SISTEME DE TRANSPORT AERIAN
Deşi este disponibilă o cantitate foarte mare de publicaţii, care se
măreşte continuu, relativ la tehnologia controlului activ (ACT-Active
Control Technology), există câteva definiţii a ceea ce este ACT. Tehnologia
controlului activ a fost numită drept o extensie a sistemelor de control
convenţionale cu feed-back (buclă închisă) care pune la dispoziţie
capabilitatea ieşirilor şi intrărilor multiple pentru a putea permite
exploatarea completă a celor 6 grade de libertate ale unui avion (Ostgaard &
Swortzel, 1977). O definiţie mai nouă a propus ca ACT să fie considerat a fi
folosirea mişcării sistemelor de control cu feed-back în absenţa părţilor de
proiectare
pasive,
pentru
obţinerea
obiectivelor
de
proiectare
specifice(Rongliton, 1978). S-a constat că nici această definiţie nu a fost
completă.
O altă definiţie ar putea fi următoarea: ACT este folosirea unui
sistem de comandă automată a zborului (AFCS-Automatic Flyght Control
System) pentru îmbunătăţirea manevrabilităţii, caracteristicilor dinamice în
zbor şi proprietăţilor structurale dinamice ale unui avion prin comanda
simultană a unui număr de suprafeţe de comandă şi generatoare de forţe sau
momente auxiliare astfel încât suprasarcinile la care avionul este supus în
timpul mişcărilor sale să fie mai mici comparativ cu acelaşi avion dar fără
un sistem de comandă activ, ducând la creşterea gradului de manevrabilitate
faţă de un avion convenţional.
Scopul
ACT-ului
este
să
permită
AFCS-ului
creşterea
performanţelor şi a flexibilităţii operaţionale a unui avion. Avioanele
moderne sunt proiectate pentru obţinerea maximului eficienţei aerodinamice
cu reducerea considerabilă a greutăţii, lucru obţinut prin utilizarea
materialelor moderne. Cerinţele proiectării avioanelor moderne s-au
schimbat foarte mult. Pentru îndeplinirea lor, proiectanţii au adoptat
1
următoarele: aripi subţiri, fuselaj lung, masa specifică a structurii mică,
structură ce permite sarcini mari şi factori de suprasarcină mici.[1], [2]
Cu toate aceste modificări, a rezultat un avion care este foarte uşor
dar care este totodată şi foarte flexibil. Abaterile structurale pot să apară ca
rezultat al unor manevre efectuate de pilot, de către un sistem de ghidare,
sau din cauza unor turbulenţe atmosferice. Vibraţiile structurii pot pune în
pericol structura avionului datorită repetatelor sarcini mari la care este
supusă.
Cu un astfel de avion a apărut o nouă problemă de control a
zborului, având ca cerinţe:
-
minimizarea sarcinilor suportate de către avionul în întregime sau în
câteva locaţii, părţi-ale sale;
-
eliminarea fenomenului de flutter;
-
reducerea amplitudinii mişcării perturbate care apare în cazul
atmosferei turbulente.
Rezolvarea acestor probleme modificând componente ale structurii
(modificând rigiditatea structurii sau mărimea suprafeţelor de comandă) nu
este o soluţie fezabilă, ea ducând la o scădere a performanţelor aeronavei
(raza de acţiune scade, sarcina maximă acceptată la decolare se micşorează).
Aşa că ACT a fost propus spre rezolvarea acestor cereri într-un mod
mai eficient.
1.1. FUNCŢIILE CONTROLULUI ACTIV
Se pot considera drept beneficii ale utilizării tehnologiei controlului
activ, folosirea uneia sau a mai multora din funcţiile sale de bază.
2
Cele şase funcţii de bază ale ACT sunt
•
Diminuarea stabilităţii statice (RSS-Relax Static Stability);
•
Controlul sarcinii la manevră (MLC – Manoeuvre Load
Control);
•
Controlul calităţii zborului (RC- Ride Control);
•
Controlul modului de flutter ( FMC – Flutter Mode Control);
•
Diminuarea sarcinii la rafală ( GLA- Gust Load Alleviation);
•
Reducerea oboselii ( FR – Fatigue Reduction).
În cele ce urmează se va face o scurtă prezentare a fiecăreia din ele.
RSS – Relax Static Stability
Diminuând cerinţele pentru stabilitatea statică este posibil să se
obţină un răspuns dinamic mai bun al controlului aerodinamic şi o
îmbunătăţire a manevrabilităţii. Este necesar, atunci când se realizează acest
lucru, să se refacă stabilitatea dinamică a aeronavei şi calităţile sale de
manevrabilitate utilizând un sistem ACT. Când stabilitatea statică este
diminuată, este nevoie de un ampenaj mic care să permită avionului o
manevrare mai bună. Cu un astfel de ampenaj ( de exemplu plan Canard)
este posibilă şi o scădere a greutăţii aeronavei.
MLC – Manoeuvre Load Control
Este o tehnică de redistribuire a portanţei generate de aripile
avionului în timpul unei manevre. Prin bracajul simetric al suprafeţelor de
comandă, montate într-un loc potrivit pe aripă, este posibil să se reducă
sarcinile schimbând centrul de presiune (punctul de aplicare al forţei şi
momentului rezultante). Această schimbare reduce de asemenea şi
momentul de torsiune al aripii care este un factor important în rezistenţa la
oboseală a unei aripi. MLC este denumit şi mod structural de control ( SMC
– Structural Mode Control) şi control activ al distribuţiei portanţei (ALDC –
Active Lift Distribution Control). Ocazional aceste sisteme există pe
3
aeronavă pentru a se asigura că orice încărcare ce apare în timpul execuţiei
unei manevre nu depăşeşte o limită specifică.
RC – Ride Control
Are ca scop îmbunătăţirea confortului pasagerilor şi a echipajului în
timpul zborului, prin reducerea suprasarcinilor (limitarea acestora) ce sunt
cauzate de manevrele avionului. Pentru un bombardier, de exemplu, RC
trebuie să reducă aceste suprasarcini numai la nivelul echipajului, dar pentru
un avion de transport pasageri, RC-ul trebuie să-şi îndeplinească rolul de-a
lungul întregului avion. Desigur, cerinţele misiunii unei aeronave
influenţează considerabil scopul şi proiectarea acestui sistem folosit pentru a
îmbunătăţi condiţiile de zbor.
GLA – Gust Load Alleviation
Este o tehnică ce controlează contribuţia modurilor de vibraţie şi a
avionului considerat corp rigid la răspunsul dinamic al aeronavei la rafale.
Din moment ce această funcţie este similară cu una din funcţiile RC-ului, de
obicei există un singur sistem corespunzător celor două tehnici.
FMC – Flutter Mode Control
Controlând bracajul unor suprafeţe de comandă auxiliare este posibil
a se amortiza modurile de flutter ale unei aeronave fără creşterea greutăţii.
Principalul beneficiar al FMC pentru un avion de vânătoare este creşterea
posibilităţii de a transporta pe aripi armanent la aceeaşi anvelopă de zbor.
FR – Fatigue Reduction
Pentru a creşte rezistenţa la oboseală, sistemele FR minimizează
amplitudinea şi/sau numărul ciclurilor de vibraţie tranzitorii al căror subiect
4
poate fi structura aeronavei în timpul turburenţelor atmosferice. Această
funcţie a ACT-ului nu a fost implementată încă fizic pe un avion,
obiectivele ei fiind atinse indirect prin combinarea celorlalte cinci funcţii.
Avantajele utilizarii ACT
Potenţialul beneficiilor aplicării funcţiilor ACT depinde de câţiva
parametri ai aeronavei. În orice caz, singura funcţie independentă de viteza
de zbor este RC. Funcţiile GLA, MLC şi FR vor fi folosite pentru avioane
cu raza scurtă de decolare /aterizare (STOL – Short Take-Off and Landing)
pentru încărcarea mică a aripilor, presupunând că aceste avioane folosesc
portanţa aerodinamică (şi nu propulsivă). Pentru a obţine performanţele de
care este nevoie pentru operaţiuni comerciale, avioanele de transport
supersonice trebuie să opereze într-un domeniu larg de presiuni dinamice,
fapt care afectează foarte mult calităţile de manevrare. În acest caz va fi
nevoie de sisteme de îmbunătăţire a stabilităţii (SAS). Dacă scopul RSS-ului
este reducerea rezistenţei la înaintare, menţinând constant consumul de
combustibil,
sistemul
de îmbunătăţire
a stabilităţii
(SAS-Stability
Augmentation System) este prezent pentru îmbunătăţirea calităţilor de
manevrare.[3]
În Figura 1.1 sunt reprezentate cele şase grade de libertate pe care
ACT le poate asigura.
5
Momentul de giraţie
Momentul de ruliu
Momentul de tangaj
Portanţa
Fig. 1.1. Cele şase grade de libertate ale unui avion
Stabilitatea statică relaxată
În planul longitudinal, stabilitatea statică are de-a face cu forţele
adiţionale dezvoltate de suprafeţe variate, atunci când avionul este perturbat
de la starea sa de echilibru, atitudinea de echilibru ca şi forţele în discuţie
crează momente faţă de centrul de greutate; se poate spune că stabilitatea
statică depinde de poziţia relativă a centrului de greutate faţă de suprafeţele
portante. Într-un mod mai simplu, atunci când aeronava este perturbată cu
 apar două momente adiţionale, unul produs de aripă şi având valoarea
lw  Lw , iar celălalt, de semn opus faţă de centrul de greutate, produs de
ampenajul orizontal şi având valoarea lt  Lt . De aşteptat ca lt să fie mult
mai mare decât lw . Un aspect important este faptul că produsul lt  Lt
trebuie să domine, anulând efectul celui de-al doilea produs (care tinde să
crească perturbaţia  ) şi reducând perturbaţia, aduce avionul la atitudinea
sa de echilibru.
6
Lw (  )
Lt (  )

lw
lt
Fig. 1.2. Forţele adiţionale datorate perturbaţiei 
O mutare a centrului de greutate nu va afecta valorea lui Lw sau a
lui Lt , dar va produce o schimbare a braţelor acestor forţe faţă de centrul
de greutate; dominanţa efectului ampenajului orizontal se va schimba de
asemenea şi nu în ultimul rând se va găsi o poziţie a centrului de greutate
pentru care cele două momente să se anuleze reciproc. Acest aspect va
conduce la faptul că aeronava nu se va mai întoarce la poziţia de echilibru.
Stabilitatea va putea fi câştigată prin modificarea poziţiei centrului de
greutate sau prin utilizarea unor forţe adiţionale la ampenajul orizontal (de
exemplu prin bracarea ampenajului orizontal) astfel încât momentul să tindă
să reducă perturbaţia produsă.
Lt ( n )
Lw (  )
Lt (  )

