질``⑴
f(x) g(x)
[a b]
1 :Ab c f(x)dx=c :Ab f(x)dx
c
2 :Ab { f(x)+g(x)} dx= :Ab f(x)dx+ :Ab g(x)dx
3 :Ab { f(x)-g(x)} dx= :Ab f(x)dx- :Ab g(x)dx
:)2 (4x¤ +3x-3)dx=4 :)2 x¤ dx+3 :)2 x dx-3 :)2 dx
Example
=4[;3!;x‹ ]2)+3[;2!;x¤ ]2)-3[x]2)=:£3™:+6-6=:£3™:
254
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
부정적분과 정적분의 차이점은?
: f(x)dx+ : g(x)dx= : { f(x)+g(x)} dx
: f(x)dx+ : g(t)dt
:Ab f(x)dx+ :Ab g(t)dt= :Ab f(x)dx+ :Ab g(x)dx
f(x)dx+
g(t)dt= :Ab { f(x)+g(x)} dx
2. 분할된 구간에서의 정적분
08
정적분의 성질``⑵
a b c
f(x)
:Ab f(x)dx= :Ac f(x)dx+ :Cb f(x)dx
Proof
f(x)
y
F(x)
y=f(x)
:Ac f(x)dx+ :Cb f(x)dx
=[F(x)]cA+[F(x)]bC
={F(c)-F(a)}+{F(b)-F(c)}
O
a
c
b
x
=F(b)-F(a)
= :Ab f(x)dx
a b c
08
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
255
:)2 (4x‹ +3x¤ -2)dx+ :@3 (4x‹ +3x¤ -2)dx= :)3 (4x‹ +3x¤ -2)dx
Example
=[x› +x‹ -2x]3)
=3› +3‹ -2_3=102
:@- 1 (-6x+4)dx+ :_1! (-6x+4)dx= :@1 (-6x+4)dx
=[-3x¤ +4x]1@
=(-3_1¤ +4_1)-(-3_2¤ +4_2)=5
3. 절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분
0
y=| f(x)|
y=|f(x)|
:Ab | f(x)|dx= :Ac {-f(x)} dx+ :Cb f(x)dx
a
b x
c
:Ab | f(x)|dx
y=f(x)
x=a x=b x
:!4 |x-3|dx
Example
f(x)=|x-3|
f(x)=|x-3|= [
-x+3 (1…x…3)
x-3
(3…x…4)
:!4 |x-3|dx
y
= :!3 |x-3|dx+ :#4 |x-3|dx
3
= :!3 (-x+3)dx+ :#4 (x-3)dx
O
y=|x-3|
1
=[-;2!; x¤ +3x]3!+[;2!; x¤ -3x]4#=2+;2!; =;2%;
256
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
3 4
x
4. 우함수와 기함수에서의 정적분
y=c c
y=x¤ y=x› y=x¤ +x›
y=f(x)
y
x
f(-x)=f(x)
y=f(x)
y
y
y=f(x)
:_0A f(x)dx= :)a f(x)dx
-a O
a
x
:_aA f(x)dx= :_0A f(x)dx+ :)a f(x)dx=2 :)a f(x)dx
y=x y=x‹ y=x+x‹
y=f(x)
x
08
f(-x)=-f(x)
y=f(x)
y
y=f(x)
:_0A f(x)dx=- :)a f(x)dx
-a O
a
x
:_aA f(x)dx= :_0A f(x)dx+ :)a f(x)dx=0
우함수와 기함수의 정적분
f(x)
[-a a]
1
f(x)
:_aA f(x)dx=2 :)a f(x)dx
2
f(x)
:_aA f(x)dx=0
08
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
257
:_2@ (4x‹ +3x¤ +2x+1)dx
Example
3x¤ +1
4x‹ +2x
:_2@ (4x‹ +3x¤ +2x+1)dx= :_2@ (4x‹ +2x)dx+ :_2@ (3x¤ +1)dx
=2 :)2 (3x¤ +1)dx=2[x‹ +x]2)=20
5. 주기함수에서의 정적분
f(x)
x
f(x+p)=f(x)
0
p
f(x)
p
p
y=f(x)
y
y=f(x)
-p
O
a
2p
a+p
b+2p
b+p a+2p
p
b
[a b]
p
:Ab f(x)dx= :
:Ab f(x)dx= :
b-p
a-p
a
a+p
258
a+p
f(x)dx= :
b+np
a+np
f(x)dx= :
b+2p
a+2p
f(x)dx
:Ab f(x)dx= :
:
b+p
[a+p b+p]
f(x)dx
n
f(x)dx
b+p
b
x
f(x)dx
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
주기함수의 정적분
f(x)
x
f(x+p)=f(x) p
0
n
b+np
1 :a+np f(x)dx= :Ab f(x)dx
a+np
2 :a
f(x)dx=n :)p f(x)dx
2
y
y=f(x)
...
-p
Example
p
O
2
f(x)
:@3 f(x)dx= :
1+2
0+2
a
a+p a+2p
x
a+np
08
:)1 f(x)dx=;2!; :)2 f(x)dx=1
f(x)dx= :)1 f(x)dx=;2!;
:!3 f(x)dx
:!3 f(x)dx= :)2 f(x)dx=1
평행이동 또는 대칭이동한 함수의 정적분
y=f(x-m)
x
y=f(x)
y
y=f(x)
y=f(x-m)
m
:
b+m
a+m
f(x-m)dx= :Ab f(x)dx
O
a
b m
b+m
a+m
08
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
x
259
y=f(a-x)
y
y=f(x)
y=f(a-x)
y=f(x)
x=;2A;
:)a f(a-x)dx= :)a f(x)dx
Example
:%9 (x-7)¤ dx
O
y=(x-7)¤
a
2
y=x¤
a
x
7
:%9 (x-7)¤ dx= :_2@ x¤ dx=2 :)2 x¤ dx=2[;3!;x‹ ]2)=;;¡3§;;
:)4 (4-x)‹ dx
y=(4-x)‹
y=x‹
x=2
:)4 (4-x)‹ dx= :)4 x‹ dx=[;4!;x› ]4)=64
1
F(x)= :!/ (t¤ +2)dt
F(x)= :
x
(t‹ +4t¤ -1)dt
-2
2
:
'2
:
'3
(1+2x-x¤ )dx
:_2! (y+1)(y-2)dy
(4x¤ -2x+1)dx
:_1@ (y-1)(y+2)dy
0
0
3
260
:)1 (x‹ +x-1)dx+ :!2 (x‹ +x-1)dx
:)1 (3x¤ +2x)dx- :)- 1 (3x¤ +2x)dx
:)1 (x+1)¤ dx- :#1 (x+1)¤ dx
:!2 (x‹ -2x¤ +1)dx+ :@1 (x‹ -x¤ +2)dx
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
x
4
:_2@ (x‹ +4x¤ +7x-5)dx
풀이
f(x)
1
:_1! |x|dx
[a b]
a…x…b
F'(x)=x¤ +2
d
:A/ f(t)dt=f(x)
dx
F'(x)=x‹ +4x¤ -1
2
f(x)
:
'2
F(x)
F(b)-F(a)
(1+2x-x¤ )dx=[x+x¤ -;3!;x‹ ] ='2+('2 )¤ -;3!;_('2 )‹ =2+
'2
0
0
'2
3
:_2! (y+1)(y-2)dy= :_2! (y¤ -y-2)dy=[;3!;y‹ -;2!;y¤ -2y]2_!
={;3!;_2‹ -;2!;_2¤ -2_2}-[;3!;_(-1)‹ -;2!;_(-1)¤ -2_(-1)]=-;2(;
:
0
'3
'3
(4x¤ -2x+1)dx=[;3$;x‹ -x¤ +x] =;3$;_('3 )‹ -('3 )¤ +'3=5'3-3
0
:_1@ (y-1)(y+2)dy= :_1@ (y¤ +y-2)dy=[;3!;y‹ +;2!;y¤ -2y]1_@
={;3!;_1‹ +;2!;_1¤ -2_1}-[;3!;_(-2)‹ +;2!;_(-2)¤ -2_(-2)]=-;2(;
3
:)1 (x‹ +x-1)dx+ :!2 (x‹ +x-1)dx= :)2 (x‹ +x-1)dx
08
=[;4!;x› +;2!;x¤ -x]2)=;4!;_2› +;2!;_2¤ -2=4
:)1 (3x¤ +2x)dx- :)- 1 (3x¤ +2x)dx= :)1 (3x¤ +2x)dx+ :_0! (3x¤ +2x)dx
= :_1! (3x¤ +2x)dx=2 :)1 3x¤ dx=2[x‹ ]1)=2_1=2
:)1 (x+1)¤ dx- :#1 (x+1)¤ dx= :)1 (x+1)¤ dx+ :!3 (x+1)¤ dx= :)3 (x+1)¤ dx
= :)3 (x¤ +2x+1)dx=[;3!;x‹ +x¤ +x]3)=9+9+3=21
:!2 (x‹ -2x¤ +1)dx+ :@1 (x‹ -x¤ +2)dx= :!2 (x‹ -2x¤ +1)dx- :!2 (x‹ -x¤ +2)dx
= :!2 (-x¤ -1)dx=[-;3!;x‹ -x]2!
={-;3!;_2‹ -2}-{-;3!;_1‹ -1}=-;;¡3º;;
4
:_2@ (x‹ +4x¤ +7x-5)dx= :_2@ (x‹ +7x)dx+ :_2@ (4x¤ -5)dx=2 :)2 (4x¤ -5)dx
=2[;3$;x‹ -5x]2)=2{;3$;_2‹ -5_2}=;3$;
f(x)=|x|
y
f(-x)=|-x|=|x|=f(x)
y=|x|
1
f(x)
:_1! |x|dx=2 :)1 x dx=2[;2!;x¤ ]1)=1
-1
08
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
O
1
x
261
정적분의 계산
다음 정적분의 값을 구하여라.
01
-1
x‹
1
:_0! x-1 dx+ :0 y-1 dy
:
-1
-2
(4x‹ +3x¤ +1)dx+ :_1! (4y‹ +3y¤ +1)dy
접근 방법
:Ab f(x)dx
F'(x)=f(x)
1
f(x)
F(x)
2
F(x)
3
F(b)-F(a)
a
b
F(a) F(b)
함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 F'(x)=f(x)일 때
:Ab f(x)dx=[[F(x)]]Ab =F(b)-F(a)
상세 풀이
-1
-1
x‹
1
x‹
1
:_0! x-1 dx+ :0 y-1 dy= :_0! x-1 dx+ :0 x-1 dx
= :_0!
x‹
1
x‹ -1
dx- :_0!
dx= :_0!
dx
x-1
x-1
x-1
= :_0! (x¤ +x+1)dx=[;3!;x‹ +;2!;x¤ +x]0_!=0-{-;6%;}=;6%;
:
-1
-2
(4x‹ +3x¤ +1)dx+ :_1! (4y‹ +3y¤ +1)dy= :
-1
-2
(4x‹ +3x¤ +1)dx+ :_1! (4x‹ +3x¤ +1)dx
= :_1@ (4x‹ +3x¤ +1)dx=[x› +x‹ +x]1_@
=3-6=-3
정답
⑴ ;6%; ⑵ -3
보충 설명
정적분 기호가 2개 이상인 경우에는 정적분의 성질을 이용하여 계산을 간단히 할 수 있습니다. 이때, 적분변수
가 다르면 먼저 적분변수를 통일합니다.
⑴ 적분 구간이 같으면 하나의 정적분 기호로 묶습니다. Δ :Ab f(x)dx+ :Ab g(x)dx= :Ab { f(x)+g(x)}dx
⑵ 피적분함수가 같으면 적분 구간을 합칩니다. Δ :Ac f(x)dx+ :Cb f(x)dx= :Ab f(x)dx
262
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.126
01-1
다음 정적분의 값을 구하여라.
3x‹
6y¤
:_2! x+2 dx+ :_2! y+2 dy
x› +x‹
y‹ +1
dx+ :@0
dy
x+1
y+1
:)2
:_2@ (3x¤ -2)dx+ :@4 (3t¤ -2)dt
:
2
-1
01-2
(3x¤ -2x+1)dx+ :_1! (3t¤ -2t+1)dt
다음 정적분의 값을 구하여라.
-1
:)1 (3x¤ +2x)dx- :0
(3x¤ +2x)dx
x¤
2y
2t+1
:_4@ x+1 dx+ :_4@ y+1 dy- :_4@ t+1 dt
08
:)1 9(x¤ -1)(x¤ +1)(x› +1)dx
:!2 (t-1)‹ (t+2)dt
01-3
이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 두 실근이 a, b (a<b)일 때,
:Ú’ (ax¤ +bx+c)dx=-;6A;(b-a)‹
이 성립함을 보여라.
