1, 2주차: 패러데이 법칙과 인덕턴스
Ch. 9 Maxwell 방정식
: Faraday 법칙, 변압기 기전력과 운동에 의한 기전력
: 변위전류, 완성된 Maxwell 방정식, 시변포텐셜, 시정현장
(1) 가우스 법칙
(2) 암페어 주회법칙
(3) 패러데이 법칙
+ 변위전류
→ Maxwell 방정식
(기본 방정식 존재)
→ 자유공간에 적용시켜
자유공간에서의
Maxwell 방정식을 완성
→ 파동방정식이 완성되고,
전자파에 대한 성질을
이해 가능함
Jungwook Min, 공학수학2, 국립금오공과대학교
1
9.1 서론 (Introduction)
➢ Electromagnetics
• 정지상태의 전하(stationary charge) → 정전기장(Electrostatic fields): 𝔼(𝑥, 𝑦, 𝑧) (시불변)
• 정상 전류(steady currents) → 정자기장(Magnetostatic fields): ℍ 𝑥, 𝑦, 𝑧 (시불변)
• 시변전류(time-varying currents) → 전자기장 또는 전자파(Electromagnetic fields or waves):
𝔼 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 , ℍ 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡
- 정전자기장에서 전기장과 자기장: 𝔼와 ℍ장은 상호 관련이 없이 서로 독립적이다.
- 시변장 또는 전자파: 𝔼와 ℍ장은 2개의 장이 상호 의존한다.
2
9.1 서론 (Introduction)
➢ 미리보는 Maxwell 방정식
𝜌𝑣
∇⋅𝔼=
𝜖
∇⋅𝔻=0
3
9.1 서론 (Introduction)
4
➢ 복습
로렌츠의 힘
쿨롱의 법칙
→ 마지막으로 패러데이 법칙은 자속의 변화에 대해서 기
전력이 발생하고, 전류의 변화에 대해서도 기전력이 발
생한다 (전계유도/자계유도)
9.2 Faraday의 법칙 (Faraday’s Law)
5
➢ 역사적 사실
• 외르스테드(Oersted)는 전류는 나침반의 자침을 움직일 수 있다는 사실을 발표함 (1820)
• Bior-Savart’s and Ampere’s 법칙은 이 법칙에 기초를 둠
• 패러데이(M. Faraday)와 헨리(J. Henry)가 시변자기장은 전류를 만들어 낼 수 있다는 것을 발견함 (1831)
- 철심 토로이드에 두 코일을 따로 감은 뒤, 한 코일에는 검류계를 넣고 나머지 코일에는 스위치를 통해 전지와
연결함 → 스위치를 넣고 떼는 순간에 검류계의 바늘이 반대로 움직임을 관찰함.
➢ Faraday 법칙의 표현
• 임의의 폐회로에서의 유도전압(유도된 기전력 electromotive force, emf)은 회로에서 쇄교하는 자속의 시간에
대한 변화율과 같다.
𝑉𝑒𝑚𝑓
𝑑𝜆
𝑁𝑑𝜓
=−
=−
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝜆 = 𝑁𝜓: 쇄교 자속(flux linkage), 𝑁: 회로의 권선수(# of turns), 𝜓: 각 권선과 쇄교하는 자속(flux/turn)
→ 기전력의 원천은 발전기, 건전지, 열전지, 연료전지, 그리고 광전지 등이 있으며 이들은 비전기에너지를 전기
에너지로 변환시킨다
9.1 서론 (Introduction)
➢ 복습 (렌츠의 법칙)
6
9.1 서론 (Introduction)
7
➢ 패러데이 실험
• 또한, 임의의 폐경로에 대한 기전력은 그 경
로를 따라 선적분하여 구할 수 있다.
