Majeure Data Science 2022-2023
(Analyse de) Séries Temporelles
( « comment prévoir le futur en apprenant du passé ? »)
Contenu
1. Introduction
2. Approche probabiliste sur un exemple – série de chômage
3. Analyse exploratoire
4. Processus stationnaires
5. Modèles ARMA et extensions
6. Prévision des modèles ARMA
7. Analyse globale de séries temporelles
1
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Objectifs du cours :
 Apporter les compétences de base minimales pour aborder l’étude ou analyse de
séries chronologiques ainsi qu’un minimum de savoir faire…
 Faire comprendre les concepts fondamentaux de cette analyse, en particulier les
concepts de stationnarité et d’auto-corrélation…
 Présenter le cadre probabiliste classique des modèles ARMA et leurs extensions
(briques de base : AR, MA, ARMA, ARIMA, SARIMA)
2
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[1. INTRODUCTION]
Série temporelle = x1, …, xj, …, xn série de données (variable réelle) où le
numéro d’observation j  {1, 2, …, n} joue le rôle du « temps » t
Chronologie dans le recueil des données :
série temporelle = série chronologique
La nature de cette série est « complexe » :
 pas de relation ou mécanisme simple (déterministe) qui lie les observations
dans le temps
 variabilité plus ou moins importante
 présence de composantes en apparence « imprévisibles »…
On donne maintenant des exemples :
3
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[1. INTRODUCTION]
Exemple 1 (source : package R « datasets »)
4
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[1. INTRODUCTION]
Exemple 2 (source : package R « datasets »)
5
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[1. INTRODUCTION]
Exemple 3 = exemple 1 page 5 du support (Olivier Roustant, nov. 2008)
(source : package R « datasets », série AirPassengers)
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[1. INTRODUCTION]
Exemple 4 = exemple 2 du support page 15
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[1. INTRODUCTION]
Exemple 5 (Source : pkg caschrono de R)
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[1. INTRODUCTION]
Exemple 6 (Source : pkg caschrono)
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[1. INTRODUCTION]
Exemple 7 (Source : pkg caschrono)
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[1. INTRODUCTION]
Objectif central de l’analyse statistique d’une série chronologique = faire de
l’inférence, par exemple prévoir la suite de la séquence
(objectif propre à toute la Statistique)
 Nécessite donc un modèle probabiliste pour représenter les données.
Dans le cas d’un modèle paramétrique, il faudra estimer les paramètres et
vérifier la validité du modèle (« goodness of fit »).
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[1. INTRODUCTION]
On pourra en retour utiliser le modèle estimé pour apporter une réponse à
différentes problématiques :
 Décrire/analyser les données : tendance et/ou saisonnalité et fluctuations
autour de cette composante
 Filtrage et prévision (objectif central dans ce cours)
 Tests d’hypothèses (par ex., dérive dans un « process » de fabrication,
hausse ou non du chômage sur le dernier trimestre, réchauffement
climatique dû à l’activité humaine, …)
 Simulations (gestion industrielle, gestion de flux dans l’entreprise, gestion
de risque comme en finance ou assurance, …)
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[1. INTRODUCTION]
L’idée principale pour apporter une réponse aux problématiques précédentes
est de se ramener à une série « stationnaire » avec deux approches classiques :
 On cherche à décrire la série par sa tendance et/ou saisonnalité, ce qui
permet d’isoler une composante résiduelle (comme en régression)
 Approche de Box-Jenkins qui consiste à transformer la série initiale à
l’aide notamment des opérateurs de différenciation d mais
aussi de différenciation saisonnière s = s où B désigne l’opérateur
retard : {xt}t  {xt – 1}t
On rend compte ensuite de la partie stationnaire par un modèle probabiliste
adéquat…
13
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[2. APPROCHE PROBABILISTE SUR UN PREMIER EXEMPLE – SERIE DE CHOMAGE]
Exemple 2 du support de cours (page 14) :
Chronogramme d’une série mensuelle Xt
pour t variant de janvier 1961 à décembre 1985, soit n = 25×12 valeurs
On considère la série différenciée : Yt = Xt – Xt – 1 ou Y = (I – B)X avec B opérateur retard
14
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[2. APPROCHE PROBABILISTE SUR UN PREMIER EXEMPLE – SERIE DE CHOMAGE]
 On considère que la série différenciée y(t) est stationnaire
Se pose la question de savoir s’il s’agit d’un « bruit » (variables dé-corrélées),
on réalise pour cela des diagrammes retardés (lag-plot) :
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[2. APPROCHE PROBABILISTE SUR UN PREMIER EXEMPLE – SERIE DE CHOMAGE]
On observe clairement une dépendance linéaire pour le retard ou décalage
h = 1 (h = lag), on parle d’autocorrélation d’ordre 1.
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[2. APPROCHE PROBABILISTE SUR UN PREMIER EXEMPLE – SERIE DE CHOMAGE]
Hypothèse : la série d’observations (yt)t est la réalisation (partielle) d’un
processus aléatoire (Yt)t stationnaire au sens suivant :
 E(Yt) =  constante
 Var(Yt) = 2 constante > 0
 Cov(Yt, Yt+h) = hpour h = 1, 2, …
On notera (h) = Cor(Yt, Yt+h) coefficient de corrélation linéaire d’ordre h
entre les variables Yt et Yt+h :
h
(h) =
0
La fonction  est appelée fonction d’auto-covariance (ACvF) et  fonction
d’autocorrélation (ACF) du processus Y.
 temps t = …, -2, -1, 0, 1, 2, … 
(pas d’origine des temps)
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[2. APPROCHE PROBABILISTE SUR UN PREMIER EXEMPLE – SERIE DE CHOMAGE]
Estimations « naturelles » (moyennes temporelles par opposition à des
moyennes spatiales)
n

