Aturan Rantai Turunan:
Jika f adalah fungsi dari u, sedangkan u adalah fungsi di x, maka
maka
d
d
'
f ( u )= f ( u ) .
u
dx
dx
Soal :
T
Tentukan
entukan turunan
dari fungsi berik
berikut
ut !
6
2 5
2x +4 x ¿
1.
f ( x ) =¿
2x
6
Jawab :
+ 4 x 2 ¿ 4 . ( 12 x 5 + 8 x )
'
f ( x ) =5 ¿
f ( u ) =( 2 x + 1 )
2.
'
'
5
f ( u ) =( 2 u + 1 ) = f ( u )
du
2
4
u =5 u .2=10 ( 2 x + 1)
dx
Turunan Fungsi Implisit
Berbentuk f(x,"#
"2x$1 (eks%lisit, &2x&1"# (im%li'it
Soal
3
1.
3
x + y =18 xy . Tentukan
dy
dx !
Jawab :
3y
2
dy
dy 6 y − x
( ¿¿ 2−18 x ) =18 y −3 x 2 → → = 2
dx
dx y −6 x
dy
2 dy
2
3
3
x + y =18 xy → 3 x + 3 y dx =18 y + 18 x dx → ¿
2. Tent
entuk
ukan
an %er
%ersam
samaan
aan gar
garis
is sin
singgu
ggung
ng lin
lingk
gkara
aran
n x2$2"1
(),*.
Jawab : + (),*
dy
'
m= f ( x )| p =
p
dx
|
2
2
x + y =16 → 2 x + 2 y
dy
=0
dx
di tit
titik
ik
2y
−x
dy
=−
=−2 x →
y
dx
m=
¿
|
dy
p ( 3,4 )
dx
( 3,4 )=−
−x
y
3
4
|
∴ persam
persamaan
aan garis singgung
singgung di titik P adalah y
y=
−3
9
4
x+ +
4
−4 =
−3
4
( x −3 )
16
4
3 x + 4 y = 25
ikali * sehingga
Turunan kedua dan turunan tingkat tinggi:
Jika "f(x fungsi ang diferensiabel dengan fungsi turunan f-(x, maka
turunan
turuna
n dar
darii f-(x
f-(x dit
dituli
ulis
s f--(
f--(x
x dis
disebu
ebutt tur
turuna
unan
n ke
kedua
dua dar
darii f. se'
se'ara
ara
sama turunan ke  n dari f(x ditulis fn(x didefenisikan sebagai :
n
n
d ( n − 1)
d
d y
n
( x ) = n f ( x )= n
f ( x )= f
dx
dx
dx
Soal !
T
Tentukan
entukan T
Turunan
urunan %ertama dan kedua dari fungsi be
berikut
rikut !
2
1. y =−x + 3
'
''
y =−2 x ; y =−2
5
3
2.
s =5 t −3 t
'
''
2
4
3
s =15 t −15 t ; s =30 t −60 t
).
w =3 z −7 z + 21 z
7
'
3
6
2
2
''
5
w =21 z −21 z + 42 z ; w =126 z − 42 z + 42
*.
y=
4 3
x −x
3
'
2
''
y =4 x − 1 → y = 8 x
/.
y = 4 −2 x − x
'
y =−2+ 3 x
−3
−4
''
−5
→ y =−12 x
Turunan sebagai Laju Perubahan
Jika f fungsi dari x, maka nilai dari
dari
f ( x + h )− f ( x )
f ( x )=
diintre%asik
diintre%asikan
an sebagai nilai dari %erubahan f oleh
h
%erubahan x se0auh h. ilai %erubahan sesaat terhada% titik x di x #
adalah turunan f terhada% x di x # aitu
f ( x + h ) −f ( x )
'
f ( x )=lim
h
h→0
Jarak, Kecepatan,
Kecepatan, dan Percepatan
Percepatan
ndaik
nd
aikan
an sua
suatu
tu ob0
ob0ek
ek ber
berger
gerak
ak se%
se%an0
an0ang
ang gar
garis
is lur
lurus,
us, %os
%osisi
isi ob0
ob0ek
ek
bergantung %ada waktu t sehingga s"f(t.
