Дополнительные главы теоретической физики.
Задача курса научить студентов решению достаточно сложных задач теоретической и математической
физики. Основное внимание уделяется возможностям, которые открывают для физики мощные
методы теории функций комплексной переменной. Курс знакомит с применениями конформных
отображений для решения прикладных задач, приводящих к двумерному уравнению Лапласа, с
приемами вычисления интегралов посредством аналитического продолжения подынтегральных
функций, с техникой контурного интегрирования дифференциальных уравнений. Он содержит
введение в методы асимптотических оценок и иллюстрирует их эффективность при аппроксимациях
интегралов, суммированиях рядов, а также при построении приближенных решений
дифференциальных уравнений. В курсе обсуждаются скалярные задачи Римана – Гильберта и
построение с их помощью аналитических решений дифференциальных и сингулярных интегральных
уравнений теоретической физики. На практических занятиях студентам даются навыки точных и
приближенных вычислений, которые необходимы для дальнейшего изучения курсов теоретической
физики.
Код
раздела
Раздел дисциплины
Р0
Введение
Р1
Вычисление определенных
интегралов посредством
аналитического продолжения
подынтегральных функций.
Р2
Решение обыкновенных
дифференциальных уравнений
методом контурного
интегрирования.
Р3
Свойства гамма-функции.
Р4
Представления тригонометрических
функций в форме бесконечных
рядов по полюсам или в виде
разложений на множители.
Р5
Оценки математических выражений
Содержание
Задача курса «Дополнительные главы теоретической физики».
Скалярные и векторные поля, их интегральные и
дифференциальные
характеристики.
Вычисление
дифференциальных характеристик скалярных и векторных полей
в ортогональных криволинейных системах координат.
Аналитические и гармонические функции. Конформное
отображение и его применение к задачам плоского течения
идеальной несжимаемой жидкости. Течении идеальной жидкости
в клинообразной области, обтекание цилиндра потоком
жидкости. Основные результаты теории функций комплексной
переменной.
Аналитическое
продолжение
функций.
Многозначные
аналитические функции, многолистные римановы поверхности и
разрезы в комплексной плоскости. Вычисление основных
гауссовых интегралов от комплексных переменных. Применение
аналитического продолжения и теоремы Коши о вычетах для
вычисления
интегралов
от
многозначных
функций.
Рассматриваются определенные интегралы с логарифмическими
и степенными точками ветвления, а также с особенностями,
интегрируемыми в смысле главного значения Коши.
Представление
решений
линейных
дифференциальных
уравнений в виде контурных интегралов по комплексной
переменной. Уравнение Лежандра. Полиномы Лежандра.
Производящая функция полиномов Лежандра. Рекуррентные
соотношения для функций Лежандра.
Мультипольное
разложение потенциала ограниченной системы зарядов по
полиномам Лежандра.
Гамма-функция Эйлера. Ее аналитическое продолжение по
параметру на всю комплексную плоскость. Основные
соотношения между гамма-функциями: рекуррентная формула
при трансляции аргумента на единицу, связь двух гамма-функций
со сдвинутыми на единицу аргументами с тригонометрической
функцией, формула удвоения аргумента гамма-функции.
Разложение гамма-функции в бесконечное произведение.
Разложение мероморфной функции на элементарные дроби.
Разложения по полюсам функций 1 sin z , ctg z . Использование
этих результатов для суммирования рядов. Разложение целой
функции на множители. Представление тригонометрической
функции sin z в форме бесконечного произведения.
Размерные и модельные оценки. Оценки производных и
интегралов.
Понятие
асимптотической
формулы
и
Р6
Асимптотическое вычисление
интегралов и суммирование рядов.
Р7
Квазиклассическое приближение
Р8
Скалярные задачи Римана –
Гильберта и их приложения к
решению краевых задач.
асимптотического ряда. Единственность асимптотического
разложения. Операции над асимптотическими рядами: их
сложение и умножение на число, интегрирование и особенности
