drAЗIPOM
Авторы выражают признательность
и благодарность ПАО <<Газпром>> за поддержку
и участие в издании настоящего учебника
для студентов ВУЗов нефтегазового профиля
A.F. Kalinin, S.M. Kuptsov,
A.S. Lopatin, К.Н. Shotidi
THERMODYNAMICS
AND НЕАТ TRANSFER
IN TECHNOLOGICAL
PROCESSES OF
OIL AND GAS INDUSTRY
А
Textbook
ИЗДАТЕЛЬСКИЙ
ЦЕНТР
РГУ нефти и газа имени И.М. Губкина
2016
А.Ф. Калинин, С.М. Купцов,
А.С. Лопатин, К.Х. Шотиди
ТЕРМОДИНАМИКА
И ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
В ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ
НЕФТЯНОЙ И ГАЗОВОЙ
ПРОМЫШЛЕННОСТИ
Учебник
Учебник рекомендован к изданию
учебно-методической комиссией факультета
проектирования, сооружения и эксплуатации систем
трубопроводного транспорта
ИЗДАТЕЛЬСКИЙ
ЦЕНТР
РГУ нефти и газа имени И.М. Губкина
2016
УДК
536.7(075) + 621.1.016(075)
ББК
ТЗ4
Рецензенты:
доктор технических наук, профессор С.П. Зарицкий (ЗЛО «дигаз»);
доктор технических наук, профессор В.А. Иванов
(Тюменский государственный нефтегазовый университет)
ТЗ4
Термодинамика и теплопередача в технологических процессах
нефтяной и газовой промышленности/ А.Ф. Калинин, С. М. Куп­
цов, А.С. Лопатин, К.Х. Шотиди: Учебник для вузов. - М.: Рос­
сийский государственный университет нефти и газа (НИУ) имени
И.М. Губкина,
2016. - 264 с.:
ISBN 978-5-91961-200-1
ил.
Приведевы основные законы и расчетные соотношения термодинамики
применительно к реальным процессам. Изложены основные положения теории
теплообмена. Указаны области и особенности применения расчетных соотноше­
ний термодинамики и теории теплообмена в технологических процессах разра­
ботки и эксплуатации нефтяных и газовых месторождений, транспорта нефти и
газа, переработки углеводородов.
Учебник предназначен для подготовки бакалавров по направлению
21.03.01
-«Нефтегазовое дело»-.
УДК
536.7(075) + 621.1.016(075)
ББК
Данное издание является собственностью РГУ нефти и газа (НИУ)
имени И. М. Губкина и его репродуцирование (воспроизведение)
любыми способами без согласия университета запрещается.
ISBN 978-5-91961-200-1
©Коллектив авторов,
©
2016
Российский государственный университет нефти и газа
(НИУ) имени И.М. Губкина,
2016
2007
©Голубев В. С., оформление серии,
5
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ................................................................................................................
6
Часть 1. ТЕРМОДИНАМИКА В ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ
НЕФТЯНОЙ И ГАЗОВОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ .........................................
7
1.1. Основные понятия и определения .........................................................
1.2. Физическое состояние вещества ............................................................
1.3. Смеси жидкостей и газов ........................................................................
1.4. Первое начало термодинамики ..............................................................
1.5. Процессы изменения состояния термодинамических систем.............
1.6. Круговые процессы (циклы) ..................................................................
1.7. Второе начало термодинамики ..............................................................
1.8. Пары и парообразование ........................................................................
1.9. Истечение жидкостей, паров и газов. Дросселирование .....................
1.10. Процессы сжатия в компрессорах .......................................................
1.11. Циклы двигателей внутреннего сгорания ...........................................
1.12. Циклы газотурбинных установок ........................................................
1.13. Циклы паросиловых установок ............................................................
1.14. Циклы холодильных машин и тепловых насосов .............................
1.15. Термогазодинамические характеристики природного газа...............
7
15
20
25
32
46
52
63
68
87
92
99
110
116
121
Часть 2. ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ
НЕФТЯНОЙ И ГАЗОВОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ .........................................
135
2.1. Основные положения теории теплообмена ..........................................
2.2. Теплопроводность при стационарном температурном поле ...............
2.3. Теплопроводность при нестационарном температурном поле ...........
2.4. Основные положения конвективного теплообмена .............................
2.5. Теплообмен при свободной конвекции .................................................
2.6. Конвективный теплообмен при вынужденном движении жидкости .
2.7. Теплообмен при кипении однокомпонентной жидкости ....................
2.8. Теплообмен при конденсации чистого пара .........................................
2.9. Теплообмен при конденсации пара из парогазовой смеси ..................
2.10. Лучистый теплообмен...........................................................................
2.11. Сложный теплообмен (теплопередача) ...............................................
2.12. Тепловой расчет теплообменных аппаратов ......................................
2.13. Температурный режим скважин ..........................................................
2.14. Температурный режим магистральных газонефтепроводов .............
135
138
150
160
166
170
176
179
179
182
192
208
227
250
Литература ............................................................................................................
260
6
Введение
Россия располагает значительными запасами энергетических ресурсов и мощным топливно-энергетическим комплексом, который является базой развития
экономики, инструментом проведения внутренней и внешней политики.
Энергетический сектор обеспечивает жизнедеятельность многих отраслей
промышленности, консолидацию субъектов Российской Федерации, во многом
определяет формирование основных финансово-экономических показателей
страны.
Приоритетными задачами энергетической стратегии России являются:
• полное и надежное обеспечение населения и экономики страны энергоресурсами по доступным и вместе с тем стимулирующим энергосбережение
ценам;
• снижение рисков и недопущение развития кризисных ситуаций в энергообеспечении страны;
• снижение удельных затрат на производство и использование энергоресурсов за счет рационализации их потребления, применения энергосберегающих технологий и оборудования, сокращения потерь при добыче,
транспортировке и реализации продукции топливно-энергетического
комплекса и т.д.
Решение многих из этих задач невозможно без использования методологии
и математического аппарата, представленного в разделах термодинамики и теплопередачи, которые являются базовыми дисциплинами для большинства технических направлений образования.
Нефтегазовая отрасль является одним из основных потребителей тепловой,
механической и электрической энергии в стране. Расход топливно-энергетических ресурсов на собственные нужды в нефтегазовой отрасли достигает 20%
от эквивалентного количества добываемых нефти и газа.
Поэтому будущему специалисту нефтегазовой отрасли необходимо знать
методологию, основные принципы и законы термодинамики и теплопередачи.
Учебник написан на основе многолетнего опыта преподавания курса лекций
по термодинамике и теплопередаче в Российском Государственном Университете нефти и газа (НИУ) имени И.М. Губкина. Авторы хотят подчеркнуть, что
учебник посвящается нашим учителям и многолетним заведующим кафедрой
термодинамики и тепловых двигателей профессорам Николаю Иовичу Белоконь
и Борису Павловичу Поршакову.
Термодинамика в технологических процессах…
7
Часть 1.
ТЕРМОДИНАМИКА В ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ
НЕФТЯНОЙ И ГАЗОВОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ
Термодинамика – наука, изучающая законы превращения энергии и особенности процессов этих превращений.
В основу термодинамики положены основные законы или начала, установленные опытным путем [3].
Первое начало термодинамики характеризует собой количественное выражение
закона сохранения и превращения энергии: «энергия изолированной системы при
всех изменениях, происходящих в системе, сохраняет постоянную величину». Отсюда, в частности, следует вывод о невозможности построения вечного двигателя
первого рода, способного производить работу без получения энергии извне.
Второе начало характеризует качественную сторону и направленность процессов, происходящих в системе. Второе начало термодинамики отражает принципы
существования абсолютной температуры и энтропии, как функций состояния,
и возрастания энтропии изолированной термодинамической системы. Важнейшим
следствием второго начала является утверждение о невозможности осуществления
полных превращений теплоты в работу. Отсюда следует вывод о невозможности
построения вечного двигателя второго рода, способного полностью превращать
теплоту в работу.
Третье начало термодинамики (закон Нернста) гласит о том, что при абсолютном нуле все равновесные процессы происходят без изменения энтропии, при
этом энтропии всех веществ не только равны между собой, но и равны нулю [12].
Метод термодинамики заключается в строгом математическом развитии исходных постулатов и основных законов, полученных на основе обобщения общечеловеческого опыта познания природы и допускающих прямую проверку этих положений во всех областях знаний. Термодинамика, построенная по такому принципу,
называется феноменологической термодинамикой. Она изучает связи между макроскопическими величинами системы, например, между давлением, температурой
и объемом, без описания микроскопических (атомных, молекулярных) явлений.
1.1. Основные понятия и определения
Термодинамическая система
Объектом изучения термодинамики является термодинамическая система. Под
понятием системы подразумевается тело или совокупность тел. Система называется
8
Часть 1
закрытой, если она сохраняет постоянное количество вещества при всех происходящих в ней изменениях; если нет, то систему принято называть открытой.
Если между системой и окружающей ее средой нет каких-либо энергетических
взаимодействий, то такую систему принято называть изолированной системой.
Система, состоящая из одной фазы вещества или веществ, называется гомогенной. Гомогенная система, неподверженная действию гравитационных, электромагнитных и других сил и имеющая во всех своих частях одинаковые свойства,
называется однородной.
Система, состоящая из нескольких гомогенных частей (фаз), отделенных
поверхностью раздела, называется гетерогенной.
Термодинамической системой принято называть систему, внутреннее состояние которой определяется значениями определенного количества независимых
переменных, которые принято называть параметрами состояния. Если состояние
термодинамической системы и ее параметры не изменяются во времени, то говорят, что система находится в равновесном состоянии.
Равновесным состоянием системы называется такое состояние системы,
которое может существовать сколь угодно долго при отсутствии внешнего
воздействия.
Простейшей термодинамической системой или простым телом называется
равновесная система, физическое состояние которой вполне определяется
значениями двух независимых переменных. К простым телам относятся: газы,
пары, жидкости и многие твердые тела, находящиеся в термодинамическом
равновесии и не подверженные химическим превращениям, действию гравитационных и электромагнитных сил.
Параметры состояния
Параметры состояния – физические величины, характеризующие внутреннее состояние термодинамической системы. Параметры состояния термодинамической системы подразделяются на два класса: интенсивные и экстенсивные.
Интенсивные свойства не зависят от массы системы, а экстенсивные – пропорциональны массе.
Термодинамическими параметрами состояния называются интенсивные
параметры, характеризующие состояние системы.
К простейшим термодинамическим параметрам состояния относятся: удельный объем v , давление p и температура t , T .
Удельный объем – это объем единицы массы вещества, а величина, обратная
удельному объему, называется плотностью вещества ρ
v=
V
;
G
ρ=
G
;
V
v=
1
,
ρ
(1.1)
где V – объем, м3; G – масса вещества, кг; v – удельный объем, м 3 / кг ;
ρ – плотность, кг / м3 .
Термодинамика в технологических процессах…
9
Отношение массы вещества к его молярной массе µ определяет количество
вещества
G
G = , кмоль
(1.2)
µ
Объем киломоля вещества или молярный объем v связан с удельным объемом следующим соотношением:
v=
V
= µ⋅v .
G
(1.3)
Абсолютное давление p есть предел отношения нормальной составляющей
силы к площади, на которую действует эта сила
 F   ∂F 
p = lim  n  =   .
f →0  f 
 ∂f  n
(1.4)
Давление в системе СИ измеряется в Паскалях (Па = Н/м2).
Давление жидкостей, паров и газов обычно измеряют приборами двух типов.
Для определения абсолютного давления используются приборы барометрического
типа, а для измерения избыточного давления – приборы манометрического типа.
Так как в расчетные соотношения термодинамики входит лишь абсолютное давление, то оно определяется как сумма манометрического давления pман и абсолютного
давления окружающей среды p0.
Температура есть единственная функция состояния термодинамической
системы, определяющая направление самопроизвольного теплообмена между
телами.
В термодинамике для измерения температур используется международная
стоградусная температурная шкала Цельсия (t, оС), а в качестве параметра состояния используется абсолютная температура (T, K).
Абсолютная температура Т измеряется по термодинамической абсолютной
шкале температур, которая аналитически строится на основе дифференциальных
соотношений термодинамики. При практическом построении термодинамической
шкалы в качестве реперных точек принимаются абсолютный нуль (-273,15 °С)
и параметры тройной точка воды. Между температурами по шкале Кельвина
и шкале Цельсия существует следующая зависимость: T = t + 273,15.
Температура измеряется различными термометрическими приборами: жидкостными и газовыми термометрами постоянного давления (р = idem), где происходит
изменение объема тела при изменении его температуры, или постоянного объема
(v = idem), где происходит изменение давления при изменении температуры тела;
термометрами сопротивления, где происходит изменение электрического сопротивления датчика при изменении температуры тела; оптическими пирометрами, где
используется зависимость интенсивности излучения от температуры тела и длины
волны излучения и т.д.
10
Часть 1
Термин idem используется для физических величин, сохраняющих в рассматриваемом процессе неизменное значение.
Связь между параметрами, характеризующими состояние термодинамической
системы называется уравнением состояния, в случае простого тела уравнение
состояния в неявном виде имеет следующий вид F(р, v, T) = 0.
Термодинамические процессы
Изменение состояния системы называется процессом.
Равновесный процесс – это непрерывная последовательность равновесных
состояний системы.
Обратимым процессом называется такой равновесный процесс, который
допускает возможность возврата этой системы из конечного состояния в исходное
путем обратного процесса. В результате прямого и обратного обратимых процессов
в системе и во внешней среде не происходит каких либо остаточных конечных
изменений.
Термодинамическим процессом принято считать обратимый равновесный
процесс.
Любой реальный процесс является в большей или меньшей степени неравновесным. Однако, в принципе, эта неравновесность может быть сделана сколь
угодной малой в результате уменьшения скорости осуществления процесса. Таким образом, равновесный процесс является предельным случаем неравновесного
процесса при стремлении скорости этого процесса к нулю.
Обратимые процессы простых систем могут быть изображены графически
на диаграммах состояния p-v, р-Т и т. д. Линия, изображающая изменение параметров в процессе, называется кривой процесса. Каждая точка кривой процесса
характеризует равновесное состояние системы.
Термодинамическая работа
Работа является одной из форм передачи энергии между системами при их
взаимодействии. В механике элементарная работа определяется как произведение
проекции силы Fs на величину перемещения точки приложения этой силы
δL = Fs ⋅ ds ,
(1.5)
где ds – элементарное перемещение тела.
Элементарная термодинамическая работа простых тел определяется в зависимости от величины давления и изменения объема (рисунок 1.1)
δL = Fs ⋅ ds = p⋅ f ⋅ds = p ⋅ dV ,
(1.6)
где δ L – элементарная термодинамическая работа обратимого изменения объема, Дж; f – площадь поршня.
Термодинамика в технологических процессах…
11
Рис. 1.1. Термодинамическая работа обратимого изменения объема в процессе 1 – 2
Разделив правую и левую часть уравнения (1.6) на массу G получим выражение для определения удельной элементарной термодинамической работы обратимого изменения объема δl , Дж/кг
δl =
δL p ⋅ dV
=
= p ⋅ dv .
G
G
(1.7)
Поскольку термодинамическая работа зависит от пути (вида) процесса, для вычисления интегральных значений полной ( L1,2 ), или удельной ( l1,2 ) работы должны
быть заданы уравнения процессов изменения состояния тела в форме, ϕ ( p,V ) = 0
либо его графическое изображение в диаграммах состояния р-V или р-v.
Как следует из соотношений (1.6), (1.7), работа определяется площадью под
кривой процесса независимо от вида рабочего тела и его свойств (рисунок 1.1).
В силу этого координаты р-V и р-v называются универсальными координатами
работы.
В частном случае для изобарного процесса (p = idem) интегральные значения
полной и удельной термодинамической работы определяются по следующим
соотношениям:
12
Часть 1
2
L1,2 =
= p ⋅ (V2 − V1 ) ;
∫ p ⋅ dV
(1.8)
1
2
l1,2 =
∫ p ⋅ dv
= p ⋅( v2 − v1 ) .
(1.9)
1
Работа расширения считается положительной ( dv > 0 , δl > 0 ), а работа сжатия – отрицательной ( dv < 0, δl < 0 ).
Эффективная элементарная работа реального процесса δL∗ равна разности
обратимой работы δL и работы необратимых потерь δL∗∗ ( δL* =δL −δL∗∗ ) [3].
Необратимые потери термодинамической работы ( δ L** ) превращаются в теплоту внутреннего теплообмена ( δ Q ** ).
Потенциальная (техническая) работа
Потенциальной (технической) работой называется работа по перемещению
сплошных масс (газа, пара или жидкости) из области одного давления (p1) в область другого давления (p2), т.е. потенциальная работа – это работа обратимого
изменения давления [3, 12].
Элементарная потенциальная работа простого тела определяется из соотношения
δW = −Vdp .
(1.10)
Удельная потенциальная работа в элементарном процессе
по формуле
δw =
δW
= − vdp .
G
δw
определяется
(1.11)
Для определения интегральных
значений полной ( W1,2 ) или удельной
Рис. 1.2. Потенциальная работа обратимого
изменения давления в процессе 1 – 2
( w1,2 ) потенциальных работ должны
быть заданы уравнения процесса изменения состояния рабочего тела
ϕ (p,V ) = 0 или его графическое изображение в диаграммах состояния
р-V или р-v.
Как следует из соотношений (1.10),
(1.11), потенциальная работа определяется в координатах р-V площадью
между кривой процесса и осью абсцисс независимо от вида рабочего тела и его свойств (рисунок 1.2).
Термодинамика в технологических процессах…
13
В частном случае для изохорного процесса (v = idem) интегральные значения
полной и удельной потенциальной работы определяются по следующим соотношениям:
2
2
∫
W1, 2 = − ∫ Vdp = V ⋅ ( p1 − p 2 ) ; w1,2 = − vdp = v ⋅ (p1 − p2 ) .
1
(1.12)
1
Потенциальная работа считается положительной при снижении давления
( p2 < p1 ) и отрицательной – при повышении давления ( p2 > p1 ).
Эффективная элементарная работа реального процесса δW ∗ равна разности
обратимой работы δW и работы необратимых потерь δW ∗∗ ( δW* =δW −δW∗∗ ).
Необратимые потери потенциальной работы ( δ W ** ) превращаются в теплоту
внутреннего теплообмена ( δ Q ** ).
Термодинамическая работа δL простого тела в замкнутом пространстве
и потенциальная работа δW потока непосредственно передаются внешней системе ( δLcz или δWcz ) и используются для изменения энергии внешнего положения тела (dEcz)
(1.13)
δL = δLcz + dEcz; δW = δWcz + dEcz .
В условиях механических процессов (dEcz=G⋅cЕ⋅dcЕ+G⋅g⋅dz) уравнение распределения термодинамической и потенциальной работ формулируется следующим образом:
 c2 
δL = δLcz + G ⋅ d  E  + G ⋅ g ⋅ dz ;
(1.14)
 2
 c2 
δW = −Vdp = δWcz + G ⋅ d  E  + G ⋅ g ⋅ dz ,
 2
(1.15)
где cE – скорость движения тела, dz – изменение высоты центра тяжести тела
в поле тяготения.
В реальных процессах уравнение распределения термодинамической и потенциальной работ формулируется следующим образом [3, 16]:
 c2 
δ L = δ L cz + G ⋅ d  E  + G ⋅ g ⋅ d z + δ L∗∗ ;
 2 
 c2 
δ W = − V d p = δ W cz + G ⋅ d  E  + G ⋅ g ⋅ d z + δ W
 2 
(1.15а)
∗∗
. (1.15б)
Внутренняя энергия тела
Внутренняя энергия представляет собой полный запас энергии тела и состоит из энергии поступательного и вращательного движения молекул, энергии
14
Часть 1
внутримолекулярных колебаний, потенциальной энергии сил сцепления между
молекулами, внутримолекулярной энергии, внутриатомной энергии.
Внутренняя энергия U является функцией состояния, она не зависит от пути
процесса, а ее элементарное изменение обозначается символом полного дифференциала (dU).
Внутренняя энергия измеряется в джоулях (Дж), а удельная внутренняя
энергия (u) – в Дж/кг.
Для простых тел внутренняя энергия определяется как функция двух переменных (р,T; р,v или T,v).
Теплота
Теплота – количество энергии, передаваемой от одного тела к другому
посредством теплопроводности, конвективного или лучистого теплообмена.
Процесс передачи теплоты называется теплообменом.
Количество теплоты Q , получаемое телом в результате теплообмена, зависит от вида термодинамического процесса и аналогично работе является функцией процесса. Поэтому, элементарное количество теплоты δQ не является
полным дифференциалом.
Количество теплоты Q измеряется в джоулях (Дж), а удельное количество
теплоты q = Q / G в Дж/кг.
Теплоемкость
Истиной теплоемкостью называется количество теплоты, которое надо сообщить единице количества вещества в термодинамическом процессе (z=idem.),
чтобы его температура повысилась на 1 градус.
cz =
δqz
.
dt
(1.16)
Различают массовую теплоемкость с, измеряемую в Дж/(кг⋅К), молярную c –
Дж/(кмоль⋅К) и объемную с' – Дж/(м3⋅К).
Связь между массовой, молярной и объемной теплоемкостью представлена
следующими соотношениями:
c = c⋅µ ;
c ′ = ρ⋅ c .
(1.17)
Экспериментальное определение теплоемкости обычно проводится в двух
процессах: при постоянном объеме v = idem (изохорная теплоемкость cv) и постоянном давлении p = idem p (изобарная теплоемкость cp).
Теплоемкость реального газа зависит от температуры и давления. Теплоемкость идеального газа зависит только от температуры.
Для практических расчетов вводится понятие средней теплоемкости в интервале температур от t1 до t2, значение которой принимается неизменной для всего
рассматриваемого интервала температур (сzm).
Термодинамика в технологических процессах…
15
Из уравнения (1.16) следует, что количество теплоты, подведенной к телу
(или отведенной от него) в процессе 1–2 (изобарном или изохорном), определяется соотношением
2
q1,2 = ∫ cz ⋅ dt = czm ⋅ (t2 − t1 ) .
(1.18)
1
Отсюда следует выражение для средней теплоемкости газа
czm =
q1,2
( t2 − t1 )
=
2
1
c dt .
( t2 − t1 ) ∫1 z
(1.19)
Для большинства газов и жидкостей значения средней теплоемкости в интервале температур от t1 до t2 приведены в специальных термодинамических
таблицах.
Для некоторых газов в определенном интервале температур изменение истинной теплоемкости подчиняется линейному закону
cz = a z + bz t .
(1.20)
Подставив выражение (1.20) в уравнение (1.19), получим
2
czm =
∫ (a
1
z
+ bz t ) ⋅ dt
(t2 − t1 )
= az + bz ⋅
(t1 + t2 )
,
2
(1.21)
где сzm – первая средняя теплоемкость. Она численно равна истинной теплоемкости тела при среднеарифметической температуре процесса.
1.2. Физическое состояние вещества
Различают три агрегатных состояния простых систем: твердое, жидкое и газообразное.
Фазовая диаграмма чистого вещества
С помощью фазовой диаграммы можно проследить переход тела из одного
агрегатного состояния в другое.
Рассмотрим диаграмму фазовых состояний чистого вещества, которая представлена на рисунке 1.3.
Фазами системы называются области, ограниченные поверхностями раздела.
Линии фазовых превращений (испарение – I, плавление – II, сублимации –
III) отображают термодинамическое равновесие двухфазных систем и делят диаграмму на области различных агрегатных состояний.
16
Часть 1
Рис. 1.3. Диаграмма фазовых состояний чистого вещества
На линиях фазовых превращений существует однозначная зависимость между давлением и температурой. Эти линии пересекаются в тройной точке, где вещество одновременно находится в трех агрегатных состояниях. Параметры
тройной точки принадлежат к термодинамическим константам вещества.
Энергетической границей между жидкостью и паром является теплота испарения, а между твердым телом и жидкостью – теплота плавления. Так как
процессы испарения и плавления протекают при постоянной температуре, то
теплоты испарения, плавления и сублимации есть теплоты изотермических
превращений. Теплота фазового перехода обозначается символом r .
Наибольший интерес для проведения технических расчетов в термодинамике
представляют газ и жидкость. При увеличении давления термодинамическое
различие в их свойствах заметно уменьшается и в критической точке исчезает
полностью.
Критические параметры являются важнейшими термодинамическими постоянными вещества. Понятие критической температуры введено Д. И. Менделеевым.
Критическая температура Tк – это температура, при которой и выше которой
газ никаким сжатием не может быть переведен в жидкое состояние. Критическое давление pк – это такое давление, при котором и выше которого жидкость
невозможно перевести в газообразное состояние, а критический объем представляет собой максимальный объем данного количества вещества в жидком
состоянии.
Термодинамика в технологических процессах…
17
В закритической области ( p > pк ; T > Tк ) вещество может находиться только
в однофазном состоянии. Переход из состояния 1 в состояние 2 возможен кратчайшим путем по линии 1-2. Можно этот переход осуществить через закритическую область, то есть без изменения агрегатного состояния, например по линии
1 − 1′ − 2′ − 2 (рисунок 1.3).
Условным признаком непрерывности однофазного состояния вещества является возможность перехода его из любого однофазного исходного состояния
в другое однофазное состояние путем непрерывных изменений параметров
состояния, минуя фазовые энергетические барьеры.
Поэтому в принципе, для простых тел (однородных систем) должно существовать единое уравнение состояния F (p, v, T ) = 0 , описывающее любое однофазное
состояние вещества.
Уравнения состояния
В термодинамических системах в качестве рабочего тела часто рассматривается идеальный газ. Идеальными называются газы, у которых молекулы представляют собой материальные точки и между молекулами отсутствуют силы
взаимодействия.
При относительно низком давлении и высоких температурах реальные газы
имеют малую плотность и, с известным допущением, могут рассматриваться как
газы идеальные.
Уравнением состояния идеального газа является уравнение Клапейрона
(1834 г.) для произвольной массы и 1 кг:
pV = GRT ;
(1.22)
pv = RT ,
(1.23)
где R – характеристическая постоянная газа; Т – абсолютная температура газа
T=
pv
1
=t+
= (t + 273,15), K .
R
α0
(1.24)
Физический смысл характеристической газовой постоянной можно определить продифференцировав уравнение Клапейрона при постоянном давлении.
Получим: δl p = pdv = RdT и отсюда следует
R=
δl p
dT
.
(1.25)
Это значит, что характеристическая газовая постоянная R – термодинамическая работа 1 кг газа в изобарном процессе (p = idem) при изменении температуры на один градус.
18
Часть 1
Газовые постоянные для различных тел определяются молярными массами.
Умножив на молекулярную массу µ обе части уравнений (1.22) и (1.23) получим уравнение Клапейрона – Менделеева
для G кмолей газа
для 1 кмоля газа
pV = GRT ,
(1.26)
pv = RT ;
(1.27)
где v = µ ⋅ v – молярный объем, при нормальных физических условиях
(р = 0,1013 МПа и t = 0 оC) v = 22,4 м3/кмоль; R = µ ⋅ R = 8314 Дж/(кмоль⋅К) –
универсальная газовая постоянная.
Отсутствие теоретически обоснованного единого уравнения состояния реального газа привело к выводу большого количества эмпирических и полуэмпирических уравнений состояния, справедливых для отдельных газов в ограниченном
диапазоне изменения параметров их состояния [10].
Наиболее простым, качественно отображающим поведение реальных газов
является уравнение состояния Ван-дер-Ваальса
a

 p + 2  ⋅ ( v − b ) = RT ,
v
(1.28)
где a и b – экспериментально полученные константы; a/v2 – поправка на силы
молекулярного сцепления; b – поправка на объем молекул.
В технических расчетах используются различные уравнения состояния (раздел
1.15). Одно из простых базируется на уравнении состояния идеального газа с введением поправочного коэффициента z, называемого коэффициентом сжимаемости
pv = zRT .
(1.29)
Коэффициент сжимаемости учитывает различие между идеальным и реальными газами (для идеального газа z = 1).
Коэффициент сжимаемости является функцией давления, температуры и зависит от природы газа.
Для обобщения данных по коэффициентам сжимаемости различных газов
был использован принцип «соответственных» состояний, сформулированный
Ван-дер-Ваальсом.
Принцип «соответственных» состояний утверждает, что критическое состояние действительно является одинаковым для всех веществ.
 ∂2 p 
 ∂p 
В критической точке для всех веществ r = 0,  2  = 0 ,   = 0 ,
 ∂v  v
 ∂T  v
 ∂2 p 
 ∂v 2  = 0 . Вещества находятся в соответственных состояниях при одинаковом
T
удалении от критической точки.
Термодинамика в технологических процессах…
19
Степень удаления от критической точки определяется с помощью приведенных параметров:
• приведенного давления π = р / рк ;
• приведенной температуры τ = Т / Т к ;
• приведенного объема w = v / vк .
Состояния вещества, в которых они имеют одинаковые π и τ называются
соответственными. Зная приведенные давление π и температуру τ по данным
рисунка 1.4 можно оценить коэффициент сжимаемости газов.
Рис. 1.4. Зависимость коэффициента сжимаемости углеводородных газов
от приведенных параметров
Для более точных оценок коэффициентов сжимаемости газов необходимо
использовать специальные таблицы и формулы (раздел 1.15).
Уравнение состояния, записанное в виде F ( w, π , τ ) = 0, называется приведенным уравнением состояния. Оно не содержит индивидуальных констант
вещества.
20
Часть 1
1.3. Смеси жидкостей и газов
Термодинамическая система – объект исследования термодинамики, может
представлять собой смесь химически не взаимодействующих между собой чистых веществ.
Предполагается также, что структура отдельных компонентов смеси в процессе смесеобразования и стабилизации смеси не изменяется.
Общие соотношения
Из закона сохранения материи следует, что масса смеси G равна сумме масс
составляющих ее компонентов Gi
n
G = ∑ Gi ,
(1.30)
i =1
а число киломолей смеси G равно сумме числа киломолей всех компонентов
смеси Gi
n
G = ∑ Gi ,
(1.31)
i =1
где n – число компонентов в смеси.
Одной из важнейших характеристик смеси является ее состав. Он задается
массовыми или молярными концентрациями (долями) компонентов.
Массовой концентрацией или массовой долей mi называется отношение массы компонента к массе всей смеси
m=
Gi
G
= n i .
G
∑ Gi
(1.32)
i =1
Молярной концентрацией или молярной долей i-го компонента ri называется
отношение количества киломолей этого компонента G i к общему числу киломолей смеси
ri =
Gi
G
=
Gi
.
n
∑G i
(1.33)
i =1
Очевидно, что для термодинамических смесей справедливы следующие соотношения:
n
∑ mi = 1 ,
i =1
n
∑ r = 1.
i
i =1
(1.34)
Термодинамика в технологических процессах…
21
Средняя (кажущаяся) молярная масса смеси µ m равна отношению массы
смеси к количеству киломолей смеси и может быть определена из следующих
соотношений:
n
G
µm = i =
Gi
µm =
Gi
=
Gi
∑G
G
G
=
n
∑G
i =1
i
i =1
i
µi ⋅ G i
=
∑
G
i =1
n
=
n
∑r ⋅µ
i
G
1
= n
=
Gi
Gi
∑
∑
i =1 µ i
i =1 Gi ⋅ µ i
n
i
;
(1.35)
i =1
1
.
mi
∑
i =1 µ i
n
(1.36)
Зависимость между массовой и молярной концентрациями устанавливается
соотношением
G
µ ⋅ Gi
µ
mi = i = i
= ri i
(1.37)
G
µm
µm ⋅ G
или
mi µ i
=
.
ri µ m
(1.38)
Газовая постоянная смеси Rm может быть вычислена по следующему
выражению:
n
1
R
= ∑ mi ⋅ Ri = n
,
(1.39)
Rm =
ri
µ
i =1
∑
i =1 Ri
Для жидких, твердых и газообразных смесей часто используется и понятие
объемной концентрации компонентов. Объемной концентрацией i-го компонента
vi называется отношение объема данного компонента Vi к объему всей смеси V
vi =
Vi
.
V
(1.40)
Следует обратить внимание на особенность определения объемной концентрации для газов!
Схемы смешения
При образовании смесей на практике встречаются две основные схемы
смешения: при постоянном объеме (V = idem) и постоянном давлении (p = idem).
При расчете и анализе схемы смешения при постоянном объеме рассматривается система, включающая ряд резервуаров, соединенных трубопроводами с
установленными на них кранами (рисунок 1.5а).
22
Часть 1
В каждом резервуаре объемом Vi находится один компонент с известными
исходными параметрами (Gi , µ i , pi , Ti ).
После открытия кранов во всех резервуарах происходит выравнивание
давления pm, а затем температуры Tm и концентрации компонентов (mi, ri) – система переходит в состояние термодинамического равновесия. Во всех стадиях
процесса смешения полный объем системы сохраняет неизменную величину V =
n
∑V
i
.
i =1
В процессе смешения по схеме с постоянным объемом теплота извне не подводится ( δQ∗ = 0 ) и внешняя работа не совершается ( δL∗ = 0 )
Рис. 1.5. Схемы смешения при постоянном объеме (а) и при постоянном давлении (б)
Смесеобразование при постоянном давлении происходит в трубопроводах
(рисунок 1.5 б). К общему трубопроводу отдельными потоками подводятся
компоненты.
Для каждого компонента известны: массовый расход Gi , молярная масса µi ,
давление pi и температура Ti . Смесеобразование в трубопроводе возможно лишь
в случае, когда давление каждого компонента pi больше среднего давления смеси в трубопроводе pm . При прохождении запорного устройства давление компонента уменьшается до среднего давления смеси pm – отсюда наименование схемы ( p = idem ).
Термодинамика в технологических процессах…
23
Заключительные стадии процесса смешения при p = idem – выравнивание
температур, концентраций компонентов в смеси (диффузионные процессы)
и переход системы в состояние термодинамического равновесия.
В процессе смешения при p = idem теплота извне не подводится ( δQ∗ = 0 )
и внешняя работа не совершается ( δW ∗ = 0 )
Смеси идеальных газов
Смеси идеальных газов являются также идеальными газами и подчиняются
уравнению состояния идеальных газов (уравнению Клапейрона)
pmV = G ⋅ Rm ⋅ Tm = G ⋅ R ⋅ Tm ,
(1.41)
где pm , Tm – давление и температура смеси.
Средняя температура и среднее давление смеси характеризуют конечное состояние диффузионного равновесия смеси.
Состояние компонентов смеси в процессе перемешивания непрерывно изменяется, начиная с момента первичного выравнивания давлений компонентов
и кончая состоянием диффузионного равновесия, когда давление каждого из компонентов снижается до уровня стабильного парциального давления pνi .
Закон диффузионного равновесия смеси идеальных газов (закон Дальтона)
характеризует установившееся состояние газовой смеси и формулируется следующим образом: каждый компонент смеси ведет себя в газовой смеси так,
как будто он один при температуре смеси Tm равномерно распространен во
всем объеме смеси V и развивает при этом давление, которое называется парциальным pνi .
Уравнения состояния для i-го компонента и всей смеси идеальных газов
могут быть представлены в следующем виде:
pν iV = G i RT ;
(1.42)
pmV = GRTm .
(1.43)
При делении уравнения (1.42) на уравнение (1.43) получаем
pνi G i
=
= ri .
pm G
(1.44)
Из соотношения (1.44) следует, что парциальное давление i-го компонента
pν i в смеси идеальных газов определяется через полное давление смеси pm и
молярную концентрацию компонента ri
pνi = ri ⋅ pm .
(1.45)
24
Часть 1
После преобразования соотношения (1.45) получаем, что сумма парциальных
давлений всех компонентов смеси идеальных газов равна полному давлению смеси
n
∑ pν
i =1
n
i
=
n
∑r ⋅ p
i
= pm ⋅ ∑ ri = pm .
m
i =1
(1.46)
i =1
Выражения для теплоемкости смеси получаются из уравнения теплового баланса – количество теплоты, необходимое для нагрева 1 кг смеси равно сумме
количеств теплоты, затрачиваемых на нагревание каждого компонента. Отсюда
получаем соотношения для определения средних удельных значений массовой
и молярной теплоемкостей смеси:
n
czm = ∑ mi ⋅ czm,i ,
(1.47)
i =1
n
czm = ∑ ri ⋅ czm,i .
(1.48)
i =1
где сzm ,i , czm ,i – средние удельные массовая и молярная теплоемкости i-го компонента смеси в процессах z = idem ( z = p , v ).
Объемная концентрация каждого компонента в смеси vi определяется как
отношение приведенного объема Vi,пр компонента при давлении и температуре
смеси к объему всей смеси V при тех же условиях
vi =
Vi ,пр
V
.
(1.49)
Для идеального газа, исходя из уравнения состояния
Vi,пр =
G i ⋅ R ⋅ Tm
GRTm
, V=
.
pm
pm
(1.50)
После подстановки Vi,пр и V в соотношение (1.49) получаем
vi =
Gi
= ri .
G
(1.51)
Отсюда следует, что для смесей идеальных газов объемная и молярная концентрации компонентов численно равны.
Смеси реальных газов
Для расчетов характеристик смесей реальных газов используются различные
уравнения [10] и в частности следующее уравнение состояния
Термодинамика в технологических процессах…
pmV = z ⋅ G ⋅ Rm ⋅ Tm = z ⋅ G ⋅ R ⋅ Tm .
25
(1.52)
Определение значений коэффициента сжимаемости z для реальных газовых
смесей проводится с использованием закона соответственных состояний. Однако, в отличие от чистых газов, характеристики соответственных состояний определяются не по фактическим критическим параметрам, а по значениям приведенных критических (псевдокритических) давления pпк и температуры Tпк газовых смесей:
n
n
i =1
i =1
pпк = ∑ ri ⋅ pк, i ; Tпк = ∑ ri ⋅ Tк, i ,
(1.53)
где pк,i и Тк,i − критические давление и температура компонентов газовой смеси
(таблица 1.1).
Таблица 1.1
Критические характеристики газов
Газ
Метан, СН4
Этан, С2Н6
Пропан, С3Н8
Изобутан, и-С4Н10
Н-бутан, н-С4Н10
Изопентан, и-С5Н12
Н-пентан, н-С5Н12
Азот, N2
Двуокись углерода, СO2
Сероводород, Н2S
µ,
кг/кмоль
16,04
30,07
44,09
58,12
58,12
72,15
72,15
28,01
44,01
34,08
Тк, К
190,55
305,43
369,82
408,13
425,16
460,40
469,65
126,26
304,20
373,60
pк,
МПа
4,600
4,876
4,246
3,645
3,794
3,381
3,366
3,400
7,370
9,000
ρк, кг/м3
zк
162
212
225
221
228
234
232
304
468
346
0,288
0,285
0,281
0,283
0,274
0,268
0,262
0,292
0,274
0,283
Псевдокритические параметры используются для вычисления значений приведенного давлений π и температур τ смеси:
π=
p
;
pпк
τ=
T
.
Tпк
(1.54)
1.4. Первое начало термодинамики
Первое начало термодинамики – это количественное выражение закона сохранения и превращения энергии.
Закон сохранения и превращения энергии является универсальным законом
природы, и применим ко всем явлениям. Он гласит: «внутренняя энергия изолированной системы остается неизменной при любых происходящих в системе процессах; энергия не уничтожается и не создается, а только переходит из одного
вида в другой».
26
Часть 1
При построении термодинамики принимается, что все возможные энергетические взаимодействия между телами сводятся лишь к передаче теплоты и работы.
При этом необходимо отметить, что в отличие от теплообмена, работа как форма
энергетического взаимодействия в условиях обратимого течения явлений допускает возможность своего полного превращения в другие виды энергии.
В термодинамике приняты следущие знаки при определении работы и теплоты
в уравнениях первого начала термодинамики: если работа выполняется телом, то
она положительная; если работа подводится к телу, то она отрицательная. Если
теплота сообщается телу, она имеет положительное значение; если теплота
отводится от тела, она имеет отрицательное значение.
В силу того, что теплообмен и передача работы являются единственными
формами передачи энергии, изменение энергии изолированной системы (т.е.
системы, которая энергетический не взаимодействует с окружающей средой или
с другой системой) равно нулю duиз=0.
Рассмотрим систему, к которой извне подводится или отводится теплота
и подводится или отводится термодинамическая работа (рисунок 1.6).
Рис. 1.6. Энергетическое взаимодействие системы
В этом случае изменение внутренней энергии системы равно алгебраической
сумме, подведенных извне теплоты и термодинамической работы
(
)
dU = δQ∗ + −δL∗ .
(1.55)
∗
∆U1,2 = U 2 − U1 = Q1,2
− L∗1,2
(1.56)
Окончательно исходное выражение первого начала термодинамики формулируется следующим образом: «количество теплоты, полученной системой
∗
извне ( Q1,2
), идет на изменение внутренней энергии системы ( ∆U1,2 = U 2 − U1 )
и на выполнение внешней работы ( L∗1,2 )
∗
Q1,2
= U 2 − U1 + L∗1,2 ,
(1.57)
Термодинамика в технологических процессах…
27
В дифференциальной форме уравнение (1.57) может быть представлено следующим образом:
∗
δQ = dU + δL∗ .
(1.58)
Уравнения (1.57) и (1.58) являются математическим выражением первого начала термодинамики. Они справедливы для обратимых процессов и учитывают только внешние эффекты, поэтому их иногда называют первым началом
термодинамики по внешнему балансу.
В случае реальных процессов, уравнение первого начала термодинамики
(1.58) принимает вид
δQ∗ = dU + δL −δL∗∗ или δQ = δ Q ∗ + δ L** = δ Q + δ Q
∗∗
= dU + δL ; (1.58а)
∗
∗∗
Q1,2 = Q1,2
+ Q1,2
= U 2 − U1 + L1,2 ,
(1.58б)
где δQ – приведенный теплообмен.
Уравнения (1.58а) и (1.58б) называются уравнениями первого начала термодинамики по балансу рабочего тела, и они справедливы для реальных процессов.
В обратимых процессах δL** = δQ ** = 0 и уравнения первого начала термодинамики по внешнему балансу и по балансу рабочего тела совпадают [3].
Для простых тел, то есть систем, состояние которых определяется двумя
независимыми переменными, математическое выражение первого начала термодинамики в дифференциальной форме имеет следующий вид:
для термодинамической системы
для 1 кг системы
δQ = dU + δL = dU + pdV ;
(1.59)
δq = du + δl = du + pdv .
(1.60)
Выражение удельной потенциальной работы можно представить в виде
соотношения
δw = −vdp + pdv − pdv = pdv − d ( pv) ,
(1.61)
из которого следует, что
δw = δl − d ( pv) ; δl = δw + d ( pv) .
(1.62)
После подстановки выражения δl (1.62) в уравнение (1.60), получим:
δq = du + δw + d ( pv) , δq = d (u + pv) + δw .
(1.63)
Сумма удельной внутренней энергии u и потенциальной функции pv называется удельной энтальпией: h = u + pv , Дж/кг.
28
Часть 1
Поскольку энтальпия определяется с помощью параметров состояния
(u, р, v), то она является функцией состояния, а для простого тела может быть
представлена в функции любых двух параметров, например, р и Т. Дифференциал функции состояния является полным дифференциалом.
Подобно полной внутренней энергии энтальпия системы является экстенсивным параметром, зависит от количества вещества и определяется по соотношению H = h ⋅ G.
Математическое выражение первого начала термодинамики для простого
тела в дифференциальной и интегральной форме имеет следующий вид:
δq = du + δl = dh + δw ;
(1.64)
q1,2 = u2 − u1 + l1,2 = h2 − h1 + w1,2 .
(1.65)
Первое начало термодинамики для 1 кг простого тела для реальных систем
(первое начало термодинамики по балансу рабочего тела) в дифференциальной
и интегральной формах можно представить в следующем виде:
2
δq = δq∗ + δq** = du + pdv = dh − vdp; q1,2 = q1,2∗ + q1,2∗∗ = u2 + u1 + ∫ pdv =
1
2
(1.65а)
= h2 − h1 − ∫ vdp,
1
δ w** = δ q ** .
(1.65б)
В обратимых процессах δw∗∗ = 0 и поэтому выражение первого начала термодинамики совпадает с выражением первого начала термодинамики по балансу
рабочего тела.
Аналитическое выражение первого начала термодинамики
Значения удельных внутренней энергии и энтальпии простого тела однозначно определяются двумя независимыми переменными и могут быть представлены следующим образом:
u = f (T , v) ;
(1.66)
h = f (T , p ) .
(1.67)
Изменения внутренней энергии и энтальпии простого тела, как функций
состояния, в элементарных процессах являются полными дифференциалами
и определяются соотношениями
 ∂u 
 ∂u 
 ∂u 
du =   dT +   dv = cv dT +   dv ;
 ∂T  v
 ∂v  T
 ∂v  T
(1.68)
Термодинамика в технологических процессах…
 ∂h 
 ∂h 
 ∂h 
dh =   dT +   dv = c p dT +   dp .
 ∂T  p
 ∂p  T
 ∂p  T
29
(1.69)
Соотношения (1.68) и (1.69) получены, исходя из анализа зависимостей
(1.16), который показывает, что для изохорного процесса ( v = idem ) частная
производная внутренней энергии по температуре равна истинной изохорной теплоемкости
 ∂u 
(1.70)
cv =   ,
 ∂T  v
а для изобарного процесса ( p = idem ) частная производная энтальпии по температуре равна истинной изобарной теплоемкости
 ∂h 
cp =   .
 ∂T  p
(1.71)
В результате подстановки выражений (1.70) и (1.71) в уравнения (1.68),
(1.69) и разделения переменных получим:
  dh 

  ∂u 

δq = cv dT +    + p  ⋅ dv = c p dT +    − v  ⋅ dp .
  ∂v  T

  dp  T

(1.72)
Данное соотношение (1.72) называется первым началом термодинамики
для простых тел в аналитической форме.
Выражения в квадратных скобках уравнения (1.72) в литературе часто называют калорическими коэффициентами [12], которые могут быть определены
по формулам, полученным с использованием дифференциальных соотношений
термодинамики:
  ∂u 

