Limit & Kekontinuan
DTH1B3 – MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I
D3 TEKNIK TELEKOMUNIKASI
FAKULTAS ILMU TERAPAN
TELKOM UNIVERSITY
Capaian Pembelajaran
 Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami
kekontinuan dari suatu fungsi.
Materi Pembelajaran
Definisi Limit
Limit-kiri dan Limit-kanan
Teorema Limit Utama
Teorema Subtitusi & Teorema Apit
Kekontinuan Fungsi: Definisi
Kekontinuan Fungsi: Teorema A, B, C
Kekontinuan Fungsi: Teorema D, E, F
Perhatikan fungsi berikut ini.
Limit
Definisi
Fungsi tersebut tidak terdefinisi pada x = 1 karena dititik ini
f(x) berbentuk 0/0. Tetapi kita dapat mengamati nilai-nilai
f(x) untuk x mendekati 1.
Nilai-nilai f(x) untuk x disekitar 1 dapat dilihat pada tabel
dan grafik dibawah.
Limit
Definisi
Dari tabel dan grafik tersebut, kita dapat mengambil
kesimpulan bahwa f(x) mendekati 3 bilamana x mendekati
1. Dalam lambang matematis kita tuliskan:
Limit
Definisi
Dibaca: “limit dari
adalah 3.”
Selanjutnya fungsi tersebut dapat dimanipulasi agar
terdefinisi untuk x = 1.
Pengertian limit secara intuisi.
Limit
Definisi Secara
Intuisi
“Untuk mengatakan bahwa
berarti bahwa
bilamana x dekat tetapi berlainan dari c, maka f(x) dekat
ke L .”
Tentukan:
Solusi:
Bilamana x dekat 3, maka 4x – 5 dekat terhadap
Limit
Contoh 1
(4 x 3) – 5 = 7
Kita tulis:
Tentukan:
Solusi:
Limit
Contoh 2
Perhatikan bahwa fungsi tersebut tidak terdefinisi untuk x =
3. Sehingga untuk menyelesaikan atau mencari nilai limit
tersebut, fungsi diatas harus disederhanakan agar
terdefinisi pada x = 3.
Tentukan:
Solusi:
Fungsi tersebut tidak terdefinisi untuk x = 0, dan juga tidak
Limit
dapat disederhanakan. Sehingga, nilai limit x menuju 0 dari
fungsi tersebut dapat diperkirakan bernilai sama dengan 1
Contoh 3
berdasarkan nilai-nilai x disekitar 0.
Tentukan:
Solusi:
menyatakan bilangan bulat terbesar dalam x. Untuk
Limit
Contoh 4
semua bilangan x yang lebih kecil dari 2 tetapi dekat
dengan 2,
besar dari 2,
= 1. Untuk semua bilangan x yang lebih
= 2. Dapat disimpulkan bahwa fungsi ini
mengalami lompatan nilai, sehingga nilai
tidak ada.
Tentukan:
Solusi:
Limit
Contoh 5
Ketika nilai x mengecil menuju 0, terlalu
banyak goyangan (osilasi) yang terjadi,
sehingga tidak konvergen kepada satu buah
nilai solusi. Kita simpulkan bahwa
tidak ada.
Untuk mengatakan bahwa
berarti bahwa
bilamana x dekat tepi sebelah kanan c, maka f(x) adalah
Limit-kiri dan
Limit-kanan
dekat ke L. Serupa, untuk mengatakan bahwa
Definisi
maka f(x) adalah dekat ke L.
Berarti bahwa bilamana x dekat tepi sebelah kiri c, maka
jika dan hanya
Limit-kiri dan
Limit-kanan
Teorema
dan
Andaikan n bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g
adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di c. Maka:
Limit
Teorema Limit
Utama
jika
jika
Untuk n genap
Tentukan:
Solusi:
Limit
Contoh 6
Tentukan:
Solusi:
Limit
Contoh 7
Tentukan:
Solusi:
Limit
Contoh 8
Jika
Solusi:
Limit
Contoh 9
dan
, tentukan:
Jika f suatu fungsi polinom atau fungsi rasional, maka
Limit
Teorema Subtitusi
asalkan dalam kasus fungsi rasional, nilai penyebut di c
tidak nol.