дифференцирования. Оценки далеких членов интеграла Фурье в
случаях конечных и бесконечных пределов интегрирования.
Метод Лапласа асимптотической оценки интегралов от функций
действительной переменной. Эвристические соображения, лемма
Ватсона и строгие результаты метода Лапласа. Формула
Стирлинга. Уравнение Эйри и асимптотика интеграла Эйри при
больших значениях аргумента. Формула суммирования Пуассона.
Лемма Эрдейи для интегралов Фурье с большими волновыми
числами. Метод стационарной фазы – эвристические соображения
и строгие результаты. Асимптотика линейного волнового поля на
больших временах. Метод перевала.
Асимптотические
разложения функций Бесселя при больших и малых значениях
аргумента.
Эвристические соображения о связи классической и квантовой
механики. Метод Вентцеля – Крамерса – Бриллюэна и условия его
применимости. «Сшивка» квазиклассических приближений в
переходной
области
с
помощью
функций
Эйри.
Квазиклассическое условие квантования и принцип соответствия.
Нормировка квазиклассических функций. Фейнмановская
формулировка квантовой механики с помощью интегралов по
траекториям.
Функции, удовлетворяющие условию Гёльдера. Интегралы типа
Коши и формулы Сохоцкого – Племеля. Роль принципов
причинности и аналитичности в формулировке дисперсионных
соотношений для электрической поляризуемости среды.
Однородная задача Римана с замкнутым контуром и ее решения с
нулевым и ненулевым индексами. Неоднородная задача Римана с
замкнутым контуром. Применение скалярной задачи Римана для
решения уравнения Лапласа внутри круга с краевым условием
Дирихле. Однородная задача Римана для разомкнутого контура, ее
фундаментальное и общее решения. Решения неоднородной
задачи Римана с разомкнутым контуром. Расчет подъемной силы
крыла самолета.
Примерный перечень контрольных вопросов для подготовки к аттестации по дисциплине
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Аналитические функции комплексной переменной. Применение теории аналитических функций к задачам
гидродинамики идеальной несжимаемой жидкости. Дифференциальные характеристики плоского течения
жидкости в полярной системе координат
Безвихревые плоское течение идеальной жидкости. Функция тока. Примеры плоских течений идеальной
жидкости. Конформные преобразования. Течение в клинообразной области.
Скалярные и векторные поля их характеристики. Поверхности уровня скалярного поля, градиент и его свойства;
поток и дивергенция векторного поля; циркуляция и ротор векторного поля. Теоремы Гаусса и Стокса. Интегралы
с особенностями в смысле главного значения Коши и их вычисление методами ТФКП.
Однозначные аналитические функции. Теорема Коши. Интегральная теорема Коши. Стационарное обтекание
кругового цилиндра идеальной жидкостью.
Дифференцируемость аналитических функций. Производящая функция полиномов Лежандра. Теорема Тейлора.
Ряд Лорана.
Классификация изолированных особых точек однозначной аналитической функции. Вычисление методами ТФКП
2
интегралов вида
 R  cos  ,sin   d , где R  x, y  - рациональная функция своих аргументов.
0
7.
8.
9.
Теорема Лиувилля и восстановление аналитической функции по ее главным частям. Единственность определения
аналитической функции.
Элементарные функции комплексной переменной: аналитическое продолжение функций действительной
переменной с помощью степенных рядов. Общие принципы аналитического продолжения.
Аналитическое продолжение через границу. Многозначные аналитические функции. Листы римановой
поверхности.
10. Примеры аналитического продолжения с действительной оси, приводящие к многозначным функциям. Римановы
поверхности функций z , ln z .
11. Аналитическое продолжение по параметрам: гауссовы интегралы. Производящая функция гауссовых интегралов.
Вычисление гауссовых интегралов с помощью теоремы Коши.
12. Лемма Жордана и теорема Коши о вычетах. Теорема Коши о вычетах для функции аналитической в расширенной
комплексной плоскости. Примеры применения этих результатов для вычисления интегралов.