(1.73)
  ∂v  + p  = p − cv Du ;
T


  dh 

   − v  = − (v + c p Dh ) ,
  dp  T

(1.74)
где Du – коэффициент Джоуля – Гей Люссака,
 ∂T 
Du =   ;
 ∂v  u
(1.75)
Dh – коэффициент Джоуля-Томсона,
 ∂T 
Dh =   .
 ∂p  h
(1.76)
30
Часть 1
Коэффициенты Джоуля – Гей Люссака Du и Джоуля – Томсона Dh реальных
газов определяются по таблицам термодинамических свойств или эмпирическим
формулам, представленным в справочной литературе.
Первое начало термодинамики для идеальных газов.
Закон Майера. Энтропия идеального газа
Идеальные газы подчиняются уравнению состояния Клапейрона pv = RT
и закону Джоуля, согласно которому удельная внутренняя энергия идеального
газа зависит только от температуры
u = u (T ) .
(1.77)
Совместное использование уравнения Клапейрона и закона Джоуля приводит к выводу о том, что удельная энтальпия идеального газа также являются
функциями только температуры
h = u + pv = h(T ) .
(1.78)
С учетом законов идеальных газов и соотношений (1.68), (1.69), изменения
внутренней энергии и энтальпии 1 кг идеального газа в элементарном и конечном (1–2) процессах находятся по следующим формулам:
du = cv dT ; u2 − u1 = cvm ⋅ (T2 − T1 ) ;
(1.79)
dh = c p dT ; h2 − h1 = c pm ⋅ (T2 − T1 ) .
(1.80)
После подстановки соотношений (1.79) и (1.80) в выражение первого начала
термодинамики для простых тел (1.64), (1.65) получаем уравнение первого начала термодинамики для идеального газа по балансу рабочего тела в дифференциальной и интегральной формах:
δq = cv dT + pdv = c p dT − vdp ;
(1.81)
q1,2 = cvm ⋅ (T2 − T1 ) + l1,2 = c pm ⋅ (T2 − T1 ) + w1,2 ..
(1.82)
Из уравнения первого начала термодинамики для идеального газа (1.81)
можно получить следующее выражение:
(c p − cv ) ⋅ dT = pdv + vdp = d ( pv) = RdT ,
(1.83)
из которого следует, что разность истинных теплоемкостей идеального газа при
постоянном давлении и постоянном объеме равна величине характеристической
газовой постоянной
c p − cv = R .
(1.84)
Термодинамика в технологических процессах…
31
Это выражение (1.84) впервые было получено Р. Майером (1842 г.) и называется законом Майера.
Уравнение (1.84) может быть записано и для одного кмоля газа
c p − cv = µ ⋅ (c p − cv ) = µ ⋅ R = R .
(1.85)
Разделив уравнение (1.81) на абсолютную температуру T, получим
δq
dT p
dT v
= cv
+ dv = c p
− dp .
T
T T
T T
(1.86)
С учетом того, что для идеального газа, исходя из уравнения Клапейрона,
p R v R
справедливы равенства: = ; = получим
T v T p
δq
dT
dv
dT
dp
= cv (T ) ⋅
+ R = c p (T ) ⋅
−R .
T
T
v
T
p
(1.87)
Правая часть уравнения (1.87) представляет собой сумму полных дифференциалов. Это значит, что и соотношение δq / T есть полный дифференциал некоторой
функции состояния идеального газа (s), называемой удельной энтропией.
Изменение удельной энтропии в элементарном процессе представляет собой
полный дифференциал и определяется соотношением
ds =
δq
dT
dv
dT
dp
= cv (T ) ⋅
+ R = c p (T ) ⋅
−R
.
T
T
v
T
p
(1.88)
Из уравнения (1.88) после интегрирования получим, что изменение удельной
энтропии идеального газа в процессе 1–2 может быть найдено из соотношения
s2 − s1 = cmv ⋅ ln
T2
v
T
p
+ R ⋅ ln 2 = cmp ⋅ ln 2 + R ⋅ ln 1 .
T1
v1
T1
p2
(1.89)
Теплоемкости cmp и cmv называются вторыми средними теплоемкостями
и находятся путем осреднения по логарифму абсолютных температур
cmz =
2
1
⋅ cz ⋅ d ln T .
ln T2 − ln T1 ∫1
(1.90)
Если принять, что истинная теплоемкость является линейной функцией температуры cz = az + bzT , то
2
cmz =
∫ (a
z
+ bzT ) ⋅
1
T
ln 2
T1
dT
T
= az + bz ⋅
T2 − T1
= az + bz ⋅ Tmz .
T2
ln
T1
(1.91)
32
Часть 1
Таким образом, первая средняя теплоемкость равна истинной теплоемкости
при средней арифметической температуре процесса (Tma ), а вторая – при средней логарифмической температуре процесса (Tmz). В случае, если bz > 0 , то первая средняя теплоемкость численно несколько больше второй.
1.5. Процессы изменения состояния термодинамических систем
Классификация термодинамических процессов
Термодинамический процесс может быть задан либо графическим способом
в виде изображения процесса в координатах p-v, p-T, Т-s, либо в аналитической
форме в виде зависимости ϕ ( p, v) = 0 .
Уравнение процесса может быть также задано исходным условием о неизменном значении в этом процессе какой – либо функции состояния или их комплекса ( z = idem; z = p, v, t , u , h, s ) или условием о равенстве нулю какого-либо
эффекта термодинамического процесса ( δq = 0) .
Однако и в этом случае исходное условие приводится к основной форме
уравнения процесса.
При изучении термодинамических процессов определяются:
1) закономерность изменения параметров состояния рабочего тела, то есть
выводится уравнение процесса или дается его графическое изображение в координатах p-v, p-T, Т-s и т.д.;
2) параметры состояния системы в начальной и конечной точках процесса;
3) численные значения работы и теплообмена в процессе;
4) изменение значений внутренней энергии, энтальпии и энтропии рабочего
тела.
Простейшие термодинамические процессы
Простейшими термодинамическими процессами обычно считают изобарный,
изохорный и изопотенциальные процессы.
Изобарный процесс – процесс, в котором давление в системе остается постоянным ( p = idem; dp = 0 ).
Изобарный процесс графически представлен на рисунке 1.7.
В изобарных процессах происходит увеличение (1–2) или уменьшение (1–3)
удельного объема, что связано изменением температуры, обусловленным подводом или отводом теплоты.
Изобарные процессы подвода или отвода теплоты происходят в поршневых
двигателях внутреннего сгорания, газотурбинных, паросиловых, холодильных
установках и др.
Для идеального газа в изобарном процессе 1–2 значение удельного объема
T v
прямо пропорционально температуре рабочего тела 2 = 2 .
T1 v1
Термодинамика в технологических процессах…
33
Рис. 1.7. Простейшие термодинамические
процессы:
1–2, 1–3 – изобары; 1–4, 1–5 – изохоры;
1–6, 1–7 – изопотенциальные процессы
Удельная термодинамическая и потенциальная работы в изобарном процессе
определяются из соотношений
2
2
1
1
l1,2 = ∫ p dv = p ⋅ ( v2 − v1 ) , w1,2 = − ∫ v dp = 0 .
(1.92)
В случае идеального газа в силу pv = RT имеем
2
l1,2 = ∫ p dv = p ⋅ ( v2 − v1 ) = R(T2 − T1 ) .
(1.93)
1
Количество теплоты, подведенной к рабочему телу или отведенной от него
в изобарном процессе, определяется из выражения первого начала термодинамики
q1,2 = ∆u1,2 + l1,2 = ∆h1,2 .
(1.94)
Изохорный процесс – процесс, при котором объем системы или удельный
объем рабочего тела остается постоянным ( v = idem; dv = 0 ) графически изображен на рисунке 1.7.
В изохорных процессах происходит уменьшение (1–5) или увеличение давления (1–4), что связано с соответственным изменением температуры – подводом или отводом теплоты.
Изохорные процессы подвода или отвода теплоты происходят в поршневых
двигателях внутреннего сгорания, газотурбинных, паросиловых установках и др.
Для идеального газа в изохорном процессе 1–4 давление прямо пропорциоT
p
нально температуре рабочего тела 4 = 4 .
T1 p1
34
Часть 1
Удельная термодинамическая и потенциальная работы в изохорном процессе
определяются из соотношений
4
4
1
1
l1,4 = ∫ p dv = 0 ; w1,4 = − ∫ vdp = v ⋅ ( p1 − p4 ) .
(1.95)
В случае идеального газа в силу pv = RT имеем
4
w1,4 = − ∫∫ vdp = v ⋅ ( p1 − p4 ) = R(T1 − T4 ) .
1
2
1
(1.96)
Количество теплоты, подведенной к рабочему телу или отведенной от него
в изохорном процессе, определяется из выражения первого начала термодинамики
q1,4 = ∆h1,4 + w1,4 = ∆u1,4 .
(1.97)
Изопотенциальный процесс – термодинамический процесс изменения состояния системы (рисунок 1.7), при котором значение потенциальной функции
сохраняет неизменное значение ( П = pv = idem; d ( pv) = 0 ). Для идеального газа,
согласно уравнению Клапейрона ( pv = RT ), изопотенциальный процесс является и изотермическим ( T = idem ).
Удельная термодинамическая и потенциальная работы в изопотенциальном
процессе 1–6 определяются из следующих соотношений:
6
l1,6 = ∫ p dv =
1
6
6
1
1
6
dv
∫ p v⋅ v
= pv ⋅ ln
1
w1,6 = − ∫ v dp = − ∫ vp ⋅
v6
;
v1
(1.98)
1
dp
dp
p
= pv ⋅ ln 1 .
= pv ⋅ ∫
p
p
p6
6
(1.99)
Нетрудно заметить, что постоянство потенциальной функции pv = idem приводит к равенству логарифмов в выражениях (1.98) и (1.99) в силу того, что соблюдаv
p
ется условие 1 = 6 . Поэтому, в изопотенциальном процессе численные значения
p6 v1
термодинамической и потенциальной работ равны между собой.
Количество теплоты, подведенной к рабочему телу или отведенной от него
в изопотенциальном процессе определяется из выражения первого начала термодинамики по балансу рабочего тела
q1,2 = ∆u1,2 + l1,2 = ∆h1,2 + w1,2 .
(1.100)
Термодинамика в технологических процессах…
35
Уравнения перечисленных простейших и любых других термодинамических
процессов могут быть представлены одним уравнением. Это уравнение называется
уравнением политропы, а термодинамические процессы, описываемые этим уравнением, называются политропными.
Политропные процессы
Термин «политропа» представляет собой сочетание двух греческих слов
poly – много и tropos – путь, направление. Поэтому в политропном процессе
предполагается многообразие путей изменения параметров состояния системы.
Политропным процессом с постоянным показателем называется обратимый
термодинамический процесс изменения состояния простого тела, подчиняющийся
уравнению, которое может быть представлено в следующих формах:
pv n = idem = C ;
(1.101)
p1/ n ⋅ v = idem = C1 ;
(1.102)
p1v1n = p2 v2n .
(1.103)
где п – показатель политропы, являющий в рассматриваемом процессе постоянной величиной, которая может иметь любые частные значения – положительные
и отрицательные (-∞ ≤ n ≤ +∞).
Физический смысл показателя политропы п определяется после дифференцирования выражения (1.101)
v n ⋅ dp + n ⋅ v n −1 ⋅ pdv = 0 .
(1.104)
Из этого соотношения непосредственно следует
n=−
vdp δw w1,2
=
=
.
pdv δl
l1,2
(1.105)
Это значит, что постоянный показатель политропы определяется соотношением потенциальной и термодинамической работ в элементарном или конечном процессах. Значения этих работ могут быть определены графически
в координатах p − v (рисунок 1.8а).
В логарифмических координатах политропный процесс с постоянным показателем представляет собой прямую линию (рис. 1.8б)
log p + n ⋅ log v = log C .
(1.106)
36
Часть 1
а
б
Рис. 1.8. Политропа с постоянным показателем
Постоянный показатель политропы определяется как тангенс угла α наклона линии процесса к оси абсцисс (рисунок 1.8б)
p1
log p1 − log p2
p2
.
n=
=
v2
log v2 − log v1
log
v1
log
(1.107)
Из соотношения (1.104) следует, что для изобарного процесса n = 0,
для изохорного процесса n = ± ∞, для изопотенциального процесса n = 1.
Следует отметить, что не все термодинамические процессы в координатах
logv – logp описываются прямой линией, т.е. подчиняются уравнению политропы с постоянным показателем. Так процессы сжатия природного газа в центробежном нагнетателе трудно описать уравнением политропы с постоянным показателем [10, 21]. Любой термодинамический процесс можно описать уравнением
политропы с переменным показателем (рисунок 1.9).
Рис. 1.9. Политропа
с переменным показателем
Термодинамика в технологических процессах…
37
Расчет политропного процесса с переменным показателем вызывает необходимость ввести в рассмотрение три показателя процесса: истинный показатель
процесса n; первый средний показатель n и второй средний показатель m.
Истинный показатель процесса n определяется как соотношение элементарной
потенциальной работы δw к элементарной термодинамической работе δl , что
соответствует тангенсу угла наклона касательной, проведенной к кривой процесса
в точке процесса, к оси абсцисс α в логарифмической сетке координат.
n=
δw
vdp d log p
=−
=
= tgα.
δl
pdv d log v
(1.108)
Для конкретных процессов, характеризующихся неизменным значением
какой-либо функции или параметра состояния (z = p, v, T, u, h, s), истинный
показатель политропы определяется соотношением
nz = −
v  ∂p 
⋅  .
p  ∂v  z
(1.109)
Первый средний показатель политропы определяется как отношение конечных (интегральных) значений потенциальной и термодинамической работ
в процессе
w1,2
n=
.
(1.110)
l1,2
Второй средний показатель политропы численно равен тангенсу угла наклона
β секущей 1–2 к оси абсцисс в логарифмической сетке координат (рисунок 1.9)
m=
log p1 − log p2
log( p1 / p2 )
=
.
log v2 − log v1
log(v2 / v1 )
(1.111)
Непосредственно из последнего выражения (1.111) следует уравнение политропы с переменным показателем
p2
p1
m
1
v 
 p m v
⋅ 2  =  2  ⋅ 2 =1 .
 v1 
 p1  v1
(1.112)
При проведении инженерных расчетов в ряде случаев политропные процессы
с переменным показателем политропы приближенно описываются уравнением
политропы с постоянным показателем (1.101), значение которого принимается
равным первому среднему показателю политропы ( n = n ).
Работа в политропных процессах простых тел
Выражения конечных (интегральных) величин термодинамической и потенциальной работ в политропных процессах можно получить при сопоставлении их
элементарных значений:
38
Часть 1
δl = pdv, δ w = −vdp ;
(1.113)
δ l − δ w = pdv + vdp = d ( pv) .
(1.114)
После подстановки выражения для показателя политропы (1.105) в соотношение (1.114) получаем
δ l − δ w = (1 − n ) ⋅ δ l = d ( pv ) ,
(1.115)
или
δl =
1
⋅ d ( pv ) .
1− n
(1.116)
Интегрируя последнее выражение (1.116) с учетом того, что процесс подчиняется уравнению политропы с постоянным показателем n=idem, получаем следующее соотношение для определения удельной термодинамической работы
в конечном процессе (1–2)
2
2
1
1
1
⋅ d ( pv) =
⋅ ∫ d ( pv) =
⋅ ( p2 v2 − p1v1 ) .
1− n
1− n 1
1− n
1
l1,2 = ∫
(1.117)
Введем понятие характеристики процесса расширения или сжатия, определяемой соотношением
pv
τ1,2 = 2 2 .
(1.118)
p1v1
С учетом соотношений (1.105), (1.118), зависимости для определения удельной термодинамической и потенциальной работы в конечном процессе принимают следующий вид:
l1,2 =
(
)
p1v1
⋅ 1 − τ1,2 ;
n −1
w1,2 = n ⋅ l1,2 =
(1.119)
(
)
n
⋅ p1v1 ⋅ 1 − τ1,2 .
n −1
(1.120)
Соотношение для определения характеристики расширения или сжатия
в рассматриваемом процессе τ1,2 определяется с учетом зависимостей (1.101),
(1.102) и имеет следующий вид:
τ1,2
p 
pv
= 2 2 =  2
p1v1
 p1 
n −1
n
v 
=  1
v 
2
n −1
.
(1.121)
Термодинамика в технологических процессах…
39
Теплообмен в термодинамических процессах простых тел
Теплообмен в любом термодинамическом процессе изменения состояния простых тел может быть выражен в зависимости от величины термодинамической
или потенциальной работы процесса. При этом термодинамический процесс
в общем случае рассматривается как политропа с переменным показателем.
Расчетное выражение теплообмена для простых тел выводится на основе
рассмотрения выражения первого начала термодинамики
δ q = du + δ l.
(1.122)
Удельная внутренняя энергия для простых тел может быть представлена в виде
функции любых двух независимых параметров состояния. Примем, что u =и(p, v).
Тогда дифференциал внутренней энергии запишется в следующем виде:
 ∂u 
 ∂u 
(1.123)
du =   dv +   dp .
 dv  p
 dp  v
Последнее выражение (1.123) можно представить в виде
du =
1  ∂u 
1  ∂u 
⋅   ⋅ pdv +
⋅
⋅ vdp .
p  dv  p
v  dp  v
(1.124)
Введем следующие обозначения:
av =
1  ∂u 
⋅  ;
p  dv  p
1  ∂u 
ap = ⋅   .
v  dp  v
(1.125)
При этом выражение (1.124) примет вид:
du = av ⋅ δ l − a p ⋅ δ w = av ⋅ δ l − a p ⋅ n ⋅ δ l = (av − n ⋅ a p ) ⋅ δ l .
(1.126)
Сопоставляя соотношения (1.122) и (1.126), получим
δ q = (av − n ⋅ a p + 1) ⋅ δ l.
(1.127)
Для определения величин av и a p рассмотрим два термодинамических процесса:
1. Изоэнергетический процесс (u = idem, du = 0). Для этого процесса показатель политропы принимает значение n = nu.
Так как в изоэнергетическом процессе δ l ≠ 0 , из уравнения (1.126) следует
или
av − nu ⋅ a p = 0 ,
(1.128)
av = nu ⋅ a p .
(1.128а)
40
Часть 1
2. Адиабатный процесс (δ q = 0). В этом процессе показатель политропы
принимает значение n = k и называется показателем адиабаты.
В адиабатном процессе элементарная термодинамическая работа также не
равна нулю, поэтому из выражения (1.127) имеем
av − k ⋅ a p + 1 = 0 .
(1.129)
Сопоставляя соотношения (1.128) и (1.129), получаем следующие выражения:
ap =
1
,
k − nu
av =
nu
.
k − nu
(1.130)
С учетом полученных соотношений для определения av и ap, находим выражения для расчета удельных значений изменения внутренней энергии и теплообмена в элементарном процессе:
du =
nu − n
⋅ δl ,
k − nu
(1.131)
δq =
k −n
⋅ δl .
k − nu
(1.132)
Соотношения для расчета удельных значений изменения внутренней энергии
и теплообмена в конечном процессе имеют следующий вид:
∆u1,2 =
nu − n
⋅ l1,2 ,
k − nu
(1.133)
q1,2 =
k −n
⋅ l1,2 .
k − nu
(1.134)
Полученные соотношения (1.133), (1.134) позволяют в координатах p-v
построить области подвода и отвода теплоты, увеличения и уменьшения внутренней энергии (рисунок 1.10).
Некоторые характеристики важнейших термодинамических процессов приведены в таблице 1.2.
Термодинамика в технологических процессах…
Рис. 1.10. Процессы изменения состояния идеального газа
41
Термодинамика в технологических процессах…
42
Термодинамика в технологических процессах…
43
44
Часть 1
Термодинамика в технологических процессах…
45
Процессы изменения состояния идеального газа
При изучении процессов изменения состояния идеальных газов, наряду
с общими соотношениями по расчету термодинамических процессов (1.92) –
(1.134), следует использовать уравнение Клапейрона (1.23) и закон Джоуля
(1.77), в соответствии с которыми для идеального газа справедливы следующие
выражения:
если pv = idem , то T = idem ;
(1.135)
h = u + pv = u + RT = h (T ) ;
(1.136)
du = cv dT ;
(1.137)
dh = c p dT .
(1.138)
Из уравнений (1.135)÷(1.138) следует, что для идеального газа процессы
изопотенциальный (pv =idem), изотермический (T = idem), изоэнергетический
(u= idem) и изоэнталыпийный (h = idem) тождественны и, следовательно, показатели этих процеcсов равны
n pv = nT = nu = nh = 1 .
(1.139)
Характеристика расширения или сжатия процессов, в которых рабочим телом является идеальный газ, с учетом уравнения Клапейрона может быть определена по соотношению температур
τ1,2 =
p2 v2
T
= 2 .
p1v1
T1
(1.140)
Изменения удельных значений внутренней энергии и энтальпии идеального
газа в процессе в соответствии с законом Джоуля находится по следующим
формулам:
∆u1,2 = cvm ⋅ (T2 − T1 ) ;
(1.141)
∆h1,2 = c pm ⋅ (T2 − T1 ) .
(1.142)
Показатель адиабатного процесса для идеального газа определяется как соотношение изобарной и изохорной теплоемкостей
cp
cp
 δw 
 ∂h 
k = ns =  
= 
=
=
.
 δl  δq = 0
 ∂u  δq = 0
cv
cv
(1.143)
46
Часть 1
На основании закона Майера ( c p − cv = R ) показатель адиабаты для идеаль-
ного газа может быть определен из следующего соотношения:
k=
c p cv + R
R
= 1+
=
>1.
cv
cv
cv
(1.144)
Для идеального газа показатель изоэнергетического процесса nu = 1 и поэтому удельное количество теплоты в элементарном процессе может быть определено по формуле
k −n
δq =
⋅ δl .
(1.145)
k −1
На примере идеального газа произведем анализ термодинамических процессов (рисунок 1.10).
Адиабата ( δq = 0 ) является линией перемены знака теплообмена. При расширении газа термодинамическая работа δl > 0 и тогда любая политропа, расположенная правее адиабаты (n < k), находится в области подвода теплоты ( δ q > 0). Если политропа расширения будет находиться слева от адиабаты (n > k), то этот процесс будет характеризоваться отводом теплоты ( δ q < 0).
Таким образом, все термодинамические процессы, проходящие выше адиабаты, осуществляются с подводом теплоты и наоборот.
1.6. Круговые процессы (циклы)
Тепловые машины
Тепловыми машинами в термодинамике называются тепловые двигатели и
холодильные машины. Все тепловые машины работают циклически.
Круговыми процессами или циклами тепловых машин называются замкнутые
процессы, характеризующиеся возвратом системы (рабочих тел) в исходное состояние.
Различают прямые (циклы тепловых двигателей) и обратные (циклы холодильных машин) круговые процессы (рисунок 1.11).
Поскольку в результате кругового процесса система (рабочее тело) возвращается в исходное состояние, т.е. возвращаются в исходное состояние все параметры состояния, интегральное изменение любой функции состояния системы
будет равно нулю
(1.146)
∫ dz = 0,
где z = p; V(v); Т; U(и); H(h) и т.п.
Круговые процессы, в результате реализации которых получена полезная работа, осуществляются в тепловых двигателях, называются прямыми циклами и
в координатах p − V , T − s, h − s направлены по часовой стрелке (рисунок 1.11а).
Термодинамика в технологических процессах…
47
Рис. 1.11. Прямой (а) и обратный (б) циклы тепловых машин
Круговые процессы, в результате которых происходит охлаждение рабочих
тел до температуры ниже температуры окружающей среды, осуществляются
в холодильных машинах. Такие циклы называются обратными и направлены
против часовой стрелки (рисунок 1.11б).
Выражение первого начала термодинамики по внешнему балансу для цикла
записывается в следующем виде:
∫ δQ
*
= ∫ dU + ∫ δL* .
(1.147)
В связи с тем, что для цикла ∫ dU = 0, получаем следующее выражение первого начала термодинамики для цикла
∫ δQ
*
= ∫ δL* .
(1.148)
Циклы тепловых машин состоят из отдельных конечных процессов: нагрева,
расширения, отвода теплоты и сжатия рабочего тела. Если на графике цикла добавить две касательные адиабаты 1–2 и 3–4, то можно получить границы
процессов подвода и отвода теплоты (рисунок 1.11). Подвод теплоты происходит в процессе C-A-D в прямом цикле и в процессе D-B-C в обратном цикле.
Процессы, сопровождающиеся отводом теплоты – это процесс D-B-C в прямом
цикле и процесс C-A-D в обратном цикле.
48
Часть 1
Интегральное значение количества теплоты, получаемое рабочим телом
в цикле ( ∫ δQ* ), и работа в цикле ( ∫ δL* ) могут быть представлены в виде следующих соотношений:
= Q1*  − Q2* ;
(1.149)
=  L*ц  = L*расш  − L*сж .
(1.150)
∫ δQ
*
∫ δL
*
С учетом соотношений (1.149), (1.150) выражение первого начала термодинамики по внешнему балансу для цикла записывается в следующем виде:
 Q1* − Q2*  =  L*ц .
(1.151)
В циклах тепловых двигателей работа положительна ( L*ц > 0 ), а в циклах холодильных машин – работа цикла отрицательна ( L*ц < 0 ); при этом для них справедливо условие  Q1* >  Q2* .
Различают три вида циклов тепловых машин: обратимые, термодинамические и реальные.
В обратимых циклах тепловых машин отсутствует внешняя и внутренняя
необратимости.
В термодинамических циклах тепловых машин, в отличие от обратимых
циклов, рассматривается не вся система, включающая внешние источники теплоты, а только рабочее тело. При этом в процессах термодинамических циклов
отсутствует внутренняя необратимость, то есть все процессы таких циклов являются обратимыми ( δQ∗∗ = δL∗∗ = 0 ).
В реальных циклах тепловых машин имеют место внешняя и внутренняя
необратимости.
Внешняя необратимость определяется конечной разностью температур между рабочим телом и источниками теплоты. Этим объясняется то, что реальный
цикл теплового двигателя располагается внутри границ температур внешних источников, а реальный цикл холодильной машины – вне границ температур
внешних источников (рисунок 1.12).
Внутренняя необратимость обусловлена потерями энергии, связанными
с трением, завихрениями и т.д. в процессах цикла.
Эффективность любого цикла теплового двигателя определяется коэффициентом полезного действия (КПД).
Коэффициент полезного действия обратимого цикла теплового двигателя
численно равен отношению полученной работы к подведенному количеству теплоты и определяется следующим образом:
ηобр =
Lц обр
Q1 обр
.
(1.152)
Термодинамика в технологических процессах…
49
Рис. 1.12. Термодинамические схемы теплового двигателя (а) и холодильной машины
(б):
– обратимый цикл,
– реальный цикл
Термический коэффициент полезного действия термодинамического цикла
теплового двигателя находится из соотношения
ηt =
Lц
Q1
Q1 − Q2
Q
=1− 2 .
Q1
Q1
=
(1.153)
Коэффициент полезного действия реальных циклов тепловых двигателей численно равен отношению полученной работы к подведенному извне количеству
теплоты
η=
L*ц
Q1*
=
Q1* − Q2*
Q1*
=1−
Q2*
Q1*
.
(1.154)
Эффективность циклов холодильных машин оценивается холодильным коэффициентом χ . Холодильный коэффициент численно равен отношению количества теплоты, отводимой от холодного источника, к затраченной работе.
Для реального цикла холодильной машины холодильный коэффициент определяется соотношением
χ=
Q2*
L*ц
=
Q2∗
Q1∗ − Q2∗
,
(1.155)
50
Часть 1
для обратимого цикла холодильной машины
χобр =
Q2обр
Lц обр
=
Q2обр
Q1обр − Q2обр
,
(1.156)
а для термодинамического цикла холодильной машины
χt =
Q2
Lц
=
Q2
Q1 − Q2
.
(1.157)
При механическом сопряжении обратимых теплового двигателя и холодильной машины, соблюдая равенство абсолютных значений работ цикла, подводимой и отводимой теплоты, можно получить математическое условие обратимости цикла
χ обр =
или
Q2обр
Lц обр
=
Q1обр − Lц обр
Lц обр
(
Q1обр
=
Lц обр
)
ηобр = χобр + 1 = 1 .
−1 =
1
−1
ηобр
(1.158)
(1.158а)
Особое значение в термодинамике играет цикл Карно, являющийся основой
теории тепловых машин.
Цикл Карно
Французский инженер Сади Карно в 1824 г. предложил обратимый цикл тепловой машины, рабочим телом в котором является идеальный газ. Цикл Карно
осуществляется между двумя внешними источниками постоянных температур
Т1 и Т2 и состоит из двух адиабат и двух изотерм (рисунок 1.13).
Подвод теплоты от горячего источника производится на изотерме А-В при
температуре Т1, при этом рабочее тело – идеальный газ расширяется и совершается полезная работа. В процессе дальнейшего расширения по адиабате В-С
до температуры Т2 также совершается полезная работа. Для осуществления последующих процессов – сжатия C-D по изотерме Т2 с отводом теплоты к холодному источнику и адиабатного сжатия D-A до начальной температуры Т1 работа
затрачивается.
В силу того, что в цикле используется идеальный газ, для которого ранее
было установлен принцип существования энтропии, этот цикл можно также
изобразить и в координатах T-S (рисунок 1.13б).
Графически цикл Карно в T-S координатах представляет собой прямоугольник, так как изотермы и адиабаты в этих координатах изображаются прямыми
линиями.
Термодинамика в технологических процессах…
51
Рис. 1.13. Цикл Карно для теплового двигателя
Согласно принципу существования энтропии для идеальных газов (1.88) интегральные количество подведенной и отведенной теплоты в цикле Карно может
быть определено из следующих соотношений:
B
B
A
A
Q1 = ∫ T1dS = T1 ∫ dS = T1 ⋅ ( S B − S A ) ;
C
C
D
D
Q2 = ∫ T2 dS = T2 ∫ dS = T2 ⋅ ( SC − S D ) .
(1.159)
(1.159а)
Для замыкания цикла необходимо, чтобы итоговое изменение энтропии (как
функции состояния) в цикле было равно нулю
∫ dS
следовательно
= 0,
S B − S A = SC − S D = S2 − S1 = ∆S .
(1.160)
(1.161)
Количества подведенной и отведенной теплоты равны соответственно:
Q1 = T1∆S ,
(1.162)
Q2 = T2 ∆S ,
(1.163)
Lц = Q1 − Q2 = (T1 − T2 ) ⋅ ∆S .
(1.164)
а работа цикла составляет
52
Часть 1
Согласно определению КПД термодинамического цикла тепловых двигателей (1.153) выражение коэффициента полезного действия цикла Карно можно
представить в следующем виде:
ηtK =
Lц
Q1
=
(T1 − T2 ) ⋅ ∆S
T
=1− 2 .
T1 ⋅ ∆S
T1
(165)
Соответственно, холодильный коэффициент обратного цикла Карно для холодильной машины определяется соотношением
χtK =
T2
.
T1 − T2
(1.166)
Полученные соотношения (1.165) и (1.166) свидетельствуют о том, что КПД
и холодильный коэффициент обратимого цикла Карно зависят только от соотношения абсолютных температур горячего Т1 и холодного Т2 источников теплоты.
Анализ соотношения (1.165) показывает, что КПД цикла Карно возрастает
с увеличением температуры горячего и при понижении температуры холодного
источников.
Цикл Карно для теплотехники имеет большое значение. Он позволяет определить наивысшее значение термодинамического КПД теплового двигателя,
работающего в диапазоне значений температуры рабочего тела в процессах подвода Т1 и отвода T2 теплоты.
При этом цикл Карно является эталоном: с КПД цикла Карно сравнивают
КПД циклов реальных тепловых двигателей и определяют их термодинамическое совершенство.
1.7. Второе начало термодинамики
Как отмечалось выше, первое начало термодинамики представляет собой количественное выражение закона сохранения и превращения энергии, оно позволяет составить энергетический баланс исследуемых процессов, но не определяет
направление их протекания.
Условия осуществления и направленности протекания процессов определяются на основании второго начала термодинамики.
В совокупности первое и второе начало термодинамики являются фундаментом в построении теории тепловых машин и технической термодинамики в целом.
Второе начало классической термодинамики обычно формулируется как
объединенный принцип существования и возрастания некоторой функции состояния тел и сложных систем, названной энтропией.
Термин энтропия предложен Р. Клаузиусом: еn – в, внутрь и trope или tropos –
обращение, путь; в целом – обращение внутрь, мера обесценения энергии.
Термодинамика в технологических процессах…
53
Математическое выражение второго начала классической термодинамики
может быть представлено в виде следующего выражения:
dSизол =
δQ
T
≥0.
(1.167)
Н.И. Белоконь справедливо заметил, что принципы существования и возрастании энтропии различны по содержанию и значимости и предложил рассматривать эти принципы раздельно [3].
Принцип существования энтропии справедлив для равновесных термодинамических систем и распространяется на любые процессы – обратимые и необратимые.
Принцип существования энтропии и абсолютной температуры как термодинамических функций состояния равновесных систем, по терминологии проф.
Н.И. Белоконь, был назван вторым началом термостатики.
Принцип возрастания энтропии характеризует только наиболее вероятное
направление течения реальных процессов и, следовательно, имеет, несомненно,
меньшую область применения, чем принцип существования энтропии.
Принцип возрастания энтропии изолированных систем при протекании в них
реальных процессов Н.И. Белоконь назвал вторым началом термодинамики.
Второе начало термостатики
В качестве постулата второго начала термостатики используется утверждение, что «температура есть единственная функция состояния, определяющая
направление самопроизвольного теплообмена».
Для вывода математического выражения второго начала термостатики рассмотрим адиабатно изолированную систему, состоящую из термически сопряженных тел (рисунок 1.14).
Первое тело (I) – любое тело (например, реальный газ), совершает произвольные процессы – обратимые и необратимые, второе тело (II) – контрольное
тело – идеальный газ, совершает обратимый круговой процесс.
Оба тела в каждый момент имеют одинаковую температуру tI = tII = t.
Рис. 1.14. Адиабатно изолированная система двух термически сопряженных тел
54
Часть 1
Первое и второе тело осуществляют разнообразные процессы изменения
состояния, к ним извне подводится (или отводится) работа, между телами происходит теплообмен, но для адиабатно изолированной системы выполняется
обязательное условие
δQ = δQI + δQII = 0 .
(1.168)
Разделим уравнение (1.168) на некоторую функцию, зависящую только от
температуры τ(t). Для идеального газа эта функция равна абсолютной температуре τ(tII) = TII . С учетом равенства температур двух тел получаем
δQI
δQII
+
=0.
τ(t I ) τ(t II )
(1.169)
Так как тела I и II возвращаются в исходное состояние одновременно (согласно теореме теплового равновесия тел в равновесных круговых процессах)
последнее уравнение можно интегрировать по замкнутому контуру
δQI
δQ
+ ∫ II = 0 .
τ(t II )
I)
∫ τ(t
(1.170)
Второй интеграл по замкнутому контуру для идеального газа, как интеграл
функции состояния, равен нулю
δQII
= ∫ dS II = 0 .
)
II
∫ τ(t
(1.171)
Поэтому и первый круговой интеграл в уравнении (1.171) также равен нулю
δQI
= 0.
)
I
∫ τ(t
(1.172)
Если круговой интеграл равен нулю, то это значит, что подынтегральное
выражение представляет из себя полный дифференциал некоторой функции
состояния, названной энтропией ( S ), а функция τ(tI) является интегрирующим
делителем
δQI δQI
=
= dS I .
(1.173)
τ(tI ) TI
Так как тело I – любое тело и свойства тел I и II независимы, полученное
выражение (1.173) распространяется на все равновесные процессы изменения
состояния любых систем.
Выбранная функция τ(t), которая не зависит от вида тел, называется абсолютной температурой τ(t)= Т, а температурная шкала называется абсолютной
термодинамической.
Термодинамика в технологических процессах…
55
Таким образом, получаем математическое выражение второго начала термостатики – принципа существования энтропии и абсолютной температуры
для любых равновесных систем
δQ δQ* + δQ**
dS =
=
(1.174)
T
T
и для 1 кг системы
ds =
δq δq* + δq**
=
.
T
T
(1.175)
Второе начало термостатики утверждает принцип существования энтропии
и абсолютной температуры как функции состояния любой равновесной термодинамической системы, совершающей обратимые или необратимые процессы.
Следствия второго начала термостатики
Следствия второго начала термостатики широко применяются в термодинамических расчетах и формулируются на основе анализа его математического
выражения (1.174), (1.175).
Следствие I. Совместное выражение первого начала термодинамики и второго начала термостатики позволяет получить дифференциальное уравнение
термодинамики, которое связывает между собой все термодинамические свойства веществ


T ds= cv dT +   du  + p  ⋅ dv = cp dT +
  dv  T

 dh 

 dP  − v  ⋅ dp .
T


(1.176)
Следствие II. Координаты Т – S являются универсальными координатами
термодинамического теплообмена.
Рассмотрим
термодинамический
процесс 1-2 в координатах Т-S и выделим на нем элементарный участок
с температурой Т и изменением энтропии dS (рисунок 1.15).
Исходя из математического выражения второго начала термостатики
площадь под кривой элементарного
участка процесса равна подводимому
(отводимому) количеству теплоты
δQ = T⋅dS.
(1.177)
Рис. 1.15. Термодинамический процесс
в координатах T-S
При этом полное количество теплоты, подведенной или отведенной от системы в процессе 1-2, определяется следующим образом:
56
Часть 1
2
Q1,2 = ∫ T ⋅ dS .
(1.178)
1
Если из-под знака интеграла в соотношении (1.178) вынести среднюю температуру конечного процесса Tm , то количество теплоты в процессе может быть
определено по соотношению
Q1,2 = Tm⋅(S2 – S1).
(1.179)
Как видно из выражения (1.179) и рисунка 1.16, знак теплообмена определяется знаком изменения энтропии. Процессы, протекающие с увеличением
энтропии, сопровождаются подводом теплоты. Процессы, протекающие с уменьшением энтропии – отводом теплоты. Независимо от природы рабочего тела площадь под кривой процесса в координатах Т-S равна количеству подведенной или
отведенной теплоты.
Рис. 1.16. Теплообмен в термодинамических процессах
Следствие III. Адиабатный процесс является процессом изоэнтропийным.
Так как в адиабатном процессе теплообмен отсутствует (δQ = 0), то, согласно второму началу термостатики (1.174), в таком процессе изменение энтропии
dS = 0 (S = idem). Согласно этому следствию, показатель адиабатного процесса
k равен показателю изоэнтропийного процесса ns
k = ns .
(1.180)
Следствие IV. Коэффициент полезного действия и холодильный коэффициент термодинамических циклов тепловых машин не зависят от вида цикла и
природы рабочего тела, а определяются лишь средними абсолютными температурами рабочего тела в процессах подвода и отвода теплоты.
Термодинамика в технологических процессах…
57
Рассмотрим термодинамические циклы в координатах Т-S: прямой цикл
(цикл теплового двигателя) 1-А-2-В-1 (а) и обратный цикл (цикл холодильной
машины) 1-А-2-B-1 (б) (рисунок 1.17).
В процессе 1-А-2 теплота подводится к рабочему телу. Количество подводимой
теплоты соответствует на диаграмме горизонтально заштрихованной площади.
Вертикально заштрихованная площадь соответствует количеству отведенной теплоты от рабочего тела в процессе 2-В-1.
Рис. 1.17. Прямой и обратный циклы в координатах Т-S
Средние температуры рабочего тела в процессах подвода и отвода теплоты
в цикле теплового двигателя обозначим Тm1 и Тm2 соответственно (рисунок
1.17а). Согласно выражению (1.179), количества подведенной и отведенной теплоты определяется по следующим соотношениям:
2
Q1= ∫ TdS = Tm1 ⋅(S2 – S1) = Tm1 ⋅∆S1,2;
(1.181)
1
2
Q2= ∫ TdS = Tm2⋅⋅(S2 – S1) = Tm2 ⋅∆S1,2,
(1.182)
1
а коэффициент полезного действия любого термодинамического цикла теплового двигателя может быть найден из выражения
ηt = 1 −
Tm 2 ⋅ ∆S1,2
Q2
T
= 1−
=1 – m 2 .
Q1
Tm1
Tm1 ⋅ ∆S1,2
(1.183)
В результате аналогичных рассуждений получаем выражение для определения холодильного коэффициента термодинамического цикла холодильной
машины (рисунок 1.17б)
58
Часть 1
χt =
Tm 2 ⋅ ∆S1,2
Q2
Tm 2
=
=
.
Q1 − Q2
Tm1 − Tm 2
(Tm1 − Tm 2 ) ⋅ ∆S1,2
(1.184)
Полученные выражения (1.183), (1.184) свидетельствуют о том, что КПД
и холодильный коэффициент термодинамических циклов тепловых машин
определяются только средними абсолютными температурами рабочего тела
в процессах подвода и отвода теплоты.
Из уравнений (1.183), (1.184) следует также, что для любого термо-динамического цикла тепловых машин выполняется следующее соотношение:
ηt ⋅ (χt + 1) = 1) .
(1.185)
Следствие V. Коэффициент полезного действия и холодильный коэффициент цикла Карно всегда выше этих коэффициентов эффективности для любых
других термодинамических циклов тепловых машин, осуществляемых в одинаковом диапазоне предельных температур рабочего тела ( T1 , T2 ).
Это следствие вытекает из анализа соотношений по определению КПД цикла
Карно (1.165) и любого термодинамического цикла (1.183) теплового двигателя.
Вследствие того, что Т1 >Тm1 и Т2 < Тm2 (рисунок 1.17а),
ηtK > ηt .
(1.186)
Аналогичный вывод можно сделать и при сравнении холодильных коэффициентов обратных циклов
χtK > χt .
(167)
Рассматриваемое следствие утверждает, что цикл Карно является эталонным
циклом, по сравнению с которым можно определить термодинамическое совершенство любого цикла, осуществляемого в заданном интервале предельных значений температур рабочего тела.
Следствие VI. Изменение энтропии системы равно сумме изменений
энтропии всех тел, входящих в систему (теорема аддитивности энтропии).
Количество теплоты, полученное в элементарном процессе системой,
состоящей из r тел, можно определить из соотношения
r
δQ = ∑ δQi ,
(1.188)
i =1
что и подтверждает справедливость сформулированного следствия
dS =
r
r
δQ
δQ 1 r
= ⋅ ∑ δQi = ∑ i = ∑ dSi .
T
T i =1
i =1 T
i =1
(1.189)
Термодинамика в технологических процессах…
59
Второе начало термодинамики и его следствия
Все явления природы, связанные с превращением энергии имеют необратимый
характер. Обобщающим законом необратимости процессов в природе является
принцип возрастания энтропии изолированных систем. В основу второго начала
термодинамики положен постулат, утверждающих необратимость реальных процессов и имеющий ряд равнозначных формулировок:
• теплота не может самопроизвольно передаваться от холодного тела к более нагретому (Р. Клаузиус, 1850 г.);
• невозможно построить периодически действующую машину, вся деятельность которой сводилась бы к выполнению механической работы и
охлаждению теплового источника (В. Томсон – Кельвин, 1852 г.);
• любой реальный самопроизвольный процесс является необратимым
(М. Планк, 1922 г.);
• работа может быть непосредственно и полностью превращена в теплоту
путем трения или электронагрева.
Эти формулировки подчеркивают специфичность теплоты при ее превращениях. В теплоту полностью превращаются все виды энергии.
Превращения же теплоты всегда сопровождаются процессами, компенсирующими эти превращения. В тепловом двигателе такой компенсацией является
передача некоторой части теплоты источнику низшей температуры (холодному
источнику); в холодильных машинах такой компенсацией являются затраты
работы.
Анализ различных формулировок постулата второго начала термодинамики
приводит к некоторым весьма важным следствиям.
Следствие I. Невозможно осуществление полного превращения теплоты
работу, т.е. нельзя создать вечный двигатель второго рода (Perpetuum mobile
II рода) с коэффициентом полезного действия равным единице.
Это следствие вытекает из постулата в формулировке Томсона-Кельвина, согласно которой всякий тепловой двигатель должен иметь как минимум два источника теплоты с различной температурой Т1 и Т2. Следовательно, всегда  Q2*  > 0
и поэтому
Q2*
η = 1− * <1.
(1.190)
Q1
Следствие II. КПД реального теплового двигателя и холодильный коэффициент реальной холодильной машины, в которых осуществляются циклы при
температурах внешних источников Т1 и Т2, всегда меньше КПД и холодильного
коэффициента обратимых тепловых машин, циклы в которых осуществляются
между теми же внешними источниками:
η < ηобр ; χ < χобр .
(1.191)
60
Часть 1
Снижение КПД и холодильного коэффициента реальных тепловых машин
по сравнению с ηобр и χобр обратимой тепловой машины обусловлено прямым
превращением части работы в теплоту (необратимые потери работы) и наличием
конечной разности температур между внешними источниками теплоты и рабочим телом.
Следствие III. Абсолютный нуль по термодинамической абсолютной шкале
температур (шкала Кельвина) недостижим ( T ≠ 0 K ).
Это следствие вытекает из анализа соотношения по определению КПД цикла
Карно (1.165) и постулата второго начала термодинамики в формулировке Томсона-Кельвина.
Поскольку КПД любого теплового двигателя и даже работающего по эталонному циклу Карно всегда меньше 1
ηtК = 1 −
T2
< 1,
T1
(1.192)
и в случае, если горячий источник теплоты имеет положительную температуру
по термодинамической абсолютной шкале температур ( T1 > 0 ), справедливо
утверждение
T2 > 0 .
(1.193)
Математическое выражение второго начала термодинамики
Наиболее наглядно принцип возрастания энтропии доказывается на основе
изучения круговых процессов тепловых машин.
Рассмотрим реальный процесс 1-2 на диаграмме Т-S (рисунок 1.18).
Выделим на кривой процесса элементарный участок А-В и к нему добавим три обратимых процесса: адиабату
расширения В-С, изотерму отвода теплоты С-D и адиабату сжатия D-А.
Полученный цикл А-В-С-D, в целом, необратим из-за реального процесса 1-2, а следовательно его КПД
меньше, чем у цикла Карно
η =1−
Рис. 1.18. К доказательству второго начала
термодинамики
δQ2
δQ
*
1
≤1−
T2
.
T1
(1.194)
В выражении (1.194) справедлив знак неравенства, если рассматриваемый
цикл (А-В-С-D) необратим, и знак равенства, если рассматривается обратимый
цикл.
Термодинамика в технологических процессах…
61
После преобразования выражения (1.194), для любых циклов получаем:
δQ2
≥
δQ
*
1
δQ2
T2
δQ1*
T1
−
≥
T2
;
T1
δQ1∗
T1
δQ2
T2
(1.195)
;
(1.196)
≤ 0.
(1.197)
Учитывая то, что количество теплоты, подведенной к рабочему телу извне,
имеет положительный знак ( δQ1* = + δQ1* ), а количество теплоты, отведенной от
рабочего тела – отрицательно ( δQ2 = − δQ2 ), из выражения (1.197) получаем
следующее неравенство
δQ1* δQ2
(1.198)
+
≤0.
T1
T2
Для рабочего тела в обратимом процессе CD согласно II началу термостатики
δQ2
= dS2 .
(1.199)
T2
Согласно условию замыкания кругового процесса (A-B-C-D-A), интегральное
изменение любой функции состояния рабочего тела равно нулю, а, так как энтропия изменяется только в процессах A-B и C-D, это условие можно представить следующим образом:
∫ dS = dS1 + dS 2 = 0 .
(1.200)
Выражение (1.198) с учетом соотношений (1.199), (1.200) приобретает
следующий вид:
δQ1*
(1.201)
− dS1 ≤ 0
T1
или
δQ *
(1.201а)
dS1 ≥ 1 .
T1
Вследствие того, что при выводе рассматривался произвольный процесс,
и не было ограничений на свойства рабочего тела, результаты вывода
(выражение 1.201а) имеют самый общий характер.
62
Часть 1
Итоговое математическое выражение второго начала термодинамики
в дифференциальной и интегральной формах, как принципа возрастания
энтропии изолированных систем имеет следующий вид:
dS ≥
δQ*
;
T
(1.202)
2
δQ*
.
T
1
∆S1,2 = S2 − S1 ≥ ∫
(1.203)
Знак неравенства в выражениях (1.202), (1.203) справедлив в случае, когда
в системе происходят реальные необратимые процессы, а равенства – при протекании обратимых процессов.
Если совместить математические выражения второго начала термостатики
(1.174) и второго начала термодинамики (1.202) то получается следующее
соотношение:
dS =
δQ δQ* + δQ** δQ∗
=
≥
,
T
T
T
(1.204)
из которого вытекает следующее утверждение:
δQ**
> 0,
(1.205)
T
а при условии, что абсолютная температура всегда положительна (T > 0), непосредственно следует принцип необратимости внутреннего теплообмена
dS** =
δQ∗∗ > 0 .
(1.206)
Данное неравенство (1.206) свидетельствует о том, что внутренний теплообмен δQ ∗∗ в реальных процессах имеет только положительный знак, т.е. работа
и количество теплоты в действительных процессах всегда меньше работы и теплоты в обратимом процессе. Затраты работы на необратимые потери в реальных
процессах, равные количеству теплоты внутреннего теплообмена δL∗∗ = δQ∗∗ ,
однозначно способствуют росту энтропии.
Для изолированной системы, у которой отсутствует теплообмен с окружающей средой ( δQ∗ = 0 ), неравенства (1.202), (1.203) принимают вид
dSизол ≥ 0, S2 ≥ S1 .
(1.207)
Анализ выражения (1.207) наглядно показывает, что какие бы процессы не
протекали в изолированной системе, ее энтропия не может уменьшаться. При
протекании в изолированной системе необратимых процессов энтропия системы
Термодинамика в технологических процессах…
63
возрастает; если же в ней протекают обратимые процессы, то энтропия системы
остается неизменной.
Из анализа математического выражения второго начала термодинамики
(1.203) следует, что в том случае, когда в изолированной системе протекают самопроизвольные процессы, сопровождающиеся выравниванием температуры
различных ее частей, энтропия системы увеличивается. Отсюда следует, что энтропия является величиной, определяющей близость изолированной системы
к состоянию равновесия.
Все реальные процессы, происходящие в природе, необратимы и сопровождаются частичным переходом различных видов энергии в теплоту, которая рассеивается в пространстве. Обратный же переход теплоты в другие виды энергии
возможен только при наличии разности температур. Р. Клаузиус ввел энтропию
как меру «деградации» энергии. Направленность протекания процессов во Вселенной, по версии Клаузиуса, должна привести к тепловому равновесию, из которого Вселенная выйти самостоятельно не может. Состояние Вселенной, при
котором в ней устанавливается тепловое равновесие, было названо состоянием
«тепловой смерти Вселенной».
Следует отметить, что свои выводы Р. Клаузиус сделал, рассматривая Вселенную как изолированную систему. Современная наука опровергает это предположение.
Кроме того, математическое выражение второго начала термодинамики
и разнообразие процессов, протекающих во Вселенной, не исключают возможности существования процессов, имеющих отрицательный знак внутреннего теплообмена ( δQ ∗∗ < 0 ). Эти обстоятельства подвергают сомнению правомерность
теории Р. Клаузиуса о «тепловой смерти Вселенной».
1.8. Пары и парообразование
Процесс парообразования. Основные определения
При анализе режимов работы теплосиловых установок практически всегда
приходиться иметь дело с разного рода жидкостями и их парами.
Процесс парообразования и методика определения основных характеристик
процесса парообразования для всех жидкостей практически аналогичны, что дает возможность рассматривать процесс парообразования на примере воды, как
одного из наиболее распространенных веществ в природе.
Рассмотрим изобарный процесс парообразования 1 кг воды в координатах р – v
(рисунок 1.19).
В исходном состоянии ( а0 ) вода представляет из себя жидкость, с темпера-
турой t0 , значение которой ниже температуры насыщения ts1 , а давление воды
в этой точке равно р1.
В результате изобарного подвода теплоты в процессе ( а0 - а′ ) вода нагревается до температуры насыщения ts1 и в токе ( а′ ) начинается процесс кипения.
64
Часть 1
Процесс кипения протекает на участке а'- а" при постоянном давлении р1
и постоянной температуре ts1. В точке (а") вода полностью испаряется. Пар
в этом состоянии называется сухим насыщенным.
Рис. 1.19. Диаграмма состояний водяного пара в координатах p-v
На участке а'-а" вода находится в двух фазах и состоит из смеси кипящей воды
и сухого насыщенного пара. Эта двухфазная равновесная система называется
влажным насыщенным паром. При дальнейшем изобарном подводе теплоты сухой
насыщенный пар превращается в перегретый (а). Перегретый пар имеет температуру выше температуры кипения (насыщения) при данном давлении. В состоянии (а)
параметры перегретого пара имеют следующие значения: р1, tа > ts1, va.
Аналогичные процессы изобарного подвода теплоты к воде можно провести
при других давлениях р2, р3, и т. д. Соответствующие процессы изображаются
линиями b0 -b'-b"-b и с0- с'-с"-с. Точки, характеризующие состояния кипящей воды и сухого насыщенного пара при различных давлениях, соединяются плавными линиями.
Линия a'-b'-с' показывает зависимость удельного объема кипящей воды от давления насыщения v′ = f (p). Эта линия называется нижней пограничной кривой.
Точки на линии a"-b"-с" характеризуют состояние сухого насыщенного пара,
а кривая определяет зависимость удельного объема сухого пара от давления
v′′ = f(p) и называется верхней пограничной кривой. Пограничные кривые пересекаются в точке К, называемой критической.
Термодинамика в технологических процессах…
65
Параметры и функции состояния кипящей воды на нижней пограничной
кривой линии насыщения обозначаются одним штрихом, а сухого насыщенного
пара – двумя штрихами. Для однозначного определения состояния кипящей воды и сухого насыщенного пара достаточно знание давления р или температуры
насыщения ts, по значению которых в термодинамических таблицах водяного
пара можно найти свойства кипящей воды: v', u', h', s' и сухого насыщенного
пара: v", u", h", s".
В области между пограничными кривыми находится влажный насыщенный
пар. Каждой температуре насыщенного пара соответствует определенное давление, то есть между этими параметрами существует однозначная зависимость
ts = f ( p ) .
Для характеристики влажного насыщенного пара, помимо р или ts, в качестве
второй независимой переменной используется массовая концентрация сухого насыщенного пара в смеси, называемая степенью сухости или паросодержанием
x=
G ′′
G ′′
=
,
G ′ + G ′′ G
(1.208)
где G" – масса сухого насыщенного пара; G ′ – масса кипящей жидкости;
G – масса влажного насыщенного пара.
На нижней пограничной кривой x = 0 , а на верхней x = 1 .
Отношение массы кипящей жидкости к массе смеси (влажного насыщенного
пара) называется влагосодержанием
G′
G′
y =1− x =
=
.
(1.209)
G ′ + G ′′ G
Количество теплоты, которое необходимо подвести при постоянном давлении
к 1 кг кипящей жидкости для превращения ее в сухой насыщенный пар, называется
скрытой теплотой парообразования и обозначается символом r. Значение скрытой
теплоты парообразования определяется из математического выражения первого
начала термодинамики (1.64) применительно к изобарному процессу
r=
x =1
∫
x=0
δq p =
x =1
∫ dh = h′′ − h′ .
(1.210)
x= 0
С ростом давления или температуры кипения (насыщения) жидкостей величина скрытой теплоты парообразования r уменьшается и в критической точке
становятся равными нулю.
Свойства влажного насыщенного и перегретого пара
Влажный насыщенный пар является бинарной смесью. Свойства влажного
насыщенного пара зависят от давления, при котором он находится, от концентраций жидкой и парообразной фаз в системе, которые определяются значением
паросодержания x .
66
Часть 1
Известно, что объем V , внутренняя энергия U , энтальпия H и энтропия S
системы являются экстенсивными функциями, значения которых зависят от
массы вещества G .
Обозначим любую экстенсивную функцию Z , а ее удельное значение z . Тогда Z = z ⋅ G .
Для вычисления экстенсивной характеристики системы – влажного насыщенного пара, воспользуемся правилом аддитивности
Z = Z ′ + Z ′′ ,
(1.211)
где Z ′ и Z ′′ – экстенсивные характеристики кипящей воды и сухого насыщенного пара.
Выразим экстенсивные характеристики через соответствующие удельные
величины и после их подстановки в уравнение (1.211) получим
Gz = G ′z ′ + G ′′z ′′ .
(1.212)
Разделим члены уравнения (1.212) на массу влажного насыщенного пара G
и, с учетом соотношений (1.208), (1.209), получим выражение для определения
удельных значений характеристик влажного насыщенного пара
z = (1 − x) ⋅ z ′ + xz ′′ = z ′ + ( z ′′ − z ′) ⋅ x .
(1.213)
С помощью соотношения (1.213) можно записать соотношения для определения
основных параметров и удельных значений функций состояния влажного насыщенного пара (удельного объема, внутренней энергии, энтальпии и энтропии):
v = v′ + (v′′ − v′′) ⋅ x ;
(1.214)
u = u ′ + (u ′′ − u ′) ⋅ x ;
(1.215)
h = h′ + (h′′ − h′) ⋅ x = h′ + rx ;
(1.216)
s = s ′ + ( s ′′ − s ′) ⋅ x = s ′ +
r
⋅x.
Ts
(1.217)
Энтальпия, энтропия и внутренняя энергия перегретого пара определяются
из уравнений приращения этих параметров в изобарном процессе перегрева.
В связи с тем, что перегретый пар по своим свойствам близок к идеальному газу,
для изобарного процесса перегрева сухого насыщенного пара с некоторой долей
приближения справедливы следующие соотношения:
dh ≅ c p dT ; ds ≅ c p
dT
.
T
(1.218)
Термодинамика в технологических процессах…
67
После интегрирования соотношений (1.218) от температуры насыщения Тs до
температуры перегретого пара Т, получаем систему выражений для определения
удельных значений функций состояния перегретого пара:
s = s ′′ + cmp ⋅ ln
T
;
Ts
h = h′′ + c pm ⋅ (T − Ts ) = h′′ + c pm ⋅ ∆T ;
u = h − pv ,
(1.219)
(1.220)
(1.221)
где h′′ , s′′ – удельные значения энтальпии и энтропии сухого насыщенного пара;
c pm , cmp – первая и вторая средние удельные теплоемкости перегретого пара в интервале температур Т-Тs; v – удельный объем перегретого пара; ∆T – степень
перегрева.
Область перегретого пара заключена между критической изобарой и верхней
пограничной кривой x = 1 (рисунок 1.19).
Характеристики перегретых паров различных веществ v, h, s, u, сp и сv приводятся в термодинамических таблицах водяного пара в функции от давления
и температуры.
Рис. 1.20. Диаграмма состояния h-s водяного пара
68
Часть 1
При проведении термодинамических расчетов, наряду с аналитическими
методами, достаточно часто используются и графические методы расчета, проводимые с использованием энтропийных диаграмм (Т – s и h – s).
На этих диаграммах (рисунок 1.20) обычно нанесены линии нижней пограничной кривой (x=0), верхней пограничной кривой (х=1), изобары (p=idem), изохоры
(v=idem), изотермы (T=idem) и линии постоянной степени сухости (x=idem).
В области влажного насыщенного пара изобары и изотермы совпадают друг
с другом, так как ts = f ( p ) . При переходе в область перегретого пара изобары
и изотермы разделяются и каждая представляет собой отдельную кривую. В области влажного насыщенного пара изобары и изотермы изображаются в диаграмме Т- s
в виде горизонтальных прямых, а в диаграмме h – s – в виде наклонных прямых.
Наибольший практический интерес из этих диаграмм имеет диаграмма h – s
прежде всего в силу того, что удельная работа w1,2 в адиабатном процессе, исходя из первого начала термодинамики, по этой диаграмме определяется как
величина отрезка между начальными и конечными точками процесса h1 – h2.
В энтропийных диаграммах Т – s и h – s обратимые адиабатные (изоэнтропийные) процессы изображаются вертикальными отрезками.
В настоящее время для расчетов процессов с водяным паром широко используются электронные версии диаграммы h – s.
Диаграмма Т – s, в основном, пользуется для термодинамического анализа
различных циклов. Она позволяет по соответствующим площадям определить
количество теплоты, подведенного и отведенного к рабочему телу в рассматриваемом цикле и работу цикла.
При расчете процессов, в которых имеет место процесс парообразования, а
рабочими телами являются различные вещества, преимущественно используется
диаграмма h – s.
1.9. Истечение жидкостей, паров и газов.
Дросселирование
Процессы истечения жидкостей (сжимаемых и несжимаемых) определяют
работу многих устройств и агрегатов.
Процессы истечения являются процессами быстрых изменений состояния
вещества. В связи с этим их следует отнести к неравновесным необратимым
процессам.
В общем случае процессы истечения удобно рассматривать как теоретические обратимые процессы истечения: политропный или адиабатный, а переход
к реальным процессам осуществлять путем введения соответствующих поправочных коэффициентов, определяемых опытным путем.
Основной задачей при изучении процессов истечения является определение
линейной ( c ) и массовой скорости ( u ), расхода ( G ), параметров и функций состояния рабочего тела (p, v, t, u, h, s) вдоль канала.
Термодинамика в технологических процессах…
69
Общие соотношения
При обратимых процессах истечения жидкости из области большего давления р1 в область с меньшим давлением р2, потенциальная работа расходуется
на повышение кинетической энергии и на изменение высоты центра тяжести
потока (рисунок 1.21).
При адиабатном процессе истечения справедливо следующее соотношение:
δ q = dh + δ w = 0 . (1.222)
Дифференциальное уравнение
распределения удельной потенциальной работы, при отсутствии эффективной потенциальной работы
потока ( δw* = 0 ), будет выглядеть
следующим образом:
δw = −vdp = cdc + gdz . (1.223)
Уравнение распределения потенциальной работы в конечном
процессе
Рис. 1.21. Истечение жидкости из сопла
c22 c12
− + g ⋅ ( z2 − z1 )
(1.224)
2 2
дает возможность получить соотношение для определения теоретической линейной скорости истечения жидкости в выходном сечении сопла
w1,2 =
c2 = c12 + 2 w1,2 + 2 g ⋅ ( z2 − z1 ) .
(1.225)
Сопла или штуцеры, через которые происходят процессы истечения, обычно
выполняются короткими, поэтому работой, идущей на изменение центра тяжести потока 2 g ⋅ ( z2 − z1 ) , можно пренебречь. При этом условии теоретическая
линейная скорость истечения жидкости в выходном сечении сопла может быть
определена из соотношения
c2 = c12 + 2 w1,2 .
(1.226)
Скорость потока на входе в сопло может быть вычислена, в свою очередь,
как теоретическая скорость истечения из воображаемого нулевого состояния
(точка 0), в котором жидкость находится в состоянии покоя (с0=0), до заданного
начального состояния 1 (рисунок 1.22).
Параметры нулевой точки р0, v0, T0, h0, называются параметрами адиабатно
заторможенного потока.
70
Часть 1
Рис. 1.22. Процесс истечения газа в p-v диаграмме
Состояние адиабатно заторможенного потока находится графически на продолжении кривой процесса истечения в точке 0.
Площадь между кривой процесса истечения (0-1) и осью ординат – давление
(1-0-а-b) равна потенциальной работе в процессе 0-1 ( w0,1 ) (рисунок 1.22).
По аналогии с соотношением (1.226), линейная скорость потока во входном
сечении сопла определяется по формуле
c1 = c02 + 2 w0,1 = 2 w0,1 .
(1.227)
Подставив выражение (1.227) в соотношение (1.226), получаем
c2 = 2w0,1 + 2w1,2 .
(1.228)
Сумма потенциальных работ w0,1 и w1,2, представляет собой потенциальную
работу жидкости (сжимаемой или несжимаемой) в обратимом адиабатном процессе истечения от нулевого состояния (с0 =0), определяемого параметрами
торможения, до конечного давления p2 ( w0,2 = w0,1 + w1,2 ).
Следовательно, соотношение для определения линейной теоретической скорости обратимого адиабатного процесса истечения жидкости можно записать
следующим образом
с2 = 2w0,2 .
(1.229)
Термодинамика в технологических процессах…
71
Важной характеристикой потока является его массовая скорость, численно
равная секундному расходу жидкости через единицу площади поперечного сечения потока u , кг/(м2⋅с)
G
.
(1.230)
u=
f
Связь между массовой и линейной скоростью потока определяется соотношением
u2 = c2 ⋅ ρ2 .
(1.231)
В соответствии с принципом неразрывности потока, массовый расход вещества в любом поперечном сечении канала одинаков
G = c ⋅ρ⋅ f = u ⋅ f = idem .
(1.232)
Истечение несжимаемых жидкостей
Несжимаемая жидкость имеет практически неизменную плотность при любых давлениях и температурах ( ρ = idem ). Соотношения для определения
удельной потенциальной работы несжимаемой жидкости в обратимых процессах истечения (1-2, 0-2) имеют следующий вид:
2
1
p − p2
1
p − p2
w1,2 = −∫ vdp = ⋅ ∫ dp = 1
; w0,2 = 0
.
(1.233)
ρ 2
ρ
ρ
1
С учетом соотношений (1.233), теоретическая линейная скорость истечения
несжимаемой жидкости в выходном сечении сопла может быть определена из
следующих соотношений:
с2 = с12 + 2
с2 = 2
p1 − p2
;
ρ
p0 − p2
.
ρ
(1.234)
(1.235)
Массовая скорость потока несжимаемой жидкости на выходе из сопла, в соответствии с уравнением (1.231), находится по формуле
u2 = 2ρ ⋅ ( p0 − p2 ) .
(1.236)
Из соотношения (1.246) видно, что с увеличением по длине канала (x) разности давления (р0 – рx), повышается массовая скорость потока.
72
Часть 1
При этом, исходя из принципа неразрывности потока G = idem, площадь
G
проходного сечения канала f = , должна непрерывно уменьшаться. Следоваu
тельно, при истечении несжимаемой жидкости следует применять суживающиеся
сопла.
Истечение сжимаемых жидкостей
К классу сжимаемых жидкостей относятся вещества, плотность которых изменяется в зависимости от давления и температуры.
Газы (идеальные и реальные) рассчитываются как сжимаемые жидкости.
Потенциальная работа обратимого адиабатного процесса истечения газа от
нулевого до конечного состояния (0-2) находится из соотношения
w0,2
k −1


k


p
k
2

=
⋅ p0 v0 ⋅ 1 −    .
  p0  
k −1


(1.237)
После подстановки выражения (1.237) в соотношение (1.229) получаем формулу для расчета скорости истечения газа в выходном сечении сопла
c2 = 2w0,2 =
k −1


 p2  k 
2k

⋅ p0 v0 ⋅ 1 −  
.
  p0  
k −1


(1.238)
Для вычисления массовой скорости газа по уравнению (1.231) необходимо
знать плотность газа в выходном сечении сопла ρ2 , значение которой определяется из уравнения адиабаты p0 v0k = p2 v2k
1
1
ρ2 =
v0
 p k
⋅ 2  .
 p0 
(1.239)
После ряда несложных преобразований получим соотношение для расчета
массовой скорости газа в выходном сечении сопла
u2 =
k −1
2


2k p0   p2  k   p2  k
⋅ ⋅ 1−
⋅
.
k − 1 v0   p0    p0 


Введем в уравнение (1.240) коэффициент расхода λ
(1.240)
Термодинамика в технологических процессах…
λ=
k −1
2


k   p2  k   p2  k
⋅ 1−
⋅
k − 1   p0    p0 


73
(1.241)
и получим следующее соотношение для определения массовой скорости газа
на выходе из сопла
u2 = λ ⋅ 2
p0
.
v0
(1.242)
Анализ уравнения (1.240) для массовой скорости потока показывает, что
скорость газа изменяясь в зависимости от соотношения давлений в процессе истечения β = p2 / p0 , дважды обращается в нуль – при p2 / p0 = 1 (нет движения),
а также при p2 / p0 = 0 (истечение в вакуум, р2 = 0).
Следовательно, значение массовой скорости проходит через экстремум (рисунок 1.23).
Соотношение давлений, при котором массовая скорость истечения становится
максимальной umax , называется критическим ( β = p2 / p0 = βкр ), а режим истечения при этом условии называется критическим режимом истечения.
Рис. 1.23. Зависимость линейной и массовой скоростей истечения газа
от соотношения давлений в процессе истечения β
74
Часть 1
Для определения характеристик критического режима истечения обозначим
p
через ψ члены уравнения (1.240), зависящие от величины β = 2 (остальные
p0
члены зависят лишь от параметров исходного состояния и природы газа)
k −1
2


k
k




p
p
ψ = 1 −  2   ⋅  2  .
  p0    p0 


(1.243)
Введем в уравнение (1.243) дополнительно характеристику адиабатного
расширения газа
pv p 
τ= 2 2 = 2
p0 v0  p0 
k −1
k
.
(1.244)
Тогда
2
ψ = (1 − τ ) ⋅ τ k −1 ,
(1.245)
так как
2
k −1 k −1


2
k
 p2 


p
2

 = τ k −1 .
=
 p 
 p0  
0


2
k
(1.246)
Очевидно, что массовая скорость достигнет максимального значения при таком же значении βкр, что и функция ψ .
Условием максимума функции ψ (которая зависит от соотношения давлений и показателя адиабаты) является
 2