Fig. 1.3. Forţele adiţionale datorate perturbaţiei  , plus forţa adiţională a
ampenajului orizontal
În acest fel, în timp ce avionul este în mod natural în starea de
stabilitate neutră (sau chiar instabilitate) pilotul poate da comenzi, dacă
poate ‘simţi’ sensul perturbaţiilor profundorului pentru a anula perturbaţiile.
O soluţie alternativă a problemei stabilităţii neutre, când poziţia centrului de
7
greutate este schimbată, este punerea la dispoziţia avionului a unui ampenaj
orizontal mai mare, astfel încât Lt să fie mai mare, în acest fel permiţând
momentului provocat de ampenajul orizontal să domine conducând astfel la
anularea perturbaţiei. Stabilitatea statică relaxată (Relaxed Static Stability)
şi controlul ei activ are de-a face cu soluţiile sistemelor automate. Domeniul
poziţiei centrului de greutate poate fi ales cu o libertate destul de mare;
dimensiunile ampenajului orizontal pot fi reduse şi datorită faptului că
distanţa dintre centrul de presiune (punctul de aplicaţie al forţei portante) şi
centrul de greutate poate fi redusă (uneori chiar la zero), de asemenea se
poate reduce şi rezistenţa la înaintare. Multe dintre acestea depind de
sistemul de comandă automată a forţei Lt a ampenajului orizontal care
trebuie luat în considerare.[3]
Când avionul este perturbat cu  , forţa adiţională este, în termeni
simpli de forma
Lt =
1
U 2 St aa1t 
2
(0.1)
Două probleme sugerează o îmbunătăţire
1.
stabilitatea totală există dacă forţa indusă de ampenajul orizontal va
putea fi mărită (pentru o poziţionare fixă a centrului de greutate)
2.
o stabilitate acceptabilă ar putea fi menţinută cu un ampenaj
orizontal de dimensiuni reduse, pentru acelaşi braţ al forţei faţă de
centrul de greutate lt , dacă bracajul ampenajului orizontal va putea
fi mai mare decât  .
O schemă poate fi testată când ampenajul orizontal produce o
portanţă mai mare decât unul convenţional; schema se bazează pe observaţia
că ecuaţia (0.1) este echivalentă cu următoarea relaţie:
Lt =
S
1
U 2 t aa1t k 
2
k
8
(0.2)
ceea ce înseamnă că bracajul ampenajului orizontal trebuie să fie k 
atunci când avionul are unghiul de atitudine  ; ca urmare, suprafaţa
ampenajului orizontal trebuie să fie
1
St .
k
Poziţia nominală a
ampenajului orizontal
Fig. 1.4. Poziţia nominală a ampenajului orizontal
Prin măsurarea valorii  cu un giroscop şi folosind acest semnal
pentru comanda automată a unui element de execuţie care brachează toate
elementele mobile ele ampenajului orizontal, se realizează un ampenaj
orizontal activ, care este mai mic, mai uşor şi care produce o rezistenţă la
înaintare mult mai mică. În locul unei scheme de comandă pentru un k
multiplu fix, valoarea lui k poate fi schimbată în timpul zborului în funcţie
de situaţie, pentru a urmări schimbările poziţiei centrului de greutate care
sunt realizate în mod intenţionat sau nu.
Pericolul existent în această schemă este acela că, în cazul
disfuncţionalităţii sistemului de control activ, suprafaţa ampenajului
orizontal (care atunci se deplasează) este probabil insuficientă pentru a reda
stabilitatea statică, iar pilotul va trebui să-şi îndrepte atenţia asupra acestui
lucru, pentru a remedia problema. Marginea de stabilitate a fost relaxată, în
ipoteza că sistemul de control activ ar compensa această insuficienţă, dar în
condiţiile căderii sistemului, problema va fi remediată de către pilot.
9
Într-o aeronavă Northrop T-6 s-a realizat un studiu pe o schemă de
acest tip, având marginea statică de +13 0 0 . Studiile făcute pe un avion civil
de transport medium-curier au arătat că, dacă ampenajul orizontal este redus
cu +35 0 0 pot exista reduceri de cost în folosinţă de 2 0 0 , ceea ce este destul
de semnificativ. TSR-2 a avut toate aripioarele la jumătatea celor necesare
fără sistemul de control activ; aceasta a dus la o scădere a greutăţii cu
aproximativ 10 0 0 şi o reducere a rezistenţei la înaintare de 7 0 0 . În cazul
American SST, aplicarea sistemului de control activ la mişcarea în plan
longitudinal au permis semnificative reduceri ale ampenajului orizontal,
lărgirea domeniului pentru poziţia centrului de greutate, importante
îmbunătăţiri ale performanţelor avionului (a fost posibilă o creştere a
numărului de pasageri cu 22 de persoane şi o creştere a razei de acţiune).
Scopul principal al RSS este reducerea consumului de combustibil şi
creşterea capacităţii maxime a aeronavei folosind un ampenaj orizontal mai
mic. Ambele ampenaje (orizontal şi vertical) pot fi dimensionate în acelaşi
mod, fiind nevoie de un sistem de control activ pentru fiecare.
Se crede că RSS şi poziţionarea centrului de greutate (cum s-a
folosit pe Concorde, de exemplu) sunt modurile prin care ACT va pune la
dispoziţie cea mai mare performanţă în viitorul apropiat. Preţul pe care
trebuie să-l plătească inginerii este asigurarea siguranţei hardware-ului
sistemului de control activ.
10
1.1. CONTROLUL FORŢELOR DE TRANSLAŢIE
Un vehicul controlat de zbor foarte bine pus la punct ar putea fi unul căruia să i se poată
controla fiecare contribuţie la forţele aerodinamice într-un mod rapid, în contrast cu un avion
convenţional pentru care:
1.
portanţa aripii este controlată rapid numai în apropierea eleroanelor (sau poate
a spoilerelor), şi atunci într-un sens asimetric
2.
aproape toată portanţa aripii poate fi controlabilă cu o rapiditate rezonabilă,
când profundorul acoperă întreaga anvergură a ampenajului, dar forţele produse sunt
simetrice
3.
forţele derivei, ca cele de la ampenajul orizontal, sunt sub control, dar datorită
poziţiei lor produc mai degrabă un moment faţă de centrul de greutate decât o forţă. De
fapt, în toate aceste trei cazuri acţiunea sistemului de comandă este aplicată unor
momente.
Controlul forţelor de translaţie în direcţiile axelor avionului este limitat la:
1.
axa X: controlul tracţiunii plus frânele aerodinamice
2.
axa Y : o forţă foarte mică de la direcţie
3.
axa Z: forţa de portanţă (încet)
1.1.1. Sarcinile zborului
Ignorând importanţa controlului tracţiunii pentru moment, recunoaştem că comanda
mai directă a forţei de portanţă este una din cele două probleme importante ale comenzii
forţelor, cealaltă fiind comanda şi dezvoltarea forţei laterale. Cele două au o contribuţie comună
pentru satisfacerea cerinţelor în urmărirea unei traiectorii de zbor în de-aproape.
De exemplu, următoarele cerinţe ar putea să apară:[3]
1.
Poziţia de aterizare de-a lungul unei piste este foarte sensibilă la controlul înălţimii
(altitudinii) care trebuie ajustată în timpul paraşutării prin schimbarea atitudinii de zbor
şi a vitezei adevărate — ambele acţiuni fiind destul de lente.
1
Chiar la o pantă de aterizare de 30 , gradientul este un metru pe nouăsprezece, ceea ce
înseamnă că o eroare de 1 metru asupra altitudinii va conduce la o eroare orizontală de
nouăsprezece metri —şi aceasta ignorând curba paraşutării al cărei gradient este de
obicei mai mic decât 30 . Aceasta este o problemă crucială pentru avioanele de transport
lung-curier.
2.
Înrudită cu aceasta este problema de comandă a vitezei verticale la impact.
Specificaţiile de proiectare impun o limită de aproximativ 3 m / s , dar în practică un
Boeing 747 ar experimenta un impact de aproximativ 3 − 4 m / s şi un L1011 un
impact de 1.5 m / s . Dacă aceste viteze verticale la impact ar putea fi obţinute printr-o
comandă de o acurateţe mai mare a traiectoriei, atunci durata de viaţă a aeronavei ar
putea fi mărită.
3.
Pentru manevrele de aterizare şi decolare, apropierea trebuie să se facă la un anumit
unghi faţă de viteza vântului pentru a anula efectul acestuia. O generare independentă
a unei forţe laterale ar putea anula efectul acestui vânt la aterizare fără a fi realizat un
unghi nedorit de alunecare.
4.
Alimentarea în zbor presupune o poziţionare foarte exactă faţă de celălalt avion, pe
toate direcţiile de translaţie, în timp ce pot fi folosite numai într-un mod foarte limitat
celelalte grade de libertate ale avionului (rotaţiile) pentru corecţii. În mod clar, DLC şi
DSFC sunt dorite.
5.
Turbulenţele atmosferice provocate de un avion pot fi fatale unui alt avion ce
intersectează traiectoria celuilalt. Comenzile convenţionale sunt inadecvate în acest
caz.
6.
Păstrarea poziţiei relative faţă de un alt avion sau urmărirea unei ţinte pot fi câteva din
problemele militare care se pot rezolva prin utilizarea DLC-ului şi a DSFC-ului.
2
În anumite cazuri particulare poate să fie nevoie de
(a)
rotirea avionului fără creşterea portanţei sau schimbarea traiectoriei de zbor
(b)
schimbarea traiectoriei verticale de zbor fără rotirea avionului
(c)
schimbarea capului de alunecare sau derapare
(d)
schimbarea traiectoriei de zbor cu una paralelă fără schimbarea capului în timpul
manevrei
(e)
schimbarea capului menţinând o traiectorie laterală constantă (menţinerea la vedere a
unei ţinte fără a schimba traiectoria)
7.
Cerinţele speciale pentru controlul lateral care sunt cauzate de oprirea motorului în
zbor, sunt în mod normal îndeplinite de direcţie. Dacă deriva sau direcţia sunt
dimensionate potrivit criteriului RS este necesară îmbunătăţirea acţiunii direcţiei cu o
nouă forţă datorată unor suprafeţe suplimentare.
1.1.2. Deflecţia antisimetrică a ampenajelor canard
Datorită implicaţiilor mai sus menţionate este nevoie de o forţă neconvenţională (sau
de încă o forţă convenţională), centrată în apropierea centrului de greutate, astfel încât
momentele adiţionale produse să fie mici. Aceasta se datorează faptului că forţele
convenţionale produc în primul rând momente, şi nu în ultimul rând trebuie avut grijă de
balansarea momentelor astfel încât o parte importantă a oricărei reţele ACT este schema de
comandă, care monitorizează continuu performanţa unui program pentru a pune la dispoziţie
combinaţia potrivită a acţiunii directe şi a acţiunii compensatorii pentru a atinge rezultatele
dorite fără efecte secundare nefavorabile.
Portanţa aripii este aplicată în mod convenţional lângă centrul de greutate, astfel încât
metodele standard de ajustare a portanţei pot fi exploatate dacă sunt rapide, de exemplu un
spoiler sau un flaps. Primul dintre acestea produce un moment CL de semn diferit, iar al
doilea va trebui poziţionat într-o poziţie neutră astfel încât închiderea spoilerului să producă
creşterea CL . Ambele mecanisme pot fi foarte rapide.
3
Există o preferinţă pentru spoilere datorită faptului că spaţiul necesar acestora poate fi
pus la dispoziţie cu uşurinţă, în timp ce inevitabila prezenţă a flapsurilor normale complică
tehnologia vitezelor mari pentru DLC.
Forţele laterale necesită suprafeţe mobile noi, ca şi deriva care este singura suprafaţă ce
produce o forţă aerodinamică laterală controlabilă. Cea mai populară metodă este adăugarea
unor derive adiţionale pe fuzelaj în partea din faţă (de obicei numai una, dorsală sau ventrală).
Folosită simetric cu direcţia, cele două pot produce o forţă laterală, dar poziţia obişnuită a
acestei suprafeţe este situată în spatele cabinei pilotului, sub această poziţie se poate produce
efectul, independent de incidenţa avionului datorită interferenţei fuzelajului, dar în unele cazuri
s-a descoperit faptul că diferite planuri canard orizontale (sau eleroane îmbunătăţite) cauzează
astfel de presiuni diferite asupra fuzelajului la încastrarea lor, cauzând o forţă laterală
semnificativă. Un compromis este folosirea unei perechi de planuri canard ce cauzează o forţă
laterală atunci când planurile canard sunt bracate în mod asimetric şi o forţă verticală când sunt
bracate în mod simetric.
O regulă generală în proiectarea DLC şi DSFC este aceea că forţele adiţionale ar trebui
să producă aproximativ 0.1 − 0.15g .[3]
Bracarea eleroanelor
Deflecţia anti-simetrică a ampenajelor canard
Fig. 1.5. Deflecţia antisimetrică a ampenajelor canard
4
1.2. CONTROLUL DISTRIBUŢIEI ÎNCĂRCĂRII STATICE
Nu este posibilă realizarea unei clasificări rigide astfel încât funcţia fiecărui ACT să
facă parte doar dintr-o anume categorie.
Într-adevăr, esenţa unei proiectări ACT cu succes este folosirea în mod corespunzător
a tuturor forţelor controlabile pentru a îndeplini mai multe cerinţe deodată, este convenabil să
se considere MLC (Manoeuvre Load Control — Controlul încărcării la manevre) şi FLC (Flight
Envelope Limiting — Limitarea anvelopei de zbor).[3]
Există două fapte pe care trebuie să ne bazăm pentru a pune bazele modificărilor noastre
la ingineria convenţională pentru aceste probleme de încărcări statice, şi anume:
1.
distribuţia naturală a încărcărilor aerodinamice în timpul unei manevre ng (n = 1) nu
conduce neapărat la cel mai eficient proiect structural;
2.
o consecinţă a mai multor cerinţe diferite care guvernează cazurile limită ale proiectării
pentru sistemele de comandă şi elementele structurale, este ca pilotul să aibe suficientă
capacitate în anumite circumstanţe speciale.
1.2.1. Reducerea încărcării în zbor la echilibru sau în timpul manevrelor
Principalul argument pentru controlul încărcării la manevre (MLC) este faptul că
momentele de încovoiere la încastrare pot fi foarte mari în timpul manevrelor, dar o reducere
considerabilă este posibilă numai dacă distribuţia încărcărilor de pe toată anvergura poate fi
schimbată prin bracaje potrivite ale suprafeţelor ca eleroane sau spoilere.
În particular, prin descărcarea vârfurilor aripilor (eleroanele simetrice în sus) cu o
creştere generală a incidenţei pentru a păstra portanţa totală constantă, este posibil să se
schimbe centrul de presiune în interior.
Ca efect, aceasta permite manevre la un g mai mare pentru acelaşi moment de
încovoiere sau o sarcină mai mare în timpul unei manevre obişnuite la un g . Se consideră că
această ultimă aplicaţie, la un avion de transport, va fi prima utilizare comercială a sistemului
de comandă a distribuţiei încărcărilor. Există, în adiţie, certitudinea că, prin folosirea altor
5
suprafeţe disponibile, de exemplu a ampenajulului orizontal, manevrele pot fi făcute mai uşor
fără extra încărcări pe aripă.[3]
Poate că, cel mai cuprinzător studiu realizat a fost Activ Lift Distribution Control
System (ALDCS — sistemul de control activ al distribuţiei portanţei) care a căutat să
controleze mult mai mult decât încărcări statice.
Presupunea o reţea de senzori, elemente de execuţie, suprafeţe de control şi inevitabilul
computer pentru a modifica distribuţia încărcării dinamice prin reducerea încărcărilor
structurale, printre alte obiective.
Momentele de încovoiere la încastrarea aripii au fost reduse cu 30 0 0 (cu sistemul de
control activ în funcţiune, comparativ cu varianta fără acest sistem) şi s-a estimat o reducere a
greutăţii întregului avion de ordinul a 20 0 0 dacă încărcările suportate de avion în timpul
zborului erau comandate de un sistem ACT.
Un rezultat comparabil este cel al lui B − 52 , caz în care s-a obţinut o reducere a
momentelor de încovoiere la încastrarea aripii de aproximativ 40 0 0 şi s-a obţinut o
îmbunătăţire a comenzii aeronavei. S-a depus un efort foarte mare pentru proiectarea unor
astfel se sisteme de control activ pentru aeronavele A300 − B şi BAC 1-11 , avându-se în
vedere reducerea costurilor de producţie şi mărirea duratei de funcţionare a aeronavelor.
Dacă eleroanele din exterior sunt aplicate simetric, cum am menţionat mai sus, se obţine
o reducere a momentelor de încovoiere la încastrarea aripii de 20 0 0 pentru zbor la echilibru
sau manevre în plan longitudinal.
Dacă beneficiile întregului studiu se vor manifesta în reproiectarea structurii, se va
obţine o reducere a greutăţii de aproximativ 7 1/ 2 0 0 , la aceasta adăugându-se o greutate
suplimentară ( 2 1/ 2 0 0 ) a sistemelor de comandă, suprafeţelor suplimentare şi elementelor de
execuţie necesare sistemului de control activ. În termeni comerciali, această reducere netă a
greutăţii de 5 0 0 va conduce la o reducere a costurilor de operare de aproximativ 1 − 1/ 2 0 0 .[3]
Este cunoscut faptul că încărcările au o influenţă semnificativă asupra duratei de viaţă
a aeronavei.
Sistemul MLC al viitorului poate fi cuplat foarte bine cu un pilot automat care să filtreze
comenzile acestuia din urmă pentru reducerea componentelor de frecvenţă mare nedorite
pentru a creea un semnal mai blând.
6
1.2.2. Limitarea anvelopei de zbor
Are drept scop prevenirea suprasarcinilor structurii prin controlul puterii motorului, sau
prin prevenirea neaşteptatelor combinaţii ale parametrilor de zbor care ar conduce la situaţii
critice. Măsurătorile pasive variate sunt implicate în prevenirea suprasarcinilor induse prin
comandă:
• deconectarea segmentelor direcţiei cu creşterea vitezei
• limitarea bracajului direcţiei în funcţie de viteză (DC-9, B747)
• retragerea flapsurilor automat, la o viteză limită (DC-8, B747).
Dar există o cerinţă pentru un aranjament mai formal, prin care pilotul poate da aparent
comenzi maxime fără inhibiţie, convins de faptul că nu va afecta integritatea structurii. Şi nu
în ultimul rând, un pilot care ştie că controlul său este limitat va avea întotdeauna atenţie la
evitarea situaţilor critice (evitarea unei coliziuni).
Să considerăm cazul dimensionării profundorului.
În timpul unui ciclu normal de zbor, cea mai mare sarcină suportată de profundor este
probabil la decolare, din nevoia de a ridica botul avionului în aer, atunci când avionul este
încărcat la maxim şi cu centrul de greutate în poziţia cea mai avansată. Viteza aerului este
destul de mică şi atunci profundorul este bracat la maximum, pentru a balansa încărcările
dinaintea centrului de greutate. Dacă profundorul ar fi bracat la maximum în timpul unui zbor
de croazieră, atunci probabil, datorită forţelor de portanţă mai mari apărute în urma creşterii
incidenţei, momentele de încovoiere de la încastrarea aripii ar deveni foarte mari ceea ce ar
conduce la ruperea aripilor, în cazul în care nu s-ar rupe mai întâi ampenajul orizontal.[3], [4],
[5], [6], [7], [8]
Această problemă este prevenită prin utilizarea “simţului artificial” dacă majoritatea
piloţilor au un simţ mai puţin dezvoltat în ceea ce priveşte consecinţele comenzilor lor asupra
structurii aeronavei.
7
Dacă ar fi posibil să se dobândească un simţ care să cuprindă atât efortul pilotului,
eficacitatea controlului (factor de încărcare, capabilitate), limitările structurale şi parametrii de
zbor (atitudine, număr Mach, etc.) atunci ar fi posibil să se programeze o competenţă
acceptabilă în comenzi pentru orice situaţie.
1.2.3. Îmbunătăţirea polară a manevrelor
Condiţiile de operare deosebite ale unor avioane (militare) moderne cer un zbor la o
incidenţă foarte mare, atunci când forţele de rezistenţă la înaintare devin deodată foarte mari.
Ar fi de dorit ca o parte din forţele portante să fie controlate în mod automat (şi distribuite în
mod corespunzător de-a lungul anvergurii aripei) prin controlul unor aripioare, al stratului
limită, etc. astfel încât peste o anumită incidenţă, o comandă pentru o portanţă mai mare să
conducă într-adevăr la o portanţă mai mare, dar fără o creştere suplimentară a incidenţei şi
obişnuita creştere a portanţei.[9], [10]
Dezavantaje
Separat de noile interese în zbor, cel mai important obiectiv ce trebuie realizat este
reducerea greutăţii structurii (sau reducerea încărcărilor pe aceeaşi structură) şi poate o
reducere a cheltuielilor în operaţiunile de zbor, dar cel puţin două puncte trebuie observate:
1.
Mecanismele prin care încărcarea eleroanelor, flapsurilor, spoilerelor este controlată
vor genera în mod normal încărcări aerodinamice care vor produce momente de
torsiune semnificative. În acest fel, cu toate că momentele de încovoiere de la
încastrarea aripii pot fi reduse, torsiunea poate să crească.
Diagrame polare
Fig. 1.6. Limitarea anvelopei de zbor
8
2.
Dacă rezistenţa structurii poate fi redusă, în mod inevitabil va suferi de o scădere a
rigidităţii ceea ce conduce la o aeroelasticitate mai mare.
1.3. ÎMBUNĂTĂŢIREA PERFORMANŢELOR MOTORULUI ŞI REDUCEREA
INTERACŢIUNII ATITUDINE-ADMISIE
Avioanele supersonice trebuie să aibă canale de admisie care vor permite decelerarea
aerului ambiental la un Mach de 0.5 între canalul de admisie şi partea din faţă a compresorului
(sau ventilatorului).
Implicaţiile realizării unei lungimi considerabile pentru acest canal sunt două probleme
separate, dar în strânsă legătură:
1.
Variaţiile atitudinii de zbor vor schimba, chiar semnificativ, direcţia din care fluidul se
apropie de canalul de admisie şi, ca o consecinţă a acesteia, debitul în canalul de admisie
devine neregulat şi condiţiile de pe suprafaţa compresorului devin asimetrice, cel puţin,
dacă nu chiar serios tulburate.
2.
Configuraţia unei admisii corecte este, în ultimii ani realizată printr-o aranjare cu grijă
şi o poziţionare corectă de uşi, guri, supape, etc., toate selectate pentru a îmbunătăţi
debitul în canal, dar de asemenea şi pentru a realiza o suprafaţă mai mare pe care se
manifestă forţe foarte mari. Unele sunt bine controlate pe suprafeţele interioare, altele
se datorează deosebirilor de formă ale muchiilor. Orice cantitate ar avea debitul, forţele
derivate din aceasta pot deveni foarte uşor suficient de puternice, având legătură cu
stabilitatea şi controlul întregului vehicul dacă admisia se va face departe de motor.[3]
Figura 1.6 prezintă ambele aspecte ale problemei, subliniind faptul că atunci când este
inactivă, o forţă de rotaţie cauzează suficientă asimetrie în canale pentru a produce o pană de
motor şi de asemenea o violentă oscilare a presiunii în ambele canale, în timp ce o balansare
verticală şi laterală a avionului determină rapid mişcarea dincolo de limitele unei derapări care
nu mai poate fi tolerată.
9
Nu se poate presupune că toate avioanele supersonice vor suferi aceeaşi cuplare a
motorului şi a problemelor de aer, dar se poate considera că ambele acţiuni de mai sus trebuie
în mod obligatoriu avute în vedere.
Datele experimentale care pot fi adunate doar cu privire la canalul de curgere pentru un
şir de unghiuri de incidenţă şi derapaj vor fi enorme.
Influenţa acestor schimbări de geometrie asupra stabilităţii vehiculului nu sunt uşor de
prevăzut şi vor cere simulări considerabile şi teste de zbor înainte ca să se obţină rezultate
satisfăcătoare.
10
1.1. CONTROLUL DINAMICII ELASTICE
Este foarte clar că sistemele de comandă care sunt principale pentru orice schemă
prezentă sunt înţelese pe deplin, precum şi implicaţiile unui anumit număr de senzori, de
elemente de execuţie precum şi toate interconectările de comandă şi decizie care formează o
reţea pentru a se atinge obiectivele dorite.
Trebuie să neglijăm deformările elastice, chiar dacă gradele de libertate ale corpului
solid sunt o cerinţă primordială a expertizei noastre de control activ. Cu toate acestea, există
câteva analogii simple (chiar dacă superficiale) care pot fi deduse şi vom prezenta anumite
comparaţii simple pentru a clasifica problemele nou apărute în aceste condiţii.
În Figura 1.6 este prezentată o diagramă care arată că folosind anumite suprafeţe
(direcţie, planuri canard, eleroane, profundoare) putem produce un număr de forţe în cinci
direcţii (vertical, lateral, de rotaţie) şi poate chiar şi o forţă de rezistenţă la înaintare. Este
combinarea elementelor de execuţie a diferitelor suprafeţe (semn, amplitudine, fază) care
guvernează controlul asupra celor cinci forţe.
Măsura în care oricare din aceste cinci forţe poate fi produsă într-o formă pură
(excluzându-le pe celelalte patru) depinde nu numai de această combinaţie, dar şi de poziţia
suprafeţelor, eficienţa lor aerodinamică, viteza de răspuns a elementelor lor de execuţie şi aşa
mai departe. Patru moduri pot fi controlate cu aceste şapte suprafeţe. Să exemplificăm
problema răspunsului elastic privind cele trei moduri de vibraţie ale unei aripi complete.
În acelaşi mod în care realizam sau ne opunem unui grad de libertate (să considerăm
atitudinea, de exemplu) al unui corp rigid prin plasarea unei
suprafaţe de comandă
(profundorul) care realizează un răspuns în amplitudine rezonabil ca valoare (în spatele
fuzelajului), putem realiza sau suprima un răspuns elastic prin punerea la dispoziţie a anumitor
forţe în zona de deplasare a structurii datorată modurilor de vibraţie cu mare amplitudine.
O forţă aplicată în centrul de greutate nu ar influenţa în mod eficient atitudinea. [3]
1
Fig. 1.7. Primele trei moduri de vibraţie
Într-un mod echivalent, forţa în centrul de greutate al avionului va influenţa translaţia
verticală iar forţa nodală elastică va avea răspunsul într-un alt grad de libertate elastic, cu alte
cuvinte în ambele cazuri o forţă incorect poziţionată va influenţa răspunsul unui mod de
vibraţie greşit, aceasta datorită ineficienţei în controlarea modului dorit.
Dacă suprapunem modurile din Figura 1.7, devine clar că există câteva porţiuni pe
anvergura aripii în care această forţă ar putea fi poziţionată într-un mod avantajos pentru
controlarea unui mod, şi că există numai câteva puncte (nodurile celorlalte moduri) la care
aceste forţe nu vor avea aceeaşi eficienţă în excitarea celorlalte grade de libertate.
Ca şi în cazul corpului rigid, combinaţia forţelor de comandă trebuie aleasă cu grijă
dacă anumite moduri elastice trebuiesc amplificate sau suprimate; excitaţia pură numai a
anumitor moduri este practic imposibilă.[3], [11]
Poziţia laterală în care este excitat modul 2
Fig. 1.8. Primele trei moduri de vibraţie suprapuse
De remarcat faptul că, dacă considerăm şi celelalte moduri elastice simetrice, modurile
de torsiune, încovoierea fuzelajului şi toată dinamica elastică a ampenajului, problema devine
foarte complicată, ca dealtfel şi modul de organizarea al obiectivelor.
Vom prezenta în continuare versiunea simplă a acestei probleme.
2
Care este scopul reducerii răspunsului elastic?
Se consideră o sarcină care este aplicată static, ca urmare se vor produce anumite
fenomene (de exemplu un moment de încovoiere sau torsiune) fără a necesita răspunsul elastic
prin care structura dezvoltă acţiunea sa de rezistenţă, acţiune care poate să fie o distorsiune
(deformare) elastică, ce necesită timp, înainte ca efectele încărcării elastice să fi apărut.
Structura având masă, rezultă că va exista o abatere de la valoarea răspunsului static;
raportul dintre valoarea maximă a răspunsului dinamic şi cel static va depinde de dinamica
oscilatorie elastică şi, aparent, de amortizarea mişcării.[3]
Cuplu
l
Maximul răspunsului sistemului după aplicarea
încărcării statice
Răspunsul normal asociat cu încărcarea statică
Fig. 1.9. Răspunsul structurii la o sarcină statică
Dacă încărcarea aplicată este rapidă, nu statică, de exemplu indusă de comenzile
suprafeţelor de comandă, de turbulenţa atmosferică sau de impactul cu solul la aterizare, atunci
nu numai răspunsul instantaneu structural (de exemplu momentul de încovoiere) va fi diferit
de ceea ce este el asociat din punct de vedere static, dar şi valorile maxime şi valorile temporare
vor depinde de excitaţie într-un mod mult mai complex.
3
Dacă putem controla dinamica elastică, atunci este posibil
1.
a reduce valoarea maximă a răspunsului;
2.
a influenţa dependenţa factorilor de amplitudine faţă de frecvenţă şi
3.
a preveni oscilaţiile inutile ale răspunsului structurii în timp, ce tinde către valoarea
statică.
Pot să apară un anumit număr de beneficii, de la reducerea răspunsului elastic, cum ar
fi reducerea oboselii structurii, o îmbunătăţire a confortului pasagerilor şi echipajului în timpul
zborului precum şi creşterea manevrabilităţii.
Pentru moment, ne vom concentra asupra acelor probleme care au legătură cu
stabilitatea răspunsului elastic (adică controlul amortizării totale a oscilaţiilor elastice), pentru
care problema aeroelastică de suprimare a efectului de flutter este considerată un caz extrem.
Dacă putem arăta că este posibil să producem o continuă îmbunătăţire a amortizării
chiar şi pentru cea mai dificilă situaţie, atunci va fi mai uşor să acceptăm credibilitatea altor
sisteme pentru care amortizarea modurilor elastice este doar o parte din sarcini şi probabil nu
cea mai critică.
1.1.1. Controlul artificial al vitezei critice de flutter
Pentru a examina capabilităţile şi punctele slabe ale sistemelor de comandă, să
presupunem un model al unui avion într-un tunel aerodinamic mare, având numai câteva
suprafeţe controlabile, dar având aripi realistice din punct de vedere al flexibilităţii. Scopurile
sunt următoarele:
1.
măsurarea răspunsului modal (distorsiunile elastice) prin integrarea şi substragerea
semnalelor a două accelerometre
4
2.
producerea forţelor (adică bracarea suprafeţelor mobile) care se vor opune creşterii
distorsiunilor.
Accelerometre utilizate
pentru determinarea
Forţele de amortizare
Fig. 1.10. Folosirea accelerometrelor pentru deducerea vitezei modale
Astfel de forţe care sunt proporţionale, dar de semn opus vitezei modale, produc o forţă
de amortizare care ar trebui să reducă amplitudinea modului elastic.
Dacă această metodă este eficientă, celelalte forţe care sunt prezente (inerţiale,
aerodinamice şi elastice) trebuiesc cunoscute şi folosite în algoritmul care produce rotaţiile
suprafeţelor de control ca răspuns al semnalelor accelerometrelor.[3]
Când FMC este operativ, amortizările adiţionale artificiale sunt evidente la toate
vitezele şi sunt suficient de puternice şi la viteze mari pentru a preveni apropierea lui g
(amortizarea fictiva) de zero. Pentru vitezele mai mari decât viteza critică, sistemul (avionul şi
sistemul de comandă) este stabil doar datorită FMC-ului; zborul la asfel de viteze este perfect
în siguranţă doar dacă FMC funcţionează. Dacă se întâmplă ca sistemul de comandă să se
defecteze, avionul zboară la o viteză supercritică şi dezastrul este iminent.
Proiectarea oricărui sistem de control activ care este guvernat de o pre-existenţă a unui
sistem structural/dinamic va depinde de cunoştinţele noastre asupra dinamicii sistemului
necontrolat.
Parametrii schemei de control, care vor fi selectaţi prin simularea avionului cuplat la
FMC, nu pot conduce la o îmbunătăţire concretă a amortizării dacă modelul teoretic nu este la
rândul său exact.
5
La proiectarea unui FMC (Flutter Margin Control - controlul marginii de flutter)
trebuiesc avute în vedere următoarele:
1.
un anumit număr de moduri elastice trebuiesc controlate pentru ca amortizarea
fenomenului de flutter să se producă;
2.
optimizarea senzorilor şi poziţionarea suprafeţelor de control pentru a suprima
răspunsul câtorva moduri elastice simultan (este un obiectiv important);
3.
este necesar să se dezvolte o strategie foarte complexă pentru control, atunci când sunt
descoperite multe combinaţii de inerţie;
4.
bine cunoscutele metode pasive de control ale fenomenului de flutter trebuiesc probate
înainte de a fi luate în considerare tehnologiile active;
5.
etanşeitatea sistemelor clasice de comandă cu reacţie după stare (feedback) care s-ar
dovedi necesare pentru variantele de FMC, necesită amplificări mari care pot induce
instabilităţi.
1.2. PROGRAMELE MAJORE PENTRU CONTROLUL DINAMICII RIGIDE ŞI
ELASTICE
Rezultatele prezentate în cele ce urmează nu sunt uşor de separat fiindcă obiectivele lor
se întrepătrund; presupun reducerea încărcării şi extinderea performanţelor aeronavei în diferite
moduri.
În general, o îmbunătăţire într-o anumită sferă (de exemplu GLA) poate avea şi efecte
precum o îmbunătăţire în alte sfere (RCS), dar se poate întâmpla ca obiectivele să fie în conflict.
Flexibilitatea aripii serveşte ca absorbant de şocuri şi la elasticitatea suspensiilor vehiculului
(aeronavei) şi orice degradare a flexibilităţii acesteia poate dăuna calităţii zborului şi încărcării
fuzelajului.[3]
1.2.1. Diminuarea sarcinii la rafală
În timp ce esenţa problemei constă în reducerea amplitudinii maxime a răspunsului
structurii la perturbaţii şi disiparea încărcărilor structurii într-un mod rapid, trebuie să facem o
apreciere a procesului implicat.
6
Există patru aspecte ce trebuie evidenţiate:
1.
incidenţa indusă de rafală;
2.
răspunsul structurii la noile forţe;
3.
întârzierile în creşterea portanţei adiţionale;
4.
schemele de control şi hardware-ul pentru îmbunătăţirea răspunsurilor induse de rafală.
Când un avion zboară printr-o zonă de tulburenţă atmosferică vor exista perturbări ale
vitezei pe toate cele trei direcţii.
Fig. 1.11. Efectul unei rafale verticale
Pentru convenienţă vom discuta numai despre componenta verticală wg , dar toate cele
trei vor contribui la încărcările rafalei, deriva fiind puternic afectată de componenta laterală
v g , de exemplu.
Forţele induse pe aripă de aceste fluctuaţii sunt legate de incidenţa rafalei care, pentru
un wg pozitiv (în jos) este  g = − wg / U .
În acest fel o rafală pozitivă reduce portanţa locală şi ne aşteptăm ca aripa să cadă,
viteza sa locală devenind z . Atunci, în acelaşi mod cum o rafală ce are viteza wg relativă la
aripă produce Lg , o viteză transversală z a aripii relativ la fluid produce o altă componentă
a portanţei bazată pe incidenţa indusă z / U .
7
În mod clar, răspunsul z depinde de inerţia avionului şi de alţi parametri care vor
determina ca funcţia z ( t ) să fie dominată de frecvenţele scurtei perioade şi ale fugoidei,
precum şi de frecvenţele naturale ale acţiunii elastice, pentru care excitaţia  g ( t ) este
independentă de răspuns şi are componente de frecvenţă care depind de mecanismul
atmosferic.
O descriere simplă a acestor interacţiuni este reprezentată în Figura 1.12. [3]
 g =w g /U
 flight +
−
+
 total
 r =z/U
viteza transversală a aripii
creştere
portanţă
L=αtotalqSCL
inerţie şi
elasticitate
structură
forţe reale pe structură
Fig. 1.12. Efectul unei rafale verticale
Programul presupune un număr de încercări şi anume:
1.
măsurarea rafalei în fluid, sau măsurarea unui răspuns care este o manifestare a rafalei
(un efect);
2.
determinarea poziţiei în care trebuie dezvoltate forţele pentru contracararea răspunsului
indus de rafală;
3.
controlul mecanismelor elementelor de execuţie ale suprafeţelor de comandă folosind
semnalele unor senzori.
8
Prima problemă, adică măsurarea (deducerea) incidenţei rafalei, este dificil de rezolvat
datorită întârzierilor ce apar între semnalul măsurat şi intrarea în sistemul activ de comandă.[3]
wg
Creşterea portanţei
Prima integrare
Acceleraţii
A doua integrare
Viteze
Deplasări
Fig. 1.13. Întârzieri în determinarea deplasărilor
În principiu trebuie obţinută o măsurare corectă a lui wg ( t ) printr-o priză de aer
montată în faţă pentru a permite o anticipare a fenomenelor ce vor afecta aripa, dar în practică:
•
prizele de aer sunt supuse îngheţării şi altor pagube;
•
o singură priză de aer pe fuzelaj nu este suficientă pentru a avea o imagine clară
a vitezei atmosferei;
•
interferenţa fuzelajului necesită o calibrare a prizei de aer.
Actualmente, accelerometrele poziţionate în diverse locuri pe aripă oferă semnale mai
bune decât prizele de aer.
Dacă semnalul primit de la senzor permite deducerea regiunilor de pe aripă care sunt
supuse unor rafale de vânt, atunci flapsurile sau spoilerele din aceleaşi regiuni pot contracara
forţele nedorite (Figura 1.14).
Acest lucru nu este aşa de simplu pentru că suprafeţele de control nu sunt aşa de
extensiv distribuite încât contracararea să se poată face local.
Fig. 1.14. Diminuarea sarcinii la rafală
9
1.1.1. Reducerea oboselii
Pentru a creşte rezistenţa la oboseală, sistemele FR minimizează
amplitudinea şi/sau numărul ciclurilor de vibraţie tranzitorii al căror subiect
poate fi structura aeronavei în timpul turburenţelor atmosferice. Această
funcţie a tehnologiei controlului activ nu a fost implementată încă fizic pe
un avion, obiectivele ei fiind atinse indirect prin combinarea celorlalte cinci
funcţii.
1.1.2. Controlul zborului
Are ca scop îmbunătăţirea confortului pasagerilor şi a echipajului în
timpul zborului, prin reducerea suprasarcinilor (limitarea acestora) ce sunt
cauzate de manevrele avionului. Pentru un bombardier, de exemplu, RC
trebuie să reducă aceste suprasarcini numai la nivelul echipajului, dar pentru
un avion de transport pasageri, RC-ul trebuie să-şi îndeplinească rolul de-a
lungul întregului avion. Desigur, cerinţele misiunii unei aeronave
influenţează considerabil scopul şi proiectarea acestui sistem folosit pentru a
îmbunătăţi condiţiile de zbor.
1.2. SISTEMELE DE CONTROL ALE POZIŢIEI AERONAVEI
1.2.1. Relaxarea stabilităţii statice (Relaxed Static Stability-RSS)
Tehnologiile de control activ reprezintă utilizarea sistemelor de
comandă automată a zborului (AFCS) multivariabile în scopul îmbunătăţirii
manevrabilităţii, a caracteristicilor dinamice în zbor sau a proprietăţilor
structurale ale avionului prin acţionarea simultană, adecvată a unor
suprafeţe de control sau a generatoarelor de forţe şi momente auxiliare
astfel încât fie că sarcinile la care este supus avionul sunt cu mult mai
1
reduse faţă de cazul neutilizării ACT sau gradul de manevrabilitate al
avionului este mult mai ridicat decât cel al avioanelor convenţionale.
Lw (  )
Lt (  )

