201-NYA-05 - Calculus 1
WORKSHEET: INTEGRALS
Evaluate the following indefinite integrals:
Z
1.
(4x + 3) dx
Z
2
(4x − 8x + 1) dx
2.
Z
Z
4.
(2t3 − t2 + 3t − 7) dt
Z 5.
3
1
− 2
z3
z
dz
7
4
−
+
z
dz
6.
z7
z4
Z √
1
7.
3 u+ √
du
u
Z √
1
8.
( u3 − u−2 + 5) du
2
Z
9.
(2v 5/4 + 6v 1/4 + 3v −4 ) dv
Z Z
5
(3v − v
10.
Z
11.
12.
5/3
) dv
(3x − 1)2 dx
Z 1
x−
x
2
dx
Z
13.
1
− sin u du
5
Z
7
dx
csc x
23.
Z
2
(9t − 4t + 3) dt
3.
Z
22.
x(2x + 3) dx
1
dx
4 sec x
Z √
25.
( t + cos t) dt
24.
Z
√
3
( t2 − sin t) dt
Z
sec t
dt
cos t
Z
1
dt
sin2 t
26.
27.
28.
Z
29.
(csc v cot v sec v) dv
Z
30.
Z
sec w sin w
dw
cos w
Z
csc w cos w
dw
sin w
Z
(1 + cot2 z) cot z
dz
csc z
Z
tan z
dz
cos z
d p 2
x + 4 dx
dx
d p
3
x3 − 8 dx
dx
√
d
sin 3 x dx
dx
d √
tan x dx
dx
Z
√
x3 x − 4 dx
31.
32.
33.
34.
Z
Z
(2x − 5)(3x + 1) dx
14.
35.
Z
8x − 5
√
dx
3
x
36.
2x2 − x + 3
√
dx
x
37.
Z
x3 − 1
dx
x−1
38.
Z
x3 + 3x2 − 9x − 2
dx
x−2
Z
15.
Z
16.
17.
18.
(t2 + 3)2
dt
t6
Z √
( t + 2)2
20.
dt
t3
Z
3
21.
cos u du
4
Z
19.
(4 + 4 tan2 v) dv
Z
Z
39.
d
dx
d
dx
Z
40.
d
41.
dx
Z
d
dx
Z
42.
x4
p
3
x2 + 9 dx
cot x3 dx
cos
p
x2 + 1 dx
Solve the differential equation subject to the given conditions:
43. f 0 (x) = 12x2 − 6x + 1
0
f (−1) = 1
dy
= 4x1/2
dx
y = 21 when x = 4
44. f (x) = 9x + x − 8
45.
f (1) = 5
2
Evaluate the following definite integrals:
Z 1
46.
2x dx
Z
7
47.
Z
0
Z
(x − 2) dx
48.
Z
(−3v + 4) dv
Z
1
2
(t − 2) dt
2
(3x + x − 2) dx
51.
0
Z
1
(2t − 1)2 dt
Z
2
−1
−2
Z
4
56.
1
Z
3
− 1 dx
x2
1
u − 2 du
u
1
Z
u−2
√ du
u
v 1/3 dv
−3
Z
1
59.
1
Z
1
60.
0
Z
2
0
Z
π/2
71.
(2t + cos t) dt
−π/2
Z
e
1
dx
2x +
x
5
x+1
dx
x
72.
1
Z
73.
Z
2
(ex + 6) dx
74.
0
r
2
dx
x
√
x− x
dx
3
Z
3
(t − et ) dt
75.
0
Z
1
(eθ + sin θ) dθ
76.
−1
√
(2 − t) t dt
61.
4 sec θ tan θ dθ
1
−1
8
π/3
−π/3
√
3
( t − 2) dt
58.
Z
Z
70.
3
57.
(2 − csc2 x) dx
π/4
54.
55.
π/2
69.
−1
Z
sec2 x dx
−π/6
1
(t3 − 9t) dt
1 − sin2 θ
dθ
cos2 θ
π/6
68.
0
53.
π/4
67.
0
52.
(1 + sin x) dx
0
Z
3
π
66.
−1
Z
|x2 − 4x + 3| dx
0
50.
Z
4
65.
2
Z
|2x − 3| dx
0
5
49.
3
64.
−1
Z
x − x2
√ dx
23x
−8
2
Z
−1
63.
3 dv
Z
(t1/3 − t2/3 ) dt
−1
0
Z
0
62.
Z
2e
cos x −
77.
e
1
x
dx
ANSWERS
Indefinite integrals:
1. 2x2 + 3x + C
2.
14. 2x3 −
4x3
− 4x2 + x + C
3
15.
3. 3t3 − 2t2 + 3t + C
4x
5
3
x
+
17.
3
x3
18.
+
3
16.
2u5/2
u−1
+
+ 5u + C
5
2
9.
8v 9/4
24v 5/4
+
− v −3 + C
9
5
28. − cot t + C
3/2
−
2x
3
+ 6x1/2 + C
20. −t−1 −
31. sec w + C
32. − csc w + C
33. − csc z + C
34. sec z + C
p
x2 + 4 + C
35.
p
3
36.
x3 − 8 + C
√
37. sin 3 x + C
√
38.
tan x + C
√
3
39. x x − 4
p
3
40. x4 x2 + 9
8t−3/2
− 2t−2 + C
3
3
sin u + C
4
1
22.
cos u + C
5
23. −7 cos x + C
1
sin x + C
24.
4
21.
v6
3v 8/3
−
+C
2
8
11. 3x3 − 3x2 + x + C
x3
− 2x − x−1 + C
3
2x3
3x2
13.
+
+C
3
2
12.
25.
29. − cot v + C
30. 4 tan v + C
x2
+x+C
2
5x2
+x+C
2
9t−5
19. −t−1 − 2t−3 −
+C
5
7. 2u3/2 + 2u1/2 + C
8.
3t5/3
+ cos t + C
5
27. tan t + C
26.
24x5/3
15x2/3
−
+C
5
2
5/2
t4
t3
3t2
4.
− +
− 7t + C
2
3
2
z −2
+ 3z −1 + C
5. −
2
7z −3
z2
4z −6
+
+
+C
6. −
6
3
2
10.
13x2
− 5x + C
2
41. cot x3
p
42. cos x2 + 1
2t3/2
+ sin t + C
3
Differential equations:
43. f (x) = 4x3 − 3x2 + x + 3
44. f (x) = 3x3 +
45. y(x) =
x2
9
− 8x −
2
2
8x3/2
1
−
3
3
Definite integrals:
46. 1
47. 15
5
48. −
2
39
49. −
2
10
50. −
3
51
51.
2
1
52.
3
53. 0
−27
20
1523
63.
20
9
64.
2
65. 4
1
2
55. −2
2
56.
3
57. 0
54.
58. −4
59. 2(4 −
1
18
√
16 2
61.
15
60. −
62.
√
2)
66. π + 2
π
67.
4
2
68. √
3
π
69.
−1
2
70. 0
71. 2
72. e2
73. 4 + ln 5
74. e2 + 11
11
75.
− e3
2
76. e − e−1
77. sin(2e) − sin(e) − ln(2)