2
−1

dψ
2
 2

=
⋅ τ k  k −1  − 
+ 1 ⋅ τ k k −1 = 0 .
 k −1 
dτ k −1
(1.247)
Исходя из соотношения (1.247), после преобразования, находим критическое
значение характеристики адиабатного расширения сжимаемых жидкостей при
истечении τкр и критическое соотношение давлений βкр :
τ кр =
β кр = τ кр
k
k −1
2
;
k +1
 2 
=
 k + 1
(1.248)
k
k −1
.
(1.249)
Термодинамика в технологических процессах…
75
Подставив выражение (1.248) в соотношение (1.238), получим выражение
для расчета критической линейной скорости истечения
cкр = 2
k
k
⋅ p0 v0 ⋅ 1 − τ кр  = 2
⋅ p0 v0 .
k −1
k +1
(1.250)
С учетом того, что справедливо следующее выражение
p0 v0 =
( pv )кр
τ кр
,
(1.251)
получаем следующие соотношения для расчета критической линейной скорости
истечения:
cкр =
2k ( pv )кр ⋅ ( k + 1)
⋅
;
k +1
2
cкр = k ⋅ ( pv ) кр ,
(1.252)
(1.253)
где ( pv)кр – потенциальная функция сжимаемой жидкости в сечении сопла, где
наблюдается критическая скорость истечения (1.248), (1.251).
Для обратимого адиабатного истечения любой сжимаемой жидкости критическая линейная скорость равна местной скорости звука в данной среде
a = k ⋅ ( pv )кр .
(1.254)
Значение массовой критической скорости истечения определяется из соотношения
uкр = λ кр ⋅ 2
p0
.
v0
(1.255)
Коэффициент расхода λкр при критическом режиме истечения находится
при подстановке выражений (1.248) и (1.249) в соотношение (1.241)
λ кр =
k
k
2 / k − 2]
⋅ (1 − τ кр ) ⋅βкр 2 / k = βкр ⋅
⋅ (1 − τ кр ) ⋅βкр
.
k −1
k −1
(1.256)
Итоговое выражение для определения коэффициента расхода в критическом
режиме истечения λкр имеет следующий вид:
λ кр =
βкр
2
k ⋅ ( k + 1) .
(1.257)
76
Часть 1
Характеристики критического режима истечения сжимаемых жидкостей
приведены в таблице 1.3.
Таблица 1.3
Характеристики критического режима истечения сжимаемых жидкостей
Показатель
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
адиабаты k
Соотношение давлений
k
 2  k −1
βкр =
=

р0  k + 1
pкр
0,5847
0,5645
0,4443
0,4586
0,5457
0,5283
0,5120
0,4842
0,4957
Характеристика расхода
λ кр =
β кр
2
⋅ k ⋅ (k + 1)
0,4718
Для природных газов значения критических параметров истечения изменяются в диапазонах: τкр=0,85 – 0,90; βкр=0,53 – 0,56; λкр=0,48 – 0,46.
Процессы истечения газа и паров в суживающихся соплах или через отверстия в тонких стенках имеют целый ряд особенностей. Одной из особенностей
процессов истечения газа и паров в суживающихся соплах или через отверстия
в тонких является невозможность реализации закритического режима истечения.
На рисунке 1.23 приведены графические зависимости изменения линейной с
и массовой u скоростей истечения газов от соотношения давлений в процессе
истечения β = p2 / p0 .
Область диаграммы, в которой β кр < β < 1 называется областью докритического режима истечения. В этой области давление потока в выходном сечении сопла p2 равно давлению среды pср , в которую происходит истечение
( p 2 = pср ), а при снижении давления среды pср наблюдается увеличение массового расхода через сопло G , а также линейной c2 и массовой u2 скорости потока в выходном сечении сопла (рисунок 1.23).
После достижения критического соотношения давлений β = β кр наступает
критический режим истечения, при котором на выходе из сопла устанавливается критическое давление режима p2 = pкр = p0 ⋅ β кр . Этот режим характеризуется
критическими значениями массового расхода Gкр , линейной c2 = cкр и массовой
u 2 = u кр скорости истечения в выходном сечении сопла.
Дальнейшее снижение давления среды pср , в которую происходит ис-течение
вещества, не приводит к снижению давления на выходе из сопла, которое остается
неизменным и равным критическому давлению p 2 = p кр . Это явление называется
Термодинамика в технологических процессах…
77
«кризисом течения». В критическом режиме истечения скорость потока в выходном сечении сопла устанавливается равной местной скорости звука в данной среде c2 = cкр = a . С этой же скоростью (скоростью звука) в среде распространяется
любое возмущение.
Установившаяся в выходном сечении сопла критическая скорость истечения
cкр препятствует подходу волны разряжения к этому сечению сопла, что и предопределяет стабилизацию линейной скорости истечения на уровне критического значения даже при дальнейшем снижении давления среды. При данных условиях истечения ( pср < p 2 = pкр ) для увеличения кинетической энергии потока
используется не весь располагаемый перепад давления ( p0 − pср ), а только часть
его ( p0 − p2 ).
Таким образом, при истечении через суживающиеся сопла и отверстия
в тонких стенках возможны только два режима истечения – докритический
и критический. Процесс истечения через суживающиеся сопла и отверстия
в тонких стенках возможен только при выполнении следующего условия:
β кр ≤ β < 1 .
(1.258)
Для обеспечения закритического режима истечения, характеризующегося
условием ( c 2 > c кр = a ), необходимо дополнить суживающееся сопло расширяющейся частью, в выходном сечении которой возможно достичь значения
давления ниже критического ( p2 < pкр ). Такое комбинированное сопло называется соплом Лаваля.
В комбинированных соплах для увеличения кинетической энергии потока
может использоваться весь располагаемый перепад давления ( p0 − pср ).
Переход от выражений теоретических скоростей истечения с2, u2 к реальным
их значениям c2д , u2д осуществляется с помощью коэффициентов скорости φ и
расхода µ, определяемых опытным путем (значения φ и µ меньше единицы)
c2д = ϕ ⋅ c2 ;
u2д = µ ⋅ u2 .
(1.259)
Процессы истечения паров и, в частности, водяного пара в ряде случаев рассчитываются с использованием h-s диаграмм (рисунок 1.24).
В обратимом адиабатном процессе из первого начала термодинамики
при δq = 0 следует, что δw = − dh .
Используя уравнения первого начала термодинамики и распределения потенциальной работы (1.223) и учитывая, что для коротких насадок dz ≅ 0 , получим следующие соотношения:
если рассматривать процесс истечения 1–2 (рисунок 1.24)
78
Часть 1
c22 − c12
= h1 − h2 ,
2
(1.260)
Рис. 1.24. Процесс истечения водяного пара в h-s диаграмме
если же рассматривать истечение в процессе 0–1
с12 − с02
= h0 − h1 .
2
(1.261)
Отсюда энтальпия адиабатно заторможенного потока
h0 = h1 +
c12
.
2
(1.262)
В обратимом адиабатном процессе истечения 0–2 скорость в выходном сечении сопла может быть определена из соотношения
с2 = 2 ( h0 − h2 ) .
(1.263)
Разность энтальпий между сечениями 0 и 2 ( ∆h0 = h0 − h2 ) называется
раcполагаемым теплоперепадом.
В реальных процессах истечения при наличии необратимых потерь работы,
действительная скорость истечения c2д будет несколько меньше и может быть
определена из соотношения (1.259) или найдена с использованием внутреннего
КПД сопла η0i .
Термодинамика в технологических процессах…
79
Для определения внутреннего КПД сопла η0i следует оценить величину
работы необратимых потерь в действительных процессах истечения.
Работа необратимых потерь, обусловленная трением и завихрениями в реальном процессе истечения, может быть выражена соотношением
**
w0,2
= (1 − ϕ 2 ) ⋅
c22
,
2
(1.264)
где ξ = (1 − ϕ 2 ) – коэффициент потери энергии.
Работа необратимых потерь превращается в теплоту внутреннего теплообмена
**
**
w0,2
= q0,2
= ξ⋅ ( h0 − h2 ) ,
(1.265)
что приводит к увеличению значения энтальпии пара или газа на выходе
из сопла в действительном процессе истечения по сравнению с обратимым
адиабатным процессом
h2д = h2 + ξ ⋅ (h0 − h2 )
(1.266)
и снижению действительной скорости истечения по сравнению с теоретической
с2д = 2 ( h0 − h2д ) .
(1.267)
Таким образом, работа необратимых потерь, обусловленная трением и завихрениями в реальном процессе истечения, обуславливает отклонение реального
процесса истечения от обратимого адиабатного процесса в сторону возрастания
энтропии (рисунок 1.24).
Разность энтальпий в реальном процессе истечения ( ∆hi = h0 − h2д ) называется действительным теплоперепадом.
Степень совершенства действительного процесса истечения пара характеризуется внутренним КПД сопла
η0i =
h0 − h2д
.
h0 − h2
(1.268)
Внутренний КПД сопла η0 i используется для определения действительной
скорости истечения паров на выходе из сопла
с2д = 2 η0 i ⋅ ( h0 − h2 ) .
(1.269)
При магистральном транспорте газа потери газа достигают 1% от количества
транспортируемого газа. Определенная часть потерь связана с утечками газа.
80
Часть 1
«Скрытые» утечки газа через неплотности
Под понятием «скрытых» утечек газа понимают утечки в замкнутой системе
обвязок компрессорных станций при перетекании газа из области повышенного
давления в область пониженного без выхода его в окружающую среду (атмосферу). При работе газоперекачивающих агрегатов утечки наблюдаются через краны,
разделяющие обвязку трубопроводов на «высокую» и «низкую» стороны [13].
В этом случаи, при наличии неплотностей в данных кранах, газ перетекает
из области нагнетания в область всасывания, т.е. практически постоянно циркулируя в этой системе и вызывая дополнительные затраты энергии на перекачку
газа по компрессорной станции.
Учет возможных режимов работы компрессорной станции показывает, что
«скрытые» утечки газа, приводящие к рециркуляции его в обвязке КС, могут
иметь место в условиях только докритического режима истечения. Так как соотношение граничных давлений для нагнетателей практически не превышает
π ≤ 1,45 .
Поэтому соотношение давлений для метана до и после крана даже для полнонапорных центробежных нагнетателей
p2
1
1
= =
≈ 0,69 > β кр ≈ 0,54 .
p0
π 1, 45
(1.270)
Рассмотрим режим перетекания газа из области с параметрами р1 , Т1 в область с параметрами р2 , Т2 (р1 > р2 , T1 > T2). При этом будем считать, что система трубопроводов до и после «худых» кранов относительно внешней среды
полностью герметична, т.е. истечение газа в атмосферу не происходит.
При этом условии, в силу постоянства объемов обвязки трубопроводов газоперекачивающих агрегатов, можно записать
d (V ) = d (G ⋅ v) = v ⋅ dG + G ⋅ dv ,
(1.271)
dG
dv
=− .
G
v
(1.272)
что равнозначно
Соответственно, для трубопровода с большим и меньшим давлением газа
около «худого» крана справедливы и следующие соотношения:
dG1
dv
dG2
dv
=− 1;
=− 2 .
G1
v1
G2
v2
(1.273)
Принимаем процесс истечения газа через неплотности крана адиабатным,
а само изменение состояния газа в каждом из трубопроводов по обе стороны
крана подчиняется уравнению политропы с постоянным показателем (1.101).
Термодинамика в технологических процессах…
81
После дифференцирования уравнения политропы и сокращения на множитель v n −1 получаем:
v1 ⋅ dp1 + n1 ⋅ p1 ⋅ dv1 = 0 ;
v2 ⋅ dp2 + n2 ⋅ p2 ⋅ dv2 = 0 .
(1.274)
С учетом соотношения (1.273), уравнение (1.274) принимает вид:
dG1 =
V1
⋅ dp 1 ;
n 1⋅ p1 ⋅ v1
dG2 =
V2
⋅ dp 2 .
n 2 ⋅ p2 ⋅ v2
(1.275)
Так как dG1 < 0 и dp1 < 0 ; dG2 > 0 и dp2 > 0, а абсолютные величины
dG1 = dG2, находим связь между текущими значениями р1 и р2
V1
V2
⋅ dp 1 =
⋅ dp 2 .
n 1⋅ p1 ⋅ v1
n 2 ⋅ p2 ⋅ v2
(1.276)
Для реального газа, используя уравнение pv = zRT имеем:
dp1 V2 ⋅ n1 ⋅ z1 ⋅ T1
=
= idem .
dp2 V1 ⋅ n2 ⋅ z2 ⋅ T2
(1.277)
Полученное соотношение показывает, что в связи с утечками газа, перепад
давлений по «худому» крану, вызывает главным образом изменение температур
газа по его обе стороны.
Следует отметить, что изменением коэффициента сжимаемости газа и показателя политропы при перепадах давлений, которые характерны для докритического режима истечения, в первом приближении можно пренебречь.
Само истечение и движение газа вдоль стенки трубы, сопровождающиеся
снижением температуры газа, будут приводить и к изменению температуры
самой трубы около крана. Это позволяет использовать относительно простой
метод определения «скрытых» утечек газа по «худому» крану.
Утечки газа через неплотности из замкнутых объемов
Определение общей герметичности резервуаров, работающих под давлением
(p > 0,2 МПа), или обвязки компрессорной станции в целом (после ее остановки
без сброса газ в атмосферу) можно определить, принимая во внимание следующие условия.
Режим истечения через неплотности в этих условиях будет критическим.
Сами процессы прохождения газа через щели в стенках трубопровода или резервуара будут иметь следующие особенности (при сохранении начального давления истечения на постоянном уровне, что в условиях компрессорной станции
вполне правомерно, p0 = idem).
От начала истечения и до момента достижения критического режима истечения,
давление потока в выходном сечении будет равно наружному. После достижения
критического режима истечения, никакое дальнейшее снижение относительной величины давления в выходном сечении уже не изменяет ни относительной величины
82
Часть 1
давления в выходном сечении, ни массовой скорости истечения. Режим истечения
остается критическим и для определения утечек газа здесь должны использоваться
только соотношения критического режима истечения.
Для решения задачи по определению утечек газа из замкнутых резервуаров,
или при опрессовке всей обвязки компрессорной станции, будем считать, внутри
емкости состояние газа в каждый момент времени описывается уравнением
политропы с постоянным показателем p0 v0n = pv n = idem .
Используя условие (1.271), уравнение (1.272) можно преобразовать к виду:
dG
G dv
V dv
=− ⋅
=− 2⋅
,
τ
v dτ
v dτ
(1.278)
где τ – время.
Разделим уравнение (1.274) на время
v⋅
dp
dv
+ n⋅ p⋅
=0
τ
dτ
(1.279)
и решим его совместно с уравнением (1.278), получим:
dG
V
dp
.
(1.280)
=
⋅
τ
n ⋅ p ⋅v dτ
Уравнение (1.280) показывает, что массовый расход газа при истечении из
замкнутого объема прямо пропорционален изменению давления в этом объеме
во времени. Это значит, что темп падения давления газа в замкнутом объеме во
времени будет определять тангенс угла наклона (рисунок 1.25) соответствующей
линии в координатах p – τ (∆p/∆τ = tg ϕ).
р
р0
р1
р2
р3
р4
р5
τ0 τ1 τ2
τ3
τ4
τ5
τ
Рис. 1.25. Изменение давления
газа в резервуаре во времени
Термодинамика в технологических процессах…
83
Следовательно, если в эксплуатационных условиях через определенные отрезки времени осуществлять измерение давлений газа в исследуемом объеме, то
с учетом уравнения состояния реального газа (pv = zRT), уравнение (1.280) для
определения утечек газа принимает вид:
dG
V
=
⋅ tg ϕ .
τ
n ⋅ z ⋅ R ⋅T
(1.281)
Анализ уравнения (1.281) показывает, что наиболее сложной задачей при таком подходе к определению утечек из замкнутого объема является определение
численного значения показателя политропы n.
В эксплуатационных условиях, численное значение этого показателя может
быть определено по измеренным перепадам температур и давлений при проведении экспериментов:
T
ln 0
n −1
= T .
(1.282)
p0
n
ln
p
Определение численного значения показателя политропы по уравнению
(1.282) дает возможность вычислить эквивалентную неплотность во всем исследуемом объеме.
Действительно, для критического режима истечения, уравнение для определения массового расхода газа имеет вид
G
кр
= u кр ⋅ f ,
(1.283)
а с учетом соотношения (1.255) для критической массовой скорости и (1.281),
получим:
µ ⋅ λ кр ⋅ 2
p0
V
⋅f =
⋅ tg ϕ ,
v0
n ⋅ z ⋅ R ⋅T
(1.284)
отсюда непосредственно следует, что общая эквивалентная неплотность в
исследуемом объеме газа будет определяться следующим соотношением:
V
⋅ tg ϕ
f = n ⋅ z ⋅ R ⋅T
,
p0
µ ⋅ λ кр ⋅ 2
v0
(1.285)
где µ – коэффициент расхода газа через неплотности в стенках исследуемого
объема, зависит, в основном, от геометрии объекта и скорости движения.
84
Часть 1
Дросселирование. Эффект Джоуля-Томсона
Эффект падения давления потока рабочего тела в процессе преодоления им
(потоком) местного сопротивления называется дросселированием.
Причинами возникновения местных сопротивлений при движении потока
рабочего тела по каналам могут быть запорные, регулирующие и измерительные
устройства; повороты, сужение, загрязнение каналов и т.д.
В процессе дросселирования изменение скорости газа или пара очень мало
и можно принять скорость потока в сечении I-I, расположенном до местного сопротивления, равной скорости потока в сечении II-II после местного сопротивления (рисунок 1.26).
Рассмотрим процесс дросселирования, протекающий без внешней работы
*
( W1,2 = 0), в котором отсутствует теплообмен рабочего тела с внешней средой
*
( Q1,2
= 0).
Падение давления за местным сопротивлением (рисунок 1.26) обусловлено
диссипацией (потерей) энергии потока, расходуемой на преодоление этого сопротивления, то есть на работу необратимых потерь W1,2∗∗ .
Работа на преодоление сил трения, как известно, превращается в теплоту
**
внутреннего теплообмена Q1,2
.
I p1, T1, c 1
II p2, T2, c 2
I
II
∆p
p1
p2
Рис. 1.26. Схема процесса дросселирования газа или пара при преодолении потоком
местного сопротивления
С учетом перечисленных условий рассматриваемого процесса дросселирования, уравнение первого начала термодинамики для потока по балансу рабочего тела
δQ∗ + δQ∗∗ = dH + δW ∗ + δW ∗∗
(1.286)
примет вид
H2 – H1 = 0 или H = idem .
(1.287)
Термодинамика в технологических процессах…
85
Это значит, что рассматриваемый процесс дросселирования является процессом изоэнтальпийным: энтальпия рабочего тела до дросселя численно равна
энтальпии рабочего тела после дросселя. При течении внутри дросселя энтальпия газа или пара меняется.
Если рассматривать в качестве местного сопротивления сужение канала,
в суженном сечении поток ускоряется,
кинетическая энергия увеличивается
и энтальпия рабочего тела уменьшается (процесс 1 – 2') (рисунок 1.27).
После дросселя сечение потока
вновь возрастает, поток тормозится,
кинетическая энергия уменьшается, а
энтальпия увеличивается до прежнего
значения (процесс 2' – 2).
Рис. 1.27. Процесс дросселирования
Процесс дросселирования является
в h-s диаграмме
процессом необратимым; он всегда
сопровождается ростом энтропии рабочего тела.
Явление изменения температуры газа или жидкости при адиабатном дросселировании называется эффектом Джоуля – Томсона.
Различают дифференциальный и интегральный дроссель – эффекты. Величина дифференциального дроссель – эффекта определяется из соотношения
 ∂T 
Dh =   ,
 ∂p  h
(1.288)
где Dh – коэффициент дросселирования или коэффициент Джоуля – Томсона,
К/Па .
Интегральный дроссель-эффект определяется по соотношению
2
T2 − T1 = ∫ Dh ⋅ dp .
(1.289)
1
Коэффициент Джоуля – Томсона определяется из следующего уравнения,
выведенного из математических выражений первого начала термодинамики
и второго начала термостатики
 ∂v 
T ⋅  − v
 ∂T  p
Dh =
.
(1.290)
cp
Знак дифференциального дроссель-эффекта (коэффициента Джоуля – Томсона) определяется из анализа уравнения (1.290).
86
Часть 1
В зависимости от характера изменения температуры T, имеют место три вида
дроссель–эффекта (процесс дросселирования всегда происходит с падением
давления dp < 0):
1. Дроссель-эффект положительный (Dh > 0), в этом случае процесс дросселирования сопровождается снижением температуры рабочего тела (dT < 0);
2. Дроссель-эффект отрицательный (Dh < 0), в этом случае процесс дросселирования сопровождается повышением температуры рабочего тела (dT > 0);
3. Дроссель-эффект равен нулю (Dh = 0), если в процессе дросселирования
температура рабочего тела не изменяется. Нулевой дроссель-эффект наблюдается при дросселировании идеального газа.
Дросселирование обычно вызывает нагрев жидкости (нефти и воды) и охлаждение газа.
Ориентировочные значения значений коэффициентов Джоуля – Томсона для
нефти, газа и воды приведены в таблице 1.4 [8].
Таблица 1.4
Коэффициенты Джоуля-Томсона для компонентов пластовой жидкости
№№ п.п
Флюид
Dh , К/МПа
1
2
3
Нефть
Газ (метан)
Вода
-0,5
2÷5
-0,2
Как показывает опыт, для одного и того же вещества в зависимости от значений параметров состояния коэффициент Джоуля – Томсона Dh может иметь
положительные, отрицательные значения, а также быть равным нулю.
Состояние газа или жидкости, которому соответствует условие Dh = 0, называется точкой инверсий.
Геометрическое место точек инверсии на диаграмме состояния данного
вещества называется кривой инверсии.
Кривая инверсии описывается
уравнением
v
 ∂v 
  = .
∂T p T
Рис. 1.28. Обобщенная кривая инверсии
(1.291)
Для каждого вещества в диаграмме
р – v имеется своя кривая инверсии.
Закон соответственных состояний позволяет построить обобщенные кривые
инверсии для групп термодинамически
подобных веществ.
Для природных газов инверсионная диаграмма (рисунок 1.28) приведена на графике в виде зависимости
между приведенными давлением и
температурой π = f(τ).
Термодинамика в технологических процессах…
87
1.10. Процессы сжатия в компрессорах
Понятие компрессорные машины охватывает все возможные типы машин,
предназначенных для сжатия газов и паров. По принципу действия компрессоры
можно разбить на три основные группы: объемные, динамические (лопаточные)
и струйные. К объемным компрессорам относятся поршневые, ротационные
и винтовые. К лопаточным компрессорам относятся центробежные и осевые.
Струйные компрессоры из-за весьма низкого КПД не получили широкого распространения в промышленности.
Основными параметрами, характеризующими работу компрессорных машин, можно считать соотношение давлений сжатия, определяемое как отношение давления рабочего тела за компрессором к давлению рабочего тела перед
компрессором, и их подачу. Под подачей принято понимать секундное или часовое количество газа или пара, которое подает компрессор, выраженное в кубических метрах газа или пара при параметрах, которые они имеют на входе
в компрессор.
Поршневой одноступенчатый компрессор состоит из цилиндра (1); поршня
(2), совершающего возвратно–поступательное движение, двух клапанов (3) –
всасывающего и нагнетательного (рисунок 1.29).
р
р1
b
c
3
р2
n
2
4
d
VO
1
a
V
2
Рис. 1.29. Принципиальная схема
одноступенчатого
поршневого компрессора
и индикаторная диаграмма
3
1
Компрессор работает следующим образом. При движении поршня слева направо давление газа в цилиндре становится меньше давления во всасывающем
патрубке. Всасывающий клапан открывается и по мере движения поршня
в крайнее положение полость цилиндра заполняется газом теоретически по линии n–1. При обратном движении поршня справа налево всасывающий клапан
закрывается и поршень сжимает газ в цилиндре теоретически по кривой 1–2, пока давление в цилиндре не достигает давления р2, равного давлению газа в нагнетательной линии трубопровода. Открывается нагнетательный клапан и пор-
88
Часть 1
шень выталкивает газ в нагнетательную линию трубопровода при постоянном
давлении р2 (линия 2–3).
В начале нового хода поршня слева направо, вновь открывается всасывающий клапан, давление в цилиндре падает с р2 до р1 теоретически мгновенно
(линия 3–n) и процесс повторяется.
Для идеального компрессора объем газа в точках 3 и n равен нулю.
Площадь 1-2-3-п характеризует работу, расходуемую идеальным компрессором на сжатие газа за один оборот его вала.
Процессы, протекающие в реальных компрессорах, достаточно сложны, так как
при этом приходится учитывать влияние вредного пространства, обусловленного
тем, что поршень не может доходить в левом крайнем положении вплотную до
крышки цилиндра и поэтому между поршнем и крышкой цилиндра всегда остается
некоторый объем. В реальных компрессорах приходится учитывать потери давления при течении газа через клапаны, трение поршня о стенки цилиндра, утечки газа
через неплотности и т. д. Все это вместе взятое сильно изменяет вид индикаторной
диаграммы поршневого компрессора. В частности, из-за наличия сжатого газа
во вредном пространстве при движении поршня слева направо, давление газа в цилиндре изменяется по линии 3–4, а не мгновенно по линии 3–n.
Всасывающий клапан открывается не при давлении р1, а при давлении, которому соответствует точка d.
То же самое относится к работе нагнетательного клапана, который открывается при давлении несколько большем, чем давление р2.
Анализируя работу компрессора по индикаторной диаграмме, нельзя говорить, как это иногда делается, о круговом процессе (или цикле) компрессора,
потому что в компрессоре осуществляется только один процесс сжатия по линии
1–2 (или по линии а–b в реальном компрессоре).
При анализе термодинамического процесса сжатия газа в компрессоре
основной интерес обычно представляет определение работы, затрачиваемой
на сжатие газа, и конечной температуры процесса сжатия.
Удельную работу процесса сжатия можно найти из уравнения первого начала термодинамики, записанного для потока. При этом полагают, что процесс
сжатия в компрессоре происходит при следующих условиях: теплообмен с окружающей средой весьма мал и, следовательно, q ∗1,2 = 0 ; скорости движения
газа во всасывающем и нагнетательном патрубках равны с1 = с2; изменением
высоты центра тяжести потока можно пренебречь z1=z2; необратимые потери
работы отсутствуют w1,2∗∗ = 0 . При этих условиях уравнение упрощается и
удельная работа, затрачиваемая на сжатие 1 кг газа или пара в компрессоре, будет определяться соотношением
w1,2 = h1 − h2 .
(1.292)
Термодинамика в технологических процессах…
89
Для идеального газа выражение (1.292) принимает вид
w1,2 = h1 − h2 = c p ⋅ (T1 − T2 ) ,
(1.293)
где cp – удельная изобарная теплоемкость газа; Т1, Т2 – начальная и конечная
температуры процесса сжатия.
Величина w1,2 – отрицательная, так как при сжатии приходится затрачивать
работу, однако для удобства расчетов, ее определяют, как положительную –
по абсолютному значению.
Из соотношения (1.293) видно, что удельная работа сжатия по абсолютной
величине равна увеличению энтальпии сжимаемого газа или пара
w1,2 = h2 − h1 = c p ⋅ (T2 − T1 ) .
(1.294)
Если обозначить массовый расход газа через компрессор составляет G кг/с,
то мощность, которую затрачивают на сжатие газа в компрессоре, определяется
следующим образом:
N = G ⋅ ( h2 − h1 ) ;
для реального газа
идеального газа
(1.295)
N = G ⋅ c p ⋅ (T2 − T1 ) .
(1.296)
Полученные уравнения справедливы как для поршневых, так и для лопаточных машин, поэтому процессы сжатия газа в поршневых или лопаточных машинах с термодинамической точки зрения идентичны.
Уравнения справедливы для всех реальных газов, а также для определения
работы и мощности, затрачиваемых в насосах при перекачке жидкостей.
Для обратимого адиабатного процесса удельная работа сжатия идеального
газа определяется из соотношения
w1,2
k −1


 T2 
 p2  k

= c p ⋅ (T2 − T1 ) = с p ⋅ T1 ⋅  − 1 = с p ⋅ T1 ⋅   − 1 =
 p1 

 T1 


(1.297)

p 
k
=
⋅ p1v1 ⋅  2 

k −1
 p1 

k −1
k


p 
k

−1 =
⋅ RT1 ⋅  2 
 k −1
 p1 


k −1
k

− 1 .


Работа сжатия газа в реальном процессе определяется после введения понятия внутреннего относительного КПД компрессора ηic, характеризующего необратимые потери при сжатии
90
Часть 1
k −1


k


p
k
1
1
2

wi =
w1,2 =
⋅
⋅ RT1   − 1 .
 p1 

ηic
ηic k − 1


(1.298)
В реальном компрессоре из-за необратимых потерь линия процесса сжатия
идет правее линии обратимого процесса (рисунок 1.30). Это связано с тем, что
необратимые потери работы переходят в теплоту внутреннего теплообмена
δw** = δq ** ≠ 0 и энтропия при этом возрастает.
Отношение потенциальных работ w1,2 a и w 1, 2 в процессах сжатия 1–2а и 1–2
характеризует внутренние необратимые потери и определяет относительный
внутренний КПД компрессора
w1,2 a
ηi ,к =
<1.
(1.299)
w1,2
На рисунке 1.31 видно, что переход от адиабатного процесса сжатия (1–2а)
к изотермическому (1–2u) приводит к уменьшению работы сжатия и наоборот.
Для изотермического процесса удельная работа обратимого сжатия идеального газа может быть определена по формуле
w1,2 = p1v1 ⋅ ln
Рис. 1.30. Процесс сжатия в компрессоре
в диаграмме h-s
p1
p
= RT1 ⋅ ln 1 .
p2
p2
(1.300)
Рис. 1.31. Процесс сжатия в компрессоре
при различных показателях процесса
Реализация изотермического процесса в компрессорах, при проведении которого необходимо постоянно отводить теплоту, чтобы температура газа в процессе ос-
Термодинамика в технологических процессах…
91
тавалась неизменной, практически трудно осуществима. Изотермический процесс
сжатия является как бы эталонным, к которому стремятся приблизить реальный
процесс сжатия газа в компрессорах.
Термодинамический процесс многоступенчатого компрессора
При высоких степенях сжатия газа в одноступенчатом компрессоре в конце
процесса температура газа достигает весьма высокого значения, что нежелательно, в частности, из-за опасности воспламенения масла в системе смазки. Поэтому для получения газа высокого давления используют многоступенчатые
компрессоры, представляющие собой несколько последовательно соединенных
одноступенчатых компрессоров.
Между отдельными ступенями устанавливают теплообменники, обеспечивающие охлаждение газа, сжатого в предыдущей ступени (рисунок 1.32).
Рис. 1.32. Схема двухступенчатого компрессора:
1 – первая ступень сжатия (компрессор низкого давления);
2 – промежуточный холодильник; 3 – вторая ступень сжатия
(компрессор высокого давления)
Газ при давлении р1 через впускной клапан поступает в компрессор низкого
давления (1), где сжимается политропно по линии 1–2 с некоторым отводом теплоты через стенки компрессора (рисунок 1.33а). Сжатый газ поступает в холодильник (2), где, проходя по змеевику, он охлаждается проточной водой до первоначальной температуры Т1 (2–2') и входит в компрессор высокого давления
(3). Здесь газ вновь сжимается с некоторым отводом теплоты (2'–3) и подается в
нагнетательную линию.
Промежуточное охлаждение газа в холодильнике дает существенный выигрыш
в работе, измеряемой площадью 2-2'-3-3' в координатах р–v (рисунок 1.33а).
Теплота, отданная газом в холодильнике, определяется площадью 2-2'-с-b
в координатах Т–s (рисунок 1.33б).
Для получения наименьшей работы сжатия при проектировании многоступенчатых компрессоров стремятся, во-первых, обеспечить равенство температур газа
на входе во все ступени компрессора и, во-вторых, обеспечить равенство работ
сжатия по всем ступеням компрессора. Последнее условие можно выполнить,
если степень повышения давления каждой ступени компрессора одинакова.
92
Часть 1
а
б
Рис. 1.33. Диаграмма сжатия газа в двухступенчатом компрессоре
в координатах p-v (а) и T-s (б)
Под степенью повышения давления понимается отношение давления газа
на выходе из ступени к давлению на входе в ступень, т. е.
π = p2 p1 .
(1.301)
Если в компрессоре не две, а т ступеней, то распределение давлений между
ступенями идеального компрессора должно отвечать условию
(1.302)
π1 = π 2 = ... = π m = m π .
Таким образом, зная начальное рн, и конечное рк давления газа в компрессоре, можно определить общее соотношение давлений сжатия π = рк / рн и подсчитать давления сжатия по ступеням. Затем по уравнению подсчитать работу
сжатия в каждой ступени и, просуммировав работы сжатия по ступеням, определить общую работу сжатия по компрессору в целом.
Чем больше ступеней сжатия в многоступенчатом компрессоре с промежуточным охлаждением рабочего тела, тем ближе процесс приближается к изотермическому и тем сложнее и дороже компрессор.
1.11. Циклы двигателей внутреннего сгорания
Термодинамические циклы тепловых газовых двигателей имеют следующие
особенности:
• все процессы являются обратимыми и протекают с одним и тем же количеством рабочего тела;
• химический состав рабочего тела постоянен;
• процессы сжатия и расширения рабочего тела являются адиабатными;
Термодинамика в технологических процессах…
93
• подвод теплоты к рабочему телу осуществляется от горячего источника;
• теплота от рабочего тела передается к холодному источнику;
• теплоемкость рабочего тела не зависит от температуры;
• рабочее тело – идеальный газ.
Характеристиками термодинамических циклов тепловых двигателей являются:
• степень сжатия;
• степень повышения давления;
• степень предварительного расширения;
• соотношение давлений сжатия.
Циклы поршневых двигателей внутреннего сгорания
Анализ круговых процессов показывает, что термический КПД цикла – основная характеристика эффективности двигателя, зависит от средней температуры рабочего тела в процессе подвода теплоты. Поэтому в качестве рабочего
тела в двигателе используются продукты сгорания, полученные при сжигании
жидкого или газообразного топлива. Поршневыми двигателями внутреннего
сгорания (ДВС) называются двигатели, в которых топливовоздушная смесь сжигается в цилиндрах, где возвратно-поступательно двигается поршень.
Несмотря на то, что цикл Карно имеет наивысший КПД, в реальных машинах он не реализуется. Дело в том, что цикл Карно, будучи сильно растянутым в
координатах р–v, связан с весьма большими значениями удельного объема и
давления (рисунок 1.34).
Отношение объема цилиндра к объему камеры сгорания Vc / Va = vc/va (эта
величина в поршневых ДВС называется степенью сжатия ε ), работающего
по циклу Карно, достигает 400, а давление в точке а – p = 280 – 300 МПа. Двигатель с такими параметрами нереален, ибо давление в цилиндрах современных
ДВС редко превышает 10 МПа, а степень сжатия 18–22. Кроме того, работа, совершаемая в цикле Карно, очень мала и двигатель практически будет работать
только для самообслуживания (на себя).
Рис. 1.34. Цикл Карно
в координатах p-v
94
Часть 1
Для снижения давления в точке а и степени сжатия цикл видоизменяют: отвод
теплоты осуществляют не по изотерме с –d, а по изохоре c1 – d; подвод теплоты
осуществляют не по изотерме a–b, а по изохоре a1 – b или по изобаре a2 – b.
В соответствии с этими изменениями, из цикла Карно, как эталонного, получают два простых термодинамических цикла ДВС: цикл с подводом теплоты
при постоянном объеме – цикл Отто, состоящий из двух изохор и двух адиабат
(a1-b-c1-d-a1) и цикл с подводом теплоты при постоянном давлении – цикл Дизеля, состоящий из изобары a2–b, изохоры с1–d и двух адиабат b–c1 и d–a2 (a2-b-c1d- a2) (рисунок 1.34).
Полученные циклы имеют термические КПД меньше, чем КПД цикла Карно.
Однако, двигатели, которые работают по этим циклам, характеризуются меньшими потерями на трение и реально имеют больше КПД.
Работа поршневых ДВС обычно оценивается с помощью индикаторной диаграммы, которая показывает взаимосвязь давления и объема в цилиндре двигателя при движении поршня.
При движении поршня от внутренней мертвой точки М1 к наружной мертвой
точке М2 (рисунок 1.35) клапан I открывается и в цилиндр двигателя засасывается заранее приготовленная в устройствах двигателя смесь воздуха и топлива (в
бензиновых и газовых двигателях) при давлении р1 (линия 0–а).
При движении поршня в обратном направлении клапаны I и II закрыты и
смесь сжимается по адиабате а – b до давления р2. Объем уменьшается до V0,
равного объему камеры сгорания цилиндра.
В точке M1 происходит воспламенение смеси от электрического разряда и,
поскольку рабочая смесь уже заранее подготовлена и хорошо перемешана, она
сгорает достаточно быстро и теоретически при постоянном объеме. Цикл Отто
иногда называют циклом быстрого сгорания.
Рис. 1.35. Теоретическая диаграмма цикла Отто
Термодинамика в технологических процессах…
95
Выделившаяся теплота продуктов сгорания при v = idem вызывает резкое
повышение давления и температуры в цилиндре b–с. Образовавшиеся продукты
сгорания адиабатно расширяются с–d, совершая полезную работу. В точке М2
открывается выхлопной клапан II и продукты сгорания выбрасываются в атмосферу. Считают, что теоретически выхлоп осуществляется в процессе d–а.
Оставшиеся в цилиндре двигателя газы при атмосферном давлении р1 выталкиваются поршнем в атмосферу, когда он идет от точки М2 до точки М1 (а–0).
Затем цикл повторяется.
Замкнутый контур a-b-с-d-а теоретически характеризует работу двигателя
за один цикл при сгорании одной порции топлива.
Эффективность циклов ДВС и факторов, влияющих на работу двигателей,
удобно и наглядно оценивать в координатах p-v, Т–S (рисунок 1.36) на базе анализа работы термодинамических циклов тепловых двигателей, хотя реальные
двигатели и не работают по таким циклам.
Процесс 1–2 в цикле Отто характеризует адиабатное сжатие рабочего тела,
процесс 2–3 – изохорный подвод теплоты q1, процесс 3–4 – адиабатное расширение и процесс 4–1 – изохорный отвод теплоты q2.
Полезная работа в цикле равна разности подведенной и отведенной теплоты
lц = q1 − q2 и численно равна площади (1-2-3-4-1).
Степень сжатия цикла весьма сильно влияет на КПД цикла. Чем выше степень сжатия, тем выше КПД цикла.
Действительно, если в цикле Отто сжатие вести до точки 2', а подвод теплоты – по изохоре 2'–3', то цикл 1-2'-3'-4 будет иметь большую степень сжатия,
чем исходный цикл (рисунок 1.36).
Рис. 1.36. Цикл Отто в координатах p-v (а) и T-s (б)
96
Часть 1
При этом увеличивается количество теплоты, подводимой к рабочему телу
в цикле q1 , при неизменном значении количества теплоты, отводимой от рабочего тела в цикле q2 , что приведет к росту работы цикла, а, следовательно,
и термического КПД цикла
q
ηt = 1 − 2 .
(1.303)
q1
Это значит, что КПД цикла Отто растет с увеличением степени сжатия. Однако возможности повышения степени сжатия в цикле Отто в настоящее время
практически исчерпаны.
Степень сжатия в таких циклах равна ε = 10–12 и дальнейшее ее повышение
невозможно из-за самопроизвольного воспламенения топливной смеси на линии
сжатия до того, как поршень подойдет к внутренней мертвой точке M1. Самопроизвольное воспламенение топлива возможно из-за чрезмерного повышения
температуры смеси в процессе сжатия.
Степень сжатия можно значительно увеличить, если в цилиндре двигателя
сжимать не топливовоздушную смесь, а чистый воздух, а необходимое количество топлива вводить в цилиндр в конце процесса сжатия, когда температура
воздуха становится уже достаточно высокой ( ≈ 500 – 600 ºС), обеспечивая
самовоспламенение впрыскиваемого топлива, исключая необходимость иметь
запальное устройство.
Подобная реализация процесса наблюдается в идеализированном цикле, который называется циклом Дизеля или циклом медленного сгорания.
Такое название связано с тем, что подача топлива, его испарение, перемешивание с воздухом и сам процесс сгорания требуют определенного времени.
Цикл Дизеля (рисунок 1.37) состоит из процесса адиабатного сжатия
1–2, изобарного подвода теплоты 2–3, адиабатного расширения 3–4 и изохорного отвода теплоты 4–1.
Степень сжатия в двигателях, работающих по циклу Дизеля, составляет
v
ε = 1 = 14 − 20 .
v2
Сравним теперь эти циклы при одинаковых максимально возможных давлениях в цилиндрах двигателя, что соответствует равенству максимальных температур в конце процесса сгорания топлива, когда общей у них оказывается не
точка 2, а точка 3 (циклы 1-2'-3-4 и 1-2-3-4).
Количество отведенной теплоты q2 в сопоставляемых циклах опять одинаково и определяется площадью 1-4-6-5 (рисунок 1.37б).
В этом случае количество теплоты q1, подводимой в цикле Дизеля по изобаре
2–3, будет больше, чем количество теплоты, подводимой в цикле Отто по изохоре
2'–3 и, следовательно, КПД цикла Дизеля, в условиях одинакового максимально
возможного давления, больше, чем КПД цикла Отто.
Термодинамика в технологических процессах…
а
97
б
Рис. 1.37. Циклы Отто и Дизеля в координатах p-v (а) и T-s (б)
Подачу топлива можно осуществлять так, что одна его часть будет сгорать
при постоянном объеме, а другая – при постоянном давлении. Такой цикл смешанного сгорания топлива называется циклом Тринклера (рисунок 1.38). Из сопоставления рассмотренных циклов видно, что циклы со сгоранием при постоянных объеме и давлении являются частными случаями смешанного цикла.
Из диаграммы (рисунок 1.38) видно, что цикл со смешенным подводом теплоты
занимает по эффективности промежуточное положение между циклами Отто и Дизеля как в условиях сравнения при одинаковой степени сжатия ε, так и при сравнении по условию одинакового максимального давления в цилиндре двигателя.
а
б
Рис. 1.38. Цикл смешанного сгорания в координатах p-v (а) и T-s (б)
98
Часть 1
Выведем уравнение для определения термического КПД цикла со смешанным подводом теплоты.
Количество подводимой теплоты на изохоре 2–3 равно q1′ = cvm ⋅ (T3 − T2 ) ,
а в изобарном процессе 3–4: q1′′= c pm ⋅ (T4 − T3 ) . Количество отводимой теплоты q2
на изохоре 5–1 по абсолютной величине составляет q 2 = q2 = cvm ⋅ (T5 − T1 ) .
Следовательно, термический КПД цикла, определяемый как отношение полученной работы lц к количеству подведенной теплоты q1, равен
ηt =
lц
q1
=
cvm ⋅ (T5 − T1 )
q1 − q2
q
q2
=1− 2 =1−
=1−
. (1.304)
q1
q1
q1′ + q1′′
cvm ⋅ (T3 − T2 ) + c pm ⋅ (T4 − T3 )
Сокращая на сvm и вынося Т1 и Т2 за скобку, получаем
ηt = 1 −
T1
T2  T3 
 T − 1
2
T5
−1
T1
.
c pm  T4 T3 
+
−
cvm  T2 T2 
(1.305)
Рассмотрим следующие характеристики цикла: степень повышения давления
в процессе подвода теплоты по изохоре λ = р3/p2 и степень расширения рабочего
тела в процессе подвода теплоты по изобаре ρ = v4/v3. С учетом выражения для
степени сжатия (ε = v1/v2) и уравнения состояния идеального газа (pv=RT) можно
получить следующие соотношения:
T3 p3
T T T v T
=
= λ ; 4 = 4 ⋅ 3 = 4 ⋅ 3 = ρ⋅ λ .
T2 p2
T2 T3 T2 v3 T2
(1.306)
Используя уравнение адиабаты, соотношения температур Т5/T1 и Т1/T2 можно привести к следующему виду:
T5 p5 p4 v4k
p vk p
=
= k ; 2k 2 = 3
T1 p1
v5
v1
p2
v 
T v 
⋅  4  = λ ⋅ ρk ; 1 =  2 
T2  v1 
 v3 
k
k −1
=
1
ε k −1
. (1.307)
Подставляя соотношения (1.306) и (1.307) в выражение (1.305), находим
термический КПД
ηt = 1 −
1
ε
⋅
k −1
λ ⋅ ρk − 1
.
(λ − 1) + k ⋅ λ ⋅ (ρ − 1)
(1.308)
Термодинамика в технологических процессах…
99
Из уравнения (1.308) видно, что КПД цикла со смешанным подводом теплоты растет с увеличением ε и λ и с уменьшением ρ.
Если ρ = 1, то цикл со смешанным подводом теплоты превращается в цикл
Отто, термический КПД которого находится из соотношения
ηt = 1 −
1
ε k −1
.
(1.309)
Если λ = 1, то смешанный цикл превращается в цикл Дизеля, термический
КПД которого находится из выражения
ρk − 1
ηt = 1 − k −1 ⋅
.
ε
k ⋅ ( ρ − 1)
1
(1.310)
Анализ циклов поршневых ДВС позволяет сравнивать их между собой, определять перспективу повышения эффективности циклов, оценивать характер
изменения эффективности циклов при изменении внешней нагрузки, степени
сжатия и т. д.
1.12. Циклы газотурбинных установок
Газотурбинной установкой (ГТУ) принято называть такой двигатель, где
в качестве рабочего тела используется неконденсирующийся газ (воздух, продукты сгорания топлива), а в качестве тягового двигателя применяется газовая
турбина. Термин турбина происходит от латинского слова turbo – волчок.
В отличие от поршневых двигателей внутреннего сгорания, где процессы
сжатия, подвода теплоты и расширения осуществляются в одном и том же цилиндре, в газотурбинных установках эти процессы происходят в различных элементах установки, в которые последовательно попадает поток рабочего тела
(рисунок 1.39).
Рис. 1.39. Принципиальная схема газотурбинной установки
Газотурбинная установка простейшей схемы работает следующим образом:
наружный воздух поступает на вход компрессора (1), где сжимается по адиабате
(1–2) до давления р2 (рисунок 1.40). После сжатия в компрессоре воздух посту-
100
Часть 1
пает в камеру сгорания (2), куда одновременно подается жидкое или газообразное топливо и происходит процесс сгорания при p = idem (2–3).
а
б
Рис. 1.40. Цикл газотурбинной установки с подводом теплоты
при постоянном давлении в координатах p-v (а) и T-s (б)
Образующиеся при сжигании топлива продукты сгорания поступают в газовую
турбину (3), где расширяются по адиабате (3–4) практически до атмосферного давления р1. Отработавшие продукты сгорания выбрасываются в атмосферу (4–1).
Работа, получаемая в газовой турбине, частично идет на привод компрессора
(большая ее часть, примерно 2/3) и к потребителю (4) (компрессор, насос, генератор
электрической энергии и т. п.).
В газотурбинных установках, так же, как и в поршневых двигателях внутреннего сгорания, подвод теплоты к рабочему телу может осуществляться при
постоянном давлении (цикл Брайтона) или при постоянном объеме (цикл Гемфри). В цикле Брайтона теплота подводится в непрерывном потоке сжатого воздуха, а в цикле Гемфри – в камере сгорания специальной конструкции, которая
периодически отключается от газовой турбины, что вызывает пульсацию потока
рабочего тела. Для снижения пульсаций в ГТУ, работающих по циклу Гемфри,
устанавливаются несколько (6–12) камер сгорания. Несмотря на некоторое преимущество (более высокий КПД ГТУ при равной степени повышения давления
сжатия в компрессоре), ГТУ с подводом теплоты при постоянном объеме пока
не нашли практического применения главным образом из-за сложности конструкции камер сгорания и более низкой надежности.
Коэффициент полезного действия термодинамического цикла ГТУ с подводом
теплоты при постоянном давлении (цикл Брайтона) определяется соотношением
ηt =
c pm ⋅ (T4 − T1 )
lц q1 − q2
q
T T T −1
=
= 1− 2 =1−
= 1− 1 ⋅ 4 1 .
q1
q1
q1
c pm ⋅ (T3 − T2 )
T2 T3 T2 − 1
(1.311)
Термодинамика в технологических процессах…
101
Для газотурбинных установок в отличие от поршневых ДВС вместо степени
сжатия вводят параметр, характеризующий степень повышения давления рабочего тела в компрессоре π = р2/р1. Выразим отношение температур в выражении (1.311) через соотношение давлений сжатия для компрессора π , используя
уравнения адиабаты для идеального газа, в виде следующей системы уравнений:
T1  p1 
=
T2  p2 
k −1
k
1
=
π
k −1
k
T T T T p 
; 4 = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 4
T1 T3 T2 T1  p3 
k −1
k
T p 
⋅ 3 ⋅ 2 
T2  p1 
k −1
k
.
(1.312)
Поскольку р3 = р2, а р4 = р1, то T4/T1 =T3/T2. С учетом этого равенства и системы уравнений (1.312), выражение для определения термического КПД цикла
Брайтона примет вид
1
ηt = 1 −
π
k −1
k
.
(1.313)
Из соотношения (1.313) следует, что КПД цикла Брайтона повышается с увеличением степени повышения давления рабочего тела в компрессоре π .
Эффективность цикла газотурбинной установки можно повысить, усложняя
схему ГТУ, в частности введением регенерации теплоты отходящих газов (рисунок 1.41).
а
б
Рис. 1. 41. Схема ГТУ с регенерацией теплоты отработавших продуктов сгорания (а)
и цикл этой установки в координатах T-s (б)
102
Часть 1
В ГТУ с регенерацией теплоты отходящих газов продукты сгорания после
газовой турбины (4) перед их выбросом в атмосферу поступают в регенератор
(2), где подогревают сжатый воздух, сжатый в компрессоре (1) перед его поступлением в камеру сгорания (3).
Таким образом, при постоянной температуре газов перед турбиной Т3 сжатый воздух после компрессора на участке (2 – а) изобары (2 – 3) подогревается
отходящими из турбины газами и только на участке (а – 3) он нагревается
за счет сжигания топлива [12].
Площади 2-a-d-c и b-4-f-e характеризуют соответственно количество теплоты, подводимой к воздуху и отводимого от продуктов сгорания в процессе регенерации теплоты, что приводит к снижению количества подводимой теплоты,
а работа цикла, определяемая площадью 1-2-3-4, остается без изменения. Это
и приводит к увеличению КПД цикла ГТУ с регенерацией теплоты по сравнению с КПД ГТУ без регенерации теплоты отходящих газов.
Температура воздуха на выходе из регенератора T5 всегда меньше температур Tа = T4 .
Введем понятие степени регенерации, как отношение действительного подогрева воздуха ( q5,2 ) к максимально возможному ( q4,2 )
ϕ=
q5,2
q4,2
=
c pm ⋅ (T5 − T2 )
c pm ⋅ (T4 − T2 )
≈
T5 − T2
.
T4 − T2
(1.314)
Отсюда определяем температуру воздуха на выходе из регенератора
T5 = T2 + ϕ ⋅ (T4 − T2 ) .
Термический КПД для регенеративного цикла
ηtр =
lц
q
р
подв
=
c pm (T3 − T4 ) − c pm (T2 − T1 )
c pm (T3 − T5 )
≈
(T3 − T4 ) − (T2 − T1 )
.
T3 − [T2 + ϕ ⋅ (T4 − T2 )]
(1.315)
(1.316)
С учетом граничных температур процесса сжатия в компрессоре ( τ ) и цикла
в целом ( θ )
T p 
τ= 2 = 2
T1  p1 
k −1
k
;
θ=
T3
,
T1
(1.317)
получаем выражение КПД термодинамического цикла газотурбинной установки
с регенерацией
θ

