V ESCUELA DE VERANO LATINO AMERICANA EN ROBÓTICA
Universidad de Chile
14 diciembre 2011
ROBÓTICA
Modelación Dinámica y Simulación de Robots
Miguel Torres Torriti
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
ESCUELA DE INGENIERÍA
Departamento de Ingeniería Eléctrica
Contenidos
• Cinemática Directa y el Procedimiento de DenavitHartenberg
• Dinámica Inversa y el Algoritmo Recursivo de
Newton-Euler
ABB IRB2400
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 2
¿Por qué simular?
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 3
¿Por qué simular?
• Diseñar/verificar antes de construir
• Experimentar sin destruir equipo costos
• Entrenar/Experimentar en un ambiente controlado y
sin peligro
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 4
Cuidado!
• Of the thousands of ways computers have been misused,
simulation tops the list. The reasons for this widespread abuse
are not hard to find:
1. Every simulation simulates something, but there’s no particular
reason it should simulate what the simulator had in mind.
2. Computer outputs are readily mistaken for gospel, especially by
people who are working in the dark and seeking any sort of
beacon.
3. Simulation languages have succeeded in making it easier to
achieve impressive simulations, without making it easier to
achieve valid simulations.
4. There are no established curricula based on extensive practical
experience. Thus, everyone is an "expert" after writing one
simulation, of anything, in any language, with any sort of result.
5. The promise of simulation is so great that it’s easy to confuse
hope with achievement.
- Simulation: Principles and Methods, Graybeal and Pooch, 1980.
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Criterios de Implementación
• Tipos de Coordenadas:

Representaciones Maximales (aka, absolutas, Lagrangianas)
 Usadas en Gráfica Computacional, Physics Engines (Baraff,
Mirtich)
 Requieren la solución de un Linear Complementarity Problem
(LCP) para manejar las restricciones y colisiones
(Anitescu+Potra, Trinkle).
 No hay que preocuparse de rotaciones relativas entre cuerpos,
todo es con respecto a un sistema inercial absoluto.

Reducidas (aka, generalizadas, recursivas):
 Usadas en Multibody-Rigid Systems, Robótica
 Soluciones computacionalmente rápidas para la dinámica
directa:


Composite-Rigid Body Algorithm (Walker+Orin, 1982).
Articulated-Rigid Body Algorithm (Featherstone, 1987).
 Resulta difícil incorporar restricciones y colisiones.
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M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 6
Arquitectura de un Simulador
Simulation
Parameters
File
User
x(t0+∆T)
Time
Stepper
8
1
Fc(t0+∆t)
Ic=Fc(t0+∆t)∆t
5
4
Motion
Solver
2
Constraint
Solver
x(t0)
x(t0), ∆T
6
3
Collision
Handler
c(t0)
7 (NO)
x(t0+∆t)
Collision
Detector
Adjust ∆T
7 (YES)
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
Contact regions
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Cinemática del Brazo Robótico
• Estudio analítico de la geometría del movimiento de
un brazo robótico con respecto a un sistema de
coordenadas fijo en función del tiempo sin
considerar las fuerzas/torques que originan dicho
movimiento.
• Los dos problemas fundamentales concernientes al
desplazamiento espacial del brazo robótico son:
1.
2.
Cinemática Directa: Dadas las coordenadas generalizadas
q (t )  q1 (t ) q2 (t )  qn (t ) de las articulaciones y los
parámetros geométricos del robot, donde n es el número de
grados de libertad, determinar cuál es la posición del efector
final con respecto a sistema de coordendas de referencia.
Cinemática Inversa: Dadas una posición y orientación del
efector final, cuáles son los distintos posibles valores que
cada articulación debe tener.
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Ejemplo 1: 2-DOF RR-Planar –
Links and Joints
Dibujado en pizarrón.
link 2
link 1
link 0
Se requiere conocer el ángulo de cada articulación (coordenadas
generalizadas) para toda posición deseada de la herramienta en
espacio de trabajo (coordenadas del mundo).
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Ejemplo 1: 2-DOF RR-Planar –
Coordinate Systems
Dibujado en pizarrón.
x1
y1
z1
y0
eje 2
x0
z0
eje 1
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Ejemplo 1: 2-DOF RR-Planar –
End Effector
Dibujado en pizarrón.
y2=s
x2=n
z2
x1
y1
z1
y0
eje 2
x0
z0
eje 1
z2=a
y2=s
x2=n
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
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Ejemplo 1: 2-DOF RR-Planar –
DH Parameters
Dibujado en pizarrón.
a2
y2=s
d2
x2=n
z2
x1
a1
y1
z1
y0
eje 2
d1
x0
z0
eje 1
z2=a
y2=s
Articulación i
i
di
ai
i
1
2
q1
q2
d1=0
d2=0
a1
a2
0
0
x2=n
Tabla de Parámetros D-H
del Robot 2-DOF RR-Planar
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
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Parámetros de Denavit-Hartenberg
Dibujado en pizarrón.
joint i-1
joint i
di
link i-1
zi-1
xi-1
yi-1
ai
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
lin
k
i
zi
i
i
yi
joint i+1
xi
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Parámetros de Denavit-Hartenberg
Dibujado en pizarrón.
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
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Parámetros de Denavit-Hartenberg
Dibujado en pizarrón.
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
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Parámetros de Denavit-Hartenberg
Dibujado en pizarrón.
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
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Parámetros de Denavit-Hartenberg
Dibujado en pizarrón.
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Parámetros de Denavit-Hartenberg
Dibujado en pizarrón.
link twist
link length
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Parámetros de Denavit-Hartenberg
Dibujado en pizarrón.
link offset
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
link angle
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Parámetros de Denavit-Hartenberg
Dibujado en pizarrón.
link twist
link length
parámetros del eslabón
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
link offset
link angle
parámetros de la articulación
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Procedimiento de Denavit-Hartenberg (1/9)
• Permite referir las coordenadas del efector final (herramienta o
mano) del robot con respecto a un sistema de coordenadas
inercial fijo en la base del robot.
• Reglas para la definición de los sistemas de coordenadas en
base a los cuales se construirán las matrices de transformación
homogéneas (rotación y traslación de coordenadas
homogéneas:





