Семестр 3. Лекция 3.
1
Лекция 3. Электростатическое поле в диэлектрике.
Электрический диполь в электростатическом поле. Поляризация диэлектриков. Электростатическое поле в диэлектрике. Поляризованность. Свободные и связанные заряды. Связь
поляризованности с плотностью связанных зарядов. Вектор электрического смещения. Обобщение теоремы Гаусса. Поле на границе раздела диэлектриков.
Все вещества состоят из атомов и молекул, которые, в свою очередь, состоят из заряженных частиц. Эти заряженные частицы находятся в постоянном движении, поэтому при
классическом описании их движения будут рассматриваться усреднённые по времени величины.
Если в веществе есть электрические заряды, способные относительно свободно перемещаться в
пределах тела даже под действием слабого электрического поля, то такие вещества относятся к
так называемому классу проводников. Соответственно, вещества, в которых нет «свободно»
движущихся зарядов (при обычных условиях) относят к диэлектрикам.
Замечание. Это деление на классы проводников и диэлектриков весьма условно. Некоторые вещества, являющиеся проводниками в определённых условиях, становятся диэлектриками
в других, и наоборот.
Замечание. В проводниках, находящихся в электростатическом поле, суммарное внутреннее электрическое поле характеризуются нулевой напряженностью. В диэлектриках напряженность суммарного поля отлична от нуля.
Рассмотрим поведение диэлектриков в электрическом поле.
Заряды, не входящие в состав вещества, будем называть сторонними (но они могут находиться внутри вещества). Эти заряды создают электрическое поле, которое будем называть
внешним.
В диэлектрике при нормальных условиях нет свободно движущихся носителей зарядов.
Все заряды, из которых состоит диэлектрик, связаны друг с другом. Их называют связанными.
Электрические заряды образуют молекулы. Если в отсутствии внешнего электрического поля
электрические заряды в молекуле пространственно разделены, то молекула называется полярной, в противном случае – неполярной.
Во внешнем электрическом поле неполярная молекула вытягивается вдоль силовой линии поля, а полярная разворачивается. Можно приближенно считать, что крайние связанные заряды
-q′
E′
+q′
двух соседних диполей в глубине диэлектрика взаимно компенсируются, но заряды, расположенные
вблизи поверхности диэлектрика ничем не ском-
E
пенсированы. Эти некомпенсированные заряды
Семестр 3. Лекция 3.
2
создают дополнительное электрическое поле внутри диэлектрика, которое изменяет внешнее.
Это явление разделения связанных зарядов и появления дополнительного поля называется поляризацией диэлектрика.
Теперь опишем поляризацию количественно.
В простейшем случае молекулу можно представить как два одинаковых по величине, но
противоположных по знаку заряда. Такая систе-
q
p
ма зарядов называется диполь. Электрическим
F+
α
дипольным моментом называется векторная веE
F−
личина p = qL , где q – величина заряда, L – рас-
-q
стояние между зарядами. (Единица измерения
Кл⋅м).
Вектор момента p направлен от отрицательного заряда к положительному.
На диполь, помещенный в электрическое поле, действует момент пары сил, величина которого
M = F+ L sin α = qEL sin α = pE sin α .
В векторном виде
M = p× E .
В состоянии равновесия диполя вектор дипольного момента p параллелен вектору напряженности E .
В отсутствии внешнего поля в диэлектрике с полярными молекулами, диполи ориентированы хаотически. В диэлектрике, находящемся в электростатическом поле, в состоянии равновесии диполи преимущественно расположены вдоль поля.
Рассмотрим в диэлектрике некоторый физически малый объем величиной V. Введем вектор поляризованности вещества
N
P=
∑p
i =1
V
i
.
Единица измерения Кл/м2. В однородном изотропном диэлектрике этот вектор направлен параллельно вектору напряженности, поэтому можно записать
P = æε 0 E .
Безразмерный параметр æ называется коэффициентом поляризуемости или диэлектрической
восприимчивостью вещества.
Рассмотрим тонкий косой цилиндр, ось которого параллельна вектору напряженности
внешнего поля.
Семестр 3. Лекция 3.
3
N
P =
pN
p1
p2
∑p
i =1
V
i
=
Nq′L
q′
σ′
=
=
SNL cos α S cos α cos α
E
α
где q′ - величина связанного заряда. Обратите
внимание: величина вектора не зависит от количе-
ства суммируемых диполей – она определяется только поверхностной плотностью связанного
заряда. Отсюда получаем для нормальной составляющей вектора
Pn = P cos α = σ′ .
Нормальная составляющая вектора поляризованности равна поверхностной плотности связанного заряда.
Теперь найдём поток вектора поляризованности через некоторую малую поверхность S.