13. . Вычисление методами ТФКП интегралов типа
 exp  iax  f  x  dx,
где
a 0;
f  x  допускает
функция

аналитическое продолжение с вещественной оси в верхнюю полуплоскость переменной z  x  iy
(аналитическое продолжение удовлетворяет условиям леммы Жордана и не имеет особенностей на вещественной
оси).
14. Представление решений линейных дифференциальных уравнений в виде контурных интегралов по комплексной
переменной. Уравнение Лежандра. Полиномы Лежандра.
15. Производящая функция полиномов Лежандра. Рекуррентные соотношения для функций Лежандра.
Мультипольное разложение потенциала ограниченной системы зарядов по полиномам Лежандра.
16. Применение аналитического продолжения и теоремы Коши о вычетах для вычисления интегралов от

многозначных функций. Общие принципы вычисления интегралов типа
x
 1
f  x  dx, где 0    1 ; функция

f  x  допускает аналитическое продолжение с вещественной оси на всю комплексную плоскость переменной
z  x  iy за исключением конечного числа изолированных особых точек, не лежащих на вещественной оси; при
этом точка z   является нулем функции
f  z  не ниже второго порядка.
17. Применение аналитического продолжения и теоремы Коши о вычетах для вычисления интегралов от

многозначных функций. Общие принципы вычисления интегралов типа
 ln x f  x  dx,
где функция
f  x
0
является четной и допускает аналитическое продолжение с вещественной оси в верхнюю полуплоскость
переменной z  x  iy ; в верхней полуплоскости функция
f  z  аналитична всюду за исключением конечного
числа изолированных особых точек и существуют такие положительные числа R, M ,  , что
для любых
f  z  M z
1
z  R.
18. Гамма-функция Эйлера. Ее аналитическое продолжение по параметру на всю комплексную плоскость.
Рекуррентная формула при трансляции аргумента на единицу, связь двух гамма-функций со сдвинутыми на
единицу аргументами с тригонометрической функцией.
19. Аналитические свойства и особенности гамма-функции в комплексной плоскости. Формула удвоения ее
аргумента. Разложение гамма-функции в бесконечное произведение.
20. Разложение мероморфной функции на элементарные дроби. Разложения по полюсам функций 1 sin z , ctg z .
21. Разложение целой функции на множители. Представление тригонометрической функции
sin z в форме
бесконечного произведения . Суммирование рядов с помощью функций  ctg  z  ,  sin  z  .
22. Размерные и модельные оценки. Оценки производных и интегралов. Понятие асимптотической формулы и
асимптотического ряда.
23. Понятие асимптотической формулы и асимптотического ряда. Единственность асимптотического разложения.
Операции над асимптотическими рядами: сложение и умножение на число, интегрирование и особенности при
дифференцировании.
24. Оценки далеких членов интеграла Фурье в случае бесконечных пределов интегрирования: влияние корневых точек
ветвления и полюсов в комплексной плоскости у подынтегральной функции при отсутствии особенностей на
вещественной оси, скачки подынтегральной функции и ее производных на вещественной оси. Оценки далеких
членов интеграла Фурье при конечных пределах интегрирования.
25. Метод Лапласа асимптотической оценки интегралов от функций действительной переменной - эвристические
соображения. Лемма Ватсона.
26. Основные теоремы метода Лапласа. Формула Стирлинга.
27. Уравнение Эйри и асимптотика интеграла Эйри при больших значениях аргумента.
28. Формула суммирования Пуассона. Примеры ее применения.
29. Лемма Эрдейи для интегралов Фурье с большими волновыми числами. Метод стационарной фазы –эвристические
соображения и строгие результаты.
30. Основные идеи и результаты метода стационарной фазы. Асимптотика линейного волнового поля на больших
временах.
31. Метод перевала. Асимптотические разложения функций Бесселя при больших и малых значениях аргумента.
32. Наводящие соображения о связи классической и квантовой механики. Метод Вентцеля – Крамерса – Бриллюэна и
условия его применимости.
33. Метод Вентцеля – Крамерса – Бриллюэна. «Сшивка» квазиклассических решений в переходной области с
помощью функций Эйри.
34. Квазиклассическое условие квантования и принцип соответствия. Нормировка квазиклассических волновых
функций.
35. Фейнмановская формулировка квантовой механики через интегралы по траекториям. Функции, удовлетворяющие
условию Гёльдера. Интегралы типа Коши и формулы Сохоцкого – Племеля.
36. Формулы Сохоцкого – Племеля. Роль принципов причинности и аналитичности в формулировке дисперсионных
соотношений для электрической поляризуемости среды.
37. Однородная задача Римана с замкнутым контуром и ее общие решения с нулевым и ненулевым индексами.
38. Неоднородная задача Римана с замкнутым контуром. Применение скалярной задачи Римана для решения
уравнения Лапласа внутри круга с краевым условием Дирихле.
39. Однородная задача Римана для разомкнутого контура, ее фундаментальное и общее решения.
40. Решения неоднородной задачи Римана с разомкнутым контуром при разных краевых условиях. Расчет подъемной
силы крыла самолета.
41. Фундаментальные решения однородной задачи Римана с замкнутым контуром и их использование для решения
неоднородной задачи Римана с замкнутым контуром.
42. Фундаментальные решения однородной задачи Римана с разомкнутым контуром и их использование для решения
неоднородной задачи Римана с разомкнутым контуром.
43. Применение скалярной задачи Римана для решения уравнения Лапласа внутри круга с краевым условием Дирихле.
Расчет подъемной силы крыла самолета.
44. Метод Вентцеля – Крамерса – Бриллюэна. Фейнмановская формулировка квантовой механики с помощью
континуальных интегралов.
45. Интегралы типа Коши, формулы Сохоцкого – Племеля и дисперсионные соотношения.
46. Решения однородных задач Римана с замкнутым и разомкнутым контурами.
47. Решения неоднородных задач Римана с замкнутым и разомкнутым контурами.
48. Сшивка» квазиклассических решений с помощью функций Эйри. Квазиклассическое условие квантования.
Литература
1. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1974.
2. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука,
1987.
3. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Физматгиз, 1962.
4. Титчмарш Е. Теория функций. М.: Наука, 1979.
5. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного
переменного. М.: Наука, 1982.
6. Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука, 1977.
7. Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы физики. М.: Атомиздат, 1972.
8. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Т. 2. М.: Физматгиз, 1963.
9. Ли Цзун-дао. Математические методы в физике. М.: Мир, 1965.
10. Мигдал А.Б. Качественные методы квантовой теории. М.: «Наука», 1975.
11. Ablowitz M.J., Fokas A.S. Complex variables. Introduction and applications. Cambridge University
Press, 2003.
12. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.