^
 = n  yt
t=1

2
^
 =n
^ (h) = 
n
n
 (yt  ^ )2
t=1
nh
 (yt+h  ^ )(yt  ^ )
t=1
^ (h)
n
^
 (h) =
(n  50 et h « petit »  5 )
^
  (0)
18
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[2. APPROCHE PROBABILISTE SUR UN PREMIER EXEMPLE – SERIE DE CHOMAGE]
Fonction d’autocorrélation estimée (ACF) en fonction du retard h (lag) à gauche
Fonction d’autocorrélation partielle estimée à droite (cf. infra)
(corrélogramme et corrélogramme partiel)
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[2. APPROCHE PROBABILISTE SUR UN PREMIER EXEMPLE – SERIE DE CHOMAGE]
Bilan provisoire (phase exploration de la série de chômage)
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[2. APPROCHE PROBABILISTE SUR UN PREMIER EXEMPLE – SERIE DE CHOMAGE]
Modélisation probabiliste : le corrélogramme suggère que le processus (Yt)t
serait d’ACF théorique vérifiant
Y(h) = Cor(Yt+h , Yt) = 0 pour h  2
et
Y(1)  – 0.5

Un tel processus existe-t-il ?

Est-il unique ?
21
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[2. APPROCHE PROBABILISTE SUR UN PREMIER EXEMPLE – SERIE DE CHOMAGE]
Moyenne mobile d’ordre 1 (MA(1) - Moving Average)
Soit Yt = t + t–1 où {t} est un bruit blanc centré de variance .
Alors le processus Y est stationnaire et (réponse à la question de l’existence)

YY
1+2
et
Y(h) = 0 pour h  2.