(
)
Φ P = ∫∫ P,dS = ∫∫ P cos αdS ≈ P cos αS = σ′S = q′ .
S
S
Таким образом, поток вектора поляризованности через некоторую малую площадку равен величине связанного заряда, создающего этот вектор.
Рассмотрим поток этого вектора через некоторую замкнутую ориентированную поверхность внутри диэлектрика
∫∫ ( P,dS ) = ∫∫
S
P cos αdS =
S
∫∫ σ′dS .
S
Предположим, что вектор поляризованности направлен наружу, т.е. внутри поверхности суммарный связанный заряд отрицательный. Тогда, учитывая, что поток вектора положительный, а
заряд отрицательный:
∫∫ ( P,dS ) = ∫∫ σ′dS = −q′ .
S
S
Это теорема Гаусса для вектора поляризованности в интегральном виде. Соответственно, в
дифференциальном виде:
( )
div P = −ρ′ .
Запишем теорему Гаусса для электростатического поля внутри диэлектрика
( )
div E =
ρСТОР + ρ′
.
ε0
(здесь указано, что электрическое поле создается сторонними зарядами с объемной плотностью
ρ и связанными зарядами с объемной плотностью ρ′).
( )
( )
(
)
div ε 0 E = ρСТОР + ρ′ = ρСТОР − div P или div ε 0 E + P = ρСТОР .
Семестр 3. Лекция 3.
4
Вектор D = ε 0 E + P называется вектором электрического смещения или вектором электрической индукции. Следовательно, из теоремы Гаусса для вектора электрической напряженности следует теорема Гаусса для вектора электрического смещения
( )
div D = ρСТОР .
Это теорема Гаусса для электрического поля в веществе (в дифференциальной форме).
В интегральной форме теорема Гаусса для электрического поля в веществе: поток вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность, ориентированную наружу, равен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью.
∫∫ ( D,dS ) = q .
S
В однородном, изотропном диэлектрике P = æε0 E , поэтому
D = ε 0 E + æε0 E = ( æ +1) ε 0 E
Если обозначить ε=æ+1 – (относительную) диэлектрическую проницаемость вещества, то для
вектора смещения внутри однородного изотропного диэлектрика D = εε 0 E .
Замечание. Для вакуума ε=1 (нет вещества, поэтому æ=0). Для воздуха при условиях незначительно отличающихся от нормальных тоже ε≈1.
Поле на границе раздела диэлектриков.
Рассмотрим поле на плоской границе разде-
L
A
dl
E1
B
2
ла (в случае неплоской границы достаточно рас-
dl
D
смотреть очень малый участок). Воспользуемся
1
теоремой о циркуляции вектора напряженности в
h
C
интегральном виде
∫ ( E,dl ) = 0 .
E2
L
В качестве контура интегрирования выберем прямоугольник ABCD размером L×h, расположенный таким образом, что одна сторона DA находится в первом диэлектрике, вторая BC – во
втором, а граница делит прямоугольник пополам.
∫ ( E,dl ) = ∫ ( E,dl ) + ∫ ( E ,dl ) + ∫ ( E,dl ) + ∫ ( E,dl ) = 0 .
L
DA
AB
BC
CD
При устремлении h→0 значения второго и четвёртого интегралов стремятся к нулю.
(
)
Но E,dl = Et dl , где Et – касательная составляющая вектора напряженности.
Поэтому
∫ ( E,dl ) ≈ ∫ ( E,dl ) + ∫ ( E,dl ) = E
1t
L
DA
AB
L − E2 t L = 0 .
Семестр 3. Лекция 3.
5
Окончательно, E1t = E2t - на границе раздела ди-
L
электриков величина касательной составляющей
1
n
D1
вектора напряженности электрического поля не
h
2
Теперь применим теорему Гаусса в веществе.
n
D2
меняется.
∫∫ ( D,dS ) = q .
S
В качестве поверхности интегрирования выберем прямой цилиндр высотой h, основания которого (площадью S каждое) параллельны границе раздела. Пусть граница раздела делит пополам
цилиндр. Тогда
∫∫ ( D,dS ) = ∫∫ ( D,dS ) + ∫∫ ( D,dS ) + ∫∫ ( D,dS ) = q .
S
(
) (
S1ОСН
S 2 ОСН
S БОК
)
Учтем, что D,dS = D,n dS = Dn dS , где Dn – нормальная составляющая вектора смещения.
Если высота цилиндра стремится к нулю h→0, интеграл по боковой поверхности цилиндра
стремится к нулю, поэтому
∫∫ ( D,dS ) + ∫∫ ( D,dS ) ≈ − D
1n
S1ОСН
В пределе, с учетом q =
S + D2 n S
S 2 ОСН
∫∫ σdS = σS , получаем
SОСН
D2 n − D1n = σ .