01-1
9
;3$;
60
-5
01-2
2
0
-8
;2!0(;
01-3 p.344
08
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263
절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분의 계산
02
다음 정적분의 값을 구하여라.
:)3 |x¤ -2x|dx
:)2 [x](x-1)(x-2)dx
[x]
x
접근 방법
x=2
0…x…2
0…x<1 1…x<2 x=2
2…x…3
[x]
정적분의 구간 내에서 함숫값의 부호가 바뀔 때에는 구간을 나누어 정적분의 값을 구한다.
상세 풀이
0…x…2
|x¤ -2x|=-x¤ +2x 2…x…3
|x¤ -2x|=x¤ -2x
:)3 |x¤ -2x|dx=:)2 (-x¤ +2x)dx+:@3 (x¤ -2x)dx
|x¤ -2x|dx=[-;3!;x‹ +x¤ ]2)+[;3!;x‹ -x¤ ]3@=;3$;+;3$;=;3*;
0…x<1
[x]=0 1…x<2
[x]=1 x=2
[x]=2
:)2 [x](x-1)(x-2)dx
= :)1 {0_(x-1)(x-2)}dx+ :!2 {1_(x-1)(x-2)}dx+ :@2 {2_(x-1)(x-2)}dx
=0+ :!2 (x-1)(x-2)dx+0
=-;6!;(2-1)‹ =-;6!;
정답
⑴ ;3*; ⑵ -;6!;
보충 설명
한 점에서의 정적분의 값은 0, 즉 :Aa f(x)dx=0이므로 구간의 경계에서의 정적분의 값은 계산하지 않아도 됩니다.
264
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.127
02-1
다음 정적분의 값을 구하여라.
:_3@ |x¤ -x-2|dx
:_1! [x](x-1)(x+2)dx
02-2
[x]
x
다음 정적분의 값을 구하여라.
:_2! (1+|x|)¤ dx
:)2 |x¤ (x-1)|dx
08
02-3
:)2 n |x-n|dx일 때, ¡ f(k)의 값을 구하여라.
자연수 n에 대하여 f(n)=:
10
k=1
02-1
:¢6ª:
:¡6£:
02-2
11
;2#;
02-3 385
08
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265
구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분
2x
(x<1)
일 때, 정적분 :)3 xf(x-1)dx의 값을 구하여라.
-2x+4 (xæ1)
함수 f(x)=[
03
접근 방법
a<c<b
f(x)=[
g(x) (a…x…c)
h(x) (c<x…b)
:Ab f(x)dx= :Ac g(x)dx+ :Cb h(x)dx
구간에 따라 함수가 다르면 구간을 나누어 적분한다.
상세 풀이
f(x)=[
2x
(x<1)
-2x+4 (xæ1)
f(x-1)=[
x
x-1
2(x-1)
(x-1<1)
-2(x-1)+4
f(x-1)=[
x f(x-1)=[
(x-1æ1)
2x-2
(x<2)
-2x+6
(xæ2)
2x¤ -2x
(x<2)
-2x¤ +6x
(xæ2)
:)3 x f(x-1)dx= :)2 (2x¤ -2x)dx+ :@3 (-2x¤ +6x)dx
x f(x-1)dx=[;3@;x‹ -x¤ ]2)+[-;3@;x‹ +3x¤ ]3@
x f(x-1)dx=;3$;+;3&;=:¡3¡:
정답
보충 설명
함수 f(x)에서 함수 f(x-1)을 정할 때에는 구간도 함께 정해야 합니다. 즉, 이 문제에서
f(x-1)=[
2(x-1)
(x<1)
-2(x-1)+4 (xæ1)
가 아님에 주의합니다.
266
Ⅲ.
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:¡3¡:
p.129
03-1
다음 물음에 답하여라.
f(x)=[
-x+1 (x…1)
(x-1)¤ (x>1)
f(x)=[
03-2
: f(x)dx
2
0
x+1 (-1…x<0)
-x+1 (0…x<1)
:_0@ x f(x+1)dx
함수 y=f(x)의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 정적분
y
y=f(x)
:_@2 xf(x)dx
4
의 값을 구하여라.
O
03-3
2
x
모든 실수 x에 대하여 정의된 함수 f(x)가
f(x)=[
-x¤ +2x (0…x<1)
-x+2
(1…x<2)
, f(x)=f(x+2)
를 만족시킬 때, 정적분 :) f(x)dx의 값을 구하여라.
29
03-1
;6%;
-1
03-2 -;;¡3§;;
03-3 17
08
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267
08
우함수, 기함수에서의 정적분
04
다항함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 f(-x)=f(x)를 만족시키고
:)1 f(x)dx=4일 때, 정적분 :_!1 (x‹ +x+2)f(x)dx의 값을 구하여라.
접근 방법
f(-x)=f(x)
f(x)
x‹ f(x) xf(x)
:_1! x‹ f(x)dx=0 :_1! xf(x)dx=0
f(x)가 우함수일 때, :_ aA f(x)dx=2 :) a f(x)dx
f(x)가 기함수일 때, :_ aA f(x)dx=0
상세 풀이
f(-x)= f(x)
f(x)
x‹ f(x) xf(x)
:_1! (x‹ +x+2)f(x)dx= :_1! x‹ f(x)dx+ :_1! xf(x)dx+ :_1! 2f(x)dx
=0+0+ :_1! 2f(x)dx
=2 :)1 2 f(x)dx
=4 :)1 f(x)dx=4_4=16
정답
16
보충 설명
다항함수 f(x)=x« 에서 n이 짝수이면 (-x)« =x« 이므로 함수 f(x)는 우함수이고, n이 홀수이면 (-x)« =-x«
이므로 함수 f(x)는 기함수입니다. 따라서 다항함수의 차수에 따라 다음이 성립합니다.
(우함수)_(우함수)=(우함수), (우함수)_(기함수)=(기함수), (기함수)_(기함수)=(우함수)
또한 임의의 다항함수 g(x)는 홀수차항으로 이루어진 h¡(x)와 짝수차항과 상수항으로 이루어진 h™(x)의 합으로
나타낼 수 있습니다. 즉, g(x)=h¡(x)+h™(x)이므로
:_aA g(x)dx= :_aA {h¡(x)+h™(x)}dx= :_aA h¡(x)dx+ :_aA h™(x)dx=0+2:)a h™(x)dx
가 성립합니다.
268
Ⅲ.
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p.129
04-1
다항함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 f(-x)=- f(x)를 만족시키고 :)1 x f(x)dx=3
일 때, 정적분 :_!1 (x¤ +3x+2)f(x)dx의 값을 구하여라.
04-2
다음 등식을 만족시키는 모든 실수 a의 값의 합을 구하여라.
:_Aa (xfi +2x‹ +3x¤ +4x+a)dx=(a+1)¤
08
04-3
연속함수 f(x)는 모든 실수 x에 대하여 f(x)=f(-x), f(x)=f(x+2)를 만족시킨다.
:_!0 f(x)dx=
3
일 때, 정적분 :)4 {x-f(x)} dx의 값을 구하여라.
4
04-1 18
04-2 -;2!;
04-3 5
08
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269
주기함수의 정적분
함수 f(x)가 다음 조건을 만족시킬 때, :_@1 0 f(x)dx의 값을 구하여라.
05
-2…x…2
f(x)=|x¤ -4|
x
f(x+4)=f(x)
접근 방법
p
:
a+p
a
f(x)dx= :
b+p
b
y=f(x)
f(x)dx
주기가 p인 함수 f(x)에 대하여
:
a+p
a
f(x)dx= :
a+(n+1)p
f(x)dx (단, n은 자연수)
a+np
상세 풀이
-2…x…2
f(x)
f(-x)=|(-x)¤ -4|=|x¤ -4|=f(x)
f(x)
:_2@ f(x)dx=2 :)2 f(x)dx
f(x)
4
:_1@0 f(x)dx= :_2@ f(x)dx+ :@6 f(x)dx+ :^1 0 f(x)dx
f(x)dx= :_2@ f(x)dx+ :_2@ f(x)dx+ :_2@ f(x)dx=3 :_2@ f(x)dx=6 :)2 f(x)dx
0…x…2
f(x)=|x¤ -4|=-x¤ +4
6 :)2 f(x)dx=6 :)2 (-x¤ +4)dx=6[-;3!;x‹ +4x]2)=6{-;3*+8}=32
정답
보충 설명
직선에 대한 대칭성과 주기에 대한 표현의 차이에 주의하도록 합니다. 즉, 모든 실수 x에 대하여
f(a+x)=f(a-x) HjK f(x)=f(2a-x)
f(a+x)=f(a-x) HjK 함수 y=f(x)의 그래프는 직선 x=a에 대하여 대칭이다.
270
Ⅲ.
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32
p.130
05-1
함수 f(x)가 다음 조건을 만족시킬 때, :_!9 f(x)dx의 값을 구하여라.
-1…x…1
f(x)=2-2|x|
x
05-2
f(x+2)=f(x)
함수 f(x)는 다음 조건을 만족시킨다.
-2…x…2
f(x)=x‹ -4x
x
f(x)=f(x+4)
다음 중 정적분 :!2 f(x)dx와 같은 것은?
05-3
:@2)0)0$5 f(x)dx
- :@2)0)0$5 f(x)dx
- :@2)0)0%6 f(x)dx
:@2)0)0^7 f(x)dx
08
:@2)0)0%6 f(x)dx
연속함수 f(x)가 주기가 2인 주기함수이고
:_!0 f(x)dx=1, :)3 f(x)dx=7
일 때, :!3 {2x+f(x)}dx의 값을 구하여라.
05-1 10
05-2
05-3 12
08
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271
08-
1
08-
2
:!4 f(x)dx- :@4 f(x)dx+ :_1# f(x)dx
f(x)=3x¤ +2x
[x]
x
보기
: [x+;2!;] dx= :)1 x dx
1
¡:
;2!;
¡:
08-
n
k
k=1
k -1
[x] dx=
k
k -1
x dx=
n(n+1)(2n+1)
12
n(n-1)
2
3
:)1 f(x)dx= f(1)
f(x)=6x¤ +2ax
f(x)
08-
n
k=1
4
f(x)=[
x¤
f(0)=1 f '(x)=4|x-2|
(xæ0)
-xfi (x<0)
a
f(6)
:_0@ f(x)dx= :)a f(x)dx
a‹
a>0
08-
5
f(x)
:)- 2 f(x)dx=-5
272
x
f(x)= f(-x)
:)1 f(x)dx=2
:_2! f(x)dx
Ⅲ.