On observe que | Y2 .
MA(1) de moyenne  : Yt =  + t + t–1
22
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[2. APPROCHE PROBABILISTE SUR UN PREMIER EXEMPLE – SERIE DE CHOMAGE]
Unicité (problème d’identification) Soit Y un processus stationnaire d’ACF
nulle à partir du rang 2. Alors :


| Y2


Il existe  unique dans [-1, 1] tel que Y
1+2

Y est un MA(1), i.e. de la forme Yt =  + t + t–1
où {t} est un bruit blanc centré.
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[2. APPROCHE PROBABILISTE SUR UN PREMIER EXEMPLE – SERIE DE CHOMAGE]
Bilan modélisation de la série de chômage (xt)t
La série différenciée yt = xt – xt – 1 (nombre de chômeurs en plus ou en moins d’un
mois sur l’autre) est la réalisation d’un processus stationnaire Yt = Xt – Xt – 1 de type
MA(1)
Yt =  + t + t–1 avec  bruit blanc (centré) de variance 2
 le modèle pour la série initiale (xt)t est de la forme ARIMA(p, d, q) avec p = 0 (pas
de partie autorégressive), d=1 (car la série est différenciée une fois) et q=1 pour l’ordre
de la partie moyenne mobile : x  ARIMA(0, 1, 1)
ARIMA = Autoregressive Integrated Moving Average
(moyenne mobile autorégressive intégrée)
On laisse provisoirement de côté le problème de l’estimation des paramètres  et 2
(ajustement du modèle ou model fitting) ainsi que celui de la validation du modèle à
partir des données (qualité de l’ajustement ou goodness of fit) pour s’intéresser au
problème théorique de la prévision avec un tel modèle.
24
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[2. APPROCHE PROBABILISTE SUR UN PREMIER EXEMPLE – SERIE DE CHOMAGE]
Prévision avec un modèle de type MA(1) : on suppose  = 0 sans perte de
généralité et
Yt = t + t–1 avec || < 1.

On dispose des observations Y1, Y2, …, Yn. On note  = Y

1+2
Prédicteur linéaire optimal à un pas de temps basé sur la dernière observation
^ n+1, 1 = EL( Yn+1 | Yn ) = Yn
Y

Variance de l’erreur de prévision correspondante
^ n+1, 1 )2 = (1   )×Y2
vn, 1 = E( Yn+1 – Y
25
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[2. APPROCHE PROBABILISTE SUR UN PREMIER EXEMPLE – SERIE DE CHOMAGE]
Prédicteur linéaire optimal basé sur les deux dernières observations Yn et Yn – 1



^ n+1, 2 = EL( Yn+1 | Yn, Yn – 1 ) =
Y
Y –
Y
1   n 1   n – 1
^ n+1, 2 )2 = (1   )×(1  Y(2)2)×Y2
vn, 2 = E( Yn+1 – Y
en notant

Y(2) = –
= Cor(Yn+1  Yn, Yn – 1  Yn)
1  
 Y(2) est appelé coefficient d’autocorrélation partielle d’ordre 2
Bien que la variable Yn – 1 soit non corrélée avec Yn+1, elle améliore sa prévision
car le coefficient de corrélation partielle est non nul !
26
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[2. APPROCHE PROBABILISTE SUR UN PREMIER EXEMPLE – SERIE DE CHOMAGE]
Test rétro-actif de prévision ou backtesting
27
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[3. ANALYSE EXPLORATOIRE]
Exemple 1 du support : chronogramme de la série de trafic aérien
28
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[3. ANALYSE EXPLORATOIRE]
29
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[3. ANALYSE EXPLORATOIRE]
Interprétation (du passage au log). Avec yt = log(xt), on obtient que
xt  x t  1
yt =yt – yt  1 
(si petites variations)
xt  1
30
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[3. ANALYSE EXPLORATOIRE]
Modèle additif : xt = mt + st + ut (cf. support page 6)
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[3. ANALYSE EXPLORATOIRE]
32
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[3. ANALYSE EXPLORATOIRE]
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[3. ANALYSE EXPLORATOIRE]
Série stationnaire ?
34
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[3. ANALYSE EXPLORATOIRE]
Décomposition finale : xt = mt + st + ut
35
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[3. ANALYSE EXPLORATOIRE]
Modèle multiplicatif :