 θ −  − (τ − 1)
τ
ηtр =
.
(1.318)
θ 
(θ − τ ) − ϕ ⋅  − τ 
τ

Термодинамика в технологических процессах…
103
При отсутствии регенерации теплоты ( ϕ = 0) получаем КПД цикла Брайтона
ηt = 1 −
T1
1
≡ 1 − k −1 .
T2
πk
(1.319)
Влияние различных параметров на значения термического КПД ГТУ
Анализ формулы (1.318) показывает, что в отличии от КПД термодинамического цикла Брайтона, на КПД регенеративного цикла, кроме степени повышения давления в компрессоре π (подобно τ ), влияют температуры воздуха перед
компрессором T1 , газов перед турбиной T3 и степень регенерации ϕ [4].
При фиксированных значениях ϕ и T3 на значения КПД ГТУ влияют степень увеличения давления и температура воздуха T1 (рисунок 1.42).
При фиксированных значениях ϕ и T1 на значения КПД ГТУ влияют степень
η, %
увеличения давления и температура газов перед турбиной T3 (рисунок 1.43).
Графики рисунков 1.42 и 1.43 свидетельствуют о наличии максимума КПД при
умеренных степенях повышения давления в компрессоре, росте КПД при уменьшении температура воздуха на входе в компрессор и увеличении температуры газов
на входе в турбину, что объясняется следствием II начала термостатики.
Уменьшение КПД с ростом π можно объяснить увеличением доли работы,
потребляемой компрессором, и соответственно, уменьшением доли полезной
работы, передаваемой потребителю.
60
t1=15
t1=0
55
t1=-15
50
45
40
35
30
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
π
Рис. 1.42. Зависимость КПД цикла ГТУ от степени повышения давления
при различных температурах воздуха (оС) на входе в компрессор
26
104
Часть 1
η,%
60
55
50
45
t3=900
40
t3=1100
t3=1300
35
30
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
π
26
Рис. 1.43. Зависимость КПД цикла ГТУ от степени повышения давления
при различных температурах газов (оС) на входе в турбину
Интересная зависимость КПД цикла от получается π и ϕ при фиксирован-
η,%
ных значениях температур воздуха T1 и газов T3 (рисунок 1.44).
65
60
55
50
45
40
35
φ=0,7
φ=0,85
φ=0,6
φ=0
30
25
20
15
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
Рис. 1.44. Зависимость КПД цикла ГТУ от степени повышения давления
при различных значениях степени регенерации теплоты
π
26
Термодинамика в технологических процессах…
105
При степени повышения давления в компрессоре π < 12 , чем больше степень
регенерации, тем больше КПД. Среди рассмотренных диапазонов изменения ϕ ,
наибольшее значение КПД соответствует степени повышения давления π = 4 ÷ 5 .
Эти значения соответствуют промышленным ГТУ.
Графические зависимости свидетельствуют о потери смысла регенерации
при степени увеличения давления в компрессоре π > 11 ÷ 12 .
Эффективно-термодинамический цикл ГТУ
Действительный цикл газотурбинной установки отличается от теоретического, прежде всего наличием внутренних необратимых потерь, гидравлическими
сопротивлениями по трактам ГТУ. Для описания рабочего процесса в ГТУ принято использовать эталонный цикл [4].
Эталонным циклом газотурбинного двигателя называется круговой процесс,
удовлетворяющий требованиям термодинамической теории тепловых двигателей
и требующий наименьшего количества эмпирических данных для расчетного определения основных показателей процессов реальных двигателей – коэффициента
полезного действия и удельной работы ГТУ.
В качестве эталонного цикла ГТУ принят эффективно-термодинамический
цикл, который состоит из двух внешнеадиабатических процессов: сжатия
в компрессоре и расширения в турбине и двух дроссельных процессов (без совершения работы) – подвода теплоты в камере сгорания и отвода теплоты в атмосферу (рисунок 1.45).
Рис. 1. 45. Циклы ГТУ:
a-c-z-s-a – обратимый (Брайтона); 1-2-3-4-1 – эффективно-термодинамический
Использование внешнеадиабатных и дроссельных процессов делает эффективно-термодинамический цикл близким к реальным циклам и в то же время наличие точных термодинамических соотношений для процессов изменения состояний
позволяет производить аналитически полное исследование рабочего процесса.
Эффективно-термодинамический цикл ГТУ, изображенный на рисунке 1.45
сопровождается потерями, возникающими в осевом компрессоре, газовой турбине, камере сгорания и в других элементах установки, которые в идеальном
цикле не учитываются.
106
Часть 1
Гидравлические потери, возникающие в компрессоре, вызывают повышение
температуры воздуха T2 в процессе сжатия по сравнению с тем значением температуры, которое он имел бы при обратимом процессе адиабатического сжатия Tc (рисунок 1.45). Внешнеадиабатный процесс 1-2 с показателем процесса k1* проходит
правее адиабаты, что свидетельствует о том, что работа, затрачиваемая на сжатие,
при неизменной степени повышения давления увеличивается.
Отношение теоретической работы wa , c , которая могла бы быть затрачена при
адиабатическом сжатии, к действительной работе, затраченной при внешне∗
адиабатном сжатии w1,2
с одинаковой степенью повышения давления рабочего тела
в процессе сжатия, определяет понятие относительного внутреннего (адиабатического) КПД осевого компрессора (1.299), который характеризует совершенство
процесса сжатия:
k −1
h − ha
T − Ta π к k − 1
ηi ,к = ∗ = c
≈ c
= k ∗ −1
,
1
w1,2 h2 − h1
T2 − T1
k1∗
πк − 1
wa ,c
(1.320)
где Та, Т1 – начальные температуры в процессах сжатия (обычно T1 = Tа ); Тc, Т2 –
конечные температуры в процессах обратимого адиабатного ( k ) и внешнеp
адиабатного ( k1∗ ) сжатия; π к = 2 – соотношение давлений в процессе сжатия
p1
в компрессоре.
Одной их характеристик эффективно-термодинамического цикла ГТУ является соотношение температур в процессе внешнеадиабатного сжатия
р 
Т
τк = 2 =  2 
Т1  р1 
k1* −1
k1*
k1* −1
k1*
= πк
.
(1.321)
При известных давлениях и температурах в реальном процессе сжатия
из уравнения политропы с постоянным показателем можно оценить значение
показателя внешнеадиабатного процесса
k1* =
log π к
.
log π к − log τ к
(1.322)
Давление в точке 1 меньше давления в точке а на величину гидравлических
потерь входного тракта ГТУ ∆р1.
В камере сгорания ГТУ, гидравлические потери, а также возрастание скорости движущегося потока газов из-за увеличения температуры при подводе теплоты, вызывают понижение давления рабочего тела, которые оцениваются величиной порядка 1% от давления на выходе осевого компрессора и учитывается
коэффициентом ξ q .
Термодинамика в технологических процессах…
107
Температуры рабочего тела перед турбиной обычно поддерживается равной
паспортному значению, поэтому принимается T3 = Tz .
С давлением меньшим на величину гидравлических сопротивлений между компрессором и турбиной, продукты сгорания с давлением p3 и температурой Т3 поступают в газовую турбину, где реальный процесс расширения продуктов сгорания
соответствует внешнеадиабатному 3-4 с показателем k2∗ (рисунок 1.45).
Вследствие необратимых потерь при внешнеадиабатном расширении температура продуктов сгорания в турбине T4 в конце процесса возрастает относительно температуры конца адиабатического расширения Ts .
∗
Отношение действительной работы w3,4
, полученной в турбине при расши-
рении газов, к теоретической работе, которая могла бы быть получена в адиабатическом процессе расширения wz , s называется относительным внутренним
(адиабатическим) КПД газовой турбины
k2∗ −1
∗
3,4
∗
h −h
T − T4 π т k2 − 1
ηi ,т =
= 3 4 ≈ 3
= k −1
,
wz , s hz − hs
Tz − Ts
k
πт − 1
w
(1.323)
где π т = p3 / p4 – соотношение давлений в процессе расширения в турбине.
Следует отметить, что давление в точке 4 больше давления в точке s на величину гидравлических потерь выходного тракта ГТУ ∆р2.
Соотношение температур в процессе внешнеадиабатного сжатия
р 
Т
τт = 3 =  3 
Т 4  р4 
k2* −1
k2*
k2* −1
k2*
= πт
.
(1.324)
При известных давлениях и температурах в реальном процессе расширения
из уравнения политропы с постоянным показателем можно оценить значение
показателя внешнеадиабатного процесса
k2* =
log π т
.
log π т − log τ т
(1.325)
Как правило, значение показателя внешнеадиабатного процесса расширения
k меньше показателя адиабаты k .
Второй важнейшей характеристикой эффективно-термодинамического цикла
является соотношение граничных температур цикла θ (1.317).
Третьей и последней характеристикой эталонного цикла является характеристика обратимости цикла
∗
2
108
Часть 1
χ=
log τ т
.
log τ к
(1.326)
С учетом этих трех характеристик цикла получаются следующие расчетные
соотношения:
удельная работа сжатия в компрессоре
∗
│= h2 – h1 = cрm·(T2 – T1) = cрm.T1·( τ к – 1);
│wi,к│= │ w1,2
(1.327)
удельная работа расширения в турбине
∗
wi,т = w3,4
= h3 – h4 = cрm·(T3 – T4) = cрmT1·θ·(1 – τ -1т ) = cрmT1·θ·(1 – τ -кχ ); (1.328)
удельная работа цикла
(
)
wi ,ц = wi ,т - wi ,к = c pm ⋅ T1 ⋅ θ ⋅ 1 − τ-кχ − ( τ к − 1)  .
(1.329)
wi,ц, кДж/кг
На основании формулы (1.329) при различных, но равных значениях относительных внутренних КПД компрессора и турбины построены графические зависимости, приведенные на рисунке 1.46, где имеется максимум удельной внутренней
работы цикла, который существенно зависит от совершенства работы компрессора
и турбины.
250
225
200
175
150
125
100
75
0,75
0,8
50
0,85
0,9
0,95
25
1
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
πк
26
Рис. 1.46. Зависимость удельной работы ГТУ от соотношения давлений сжатия
при значении граничных температур цикла θ = 3,65
Термодинамика в технологических процессах…
109
Эффективность цикла оценивается относительным внутренним (индикаторным) КПД
ηi =
wi ,ц
∗
q2,3
c pm ⋅ T1 ⋅ θ ⋅ (1 − τ к−χ ) − (τ к − 1) θ ⋅ (1 − τ −к χ ) − (τ к − 1)
, (1.330)
=
=
θ − τк
c pm ⋅ (T3 − T2 )
∗
где q2,3
– удельное количество теплоты, подведенное в камере сгорания.
По формуле (1.330) при различных, но равных значениях относительных
внутренних КПД компрессора и турбины построены зависимости индикаторного
КПД от степени сжатия в компрессоре (рисунок 1.47).
Данные рисунка 1.47 свидетельствуют о том, что рост численных значений
относительных КПД компрессора и газовой турбины не только увеличивает значение КПД установки, но и осуществляет сдвиг оптимального соотношения давления сжатия (по условию получения максимального КПД или эффективной
работы) в сторону больших значений.
ηi
0,65
0,75
0,60
0,8
0,85
0,55
0,9
0,95
0,50
1
0,45
0,40
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
πк 
Рис. 1.47. Зависимость индикаторного ГТУ от соотношения давлений сжатия
при соотношении граничных температур цикла θ = 3,65
110
Часть 1
Для современных ГТУ соотношение граничных температур в цикле θ > 4 , но
при этом качественная сторона графиков на рисунках 1.46 и 1.47 практически
останется такой же.
1.13. Циклы паросиловых установок
Паросиловая установка. Цикл Ренкина
В паросиловых установках в качестве рабочего тела используются пары различных жидкостей (вода, органические жидкости, ртуть и т. п.), но чаще всего
водяной пар.
В паровом котле паросиловой установки (1) за счет подвода теплоты Q1, получаемой за счет сгорания топлива в топке, образуется пар при постоянном давлении р1 (рисунок 1.48).
Рис. 1.48. Схема паросиловой установки
В пароперегревателе (2) он дополнительно нагревается и переходит в состояние перегретого пара. Из пароперегревателя пар поступает в паровой двигатель
(3) (например, в паровую турбину), где полностью или частично расширяется
до давления р1 с получением полезной работы L1. Отработанный пар направляется
в холодильник-конденсатор (4), где он полностью или частично конденсируется
при постоянном давлении р2. Конденсация пара происходит в результате теплообмена между отработавшим паром и охлаждающей жидкостью, протекающей
через холодильник-конденсатор (4).
После холодильника сконденсированный пар поступает на вход насоса (5), в котором давление жидкости повышается с величины р2 до первоначального значения
р1 после чего жидкость поступает в паровой котел (1). Цикл установки замыкается.
Если в холодильнике (4) происходит частичная конденсация отработавшего пара, то
в паросиловой установке вместо насоса (5) используется компрессор, где давление
Термодинамика в технологических процессах…
111
пароводяной смеси также повышается с р2 до р1. Однако для того, чтобы уменьшить
работу на сжатие, целесообразно полностью сконденсировать пар в конденсаторе
и затем сжимать не пароводяную смесь, а выходящую из конденсатора воду. Описанный цикл паросиловой установки называется циклом Ренкина с перегревом пара
(рисунок 1.49).
Цикл Ренкина с перегревом пара состоит из изобары (4–1), где подводится теплота в котельной установке, адиабаты (1–2) расширения пара в паровой турбине,
изобары (2–3) отвода теплоты в холодильнике-конденсаторе и изохоры (3–4) повышения давления воды в насосе. Линия (4–а) на изобаре соответствует процессу
повышения температуры жидкости после насоса до температуры кипения t s при
давлении р1. Участок (a–b) соответствует превращению кипящей жидкости в сухой насыщенный пар, а участок (b–1) – процессу подвода теплоты в пароперегревателе для превращения сухого насыщенного пара в перегретый.
а
б
Рис. 1.49. Циклы паросиловых установок в координатах p-v (а) и Т-s (б):
Карно (a-b-c-d-a) и Ренкина (a-b-c-3-4-a) во влажном паре;
Ренкина с перегретым паром (1-2-3-4-1)
Работа, совершаемая паром в турбине, равна разности энтальпий пара до и
после турбины
wт = h1 − h2 .
(1.331)
Работа, затраченная на сжатие воды в насосе, определяется так же по разности энтальпии рабочего тела в точках 4 и 3.
В координатах р-v эта работа определяется площадью e-3-4-f (рисунок 1.49a).
Эта работа весьма мала по сравнению с работой турбины.
Полезная работа цикла равна работе турбины wт за вычетом работы, затрачиваемой на привод насоса wн
wц = wт − wн ≈ wт = h1 − h2 .
(1.332)
112
Часть 1
Удельное количество теплоты q1, подведенной в котле и пароперегревателе,
определяется из первого начала термодинамики (работа при этом не совершается) как разность энтальпий рабочего тела в процессе подвода теплоты
q1 = h1 − h4 ,
(1.333)
где h4 – энтальпия горячей воды на входе в паровой котел при давлении р1
практически равна по величине энтальпии кипящей воды в точке (3), т.е. h4 ≅ h3.
Сопоставляя соотношения (1.332) и (1.333), можно определить термический
КПД цикла Ренкина как отношение полезно полученной работы в цикле к количеству подведенной теплоты
wт h1 − h2
=
.
(1.334)
q1 h1 − h4
Другая важная характеристика паросиловой установки – удельный расход
пара d, который характеризует количество пара [6], необходимого для выработки 1 кВт·ч энергии (3600 Дж), и измеряется в кг/(кВт ⋅ ч) .
Удельный расход пара в цикле Ренкина равен
ηt =
d=
3600 3600
=
.
wт
h1 − h2
(1.335)
Удельный расход пара определяет размеры агрегатов: чем он больше, тем
больше пара приходится вырабатывать для получения той же мощности.
Пути повышения экономичности паросиловых установок
Термический КПД цикла Ренкина даже в установках с высокими параметрами пара не превышает 50%. В реальных установках из-за наличия внутренних
потерь в двигателе значение КПД еще меньше.
Существуют два пути повышения экономичности паросиловых установок:
повышение параметров пара перед турбиной и усложнение схем паросиловых
установок.
Первое направление приводит к увеличению теплоперепада в процессе расширения пара на турбине (h1 – h2) и, как следствие, к увеличению удельной
работы и КПД цикла.
При этом теплоперепад по турбине можно дополнительно увеличить, снижая
противодавление в конденсаторе установки, т.е. уменьшая давление р2.
Повышение экономичности паросиловых установок этим путем связано
с решением ряда трудных технических задач, в частности, использования высоколегированных, жаропрочных материалов для изготовления турбины.
Эффективность использования паросиловой установки можно значительно повысить за счет использования теплоты отработавшего пара для отопления, горячего
водоснабжения, сушки материалов и т. д. С этой целью охлаждающую воду (рисунок 1.50), нагретую в конденсаторе (4), не выбрасывают в водоем, а прокачивают
Термодинамика в технологических процессах…
113
через отопительные установки теплового потребителя (6). В таких установках станция вырабатывает механическую энергию в виде полезной работы L1 на валу турбины (3) и теплоту Qт.п для отопления. Такие станции называют теплоэлектроцентралями (ТЭЦ). Комбинированная выработка тепловой и электрической энергии –
один из основных методов повышения эффективности тепловых установок.
Повысить КПД паросиловой установки по сравнению с циклом Ренкина можно
за счет применения так называемого регенеративного цикла (рисунок 1.51).
В этой схеме питательная вода, поступающая в котел (1), нагревается паром,
частично отбираемым из турбины (3). По этой схеме пар, полученный в котле
(1) и перегретый в пароперегревателе (2), направляется в турбину (3), где происходит его расширение до давления в конденсаторе (4). Однако часть пара
после совершения им работы из турбины и направляется в регенеративный подогреватель (6), где в результате конденсации он подогревает питательную воду,
подаваемую насосом (5) в котел (1).
Рис. 1.50. Схема установки для совместной Рис. 1.51. Схема паросиловой установки
выработки механической энергии
с регенеративным подогревом
и теплоты
питательной воды
1 – парогенератор; 2 – пароперегреватель; 3 – паровая турбина;
4 – конденсатор; 5 – питательный насос; 6 – тепловой потребитель
(регенеративный подогреватель)
Сам конденсат после регенеративного подогревателя поступает на вход насоса (5) или в конденсатор (4), где он смешивается с конденсатом пара, прошедшего через все ступени турбины. Таким образом, в котел поступает такое же
количество питательной воды, какое и выходит из него в виде пара.
Из диаграмм (рисунок 1.52) видно, что каждый килограмм пара, входящий
в турбину, расширяется от давления р1 до давления р2, совершая работу
w1=h1 – h2. Пар в количестве (1 – g) долей килограмма расширяется до конечного давления p3, совершая работу w2=h2 – h3.
114
Часть 1
а
б
Рис. 1.52. График адиабатного расширения пара в турбине
с промежуточным отбором (а) и изменения количества пара (б)
Общая работа 1 кг пара в данном цикле будет определяться, как сумма
w = w1 + w2 = h1 − h2 + ( h2 − h3 ) ⋅ (1 − g ) = h1 − h3 − ( h2 − h3 ) ⋅ g ,
(1.336)
где g – доля пара отбираемого из турбины и подаваемого в регенератор.
Уравнение показывает, что использование регенерации теплоты приводит
к уменьшению удельной работы расширения по сравнению с циклом Ренкина
с теми же параметрами пара.
Однако расчеты показывают, что работа в регенеративном цикле уменьшается медленнее, чем расход теплоты на получение пара при наличии регенерации,
поэтому КПД паросиловой установки с регенеративным подогревом в итоге
выше КПД обычного цикла.
Применение пара высоких и сверхвысоких давлений с целью повышения
КПД вызывает затруднение: влажность его на последних ступенях турбины
получается настолько высокой, что заметно снижает КПД турбины, вызывает
эрозию лопаток, может служить причиной выхода их из строя.
Поэтому в установках с высокими параметрами пара приходится применять
так называемый промежуточный перегрев пара, что также ведет к повышению
КПД установки (рисунок 1.53).
В паросиловой установке с промежуточным перегревом пара, после расширения в турбине высокого давления (3) пар отводится в специальный пароперегреватель (7), где он вторично подогревается при давлении ррп до температуры
t1′′ , которая обычно несколько ниже, чем температура t1. Перегретый пар поступает в турбину низкого давления (4), расширяется в ней до конечного давления
р2 и направляется в конденсатор (5) (рисунок 1.53).
Термодинамика в технологических процессах…
115
Рис. 1.53. Схема паросиловой установки с промежуточным перегревом пара:
1 – парогенератор; 2 – пароперегреватель; 3 – турбина высокого давления (ТВД);
4 – турбина низкого давления (ТНД); 5 – конденсатор; 6 – питательный насос;
7 – промежуточный пароперегреватель; 8 – потребитель
Влажность пара после турбины при наличии перегрева пара значительно
меньше, чем она была бы без него (x1>x2) (рисунок 1.54).
а
б
Рис. 1.54. Процесс расширения пара в установке с промежуточным перегревом
Промежуточный перегрев в реальных условиях дает повышение КПД примерно на 4%. Этот выигрыш получается как за счет повышения относительного
КПД турбины низкого давления, так и за счет увеличения суммарной работы
расширения пара по турбине низкого и высокого давлений. Дело в том, что сумма отрезков 1 − 1′ и 1′′ − 2 , характеризующих работу соответственно турбин высокого и низкого давлений, больше отрезка 1 – e, характеризующего работу
расширения в турбине установки, в которой не применяется промежуточного
перегрева пара (рисунок 1.54).
116
Часть 1
1.14. Циклы холодильных машин и тепловых насосов
Холодильные машины предназначены для охлаждения тел до температуры
ниже температуры окружающей среды. Чтобы осуществить такой процесс, необходимо от тела отвести теплоту и передать ее в окружающую среду за счет
работы, подводимой извне.
Холодильные машины (установки) широко используются в газовой промышленности при подготовке газа к транспорту в установках комплексной подготовки
газа (УКПГ), для охлаждения газа на компрессорных станциях магистральных газопроводов, проложенных в районах многолетнемерзлых пород, при переработке
природного газа, при получении и хранении сжиженного природного газа и т.д.
Теоретически наиболее выгодный цикл холодильной машины – обратный
цикл Карно. Однако цикл Карно в холодильных установках не используется изза конструктивных трудностей, которые возникают при реализации этого цикла,
и, кроме того, влияние необратимых потерь работы в реальных холодильных
машинах настолько велико, что сводит на нет преимущества цикла Карно.
Паровая компрессионная холодильная установка
Для получения неглубокого холода наибольшее распространение получили
паровые компрессионные установки (рисунок 1.55). В качестве рабочего тела
в таких установках используют хладоагенты – низкокипящие жидкости (аммиак,
хладон, пропан-бутановая смесь и др.).
а
б
Рис. 1.55. Схема (а) и цикл паровой компрессионной холодильной установки
в координатах T-s (б)
Холодильная установка (рисунок 1.55а) состоит из холодильной камеры (5), где
должна быть температура ниже температуры окружающей среды, компрессора (1),
испарителя (4), конденсатора (2) и регулирующего дроссельного вентиля (3).
При работе паровой компрессионной холодильной установки компрессор
засасывает из испарителя хладоагент в виде влажного насыщенного или сухого
Термодинамика в технологических процессах…
117
насыщенного пара при давлении выше атмосферного p1 > pо.с и отрицательной
температуре t1 < 0 (точка 1), и адиабатически его сжимает (1–2) до более высокого давления р2. (рисунок 1.55б). В конце сжатия (2) температура хладоагента уже
положительна и превышает температуру охлаждающей воды, которая в данной
установке играет роль окружающей среды t2 > tо.с. . При этих параметрах компрессор подает рабочее тело (перегретый пар) в конденсатор, где охлаждающая среда
(вода или воздух) отнимает от него теплоту перегрева (2–3) и парообразования
(3–4). Вследствие этого пар при давлении p2 = idem полностью конденсируется
(точка 4). Конденсат проходит через вентиль (рисунок 1.55а), в котором он дросселируется в изоэнтальпийном процессе (h = idem) до давления p1 (4–5) и поступает в испаритель, где испаряется (5–1), отбирая теплоту от охлаждаемых тел.
Затем рабочее тело вновь поступает в компрессор и цикл повторяется.
В установках большой мощности между холодильной камерой (5) и испарителем (4) циркулирует рассол, отбирающий от охлаждаемых тел в камере (5) теплоту q2. Эта теплота в испарителе (4) используется для испарения хладоагента.
В установках малой мощности, например, в домашних холодильниках, испаритель располагается в самой холодильной камере и, надобность в рассоле отпадает. В диаграмме Т–s значению отводимого от охлаждаемых тел количеству теплоты q2 в холодильной камере соответствует площадь с-5-1-а; работе lц, затрачиваемой в компрессоре на сжатие пара, соответствует площади цикла 1-2-3-4-5-1.
Количество теплоты, передаваемое охлаждаемой воде или атмосферному
воздуху (q1= q2+ lц), определяется площадью фигуры с-а-1-2-3-4-5-с.
Термодинамическая эффективность холодильных машин определяется холодильным коэффициентом χt . Холодильный коэффициент (1.157) определяется
как отношение количества теплоты q2, отводимой от охлаждаемого тела, к затраченной в цикле работе lц
χ t = q 2 lц .
(1.337)
Температура в холодильной камере холодильной установки зависит от положения регулирующего дроссельного вентиля (3). Так, при необходимости
уменьшить эту температуру вентиль дополнительно прикрывается, в результате
чего происходит более глубокое дросселирование, а, следовательно, и охлаждение рабочего тела до более низкой температуры (рисунок 1.55б). При этом процесс отвода теплоты от охлаждаемого тела будет происходить при более низкой
температуре рабочего тела (5'–1').
Экономичность установки (χ) снижается в силу уменьшения величины q2
и увеличения работы lц, затрачиваемой на привод компрессора (соотношение 1.337).
Воздушная холодильная установка
Для более глубокого охлаждения тел (получения более глубокого холода)
используется воздушная холодильная установка (рисунок 1.56).
118
Часть 1
Рис. 1.56. Схема, p-v и T-s диаграммы воздушной холодильной установки
Принцип действия воздушной холодильной установки основан на расширении предварительно сжатого и охлажденного воздуха. Воздух из холодильной
камеры (4) под давлением p1 поступает в компрессор (1), где адиабатно сжимается (1–2) до давления p2 и температуре T2.
Сжатый воздух подается в теплообменник (2), где охлаждается проточной
водой до температуры T3 (2–3), и подается в турбодетандер (3), где адиабатно
расширяется (3–4) до давления p1, при этом температура рабочего тела понижается до значения T4.
Охлажденный воздух поступает в холодильную камеру, где нагревается
до температуры T1 (4–1).
Удельное количество теплоты, переданное охлаждающей воде, может быть
определено по соотношению
q1 = c pm ⋅ (T2 − T3 ) ,
(1.338)
удельное количество теплоты, отведенное от воздуха в холодильной камере,
по формуле
q2 = c pm ⋅ (T1 − T4 ) ,
(1.339)
а удельная работа цикла при условии постоянства теплоемкости рабочего тела
( c pm = idem ) может быть рассчитана из выражения
lц = l1,2 − l3,4 = q1 − q2 = c pm ⋅ (T2 − T3 − T1 + T4 )
(1.340)
или, поскольку для адиабатных процессов (1–2) и (3–4) справедливы следующие
соотношения температур:
T1 T2 = T4 T3 ; T1 T4 = T2 T3 ,
(1.341)
Термодинамика в технологических процессах…
119
или определена по формуле
 T 
lц = c pm ⋅ (T2 − T1 ) ⋅ 1 − 3  .
 T2 
(1.342)
При использовании соотношений (1.339), (1.342) холодильный коэффициент
воздушной холодильной может быть определен из формулы
χt = q2 lц = (T1 − T4 ) /[(T2 − T1 ) ⋅ (1 −
T3
T1
.
)] =
T2
T2 − T1
(1.343)
Отметим, что вследствие малой теплоемкости воздуха, удельная холодопроизводительность воздушных холодильных установок достаточно низкая.
Абсорбционная холодильная установка
Иногда для осуществления цикла холодильной машины целесообразнее расходовать не механическую работу, как это было в рассмотренных типах холодильных машин, а теплоту, отбираемую, к примеру, от уходящих продуктов
сгорания газотурбинных установок.
Холодильные машины, в которых для понижения температуры тел до температуры ниже температуры окружающей среды используется теплота отработавших
продуктов сгорания, называются абсорбционными холодильными установками (рисунок 1.57).
Абсорбционные холодильные установки используют в качестве рабочего
тела хладоагенты и их растворы. В качестве хладагента в абсорбционных холодильных установках может быть использован аммиак (вода) а в качестве растворителя (абсорбента) – вода (раствор бромистого лития).
Рис. 1.57. Схема и идеализированная T-s диаграмма
абсорбционной холодильной установки
120
Часть 1
В генераторе (1) к водоаммиачному раствору (рисунок 1.57) подводится теплота от внешнего источника (отработавшие продукты сгорания) при давлении
p1 . Подводимая теплота qг идет на испарение рабочего тела: в этом процессе
образуется пар с высокой концентрацией аммиака и с температурой T2 . Пар из
генератора поступает в конденсатор (2), где конденсируется при температуре T5,
передавая теплоту охлаждающей воде qк.
Конденсат проходит через дроссельный вентиль (3), на выходе из которого
рабочее тело имеет давление p2 и температуру T6, значение которой меньше, чем
температура в холодильной камере. В испарителе (4) раствор испаряется за счет
подвода теплоты q0 от охлаждаемого объема (5). Из испарителя пар поступает
в абсорбер (6), где поглощается при температуре T3 абсорбером, поступающим
из генератора через вентиль (8), отдавая теплоту абсорбции qа охлаждающей
воде, проходящей через змеевик. Вследствие поглощения пара, концентрация
хладагента (аммиака) в растворе повышается. Насосом (7) раствор из абсорбера
(6) подается в генератор.
При идеализации работы цикла рассматриваемой установки (полная обратимость процессов, полное выпаривание хладагента из абсорбера) рабочий
процесс в ней можно представить в виде совокупности прямого (1-2-3-4) и обратного (5-6-7-8) циклов Карно. Эффективность работы абсорбционной машины
можно оценить тепловым коэффициентом
ξ≅
q0
qг
.
(1.344)
Следовательно, чем больше отбирается удельной теплоты от охлаждаемого
объема при фиксированном количестве подведенной теплоты в генераторе, тем
выше экономичность холодильной установки. Действительный цикл абсорбционной холодильной установки характеризуется необратимостью процессов, что
приводит к некоторому снижению теплового коэффициента абсорбционной холодильной машины ξ .
Тепловой насос
Тепловой насос – устройство для переноса энергии от источника низкопотенциальной энергии (с низкой температурой) к потребителю (теплоносителю)
с более высокой температурой.
Схема и термодинамический цикл теплового насоса аналогичны паровой
компрессионной холодильной машине (рисунок 1.55).
Однако если в холодильной машине основной целью является производство
холода путём отбора теплоты из какого-либо объёма испарителем, а конденсатор осуществляет сброс теплоты в окружающую среду, то в тепловом насосе
картина обратная. Конденсатор является теплообменным аппаратом, выделяющим теплоту для потребителя, а испаритель – теплообменным аппаратом, утилизирующим низкопотенциальную теплоту: вторичные энергетические ресурсы
Термодинамика в технологических процессах…
121
(продукты сгорания) (или) нетрадиционные возобновляемые источники энергии
(водоемы).
Рабочий процесс теплового насоса осуществляется следующим образом –
компрессор засасывает из испарителя хладоагент в виде влажного насыщенного
или сухого насыщенного пара (точка 1), и адиабатически его сжимает (1–2)
до давления р2 (рисунок 1.55б). В конце сжатия (2) температура хладоагента положительна и превышает температуру, как правило, воды из системы отопления.
После компрессора хладоагент в состоянии перегретого пара направляется
в конденсатор (2) где происходит изобарное охлаждение (2-3) и полная конденсация (3–4) хладоагента водой из системы отопления. Конденсат проходит через
вентиль (3) (рисунок 1.45а), в котором он дросселируется в изоэнтальпийном процессе (h = idem) до давления p1 (4–5) и поступает в испаритель (4). Испарение
хладоагента (5–1) в испарителе происходит за счет внешних источников низкопотенциальной теплоты (5). Затем хладоагент вновь поступает в компрессор.
Эффективность работы теплового насоса оценивается отопительным коэффициентом
q2 + lц
q
(1.345)
ε от = 1 =
= χ t +1 ,
ℓц
lц
где q2 – количество теплоты переданное 1 кг воды системы отопления, равное
сумме абсолютных значений подведенной теплоте к хладоагенту от внешних
источников низкопотенциальной телоты q1 и работе затраченной на сжатие
хладоагента в компрессоре lц; χ t – холодильный коэффициент.
1.15. Термогазодинамические характеристики природного газа
Наиболее достоверные сведения о термодинамических свойствах природных
газов получаются в результате проведения эксперимента. На основании этих
экспериментальных исследований составлены таблицы термодинамических
свойств чистого метана и некоторых газов различного состава.
Уравнения состояния реальных газов
и их термодинамическая классификация
В энерготехнологических задачах газовой промышленности используются
различные термодинамические модели природных газов, базирующиеся на
уравнении состояния природного газа в форме:
F(p, v, T) = 0.
(1.346)
В задачах трубопроводного транспорта природных газов применяется целый
ряд уравнений состояния, которые связывают между собой абсолютное давление р, термодинамическую температуру Т и удельный объем v или плотность газа ρ: уравнения состояния реальных газов Бенедикта-Вебба-Рубина, В.А. Загорученко, Редлиха-Квонга, Н.И. Белоконь и др. [10, 19].
122
Часть 1
Наиболее точным является уравнение состояния В.А. Загорученко:
р⋅v =
R ⋅[α(ρ) + β(ρ)⋅T+ γ(ρ)⋅T2],
(1.347)
где R =8314 Дж/(кмоль.К) – универсальная газовая постоянная; α, β и γ – коэффициенты, зависящие от плотности.
Это сложное уравнение, является основой составления термодинамических
таблиц природного газа. Существенный недостаток данного уравнения громоздкость, неявность выражения удельного объема (плотности) газа через параметры, непосредственно измеряемые на газопроводах – давление и температуру.
Так как это эмпирическое уравнение, то определение термодинамических
характеристик и показателей процессов затруднено.
При построении и корректировке характеристик центробежных нагнетателей
природного газа используются также термодинамические модели идеального
пара (реального газа, показатель изоэнтальпийного процесса которого равен
единице) и модель Шульца. Обе указанные модели являются калорическими и
неразрешимы непосредственно относительно конкретного вида уравнения состояния. Они не могут быть использованы и для определения ряда важных
термодинамических величин – показателя адиабаты, удельного объема и т.д.
При решении термодинамических задач применительно к технологии трубопроводного транспорта газа возможны разные подходы.
В ряде случаев можно использовать уравнения состояния, довольно точно
воспроизводящие значения основных термодинамических величин во всей
экспериментально исследованной области состояний реального газа.
К уравнениям этой группы относятся уравнения В. А. Загорученко, Бенедикта-Вебба-Рубина, Я.З. Казавчинского, Редлиха-Квонга и их модификации-уравнения Пенга-Робинсона, Соаве, Старлинга-Хана и др.
К недостаткам этих уравнений относятся их громоздкость, неявность выражения удельного объема через параметры, непосредственно измеряемые на
газопроводах – давление и температуру. Вместе с тем только уравнения этой
группы применимы для построения подробных (базовых) таблиц, необходимых
для расчета термодинамических величин. Обоснование возможности применения любого другого подхода должно осуществляться сопоставлением конечных
результатов с базовыми (эталонными).
Достаточно часто используются уравнения состояния, содержащие эмпирические поправки z (коэффициент сжимаемости) или ∆v (остаточный объем)
к уравнению состояния идеального газа Клапейрона:
p ⋅ v = z ⋅ R ⋅T ,
R ⋅T
− ∆v ,
p
R ⋅T
∆v = (1 – z)⋅
.
p
v=
(1.348)
(1.349)
(1.350)
Термодинамика в технологических процессах…
123
Обычно эти поправки даются в приведенном (безразмерном) виде, и часто
в графической форме, во всей экспериментально исследованной области состояния природного газа.
Такой подход основан на принципе соответственных состояний Ван-дерВаальса, утверждающем, что «критическое состояние является действительно
одинаковым или соответственным состоянием для всех веществ». Согласно этому принципу можно полагать, что два вещества находятся в соответственных
состояниях при одинаковом удалении от критической точки, а степень удаления
от нее определять при помощи приведенных давления π , температуры τ и
удельного объема ω .
Газы, имеющие одинаковое химическое строение, равное значение коэффициента сжимаемости в критической точке и подчиняющие закону соответственных состояний называются термодинамически подобными.
Для выбора вида полуэмпирических и эмпирических уравнений, аналитического описания табличных графических данных поправок на сжимаемость газа
(z, ∆v), контроля базового уравнения состояния по характеру взаимозависимости
непосредственных экспериментальных величин целесообразно использовать
термодинамическую классификацию уравнений состояния реальных газов, разработанную Н.И. Белоконь.
В соответствии с этой классификацией, уравнения состояния разделены
на ряд групп в зависимости от термодинамической предпосылки, полагаемой
в основание их вывода.
Анализируя термодинамическую классификацию уравнений состояния газов,
необходимо отметить, что в качестве предпосылок для построения уравнений состояния в большинстве групп взяты какие-либо следствия из теории идеальных
(разреженных) газов.
Действительно, термодинамическая модель идеальных газов предполагает
существование следующих зависимостей:
p⋅v = f(Τ),
(1.351)
cp = cр(Т),
(1.352)
cv = cv(T),
(1.353)
Dh = 0, cp⋅Dh = 0,
(1.354)
Du = 0, cv⋅Du = 0,
(1.355)
nt = nh = nu = 1,
(1.356)
где cp – изобарная теплоемкость; cv – изохорная теплоемкость; Dh – коэффициент
Джоуля-Томсона; Du – коэффициент Джоуля-Гей Люссака; nt, nh, nu – соответственно показатели изотермического, изоэнтальпийного и изоэнергетического
процессов.
124
Часть 1
В ряде случаев при построении уравнения состояния газов принимается предпосылка о том, что произведение истинной теплоемкости при постоянном давлении на
коэффициент Джоуля-Томсона является функцией только температуры:
cp⋅Dh = f(T).
(1.357)
В классификации Н.И. Белоконь уравнения первой группы используют
предпосылку (1.351), уравнения второй группы – (1.352) и (1.353), уравнения
третьей группы – (1.352) или (1.357) и уравнения четвертой группы – (1.353).
Можно показать, что использование элементов предпосылки (1.355) также
приводит к определенному виду уравнения состояния.
Исходное дифференциальное соотношение термодинамики для этого случая:
 ∂u 
 ∂p 
 ∂( p / T ) 
cv⋅Du = –   = p − T   = – T 2 
= 0.
 ∂v  T
 ∂T  v
 ∂T  v
(1.358)
В результате интегрирования при постоянном объеме получим
p
= f (v).
T
(1.359)
К определенному виду уравнения состояния приводит и использование элементов предпосылки (1.356). При этом предпосылка однозначно определяет
уравнение состояния в так называемой калорической форме:
ϕ (Р, T, h) = 0
или
ϕ (р, T, u) = 0.
(1.360)
В связи с широким использованием в технологических расчетах газовой
промышленности модели идеального пара этот вопрос представляет особый интерес и будет исследован отдельно.
Рассмотрим предпосылку nТ = 1. Учитывая определение показателя nТ, можно записать:
nt = –
v  ∂ p
 ∂ ln p 
⋅  = − 
= 1.
 ∂ ln v  T
p  ∂v  T
(1.361)
Интегрируя выражение (1.361) при постоянной температуре, получаем:
ln p = f(T) – ln v,
(1.362)
ln pv = f(T),
(1.363)
pv = ϕ(T).
(1.364)
В классификации уравнений состояния газов Н.И. Белоконь, помимо отмеченных ранее групп, основанных на предпосылках (1.351) ÷ (1.353) и (1.357),
Термодинамика в технологических процессах…
125
выделена группа уравнений состояния типа уравнения Ван-дер-Ваальса с переменными коэффициентами:
(p + f1)⋅(v – f2) = R T;
fi = fi(T, v).
(1.365)
Как показывает анализ (таблица 1.4), практически все существующие уравнения состояния реальных газов, в том числе и выделенные Н.И. Белоконь
в специальную группу «уравнения различного типа», приводят к виду (1.365).
Исследования в области применения различных уравнений состояния при изменении их термодинамических параметров приводят к выводу о возможности
расширения состава термодинамических предпосылок с увеличением числа классифицируемых уравнений состояния (как новых, так и известных ранее), с оценкой возможного применения ряда уравнений для термодинамических расчетов
в энерготехнологических задачах трубопроводного транспорта природных газов.
Таблица 1.4
Классификация термодинамических предпосылок, используемых
при составлении уравнения состояния реальных газов
Вид функции
f1 = a = const
f2 = b = const
cv⋅Du = – a и
cp⋅Dh = b
f2 = f2(T)
f2 = f2(p)
f2 = f2(v)
cp⋅Dh = ϕ(T)
cp = cp(T)
cv⋅Du = – a
f1 = f1(T)
cv⋅Du = -a
-
-
cv⋅Du = ψ(T)
f1 = f1(p)
cp⋅Dh = b
cp⋅Dh = ϕ(T)
cp = cp(T)
-
f1 = f1(v)
cv = сv(T)
-
-
cv = cv(T)
Можно ввести ряд новых предпосылок классификации: cp⋅Dh = idem;
cp⋅Dh = ψ(p)/Tn; cp⋅Dh = ψ(T)/(p + a)n; cv⋅Du = f(T); cv⋅Du = idem; cv⋅Du = ϕ(v)/Tn;
cv⋅Du = ϕ(T)/(v + a)n; cv⋅Du = b/[Tn⋅(v + a)m]; nt = f(T) и nt= idem.
Форма уравнений, имеющих предпосылки: cp⋅Dh = ϕ(T)/(p + a)n; cv⋅Du = ψ(T);
nt = f(T), и использование в качестве предпосылок классификации показателей
термодинамических процессов, а также термодинамическая классификация 155
наиболее известных уравнений состояния реальных газов приведена в работах
кафедры термодинамики и тепловых двигателей РГУ нефти и газа имени Губкина [3, 10, 12].
В связи с широким использованием в энерготехнологических расчетах уравнений состояния в формах (1.346) и (1.348) в таблице 1.5 приведены данные
о выполнении различных предпосылок для случаев, когда величины z и ∆v являются функциями лишь одной из переменных.
126
Часть 1
Таблица 1.5
Выполнение термодинамических предпосылок при определенной форме
величин z и ∆v уравнений (1.348), (1.349)
Вид функции
Выполняемые предпосылки
z = const
nt = 1; cv = cv(T); cp = cp(T); cv⋅Du = 0; сp⋅Dh = 0
z = f(T)
nt = 1
z = f(p)
cv⋅Du = 0; cv = cv(T)
z = f(v)
cp⋅Dh = 0; cp = cp(T)
∆v = const
cv = cv(T); cp = cp(T)
∆v = f(T)
cp⋅Dh = ϕ(T); nt = 2
∆v = f(p)
cp = cp(T)
∆v = f(v)
cv⋅Du = 0; cv = cv(T)
Анализ применимости уравнений состояния различных типов
к области, характерной для работы газопроводов
Для выбора вида уравнения состояния природного газа при решении каждой
конкретной задачи необходимо определить:
– состав газа;
– диапазон изменения параметров состояния (р, Т);
– возможность действия какой-либо одной из рассмотренных предпосылок.
Затем, в соответствии с видом предпосылки, рассмотреть конкретное уравнение
состояния, коэффициенты которого подбираются с учетом допустимого отклонения
от различных термодинамических величин данной модели, принятых за базовые.
Основным компонентом природных газов, как известно, является метан, содержание которого по основным газопроводам страны колеблется в пределах 95÷99%.
Это означает, что при проведении энерготехнологических расчетов транспорта газа
необходимо ориентироваться, прежде всего, на характеристики метана.
Для рассматриваемого круга задач, характеризующегося изменением температуры природного газа в интервале 270÷340 К, характерны четыре диапазона
давления на действующих газопроводах: 3 ÷ 5,5; 4,5 ÷ 7,5; 6 ÷ 10; 7 ÷ 12 МПа.
Анализ изменения термодинамических характеристик показывает, что предпосылки cp⋅Dh = idem; cv⋅Du = idem; cv⋅Du = ϕ(T) и nt = 2 для исследуемой области не
применимы, так как приводят к ошибкам по исследуемым величинам на 30% и более в каждом из рассмотренных диапазонов давлений, не говоря уже о всей области.
В таблице 1.6 приведены значения ошибок, допускаемых в расчетах при использовании ряда предпосылок групп термодинамической классификации уравнений состояния газов в различных диапазонах давлений по трем изотермам и
во всем характерном для газопроводов диапазоне температур и давлений.
В каждом конкретном случае ошибка зависит от вида соответствующей
функции, но не может быть меньше, чем приведенная в таблице 1.6.
Термодинамика в технологических процессах…
127
Таблица 1.6
Отклонения от области действия различных предпосылок построения уравнения
состояния метана (в %)
Диапазон
давлений
р, МПа
3,0÷5,5
4,5÷7,5
6,0÷10,0
7,0÷12,0
Термодинамическая предпосылка
Температура
Т, К
cp = cp(T)
cv = cv(T)
cp⋅Dh = ϕ(T)
pv = ϕ(T)
270
6,0
1,2
3,1
3,4
300
3,9
0,8
0,9
2,1
340
2,4
0,5
0,6
1,1
270
7,8
1,4
2,4
4,1
300
4,8
0,9
0,3
2,4
340
3,0
0,6
1,3
1,2
270
10,2
1,6
1,3
5,0
300
6,3
1,1
1,9
2,8
340
3,8
0,7
2,9
1,4
270
11,5
1,7
5,8
5,5
300
7,5
1,2
4,5
3,1
340
4,6
0,8
5,2
1,5
Как видно из данных таблицы 1.6, для приближенных расчетов в каждом
из рассматриваемых интервалов целесообразно использовать предпосылки
cv = cv(T) и cp⋅Dh = ϕ(T). Именно этим и объясняется широкое использование
в технологических расчетах трубопроводного транспорта уравнений состояния,
основанных на предпосылке cp⋅Dh = ϕ(T).
Для приближенных расчетов можно рекомендовать ряд предпосылок по величине cv⋅Du. Так, погрешность по величине cv⋅Du при использовании предпосылки
ψ(T )
cv ⋅ Du =
при n = 2 и a = 0 (именно при таких параметрах построено боль(v + a)n
шинство уравнений состояния рассматриваемой группы) не превышает 6,9%,
а в рассматриваемых четырех диапазонах давлений составляют соответственно
1,7; 2,4; 3,4 и 4%. Строгий подбор параметра позволяет уменьшить ошибку.
ψ (v )
b
при n = 1
Использование предпосылки cv ⋅ Du = n или cv ⋅ Du = n
T (v + a ) m
T
приводит к погрешности до 30%. При правильном выборе показателя n (в рассматриваемой области n > 2) указанная предпосылка вполне может быть использована.
Большим недостатком предпосылок по величинам cv и cv⋅Du является тот
факт, что они приводят к уравнению состояния вида p = ϕ(Τ, v), которое неудобно для практического применения, так как измеряемыми параметрами на газопроводах являются, прежде всего давление и температура.
128
Часть 1
В связи с этим более целесообразным представляется использование предпосылок по величинам cp и cp⋅Dh.
Как уже отмечалось, к неплохим результатам приводит предпосылка
cp⋅Dh = ϕ(Τ).
Использование более общих предпосылок по величине cp⋅Dh дает при правильном выборе соответствующих параметров более точные результаты.
ψ ( p)
Так, предпосылка c p ⋅ Dh = n при n = 2,44 приводит к ошибке в рассматриT
ваемой области не более 6,6%, а выбирая n = f(p) ошибку можно уменьшить до 2%.
В диапазоне 3 ÷ 8 МПа ошибка при использовании указанной предпосылки
при n = 2 + 0,1·p не превышает 1%.
Для p = 7,0 ÷ 12,0 МПа с точностью до 4% можно принять n = 2,7. Однако,
ни одно из известных уравнений состояния не строилось с учетом указанных
предпосылок, как не строилось уравнение состояния и основанное на предпосылке nt = f(T), достаточно хорошо выполняемой при давлениях 7,5 ÷ 12 МПа.
Таким образом, в качестве приближенных уравнений состояния природных
газов в энерготехнологических расчетах трубопроводного транспорта газа
может быть использовано достаточно большое число уравнений.
Вместе с тем, учет повышенных требований к точности конечных результатов может привести к обоснованию разработки иной системы построения и использования расчетных термодинамических величин.
Каждой отраслевой технологии и, в частности, дальнему транспорту природного газа соответствует свой комплекс термодинамических задач с устойчивым
составом термодинамических величин.
Эти величины, на пример стандартизованные данные по метану, могут быть
заданы в виде таблиц или графиков. При отсутствии ряда каких-либо величин
или необходимых комплексов таблицы или графики должны быть дополнены
с применением базовых уравнений состояния.
В этом случае построение системы термодинамических расчетов сводится
к построению простейших эмпирических интерполяционных уравнений по каждой термодинамической величине.
Термодинамические величины и показатели процессов природных газов
применительно к условиям газопроводов
В технологических расчетах трубопроводного транспорта газа используется
большой набор термодинамических величин – z, ρ, cp, Dh, k, nt, nh и т.д. Большая
часть из них для метана и некоторых составов природных газов приведена
в специальной литературе. Однако отсутствие данных по ряду величин и, прежде
всего, показателей термодинамических процессов приводит к тому, что зачастую
в одной и той же модели технологического процесса используются термодинамические величины, рассчитанные по различным уравнениям состояния, что неизбежно увеличивает погрешность расчета.
Термодинамика в технологических процессах…
129
Калорические свойства газов определяют по их уравнению состояния на
основании дифференциальных соотношений термодинамики, связывающих соответствующие параметры с независимыми переменными уравнения состояния:
а) истинные теплоемкости при постоянном давлении cр и объеме cv:
 ∂cp 
 ∂ 2u 
=
−
T
⋅
 ∂ p 
 ∂T 2  ,
(1.366)
 ∂2 p
 ∂ cv 
=
T
⋅

 ∂T 2  ,
∂ v  T
(1.367)
 ∂v   ∂ p 
cp – cv = T·   ⋅   ;
 ∂T  P  ∂T  v
(1.368)
T
б) коэффициенты Джоуля-Томсона Dh и Джоуля-Гей Люссака Du:
 ∂T 
1
Dh =   = −
 ∂ p h
cp
 ∂h 
1
⋅  =
 ∂ p  T cp

 ∂v  
⋅ v − T ⋅    ,
 ∂T  p 

(1.369)

 ∂ p 
(1.370)
⋅p −T ⋅   ;
 ∂T  v 

в) показатели изотермического nt, адиабатного k, изоэнтальпийного nh и изоэнергетического nu процессов:
v  ∂ p
(1.371)
nt = − ⋅   ,
p  ∂v  T
1
 ∂T 
Du =   = −
 ∂v  u
cv
k=−
1
 ∂u 
⋅  =
 ∂ v  T cv
cp
v  ∂ p
1
⋅   = nt ⋅ =
,


p ∂v s
cv
1 p  ∂ v   ∂T 
− ⋅  ⋅
nT v  ∂T  P  ∂ p  v
nh = −
n u= −
v  ∂ p
⋅  =
p  ∂v  h
nt
,
 ∂ p
1 − Dh ⋅  
 ∂T  v

