NEODREDJENI INTEGRAL
Definicija 1: Neka je I ⊆ R interval i neka je funkcija f definisana na f : I → R.
Kažemo da je neprekidna funkcija F primitivna funkcija funkcije f na I ako vrijedi
F 0 (x) = f (x) za svaki x ∈ I.
Propozicija 1:
1) Neka je funkcija F primitivna funkcija funkcije f na intervalu I i neka je
C ∈ R konstanta. Tada, funkcija G(x) = F (x) + C je primintivna funkcija funkcije
f.
2) Ako su F i G dvije primitivne funkcije iste funkcije f na intervalu I, onda
postoji konstanta C ∈ R takva da je G(x) = F (x) + C, za svaki x ∈ I.
Dokaz.
1) G0 (x) = (F (x) + C)0 (x) = F 0 (x) + C 0 = F 0 (x).
2) Ako je G0 (x) = F 0 (x) = f (x), za svaki x ∈ I, onda je
(G − F )0 (x) = G0 (x) − F 0 (x) = 0,
odakle slijedi da je G − F konstantna funkcija.
Definicija 2: Neodredjeni integral funkcije f na intervalu I je skup svih primitivnih funkcija. Koristimo oznaku
Z
f (x)dx = F (x) + C,
gdje je F neka primitivna funkcija funkcije f na intervalu I, a C ∈ R je konstanta.
Teorema 1: Neka su funkcije f i h definisane na intervalu I, i neka je F : I → R
neprekidna
funkcija.
Tada,
0
R
1) Rf (t)dt (x) = f (x),
2) d f (t)dt = f (x)dx, gdje je dg = g 0 (x)dx, za svaku diferencijabilnu funkciju
g.
R
3) R dF (x)dx = F (x) + C.R
R
4) (αf (x) + βh(x))dx = f (x)dx + h(x)dx.
Tablica integrala.
Metoda smjene promjenljivih
˜ i neka je ϕ : I →
Teorema 2: Neka su f i g definisane na intervalima I, I,
0
˜
I diferencijabilna funkcija takva da je f (x) = g(ϕ(x))ϕ (x). Neka G primitivna
1
2
NEODREDJENI INTEGRAL
˜ Tada, F = G ◦ ϕ je primitivna funkcija funkcije
funkcija funkcije g na intervalu I.
f.
Dakle,
Z
Z
G ◦ ϕ(x) = F (x) = f (x)dx = g(ϕ(x))ϕ0 (x)dx.
Dokaz.
F 0 (x) = (G ◦ ϕ)0 (x) = G0 (ϕ(x))ϕ0 (x) = g(ϕ(x))ϕ0 (x) = f (x).
Primjer 1: Odrediti integrale
R√
1) R 2x + 1dx
dx
2) x2 +2x+2
Metoda parcijalne integracije
Teorema 3: Neka su u i v diferencijabilne funkcije na intervalu I. Tada,
Z
Z
u(x)v 0 (x)dx = u(x)v(x) − u0 (x)v(x)dx.
Dokaz.
d(uv) = (u(x)v(x))0 (x)dx = u(x)0 (x)v(x)dx + u(x)v(x)0 (x)dx.
Integriranjem, dobijamo
Z
u(x)v(x) =
Z
d(uv) =
0
(u(x) (x)v(x)dx + u(x)v(x) (x)) dx =
Primjer 2: Odrediti integrale
R
1) R ln xdx
2) R x ln xdx
3) R xex dx
4) cos xex dx
0
Z
0
u (x)v(x)dx+
Z
u(x)v 0 (x)dx.