lw
lt
Fig. 1.15. Forţele adiţionale datorate perturbaţiei 
Momentul în raport cu CG este de forma
M = M a + Lwlw − Lt lt
(0.1)
dM a
dM
0
=0
d
d
(0.2)
Se obţine condiţia următoare:
lw
dLw
dL
dL
dL
− lt t  0  lw w  lt t
d
d
d
d
(0.3)
Atenuarea efectelor rafalelor (Gust Load Alleviation-GLA)
Dacă se consideră doar scurta perioadă a dinamicii longitudinale
împreună cu modurile elastice, se obţine următorul vector de stare:

x = 

q 1 1 2

2 3 3 4 4 5 5 

(0.4)
 x = Ax + Bu

 y = az = Cx + Du
(0.5)
 e 
u= 
 c 
(0.6)
Comanda fiind de forma
2
Problema GLA(Gust Load Alleviation)
Constă în determinarea comenzilor  e şi  c astfel încât a z să fie
minimizată în sensul

t
J =  az2 (t )dt =  ( Cx + Du ) ( Cx + Du ) dt 
T
0

(0.7)
0
(
)
J =  xT C T Cx + u T DT Cx + xC T Du + u T DT Du dt
(0.8)
0
T

 x  Q
J =    T
u
L
0  

L   x
 xT
dt
=




R  u 
0

Q
u T   T
L
L   x
dt 
R  u 
(
)
J =  xT Qx + uT LT x + xT Lu + u T Ru dt
(0.9)
(0.10)
0
Introducem o nouă comandă de tipul
u~ = u + R−1LT x  u = u~ − R−1LT x
x

J =  ~
−1 T 
0 u − R L x 


x 
J =  ~
u
0 
T
T
Q
 LT

 I − LR −1   Q

 T
I  L
0
(0.11)
Lx

dt 
~

−1 T 
R  u − R L x 
L I
R  − R −1LT
0  x 
dt
I  u~ 
(0.12)
(0.13)
Se face notaţia
Q − LR −1LT
=
LT

0  I
  −1 T
R  − R L
3
0 Q − LR −1LT

I  
0
0

R
(0.14)
T

 x  Q − LR −1LT
J =   
u
0
0   

(
0   x
   dt
R  u 
)
(0.15)
J =  xT Qx + uT Ru dt
(0.16)
Q := Q − LR −1 LT

−1 T
u = u − R L x
(0.17)
 e 
k  + k12 q 
u =   = Kx =  11

k21 + k22 q 
 c 
(0.18)
0
Dacă se scriu indicaţiile girometrelor sub forma
v1 = k11 + k121 + k132

v2 = k21 + k221 + k232
v = k  + k  + k 
31
32 1
33 3
 3
(0.19)
Se deduce
   k11 k12
  =  k
 1   21 k22
2  k31 k32
k13 
k23 
k33 
−1
v1 
v 
 2
v3 
(0.20)
Observaţie
Constantele de timp ale giroscoapelor integratoare sau ale
accelerometrelor sunt neglijate.
Controlul direct al portanţei (DLC-Direct Lift Control)
Se consideră scurta perioadă de forma
   Z
q  =  M
   
1   Z e
+
M q   M  e
Considerăm două situaţii[52]
4
Z L   e 
M  L   L 
(0.21)
1)
 = ct . Se impun condiţiile
 = Z 

q = M  
(0.22)
q + Ze e + ZL L = 0

M q q + M e e + M L L = 0
(0.23)
 e 
 Ze
  = −  M
 e
 L
ZL 
M L 
−1
1

 M q

q

(0.24)
Pentru  = ct
-M δL +M q ZδL
q
1
Zδe M δL -M δe Zδe
δe
δL
-M q Zδe +M δe
Fig. 1.16. Controlul direct al portanţei - cazul  = ct
2)
Dacă menţinem constant unghiul de tangaj
( = ct ) ,
impunem
următoarele condiţii:
 = q

q = M q q
 Z e
M
 e
(0.25)
ZL   e 
 Z 
= −  



M L   L 
M  
5
(0.26)
− M δL +M q ZδL

1
Zδe M δL -M δe Zδe
-M q Zδe +M δe
δe
δL
Fig. 1.17. Controlul direct al portanţei - cazul  = ct
1.3. DINAMICA AERONAVEI CONSIDERATĂ CORP FLEXIBIL
1.3.1. Mişcarea de încovoiere a aripii
Forţa de portanţă L a unei aripi este definită de relaţia
L = 1/ 2 V 2 SCL 
(0.27)
pentru    critic .
În relaţia de mai sus s-au folosit următoarele notaţii:
 pentru densitatea aerului;
 pentru unghiul de atac,
S pentru suprafaţa aripii,
CL pentru coeficientul de portanţă
V pentru viteza curentului de aer.
Considerăm avionul ca fiind un corp rigid având reprezentarea din
Figura 1.18
α
1 2
ρv SC L α
2
L (α)
Fig. 1.18. Reprezentarea avionului-corp rigid
6
Presiunea dinamica este definită de relaţia
q = 1/ 2 V 2
(0.28)
L = qSCL = Kw
(0.29)
De aici rezultă
qSCL = K w
unde s-a folosit notaţia
Ecuaţia ultimă poate fi reprezentată ca în Figura 1.19 pentru toate
valorile  (mai mici decât incidenţa critică), adică pentru toate valorile
unghiului de atac pentru care relaţia dintre  şi L rămâne liniară. [3]
Aripa rigidă
 (s)
L (s)
Kw
Fig. 1.19. Diagrama bloc a aripii ideale
Dacă o aripă rectangulară, considerată rigidă, cu coarda c şi
semianvergura b / 2 este articulată la rădăcină (Figura 1.20), aripa are grade
de libertate doar la încovoiere.
Unghiul de încovoiere  este considerat pozitiv atunci când vârful aripii
este în jos. Arcul are rigiditatea K s , ceea ce reprezintă rigiditatea
încovoierii aripii în modul fundamental.
y
c
b/2
Fig. 1.20. Aripa articulată la rădăcină
7

Se consideră cazul unei aripi dreptunghiulare supuse unei mişcări de
încovoiere şi se fac notaţiile
b − anvergura aripii

b / 2 − lungimea
c − coarda aripii

Pentru atmosferă liniştită avem următoarea ecuaţie de mişcare:
I  + Ks = 0
(0.30)
K s reprezintă coeficientul de rigiditate al încovoierii.
Aripa, de asemenea, are un moment de inerţie I dat de formula
I=

 my 2
(0.31)
aripa
unde  m este elementul de masă.
Acestă relaţie este adevărată numai într-o atmosferă ideală şi atunci
când amortizarea structurii nu este luată în consideraţie.
Ecuaţia de mai sus se mai poate scrie sub forma
 +  2 = 0
(0.32)
unde frecvenţele naturale ale mişcării elastice sunt date de relaţia
 = ( Ks / I )
1/ 2
(0.33)
În cazul în care aripa este situată într-un curent de aer cu viteza
relativă V se poate scrie
I  + K s  = −1/ 2 V CL
2
b/2
y 
 c y  V   dy =
0
= −1/ 2 V 2CL 
b/2

0
= −qCL
S=
2
cy
c b3
dy = −qCL
 = (0.34)
V
v 24
K b2
bS
=− w 
12V
12V
2
cb
2
(0.35)
8
I  + Ks = −
K wb 2

12V
K w := q CL S
I  + Ks +
(0.36)
(0.37)
K wb 2
 =0
12V
(0.38)
K wb 2
 =0
12VI
(0.39)
 + ( K s / I ) +
ceea ce este echivalent cu
 + 2 +  2 = 0
=
Ks
I
(0.40)
(0.41)
unde s-a folosit notaţia
K wb 2
 =
24 IV
K wb 2
I
=
K s 24V IK s
(0.42)
În concluzie, mişcarea aripii este caracterizată de o ecuaţie
diferenţială liniară de ordinul doi.[52], [53]
1.3.2. Mişcarea de torsiune a aripii
Se consideră aceeaşi aripă, articulată la un capăt asfel încât să
permită doar un singur grad de libertate.
În absenţa turbulenţelor atmosferice şi a amortizării vibraţiilor
structurii, ecuaţia mişcării de torsiune este de forma
I  + K  = 0
(0.43)

 I − moment de inerţie

2
 I =  ( x − xi )  m
aripa


 K − coeficient de rigiditate
(0.44)
9
Frecvenţa naturală este dată de relaţia
2 =
K
(0.45)
I
Atât timp cât viteza curentului de aer faţă de aripă este V , o forţă
aerodinamică portantă acţionează având punctul de aplicaţie la distanţa hc
faţă de bordul de atac.[3]
Se obţine
I   + K  =
b/2
 1/ 2V
2
CL  hc 2 dy =
0
= 1/ 2 V 2CL 
b/2
c
2
hdy = qCL hc 2
(0.46)
b/2
 dy = qC  hcS = chK 
L
0
w
0
I  + ( K w − c hK w ) = 0   +  2 = 0
y
(0.47)
Axa Elastica
x1

x1
x
x
Fig. 1.21. Torsiunea aripii
Se observă că nu există amortizare dinamică; forţele aerodinamice
contribuie la rigiditatea structurii. Se poate deduce din ecuaţia de mai sus că
mişcarea de torsiune este oscilatorie (mişcare armonică simplă) la o
frecvenţă dată de relaţia
2 =
K − c hK w
I
10
(0.48)
Portanta
V
Axa Elastica

hc
c
Fig. 1.22. Poziţia centrului aerodinamic
Când h este pozitiv, această frecvenţă se reduce cu presiunea
dinamică q . Torsiunea poate deveni instabilă când este indeplinită
inegalitatea
chKW  K w .
(0.49)
Viteza la care avem egalitate în relaţia de mai sus este cunoscută ca
viteza de divergenţa a aripii VD dată de relaţia
VD =
2 K
 SCL ch
(0.50)
În practică, efectele aerodinamice instabile sunt prezente şi se
introduc amortizări aerodinamice. O imagine despre modul în care pot să
apară condiţiile de instabilitate este dată în figura de mai jos în care funcţia
de transfer este obţinută uşor. Momentul de torsiune M este proporţional cu
portanţa şi cauzează o deflexie  .
Relaţia dintre momentul de torsiune M şi portanţă este descrisă de
K1 iar dintre moment şi deflexie este dată de K 2 .
L (s)
 (s)
=
KW
qCL S
=
1 − K1K 2 KW 1 − K1K 2 qCL S
(0.51)
Sistemul devine instabil (portanţa creşte nelimitat) atunci când
q=
1
K1 K 2CL S
sau când
11
(0.52)
VD =
 (s)
+
2
(0.53)
K1 K 2  SCL
L (s)

Kw
+
M ( s )
 (s)
K2
K1
Fig. 1.23. Apariţia condiţiilor de instablitate
Ecuaţiile de mai sus devin identice atunci când
K1 = ch
(0.54)
K 2 = 1/ K
(0.55)
12
1.1. MIŞCĂRI CUPLATE
Presupunem că aripa dreptunghiulară încastrată are două grade de
libertate, adică poate avea o mişcare de încovoiere şi o mişcare de torsiune.
În atmosferă calmă ecuaţiile celor două mişcări cuplate sunt date de relaţiile
[52]
I  + I   + K s  = 0
(0.1)
I   + I   + K  = 0
(0.2)
Momentul de inerţie este dat de relaţia
 ( x − x ) y m = m ( x
I  =
f
cm
− x f ) ycm
(0.3)
aripa
unde s-a notat cu cm centrul de masă iar notaţiile xcm şi ycm desemnează
coordonatele centrului de masă al aripii.
Frecvenţele naturale ale mişcării cuplate se calculează din relaţia
( − I
2
+ Ks
)( − I 

2
)
+ K − I   4 = 0
(0.4)
Una dintre frecvenţe are valoarea puţin mai mare decât frecvenţa
naturală a mişcării de torsiune. Cealaltă frecvenţă are valoarea cu puţin mai
mică decât frecvenţa naturală a mişcării de încovoiere. Modul asociat cu
prima frecvenţă naturală a mişcării cuplate este compus dintr-o mişcare care
este una de torsiune în primul rând, cuplată cu o mişcare de încovoiere mai
puţin sesizabilă. Cealaltă frecvenţă naturală este compusă dintr-o mişcare de
încovoiere predominantă, cuplată cu o mişcare de torsiune. [52]
Atunci când aripa este într-un curent de aer cu viteza relativă V ,
ultimele ecuaţii devin
1
I  + I   + K s  = −q
Sb

 b
CL 
+ =
2
2
 6V
b b

= KW 
 + 
4  3V

(0.5)
  b
 M c 
I  + I   + K s  = KW h 
 +   +   (0.6)
 CLV 
  4V
Din studiul mişcărilor cuplate se determină
 m
mx b   y  ch + UbCL
U 2b 2CL (1/ 2 − a)   y 
+
+