yt = log(xt)
transformation logarithmique
yt = mt + st + ut
décomposition additive de y
xt = Mt×St×Ut
décomposition multiplicative de x
Mt = exp(mt)
tendance de la série x
St = exp(st)
indice saisonnier
Ut = exp(ut)
indice aléatoire
où
36
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[3. ANALYSE EXPLORATOIRE]
Décomposition multiplicative xt = Mt×St×Ut
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[3. ANALYSE EXPLORATOIRE]
Seconde approche par différenciation (méthodologie de Box&Jenkins)
38
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[3. ANALYSE EXPLORATOIRE]
39
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[3. ANALYSE EXPLORATOIRE]
Exemple 2 du support. : chronogramme
« Stationnarisation » de la série de trafic aérien (2 approches)
40
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[3. ANALYSE EXPLORATOIRE]
Exemple 2 du support (pour rappel, série modélisée par un ARMA(0,1,1)) :
Chronogramme de la série de chômage
41
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[3. ANALYSE EXPLORATOIRE]
Variations d’un mois sur l’autre : série stationnaire
Yt = (I – B)Xt = Xt – Xt – 1
42
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[3. ANALYSE EXPLORATOIRE]
Fonction d’autocorrélation (ACF) en fonction du retard h (lag) à gauche
Fonction d’autocorrélation partielle à droite (cf. infra)
ACF nulle à partir de h = 2  MA(q=1)
43
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[3. ANALYSE EXPLORATOIRE]
Bilan stationnarisation de la série de chômage :
 on considère que la série différenciée y(t) est stationnaire
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[3. ANALYSE EXPLORATOIRE]
(1) = (1)   0.41 et   0.21
.
45
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[4. PROCESSUS STATIONNAIRES]
(Xt)t processus aléatoire du second ordre de moyenne  constante est dit
stationnaire (à l’ordre 2) si
(h) = Cov(Xt+h, Xt) ne dépend pas de t pour tout h = 0,  1,  2, …
ce qui permet de définir l’objet fondamental (sous ses deux formes classiques):
(ACvF) Fonction d’auto-covariance : (h) = Cov(Xt+h, Xt)
(ACF) Fonction d’auto-corrélation : (h) =
(h)
= Cor(Xt+h, Xt)
(0)
 La propriété de stationnarité est difficile à tester directement (en général) à
partir d’une seule série de données. Cette seule propriété ne suffit pas en
pratique…
46
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[4. PROCESSUS STATIONNAIRES]
On définit maintenant une classe importante de processus stationnaires ayant
de très bonnes propriétés et au cœur de l’analyse de séries chronologiques.
Un processus stationnaire (à l’ordre 2) est de type ARMA(p, q) (p et q
entiers) s’il vérifie une relation de la forme
(B)Xt = (B)Zt
et où
avec {Zt} WN(0, 2)
(z) = 1 – 1z – … – pzp
(z) = 1 + 1z + … + qzq
est un polynôme de degré p
est un polynôme de degré q
Notations : WN = « White Noise » = « bruit blanc » ; {Zt} noté parfois {t}
2= variance du bruit ( si ambiguïté, on la notera ou 2
Cas particuliers : p = 0, ARMA(0, q) = MA(q)
q = 0, ARMA(p, 0) = AR(p)
47
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[4. PROCESSUS STATIONNAIRES]
On appelle processus linéaire tout processus {Xt} tel que
+
Xt =
 jZt  j
j = 
+
avec
 |j < +
j = 
+
Propriétés. Soit Y stationnaire (centré) et Xt =
+
 jYt  j (  |j < +).
j = 
j = 
Alors, X est stationnaire d’ACvF :
X(h) =
+
 jk Y(h + k  j)
j, k = 
En particulier, si Y = Z  WN(0, 2), alors : X(h) =
+
 jj+h 
j = 
Processus linéaire = sortie d’un filtre (linéaire) stationnaire où l’entrée est un
bruit blanc
48
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[4. PROCESSUS STATIONNAIRES]
Cas d’un MA(1) : Xt = Zt + Zt – 1 
2
| (ei) |
f() =  ×(1 +  + 2cos(2)) où f() =  ×
2 densité spectrale du processus X
| (ei) |
2
2
2

avec = 1
49
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[4. PROCESSUS STATIONNAIRES]
Cas d’un AR(1) : Xt = Xt – 1 + Zt