Изменение величины нормальной составляющей вектора смещения на границе раздела диэлектриков равно плотности стороннего заряда на границе. Если на границе нет сторонних зарядов (σ=0), то нормальная составляющая вектора смещения не меняется: D2 n = D1n
Если рассмотреть теорему Гаусса для вектора поляризованности в интегральной форме
∫∫ ( P,dS ) = −q′
S
то можно, по аналогии, записать
P2 n − P1n = −σ′ .
Изменение величины нормальной составляющей вектора поляризованности равно с обратным
знаком поверхностной плотности связанного заряда.
En α
E
Соотношения на границе диэлектрика (при отсутствии сторонних зарядов) можно переписать в виде ε 2 E2 n = ε1 E1n , E1t = E2t .Если ввести угол
Et
отклонения силовой линии от нормали к границе диэлектрика tg α =
Et
,
En
Семестр 3. Лекция 3.
6
то для углов по разные стороны от границы
tg α 2 E2 t E1n E1n ε 2
=
=
= .
tg α1 E2 n E1t E2 n ε1
При ε2>ε1 получаем α2>α1 – в диэлектрике с большей относительной
проницаемостью силовые линии больше отклоняются от вертикального
направления. Т.е. можно сказать, что в диэлектрике силовые линии электрического поля сгущаются. Говорят, что диэлектрик «накапливает силовые линии».
Пример. Рассмотрим поле внутри и снаружи равномерно заряженного шара. Диэлектрическая
проницаемость внутри постоянна и равна ε>1. Вне шара ε=1. Пусть заряд шара q>0, а радиус R,
тогда объемная плотность заряда ρ =
q
4 3
πR
3
. Задача имеет сферическую симметрию.
При r<R в качестве поверхности интегрирования возьмем концентрическую сферу меньшего
радиуса. Поверхность ориентирована наружу. Вектор смещения и нормаль в каждой точке параллельны друг другу. По
4
теореме Гаусса D 4πr 2 = ρ πr 3 .
3
Поэтому при r<R получаем величина смещения D =
да для напряжённости E1 =
E1 =
Снаружи при r>R напряжённость поля E2 =
ρ
r , отку3
D1
εε 0
ρ
q
r=
r.
3εε 0
4πεε0 R 3
q
. Видно, что на границе раздела величина
4πε 0 r 2
вектора напряженности терпит разрыв при r=R (т.к. ε>1):
E1 =
q
q
< E2 =
.
2
4πεε 0 R
4πε 0 R 2
Этот «разрыв» величины напряжённости вызван наличием на поверхности диэлектрика связанных зарядов.
На границе шара сохраняется нормальная составляющая вектора смещения D2 n = D1n :
действительно, вектор D направлен по радиусу, поэтому его нормальная составляющая равна
величине вектора Dn = D . Но на границе шара D1 = D2 =
q
4πR 2
Семестр 3. Лекция 3.
7
Величина поляризованности внутри шара
P1 = æ1ε 0 E1 = ( ε1 − 1) ε 0 E1 = ( ε1 − 1) ε 0
( ε − 1) q r .
q
r= 1
3
4πε1ε 0 R
4πε1 R3
Вне шара величина вектора поляризованности (ε2=1)
P2 = æ 2 ε 0 E2 = ( ε 2 − 1) ε0 E2 = 0 .
Вектор внутри шара P направлен по радиусу (т.к. он направлен также как E ), поэтому его нормальная составляющая равна величине вектора Pn = P .
Поэтому на границе должно выполняться: − P1 = −σ′ , откуда плотность связанных зарядов на
поверхности шара:
σ′ = ( ε1 − 1) ε 0 E1 = ( ε1 − 1) ε 0
′ = σ′S =
Поверхностный связанный заряд qПОВ
q ( ε1 − 1)
q
=
.
4πεε 0 R 2
4πε1 R 2
q ( ε1 − 1)
4πε1 R
2
4πR 2 =
q ( ε1 − 1)
ε1
.
( )
Из теоремы Гаусса div P = −ρ′ для вектора поляризованности найдём объёмную плотность
связанного заряда.
Для сферически симметричного случая divP = 2
P dP
+
, поэтому
r dr
 ( ε − 1) q ( ε1 − 1) q 
( ε1 − 1) q
 P dP 
ρ′ = −  2 1 + 1  = −  2 1
+
=
−
3

3
4πε1 R 3 
4πε1 R 3
 r dr 
 4πε1 R
′
= ρ′VВНУТР = −3
Откуда связанный заряд внутри шара qВНУТР
′
′ = 0 .♣
Общий связанный заряд всего шара q′ = qВНУТР
+ qПОВ
( ε1 − 1)
4πε1
( ε1 − 1) q .
q 4 3
π
=
−
R
R3 3
ε1