I     U 2b 2CM  C − U 2b3CL (1/ 2 − a )   
 mx b
(0.7)
 kh
Ub 2CL   y   − U 2bCLt 
+

  =  2 2
2 2
 0 k − U b CM      U b Cmt 
Unde
x − distanţa dintre centrul elastic şi centrul de masă
I  − momentul de inerţie de-a lungul axei elastice
b − lungimea semicoardei,  − densitatea aerului
kh , k − coeficienţi de rigiditate
Datele nominale [6] sunt următoarele:
U = 6m / s ,
x = 0.2466 ,
a = −0.6 ,
m = 12.38 kg ,
kh = 2844.4 ,
b = 0.135 m ,
k = 3.525 Nm/rad ,
I = 0.065 kgm 2 ,
ch = 27.43 kg / s ,
c = 0.036 kgm 2 / s , cL = 6.28 , cM = −0.635 , cLt = 3.358 , cmt = 12.387 .
2
Se impune condiţia de determinare
 = k1 y + k2 y + k3 + k4
(0.8)
astfel încât să se mărească factorul de amplificare şi viteza de “fluturare”.
Folosind o metodă de stabilizare cu alocare de poli bazată pe
inecuaţii matriceale liniare se determină legea de comandă de forma
 (t ) = 44.1008 y(t ) + 3.8667 y (t ) + 1.0051 (t ) − 0.0042 (t ) (0.9)
1.2. DINAMICA UNUI AVION FLEXIBIL
Când efectele aeroelastice trebuiesc luate în considerare, este
necesar să se îmbunătăţească ecuaţiile avionului considerat a fi corp rigid
prin adăugarea la variabilele de stare a unui set de coordonate generalizate
asociate cu modurile elastice normale şi care trebuie calculate presupunând,
în primul rând, că avem de-a face cu un comportament structural liniar şi, în
al doilea rând, că deplasările structurale sunt mici în comparaţie cu
dimensiunile aeronavei.
Aceste moduri elastice sunt modurile normale ale vibraţiilor, in
vacuo. Cu aceste ipoteze, fiecare mod este caracterizat de o frecvenţă
naturală distinctă  i şi de un vector caracteristic v .
Dacă se consideră modul cu numărul i ca fiind amortizat, acest
lucru poate fi reprezentat folosind coordonatele generalizate ale următoarei
ecuaţii diferenţiale de ordinul doi, [6]
Ai q + Bi qi + Ci qi = Qi
3
(0.10)
unde Qi este forţa generalizată iar Ai , Bi , Ci sunt coeficienţii coordonatelor
generalizate qi .
Se defineşte
x1 = qi , x2 = qi = x1
(0.11)
Din ultimele ecuaţii se deduce că
x1 = x2
(0.12)
 B 
C
1
x2 =  − i  x2 − i x1 + Qi
Ai
Ai
 Ai 
(0.13).
Modul elastic cu numărul i a fost reprezentat de două ecuaţii
diferenţiale, liniare, de ordinul al doilea (Schwanz, 1972). Într-un astfel de
mod este posibil să se îmbunătăţească dinamica corpului rigid cu perechi de
ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul I care corespund fiecărui mod elastic
luat în considerare.
De obicei, sunt incluse numai coordonatele generalizate qi care
reprezintă în mod adecvat efectele aeroelastice luate în considerare. Dacă,
de exemplu, un număr de moduri elastice sunt considerate a fi
reprezentative şi sunt luate în considerare în modelul matematic, este
convenţional ca modul 1 să fie considerat ca modul cu cea mai mică
frecvenţă naturală. Numărul modului merge în ordine crescătoare ca şi
frecvenţa asociată.
Este posibil ca scurta perioadă a avionului considerat să fie
comparată cu cea mai lungă perioadă de vibraţie 2 / 1 .
Contribuţia inerţiilor ( q ) şi a amortizărilor ( q ) vor fi deci neglijate.
De exemplu, dacă raportul perioadelor considerate este de 5:1 , termenii
Ai qi şi Bi qi nu vor depăşi mai mult de 5 0 0 din valoarea termenului Ci qi ;
4
este atunci posibil, în teorie, să se rezolve termenii de rigiditate ( qi ) în
funcţie de variabilele corpului rigid, care elimină din termenii aerodinamici
ai ecuaţiilor corpului rigid fiecare termen ( qi ) şi rezultă un set de ecuaţii
care au fost corectate pentru efectele aeroelastice.
La un avion modern, oricum, scurta perioadă nu este comparată cu
cea mai mare periodă de vibraţie. Rezultă aşadar că termenii de inerţie
trebuie incluşi. Pentru proiectanţii AFCS apare întrebarea firească
referitoare la ce moduri elastice trebuiesc luate în considerare pentru a
modela corect efectele aeroelastice.
În continuare sunt prezentate cele mai foloside metode. [3]
Metoda quasi-statică, în care mişcarea structurii este considerată a
fi în fază cu mişcarea corpului rigid. Acceleraţia asociată cu mişcarea
elastică este privită ca fiind instantanee. Aceasta este metoda subliniată
anterior şi se foloseşte în proiectarea AFCS numai atunci când proiectanţii
sunt siguri că există o separare clară între frecvenţele naturale ale corpului
rigid şi cele ale mişcării elastice.
Metoda exactă, în care mişcarea structurii este determinată de un
vector propriu care este o soluţie a ecuaţiilor de mişcare reprezentând
avionul considerat a fi un corp flexibil. În general este dificil să se obţină o
soluţie pe cale numerică din moment ce vectorii proprii sunt complecşi.
Metoda substituţiei modale, în care mişcarea structurii se
presupune a fi în vid şi este guvernată de vectori proprii ortogonali care
conţin numai numere reale.
Metoda rigidităţii reziduale, în care vectorii proprii reprezentând
mişcarea elastică din substituţia modală sunt separaţi în moduri reţinute şi
5
moduri şterse. În modurile şterse, termenii de inerţie şi amortizare sunt
neglijaţi. Ecuaţiile algebrice rezultate conţin numai termeni de rigiditate
care sunt folosiţi pentru a modifica ecuaţiile reţinute.
Modurile reţinute au cele mai joase frecvenţe, din moment ce s-a constatat
că energia elastică este predominantă în aceste moduri.
Metoda flexibilităţii reziduale care este similară cu metoda
rigidităţii reziduale, exceptând faptul că factorul de corecţie aerodinamică
provine de la modurile reţinute şi nu de la cele şterse. [3]
Metoda truncherii modelului, în care modurile şterse ale rigidităţii
reziduale nu sunt reprezentate de nici un factor de corecţie. Această metodă
este cea mai folosită în proiectarea AFCS, de obicei în asociere cu metode
cvasi-statice. Este important pentru proiectanţi să verifice aceste formulări
la punctele critice de proiectare din moment ce ar putea fi inadecvat să se
considere modurile elastice în vid, mai ales atunci când amortizarea
aerodinamică este prezentă.
6
1.3. REPREZENTAREA MATEMATICĂ A DINAMICII UNUI AVION
CONSIDERAT CORP FLEXIBIL
Presupunând că nu există cuplare între mişcarea longitudinală şi cea
laterală, mişcarea unui avion în jurul unui punct de echilibru (zbor la nivel)
având perturbaţii mici, poate fi reprezentată folosind sistemul de axe de
stabilitate şi două seturi independente de ecuaţii.
1.3.1. Mişcarea longitudinală
Ecuaţiile de mişcare pentru dinamica longitudinală sunt:
m
u = X u u + X w w − g +  X  i i
(0.14)
i =1
m
w = Z u u + Z w w − (U 0 + Z b ) q  Z i i
(0.15)
i =1
m
q = M u u + M w w + M w w + M q q +  M  i i
(0.16)
 =q
(0.17)
i =1
1.3.2. Mişcarea laterală
Ecuaţiile de mişcare pentru dinamica laterală sunt:
 = Yv  − r +
s
g
 +  Y*i  i
U0
i =1
(0.18)
s
 = L'  + L'  +  L'  i
i =1
7
i
(0.19)
s
r = N '  + N '  +  N' i  i
(0.20)
 = ,  = r
(0.21)
i =1
S-a presupus că există m intrări (comenzi); pentru orice avion
convenţional, de obicei, m are voloarea 2 şi comenzile sunt bracajul de
profundor  E şi comanda motorului  th .
Pot exista mai mult de două comenzi, adică m va fi mai mare de 2.
Similar, pentru mişcarea laterală, s-a presupus că există s intrări;
pentru orice avion convenţional, s este egal cu 2, de obicei comenzile sunt
bracajul de eleroane  A şi bracajul direcţiei  R .
Tabelul 1.1. Simboluri utilizate
 − unghi de atac
 − unghi de alunecare
q − viteză de tangaj
p − viteza de ruliu
 j − deplasarea modului elastic simetric
r − viteză de giraţie
 E − bracajul de profundor
 − unghi de ruliu
 − unghi de giraţie
 th − comanda motorului
 A − bracajul eleroanelor
U 0 − viteza de echilibru
 R − bracajul direcţiei
g − acceleraţia gravitaţională
VBMx − momentul de încovoiere vertical în
punctul x
l −
deplasarea
modului
elastic
asimetric l
lx − distanţa de la centrul de greutate
azx − acceleraţia verticală în punctul x
la punctul x
azy − acceleraţia laterală în punctul x
S BMx − momentul modului elastic.
8
Presupunem că efectele elastice ale unui avion sunt considerate
adecvat reprezentate, folosind metoda trunchierii modale, în mişcarea
longitudinală, de 5 moduri elastice (1, 5, 7, 8 şi 12) şi în mişcarea laterală
tot de 5 moduri elastice (1, 2, 3, 9, 10).
Pentru mişcarea longitudinală vectorul de stare poate fi definit ca

x ' = 


q 1 1 5
5 7 7 8 8 12 12  (0.22)

Pentru mişcarea laterală vectorul de stare corespunzător poate fi
definit ca
x ' =  

 r  1 1
 2  2  3  3  9  9  10  10  (0.23)

Simbolurile folosite sunt explicate în Tabelul 1.1.
Ecuaţiile corespunzătoare mişcării longitudinale se prezită astfel [3]
m
 = Z  + q +  Z j j + Z  1 + Z  1
1
j =1
(0.24)
1
m
q = M   + M   + M q q +  M  j j + M 1 1 + M 1 1 (0.25)
j =1
(
)
1 = − 2 11 + 1 1 + ( −12 + 1 ) 1 + 1  + 1 q + 1  j (0.26)
1
m
1
q
j =1
j
iar cele corespunzătoare mişcării laterale sunt date de ecuaţiile
(
)
5 = − 2 55 + 5 5 + ( −52 + 5 ) 5 + 5  + 5 q + 5  j (0.27)
(
5
)
m
5
q
j =1
j
7 = − 2 77 + 7  7 + ( −72 + 7  ) 7 + 7 8 + 7 8 + 7  + 7 q + 7  j
7
m
7
8
8
q
j =1
(0.28)
9
j
(
)
8 = − 2 88 + 8 8 + ( −82 + 8 ) 8 + 8 7 + 8 7 + 8  + 8 q + 8  j
8
m
8
7
7
q
j =1
(0.29)
m
12 = − ( 2 1212 ) 12 − 12 212 + 12  + 12 q + 12  j
q
j
j =1
(0.30)
 = Yv  + Yp* p − r +
s
g
 +  Y*i  i + Y 9  9 + Y 9  9
U0
i =1
(0.31)
v
p = L'  + L'p p + L'r r +  L'i  i + L' 9  9 + L' 9  9 ;  = p
i =1
(0.32)
v
r = N   + N p + N r +  N' i  i + N' 9  9 + N' 9  9 ;  = r (0.33)
'
'
p
'
r
i =1
v
 1 = −2 A A 1 −  A2 1 + 1  + 1 p + 1 r +    i
p
r
i
j =1
(0.34)
s
 2 = −2 BB 2 − B 2 2 + 2  3 + 2  3 + 2  + 2 p + 2 r +  2  i
3
p
3
r
i
j =1
(0.35)
s
 3 = −2 CC  3 − C 2 3 + 3  2 + 3  2 + 3  + 3 p + 3 r +  3  i
2
p
2
r
j =1
i
(0.36)
s
 9 = −2 DD 9 − D 2 9 + 9  10 + 9  10 + 9  + 9 p + 9 r +  9  i
10
p
10
r
j =1
i
(0.37)
s
 10 = −2 EE  10 − E 2 10 + 10  9 + 10  9 + 10  + 10 p + 10 r +  10  i
9
9
p
r
j =1
i
(0.38)
10
j
Se remarcă faptul că există cuplare în mişcarea longitudinală între
modurile elastice 7 şi 8. Există de asemenea cuplaj în mişcarea laterală între
modurile 2 şi 3 şi între modurile 9 şi 10.
Dacă vectorii de stare sunt aleşi ca fiind cei definiţi de ecuaţiile de
mai sus, atunci
 
ulat =  A 
 R 
(0.39)
Matricele derivatelor de stabilitate se pot exprima astfel [3]
Blong
 −0.07
 3.74

 0

 22.52
 0

−18.3
= 
0

−
22.93

 0

 −4.41

 0
 36.57
11
−0.006 
−0.276 
0 

−0.765 
0 

−2.14 
0 

−2.1 
0 

−1.37 

0 
3.993 
(0.40)
Blat
Along
 15.78
 −0.794

 0.052

 0
 0

 0
 2.14

= 0
 0.4

 0

 4.716
 0

 −43.9
 0

 9.657
−274.47 
−0.312 
−4.32 

0


0

0

−25.68 

0

−4.32 


0

7.132 

0

0.254 

0

−2.132 
(0.41)
1
−0.03 −0.003
0
0
0
0
0
0
0
0 
 −1.6
 6.9
−
2.24
0.039
0.03
0
0
0
0
0
0
0
0 

 0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0 


−
283.3
−
17.53
−
56.81
−
5.53
0
0
0
0
0
0
0
0


 0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0 


−53.1
9.71
0
0
−231.39 0.09
0
0
0
0
0
0 
= 
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0 


9.52
0
0
0
0 −348.87 −2.68 −10.71 −0.52
0
0 
 −82.4
 0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0 


 12.1
2.2
0
0
0
0
1.24
−0.176 −390.1 −0.474
0
0 


0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1 
 0
 −147.1 5.24
0
0
0
0
0
0
0
0
−1466.1 −1.75
(0.42)
12
4.9
6724 385 0
0
0
0
0
0
0
−103.6
5.5
0
0 
 −0.18
 −0.004 −2.26 −0.343 0 0

0
0
0
0
0
0
0.864
0.046
0
0


 −0.0037 0.06
0.413
0 0
0
0
0
0
0
0
−0.437 0.001
0
0 


1
0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 
 0
 0
0
1
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 


0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0 

 −0.01
−7.98 −10.63 0 0 −97.67 −1.89
0
0
0
0
0
0
0
0 


Alat =  0
0
0
0 0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0 
 −0.003 −32.27 −1.61 0 0
0
0
−151.0 −3.57 150.1 3.73
0
0
0
0 


 0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0 


6.73
2.35
0 0
0
0
8.72
0.6 −160 1.54
0
0
0
0 
 0.0043
 0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0 


−
0.0027
−
4.35
−
4.5
0
0
0
0
0
0
0
0
−
532.64
−
1.72
3.25
−
0.36


 0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1 


0
0
0
0
0
0
1.54
0.92 −930.3 −2.3 
 −0.018 −2.27 −14.29 0 0
(0.43)
Forma matricei coeficienţilor în ecuaţia scrisă în spaţiul stărilor
pentru mişcarea longitudinală sau cea laterală este dată de

termenii corpului rigid
termenii cuplării efectelor aeroelastice 


termenii flexibilităţii structurale 
 termenii de cuplare a corpului rigid
(0.44)
Această formă poate fi dedusă din matricele coeficienţilor din
ecuaţiile matricelor de stare şi de comandă. Valorile proprii asociate
mişcării longitudinale şi celei laterale sunt date în Tabelul 1.2.
Dacă este nevoie să se măsoare acceleraţia mişcării avionului
considerat a fi corp rigid, un accelerometru ar trebui plasat în centrul de
greutate al avionului. În practică nu este posibil (sau este foarte dificil) ca un
senzor de orice natură să fie plasat cu mare precizie în centrul de greutate,
dar poate fi plasat la o anumită distanţă (notată l x ) de centrul de greutate.
Această distanţă va fi considerată pozitivă dacă senzorul este situat înaintea
centrului de greutate al avionului; şi va fi considerată negativă în caz
contrar.
13
Acceleraţia normală măsurată de senzor este de forma
azx = azcg − lx q
(0.45)
Tabelul 1.2. Valorile proprii asociate mişcării longitudinale şi celei laterale
Longitudinal
Lateral
0.0
−0.0024
−0.703  2.68 j
−2.264
−2.982  6.994 j
−0.356  1.577 j
−0.046  15.21j
−0.094  9.838 j
−1.348  18.65 j
−0.479  10.952 j
−0.23  19.73 j
−2.076  13.626 j
−0.89  38.28 j
−0.856  23.068 j
−1.156  30.466 j
Atunci când efectele elastice sunt incluse în dinamica avionului,
acceleraţia (apărută ca efect al mişcării structurii) trebuie adăugată în
ecuaţie astfel încât acceleraţia normală devine
azx = U 0 ( − q ) − lx q +  x ,11 +  x ,55 +  x ,7 7 +  x ,88 +  x ,12 12
(0.46)
Dacă y = a zx atunci y = Cx + Du
C = C11 C12
C13
C14
C15
C16
C17
C18
C19
C110
C111 C112 
(0.47)
în care
U 0 Z − lx ( M  + M &Z ) +  x ,11 +  x ,55 +  x ,77
C11 = 
+ x ,88 +  x ,1212
14
+ 



C12 = −lx ( M q + M  ) +  x ,11q +  x ,55q +  x ,77q +  x ,88q +  x,1212 q
(
C13 =  x ,1 1 1 − 2 11
(
C14 =  x ,1 1 1 − 12
)
)
(
C15 =  x ,5 5 5 − 2 55
(
C16 =  x ,5 5 5 − 5 2
(

)
)
)
C17 =  x ,7 7 7 − 2 77 +  x,88 7
(
)
C18 =  x ,7 7 7 − 7 2 +  x ,88 7
(
)
C19 =  x ,8 8 8 − 2 88 +  x,77 8
(
)
C110 =  x ,8 8 8 − 8 2 +  x ,78 8
C111 = − x ,12  2 1212
C112 = − x ,12  12 2
(U 0 − lx M &) Z E − lx M  E +  x ,11 E +  x ,55 E
D=
+ x ,77 E +  x ,88 E +  x ,1212 E
(0.48)
+ 
 (0.49)

Similar, atunci când efectele elastice laterale sunt incluse, acceleraţia
laterală la distanţa l x faţă de centrul de greutate şi l z (măsurată pozitiv în
jos) este dată de relaţia [3]
a yx = v − g  + U 0 r + l x r − l z p +  y ,1 1 +  y ,2 2 +  y ,3 3 +  y ,9 9 +  y ,10 10
(0.50)
15
Coeficienţii  x ,i
şi  y ,i
se numesc coeficienţii deplasărilor
modurilor elastice şi se vor obţine din graficele deplasărilor modurilor
elastice în funcţie de structura aeronavei nedeformată; sunt date de către
producătorul aeronavei. Dacă nu sunt date de producător, atunci pot fi
obţinute numai prin metode experimentale.
Într-un mod similar, semnalele produse de giroscoapele utilizate
drept senzori sunt de asemenea afectate de efectele elastice. Dacă un
giroscop vertical este utilizat pentru a măsura înclinaţia locală a fuzelajului
sau a aripii într-un punct A înseamnă că pentru mişcarea longitudinală este
valabilă următoarea relaţie:
A =  +  A j
j
(0.51)
j
şi pentru mişcarea laterală
 A =  +   Aj  j
(0.52)
j
Giroscopul măsoară, în punctul A vitezele unghiulare q A şi rA care
sunt date de formulele de mai jos
q A = q +   Aj  j
(0.53)
rA = r +   Aj  j
(0.54)
j
j
16
1.1. EFECTELE DE CREŞTERE A PORTANŢEI
Aparţinând efectelor aerodinamice nestaţionare, portanţa nu este
generată instantaneu. Astfel de efecte de creştere a portanţei sunt modelate
utilizând aproximaţii precum funcţiile Wagner şi Kussner.
Funcţia Wagner notată de obicei cu w ( t ) (a nu se confunda cu
viteza verticală w a aeronavei faţă de curentul de aer) defineşte variaţia
portanţei în timp pentru orice schimbare a unghiului de atac  .
Funcţia Kussner, notată cu k ( t ) defineşte variaţia portanţei în timp
pentru orice schimbare a puterii motorului.
De obicei, funcţiile sunt aproximate şi una dintre desele aproximări a
funcţiei Wagner este de forma [3]
(
)
(
w ( t ) = 0.5 + 0.165 1 − e − t + 0.335 1 − e −bt
a = 0.0455 ( 2U 0 / c ) , b = 0.3 ( 2U 0 / c )
se consideră U 0
)
(0.1)
(0.2)
ca fiind viteza la echilibru, iar c este coarda medie
aerodinamică.
Figura 1.24 arată faptul că funcţia Wagner poate fi inclusă în
dinamica aeronavei.
Una din cele mai folosite aproximaţii ale funcţiei Kussner este
funcţia Jones a creşterii portanţei care este definită pentru U 0 = 195ms −1 şi
c = 6.88 m de relaţia
1
k ( t ) = 1 − 0.23  e −0.8t − 0.513  e −10t − 0.171 e −33.3t (0.3)
Din moment ce transformata Laplace a funcţiei Jones este de forma
1 0.236 0.513 0.171
K (s) = −
−
−
s s + 0.8 s + 10 s + 33.3
(0.4)
funcţia Jones poate fi obţinută aplicând un semnal treaptă unitate funcţiei de
transfer J ( s ) care este dată de relaţia [3]
J (s) =
0.189 5.139 5.665
+
+
s + 0.8 s + 10 s + 33.3
(0.5)
Diagrama bloc de generare a funcţiei Jones este dată în Figura 1.25.
2
Fig. 1.24. Diagrama bloc a dinamicii avionului
0.186
s + 0.81
Step gust
+
5.131
s + 10
+