La numeración es tal que cuando se actua la articulación i,
(i=1,2,…,n), se mueve el eslabón i.
El sistema de coordenadas {Si}, (i=1,2,…,n), es solidario con el
eslabón i (el sistema de coordenadas de la base {S0} está fijo).
El eje zi-1 yace a lo largo de la articulación i.
El eje xi es normal a zi-1, intersecta a zi-1, y apunta hacia afuera
de zi-1.
El eje yi se define tal que {Si} sea un sistema dextrosum, i.e.
yi 
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
zi  x i
zi  x i
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Procedimiento de Denavit-Hartenberg (2/9)
• La representación de D-H emplea cuatro parámetros
que describen completamente la geometría de cada
eslabón. Estos parámetros son:
i : ángulo en torno a zi-1 de xi-1 a xi usando la regla de la mano
derecha (ángulo de la articulación – link angle).
di : distancia a lo largo de zi-1 desde el origen del sistema de
coordenadas {Si-1} hasta la intersección de zi-1 con xi (offset
del eslabón – link offset).
ai : distancia a lo largo de xi desde la intersección de zi-1 con xi
hasta el origen del sistema {Si}, – o la distancia más corta
entre zi-1 y zi (largo del eslabón – link length).
i : ángulo entorno a xi de zi-1 a zi usando la regla de la mano
derecha (ángulo de torsión del eslabón – link twist).
Nota: ai y i definen parámetros del eslabón, mientras que i y
di definen parámetros de la articulación. Para cada
articulación i=1, 2,… , n, la coordenada generalizada se
define como:

qi   i
d i
para una articulación de revolución
para una articulación prismática
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 22
Procedimiento de Denavit-Hartenberg (3/9)
• Sistemas de Coordenadas según la convención D-H
estándar:
joint i-1
joint i
di
link i-1
lin
k
zi-1
xi-1
yi-1
zi
i
i
joint i+1
i
xi
yi
ai
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 23
Procedimiento de Denavit-Hartenberg (4/9)
• Sistemas de Coordenadas según la convención D-H
modificada (Craig’s modified D-H):
joint i-1
joint i
di
link i-1
lin
k
zi-1
xi-1
yi-1
joint i+1
i
xi
yi
ai
Zi-1 joint i-1
yi-1
link i-1
zi
i
i
D-H Estándar:
En esta convención se fija
el origen Si-1 en la
articulación i, y ai
representa la distancia del
link i (entre Si-1 y Si).
joint i
di
lin
k
zi
xi-1
xi
yi
i
ai
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
i
i
joint i+1
xi
D-H Modificado (Craig):
En esta convención se fija
el origen Si-1 en la
articulación i-1, y ai
representa la distancia del
link i (entre Si y Si+1).
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 24
Procedimiento de Denavit-Hartenberg (5/9)
Numerar los eslabones i=0,1,…,n. (0 para la base
fija, 1 para el primer eslabón móvil, etc.)
DH2. Numerar las articulaciones i=1,2,…,n. (1 para el
primer grado de libertad, n para el último).
DH3. Para i=0,1,…,n-1 fijar el eje zi sobre la articulación
i+1.
DH4. Sistema de Coordenadas de la Base {S0}: Situar el
origen de {S0} cualquier punto del eje z0 de modo
que x0 y y0 formen un sistema dextrorsum con z0.
DH5. Para i=1,2,…,n-1 fijar el origen del Sistema de
Coordenadas del eslabón i, {Si}, en la intersección
del eje zi con la línea perpendicular común a zi-1 y zi.
Si ambos ejes se cortan, fijar el origen en el punto
de intersección. Si ambos ejes son paralelos, fijar el
origen en la articulación i+1.
DH1.
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 25
Procedimiento de Denavit-Hartenberg (6/9)
Fijar xi en la línea perpendicular común a zi-1 y zi.
DH7. Fijar yi de modo que forme un sistema dextrorsum con xi y zi.
DH8. Fijar el Sistema de Coordenadas del Extremo Efector {Sn} de
modo que zn coincida con la dirección de zn-1 y xn sea
perpendicular a zn-1 y zn. Establecer {Sn} preferentemente en
el centro de la pinza (gripper) o en la punta de la herramienta
que tenga el robot.
DH9. Definir i como el ángulo que habría que girar en torno a zi-1
para que xi-1 y xi queden paralelos.
DH10. Definir di como la distancia medida a lo largo de zi-1 que
habría desplazar {Si-1} para que xi-1 y xi queden alineados.
DH11. Definir ai como la distancia medida a lo largo de xi (que
ahora coincidiría con xi-1) que habría desplazar el nuevo {Si-1}
para que su origen coincidiese totalmente con el de {Si}.
DH12. Definir i como el ángulo que habría que girar entorno a xi
(que ahora coincidiría con xi-1) para que el nuevo {Si-1}
coincidiese totalmente con {Si}.
DH6.
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 26
Procedimiento de Denavit-Hartenberg (7/9)
DH13.
Construir las matrices de transformación:
Ai  R (zi 1, i )D(zi 1, di )D( xi , ai )R ( xi , i )
i 1
c i
 s
 i
0

0
c i
 s
 i
0

0
 s i
0 0  1 0
c i 0 0 0 1

0
1 0 0 0

0
0 1 0 0
 c i s i s i s i
c i c i  s i c i
s i
0
c i
0
0  1
0 0  0

1 di  0

0 1  0
ai c i 
ai s i 

di 

1 
0
0 0 ai   1 0
1 0 0  0 c i

0 1 0  0 s i

0 0 1  0 0
0
 s i
c i
0
0
0

0

1
donde i, ai, di, i son los parámetros D-H del eslabón i.
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 27
Procedimiento de Denavit-Hartenberg (8/9)
Calcular la matriz de transformación que relaciona el sistema de la
base {S0} con el del extremo del robot {Sn} como:
DH14.
T  0A11 A2n1 An
La matrix T define la posición y orientación del extremo referido a la
base en función de las n coordenadas de las articulaciones.
• Nota 1:
 Es posible demostrar que las reglas anteriores (específicamente
aquellas en la transparencia 1/7) garantizan la existencia de una
matriz de transformación de coordenadas, T, única. Sin embargo,
el Procedimiento D-H permite que las definiciones de los marcos de
coordenadas no sean únicas. Por esta razón, las matrices
intermedias de transformación pueden ser diversas, pero la matriz T
resultante será siempre igual para una geometría dada del robot.
• Nota 2:
 Es común emplear la notación n, s, a, para referirse a los vectores
unitarios xn, yn, zn, respectivamente, del sistema de coordenadas de
la herramienta o extremo efector. Esta notación proviene del hecho
que normalmente a (approach) es la dirección en que el gripper
aproxima el objeto, s (sliding) es la dirección en que el gripper
abre/cierra el gripper, y n (normal) es la dirección perpendicular a s
y a.
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 28
Procedimiento de Denavit-Hartenberg (9/9)
•
Nota 3:

En la construcción del Procedimiento D-H se consideran tres situaciones
posibles:
a) zi-1 y zi no son coplanares: En este caso la dirección de xi está dada
por:
xi  

zi 1  zi
zi 1  zi
Notar que esta dirección corresponde a la del segmento más corto
entre zi-1 y zi (el cual corresponde a la normal común de zi-1 y zi).
b) zi-1 y zi se intersectan: En este caso la dirección de xi se define como
en el caso a). Pero además se tiene que ai=0. En este caso resulta
natural colocar el origen de {Si} en la intersección de zi-1 y zi.
c) zi-1 y zi son paralelos: En este caso existen un número infinito de
rectas perpendiculares a ambos ejes y se tiene que ai=0, puesto que
son paralelos. Además resulta conveniente colocar xi de modo que
intersecte el origen de {Si-1}, así el offset entre eslabones di será cero
(di=0).
Notar además que los tres casos se expresan en los pasos DH5-DH6.
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 29
Ejemplo 1: 2-DOF RR-Planar -
(DH1)
link 2
link 1
link 0
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 30
Ejemplo 1: 2-DOF RR-Planar -
(DH2)
eje 2
eje 1
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
Ejemplo 1: 2-DOF RR-Planar -
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 31
(DH3)
z1
eje 2
z0
eje 1
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
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Ejemplo 1: 2-DOF RR-Planar -
(DH4-DH6)
x1
z1
eje 2
x0
z0
eje 1
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 33
Ejemplo 1: 2-DOF RR-Planar -
(DH7)
x1
y1
z1
y0
eje 2
x0
z0
eje 1
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 34
Ejemplo 1: 2-DOF RR-Planar -
(DH8)
y2=s
x2=n
z2
x1
y1
z1
y0
eje 2
x0
z0
eje 1
z2=a
y2=s
x2=n
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 35
Ejemplo 1: 2-DOF RR-Planar -
(DH9-DH12)
a2
y2=s
d2
x2=n
z2
x1
a1
y1
z1
y0
eje 2
d1
x0
z0
eje 1
z2=a
y2=s
Articulación i
i
di
ai
i
1
2
q1
q2
d1=0
d2=0
a1
a2
0
0
x2=n
Tabla de Parámetros D-H
del Robot 2-DOF RR-Planar
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 36
Ejemplo 1: 2-DOF RR-Planar c  i
s
i 1
Ai  R (zi 1, i )D(zi 1,di )D( xi ,ai )R ( xi , i )   i
0

0
c1
s
0
A1  R (z0 ,1)D(z0 ,d1)D( x1,a1)R ( x1,1)   1
 0

 0
c  2
 s
1
A2  R (z1, 2 )D(z1,d 2 )D( x2 , a2 )R ( x2 , 2 )   2
 0

 0
Articulación i
i
di
ai
i
1
2
q1
q2
d1=0
d2=0
a1
a2
0
0
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
 c i s i
s i s i
c i c i
s i
 s i c i
c i
0
0
 s1 0 a1c1 
c1 0 a1s1

0
1
0 

0
0
1 
 s 2 0 a2c 2 
c 2 0 a2s 2 

0
1
0 

0
0
1 
ai c i 
ai s i 

di 

1 
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Ejemplo 1: 2-DOF RR-Planar i
(DH13)
(DH13b)
Ai 1  R ( xi , i )D( xi ,ai )D(zi 1,di )R (zi 1, i )
 c i
  c s
i
i

 s i s i

 0
s i
0
c i c i
 s i c i
s i
c i
0
0
 c1 s1
  s c
1
1
1
A0  
 0
0

0
 0
 ai 
 d i s i 

 d i c i 

1 
0  a1
0 0 

1 0 

0 1 
Articulación i
i
di
ai
i
1
2
q1
q2
d1=0
d2=0
a1
a2
0
0
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
 c 2
  s
2
2
A1  
 0