2
f() =
1 + 2  2cos(2)

ARavec = 1
50
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[4. PROCESSUS STATIONNAIRES]
Cas d’un ARMA(1,1) : Xt – Xt – 1 = Zt + Zt – 1

1 + 2 + 2cos(2)
f() =  ×
1 + 2  2cos(2)
2
ARMA(1, 1) avec  = 1
51
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[4. PROCESSUS STATIONNAIRES]
Propriétés de l’ACF (AutoCorrelation Function / fonction d’autocorrélation) :
(0) = 1
;
|(h)|  1
;
(h) = (- h) ( paire)
(h) = cos( (h) ) où (h) = angle entre Xt et Xt+h (si X centré)
 h) = ×(h) = X2×(h)
(ACvF = AutoCovariance Function)
Moyenne  variance X2 = et ACF  du processus on dispose de
toute la connaissance nécessaire pour calculer le prédicteur linéaire optimal à
un pas de temps (mais aussi à plusieurs pas de temps)
^
Xn+1 = EL(Xn+1 | Xn, Xn-1, …, X1) = n,1 Xn + … + n,n Xt
^
ainsi que la variance de l’erreur de prévision : vn = E(Xn+1 – Xn+1 )2
52
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[4. PROCESSUS STATIONNAIRES]
Réversibilité (dans le temps) : si X est un processus stationnaire de moyenne
, de variance X2 et de structure de corrélation linéaire ou ACF (h), alors il
en est de même du processus
~
X : t  X – t
En particulier (pour remonter dans le passé, d’où l’on vient ? ), on a :
^
X0 = EL(X0 | X1, X2, …, Xn) = n,1 X1 + … + n,n Xn
ainsi que la même erreur de prévision
^
^
E(X0 – X0 )2 = vn = E(Xn+1 – Xn+1 )2
53
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[4. PROCESSUS STATIONNAIRES]
Illustration sur un AR(1)
54
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[4. PROCESSUS STATIONNAIRES]
Pour aider à identifier un processus stationnaire, on définit encore la
PACF (Partial AutoCorrelation Function / fonction d’autocorrélation partielle)
(h) = Cor( Xt+h – EL(Xt+h | Xt+h1, …, Xt+1) , Xt – EL(Xt | Xt+1, …, Xt+h1) )
où l’on convient (1) = (1) ((0) non défini).
Cas d’un AR(1) : Xt – Xt1 = Zt
(1) =  et (h) = 0 pour h  2
Cas d’un MA(1) : Xt = Zt + Zt1

(h) = (–1)
h–1
h (2– 1)
2(h+1) – 1
(h  1)
55
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[4. PROCESSUS STATIONNAIRES]
Illustration pour un AR(1) (voir aussi support page 23)
AR(1) avec 
Xt+1
60°
Xt+1

Xt+2
Xt
Zt+2
Xt Xt+1
Quel est l’angle  entre Xt et Xt+2 ?
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[4. PROCESSUS STATIONNAIRES]
Proposition : de la projection orthogonale,
EL(Xt+h | Xt+h1, …, Xt+1, Xt) = h,1 Xt+h1 + … + h,h Xt
on déduit simplement le coefficient d’autocorrélation partielle d’ordre h :
(h) = h,h
^
Interprétation : soit Xn+1 = EL(Xn+1 | Xn, Xn-1, …, X1) le prédicteur optimal.
Alors
^
Xn+1 – EL(Xn+1 | Xn, Xn1, …, X2) = n,n×(X1 – EL(X1 | X2, X3, …, Xn)) + Xn+1 – Xn+1