3e'e%atan
3e'e
%atan gerak ob0ek %ada waktu t ditulis:
ds
v ( t ) dide
didefini
finisika
sikan
n sebagai
sebagai v ( t ) = = s ( t )
dt
percepatanadalah
per
cepatanadalah perubahankecepat
perubahan kecepatan
andalam
dalamtiap
tiap satuanwaktu
Aplikasi Turunan
ilai ekstrim suatu fungsi :
e4nisi adalah f fungsi dengan domain  f
f
mem%unai
nilai
minimum
mutlak
di

c ∈ D f jikaf ( x )  f ( c ) ; ∀ x ∈ Df
 f
mem%unai
nilai
maksimum
mutlak
%ada
c ∈ D f jikaf ( x ) ! f ( c ) ; ∀ x ∈ Df
minimum mutlak dan maksimum mutlak disebut ekstrim mutlak.
fungsi k"ntinu pada [ a # b ] maka f mempunya
mempunyaii maksimu
maksimum
m
Teorema : jika f fungsik"ntinu
abs"
abs"lu
lutt m dan
dan min
min abs"
abs"lu
lutt m di dala
dalam
m [ a # b ] ya
yait
itu
u ada
ada x 1 # x 2 ϵ [ a # b ] den
dengan
ganff ( x 1 )= m # f ( x 2 )= mdanm=
Teorema : Jika f mem%unai min atau maks lo'al di titik '
ϵ
 dan f-
ada, maka
f- (' "#
'ara men'ari nilai ekstrim %ada fungsi kontinu %ada inter5al tertutu%
berhingga:
1. hitun
hitung
g semua n
nilai
ilai %ad
%ada
a titik u
u0ung
0ung dan ti
titik
tik kri
kritis
tis
2. tentu
tentukan
kan ni
nilai
lai ter
terbesar
besar d
dan
an ang te
terk
rke'il
e'il
6ontoh :
2
g ( t )= 4 t −t ; t ∈ [−1,2 ] Tentukan nilai ekstrim fungsi g!
Jawab :
a. titik  tit
titik
ik u0u
u0ung
ng adal
adalah
ah t"  1 da
dan
n t"2
t"  1
7 g( 1" /
t" 2
7 g(2" *
b. titi
titik
k kr
krit
itis
is
'
g ( t )= 4 −2 t
g ( t ) = 0 → 4 − 2 t =0 → t =2
'
∴ nilaiminimum
{−5,4 } adalah −5, nilaimaksimum {−5,4 } adalah 4
e!nisi :
1. 8ungsi f dik
dikataka
atakan
n fungsi nai
naik
k %ada inte
inter5al
r5al 9 0ik
0ika
a f(x 1  f(x2 untuk
x1x2 7 x1 x2
∈
9
2. 8ungsi f dik
dikataka
atakan
n fungsi tur
turun
un %ada inter
inter5al
5al 9 0ik
0ika
a f(x 1;f(x2 untuk
ϵ
x1;x2 7 x1x2
9
). f nai
naik
k atau f turu
turun
n dise
disebut
but fu
fungsi
ngsi m
monoton
onoton
teorema : ndaikan f kontinu %a <a,b= dan diferensiabel %ada (a,b
maka
1. Ji
Jika
ka f-(x
f-(x;
;#,
#, x
∈
2. Ji
Jika
ka f-(x
f-(x
#,
#, x $
(a,b, maka f naik %ada (a,b
(a,b, maka f turun %ada (a,b
6ontoh :
>unakan u0i turunan %ertama untuk menentukan inter5al dimana f naik atau
turun.