Andaikan f, g dan h adalah fungsi-fungsi yang memenuhi
Limit
Untuk semua x dekat c, kecuali mungkin tepat pada c. Jika
Teorema Apit
maka
Untuk
Tentukan:
Solusi:
Limit
Misalkan:
Contoh 10
dan
Karena
maka
Suatu fungsi f dikatakan kontinu di titik c apabila:
Kekontinuan
Fungsi
ada
ada
Definisi
Jika salah satu syarat tersebut tidak terpenuhi, maka f tidak
kontinu di c.
Misalkan:
Kekontinuan
Fungsi
Bagaimanakah mendefinisikan f pada x = 2 agar fungsi
tersebut menjadi fungsi yang kontinu?
Solusi:
Contoh 11
Maka kita definisikan f(2)
= 4. Dari gambar dapat
dilihat bahwa f(x) = x + 2
untuk semua x.
Fungsi polinom kontinu di setiap bilangan riil c. Fungsi
rasional kontinu disetiap bilangan riil c dalam daerah
asalnya, yaitu kecuali dimana penyebutnya adalah nol.
Kekontinuan
Fungsi
Contoh:
Untuk fungsi
=>
Teorema A
Keduanya adalah polinom, sehingga kontinu.
Lalu:
Sehingga
disetiap titik.
kontinu
Fungsi nilai mutlak adalah kontinu disetiap bilangan riil c.
Jika n adalah suatu bilangan ganjil, fungsi akar ke n kontinu
Kekontinuan
Fungsi
Teorema B
disetiap bilangan riil c. Jika n adalah suatu bilangan genap,
maka fungsi akar ke n kontinu disetiap bilangan riil positif c.
Contoh:
Jika c adalah bilangan riil negatif, dan n adalah bilangan
genap, maka akan dihasilkan bilangan imajiner, sehingga
tidak kontinu di c.
Jika fungsi f dan g kontinu di c, maka demikian juga:
1. kf
Kekontinuan
Fungsi
Teorema C
2. f + g
3. f - g
4. f · g
5. f/g asalkan g(c) tidak nol
6. fn
7. 𝑛 𝑓 asalkan f(c) > 0 jika n genap
Kekontinuan
Fungsi
Teorema D
(Trigonometri)
Fungsi sinus dan kosinus kontinu disetiap bilangan riil c.
Fungsi tangen, cotangen, secan dan cosecan kontinu
disetiap bilangan riil c pada daerah asalnya.
Kekontinuan
Fungsi
Jika
dan jika f kontinu di L, maka:
Teorema E
(Teorema limit
komposit)
Khususnya jika g kontinu di c dan f kontinu di g(c), maka
fungsi komposit f ○ g kontinu di c.
Contoh:
Buktikan bahwa
bilangan riil.
kontinu disetiap
Kekontinuan
Fungsi
Solusi:
Teorema E
Kedua fungsi tersebut kontinu disetiap bilangan riil.
Sehingga kompositnya:
Misalkan
dan
(Teorema limit
komposit)
juga kontinu disetiap bilangan riil.
Suatu fungsi f kontinu kanan pada titik a dan kontinu kiri
pada titik b jika
Kekontinuan
Fungsi
Kekontinuan Pada
Suatu Interval
dan
f kontinu pada selang terbuka (a, b) jika f kontinu disetiap
titik (a, b). f kontinu pada selang tertutup [a, b] jika
kontinu pada (a, b), kontinu kanan di a dan kontinu kiri di
b.
Contoh:
Uraikan sifat-sifat kekontinuan dari fungsi pada grafik
berikut.
Kekontinuan
Fungsi
Kekontinuan Pada
Suatu Interval
Solusi:
Fungsi tersebut kontinu pada selang terbuka (-∞, 0), (0, 3)
dan (5, ∞).
Fungsi tersebut kontinu pada selang tertutup [3, 5].
Jika f kontinu pada [a, b] dan jika w sebuah bilangan
antara f(a) dan f(b), maka terdapat sebuah bilangan c di
antara a dan b sedemikian sehingga f(c) = w.
Kekontinuan
Fungsi
Teorema F
(Teorema nilai
antara)
Contoh-contoh fungsi diskontinu:
Referensi
• Edwin J. Purcell & Dale Varberg. Calculus with Analytic
Geometry, 9th ed. Prentice-Hall, Inc.
Terima Kasih