^
et l’erreur de prévision vn = E(Xn+1 – Xn+1 )2 vérifie
vn = (1 – n,n2 )×vn  1 ; v0 = (0)
Le résultat fondamental :
^
vn = E(Xn+1 – Xn+1 )2 = X2×(1 – ×(1 – (2)2)×…×(1 – (n)2)
où coefficient d’autocorrélation d’ordre 1et  = PACF
57
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[5. MODELES ARMA ET EXTENSIONS]
On a défini un modèle ARMA(p, q) (p et q entiers) comme un processus
stationnaire (à l’ordre 2) qui vérifie une relation du type
(B)Xt = (B)Zt ; {Zt} WN(0, 2),  et polynômes de degrés resp. p et q
 On suppose que les racines de  sont toutes de module > 1 et pour de
module  1 et enfin que ces polynômes n’ont pas de racine commune : X est
dit causal et inversible.

Un modèle ARMA(p, q) non centré sera de la forme
X =  + Y avec Y ARMA(p, q)  X – ARMA(p, q)
Pour ajuster un tel modèle, il faut commencer par estimer sa moyenne .
58
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[5. MODELES ARMA ET EXTENSIONS]
n
 
^
Estimateur usuel de la moyenne :  = X = n  Xt
t=1
C’est un estimateur sans biais et :


Var(X ) = n
n1

(1 
h
)(h) .
n
h =  (n1)

De plus, n (X – ) est asymptotiquement de loi N(0 ; X2(1 + 2  (h) ) )
h1
On estime maintenant l’ACvF du processus X ainsi que l’ACF (coefficients
d’auto-corrélation (h)).
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[5. MODELES ARMA ET EXTENSIONS]
Estimation ACvF et ACF par leurs analogues empiriques :
n

^
 = n  xt
t=1
^ (h) = 
n
nh
^ (h)
n
^
^
^
 (xt+h   )(xt   ) ;  (h) = ^ (0) (n  50 et h « petit »  5 )
t=1
Estimation de la PACF : ^
 (h) = ^h,h sachant que
EL(Xt+h | Xt+h1, …, Xt) = h,1 Xt+h1 + … + h,h Xt
Cas particulier h = 0 :

^
2
^
X =  (0) = n
n
 (Xt  X )2
t=1
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[5. MODELES ARMA ET EXTENSIONS]
Considérations pratiques
 Examen de l’ACF empirique : on considère qu’une valeur à l’intérieur
des bornes 

n’est
n
pas significative (hypothèse nulle = WN(0, 2)). C’est
l’examen global qui est important et peut conduire à proposer un modèle de
^ (h) pour h > q sont
type MA(q). Dans ce cas, les coefficients 

asymptotiquement i.i.d. N( 0, n [1 + 2(2 + … + q2) ] ). Une
décroissance d’aspect « exponentiel » signale la présence d’une partie
autorégressive…

Examen de la PACF empirique : on considère encore qu’une valeur à
l’intérieur des bornes 