f ( x )= x 3−27 x + 2
Jawab :
'
2
f ( x )=3 x −27
f ( x )=0 → 3 x −27 =0 → x =% 3
'
2
?0i tanda inter5al
$

$
)
)
'
atau
au x > 3 → (−& # −3 ) ∪ ( 3, & )
f ( x )> 0 jika x <−3 at
'
f 9 x ¿ < 0 jika− 3 < x < 3 → (−3,3 )
Jadi, f naik %ada inter5al
(−& # −3 ) ∪(3, &)
f turun %ada inter5al ( ), )

misa
sall "
"f(
f(x
x fu
fung
ngsi
si a
ang
ng
Teor
eorema
ema "ji Turu
urunan
nan Ke
Kedua
dua : mi
diferensiabel tingkat 2 %ada inter5al 9,
1. Jika f-(
f-('"#
'"# dan f--(
f--('#,
'#, mak
maka
a f mem%un
mem%unai
ai maksim
maksimum
um lo'al di x"'
2. Jika ff-('
(' "# dan f-f--(';#
(';#,, maka f mem
mem%unai
%unai m
minim
inimum
um lo'al d
dii x"'
). Jika ff-('"#
('"# d
dan
an f--('
f--('"#,
"#, mak
maka
a f mem%un
mem%unai
ai titi
titik
k belok di x"'
Terapan #asalah $ptimasi % Applied $ptimi&ation Problems'
@enentukan nilai x
•
•
•
•
@enentukan fungsi o%timasi
3endala A batasan A domain fungsi
+engu0ian dilakukan
dilakukan %ada titik kritis :
a. Ti
Titik
tik  ttiti
itik
k u0u
u0ung
ng in
inter
ter5al
5al
b. Ti
Titik
tik d
dima
imana
na fun
fungsi
gsi o%
o%tim
timasi
asi " #
Soal !
x
9 – 2x
24 – 2x
24 cm
9 cm
x
6arilah ukuran kotak ang 5olumena maksimum. Bera%akah 5olume kotak
ini 
 8ungsi o%timasi :  ( x ) = p . l .t
 3endala
3endala A batasan A omain 8ungsi
p=24 −2 x ; l = 9−2 x ; t = x
p #l # t  0
p=24 −2 x  0 → x ! 12
l =9 − 2 x  0 → x ! 4,5
t =x  0
Sehingga domain fungsina
0 ! x ! 4,5
 ( x ) =( 24− 2 x ) ( 9−2 x ) x
¿ ( 24 −2 x ) (9 x −2 x 2)
dilakukan %ada titik kritis :
 +engu0ian dilakukan
a. Ti
Titik
tik 7 C(x"#
ti
titik
tik u0
u0ung
ung in
inter
ter5al
5al
x"#
x" 7 C(x"#
b. Ti
Titik
tik dim
dimana
ana C-(
C-(x
x"#
"#
2
 ( x ) =( 24− 2 x ) ( 9 x −2 x )
dv
=v du + u dv
du
0 =−2 ( 9 x −2 x
2
0 =(−18 x + 4 x
) + ( 216−114 x + 8 x )
0
12
2
132
2
) + ( 24 −2 x ) ( 9 −4 x )
2
216
x−
x+
=
2
0 =12 ( 18−11 x + x )
0 =12 ( 9 − x ) ( 2− x )
x =9 at
atau
au x = 2
sarat
sa
rat int
inter5
er5al
al ai
aitu
tu
0 ! x ! 4,5
. Sehingga, nilai x ang kita
ambil hanalah x"2 karena masuk dalam selang inter5al tadi.
x"2 7 C(2" 2##
0adi, Colume maksimum kotak 2## 'm) dengan %an0ang"2#
'm, lebar"
lebar" /'m dan tinggi 2 'm
Teorema e L()opital
L()opital : Andaikan
Anda ikan *%a'+g%a'+
f-(a,g(a ada dan g-(aD#
'
f ( x ) f ( a)
lim
= '
x→ a g ( x )
g ( a)
@aka :
Soal !