ර 𝔼 ⋅ 𝑑𝕝
𝐿
𝑉𝑒𝑚𝑓
𝑑𝜓
=−
𝑑𝑡
9.2 Faraday의 법칙 (Faraday’s Law)
8
➢ 전지가 있는 회로
• 𝔼 임의의 점에서의 총 전기장
𝔼 = 𝔼𝑓 + 𝔼𝑒
𝔼𝑓 : 전지의 전기화학작용에 의해 기전력을 발생시키는 장 (전지 외부에서는 0)
𝔼𝑒 : 정전기장
𝔼𝑓 와 𝔼𝑒 은 전지 내에서는 서로 반대방향이다.
𝔼𝑒 는 전지 내부와 외부에서 서로 방향이 반대이다.
• 식 𝔼 를 폐회로에 대한 적분을 취하면
• 전지의 기전력: 기전력을 발생시키는 장의 선적분과 같다.
𝑃
‫ 𝕝𝑑 ⋅ 𝑓𝔼 𝐿ׯ = 𝕝𝑑 ⋅ 𝔼 𝐿ׯ‬+ ‫𝕝𝑑 ⋅ 𝑓𝔼 𝑁׬ = 𝕝𝑑 ⋅ 𝑒𝔼 𝐿ׯ‬
(단, ‫ = 𝕝𝑑 ⋅ 𝑒𝔼 𝐿ׯ‬0, 𝔼𝑒 는 보존장)
𝑃
𝑃
𝑉𝑒𝑚𝑓 = න 𝔼𝑓 ⋅ 𝑑𝕝 = − න 𝔼𝑒 ⋅ 𝑑𝕝 = 𝐼𝑅
𝑁
• 요약
- 정전기장 𝔼𝑒 는 전기회로 내에서 정상전류를 흐르게 할 수 없다.
- 기전력을 발생시키는 장 𝔼𝑓 는 보존장이 아니다.
- 정전기장을 제외하고는 전압과 전위차는 대개 같지 않다.
𝑁
9.3 변압기 기전력과 운동에 의한 기전력
(Transformer and Motional Electromotive Forces)
9
➢ 단일 권선수(N=1)로 구성된 회로
𝑑𝜓
• 𝑉𝑒𝑚𝑓 = − 𝑑𝑡
- 𝔼 와 𝔹를 사용하여 식을 다시 표현하면
𝑉𝑒𝑚𝑓 = ‫ = 𝕝𝑑 ⋅ 𝔼 𝐿ׯ‬−
𝑑
‫𝔹׬‬
𝑑𝑡 𝑆
⋅ 𝑑𝕊, S: 폐경로 L로 둘러싸여 있는 회로의 표면적.
𝑑𝕝과 𝑑𝕊: Stokes 정리와 오른손 법칙을 따른다.
• 시간에 대한 자속의 변화는 다음의 3가지 방법으로 나타낼 수 있다.
𝑑𝔹
⋅ 𝑑𝕊
𝑑𝑡
𝑆
- 시변자기장 𝔹 내에서 루프가 정지하고 있을 때
𝑉𝑒𝑚𝑓 = ර 𝔼 ⋅ 𝑑𝕝 = − න
-
V𝑒𝑚𝑓 = ර 𝔼𝑚 ⋅ 𝑑𝕝 = ර 𝕦 × 𝔹 ⋅ 𝑑𝕝
정자기장 𝔹 내에서 루프의 면적이 시간에 따라 변화할 때
𝐿
𝐿
- 시변자기장 𝔹 내에서 루프의 면적이 시간에 따라 변화할 때
𝑉𝑒𝑚𝑓
𝐿
𝜕𝔹
= ර 𝔼 ⋅ 𝑑𝕝 = − න
⋅ 𝑑𝕊 + ර 𝕦 × 𝔹 ⋅ 𝑑𝕝
𝜕𝑡
𝐿
𝑆
𝐿
9.3 변압기 기전력과 운동에 의한 기전력
(Transformer and Motional Electromotive Forces)
➢ 시변자기장 𝔹 내에서 루프가 정지하고 있을 때
• 변압기 기전력(transformer emf)
𝑑𝔹
⋅ 𝑑𝕊
𝑑𝑡
𝑆
𝑉𝑒𝑚𝑓 = ර 𝔼 ⋅ 𝑑𝕝 = − න
𝐿
Stokes 정리에 따라 ‫𝕊𝑑 ⋅ 𝔼 × ∇ 𝑆׬ = 𝕝𝑑 ⋅ 𝔼 𝐿ׯ‬
𝜕𝔹
∇ × 𝔼 = − 𝜕𝑡 : Maxwell 방정식
- 시변장 𝔼는 보존장이 아니다.