n’est
n
pas significative. Dans le cas d’un modèle

^
AR(p), les coefficients  (h) pour h > p sont à peu près i.i.d. N(0, n ).
L’examen global de la PACF peut conduire cette fois à la considération d’un
modèle de type AR(p)…
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[5. MODELES ARMA ET EXTENSIONS]
ARMA ?
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[5. MODELES ARMA ET EXTENSIONS]
ARMA ?
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[5. MODELES ARMA ET EXTENSIONS]
ARMA ?
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[5. MODELES ARMA ET EXTENSIONS]
Extensions des modèles ARMA :
 X  ARIMA(p, d, q) si Y = (I – B)d Xt  ARMA(p, q)
X ARIMA(p, d, q) de moyenne  si X –   ARIMA(p, d, q)
 Modèle SARIMA est un modèle ARIMA saisonnier (voir support page 28)
Exemple 1 du support : série de trafic aérien
Yt = (I – B12)(I – B)Xt série différenciée et désaisonnalisée considérée stationnaire
Examen ACF et PACF suggère un modèle ARMA saisonnier pour Yt :
Yt = (I + B12)(I + 1B)Zt avec Zt  WN(0, 2)
Notation : SARIMA(p=0, d=1, q=1)(P=0, D=1, Q=1)s = 12
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[6. PREVISION DES MODELES ARMA]
Prévision optimal à un pas de temps : on dispose d’un historique x1, …, xn de taille n
d’une série temporelle modélisée par un processus X  ARMA(p, q)
^
Xn+1 = EL(Xn+1 | Xn, Xn1, …, X1)
^
xn+1 = EL(Xn+1 | Xn = xn, Xn1 = xn1, …, X1= x1)
prédicteur (v.a.)
prévision (ponctuelle)
^
Erreur de prévision à un pas de temps : vn = E(Xn+1 – Xn+1 )2
^
Le calcul de Xn+1 peut se faire simplement par résolution d’un système linéaire mais
on préfère des algorithmes de mise à jour beaucoup plus efficaces.
^
Pour un AR(1), c’est très simple puisque Xn+1 = 1Xn et vn = 2 (variance de Zn+1).
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[6. PREVISION DES MODELES ARMA]
Prévision à plusieurs pas de temps : on note h l’horizon de prévision
^
Xn, h = EL(Xn+h | Xn, Xn1, …, X1)
^
v(n, h) = E(Xn+h – Xn, h )2
prédicteur optimal
erreur de prévision
Attention au support (chapitre 5) qui considère la situation « asymptotique »
(valable si l’historique est de taille suffisamment grande)
^
X(n, h) = EL(Xn+h | Xn, Xn1, …, X1, X0, X1, …)
^
e(n, h) = E( Xn+h – X(n, h) )2
Cas d’un AR(p) « pur » : e(n, h) = 2(1 + h1 X2 lorsque h  +
Cas d’un MA(q) « pur » : e(n, h) = 2(1 + q X2 si h  q+1
(cf. exercices 1 et 2 du support, chapitre 5, page 40)
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[7. ANALYSE GLOBALE DE SERIES TEMPORELLES]
Attention : on dispose ici de données uniquement pour la série temporelle
d’intérêt (série univariée).
Un chronogramme (simple tracé de la série de valeurs xt en fonction du
« temps » t) permet de visualiser la série, de détecter tendance et saisonnalité
éventuelles.
On cherche ensuite à se ramener à une série stationnaire (transformations,
estimation des composantes déterministes, différenciation simple ou
saisonnière).
On trace les ACF et PACF empiriques de la série « stationnarisée » pour voir
si un modèle de type ARMA peut être raisonnablement envisagé.
La méthodologie de Box et Jenkins s’inscrit dans cette démarche (support,
chapitre 4, page 29)!
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[7. ANALYSE GLOBALE DE SERIES TEMPORELLES
En pratique, il est souvent difficile d’identifier directement un « bon » modèle
ARMA à partir des seules ACF et PACF empiriques, ce qui pose le problème
du choix des ordres p et q.
On utilise alors un critère, par exemple :
 AIC pour Aikaike’s Information Criterion
 SBC Schwartz Bayesian Criterion
L’idée générale est comme en régression de pénaliser la (fonction de)
vraisemblance des données en fonction du nombre de paramètres (p+q+1) du
modèle sachant que l’on préfère toujours un modèle avec le moins de
paramètres possibles…
 Les propriétés de l’estimateur du maximum de vraisemblance sont données
support de cours pages 32 et 33. L’analyse se fait exactement comme en
régression.
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[7. ANALYSE GLOBALE DE SERIES TEMPORELLES
Phase de validation : il s’agit d’analyser les résidus « estimés » du modèle (le
processus de bruit {Zt}).
Vérifications graphiques : ACF et PACF des résidus mais aussi du carré des
résidus pour tester une éventuelle dépendance synonyme de modèle non
gaussien. On peut aussi tracer la droite de Henry pour tester la normalité des
résidus (qqplot).
Test statistique de Ljung-Box : la statistique est la suivante (support page 35)
h
QZ = n(n+2)

