SEMANA 01
LEYES EXPONENCIALES
Son definiciones y teoremas ligadas a las
operaciones de potenciación y radicación en el
campo de los números reales.
El conocimiento del tema garantiza que el desarrollo
de los demás temas sea de la mejor manera.
Potenciación
Es la operación matemática que permite la presencia
del exponente afectando a una expresión llamada
base y cuyo resultado se denomina potencia.
a n = P ; a R ; n  Z ; P R
Donde:
a: Base
n: Exponente
P: Potencia
Definiciones Importantes
1) Exponente Natural
En la potenciación, si el exponente “n” es un
número natural y la base “a” es un número real se
define:
a) Exponente Cero
Toda cantidad real a excepción del cero
elevada al exponente cero es igual a la unidad.
a0 = 1 , a  R  a  0
Ejemplo: Dar el valor si existe en:
2
2
2
8
2
E= +
+
+
− 
 3 15 35 63 9 
0
Resolución:
¡CUIDADO! previamente debemos analizar la
base para verificar si es distinto de cero.
2
2
2
2
8
+
+
+
−
1x 3 3 x 5 5 x 7 7 x 9 9
ÁLGEBRA
a1 = a,  a  R
Ejemplo: reduce la expresión:
1
7
 1
132
+ 15
  +2
5
9
Solución:
1
1
16
+ 2 + 1= + 3 =
5
5
5
c) Exponente entero positivo
Una cantidad real elevada a un exponente “n”
natural mayor que uno (1), equivale a
multiplicar “n” veces dicha cantidad (base).
an = a . a . aa ; aR; n N  n  1
Ejemplos:
35 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243

5 veces
(- 5)3 = (- 5) (- 5) (- 5) = - 125
x . x. x  x = xn, n  N ; n  1



n veces
Observación: Lo expuesto anteriormente en
(1) se puede esquematizar de la siguiente
forma:
a.a.a  a; nN  n  1

n
a = 1
;n = 0 , a  0
a
; n = 1, a  R

2) Exponente Entero Negativo
Nos indica que la base diferente de cero afectada
de exponente negativo se invierte. (inverso
multiplicativo)
Si a  0  nN se define :
 1  1 1  1 1  1 1 8
1 −  +  −  +  −  +  −  −
 3 3 5 5 7 7 9 9
1 8
1− − = 0
9 9
0
 E =0 1
No tiene sentido calcular
es indeterminado
b) Exponente Uno
Toda cantidad real elevada el exponente
natural uno es igual a la misma cantidad.
a
−n
=
1
an
 1
= 
a
n
Ejemplos:
1
1
3−2 = 2 =
9
3
00
pues
(− 5 )− 3
=
1
(− 5 )
3
=
1
1
=−
− 125
125
(− 2)− 6 =
3
 
5
−3
1
(− 2 )
6
1
=
2
=
6
RADICACIÓN EN R.
Es una operación inversa a la potenciación, donde a
partir de dos cantidades: Índice y Radicando
obtendremos otra cantidad llamada raíz. La
operación de radicación la definimos, así:
1
64
3
53
125
5
=  = 3 =
27
3
3
Observación:
n
0− n , No definido
a = r  a = rn ; n  N  n  1
donde:
LEYES EXPONENCIALES
DE LA POTENCIACIÓN
TEOREMAS:
A continuación, enunciamos los teoremas:
1. am . an = am+n
2.
a
( )
n
3.  am 


p
(a
)
.b
4
= a
m.n
.b
m
=
T
=
T
a =
I
p n
mn p
d. [ (a ) ] = [ (am) ]
e. Recordar que la igualdad goza de la propiedad
simétrica, es decir:
a = b  b = a, a, bR
ÁLGEBRA
=
• 81
1
4
3
55
=
Potencia con
exp onentes en cadena
w
m
a
1
3
8
−
c. Una potencia con exponentes en cadena, se
reduce desde la parte superior.
n
m
a
•
m
a

w
;
m
es una fracción irreductible
n
Ejemplos:
np

p
32
n
a n = am
Observaciones importantes:
a. La potenciación es distributiva respecto a la
multiplicación y división (teoremas 4 y 5)
Potencia de
potencia
 34 = 81
3
n
p
3

=2
 25 = 32
3
− 125 = - 125 = -5  (-5)3 = -125
Definición de Exponente Fraccionario
5
mn