 0
s 2 0  a2 
c 2 0 0 

0 1 0 

0 0
1 
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 38
Ejemplo 2: 2-DOF RP-Planar -
(DH1)
link 1
link 2
link 0
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
Ejemplo 2: 2-DOF RP-Planar -
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 39
(DH2)
eje 1
eje 2
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M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 40
Ejemplo 2: 2-DOF RP-Planar -
(DH3)
eje 1
z1
eje 2
z0
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Ejemplo 2: 2-DOF RP-Planar -
(DH4-DH6)
eje 1
x1
z1
eje 2
z0
x0
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 42
Ejemplo 2: 2-DOF RP-Planar -
(DH7)
eje 1
x1
z1
y1
eje 2
z0
y0
x0
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 43
Ejemplo 2: 2-DOF RP-Planar -
(DH8)
eje 1
x1
z1
y1
x2
z2 eje 2
y2
z0
y0
x2=n
x0
y2=s
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
z2=a
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 44
Ejemplo 2: 2-DOF RP-Planar -
(DH9-DH12)
Articulación i
i
di
ai
i
1
2
q1
0
d1
q2
0
0
-/2
eje 1
x1
z1
0
Tabla de Parámetros D-H
del Robot 2-DOF RP-Planar
d2
y1
d1
x2
z2 eje 2
y2
z0
y0
x2=n
x0
y2=s
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
Ejemplo 2: 2-DOF RP-Planar -
z2=a
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 45
(DH13)
c i  c i s i s i s i
s
c i c i  s i c i
i 1
Ai  R (zi 1, i )D(zi 1,di )D( xi ,ai )R ( xi , i )   i
0
s i
c i

0
0
0
c1 0  s1 0 
 s
0
c1 0 
1
0


A1  R (z0 ,1)D(z0 ,d1)D( x1, a1)R ( x1,1) 
 0 1
0
d1


0
0
1
 0
1 0 0 0 
0 1 0 0 
1

A2  R (z1, 2 )D(z1, d 2 )D( x2 ,a2 )R ( x2 , 2 )  
0 0 1 q2 


0 0 0 1 
Articulación i
i
di
ai
i
1
2
q1
0
d1
q2
0
0
-/2
ai c i 
ai s i 

di 

1 
0
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 46
Ejemplo 2: 2-DOF RP-Planar i
(DH13b)
Ai 1  R ( xi , i )D( xi ,ai )D(zi 1,di )R (zi 1, i )
 c i
  c s
i
i

 s i s i

 0
s i
0
c i c i
 s i c i
s i
c i
0
0
 c1 s1 0
 0
0 1
1
A0  
  s1 c1 0

0
0
 0
Articulación i
i
di
ai
i
1
2
q1
0
d1
q2
0
0
-/2
 ai 
 d i s i 

 d i c i 

1 
0
d1

0

1
1
0
2
A1  
0

0
0 
1 0
0 

0 1  q2 

0 0
1 
0 0
0
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 47
Ejercicios
Obtenga los parámetros DH para un robot:
1. Cartesiano XY.
2. SCARA (articulaciones RRP)
3. Articulado con 6DOF R, como el Kuka KR16.
Robot Cartesiano
2-DOF PP-Planar
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
Robot SCARA
3-DOF RRP
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 48
Ejemplo: Robot Industrial Kuka KR16
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 49
Ejemplo: Robot Industrial Kuka KR16 -
link 2
(DH1)
link 3
link 1
link 4
link 0
link 5
link 6
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 50
Ejemplo: Robot Industrial Kuka KR16 -
(DH2)
eje 3
eje 4
eje 5
eje 2
eje 6
eje 1
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 51
Ejemplo: Robot Industrial Kuka KR16 -
(DH3)
eje 3
z2
z1
z3
eje 4
eje 5
eje 2
z5
z0
z4
eje 6
eje 1
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 52
Ejemplo: Robot Industrial Kuka KR16 -
eje 3
x2
z2
x3
z1
z3
eje 4
x1
(DH4-DH6)
x5
eje 5
x4
eje 2
z5
z0
z4
eje 6
x0
eje 1
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 53
Ejemplo: Robot Industrial Kuka KR16 -
y2
(DH7)
eje 3
x2
y3
z2
y1
z1
x1
x3
z3
eje 4
y4
eje 2
y5
z0
y0
z4
x5
x4
eje 5
z5
eje 6
x0
eje 1
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 54
Ejemplo: Robot Industrial Kuka KR16 -
y2
(DH8)
eje 3
x2
y3
z2
z3
x3
y1
z1
eje 4
x1
x5
z5
y5
z0
eje 5
x4
y4
eje 2
z4
y0
eje 6
x6=n
x0
y6=s
eje 1
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
z6=a
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 55
Ejemplo: Robot Industrial Kuka KR16 Articulación i
i
di
ai
i
1
q1
d1
a1
+/2
2
q2
0
a2
3
q3
0
a3
0
-/2
4
q4
d4
0
-/2
5
q5
q6
0
d6
0
+/2
0
0
a3
a2
y2
Tabla de Parámetros D-H
del Robot Kuka KR16
y3
a1
z2
y1
d1
6
eje 3
x2
(DH9-DH12)
z1
x1
x3
z3
d4
eje 4
x5
x4
y4
eje 2
y5
z0
eje 5
z5
z4
y0
eje 6
x6=n
x0
d6
eje 1
y6=s
z6=a
Como sería la tabla de parámetros D-H si
articulación 4 fuese prismática en vez de rotatoria?
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 56
Ejemplo: Robot Industrial Kuka KR16 -
(DH13-DH14)
T A A  A A
0 1
4
5
5 c3 6 c1 c2 c3 a3c1 s2 s3 a3c1 c2 a2c1 a1
c1 c2 c3c1 s2 s3 s1 1c1 c22 s3c1 s2