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p.345 |
08-
6
f(x)
p.131
x
f(-x)= f(x)
f(x)= f(x+4)
:)2 f(x)dx=16
08-
7
:_8$ f(x)dx
f(x)=[
3x¤ -6x+a (x…1)
2x+4
:_4! f(x)dx=b
(x>1)
a+b
a
08-
8
f(x)
f(0)=-1
:_1! f(x)dx= :)1 f(x)dx= :_0! f(x)dx
08
f(2)
수능
08-
9
f(x)=x‹
x
y=g(x)
08-
10
a
g(0)=0
y
b
:A3 a g(x)dx- :)2 a f(x)dx=32
a›
f(x)
x
f '(x)>0
f(3)=0 :)3 | f(x)|dx=2 :#6 | f(x)|dx=15
:)6 f(x)dx
08
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273
08-
11
f(x)
f(0)=0
0<x<y<1
x y
0<xf(y)<yf(x)
A=f '(0) B=f(1) C=2 :)1 f(x)dx
A<B<C
A<C<B
B<C<A
C<A<B
B<A<C
수능
08-
12
y
y= f(x)
:)3 |f '(x)|dx
y=f(x)
1
3
O
1
-3
08-
13
f(x)
x
:)1 f(x)dx=2
08-
14
f(x)
f(x)= f(-x) f(2-x)= f(x)
:)6 {x¤ + f(x)} dx
:)2 f(x)dx=1 :)2 x f(x)dx=4
:)2 (x-k)¤ f(x)dx
08-
15
f(x)
p+q
274
k
:)1 x¤ f(x)dx=p :)1 f(x)dx+q :)1 x f(x)dx
p q
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
x
p.345 |
08-
16
a
f(x)=-x(x+a)(x-a)
:_aB f(x)dx=A :
08-
17
f(x)
a+b
b
x=b
:_aB | f(x)|dx
f(x-b)dx=B
f(0)=0
p.136
A B
f(5)
:)2 | f(x)|dx=- :)2 f(x)dx=4
:@3 | f(x)|dx= :@3 f(x)dx
08-
18
f(k)= :)2 |x-k|dx
0<k<2
08
challenge
08-
19
y=f(x)
y=f '(x)
y=f'(x)
f(-1)=1 f(2)=7 :_2# f '(x)dx=3
y
-1
f(x)-k=0
k
-3
O
x
2
수능
08-
20
f(x)=x‹ -3x-1
g(t)
:_1! g(t)dt=
t(tæ-1)
q
p
-1…x…t
| f(x)|
p+q
p q
08
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275
09
정적분과 함수
01 정적분으로 정의된 함수
279
기본 다지기
302
실력 다지기
304
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01 정적분으로 정의된 함수
01
290
02
03
04
05
06
292
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
294
296
298
300
09 | 정적분과 함수
01 정적분으로 정의된 함수
1 적분 구간이 상수인 정적분을 포함한 함수
f(x)=g(x)+ :Ab f(t)dt a b
:Ab f(t)dt=k k
f(x)=g(x)+k
2 정적분으로 정의된 함수의 미분
d
:A/ f(t)dt=f(x)
dx
a
x+a
d
:
f(t)dt=f(x+a)-f(x)
x
dx
a
3 정적분으로 정의된 함수의 극한
lim
1
:A/ f(t)dt=f(a)
x-a
lim
1 a+h
:
f(t)dt=f(a)
h a
x ⁄a
h ⁄0
4 정적분을 포함한 등식에서 함수 구하기
:A/ f(t)dt=g(x)
˙k
x
x
f(x)=g'(x)
:A/ (x-t)f(t)dt=g(x)
˙k
278
:A/ (x-t)f(t)dt=x :A/ f(t)dt- :A/ t f(t)dt
x
x
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
01
1 적분 구간이 상수인 정적분을 포함한 함수
:!4 x¤ dx
:Ab f(t)dt
f(x)=g(x)+ :Ab f(t)dt a b
f(x)
1
:Ab f(t)dt=k k
f(x)=g(x)+k
2
f(x)=g(x)+k
yy
:Ab f(t)dt=k
:Ab { g(t)+k}dt=k
k
09
3
Example
k
f(x)
f(x)=3x¤ -2x+ :)2 f(t)dt
:)2 f(t)dt=k k
f(x)
yy
f(x)=3x¤ -2x+k
f(t)=3t¤ -2t+k
:)2 (3t¤ -2t+k)dt=k [t‹ -t¤ +kt]2)=k
8-4+2k=k
k=-4
f(x)=3x¤ -2x-4
09
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
279
2 정적분으로 정의된 함수의 미분
f(x)
[a b]
f(x)
F(x)
x=a
:Ab f(x)dx
x=b
:Ab f(x)dx=F(b)-F(a)
b
x
y= :A/ f(t)dt
f(t)
x
y=f(t)
x
:A/ f(t)dt
a
y= :A/ f(t)dt
t
x
x
x
y= :A/ f(t)dt
a=0
x=1
y
X
x
Y
y=: f(t)dt
0
1
: f(t)dt
1
:)1 f(t)dt
0
2
2
: f(t)dt
3
: f(t)dt
0
3
x
y
x
0
x
x
Example
y= :)/ f(t)dt y= :
x+1
x
f(t)dt y
:)1 (t-x)dt
x
p.303
280
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
09-7
:)1 (t-x)dt
x
x
F(x)= :_/! (1-|t|)dt
Example
y=1-|t|
y= [
1+t (t<0)
t=0
1-t (tæ0)
x<0 xæ0
⁄ x<0
F(x)= :_/! (1+t)dt
: (ax+b)« dx
=[;2!;(1+t)¤ ]/_!
=;2!;(x+1)¤
=
1
1
_
(ax+b)« ±⁄ +C
a
n+1
C
yy
¤11111111111
y
1
-1
;2!; {x-(-1)}¤ =;2!;(x+1)¤
y=1-|t|
x O
1
t
09
¤ xæ0
F(x)= :_0! (1+t)dt+ :)/ (1-t)dt
=[;2!;(1+t)¤ ]0_!+[-;2!;(1-t)¤ ]/)
=;2!;+[-;2!;(1-x)¤ +;2!;]
=1-;2!;(x-1)¤
¤111111111
y
1
=
;2!; _2_1-;2!; (1-x)¤
y=1-|t|
=1-;2!; (x-1)¤
-1
O x
1
t
F(x)
⁄ ¤
(
F(x)= {
9
;2!;(x+1)¤
(x<0)
1-;2!;(x-1)¤ (xæ0)
09
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
281
y=F(x)
x=-1 x=1
y
1
- 1
2
-1 O
y=F(x)
x
1
y=1-|t|
lim (1-|t|)= lim (1-t)=1
t ⁄0+
t ⁄0+
lim (1-|t|)= lim (1+t)=1
t ⁄0-
t ⁄0-
y=1-|t|
F(x)
x=0
x
08 정적분
f(x)
[a b]
a<x<b
d
:A/ f(t)dt=f(x)
dx
f(x)
Proof
F(x)
:A/ f(t)dt=[F(t)]/A=F(x)-F(a)
x
d :A/
d
f(t)dt=
{F(x)-F(a)}
dx
dx
=F'(x)
F(a)
{F(a)}'=0
=f(x)
:
x
x+a
282
x+a
f(t)dt=[F(t)]? =F(x+a)-F(x)
x
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
x+a
d
d
:
f(t)dt=
{F(x+a)-F(x)}
dx x
dx
=f(x+a)-f(x)
f(x)= :)/ (t¤ +2t-6)dt
Example
f '(x)
f '(x)=
d
f(x)
dx
f '(x)=
d
:)/ (t¤ +2t-6)dt=x¤ +2x-6
dx
정적분으로 정의된 함수의 미분
d
1 dx :a f(t)dt=f(x)
x
d
2 dx :x
x+a
f(t)dt=f(x+a)-f(x)
x
a
a
x+a a
a
x
:A/ f(t)dt
:A/ f(t)dt
t
t
x
F(x)= :_/! (1-|t|)dt
y=1-|t|
F'(x)=
09
1
F(x)= :_/! (1-|t|)dt
Example
Example
x
x
d
:_/! (1-|t|)dt
dx
F'(x)=1-|x|
F(x)
y=F'(x)
09
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
283
y
1
y=F'(x)
O
-1
F(x)
1
x
x=-1 x=1
F(-1)= :_-! 1 (1-|t|)dt=0
F(1)= :_1! (1-|t|)dt=1
y=F(x)
y
y=F(x)
1
- 1
2
-1 O
1
x
y
;2!;
1
F(0)= :_0! (1-|t|)dt=;2!;
y=1-|t|
-1
[a b]
O
f(x)
d
:A/ t f(t)dt=x f(x)
dx
x f(x)
Proof
F(x)
:A/ t f(t)dt=[F(t)]/A=F(x)-F(a)
x
d :A/
d
t f(t)dt=
{F(x)-F(a)}
dx
dx
=F'(x)=x f(x)
d
:A/ x f(t)dt= :A/ f(t)dt+x f(x)
dx
d :A/
d
xf(t)dt=
[x_ :A/ f(t)dt]
dx
dx
Proof
284
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
1
t
d
d
:A/ f(t)dt
:A/ xf(t)dt=1_ :A/ f(t)dt+x_
dx
dx
= :A/ f(t)dt+x f(x)
3 정적분으로 정의된 함수의 극한
F'(a)= lim
x ⁄a
F(x)-F(a)
F(a+h)-F(a)
= lim
x-a
h ⁄0
h
F(x)
lim
x ⁄a
f(x)
1
:A/ f(t)dt=f(a)
x-a
09
f(x)
Proof
F(x)
lim
x ⁄a
1
:A/ f(t)dt= lim
x ⁄a
x-a
= lim
x ⁄a
:A/ f(t)dt
x-a
= lim
x ⁄a
[F(t)]/A
x-a
F(x)-F(a)
x-a
=F'(a)
=f(a)
lim
h ⁄0
Proof
1 a+h
:
f(t)dt=f(a)
h a
f(x)
F(x)
1 a+h
f(t)dt= lim
lim :
h ⁄0 h
h ⁄0
a
:
a+h
a
f(t)dt
h
= lim
h ⁄0
[F(t)]
a+h
a
h
09
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
285
= lim
h ⁄0
F(a+h)-F(a)
h
=F'(a)
=f(a)
정적분으로 정의된 함수의 극한
1
: f(t)dt=f(a)
1 lim
x ⁄a x-a
a
x
1 a+h
:
f(t)dt=f(a)
2 lim
h ⁄0
a
h
Example
lim
x ⁄1
1 :!/
(t¤ +4t-2)dt
x-1
f(t)=t¤ +4t-2
f(t)
F(t)
:!/ f(t)dt=F(x)-F(1)
lim
x ⁄1
F(x)-F(1)
1
:!/ (t¤ +4t-2)dt= lim
x ⁄1
x-1
x-1
=F'(1)=f(1)
=1¤ +4_1-2=3
4 정적분을 포함한 등식에서 함수 구하기
1. 적분 구간에 변수가 있는 정적분을 포함한 등식
x
f(x)
:A/ f(t)dt=g(x) a
Example
286
x
f(x)
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
Example
:@/ f(t)dt=x‹ -kx+4 k
:A/ f(t)dt=g(x)
f(x)
x
:Aa f(t)dt=0
a
g(a)=0
:@2 f(t)dt=0
x=2
:@2 f(t)dt=8-2k+4 0=12-2k
k=6
:A/ f(t)dt=g(x)
d
d
:A/ f(t)dt=
g(x)
dx
dx
x
f(x)=g '(x)
:@/ f(t)dt=x‹ -6x+4
x
x
d
d
:@/ f(t)dt=
(x‹ -6x+4)
dx
dx
d
:@/ f(t)dt=f(x)
dx
f(x)=3x¤ -6
09
2. 적분 구간과 피적분함수에 변수가 있는 정적분을 포함한 등식
x
f(x)
:A/ (x-t)f(t)dt=g(x) a
x
Example
f(x)
Example
:!/ (x-t)f(t)dt=x‹ -3x+2
f(x)
:A/ (x-t)f(t)dt=g(x)
t
t
t
09
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
287
:!/ (x-t)f(t)dt= :!/ {x f(t)-t f(t)} dt
(x-t)f(t)dt=x :!/ f(t)dt- :!/ t f(t)dt
x:A/ f(t)dt-:A/ t f(t)dt=g(x)
x :!/ f(t)dt- :!/ t f(t)dt=x‹ -3x+2
y= :!/ f(t)dt
x
y=x
x
1_ :!/ f(t)dt+x_f(x)-x f(x)=3x¤ -3
d
:A/ f(t)dt=f(x)
dx
:!/ f(t)dt=3x¤ -3
:A/ f(t)dt=g'(x)
:!/ f(t)dt=3x¤ -3
x
x
f(x)=6x
정적분을 포함한 등식에서 함수 구하기
1 :A/ f(t)dt=g(x)
˙k
x
x
f(x)=g'(x)
2 :A/ (x-t)f(t)dt=g(x)
˙k
x
:A/ (x-t)f(t)dt=x :A/ f(t)dt- :A/ t f(t)dt
x
1 2
f(x)=g(x)+ :Ab f(t)dt a b
:Ab f(t)dt=k k
k
k
288
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
1
f(x)=:)/ (2t+3)dt
f(x)= :
2
x+1
x
(t¤ -t+5)dt
f '(x)
1 : 1+h (t¤ -3t+1)dt
3 lim
h ⁄0
1
h
4
f(x)
:!/ f(t)dt=x‹ -2x¤ +1
:)/ (x-t)f(t)dt=x‹ -2x¤
풀이
1 g(t)=2t+3
g(t)
G(t)
09
G(t)=: (2t+3)dt=t¤ +3t+C C
f(x)= :)/ (2t+3)dt=G(x)-G(0)=x¤ +3x
d
d
2 f '(x)= dx f(x)= dx :x (t¤ -t+5)dt
2 f '(x)={(x+1)¤ -(x+1)+5}-(x¤ -x+5)=2x
f(t)
F(t)
3 f(t)=t¤ -3t+1
x+1
:
1
1+h
f(t)dt=F(1+h)-F(1)
= lim
h ⁄0
F(1+h)-F(1)
=F'(1)=f(1)
h
=1¤ -3_1+1=-1
4
d
d
:!/ f(t)dt=
(x‹ -2x¤ +1)
dx
dx
f(x)=3x¤ -4x
:)/ (x-t)f(t)dt=x :)/ f(t)dt- :)/ t f(t)dt
x :)/ f(t)dt- :)/ t f(t)dt=x‹ -2x¤
x
:)/ f(t)dt=3x¤ -4x
d
d
:)/ f(t)dt=
(3x¤ -4x)
dx
dx
f(x)=6x-4
09
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
289
적분 구간이 상수인 정적분을 포함한 함수
다항함수 f(x)가 임의의 실수 x에 대하여
01
f(x)=x‹ -x+ :)2 f(t)dt
를 만족시킬 때, f(2)의 값을 구하여라.