- 그러나 에너지 보존법칙이 성립하지 않는다는 것을 의미하지는 않는다.
- 시변전기장 내에 있는 폐곡선을 따라 전하를 이동시킬 때 한 일은 시변자기장에서
얻은 에너지이다.
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9.3 변압기 기전력과 운동에 의한 기전력
(Transformer and Motional Electromotive Forces)
➢ 정자기장 𝔹 내에서 루프의 면적이 시간에 따라 변화할 때(motional emf)
• 자기장 𝔹 내에서 일정한 속도 𝕦 로 움직이는 전하에 작용하는 힘은
𝔽𝑚 = 𝑄𝕦 × 𝔹
• 운동에 의한 전기장(motional electric field)은 𝔼𝑚 =
𝔽𝑚
𝑄
=𝕦×𝔹
• 루프에 의해 유도되는 자속절단기전력(flux cutting emf)은
V𝑒𝑚𝑓 = ර 𝔼𝑚 ⋅ 𝑑𝕝 = ර 𝕦 × 𝔹 ⋅ 𝑑𝕝
𝐿
𝐿
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9.3 변압기 기전력과 운동에 의한 기전력
(Transformer and Motional Electromotive Forces)
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• 정자기장 𝔹 내에서 움직이는 루프에 의한 유도기전력
𝔽𝑚 = 𝑄𝕦 × 𝔹 = 𝐼𝕝 × 𝔹
→ 𝐹𝑚 = 𝐼𝑙𝐵
운동에 의한 기전력은 𝑉𝑒𝑚𝑓 = 𝑢𝐵𝑙
Stokes 정리를 적용하면
𝑉𝑒𝑚𝑓 = ර 𝔼𝑚 ⋅ 𝑑𝕝 = න ∇ × 𝔼𝑚 ⋅ 𝑑𝕊 = න ∇ × 𝕦 × 𝔹 ⋅ 𝑑𝕊
𝐿
𝑆
𝑆
→ ∇ × 𝔼𝑚 = ∇ × (𝕦 × 𝔹)
V𝑒𝑚𝑓 = ර 𝔼𝑚 ⋅ 𝑑𝕝 = ර 𝕦 × 𝔹 ⋅ 𝑑𝕝
𝐿
𝐿
1. 루프의 일부가 𝕦 = 0 이라면, 그 부분에 대한 식의 적분은 0이다. 그러므로 자속이 쇄교하는 루프에서 𝕦가 0이 아
닌 부분에 𝑑𝕝을 적용한다.
2. 유도전류가 흐르는 방향은 𝔼𝑚 이나 𝕦 × 𝔹의 방향과 같다. 적분구간은 유도전류와 반대 방향으로 선택해야만 Lenz
의 법칙이 만족된다. 그림에서 L에 대한 적분은 −𝕒𝑦 방향으로 하고, 막대에서 유도전류는 𝕒𝑦 방향으로 흐른다.