T
Tentukan
entukan harga Eimi
Eimitt  Eimit berikut !
x −2
lim 2
1. x→ 2 x −4
0
0 , oleh karena itu kita turunkan hingga bentukna tidak
(bentukna
men'a%ai
lim
x→ 2
x −2
2
x −4
=
0
0 
1
4
2.
lim sin5 x =5 lim sin5 x =5.1=5
5x
x
x→ 0
5 x→ 0
3.
x −1
lim
3
x→ 1 4 x − x − 3
3
hingga tidak
( karena bentukna
0
0
0
0 , kita harus menurunkan

2
lim
x→ 1
4.
lim
x→ 0
lim
x→ 0
3
3 x2
12 x −1 = 11
1−cos x
x
2
0
0
0
0
(kar
karena
ena bentuknya
bentuknya # makakita
makakitahar
harus
us menurun
menurunkann
kannya
ya hinggatidak
hinggatidak )
sin x
cos x 1
=lim
=
2x
2
2
x →0
Masih 0/0
x −1
cos ¿
/.
¿
¿
sin x − x
x¿
¿
lim ¿
( sama se%erti ang di atas 
x→ 0
Fungsi Transenden
Transenden
 8ungsi +angkat
Teorema : bilangan Fuler aitu "e
Se'ara umum: 0ika "eu, maka
x
→
dy
=e x
dx
dy
u
dx " e
6ontoh :
Tentukan
dy
dari :
dx
1.
(12 x +5)
y= e
Jawab : @isal u"12x$/, maka
maka
du
dx "12
u
y= e
dy
du
=eu . =e( 12 x +5) .12=12 e(12 x +5)
dx
dx
2.
cos x
y= e
jawab : (isal u=cos x # du =−sin x
dx
cos x
x =¿ −sin x . e
dy
du
=eu . =e cos x . −sin ¿
dx
dx
Fungsi Logaritma
e!nisi : ab"' 0ika dan hana 0ika alog '"b
Jika a"e"bilangan euler, maka
maka
e
logx"Enx (En " Eogaritma natural A na%ier
-i*at . -i*at Logaritma :
du
dx
1. alog (b'"alog b $ alog '
2. alog b' " ' alog b
log b
a
). log b " log a
*. aa log x"x
1
 Teorema : @isal " En x, maka -" x
Se'ara umum : 0ika " En x, maka
dy 1 du
= .
dx u dx
6ontoh :
2
'
ln x ¿ . Tentukan y )
y =¿
Jawab :
ln x =u #
du
=
1
@isal ,
dx x
dy
2
y =u sehingga
=2 u
du
∴
1
1 2 ( ln x )
dy dy du
= . =2 u . =2 ( ln x ) . =
dx du dx
x
x
x
/otasi Leibni&:
f ( x )=lim
'
h→0
f ( x + h ) −f ( x )
f ( x + * x )− f ( x )
+ y dy
= lim
= lim
=
h
*x
dx
* x→ 0
* x →0 + x
Soal !
f ( x )=6 x + 2 x + 7
2
1.
T
Tun0ukkan
un0ukkan bahwa
f ( x )=12 x + 2 .
'
Jwab
J
wab :
f ( x )=lim
'
h→ 0
f ( x + h ) −f ( x )
h
h
x +¿
6x
6 ( ¿ ¿ 2 + 2 ( x + h ) + 7 )−
(¿ ¿ 2 + 2 x + 7 )
h
¿
¿
'
f ( x )= lim
h →0 ¿
(6 ( x +2 xh +h ) +2 x + 2 h + 7 )−6 x +2 x −7
( x )=lim
2
f
'
h→ 0
2
2
h
2
2
2
6 x + 12 xh + 6 h + 2 x + 2 h + 7− 6 x + 2 x −7
(
)
f x =lim
'
h→ 0
h
'
f ( x )=lim
h → 0 ( 12 x + 6 h + 2 ) =12 x + 2
2.
Tentukan turunan dari fungsi berikut !
f ( x )=2 x
3
x + h ¿ −2 x
3
3
¿
2¿
¿
f ' ( x )= lim ¿
h →0
+ 6 xh + 2 x 2
¿
3
2
2
3
3
2
2
3

2 ( x + 3 x h + 3 xh + h )−2 x
6 x h + 6 xh + 2 h
lim
=
= lim ¿
6x
¿ lim
h
h→0
2
h→0
h
h →0
¿ 6 x2
-i*at . -i*at Turunan:
1.
f ( x ) = k → f ( x ) =0
2.
f ( x )= x → f ( x )=1
).
f ( x )= x → f ( x )=n x
*.
y = kf ( x ) → y = k f ( x )
/.
d
d
d
=( f ( x ) % g ( x ) ) = f ( x ) % g ( x )
dx
dx
dx
.
d ( f ( x ) . g ( x ) )= d f ( x ) . g ( x )+ f ( x ) dy g ( x )= f ' ( x ) . g ( x ) + f ( x ) . g ' ( x )
dx
dx
dx
'
'
n
'
'
n−1
'
at
atau
au f ( x )= v du + u dv
'
G.