 = a
, b0
p.n

b

( )
r
0
raíz real
principal
an
a
5.   = n , b  0
b
b
n
b.  am 




81 =
p.n
n
 am

 bp

 a0 →
• Si n es par
 a <0 → r  R
• Si n es impar  a  0 → r  0
• Si es impar
 a<0 →r<0
Ejemplos:
= am.n.p
p n
Raíz enésima
raíz principal
4. (a.b)n = an . bn
m
a = r
Radicando
• Si n es par
= am −n ; a  0
n
n
cómo se trabaja únicamente en R se establece
(observe el cuadro anterior).
Sea: {a;b}  R  {m; n; p}  Z
am
Indice (n  N)
•
7
3
8 =2
= 4 81
5
−1
= 3 −1 =
1
3
53 = 5 125
5
27
2 =
•
Leyes Exponenciales de la Radicación
A continuación, enunciamos los siguientes teoremas:
1)
n
5
ab = n a .
n
b ;
 a ; b R
n
n
Si n es par entonces a  0  b  0
2)
COROLARIO
n
a
a
= n
; b  0 , n a ; n b  R
b
b
Si n es par entonces a  0  b > 0
n
ab
¡IMPORTANTE! La radicación es distributiva
con respecto a la multiplicación y división.
3)
m n p
a =
mnp
Si a.b es par → x  R  x  0
TEOREMAS ADICIONALES
1)
; m , n,p  R
a
a m a m a.....m a
=



m
p
x a n yb
4)
zc =
m
x a . mn yb .
=
mnp
x
anp
mnp
mn
mn −1
a m −1
n radicales
Si mnp > 0 → a  0
m
b
xac = xc
zc
bp
. y .z
2)
mn +1
a m +1
mn
mn −1
a m +1
n radicales
c
OBSERVACIÓN: Del Teorema anterior, si las bases
x, y z son iguales, se concluye a una forma práctica
de reducir, veamos:
a : m a : m a : ....m a : =



m
mn
Si “n” es impar
3)
a : m a : m a : ....m a : =



m
n radicales
4.1)
m
n
xa
m
x
b p
n
xc =
mnp
p
x (an+b)p+c
mnp
x a : xb : x c =
x
+
+
5) Valor principal de una radicación:
4.2)
n
Leyes
de
(an−b)p + c
Waltor
An = r ; si A  R+  nN (n  2)
Luego:
a ; si x  0
a2n = a = 
− a; si x  0
Ejemplos:
32 = | 3 | = 3
= | −3 | = 3
(3 − 5 2 )4 = 5 2 − 3 ;
6
(6 − 3 )6 = 6 − 3 ;
COROLARIO
a
Ejemplos:
3
(− 2)3
5
35 = 3
= −2
ÁLGEBRA
xn xn x... = n−1 x ;
x  R, n  R - 0 ; -1
2)
n
=a
n
x : n x : n x : ... = n +1 x ;
x  R, n  R-0;-1
3-5 2 <0
6-
3 >0
x
x
x x
x
=x 
0<x<e
e = 2,7182….
ECUACIONES EXPONENCIALES
Reciben este nombre las ecuaciones trascendentes
reductibles a ecuaciones algebraicas, y se
caracterizan por tener la incógnita como exponente.
Para resolver ecuaciones exponenciales es
necesario tener presente la siguiente propiedad:
En una igualdad de potencias que presentan igual
base; es necesario que los exponentes sean iguales
para cumplir con la relación de igualdad.
Am = An ⎯→ m = n ; A  0; 1; − 1
4)
4
2n+1 2n+1
1)
En ambos teoremas: n  N  n  2 sólo en el
caso de que “n” sea un número par el radicando
“x” deberá ser positivo.
1
3) 1 + x + x2 + x3 + … =
; 0<x<1
1− x
2n
(− 3)2
Si “n” es par
TEOREMAS DE CONVERGENCIA
x
En algunos casos, cuando la incógnita se presenta
en la base y en el exponente, su valor se puede
obtener formando expresiones análogas en los dos
miembros de la ecuación. Veamos los ejemplos:
si: xx = 55 ⎯→ x = 5
sí : a a −3 = 8 8 −3 ⎯→ a = 8
Es necesario recordar estructuras que caracterizan a
cierto tipo de ejercicio, donde se aplican criterios de
la teoría exponencial y Ecuaciones Exponenciales.
1. Hallar “x” en :
XX
X
..
X.
n
=n →
Si n = # par X =  n n
Si n =# impar;  n  R+ − {0}
X= nn
2. Resolver:
XX

..
.
X
=n →
Si n = # par X =  n n
Si n =#impar ;  n  R+ − {0}
3. Reducir:
E=nn
n
n

n n
→E=n
 n  R+ − {0}
4. Reducir :
E = n Xn Xn X ...  → E = n −1 X
n  R−{0;1}
5. Reducir:
x>0
E = n X : n X : n X : ... → E = n +1 X
nR−{0; −1}
ÁLGEBRA
x>0
X= nn
6. Efectuar:
E = n(n + 1) + n(n + 1) + ... → E = n + 1 ;
 n (n + 1)  R+ − { 0 }
7. Efectuar:
E=
n(n + 1) − n(n + 1) − ... → E = n
 n ( n + 1 )  R+ − { 0 }
¡Importante!: Por la frecuencia en la presentación de
dichos ejercicios, es necesario que los alumnos
reconozcan la forma o estructura de los mismos y de
inmediato indicar el resultado.