+
5.3025
s + 10
Fig. 1.25. Diagrama bloc a funcţiei Jones
3
Output
1.2. MOMENTELE DE ÎNCOVOIERE
Dacă aeronava este considerată drept o bară simplă, momentul de
încovoiere al fuzelajului poate fi calculat cu ajutorul relaţiei
  −d 2i
Vbmi =  EI 
2
  dy
 

 
y =0
(0.6)
unde, conform teoriei modului normal, deplasarea în punctul i de pe fuzelaj
poate fi calculată cu ajutorul relaţiei [3]
−i =  i h + 12 +   ik k − 2
(0.7)
h = U 0 − w
(0.8)
k 2
h poate fi obţinut din
Se poate arăta că
−
d 2i d 2 i1
d 2i 2
d 2i 3
d 2i 4
=
h
+

+

+
2 + ... (0.9)
1
dy 2
dy 2
dy 2
dy 2
dy 2
Pentru modurile corpului rigid se poate scrie relaţia
d 2 i1 d 2 i 2
=
=0
dy 2
dy 2
(0.10)
  d 2 i 3
 
d 2i 4
Vbmi =  EI 

+
2 + ...  
1
2
2
dy
  dy
 
(0.11)
Atunci
4
Vbmi poate fi exprimat sub forma
Vbmi = M i11 + M i 2 2 + ...
(0.12)
1.3. MIŞCĂRILE DE OSCILAŢIE ALE PALELOR
Pala unui rotor de elicopter este o aripă rotativă, având un coeficient
de proporţionalitate mare, pala este flexibilă şi este caracterizată de
mişcările de vibraţie.
Forţele şi momentele care acţionează pe pala rotativă de lungime r
sunt ilustrate în Figura 1.26, care reprezintă cea mai simplă pală.
R
Forţe aerodinamice

mdr
Rotor
CI
z

Forţe inerţiale
r
Fig. 1.26. Pala rigidă articulată
Deplasarea în exteriorul planului se notează cu
z , braţul
momentului cu r , unghiul deplasării cu  , viteza unghiulară a rotorului cu
.
Se presupune că valoarea unghiului de deplasare nu este mare.
Din acest motiv se poate scrie relaţia următoare: [13], [42]
5
z =  r
(0.13)
Există un număr de forţe ce acţionează pe elementul de masă mdr
unde m este densitatea liniară a masei:
1. O forţă de inerţie (care se opune mişcării). Această forţă are un braţ
r , iar din Figura 1.26 se observă că
mz = mr 
(0.14)
2. O forţă centrifugală care acţionează radial spre exterior. Această
forţă are expresia de forma m2 r , braţul momentului fiind z .
3. O forţă aerodinamică perpendiculară pe elice. Pentru valori mici ale
deplasării, această forţă este portanţa L . Braţul momentului său este
r . Ecuaţia mişcării poate fi scrisă ca suma momentelor, sub forma
[3]
R
R
R
 mr  dr +  m r ( r  )dr −  F rdr = 0
2
z
0
0
R
(0.15)
0
(
R
)
2
2
 mr  +   dr =  Fz rdr
0
(0.16)
0
Dacă momentul de inerţie al palei rotorului este considerat ca fiind
R
J B =  mr 2 dr
(0.17)
0
(
R
)
1
 +  =
Fz rdr
J B 0
2
6
(0.18)
Prin utilizarea dimensiunilor temporale adimensionale, adică
 = t
(0.19)
şi a numărului Lock  definit de expresia
 =  acR 4 / J B
(0.20)
 +  =  MF
(0.21)
În ecuaţiile anterioare s-au folosit următoarele notaţii:
•
 — densitatea aerului
•
c — coarda palei rotorului
•
a — panta curbei portanţei în secţiunea bidimensională a palei.
Soluţia ecuaţiei de mişcare reprezintă un sistem neamortizat de ordinul
doi, liniar, cu o frecvenţă naturală de 1/rotaţie . Dacă forţele aerodinamice
au aceeaşi frecvenţă naturală numeric egală cu 1 , rezonanţa va apare în
timpul mişcării palei.
Momentul M F , determinat de forţele aerodinamice poate fi exprimat de
relaţia
M F = M  C + M T T + M   + M   + M  
(0.22)
unde  C reprezintă controlul ciclic,  T unghiul de torsiune al palei
rotorului,  viteza mişcării,  deplasarea şi  fluxul. Dacă se presupune
 = 1 , se obţine următoarea ecuaţie
7
 − M   + (1 − M  )  = M C + M  T + M   (0.23)
T
În zbor vertical, momentul mişcărilor periodice ca rezultat al forţelor
inerţiale, precum şi fluxul şi răsucirea palei sunt nule.
Aşadar
M F = M  C + M   + M  
(0.24)
 − M   + (1 − M  )  = M C
(0.25)
Aplicând transformarea Laplace ecuaţiei de mai sus se va obţine[12],
[13], [42]
(s
2
)
+ 2n s + n 2  ( s ) = n 2C ( s )
(0.26)
Diagrama bloc care defineşte ecuaţia de mai sus este dată în Figura
1.27.
c ( s )
n2
s 2 + 2n s + n2
 (s)
Fig. 1.27. Diagrama bloc a mişcării de oscilaţie a palei
Diagrama bloc este o reprezentare schematică a penultimei ecuaţii în
spaţiul stărilor pentru a se permite efectelor mişcărilor de vibraţie ale palei
să fie încorporate într-un mod facil în ecuaţia de stare reprezentând mişcarea
elicopterului. [3].
8
Se consideră
x1 =  , x2 =  = x1 , x2 =  = M  x2 + ( M  − 1) x1 + M  C
(0.27)
x1 = x2 , x2 = M  x2 + ( M  − 1) x1 + M  C
9
(0.28)
Concluzii
Potenţialul beneficiilor aplicării funcţiilor ACT depinde de câţiva
parametri ai aeronavei. În orice caz, singura funcţie independentă de viteza
de zbor este RC.
Funcţiile GLA, MLC şi FR vor fi folosite pentru avioane cu raza
scurtă de decolare/aterizare (STOL–Short Take-Off and Landing) pentru
încărcarea mică a aripilor, presupunând că aceste avioane folosesc portanţa
aerodinamică (şi nu propulsivă).
Pentru a obţine performanţele de care este nevoie pentru operaţiuni
comerciale, avioanele de transport supersonice trebuie să opereze într-un
domeniu larg de presiuni dinamice, fapt care afectează foarte mult calităţile
de manevrabilitate.
În acest caz va fi nevoie de sisteme de îmbunătăţire a stabilităţii.
Dacă scopul RSS-ului este reducerea rezistenţei la înaintare, menţinând
constant consumul de combustibil, sistemul de îmbunătăţire a stabilităţii
(SAS-Stability Augmentation System) este prezent pentru îmbunătăţirea
calităţilor de manevrabilitate.
Domeniul în care ACT îşi dovedeşte cel mai mare avantaj este cel al
luptei aeriene. Avioanele dotate cu astfel de sisteme deţin supremaţia
aeriană. Din comparaţia răspunsurilor sistemelor necontrolate cu a celor
dotate cu sisteme de control activ se observă o îmbunătăţire substanţială a
performanţelor de zbor.
10
MODELE AEROELASTICE LINEARE. INCERTITUDINI DE
MODELARE
Fenomenele aeroelastice ale structurii unui avion pot fi interpretate
ca rezultatul interacţiunii între deformaţiile statice şi dinamice ale structurii
(considerată ca fiind elastică) a aeronavei şi forţele aerodinamice şi inerţiale
induse de deformaţiile structurale.
Mai
mult,
problemele
de
aeroelasticitate
sunt
rezultatul
interacţiunilor mutuale dintre deformaţiile statice şi dinamice ale structurii
elastice ale aeronavei, care induc încărcări aerodinamice staţionare şi
nestaţionare. În concepţiile actuale de proiectare bazate pe sisteme active de
control al zborului sunt posibile şi interacţiuni ale aparatului cu sistemele de
control.
Astfel, structura aeronavei este principala responsabilă pentru o
largă varietate de fenomene din zona aeroelasticităţii. În altă ordine de idei,
interacţiunile
aeroelastice
influenţează
direct
performanţele
şi
controlabilitatea zborului. [4]
O sugestivă structurare a fenomenelor aeroelastice poate fi înfăţişată
prin intermediul bine cunoscutului triunghi al lui Collar, după cum se vede
în Figura 2.1. Trei tipuri de forţe sunt implicate în procesele aeroelastice
1
(aerodinamice, elastice şi inerţiale). Fenomenele aeroelastice pot fi împărţite
în 2 mari categorii:
Fenomene aeroelastice statice, care se situează în afara ariei
triunghiului şi sunt generate de forţele aerodinamice şi elastice:
- divergenţa aeroelastică;
- distribuţia aeroelastică a portanţei;
- eficacitatea suprafeţelor de comandă.
Fenomene aeroelastice dinamice, situate în interiorul triunghiului:
- flutter;
- răspuns dinamic al structurii avionului elastic în general şi buffeting în
special;
- stabilitatea dinamică a avionului elastic.
Fig. 2.1. Triunghiul lui Collar
Odată cu dezvoltarea tehnicii actuale de calcul, au fost create o serie
de modele computaţionale de aerodinamică nestaţionară pentru simulări de
curgeri în jurul profilelor, aripilor, paletelor de turbine şi chiar al unor
modele complete de aeronavă.
2
Teoriile lineare pentru curgeri subsonice nestaţionare sunt aplicabile
cu succes pentru numere Mach până la 0,6-0,7, dar la numere Mach mari
analizele lineare pot fi valabile numai în funcţie de severitatea efectelor
transonice locale.
Apariţia fenomenului de flutter în cadrul anvelopei de zbor a unei
aeronave duce la deformaţii structurale ireversibile şi în consecinţă la avarii
grave. Acest lucru implică validarea foarte atentă a modelului computaţional
folosit.
Odată cu creşterea numărului Mach şi a incidenţei de zbor, curgerea
pe extradosul unui profil devine critică pentru numere Mach cuprinse între
0,4 şi 0,7 prima undă de şoc formându-se la un Mach cu aproximativ 0,1
mai mare.
Astfel, la baza undei de şoc apare o desprindere, care se va extinde
rapid spre bordul de fugă, odată cu creşterea lui Mach. Acest fapt este
acompaniat de obicei de un fenomen nestaţionar, de exemplu buffet ori
buzz-flutter.[4], [5], [64], [161]
Pentru structuri flexibile, răspunsul aeroelastic al structurii
interacţionează cu curgerea, generând situaţii complexe.
De exemplu, vibraţiile structurale pot cauza desprinderi şi re-ataşări
alternante ale stratului limită. Încărcările nestaţionare mari care intră în
interacţiune cu structura cauzează fenomene aeroelastice neobişnuite care
pot modifica considerabil anvelopa de zbor.
La unghiuri de atac mari vârtejurile de la bordul de fugă datorate
desprinderilor generează fenomene grave de buffeting. În aceste zone,
curgerea este total nestaţionară, iar de aceea modelul computaţional necesită
o tratare precisă prin modelarea turbulenţei.
Deşi metodele predictive pentru curgerile ataşate sunt bine puse la
punct, rămân deschise problemele de modelare şi predicţie aeroelastică
pentru regiunile de separaţie sau mixte.
3
Interferenţa aripă-fuselaj, acroşajele, încărcarea aripii, unghiul de
atac, numărul Reynolds, forma în plan a aripii, unghiurile diedru şi de
săgeată trebuie luate în considerare pentru descrierea adecvată a limitelor de
stabilitate aeroelastică.[12], [13], [64], [161]
Fenomenele aeroelastice sunt rezultatul interacţiunii forţelor
aerodinamice, inerţiale şi elastice (structurale). În cazul aeronavelor
performante, cu structura optimizată în sensul obţinerii unei greutăţi
minime, stabilirea unui permanent echilibru aeroelastic static ori dinamic
este o condiţie evidentă pentru realizarea zborului.
O caracteristică a aeronavelor moderne este însă şi prezenţa la
bordul acestora a servocomenzilor şi chiar a sistemelor de control activ.
Interacţiunea acestora cu aeronava aeroelastică face obiectul de studiu al
aeroservoelasticităţii.
Fenomenele aeroservoelastice influenţează siguranţa zborului,
stabilitatea şi controlabilitatea aeronavei şi dinamica structurii acesteia.
Evitarea apariţiei flutter-ului este unul din principalele criterii de
proiectare şi certificare ale unei aeronave. Mai mult, vibraţiile aeroelastice
caracterizate printr-o amortizare redusă au un efect negativ asupra duratei de
viaţă a structurii aeronavei, implică creşterea DOC şi chiar pot conduce la
cedări catastrofale ale structurii.[14], [15], [16], [17], [18], [19]
Sistemele de control activ au apărut în proiectarea şi construcţia
sistemelor aerospaţiale şi se preconizează utilizarea lor pe scară largă pentru
a diminua solicitarea dinamică a structurilor şi prevenirea apariţiei flutterului.
4
În acest capitol prezentăm modalitatea de a utiliza comenzile active
pentru
a
rezolva
următoarele
două
probleme
importante
ale
aeroservoelasticităţii moderne:
-
înlăturarea (într-o anumită gamă de viteze şi altitudini) apariţiei
flutter-ului, şi
-
creşterea amortizării vibraţiilor aeroelastice.
Componenţa tipică a unui sistem de control activ este concepută
astfel încât acesta să îndeplinească trei funcţiuni importante:
-
depistarea modului de flutter;
-
prelucrarea şi transmiterea informaţiilor corespunzătoare;
-
controlul modului de flutter.
În literatura de specialitate au apărut o serie de paradigme ale
controlului care permit atingerea obiectivelor menţionate.
Având în vedere obiectivele prezentei cărţi, ne propunem să ilustrăm
principalele aspecte ale sintezei robuste a unui sistem de control activ
destinat rezolvării principalelor două probleme menţionate.
Vom considera un model aeroelastic şi apoi unul aeroservoelastic,
ambele bazate pe conceptul de secţiune tipică, de la care se porneşte sinteza
unui sistem de control activ.
5
1.1. PROBLEME DESCHISE ÎN AEROELASTICITATE
Aceste probleme pot fi împărţite în două mari categorii:
- calculul sarcinilor aerodinamice în regim nestaţionar şi
- cuplajul fluid (regim nestaţionar) – structură.[20], [21], [18], [30]
Includerea
efectelor
nestaţionare
vâscoase
într-un
model
aerodinamic poate fi făcută însă necesită eforturi de calcul prea mari pentru
o analiză aeroelastică (rezolvarea ecuaţiilor Navier-Stokes cu model de
turbulenţă).
Metodele de cuplaj interactiv vâscos - nevâscos între curgerea
externă şi stratul limită sunt foarte promiţătoare, însă mai trebuie dezvoltate
pentru o implementare adecvată la structuri complexe.
Realizarea controlului activ al stabilităţii aeronavei elastice
(incluzând efecte aeroelastice) este la ora actuală posibilă şi deja utilizată cu
bune rezultate pe aeronavele moderne.
Aplicaţiile industriale necesită însă estimări mai exacte pentru
forţele aerodinamice.
Includerea în modelele de proiectarea a efectului de buffeting a
devenit deja un criteriu realizabil de proiectare.
Acest lucru necesită însă tratarea separării curgerilor în condiţii
nestaţionare. [20]
6
În cazul cuplajului fluid-structură este necesară în proiectarea
aeronavelor de mare capacitate luarea în considerare (pe lângă dinamica
structurii şi regimul nestaţionar al curgerii) a sistemul de control al zborului,
probleme care intră în aria unei noi discipline, aeroservoelasticitatea.
În acest caz trebuie luate în considerare neliniarităţile structurii şi ale
sistemului de control al zborului.
Pentru o analiză aeroelastică se iau în considerare o serie de criterii
de proiectare (viteze, configuraţii geometrice, masice, frecvenţe reduse,
compresibilitate, ş.a), ceea ce necesită foarte multe estimări computaţionale;
de aceea este preponderentă necesitatea generării unor modele cât mai
ieftine din punct de vedere computaţional.
7
1.2. MODELE AEROELASTICE LINIARE ŞI CALCULE DE FLUTTER
În acest subcapitol sunt prezentate modelele matematice aeroelastice
liniare bazate pe conceptul de secţiune tipică cu două grade de libertate.
Pentru calculele de flutter sunt folosite metodele V-g şi p-k. Forţele
aerodinamice nestaţionare sunt determinate cu modelul Theodorsen.
1.2.1. Consideraţii teoretice asupra fenomenului de flutter. Notaţii
utilizate
Fenomenul de fluturare (Flutter) este fenomenul de instabilitate
dinamică în care, la o anumită viteză (numită viteză de fluturare)
elasticitatea structurii avionului trece parţial în domeniul instabil.
Flutterul apare din interacţiunea între forţele elastice, aerodinamice
şi masice, astfel încât în final rezultă o mişcare periodică de amplitudine ce
poate creşte exponenţial cu timpul.
Pentru explicaţia fenomenului considerăm o suprafaţă portantă fixată
elastic într-un curent de aer ce curge cu viteza V .
Presupunem că legăturile elastice ale suprafeţei portante permit două
tipuri de mişcări şi anume: o deplasare în direcţie perpendiculară curentului
de aer şi o rotire care modifică incidenţa faţă de cea iniţială.
Mişcarea suprafeţei portante în curentul de aer are loc fără
perturbaţii exterioare, însă pentru a apare este necesar ca structura să
primească o perturbaţie exterioară iniţială a cărei natură nu interesează.
Iniţial considerăm că cele două mişcări ale suprafeţei portante sunt
sincrone, respectiv, atât deplasarea cât şi rotirea pornesc din poziţia nulă,
ating un maxim după care revin în poziţia iniţială nulă. [22], [161]
8
Fig. 2.2. Mişcări ale suprafeţei portante
Din Figura 2.2 se observă că energia introdusă în sistem de către
forţele aerodinamice pe primul sfert de perioadă este scoasă din sistem pe
cel de-al doilea sfert de perioadă.
Analog se întâmplă în cea de-a doua jumătate de perioadă. Cum pe
un ciclu întreg energia introdusă în sistem este nulă, amplitudinea iniţială nu
poate creşte.
Dacă însă, între deplasare şi rotire există un decalaj de un sfert de
perioadă, pe întreg ciclul de mişcare lucrul mecanic produs de forţele
aerodinamice este pozitiv şi se introduce energie în sistem ceea ce duce, în
mod evident, la creşterea amplitudinii iniţiale date
(Figura 2.3).
Fig. 2.3. Amortizare a mişcării
9
Fenomenul se produce pentru orice decalaj între rotire şi deplasare
cu condiţia ca acest decalaj să fie mai mic de o jumătate de perioadă şi
rotirea să preceadă cu acea diferenţă de fază deplasarea.
Dacă rotirea este decalată în urmă faţă de deplasare, cu o diferenţă
de fază de cel mult jumătate de perioadă, fenomenul care se produce este un
consum continuu de energie de către forţa portantă, o scoatere continuă de
energie din sistem şi în consecinţă, o rapidă amortizare a mişcării. [161]
Deoarece forţele aerodinamice sunt cele care introduc energie în
sistem şi valoarea lor depinde de viteză, pentru o configuraţie dată
(caracteristici masice, elastice şi geometrice ale structurii) se va putea
calcula o viteză critică de fluturare, viteză care dacă este depăşită, sistemul
devine instabil dinamic şi practic se distruge. [23], [24], [25]
În consecinţă, viteza critică de fluturare este definită ca acea viteză
la care mişcarea structurii este armonică iar amortizarea oscilaţiilor
(structurală şi aerodinamică) este nulă. [26], [161]
Determinarea condiţiilor de fluturare (viteza de fluturare şi frecvenţa
asociată) este sensibil dependentă de modelul aerodinamic adoptat, un regim
oscilator armonic (propus de Theodorsen) aproximând mai bine realitatea
faţă de un regim quasi-staţionar. În cele ce urmează, din punct de vedere
aerodinamic se va prezenta studiul fluturării atât pentru cazuri simplificate
bazate pe studiul forţelor aerodinamice ca quasi-staţionare cât şi ca
nestaţionare periodice. [27], [161]
10
Lista simbolurilor/notaţiilor utilizate în continuare în legătură cu
modelele aeroelastice este prezentată mai jos:
coarda
c
b=
c
2
semicoarda
funcţia Theodorsen
C (k )
k=
b
frecvenţa redusă
V
Kh
rigiditatea la încovoiere
Kt
rigiditatea la torsiune
K
rigiditatea la torsiune pentru suprafaţa de comandă
 h2 =
Kh
m
pătratul frecvenţei de deplasare
 2 =
Kt
I
pătratul frecvenţei de rotire
2 =
K
x =
I
x
b
pătratul frecvenţei de rotire a suprafeţei de comandă
distanţa adimensionalizată între centrul elastic şi
centrul de greutate
r =
x =
r
b
x
b
raza de giraţie adimensionalizată
distanţa adimensionalizată între centrul de greutate al
suprafeţei de comandă şi punctul de articulare al
acesteia
r =
r
b
raza de giraţie adimensionalizată a suprafeţei de
comandă
11
I = mr2
momentul de inerţie de ordinul 2 al profilului faţă de
centrul elastic
S = mx
momentul static (tot faţă de centrul elastic al
secţiunii)
I  = mr 2
momentul de inerţie de ordinul 2 al suprafeţei de
comandă faţă de punctul de articulaţie
S  = mx
momentul static al suprafeţei de comandă (tot faţă de
articulaţie)
=
m
 b 2
m =   dx
g=
Im
Re
parametru masic adimensionalizat
masa repartizată pe coardă
amortizarea fictivă
12
1.1.1. Modelul secţiunii tipice cu două grade de libertate
1.1.1.1. Modelul fizic
Modelul fizic de calcul este reprezentat de modelul secţiunii tipice,
secţiune fixată elastic în centrul elastic (Figura 2.4).
Fixarea elastică în raport cu deformaţia verticală este modelată
printr-un resort de consantă elastică k h iar fixarea elastică în raport cu
deformaţia torsională  este modelată printr-un resort de constantă elastică
k t . [64]
Fig. 2.4. Secţiuniunea tipică cu două grade de libertate
1.1.1.2. Modelul matematic
Cota z , luată pozitiv în sus, a oricărui punct al profilului este
z = h + x
(0.1)
unde x este distanţa măsurată de la centrul elastic.
Energia potenţială este data de relaţia:
U=
1
1
KT  2 + K h h 2
2
2
1
(0.2)
Lucrul mecanic virtual al forţelor aerodinamice nestaţionare va fi:
 Wa =   p zdx =   p  h + x  dx = Qh h + Q 
(0.3)
unde forţa Qh este pozitivă în sus şi momentul Q este pozitiv în jos.
Ecuaţiile Lagrange se scriu:
d   (T − U )   (T − U )
= Qq