( )
'
f ( x ) . g ( x )− f ( x ) . g ' ( x )
d f ( x)
u v du−u dv
'
=
atauf ( x )= =
2
2
dx g ( x )
v
[g ( x )]
v
-oal
T
Tentukan
entukan turunan dari fungsi  fungsi berik
berikut
ut !
1.
f ( x )=67 → f ( x )=0
'
2.
f ( x )=5 x → f ( x )=5
).
f ( x ) = 4 x → f ( x ) =8 x
*.
f ( x )=( 2 x + 1 )( x + 3 x )
'
'
2
2
Jawab :
2
,itamisalkan
,ita
misalkan ( 2 x + 1 )=udan ( x + 3 x ) = v
Sehingga ,
'
f ( x )=v du + u dv
f ( x ) =2 ( x + 3 x ) + ( 2 x + 1 ) ( 2 x + 3 )
'
2
f ( x )=2 x + 6 x + 4 x +8 x +3=6 x + 14 x + 3
'
/.
2
f ( x )=
2
2
x +1
x
2
Jawab :
3ita misalkan (x$1"u dan x2"5. Sehingg
Sehingga
a:
x + 1 u v du −u dv
'
f ( x )= 2 = =
2
v
x
v
2
'
f ( x )=
x −2 x ( x + 1)
y=x
.
x
9 /4
4
'
→y =
1/ 4
4
G.
y =√ 5 x =(5 x )
2 /3
H.
y =( 1−6 x )
I.
s = √t = t
7
2
2/ 7
2
2
9 5/4
x
4
'
1
−3 / 4
; y = (5 x )
4
2
; y = ( 1−6 x )
3
2
7
;y = t
.5 =
5
1 /4
4 x 3/ 4
−1
'
'
2
x −2 x − 2 x − x − 2 x − x − 2
=
=
= 3
4
4
x
x
x
3
(−6 ) =−4 ( 1−6 x )−1 /3
−5 /7
Turunan Fungsi Trigonometri:
Trigonometri:
1.
f ( x )=sin x → f ( x )= cos x
2.
f ( x )=cos x → f ( x )=−sin x
'
'
'
2
).
y = x −sin x → y =2 x −cos x
*.
f ( x )= x sin x # misal x =udan sin x = v → f ( x )=u . v = v du + u dv
/.
u vdu−udv
d =
2
v
v
2
'
.
'
2
2
f ( x )= tan x → f ( x )= sec x
d
sec x = secx. tan x
dx
G.
x
sin ¿
¿
¿
f ( x ) =¿
H.
Soal !
T
Tentukan
entukan turunan dari fungsi  fungsi berik
berikut.
ut.
x
cos ¿ =−10 −3sin x
2.
¿
d
'
x → y =−10 + 3 ¿
dx
y =−10 x + 3cos ¿
'
).
x → y =¿ 5cos x
y =5sin ¿
*.
y=
cot x
1 + cot x
Jawab :
x
−cs
¿
2
1 + cot ¿ ( c x ¿ )−(−cs c )
¿
2
x
1 + cot ¿
¿¿2
¿
x
1 + cot ¿
¿
¿2
¿
x
1 + cot ¿
¿
¿
¿
¿
¿
y ' = u = v du−2u dv =¿
v
v
/.
p=
tan 1 + tan -
1+ tan ¿
¿
¿
¿
'
p=
sec2 -
¿
de
deng
ngan
an 'a
'ara
ra a
ang
ng sa
sama
ma se
se%e
%ert
rtii no
no.)
.),, ma
maka
ka dida
dida%at
%at