v  ∂ p
 ∂v  
⋅   = nt ⋅ 1 − Du ⋅    ,
 ∂T  p 
p  ∂v  u

(1.372)
(1.373)
(1.374)
Выражения для внутренней энергии u, энтальпии h и энтропии s получаются
путем общеизвестных приемов интегрирования.
130
Часть 1
Однако для практических расчетов вполне достаточно располагать приведенными термодинамическими характеристиками осредненными в расчетном
интервале температур и давлений.
Приведенные термодинамические соотношения одинаковы для чистых веществ и их смесей.
При решении ряда термодинамических задач (построении приведенных характеристик центробежных нагнетателей (ЦБН), расчете процессов сжатия газа
и т.д.) удобнее располагать не первичными термодинамическими величинами
k
k
cp, Dh, ρ, k, nh и т.д., а комплексами cp⋅Dh, p⋅v,
,
и другими.
k − 1 k − nh
Применение указанных комплексов не только упрощает расчеты, но и позволяет в каждом расчетном случае выбрать правильный подход к их осреднению
в рассматриваемом термодинамическом процессе.
Такой подход позволяет устранить неизбежную дополнительную ошибку
от построения комплекса по осредненным величинам, которая, как показывает
анализ, может быть достаточно большой.
При расчете процесса сжатия газа в нагнетателе область изменения состояния газа ограничена и невелика, что позволяет использовать здесь достаточно
простые эмпирические соотношения.
Математическая обработка экспериментальных данных позволила получить
уточненную систему расчетных термодинамических характеристик метана и
природного газа в диапазоне изменения давления р = 3 ÷ 8 МПа и температуры Т
= 270 ÷ 340 К.
Погрешность определения рассматриваемых величин по сравнению с результатами, полученными по уравнению (1.375–1.384), не превышает 1%.
Метан
Удельная изобарная теплоемкость, кДж/(кг.К):
cp = 2,074 + 6,057⋅10-5⋅t + 1,214⋅10-1⋅р – 1,132⋅10-3⋅t⋅р.
(1.375)
Потенциальная функция, Дж/кг:
p⋅v
= 2535+ 506,4⋅T – 5,734⋅104⋅р + 2,338⋅104⋅T0,15⋅р.
(1.376)
Произведение удельной изобарной теплоемкости на коэффициент ДжоуляТомсона, кДж/(кг.МПа):
cp⋅Dh = 2,428 + 1,1013⋅107⋅T-2,5 – 5,566⋅10-2⋅р1,5 + 1,0205⋅1013⋅T-5,5⋅р.
(1.377)
Показатель адиабаты:
k = 1,173 + 2,781⋅10-4⋅T + 0,3830⋅р – 0,1546⋅T0,15⋅р.
(1.378)
Термодинамика в технологических процессах…
131
Показатель изотермического процесса:
nt = 0,9585 + 6,280⋅10-5⋅T – 0,4498⋅р + 0,1863⋅T0,15⋅р.
(1.379)
Показатель изоэнтальпийного процесса:
nh = 0,8929 + 2,447⋅10-4⋅T1,1 + 1,480⋅10-2⋅р1,4 – 1,035⋅10-4⋅T⋅р.
(1.380)
Коэффициент сжимаемости:
z = 1,015 – 7,080⋅10-5⋅T – 0,4708⋅р + 0,1936⋅T0,15⋅р.
Плотность, кг/м3:
ρ = p·106/(pv).
-0,5
ρ = 107,0 – 682,7⋅T
0,1
– 67,22⋅р
(1.381)
(1.382)
4
+ 4,817⋅10 ⋅T ⋅р,
-1,5
(1.382a)
Удельная энтальпия, кДж/кг:
h = –16,91 + 2,161⋅T – 181,1⋅р + 72,58⋅T0,15⋅р.
(1.383)
Удельная энтропия, кДж/(кг.К):
s = 8,013 + 7,057⋅10-3⋅T – 0,7192⋅р + 0,2519⋅T0,15⋅р.
(1.384)
В соотношениях (1.375) ÷ (1.384) и далее размерность температуры Т [K], t
[oC] и абсолютного давления р [МПа].
Сопоставляя точность эмпирических соотношений для расчета характеристик метана (1.375) ÷ (1.384) с точностью построения термодинамических таблиц, можно отметить, что только определение энтропии немного не отвечает
требованиям.
Для наиболее распространенных составов природных газов с содержанием метана 95 ÷ 100%, отличие природного газа от метана можно учесть, введя в расчеты
величину мольного содержания метана в газе rмет , выраженную в долях единицы.
Обобщение экспериментальных данных по метану и двум составам природного
газа позволило получить эмпирические зависимости для расчета термодинамических характеристик природного газа с содержанием метана rмет = 0,95 ÷ 1.
Удельная изобарная теплоемкость, кДж/(кг.К):
cp = 3,347 – 7,561⋅10-4⋅Т1,4 + 0,4332⋅р1,1 – 5,460⋅10-3⋅Т0,76⋅р1,05 +
0,92
+ 7,777⋅10-10⋅T3,7⋅ rмет
.
(1.385)
Потенциальная функция, Дж/кг:
рv = –180916 + 25033⋅T0,5 – 4,175⋅104⋅р +
−2,05
+ 1,224⋅104⋅T0,205⋅р – 2391⋅T0,65⋅ rмет
.
(1.386)
132
Часть 1
Произведение удельной изобарной теплоемкости на коэффициент ДжоуляТомсона, кДж/(кг МПа):
cp⋅Dh = 58,90 – 2,245⋅10-4⋅Т2 – rмет⋅(0,4153⋅Т – 1,588⋅p – 21,67⋅rмет +
+ 4,277⋅10-3⋅T⋅p – 8,144⋅10-4⋅Т2 + 2,196⋅10-2⋅p2).
(1.387)
Показатель адиабаты:
k=1,658–6,534·10-3⋅Т0,79+0,3132·p1,06–0,1563⋅Т0,14⋅p +1,021⋅10-5⋅T1,8⋅ rмет . (1.388)
Показатель изотермического процесса:
nt = –1,464 + 0,4959⋅Т0,3 – 0,5532⋅р + 0,1559⋅Т0,15⋅p –
0,73
0,5
– 1,536⋅10-8⋅T2,91⋅ rмет
+ 0,1466⋅p1,071⋅ rмет
.
(1.389)
Показатель изоэнтальпийного процесса:
nh=2,007+9,446⋅10-4⋅Т1,2+1,434⋅10-2⋅p1,4–7,752⋅10-5⋅Т⋅p1,1–0,1089⋅T0,5⋅ rмет . (1.390)
Коэффициент сжимаемости:
−1,67
z = –0,2262 + 9,093⋅T-0,33 – 0,4837⋅p + 0,1988⋅T0,15⋅p – 766312⋅T-2,7⋅ rмет
. (1.391)
Плотность, кг/м3:
ρ = p·106/(pv),
ρ = –78,72 + 35597⋅T-1,2 + 30,54⋅p0,89 + 2,234⋅10-2⋅T1,2⋅p +
0,498
.
+ 3,652⋅10-4⋅T2⋅ rмет + 0,3647⋅p2⋅ rмет – 0,1328⋅T⋅p⋅ rмет
(1.392)
(1.392a)
Удельная энтальпия, кДж/кг:
h = –13395 + 2,667⋅T – 34,77⋅p + 7,817⋅10-2⋅T⋅p – 29,90⋅10-4⋅Т2 – 0,5882⋅p2 +
+ rмет⋅(26936 – 13636⋅rмет +3,065⋅10-3⋅T⋅p + 21,76⋅10-4⋅Т2 + 0,5927⋅p2). (1.393)
Следует отметить, что полученные соотношения (1.385) ÷ (1.393) в целом
точнее ныне используемой системы расчетных соотношений для определения
термодинамических характеристик. Средние погрешности уменьшены в 1,3 ÷ 2
раза, величин максимальных ошибок уменьшены в 1,5 ÷ 3 раза.
Так как точность определения потенциальной функции pv по соотношению
(1.386), лучше точности определения коэффициента сжимаемости z и плотности ρ, то при известном составе природного газа целесообразно z и ρ определять через значения потенциальной функции.
Приведенные эмпирические соотношения используются при решении ряда
энерготехнологических задач, и, в частности, при разработке диагностических
моделей для определения разности энтальпии и потенциальной работы сжатия
газа в нагнетателе.
Термодинамика в технологических процессах…
133
Проведенный анализ показал, что разность энтальпии газа ∆h2 в центробежном
нагнетателе целесообразней определять непосредственно по соотношению (1.393).
До настоящего момента для этой цели использовалось ∆h1 соотношение:
∆h = cp1⋅(t2 – t1) – (cp⋅Dh)2. (р2 – p1).
(1.394)
Оценка точности расчета разности энтальпии метана, по сравнению с эталоном ∆hэ, приведена в таблице 1.7.
В качестве эталона принят расчет по термодинамическому соотношению
(1.394) с определением величин cp1 и (cp⋅Dh)m2 по данным Госстандарта.
Таблица 1.7
Расчет разности энтальпии ∆h, кДж/кг при сжатии метана в ЦБН
Параметры
Варианты сравнения
1
2
3
4
5
6
7
Исходные данные:
Температура на входе, К
280
270
275
290
300
280
280
Температура на выходе, К
300
290
290
310
320
310
310
Давление на входе, МПа
4,0
4,0
3,75
4,5
4.5
5,0
5,5
Давление на выходе, МПа
5,0
5,0
4,5
5,6
5,5
7,0
7,5
Степень сжатия
1,25
1,25
1,2
1,244
1,222
1,4
1,364
Политропный КПД
0,769
0,740
0,83
0,775
0,714
0,787
0,702
∆hэ, кДж/кг
40,00
39,60
29,30
40,36
42,00
58,80
60,25
∆h1, кДж/кг
40,10
39,38
29,17
40,64
42,00
59,24
60,62
δ, %
0,25
-0,56
-0,45
0,69
0
0,75
0,61
∆h2, кДж/кг
40,03
39,54
29,29
40,38
41,82
58,71
59,93
δ, %
0,08
-0,15
-0,03
0,05
-0,43
-0,15
-0,53
Результаты расчета:
При хорошей точности, предлагаемые соотношения (1.385) ÷ (1.393) просты
в реализации, их удобны в расчетах.
Рассмотренная система расчета термодинамических характеристик действует
в указанном диапазоне давлений и температур. Следует отметить, что аналогичные соотношения могут быть получены и для других интервалов давлений и тем-
134
Часть 1
ператур природного газа. Это является актуальной задачей, так как современные
магистральные газопроводы спроектированы и работают под гораздо большим
давлением газа.
Следует отметить, что при решении частных задач подобный подход может
привести к соотношениям еще более простого вида. Так как не изменяется состав газа и уменьшается диапазон изменения давлений и температуры.
Полученные соотношения (1.385) ÷ (1.393) используются в методиках и программах расчета оценки технического состояния и определения технологических показателей работы газоперекачивающих агрегатов, внедренных в ряде
газотранспортных предприятий страны, отраслевой методике нормирования
топливно-энергетических затрат на газотурбинных компрессорных станциях.
Теплопередача в технологических процессах
135
Часть 2.
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ
НЕФТЯНОЙ И ГАЗОВОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ
Теплопередача (теория теплообмена) – наука, изучающая процессы передачи
теплоты между телами, распространение теплоты в пространстве и распределение температуры в телах [5, 15, 17].
Знание законов теплообмена позволяет определить количество передаваемой
теплоты, интенсифицировать теплообмен в одних случаях и затруднить его
в других, правильно конструировать и оптимально эксплуатировать машины,
аппараты и другие технические устройства, в которых рабочие процессы сопровождаются теплообменом.
2.1. Основные положения теории теплообмена
При соприкосновении двух тел с различной температурой происходит обмен
энергии движения частиц этих тел (молекул, атомов, свободных электронов)
в результате, которого интенсивность движения частиц тела с меньшей температурой увеличивается, а интенсивность движения частиц тела с более высокой
температурой уменьшается: тело с меньшей температурой нагревается, а другое
остывает. Следовательно, для возникновения процесса теплообмена между двумя телами или между различными областями пространства, заполненного вещественной средой, необходимо наличие разности температур.
Наряду с распространением теплоты в вещественной среде, вызванным тепловым движением ее частиц, наблюдается также перенос теплоты излучением, когда энергия передается от одного тела к другому посредством электромагнитных волн.
Различают три основные формы передачи теплоты: теплопроводность, конвективный теплообмен и лучистый теплообмен.
Теплопроводность представляет собой форму передачи теплоты путем непосредственного соприкосновения тел или отдельных частиц тела, имеющих различную температуру. При этом процесс теплообмена происходит вследствие
передачи энергии микродвижения одних элементарных частиц другим.
Конвективным теплообменом называется форма передачи теплоты в пространстве, осуществляемая при перемещении макрочастиц жидкости или газа.
При перемещении в пространстве различно нагретых частиц жидкости или газа
136
Часть 2
происходит непосредственное их соприкосновение, поэтому здесь имеет место
теплопроводность. Следовательно, конвективный теплообмен представляет собой совокупное действие двух процессов – конвекции и теплопроводности.
В зависимости от причины, вызывающей движение жидкости, различают
конвективный теплообмен при свободном движении (свободная конвекция)
и конвективный теплообмен при вынужденном движении жидкости (вынужденная конвекция).
Свободная конвекция возникает вследствие разности плотностей неравномерно
нагретых слоев жидкости или газа в поле сил тяготения. Возникновение
и интенсивность свободной конвекции зависит от разности температур, рода
и физических свойств жидкости, геометрии тела и объема пространства в котором
протекает процесс.
Вынужденная конвекция возникает под влиянием внешнего воздействия (например, ветра, насоса, компрессора, вентилятора и т.д.), которое создает перепад
давления. Интенсивность процесса зависит от рода и физических свойств среды, ее
температуры, скорости движения, формы и размеров пространства, в котором происходит движение.
Тепловым излучением называется процесс переноса энергии в пространстве
электромагнитными волнами.
Лучистым теплообменом называется форма передачи теплоты излучением
между телами, которая включает последовательное превращение внутренней
энергии одного тела в энергию излучения, распространение ее в пространстве
и превращение энергии излучения во внутреннюю энергию другого тела.
Рассмотренные формы передачи теплоты во многих случаях осуществляются
совместно, что необходимо учитывать при расчете теплообмена в технологических процессах нефтяной и газовой промышленности.
Температурное поле
Процесс теплообмена может иметь место только при условии, что в различных точках тела (или системы) температура неодинакова. В общем случае
процесс распространение теплоты в телах и теплообмен между телами сопровождается изменением температуры, как в пространстве, так и во времени.
Совокупность значений температуры t в данный момент времени τ для
всех точек пространства, определяемых координатами x, y , z , называется температурным полем
t = f ( x, y , z , τ ) .
(2.1)
Уравнение (2.1) является математическим выражением температурного поля,
записанным в неявной форме. Различают стационарное (установившееся) и
нестационарное (неустановившееся) температурные поля.
Стационарное температурное поле наблюдается в том случае, когда температура в различных точках пространства не изменяется во времени. Если температура изменяется во времени – температурное поле называется нестационарным.
Теплопередача в технологических процессах…
137
Температурное поле может быть функцией трех, двух и одной координаты.
Соответственно оно называется трех-, двух и одномерным.
Уравнение простейшего одномерного стационарного температурного поля
имеет следующий вид:
t = f ( x) .
(2.1а)
В соответствии с классификацией температурного поля принципиально различают стационарный и нестационарный процессы передачи теплоты.
Аналитическое исследование теплообмена сводится к изучению пространственно-временного изменения температуры, т.е. нахождению уравнения (2.1)
в явном виде.
Температурный градиент
Геометрическое место точек, имеющих одинаковую температуру называется
изотермической поверхностью. Пересечение тела плоскостью в сечении дает
семейство изотерм.
Поскольку в одной и той же точке тела одновременно не может быть двух
различных значений температуры, изотермические поверхности не могут пересекаться, они либо замыкаются внутри самого тела, либо обрываются на его
границах.
Рассмотрим две близко расположенные изотермические поверхности с температурами t и t + ∆t (рисунок 2.1). При перемещении вдоль изотермической поверхности с температурой t изменение температуры не наблюдается. Перемещаясь
же по направлению x в сторону изотермы, соответствующей значению температуры
t + ∆t , мы будем наблюдать изменение температуры. При этом наибольшее изменение температуры на единицу длины будет наблюдаться в направлении нормали n
к изотермической поверхности. Интенсивность изменения температуры в направлении по нормали к изотермической поверхности характеризуется градиентом температур.
Рис. 2.1. К определению температурного градиента, изотермических линий
и теплового потока
Температурный градиент есть вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и численно рав-
138
Часть 2
ный пределу отношения изменения температуры ∆t к расстоянию между изотермами по нормали ∆n (К/м)
 ∆t  ∂t
grad t = lim   =
.
(2.2)
∆n→ 0  ∆n 
∂n
В случае трехмерного температурного поля суммарный температурный градиент определяется по правилу сложения векторов
grad t = i ⋅ grad t x + j ⋅ grad t y + k ⋅ grad t z ,
(2.3)
где i, j , k – единичные векторы в направлении x, y , z .
Тепловой поток
Количество теплоты Qτ , проходящее в единицу времени через изотермическую поверхность F, называется тепловым потоком Q, Вт. Тепловой поток,
приходящийся на единицу площади поверхности, называется удельным тепловым потоком, плотностью теплового потока q, Вт/м2.
q=
δ Qτ
.
dF ⋅ d τ
(2.4)
Если градиент температуры для различных точек поверхности различный, то
количество теплоты через всю изотермическую поверхность в единицу времени
равно
Q = ∫ q ⋅ dF ,
(2.5)
F
где dF – элемент изотермической поверхности, м2.
Тепловой поток Q, а также плотность теплового потока q являются векторами,
за положительное направление которых принимается направление по нормали
к изотермической поверхности в сторону уменьшения температуры (рисунок 2.1).
2.2. Теплопроводность при стационарном температурном поле
В чистом виде теплопроводность наблюдается в твердых телах, а также
в тонких прослойках жидкости и газа при отсутствии в них движения. В металлах перенос теплоты осуществляется путем движения (диффузии) свободных
электронов, передача теплоты за счет упругих колебаний кристаллической решетки второстепенна. В жидкостях и твердых телах – диэлектриках теплопроводность осуществляется упругими волнами.
В газообразных телах распространение теплоты теплопроводностью происходит вследствие обмена энергией при соударении молекул, имеющих различную скорость теплового движения (путем диффузии молекул и атомов).
139
Теплопередача в технологических процессах…
Стационарная теплопроводность
Необходимым условием распространения теплоты является неравномерность распределения температуры в рассматриваемой среде.
Согласно закону Фурье, количество теплоты проходящей через элемент изотермической поверхности dF за промежуток времени d τ , пропорционально
температурному градиенту
δQτ = −λ ⋅ grad t ⋅ dF ⋅ d τ = −λ ⋅
∂t
⋅ dF ⋅ d τ ,
∂n
(2.6)
где λ – коэффициент пропорциональности, физический параметр вещества, называемый коэффициентом теплопроводности, Вт/(м·К); dF – элементарная
площадь поверхности теплообмена, м2; d τ – временной промежуток, с.
Тепловой поток, согласно закону Фурье
Q = ∫ q ⋅ dF = − ∫ λ ⋅
F
F
∂t
⋅ dF .
∂n
(2.6а)
При постоянном значении коэффициента теплопроводности тепловой поток
и плотность теплового потока определяются следующим образом:
Q = −λ ⋅
∂t
⋅F .
∂n
(2.7)
∂t
.
∂n
(2.8)
q = −λ ⋅
Знак минус в правой части уравнений (2.7) и (2.8) указывает на то, что тепловой поток и температурный градиент, как векторы, имеют противоположные направления.
Полное количество теплоты
τ
Qτ = − ∫ ∫ λ ⋅
0 F
∂t
⋅ dF ⋅ d τ .
∂n
(2.9)
Выражение плотности тепловых потоков в направлении осей x, y, z может
быть записано в виде:
∂t
∂t
∂t
q y = −λ ⋅ ;
(2.10)
qx = −λ ⋅ ;
qz = −λ ⋅ .
∂y
∂x
∂z
Вектор теплового потока с учетом (2.10) для трехмерной задачи составит
q = i ⋅ qx + j ⋅ q y + k ⋅ qz .
(2.10а)
140
Часть 2
Коэффициент теплопроводности
Под коэффициентом теплопроводности понимают тепловой поток, передаваемый через единичную площадь поверхности при единичном значении температурного градиента
δQ
λ=
.
(2.11)
F ⋅ grad t
Коэффициент теплопроводности для каждого тела имеет свое численное
значение и зависит от природы, пористости, влажности, давления, температуры
и других параметров. При выводе уравнения (2.7) принято, что λ не зависит
от температуры и является постоянной величиной. Однако, как показывают
опыты, для многих материалов с достаточной для практики степенью точности,
зависимость коэффициента теплопроводности от температуры можно принять
линейной, во всем рассматриваемом интервале температур
λ = λ0 ⋅ (1 ± b ⋅ t ),
(2.12)
где λ0 – коэффициент теплопроводности при температуре t0 ; b – постоянная,
характеризующая приращение (уменьшение) λ материала при повышении его
температуры на 1 градус.
Наихудшими проводниками теплоты являются газы. Коэффициент теплопроводности газов возрастает с увеличением температуры и изменяется в пределах 0,005–0,5 Вт/(м·К).
Коэффициент теплопроводности жидкостей лежит в пределах 0,07–0,7 Вт/(м·К)
и, как правило (за исключением воды и глицерина), уменьшается с увеличением
температуры.
Наилучшими проводниками теплоты являются металлы, у которых
λ = 1 0 ÷ 4 2 0 Вт/(м·К). У большей части чистых металлов с возрастанием температуры он уменьшается.
Дифференциальное уравнение теплопроводности
Распределение температуры в теле описывается дифференциальным уравнением теплопроводности, которое, при принятых допущениях, а именно – тело
однородно и изотропно; физические параметры тела постоянны во времени
и пространстве; температурные деформации рассматриваемого элементарного
объема малы по сравнению с самим объемом; внутренние источники теплоты
распределены в рассматриваемом объеме равномерно; макрочастицы тела неподвижны относительно друг друга; имеет следующий вид:
 ∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t 
q
q
∂t
= a ⋅ ∇2t + v = a ⋅  2 + 2 + 2  + v ,
∂τ
cp ⋅ ρ
∂y
∂z  c p ⋅ ρ
 ∂x
где a =
(2.13)
λ
– коэффициент температуропроводности, характеризующий скоcp ⋅ ρ
рость изменения температуры в любой точке тела, м2/c; c p – изобарная тепло-
Теплопередача в технологических процессах…
141
емкость тела, Дж/(кг·К); ρ – плотность тела, кг/м3; qv – объемная плотность тепловыделения, Bт/м3; ∇ – оператор Лапласа.
Уравнение (2.13) называется дифференциальным уравнением теплопроводности.
В цилиндрических координатах уравнение (2.13) имеет следующий вид:
 ∂ 2 t 1 ∂t 1 ∂ 2 t ∂ 2 t 
q
∂t
= a⋅ 2 +
+ 2
+ 2 + v ,
2
r ∂r r ∂ϕ
∂τ
∂z  c р ⋅ ρ
 ∂r
(2.14)
где r – радиус вектор; ϕ – угол наклона радиуса-вектора.
Чтобы получить конкретное решение уравнения (2.13) для рассматриваемого
случая, необходимо ввести полное математическое описание данного конкретного процесса теплопроводности. Эти частные особенности называются условиями однозначности или краевыми условиями, включающими:
• геометрические условия (форма, размеры тела);
• физические условия (физические свойства тела и его параметры);
• начальные условия (распределение температуры в теле в начальный
момент времени);
• граничные условия, определяющие взаимодействие тела с окружающей
средой.
Граничные условия первого рода. Задается распределение температуры
на поверхности тела, как функция координат и времени
tc = f ( x, y, z, τ),
(2.15)
где tc – температура поверхности тела.
В частном случае, если температура поверхности тела постоянна, выражение
(2.15) имеет вид tc = idem .
Граничные условия второго рода. Задается распределение плотности теплового потока на поверхности тела, как функция координат и времени
qc = f ( x, y, z, τ) .
(2.16)
В частном случае, когда плотность теплового потока на поверхности тела остается постоянной, имеем qc = q0 = idem .
Граничные условия третьего рода. Задается температура окружающей среды
tж и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой (уравнение Ньютона-Рихмана)
q = α ⋅ (tc − tж ) если tс > tж ,
(2.17)
где α – коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2.К), численно равный плотности теплового потока, подведенного (отведенного) к единице поверхности тела при разности температур между поверхностью тела и окружающей среды в 1 градус.
142
Часть 2
Из закона сохранение энергии следует, что теплота, подведенная (отведенная) к поверхности тела, распространяется в теле по закону Фурье. Следовательно, на основании уравнений (2.8) и (2.17) имеем
 ∂t 
α ⋅ (tc − tж ) = −λ ⋅   .
 ∂n  п
(2.18)
Индекс «п» означает, что температурный градиент относится к поверхности
тела.
Выражение (2.18) можно записать в виде
α
 ∂t 
  = − ⋅ (tс − tж ) .
∂n c
λ
(2.19)
Уравнение (2.19) является аналитическим выражением граничных условий
третьего рода.
Граничные условия четвертого рода. Отражают условия теплообмена системы тел, имеющих различные значения коэффициентов теплопроводности. Между телами предполагается идеальный контакт. Тогда, при постоянной тепловом
потоке, получаем
 ∂t 
 ∂t 
(2.20)
λ1 ⋅  1  = λ 2 ⋅  2  ,
 ∂n  с
 ∂n  c
где λ1 , λ2 – коэффициенты теплопроводности первого и второго тела, соответственно.
Теплопроводность плоской стенки
При установившемся (стационарном) тепловом режиме
∂t
= 0 и уравнение
∂τ
(2.13) принимает вид
a ⋅ ∇2t +
qv
q
= 0 или ∇ 2 t + v = 0 .
cр ⋅ ρ
λ
(2.21)
Развернутая форма оператора ∇2t зависит от выбранной системы координат.
При отсутствии внутренних источников теплоты qv = 0 и уравнение теплопроводности при стационарном температурном поле запишется в виде
∇2 t = 0 .
(2.21а)
Определим тепловой поток через изотропную плоскую стенку. Предполагая,
что температура меняется только в направлении, перпендикулярном плоскости
стенки (рисунок 2.2а) имеем:
143
Теплопередача в технологических процессах…
∂t ∂t
= =0
∂y ∂z
(2.22)
∂ 2 t d 2t
=
=0.
∂x 2 dx 2
(2.22а)
и
а
б
Рис. 2.2. Теплопроводность плоской однослойной (а) и многослойной (б) стенки
Интегрируя уравнение (2.22а), имеем
dt
= C1 .
dx
(2.23)
t = C1 ⋅ x + C2 .
(2.24)
Второе интегрирование дает
Постоянные интегрирования определяются из граничных условий первого
рода:
при
x = 0, t = tc1 ,
C2 = tc1 ,
при
x = δ , t = tc2 ,
C1 = −
tc1 − tc2
.
δ
(2.25)
144
Часть 2
Подставляя постоянные интегрирования в соотношение (2.24), получим
уравнение распределения температуры в плоской стенке
t = tc1 −
tc1 − tc2
⋅x.
δ
(2.26)
Из выражения (2.26) следует, что температура в плоской стенке изменяется
по линейному закону.
∂t
По закону Фурье q = −λ ⋅
и, с учетом формул (2.23) и (2.25), получим
∂n
q=
λ
⋅ ( tc1 − tc2 ) .
δ
(2.27)
Тепловой поток определяется следующим образом
Q = q⋅F =
Отношение
ная величина
λ
⋅ (tc1 − tc2 ) ⋅ F .
δ
(2.28)
λ
называется тепловой проводимостью плоской стенки. Обратδ
δ
представляет собой удельное термическое сопротивление плоλ
ской стенки.
Уравнения (2.27) и (2.28) могут быть представлены следующим образом:
q=
tс1 − tс2
,
δ
λ
Q = q⋅ F =
tс1 − tс2
.
δ
λ⋅F
(2.29)
(2.30)
Таким образом, можно утверждать, что величина удельного или полного
теплового потока зависит от термического сопротивления стенки.
Рассмотрим передачу теплоты теплопроводностью через плоскую трехслойную стенку (рисунок 2.2б) при условиях: толщина слоев стенки δ1 , δ2 , δ3 ;
коэффициенты теплопроводности материалов соответственно λ1 , λ 2 , λ 3 ; контакт между стенками идеальный и температуры на границе смежных слоев одинаковы. Перенос теплоты происходит в стационарных условиях – плотность теплового потока по всем слоям стенки имеет одно и то же значение (q = idem).
Теплопередача в технологических процессах…
145
Запишем выражения плотности теплового потока через стенки
q=
λ1
λ
λ
⋅ ( tс1 − tс2 ) = 2 ⋅ ( tс3 − tс2 ) = 3 ⋅ ( tс3 − tс4 )
δ1
δ2
δ3
(2.31)
Выделим из этого ряда равенств разности температур (падение температуры
по слоям стенки):
tс1 − tс2 = q ⋅
δ1
= q ⋅ R1 ;
λ1
(2.32)
tс2 − tс3 = q ⋅
δ2
= q ⋅ R2 ;
λ2
(2.32а)
tс3 − tс4 = q ⋅
δ3
= q ⋅ R3 .
λ3
(2.32б)
Складывая левые и правые части уравнений, получаем: слева – изменение
температуры в стенке tс1 − tс4 , справа – произведение плотности теплового потока q и термического сопротивления трехслойной плоской стенки
R1 + R2 + R3 = R
δ
δ 
δ
t с1 − t с 4 = q ⋅  1 + 2 + 3  = q ⋅ ( R1 + R 2 + R 3 ) .
λ3 
 λ1 λ 2
(2.33)
Таким образом, для плотности теплового потока через плоскую трехслойную
стенку получим следующее выражение:
q=
tс1 − tс4
tс1 − tс4
=
.
δ1 δ 2 δ 3 R1 + R2 + R3
+
+
λ1 λ 2 λ 3
(2.34)
В общем случае для многослойной плоской стенки, состоящей из n – слоев,
это выражение для плотности теплового потока запишется так
q=
tс1 − tс(n +1)
δi
∑
i =1 λ i
n
=
tс1 − tс(n +1)
n
∑R
=
tс1 − tс(n +1)
R
,
(2.35)
i
i =1
где R – общее термическое сопротивление теплопроводностью многослойной
плоской стенки.
146
Часть 2
Как следует из соотношения (2.35), плотность теплового потока прямо пропорциональна разности температур tс1 − tс(n +1) и обратно пропорциональна термическому сопротивлению стенки R.
Теплопроводность цилиндрической стенки
Рассмотрим процесс передачи теплоты теплопроводностью через цилиндрическую однослойную стенку (рисунок 2.3) с внутренним диаметром d1=2r1 и наружным диаметром d2=2r2 в условиях стационарного температурного поля
 ∂t

 = 0 . Внутренние источники теплоты отсутствуют (qv=0).
∂τ
Рис. 2.3. Теплопроводность цилиндрической стенки
Дифференциальное уравнение теплопроводности через цилиндрическую
стенку (2.14) в рассматриваемых условиях имеет вид
 ∂ 2 t 1 ∂t 1 ∂ 2 t ∂ 2 t 
∂t
=0.
= a⋅ 2 +
+
+
∂τ
r ∂r r 2 ∂ϕ 2 ∂z 2 
 ∂r
(2.36)
Температуры на наружной и внутренней поверхности цилиндрической стенки неизменны и ось z совмещена с осью цилиндра
∂ 2t
∂ 2t
=0.
и
=
0
∂z 2
∂ϕ 2
(2.36а)
147
Теплопередача в технологических процессах…
В данном случае температура изменяется только по радиусу
d 2t 1 dt
+
= 0.
d 2 r r dr
(2.37)
Граничные условия:
при
при
r = r1
r = r2
t = tс1 ,
t = tс2 .
(2.38)
(2.38а)
Для решения уравнения (2.37) введем новую переменную u =
dt
, тогда
dr
уравнение (2.37) запишется в виде
du u
+ = 0.
dr r
(2.39)
Интегрируя соотношение (2.39), получим
ln u + ln r = ln C1 .
(2.40)
Потенцируя выражение (2.40) и переходя к первоначальным переменным,
получаем
dr
(2.41)
dt = C1 ⋅ .
r
После интегрирования имеем
t = C1 ⋅ ln r + C2 .
(2.42)
Постоянные интегрирования С1 и С2 можно определить из граничных условий (2.38):
tc1 = C1 ⋅ ln r1 + C2 ;
tc2 = C1 ⋅ ln r2 + C2 .
(2.43)
Решая уравнение (2.43) относительно С1 и С2, найдем:
С1 =
tc1 − tc2
;
r
ln 1
r2
С2 = tc1 − (tc1 − tc2 ) ⋅
ln r1
.
r
ln 1
r2
(2.43а)
Подставляя полученные значения С1 и С2 в уравнение (2.42), получаем
r
r
t = tc1 − (tc1 − tc2 ) 1 .
r2
ln
r1
ln
(2.44)
148
Часть 2
Выражение температурного поля (2.44) представляет собой уравнение логарифмической кривой.
То обстоятельство, что распределение температуры в цилиндрической стенке является криволинейным, можно объяснить следующим.
В случае плоской стенки плотность теплового потока q остается одинаковой
для всех изотермических поверхностей.
В случае цилиндрической стенки плотность теплового потока через любую
изотермическую поверхность будет величиной переменой, так как величина
площади поверхности зависит от радиуса.
Для определения теплового потока через цилиндрическую стенку воспользуемся законом Фурье
Q = −λ ⋅
∂t
⋅F .
∂r
(2.45)
Подставляя в уравнение Фурье значение градиента температуры (2.41) получим (учитывая, что F = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ ℓ ) выражение для теплового потока через
цилиндрическую стенку
2 ⋅ π ⋅ λ ⋅ ℓ ⋅ ( tc1 − tc2 )
r
ln 2
r1
(2.46)
2 ⋅ π ⋅ λ ⋅ ℓ ⋅ (tc1 − tc2 ) π ⋅ ℓ ⋅ (tс1 − tс2 )
.
=
d
d
1
ln 2
⋅ ln 2
d1
2λ
d1
(2.46а)
Q=
или
Q=
Тепловой поток может быть отнесен либо к единице внутренней или внешней поверхности, либо к единице длины.
Тепловой поток через единицу площади внутренней поверхности (q1)
q1 =
Q
=
π ⋅ d1 ⋅ ℓ
(tc1 − tc2 )
d
1
⋅ ln 2
d1 ⋅
2λ
d1
.
(2.47)
Тепловой поток через единицу площади внешней поверхности (q2)
q2 =
Q
=
π ⋅ d2 ⋅ ℓ
(tc1 − tc2 )
d
1
d2 ⋅
⋅ ln 2
2λ
d1
,
(2.48)
Теплопередача в технологических процессах…
149
Тепловой поток через единицу длины цилиндрической стенки ( qℓ )
Q π ⋅ ( tc1 − tc2 )
,
=
d2
1
ℓ
⋅ ln
2λ
d1
qℓ =
(2.49)
Тепловой поток, отнесенный к единице длины qℓ , имеет размерность Вт/м
и называется линейным тепловым потоком.
Рассуждая аналогично, как при получении расчетного соотношения теплового потока для многослойной плоской стенки, можно получить выражение для
определения линейного теплового потока в случае многослойной цилиндрической стенки
qℓ =
i=n
(
π ⋅ tc1 − tc ( n +1)
i=n
),
d
1
⋅ ln i +1
∑
di
i =1 2λ i
(2.50)
di +1
называется линейным термическим сопротивлением
di
i =1
i
теплопроводности многослойной цилиндрической стенки.
Из уравнения (2.50) может быть определена температура на границе любых
двух слоев
где величина
1
∑ 2λ
⋅ ln
tc ( j +1) = tc1 −
ql  j 1
d 
⋅∑
⋅ ln i +1  .
2 ⋅ π  i =1 2λ i
di 
(2.51)
Теплопроводность криволинейной стенки
При передаче теплоты через произвольные криволинейные стенки тепловой
поток определяется по такому же уравнению, как и для плоской стенки, только
в выражение вводится расчетная поверхность теплопередачи
Q=
λ
⋅ Fm ⋅ ( tc1 − tc2 ) .
δ
(2.52)
Расчетная площадь поверхности теплопроводности Fm определяется в зависимости от формы стенки, через которую происходит передача теплоты:
для плоской стенки Fm = Fma =
F1 + F2
;
2
для цилиндрической стенки Fm = FmL = ( F2 − F1 ) ln ( F2 F1 ) ;
для сферической стенки Fm = FmG = F1 ⋅ F2 .
150
Часть 2
Тепловой поток через многослойные криволинейные стенки определяется по
уравнению [17]
tс1 − tс(n +1)
,
(2.53)
Q= n
δi
∑
i =1 λ i ⋅ Fmi
где δi , λi , Fmi – толщина, коэффициент теплопроводности и расчетная поверхность рассматриваемого i слоя.
Уравнения (2.52) и (2.53) называются обобщенными уравнениями стационарной теплопроводности.
Подставляя в уравнения (2.52) или (2.53) значения расчетных поверхностей
можно получить уравнение теплопроводности для плоской, цилиндрической
или сферической стенки.
2.3. Теплопроводность при нестационарном температурном поле
Решить задачу теплопроводности при нестационарном температурном поле –
значить установить зависимость между температурой t, временем τ и координатами тела x, y, z. Такая зависимость получается решением дифференциального
уравнения теплопроводности при определенных условиях однозначности.
При отсутствии внутренних источников тепла дифференциальное уравнение
теплопроводности имеет вид
 ∂ 2 t ∂ 2t ∂ 2 t 
∂t
= a ⋅ ∇2t = a ⋅  2 + 2 + 2  .
∂τ
∂y
∂z 
 ∂x
(2.54)
Уравнение (2.54) является линейным, однородным дифференциальным
уравнением второго порядка в частных производных. Решение такого уравнения
представляет собой сумму частных решений, в которых постоянные интегрирования Сi имеют определенные значения. Соответствующим подбором постоянных Ci, удовлетворяют решение исходному дифференциальному уравнению и условиям однозначности.
Дифференциальные уравнения второго порядка в частных производных
решаются как классическими методами (методы разделения переменных и источников, преобразования Лапласа), так и численными методами [5, 15, 20].
Метод разделения переменных. По этому методу решается уравнение теплопроводности, а затем, исходя из начальных и граничных условий, определяются постоянные в общем решении. Частное решение выражается произведением двух функций, одна из которых U(τ) зависит только от времени τ,
а другая P(x, y, z) зависит только от координат
t = C ⋅ U ( τ ) ⋅ P ( x, y , z ) ,
где С – произвольная постоянная.
(2.55)
Теплопередача в технологических процессах…
151
Подставляя решение (2.55) в уравнение (2.54) получим
U ′ ( τ ) ⋅ P ( x, y , z ) = a ⋅ U ( τ ) ⋅ ∇ 2 P ( x, y , z ) .
(2.56)
Уравнение (2.56) можно переписать так
U ′ ( τ)
∇ 2 P ( x, y , z )
= a⋅
.
U (τ)
P ( x, y , z )
(2.57)
Левая часть уравнения (2.57) может зависеть только от τ или быть постоянным
числом; она не зависит от координат. Правая часть может зависеть от координат
или быть постоянным числом; она не зависит от времени. Поскольку уравнение
(2.57) справедливо при любых значениях времени и координат, то правая и левая
части его равны постоянной величине, которую обозначим через D.
Таким образом, мы получим два дифференциальных уравнения для определения вида функций U(τ) и P(x, y, z):
U ′ (τ)
= D;
U (τ)
a⋅
∇ 2 P ( x, y , z )
=D.
P ( x, y , z )
(2.58)
Решением уравнения (2.58) является
U (τ) = C ⋅ e D⋅τ ,
(2.59)
где С – постоянная интегрирования.
Постоянная величина D выбирается из физических соображений. В большинстве случаев при нагревании или охлаждении тел по истечении длительного
времени температура распределяется в теле определенным образом. Для тепловых
процессов, стремящихся к тепловому равновесию, величина D не может быть положительной, потому что можно задать такой промежуток времени, при котором
температура в теле будет стремиться к бесконечности, что физически невозможно.
Величина D не может равняться нулю, так как при D = 0 функция U(τ) в уравнении
(2.59) имела бы постоянное значение, а температура тела не зависела бы
от времени, как это следует из уравнения (2.55), что не реально.
Таким образом, из физических соображений следует, что величина D может
быть отрицательной или мнимой величиной. Последний случай будет при условии, что температура тела есть периодическая функция времени, тогда экспонента (2.59) будет периодической функцией времени.
Рассматривая случай, когда D < 0, предположим, что
D = −а ⋅ m2 ,
(2.60)
где а – коэффициент температуропроводности (величина положительная);
m – некоторая постоянная величина, определяемая из граничных условий.
152
Часть 2
С учетом (2.60) имеем выражение для функции U (τ )
U ( τ ) = C ⋅ e − a⋅m
Уравнение (2.58) для
P( x, y , z )
2
⋅τ
.
(2.61)
записывается следующим образом
∇2 P( x, y, z ) + m2 ⋅ P( x, y, z ) = 0.
(2.62)
Методы решения уравнения (2.62) излагаются в курсах высшей математики.
Исходя из того, что при заданных условиях однозначности решение уравнение (2.62) найдено и вид функции P ( x, y, z ) известен, частное решение уравнения (2.54) примет вид
(2.63)
t = C ⋅ e − a ⋅m ⋅τ ⋅ P ( x , y , z ).
2
Для общего решения уравнения (2.54) по принципу наложения берут сумму
частных решений. Постоянная m определяется из граничных условий, а постоянная C – из начальных условий.
Метод источников. Метод источников заключается в замене процесса распространения теплоты в теле теплопроводностью совокупностью процессов
выравнивания температуры от большого количества элементарных источников
теплоты, распределенных в пространстве и времени.
Правильный выбор источников теплоты и их распределение во времени – необходимое условие получения надежного решения уравнения теплопроводности.
Сущность метода источников покажем на примере неограниченного тела
при одномерном потоке теплоты. В этом случае действие элементарного источника характеризуется функцией источника на бесконечной прямой
G ( x, τ, ζ ) =
 ( x − ζ) 2 
b
exp  −
.
4⋅a⋅τ
 4⋅ a⋅τ 
(2.64)
Функция G представляет температуру в точке x, если в начальный момент
времени в точке ζ выделяется теплота в количестве Q = b ⋅ c р ⋅ ρ . Количество теплоты на бесконечной прямой равно
Q = cр ⋅ ρ
b
π
∞
b ⋅ c р ⋅ ρ ∞ −u2
 ( x − ζ ) 2  dx
exp
−
=
∫  4 ⋅ a ⋅ τ  2 a ⋅ τ
∫ e du = b ⋅ c р ⋅ ρ,
π −∞
−∞
(2.65)
где
u=
x −ζ
2 a ⋅τ
∞
;
∫e
− u2
−∞
du = π .
(2.65а)
Теплопередача в технологических процессах…
153
Функцию G называют фундаментальным решением уравнения теплопроводности, поскольку она удовлетворяет этому уравнению. В самом деле, для неограниченного тела при одномерном потоке теплоты уравнение (2.54) имеет вид
∂t
∂ 2t
= a⋅ 2 .
∂τ
∂x
(2.66)
Если функция G является решением уравнения (2.66), его можно записать
так
∂G
∂ 2G
= a⋅ 2 .
∂τ
∂x
Пользуясь уравнением (2.64), найдем выражения для
∂G
=
∂τ
∂ 2G
=
∂x 2
(2.67)
∂ 2G
∂G
и
:
∂x 2
∂τ
 ( x − ζ) 2
 ( x − ζ)2 
b
1 
−

 exp  −
;
4⋅π⋅ a⋅τ  4⋅ a⋅τ 2⋅τ
 4⋅a ⋅τ 
 ( x − ζ)2
 ( x − ζ)2 
а⋅b
1 
−

 exp  −
.
4⋅π⋅a⋅ τ  4⋅a⋅ τ 2⋅τ
 4⋅a⋅ τ 
(2.68)
(2.69)
Сопоставление двух последних выражений показывает справедливость уравнения (2.67).
Преобразование Лапласа. Преобразование Лапласа приводит к операционному методу решения линейных и нелинейных дифференциальных уравнений.
В этом методе краевые условия используются в начальной стадии решения, что во
многих случаях исключает необходимость определения произвольных постоянных.
Преобразование Лапласа функции f ( x) , обозначаемое символом L (u ) , сво-
дится к операции умножения f ( x) на e − u⋅ x с последующим интегрированием
в интервале от 0 до ∞
∞
L (u ) = ∫ e − u ⋅ x ⋅ f ( x ) ⋅ dx .
(2.70)
0
Величина u может быть действительной и мнимой; в обоих случаях ее действительная часть должна быть достаточно велика, чтобы обеспечить сходимость интеграла.
Выражение L (u ) называется изображением оригинала, т.е. функции f ( x) .
Таким образом, изображения различных функций f ( x) могут быть получены
непосредственным интегрированием. Например, если f ( x) = x , то изображение этой функции будет
154
Часть 2
∞
L (u ) = ∫ e − u ⋅ x ⋅ f ( x ) ⋅ dx =
0
π
.
4 ⋅ u3
Обратное изображение дает начальную функцию. Например,
(2.71)
x называется
π
.
4 ⋅ u3
Преобразования Лапласа первой и второй производных функций f ( x) определяются соотношениями:
исходной функцией, или оригиналом изображения
 df 
L ⋅   = u ⋅ L(u ) − f (0);
 dx 
(2.72)
 d2 f 
d
L ⋅  2  = u 2 ⋅ L (u ) − u ⋅ f (0) − ⋅ f (0).
dx
 dx 
(2.73)
В этих изображениях f (0) и ее производная представляют граничные условия, которым должна удовлетворять функция f ( x) .
Аналитическое решение большинства задач нестационарной теплопроводности
затруднено, поэтому широко используются численные методы решения, которые
получили свое развитие при использовании компьютеров.
Численный метод. В основу численного метода определения распределения
температуры положено уравнение теплопроводности в конечных разностях, с помощью которого вычисляют температуру в фиксированных точках тела. Для применения численного метода рассматриваемое тело разбивают на ряд элементарных
объемов, и центральным точкам каждого объема присваивается номер [15, 20].
Предполагается, что тепловые свойства каждого такого объема сосредоточены в его центральной узловой точке и что передача теплоты между узловыми точками осуществляется через условные теплопроводящие стержни.
В нестационарном состоянии в каждом элементарном объеме подвод и отвод
теплоты сопровождается изменением внутренней энергии, причем величина этого
изменения зависит от изменения температуры в элементарном объеме в течение
рассматриваемого промежутка времени, его теплоемкости, плотности и массы.
В случае одномерного нестационарного температурного поля уравнение те∂t
d 2t
= a ⋅ 2 заменяется уравнением в конечных разностях
плопроводности
∂τ
dx
∆t
∆ 2t
= a⋅ 2 .
∆τ
∆x
(2.74)
Решение уравнения (2.74) может быть выполнено аналитически и графически.
Теплопередача в технологических процессах…
155
Рассмотрим применение численного метода к расчету распределения температуры в плоской стенке. Разобьем стенку на элементарные объемы V = δ·δ·1 =
δ2 (рисунок 2.4 а, б), где δ – сторона элементарного объема.
а
б
Рис. 2.4. Разбиение и числовая сетка определения нестационарного
температурного поля:
а – одномерное температурное поле; б – двухмерное температурное поле
Плотность теплового потока к узловой точке в соответствии с законом Фурье
∂t
равна q = – λ ⋅ . При малой величине δ плотность теплового потока можно вы∂n
разить через конечные разности
λ
(2.75)
q = − ⋅ ∆t ,
δ
где ∆t – разность температур между смежными узловыми точками.
Общее количество теплоты, подведенное к узлу за время ∆τ равно
Q = q ⋅ ∆τ ⋅ F = −
λ
⋅ ∆t ⋅ ∆τ ⋅ F .
δ
(2.76)
Изменение внутренней энергии в данной узловой точке за время ∆τ определяется следующим образом
∆U = c p ⋅ ρ ⋅ V ⋅ (t ′ − t ),
(2.77)
где t – температура в рассматриваемой узловой точке в момент времени τ;
t ′ – температура в той же точке в момент времени τ + ∆ τ ; V – объем элементарного участка.
Уравнение теплового баланса в конечных разностях для узловой точки 1 (рисунок 2.4а) можно записать в виде
156
Часть 2
Q21 + Q31 =
c р ⋅ ρ ⋅V
∆τ
⋅ (t1 − t1′ ) .
(2.78)
С учетом (2.76) уравнение (2.78) принимает вид
c ρ ⋅V
λ
λ
⋅ (t2 − t1 ) ⋅ δ ⋅ 1 + ⋅ (t3 − t1 ) ⋅ δ ⋅ 1 = р
⋅ (t1′ − t1 ).
δ
δ
∆τ
Разделим уравнение (2.79) на λ и, с учетом того, что V = δ2 ⋅ 1
(2.79)
λ
=а
cр ⋅ ρ
а ⋅ ∆τ
= Fо – критерий Фурье (безразмерное время), искомая температура
δ2
в рассматриваемой точке 1 в последующий интервал времени τ + ∆ τ будет равна
и

 1

t1′ = Fо ⋅ t2 + t3 + t1 ⋅  − 2  .
 Fо


(2.80)
В случае двухмерного температурного поля тело разбивается на элементарные объемы с размерами ячеек ∆x = ∆ y = δ . Расчетная схема узловых точек
показана на рисунке 2.4б.
В соответствии с рисунком 2.4б искомое уравнение температуры для точки 5
запишется в виде

 1

(2.81)
t5′ = Fо ⋅ t1 + t 2 + t3 + t 4 + t5 ⋅  − 4  .
Fо




Уравнения (2.80) и (2.81) являются основой численного метода расчета нестационарной теплопроводности одномерного и двухмерного тела.
В качестве примера рассмотрим расчет нестационарной теплопроводности
одномерного тела методом разделения переменных.
Охлаждение (нагрев) плоской неограниченной пластины
Рассмотрим неограниченную пластину толщиной 2δ, имеющую в начальный
момент времени (τ = 0) постоянную по сечению температуру t0 и помещенную
в среду с постоянной температурой tж < t0
Коэффициент теплоотдачи α с обеих сторон стенки одинаков и не изменяется
в процессе охлаждения. Известны плотность ρ, теплоемкость cp и коэффициент теплопроводности материала стенки λ. В связи с тем, что линейные размеры поверхности стенки велики по сравнению с ее толщиной, изменение температуры будет
происходить только в направлении, перпендикулярном к поверхности стенки.
Таким образом, температурное поле будет одномерным. Кроме того, вследствие симметрии краевых условий относительно середины стенки, температурное поле в любой момент времени будет также симметричным.
157
Теплопередача в технологических процессах…
В этом случае удобно выбрать за начало координат точку, лежащую посредине между ограничивающими плоскостями пластины, и направить ось х перпендикулярно к поверхности стенки (рисунок 2.5).
Дифференциальное уравнение теплопроводности для рассматриваемого случая имеет вид:
∂θ
∂ 2 θ ∂θ
α
=а⋅ 2 ;
= − ⋅ θ x = ± δ , (2.82)
∂τ
∂x ∂x x = ± δ
λ
где θ = (t – tж) – избыточная температура.
Решая (2.82) методом разделения переменных частное решение первого уравнения представим в виде
Рис. 2.5. К решению задачи
об охлаждении плоской стенки
2
θ = С ⋅ P( x )e − а ⋅m ⋅τ .
(2.83)
Вид функции P(x ) находится из решения уравнения (2.62), которое для одномерного температурного поля записывается следующим образом
∇ 2 P ( x ) + m 2 ⋅ P ( x ) = 0.
(2.84)
Это обыкновенное дифференциальное уравнение имеет частное решение
в виде функций sin( m ⋅ x ) и cos( m ⋅ x ) .
Отсюда частное решение уравнения (2.83)
θ( x ,τ ) = A ⋅ sin( m ⋅ x ) ⋅ e − a⋅m
2
⋅τ
2
+ B ⋅ cos( m ⋅ x ) ⋅ e − a ⋅m ⋅τ ,
(2.85)
где m 2 – произвольная размерная величина; A и B – произвольные постоянные
величины частных решений уравнения теплопроводности.
Из условия симметрии задачи следует, что при x = 0 величина A = 0.
Принимая во внимание, что на протяжении всего процесса охлаждения
2
0 < τ <∞) величина e − a⋅m ⋅τ не равна нулю (m – положительная размерная величина) частное решение уравнения (2.85) примет вид
2
θ( x ,τ ) = B ⋅ cos( m ⋅ x ) ⋅ e − a ⋅m ⋅τ ,
(2.86)
а общим решением будет
θ( x ,τ ) =
i=∞
2
i
∑ Bi ⋅ cos( mi x ) ⋅ e − a⋅m ⋅τ .
i =1
(2.87)
158
Часть 2
Значения B и m находятся из граничных условий (2.82)
2
∂θ( x ,τ )
= −m ⋅ B ⋅ sin( mx ) ⋅ e −a⋅m ⋅τ ,
∂x
и
− m ⋅ B ⋅ sin( m ⋅ δ ) ⋅ e −a⋅m
2
⋅τ
+
[
(2.88)
]
2
α
⋅ B ⋅ cos( m ⋅ δ ) ⋅ e −a⋅m ⋅τ = 0 .
λ
(2.88а)
и α ⋅ δ = Bi , после ряда преобразований получим
λ
трансцендентное уравнение для определения µ , а, следовательно, и m
Обозначив µ = m ⋅ δ
ctgµ =
µ .
Bi
(2.89)
Значения величин Bi (критерий Био) в уравнении (2.87) находим из начальных условий τ = 0 , θ( x, 0) = θ0
Bi = θ0 ⋅
2 ⋅ sin µ i .
µ i + sin µ i ⋅ cos µ i
(2.90)
Окончательно уравнение распределения температуры в рассматриваемой
плоской стенке примет вид
2
2 ⋅ sinµ i
x

cos µ i ⋅  ⋅ e −µ i ⋅Fо .
δ

i =1 µ i + sinµ i ⋅ cosµ i
i =∞
θ( x ,τ ) = θ0 ∑
(2.91)
Расчеты показывают, что в большинстве случаев существенное влияние
на значение вычисляемой температуры оказывает несколько первых членов
ряда, а для малых значений критерия Bi <<1 точное решение получается даже
при одном члене суммы ряда (2.91).
При x = 0 (середина стенки) имеем
i=∞
θс ( τ ) = θ0 ∑
i =1
2
2 ⋅ sinµ i
⋅ e −µ i ⋅Fо ,
µ i + sinµ i ⋅ cosµ i
(2.92)
при x = ± δ (поверхность стенки)
2
2 ⋅ sinµ i ⋅ cosµ i
(2.93)
⋅ e −µ i ⋅Fо .
i =1 µ i + sinµ i ⋅ cosµ i
Из анализа уравнений (2.92) и (2.93) следует, что температуры в центре и на поверхности пластины ( θ с = t с − t ж ; θ п = tп − t ж ) зависят только от критериев Bi и Fo.
Для проведения расчетов обычно используются графики, которые приводятся в специальной литературе
i =∞
θ п ( τ ) = θ0 ⋅ ∑
Теплопередача в технологических процессах…
159
θс (τ)
θ (τ)
= f (Fо, Bi) и п
= f (Fo, Bi).
θ0
θ0
Анализ решений уравнений (2.92) и (2.93) позволяет сделать следующие
выводы.
При Bi → ∞ (практически при Bi > 100) температура стенки равна температуре жидкости (рисунок 2.6а), процесс охлаждения определяется свойствами
материала стенки (внутренняя задача).
При Bi → 0 (практически при Bi < 0,1) температура по толщине стенки распределяется равномерно (рисунок 2.6б), процесс охлаждения определяется условиями охлаждения стенки (внешняя задача).
При 0,1 < Bi < 100 интенсивность охлаждения стенки зависит как от внутреннего сопротивления δ , так и от внешнего 1 (рисунок 2.6в).
λ
α
Рис. 2.6. Распределение температуры в плоской стенке:
а – при Bi → ∞; б – при Bi → 0; в – при 0,1 < Bi < 100
Количество теплоты, необходимое для нагревания или охлаждения плоской
стенки за время τ с обеих сторон определяется уравнением
Q τ = ∫ ρ ⋅ c р ⋅ ( θ 0 − θ τ ) ⋅ dV ,
(2.94)
V
а для единичной площади поверхности стенки
i =∞
2
2 ⋅ sin µ i
(2.95)
Qτ = Q0 ∑ 2
( 1 − e −µi ⋅Fo ) ,
i =1 µ i + µ i sin µ i ⋅ cos µ i
3
где Q0 = 2 ⋅ c p ⋅ ρ ⋅ δ ⋅ θ0 , Дж/м – общее количество теплоты за время полного
охлаждения стенки.
160
Часть 2
2.4. Основные положения конвективного теплообмена
Под конвективным теплообменом понимают процесс передачи теплоты при
движении жидкости или газа под влиянием двух процессов – конвекции и теплопроводности.
Конвекцией называется перенос макрочастиц жидкости в пространстве. Если
эти частицы перемешаются из области с одной температурой в область с другой
температурой, их перемещение сопровождается переносом теплоты. Перенос
теплоты конвекцией сопровождается теплопроводностью при непосредственном
соприкосновении различно нагретых частиц жидкости.
Количество теплоты, отдаваемое жидкостью твердой стенке или воспринимаемое жидкостью от стенки в единицу времени, определяется уравнением Ньютона – Рихмана
Q = α ⋅ (tс − t ж ) ⋅ F ,
(2.96)
q = α ⋅ (tс − t ж ) = α ⋅ ∆t ,
(2.97)
а плотность теплового потока
где α – коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2·К); характеризующий интенсивность
конвективного теплообмена между жидкостью и поверхностью твердого тела;
∆t = t с − t ж – температурный напор, K.
В соответствии с формулой (2.97) по своему физическому смыслу коэффициент теплоотдачи есть плотность теплового потока q на поверхности тела,
отнесенная к разности температур поверхности тела и окружающей среды.
Коэффициент теплоотдачи численно равен плотности теплового потока при
температурном напоре, равном единице.
Коэффициент теплоотдачи зависит от многих факторов и в общем случае
является функцией формы и размера тела, режима движения жидкости, физических свойств жидкости, положения в пространстве и состояния поверхности
теплообмена и других величин.
Процесс теплоотдачи в зависимости от природы движения жидкости протекает различно.
Различают вынужденную и свободную конвекцию. В первом случае жидкость
или газ движутся за счет внешних для данного процесса сил (насос, вентилятор, ветер), во втором случае – за счет разности плотностей нагретых и холодных частиц
жидкости. Возникновение и интенсивность свободного или естественного движения всецело определяется тепловыми условиями процесса и зависят от рода жидкости, разности температур, формы и размеров тела и объема пространства,
в котором протекает процесс.
Свободное движение может появиться в жидкости (газе) с переменной плотностью, очевидно, только в том случае, когда жидкость находится в поле земного притяжения.
Теплопередача в технологических процессах…
161
Вынужденное движение в общем случае может, сопровождается свободным
движением. При больших скоростях вынужденного движения, влияние свободной конвекции становится пренебрежимо малым.
Основное уравнение теплоотдачи (2.96) имеет простой вид. Трудности возникают при определении коэффициента теплоотдачи. Практически изучение
процесса теплоотдачи сводится к определению зависимости коэффициента теплоотдачи α от различных факторов.
В дальнейшем будут рассмотрены только стационарные процессы течения
и теплоотдачи. Условием стационарности является неизменность во времени
скорости и температуры в любой точке жидкости.
Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена
Дифференциальное уравнение теплоотдачи получается при рассмотрении
передачи теплоты теплопроводностью через практически неподвижный слой
жидкости (пограничный слой), который имеет место вблизи твердого тела, омываемого жидкостью q = − λ ⋅  ∂t  , и передачи теплоты к пограничному слою за
 ∂n  п
счет конвективного теплообмена q = α ⋅ (tс − t ж )
α=−
λ
 ∂t 
⋅ 
t c − t ж  ∂n  п
(2.98)
Дифференциальное уравнение энергии при условии однородности и несжимаемости жидкости, отсутствия внутренних источников теплоты и работы расширения, а также постоянства физических параметров жидкости в пределах
элементарного объема, формулируется следующим образом:
Dt
= a ⋅ ∇ 2t ,
dτ
(2.99)
где Dt = ∂t + wx ⋅ ∂t + w y ⋅ ∂t + wz ⋅ ∂t – субстанциальная (полная) производная;
dτ
∂τ
∂x
∂y
∂z
∂t – характеризует локальное изменение температуры во времени в какой-либо
∂τ
точке жидкости; wx ⋅ ∂t + w y ⋅ ∂t + wz ⋅ ∂t – характеризует конвективное изме∂x
∂y
∂z
нение температуры при переходе от точки к точке.
При wx = w y = wz = 0 уравнение (2.99) переходит в уравнение теплопроводности для твердого тела без внутренних источников теплоты.
Дифференциальное уравнение неразрывности получается на основе закона
сохранения массы и для сжимаемой жидкости имеет следующий вид:
162
Часть 2
−
∂ρ ∂ (ρ ⋅ w )x ∂ (ρ ⋅ w ) y ∂ (ρ ⋅ w )z
+
+
+
= 0.
∂τ
∂x
∂y
∂z
(2.100)
В случае несжимаемых жидкостей ρ = idem и уравнение (2.100) запишется
в виде
∂wx
∂w y ∂wz
(2.101)
+
+
= 0.
∂x
∂y
∂z
Уравнение движения (уравнение Навье-Стокса) в векторной форме можно
представить в следующем виде
ρ⋅
Dw
= ρ ⋅ g − ∆p + η ⋅ ∇ 2 w,
dτ
(2.102)
где ρ – плотность; Dw – полная производная скорости; p – давление; g – ускоdτ
рение свободного падения; η – динамический коэффициент вязкости.
Полученная система дифференциальных уравнений описывает бесчисленное
множество конкретных процессов.
Точные решения этой системы имеются только для отдельных частных случаев при ряде упрощающих предпосылок.
Основы теории подобия и метода анализа размерностей
В связи с ограниченными возможностями аналитического решения дифференциальных уравнений конвективного теплообмена, решающее значение
приобретает эксперимент.
Цель экспериментального исследования заключается в получении на основе
экспериментальных данных уравнений, по которым можно затем вести расчет
теплообмена в подобных процессах.
Для этого необходимо сформулировать основные условия, при выполнении
которых процессы будут подобны.
Эти условия формулируются в рамках теории подобия. Понятие подобия
заимствовано из геометрии, где рассматриваются условия подобия геометрических
фигур. Для подобия геометрических фигур достаточно соблюдения обычных признаков подобия (пропорциональность сходственных сторон, равенство углов и др.).
Для подобия физических процессов необходимо говорить о подобии физических
величин и явлений. Два или несколько явлений будут подобны, если подобны все
физические величины, характеризующие эти явления, т.е. подобные между собою
явления имеют одинаковые безразмерные комплексы – критерии подобия. В связи
с этим, в опытах нужно измерять те величины, которые входят в критерии подобия,
характеризующие данный процесс.
Теплопередача в технологических процессах…
163
Важной теоремой теории подобия является утверждение о том, что решение
дифференциального уравнения, описывающего данный процесс, может быть
представлено в виде функциональной зависимости между критериями подобия,
характеризующими этот процесс и полученными из исходного уравнения и условий однозначности. Это утверждение говорит о том, опытные данные надо обработать в виде зависимости между критериями подобия.
Наряду с приведенными выше двумя теоремами подобия, важным является
и утверждение о том, что подобны между собой те явления, которые принадлежат к одному классу, к одному роду и имеют равные определяющие критерии подобия. Этот вывод позволяет полученные в опыте расчетные зависимости распространить на группу явлений, подобных исследованному.
Таким образом, теория подобия, при наличии дифференциальных уравнений,
описывающих рассматриваемый процесс, позволяет, не решая сами уравнения,
получить выражения чисел (критериев) подобия и на их основе получить расчетные зависимости – уравнения подобия.
При отсутствии дифференциальных уравнений, описывающих изучаемый
процесс, используется метод анализа размерностей.
Однако, в этом случае, должен быть известен перечень основных величин,
оказывающих существенное влияние на развитие рассматриваемого процесса.
Например, для свободной конвекции такой перечень величин определяется
следующей исходной зависимостью:
α = f ( ℓ , g β , ∆ t , ρ , η , λ , с р ),
(2.103)
где ℓ – характерный для данного процесса линейный размер, м; g – ускорение
свободного падения, м2/с; β – коэффициент объемного расширения, 1/К;
ρ – плотность жидкости, кг/м3; η – динамический коэффициент вязкости, Па·с;
λ – коэффициент теплопроводности жидкости, Вт/(м·К); ∆t – разность температур стенки и жидкости, К; сp – удельная теплоемкость жидкости, Дж/(кг·K).
Непосредственное экспериментальное исследование этой зависимости, вследствие необходимости проведения большего числа опытов, неосуществимо.
Анализ размерностей в этом случае позволяет свести данное выражение
от семи независимых переменных к зависимости между трех обобщенных безразмерных переменных (к уравнению подобия).
Критерии подобия и критериальные уравнения
Рассмотрим безразмерные комплексы, составленные из величин, входящих
в дифференциальные уравнения:
α ⋅ ℓ w ⋅ ℓ w ⋅ ℓ ν g ⋅ β ⋅ ∆t ⋅ ℓ3
;
;
; ;
,
λ
ν
a a
ν2
где ν =
η
– кинематический коэффициент вязкости, м2/с.
ρ
(2.104)
164
Часть 2
Безразмерные комплексы, составленные из размерных величин, называются
критериями подобия.
Критерий Нуссельта характеризует соотношение тепловых потоков, передаваемых за счет конвективного теплообмена и теплопроводности, и является
искомой величиной
Nu =
α⋅ℓ .
λ
(2.105)
Критерий Рейнольдса характеризует соотношение между силами инерции
и молекулярного трения (вязкости)
Re =
w⋅ℓ ,
ν
(2.106)
где w – средняя линейная скорость жидкости, м/с.
Критерий Прандтля характеризует физические свойства жидкости и их влияние на конвективный теплообмен
Pr =
η ⋅cp
ν ν ⋅ρ ⋅cp
.
=
=
a
λ
λ
(2.107)
w⋅ℓ
= Re⋅ Pr .
a
(2.108)
Критерий Пекле
Pe =
Критерий Грасгофа характеризует соотношение подъемной силы, возникшей
вследствие разности плотностей неравномерно нагретых объемов жидкости и
силы молекулярного трения, и является параметром интенсивности свободного
движения жидкости
g ⋅ β ⋅ ∆t ⋅ ℓ 3
(2.109)
Gr =
.
2
ν
Характеристики теплофизических свойств жидкостей, входящие в числа подобия, в общем случае зависят от температуры. Поэтому для определения численных значений критериев подобия указывается температура, при которой выбираются теплофизические характеристики жидкости.
Как было показано ранее, система дифференциальных уравнений, характеризующая процесс, приводится к безразмерному виду при соответствующих
условиях однозначности. В конечном счете, получается общий вид критериального уравнения для нестационарного конвективного теплообмена
Nu = f ( x, y, z, wx , w y , wz , ∆t , Re, Pr, Gr, Fo, Bi).
(2.110)
Теплопередача в технологических процессах…
165
Выражение для критериев Fo и Bi получены путем анализа дифференциального уравнения теплоотдачи (2.98).
a⋅τ )
Критерий Фурье ( Fo =
характеризует безразмерное время.
ℓ 20
Написание критерия Био похоже на форму записи критерия Нуссельта
Bi =
α ⋅ℓ0 ,
λ
(2.111)
где λ – коэффициент теплопроводности твердого тела (в то время как в критерии Нуссельта λ – относится к окружающей среде)
Для стационарного конвективного теплообмена уравнение (2.110) принимает
вид
(2.112)
Nu = f (Re, Pr, Gr ).
Уравнения вида (2.110, 2.112) называются критериальными.
В случае теплообмена, осложненного массообменном и изменением агрегатного состояния вещества в процессе теплообмена, критерий Нуссельта зависит еще от ряда критериев.
Следует отметить, что, поскольку критериальные уравнения получены на
основе эксперимента, в каждом случае указывается: диапазон применимости
уравнения; определяющая температура и линейный размер.
Обработка и обобщение результатов эксперимента
Уравнение подобия конвективного теплообмена в условиях вынужденного
движения жидкости имеет следующий вид
Nu = f (Re, Pr)
(2.113)
На основе экспериментальных данных определяют необходимые величины
и подсчитывают значения критериев подобия. Предположим, что зависимость
между критериями подобия имеет степенной вид т.е.
Nu = c ⋅ Ren ⋅ Pr m ,
(2.113а)
где c, n, m – безразмерные постоянные величины.
Логарифмируя соотношение (2.113а) получаем
lg Nu = lg c + n ⋅ lg Re + m ⋅ lg Pr .
(2.114)
Наносим опытные значения критериев подобия во всем диапазоне проведенных исследований на график lg Nu = f (lg Re) (рисунок 2.7).
Очевидно, если связь (2.113) действительно является степенной, получим
семейство прямых линий, каждая из которых соответствует определенному значению критерия Pr .
166
Часть 2
Рис. 2.7. Обобщение опытных данных в критериальной форме
В этом случае показатель степени при Re определится как
n = tgϕ ,
(2.115)
где ϕ – угол наклона прямых линий к оси lg Re .
Затем опытные данные наносят на график в координатах
lg
Nu
= f (lg Pr).
Re n
(2.116)
Из этого графика определяют показатель степени m при критерии Pr
m = tg γ ,
(2.117)
где γ – угол наклона прямой к оси lg Pr .
Постоянная с определяется из соотношения
c=
Nu
.
Re ⋅ Pr m
n
(2.118)
Таким образом, определяются все постоянные коэффициенты в критериальных уравнениях.
2.5. Теплообмен при свободной конвекции
Интенсивность конвективного теплообмена в значительной степени определяется характером развития течения жидкости (газа) около поверхности тела,
которое при свободной конвекции зависит прежде всего от силы тяжести, разности температур тела и окружающей среды, от формы, размера и расположения тела в пространстве.
Теплопередача в технологических процессах…
167
При изучении свободной конвекции рассматриваются три характерных случая: теплообмен между жидкостью и телом, расположенным в неограниченном
пространстве; теплообмен в ограниченных прослойках; совместное протекание
естественной и вынужденной конвекции.
При движении жидкости, вызванном свободной конвекцией, на поверхности
теплообмена образуются динамический и тепловой пограничные слои.
Температура в пограничном слое меняется о от температуры на стенке tс
до температуры среды tж. Скорость на границе жидкость – твердое тело близка
к нулю, а максимальное значение имеет на некотором расстоянии от стенки.
При движении жидкости вдоль поверхности пограничный слой развивается
и переходит от ламинарного режима течения в турбулентный.
На основании теории подобия для естественной конвекции в большом объеме была получена критериальная зависимость в виде:
Nu = f (Gr ⋅ Pr) .
(2.119)
Теплообмен при свободной конвекции на вертикальной поверхности
Развитие течения вдоль горячей вертикальной поверхности показано на рисунке 2.8. Сначала толщина нагретого слоя жидкости мала и течение ламинарное.
Постепенно по высоте стенки движением увлекается все большее количество
жидкости. Толщина ламинарного слоя растет. Затем, он разрушается и наступает
турбулентный режим течения.
Рис. 2.8. Развитие течения и изменение коэффициента теплоотдачи
при свободной конвекции у вертикальной поверхности
На участке ламинарного течения α уменьшается в связи с увеличением толщины пограничного слоя движущейся жидкости, а на участке переходного течения вследствие повышения степени турбулизации и уменьшения толщины
ламинарного слоя коэффициент теплоотдачи резко возрастает, и далее по высоте
стенки, при развитом турбулентном течении, сохраняется постоянным.
168
Часть 2
Коэффициент теплоотдачи при свободном движении жидкости в большом
объеме определяется из следующих уравнений подобия:
для вертикальных труб и плоских стенок при ламинарном течении жидкости
(103 < Gr·Pr < 109)
Nu = 0,76 ⋅ (Gr ⋅ Pr )
0 , 25
(Prж
Prc )
0 , 25
;
(2.120)
для вертикальных труб и плоских стенок при турбулентном течении жидкости (Gr·Pr) >109
Nu = 0,15 ⋅ ( Gr ⋅ Pr) 0,33 ⋅ ( Prж Prc ) 0, 25 .
(2.121)
В этих уравнениях определяющей температурой является температура окружающей среды, за определяющий размер принимается длина участка от начала
теплообмена ℓ .
Теплообмен при свободной конвекции у горизонтального цилиндра
Развитие естественной конвекции около горизонтального цилиндра аналогично развитию естественной конвекции у вертикальной поверхности. Здесь также можно выделить ламинарный, переходный и турбулентный участки пограничного слоя. В зависимости от температурного напора и диаметра цилиндра
переход ламинарного течения в турбулентное может происходить на поверхности
цилиндра или за пределами соприкосновения движущейся среды с цилиндром.
При ( Gr ⋅ Pr) m < 10-3 [определяющий размер – диаметр, определяющая темпе-
ратура tm = 0,5 ⋅ (tс + tж ) ] вокруг тела образуется неподвижная пленка с переменной температурой. Такой режим называется пленочным. В этих условиях критерий Нуссельта зависит только от формы тела (для тонкой проволоки Nu = 2 ).
При изменении комплекса 10-3 < ( Gr ⋅ Pr) m < 5 102 наблюдается режим переходный от пленочного к ламинарному. Наибольшее значение коэффициента теплоотдачи при переходном режиме определяется уравнением
Nu = 1,18 ⋅ (Gr ⋅ Pr)1 / 8 .
(2.122)
Наименьшее значение соответствует пленочному режиму.
Для расчета теплообмена на горизонтальном цилиндре при значениях комплекса 5 102 < ( Gr ⋅ Pr) <109 можно воспользоваться уравнением
Nu = 0,5 ⋅ ( Gr ⋅ Pr) 0, 25 (Prж Prc )0, 25 .
(2.123)
В качестве определяющего размера принят внешний диаметр, за определяющую температуру – температура окружающей среды.
Теплопередача в технологических процессах…
169
Теплообмен при свободной конвекции на горизонтальной стенке
Теплообмен на нагретых горизонтальных плитах в условиях свободной
конвекции отличается особой организацией движущейся среды. Над нагретой
поверхностью появляется восходящее и нисходящее струйное движение с возможными зонами циркуляции.
У поверхности, обращенной вниз, движение происходит лишь в тонком слое
под поверхностью от центра к краям.
Большая скорость движения достигается при обтекании краев горизонтальных
поверхностей. Чем больше размер пластины, тем меньше краевой эффект.
Для расчета теплообмена на горизонтальной плоской поверхности можно
воспользоваться следующим уравнением:
Nu = c ⋅ (Gr ⋅ Pr)n ,
(2.124)
где
при ( Gr ⋅ Pr) < 2 ⋅ 10 7 ,
c = 0,54, n = 1 / 4 ;
при 2 ⋅ 10 7 < ( Gr ⋅ Pr) < 1013 , c = 0,135, n = 1 / 3 .
За определяющий размер принимается ширина пластины, за определяющую
температуру tm = 0,5 ⋅ (tс + tж ) .
Если теплоотдача направлена верх, то результаты расчетов по формуле
(2.124) необходимо увеличить на 30%, если вниз – уменьшить на 30%.
В практических расчетах для определения коэффициента теплоотдачи свободной конвекции можно использовать уравнение (2.124) для тел любой формы
и расположения в пространстве.
Теплообмен при свободной конвекции в ограниченном пространстве
В узких каналах и щелях восходящий (у нагретой поверхности) и нисходящий (у холодной) потоки взаимно затормаживаются и образуют несколько отдельных циркуляционных контуров (рисунок 2.9).
В вертикальных каналах, если расстояние между поверхностями велико,
восходящее и нисходящее движение протекает без взаимных помех и имеет такой же характер, как и в неограниченном пространстве (рисунок 2.9а).
Если же расстояние между поверхностями мало, то вследствие взаимных помех
возникают внутренние циркуляционные контуры, высота которых определяется
шириной щели, видом жидкости и интенсивностью процесса (рисунок 2.9б).
Для очень узких щелей (рисунок 2.9в), в которых жидкость практически
неподвижна, теплообмен осуществляется теплопроводностью.
Для упрощения расчетов переноса теплоты в ограниченных пространствах
сложный процесс конвективного теплообмена заменяют эквивалентным процессом теплопроводности. При этом коэффициент теплопроводности среды λ заменяется эквивалентным коэффициентом теплопроводности λэк, который учитывает перенос теплоты теплопроводностью и конвекцией
(2.125)
λ эк = ε к ⋅ λ .
170
Часть 2
а
б
в
Рис. 2.9. Развитие естественной конвекции в ограниченном замкнутом пространстве
Коэффициент εк определяется следующим образом:
при
(Gr ⋅ Pr) ≤ 103 ,
εк = 1 ;
(2.126)
при
(Gr ⋅ Pr) > 103 ,
ε к = 0,18 ⋅ ( Gr ⋅ Pr) 0, 25 .
(2.127)
В качестве определяющего линейного размера принимается толщина прослойки; определяющей температуры – средняя температура жидкости tж.
2.6. Конвективный теплообмен
при вынужденном движении жидкости
По значению числа Рейнольдса может быть определен режим течения жидкости – ламинарный, переходный или турбулентный.
При течении жидкости в трубах ламинарное движение наблюдается при
Re < Reкр1 ≈ 2200.
При Re > 2200 возмущения потока необратимо нарушают ламинарный режим движения и способствуют турбулизации потока. Однако турбулентное
движение устанавливается при Re > Re кр2 ≈ 104. При числах Рейнольдса от
2,2 ⋅ 103 до 10 4 движение жидкости является переходным от ламинарного
к турбулентному.
На рисунке 2.10 показана длина гидродинамического начального участка 1
в котором пограничный слой достигает оси трубы. Длина участка гидродинамического стабилизации увеличивается с ростом числа Re и уменьшается
с усилением возмущения потока на входе в трубу.
Теплопередача в технологических процессах…
171
Рис. 2.10. Развитие течения при вынужденном движении в трубе
При турбулентном течении распределение скорости имеет вид усеченной
параболы 2 (рисунок 2.10), форма которой зависит от значения числа Re.
С увеличением числа Рейнольдса наблюдается резкое изменение скорости вблизи стенки и пологое ее изменение в центральной части трубы.
Теплообмен в трубе существенно зависит от гидродинамической картины
движения жидкости. В теплообмене участвует только пристенный пограничный
слой, а остальная часть сечения, составляющая ядро потока, с температурой,
равной температуре на оси, в теплообмене не участвует. До тех пор, пока тепловой пограничный слой не достигнет оси трубы, температура жидкости на оси
трубы остается равной ее значению во входном сечении 3 (рисунок 2.10).
Изменение температуры на оси трубы вниз по потоку начинается с сечения,
где тепловой пограничный слой достигает оси.
Длина участка тепловой стабилизации зависит от большого числа различных
факторов, из которых главными факторами являются: число Рейнольдса, свойства жидкости, условия входа в трубу.
Теплообмен при ламинарном движении жидкости в трубах
При ламинарном течении жидкости в трубах возможны два режима движения: вязкостный и вязкостно-гравитационный.
При вязкостном режиме движения силы вязкости преобладают над подъемными силами в жидкости. Такой режим наблюдается при ламинарном движении
жидкостей с большой вязкостью в трубах малого диаметра и при малых температурных напорах.
При вязкостно-гравитационном режиме движения жидкостей подъемные силы
велики и заметное влияние на перенос теплоты оказывает свободная конвекция.
На распределение скорости по сечению трубы в сильной мере влияет изменение
вязкости, а также интенсивность и направление свободного движения.
Вязкостный режим существует при (Gr·Pr) < 8·105, средний коэффициент
теплоотдачи при этом режиме определяется из уравнения
1 3
d 