−
dt 
q

q

(0.4)
unde q = h  ne dau ecuaţiile de miscare ale profilului considerat:
1
x
 
x  h / b   h 2
0  h / b   F / mb 
+ 
=


2
r      0   r 2      M / mb 2 
(0.5)
La atingerea regimului de fluturare se exprimă variaţiile în timp ale
deformaţiilor sub formă armonică [18]
h = h0 eit   =  0eit
(0.6)
Ecuaţia de mişcare se va rescrie sub forma:
1
− 2 
 x
x  h / b   h 2
0  h / b   F / mb 
+ 
=


2
r      0   r 2      M / mb 2 
(0.7)
2
1.1.1.3. Forţe aerodinamice nestaţionare (modelul Theodorsen)
În cazul nestaţionar, expresiile fortelor aerodinamice şi a
momentelor faţă de axa elastică a suprafeţei portante vor fi de forma:
h

1
 
F =  b3 2  Lh +   L −  + a  Lh  
2
 

b
(0.8)
Unde
Lh = 1 − i 2C
1
k
(0.9)
şi
L =
1 1 + 2C 2C
−i
− 2
2
k
k
C este funcţia Theodorsen (dependentă de frecvenţa redusă k =
(0.10)
b
V
).
Analog:
2

 
1
  h 
1

1

M =  b    M h −  + a  Lh  +  M  −  + a  ( L + M h ) +  + a  Lh   
2
  b 
2

2

 
 
(0.11)
4
2
Unde
1
3 1
M h =  M = − i
2
8 k
Ecuaţia de mişcare devine:
3
(0.12)
1
− 
 x
2
x  h / b   h 2
0  h / b 
+


=



r 2      0   r 2    

Lh

2 
=−
 
1

 M h −  + a  Lh
2




 h / b 
2
  
1

1

M  −  + a  ( L + M h ) +  + a  Lh 
2

2


1

L −  + a  Lh
2

(0.13)
Definim  2 =
h2
2
2
şi
şi introducem în ecuaţie.
R
=
2
2
Rezultă:
1
− 2 
 x
x  h / b   R 2

+ 
r 2      0

Lh

2 
=
 
1

 M h −  + a  Lh
2


0  h / b 


r 2    


 h / b 
2
  
1

1

M  −  + a  ( L + M h ) +  + a  Lh 
2

2


1

L −  + a  Lh
2

(0.14)
Forţele aerodinamice în regim quasi-staţionar se obţin prin
impunerea
valorii
1
funcţiei
Theodorsen
în
relaţiile
solicitărilor
aerodinamice determinate pentru regimul oscilator armonic. [28], [29], [30,
[64]
4
1.1.2. Calculul flutter-ului prin metoda V-g
1.1.2.1. Algoritmul metodei
Pentru fiecare caz în parte (regim nestaţionar şi regim quasistaţionar) exprimăm ecuaţia (0.14) în următoarea formă:
h / b 
 h / b 
2 1
 =   A+ M

 

  
K 
(0.15)
unde K este matricea de rigiditate structurală, M matricea maselor
generalizate, iar A este matricea solicitărilor aerodinamice corespunzătoare
regimului aerodinamic considerat (nestaţionar respectiv quasi-staţionar).
Introducem amortizarea fictivă g :
 K  = (1 + ig )  K 
(0.16)
şi vom căuta soluţiile pentru care amortizarea fictivă g este nulă.
Rezolvarea problemei de fluturare se rezumă la rezolvarea unei
probleme de valori proprii complexe pentru fiecare frecvenţă redusă, unde,
frecvenţa redusă k =
de la k =
b
V
b
V
ia valori într-un domeniu ce se determină pornind
,  = max (  , h ) şi V  Vmax având b fixat.
(1 + ig )

2
h / b   1
 h / b 
 =  A+ M

   
  
K 
(0.17)
Valorile proprii ale ecuaţiei (0.17) sunt de forma
=
1 + ig
2
(0.18)
5
Pentru aceste valori proprii avem:
i 2
1
=
2
 Re (  )
g=
(0.19)
Im (  )
Re (  )
(0.20)
Se reprezintă grafic curbele g = g (V ) şi  =  (V ) iar viteza de
fluturare, în formă adimensională, se va găsi când amortizarea g =
Im (  )
Re (  )
schimbă semnul. [31], [32], [33], [34], [35], [64]
1.1.3. Calculul flutter-ului prin metoda p-k
1.1.3.1. Modelul matematic
Ecuaţia de la care se pleacă este:
h 
h
h
h
 +  C    +  K    =  A  
 
 
 
 
M  
(0.21)
unde
 m
mx 
mr 2 
 M  = mx


0 0

 0
C  = 0
K
 K  =  0h

0
Kt 
 A este matricea solicitărilor aerodinamice şi se va defini ulterior.
6
(0.22)
(0.23)
(0.24)
 h 
Soluţia neomogenă se presupune de forma   e pt , p 
 
.
(0.25)
x
h
Trecem la un vector al necunoscutelor de forma Z =   unde x =   iar
 y
 
h
y= 
 
h
 
 
Z = 
h
 
(0.26)
Rescriem ecuaţia (0.21) sub forma:
 M  x +  C  x +  K  x =  A  x
(0.27)
Forţa aerodinamica este:

1
 
F = − b 2  h + V  − ba  − 2VbC ( k ) V  + h + b  − a   
2
 

(0.28)
Explicităm forma  A  x
 A
x = p 2  A1  + p  A2  +  A3 
(0.29)
unde
 − b2
 A1  =  3
 b a

7


4 1
2 
− b  + a 
8
 
 b3 a
(0.30)

1

−2VbC ( k )
−Vb 2 − 2Vb 2 C ( k )  − a  

2




1

− b3V  − a  +
 A2  = 

2

 2Vb 2 C ( k )  1 + a 





1
1
2




+2Vb3  + a  − a  C ( k ) 

2
 2



(0.31)
0

−2V 2 bC ( k )


 A3  = 
1
2 2
0 2V b  a +  C ( k ) 


2

(0.32)
Rescriem ecuaţia (0.27) sub forma:
 M − A1  x + C − A2  x +  K − A3  x = 0
(0.33)
sau
 M  x + C  x +  K  x =  0
(0.34)
 M  =  M  −  A1 
(0.35)
C  = C  −  A2 
(0.36)
 K  =  K  −  A3 
(0.37)
unde
Din ecuatia (0.34) rezulta:
x = −  M 
−1
( C  x +  K  x )
Ecuatia (0.38) se rescrie:
8
(0.38)
y = −  M 
−1
( C  y +  K  x )
(0.39)
Rezultă
y

 x  
Z = =
−1
−1

 y  −  M  C  y −  M   K  x 
(0.40)
0
I

 x
 
Z =
−1
−1
 −  M   K  −  M  C    y 
(0.41)
0
I


Z
Z =
−1
−1
 −  M   K  −  M  C  
(0.42)
0
I



Z −Z =0
−1
−1
 −  M   K  −  M  C  
(0.43)
sau
adică
Luând Z = Ze pt , p   Z = pZe pt = pZ .Rezultă:


0
I


 − p  I   Z = 0 (0.44)
−1
−1
  −  M   K  −  M  C  




Am ajuns la a rezolva o problemă de valori proprii.
9
Forţele aerodinamice (şi amortizările) depind însă de frecvenţa
mişcării oscilatorii, în plus, forţele aerodinamice depind de viteza de zbor şi
de densitatea aerului.[36]...[43], [64]
Dacă valorile proprii p sunt de forma p = pRe + i , atunci
k=
b
V
=
b
Im ( p )
V
10
(0.45)
1.1.1.1. Algoritmul metodei p-k
Algoritmul metodei p-k constă în a calcula în mod iterativ frecvenţa
redusă k =
b
V
pentru o serie de viteze cuprinse într-un interval în care se
presupune că s-ar afla viteza de fluturare.
Procesul iterativ necesită o valoare iniţială pentru frecvenţa redusă
k , valoare ce poate fi considerată 0. Din k =
b
V
se determină frecvenţa
iniţială  .
Pentru o viteză dată se calculează valorile proprii ale ecuaţiei şi se
reţin valorile proprii p care îndeplinesc condiţia Im ( p )  0 . Dintre aceste
valori proprii se reţine valoarea proprie p care îndeplineşte condiţia
min ( Im ( p ) −  impus ) .
Partea imaginară a acestei valori proprii este noua frecvenţă
 = Im ( p ) . Din aceeaşi valoare proprie se determină amortizarea ca fiind
 =
Im ( p )
Re ( p )
Din k =
.
b
V
rezultă knou = Im ( p )
b
.
V
Noua valoare calculată a frecvenţei reduse este folosită la
reiniţializarea procesului iterativ.
1
Criteriile de oprire ale iteraţiei sunt:
-depăşirea numărului maxim de iteraţii
-îndeplinirea condiţiei knou − k   .
Valoarea  şi numărul maxim de iteraţii se fixează funcţie de
acurateţea dorită, timpul de calcul şi nu în ultimul rând de capacitatea
sistemului de calcul.
La oprirea procesului iterativ se stochează k , ,  şi se reprezintă
grafic funcţie de viteză.
Acelaşi proces iterativ se reia pentru următoarea viteză până când
intervalul de interes este acoperit.
Viteza de fluturare se va găsi la intersecţia curbei  (V ) cu axa
 = 0 sau  =  impus .[44]...[50]
2
1.2. INCERTITUDINI INCLUSE ÎN MODELELE AEROELASTICE
Descrierea comportării dinamice a sistemelor fizice reale pe baza
unor modele matematice este adesea imprecisă datorită erorilor inerente de
măsurare şi modelare, acţiunii unor perturbaţii, modificării condiţiilor de
funcţionare, etc. În etapa de sinteză a sistemelor de comandă se lucrează
însă cu modelul matematic care diferă într-o măsură mai mare sau mai mică
de sistemul real. [52], [53]
Să presupunem că printr-o metodă oarecare s-a rezolvat problema de
stabilizare şi reglare formulată mai sus, rezultând sistemul K. De remarcat
faptul că în general, dacă există o soluţie a problemei de stabilizare şi
reglare, aceasta nu este unică.
Definind sistemul nominal G ca fiind sistemul corespunzător
modelului matematic şi notând cu GD sistemul fizic real, se pune în mod
natural problema: în ce măsură sistemul K obţinut aproximând sistemul real
GD cu cel nominal G, va mai asigura proprietăţile de reglare ale buclei dacă
sistemul nominal este înlocuit cu cel real.
Evident, este de dorit ca aceste proprietăţi să se păstreze, cerinţă ce conduce
la problema reglării robuste, şi anume: să se determine un sistem de
comandă K care să asigure proprietăţile de stabilizare şi reglare ale
sistemului nominal G precum şi pentru alt sistem GD situat într-o vecinătate
a acestuia.
Deoarece, după cum s-a menţionat mai sus, de regulă există o
întreagă mulţime de compensatoare care conferă proprietăţi de stabilizare şi
reglare, se va avea în vedere determinarea unui sistem de comadă care să
„maximizeze” vecinătatea lui G în care aceste proprietăţi se păstrează. [54]
3
Următoarea etapă în studierea problemei reglării robuste este
definirea principalelor tipuri de incertitudini nestructurate şi determinarea
unor condiţii de stabilitate robustă a sistemului în circuit închis.
Acestea sunt următoarele:
1.2.1. Incertitudini aditive
Se caracterizează prin faptul că relaţia dintre sistemului real GD şi
cel nominal G este de forma:
(0.1)
GD = G + D
unde se presupune că D(s) este stabilă, cu 

 1 /  şi  > 0 dat.
Pe baza relaţiei (0.1) rezultă următoarea configuraţie a sistemului în
circuit închis: [55]
a)
b)
Fig. 2.5. Incertitudini aditive
Pentru studiul stabilităţii sistemului perturbat în circuit închis, se
face r  0 şi se aplică Teorema amplificărilor mici.
În acest scop se determină matricea de transfer de la v la u (a blocului cu
linie punctată) folosind egalităţile:
4
y = v + Gu; şi u = - Ky
u = - K (v + Gu ) Þ
deci:
(0.2)
(I + KG )u =
- Kv
(0.3)
Astfel rezultă că matricea de transfer Huv(s) de la v la u este:
- 1
(0.4)
H uv = - (I + KG ) K
care este stabilă deoarece bucla corespunzătoare sistemului nominal este
stabilă.
In Figura 2.5.b este reprezentată configuraţia echivalentă a sistemului în
circuit închis. Aplicând Teorema amplificărilor mici rezultă 
deci pentru 


H uv

 1,
 1 /  se obţine:
- 1
(I + KG )
K
(0.5)
< g
¥
- 1
- 1
sau, având în vedere că (I + KG ) K = K (I + GK ) ,
condiţia de mai sus este echivalentă cu:
- 1
K (I + GK )
< g
(0.6)
¥
Prin urmare sistemul perturbat aditiv este stabil în circut închis
pentru orice K stabil cu


 1 /  dacă şi numai dacă (a se vedea
observaţia de la Teorema amplificărilor mici):
5
i)
K stabilizează bucla pentru sistemul nominal G;
ii)
este indeplinită condiţia din ecuaţia (0.6)
[12], [13], [52],
[55], [56]...[60]
1.2.2. Incertitudini multiplicative
Acţionează asupra sistemului nominal conform relaţiei:
(0.7)
G D = (I + D )G
unde incertitudinea D este presupusă stabilă, cu 

 1 /  şi  > 0 dat.
Configuraţia sistemului în circuit închis în acest caz este:
a)
b)
Fig. 2.6. Incertitudini aditive
Matricea de transfer Hwv(s) de la intrările v la ieşirile w se determină
folosind următoarele egalităţi corespunzătoare cazului r  0 :
y = v + w; şi w = - GKy
(0.8)
deci:
w = - GK (v + w ) Þ
(I + GK )w = - GKv
Prin urmare matricea de transfer de la v la w este:
6
(0.9)
H wv = - (I + GK )GK
(0.10)
care este stabilă deoarece bucla corespunzătoare sistemului nominal în
circuit închis a fost presupusă stabilă.
Condiţia de stabilitate dată de Teorema amplificărilor mici este
pentru cazul de faţă 

H wv

 1 , deci pentru 
- 1
(I + GK )
GK

 1 /  rezultă:
< g
(0.11)
¥
Deci sistemul preturbat multiplicativ este stabil în circuit închis
pentru orice K stabil cu 

 1 /  dacă şi numai dacă:
i)
K stabilizează bucla pentru sistemul nominal G;
ii)
este îndeplinită condiţia din ecuaţia (0.11).[12], [52], [55].
1.2.3. Incertitudini factor-stabil (numărător-numitor)
Se utilizează în cazul reprezentării sistemului G sub forma:
G = M - 1N
(0.12)
unde „numitorul” M este o matrice pătrată nesingulară (adică neavând
determinantul identic nul) cu elementele polinoame sau rapoarte de
7
polinoame iar „numărătorul” N este o matrice având de asemenea
elementele polinoame sau rapoarte de polinoame.
Dacă elementele matricilor M şi N sunt proprii (adică sunt rapoarte
de polinoame având gradul numărătorului cel mult egal cu cel al
numitorului) şi stabile, atunci forma din ecuaţia (0.12) se numeşte
reprezentarea fracţionară (la stânga) prin matrici raţionale a sistemului
nominal G.
Se precizează fără a mai prezenta demonstaţia faptul că orice matrice
G (s) raţională (adică avănd elementele rapoarte de polinoame), admite
reprezentări neunice de forma de la ecuaţia (0.12), unde matricile raţionale
M (s) şi N (s) sunt proprii şi stabile iar M-1 există şi este proprie.
Se observă că în cazul reprezentării fracţionare a unui sistem G, dacă
u sunt intrările iar y sunt ieşirile sale atunci are loc egalitatea y = Gu = M1
Nu adică:
My = Nu
(0.13)
Egalitatea din ecuaţia (0.13) poate fi considerată ca reprezentarea
unui sistem de ecuaţii diferenţiale în componentele mărimilor vectoriale y şi
u. Astfel de sisteme de ecuaţii diferenţiale apar frecvent la modelarea
sistemelor fizice reale.[52],[55]
În cazul reprezentării fracţionare ca cea din ecuaţia (0.13) se pot
defini incertitudinile de tip factor-stabil (DM, DN) care acţionează asupra
sistemului nominal G pe baza relaţiei:
-1
G D = (M + D M )
8
(N + D )
N
(0.14)
unde DM şi DN sunt presupuse stabile (deci în ipoteza că M şi N sunt stabile,
M + DN şi N + DN sunt stabile, de unde şi denumirea de factor-stabil).
Configuraţiile sistemului nominal G şi al celui real
GR
corespunzătoare reprezentării fracţionare sunt reprezentate în figura
următoare.
b) sistemul perturbat GR
a) sistemul nominal G
Fig. 2.7. Incertitudini factor stabil
Problema se rezolvă similar din condiţia de stabilitate dată de
Teorema amplificărilor mici 