접근 방법
: f(t)dt=k k
2
f(x)=x‹ -x+k
0
: f(x)dx
2
k
0
f(2)
:Ab f(t)dt=k (k는 상수)로 놓고 정적분을 이용하여 k의 값을 구한다.
상세 풀이
: f(t)dt=k k
2
f(x)=x‹ -x+k
0
: f(x)dx
2
0
: f(x)dx= : (x‹ -x+k)dx
2
2
0
0
f(x)dx=[;4!;x› -;2!;x¤ +kx]2)=k
4-2+2k=k
k=-2
f(x)=x‹ -x-2
f(2)=2‹ -2-2=4
정답
보충 설명
변수 x에 대하여 :A/ f(t)dt는 x에 대한 함수를 나타내지만 a, b가 상수일 때 :Ab f(x)dx, :Ab f(t)dt 등은 정적
분의 값, 즉 상수입니다.
따라서 g(x)가 다항함수일 때, f(x)=g(x)+ :Ab f(t)dt (a, b는 상수)의 꼴에서 :Ab f(t)dt는 상수이므로 그
값을 k라고 하면 k= :Ab f(t)dt= :Ab { g(t)+k} dt이므로 우변의 정적분을 계산하여 k의 값을 구할 수 있습니다.
290
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
4
p.142
01-1
다항함수 f(x)가 임의의 실수 x에 대하여
f(x)=1+x :)1 f(t)dt
를 만족시킬 때, f(2)의 값을 구하여라.
01-2
다항함수 f(x)가 임의의 실수 x에 대하여
f(x)=3x¤ + :)1 (2x-1)f(t)dt
를 만족시킬 때, 정적분 :_!1 f(x)dx의 값을 구하여라.
09
01-3
다음 등식을 만족시키는 함수 f(x)에 대하여 f(-1)의 값을 구하여라.
f(x)=1+ :)1 (x+t)f(t)dt
01-1 5
01-2 0
01-3 6
09
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
291
정적분으로 정의된 함수의 극한
다음 물음에 답하여라.
02
lim
1 2+2h
(x¤ +x+1)dx
h :2
lim
1
:@/ (3t‹ +2t¤ +t+1)dt
x-2
h ⁄0
x ⁄2
접근 방법
f(x)=x¤ +x+1
lim
h ⁄0
f(x)
F(2+2h)-F(2)
h
F(t)
F(x)
f(t)=3t‹ +2t¤ +t+1
lim
x ⁄2
lim
h ⁄0
f(t)
F(x)-F(2)
x-2
x
1 a+h
1
:
: f(t)dt=f(a)
f(t)dt=f(a), lim
x ⁄ a x-a
h a
a
상세 풀이
f(x)=x¤ +x+1
:
2+2h
2
f(x)
F(x)
f(x)dx=F(2+2h)-F(2)
= lim
F(2+2h)-F(2)
h
= lim
F(2+2h)-F(2)
_2
2h
h ⁄0
h ⁄0
=2F'(2)=2f(2)=2(2¤ +2+1)=14
f(t)=3t‹ +2t¤ +t+1
f(t)
F(t)
x
: f(t)dt=F(x)-F(2)
2
= lim
x ⁄2
F(x)-F(2)
x-2
=F'(2)=f(2)=3_2‹ +2_2¤ +2+1=35
정답
⑴ 14 ⑵ 35
보충 설명
위와 같은 문제를 풀 때 주어진 정적분을 계산한 후, 극한값을 구하지 않도록 합니다. 그렇게 하여도 답은 얻을 수
있지만 부정적분은 미분을 거꾸로 적용한 함수를 다루는 것이고, 정적분은 미적분의 기본 정리에 의하여 부정적분의
함숫값의 차로 나타낼 수 있으므로 정적분이 함수의 극한과 관련된 표현으로 제시될 때에는 미분계수의 정의를 이용
하여 문제를 푸는 것이 간단합니다.
292
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.142
02-1
다음 물음에 답하여라.
lim
1 1+h
(x‹ +2x¤ +3x+4)dx
h :1-h
lim
1
:!/ (t¤ +3t+16)dt
x¤ -1
h ⁄0
x ⁄1
02-2
lim
x ⁄1
x
1
: |t-4|dt의 값은?
x¤ -1 1
;2!;
1
2
;2%;
;2#;
09
02-3
함수 f(x)=(x-1)¤ +4(x-1)+3에 대하여
lim
x ⁄1
x¤
1
x-1 :1 f(t)dt
의 값을 구하여라.
02-1
20
10
02-2
02-3 6
09
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
293
정적분으로 정의된 함수의 미분 ⑴
다음 물음에 답하여라.
03
f(x)=
d
:!/ (t‹ -t)dt
dx
x
f(x)
f(a)
f(2)
:A/ f(t)dt=x¤ -x-12
a>0
접근 방법
x
x
d
:A/ f(t)dt=f(x)
dx
f(x)
x
f(a)
0
x
x=a
a
x
a
d
: f(t)dt=f(x), : f(t)dt=0
dx a
a
상세 풀이
g(t)=t‹ -t
g(t)
G(t)
:!/ g(t)dt=G(x)-G(1)
f(x)=
d
{ G(x)-G(1)}=G'(x)=g(x)=x‹ -x
dx
f(x)=x‹ -x
:A/ f(t)dt=x¤ -x-12
x
f(2)=2‹ -2=6
yy`
f(x)=2x-1
x=a
:Aa f(t)dt=0
a¤ -a-12=0, (a+3)(a-4)=0
f(a)= f(4)=2_4-1=7
a=4 (
a>0)
정답
⑴6 ⑵7
보충 설명
⑵에서 우변이 이차식이므로 f(x)를 x에 대한 일차식, 즉 f(x)=mx+n (m, n은 상수, m+0)으로 놓고 정적
분을 계산하여 f(x)를 구할 수도 있지만 이 방법보다는 정적분과 미분과의 관련성을 생각하여 양변을 x에 대하여
미분한 후, 간단히 f(x)를 구하도록 합니다.
294
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.143
03-1
다음 물음에 답하여라.
f(x)=
d
:?1 (5tfi +3t‹ )dt
dx
x
f(x)
f(a)
03-2
f(-1)
:A/ f(t)dt=x‹ +x-2
a
임의의 실수 x에 대하여 연속함수 f(x)가 : (t-1)f(t)dt=x‹ -x¤ -x+a를 만족시킬
x
1
때, f(a)의 값을 구하여라. (단, a는 상수이다.)
09
03-3
임의의 실수 x에 대하여
: (t+1)f '(t)dt=2x‹ -x¤ +f(x)
x
0
를 만족시키는 연속함수 f(x)를 구하여라.
03-1
8
4
03-2 4
03-3 f(x)=3x¤ -2x
09
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
295
정적분으로 정의된 함수의 미분 ⑵
04
다항함수 f(x)가 다음 등식을 만족시킬 때, 상수 a, b의 값과 함수 f(x)를 구하
여라.
:!/ (x-t)f(t)dt=2x‹ -ax¤ +x+b
접근 방법
x
x
t
:!/ (x-t)f(t)dt= :!/ {x f(t)-t f(t)} dt=x :!/ f(t)dt- :!/ t f(t)dt
x=1
a b
x
a b
: (x-t)f(t)dt=x : f(t)dt- : t f(t)dt로 전개한 후, x에 대하여 미분한다.
x
x
a
x
a
a
상세 풀이
:!/ (x-t)f(t)dt=x :!/ f(t)dt- :!/ t f(t)dt
x :!/ f(t)dt- :!/ t f(t)dt=2x‹ -ax¤ +x+b
x=1
0=2-a+1+b
a-b=3
yy
x
:!/ f(t)dt+x f(x)-x f(x)=6x¤ -2ax+1
:!/ f(t)dt=6x¤ -2ax+1
d
d
x_:!/ f(t)dt+x_
:!/ f(t)dt
dx
dx
d
:!/ t f(t)dt=x f(x)
dx
a=;2&; b=;2!;
:!/ f(t)dt=6x¤ -7x+1
f(x)=12x-7
=
=:!/ f(t)dt+x f(x)
x=1
0=6-2a+1
{ f(x)g(x)}'= f'(x)g(x)+ f(x)g'(x)
d
[x:!/ f(t)dt]
dx
x
정답
a=;2&;, b=;2!;, f(x)=12x-7
보충 설명
적분하는 함수 f(x)에 상관없이 :Ab f(x)dx에서 a=b이면 정적분의 값은 0입니다. 즉, :Aa (x-t)f(t)dt=0
296
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.144
04-1
다항함수 f(x)가 다음 등식을 만족시킬 때, 상수 a, b의 값과 함수 f(x)를 구하여라.
: (x-t)f(t)dt=x‹ +ax¤ -b
x
1
04-2
다음 물음에 답하여라.
:)/ (x-t)f(t)dt=;4#;x› -2x¤
x
f(x)
f(x)
:)/ (x-t)f '(t)dt=;3@;x‹ f(0)=4
f(x)
09
04-3
미분가능한 함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 f(-x)= f(x)를 만족시킨다. 함수
g(x)= :)/ (x-t)f(t)dt
에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 골라라.
보기
g '(0)=0
g '(x)
x
f(x)>0
g(x)
04-1 a=-;2#; b=-;2!; f(x)=6x-3
04-2
x=0
-4
f(x)=2x¤ +4
04-3
09
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
297
정적분으로 정의된 함수의 극대, 극소
함수 f(x)= :
05
x+1
x
(t‹ -t)dt의 극댓값과 극솟값을 구하여라.
접근 방법
f(x)
f '(x)
f(x)= :A/ g(t)dt
f(x)
x
f '(x)
함수 f(x)= : g(t)dt의 극대, 극소는
x
a
양변을 x에 대하여 미분하여 구한 f '(x)를 이용하여 구한다.
상세 풀이
x
f '(x)=
x+1
d
(t‹ -t)dt={(x+1)‹ -(x+1)}-(x‹ -x)
:
x
dx
f '(x)=3x¤ +3x=3x(x+1)
f '(x)=0
x=-1
x=0
f(x)
x
y
-1
y
0
y
f '(x)
+
0
-
0
+
f(x)
f(x)
x=-1
f(-1) x=0
f(0)
f(-1)= :_0! (t‹ -t)dt=[;4!;t› -;2!;t¤ ]0_!=;4!;
f(0)= :)1 (t‹ -t)dt=[;4!;t› -;2!;t¤ ]1)=-;4!;
정답
극댓값 : ;4!;, 극솟값 : -;4!;
보충 설명
함수 g(t)의 한 부정적분을 G(t)라고 하면 f(x)= :
x+1
x
g(t)dt=G(x+1)-G(x)이므로 양변을 x에 대하여 미분
하면 f '(x)=G'(x+1)-G'(x)=g(x+1)-g(x)임을 이용합니다.
298
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.145
05-1
함수 f(x)= :
05-2
오른쪽 그림은 이차함수 y=f(x)의 그래프이다. 함수 g(x)를
x+1
x
{t‹ -3t¤ -4t+;4!;}dt의 극댓값과 극솟값을 구하여라.
g(x)= :
x+1
y
y=f(x)
f(t)dt
x
로 정의할 때, 함수 g(x)의 최솟값은?
O
g(1)
g {;2#;}
g {;2%;}
g(3)
1
x
4
g(2)
09
05-3
다항함수 f(x)가 다음 등식을 만족시킬 때, 함수 f(x)의 극댓값을 M, 극솟값을 m이라
고 하자. M-m의 값을 구하여라.
: f(t)dt=x› -2x‹ +x¤ +x f(x)
x
0
05-1
1
-:™2∞:
05-2
05-3 ;1¡2;
09
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
299
정적분으로 정의된 함수의 그래프
06
함수 y=f(x)의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 함
y
수 F(x)= :!/ f(t)dt에 대하여 함수 y=F(x)의 그
1
래프를 그려라.
O
y=f(x)
1
2
3
x
-1
접근 방법
F(x)= :!/ f(t)dt
F'(x)=f(x)
⑴ 함수 y=f(x)의 그래프를 이용하여 함수 y=F(x)의 그래프를 그릴 때에는 다음과 같은 순서로 구
한다.