(2.128)
Nu = 1 , 55 ⋅  Re ⋅  ( η c η ж ) − 0 ,14 .
ℓ 

Формула действительна при 1 ⋅ ℓ < 0,01 ; tс = idem и 0,7 ≤ ηc ηж ≤ 1500.
Ре d
172
Часть 2
Определяющим линейным размером является внутренний диаметр трубы;
определяющей температурой принята температура t = tc ± ∆tл 2 (знак минус при
нагревании и плюс при охлаждении); ∆tл – средний логарифмический температурный напор.
Вязкостно-гравитационный режим имеет место при (Gr·Pr) >8·105, средний
коэффициент теплоотдачи в этом случае определяется по формуле
Nu = 0 ,15 ⋅ Re 0 , 33 ⋅ Pr 0 , 33 ⋅ ( Gr ⋅ Pr) 0 ,1 ⋅ ( Pr ж Pr c ) 0 , 25 .
(2.129)
Формула (2.129) действительна при ℓ / d > 50; за определяющий линейный
размер принят внутренний диаметр трубы; за определяющую температуру –
средняя температура потока.
Теплообмен при турбулентном движении жидкости в трубах
Для определения среднего коэффициента теплоотдачи при развитом турбулентном движении обычно используется формула М.А. Михеева
Nu = 0 , 021 ⋅ Re
0 ,8
⋅ Pr
0 , 43
⋅ (Pr ж Pr c )0 , 25 .
(2.130)
В качестве определяющего линейного размера здесь принят внутренний
диаметр трубы; определяющая температура – средняя температура потока; формула (2.130) действительна при ℓ / d >50.
Если течение жидкости происходит по каналам некруглого сечения, то
в качестве определяющего линейного размера принимается эквивалентный диаметр, определяемый по формуле dэ=4·f/u, где f – площадь поперечного сечения
канала (живое сечение); u – полный смоченный периметр канала.
Более интенсивно, чем в прямых трубах, протекает процесс теплоотдачи
в изогнутых трубах (змеевиках).
Для вычисления коэффициента теплоотдачи при турбулентном движении
в змеевике можно использовать соотношение αзм = α ⋅ (1 + 1,8 d R), гдe αзм – коэффициент теплоотдачи в изогнутой трубе; α – коэффициент теплоотдачи
в прямой трубе, вычисленный по формуле (2.130); d – диаметр трубы; R – радиус
змеевика.
Теплообмен при поперечном обтекании труб жидкостью
Одиночные трубы. Теплообмен при поперечном обтекании жидкостью трубы зависит от гидродинамической картины течения жидкости около поверхности
(рисунок 2.11).
Обтекание трубы может быть плавным – безотрывным и отрывным. Плавное безотрывное обтекание трубы наблюдается только при Re = w0 ⋅ d < 5 .
ν
При Re > 5 пограничный слой, образующийся на передней половине трубы,
в кормовой части отрывается от поверхности; позади трубы образуются два
173
Теплопередача в технологических процессах…
симметричных вихря. В соответствии с этим коэффициент теплоотдачи меняется по периметру трубы.
Рис. 2.11. Схема движения и график изменения коэффициента теплоотдачи
при поперечном обтекании трубы
В лобовой части он наибольший, далее по периметру трубы коэффициент
теплоотдачи α падает и достигает минимального значения в точке отрыва потока
(точка а). В вихревой части коэффициент теплоотдачи увеличивается.
Для определения коэффициента теплоотдачи при поперечном обтекании
одиночной трубы используют следующие уравнения подобия:
при Re = 5 ÷103
(2.131)
Nu = 0,5 ⋅ Re 0 ,5 ⋅ Pr 0 ,38 ⋅ ( Prж Prc ) 0 , 25 ;
при Re = 103 ÷ 2·105 Nu = 0,25 ⋅ Re 0,6 ⋅ Pr 0 ,38 ⋅ ( Prж Prc ) 0, 25 .
(2.132)
За определяющий линейный размер принят внешний диаметр трубы; за определяющую температуру – температура набегающего потока; скорость жидкости отнесена к самому узкому сечению канала, в котором расположена труба.
Формулы (2.131) и (2.132) справедливы при условии, что угол между направлением потока и осью трубы, называемой углом атаки, равен 90º. При
уменьшении угла атаки уменьшается интенсивность теплообмена и соответственно α .
Если угол атаки меньше 90º, то полученный коэффициент теплоотдачи необходимо умножить на поправочный коэффициент ε ϕ , приближенные значения
множителя ε ϕ можно определить по формуле
εϕ = 1 − cos2 ϕ .
(2.133)
Пучки труб. При поперечном обтекании потоком жидкости пучка труб интенсивность теплоотдачи зависит не только от факторов, влияющих на теплоотдачу одиночной трубы, но и от взаимного расположения труб в пучке, а также
174
Часть 2
от плотности пучка. Обычно применяют коридорное (по вершинам квадрата)
и шахматное (по вершинам треугольника) расположение труб в пучке (рису(рису
нок 2.12).
а
( S1 , S2
б
Рис.. 2.12. Схемы расположения труб в пучках:
а – шахматное; б – коридорное расположение
– соответственно поперечный и продольный шаги труб)
Плотность расположения труб в пучке характеризуется соотношениями мем
жду поперечным S1, продольным S2 шагами и внешним диаметром труб d.
Исследованиями установлено, что коэффициент теплоотдачи на втором
и третьем ряду труб выше, чем коэффициент теплоотдачи на первом ряду труб.
Это объясняется увеличением турбулентности потока при прохождении его чеч
рез пучок труб. Начиная с третьего ряда, поток практически стабилизируется,
поэтому и коэффициент теплоотдачи для всех последующих рядов сохраняет
постоянное значение.
Если значение коэффициента теплоотдачи третьего ряда (и последующих
рядов) α3, то в коридорном
коридорном пучке для первого и второго ряда труб коэффициент
теплоотдачи α1 = 0,6 α3 и α2 = 0,9 α3, а при шахматном расположении α1 = 0,6 α3
и α2 = 0,7 α3. Средний коэффициент теплоотдачи для третьего и последующих
рядов определяется из уравнения подобия
Nu = с ⋅ Re n ⋅ Pr 0, 33 ⋅ (Prж Prc )0, 25 ⋅ ε S
(2.134)
Для шахматных пучков с = 0,41; n = 0,6; для коридорных пучков с = 0,26,
n = 0,65. Поправочный коэффициент εS учитывает влияние относительных шаш
гов: для шахматного пучка при S1 / S2 < 2, εS = ( S1 / S2 )
εS = 1,12; для коридорного пучка εS = ( S1 / S2 )
-0,15
1/6
; при S1 / S2 ≥ 2,
.
Соотношение (2.134) действительно при Re =103 – 105. В качестве опредеопреде
ляющего линейного размера принят наружный диаметр труб; в качестве опреопре
деляющей температуры – средняя температура жидкости; скорость определяется
в самом узком сечении пучка труб.
Теплопередача в технологических процессах…
175
Среднее значение коэффициента теплоотдачи для всего пучка, состоящего из
n рядов
α ⋅ F + α2 ⋅ F2 + ... + αn ⋅ Fn ,
(2.135)
αср = 1 1
F1 + F2 + ... + Fn
где F1, F2,…, Fn – поверхности теплообмена в соответствующем ряду.
Если предположить, что F1 = F2= F3,…, Fn и учесть, что α3 = α4= …=αn, то
можно написать
α + α2 + ... + αn ⋅ ( n − 2)
(2.136)
αср = 1
n
Принимая во внимание приближенные значения α1 и α2, получим:
для коридорного пучка
αср =
( n − 0,5) ⋅ α ;
n
(2.137)
для шахматного пучка
αср =
(n − 0,7) ⋅ α
n
(2.138)
Теплообмен при продольном обтекании жидкостью плоской поверхности
При обтекании плоской поверхности жидкостью около поверхности стенки
образуются два пограничных слоя – динамический и тепловой (рисунок 2.13).
Рис. 2.13. Схема движения жидкости вдоль плоской поверхности
176
Часть 2
В динамическом слое скорость жидкости изменяется от нуля на стенке до w1
на внешней его границе.
В тепловом пограничном слое температура
температура изменяется от температуры
на стенке до температуры внешнего потока.
Движение в пограничном слое может быть ламинарным и турбулентным.
Образующийся в начале обтекаемой поверхности ламинарный пограничный
слой при достижении критического значения числа
числа Рейнольдса может перейти
в турбулентный слой с тонким ламинарным подслоем (пристенная область, где
силы вязкости велики). Переход ламинарного движения в турбулентное происпрои
ходит не в точке, а на некотором участке, в пределах которого движение жидкожидк
сти является
ляется переходным.
Среднее значение коэффициента теплоотдачи при обтекании плоской стенки
[17] определяется из уравнений:
при ламинарном течении Rе ≤ 4·104
Nu = 0,66 ⋅ Re 0,5 ⋅ Pr 0, 33 ⋅ (Prж / Prс ) 0, 25 ,
(2.139
при турбулентном течении Rе > 4·104
Nu = 0,037 ⋅ Re 0 ,8 ⋅ Pr 0, 33 ⋅ (Prж / Prс ) 0, 25 .
(2.140)
В этих формулах в качестве определяющих параметров приняты – температура жидкости вдали от тела t0 и длина пластины по направлению потока.
2.7. Теплообмен при кипении однокомпонентной жидкости
Опыт показывает, что температура кипящей жидкости всегда несколько выв
ше температуры кипения ts. Она остается почти постоянной в направлении
от свободного уровня к поверхности теплообмена (рисунок 2.14) и лишь в слое
толщиной 2–5 мм у самой стенки резко возрастает. Следовательно, в припри
легающем к стенке слое жидкость перегрета на ∆t= t – ts, эта величина называетназывае
ся температурным напором.
Рис. 2.14. Кривая распределения
температуры в воде
и при пузырьковом кипении
в объеме
Теплопередача
плопередача в технологических процессах…
177
В начале кипения – область А (рисунок 2.15) при ∆t = 0–5 ºС, q=
= 100–5600
100
Вт/м2
значение коэффициента теплоотдачи невелико и определяется условиями свободсвобо
ной конвекции однофазной жидкости.
При дальнейшем кипении воды и повышении ∆t значения коэффициента тет
плоотдачи α и плотности теплового потока q резко увеличиваются и при
∆t =25 ºС
С достигают своего максимального значения: αкр=5,85·104 Вт/(м2·К),
qкр =1,45·106 Вт/м2. Эту область, обозначенной буквой В на рисунке 2.15, назыназ
вают областью
астью пузырькового кипения.
Рис. 2.15. Зависимость плотности теплового потока q и коэффициента теплоотдачи α
от температурного напора при кипении воды при атмосферном давлении
Последующее повышение величины ∆t приводит к еще более интенсивному
процессу образования пузырьков у поверхности теплообмена. Затем, пузырьки
сливаются между собой и образуют паровую пленку. Образование паровой пленпле
ки приводит к резкому снижению интенсивности теплообмена между поверхноповерхн
стью
ю и жидкостью, вследствие большого термического сопротивления пленки.
Эта область обозначена буквой С на рисунке 2.15 и называется переходной облаобл
стью. Следует отметить, что паровая пленка в этой области неустойчива.
При дальнейшем увеличении перепада температур,
температур, образовавшаяся на попо
верхности пленка становится устойчивой, интенсивность теплообмена продолпродол
жает падать. При некотором значении перепада температур процесс теплообмена
стабилизируется, а коэффициент теплоотдачи, имея при этом минимальное значезнач
ние,
ие, не зависит от перепада температур. Эта область обозначена на рисунке 2.15
буквой D и называется областью пленочного кипения.
В практических расчетах пузырькового кипения воды удобно пользоваться
следующими уравнениями:
α = 4,38 ⋅ q 0,7 ⋅ p 0,15 ;
(2.141)
178
Часть 2
α = 106 ⋅ ∆t 2,33 ⋅ p 0,5 .
(2.142)
Зависимости (2.141) и (2.142) действительны в диапазоне давлений от 0,1
до 5 МПа.
При пузырьковом кипении хладона 12 (R12) в диапазоне температур от – 40 ºС
до 10 ºС для определения α рекомендуется формула
α = 5,4 ⋅ q 0,6 .
(2.143)
При кипении хладона 11 (R11) следует использовать зависимость
α = 4 ⋅ q 0,6 .
(2.144)
В этих уравнениях q – в Вт/м2, р – в МПа, коэффициент теплоотдачи –
в Вт/(м2·К).
При вынужденном турбулентном движении кипящей жидкости в трубах
коэффициент теплоотдачи определяется по-разному.
Если обозначить коэффициент теплоотдачи, полученный по формуле (2.141)
αq, а коэффициент теплоотдачи, рассчитанный по уравнению подобия для однофазной жидкости (2.130) αw, то, как показывают опыты, при αq /αw< 0,5 коэффициент теплоотдачи при пузырьковом кипении движущейся воды в трубе α = αw;
при αq/αw >2 имеем α = αq.
В области 0,5 ≤ αq/αw ≤ 2 коэффициент теплоотдачи определяют по соотношению
4 ⋅ αw + αq .
(2.145)
α = αw ⋅
5 ⋅ α w − αq
При пленочном кипении средний коэффициент теплоотдачи определяется
следующим образом:
на вертикальной поверхности
α = 0,667 ⋅ 4
λ3п ⋅ r ⋅ ρп ⋅ (ρ − ρп ) ⋅ g ,
ηп ⋅ ∆t ⋅ h
(2.146)
где λп – коэффициент теплопроводности пара при температуре насыщения;
r – удельная теплота парообразования; ρ, ρп – плотности жидкости и пара при
температуре насыщения; ηп – динамический коэффициент вязкости пара при
температуре насыщения; ∆t = tc – ts; h – высота стенки;
на горизонтальном цилиндре
λ3п ⋅ r ⋅ ρп ⋅ (ρ − ρп ) ⋅ g ,
ηп ⋅ ∆t ⋅ d
где d – наружный диаметр цилиндра.
α = 0,53 ⋅ 4
(2.147)
179
Теплопередача в технологических процессах…
2.8. Теплообмен при конденсации чистого пара
При соприкосновении пара со стенкой, температура которой ниже температуры
насыщения ts, пар конденсируется в зависимости от состояния поверхности стенки;
образовавшаяся жидкость может принимать форму капель или пленки. В соответствии с этим конденсация пара называется капельной и пленочной.
Капельная конденсация происходит в условиях естественного движения, когда
конденсат не смачивает поверхности стенки. Это обычно наблюдается на поверхности стенок, покрытых тонким слоем масла, керосина или жирных кислот.
Коэффициент теплоотдачи при капельной конденсации в 5 ÷ 10 раз выше,
чем при пленочной.
Однако пленочная конденсация имеет наибольший практический интерес,
поскольку именно она встречается преимущественно в различного рода промышленных теплообменных аппаратах. Предполагается, что при ламинарном
движении пленки конденсата теплота передается через слой пленки теплопроводностью.
В результате обобщения экспериментальных данных, полученных для различных жидкостей, предлагаются следующие расчетные формулы для определения среднего коэффициента теплоотдачи при конденсации чистого пара
и ламинарном движении пленки:
для вертикальной стенки или трубы высотой h
Nu = 0,42 ⋅ Ко 0, 25 ⋅ ( Prж Prc )0, 25 ;
(2.148)
для горизонтальной трубы диаметром d
Nu = 0,72 ⋅ Ко 0, 25 ⋅ ( Prж Prc ) 0, 25 ,
где Ko =
(2.149)
g ⋅ ℓ3 ⋅ r
g ⋅ ℓ 3 ⋅ r ⋅ ρ – критерий конденсации; ср – теплоемкость
=
ν ⋅ a ⋅ c p ⋅ ∆t
ν ⋅ λ ⋅ ∆t
конденсата; а – коэффициент температуропроводности конденсата.
В этих уравнениях определяющий линейный размер для вертикальных стенок и труб – их высота, а для горизонтальных труб – диаметр; определяющая
температура – температура насыщения ts.
2.9. Теплообмен при конденсации пара из парогазовой смеси
Во многих теплообменных аппаратах горячим теплоносителем являются
многокомпонентные смеси газов. Если температура поверхности теплообмена
ниже температуры насыщения i-го компонента смеси, то на поверхности теплообмена происходит конденсация этого компонента. В этом случае передача теплоты от парогазовой смеси к поверхности теплообмена осуществляется
совместно протекающими процессами конвективного теплообмена и конвективного массообмена [17, 18].
180
Часть 2
При конденсации пара из парогазовой смеси его концентрация у поверхности теплообмена становится меньше концентрации пара в ядре потока смеси.
Возникновение градиента концентрации ∂mп приводит к появлению потока
∂n
массы пара Jп, направленного к поверхности конденсации [19].
Плотность потока массы пара jп определяется законом Фика
jп = −ρ ⋅ D ⋅
∂mп
∂ρ
= −D ⋅ п ,
∂n
∂n
(2.150)
где jп – плотность потока массы пара, кг/(м2·с); Jп – поток массы пара, кг/с;
D – коэффициент молекулярной диффузии пара относительно газа, м2/с;
∂mп ∂ρп – градиенты концентрации пара по нормали к поверхности тела.
,
∂n ∂n
Плотность потока массы пара, если считать, что смесь подчиняется уравнению состояния идеального газа, определяется из соотношения
jп =
β
⋅ ( pпо − pп.пов ) ,
Rп ⋅ T
(2.151)
где β – коэффициент массоотдачи, отнесенный к разности концентрации пара
в потоке смеси и у поверхности конденсации, м/с; ρ по , mпо , pпо – плотность, массовая концентрация и парциальное давление пара в потоке парогазовой смеси;
ρп.пов , mп.пов , pп.пов – плотность, массовая концентрация и парциальное давление
пара у поверхности конденсации; Rп – газовая постоянная пара, Дж/(кг К).
Парциальное давление пара в основном потоке pпо может быть рассчитано
по соотношению, справедливому для идеального газа
pпо = p ⋅ mпо ⋅
µm ,
µп
(2.152)
где µ m и µ п – молярные массы парогазовой смеси и пара, p – давление смеси, МПа.
Парциальное давление пара у поверхности конденсации pп.пов определяется
по таблицам термодинамических свойств пара на линии насыщения.
Плотность теплового потока, передаваемого к поверхности теплообмена при
совместном протекающих процессах тепло- и массообмена, без учета перегрева
парогазовой смеси и переохлаждения конденсата, определяется по уравнению
q = qк + qм = α к ⋅ (t − tс ) + jп ⋅ r = αсм ⋅ (t − tс ) ,
(2.153)
где qк и qм – плотности тепловых потоков, передаваемых при конвективном теплообмене и массообмене; αк – конвективный коэффициент теплоотдачи
от парогазовой смеси к поверхности теплообмена.
Теплопередача в технологических процессах…
181
Общий коэффициент теплоотдачи αсм , учитывающий конвективный теплообмен и массообмен, при пленочной конденсации
αсм =
,
1
(2.154)
1
1
+
α ж α + r ⋅ β ⋅ pпо − pп.пов
к
Rп ⋅ T t − tп.пов
при капельной конденсации
αсм = αк +
r ⋅ β pпо − pп.пов .
⋅
Rп ⋅ T
t − tс
(2.155)
Для получения значения плотности теплового потока, передаваемого к поверхности теплообмена при совместном протекающих процессах тепло- и массообмена
(2.153), необходимо рассчитать конвективный коэффициент теплоотдачи и коэффициент массоотдачи, входящие в соотношения для определения общего коэффициент теплоотдачи (2.154), (2.155).
Для исследования совместно протекающих процессов тепло- и массообмена
при конденсации пара из парогазовой смеси рекомендуется использовать приближенную аналогию между теплоотдачей и массоотдачей.
Теоретическим обоснованием аналогии является сходство дифференциальных
уравнений, описывающих процессы теплообмена и массообмена.
На основании этого процесс массоотдачи может быть рассчитан по уравнениям подобия для конвективной теплоотдачи с заменой чисел подобия теплообмена на числа подобия массообмена.
Следовательно, уравнения подобия теплообмена и массообмена при условии
существования аналогии между ними имеют вид:
Nu = c ⋅ Re n ⋅ Pr m ⋅ Gr k ; Nu D = c ⋅ Re n ⋅ PrDm ⋅ GrDk ,
(2.156)
где Nu = β ⋅ ℓ – диффузионное число Нуссельта; PrD = ν – диффузионное
D
D
λm
3
число Прандтля; Gr = g ⋅ ℓ ⋅ ( pпо − pп.пов ) .
D
ν 2 ⋅ pп.пов
При нарушении приближенной аналогии между теплоотдачей и массообменом в уравнения подобия конвективного теплообмена и конвективного
массообмена, для учета взаимное влияние этих процессов друг на друга, вводятся дополнительные безразмерные величины τ g = ∆pп – безразмерная раз-
p
182
Часть 2
ность парциальных давлений пара в потоке и у поверхности конденсации,
и εг = pг – объемное содержание газа в парогазовой смеси.
p
Уравнение подобия конвективного массообмена в этом случае принимает
следующий вид
(2.156а)
Nu D = f (Re, PrD , GrD , τ g , εг )
Критериальные уравнения для различных условий конвективного теплообмена – и массобмена, а также совместного их действия приводятся в справочной
литературе.
2.10. Лучистый теплообмен
Лучистым теплообменом называется форма передачи теплоты излучением
между телами, которая включает последовательное превращение внутренней
энергии одного тела в энергию излучения, распространение ее в пространстве
и превращение энергии излучения во внутреннюю энергию другого тела.
Возбудителями электромагнитных волн являются заряженные электроны
и ионы. Колебания ионов соответствуют излучению низкой частоты. Излучение,
вызванное колебаниями электронов, может иметь высокую частоту, если электроны входят в состав атомов и молекул. Излучение веществ со свободными
электронами имеет импульсный характер с волнами разной частоты, в том числе
с волнами низкой частоты.
На волновой характер излучения влияют корпускулярные свойства, которые заключаются в том, что лучистая энергия излучается материальными телами не непрерывно, а отдельными дискретными порциями – квантами света или фотонами.
Все виды электромагнитного излучения имеют одинаковую природу и отличаются только длиной волны.
Большая часть твердых и жидких тел имеет сплошной спектр излучения, т. е.
излучает энергию во всем диапазоне длин волн. Некоторые тела (чистые металлы, газы и др.) излучают энергию только в определенных интервалах длин
волн. Такое излучение называется выборочным или селективным.
Количество излучаемой энергии увеличивается с ростом температуры тела, а
в газах – с увеличением толщины слоя и давления газа. Для твердых и жидких тел
характерно излучение и поглощение лучистой энергии тонким поверхностным слоем. В газах излучение и поглощение энергии происходит всем объемом.
Некоторые виды излучения обладают свойством превращаться в тепловую
энергию при поглощении телами, вызывая нагревание. Это свойство излучения
определяется длиной волны и зависит от температуры тела. В наибольшей мере
такими свойствами обладает видимое инфракрасное (тепловое) излучение
с длиной волны от 0,8 до 800 мкм.
Количество энергии, излучаемое поверхностью тела во всем интервале длин
волн (от λ= 0 до λ = ∞) в единицу времени, называется полным (интегральным)
Теплопередача в технологических процессах…
183
лучистым потоком Q, Вт. Излучение, соответствующее узкому интервалу длин
волн, называется монохроматическим. Лучистый поток, исходящий с единицы
поверхности излучающего тела по всем направлениям полупространства, называется плотностью интегрального излучения E, Вт/м2
E=
dQ .
dF
(2.157)
Из уравнения (2.157) следует, что лучистый поток, исходящий со всей поверхности излучающего тела
Q = ∫ E ⋅ dF .
(2.158)
F
Плотность интегрального излучения, отнесенная к рассматриваемому диапазону
длин волн, называется спектральной интенсивностью излучения Eλ , Вт/м3
Eλ =
dE .
dλ
(2.159)
Лучистый поток, падающий на
тело Q, частично им поглощается QA,
частично отражается QR, частично
проходит сквозь тело QD (рисунок
2.16)
Q = QA + QR + QD. (2.160)
Разделив обе части равенства
(2.160) на Q и обозначив QA/Q = A;
Рис. 2.16. Распределение лучистого потока
QR/Q = R, QD/Q = D получим
1 = A + R + D.
(2.161)
падающего на тело
Коэффициенты А, R, D характеризуют соответственно поглощательную, отражательную и пропускную (прозрачность) способности тела. В связи с этим
они именуются коэффициентами поглощения, отражения и пропускания. Эти
коэффициенты для различных тел могут меняться от 0 до 1.
Тела, которые поглощают всю падающую на них лучистую энергию (QA = Q;
А = 1, R = D = 0), называются абсолютно черными. Тела, которые отражают всю падающую на них лучистую энергию (QR = Q; R =1, А = D = 0), называют абсолютно
белыми или зеркальными. Тела, которые пропускают всю падающую на него лучистую энергию (QD = Q; D = 1, А = R = 0), называют абсолютно прозрачными.
В природе абсолютно черных, белых и прозрачных тел не существует.
184
Часть 2
Законы лучистого теплообмена
Закон Планка устанавливает зависимость между спектральной интенсивностью излучения абсолютно черного тела и абсолютной температурой.
Планк установил, что изменение интенсивности излучения по длинам волн
для абсолютно черного тела подчиняется следующему закону
E0λ =
c1 ⋅ λ−5
,
ec2 (λ⋅T ) − 1
(2.162)
где E0λ – интенсивность излучения абсолютно черного тела, Вт/м3;
с1 = 3,74·10-16 Вт·м2 – первая постоянная Планка; λ – длина волны, м;
с2 = 0,0144 м·К – вторая постоянная Планка.
Графическая интерпретация закона
Планка (2.162) приведена на рисунке 2.17,
где видно, что интенсивность излучения
на участке коротких волн быстро возрастает до максимума, а затем убывает. При
одной и той же длине волны интенсивность излучения тем больше, чем выше
температура тела. Каждому значению температуры тела соответствует определенное значение длины волны, при
котором излучается максимальное количество энергии.
Закон Вина устанавливает связь межРис. 2.17. Спектральная интенсивность
ду температурой и длиной волны, на коизлучения абсолютно черного тела
торую приходится максимум интенсивности излучения.
Максимум интенсивности излучения с ростом температуры тела смещается
в сторону более коротких длин волн (рисунок 2.17)
λm =
2,898 ⋅ 10−3 .
T3
(2.163)
3акон Стефана – Больцмана устанавливает связь между плотностью полусферического интегрального излучения абсолютно черного тела и абсолютной
температурой тела. Плотность излучения абсолютно черного тела прямо пропорциональна абсолютной температуре в четвертой степени
4
 T 
Е0 = σ0 ⋅ T 4 = c0 ⋅ 
 ,
 100 
(2.164)
где σ0, c0 – коэффициенты пропорциональности (постоянные излучения) абсолютно черного тела; σ0 = 5,76·10-8 Вт/(м2·K4); c0 = 5,76 Вт/(м2·K4).
185
Теплопередача в технологических процессах…
Для серых тел закон Стефана-Больцмана записывается в виде
4
 T  ,
Е = c⋅

 100 
(2.165)
где с – коэффициент излучения серого тела.
Численные значения с для конкретных тел определяются опытным путем.
Сопоставление плотностей излучения серого и абсолютно черного тел при
одинаковой температуре приводит к характеристике, называемой степенью черноты ε
E
c
(2.166)
ε=
= ,
E0 c0
где ε – степень черноты тела или относительная излучательная способность тел,
которая меняется от нуля (абсолютно белое тело) до единицы (абсолютно черное тело).
3акон Кирхгофа устанавливает связь между плотностью интегрального
полусферического излучения и поглощательной способностью тел
E1 E2
E
=
= ⋅ ⋅ ⋅⋅ = n = E0 = f (T ),
A1 A2
An
(2.167)
т.е. отношение плотности полусферического интегрального излучения к поглощательной способности одинаково для всех тел имеющих одинаковую температуру и равно плотности интегрального полусферического излучения абсолютно черного тела при той же температуре
Из сопоставления уравнений (2.166) и (2.167) следует, что
c1 c2
c
=
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = n = c0 ,
A1 A2
An
(2.168)
c1 = A1 ⋅ c0 ; c2 = A2 ⋅ c0 ; ⋅ ⋅ ⋅ cn = An ⋅ c0 .
(2.168а)
Учитывая, что по определению ε = c / c0 , получаем A = ε , т.е. поглощательная
способность и степень черноты тела численно равны между собой.
Из закона Кирхгофа также следует, что большей плотностью излучения обладают тела с большей поглощательной способностью и наоборот.
3акон Ламберта устанавливает связь между количеством излучаемой энергии и направлением излучения. Согласно этому закону количество энергии, излучаемое элементом поверхности dF1 абсолютно черного тела в направлении
элемента поверхности dF2 (рисунок 2.18) определяется следующим образом
186
Часть 2
dEϕ0 = (E0 / π) ⋅ dΩ ⋅ cos ϕ,
(2.169)
где Eϕ0 – плотность потока излучения соответствующая углу ϕ ; dΩ – элементарный телесный угол, под которым из данной точки излучающего тела видна элементарная площадка на поверхности полусферы, имеющей центр в этой точке; ϕ –
угол между нормалью к излучающей поверхности и направлением излучения.
Рис. 2.18. К выводу закона Ламберта
Наибольшее значение Eϕ0 соответствует направлению нормали к поверхности
( ϕ = 0). Для реальных тел закон Ламберта выполняется лишь приближенно.
Теплообмен излучением между твердыми телами в прозрачной среде
На основании законов излучения можно получить расчетные формулы для
лучистого теплообмена между телами. При этом считается, что при теплообмене
излучением между телами, количество переданной тепловой энергии определяется как разность между количеством энергии, излучаемым телом, и количеством энергии, поглощаемым им от излучения другого тела.
Рассмотрим простейший случай теплообмена излучением между двумя
плоскопараллельными бесконечными стенками 1 и 2 (рисунок 2.19).
Площадь поверхности каждой стенки равна F, стенки имеют постоянные
во времени температуры T1 и T2, степени черноты на поверхностях стенок соответственно равны ε1 и ε2 .
Плотность излучения стенки 1 равна E1 ; эта энергия достигает стенки 2
и там поглощается в количестве ε 2 ⋅ E1 , а остальное ее количество (1 − ε2 ) ⋅ E1
отражается обратно на стенку 1.
Дальнейшая судьба этого количества энергии видна из схемы (рисунок 2.19).
Поглощаемая стенкой 1 плотность излучения за счет собственного излучения
равна сумме бесконечного числа слагаемых
187
Теплопередача в технологических процессах…
'
Eпог.1
= ε1 ⋅ (1 − ε 2 ) ⋅ E1 ⋅ [ 1 + (1 − ε1 ) ⋅ (1 − ε 2 ) + (1 − ε1 ) 2 ⋅ (1 − ε 2 ) 2 + ... ]. (2.170)
Выражение в скобках является убывающей геометрической прогрессией.
Рис. 2.19. Лучистый теплообмен между параллельными телами
Сумма бесконечного числа ее членов равна
1
.
1 − (1 − ε1 ) ⋅ (1 − ε 2 )
(2.171)
Отсюда
'
Eпог.
1=
ε1 ⋅ (1 − ε2 ) ⋅ E1
.
1 − (1 − ε1 ) ⋅ (1 − ε2 )
(2.172)
Наряду с поглощением энергии от собственного отраженного излучения, первая
стенка поглощает еще часть энергии, излучаемой второй стенкой. Вычисление этого добавочного количества поглощаемой энергии аналогично предыдущему
''
Eпог.1
=
ε1 ⋅ E2
.
1 − (1 − ε1 ) ⋅ (1 − ε2 )
(2.173)
188
Часть 2
Таким образом, стенка 1 испускает плотность излучения E1 , а поглощает
'
''
. Разность между плотностью излучения и поглощением равна тепE пог.
1 + E пог. 1
ловому потоку переданного от стенки 1 к стенке 2
Q1−2 = Q1 − Q2 ,
(2.174)
где Q1 – общее количество лучистой энергии (эффективное излучение), излучаемое телом 1; Q2 – общее количество энергии (эффективное излучение), излучаемое стенкой 2 и падающее на стенку 1.
Эффективное излучение включает в себя собственное излучение E1 ⋅ F , а
также отраженное, падающее на стенку 1 от стенки 2, Q2 ⋅ (1 − ε1 )
Q1 = E1 ⋅ F + Q2 ⋅ (1 − ε1 ) .
(2.175)
Аналогично получается выражение для эффективного излучения стенки 2
в направлении стенки 1
Q2 = E2 ⋅ F + Q1 ⋅ (1 − ε2 ) .
(2.176)
Подставляя выражения для Q1 и Q2 в уравнение (2.174), после преобразования получим
 T1  4  T2  4 
(2.177)
Q1,2 = ε1, 2 ⋅ c0 ⋅ F ⋅ 
 −
 ,
 100   100  
где Q1,2 – тепловой поток, передаваемый излучением телом 1 телу 2, Вт;
ε1,2 – приведенная степень черноты тел 1 и 2, определяемая из выражения
ε1, 2 =
1
.
1 / ε1 + 1 / ε 2 − 1
(2.178)
Уравнение (2.177) представляет собой расчетную формулу для определения
результирующего количества энергии лучистого теплообмена между двумя
плоскопараллельными поверхностями.
Аналогично можно получить расчетную формулу для лучистого теплообмена между двумя телами в замкнутом пространстве (рисунок 2.20).
Такой случай еще называют теплообменом излучением между телом и его
оболочкой; внутреннее тело – всегда тело 1.
Суммарные собственные излучения тела и оболочки
4
 T 
ε1 ⋅ c0 ⋅  1  ⋅ F1 ;
 100 
4
T 
ε 2 ⋅ c0 ⋅  2  ⋅ F2 .
 100 
(2.179)
189
Теплопередача
плопередача в технологических процессах…
Рис. 2.20.
2.20 Теплообмен между телом и оболочкой
Искомая величина Q1,2 будет результирующим излучением на поверхности
тела и внутренней поверхности оболочки
Q1,2
 T1  4  T2  4 
= ε пр ⋅ c0 ⋅ F1 ⋅ 
 −
 ,
 100   100  
(2.180)
где ε пр – приведенная степень черноты,
εпр =
1
.

1 F1  1
+ ⋅  − 1
ε1 F2  ε2

(2.181)
Если поверхность F1 значительно меньше поверхности F2, то F1 → 0 и рас-
F2
четная формула принимает вид
 T  4  T  4 
Q1, 2 = ε1 ⋅ c0 ⋅ F1 ⋅  1  −  2  
 100   100  
(2.182)
При F1 = F2 расчетная формула (2.181) переходит в формулу (2.178).
Уравнение (2.180) можно использовать для расчета лучистого теплообмена
между двумя телами любой формы и произвольного их расположения, только
в каждом частном случае для определения приведенных степени
степени черноты и поп
верхности (для εпр и F)) имеются свои расчетные выражения [5].
190
Часть 2
Для уменьшения количества лучистой энергии, падающей со стороны других
тел на данное тело, необходимо уменьшать температуру излучающих энергию
тел и уменьшать степень их черноты.
При невозможности проведения таких мероприятий или их недостаточной
эффективности применяют экраны. Экраны изготовляются из материалов
с малой степенью черноты, обычно в виде тонких полированных металлических
пластин.
Для оценки эффективности экрана получим расчетное соотношение для определения лучистого теплообмена между телами при наличии экранов. Данное расчетное уравнение получается из решения системы уравнений, каждое из которых характеризует теплообмен между телом 1 и экраном, и экраном и телом 2
 T  4  T  4 
Q1, 2 = ε' пр ⋅c0 ⋅ F1 ⋅  1  −  2  ,
 100   100  
(2.183)
где ε'пр – приведенная степень черноты при наличии экранов
ε'пр =
1

F  2
1 / εпр + ∑ 1  − 1
i =1 Fэi  ε эi

(2.184)
n
Установка одного экрана между двумя параллельными стенками уменьшает
теплообмен излучением примерно в 2 раза. В общем случае при установке n экранов (степени черноты тел и экранов равны) лучистый теплообмен уменьшается в ( n + 1) раз.
Теплообмен излучением между ограждающей поверхностью и газами
Излучение газов имеет свои особенности и законы. Одно- и двухатомные
газы являются прозрачными; излучают и поглощают энергию трех- и многоатомные газы (СО2, Н2О, SО2, NH3 и др.). Спектр излучения и поглощения трехи многоатомных газов является селективным (избирательным), т. е. эти газы излучают и поглощают в определенных интервалах длин волн, называемых полосами. Так, у углекислого газа имеются три основные полосы: первая полоса
в интервале длин волн от λ1 = 2,36 мкм до λ2 = 3,02 мкм, вторая полоса
от λ1 = 4,01 мкм до λ2 = 4,8 мкм и третья полоса от λ1 = 12,5 мкм до λ2 = 16,5 мкм.
В отличие от твердых тел излучение и поглощение энергии газами происходит не
в их поверхностном слое, а во всем объеме.
По мере прохождения лучистого потока через объем многоатомных газов его
энергия вследствие поглощения непрерывно уменьшается. Это ослабление зависит от природы газа, его температуры и числа молекул, находящихся на пути
луча. Число молекул пропорционально толщине слоя газов ℓ и плотности газа
(парциальному давлению рi).
Теплопередача в технологических процессах…
191
Излучение газов существенно отклоняется от излучения по закону СтефанаБольцмана. Однако для технических расчетов условно принимают, что суммарная плотность излучения газов, так же, как и излучение твердых тел,
пропорциональна четвертой степени их абсолютной температуры
4
 T 
Ег = ε г ⋅ c0 ⋅ 
 ,
 100 
(2.185)
где εг – степень черноты газа, εг =f (рi, ℓ , Т).
Приближенные значения средней длины пути луча могут быть найдены
из соотношения
3,6 ⋅ V
(2.186)
ℓ=
,
F
где V – объем газа; F – площадь поверхности его оболочки. Степень черноты газовых смесей определяется как сумма степеней черноты отдельных компонентов.
Плотность теплового потока, передаваемая излучением газами ограждающей
поверхности, можно вычислить по приближенной формуле
qг .с
 Tг 4  Tс  4 
= εс.г ⋅ c0 ⋅ 
 −
 ,
 100   100  
(2.187)
где εс.г – приведенная степень черноты
εс.г =
ε г ⋅ εс
,
[εс + εг ⋅ (1 − εс )]
(2.188)
где εг – степень черноты газов; εс – степень черноты ограждающей стенки.
Часто в технических устройствах теплота одновременно передается конвекцией
и излучением. Тогда суммарная плотность теплового потока q определяется
по уравнению
 Tг  4  Tc  4 
q = qк + qл = α к ⋅ (Tг − Tc ) + ε г.с ⋅ c0 ⋅ 
 −
 =
 100   100  
(2.189)
= αк ⋅ (Tг − Tc ) + α л ⋅ (Tг − Tc ) = α ⋅ (Tг − Tc ),
где Tг, Tc – абсолютная температура газов и стенки, К; α – суммарный коэффициент теплоотдачи конвекцией и излучением, α = αк + αл.
Коэффициент теплоотдачи излучением можно определить по формуле
3
3
T 
T 
α л = 0,04 ⋅ εг.с ⋅ c0 ⋅  mа  ≈ 0,227 ⋅ εг.с ⋅  mа  ,
 100 
 100 
где Тmа = 0,5 (Тг+ Tc) – среднеарифметическая температура, К.
(2.190)
192
Часть 2
При теплообмене ограждающей поверхности с капельной жидкостью излучение отсутствует, так как капельные жидкости даже при небольших толщинах слоя непрозрачны, в этом случае α = αк.
2.11. Сложный теплообмен (теплопередача)
Процесс передачи теплоты от одной среды (теплоносителя) к другой среде
(теплоносителю) через разделяющую их стенку называется теплопередачей
и состоит из процессов теплоотдачи от горячего теплоносителя к поверхности
стенки, передачи теплоты теплопроводностью через многослойную (или однослойную) стенку и процесса теплоотдачи от поверхности стенки к холодному
теплоносителю [5, 15].
При установившемся процессе теплопередачи средние температуры горячего
и холодного теплоносителей (сред) остаются постоянными вдоль поверхности
стенки, а тепловой поток сохраняет неизменное значение (Q = idem).
Расчетная формула стационарного процесса теплопередачи имеет следующий вид
(2.191)
Q = k ⋅ F ⋅ ∆tср ,
где Q – тепловой поток; k – коэффициент теплопередачи; F – площадь поверхности теплопередачи; ∆tср = (tm1 – tm2) – средний температурный напор (средняя
разность температур).
Коэффициент теплопередачи k выражает количество теплоты, передаваемой
в единицу времени через единицу площади поверхности при температурном напоре равном 1 градусу.
В большинстве случаев при движении теплообменивающихся жидкостей
вдоль поверхности теплообмена их температуры изменяются. Коэффициент теплопередачи также изменяется по поверхности теплообмена.
Однако во многих случаях можно рассматривать величину коэффициента
теплопередачи постоянной по всей поверхности теплообмена, а разность температур между жидкостями принимать средней по поверхности теплообмена.
В этом случае для определения теплового потока имеем [17]
Q = k ⋅ ∫ ∆t ⋅ d F .
(2.192)
F
Коэффициент теплопередачи имеет очень важное прикладное значение.
В зависимости от принятой схемы расчета теплопередачи величина k относится
к единице поверхности или длины стенки.
Расчетные формулы для определения коэффициента теплопередачи в том
или другом случае, а также формулы для определения среднего температурного
напора (средней разности температур) представлены в специальной литературе,
а наиболее используемые рассматриваются ниже.
Теплопередача
плопередача в технологических процессах…
193
Теплопередача через плоскую стенку
Рассмотрим процесс передачи теплоты
через плоскую стенку с площадью поверхповерх
ности F,, толщиной стенки
с
δ и коэффициентом теплопроводности материала стенки
λ , при известных температурах горячего tж1
и холодного tж 2 теплоносителей, а также кок
эффициентов теплоотдачи от горячего α1
и холодного α2 теплоносителей (рисунок
2.21). Температура на внешних поверхностях
стенки неизвестна.
При стационарном температурном поле
тепловой поток
ок и плотность теплового потока
постоянны. Поэтому на основе уравнения
Рис. 2.21. Теплопередача
Ньютона – Рихмана плотность теплового попо
через
однослойную плоскую стенку
тока, передаваемого от горячего теплонотеплоно
сителя к поверхности стенки
q1 =
Q
= α1 ⋅ ( tж1 − tс1 ) .
F
(2.193)
Та же плотность теплового потока передается теплопроводностью через
стенку по закону Фурье
q2 =
Q λ
= ⋅ (tc1 − tc 2 )
F δ
(2.194)
и передается теплоотдачей от поверхности стенки к холодному теплоносителю
q3 =
Q
= α2 ⋅ (t ж 2 − tс 2 ) .
F
(2.195)
Решая эти уравнения относительно разности температур, находим:
tж1 − tc1 =
1
⋅ q1 = R1 ⋅ q1;
α1
tc1 − tc2 =
δ1
⋅ q2 = R2 ⋅ q2;
λ1
tc2 − tж2 =
1
⋅ q3 = R3 ⋅ q3.
α2
(2.196)
194
Часть 2
Складывая по частям выражения разностей температур и, учитывая, что
q = q1 = q2 = q3 , получим выражение для итоговой разности температур
 1 δ
1 
 ⋅ q = ( R1 + R2 + R3 ) ⋅ q = R ⋅ q,
tж1 − t ж 2 =  + 1 +
 α1 λ1 α 2 
(2.197)
где R = R1 + R2 + R3 – удельное термическое сопротивление теплопередачи пло-
δ
ской стенки, (м2·К)/Вт; R = 1 , R2 = , R = 1 – удельные термические
1
3
λ
α1
α2
сопротивления теплоотдачи со стороны горячего теплоносителя, теплопроводности плоской стенки и термические сопротивления теплоотдачи со стороны
холодного теплоносителя соответственно.
Отсюда следуют выражения для плотности теплового потока и теплового
потока (уравнения теплопередачи плоской стенки):
q=
1
⋅ (tж1 − tж 2 ) = k ⋅ (tж1 − tж 2 );
R
Q = q ⋅ F = kF ⋅ (tж1 − tж2 ) ,
(2.198)
(2.198а)
где k =1/R – коэффициент теплопередачи плоской стенки, Вт/(м2 ·К)
k=
1
1
1
=
=
.
1
δ
1
R (R1 + R2 + R3 )
+ +
α1 λ α2
(2.199)
После определения количества передаваемой теплоты (Q, q) по формуле
(2.196) можно найти температуры на поверхностях стенки:
tс1 = t ж1 − q ⋅
 1 δ;
1
= t ж 2 + q ⋅ 
+ 
α1
 α2 λ 
(2.200)
 1 δ
1
= tж1 − q ⋅  +  .
α2
 α1 λ 
(2.201)
tс 2 = t ж 2 + q ⋅
В случае теплопередачи через многослойную стенку, состоящую из n слоев
(рисунок 2.22) тепловой поток и плотность теплового потока определяются
по уравнениям аналогичным однослойной (2.198) за исключением того, что термическое сопротивление и, следовательно, коэффициент теплопередачи определяются с учетом термических сопротивлений каждого слоя.
Теплопередача
плопередача в технологических процессах…
195
Рис. 2.22. Теплопередача через многослойную плоскую стенку
k=
1
1
1
=
=
.
i =n
δi
1
R (R1 + R2 + R3 ) 1
+∑ +
α1 i =1 λ i α2
(2.202)
Температура поверхности и на стыке слоев определяется из тех же сообсооб
ражений, что и для однослойной стенки
n δ 
 1
tc ( i +1) = tж1 − q ⋅  + ∑ i  .
 α1 i =1 λ i 
(2.203)
Теплопередача через цилиндрическую стенку
Рассмотрим процесс передачи теплоты между средами через однородную
стенку трубы длиной ℓ c внутренним диаметром d1 и наружным диаметром d2
(рисунок 2.23). Коэффициент теплопроводности материала стенки трубы – λ.
Внутри трубы движется горячий теплоноситель со средней температурой tж1,
с наружи – холодный теплоноситель со средней температурой tж2. Температуры
стенки на внутренней tс1 и наружной tс2 поверхности трубы неизвестны.
Коэффициенты теплоотдачи со стороны горячего и холодного теплоносителя
равны α1 и α2 соответственно.
При стационарном температурном поле системы тепловой поток Q постоянен.
Тепловой поток, передаваемый от горячего теплоносителя к поверхности стенки
Q = α1 ⋅ (tж1 − tс1 ) ⋅ π ⋅ d1 ⋅ ℓ .
(2.204)
196
Часть 2
Тот же самый тепловой поток передается
теплопроводностью через стенку
Q=
2⋅π⋅λ⋅ℓ
⋅ (tc1 − tc 2 )
d2
ln
d1
(2.205)
и дальше от поверхности стенки к холодному
теплоносителю
Q = α2 ⋅ (tж2 − tс 2 ) ⋅ π ⋅ d2 ⋅ ℓ .
(2.206)
Решая уравнения (2.204), (2.205) и (2.206)
относительно разности температур и суммируя
полученные выражения, получим расчетное
уравнение для определения теплового потока
Q = π ⋅ kℓ ⋅ ℓ ⋅ (tж1 − tж2 ) ,
Рис. 2.23. Теплопередача
через цилиндрическую стенку
(2.207)
где kℓ – линейный коэффициентом теплопередачи для цилиндрической однородной стенки, Вт/(м ·К)
kℓ =
1
=
Rℓ
1
1
1
d
1
+
⋅ ln 2 +
α1 ⋅ d1 2 ⋅ λ
d1 α 2 ⋅ d 2
,
(2.208)
где Rℓ – линейное термическое сопротивление теплопередачи, (м ·К)/Вт
Rℓ =
1
1
d
1 .
+
⋅ ln 2 +
α1 ⋅ d1 2 ⋅ λ
d1 α 2 ⋅ d 2
(2.209)
После определения величины теплового потока Q по формулам (2.204 –
2.206) можно найти температуры на поверхности стенки:
tс1 = tж1 −
tс 2 = tж1 −
Q
;
α1 ⋅ π ⋅ d1 ⋅ ℓ
(2.210)
Q  1
1
d 
Q
⋅ 
+
⋅ ln 2  = tж 2 +
.
π ⋅ ℓ  α1 ⋅ d1 2λ
d1 
α2 ⋅ π ⋅ d 2 ⋅ ℓ
В случае многослойной стенки, состоящей из n слоев, тепловой поток
и плотность теплового потока определяются по уравнениям аналогичным уравнениям для однослойной стенки (2.207) за исключением того, что линейное тер-
Теплопередача в технологических процессах…
197
мическое сопротивление определяется с учетом термических сопротивлений
каждого слоя.
Линейное термическое сопротивление теплопередачи многослойной цилиндрической стенки с числом разнородных слоев n определяется по формуле
Rℓ =
n
1
1
d
1
+∑
⋅ ln i +1 +
.
α1 ⋅ d1 i =1 2 ⋅ λ i
di
α2 ⋅ d i +1
(2.211)
Уравнение теплопередачи для криволинейной поверхности
Определения теплового потока через криволинейные стенки (рисунок 2.24)
следует вести по соотношению
Q = kF ⋅ (tж1 − tж 2 ) ,
(2.212)
где kF – неразделимый комплекс, называемый водяным эквивалентом поверхности теплопередачи,
kF =
1
1
=
=
R (R1 + R2 + R3 )
1
, (2.213)
1
δi
1
+∑
+
α1 ⋅ F1 i =1 λ i ⋅ Fmi α2 ⋅ Fn +1
i =n
где Fmi – средняя площадь поверхности теплопередачи:
для плоской стенки Fmi = Fma = F1 + F2 ;
2
для цилиндрической поверхности
Fmi = Fmℓ =
Fi +1 − Fi
d − di ;
= π ⋅ d mL = π ⋅ ℓ i +1
Fi +1
d
ln
ln i +1
Fi
di
для сферической поверхности Fmi = FmG = Fi ⋅ Fi +1 .
Расчетная поверхность теплопередачи для криволинейных стенок определяется из выражения
n
1
δ
1
+∑ i +
( kF )
α1 i =1 λ i α2
F=
=
.
n
1
δi
1
k
+∑
+
α1 ⋅ F1 i =1 λ i ⋅ Fm,i α2 ⋅ Fi +1
(2.214)
198
Часть 2
Рис. 2.24. Теплопередача через криволинейную поверхность
В технических расчетах чаще всего приходится решать проблему двух вив
дов: уменьшение тепловых потерь (изоляция поверхности теплообмена) и увеув
личение количества передаваемой теплоты (интенсификация теплопередачи).
Изоляция криволинейных поверхностей теплообмена имеет свои особенности.
Рассмотрим покрытие изоляцией однослойной цилиндрической стенки. Линейное термическое сопротивление теплопередачи (2.211) перепишется слесл
дующим образом
Rℓ =
1
1
d
d
1
1
+
⋅ ln 2 +
⋅ ln 3 +
= Rℓ1 + Rℓc + Rℓиз + Rℓ2 . (2.215)
α1 ⋅ d1 2 ⋅ λ c
d1 2 ⋅ λ из
d 2 α2 ⋅ d 3
Из анализа уравнения (2.215) следует, что при увеличении толщины изоляизол
ции (рисунок 2.25) термическое сопротивление R =
ℓиз
чивается, а термическое сопротивление R =
ℓ2
сопротивления R =
ℓ1
1
d
⋅ ln 3
2 ⋅ λ из
d2
увели-
1
уменьшается; термические
α2 ⋅ d 3
1 и
1
d
Rℓс =
⋅ ln 2 сохраняют постоянное значение.
α1 ⋅ d1
2 ⋅ λс
d1
Теплопередача в технологических процессах…
199
Рис. 2.25. Критический диметр изоляции
При этом суммарное термическое сопротивление Rℓ сначала уменьшается, а
затем увеличивается, а удельный линейный тепловой поток qℓ наоборот, сначала возрастает, а потом уменьшается. Диаметр изоляции, при котором суммарное
термическое сопротивление имеет минимальное значение, а удельный линейный
тепловой поток – максимальное, называется критическим (d3 = dкр) и определяется по формуле
d кр =
2 ⋅ λ из
.
α2
(2.216)
При наложении изоляции на трубу поступают следующим образом: выбрав
какой-либо теплоизоляционный материал, по известным α2 и λиз рассчитывают
dкр. Если окажется, что dкр > d2 , то применение выбранного материала в качестве
тепловой изоляции нецелесообразно.
Таким образом, для эффективного применения тепловой изоляции необходимо, чтобы dкр ≤ d2, а λ из ≤ α 2 ⋅ d 2 .
2
Интенсификация процессов теплопередачи связана с увеличением передаваемого теплового потока.
Согласно уравнению теплопередачи (2.212) для увеличения теплового потока
необходимо увеличить значение водяного эквивалента поверхности теплопередачи kF.
Увеличение перепада температур между теплоносителями (tж1 − tж 2 ) практически неосуществимо в условиях технологического процесса.
Повысить значение комплекса kF можно за счет увеличения коэффициента
теплопередачи k, расчетной площади поверхности теплопередачи, как отдельно,
так и вместе.
200
Часть 2
Увеличить значение коэффициента теплопередачи можно за счет уменьшения
термических сопротивлений теплопроводности или повышения коэффициентов теплоотдачи. Причем, расчеты показывают (2.199), что коэффициент теплопередачи
всегда меньше минимального значения α.
Для повышения коэффициента теплопередачи следует сопоставить значения коэффициентов
теплоотдачи и при α1 << α2 или
α2 << α1 – необходимо принять
меры к увеличению минимального коэффициента теплоотдачи;
при α1 ≈ α2 – лучше увеличить оба
коэффициента, или, что менее
эффективно один из них.
При отсутствии возможности
увеличения коэффициентов теплоотдачи, процесс теплопередачи
можно интенсифицировать за счет
увеличения поверхности – оребрения поверхности теплоотдачи.
Оребряется та поверхность,
со стороны которой коэффициент
теплоотдачи α имеет наименьшее
значение (рисунок 2.26).
Рассмотрим
стационарный
процесс передачи теплоты от
горячего теплоносителя, с темРис. 2.26. Плоская ребристая стенка:
пературой tж1, к холодному,
α1, α2, αг, αр – коэффициенты теплоотдачи со
с температурой tж1, через плостороны горячего (F1), холодного (F2) теплоноскую
стенку, оребренную со стосителей, гладкой поверхности (Fг)
роны наименьшего коэффициента
и ребер (Fр); tc1, tc2 – температуры
теплоотдачи.
на поверхности стенки; δ – толщина стенки;
Тепловой поток через ребристую
ℓ , δ – высота и толщина ребра
р
стенку определяется подобно формулам (2.193) – (2.195):
λ
Q = α1⋅F1 (tж1 − tс1 ) = (tс1 − tс 2 ) ⋅ F = αпр ⋅Fрс (tс 2 − tж 2 ) ,
δ
(2.217)
где F − площадь поверхности теплообмена гладкой части стенки (Fг) и торцевой
поверхности ребер; Fрс − общая площадь поверхности оребренной стенки;
αпр − приведенный коэффициент теплоотдачи от оребренной стенки к холодному
теплоносителю.
Теплопередача в технологических процессах…
201
В результате решения выражения (2.217) получаем
 1