^Z2(j)
nj
j=1
Sous l’hypothèse H0 d’un modèle ARMA(p, q), QZ est approximativement de
loi 2(h – (p+q))…
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[7. ANALYSE GLOBALE DE SERIES TEMPORELLES
Un exemple : série de trafic aérien internationale (airline, ex.1 du support)
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[7. ANALYSE GLOBALE DE SERIES TEMPORELLES
Méthodologie de Box&Jenkins : transformation « logarithme »
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[7. ANALYSE GLOBALE DE SERIES TEMPORELLES
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[7. ANALYSE GLOBALE DE SERIES TEMPORELLES
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[7. ANALYSE GLOBALE DE SERIES TEMPORELLES
Fin étape de stationnarisation :
on considère que la série
Yt = (I – B12)(I – B)log(Xt)
est stationnaire (hypothèse de travail).
On examine maintenant l’ACF et PACF empiriques de Y avec l’idée d’en
rendre compte par un processus ARMA saisonnier.
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[7. ANALYSE GLOBALE DE SERIES TEMPORELLES
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[7. ANALYSE GLOBALE DE SERIES TEMPORELLES
Si l’on ignore le coefficient d’autocorrélation d’ordre h = 12 correspondant à la
saisonnalité, on est amené à proposer un modèle de type MA(q=1)
Yt = (I + 1B)Wt
de manière à capter la dépendance sur les premiers mois.
Comme la série présente une forte saisonnalité, il est logique de s’attendre à ce
que le « résidu » {Wt} ait une structure de corrélation saisonnière.
A l’aide de la fonction arima(), on cale ce premier modèle de la forme MA(1)
puis on trace l’ACF des « résidus » obtenus :
modele <- arima(logair, order = c(0,1,1), seasonal = list(order=c(0,1,0), period = 12))
residus <- modele$residuals
acf(as.vector(residus),lag.max=30,ylim=c(-1,1),main="ACF des résidus")
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[7. ANALYSE GLOBALE DE SERIES TEMPORELLES
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[7. ANALYSE GLOBALE DE SERIES TEMPORELLES
On observe bien la dépendance saisonnière, soit la « non blancheur » du
processus {Wt}. Il est naturel d’essayer d’en tenir compte en considérant que
l’unité de temps est la période s = 12, ce qui conduit à considérer le modèle
Wt = (I + 12B12)Zt
avec Z bruit blanc
En revenant au processus Yt = (I + 1B)Wt, on obtient le modèle
Yt = (I + 1B)(I + 12B12)Zt avec {Zt} ~ WN(0,2)
Il s’agit d’un modèle de type SARMA(p=0, q=1)(P=0, Q=1)s = 12
En revenant à la série initiale {Xt}
(I – B12)(I – B)log(Xt) = (I + 1B)(I + 12B12)Zt
En abrégé : log(Xt) ~ SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s = SARIMA(0,1,1)(0,1,1)s = 12
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[7. ANALYSE GLOBALE DE SERIES TEMPORELLES
Ajustement du modèle avec la fonction R « arima » :
> modele <- arima(logair, order = c(0,1,1), seasonal = list(order=c(0,1,1), period = 12))
> print(modele)
Call:
arima(x = logair, order = c(0, 1, 1), seasonal = list(order = c(0, 1, 1), period = 12))
Coefficients:
ma1 sma1
-0.4018 -0.5569
s.e. 0.0896 0.0731
sigma^2 estimated as 0.001348: log likelihood = 244.7, aic = -483.4
On valide ensuite avec la fonction « tsdiag » pour time series diagnostics.
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[7. ANALYSE GLOBALE DE SERIES TEMPORELLES
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[7. ANALYSE GLOBALE DE SERIES TEMPORELLES
Back-testing du modèle SARIMA (on enlève les 12 dernières valeurs que l’on
cherche à prédire et on compare aux valeurs réelles)
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[7. ANALYSE GLOBALE DE SERIES TEMPORELLES
Prévision et valeurs réelles de janvier 60 à décembre 60
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