1 f(x)=0을 이용하여 F(x)의 극대, 극소를 파악한다.
2 f(x)>0이면 F(x)가 증가하고 f(x)<0이면 F(x)가 감소한다.
⑵ 함수 y=F(x)의 그래프를 이용하여 함수 y=f(x)의 그래프의 개형을 그릴 때에는 다음과 같은 순
서로 구한다.
1 함수 F(x)가 x=a에서 극대나 극소이면 f(a)=0이다.
2 F(x)가 증가하면 f(x)>0, F(x)가 감소하면 f(x)<0이다.
상세 풀이
(x<0)
· 1
f(x)= { -x+1 (0…x<2)
ª x-3 (xæ2)
⁄ x<0
F(x)= :!/ f(t)dt= :!0 (-t+1)dt+ :)/ 1 dt=[-;2!;t¤ +t]0!+[t]/)=-;2!;+x
¤ 0…x<2
F(x)= :!/ f(t)dt= :!/ (-t+1)dt=[-;2!;t¤ +t]/!=-;2!;x¤ +x-;2!;
‹ xæ2
F(x)= :!/ f(t)dt= :!2 (-t+1)dt+ :@/ (t-3)dt
=[-;2!;t¤ +t]2!+[;2!;t¤ -3t]/@=;2!;x¤ -3x+;2&;
y=F(x)
y
y=F(x)
1
2
x
O
1 -1
-2
정답
300
3
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
풀이 참조
p.147
06-1
y y=f(x)
함수 y=f(x)의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 함수
F(x)= :)/ f(t)dt에 대하여 다음 중 함수 y=F(x)의 그래프의
O
x
개형은?
y
y
x
O
y
y
y
O
06-2
x
O
x
x
O
실수 전체의 집합에서 정의된 세 함수 y=f(x), y=f '(x),
x
O
y
a
y= :)/ f(t)dt의 그래프의 일부가 오른쪽 그림과 같을 때,
c
a
b
c
f(x)
f '(x)
:)/ f(t)dt
f '(x)
f(x)
:)/ f(t)dt
f '(x)
:)/ f(t)dt
f(x)
:)/ f(t)dt
f '(x)
f(x)
:)/ f(t)dt
f(x)
f '(x)
06-1
09
b
각 그래프와 함수가 바르게 대응된 것은?
x
O
06-2
09
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
301
09-
09-
1
f(x)
f(x)=3x¤ + :)1 f '(t)dt
x
3
6
12
15
2
f(x)
f(2)
9
f(x)=9x¤ + :)1 (2x-3)f(t)dt
x
:)1 f(x)dx
09-
3
1
2
4
5
3
f(x)=2x¤ -5x-3
a
:A/ [ d f(t)]dt= d :A/ f(t)dt
dt
dx
09-
4
a
:!/ f(t)dt=x‹ -2ax¤ +ax
f(x)
:A/ f(t)dt=x‹ -5x¤ +5x-4
09-
f(x)
5
f(x)=x‹ +2x¤ +x+1
f(x)=x¤ +2x+3
302
lim
x ⁄1
lim
h ⁄0
x‹
1
: f(t)dt
x-1 1
1 1+2h
xf(x)dx
:
h 1-h
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
a
p.345 |
09-
p.148
6
f(x)= :_/@ (t¤ +t-2)dt
f(x)= :)/ t(t+1)(t-1)dt
09-
7
f(x)= :)1 |t-x|dt
x…0 0…x…1 xæ1
f(x)
f(x)
09-
8
f(x)
:A/ f(t)dt=;2#;x› -3x¤ +x f(x)
m
f(x)
09
M-m
x f(x)+x› +2x‹ -2x¤ +x= :!/ { f(t)+1} dt
09-
9
09-
10
M
f(x)=x¤ +2x+3
f(x)
lim
x ⁄'2
f(x)
x¤
1
: { t f(t)+2} dt
x› -4 2
f(x)
f(2)>0
{ f(x)}¤ -9= :@/ (4t+8)f(t)dt
09
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
303
09-
09-
f( f(x))= :)/ f(t)dt-x¤ +3x+3
11
-1
0
2
3
12
f(x)
1
F(x)= :)/ f(t)dt
f(x)=x‹ -3x+a
a
09-
1
2
4
5
3
13
y
y=f(x)
x
S(x)= :!/ f(t)dt
m
09-
14
M-m=6
M
O
S(x)
lim
x ⁄1 x-1
-;3*;
-;3&;
-;3%;
-;3$;
-2
f(x) g(x)
f(x)=x+ :)1 { f(t)+g(t)} dt g(x)=3x+ :!3 { f(t)+g(t)} dt
f(1)+g(1)
09-
15
f(x)
:A/ f(t)dt=(x+1)|x-a|
304
y=f(x)
(0 0) (3 0)
x
a
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
3
x
p.345 |
09-
16
f(x)
p.155
f(a)
:)2 f(x)dx=20
:)/ f(t)dt=x¤ :)a f(t)dt
x
09-
17
a>0
f(x) g(x)
g(x)+ :!/ f(t)dt=-4x¤ +9x+5 f(x)g '(x)=-20x¤ +54x-36
g(-1)
09-
f(0)>0
18
f(x)
x
:)/ (x-t){ f(t)}¤ dt=6 :)1 x‹ (t-x)¤ dt
:)1 { f(t)}¤ dt
challenge
09-
19
f(x)= :)/ (t-a)(t-b)dt
a b
a+b
09
f(x)
x=;2!;
f(a)-f(b)=;6!;
challenge
09-
20
f(x)=[
-1
(x<1)
-x+2
(xæ1)
g(x)
g(x)= :_/! (t-1)f(t)dt
보기
g(x)
g(x)
(1 2)
x=1
g(x)=k
k
09
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
305
10
정적분의 활용
01 넓이
309
02 속도와 거리
326
기본 다지기
334
실력 다지기
336
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
01 넓이
02 속도와 거리
01
02
03
04
05
316
x
06
07
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
318
320
322
324
330
332
10 | 정적분의 활용
01 넓이
1 곡선과 x축 사이의 넓이
f(x)
[a b]
y=f(x)
x
x=a x=b
S
S= :Ab |f(x)|dx
2 두 곡선 사이의 넓이
f(x) g(x)
[a b]
y=f(x) y=g(x)
x=a x=b
S
S= :Ab |f(x)-g(x)|dx
3 포물선으로 둘러싸인 도형의 넓이
y=ax¤ +bx+c (a+0)
b (a<b)
x
x
x
S=
a
S
|a|
(b-a)‹
6
02 속도와 거리
1 속도와 위치 사이의 관계
P
t
P
t=a
t
t=tº
P
xº
t=b
P
x=xº+ : v(t)dt
t
x
t=b
v(t)
tº
:Ab v(t)dt
P
2 속도와 거리 사이의 관계
P
t
v(t)
t=a
s
s= :Ab |v(t)|dt
308
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
01
1 곡선과 x축 사이의 넓이
f(x)
[a b]
y=f(x)
x
x=a x=b
S
[a b]
⁄
f(x)æ0
y
S
y=f(x)
S= :Ab f(x)dx
S
a
O
[a b]
¤
x
b
f(x)…0
y=f(x)
x
y
y=-f(x)
-f(x)æ0
y=-f(x)
⁄
S
S
O a
S= :Ab {-f(x)} dx=- :Ab f(x)dx= :Ab | f(x)|dx
[a b]
⁄ ¤
-
b
S
x
y=f(x)
f(x)
[a b]
f(x)
S
[a c]
‹
f(x)æ0
f(x)
[c b]
[a c]
[c b]
y
f(x)…0
⁄
¤
y=f(x)
f(x)
S
O
S1
a c
b
S2
x
S=S¡+S™= :Ac f(x)dx+ :Cb {-f(x)} dx
S=S¡+S™= :Ac | f(x)|dx+ :Cb | f(x)|dx
S=S¡+S™= :Ab | f(x)|dx
10
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
309
10
x
[a b]
f(x)æ0
x=a x=b
f(x)…0
y=f(x)
x
S= :Ab | f(x)|dx
S
곡선과 x축 사이의 넓이
f(x)
[a b]
y=f(x)
x
x=a x=b
S
S= :Ab | f(x)|dx
y=f(x)
x
x
y=x¤
Example
x
x=1
y=x¤
[0 1]
yæ0
S
y
y=x2
1
S= :)1 x¤ dx
S=[;3!;x‹ ]1)=;3!;
y=x¤ -x
x
x
O
1
x
x=2
x
x
x¤ -x=0
x(x-1)=0
x=0
y=x¤ -x
x=1
[0 1]
y…0
[1 2]
yæ0
™
y=x -x
y
S
S= :)2 |x¤ -x|dx
S= :)1 {-(x¤ -x)} dx+ :!2 (x¤ -x)dx
O
S=[-;3!;x‹ +;2!;x¤ ]1)+[;3!;x‹ -;2!;x¤ ]2!=1
310
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
1
2
x
곡선과 y축 사이의 넓이
x=g(y)
y
[c d ]
x=g(y)
x
y
y=c y=d
S
x=g(t)
t
[c d ]
x=g(t)
t=c t=y
d
S(y)= :C¢ g(t)dt
y
t
S(y)
y
S(y)
Dy
t
g(t)æ0
c
DS
S(y)
x
O
x=g(t)
DS=S(y+Dy)-S(y)
⁄ Dy>0
t
[ y y+Dy ]
g(t)
d
M m
y+Dy
y
mDy…DS…MDy
m…
Dy
¤ Dy<0
m…
⁄ ¤
g(t)
Dy ⁄0
DS
…M
Dy
g(y)… lim
Dy ⁄0
DS
…g(y)
Dy
lim
Dy ⁄0
x
O
x=g(t)
DS
…M
Dy
lim m… lim
Dy ⁄0
[c d ]
Dy
c
DS
…M
Dy
m…
⁄
M
DS
m
Dy ⁄0
Dy ⁄0
DS
… lim M
Dy Dy ⁄0
10
m ⁄g(y) M ⁄g(y)
DS
=g(y)
Dy
d
S(y)=g(y)
dy
d
:C¢ g(t)dt=g(y)
dy
g(t)…0
S
Example
S= :Cd |g(y)|dy
y='x
y
y=3
y='x
x=y¤
S
S= :)3 x dy= :)3 y¤ dy=[;3!;y‹ ]3)=9
y
y='x
3
9
O
10
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
x
311
2 두 곡선 사이의 넓이
f(x) g(x)
[a b]
x=a x=b
S
[a b]
⁄
y=f(x) y=g(x)
f(x)æg(x)æ0
y
S
y=f(x)
A
AEFB
-
CEFD
B
S
x
C
y=g(x)
D
S= :Ab f(x)dx- :Ab g(x)dx
F
E
O a
x
b
S= :Ab { f(x)-g(x)} dx
[a b]
¤
f(x)æg(x)
y=f(x) y=g(x)
f(x)
g(x)
y
k
[a b]
y
y=f(x)+k
x
S
y=g(x)+k
y=g(x)+k
S
f(x)+kæg(x)+kæ0
k
O
y=f(x)+k
k
y=f(x)
b
x
a
x=a x=b
y=g(x)
S
⁄
S= :Ab { f(x)+k}dx- :Ab { g(x)+k} dx= :Ab { f(x)-g(x)} dx
‹
[a c]
f(x)æg(x)
[a c] [c b]
[c b]
f(x)…g(x)
y
f(x)-g(x)
y=g(x)
S
S¡
S™
S=S¡+S™
S= :Ac { f(x)-g(x)} dx
y=f(x)
O
a
c
S=+ :Cb { g(x)-f(x)} dx
S= :Ac | f(x)-g(x)|dx+ :Cb | f(x)-g(x)|dx
S= :Ab | f(x)-g(x)|dx
312
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
b
x
두 곡선 사이의 넓이
f(x) g(x)
[a b]
x=b
y=f(x) y=g(x)
x=a
S
S= :Ab | f(x)-g(x)|dx
직선 y=x에 대하여 대칭인 두 곡선 사이의 넓이
y=f(x)
y
y=g(x)
y=f(x) y=x
y=x
y=g(x)
S2
y=f(x)
y=x
y=g(x)
y=x
S¡
S™
S1
O
a
b
x
y=f(x) y=g(x)
S
y=f(x)
y=x
S¡
2
S=S¡+S™=2S¡=2S™
:Ab | f(x)-g(x)|dx=2 :Ab |f(x)-x|dx
10
y=x¤ (xæ0) y='x
Example
y=x¤ (xæ0) y='x
y=x
y=x¤ (xæ0) y='x
y=x
x
x
y=x¤ (xæ0)
x¤ =x
x¤ -x=0 x(x-1)=0
x=0
x=1
y y=x2(xæ0) y=x
y=x¤ (xæ0) y='x
[0 1]
y=x¤
y=x
2
[0 1]
y='x
1
xæx¤
S
S=2 :)1 (x-x¤ )dx=2[;2!;x¤ -;3!;x‹ ]1)=;3!;
O
10
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
1
x
313
3 포물선으로 둘러싸인 도형의 넓이
x
x
p.263 개념 넓히기 01-3
1. 포물선과 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이
y=ax¤ +bx+c (a+0)
x
y=ax2+bx+c
x
a b (a<b)
x
a
S
S=
b
S
a
b
x
S
x
|a|
(b-a)‹
6
y=ax2+bx+c
2. 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이
y=ax¤ +bx+c (a+0)
y=ax2+bx+c
y=mx+n
x
a
y=ax2+bx+c
S
y=mx+n
y=mx+n
S
b (a<b)
ax¤ +bx+c-(mx+n)=a(x-a)(x-b)
a
b
x
a
x
b
S
S= :Ú’ |ax¤ +bx+c-(mx+n)|dx
S= :Ú’ |a(x-a)(x-b)|dx
S=
|a|
(b-a)‹
6
3. 두 포물선으로 둘러싸인 도형의 넓이
y=ax2+bx+c
y=ax¤ +bx+c (a+0) y=a'x¤ +b'x+c' (a'+0)
x
a b (a<b)
S
S
|a-a'|
S=
(b-a)‹
6
314
y=a'x2+b'x+c'
a
b
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
x
포물선으로 둘러싸인 도형의 넓이
y=ax¤ +bx+c (a+0)
x
x
(a<b)
S=
1
x
S
|a|
(b-a)‹
6
y=-x¤ +2x+1
y=1-x
2
y=x¤ -4 y=-x¤ -2x
3
y=-x¤ +2x y=x¤ +2x-2
풀이
a b
x
1
y y=-x2+2x+1
-x¤ +2x+1=1-x
x¤ -3x=0 x(x-3)=0
x=0
[0 3]
1
x=3
-x¤ +2x+1æ1-x
3
x
O1
S
y=1-x
S= :)3 {(-x¤ +2x+1)-(1-x)} dx= :)3 (-x¤ +3x)dx
-2
S=[-;3!;x‹ +;2#;x¤ ]3)=;2(;
x
2
x¤ -4=-x¤ -2x
™
y=x -4
y
2x¤ +2x-4=0 2(x+2)(x-1)=0
x=-2
[-2 1]
1
-2
x=1
-x¤ -2xæx¤ -4
S
S= :_1@ {(-x¤ -2x)-(x¤ -4)} dx= :_1@ (-2x¤ -2x+4)dx
-4
S=[-;3@;x‹ -x¤ +4x]1_@=9
x
3
2x¤ =2
™
y=-x -2x
y y=x™+2x-2
-x¤ +2x=x¤ +2x-2
x=-1
x
O
x=1
-1 O
S
1
|-1-1|
S=
(1+1)‹ =;3*;
6
x
™
y=-x +2x
10
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
315
10
도형의 넓이와 정적분
01
y
오른쪽 그림과 같이 삼차함수 y=f(x)의 그래프와 x축
y=f(x)
으로 둘러싸인 두 도형의 넓이를 각각 S¡, S™라고 할 때,
S¡ O
-1
S™
S¡=;4%;, S™=8이다. 다음 물음에 답하여라.
