Aturan Rantai Turunan:
Jika f adalah fungsi dari u, sedangkan u adalah fungsi di x, maka
d
d
'
f ( u )= f (u ) . u
dx
dx
Soal :
Tentukan turunan dari fungsi berikut !
5
2 x 6 + 4 x2¿
1.
f ( x )=¿
4
Jawab :
2 x 6 + 4 x 2 ¿ . ( 12 x 5 + 8 x)
f ' ( x )=5 ¿
f ( u ) =( 2 x +1)
2.
du
5
4
f ' ( u )=( 2 u + 1 ) = f ' ( u ) u=5 u2 .2=10(2 x+ 1)
dx
Turunan Fungsi Implisit
Berbentuk f(x,y)"#
y"2x+1 (eksplisit), y-2x-1"# (implicit)
Soal
3
1.
3
x + y =18 xy. Tentukan
dy
dx !
Jawab :
3y
6 y −x2
dx
dx y2−6 x
dy
2 dy
3
3
2
x + y =18 xy→ 3 x +3 y dx =18 y +18 x dx → ¿
(¿¿ 2−18 x )
dy
=18 y −3 x 2 →→
dy
=
2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2+y2"16
(),*).
Jawab : P (),*)
dy
m = f ' ( x )| p =
p
dx
|
x2+ y2=16 →2 x+ 2 y
dy
dx
=0
di titik
dy
2y
=−2 x→
−x
dx
m=
¿
∴
|
dy
p(3,4)
dx
−x
y
y
−3
( 3,4 )=
4
|
persamaan garis singgungdititik Padalah y −4=
y=
−3
4
x+
9
4
+
−3
4
( x−3)
16
4
Dikali * sehingga
3 x + 4 y= 25
Turunan kedua dan turunan tingkat tinggi:
Jika y"f(x) fungsi yang diferensiabel dengan fungsi turunan f-(x), maka
turunan dari f-(x) ditulis f--(x) disebut turunan kedua dari f. secara
sama turunan ke - n dari f(x) ditulis fn(x) didefenisikan sebagai :
n
n
d (n−1)
d
n ( x )=
f
( x )= n f ( x )= d yn
f
dx
dx
dx
Soal !
Tentukan Turunan pertama dan kedua dari fungsi berikut !
2
1. y=−x +3
y =−2 x ; y =−2
'
''
3
5
2.
s= 5 t − 3 t
'
''
s =15 t2−15t 4 ; s =30 t −60 t3
).
w=3 z7−7 z3+ 21 z2
w ' =21 z6−21 z2+ 42 z; w'' =126 z5−42 z + 42
*.
y=
4 3
x −x
3
y =4 x 2 − 1 → y = 8 x
'
''
/.
y = 4 − 2 x−x−3
y =−2+ 3 x−4 → y =−12 x−5
'
''
Turunan sebagai Laju Perubahan
Jika f fungsi dari x, maka nilai dari
f ( x +h )− f ( x )
f ( x )=
diintrepasikan sebagai nilai dari perubahan f oleh
h
perubahan x se0auh h. Nilai perubahan sesaat terhadap titik x di x#
adalah turunan f terhadap x di x# yaitu
f ( x +h ) −f ( x )
f ' ( x )=lim
h
h→ 0
Jarak, Kecepatan, dan Percepatan
Andaikan suatu ob0ek bergerak sepan0ang garis lurus, posisi ob0ek
bergantung pada waktu t sehingga s"f(t).
3ecepatan gerak ob0ek pada waktu t ditulis:
ds
v ( t ) didefinisikan sebagaiv ( t ) = = s ( t )
dt
percepatanadalah perubahankecepatandalamtiap satuanwaktu
Aplikasi Turunan
Nilai ekstrim suatu fungsi :
Definisi adalah f fungsi dengan domain Df
f
mempunyai
nilai
minimum
c ∈ Df jikaf ( x)
• f
mutlak
di
f ( c ) ; ∀ x ∈ Df
mempunyai
nilai
maksimum
mutlak
pada
c ∈ Df jikaf ( x) ! f ( c ) ; ∀ x ∈ Df
minimum mutlak dan maksimum mutlak disebut ekstrim mutlak.