H wv
9

 1 şi pentru 

 1 /  . [52]
1.1. METODA ACOMODĂRII LA PERTURBAŢIE
Metoda acomodării la perturbaţii putem spune că este o combinaţie
dintre metodele: metoda stabilizării pătratice şi metoda controlului optimal
cu performanţă asigurată deoarece stabilizarea sistemului se asigură cu
ajutorul unei funcţii Liapunov, iar pentru atingerea unor caracteristici
impuse, sistemul este controlat printr-un indice de performanţă pătratic.
Metoda a fost necesară datorită modului de definire al sistemului, mod puţin
diferit de cele anterioare.
Deci, fie sistemul dinamic modelat de ecuaţiile diferenţiale:
 x (t ) = A(t )x(t ) + B(t )u (t ) + F (t )w(t )

 y (t ) = C (t )x(t )
(0.1)
unde: x – vectorul de stare de dimensiune n;
u – vectorul de comandă de dimensiune r;
w – vectorul perturbaţie de dimensiune p;
y – vectorul de ieşire de dimensiune m;
A – matricea de stare ce cuprinde derivatele de stabilitate:
A  M(n  n);
B – matricea de comandă ce cuprinde derivatele de comandă: B 
M(n  r);
C – matricea citirilor: C  M(m  n);
F – matricea perturbaţiilor: F  M(n  p).
cu cunoscuta soluţie generală:
1
t
t
t0
t0
x(t,t 0 , u, w) = (t,t 0 )x(t 0 ) +  (t, τ )B(t, τ )u (τ )d τ +  (t, τ )F (τ )w(τ )d τ
(0.2)
unde (t, t0) este matricea de tranziţie a stărilor.[61]...[73]
Soluţia generală (0.2) depinde în mod explicit de perturbaţia w(t),
care este dată ca ieşire a sistemului:
w(t ) = H (t )z (t )

 z(t ) = D(t )z (t ) + σ (t )
(0.3)
unde:
H(t) şi D(t) sunt cunoscute;
z – reprezintă starea perturbaţiei;
 = (1 ... p) - este un vector al secvenţei impulsului (t) care
soseşte ca un semnal aleator necunoscut, de intensitate necunoscută,
nepredictibil şi nefiind zgomot alb.
Soluţia generală a sistemului diferenţial (0.3) este:
t
z (t,t 0 ,  ) =  D (t,t 0 )z (t 0 ) +   D (t, )D( ) d 
(0.4)
t0
unde D(t,t0) este matricea de tranziţie a stărilor pentru D(t).
Deci, practic perturbaţia w influenţează sistemul dinamic (0.1) prin
intervenţia sa în ecuaţia de stare, ca ieşire a unui alt sistem dinamic (0.3),
care reprezintă dinamica perturbaţiei.
2
Pentru simplificarea rezolvării regulatorului şi a estimatorului s-a
propus unificarea sistemelor (0.1) şi (0.3) într-un sistem compus sistem
dinamic-perturbaţie.
 x   A FH   x   B 
 x δ
+  u +  0 
  = 



 z   0 D   z   0 
 σ 

 x

y = C 0 

z
(0.5)
Cu ajutorul soluţiei (0.2) şi (0.4) soluţia sistemului dinamic (0.1) este
complet determinată şi se poate scrie ca fiind soluţia modelului compus
sistem dinamic - perturbaţie (0.5).
Teoria acomodării la perturbaţie îşi propune găsirea unor metode de
proiectare a comenzii u(t) care aplicată în (0.5) să conducă la atingerea
obiectivului de reglaj specificat în faţa unor perturbaţii necunoscute
admisibile:
w(t) = H(t)z(t)
Modelul (0.5) se poate generaliza, de exemplu vectorul de ieşire y(t) poate
conţine termeni liniari cuprizând comanda u(t) şi/sau preturbaţia w(t) în care
caz expresia lui y(t) devine:
 y (t ) = C (t )x(t ) + P(t )u (t ) + G(t )w(t )

w(t ) = H (t )z (t )
(0.6)
O altă generalizare posibilă a ecuaţiei modelului (0.5) este apariţia
unui termen de stare în ecuaţia (0.5), modelul devenind:
3
w(t ) = H (t )z (t ) + L(t )x(t )

 z(t ) = D(t )z (t ) + M (t )u (t ) + σ (t )
Situaţii întâlnite când modelul depinde de starea perturbaţiei.
4
(0.7)
1.2. REGLAREA SISTEMELOR PRIN METODA ACOMODĂRII LA
PERTURBAŢII
Ideea absorbţiei perturbaţiei în problemele de reglaj este ilustrată în
Figura 2.8:
Fig. 2.8. Reglarea sistemelor prin metoda acomodării la perturbaţii
Perturbaţia w(t) este în general o funcţie variabilă în timp care
acţionează asupra modelului continuu.
Cum ecuaţiile diferenţiale se rezolvă cu o metodă numerică (Runge Kutta) este necesar ca ieşirea regulatorului să rămână constantă pe fiecare
pas.
5
Astfel, în problema reglării pentru a absorbi perturbaţia, trebuie să
alegem o valoare constantă pentru u(t) care contracarează căt mai bine
variaţia perturbaţiei w(t) pe fiecare pas de calcul.
Pentru calculul comenzii ce absoarbe perturbaţia plecăm de la
ecuaţia sistemului dinamic pe care pentru generalitate o considerăm sub
formă generală: [74]...[82]
x = (x, t, u(t),w(t))
(0.8)
Se examinează partea dreaptă a ecuaţiei (0.8) pentru a determina ce
funcţie
uc = c(x, t, w) satisface:
(x, t, c(x, t ,w), w) = (x, t, c(x, t, 0), 0)
pentru orice (t, x) şi orice valori aşteptate ale lui w.
Utilizând acum modelul perturbaţiei (0.6) comanda de anulare a
perturbaţiei devine:

u(t) = u( u (t), c(x, t, w(z, x, t)) ,

cu u noua variabilă de
reglaj.
Ecuaţia sistemului dinamic (0.8) în acest caz devine:

x = (x, t, u (t),c(x, t,0), 0)
pentru orice valori aşteptate ale lui w.
6
(0.9)
Cu ajutorul sistemului dinamic liber de perturbaţie putem calcula

comanda u (t ) , cu ajutorul principiului lui Potriaghin, de exemplu, astfel
încât să minimizeze un indice de performanţă ales:[83]...[90]
T
J(u;x0, t0,T) = G(x(T),T) +
 L(x(t),t,u(t))dt
t0
(0.10)
În final, după calcularea comenzii optimale se vor înlocui stările
(x, z) cu cele date de observer ( x̂ , ẑ ) deoarece acestea din urmă sunt
disponibile.
Ca o exemplificare a cazului general de obţinere a comenzii de
absorbţie a perturbaţiei, considerăm problema regulatorului linear - pătratică
în care a fost adăugată perturbaţia exterioară.
Fie sistemul linear extins - sistemul dinamic al perturbaţiei:
 x (t ) = A(t )x(t ) + B(t )u (t ) + F (t )w(t )

y (t ) = C (t )x(t )


y (t ) = H (t )z (t )


z (t ) = D(t )z (t ) + σ (t )

(0.11)
Pentru construcţia regulatorului ce va anula perturbaţia, comanda
u(.) va îndeplini condiţiile:
•
reglajul primar prin up(t) necesar atingerii unor puncte fixe sau
urmărirea unei traiectorii;
•
comanda uc(t) necesar pentru anularea efectului perturbaţiei.
7
u(t) = up(t) + uc(t)
(0.12)
Componenta uc poate lua orice valoare cerută de atingerea efectivă a
rejectării efectului perturbaţiei necunoscute w(t).[91]...[98]
Reglajul primar este ales să satisfacă un indice de performanţă de tip
pătratic:[52]
 x

T
J(u) =
T
Q(t)x(t) + u Tp R(t)u p (t) dt
t0
unde Q(t), R(t) sunt matrici pozitiv definite, simetrice pe t0, T. Timpul
final T poate fi fixat iniţial sau lăsat liber.
Ţinând cont de procedura de proiectare pentru cazul general:[52]
uc = c(x, t, w)
u = up(t) + uc(t) = uc(t) + c(x, t, w)
x = A(t) x + B(t) up(t) + uc(t) + F(t) w(t)
= A(t) x + B(t) up(t) +B(t)uc(t) + F(t)w(t) = A(t)x + B(t)up(t) +
+ B(t)c(x, t, w) + F(t)w(t)
(0.13)
Efectul perturbaţiei se anulează dacă:
B(t) uc(t) = −F(t)w(t)
(0.14)
sau:
B(t) c(x, t, w) + F(t)w(t) = B(t)c(x, t, 0)
(0.15)
8
pentru orice valoare a lui w = H  z unde (z, x, t) sunt arbitrare.
Presupunând că rangul lui H este p egalitatea este adevărată, dacă şi
numai dacă:
Im F(t)  Im B(t), t0  t  T
(0.16)
echivalent cu:
F(t)  B(t)(t) pentru câteva matrici (t)
(0.17)
sau:
rangul B(t)F(t)  rangul B(t), t0  t  T
(0.18)
Cum rangul lui B(t)  r, t0  t  T ( u are dimensiunea r)
condiţiile (0.16) − (0.18) sunt satisfăcute dacă şi numai dacă:
FT(t)F(t)  FT(t)B(t)BT(t)B(t)-1BT(t)F(t) , t0  t  T
(0.19)
Întradevăr introducând (0.17) în (0.19) obţinem:
TBTB  TBTB BTB-1BTB = TBTB
Presupunând (0.19) îndeplinită, atunci se alege:
uc = c(x, t, w) = −(t)w(t)
(0.20)
ce se numeşte şi condiţia de absorbabilitate completă a perturbaţiei.
Înlocuind relaţia (0.20) în (0.13) obţinem:
x = A(t)x + B(t) up(t)
9
care este tocmai ecuaţia diferenţială a unui sistem dinamic fără
perturbaţii.[52],[99]...[105]
Teoria convenţională a problemei regulatorului liniar-pătratic dă
rezultatul cunoscut:
up(t) = K(t)x(t)
(0.21)
unde : K(t) satisface ecuaţia diferenţială Riccati
R + Q – RBP-1BTR + RA + ATR = 0
(0.22)
cu
K(t) = − P-1BTR
unde:
R matrice pozitiv definită;
Q matrice de penalizare a stărilor şi este o matrice pozitiv definită;
P matrice de penalizare a comenzii şi este o matrice pozitiv definită.
Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale Riccati (0.22) se face cu ajutorul
metodelor numerice.
Combinând rezultatul (0.20) cu (0.22) se obţine comanda optimală
ca fiind:
u0(x, z, t) = up + uc = K(t)x(t) − (t)w(t) = K(t)x(t) − (t)H(t)z(t)
Pentru implementarea fizică a acestui rezultat vom folosi estimatele
observerului xˆ (t ), zˆ(t ) ) în loc de stările (x(t), z(t)), obţinute prin măsurătorile
ieşirii y(t) a sistemului (0.11):
10
u0( xˆ (t ), zˆ(t ) , t) = K(t) x̂(t ) − (t)H(t) ẑ (t )
(0.23)
O diagramă bloc ce reprezintă soluţia generală a problemei
regulatorului liniar pătratic cu perturbaţii este arătată în Figura 2.9.
Fig. 2.9. Problema regulatorului liniar pătratic cu perturbaţii
11
1.1. MODELUL AEROELASTIC NOMINAL
Ecuaţiile de mişcare pentru modelul tangaj-bătaie cu răspuns
aeroelastic sunt derivate din ecuaţiile generale pentru moment şi forţe.
Aceste ecuaţii sunt puse în formă matriceală astfel: [6]
mx b   h  ch
 m
 mx b
 +0
I



   
0   h   kh
 +
c     0
0  h  − L 
=
k     M 
(0.1)
unde h reprezintă poziţia bătăii.
Celelalte variabile incluse în forma matriceală sunt:
x - distanţa adimensională dintre centrul elastic şi centrul de
masă
m - masa aripii
I - momentul masic de inerţie
b – lungimea semicoardei
ch , c - coeficienţii de amortizare structurală pentru tangaj şi
bătaie
kh , k - constantele elastice
Portanţa L şi momentul M sunt determinate prin teoria aerodinamică
“quasi-steady”.
Parametrii cl , cm sunt introduşi pentru a reprezenta portanţa şi
coeficienţii momentului pentru unghiul de atac iar cl , cm sunt introduşi
1
pentru a reprezenta portanţa şi coeficienţii momentului pentru poziţia
suprafeţei de control.[6],[105],[106]

1 
1  b
L = 2qbcl   +  − e   + y  + qbcl  (0.2)
U 
 2 U


1 
1  b
M = 2qbcm   +  − e   + y  + qbcm  (0.3)
U 
 2 U

Ecuaţiile de mişcare trebuiesc parametrizate conform condiţiilor de
zbor pentru a introduce o perturbaţie care este legată de limita de stabilitate.
Presiunea dinamică şi viteza aerului sunt parametrii condiţiilor de zbor iar
influenţa lor în sistem se regăseşte în portanţă şi ecuaţiile momentului.
Aceste ecuaţii sunt funcţii liniare ale presiunii dinamice şi funcţii neliniare
ale vitezei vântului.
Totuşi, portanţa şi ecuaţiile momentului vor fi parametrizate în jurul
perturbaţiei presiunii dinamice pentru a calcula limita de stabilitate.[6],
[107]
Definim presiunea dinamică ca având o valoare nominală q0 şi o
perturbaţie  q 
, care va afecta valoarea nominală q = q0 +  q
Separat de efectele perturbaţiilor, răspunsul structural al sistemului
pentru forţa ascensională aerodinamică este:

mh + mx b + ch h + kh h = −2q  bcl


2

h 1  
 + +  − e  b
U 2  U



 + bcl   =





h 1   
= −2 ( q0 +  q )  bcl   + +  − e  b  + bcl  


U 2  U 





h  1   
= −2q0  bcl   +  +  − e  b  + bcl 

U   2  U 





h 1   
−2 q  bcl   + +  − e  b  + bcl  


U 2  U 




= −2q0  bcl



h 1  
 + +  − e  b
U 2  U


= −2q0  bcl




 + bcl   −  q zl



h 1  
 + +  − e  b
U 2  U



 + bcl   − w1


(0.4)
Această formulare elimină perturbaţiile asupra presiunii dinamice
din ecuaţie prin înlocuirea termenului care conţine  q cu un set de semnale
adiţionale de intrare şi ieşire wl şi zl .
Aceste semnale
fictive diferă de semnalele tradiţionale care au
reprezentări fizice sau pot fi măsurate; ele au fost propuse doar din raţiuni
pur teoretice.[6], [108]
Relaţia de feedback
w1 =  q zl arată legătura dintre perturbaţie şi
dinamicile laterale prin intermediul funcţiei zl care este o funcţie de stare a
poziţiei suprafeţei de control.



h 1   
zl = 2  bcl   + +  − e  b  + bcl   = zl  + zl y + zl  + zl 


U 2  U 



(0.5)
3
Un calcul similar se va realiza pentru a elimina efectul lui  q din
ecuaţiile care leagă răspunsul structural al sistemului de momentul
aerodinamic.[6], [109]



h 1   
mx bh + I  + c  + k  = 2q  b 2cm   + +  − e  b  + b 2cm  


U 2  U 




= 2 ( q0 +  q )  b 2cm



h 1  
 + +  − e  b
U 2  U


 2
 + b cm  





h 1   
= 2q0  b 2cm   + +  − e  b  + b 2cm  


U 2  U 






h 1   
+2 q  b 2cm   + +  − e  b  + b 2cm  


U 2  U 




= 2q0  b 2cm


= 2q0  b 2cm




h 1    2
  + +  − e  b  + b cm   +  q zm =
U 2  U 



h 1  
 + +  − e  b
U 2  U


 2
 + b cm   + wm


(0.6)
Un nou set de semnale fictive sunt introduse iarăşi în formule pentru
a elimina dependenţa de  q . Relaţia de feedback wm =  q zm este utilizată
pentru a aduce în dinamicile nominale un semnal de ieşire z m care este
definit ca o funcţie de stare a poziţiei suprafeţei de control. [110]

zm = 2  b 2cm



h 1  
 + +  − e  b
U 2  U


 2
 + b cm   = zm  + zmh h + zm  + zm 


(0.7)
4
Un model în spaţiul stărilor pentru sistemul tangaj-bătaie se poate
formula prin combinarea ecuaţiilor de mişcare pentru portanţă şi moment.
Semnalele de intrare şi ieşire adiţionale trebuiesc menţinute aceleaşi în
derivate pentru a obţine acelaşi efect al perturbaţiei presiunii dinamice ca în
ecuaţiile iniţiale de mişcare în formularea din spaţiul stărilor.
Aceste derivate pot fi calculate prin determinarea scării de reprezentare şi
prin scăderea ecuaţiilor portanţei şi momentului care au fost date mai sus.
Au fost alese drept stări ale modelului h, şi derivatele lor în raport cu
timpul h,  .[6], [111]
Considerăm ecuaţia care îl include pe h ce rezultă prin eliminarea
dependenţei explicite de  .
(
(
h = ( I m − m 2 x0 2b 2 ) −1   ( − I kh ) h + mx bk − q0 2 I bcl + mx b 3cm

) ) 
1

+  − I ch − 2q0 I bcl + mx b3cm
h
U


 1  1 
+  mx bc − 2q0 I bcl + mx b3cm  − e  b   
 2  U 

(
)
(
)
(
(
))  
c )h + a  +b w +b w +b
+ ( − I ) w1 + ( −mx b ) wm + −2q0 I cl + mx b3cm
(
) (
= a31h + a320 + a32 k  + a330 + a33 y
y
34
3l
l
3m
m
3

= a31h + a32 + a33h + a34 + b3l wl + b3m wm + b3  
(0.8)
Ecuaţia de mai sus reprezintă o formă simplificată
convenabilă pentru ilustrarea modelului din spaţiul stărilor.
5
care este
Sunt definiţi ca scalari termenii care combină expresii dependente de
parametrii sistemului dat, termeni care pot fi uşor puşi în evidenţă.
Aceşti termeni au denumiri în acord cu nomenclatura standard care
utilizează A drept matrice de stare şi B ca matrice de control în spaţiul
stărilor.
Astfel, termenii cu a indică coeficienţii acestei scale a variabilei de
stare fiind elementele matricei de stare.
În mod similar, termenii cu b indică coeficienţii acestei scale pentru
semnalele de intrare şi sunt elementele matricei de control.
Prin combinarea ecuaţiilor portanţei şi momentului, eliminând
termenii care îl conţin pe h se obţine o nouă ecuaţie de stare.[6], [112]
(
)
 = ( I − mx 2b 2 ) −1   ( x bkh ) h + −k + 2q0 ( b 2cm + x b 2cl )  


1

+  x bch + 2q0 b 2cm + x b 2cl
h
U

(
)

 1  1 
+  −c + 2q0 b 2cm + x b 2cl  − e  b    + ( x b ) wl + wm
 2  U 

(
)
( (
+ 2q0 b 2cm + x b 2cl
(
) (
)
)) 

= a41h + a420 + a42 k  + a430 + a43h ch h + a44 + b4l wl + b4 m wm + b4  
6
= a41h + a42 + a43h + a44 + b4l wl + b4 m wm + b4  
(0.9)
Au fost definite din nou elemente simplificatoare pentru matricile de
stare şi de control pentru a simplifica ecuaţia de mai sus.
Modelul în spaţiul stărilor pentru sistemul tangaj-bătaie care include
semnalul de feedback ce leagă dinamica nominală de perturbaţia presiunii
dinamice se poate formula prin combinarea ultimelor două ecuaţii de mai
sus.[6], [113]
h 0
  0
  
 h   a31
  a
   =  41
z   0
 l 
 zm   0
h 
  1
    0
0
0
a32
a42
zl
1
0
a33
a43
zlh
0
1
a34
a44
zl
0
0
b3l
b4l
0
0
0
b3m
b4 m
0
zm
zmh
zm
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0 
0   h 
 
b3     
 
b4    h 
zl    
w 
zm   l 
  wm 
0   
 
0 
(0.10)
Acest model în spaţiul stărilor are patru semnale de ieşire şi trei de
intrare. Ieşirile sunt zl , zm pentru relaţia de feedback cu perturbaţia presiunii
dinamice şi h, care reprezintă măsurătorile senzorilor. Intrările sunt
wl , wm pentru feedback cu perturbaţia presiunii dinamice şi  care
reprezintă poziţia suprafeţei de control.
Măsurătorile senzorilor şi poziţia suprafeţei de control nu sunt
necesare în mod explicit în analiza stabilităţii sistemului aeroelastic cu buclă
deschisă. Totuşi ei vor fi incluşi pentru că vor fi utilizaţi în analiza
stabilităţii sistemului aeroelastic cu buclă închisă.
7
Diagrama bloc pentru modelul P în spaţiul stărilor cu buclă deschisă
şi perturbaţia presiunii dinamice este prezentată în figura următoare:[6],
[114]
Fig. 2.10. Schema bloc incluzand perturbatia presiunii dinamice
Perturbaţia apare de două ori în operatorul de feedback din figură
pentru a lega perechea de intrări şi ieşiri adiţionale.
Acest lucru era predictibil şi este în acord cu formularea iniţială din
metoda  care prevede că perturbaţia presiunii dinamice trebuie să apară
câte o dată pentru fiecare mod aeroelastic.
Totuşi, modelul în spaţiul stărilor pentru sistemul tangaj-bătaie are
două intrări şi două ieşiri care sunt legate între ele prin  q .
Proprietăţile modelului tangaj-bătaie sunt determinate prin analiza
valorilor proprii ale matricei de stare determinate anterior.[6], [64], [115]
8
1.2. DETERMINAREA MARGINILOR DE STABILITATE PRIN
METODA ATENUĂRII PERTURBAŢIILOR
Se consideră sistemul:
x = Ax + B1u1 + B2u2
y1 = C1 x + D11u1 + D12u2
y2 = C2 x + D21u1
Matricele sistemului considerat au expresiile
0
0
A=
 a31

 a41
0
0
a32
a42
1
0
a33
a43
0 zl
C1 = 
0 zm
0
1 
;
a34 

a44 
zly
zmy
0
0
B1 = 
 b3l

b4l
0 
0 
;
b3m 

b4 m 
0 
0 
B2 =   ;
b3 
 
b4  
 zl  
D12 =   ;
 zm 
zl 
;
zm 
C2 = I 4 ;
D21 = 0
 q



 q 
y1
u1
u2
T
y2
F
Fig. 2.11. Schema bloc – Sinteza H 
9
D11 = 0
Cum: Ty1u1

  −1
Se determină Ty1u1 astfel:
x = ( A + B2 F ) x + B1u1
y1 = C1 x + D12 Fx = ( C1 + D12 F ) x
În continuare determinăm F folosind Bounded Real Lema, astfel
Fie sistemul stabil G având forma
x = Ax + Bu
y = Cx + Du
Atunci următoarele condiţii sunt echivalente:
(a)
(b)
G