2
x
|:_2! f(x)dx|
:_2! {| f(x)|-f(x)} dx
접근 방법
y=f(x)
x
S¡ S™
:Ac f(x)dxæ0, :Cb f(x)dx…0일 때, |:
:Ab f(x)dx|+:
:Ab |f(x)|dx
상세 풀이
-1…x…0
y=f(x)
x
S¡=;4%;
:_0! f(x)dx=;4%;
0…x…2
y=f(x)
:)2 {-f(x)} dx=8
x
S™=8
:)2 f(x)dx=-8
|:_2! f(x)dx|=|:_0! f(x)dx+:)2 f(x)dx|=|;4%;+(-8)|=;;™4¶;;
-1…x…0
|f(x)|=f(x) 0…x…2
|f(x)|=-f(x)
:_2! {|f(x)|-f(x)} dx=:_0! { f(x)-f(x)} dx+:)2 {-f(x)-f(x)} dx
:_2! {|f(x)|-f(x)} dx=-2:)2 f(x)dx=-2_(-8)=16
정답
⑴ ;;™4¶;; ⑵ 16
보충 설명
위의 문제에서 `f(x)=ax(x+1)(x-2)(a>0)로 놓고 상수 a의 값을 정하여 주어진 식의 값을 구할 수도 있
지만 계산이 복잡해지므로 넓이와 정적분 사이의 관계를 이용하여 구하도록 합니다. 또한 |:_2! f(x)dx|는 두
도형의 넓이의 차, :_2! | f(x)|dx는 두 도형의 넓이의 합과 같다는 것을 알아둡시다.
316
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.161
01-1
오른쪽 그림과 같이 삼차함수 y=f(x)의 그래프와 x축으로 둘러
y
y=f(x)
싸인 두 도형의 넓이를 각각 S¡, S™라고 할 때, S¡=16, S™=;2%;
S¡
이다. 다음 물음에 답하여라.
-1 O
1
2
|:_2! f(x)dx|
x
S™
:_2! {|f(x)|+f(x)} dx
01-2
오른쪽 그림과 같이 이차함수 y=f(x)의 그래프와 y축 및 두
y
직선 x=4, y=4로 둘러싸인 도형의 넓이가 10일 때,
4
y=4
:)2 {2-f(x)}dx의 값을 구하여라.
x
4
O
x=4 y=f(x)
10
01-3
오른쪽 그림과 같이 곡선 y=f(x)와 직선 y=3이 서로 다
른 세 점에서 만나고, 곡선과 직선으로 둘러싸인 두 도형 A,
y
y=f(x)
A
3
B의 넓이가 각각 7, 2일 때, 다음 정적분의 값을 구하여라.
:!6 { f(x)-3}dx+:
:#6 f(x-2)dx
01-1
;;™2¶;;
32
01-2 1
B
O
1
4
6 x
01-3 21
10
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
317
곡선과 x축 사이의 넓이
02
다음 도형의 넓이를 구하여라.
y=x¤ -3x-4
x
y=x‹ -x¤ -4x+4
x
접근 방법
y=0
x
-
곡선 y=f(x)와 x축 및 두 직선 x=a, x=b로 둘러싸인 도형의 넓이 S는
:Ab |f(x)|dx
S=:
상세 풀이
y=x¤ -3x-4
x
x
(x+1)(x-4)=0
[-1 4]
y y=x™-3x-4
x¤ -3x-4=0
x=-1
y…0
x=4
S
-1
S=-:_4! (x¤ -3x-4)dx=-[;3!;x‹ -;2#;x¤ -4x]4_!=;:!6@:%;
y=x‹ -x¤ -4x+4
x
x
4
O
x
-4
y y=x3-x™-4x+4
x‹ -x¤ -4x+4=0
4
(x+2)(x-1)(x-2)=0
x=-2
x=1
[-2 1]
x=2
yæ0
[1 2]
-2
O 1
2
x
y…0
S
S=:_1@ (x‹ -x¤ -4x+4)dx-:!2 (x‹ -x¤ -4x+4)dx
S=[;4!;x› -;3!;x‹ -2x¤ +4x]1_@-[;4!;x› -;3!;x‹ -2x¤ +4x]2!=;;¶6¡;;
⑴ ;;¡;6@;∞;; ⑵ ;;¶6¡;;
정답
보충 설명
포물선 y=ax¤ +bx+c와 x축의 교점의 x좌표를 a, b`(a<b)라고 하면 포물선
™
y=ax +bx+c
과 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이 S는
S=|:Ú’ (ax¤ +bx+c)dx|=
|a|
(b-a)‹
6
a
이것을 이용하면 ⑴에서 S=
318
1
125
{4-(-1)}‹ =
임을 알 수 있습니다.
6
6
S
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
b
x
p.162
02-1
다음 도형의 넓이를 구하여라.
y=-x¤ -5x-6
y=x‹ -x¤ -2x
x
y=x› -x‹ -2x¤
x
y=x(|x|-2)
02-2
x
x
다음 물음에 답하여라.
y=4x‹
x
x=-2 x=a
a
97
a>0
y=x(x-a)¤
x
108
a
a<0
10
02-3
오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에 직사각형 ABCD의 두
y
D
꼭짓점 A, B와 선분 CD의 중점을 지나는 포물선이 있다.
C
이 포물선과 선분 AB로 둘러싸인 도형의 넓이를 S¡, 직사
각형 ABCD의 넓이를 S™라고 할 때,
S¡
의 값을 구하여라.
S™
(단, AB”는 x축 위에 있다.)
02-1
;6!;
;1#2&;
;2^0#;
;3*;
02-2
3
O
A
B
x
02-3 ;3@;
-6
10
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
319
곡선과 직선 사이의 넓이
03
곡선 y=x‹ -x¤ +2 위의 점 (1, 2)에서의 접선과 이 곡선으로 둘러싸인 도형의
넓이를 구하여라.
접근 방법
(1 2)
x
방정식 f(x)=mx+n의 두 근을 a, b(a<b)라고 할 때, 곡선 y=f(x)와
직선 y=mx+n으로 둘러싸인 도형의 넓이 S는
S= :Ú’ |f(x)-(mx+n)|dx
상세 풀이
f(x)=x‹ -x¤ +2
f '(x)=3x¤ -2x
(1 2)
f'(1)=3-2=1
y=x‹ -x¤ +2
y-2=x-1
y=x‹ -x¤ +2
(1 2)
y=x+1
y=x+1
x
x‹ -x¤ +2=x+1
x‹ -x¤ -x+1=0 (x+1)(x-1)¤ =0
x=-1
[-1 1]
x=1
x‹ -x¤ +2æx+1
y
S
y=x3-x2+2 2
(1, 2)
S= :_1! {(x‹ -x¤ +2)-(x+1)} dx
S= :_1! (x‹ -x¤ -x+1)dx
y=x+1
-1
O
1
x
S=2 :)1 (-x¤ +1)dx=2[-;3!;x‹ +x]1)=;3$;
정답
;3$;
보충 설명
위의 풀이에서 방정식 x‹ -x¤ +2=x+1, 즉 x‹ -x¤ -x+1=0을 풀 때, 곡선 y=x‹ -x¤ +2와 직선 y=x+1
이 x=1인 점에서 접하므로 방정식 x‹ -x¤ -x+1=0의 좌변은 (x-1)¤ 을 인수로 가진다는 것을 이용하면 접
점이 아닌 교점의 x좌표를 쉽게 구할 수 있습니다.
즉, 등식 x‹ -x¤ -x+1=(x-1)¤ (x+a)로 놓고 상수항을 비교해 보면 a=1이므로
x‹ -x¤ -x+1=(x-1)¤ (x+1)임을 알 수 있습니다.
320
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.163
03-1
곡선 y=x‹ -3x¤ +x+4 위의 점 (0, 4)에서의 접선과 이 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이
를 구하여라.
03-2
다음 물음에 답하여라.
y=x¤
y=ax
36
a
a>0
y=x¤ +2k
y=(k+2)x
36
k
k<0
10
03-3
곡선 y=4-x¤ 위의 한 점 (t, 4-t¤ )에서의 접선과 이 곡선 및 y축, 직선 x=2로 둘러
싸인 도형의 넓이의 최솟값을 구하여라. (단, 0<t<2)
03-1 ;;™4¶;;
03-2
6
03-3 ;3@;
-4
10
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
321
두 곡선 사이의 넓이
04
두 곡선 y=x‹ -2x¤ , y=-x¤ +2x로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라.
접근 방법
x
두 곡선 y=f(x), y=g(x)로 둘러싸인 도형의 넓이는
⁄ 방정식 f(x)=g(x)를 풀어 두 곡선의 교점의 x좌표를 구한다.
¤ 교점의 x좌표를 기준으로 구간을 나누어 정적분의 값을 구한다.