Teorema : jika f fungsikontinu pada [ a # b ] makaf mempunyai maksimum
absolut m danminabsolutm didalam [ a# b ] yaituada x1 # x2 ϵ [ a # b ] denganf ( x1 )= m# f ( x2 )= mdanm=
Teorema : Jika f mempunyai min atau maks local di titik c
ϵ
D dan f-
ada, maka
f- (c) "#
cara mencari nilai ekstrim pada fungsi kontinu pada inter5al tertutup
berhingga:
1. hitung semua nilai pada titik u0ung dan titik kritis
2. tentukan nilai terbesar dan yang terkecil
Contoh :
2
g ( t )= 4 t −t ; t ∈[−1,2]
Tentukan nilai ekstrim fungsi g!
Jawab :
a. titik - titik u0ung adalah t" - 1 dan t"2
t" - 1
7 g(- 1)"- /
t" 2
7 g(2)" *
b. titik kritis
'
g ( t )= 4 −2t
g' ( t )=0 → 4−2 t =0 →t =2
∴ nilaiminimum
{−5,4 } adalah−5, nilaimaksimum {−5,4 }adalah 4
DefiniSi :
1. 8ungsi f dikatakan fungsi naik pada inter5al I 0ika f(x1)
x1
2
∈
7 x1 x2
f(x2) untuk
I
2. 8ungsi f dikatakan fungsi turun pada inter5al I 0ika f(x1);f(x2) untuk
ϵ
x ;x 7 x x
I
). f naik atau f turun disebut fungsi monoton
1
2
1 2
teorena : Andaikan f kontinu pa <a,b= dan diferensiabel pada (a,b)
maka
1. Jika f-(x);#, x
2. Jika f-
∈
(a,b), maka f naik pada (a,b)
$ (a,b), maka f turun pada (a,b)
Contoh :
>unakan u0i turunan pertama untuk menentukan inter5al dimana f naik atau
turun.
f ( x )= x3−27 x +2
Jawab :
f ' ( x )=3 x2−27
f
'
( x )=0 →3 x2−27=0 →x =%3
Uji tanda interval
+
+
-3
3
'
f ( x )> 0 jika x<−3 ataux >3 → ( −&# − 3 ) ∪ (3, &)
f 9 x ¿< 0 jika−3< x< 3→(−3,3)
'
Jadi, f naik pada interval
(−&# −3 ) ∪(3, &)
f turun pada interval (- 3, 3)
0 Teorena Uji Turunan Kedua :
misal y=f(x) fungsi
yang
diferensiabel tingkat 2 pada interval I,
1. Jika f´(c)=0 dan f´´(c)<0, maka f mempunyai maksimum local di x=c
2. Jika f´(c) =0 dan f´´(c)>0, maka f mempunyai minimum local di x=c
3. Jika f´(c)=0 dan f´´(c)=0, maka f mempunyai titik belok di x=c
Terapan MaSalah OptinaSi ( Applied OptiniSation ProblenS)
Menentukan nilai x
•
•
•
•
Menentukan fungsi optimasi
Kendala / batasan / domain fungsi
Pengujian dilakukan pada titik kritis :
a. Titik - titik ujung interval
b. Titik dimana fungsi optimasi = 0
Soal !
X
9 – 2X
24 – 2X
24 cm
9 cm
X
Carilah ukuran kotak yang volumenya maksimum. Berapakah volume kotak
ini ?
◆ Fungsi optimasi : V ( x ) = p . l .t
◆ Kendala / batasan / Domain Fungsi
p=24−2 x; l=9−2 x; t = x
p#l # t 0
p=24−2
l=9−2
t=
0 →x !12
0 →x! 4,5
0
Sehingga domain fungsinya
0 ! x ! 4,5
V ( x ) =( 24− 2 x ) ( 9−2 x ) x
¿ ( 24−2 x ) ( 9 x−2 x2)
◆ Pengujian dilakukan pada titik kritis :
a. T
iti0
k 7-Cti(txik
x=
)=u0jung interval
x=6 7 C(x)=0
b. Titik dimana C´(x)=0
V ( x ) = ( 24− 2 x ) ( 9 x−2 x2)
dv
=v du+u dv
du
0=−2 (9 x−2 x 2) + ( 24 −2 x ) ( 9 −4 x )
0 =(−18 x +4 x2 ) + ( 216−114 x + 8 x2 )
0
12
2
132
216
= x−
x+
0=12(18−11 x + x2)
0 =12 ( 9 − x ) ( 2− x )
x=9 ataux =2
syarat interval yaitu
0 ! x ! 4,5
. Sehingga, nilai x yang kita
ambil hanyalah x=2 karena masuk dalam selang interval tadi.
x=2 7 C(2)= 200
jadi, Colume maksimum kotak 200 cm 3 dengan panjang=20
cm, lebar= /cm dan tinggi 2 cm
Teorena De L´Hopital : Andaikan f(a)=g(a)=O
f´(a),g(a) ada dan g´(a)D0
'
f ( x ) f ( a)
= '
lim
x→ a g ( x )
g ( a)
Maka :
Soal !