9.3 변압기 기전력과 운동에 의한 기전력
(Transformer and Motional Electromotive Forces)
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➢ 시변자기장 𝔹 내에서 루프의 면적이 시간에 따라 변화할 때
• 총 기전력
𝜕𝔹
⋅ 𝑑𝕊 + ර 𝕦 × 𝔹 ⋅ 𝑑𝕝
𝜕𝑡
𝑆
𝐿
𝑉𝑒𝑚𝑓 = ‫ = 𝕝𝑑 ⋅ 𝔼 ׯ‬− න
ර 𝔼 ⋅ 𝑑𝕝 = න ∇ × 𝔼 ⋅ 𝑑𝕊
𝐿
𝑆
ර 𝕦 × 𝔹 ⋅ 𝑑𝕝 = න ∇ × 𝕦 × 𝔹 ⋅ 𝑑𝕊
𝐿
𝑉𝑒𝑚𝑓 = −
𝑆
𝜕𝔹
∴∇×𝔼=−
+ ∇ × (𝕦 × 𝔹)
𝜕𝑡
𝑑𝜆
𝑁𝑑𝜓
=−
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝔹
= ර 𝔼 ⋅ 𝑑𝕝 = − න
⋅ 𝑑𝕊
𝑑𝑡
𝐿
𝑆
- 시변자기장 𝔹 내에서 루프가 정지하고 있을 때
𝑉𝑒𝑚𝑓
-
V𝑒𝑚𝑓 = ර 𝔼𝑚 ⋅ 𝑑𝕝 = ර 𝕦 × 𝔹 ⋅ 𝑑𝕝
정자기장 𝔹 내에서 루프의 면적이 시간에 따라 변화할 때
𝐿
- 시변자기장 𝔹 내에서 루프의 면적이 시간에 따라 변화할 때
𝐿
𝜕𝔹
⋅ 𝑑𝕊 + ර 𝕦 × 𝔹 ⋅ 𝑑𝕝
𝜕𝑡
𝑆
𝐿
𝑉𝑒𝑚𝑓 = ර 𝔼 ⋅ 𝑑𝕝 = − න
𝐿
9.3 변압기 기전력과 운동에 의한 기전력
(Transformer and Motional Electromotive Forces)
➢ 예제 9.1
• 그림과 같이 도체막대가 두 개의 도체레일을 따라 자유롭게 이동할 수 있다.
막대에 유도되는 전압을 계산하라.
(a) 막대가 y = 8 cm 위치에 고정되어 있고, 𝔹 = 4 𝑐𝑜𝑠106 𝑡𝕒𝑧 𝑚𝑊𝑏Τ𝑚
(b) 막대가 속도 𝕦 = 20𝕒𝑦 𝑚 ∕ 𝑠로 이동하며, 𝔹 = 4𝕒𝑧 𝑚𝑊𝑏 ∕ 𝑚2
➢ 풀이
1. 변압기 기전력은
𝑉𝑒𝑚𝑓
0.08 0.06
𝜕𝔹
= −න
⋅ 𝑑𝕊 = න
න 4 ⋅ 10−3 𝑠𝑖𝑛106 𝑡𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑆 𝜕𝑡
𝑦=0 𝑥=0
= 4 ⋅ 103 ⋅ 0.08 ⋅ 0.06 ⋅ 𝑠𝑖𝑛106 𝑡 = 19.2𝑠𝑖𝑛106 𝑡 𝑉
2. 운동에 의한 기전력은
0
𝑉𝑒𝑚𝑓 = − ර 𝕦 × 𝔹 ⋅ 𝑑𝕝 = න
𝐿
𝑢𝕒𝑦 × 𝐵𝕒𝑧 ⋅ 𝑑𝑥𝕒
𝑥=𝑡
= −𝑢𝐵𝑙 = −20 ⋅ 4 × 10−3 ⋅ 0.06 = −4.8 𝑚𝑉
2
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9.3 변압기 기전력과 운동에 의한 기전력
(Transformer and Motional Electromotive Forces)
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➢ 예제 9.1
• 그림과 같이 도체막대가 두 개의 도체레일을 따라 자유롭게 이동할 수 있다.
막대에 유도되는 전압을 계산하라.