δ
1
 ⋅Q ,
t ж1 − t ж 2 = 
+
+
α ⋅F λ⋅F α ⋅F 
пр
рс 
 1 1
(2.218)
Q = (kF ) рс ⋅ (tж1 − tж 2 ) ,
(2.219)
что равносильно
где (kF)рс − водяной эквивалент поверхности теплопередачи через плоскую ребристую стенку, величина обратная полному термическому сопротивлению Rрс
( kF ) рс =
1
=
Rрс
1
.
1
δ
1
+
+
α1 ⋅ F1 λ ⋅ F α пр ⋅ Fрс
(2.220)
Если отнести водяной эквивалент (kF)рс к площади поверхности гладкой
стенки (F1 ≈ Fг ≈ F), то получим выражение коэффициента теплопередачи
kрс =
где χ =
Fрс
F1
1
1 δ
1
+ +
α1 λ αпр ⋅ χ
,
(2.221)
> 1 − коэффициент оребрения.
Как видно из сравнения формул для определения коэффициента теплопередачи (2.199) и (2.221), оребрение поверхности со стороны меньшего коэффициента теплоотдачи приводит к уменьшению соответствующего термического сопротивления в χ раз и увеличению теплового потока.
Приведенный коэффициент теплоотдачи αпр определяется из баланса передачи теплоты от оребренной поверхности к холодному теплоносителю
Q = Qс2 + Qр,
(2.222)
Q = αпр ⋅Fрс ⋅ (tс 2 − tж 2 ); Qс 2 = αг ⋅Fг ⋅ (tс 2 − tж 2 ) ; Qр = αр ⋅Fр ⋅ (tс 2 − tж 2 ) ⋅ ηр , (223)
где Q, Qс2, Qр − тепловой поток от оребренной, гладкой поверхности и ребер
к холодному теплоносителю.
Отсюда следует, что
F
F
(2.224)
αпр = αг ⋅ г + αр ⋅ р ⋅ ηр ,
Fрс
Fрс
где ηр = Qр /Qр' − коэффициент эффективности ребра, равный отношению теплового потока, переданного от ребра к теплоносителю Qр к тепловому потоку Qр' ,
202
Часть 2
который мог бы передаться от ребра, если бы его температура была по всей длине
ℓ постоянной.
Коэффициент эффективности ребра определяется в зависимости от формы
и размера ребра по формулам, представленным в справочниках по теплопередаче.
Теплопередача при изменяющихся температурах вдоль поверхности
теплообмена
При добыче, транспорте и переработке нефти и газа процессы передачи
теплоты от одной среды к другой (жидкости или газу) происходят при изменяющихся температурах.
Устройства, в которых происходит передача теплоты между теплоносителями (средами), называются теплообменными аппаратами (ТА).
Температура теплоносителей изменяется вдоль поверхности теплообмена:
температура греющего теплоносителя понижается, а нагреваемого – повышается.
В условиях изменяющихся температур теплоносителей уравнение теплопередачи для элементарной площади можно записать в следующем виде:
δQi = k ⋅ ∆ti ⋅ dFi .
(2.225)
Тепловой поток, передаваемый через всю поверхность теплообмена при постоянном значении коэффициента теплопередачи k равен
Q = k ⋅ ∫ ∆ti ⋅ dF .
(2.226)
F
Для учета изменения температур теплоносителей по поверхности теплообмена в расчетное уравнение теплопередачи вводится средняя разность температур θm , которая определяется уравнением
θm =
1
⋅ ∫ ∆ti ⋅ dFi .
k F
(2.227)
Из сопоставления уравнений (2.226) и (2.227) получаем основное уравнение
теплопередачи при переменных температурах [2]
Q = kF ⋅ θm .
(2.228)
Вид расчетного соотношения для средней разности температур (2.227) существенно зависит от взаимного направления греющего и нагреваемого теплоносителей.
Различают следующие взаимные направления движения теплоносителей:
прямоток, противоток и одно – многократно перекрестный ток.
Теплопередача в технологических процессах…
203
На рисунке 2.27 показаны схемы движения теплоносителей и график изменения температур теплоносителей вдоль поверхности теплообмена при прямотоке (а) и противотоке (б).
В процессе теплообмена греющий теплоноситель отдает некоторое количество теплоты (Q1), нагреваемый теплоноситель получает такое же количество
теплоты (Q2) (теоретический процесс, без потерь теплоты в окружающую среду).
а
б
Рис. 2.27. График изменения температуры теплоносителей
при прямотоке (а) и противотоке (б)
Пренебрегая падением давления теплоносителей при движении, т.е. считая
процесс изобарным, из первого начала термодинамики имеем
Q = Q1 = Q2 = G1 ⋅ ∆h1 = G2 ⋅ ∆h2 ,
(2.229)
где Q – мощность теплообменного аппарата, Вт; G1 и G2 – расходы горячего и холодного теплоносителей соответственно, кг/с; ∆h1 и ∆h2 – изменения удельной энтальпии греющего и нагреваемого теплоносителей соответственно, Дж/кг.
Для конвективных теплообменных аппаратов (в процессе теплообмена отсутствуют фазовые переходы) и, в силу того, что изменение энтальпии
∆h = c pm ⋅ ∆t имеем
Q = Q1 = Q2 = G1 ⋅ c pm1 ⋅ ∆t = G2 ⋅ c pm1 ⋅ ∆τ = W1 ⋅ ∆t = W2 ⋅ ∆τ ,
(2.230)
где cpm1 и cpm2 – средние изобарные теплоемкости горячего и холодного теплоносителей; G1, G2 – массовые расходы горячего и холодного теплоносителей;
204
Часть 2
W1 = G1·cpm1 и W2 = G2·cpm2 – водяные эквиваленты горячего и холодного теплоносителей; ∆t = t1 −t 2 ; ∆τ = τ2 − τ1 – изменение температур горячего и холодного
теплоносителей (рисунок 2.27).
Уравнения (2.229) и (2.230) называются уравнениями теплового баланса теплообменного аппарата.
В силу того, что для теоретического процесса теплопередачи в теплообменном аппарате, тепловой поток, определенный из уравнение теплового баланса
(2.230), равен тепловому потоку, по уравнению теплопередачи (2.228), имеем
Q = Q1 = Q2 = W1 ⋅ ∆t = W2 ⋅ ∆τ = kF ⋅ Θ m
(2.231)
Расчетные соотношения для определения средней разности температур простейших схем взаимного движения теплоносителей – прямотока и противотока (рисунок 2.27), получаются из выражения (2.230), записанного для элементарного участка теплообмена
δQ = Θ ⋅ d (kF ) = −W1 ⋅ dt = ±W2 ⋅ dτ ,
(2.232)
где Θ – текущая средняя разность температур (текущий температурный напор).
Знаки в уравнении элементарного теплового потока (2.232) определяются
принятым направлением движения теплоносителей: верхние знаки относятся
к прямотоку, а нижние – к противотоку.
Выделим из исходного дифференциального уравнения (2.232) изменения
температуры для горячего и холодного теплоносителей
dt = −
δQ
δQ .
; dτ = ±
W1
W2
(2.232а)
Выразим разность изменения температур горячего и холодного теплоносителей
 1
1 
1
(2.232б)
 ⋅ δQ =
dt − dτ = dΘ = − ∓
⋅ δQ ,
Wm
 W1 W2 
где Wm – приведенный водяной эквивалент обоих потоков, 1 = 1 + 1 .
Wm W1 W2
Окончательно имеем следующее преобразованное выражение теплопередачи
на элементарном участке
δQ = −Wm ⋅ dΘ = Θ ⋅ d (kF )
(2.233)
Разделив переменные в уравнении (2.233) и проинтегрировав его, получим
первое интегральное уравнение
kF
Θ
= ln 1 .
Wm
Θ2
(2.234)
Теплопередача в технологических процессах…
205
Второе интегральное уравнение получается при непосредственном интегрировании уравнения теплопередачи (2.233)
kF Θ1 − Θ2 .
=
Wm
Θm
(2.235)
Сопоставляя уравнения (2.234) и (2.235) получим расчетное уравнение для
средней разности температур теплоносителей
Θm = ΘmL =
Θ1 − Θ2 ,
Θ
ln 1
Θ2
(2.236)
где Θ1 и Θ2 – начальная и конечная разности температур теплоносителей соответственно.
Выражение средней разности температур (2.236), справедливое для схем
прямотока и противотока, называется среднелогарифмической разностью температур или уравнением Грасгофа.
Начальная Θ1 и конечная Θ2 разности температур теплоносителей для схемы прямотока и противотока определяются по следующим соотношениям (рисунок 2.27):
для схемы прямоток
Θ1 = t1− τ1 ; Θ2 = t 2− τ2 ,
(2.236а)
для схемы противоток
Θ1 = t1− τ2 ; Θ2 = t 2 − τ1
(2.236б)
При незначительном изменении температуры теплоносителей вдоль поверхностей теплообмена, вместо среднелогарифмической разности температур можно
пользоваться среднеарифметической разностью температур
τ +τ 
t +t
Θm = Θmа =  1 2 − 1 2  .
2 
 2
(2.237)
Среднеарифметическая разность температур всегда больше среднелогарифмической, но при
∆t
< 2 расхождение между ними составляет менее 3%, что
∆τ
вполне допустимо в технических расчетах.
Для определения средней разности температур между теплоносителями для
сложных схем используются два метода: графоаналитический и методика, предложенная профессором Н.И. Белоконь [2, 12].
Согласно графоаналитическому методу, предварительно по формуле Грасгофа подсчитывается среднелогарифмическая разность температур для противоточного теплообменного аппарата (2.236).
206
Часть 2
Затем вычисляются вспомогательные характеристики R и PS по уравнениям
[15, 17]
R=
(t1 − t2 ) W2 ,
=
( τ 2 − τ1 ) W1
PS =
( τ2 − τ1 ) .
(t1 − τ1 )
(2.238)
По значениям этих характеристик с учетом схемы движения теплоносителей
(число ходов по трубному и межтрубному пространству) из графиков определяется коэффициент ε ∆t (рисунки 2.28, 2.29, 2.30).
Действительная средняя разность температур между теплоносителями для
ТА определяется по соотношению
Θm = ε∆t ⋅ ΘmL ,
(2.239)
где ε ∆t – коэффициент, учитывающий различие между действительной средней
разностью температур Θm и средней логарифмической разностью температур между теплоносителями при противоточной схеме движения теплоносителей ΘmL.
Рис. 2.28. Зависимость ε ∆t от характеристик R и PS для двухходовых
(по трубному пространству) кожухотрубных теплообменных аппаратов
Н.И. Белоконь предложил обобщенное уравнение для определения средней разности температур, справедливое для любых схем движения теплоносителей [2]
Θm =
Θ I − Θ II ;
Θ
ln I
Θ II
(2.240)
где Θ I и ΘII – начальная и конечная разности температур теплоносителей
Теплопередача в технологических процессах…
207
Рис. 2.29. Зависимость ε ∆t от характеристик R и PS для четырехходовых
(по трубному пространству) кожухотрубных теплообменных аппаратов
Рис. 2.30. Зависимость ε ∆t от характеристик R и PS для шестиходовых
(по трубному пространству) кожухотрубных теплообменных аппаратов
ΘI = Θma + 0,5 ⋅ ∆T ;
ΘII = Θma − 0,5 ⋅ ∆T ;
(2.241)
∆T – характеристическая разность температур
∆T =
(∆t + ∆τ )2 − 4 ⋅ P ⋅ ∆t ⋅ ∆τ ;
Wm – приведенный водяной эквивалент теплоносителей
(2.242)
208
Часть 2
2
 1
1
1 
4⋅P ;
 −
=  +
Wm
 W1 W2  W1 ⋅ W2
(2.243)
Р – индекс противоточности, определяемый как отношение водяного эквивалента поверхности теплообмена, где осуществляется противоточная схема движения теплоносителей (kF)прот, к водяному эквиваленту поверхности теплообмена всего ТА ( kF )
( kF ) прот
( kF ) прот
.
(2.244)
P=
=
( kF )
( kF ) прот + ( kF ) прям
Для прямоточной схемы движения индекс противоточности Р = 0, а при противотоке Р = 1 и, в этом случае, уравнение (2.240) совпадает с уравнением Грасгофа (2.236).
2.12. Тепловой расчет теплообменных аппаратов
Методика теплового расчета ТА справедлива для всех типов аппаратов и базируется на основных расчетных соотношениях теплопередачи.
Классификация теплообменных аппаратов
По принципу действия теплообменные аппараты делятся на рекуперативные,
регенеративные и смесительные.
В рекуперативных ТА горячий и холодный теплоносители одновременно
подаются в аппараты, омывая с разных сторон поверхность теплообмена, а тепловой поток Q передается от горячего к холодному теплоносителю через разделяющую их стенку (рисунок 2.31а).
В регенеративных ТА горячий и холодный теплоносители омывают одну и ту
же поверхность теплообмена последовательно (рисунок 2.31б). При омывании
поверхности теплообмена горячий теплоноситель отдает ей теплоту, а затем ту же
поверхность омывает холодная теплоноситель, который, получая теплоту, нагревается. Примером регенеративных ТА могут служить аппараты насадочного типа.
а
б
в
Рис. 2.31. Схемы теплообменных аппаратов:
1 – горячий теплоноситель; 2 – холодный теплоноситель
Теплопередача в технологических процессах…
209
В рекуперативных и регенеративных ТА в процессе теплопередачи между
теплоносителями участвует поверхность теплообмена, поэтому эти аппараты
называются поверхностными.
В смесительных ТА теплопередача между теплоносителями осуществляется
путем их непосредственного смешения (рисунок 2.31в).
Эти ТА называются контактными. Примером таких ТА могут быть градирни,
в которых оборотная вода охлаждается атмосферным воздухом.
По назначению теплообменные аппараты делятся на конвективные (нагреватели и холодильники), испарители, конденсаторы и кристаллизаторы.
В конвективных ТА не происходит агрегатного превращения теплоносителей.
В испарителях происходит испарение холодного теплоносителя или компонентов холодного теплоносителя.
В конденсаторах конденсируется горячий теплоноситель или компоненты
горячего теплоносителя.
Кристаллизаторы используются для охлаждения потока горячего теплоносителя до температуры, обеспечивающей образование кристаллов некоторых
компонентов горячего теплоносителя.
Наиболее широкое распространение в нефтяной, газовой, нефте и газоперерабатывающих отраслях получили рекуперативные теплообменные аппараты:
кожухотрубные теплообменники и теплообменные аппараты типа «труба
в трубе», которые по некоторым данным составляют более 80% от всей теплообменной аппаратуры.
Кожухотрубные теплообменные аппараты подразделяются на аппараты:
с неподвижными трубными решетками, с плавающей головкой, с неподвижными
трубными решетками и температурным компенсатором на кожухе, с U-образными трубками и трубками Фильда.
Кожухотрубные теплообменные аппараты с неподвижными трубными
решетками применяются при максимальной разнице температур между теплоносителями не более 80 оС (рисунок 2.32).
Кожухотрубный теплообменный аппарат представляет из себя пучок теплообменных труб, находящихся в цилиндрическом корпусе (кожухе).
Один из теплоносителей движется внутри теплообменных труб, а другой
омывает наружную поверхность труб. Концы труб закрепляются с помощью
вальцовки, сварки или пайки в трубных решетках. В кожух теплообменного
аппарата с помощью дистанционных трубок устанавливаются перегородки.
Перегородки поддерживают трубы от провисания и организуют поток теплоносителя в межтрубном пространстве, интенсифицируя теплообмен.
К кожуху теплообменного аппарата привариваются штуцеры для входа и
выхода теплоносителя из межтрубного пространства. На входе теплоносителя
в межтрубное пространство в ряде случаев устанавливают отбойники, необходимые для уменьшения вибрации пучка труб, равномерного распределения потока
теплоносителя в межтрубном пространстве и снижения эрозии ближайших
210
Часть 2
к входному штуцеру труб. К кожуху теплообменного аппарата фланцами крепятся распределительная камера и задняя крышка со штуцерами для входа
и выхода продукта из трубного пространства.
Рис. 2.32. Кожухотрубный теплообменник с неподвижными трубными решетками [14]:
1 – распределительная камера; 2 – кожух; 3 – теплообменная труба; 4 – поперечная перегородка; 5 – трубная решетка; 6 – задняя крышка кожуха;7 – опора; 8 – дистанционная трубка;
9 – штуцеры; 10 – перегородка в распределительной камере; 11 – отбойник
В зависимости от конструкции кожухотрубные теплообменные аппараты
данного типа делятся на:
• одно, двух или многоходовые по трубному пространству в зависимости
от наличия и числа перегородок в распределительной камере и крышке
кожуха;
• одно или многоходовые в межтрубном пространстве в зависимости
от наличия и числа продольных перегородок в кожухе;
• аппараты с различными видами поперечных перегородок: сегментными,
секторными, кольцевыми и др.
В зависимости от расположения теплообменных труб различают теплообменные аппараты горизонтального и вертикального типа.
Ограничение по максимальной разности температур между теплоносителями
в кожухотрубных теплообменных аппаратах с неподвижными трубными решетками объясняется возникающими в кожухе и в теплообменных трубах температурными напряжениями, способными нарушить герметичность конструкции
аппарата.
Для частичной компенсации температурных напряжений в кожухе и в теплообменных трубах используются специальные гибкие элементы (расширители,
компенсаторы), устанавливаемые на кожухе аппарата. Такие теплообменники называются теплообменными аппаратами с температурным компенсатором
на кожухе (рисунок 2.33).
Теплопередача в технологических процессах…
211
Рис. 2.33. Вертикальный кожухотрубный испаритель с неподвижными трубными решетками и температурным компенсатором на кожухе [14]: 1 – распределительная камера; 2,
8 – трубные решетки; 3 – компенсатор;4 – кожух; 5 – опора; 6 – теплообменная труба; 7 – поперечная «сплошная» перегородка; 8 – крышка. Потоки: I – испаряющаяся среда; II – конденсат; III – парожидкостная смесь; IV – водяной пар.
Кожухотрубные теплообменные аппараты с плавающей головкой (с подвижной трубной решеткой) являются наиболее распространенным типом кожухотрубных теплообменников (рисунок 2.34). Подвижная трубная решетка позволяет
трубному пучку свободно перемещаться независимо от корпуса, что значительно
снижает температурные напряжения как в кожухе, так и в теплообменных трубах.
Теплообменные аппараты данного типа выполняются с двумя или с четырьмя ходами по трубному пространству.
Аппараты с плавающей головкой чаще всего выполняются одноходовыми
по межтрубному пространству. В аппаратах с двумя ходами по межтрубному
пространству устанавливается продольная перегородка [14].
212
Часть 2
Рис. 2.34. Кожухотрубный теплообменник с плавающей головкой:
1 – крышка распределительной камеры; 2 – распределительная камера; 3 – неподвижная
трубная решетка; 4 – кожух; 5 – теплообменная труба; 6 – поперечная перегородка;
7 – подвижная трубная решетка; 8 – задняя крышка кожуха; 9 – крышка плавающей головки; 10 – опора; 11 – катковая опора трубного пучка
Кожухотрубные теплообменники с U-образными трубками (рисунок 2.35)
имеют одну трубную решетку, в которую завальцованы оба конца U-образных
теплообменных труб [14].
Рис. 2.35. Кожухотрубный теплообменник с U-образными теплообменными трубами:
1 – распределительная камера; 2 – трубная решетка; 3 – кожух; 4 – теплообменная труба;
5 – поперечная перегородка; 6 – крышка кожуха; 7 – опора; 8 – катковая опора трубного
пучка
Отсутствие других жестких связей теплообменных U-образных труб с кожухом обеспечивает свободное удлинение труб при изменении их температуры.
Кроме того, преимущество теплообменников с U-образными трубами заключается в отсутствии разъемного соединения внутри кожуха (в отличии от ТА
с плавающей головкой), что позволяет успешно применять их при повышенных
давлениях теплоносителей, движущихся по трубкам.
Теплопередача в технологических процессах…
213
Недостатком таких аппаратов является трудность чистки внутренней и наружной поверхности труб, вследствие чего они используются преимущественно
для чистых продуктов.
Для увеличения скорости движения потоков в межтрубном пространстве
и их турбулизации, повышения качества омывания поверхности теплообмена
в межтрубное пространство кожухотрубных теплообменных аппаратов устанавливаются специальные поперечные перегородки [14, 17].
Они также выполняют роль опор трубного пучка, фиксируя трубы в заданном положении, и уменьшают вибрацию труб.
На рисунке 2.36 показаны поперечные перегородки различных типов.
Рис. 2.36. Поперечные перегородки кожухотрубных аппаратов:
а – с сегментным вырезом; б – с секторным вырезом; в – перегородки «диск-кольцо»;
г – с щелевым вырезом; д – «сплошные»
Наибольшее распространение получили сегментные перегородки (рисунок
2.36а).
Поперечные перегородки с секторным вырезом (рисунок 2.36б) оснащены
дополнительной продольной перегородкой, равной по высоте половине внутреннего диаметра кожуха аппарата. Секторный вырез, по площади равный четверти сечения аппарата, располагают в соседних перегородках в шахматном порядке. При этом теплоноситель в межтрубном пространстве совершает вращательное движение то по часовой стрелке, то против нее.
Аппараты со «сплошными» перегородками (рисунок 2.36д) используются
обычно для чистых жидкостей. В этом случае жидкость протекает по кольцевому зазору между теплообменными трубами и отверстиями в перегородках.
214
Часть 2
Для повышения тепловой мощности теплообменных аппаратов при неизменных длинах труб и габаритах теплообменника используется оребрение наружной поверхности теплообменных труб. Оребренные теплообменные трубы
применяются в тех случаях, когда со стороны одного из теплоносителей трудно
обеспечить высокий коэффициент теплоотдачи (газообразный теплоноситель,
вязкая жидкость, ламинарное течение и т.д.). На рисунке 2.37 приведены варианты наружного оребрения теплообменных труб.
Рис. 2.37. Оребренные трубы [14]:
а – с приварными «корытообразными» ребрами; б – с завальцованными ребрами;
в – с винтовыми накатанными ребрами; г – с выдавленными ребрами;
д – с приварными шиловидными ребрами
Для интенсификации теплоотдачи в трубном пространстве используются методы воздействия на поток устройствами, которые турбулизируют теплоноситель в
теплообменных трубах [14]. Для этой цели применяются различного рода турбулизаторы, варианты исполнения которых представлены на рисунок 2.38.
Рис. 2.38. Теплообменные трубы с турбулизаторами:
а – шнековые завихрители; б – ленточные завихрители;
в – диафрагмовые трубы с вертикальными канавками;
г – диафрагмовые трубы с наклонными канавками; д – проволочные турбулизаторы;
е – турбулизирующие вставки фирмы «sulzer»
Теплопередача в технологических процессах…
215
Теплообменные аппараты типа «труба в трубе» в случаях, когда в них реализуется противоточная схема движения теплоносителей, работают в ряде случаев более эффективно, чем кожухотрубные ТА. Кроме того, в аппаратах данного типа легче обеспечить большие, чем в кожухотрубных теплообменниках, скорости движения потоков теплоносителей, что позволяет иметь и более
высокие значения коэффициента теплопередачи.
Вместе с тем, теплообменные аппараты типа «труба в трубе» по сравнению
с кожухотрубными аппаратами имеют большие габариты, а также более высокий расход металла на единицу поверхности теплообмена.
Теплообменные аппараты типа «труба в трубе» по конструкции делятся
на однопоточные (неразборные и разборные ) и многопоточные [12,14].
Неразборные ТА типа «труба в трубе», как и кожухотрубные аппараты
с неподвижными решетками, используются при сравнительно небольшой разности температур между «чистыми» теплоносителями (рисунок 2.39).
Рис. 2.39. Неразборный однопоточный теплообменный аппарат типа «труба в трубе»:
а – с приварными двойниками на теплообменных трубах; б – со съемными двойниками
на теплообменных трубах; 1 – теплообменная труба; 2 – кожуховая труба; 3 – специальный тройник; 4 – двойник; 5 – ниппель; 6 – гайка;7 – штуцер
В разборных конструкциях теплообменников типа «труба в трубе» (рисунки
2.40, 2.41) внутренние трубы при повышении температуры могут удлиняться независимо от наружных.
В теплообменных аппаратах типа «труба в трубе» разборной конструкции
[14] сравнительно легко очищаются внутренняя и наружная поверхности труб;
эти аппараты обладают высоким коэффициентом теплопередачи и являются надежными в эксплуатации.
216
Часть 2
Рис. 2.40. Разборный однопоточный теплообменный аппарат типа «труба в трубе»:
1 – теплообменная труба; 2 – кожуховая труба; 3 – опора; 4 – решетка кожуховых труб;
5 – поворотная камера; б – двойник; 7 – решетка теплообменных труб.
Рис. 2.41. Разборный многопоточный теплообменный аппарат типа «труба в трубе»:
1 – первая распределительная камера; 2 – решетка теплообменных труб;
3 – вторая распределительная камера; 4 – решетка кожуховых труб; 5 – опора;
6 – теплообменная труба; 7 – кожуховая труба; 8 – поворотная камера; 9 – двойник.
В теплообменных аппаратах разборной конструкции внутренние трубы в ряде
случаев выполняются с наружным оребрением, позволяющим увеличить их наружную поверхность теплообмена. Оребрение внутренних труб используют, как
правило, в тех случаях, когда со стороны теплоносителя, двигающегося в межтрубном пространстве трудно обеспечить высокий коэффициент теплоотдачи (движется газ, вязкая жидкость, поток имеет ламинарный характер и т.д.).
Аппараты воздушного охлаждения
В аппаратах воздушного охлаждения (АВО) происходит охлаждение потока
природного газа, проходящего по трубному пучку АВО, за счет теплообмена
с атмосферным воздухом. Эти аппараты включают в себя следующие основные
узлы и агрегаты: секции оребренных теплообменных труб различной длины
(от 3 до 12 м), вентиляторы с электроприводом, диффузоры и жалюзи для регулировки производительности воздуха, несущие металлоконструкции и,
в некоторых случаях, механизмы регулирования [7, 21].
Аппараты воздушного охлаждения газа выполняются с верхним и нижним
расположением вентиляторов, с горизонтальными и зигзагообразными теплообменными секциями (рисунки 2.42, 2.43, 2.44).
Теплопередача
плопередача в технологических процессах…
217
Рис 2.42. Зигзагообразный АВО с нижним расположением вентиляторов
Рис. 2.43. Горизонтальный АВО с нижним расположением вентиляторов:
1 – секции оребренных теплообменных труб; 2 – направляющий аппарат – диффузор;
3 – фундаментная опора под электродвигатель с установленным на нем вентилятором;
4 – опорные металлоконструкции.
218
Часть 2
Рис. 2.44. Схема горизонтального АВО с верхним расположением вентиляторов:
1 – секции оребренных теплообменных труб; 2 – вентилятор;
3 – направляющий аппарат – диффузор; 4 – опорные металлоконструкции;
5 – клиноременная передача; 6 – электродвигатель
Через пучок оребренных теплообменных труб прокачивается воздух вентилятором с приводом от электродвигателя. Поток воздуха может либо нагнетаться
в пакет (нижнее расположение вентилятора), либо вытягиваться из него (верхнее
расположение вентилятора).
Преимущество нагнетания воздуха состоит в том, что вентилятор и привод
находятся в холодном воздухе, что повышает эффективность вентилятора (а это
может снизить его стоимость), упрощает крепление вентилятора и привода
и облегчает обслуживание. Однако в этом случае воздушный поток через трубный пучок весьма неоднороден, а низкая скорость нагретого воздуха при естественной конвекции может стать причиной рециркуляции горячего воздуха и снижения максимальной разности температур между природным газом и воздухом.
Откачивание воздуха из трубного пучка (верхнее расположение вентиляторов)
обеспечивает высокие скорости и несколько снижает влияние естественной конвекции, а, следовательно, и рециркуляции воздуха.
Для подачи охлаждающего воздуха применяют осевые вентиляторы пропеллерного типа с диаметром колеса от 0,8 до 7 м производительностью до
1,5 млн. м3/час.
Колеса вентиляторов изготовляют сварными из алюминия или из композитных материалов.
Теплообменные трубы, применяемые в АВО, имеют оребренные наружные
поверхности.
Теплопередача в технологических процессах
219
220
Часть 2
Теплопередача в технологических процессах…
221
Коэффициент оребрения находится в пределах от 7,8 до 23,8. Это связано
с тем, что коэффициент теплоотдачи от природного газа к внутренней поверхности теплообменных труб значительно выше коэффициента теплоотдачи от наружной поверхности труб в окружающую среду.
Оребрение выполняют глубокой спиральной накаткой труб из деформируемого алюминиевого сплава, а также завальцовкой в спиральную канавку на трубе
или приваркой металлической ленты или напрессовкой ребер (рисунок 2.45)
Рис. 2.45. Трубы с поперечным оребрением:
а – накатанным; б – завальцованным; в – напрессованным
Основные характеристики некоторых типов АВО, используемых на компрессорных станциях магистральных газопроводах страны представлены
в таблице 2.1.
Основы теплового расчета рекуперативных теплообменных аппаратов
В зависимости от постановки задачи тепловой расчет теплообменных аппаратов может быть конструктивным (расчеты первого рода) или поверочным
(расчеты второго рода).
При конструктивном тепловом расчете известны: вид теплоносителя, температуры теплоносителей на входе и выходе из теплообменного аппарата, а
также расходы теплоносителей. Определяют тепловую мощность и площадь поверхности теплообменного аппарата, с дальнейшим конструированием нового
или выбором стандартного аппарата.
При поверочный тепловом расчете известны: тип, характеристика и геометрические размеры ТА, вид и расходы теплоносителей, а также температуры теплоносителей на входе в теплообменник.
Необходимо определить мощность теплообменного аппарата и температуры
теплоносителей на выходе из теплообменника.
В основу теплового расчета рекуперативных теплообменных аппаратов положены:
222
Часть 2
уравнение теплового баланса
Q = η ⋅ Q1 = Q2 ;
(2.245)
обобщенное уравнение теплопередачи при переменных температурах
Q = kF ⋅ Θ m ,
(2.246)
где η – коэффициент, учитывающий тепловые потери в окружающую среду,
η = 0,95–0,98.
Уравнения теплового баланса (2.245) и теплопередачи при переменных температурах (2.246) справедливы для всех типов рекуперативных ТА любого назначения (нагреватели, холодильники, испарители, конденсаторы и кристаллизаторы).
Но при этом следует учитывать, то что тепловые потоки определяются для
каждого из указанных типов рекуперативных ТА по различным расчетным соотношениям, учитывающим специфику теплообмена (таблица 2.2).
Таблица 2.2
Расчетные соотношения по определению тепловых потоков,
переданных горячим Q1 и полученных холодным Q 2 теплоносителями
Характеристики теплоносителей на входе и выходе из ТА
Конвек- Агрегатное состояние
тивные теплоносителей в ТА
не меняется
Типы
ТА
На входе – перегретый
пар, на выходе – переохлажденный конденсат
Расчетные соотношения
Q1 = G1 ⋅ c pm1 ⋅ (t1 − t2 ) = W1 ⋅ ∆t ;
Q2 = G2 ⋅ c pm 2 ⋅ ( τ 2 − τ1 ) = W2 ⋅ ∆τ .
Q1 = G1 ⋅ [c пpm1 ⋅ (t1 − t s1 ) + r1 + c жpm1 ⋅ (t s1 − t2 )];
Q2 = G2 ⋅ c pm 2 ⋅ ( τ 2 − τ1 ) = W2 ⋅ ∆τ ,
где c пpm1 , c жpm1 – средние удельные изобарные теплоемкости горячего теплоносителя в газообразном и жидком состоянии, t s 1 – температура
конденсации горячего теплоносителя
Конден- На входе – насы-щенный
саторы пар, на выходе – переохлажденный конденсат
Q1 = G1 ⋅ [ r1 ⋅ x1 + c жpm1 ⋅ (t s1 − t2 )] ;
Q2 = G2 ⋅ c pm 2 ⋅ ( τ 2 − τ1 ) = W2 ⋅ ∆τ ,
где
x1
– степень сухости насыщенного пара на
входе в ТА
Теплопередача в технологических процессах...
223
Продолжение таблицы 2.2
Типы
ТА
Характеристики теплоносителей на входе и выходе из ТА
На входе и выходе – насыщенный пар,
Расчетные соотношения
Q1 = G1 ⋅ r1 ⋅ ( x1 − x2 ) ;
Q2 = G2 ⋅ c pm 2 ⋅ ( τ 2 − τ1 ) = W2 ⋅ ∆τ ,
где
На входе – перегретый
пар, на выходе – насыщенный пар
На входе – жидкость,
на выходе – перегретый
пар
x1 , x2
– степень сухости насыщенного пара
горячего теплоносителя на входе и выходе из ТА
Q1 = G1 ⋅ [c пpm1 ⋅ (t1 − t s1 ) + r1 ⋅ (1 − x 2 )] ;
Q2 = G2 ⋅ c pm 2 ⋅ ( τ 2 − τ1 ) = W2 ⋅ ∆τ .
Q1 = G1 ⋅ c pm1 ⋅ (t1 − t2 ) = W1 ⋅ ∆t ;
Q2 = G2 ⋅ [c жpm 2 ⋅ (t s 2 − τ1 ) + r2 + c пpm 2 ⋅ ( τ 2 − t s 2 )].
На входе – кипящая жидкость, на выходе – перегретый пар
Q1 = G1 ⋅ c pm1 ⋅ (t1 − t2 ) = W1 ⋅ ∆t ;
На входе – насыщенный
пар, на выходе – перегретый пар
Q1 = G1 ⋅ c pm1 ⋅ (t1 − t2 ) = W1 ⋅ ∆t ;
Q2 = G2 ⋅ [ r2 + c пpm 2 ⋅ ( τ 2 − t s 2 )] .
Q2 = G2 ⋅ [r2 ⋅ (1 − x1 ) + c пpm 2 ⋅ ( τ 2 − t s 2 )] ,
где
x1
– степень сухости насыщенного пара –
на входе в ТА
Испари- На входе – жидкость,
на выходе – сухой
тели
насыщенный пар
На входе –жидкость,
на выходе – насыщенный
пар
Q1 = G1 ⋅ c pm1 ⋅ (t1 − t2 ) = W1 ⋅ ∆t ;
Q2 = G2 ⋅ [c жpm 2 ⋅ (t s 2 − τ1 ) + r2 ] .
Q1 = G1 ⋅ c pm1 ⋅ (t1 − t2 ) = W1 ⋅ ∆t ;
Q2 = G2 ⋅ [c жpm 2 ⋅ (t s 2 − τ1 ) + r2 ⋅ x 2 ] ,
где x 2 – степень сухости насыщенного пара – холодного теплоносителя на выходе из ТА
На входе – кипящая жидQ1 = G1 ⋅ c pm1 ⋅ (t1 − t2 ) = W1 ⋅ ∆t ;
кость, на выходе – насыщенный пар
Q2 = G2 ⋅ r2 ⋅ x′2′ .
На входе и выходе – насыщенный пар
Q1 = G1 ⋅ c pm1 ⋅ (t1 − t2 ) = W1 ⋅ ∆t ;
Q2 = G2 ⋅ r2 ⋅ ( x2 − x1′ ) .
224
Часть 2
На первом этапе конструктивного теплового расчета ТА определяется мощность теплообменного аппарата (таблица 2.2).
По формуле (2.202) рассчитывается коэффициент теплопередачи k, при этом,
коэффициенты теплоотдачи от горячего теплоносителя к стенке и от стенки
к холодному теплоносителю ( α1 , α 2 ), а также значения термических сопротивлений загрязнений и стенки теплообменной трубы находятся по справочной литературе.
Конструируемый или выбираемый стандартный теплообменный аппарат
способен обеспечить заданные температурные режимы теплоносителей, если его
индекс противоточности P при заданных температурных режимах и водяных
эквивалентах теплоносителей больше или равен минимальному индексу противоточности Рmin
P ≥ Pmin .
(2.247)
Минимальный индекс противоточности ТА определяется только температуратурными режимами теплоносителей [2] и находится по соотношению
Pmin =
(t1 − τ1 ) ⋅ ( τ 2 − t2 ) ,
( t1 − t2 ) ⋅ ( τ 2 − τ1 )
(2.248)
где t1 , t2 – температура горячего теплоносителя на входе и выходе ТА;
τ1 , τ 2 – температура холодного теплоносителя на входе и выходе ТА.
Рассчитывается средняя разность температур для выбранной схемы движения теплоносителей (2.239), (2.240) и из уравнения (2.246) определяется расчетная площадь поверхности теплообмена
Fр =
Q .
k ⋅ Θm
(2.249)
Затем, оцениваются площади проходных сечений трубного и межтрубного
пространства (при условии достижения оптимальных скоростей w движения теплоносителей)
f =
G .
ρ⋅w
(2.250)
На базе полученных расчетных значений площади теплообмена и проходных
сечений, либо определяются расчетным путем геометрические характеристики
теплообменного аппарата (число ходов, диаметр, длина, количество, схема расположения трубок, число сегментных перегородок и т. д.), либо из каталога выбирается стандартный теплообменный аппарат.
Теплопередача в технологических процессах...
225
Целью поверочного расчета является, проверка соответствия, выбранного
стандартного (сконструированного) теплообменного аппарата с требуемой тепловой мощностью и обеспечением конечных температур теплоносителей.
Действительная тепловая мощность сконструированного или выбранного стандартного теплообменного аппарата рассчитывается по формуле Н.И. Белоконь
QТА =
2 ⋅ ( t1 − τ1 )
1
1
1 e k ⋅ FТА
+
+
⋅
W1 W2 Wm e k ⋅ FТА
.
Wm
Wm
(2.251)
+1
−1
Значение коэффициента теплопередачи k в уравнении (2.251) рассчитывается
по уравнению (2.202); при этом коэффициенты теплоотдачи теплоносителей
рассчитываются по критериальным уравнениям с учетом действительных скоростей теплоносителей в трубном и межтрубном пространстве.
Действительные характеристики теплоносителей на выходе из теплообменного аппарата ( t2 , τ 2 , x2 ) определяются из уравнения теплового баланса
(таблица 2.2).
Основной сложностью определения водяного эквивалента поверхности теплообмена kF или расчетной поверхности Fр (2.249) является вычисление средней разности температур теплоносителей θm (2.239) и (2.240) для сложных схем
движения в ТА.
В методиках теплового расчета кожухотрубных ТА, принятых в нефтеперерабатывающей промышленности водяной эквивалент поверхности теплообмена
рассчитывают на основании введения следующих параметров.
1. Функции эффективности аппарата:
∆t ( τ) тп ,
– по трубному пространству
(2.252)
ε тп =
θmax
– по межтрубному пространству ε = ∆τ(t ) мп ,
мп
(2.253)
θmax
где ∆t = t1 − t 2 ; ∆τ = τ2 − τ1 – изменение температур горячего и холодного теплоносителей; θmax = t 1 − τ1 – максимальный температурный напор в ТА;
2. Отношение водяных эквивалентов теплоносителей в трубном и межтрубном пространстве ω = ∆τ(t ) мп = Wтп ;
(2.254)
∆t ( τ) тп Wмп
3. Степень передачи теплоты по:
– трубному пространству
θтп =
kF ,
Wтп
(2.255)
226
Часть 2
kF ;
(2.256)
Wмп
∆t ( τ) тп ∆t ( τ) мп .
4. Средний температурный напор
(2.257)
θ=
=
θ тп
θмп
Для 2-, 4- и 6-ходовых одиночных кожухотрубных ТА для определения водяного эквивалента поверхности теплообмена (2.255) достаточно вычислить
степень передачи теплоты по трубному пространству
θмп =
– межтрубному пространству
ln
θ тп = −ε тп ⋅
2 −U − S
2 −U + S ,
S
(2.258)
где промежуточные параметры U и S определяются по формуле:
U = ε тп ⋅ (1 + ω) , S = ε тп ⋅ 1 + ω2 .
(2.259)
На стадии проектирования (конструктивный расчет) по известным значениям температур на входе и выходе из ТА и расходов теплоносителей оп-ределяют
тепловую мощность аппарата Q (таблица 2.2). Затем максимальный температурный напор θmax и (к примеру) функцию эффективности по трубному пространству ε тп (2.252). Далее вычисляется степень передачи теплоты по трубному пространству θ тп (2.256) и средний температурный напор θ (2.257).
В итоге водяной эквивалент поверхности теплообмена вычисляется из
обобщенного уравнения теплопередачи
kF =
Q.
θ
(2.260)
В поверочном расчете, в отличие от методики Н.И. Белоконь, вначале рассчитываются конечные температуры теплоносителей.
Определяем действительную степень передачи теплоты по трубному пространству θ тп,д по формуле (2.255), решаем уравнение (2.258) относительно эффективности аппарата по трубному пространству ε тп,д и по уравнению (2.252)
находим действительный перепад температур теплоносителя в трубах. В итоге
имеем
(2.261)
t 2,д = t1 − ∆tд = t1 − ε тп,д ⋅ θmax .
Далее по уравнению баланса теплоты находим действительные тепловую
мощность ТА и температуру холодного теплоносителя на выходе.
Теплопередача в технологических процессах...
227
2.13. Температурный режим скважин
Особенности теплообмена в добывающей скважине
В технологических процессах добычи нефти и газа (рисунок 2.46) или закачки в пласт теплоносителя передача теплоты от скважинной продукции (теплоносителя) к горной породе осуществляется последовательно:
1 – вынужденной конвекцией в текучей среде (скважинная продукция, теплоноситель);
2 – теплоотдачей от текучей среды к стенкам колонны насосно-компрессорных труб (НКТ);
3 – теплопроводностью через стенки колонны НКТ;
4 – теплоотдачей от стенок колонны НКТ к флюиду в затрубном пространстве;
5 – свободной конвекцией флюида в затрубном пространстве. Если в затрубном пространстве находится газ, то добавляется и теплообмен излучением;
6 – теплоотдачей от флюида в затрубном пространстве к стенкам колонны
обсадных труб (ОК);
7 – теплопроводностью через стенки ОК;
8 – теплопроводностью через цементный камень (ЦК);
9 – теплопроводностью в горной породе (ГП).
Совокупность этих тепловых процессов часто называют теплопередачей
в скважине [9].
Процесс извлечения нефти или газа на поверхность происходит при изменении давления и температуры. Существенное уменьшение термобарических
параметров наблюдается при подъеме нефти от забоя до устья скважины. Снижение давления ниже давления насыщения приводит к изменению состава продукции в скважине – происходит разгазирование нефти и образование нефтегазовых смесей. Обводнение пласта приводит к образованию еще более сложных смесей и скважинная продукция может представлять собой водонефтегазовую смесь.
При движении пластовой жидкости от забоя до устья скважины наблюдается
отвод теплоты от скважинной продукции в породу из-за того, что, как правило,
температура невозмущенной породы меньше температуры жидкости. Кроме
этого, при подъеме жидкости происходит уменьшение давления.
В зависимости от соотношения пластового давления и термодинамических
параметров насыщения на каком-то интервале движения потока начинается выделение газов из нефти, которое сопровождается также отводом теплоты.
Отвод теплоты от жидкости, сопровождающий два этих процесса приводит
к уменьшению температуры потока по мере его подъема.
Снижение давления потока, которое вызвано трением, сопровождается эффектом дросселирования. Дроссельный процесс характеризуется коэффициентом Джоуля-Томсона Dh , который показывает, как изменяется температура
при уменьшении давления потока.
228
Часть 2
а
б
Рис. 2.46
46. Условная схема эксплуатационной скважины:
1 – устье; 2 – колонна насосно-компрессорных
насосно
труб; 3 – обсадная колонна;
4 – цементный камень; 5 – пакер; 6 – забой; 7 – горная порода;
8 – установка погружного насоса
Дросселирование вызывает нагрев жидкости (нефти и воды) и охлаждение
газа. Из-за
за различных значений коэффициентов Джоуля-Томсона
Джоуля Томсона для нефти, газа
и воды
ды (таблица 1.4), а также соотношения их массовых долей возможно как охо
лаждение, так и нагрев потока.
Если добыча скважинной продукции ведется с применением установки поп
гружного оборудования, то при подъеме жидкости необходимо рассматривать
тепловые процессы,
сы, которые возникают при работе этого оборудования.
На участке скважины в интервале работы установки погружного центроцентро
бежного насоса с электроприводом (УЭЦН) наблюдается подвод теплоты
к жидкости от электродвигателя, электрического кабеля и центробежного
центробежно на-
Теплопередача в технологических процессах...
229
соса. Это оборудование выделяет теплоту, вследствие того, что, как и любое
другое, оно работает с КПД меньше 1. Подвод теплоты от источников сопровождается увеличением температуры жидкости.
На приеме центробежного насоса допускается до 25% свободного газа
по объему поступающего флюида. При значительном повышении давления
и относительно небольшом увеличении температуры жидкости в насосе наблюдается полное растворение газа в нефти.
Растворение газа в нефти сопровождается выделением теплоты (таблица 2.3),
что приводит к увеличению температуры жидкости в насосе.
№№
пп
1
2
3
Таблица 2.3
Ориентировочные значения удельной теплоты растворения [8]
Газ
rр , кДж/кг
Метан
Этан
Пропан
150 (100 ÷ 200)
360 (310 ÷ 410)
315 (230 ÷ 360)
Теплота растворения углеводородных газов уменьшается с увеличением
температуры и давления.
Свободный газ, попадающий в насос, подвергается сжатию. Как известно,
сжатие газа обычно сопровождается существенным повышением его температуры.
Увеличение температуры при текущем давлении газа может не позволить
ему раствориться в нефти, что может явиться причиной осложнения работы
УЭЦН.
Совокупность рассмотренных процессов, сопровождающих подъем скважинный продукции, вызывает необходимость определения температуры потока
по глубине скважины.
Расчет температуры, добываемой нефти, газа или любой скважинной продукции по стволу скважины от забоя до устья, в условиях квазистационарного
процесса, базируется на совместном решении уравнений первого начала термодинамики для потока [9]
δQ = dH + δW ,
(2.262)
и теплопередачи при переменных температурах
δQ = d (kF ⋅ θm ) ,
(2.263)
с учетом или без учета внутренних источников теплоты δQист .
Элементарный тепловой поток, воспринимаемый жидкостью
δQ = δQж −гп + δQист .
(2.264)
230
Часть 2
При подъеме по стволу скважины жидкость охлаждается, отдавая теплоту
окружающей горной породе
δQж −гп = (t − tгп ) ⋅ d (kF ) ,
(2.265)
где t – температура добываемой нефти, оС; tгп = θ0 + Г ⋅ h – естественная температура породы на глубине h, оС; k – коэффициент теплопередачи от жидкости
к горной породе; F = π ⋅ d ⋅ x – площадь поверхности теплопередачи, м2;
d – внутренний диаметр подъемных труб, м; x – расстояние от забоя ( H )
до глубины h , м; Г – геотермический градиент, оС/м.
На отдельных участках возможно нагревание (охлаждение) жидкости за счет
подвода теплоты (или отвода) от источников (стоков) теплоты.
В качестве источников (стоков) теплоты можно рассматривать явления выделения теплоты от скважинного оборудования (УЭЦН, электрокабель), разгазирования нефти или растворения газа в нефти. На элементарном участке скважины длиной dx тепловой поток можно выразить через произведение линейного теплового потока qℓ и длину участка
δQист = qℓ ⋅ dx .
(2.266)
Изменение энтальпии в единицу времени для любой скважинной продукции
dH = G ⋅ c p ⋅ dt − G ⋅ c p ⋅ Dh ⋅ dp ,
(2.267)
где dp – уменьшение давления на участке, МПа.
При движении потока к устью, располагаемая потенциальная работа
в единицу времени расходуется на изменение высоты центра тяжести потока
(потенциальной энергии) и скорости c (кинетической энергии)
 c2 
δW = G ⋅ g ⋅ dx + G ⋅ d   .
 2
(2.268)
Принимая значения коэффициентов по длине элементарного участка dx постоянными, а давление и скорость жидкости линейно зависящими от длины участка, с учетом выражений (2.262) ÷ (2.267), получаем дифференциальное уравнение I начала термодинамики в виде
− [t − θ 0 − Г ⋅ ( H − x )]⋅ π ⋅ d ⋅ k ⋅ dx + qℓ ⋅ dx =
 c2  .
= G ⋅ c p ⋅ dt − G ⋅ c p ⋅ Dh ⋅ dp + G ⋅ g ⋅ dx + G ⋅ d  
 2
(2.269)
Теплопередача в технологических процессах...
231
Разделив левую и правую части уравнения (2.269) на G ⋅ c pm и dx , при этом,
обозначив A = π ⋅ d ⋅ k (параметр Шухова), m =
qℓ , получим
G ⋅ cp
G ⋅c p
− [t − θ0 − Г ⋅ ( H − x )]⋅ A + m =
dt
dp g
1  c2  1
− ⋅ Dh
+
+ ⋅ d   ⋅ . (2.270)
dx
dx c p c p  2  dx
Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые, в которые входит температура
dt
dp g
1
dc
+ A ⋅ t = m + A ⋅ θ0 + A ⋅ Г ⋅ H − A ⋅ Г ⋅ x + Dh
−
− ⋅ c ⋅ . (2.271)
dx
dx c p c p
dx
Получается линейное дифференциальное уравнение первого порядка с правой частью. Решение таких дифференциальных уравнений основано на решении
подобного уравнения без правой части:
dt
+ A ⋅ t = 0,
dx
или
dt
= − A ⋅ t.
dx
(2.272)
Разделив переменные в уравнении (2.272) имеем
dt
= − A ⋅ dx ,
t
(2.273)
решением последнего дифференциального уравнения является экспонента
t = C x ⋅ e − A⋅x ,
(2.274)
где C x – некая величина, зависящая только от координаты x.
Производная температуры по глубине на элементарном участке скважины
будет равна
dt
(2.275)
= C x′ ⋅ e − A ⋅ x − A ⋅ C x ⋅ e − A ⋅ x .
dx
С учетом (2.275) уравнение (2.271) примет вид
C x′ ⋅ e − A ⋅ x − A ⋅ C x ⋅ e − A ⋅ x + A ⋅ C x ⋅ e − A ⋅ x =
= m + A ⋅ θ 0 + A ⋅ Г ⋅ H − A ⋅ Г ⋅ x + Dh
dp g
1
dc
−
−
⋅c⋅ .
dx c p c p
dx
.
После ряда преобразований получаем выражение для производной C x
(2.266)
232
Часть 2
dC x 
dp g
1
dc 
=  m + A ⋅ θ 0 + A ⋅ Г ⋅ H − A ⋅ Г ⋅ x + Dh
−
−
⋅ c ⋅  ⋅ e A ⋅ x .(2.277)
dx
dx c p c p
dx 