상세 풀이
x
£
™
y=x -2x
y
x‹ -2x¤ =-x¤ +2x
x‹ -x¤ -2x=0 x(x+1)(x-2)=0
x=-1
x=0
x=2
-1 O
[-1 0]
x‹ -2x¤ æ-x¤ +2x
-x¤ +2xæx‹ -2x¤
S
2
[0 2]
S= :_0! {(x‹ -2x¤ )-(-x¤ +2x)} dx
x
™
y=-x +2x
+ :)2 {(-x¤ +2x)-(x‹ -2x¤ )} dx
S= :_0! (x‹ -x¤ -2x)dx- :)2 (x‹ -x¤ -2x)dx
S=[;4!;x› -;3!;x‹ -x¤ ]0_!-[;4!;x› -;3!;x‹ -x¤ ]2)
S=;1#2&;
정답
;1#2&;
보충 설명
두 곡선의 교점의 x좌표를 구하고, 두 곡선의 차를 나타내는 함수의 그래프의 개형을 그려 x축과 둘러싸인 도
형의 넓이를 구하여도 같은 결과를 얻습니다.
즉, f(x)=x‹ -2x¤ -(-x¤ +2x)=x‹ -x¤ -2x에서 구하는 넓이를 S라고 하면
y
S= :_2! |x‹ -x¤ -2x|dx
S= :_0! (x‹ -x¤ -2x)dx- :)2 (x‹ -x¤ -2x)dx
y=f(x)
O
-1
S=;1#2&;
322
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
2
x
p.164
04-1
두 곡선 y=x¤ -2x, y=x‹ -2x¤ 으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라.
04-2
최고차항의 계수가 1인 삼차함수 y=f(x)의 그래프와 포물
y
y=f(x)
선 y=g(x)가 오른쪽 그림과 같이 x좌표가 0, 3인 두 점
에서 만날 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.
O
x
3
y=g(x)
10
04-3
함수 f(x)=|x(x-a)(x-b)(x-c)|의 그래프를 y축의 방향으로 4만큼 평행이동한
그래프가 나타내는 함수를 y=g(x)라고 하자. 두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프 및
두 직선 x=-2, x=4로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라. (단, a, b, c는 상수이다.)
04-1 ;2!;
04-2 ;;™4¶;;
04-3 24
10
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
323
두 도형의 넓이가 같을 조건
오른쪽 그림과 같이 곡선 y=3x¤ -6x+a와 x축 및 y
05
y=3x2-6x+a
y
축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 A, 이 곡선과 x축으로
둘러싸인 도형의 넓이를 B라고 할 때, A : B=1 : 2이
다. 상수 a의 값을 구하여라.
A
O
x
B
접근 방법
y=f(x)
y=f(x)
x
x
S¡
x=c
f(x)
a
S™
c
y=f(x)
S¡=S™
0
a
S¡=S™이면 :Ab f(x)dx=0
S1
b
S2
cx
y=f(x)
S1
a
b x
S2
상세 풀이
y=3x¤ -6x+a=3(x-1)¤ +a-3
y=3x¤ -6x+a
x=1
y=3x2-6x+a
y
A : B=1 : 2
A
A
:)1 (3x¤ -6x+a)dx=[x‹ -3x¤ +ax]1)
1
x
O
(3x¤ -6x+a)dx=1-3+a=0
x=1
a=2
2
정답
보충 설명
도형을 분할하는 경우에는 넓이의 비를 이용합니다.
y=f(x)
y=g(x)
오른쪽 그림에서 곡선 y=f(x)와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 S라고 할 때,
넓이 S를 곡선 y=g(x)가 이등분하면
:Ak { f(x)-g(x)} dx=;2!;S
b
a
입니다.
324
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
k
x
p.165
05-1
y
오른쪽 그림과 같이 곡선 y=x¤ -4x+k와 x축으로 둘러싸
y=x2-4x+k
인 도형의 넓이를 A, 이 곡선과 x축 및 직선 x=4로 둘러싸
인 도형의 넓이를 B라고 할 때, A : B=2 : 1이다. 상수 k의
값을 구하여라.
B
O
x
A
x=4
05-2
다음 물음에 답하여라.
y=x‹ -(a+2)x¤ +2ax
a
0<a<2
y=x(x-a)(x-a-1)
a
x
x
a>0
10
05-3
두 곡선 y=x› -x‹ , y=-x› +x로 둘러싸인 도형의
¢
y=-x +x
y
넓이가 곡선 y=ax(1-x)에 의하여 이등분될 때, 상
y=ax(1-x)
수 a의 값을 구하여라. (단, 0<a<1)
O
05-1 ;3*;
05-2
1
1
¢
£
y=x -x
1
x
05-3 ;4#;
10
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
325
02
1 속도와 위치
06 도함수의 활용
P
x(t)
t
t
(x)
(v)
v(t)
P
t
v(t)
t
P
P
x(t)
t
v(t)
t=tº
xº
x
P
t
x=f(t)
dx
=f '(t)=v(t)
dt
f(t)
v(t)
: v(t)dt=[ f(t)] =f(t)-f(tº)
t
t
tº
tº
t=tº
P
f(tº)=xº
t
P
x=f(t)=f(tº)+ : v(t)dt=xº+ : v(t)dt
t
t
tº
t=a
tº
t=b
P
f(b)-f(a)
f(b)-f(a)=[xº+ : v(t)dt]-[xº+ : v(t)dt]
b
a
tº
tº
f(b)-f(a)= : v(t)dt- : v(t)dt
b
tº
a
tº
f(b)-f(a)= : v(t)dt
b
a
326
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
f(t)
P
Example
t=8
t
v(t)=8-t
P
0+ :)8 (8-t)dt=[8t-;2!;t¤ ]8)=32
t=0
t=12
P
tº=0 xº=0
P
:)1 2 (8-t)dt=[8t-;2!;t¤ ]1)2 =24
v(t)
8
v=8
t=0
v(t)=8-t
v=0
t=8
v=-4
t=12
12
8
O
-4
t
0
24
(+ ÷-)
x
32
속도와 위치 사이의 관계
P
1
t
2
t=a
P
t
P
xº
t
tº
:Ab v(t)dt
P
t
t=tº
x=xº+ : v(t)dt
x
t=b
v(t)
10
x=:)t v(t)dt
2 속도와 거리
t=0
t=5
22 m
t=10
10 m
t=0
t=10
t=0
t=10
22-10=12(m)
22+10=32(m)
10
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327
P
t=a
t=b
[a b]
⁄
t
v(t)
P
s
v(t)æ0
f(t)
P
P
P
f(b)
s
t=a
f(a)
t=b
[a b]
s
f(b) x
s
f(a)
f(a)
s=f(b)-f(a)= :Ab v(t)dt
¤
x=f(t)
yy
v(t)…0
f(t)
P
P
P
f(a)
s
t=b
f(b)
t=a
f(b)
s=f(a)-f(b)= :Ba v(t)dt
s=- :Ab v(t)dt= :Ab {-v(t)} dt= :Ab |v(t)| dt
[a c]
‹
v(t)æ0
P
[c b]
yy
v(t)…0
s
s={ f(c)-f(a)}+{ f(c)-f(b)}
s= :Ac v(t)dt+ :Bc v(t)dt
s= :Ac v(t)dt+ :Cb {-v(t)} dt
s= :Ab |v(t)|dt
P
t=a
t=b
s
s= :Ab |v(t)|dt
328
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
x
t
y
v(t)
P
t=a
t
t=b
s
y=v(t)
y=v(t)
t=a t=b
b
O a
s= :Ab |v(t)|dt
c
t
속도와 거리 사이의 관계
P
t
v(t)
t=a
t=b
P
s
s= :Ab |v(t)|dt
0
Δ :Ab |v(t)|dt
1
Δ :Ab v(t)dt
P
t=4
t=1
t
v(t)=2t-4
10
P
t=5
P
2
P
t=2
t=6
P
t=2
t=6
P
t
v(t)
v(t)
4
4
O
2
6
t
-4
풀이
1
t=0
P
x=0
t=4
0+ :)4 (2t-4)dt=[t¤ -4t]4)=0
:!5 (2t-4)dt=[t¤ -4t]5!=8
2
v(t)= [
2t
(0…t…2)
8-2t (2…t…6)
:@6 (8-2t)dt=[8t-t¤ ]6@=0
:@6 |8-2t|dt= :@4 (8-2t)dt+ :$6 (-8+2t)dt=[8t-t¤ ]4@+[-8t+t¤ ]6$=4+4=8
10
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
329
속도와 위치 및 거리
06
원점을 출발하여 수직선 위를 7초 동안 움직이는
점 P의 t초 후의 속도 v(t)의 그래프가 오른쪽 그
v(t)
2
3
림과 같을 때, 다음을 구하여라.
1 2
O
P
4 5 6 7
t
-2
P
P
7
접근 방법
P
t
v(t)
P
점 P의 시각 t에서의 속도가 v(t)일 때
⑴ 시각 t에서의 점 P의 위치：x(t)=x(tº)+ : v(t)dt (단, x(tº)은 처음 위치)
t
tº
⑵ 시각 t=a에서 t=b까지 점 P가 움직인 거리：s= :Ab |v(t)|dt
상세 풀이
t=2 4
v(t)=0
t=2 4
v(t)
:)4 v(t)dt=0
t=4
P
2
P
P
4
P
:)7 |v(t)|dt
7
t
7
;2!;_2_2+;2!;_2_2+;2!;_(1+3)_2=8
정답
⑴ 2 ⑵ 4초 ⑶ 8
보충 설명
원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 속도가 v(t)일 때, :)t v(t)dt는 t초 후의 위치의 변화량이고
:)t |v(t)|dt는 t초 동안 움직인 거리입니다.
330
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
p.166
06-1
원점을 출발하여 수직선 위를 9초 동안 움직이는 점
P의 t초 후의 속도 v(t)의 그래프가 오른쪽 그림과
v(t)
2
7 8 9
같을 때, 다음을 구하여라.
O
P
1 2 3 4 5 6
t
-2
P
P
06-2
9
수직선 위를 움직이는 물체의 시각 t에서의 속도 v(t)가 오른쪽
v(t)
그림과 같고, t=0일 때 물체의 위치는 x(0)=-2일 때,
2
<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 골라라.
5 6
2
O
보기
4
t
-2
t=2
t=5
6
06-3
6
오른쪽 그림은‘가’
지점을 출발하여
v
v
10
v
‘나’
지점에 도착할 때까지 직선 경로
를 따라 이동한 세 자동차 A, B, C
의 시각 t에서의 속도 v를 나타낸 그
40 t
O
A
래프이다. <보기>에서‘가’
지점을 출
O
30
t
B
40 t
O
C
발하여‘나’
지점에 도착할 때까지의 상황에 대한 설명으로 옳은 것만을 있는 대로 골라라.
보기
A, C
C
t
06-1
2
9
8
06-2
06-3
10
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
331
속도와 거리의 활용
07
지면으로부터 2 m의 높이에서 49 m/s의 속도로 지면과 수직인 방향으로 던져 올
린 물체의 t초 후의 속도가 v(t)=49-9.8t (m/s)일 때, 다음 물음에 답하여라.
2
10
접근 방법
t
0
|v(t)|
⑴ 움직이는 물체가 멈출 때의 속도는 0이다.
⑵ 위치의 변화량은 :Ab v(t)dt, 움직인 거리는 :Ab |v(t)|dt이다.
상세 풀이
2
2+ :)2 (49-9.8t)dt=2+[49t-4.9t¤ ]2)=80.4 (m)
0
49-9.8t=0
t=5
5
2+ :)5 (49-9.8t)dt=2+[49t-4.9t¤ ]5)=124.5 (m)
10
:)1 0 |49-9.8t|dt= :)5 (49-9.8t)dt+ :%1 0 (9.8t-49)dt
|49-9.8t|dt=[49t-4.9t¤ ]5)+[4.9t¤ -49t]1%0 =245 (m)
정답
⑴ 80.4 m ⑵ 124.5 m ⑶ 245 m
보충 설명
t™
오른쪽 그림과 같은 수직선 위에서 점 P가 점 Q까지 시각 t¡에서 t™ (t¡<t™)까
지 움직이는 운동에서 움직인 거리는 x™-x¡이 아니라 PA”+AB”+BQ”입니다.
t™
t™
따라서 : v(t)dt와 : |v(t)|dt를 구분하여 사용하도록 합니다.
t¡
332
t¡
P(x¡) B
A
t¡
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
Q(x™) x
p.167
07-1
지면으로부터 5 m의 높이에서 98 m/s의 속도로 지면과 수직인 방향으로 던져 올린 물체의
t초 후의 속도가 v(t)=98-9.8t (m/s)일 때, 다음 물음에 답하여라.
1
15
07-2
지면에서 a m/s의 속력으로 지면과 수직인 방향으로 쏘아 올린 물체의 t초 후의 속도는
v(t)=a-10t (m/s)이다. 지면으로부터 높이가 500 m 이상인 지점까지 물체를 쏘아 올리
려면 물체를 지면에 수직인 방향으로 몇 m/s 이상의 속력으로 쏘아야 하는지 구하여라.