(c) 막대가 속도 𝕦 = 20𝕒𝑦 𝑚 ∕ 𝑠 로 이동하고, 𝔹 = 4 𝑐𝑜𝑠106 (𝑡 − 𝑦)𝕒𝑧 𝑚𝑊𝑏Τ𝑚
2
➢ 풀이
1. 변압기 기전력과 운동에 의한 기전력이 동시에 존재한다
𝑉𝑒𝑚𝑓
𝜕𝔹
= ර 𝔼 ⋅ 𝑑𝕝 = − න
⋅ 𝑑𝕊 + ර 𝕦 × 𝔹 ⋅ 𝑑𝕝
𝜕𝑡
𝐿
𝑆
𝐿
0.06
=න
𝑥=0
𝑦
න
0
4 ⋅ 10
−3
6
= 240 cos
= 240 cos
106 𝑡
′
′
20𝕒𝑦 × 4 ⋅ 10−3 ⋅ cos 106 𝑡 − 𝑦 𝕒𝑧 ⋅ 𝑑𝑥𝕒𝑥
⋅ 10 sin 10 𝑡 − 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + න
𝑦=0
106 𝑡
6
𝑥=0.06
𝑦
−
𝑦′
ቚ − 80 ⋅ 10−3 ⋅ 0.06 ⋅ cos 106 𝑡 − 𝑦
−
𝑦′
− 240𝑐𝑜𝑠106 𝑡 − 4.8 ⋅ 10−3 ⋅ cos 106 𝑡 − 𝑦
0
= 240 cos 106 𝑡 − 𝑦 − 240𝑐𝑜𝑠106 𝑡 = 480 sin 106 𝑡 −
𝑦 𝑠𝑖𝑛𝑦
𝑉
2 2
9.3 변압기 기전력과 운동에 의한 기전력
(Transformer and Motional Electromotive Forces)
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➢ 예제 9.1
• 그림과 같이 도체막대가 두 개의 도체레일을 따라 자유롭게 이동할 수 있다.
막대에 유도되는 전압을 계산하라.
(c) 막대가 속도 𝕦 = 20𝕒𝑦 𝑚 ∕ 𝑠 로 이동하고, 𝔹 = 4 𝑐𝑜𝑠106 (𝑡 − 𝑦)𝕒𝑧 𝑚𝑊𝑏Τ𝑚
2
➢ 풀이
𝜕𝜓
2. 𝑉𝑒𝑚𝑓 = − 𝜕𝑡
𝑦
𝜓 = න 𝔹 ⋅ 𝑑𝕊 = න
𝑆
0.06
4 cos 106 𝑡 − 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
න
𝑦=0 𝑥=0
∵ 𝑑𝑦Τ𝑑𝑡 = 𝑢 → 𝑦 = 𝑢𝑡 = 20𝑡
= −0.24 sin 106 𝑡 − 20𝑡 + 0.24𝑠𝑖𝑛106 𝑡
= −4 ⋅ 0.06 ⋅ sin
106 𝑡
−
𝑦′
ቚ
𝑦
𝑦 ′ =0
= −0.24 ⋅ sin 106 𝑡 − 𝑦 + 0.24𝑠𝑖𝑛106 𝑡
= 0.24 106 − 20 cos 106 𝑡 − 20𝑡 − 0.24 ⋅ 106 ⋅ 𝑐𝑜𝑠106 𝑡 𝑚𝑉
≈ 240 cos 106 𝑡 − 𝑦 − 240𝑐𝑜𝑠106 𝑡 𝑉
9.3 변압기 기전력과 운동에 의한 기전력
(Transformer and Motional Electromotive Forces)
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➢ 예제 9.2
• 그림과 같이 균일 자기장 내에 루프가 존재한다. 루프의 한 변 DC가 50 Hz의
주파수로 자속과 쇄교하고 있으며, 루프는 t=0에서 yz-평면에 놓여 있다. 다음
을 구하다.