Tentukan harga Eimit - Eimit berikut !
lim x−2
1. x→ 2 x2−4
0
(bentuknya
0 , oleh karena itu kita turunkan hingga bentuknya tidak
0
mencapai
lim
x→ 2
2.
3.
x− 2
2
x −4
0 )
=
1
4
lim sin5 x =5 lim sin5 x =5.1=5
x
5x
x→ 0
5 x→ 0
lim
x→ 1
x3−1
3
4 x − x− 3
hingga tidak
lim
x→ 1
4.
lim
x→ 0
( karena bentuknya
0
0
0
0 , kita harus menurunkan
)
2
= 131
3 x2
12 x −1
1−cos x
x
(karenabentuknya
2
0
# makakitaharusmenurunkannyahinggatidak
0
)
0
Masih 0/0
lim sin x =lim cos x =1
2
2
x→ 0 2 x
x →0
0
x−1
cos¿
/.
¿
¿
sin x−x
x¿
¿
lim ¿
( sama seperti yang di atas )
x→ 0
FungSi TranSenden
◆ Fungsi Pangkat
Teorena : bilangan Fuler yaitu y=e
x
Secara umum: jika y=e , maka
u
→
dy
u
dx = e
Contoh :
Tentukan
dy
dari :
dx
1.
(12 x +5)
y=e
Jawab : Misal u=12x+/, maka
du
dx =12
y=eu
dy u du (12 x+5)
(12 x+5)
=e . =e
.12=12 e
dx
dx
2.
y= e
cos x
jawab : (isal u=cos x # du =−sin x
dx
x=¿−sin x . ecos
dy
du
=eu .
=ecosx .−sin ¿
dx
dx
x
FungSi Logaritna
DefiniSi : ab=c jika dan hanya jika alog c=b
Jika a=e=bilangan euler, maka
e
logx=Enx (En = Eogaritma natural / napier)
Sifat − Sifat Logaritna :
dy
=ex
dx
du
dx
1.
2.
log (bc)=alog b + alog c
a
log bc = c alog b
log b
a
3. log b = log a
a
*. aa log x=x
1
• Teorena : Misal y= En x, maka y´= x
Secara umum : jika y= En x, maka
dy 1 du
= .
dx u dx
Contoh :
2
ln x ¿ . Tentukan y' )
y=¿
Jawab :
ln x =u #
Misal ,
y=u2 sehingga
du
dx
dy
=
1
x
=2 u
du
∴
dy dy du =2 u. 1 =2 ( ln x ) . 1 2( ln x )
= .
=
dx du dx
x
x
x
/otaSi LeibniS:
f ' ( x )=lim
f ( x + h ) −f ( x )
h
h→ 0
= lim
* x→ 0
Soal !
1.
f ( x )=6 x 2 + 2 x +7
Tunjukkan bahwa
f ( x )=12 x +2 .
'
JAwab :
f ( x )=lim
'
h→ 0
f ( x + h ) −f ( x )
h
f ( x + * x )− f ( x)
*x
= lim Δ y = dy
* x →0
Δx
dx
h
x +¿
6x
6 ( ¿ ¿ 2 + 2 ( x + h ) + 7 )−
(¿¿ 2 + 2 x +7)
¿
¿
h
'
f
f ( x )=lim
'
h→ 0
f ' ( x )=lim
h→ 0
lim0 ¿
( x )=h→
(6 ( x2+ 2 xh+h2)+2 x+ 2h+ 7)−6 x2+2 x−7
h
6 x2+ 12 xh+6 h2+ 2 x +2 h + 7 − 6 x2+2 x−7
h
'
f ( x ) = lh i→m0 (12 x+ 6 h+2)=12 x+2
2.