07-3
오른쪽 그림은 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점
v(t)
P의 시각 t (0…t…d)에서의 속도 v(t)를 나타내는 그
래프이다. :)a |v(t)|dt= :Ad |v(t)|dt일 때, <보기>에
10
b
a
O
c d t
서 옳은 것만을 있는 대로 골라라. (단, 0<a<b<c<d)
보기
P
:)c v(t)dt= :Cd v(t)dt
:)b v(t)dt= :Bd |v(t)|dt
07-1
98.1 m
495 m
612.5 m
07-2 100 m/s
07-3
10
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
333
10-
1
y=-x¤ +ax+16-4a
a
10-
x
y
4<a<8
2
[0 2]
y=x¤ -2x+a
y
x
x , y
x=2
S¡ S™ S£
a
y=x2-2x+a
S™=S¡+S£
12a
S£
S¡
O
x
S™
x=2
10-
3
y=x‹ -x
x
S¡,
S™
10-
4
y=x¤ -x
x
S™-S¡
y=x¤ +ax+b
y=5
y
y=x2+ax+b
6
6
a b
y=5
O
x
10-
5
y=x‹
x=-a,
y
ab
a>0 b>0
-a
O
S¡
334
y=x‹
S¡ S™
x=b
S¡+S™=32
x
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
S™
b
x
p.345 |
10-
6
1
f(x)
y=f(x)
10-
S
y
x
0…x…1
y=f(x) y=g(x)
A
1
x
2
y=x¤
1
y
y=ax x=1
S(a)
a
y=g(x)
A
O
a b
[0 1]
B
y
B
A-B
y=f(x)
1…x…2
y=f(x) y=g(x)
8
30S
f(x)=ax¤ +b (xæ0
y=g(x)
10-
:)2 0 1 8 f(x)dx= :#2 0 1 8 f(x)dx
f(3)=0
x
7
p.169
x
2
y=x¤
S(a)
0<a<1
y=ax
O
x
x=1
10
10-
9
t
v(t)=‡
t
10
(0…t…20)
60-2t (20…t…40)
35
10-
v(t)(m/min)
40 m
m
t
v(t)=40-;3*;t(m/s)
10
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
335
10-
11
y=x› +ax¤ +b
x=0
a b
42
5
127
15
43
5
26
3
12
y=x¤ (x-a)(x-b)
13
y=b
128
15
-2
x
2
O
x
a b
0<a<b
;bA;
10-
y=x4+ax2+b
x=-2 x=2
y=b
10-
y
y=b
y=x¤ -4x
x
y=ax
a
10-
14
y=f(x)
y=g(x)
y
x=0 x=3 x=4
y=f(x)
;;¢2∞;;
y=f(x)
[0 3]
y=g(x)
[3 4]
y=g(x)
y=f(x)
3
O
x
4
y=g(x)
10-
15
y
1
1
OPQR
y=ax‹ (0<a<1) y=bx¤ (b>1)
y=bx¤
R
Q
S£
y=ax‹
S™
S¡ S™ S£
S¡ S™ S£=1 2 3
O
336
a b
P R
;aB;
x
O
y
Ⅲ.
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
S¡ P
1
x
p.346 |
10-
16
f(x)=x‹ +ax+b g(x)=ax¤ +bx+1
p.174
P(-1 k)
a b
10-
17
3 km
t
v(t)=;4#;t¤ +;2!;t (km/min)
5
km
10-
18
5 cm
A
A
P
P Q
A
t
Q
P Q
(4t+2) cm/s (2t+3) cm/s
5 cm
O
10
p=3.14
10-
19
l
C(6 0)
y
A
y
B
C
A
B
ODC
AB”
20
OC”
P
x
6
f(x)=x‹ -6x¤
l
D
v(t)
y=x3-6x2
O
OABC
x
10-
y
l
O
t (0…t…12)
v(t)
v(6-t)=v(6+t)
s(a)= :)a v(t)dt
s(4)=1 s(6)=3
P
s(2)=4
t=2
O
2
4
6
t
t=10
10
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
337
10
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
정답
기본 다지기
실력 다지기
※
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
정답 기본 다지기, 실력 다지기
01 함수의 극한
f(x)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - p.50
01-1
1
-1
2
-1
3
-;;™7¶;;
4
;4!;
-1
[1 2]
f(1)=-4<0 f(2)=11>0
0
f(1) f(2)<0
1
f(c)=0
3
1
c
1
2
;2!;
f(x)=0
5 1
6
f(x)=(x‹ +2x+4)(2x¤ -1)
a=2 b=-2
a=-7 b=-4
f(x)
[-1 1]
7 ;2%;
8
(1 2)
-;2!;
f(-1)=1>0 f(0)=-4<0
-;;¡4£;;
f(1)=7>0
2
f(-1)f(0)<0 f(0)f(1)<0
9 ;3!;
f(c)=0
0
10 '2
c
-1
0
1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - p.52
f(x)=0
(-1 1)
01-11 32
12 1
13 f(x)=6x‹ -16x¤ +10x
14 26
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - p.86
15
02-1 -4
16 p
17 (3 3)
2
18 4
3 ;4!;
19
-;2!;
;2#;
4
-12
3
32
3
5
02 함수의 연속
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - p.85
6
7 -1
8
9 10
07-1
f(x)=x› +x‹ -7x+1
10 3
340
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - p.88
lim
h ⁄0
f(1+h)-f(1)
h
02-11 15
12 3
f(x)
x=1
13 7
14 9
15
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - p.115
16 5
05-1
17 3
f '(x)
18
=(2x¤ -1)'(3x-x‹ )+(2x¤ -1)(3x-x‹ )'
19
=4x(3x-x‹ )+(2x¤ -1)(3-3x¤ )
=-10x› +21x¤ -3
f '(1)=-10_1› +21_1¤ -3=8
03 미분계수와 도함수
f(x)=(x¤ -1)‹ =xfl -3x› +3x¤ -1
f '(x)=6xfi -12x‹ +6x
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - p.107
04-1
f '(1)=6_1fi -12_1‹ +6_1=0
f '(x)=(x¤ +2)'(x+3)(x+4)
⁄ f(1)=1_|1-1|=0
=
+(x¤ +2)(x+3)'(x+4)
lim f(x)= lim x|x-1|=0
x ⁄1
+(x¤ +2)(x+3)(x+4)'
x ⁄1
lim f(x)=f(1)
x ⁄1
f(x)
¤ lim
h ⁄0+
=2x(x¤ +7x+12)+(x¤ +2)(2x+7)
f(1+h)-f(1)
h
(1+h)_|(1+h)-1|-1_|1-1|
h
= lim
(1+h)_|h|
(1+h)h
= lim
h
h
h ⁄0+
h ⁄0+
h ⁄0+
=1
h ⁄0-
+(x¤ +2)(x+3)
x=1
= lim
lim
f '(x)=2x(x+3)(x+4)+(x¤ +2)(x+4)
f(1+h)-f(1)
h
= lim
h ⁄0-
(1+h)_|(1+h)-1|-1_|1-1|
h
=4x‹ +21x¤ +28x+14
f '(1)=4_1‹ +21_1¤ +28_1+14=67
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - p.124
03-1
2
3
-2
2
-2
4 90
5
(1+h)_|h|
(1+h)(-h)
= lim
= lim
h
h
h ⁄0h ⁄0-
6 5
=-1
7 ;2%;
341
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
정답 기본 다지기, 실력 다지기
8 12
F(x)= f(x)-g(x)=k
9
10
f(x)=g(x)+k
y'=2 f(x)f '(x)
f '(x)
y'=
2"çf(x)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - p.126
k
k
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - p.152
04-1 28
2 18
03-11 18
3 16
12 32
13 12
4 ;;•4¡;;
14 ;;¢2∞;;
5 ;;¶9º;;
15
6 2'2
16 2
7
17
8 10
18
9 -1<k<3
19 29
10 20
1
20 f '(x)=8-x¤
m=2 (2 4)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - p.154
04-11 10
12 ;4“;
04 접선의 방정식과 평균값 정리
13 3
14 1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - p.151
06-3
15 -1
'∂30
F(x)= f(x)-g(x)
g(x)
f(x)
17 1 : 4
[a b]
(a b)
F(x)
[a b]
16 3
(a b)
18 2
19 14
20 ;2!;
(a b)
x
f '(x)=g '(x)
F'(x)= f '(x)-g '(x)=0
F(x)
[a b]
342
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
05 함수의 극대, 극소와 그래프
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - p.181
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - p.184
05-1
2 2
06-1
-12
y
20
-1
O
20
3 2
4 28
y=f(x)
5 12
-7
-12
6 9
x
3
7
-5
-4
8 0<a<1
9 b=3a
y=f(x) y
1
x
O
10
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - p.186
-4
05-11 4
-5
12 16
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - p.183
13
14 4
07-1
15 -3
23
y
16 16
23
17
18 32
19 13
x
-3 O
-4 y=f(x)
-20 7
06 도함수의 활용
12
y y=f(x)
12
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - p.218
06-1
7
-2
1
O
x
2 -31
3
0<a<1
-1
a…-2
a<-2
4 26
-20
5
6 3
343
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
정답 기본 다지기, 실력 다지기
7 3
8
10 f(x)=;3!;x‹ +3x
2'3
9
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - p.240
9 12
07-11
10 18
12
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - p.220
13 4
14 24
06-11 1
12 12
15 -26
13 -6
16 23
14
17 g(x)=3x¤ +4x-7
15 9
18 4
16 1
19 4
17
20 k<3
2'3
9
18 8'3
08 정적분
19
20 10p cm¤ s
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - p.263
01-3
07 부정적분
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - p.238
07-1
;3@;x‹ +2xy¤ +C
3x¤ y¤ +;2!;y› +C
2 17
ax¤ +bx+c=0
a b
ax¤ +bx+c=a(x-a)(x-b)
:Ú’ (ax¤ +bx+c)dx
= :Ú’ a(x-a)(x-b)dx
3
=a :Ú’ (x-a){(x-a)-(b-a)}dx
4 -;2!;
=a :Ú’ {(x-a)¤ -(b-a)(x-a)}dx
5
=a[;3!;(x-a)‹ -;2!;(b-a)(x-a)¤ ]’Ú
6
7 1
=a[;3!;(b-a)‹ -;2!;(b-a)‹ ]
8 32
9 f(x)=3x¤ -2x-1
=-;6A;(b-a)‹
344
<이 책은 저작권법에 따라 보호받는 저작물이므로 무단 전재와 무단 복제를 금합니다.>
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - p.272
5
15
18
6
08-1 30
2
3
-4
0
-;2(;
0
-;4!;
41
7
4 32
5 7
x…0
f(x)=;2!;-x
0…x…1
6 96
xæ1
7 56
8 11
f(x)=x¤ -x+;2!;
f(x)=x-;2!;
;4!;
9 16
8
10 13
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - p.274
8
-;1¶2;
9 6
10 -13
08-11
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - p.304
12 8
09-11
13 84
12
14 4
13
15 ;6%;
14 -5
16 -A+2B
17 45
15 -1
16 10
18 1
17 16
19 5
18 12
20 17
19 2
20
09 정적분과 함수
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - p.302
09-1
10 정적분의 활용
2
3 3
4
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - p.334
f(x)=3x¤ -4x+1
4
10- 1 ;;¡3§;;
345
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정답 기본 다지기, 실력 다지기
2 8
3 -;3!;
4 36
5 8
6 40
7 ;9$;
8
'2
2
9 275 m
10 300 m
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - p.336
10-11
12 ;5#;
13 2 ‹ '4 -4
14 ;6&;
15 ;3*;
16 ;3$;
17 15 km
18 11
19 54
20 10
346
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ㄱ
ㅅ
159
077
060
013
161
094
161
161
161
ㅇ
161
057
013
061
*
072
060
015
ㄷ
060
108
ㅈ
226
245
ㄹ
*
254
015
144
159
093
ㅁ
016
ㅊ
076
094
094
ㅍ
146
ㅂ
093
060
017
225
*
ㅎ
229
024
058
029
347
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기호
lim
f(x)
x ⁄a
013
¶
016
lim f(x)
015
lim f(x)
x ⁄a+
015
[a b]
060
(a b)
060
[a b)
060
(a b]
060
Dx
093
Dy
093
f '(x)
108
y'
dy
12
dx
d
12 f(x)
dx
108
x ⁄a-
108
108
: f(x)dx
225
:Ab f(x)dx
245
[F(x)]bA
245
348
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MEMO
Bible
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