Интегрирование дифференциального уравнения (2.277) позволяет найти переменную C x
m
Г
g
1 c 2  A⋅ x
(2.278)
C x =  + θ 0 + Г ⋅ H − ⋅ Г ⋅ x + + Dh ⋅ p −
−
 ⋅ e + C.
A
A
A
⋅
c
c
2
p
p


Подставим найденное значение C x в выражение (2.274) и получаем уравнение распределения температуры в стволе скважины
t=
m
Г
g
1 c2
+ θ 0 + Г ⋅ H − Г ⋅ x + + Dh ⋅ p −
−
⋅
+ C ⋅ e − A⋅ x . (2.279)
A
A
A ⋅ cp cp 2
Значение постоянной интегрирования C найдем исходя из граничных условий.
В добывающей скважине первый участок начинается от забоя. Температура
жидкости на забое обычно немного выше пластовой температуры, давление на
забое и скорость жидкости известны, поэтому считаем, что в начале участка при
x = 0 температура равна t = t з , давление p = p з и скорость c = cз .
C = tз −
m
Г
g
1 c з2 .
− θ 0 − Г ⋅ H − − Dh ⋅ p з +
+
⋅
A
A
A ⋅cp cp 2
(2.280)
Подставляя значение постоянной C из формулы (2.280) в формулу (2.279)
получаем уравнение распределения температуры на участке ствола добывающей
скважины длиной x от забоя
(
[ (
)
) ]
Г+m
⋅ 1 − e − A ⋅ x + (t з − Θ o ) ⋅ e − A ⋅ x − Г ⋅ H ⋅ e − A ⋅ x − 1 + x −
A
. (2.281)
g
1
− A⋅ x
− A⋅x
2
− A⋅x
2
− Dh ⋅ p з ⋅ e
−p +
⋅ e
−1 −
⋅ cз ⋅ e
−c
A ⋅ cp
2 ⋅ cp
t = θ0 +
(
)
(
)
(
)
Расчет температуры добываемой жидкости по стволу скважины от забоя
до устья крайне затруднителен, так как значения температуры входят в зависимости по определению ряда свойств жидкости (вязкость, плотность). А это,
в свою очередь, влияет и на изменение давления и скорости.
Для обеспечения точности определения температуры необходимо весь интервал от забоя до устья скважины разбивать на отдельные участки, в пределах
которых можно принимать свойства жидкости неизменными.
Теплопередача в технологических процессах...
233
Температуру добываемой жидкости в скважине невозможно спрогнозировать
без надежной оценки коэффициента теплопередачи k от жидкости к окружающим
горным породам. Этот коэффициент зависит от большого количества факторов,
и может быть определен аналитически и экспериментально.
Экспериментальный метод определения k в скважине связан с большими затратами, да и результат может быть перенесен только на подобные по конструкции скважины в одинаковых геолого-промысловых условиях. Результаты эксперимента целесообразно использовать в качестве проверки аналитических моделей.
Экспериментальные исследования нефтяных и термальных скважин [11]
свидетельствуют, что коэффициент теплопередачи изменяется в пределах
k = 6 ÷ 60 Вт/(м 2 ⋅ К) .
Коэффициент теплопередачи от жидкости в подъемнике (в общем случае –
НКТ) в окружающую породу есть величина, равная обратной сумме удельных
термических сопротивлений при передаче теплоты на участках: от жидкости
к внутренней стенке НКТ, в стенке НКТ, в кольцевом зазоре между колоннами
НКТ и ОК, в стенке ОК, в цементном камне и в горной породе
k=
1
в
dнкт
1
dн
+
⋅ ln нкт
в
α 2 ⋅ λнкт dнкт
в
dнкт
.(2.282)
dв
dв
+
⋅ ln нок + нкт
2 ⋅ λэф dнкт 2 ⋅ λок
dн
⋅ ln ок
в
dок
+
в
dнкт
2 ⋅ λцк
⋅ ln
в
dнкт
dцк
d
+
⋅ ln гп
н
dок 2 ⋅ λгп dцк
Так как значения термических сопротивлений передачи теплоты теплопроводностью через стенки НКТ и ОК меньше остальных примерно на 2 порядка,
то ими обычно пренебрегают, и коэффициент теплопередачи определяется
по формуле
k=
1
1
+
α
в
d нкт
dв
⋅ ln нок
2 ⋅ λ эф
d нкт
+
в
d нкт
2 ⋅ λ цк
,
⋅ ln
d цк
н
d ок
+
в
d нкт
2 ⋅ λ гп
⋅ ln
(2.283)
d гп
d цк
где α – коэффициент теплоотдачи от нефти (скважинной продукции) к стенкам
НКТ, Вт/(м2·К); λ эф – эффективный коэффициент теплопроводности флюида
в кольцевом зазоре между колоннами НКТ и ОК
λ эф = ε к ⋅ λ + λ л ,
(2.284)
учитывающий передачу теплоты теплопроводностью ( λ ), конвекцией ( ε к )
и излучением ( λ л ), Вт/(м ⋅ К) ; λ цк и λ гп – коэффициенты теплопроводности
цементного камня и окружающих горных пород; в, н – индексы внутренней
и наружной поверхности.
234
Часть 2
Диаметр горной породы, соответствующий естественной температуре, определяется в зависимости от времени прогрева τ гп и коэффициента температуропроводности породы aгп
d гп = d цк + 4 ⋅ aгп ⋅ τ гп .
(2.285)
При фонтанном способе добычи однофазной жидкости – нефти, отсутствии
источников теплоты и термодинамических эффектов ( m = 0; Dh = 0 ) уравнение
(2.281) упрощается до выражения
t = θ0 +
(
)
[ (
) ]
(
)
Г
g
⋅ 1 − e−A⋅ x + (tз − Θ0 ) ⋅ e−A⋅x − Г ⋅ H ⋅ e−A⋅x − 1 + x +
⋅ e−A⋅x − 1 , (2.286)
A
A ⋅ cp
так как скорость движения жидкости по столу скважины изменяется незначительно, а поэтому последним слагаемым в (2.286) можно пренебречь.
При фонтанном способе добычи обводненной скважинной продукции при отсутствии источников теплоты с учетом процессов разгазирования и дросселирования нефти, воды и газа, учитывая разную направленность влияния на температуру скважинной продукции процессов дросселирования и разгазирования, их
влиянием на температуру обводненной нефти обычно пренебрегают.
Температура элементов конструкции скважины
и скважинного оборудования
Температурное поле вокруг эксплуатационных нефтяных скважин представляет интерес с точки зрения выбора надежной конструкции, недопущения образования парафиновых отложений и оттаивания участков вечномерзлого грунта.
Температура элементов конструкции скважины в горизонтальном сечении,
с достаточной степенью точности, так же, как и при рассмотрении температуры
добываемой жидкости по стволу, определяется методом последовательной смены стационарных состояний [12]:
n


 ∑ Ri 
t j = tгп + (t − tгп ) ⋅ 1 − i =1  ,

Rобщ 




(2.287)
где tгп , t – температуры невозмущенной горной породы вокруг скважины
и скважинной продукции в подъемнике (НКТ или ОК);
n
∑ Ri
и Rобщ – термиче-
i =1
ские сопротивления предшествующих
ление конструкции скважины,
элементов
и
полное
сопротив-
Теплопередача в технологических процессах...
235
в
н
в
в
d ок
d ок
1
dв
dн
d нкт
d нкт
+ нкт ⋅ ln нкт
+
⋅
ln
+
⋅
ln
+
в
н
в
2 ⋅ λ эф
2 ⋅ λ ок
d нкт
d нкт
d ок
Rобщ = α1 2 ⋅ λ нкт
в
d
dв
d нкт
d
+ нкт ⋅ ln цк
+
⋅ ln гп .
н
2 ⋅ λ цк
d цк
d ок 2 ⋅ λ гп
(2.288)
Распределение температур в элементах конструкции скважины в 4-х горизонтальных сечениях по глубине скважины для различных условий теплообмена
показано на рисунке 2.47.
t , оС
80
Забой (2700 м)
70
1890 м
60
в кольцевом зазоре:
воздух
нефть
вода
50
810 м
40
30
Устье
20
НКТ
10
0,00
ОК
0,05
ЦК
0,10
0,15
0,20
r, м 0,25
Рис. 2.47. Радиальное температурное поле фонтанирующей скважины
Как видно из графиков на рисунке 2.47, начиная с обсадной колонны, влияние флюида в кольцевом зазоре на стационарное распределение температур
практически незаметно.
Наибольшее изменение температуры в системе «добываемая жидкость –
НКТ – ОК» наблюдается при заполнении КЗ газом.
236
Часть 2
При добыче скважинной продукции с большой температурой в цементном
камне могут возникнуть недопустимые температурные напряжения, вызванные
перепадом температур на ЦК.
Перепад температур на цементном камне можно оценить согласно формуле
(2.287).
С учетом (2.288) получаем разность температур на стенках цементного камня
в
d .
( t − tгп ) d нкт
(2.289)
∆t цк =
⋅
⋅ ln цк
н
Rобщ 2 ⋅ λ цк
d ок
В отличие от фонтанной, добыча с применением УЭЦН предполагает
на уровне центробежного насоса совместный подвод теплоты к жидкости
от электродвигателя Qэл , центробежного насоса Qцн , электрокабеля Qэк и теплоты растворения газа Qрг
Qуст = Qэл + Qцн + Qэк + Qрг .
(2.290)
При обтекании источника теплоты или скважинного оборудования наблюдается увеличение температуры жидкости.
Теплота, выделяемая при работе электродвигателя, передается добываемой
нефти, которая при этом нагревается (рисунок 2.48).
На рисунке 2.48 графически показано изменение температуры нефти по
стволу скважины для двух способов добычи. При фонтанной эксплуатации рассматривается изменение температуры нефти в НКТ для трех возможных вариантов заполнения кольцевого зазора. График изменения температуры нефти при
эксплуатации погружной УЭЦН имеет характерный скачок в области подвески
подземного оборудования.
Для подбора скважинного оборудования желательно знать температуру жидкости на уровне его подвески и температуру поверхности (электродвигателя, насоса, электрокабеля).
Температура жидкости на уровне подвески источника теплоты определяется
согласно (2.286). При обтекании источника теплоты или скважинного оборудования наблюдается увеличение температуры жидкости. Теплота, выделяемая
при работе электродвигателя, передается добываемой нефти, которая при этом
нагревается.
Температуру стенок оборудования, на пример температуру наружной поверхности стенки погружного электродвигателя УЭЦН, в условиях стационарного теплового режима можно определить исходя из следующих рассуждений.
Тепловой поток, выделяемый электродвигателем
Qэл = (1 − ηэл ) ⋅ N эл ,
(2.291)
Теплопередача в технологических процессах...
237
передается конвективной теплоотдачей обтекаемой нефти
Qэл = α эл ⋅ π ⋅ d эл ⋅ ℓ эл ⋅ (tс, эл − tн ) ,
(2.292)
где ηэл ,⋅ N эл – КПД и потребляемая мощность электродвигателя; α эл – коэффициент теплоотдачи от поверхности стенок электродвигателя к нефти;
d эл – диаметр погружного электродвигателя; tс, эл , tн – средние температуры
поверхности стенки электродвигателя и нефти.
t, о С
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
0
300
600
tн (фонтан)
900
1200
1500
tгп
tн (УЭЦН)
1800
2100
h, м
2400
2700
Рис. 2.48. Изменение температуры нефти по стволу скважины при фонтанном
и механизированном (УЭЦН) способах добычи
238
Часть 2
Средняя температура наружной поверхности электродвигателя определяется
из уравнения баланса теплоты
tс, эл = tн +
N эл ⋅ (1 − ηэл ) .
α эл ⋅ π ⋅ d эл ⋅ ℓ эл
(2.293)
Тепловой поток от электродвигателя идет на нагрев нефти Qн, эл от tн,эл1 до
tн, эл 2 и потери от нефти Qпот,эл в окружающие горные породы с температурой tгп
Qэл =Q н, эл + Qпот,эл ,
Qн, эл = G ⋅ c pm ⋅ (tн, эл 2 − t н, эл1) ,
в
Qпот,эл = k эл ⋅ π ⋅ d ок
⋅ ℓ эл ⋅ (tн, эл − tгп ) .
(2.294)
(2.295)
(2.296)
Температура нефти на уровне верхней точки погружного электродвигателя
определяется по первым четырем слагаемым уравнения (2.281), где характеристика источника теплоты определяется как
m = m эл =
Qэл
.
ℓ эл ⋅ G ⋅ c pm
(2.297)
Для уточнения определяемых температур, расчеты необходимо вести пошагово, разбивая длину электродвигателя на отдельные интервалы. Температура
стенки наружной поверхности погружного электродвигателя в верхней части будет больше усредненного значения температуры по всей длине электродвигателя (рисунок 2.49).
На рисунке 2.49 показано изменение температуры нефти в стволе скважины,
элементов конструкции скважины (обсадной колонны, цементного камня)
и подземного оборудования (погружные электродвигатель и центробежный насос) на глубине в области подвески оборудования.
Аналогичные соотношения получаются и для расчета температуры наружной поверхности погружного центробежного насоса, электрического кабеля
и другого погружного оборудования [8].
Температура жидкости перед погружным центробежным насосом принимается равной температуре жидкости после электродвигателя.
Температуру жидкости в центробежном насосе можно определить исходя
из следующих рассуждений.
Так как теплообмен между флюидом и внутренними деталями насоса значительно интенсивней внешнего теплообмена от наружной поверхности, нефть
внутри насоса воспринимает практически всю теплоту трения, поэтому, принимаем, что температура в горизонтальном сечении нефти и стенок насоса практически одинакова. От стенок насоса, в условиях квазистационарного процесса,
Теплопередача в технологических процессах...
239
теплота отводится через кольцевой зазор к стенкам обсадной колонны и далее в
горную породу.
t, о С
50
60
70
80
90
100
110
2260
2270
t нкт
2280
t цк
tн
t ок
2290
2300
2310
Насос
t гп
t цн
2320
2330
h, м
2340
Электродвигатель
t эл
tн
2350
2360
Рис 2.49. Изменение температуры нефти и элементов конструкции скважины
при использовании УЭЦН
Поэтому, температура жидкости в насосе может быть определена из баланса
теплоты в единицу времени, принимая выделения теплоты в насосе как действие
внутреннего линейного источника:
– насос выделяет тепловой поток Qцн = N цн ⋅ (1 − ηцн ) ;
– нефть в насосе получает тепловой поток Qн,цн = G ⋅ c pm ⋅ (tн,цн 2 − t н,цн1) и
нагревается от t н,цн1 до t н,цн 2 ;
– окружающие горные породы получают от жидкости тепловой поток
Qпот,эл =k цн ⋅π ⋅d цн⋅ℓ цн ⋅ (tс, цн − t гп ) , где tс, цн ≈
tн,цн1 + tн,цн2
2
тура нефти в интервале длины электродвигателя ℓ цн .
– средняя темпера-
240
Часть 2
С другой стороны, температуру жидкости в насосе ( 0 ≤ x ≤ ℓ цн ) можно опре-
делить, как частный случай уравнения (2.281) при работе линейного источника
теплоты
tн,цн = θ0 +
(
[
)
(
) ]
Г + mцн
−A ⋅x
−A ⋅x
−A ⋅x
⋅ 1 − e цн + (t1 − θ0 ) ⋅ e цн − Г ⋅ Hцн ⋅ e цн − 1 + x . (2.298)
Aцн
Итоговое интегральное выражение теплового баланса на интервале работы
погружного центробежного насоса принимает вид:
N цн ⋅ (1 − ηцн ) = G ⋅ c p m ⋅ (tн,цн 2 − t н,цн1) + k цн ⋅ π ⋅d цн⋅ℓ цн ⋅ (t с, цн − tгп ) . (2.299)
Среднюю температуру наружной поверхности стенок насоса можно определить из выражения баланса теплоты
tс, цн = tгп +
[
]
1
⋅ N цн ⋅ (1 − ηцн ) − G ⋅ c pm ⋅ (tн,цн 2 − tн,цн1 ) . (2.300)
k цн ⋅ π ⋅d цн⋅ℓ цн
Температура поверхности стенки в верхней части погружного центробежного насоса будет, как и у электродвигателя, больше усредненного значения
(рисунок 2.49).
Вследствие выделения теплоты от электродвигателя и центробежного насоса,
происходит более интенсивное выделение газа из нефти, что приводит к ухудшению способности отвода теплоты от оборудования к нефтегазовой смеси.
С увеличением температуры добываемой нефти происходит повышение температуры, как наружной поверхности, так и внутренних частей электродвигателя, которое ограничивается допустимым значением
Следовательно, при выборе режима работы подземного оборудования необходимо учитывать температуру электродвигателя, как по длине, так и по радиусу.
Температуру внутри электродвигателя можно определяется следующим образом.
Если электродвигатель рассматривать как сплошной линейный цилиндрический источник теплоты, тогда можно считать, что при стационарном режиме работы, распределение температуры t по горизонтали в бесконечно длинном
цилиндре радиусом r0 подчиняется уравнению
t = tн+
qv ⋅ r0 qv
+
⋅ ( r02 − r 2 ) ,
2⋅α 4⋅λ
(2.301)
где qv – объемная плотность внутренних источников теплоты, Вт/м3; α – коэффициент теплоотдачи от цилиндра, Вт/(м2·К); λ – коэффициент теплопроводности
материала цилиндра, Вт/(м·К); 0 ≤ r ≤ r0 – текущее значение радиуса, м.
Теплопередача в технологических процессах...
241
Графически распределение температуры внутри цилиндра представлено
на рисунке 2.50.
t
t0
α
α
tс
tс
tн
tн
λ
Рис. 2.50. Распределение температуры
от источника теплоты
в цилиндре к омывающей жидкости [8]
r0
r
Для нашего случая обычно известен линейный тепловой поток от электродвигателя
qℓ =
Q N эл ⋅ (1 − ηэл ) ,
=
ℓ
ℓ эл
(2.302)
где Q – количество теплоты, выделяемое источником в единицу времени, Вт.
Поэтому для определения объемной плотности источника теплоты воспользуемся формулой
qv =
qℓ .
π ⋅ r02
(2.303)
С учетом (2.303) перепишем выражение для определения температуры
в сечении цилиндра (2.301)
t = tн+
qℓ
qℓ
+
⋅ ( r02 − r 2 ) .
2
2 ⋅ π ⋅ r0 ⋅ α 4 ⋅ π ⋅ r0 ⋅ λ
(2.304)
В соответствии с уравнением (2.304) получим выражения для определения
температуры:
на поверхности цилиндра r = r0
tс = t н +
qℓ
;
2 ⋅ π ⋅ r0 ⋅ α
(2.305)
242
Часть 2
на оси цилиндра r = 0
t0 = t н +
qℓ
qℓ
qℓ
q  1
1  . (2.306)

+
= tс +
=t н + ℓ ⋅ 
+
2 ⋅ π ⋅ r0 ⋅ α 4 ⋅ π ⋅ λ
4⋅π⋅λ
2 ⋅ π  α ⋅ r0 2 ⋅ λ 
В последнем уравнении в скобках стоят два слагаемых, которые представляют
собой линейные термические сопротивления передачи теплоты теплоотдачей
от поверхности цилиндра (электродвигателя) к текучей среде и теплопроводностью
в материале цилиндра. Чем больше коэффициент теплоотдачи, и коэффициент теплопроводности, тем меньше отличаются между собой температура жидкости, наружной и внутренней поверхности цилиндра.
Растворение газа сопровождается выделением примерно Qрг на всей длине
насоса и незначительным нагревом потока, так как по сравнению с теплотой,
выделяемой насосом, величина теплоты растворения составляет примерно 5%.
Тепловой поток, выделяемый при работе трехжильного плоского медного
кабеля (в месте подвески центробежного насоса) приводит к увеличению температуры потока только на десятые доли градуса.
Теплота от электрокабеля выделяется по всей длине скважины от электродвигателя до устья. Суммарный эффект от выделения теплоты от электрокабеля
на отрезке скважины выше точки подвеса насоса составляет несколько градусов.
Уменьшение температуры на том же интервале скважины за счет теплопередачи между скважинной продукцией и горной породы оценивается величиной такого же порядка.
Нагнетательные скважины
Нагнетательные скважины используются для закачки в пласт воды и различных теплоносителей. Условная схема нагнетательной скважины представлена на рисунке 2.51. Закачка воды или теплоносителя ведется по колонне насосно-компрессорных труб.
В этом случае уравнение распределения температуры воды по стволу скважины принимает следующий вид:
t = θ0 + Г ⋅ h −
[
]
Г
⋅ 1 − e − A ⋅h + ( t у − θ 0 ) ⋅ e − A ⋅h ,
A
(2.307)
где t у – температура горячей воды на устье скважины; A – комплекс (Шухова),
определяемый параметрами конструкции скважины и свойствами воды [8, 12].
Если в скважину нагнетается холодная вода, а для ее подогрева используется забойный нагреватель, то для определения температуры закачиваемой воды
в пласт необходимо учитывать тепловой поток Qнагр , выделяемый нагревателем
Теплопередача
плопередача в технологических процессах...
243
Рис. 2.51.
2.51 Условная схема нагнетательной скважины:
1 – устье; 2 – колонна насосно-компрессорных
н
труб; 3 – обсадная колонна;
4 – цементный камень; 5 – пакер; 6 – забой; 7 – горная порода
tз = t +
Q нагр
α нагр ⋅ π ⋅ d нагр ⋅ ℓ нагр
.
(2.308)
где t , tз – температура воды до и после нагревателя, оС ; α нагр – коэффициент
теплоотдачи от поверхности нагревателя к воде, Вт/(м2 ⋅ К ) ; ℓ нагр , d нагр – длина
и диаметр нагревателя, м .
Определение температуры закачиваемой воды на забое скважины является
необходимым условием для подбора наземного теплосилового оборудования.
244
Часть 2
Паронагнетательная скважина
Водяной пар является высокоэффективным теплоносителем. При нагнетании
в пласт влажного пара происходит конденсация и его температура практически
не изменяется. С точки зрения закачки в пласт теплоносителя с высокой температурой это является положительным моментом. Но значительно усложняется
работа конструкции скважины, необходима тепловая изоляция колонн для того,
чтобы избежать значительных перепадов температуры на цементном камне.
Для обеспечения неизменной температуры насыщенного пара необходимо,
чтобы потери теплоты не превышали теплоту конденсации r – фазового перехода. Если температура пара вдоль ствола скважины за время закачки τ
не изменяется, то потери теплоты в скважине при нагнетании влажного или сухого насыщенного пара определяются на основании решения задачи нестационарного охлаждения полого неограниченного цилиндра [8]
Q = 2 ⋅ π ⋅ λ эк ⋅ H ⋅ u ⋅ (t s − tгп ) ,
(2.309)
где λ эк − эквивалентный коэффициент теплопроводности системы скважина –
порода
ln
λ эк
d цк + 2 ⋅δ гп
в
d нкт
,
= n
d
+
2
⋅
δ
d
1
1
∑ λ ⋅ ln di +1 + λ ⋅ ln цк d гп
i =1 i
i
гп
цк
(2.310)
λ i − коэффициенты теплопроводности элементов крепи скважины (колонны насосно-компрессорных, обсадных труб); di и d i +1 − внутренний и наружный
в
диаметры крепи скважины ( d 1 = d нкт
); δ гп = 2 ⋅ a гп ⋅ τ гп − толщина прогрева
горной породы за время; t s − температура насыщенного пара;
 1
Fo

+ 0,5 − 0,25 ⋅
+ 0,125 ⋅ Fo,
π
 π ⋅ Fo

u=


1
j
2 ⋅ 
−
,

2
  ln 4 ⋅ Fo − 2 ⋅ j (ln 4 ⋅ Fo − 2 ⋅ j ) 
Fo ≤ 2
(2.311)
Fo > 2,
4 ⋅ a эк ⋅ τ − число Фурье; a − эквивалентный коэффициент температуроэк
в
( d нкт
)2
проводности системы скважина – порода, рассчитываемый по эквивалентным
значениям теплопроводности, теплоемкости и плотности системы скважина –
порода.
Fo =
Теплопередача в технологических процессах...
245
Если при закачке насыщенного пара происходит его полная конденсация на определенной глубине h ∗ , то дальнейшее изменение температуры горячей воды следует рассчитывать по соотношению (2.307) с учетом соответствующей глубины.
Расстояние от устья до глубины, где произойдет полная конденсация ( x = 0 )
можно рассчитать исходя из уравнения распределения степени сухости пара
x = x у + B∗ ⋅ h ∗ − A ∗ ⋅ t s ⋅ h ∗ + t0 ⋅ A ∗ ⋅ h ∗ + A ∗ ⋅ Г ⋅
(h ∗ ) 2 ,
2
(2.312)
x у − степень сухости пара на устье скважины; A∗ = π ⋅ d нкт ⋅ k ; B ∗ = g ;
в
где
r
G⋅r
G − массовый расход пара, кг/с;
Степень сухости пара по глубине скважины можно также оценить из баланса
теплоты
Q .
(2.313)
x = xу −
G⋅r
Для предварительной оценки потерь теплоты в скважине (Q) и степени сухости пара по глубине скважины на основании соотношений (2.309) – (2.313)
приведены номограммы на рисунках 2.52 и 2.53.
По диаграмме на рисунке 2.52 в зависимости от времени закачки пара, которое входит в число Fo, эквивалентного коэффициента теплопроводности системы скважина – горная порода ( λ эк ), перепада температур между температурами
насыщенного пара ( t s ) и горной породы ( tгп ) можно оценить потери теплоты по
глубине скважины ( H ).
Номограмма для оценки степени сухости пара по глубине скважины (рисунок 2.53) построена на основании формулы (2.313). В зависимости от давления
насыщения пара, потерь теплоты, массового расхода пара и степени сухости пара на устье оценивается конечная степень сухости.
246
Часть 2
Рис. 2.52. Потери теплоты в паронагнетательной скважине
Теплопередача в технологических процессах...
247
Рис. 2.53. Определение степени сухости пара
Температурное поле бурящейся скважины
Распределение температур нисходящего и восходящих потоков бурового
раствора особенно важно при бурении в зонах вечной мерзлоты для недопущения растепления ствола скважины (рисунок 2.54).
Расчетные соотношения по определению температуры восходящего и нисходящего потоков получаются из совместного решения уравнений первого начала
термодинамики (2.252) и теплопередачи (2.253) с учетом соответствующих граничных условий.
248
Часть 2
Рис. 2.54.
2.54 Условная схема бурящейся скважины:
1 – устье; 2 – нисходящий поток;
3 – колонна буровых труб; 4 – восходящий поток; 5 – долото; 6 – горная порода
Температура нисходящего потока в бурильной колонне
t низ = t0 + Г ⋅ h −
Г
 A − B  
 A + B   , (2.314)
+ M 1 ⋅ exp  2
 ⋅ h  − R1 ⋅ exp  2
 ⋅ h
A1
 2  
 2  
Температура восходящего потока в затрубном пространстве
 A − B  
 A + B   , (2.315)
tверх = t0 + Г ⋅ h + M 2 ⋅ exp  2
 ⋅ h  − R2 ⋅ exp  2
 ⋅ h
 2  
 2  
где A = k1 ⋅ π ⋅ d1 , A = k 2 ⋅ π ⋅ d ск , B = A 22 + 4 ⋅ A1 ⋅ A 2 .
1
2
G ⋅ c pm
G ⋅ c pm
Теплопередача в технологических процессах...
249
Коэффициенты теплопередачи от нисходящего к восходящему потоку в колонне буровых труб k1 и от восходящего потока в окружающие горные породы
k 2 определяются по соотношениям
k1 =
1
α3
,
,
k2 =
1
d1
d2
d1
 a ⋅τ
α ⋅d
+
ln +
1 + 3 ск ln1 + гп2 
α1 2 ⋅ λ ст d1 α 2 ⋅ d 2
4 ⋅ λ гп 
d ск 
(2.316)
где α1 , α 2 , α 3 − коэффициенты теплоотдачи внутри бурильной колонны, от
стенок труб к восходящему потоку и от восходящего потока к горным породам,
соответственно; d1 , d 2 , d ск − внутренний, наружный диаметры труб бурильной
колонны и диаметр скважины; τ − время работы, с.
Постоянные M 1 , M 2 , R1 и R2 определяются следующим образом:

Г   A2 + B 
 B⋅ H 
 A ⋅H 
 t1у − t0 +
 ⋅ 
 ⋅ exp
 + Г ⋅ exp − 2

A1   2 
2  , (2.317)
 2 

M1 = 
B⋅ H 
 B⋅H 
A 2 ⋅ sh
 + B ⋅ ch 

 2 
 2 
M 2 = M1 ⋅
B − A2 ,
B + A2
(2.318)

Г   A2 − B 
 B⋅ H 
 A ⋅H 
 t1у − t0 +
 ⋅ 
 ⋅ exp −
 + Г ⋅ exp − 2

A1   2 
2 
2  , (2.319)



R1 =
B⋅ H 
 B⋅ H 
A 2 ⋅ sh
 + B ⋅ ch

 2 
 2 
R2 = R1 ⋅
B + A2 .
B − A2
(2.320)
Для определения чисел подобия конвективного теплообмена при движении
неньютоновской жидкости вводится понятие эффективной вязкости
τ ⋅d ,

µ эф = µ ⋅ 1 + 0

 6 ⋅µ ⋅ c 
(2.321)
где µ – динамический коэффициент вязкости, Па.с; τ0 – динамическое напряжение сдвига, Па; d – линейный размер.
250
Часть 2
2.14. Температурный режим магистральных газонефтепроводов
Одним из первых уравнение температурного режима нефте – и газопроводов
получил знаменитый русский инженер В.Г. Шухов, который предложил определять текущую температуру нефти по длине трубопровода при неизотермическом течении
(2.322)
t x = tгр + ( t1 − tгр ) ⋅ exp(−a ⋅ x / L) ,
где t1 , t x , tгр – температуры нефти или газа на входе, на расстоянии x от начала
участка и грунта на этом участке; L – длина трубопровода; a – параметр Шухова
а=
km ⋅ π ⋅ d н ⋅ L ;
G ⋅ c pm
(2.323)
k m – коэффициент теплопередачи от транспортируемого продукта в окружающую среду на участке трубопровода; d н – наружный диаметр трубопровода;
G – массовый расход продукта; c pm – средняя массовая изобарная теплоемкость
продукта.
Уравнение Шухова (2.322), в первую очередь, может быть рекомендовано
для определения температуры нефти в любом сечении x линейных участков
нефтепроводов, так как изменение энтальпии жидкостей и, в частности нефти,
с определенной степенью точности может определяться также как и для идеального газа из соотношения (1.80).
Расчет температурных режимов линейных участков газопроводов по уравнению Шухова дают существенную погрешность, так как оно не учитывает эффект
изменения температуры реальных газов в процессе дросселирования. Этот эффект, названный эффектом Джоуля-Томсона, учитывается в уравнении
по распределения температуры газа по длине участка газопровода, полученном
В.И. Черникиным и С.А. Бобровским
t x = tгр + (t1 − tгр ) ⋅ exp(−a ⋅ x / L) −
Dh ⋅ ( p1 − p x ) ⋅ [1 − exp(−а ⋅ x / L)] , (2.324)
(а ⋅ x / L)
где Dh – коэффициент Джоуля-Томсона (1.288), (1.290), К/МПа; p1 , p x , – абсолютное давление транспортируемого продукта на входе, на расстоянии x
от начала участка, МПа.
Наиболее точно уравнение распределения температуры по длине магистрального газо-нефте- и продуктопроводов получено Н.И. Белоконь на основе
первого начала термодинамики по балансу рабочего тела для потока и уравнения теплопередачи. при учете свойств реального газа [1, 7].
Теплопередача в технологических процессах...
251
Напомним математическое выражение первого начала термодинамики по
балансу рабочего тела для потока
δQ = dH + δW ,
(2.325)
где δQ – приведенный термодинамический теплообмен, включающий в себя
теплоту внешнего δQ ∗ и внутреннего δQ ∗∗ теплообмена,
δ Q = δ Q ∗ + δ Q ∗∗ ;
(2.326)
δW – потенциальная работа в обратимом процессе, распределение которой определяется следующим соотношением:
δW = G ⋅ ( δw∗ + c ⋅ dc + g ⋅ dz + δw∗∗ ) ;
(2.327)
δw∗ – удельная эффективная потенциальная работа (на рассматриваемом элементарном участке газопровода не производится δW ∗ = G ⋅ δw ∗ = 0 ); c – линейная
скорость потока газа в трубе; cdc – изменение кинетической энергии 1 кг природного газа на элементарном участке газопровода; dz – изменение положения центра
тяжести потока газа на элементарном участке газопровода; g – ускорение свободного падения, g = 9,81 м/с2 ; g ⋅ dz – изменение удельной потенциальной энергии потока газа; δw∗∗ – удельная потенциальная работа необратимых потерь.
Принимая линейное распределение давления газа вдоль трубопровода и учитывая равенство теплоты внутреннего теплообмена и работы необратимых
потерь ( δQ ∗∗ = G ⋅ δw∗∗ ), а также соотношения для внешнего теплообмена между транспортируемым продуктом и окружающей средой
δQ ∗ = − k ⋅ π ⋅ d н ⋅ (t x − tгр ) ⋅ dx ,
(2.328)
энтальпии потока
 ∂h 

 ∂t   ∂h 
dH = G ⋅ dh = G ⋅   dt −   ⋅   dp = G ⋅ c p ⋅ dt − (c p ⋅ Dh ) ⋅ dp , (2.329)
 ∂p  h  ∂t  p  p
 ∂t  p
[
]
получается исходное выражение для вывода уравнения Белоконь по определению температуры природного газа в любом сечении трубопровода
− k ⋅ π ⋅ dн ⋅ (tx − tгр ) ⋅ dx = G ⋅ cp ⋅ dt − G ⋅ (cp ⋅ Dh )⋅
p1 − px
∆z
⋅ dx + G ⋅ g ⋅ ⋅ dx + G ⋅ c ⋅ dc. (2.330)
L
L
Пренебрегая изменением скорости газа, разделив переменные и проинтегрировав выражение (2.330) по длине линейного участка x , получаем уравне-
252
Часть 2
ние Н.И. Белоконь по определению температуры природного газа в любом сечении линейного участка газопровода
t х = tгр + ( t1 − tгр ) ⋅ e
−
а⋅x
L
а⋅ x
а⋅ x




−
−
Dh ⋅ ( p1 − p x ) ⋅ 1 − e L 
∆z ⋅ 1 − e L 





−g⋅

 . (2.331)
−
а
а⋅x

 ⋅ c pm
 L 
В случае, если имеются достоверные данные о профиле трассы, в качестве соотношения для определения температуры природного газа на границах линейного
участка газопровода ( t1 или t 2 ) может быть рекомендовано уравнение Белоконь,
в котором в качестве температуры грунта принимается среднестатистическая месячная температура грунта tгр в районах и на глубине укладки газопровода:
t2 = tгр + (t1 − tгр ) ⋅ exp(−a ) −
Dh ⋅ ( p1 − p2 ) ⋅ [1 − exp(−a )]
∆z ⋅ [1 − exp(−a )] ; (2.332)
−g⋅
а
а ⋅ c pm
t1 = tгр + (t2 − tгр ) ⋅ exp(a ) +
Dh ⋅ ( p1 − p2 ) ⋅ [exp(a ) − 1]
∆z ⋅ [exp(a ) − 1] . (2.333)
+g⋅
а
а ⋅ c pm
Следует отметить, что приведенные уравнения по расчету температурных
режимов газопроводов (2.324) –Черникина и Бобровского и (2.331) – Белоконь
с вполне приемлемой для инженерных расчетов степенью точности ( ± 5 % )
могут служить для прогнозирования температуры природного газа в любом
сечении магистрального газопровода (МГ).
Однако, использование этих соотношений при расчете температурного режима газопровода может дать ощутимую погрешность. Это связано с тем, что
на точность уравнений существенное, а порой и определяющее, влияние оказывает точность определения коэффициента теплопередачи, входящего в параметр
Шухова (2.323). Значения коэффициента теплопередачи от природного газа (нефти) в окружающую среду зависит от типа грунта, его влажности, агрегатного состояния влаги и может изменяться от 0,5 до 3,5 Вт/(м2⋅К).
При проектировании магистральных трубопроводов для определения коэффициента теплопередачи приходится прибегать к использованию полуэмпирических соотношений, в которые входят экспериментальные данные по теплофизическим свойствам грунтов в месте прокладки газопровода, глубина укладки,
диаметр трубопровода, среднемесячная скорость ветра, толщина снежного покрова и т.д. Эти зависимости получены в результате ряда существенных допущений и расчет по этим соотношениям носит оценочный характер. Кроме того,
при теоретическом определении среднего коэффициента теплопередачи km
практически невозможно учесть фактическое изменение теплофизических
свойств грунтов по длине рассматриваемого участка.
Теплопередача в технологических процессах...
253
Определение коэффициента теплоотдачи от наружной поверхности труб
газопровода в окружающую среду по этим соотношениям может привести
к значительным ошибкам при определении температуры природного газа
в выбранном сечении газопровода, даже при использовании самых точных расчетных уравнений.
В связи с этим, при расчете температуры потока природного газа по длине
рассматриваемого участка МГ следует использовать усредненные по месяцам
значения коэффициента теплопередачи, полученные на основе обработки эксплуатационных характеристик рассматриваемого технологического участка магистрального трубопровода.
Соотношения для расчета среднего опытного коэффициента теплопередачи
от природного газа в окружающую среду на рассматриваемом действующем
участке можно получить из математического выражения первого начала термодинамики по внешнему балансу при отсутствии внешней работы в дифференциальной форме и уравнения теплопередачи (2.328).
Для элементарного участка получаем
− k ⋅ π ⋅ d н ( t − tгр ) ⋅ dx = G ⋅ dh .
(2.334)
Интегрируя уравнение (2.324), получаем соотношение для определения
опытного среднего коэффициента теплопередачи по длине линейного участка
МГ [7]
h −h
G
(2.335)
km =
⋅ 1 2,
π ⋅ d н ⋅ L t − tгр
где h1 и h2 – значения удельной энтальпии природного газа (нефти) на входе
и выходе рассматриваемого линейного участка трубопровода, которые определяются из расчетных соотношений, например для природного газа в зависимости от термобарических характеристик p, T и состава rмет (1.393) и (1.394).
Температура и давление природного газа на входе ( t1 , p1 ) и выходе ( t2 , p2 )
линейных участков МГ, массовый расход природного газа ( G ) и его состав,
в частности, молярная концентрация метана ( rмет ) являются характеристиками,
значения которых фиксируются в процессе эксплуатации МГ. Это дает возможность определять из соотношения (2.335) значения среднего коэффициента
теплопередачи ( km ) от потока природного газа в окружающую среду на рассматриваемом линейном участке МГ и использовать их при решении задач прогнозирования и оптимизации режимов работы газопроводов.
В соотношениях для определения температуры природного газа на границах
линейного участка газопровода ( t1 или t 2 ) входит величина падения давления
природного газа по рассматриваемому линейному участку МГ ( p1 − p2 ) , обусловленного гидравлическими потерями в газопроводе.
254
Часть 2
Падение давления природного газа на линейном участке однониточного газопровода, обусловленного гидравлическими потерями в газопроводе, находится в результате совместного решения уравнений распределения потенциальной работы (одной из форм представления уравнения Бернулли)
 c2 
δw∗ = δw − d   − g ⋅ dz − δw**
2
(2.336)
dp
ρ ⋅ c2
u2 ,
= −λ ⋅
= −λ ⋅
dx
2 ⋅ dв
2 ⋅ ρ ⋅ dв
(2.337)
и Дарси-Вейсбаха
где dp – падение давления потока газа на элементарном участке газопровода dx
с учетом сопротивления трения и местные сопротивления; c ,u – линейная
и массовая скорости потока газа на элементарном участке газопровода; λ – приведенный действительный коэффициент гидравлического сопротивления, учитывающий трение и местные сопротивления; ρ – средняя плотность природного газа на рассматриваемом элементарном участке газопровода; d в – внутренний диаметр газопровода; dx – длина элементарного участка газопровода.
Проектные значения коэффициента гидравлического сопротивления трения
на линейном участке МГ в зависимости от режима течения и эквивалентной шероховатости внутренней поверхности труб определяются по следующим соотношениям:
для ламинарного режима ( Re < 2 ⋅ 10 3 )
λ тр = 64 / Re ;
(2.338)
для зоны гладкостенного режима ( Re = 2 − 4 ⋅ 10 3 )
λ тр = 0,1844 / Re0,2 ;
(2.339)
для переходного режима Re > 4 ⋅ 10 3
λ тр = 0,067 ⋅ (158 / Re+ 2k э / d в ) 0,2 ;
(2.340)
для зоны квадратичного режима
λ тр = 0 ,067 ⋅ ( 2k э / d в )0 ,2 ;
(2.341)
для зоны квадратичного режима при значении эквивалентной шероховатости k э = 0,03 мм
λ тр = 0,03817 / d в0, 2 .
(2.342)
Теплопередача в технологических процессах...
255
Приведенный коэффициент гидравлического сопротивления на линейном
участке МГ рекомендуется определять с учетом сопротивления трения и местных сопротивлений (краны, переходы, подкладные кольца).
Тепловые потери подземного трубопровода
При расчете тепловых потерь подземного трубопровода определенные сложности встречаются при нахождении коэффициента теплоотдачи от наружной поверхности труб газопровода в окружающую среду (термического сопротивления
передачи теплоты теплопроводностью через грунт). Это связано с тем, что грунт
является криволинейной стенкой сложной конфигурации и обычные формулы
теплопроводности для криволинейных стенок здесь не всегда применимы.
Для определения термического сопротивления грунта при работе подземного
трубопровода используется гидродинамическая теория источников и стоков.
Рассмотрим в бесконечном массиве (грунте) с коэффициентом теплопроводности λ два параллельно действующих линейных источника теплоты равной
по абсолютной величине мощности, но противоположной по знаку (источник
+ Q и сток − Q ) [12]. Длина источников равна ℓ , расстояние между источниками равно 2 ⋅ y0 , а температура поверхности tс . Температура грунта на по-
верхности t гр0 .
Оси координат расположим следующим образом: ось y совпадает с линией,
соединяющей источник и сток, начало оси y располагается посередине этой
линии. Ось x проходит через точку y = 0 и направлена перпендикулярно оси y
(рисунок 2.55).
Рассмотрим произвольную точку М бесконечного массива с координатами
x, y. Расстояние ее до источника + Q равняется r1 , а до стока − Q , равно r2 .
Действие каждого источника будем считать независимым друг от друга. Кроме
того, r1 < r2 .
Вокруг источника с производительностью + Q создается радиальное температурное поле.
Для любой точки с координатами x, y ( r1 < r2 ) справедливо выражение
теплового потока теплопроводностью через однослойную цилиндрическую
стенку (2.46)
(
)
+
2 ⋅ π ⋅ λ ⋅ ℓ ⋅ t + − tгр0
,
Q=
y0
ln
r1
(2.343)
+
где t + , t гр0
– температуры грунта в точке и на поверхности на основании дейст-
вия источника.
256
Часть 2
Рис. 2.55. Условная схема заглубленного трубопровода
Из уравнения (2.343) выразим избыточную температуру в точке
+
t + − tгр0
=
Q
y
⋅ ln 0 .
2⋅π⋅λ ⋅ℓ
r1
(2.344)
Вокруг стока − Q , также создаётся радиальное температурное поле. Для
этой же точки ( r2 > r1 ) справедливо выражение
−
t − − tгр0
=
Q
r
⋅ ln 2 ,
2⋅ π⋅λ ⋅ℓ
y0
(2.345)
−
– температуры грунта в точке c координатам x, y и на поверхности
где t − , t гр0
со стороны стока.
Теплопередача в технологических процессах...
257
Действительный перепад температур будет определяться как сумма
+
−
t − tгр0 = (t + − tгр0
) + (t − − tгр0
)=
 y
r 
r
Q
Q
⋅  ln 0 + ln 2  =
⋅ ln 2 . (2.346)
2 ⋅ π ⋅ λ ⋅ ℓ  r1
y0  2 ⋅ π ⋅ λ ⋅ ℓ r1
Отсюда исходное выражение теплового потока теплопроводностью в грунте
Q=
2⋅π⋅λ⋅ℓ
⋅ (t − tгр0 ) .
r2
ln
r1
(2.347)
Из геометрических соотношений (рисунок 2.55) следует, что
r 2 = x 2 + ( y0 + y )2 ,
(2.348)
r1 = x 2 + ( y0 − y )2 .
(2.349)
Поэтому уравнение (2.337), с учетом свойств логарифма, принимает вид
Q=
2 ⋅ π ⋅ λ ⋅ ℓ ⋅ (t − tгр0 )
x + ( y0 + y )
2
ln
2
x 2 + ( y0 − y )2
=
4 ⋅ π ⋅ λ ⋅ ℓ ⋅ (t − tгр0 )
x 2 + ( y 0 + y )2
ln 2
x + ( y0 − y )2
.
(2.350)
Запишем уравнение изотермических линий в грунте
x 2 + ( y0 + y )
2
x + ( y0 − y )
2
2
 4⋅π⋅λ ⋅ℓ

 4 ⋅ π ⋅ λ ⋅ ℓ  , (2.351)
= exp 
⋅ ( t − t гр0 )  = exp 
⋅ ϑ 
Q
Q




где ϑ = ϑ( x, y ) = t − t гр0 – избыточная температура в точке грунта относительно
температуры поверхности.
При постоянном тепловом потоке и неизменной избыточной температуре
уравнение (2.351) описывает окружность. Центр этой окружности находится
на оси x и отстоит от начала координат y0 тем дальше, чем меньше разность
температур ϑ . Тогда для различных температур в грунте при Q = idem получаем семейство окружностей (рисунок 2.56).
Для трубопровода на внешней поверхности температура t = t с (изотерма).
В точке М на верхней образующей трубы
r2M = y 0 + ( h − r 0 ) ; r1М = y 0 − ( h − r 0 ) ; r2M − r1M = 2 ⋅ h − d ,
где h – глубина залегания оси трубы; r 0 = d / 2 – радиус трубы.
(2.352)
258
Часть 2
Рис. 2.56. Заглубленный изолированный трубопровод
Для точки N на нижней образующей трубы
r2N = r2M + 2 ⋅ r 0 ;
r1N = 2 ⋅ r 0 − r1M .
(2.353)
M
N
Так как для изотермы (2.351) r2 = idem , то и должно быть r2 = r2 .
r1
r1M r1N
С учетом (2.352) и (2.353) и ряда преобразований последнее выражение отношения радиусов примет вид
2
r2M r2N r2M + d 2 ⋅ h
 2⋅h 
= N =
=
+ 
 −1 ,
M
M
d
d
r1
r1
d − r1


(2.354)
Подставив соотношения радиусов (2.354) в (2.347) получаем выражение теплового потока теплопроводностью от подземного трубопровода через грунт
Q=
2 ⋅ π ⋅ λ ⋅ ℓ ⋅ (tc − tгр0 )
2
 2h

 2⋅h 

ln
+ 
− 1

d

 d 


.
(2.355)
Теплопередача в технологических процессах...
259
Формула (2.355) была получена впервые Форхгеймером, затем с учетом глубины заложения трубопровода и поправки на термическое сопротивление окружающей среды («фиктивный слой» по Греберу) неоднократно модернизировалась.
В случае, когда относительная глубина заложения 2 ⋅ h ≤ 3 рекомендуется
dн
использовать формулу Н.И. Белоконь – аналог (2.355) с учетом поправки на дополнительный слой (теплоотдача от грунта α о.с , насыпь, снег)
Q=
2 ⋅ π ⋅ λ гр ⋅ ℓ ⋅ (tc − tо.с. )
,
(2.356)
dн
⋅ (1 + chξ) ,
2
(2.357)
2
 2⋅h

 2 ⋅ hф 
ф

ln
+ 
 − 1 
 dн

 dн 


hф = h + ∆h = h +
ξ=
2 ⋅ λ гр
α о.с ⋅ d н
.
(2.358)
По соотношению (2.356) можно рассчитывать температурный режим нефте-,
газо- и конденсатопроводов, проложенных на разных глубинах.
Расчетное выражение коэффициента теплопередачи от жидкости (газа) в заглубленном изолированном трубопроводе к окружающей среде через грунт
можно получить при сопоставлении уравнений (2.198а), (2.212) и (2.356)
1
k=


 2 ⋅ hф 
2⋅h
d из d из ⋅ ln 
 − 1
+ 
d н ⋅ ln
 d из

 d из 
dн

 + δ сн
+
+
2 ⋅ λ из
2 ⋅ λ гр
λ сн
,
(2.359)
2
δ тр
1
+
α ж λ тр
где индексы ж, тр, из, сн – относятся к параметрам текучей среды в трубопроводе, стенки трубы, изоляции и снега, соответственно.
260
Часть 2
ЛИТЕРАТУРА
1. Белоконь Н.И. Неизотермическое движение реального газа по трубопроводу
// В кн.: Транспорт и хранение нефти и газа. – М.: Труды МИНХ и ГП, 1971,
вып. № 97. с. 14–20.
2. Белоконь Н.И. Теплопередача при переменных температурах /Труды Московского нефтяного института, № 2. – М.: Гостоптехиздат, 1940. с. 271–281.
3. Белоконь Н.И. Термодинамика. – М.: Госэнергоиздат, 1954. – 416 с.
4. Газоперекачивающие агрегаты с газотурбинным приводом на магистральных газопроводах: Учебное пособие / Б.П. Поршаков, А.С. Лопатин,
С.М. Купцов, К.Х. Шотиди. – М.: ООО «Издательский дом Недра», 2010. –
246 с.
5. Исаченко В.П., Осипова В.А., Сукомел А.С. Теплопередача. – М.: Энергия,
1981. – 417 с.
6. Калинин А.Ф., Купцов С.М., Лопатин А.С. Расчет термодинамических циклов
тепловых двигателей. – М.: РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2005. – 46 с.
7. Калинин А.Ф. Технология промысловой подготовки и магистрального
транспорта природного газа. – М.: МПА-Пресс, 2007. – 323 с.
8. Купцов С.М. Температурный режим скважины. Методическое пособие. –
Издательский центр РГУ нефти и газа имени И.М. Губкина, 2012. – 111 с.
9. Купцов С.М. Теплофизические свойства пластовых жидкостей и горных пород
нефтяных месторождений. – М.: ООО «Недра-Бизнесцентр», 2008. – 205 с.
10. Лопатин А.С. Термодинамическое обеспечение энерготехно-логических
задач трубопроводного транспорта природных газов. – М.: Изд-во «Нефтяник», 1996. – 82 с.
11. Мищенко И.Т. Скважинная добыча нефти: Учебное пособие для вузов. – М.:
ФГУП Издательство «Нефть и газ» РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина,
2003. – 816 с.
12. Поршаков Б.П., Бикчентай Р.Н., Романов Б.А. Термодинамика и теплопередача
(в технологических процессах нефтяной и газовой промышленности). – М.: Недра, 1987. – 349 с.
13. Потери газа в обвязке компрессорных станций/ Б.П. Поршаков, С.М. Купцов, А.С. Лопатин, К.Х. Шотиди: Учебное пособие. – М.: РГУ нефти и газа
имени И.М. Губкина, 2001. – 67 с.
14. Процессы и аппараты нефтегазопереработки и нефтехимии: Учебник для вузов.
– 3-е изд., перераб. и доп /А.И. Скобло, Ю.К. Молоканов, А.И. Владимиров,
В.А. Щелкунов. – М.: ООО «Недра-Бизнесцентр», 2000. – 677 с.
15. Романенко П.Н, Обливин А.Н., Семенов Ю.П. Теплопередача. – М.: Лесная
промышленность, 1969. – 432 с.
16. Теоретические основы теплотехники. Часть I: Термодинамика в технологических процессах нефтяной и газовой промышленности/ Б.П. Поршаков,
А.Ф. Калинин, С.М Купцов, А.С. Лопатин, К.Х. Шотиди. – М.: РГУ нефти
и газа имени И.М. Губкина, 2005. – 148 с.
Теплопередача в технологических процессах...
261
17. Теоретические основы теплотехники. Часть II. Теплопередача в технологических процессах нефтяной и газовой промышленности/ Б.П. Поршаков,
А.Ф. Калинин, С.М. Купцов, А.С. Лопатин, К.Х. Шотиди. – М.: Изд-во
«Нефть и газ» РГУ нефти и газа имени И.М. Губкина, 2006. – 110 с.
18. Теория и практика испытаний на прочность и ввода в действие газопроводов
/В.Г. Дубинский, И.Ф. Егоров, А.С. Лопатин, А.В. Топилин, Б.Л. Житомирский, А.А. Филатов, К.В. Выскребенцев, Д.М. Ляпичев, Д.А. Кудрявцев. –
М.: МАКС Пресс, 2015. – 576 с.
19. Теория и практика осушки полости газопроводов после испытаний: учебное
пособие/ В.Г. Дубинский, В.М. Пономарев, А.А.Филатов, А.С. Лопатин,
Н.А. Калинин, Д.А. Кудрявцев, под ред. В.Г. Дубинского, А.С. Лопатина. –
М.: МАКС Пресс, 2012. – 416 с.
20. Теплотехника /А.М. Архаров, И.А. Архаров, В.Н. Афанасьев, и др.; Под общ.
ред. А.М. Архарова, В.Н. Афанасьева. – М.: Изд-во МГТУ им. Баумана,
2004. – 712 с.
21. Энергосберегающие технологии при магистральном транспорте природного
газа: Учебное пособие / Б.П. Поршаков, А.Ф. Калинин, С.М. Купцов,
А.С. Лопатин, К.Х. Шотиди. Учебное пособие. – М.: Издательский центр
РГУ нефти и газа имени И.М. Губкина, 2014. – 408 с.
262
Калинин Александр Федорович
Доктор технических наук, профессор, профессор
кафедры термодинамики и тепловых двигателей РГУ
нефти и газа (НИУ) имени И.М. Губкина.
Родился 1 июня 1954 г. в г. Москва.
В 1976 г. окончил Московский институт нефтехимической и газовой промышленности им. И.М. Губкина по специальности «Процессы и аппараты химических производств».
Почетный работник Роснефтегазстроя; почетный работник высшего профессионального образования РФ.
Автор более 110 научных и учебно-методических
работ по процессам регазификации сжиженного природного газа,теплофизики
свойств горных пород, тепло- и массообменным процессам, решению энерготехнологических задач трубопроводного транспорта природного газа, прикладным вопросам термодинамики и теплопередачи
Купцов Сергей Михайлович
Доктор технических наук, доцент, профессор
кафедры термодинамики и тепловых двигателей РГУ
нефти и газа (НИУ) имени И.М. Губкина.
Родился 18 сентября 1951 г. в г. Москве.
В 1973 г. окончил Московский институт нефтехимической и газовой промышленности имени И.М. Губкина по специальности «Машины и оборудование нефтяных и газовых промыслов».
Почетный работник Роснефтегазстроя; Почетный
работник Губкинского университета.
Автор более 90 научных и учебно-методических
работ по теплофизическим свойствам веществ, прикладным вопросам термодинамики и теплопередачи
263
Лопатин Алексей Сергеевич
Доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой
термодинамики и тепловых двигателей, научный руководитель научно-образовательного центра «Энергосберегающие технологии и техническая диагностика» РГУ
нефти и газа (НИУ) имени И.М. Губкина.
Родился 20 июля 1956 г. в г. Москва. В 1979 г.
окончил Московский институт нефтехимической и
газовой промышленности им. И.М. Губкина по специальности «Инженер-математик».
Лауреат премии Правительства РФ в области образования, дважды лауреат премии имени академика
И.М. Губкина; почетный работник газовой промышленности; почетный нефтегазостроитель; почетный работник высшего профессионального образования РФ.
Автор более 300 научных, учебно-методических работ и патентов по вопросам термодинамики природных газов, диагностики нефтегазотранспортных систем, энергосберегающих технологий транспорта газа, энергоэффективности и
альтернативной энергетики.
Шотиди Константин Харлампиевич
Кандидат технических наук, профессор, зам. зав.
кафедрой термодинамики и тепловых двигателей
РГУ нефти и газа (НИУ) имени И.М. Губкина.
Родился 23 октября 1942 г. в г. Батуми. В 1966 г.
окончил Московский институт нефтехимической и
газовой промышленности им. И.М. Губкина по специальности «Машины и оборудование нефтяных и
газовых промыслов».
Автор более 100 монографий, патентов, научных
и учебно-методических работ в области научных,
учебно-методических работ и патентов по тепловым
методам воздействия на нефтяной пласт, исследованию теплофизических
свойств горных пород, прикладным вопросам термодинамики и теплопередачи.
Почетный нефтяник; почетный работник высшего профессионального образования РФ.