Tentukan turunan dari fungsi berikut !
f ( x )=2 x3
3
x+ h ¿ −2 x3
¿
2 ¿
¿
f ' ( x )= lim ¿
h→ 0
2
+6 xh+2 x
¿
2 ( x3+3 x 2 h + 3 xh2+ h3 )−2 x3
=lim
6x
¿ lim
h
h→ 0
2
6 x 2 h + 6 xh2+2 h3
h
h→ 0
=lim ¿
)
h→0
¿ 6 x2
Sifat − Sifat Turunan:
1.
f ( x ) = k → f ( x )=0
2.
f ( x )= x →f ( x )=1
3.
f ( x )= x →f
*.
y = kf ( x ) → y' = k f ' ( x)
/.
d =( f ( x ) % g ( x ) ) = d f ( x )% d
g ( x)
dx
dx
dx
6.
d (f ( x ) . g ( x ) )= d f ( x ) . g ( x ) + f ( x ) dy g ( x )= f ' ( x ) . g ( x ) + f ( x) . g' ( x)
dx
dx
dx
'
'
n
'
( x )=n xn−1
atauf ' ( x )= v du +udv
d
G.
f ( x)
( )
dx g ( x)
=
f ' ( x ) . g ( x )− f ( x ) . g' ( x)
[ g ( x )]2
u
atauf ' ( x )= = v du−u dv
2
v
v
Soal
Tentukan turunan dari fungsi - fungsi berikut !
1.
f ( x )=67 →f ' ( x )=0
2.
f ( x )=5 x→f ' ( x )=5
3.
f ( x ) = 4 x 2 →f ( x ) =8 x
*.
f ( x )= ( 2 x+1 )( x2+3 x)
'
Jawab :
2
Kitamisalkan ( 2 x +1 )=udan
Sehingga ,
f ' ( x )=v du+u dv
( x +3 x ) = v
f ' ( x )=2 ( x2+3 x ) + ( 2 x + 1 ) ( 2 x +3)
f
/.
'
( x )=2 x 2 + 6 x +4 x2 +8 x +3=6 x2+14 x +3
f ( x )=
x+ 1
x2
Jawab :
Kita misalkan (x+1)=u dan x2=v. Sehingga :
x +1 u v du− udv
'
f ( x )= 2 = =
v
x
v2
f ( x )=
'
x2−2 x ( x + 1)
x
y=x
6.
9 /4
4
→y =
'
4
G.
H.
y = √ 5 x=(5 x )
y=(1−6 x )
s = √ t =t
7
I.
2
2 /3
2/ 7
9
5/4
4
1/ 4
2
x2−2 x2−2 x −x −2 x − x− 2
=
=
= 3
4
4
x
x
x
x
;y =
; y'=
'
2
1
4
(5 x)−3 /4 .5=
−1
3
2
7
−5 /7
Turunan FungSi Trigononetri:
1.
2.
f ( x )=sin x→ f ' ( x )= cos x
f ( x )=cos x →f
1 /4
4 x3/ 4
( 1−6 x ) 3 (−6 ) =−4 ( 1−6 x)−1 /3
;y = t
'
5
'
( x )=−sin x
3.
y=x2−sin x→ y =2 x−cos x
*.
f ( x )= x 2 sin x # misalx2=udan sin x = v→f
/.
d
'
6.
( x )=u . v = v du+udv
u vdu−udv
=
v
v2
f ( x )= tan x →f
d
G.
'
dx
2
'
( x )= sec x
sec x = secx. tan x
x
sin ¿
¿
¿
f ( x )=¿
H.
Soal !
Tentukan turunan dari fungsi - fungsi berikut.
x
cos¿=−10−3sin x
2.
¿
x→ y '=−10+3
d
dx
¿
y=−10 x + 3cos ¿
3.
*.
x→ y '=¿ 5cos x
y =5sin ¿
y=
cot x
1+cot x
Jawab :
x
−cs
1+cot
¿(
¿
x¿)−(−csc2 )
c2
¿
x
1+cot
¿
¿¿2
¿
x
1+cot
¿
¿2
¿
x
1+cot
¿
¿
¿
¿
¿
¿
¿
y'= uv= v du−2u dv =¿
v
/.
p=
tan q
1+tan q
q
1+tan
¿
¿
¿
p' =
¿
sec2 q
¿
dengan cara yang sama seperti no.3, maka didapat