(a) t = 1 ms 에서의 유도 기전력 (b) t = 3 ms 에서의 유도 전류
➢ 풀이
1. 𝑉𝑒𝑚𝑓 = ‫𝕝𝑑 ⋅ 𝔹 × 𝕦 𝐿׬‬
𝑑𝕝 = 𝕝𝐷𝐶
𝑑𝕝′ 𝜌𝑑𝜙
= 𝑑𝑧𝕒𝑧 , 𝕦 =
=
𝕒 = 𝜌𝜔𝕒𝜙 ,
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝜙
𝜌 = 𝐴𝐷 = 4 𝑐𝑚, 𝜔 = 2𝜋𝑓 = 100𝜋
𝔹 = 𝐵0 𝕒 = 𝐵0 𝑐𝑜𝑠𝜙𝕒𝜌 − 𝑠𝑖𝑛𝜙𝕒𝜙 , 𝐵0 = 0.05
𝕒𝜌
0
𝕦×𝔹=
𝐵0 𝑐𝑜𝑠𝜙
𝕒𝜙
𝜌𝜔
−𝐵0 𝑠𝑖𝑛𝜙
𝕒𝑧
0 = −𝜌𝜔𝐵0 𝑐𝑜𝑠𝜙𝕒𝑧
0
0.03
𝕦 × 𝔹 ⋅ 𝑑𝕝 = −𝜌𝜔𝔹0 𝑐𝑜𝑠𝜙𝑑𝑧 = −0.04 ⋅ 100𝜋 ⋅ 0.05𝜙𝑑𝑧 = −0.2𝜋𝑐𝑜𝑠𝜙𝑑𝑧 = න
𝑧=0
−20𝜋𝑐𝑜𝑠𝜙𝑑𝑧 = −6𝜋 𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑚𝑉
9.3 변압기 기전력과 운동에 의한 기전력
(Transformer and Motional Electromotive Forces)
➢ 예제 9.2
• 그림과 같이 균일 자기장 내에 루프가 존재한다. 루프의 한 변 DC가 50 Hz의
주파수로 자속과 쇄교하고 있으며, 루프는 t=0에서 yz-평면에 놓여 있다. 다음
을 구하다.
(a) t = 1 ms 에서의 유도 기전력 (b) t = 3 ms 에서의 유도 전류
➢ 유도기전력은
0.03
1. 𝑉𝑒𝑚𝑓 = ‫=𝑧׬ =𝕝𝑑 ⋅ 𝔹 × 𝕦 𝐿׬‬0 −20𝜋𝑐𝑜𝑠𝜙𝑑𝑧 = −6𝜋 𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑚𝑉
𝑑𝜙
𝜋
𝜔=
→ 𝜙 = 𝜔𝑡 + 𝐶0 : @ 𝑡 = 0, 𝜙 = 𝜋Τ2 → C0 =
𝑑𝑡
2
= 𝜔𝑡 + 𝜋Τ2
➢ 유도전류는
= −6𝜋 cos 𝜔𝑡 + 𝜋Τ2 = 6𝜋 sin 100𝜋𝑡 𝑚𝑉
𝑖 = 𝑉𝑒𝑚𝑓 Τ𝑅 = 60𝜋 sin 100𝜋𝑡 𝑚𝐴
@ 𝑡 = 1 𝑚𝑠
@ 𝑡 = 3 𝑚𝑠
= 6𝜋 sin 0.1𝜋 = 5.825 𝑚𝑉
= 60𝜋 sin 0.3𝜋 10−3 = 0.1525 𝐴
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9.3 변압기 기전력과 운동에 의한 기전력
(Transformer and Motional Electromotive Forces)
➢ 예제 9.3
• 자기회로는 10-3 m2의 균일단면적을 가지고 있다. 권선수가 N1= 200 회인
코일에 𝑖1 𝑡 = 3 sin 100𝜋𝑡 𝐴의 전류가 흐를 때 권선수가 N2=100 회인 코일
에 유도되는 기전력을 구하여라. 여기서 𝜇 = 500𝜇0 으로 가정하라.
➢ 풀이
코어에서의 자속은
𝜓=
𝑁1 𝑖1
𝑁1 𝑖1 𝜇𝑆
=
𝑙 ∕ 𝜇𝑆
2𝜋𝜌0
𝑉2 = −
𝑁2 𝑑𝜓
𝑁1 𝑁2 𝜇𝑆 𝑑𝑖1
=−
𝑑𝑡
2𝜋𝜌0 𝑑𝑡
= 100 ⋅ 200 ⋅ 500 ⋅ 4𝜋 × 10−7 ⋅ 10−3 ⋅
= −6𝜋𝑐𝑜𝑠100𝜋𝑡 𝑉
300𝜋𝑐𝑜𝑠100𝜋𝑡
2𝑝𝑖 10 × 10−2
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