 s1 c2 c3s1 s2 s3 c1 s1 c2 s3s1 s2 c3 s1 c2 c3 a3s1 s2 s3 a3s1 c2 a2s1 a1 
0










c6s3
c1c2
s2c3
s3 s4 s6 s1 s2
s4 c3
c5 a3
c6c2
s1 s3
c4 a3
s6 s5
c1d1
c2 s3 s5 c6 c1 s2 c3 ]
[ c1 c2 c3 c43 c5 c6  c1s2c2c3c3
s4
s2
c2s6
s3 c1 s20s3 c4 c5
s2 c6
a2

[ c1 c2 c3 c4 c5 s6c1 c2 c3 s4 c6c1 s2 s3 c4 c5 s6c1 s2 s3 s4 c6s1 s4 c5 s6s1 c4 c6s5 s6 c1 c2 s3 s5 s6 c1 s2 c3 ]


0
0
0
1
[ c4 s5 c1 c2 c3c4 s5 c1 s2 s3s1 s4 s5c5 c1 c2 s3c5 c1 s2 c3 ]
[ c4 s5 d6 c1 c2 c3c4 s5 d6 c1 s2 s3s1 s4 s5 d6c1 c2 s3 c5 d6c1 c2 s3 d4c1 s2 c3 c5 d6c1 s2 c3 d4c1 c2 c3 a3
c1 s2 s3 a3c1 c2 a2c1 a1 ]
A 
T [1,1]
T [1,2]
T [1,3]
T [1,4]
T [2,1] 

T [4,2]
T [4,3]
T [4,4]
[ s1 c2 c3 c4 c5 c6s1 c2 c3 s4 s6s1 s2 s3 c4 c5 c6s1 s2 s3 s4 s6c1 s4 c5 c6c1 c4 s6s5 c6 s1 c2 s3s5 c6 s1 s2 c3 ]
[ s1 c2 c3 c4 c5 s6s1 c2 c3 s4 c6s1 s2 s3 c4 c5 s6s1 s2 s3 s4 c6c1 s4 c5 s6c1 c4 c6s5 s6 s1 c2 s3s5 s6 s1 s2 c3 ]
c4 c5 c6s4 s6 c4 c5 s6s4 c6 c4 s5 c4 s5 d6 

[ c4 s5 s1 c2 c3c4 s5 s1 s2 s3c1 s4 s5c5 s1 c2 s3c5 s1 s2 c3 ]

c5 c6c4 s6 s4 c5 s6c4 c6 s4 s5
s4 s5 d6 
s4
3 d6 s1 s2 s3
[ c4 s5 d6 s1 c2 c3c4 s5
 d6s1 s2 c3 d4s1 c2 c3 a3
 c1 s4 s5 d6s1 c2 s3 c5 d6s1 c2 s3 d4s1 s2 c3 c5


6
s5 c6
s5 s6
c5
c5 d6d4
s1 s2 s3 a3s1 c2 a2s1 a1 ] 



0c2 s3 s4 s6s50c6 s2 s3s50c6 c2 c3 ] 1
[ s2 c3 c4 c5 c6s2 c3 s4 s6c2 s3 c4 c5 c6
A 
[ s2 c3 c4 c5 s6s2 c3 s4 c6c2 s3 c4 c5 s6c2 s3 s4 c6s5 s6 s2 s3s5 s6 c2 c3 ]
[ c4 s5 s2 c3c4 s5 c2 s3c5 s2 s3c5 c2 c3 ]
[ c4 s5 d6 s2 c3c4 s5 d6 c2 s3s2 s3 c5 d6s2 s3 d4c2 c3 c5 d6c2 c3 d4s2 c3 a3c2 s3 a3s2 a2d1 ]
[0]
T  0A3 3 A6
[0]
[0]
[1]
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 57
Ejemplo: Robot Industrial Kuka KR16 Articulación i
i
di
ai
i
1
q1
d1
a1
+/2
2
q2
0
a2
3
q3
0
a3
0
-/2
4
q4
d4
0
-/2
5
q5
q6
0
d6
0
+/2
0
0
a3
a2
y2
Tabla de Parámetros D-H
del Robot Kuka KR16
y3
a1
z2
y1
d1
6
eje 3
x2
(Simplificado)
z1
x1
x3
z3
d4
eje 4
x5
x4
y4
eje 2
y5
z0
eje 5
z5
z4
y0
eje 6
x6=n
x0
d6
eje 1
y6=s
z6=a
Como sería la tabla de parámetros D-H si
articulación 4 fuese prismática en vez de rotatoria?
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 58
Ejemplo: Robot Industrial Kuka KR16 Articulación i
i
di
ai
i
1
q1
d1
a1
+/2
2
q2
0
a2
3
q3
0
a3
0
-/2
4
q4
d4
0
-/2
5
q5
q6
0
d6
0
+/2
0
0
a3
a2
y2
Tabla de Parámetros D-H
del Robot Kuka KR16
y3
a1
z2
y1
d1
6
eje 3
x2
(Repaso)
z1
x1
x3
z3
d4
eje 4
x5
y4
eje 2
y5
z0
eje 5
x4
z5
z4
y0
eje 6
x6=n
x0
d6
eje 1
y6=s
z6=a
Como sería la tabla de parámetros D-H si
articulación 4 fuese prismática en vez de rotatoria?
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 59
RNE
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 60
RNE – Supuestos para cada eslabón
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 61
RNE – Supuestos para cada eslabón
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 62
RNE – Supuestos para cada eslabón
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 63
RNE – Supuestos para cada eslabón
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 64
RNE – Supuestos para cada eslabón
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 65
RNE – Alg. 1
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 66
Forward Equations: For i = 1 to n
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 67
Backward Equations: For i = n to 1
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 68
RNE – Alg. 1
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 69
RNE – Alg. 1
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 70
RNE – Alg. 1
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 71
RNE – Alg. 2
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 72
Forward Equations: For i = 1 to n
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 73
Backward Equations: For i = n to 1
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 74
RNE – Alg. 3 (= Alg. 2 notación compacta)
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 75
RNE – Alg. 3
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 76
Alg. 3
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 77
Alg. 3 – Inicialización
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 78
Alg. 3 – Inicialización
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 79
Forward Equations: For i = 1 to n
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 80
Backward Equations: For i = n to 1
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 81
Ejemplos en Maple y en Matlab
• 2-DOF RR-Planar
• 2-DOF RP-Planar
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 82
Ejemplo 1: 2-DOF RR-Planar -
(DH9-DH12)
a2
y2=s
d2
x2=n
z2
x1
a1
y1
z1
y0
eje 2
d1
x0
z0
eje 1
z2=a
y2=s
Articulación i
i
di
ai
i
1
2
q1
q2
d1=0
d2=0
a1
a2
0
0
x2=n
Tabla de Parámetros D-H
del Robot 2-DOF RR-Planar
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 83
Ejemplo 2: 2-DOF RP-Planar -
(DH9-DH12)
Articulación i
i
di
ai
i
1
2
q1
0
d1
q2
0
0
-/2
eje 1
x1
z1
0
Tabla de Parámetros D-H
del Robot 2-DOF RP-Planar
d2
y1
d1
x2
z2 eje 2
y2
z0
y0
x2=n
x0
y2=s
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
z2=a
M. Torres-Torriti – Diciembre 2011 – 84
Gracias!
EVLAR – Modelación Dinámica y Simulación de Robots
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