 2 I − DDT  0
inecuaţia Riccati are forma
AT X + XA + ( XB + C T D )(  2 I − DT D )
−1
(B
T
X + DT C ) C T C  0
Are o soluţie X  0
Inecuaţia Riccati este achivalentă (folosind Complementul
Schur) cu
 AT X + XA + C T C
XB + C T D 

0
T
 ( XB + C T D )
− (  2 I − DT D ) 
Se rescrie condiţia de mai sus pentru sistemul dat astfel
10
( A + B2 F )T X + X ( A + B2 F ) + ( C1 + D12 F )T ( C1 + D12 F ) XB1 

0
B1T X
− 2 I 

Din argumentul de tip Complement Schur ultima relaţie este
echivalentă cu
( A + B2 F )T X + X ( A + B2 F ) XB1

T

− 2 I
( XB1 )

C1 + D12 F
0

C1T + F T D12T 

0
0

−I

Se înmulţeşte la stânga şi la dreapta cu diag ( X −1 , I , I ) rezultând
 X −1 ( A + B2 F )T + ( A + B2 F ) X −1

B1T


C1 X −1 + D12 FX −1

B1
− 2 I
0
X −1C1T + X −1F T D12T 

0
0

−I

Se notează X −1 = Y ; FX −1 = Z
Inecuaţia rezultată astfel se rescrie
YAT + Z T B2T + AY + B2 Z

B1T


C1Y + D12 Z

YC1T + Z T D12T 

− 2 I
0
0

0
−I

B1
Y 0
Acest LMI se rezolvă în raport cu Y  0 şi cu Z
Deoarece [116], [117]
X −1 = Y ; FX −1 = Z  FY = Z  F = ZY −1
Complementul Schur se scrie [51]
11
A
A =  11T
 A12
A12 
A22 
Următoarele sunt echivalente:
a) A  0
b) A22  0 şi A11 − A12 A22−1 A12T  0
Modelul în spaţiul stărilor pentru sistemul tangaj-bătaie care include
semnalul de feedback ce leagă dinamica nominală de perturbaţia presiunii
dinamice se poate scrie [118]
y   0
0
  
0
   0
 y  =  a31 a32
  
   a41 a42
   0
0
  
1
0
a33
a43
0
0
1
a34
a44
0
0   y  0 
0    0 
b3    y  + 0   c

  
b4     0 
−1/      1/  
unde
 zl   zl  + zly y + zl  + zl   
y1 =   = 
 = C1 x + D11u1 + D12u2 ; D11 = 0; D12 = 0
 zm   zm  + zmy y + zm  + zm  
 wl 
u1 =   ;
 wm 
0 zl
C1 = 
0 zm
zly
zmy
zl
zm
u2 =  c
zl  
1 0 0 0 0 
; C2 = 


z m 
0 1 0 0 0 
y
0 0
0 
y2 =   ; D21 = 
; D22 =   .

 
0 0
0 
12
0
y  
   0
  a
 y   31
   a41
  =  0
  
  0
 zl  
z   0
 m  1
  
0
0
0
a32
a42
0
zl
zm
0
1
1
0
a33
a43
0
zly
zmy
0
0
0
1
a34
a44
0
zl
zm
0
0
0
0
b3
b4 
−1/ 
zl 
z m
0
0
0
0
b3l
b4l
0
0
0
0
0
0
0 
y 
0
0   

b3m
0  
 y 
b4 m
0  

0 1/    
  
0
0  
 wl 
0
0  
 wm
0
0  
 
0
0   c 
Rezultatele programului Matlab
min  = 0.14
Max 

=
1
= 7.14
0.14
Raza de robusteţe este numeric egala cu 7.14. [119], [120], [121], [122]
13
1.1. MODELUL AEROELASTIC ROBUST
Modelul nominal în spaţiul stărilor este doar o aproximaţie a
dinamicii
reale
a
modelului
tangaj-bătaie
astfel
încât
descrierea
incertitudinii trebuie făcută ţinând cont de erori.
Acestă descriere a incertitudinii trebuie făcută cu mare atenţie,
considerând ecuatile de mişcare şi notând posibilele deficienţe generate de
aerodinamica simplificată si de presupunerile de liniarizare a dinamicii
structurale. [6], [64], [123], [124]
Considerăm în ecuaţia portanţei o perturbaţie aditivă asociată cu un
parametru structural de amortizare pentru bătaie.
Amortizarea structurală reală, notată in continuare cu ch ,
este
presupusă ca fiind suma dintre valoarea nominală a amortizării, notată in
continuare cu ch0 , şi aceeaşi valoare a perturbaţiei,  ch , care descrie eroarea
dintre valoarea nominală şi cea reală.
ch = ch0 + Wch  ch = cho + 5.0 ch
Ponderea
(0.1)
reală Wch este asociată cu incertitudinea parametrică
pentru a asigura analiza stabilităţii robuste, utilizând nivele anticipate de
modelare a incertitudinii.[6], [64], [125]
Prin includerea efectului acestei noi incertitudini se poate deduce o
noua ecuaţie de mişcare ce leagă răspunsul structural al sistemului de forţa
de portanţă aerodinamică.
1
Trebuie remarcat că doar ecuaţia portanţei trebuie modificată
deoarece ecuaţia momentului nu depinde de ch .
mh + mx b + ch h + kh h
(
)
= mh + mx b + ch0 + Wch  ch h + kh h
= mh + mx b + ch0 h + kh h +  chWch h
(0.2)
= mh + mx b + ch0 h + kh h +  ch zh
= mh + mx b + ch0 h + kh h + wh
Dependenţa explicită a ecuaţiei portanţei de
parametrică,
incertitudinea
asociată cu amortizarea structurală este eliminată în noua
ecuaţie de mişcare prin înlocuirea termenului care depinde de  ch cu
semnalele de feedback wh şi z h .
Aceste semnale reprezintă o pereche fictivă de intrări-ieşiri, care este
utilizată pentru a lega dinamica nominală şi incertitudinea intr-o buclă de
feedback.
Aceste semnale sunt legate de expresia wh =  ch zh , unde z h este dat
de relaţia de mai jos [6], [125], [126]
zh = Wch h
(0.3)
Considerăm de asemenea o perturbaţie aditivă a constantei elastică,
pe care o asociem cu dinamica tangajului.
2
Valoarea adevărată a constantei elastice k este presupusă a fi suma
dintre valoarea nominală k0 şi o perturbaţie  k , aceasta reprezentând
incertitudinea parametrică .[127], [128], [129]
k = k0 + Wk  k = k0 + 0.35 k
(0.4)
1.2. METODA -SINTEZA
Se obţine o ecuaţie de mişcare nouă care va lega dinamicile
structurale de momentele aerodinamice utilizând valorile incertitudinilor
constantei elastice de tangaj.[6],[130]
mx bh + I + c + k =
(
)
= mx bh + I + c + k0 + Wk  k 
= mx bh + I + c + k0 + Wk  k 
(0.5)
= mx bh + I + c + k0 +  k z
= mx bh + I + c + k0 + w
Acestă nouă ecuaţie este similară cu ecuaţia nouă a portanţei, în
sensul că ambele ecuaţii au eliminat dependenţa explicită de orice
incertitudine parametrică prin introducerea semnalelor adiţionale.
Această ecuaţie a momentului utilizeaza relaţia de legătură
w =  k z pentru a face conexiunea dintre dinamicile nominale şi
incertitudinile parametrice prin bucla de feedback, unde z este o ieşire
adiţională pentru unghiul de tangaj scalat. [6], [131]
z = Wk 
(0.6)
3
O realizare în spaţiului stărilor pentru ecuaţia de mişcare se poate
formula prin egalarea ecuaţiilor pentru forţa portantă deduse anterior.
În mod similar, acelaşi lucru se poate realiza şi pentru ecuaţiile
momentului. [6], [132]
Scalând si eliminând din ecuaţia pentru forţă dependenţa explicită
de  obţinem:
h = ( I m − m 2 x2 b 2 )

−1
(
(
 ( − I kh ) h + mx bk0 − 2q0 I bcl + mx b3cm
))
1

+  − I ch0 − 2q0 I bcl + mx b3cm
h
U


1
 1
+  mx bc − 2q0 I bcl + mx b3cm  − e  b
2  U

+ ( − I ) wl + ( −mx b ) wm + ( − I ) wh + ( mx b ) w
(
)
(
(
)
(
+ −2q0 I bcl + mx b3cm
(
)
)) 




(
)
= a31h + a320 + a32 k0  + a330 + a33h kh0 h + a34
+b3l wl + b3m wm + b3h wh + b3 w + b3  w
(0.7)
Intrările adiţionale wm şi wh au semnificaţii diferite în ecuaţiile
pentru h ale celor două modele (modelul aeroelastic robust şi modelul
aeroelastic nominal).
Totuşi, acestea au şi multe similarităţi care trebuie puse în lumină.
[6], [64], [133], [134]
4
Prima similaritate este relaţia între coeficienţii care scalează
semnalul fictiv asociat cu incertitudinea şi parametrizarea presiunii
dinamice.
Această relaţie este predictivă, deoarece semnalul wh este introdus în
ecuaţie în aceeaşi manieră ca şi wl iar w este introdus la fel ca şi wm , dar cu
semn schimbat.
Aşadar, între aceşti coeficienţi există următoarea legătură
b3h = b3l
(0.8)
b3 = −b3m
O altă similaritate între cele două ecuaţii pentru h generate de cele
două modele, este potrivirea exactă a celor doi termeni a31 şi b3l .
Acestă potrivire rezultă din faptul că, în incertitudinea parametrică
este inclusă doar diferenţa dintre două derivări şi că efectul acestei
incertitudini este restricţionat de efectul celor două semnale adiţionale de
intrare. În mod evident, pentru diferitele realizări în spaţiul stărilor obţinute
prin transformări standard, este de aşteptat ca această potrivire să nu fie
neapărat utilă. [6], [64], [134], [135]
O altă ecuaţie de stare rezultă din combinarea ecuaţiilor pentru forţă
şi moment şi eliminarea termenului în h .
(
)
 = ( I − mx 2b 2 ) −1   ( x bkh ) h + −k + q0 2 ( b 2cm + x b 2cl )  

0
1

+  x bch0 + 2q0 b 2cm + x b 2cl
h +
U

(
)
5


 1  1 
+  −c + 2q0 b 2cm + x b 2cl  − e  b    + ( x b ) wl + wm + ( x b ) wy − w +
 2  U 

(
)
( (
+ 2q0 b 2cm + x b 2cl
)) 
=
(0.9)
Se observă că o relaţie de aceeaşi formă a fost obţinută în cadrul
modelului nominal aeroelastic pentru  , prin eliminarea dependenţei
explicite de h .
Evident, acestea sunt identice, excepţie făcând nişte termeni
adiţionali care rezultă din semnalele adiţionale wh şi w în cadrul modelului
robust aeroelastic. .[6], [64], [136]
Coeficienţii care scalează aceste noi semnale de intrare sunt legaţi de
coeficienţii termenilor care scalează semnalele utilizate pentru a parametriza
modelul presiunii dinamice.
b4 h = b4l
(0.10)
b4 = −b4 m
Ecuatiile deduse anterior pentru h şi pentru  pot fi combinate într-o formă
matriceală pentru a genera o realizare în spaţiul stărilor pentru sistemul
tangaj-bătaie. .[6], [64], [137]
6
h
h
 

 
 
 
h
h
 

 
 

 z  A B  
l
 =
  wl 
 z m  C D   
 wm 
z 
h
w 
 
 h
 z 
 w 
 
h
 
 
 
  
(0.11)
Unde
0
0
A=
 a31 a320

 a41 a420
0
0
B=
b3l

b4l
 0

 0

0
C=
W
 k
 1

 0
0
0
b3m
b4 m
0
0
+ a32 k0
a330
+ a42 k0
a430 + a43h ch0
0
0
b3 y
b4 y
zl
zlh
zm
zmh
0
Wch
0
0
0
1
0
0
7
0
0
b3
b4
1
0
+ a33h ch0
0 
0 
b3  

b4  
zl 

zm 

0 
0 

0 

0 
0
1 
(0.12)
a34 

a44 
(0.13)
(0.14)
0

0

D = 0
0

0
0

0 0 0
0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
zl 

zm 

0 
0 

0 
0 
(0.15)
Modelul în spaţiul stărilor pentru sistemul aeroelastic robust are şase
semnale de ieşire şi cinci semnale de intrare.
Ieşirile sunt alcătuite din zl , zm pentru feedback-ul perturbaţiei
presiunii dinamice şi zh , z pentru feedback-ul operatorilor nedeterminaţi,
unde h şi  reprezintă senzorii măsurătorilor efectuate.
Intrările sunt alcătuite din wl , wm pentru feedback-ul perturbaţiei
presiunii dinamice şi wh , w pentru feedback-ul operatorilor nedeterminaţi,
 reprezentând poziţia suprafeţei de control. .[6], [64], [138]
Diagrama bloc a modelului în spaţiul stărilor cu buclă dechisă-P, şi
feedback-ul operatorilor descriptivi care repetă perturbaţia presiunii
dinamice,  q , şi incertitudinile parametrice  ch ,  k sunt prezentate în
figură.
Modelul tangaj-bătaie în spaţiul stărilor este formulat prin includerea
incetitudinilor în ecuaţiile de mişcare şi derivând corespunzător ecuaţiile de
stare.
Acest procedeu este util pentru considerarea incertitudinilor în
parametrii specifici; în orice caz este dificilă aplicarea acestei proceduri
8
pentru sistemele de comandă superioare care prezintă mulţi termeni în
ecuaţia de mişcare. .[6], [64], [139]
O metodă alternativă de derivare a unei realizări în spaţiul stărilor a
sistemului aeroelastic robust este considerarea directă a unei realizări în
spaţiul stărilor a sistemului aeroelastic nominal.
Pentru a calcula h se vor nota termenii care depind de incertitudinile
parametrice şi anume: a32 = a320 + a32 k
este dependenţa de constanta
elastică de tangaj şi: a33 = a33h + a33h ch este dependenţa de amortizarea bătăii.
Astfel, modelul robust poate fi formulat prin înlocuirea termenilor
incerţi cu valorile lor perturbate asociate.
Se separă apoi efectele incertitudinilor parametrice şi se înlocuiesc
cu semnalele de feedback. .[6], [64], [140], [141]
9
Fig. 2.12. Model aeroelastic robust pentru sistemul tangaj-bataie
(
)
(
)
)+b
h = a31h + a320 + a32 k  + a330 + a33h ch0 h + a34
(
+b3l wl + b3m wm + a33hWch  ch h + a32 Wk  k
(
)
(
3
w
)
h = a31h + a320 + a32 k0  + a330 + a33h ch0 h + a34
(
)
+b3l wl + b3m wm + b3h zh  ch + b3 z  k + b3 
(
)
(
)
h = a31h + a320 + a32 k0  + a330 + a33h ch0 h + a34
+b3l wl + b3m wm + b3h wh + b3 w + b3 
(0.16)
(0.17)
(0.18)
Dependenţa explicită a lui h asupra incertitudinilor parametrice
poate fi înlocuită cu dependenţa asupra semnalelor de intrare şi ieşire
10
adiţionale. Incertitudinile parametrice ce acţionează asupra amortizării
tangajului sunt acum incluse în sistem prin relaţia de feedback:
wh =  ch zh
(0.19)
În mod similar, incertitudinile parametrice ale tangajului inflexibil
sunt acum conţinute de sistem prin relaţia de feedback: w =  k z . [6],
[64], [142], [143]
Semnalele de ieşire utilizate în aceste relaţii de feedback sunt uşor
de utilizat deoarece au fost ponderate valorile unghiului de tangaj şi ale
vitezei de bătaie.
zh = Wch h
(0.20)
z = Wk 
Coeficienţii acestei scale a stărilor şi a semnalelor de intrare
asemenea cu wl , wm şi  din ecuaţiile de calcul ale lui h pentru modelul
nominal aeroelastic sunt identici cu coeficienţii corespunzători din ecuaţia
de calcul a lui h pentru modelul aeroelastic robust.
Acest acord cu analiza de până acum denotă similaritatea
coeficienţilor pentru modelul obţinut prin includerea incertitudinilor în
ecuaţiile originale de mişcare, modelul aeroelastic robust fiind similar
pentru aceeaşi derivaţie. [6], [64], [144], [145], [146]
 = a41h + ( a42 + a42 k )  + ( a43 + a43 ch ) h + a44
0
(
0
0
h
0
)
+b4l wl + b4 m wm + a43hWch  ch h + a42 Wk  k  + b4  w
(0.21)
11
 = a41h + ( a42 + a42 k )  + ( a43 + a43 ch ) h + a44
0
0
(
0
h
0
)
+b4l wl + b4 m wm + b4 hWch  ch h + b4Wk  k  + b4  
(0.22)
 = a41h + ( a42 + a42 k )  + ( a43 + a43 ch ) h + a44
0
0
(
0
)
h
0
+b4l wl + b4 m wm + b4 h zch  ch + b4 z  k + b4  
(0.23)
 = a41h + ( a42 + a42 k )  + ( a43 + a43 ch ) h + a44
0
0
0
h
0
+b4l wl + b4 m wm + b4 h wh + b4 w + b4  
(0.24)
Incertitudinile parametrice au fost din nou eliminate din ecuaţie şi
înlocuite
de
un
operator
incertitudine
al
relaţiei
de
feedback.
Derivaţia pentru  a îndeplinit în mod independent derivaţia pentru
h ; totuşi, semnalele feedback care leagă operatorii incertitudine sunt
identici.
Astfel, incertitudinile existente în intrările amortizorului de bătaie
date de relaţia de legătură: wh =  ch zh ; unde: zh = Wch h .[154], [146], [147],
[148]
Incertitudinea intrărilor pentru tangajul inflexibil sunt date de relaţia:
w =  k z
(0.25)
z = Wk 
(0.26)
12
Concluzii
Aceste exemple demonstrează că există mai multe metode de a
include incertitudinile în modelul aeroelastic. Un avantaj cert este obţinerea
unui model robust care include incertitudinile în matricile din spaţiul stărilor
pentru modelul aeroelastic nominal.
În primul rând, această metodă necesită mult mai puţine cunoştinţe
de algebră decât alternativa acestor rezultate care include incertitudinile în
ecuaţiile de mişcare.
Metoda bazată pe includerea incertitudinilor direct în ecuaţiile de
mişcare prezintă anumite avantaje în foarte multe aplicaţii.
Unul dintre avantaje este posibilitatea includerii directe a
incertitudinilor în parametrii specifici şi siguranţa că aceste incertitudini nu
afectează şi alţi parametri.
Un alt avantaj este obţinerea elementelor din spaţiul stărilor şi
valoarea variaţiei acestor rezultate în elemente modale este rezultatul
incertitudinilor parametrilor fizici.
Desigur, aceste rezultate nu sunt foarte importante pentru modelele
cu comandă lentă ale modelului tangaj-bătaie dar ele sunt relevante în cazul
modelelor cu comandă superioară.
13
1.1. MODELUL AEROSERVOELASTIC ROBUST
Procedura de analiză a limitelor stabilităţii aeroservoelasticităţii
utilizând metoda  poate fi demonstrată utilizând sistemul tangaj-bătaie.
Poziţia flapsurilor poate fi comandată de un sistem de control
feedback ce introduce interacţii care nu există în cadrul modelului
aeroelastic cu buclă deschisă.
Ecuaţiile de mişcare pentru acest sistem sunt comenzi superioare ca
rezultat al proiectării sistemelor de control fiind câteva aspecte interesante
pentru efectarea de experimente diverse.
În particular, strategiile neliniare şi adaptive sunt studiate pe larg la
atenuarea vibraţiilor şi la îmbunătăţirea limitei de flutter. Un sistem de
comandă simplu, K este ales pentru a realiza comanda flapsurilor bazată pe
măsurătorile cu feedback.
Acest sistem de comandă nu este cel optim pentru atenuarea fiecărei
vibraţii sau pentru îmbunătăţirea limitei de flutter, totuşi este suficient de
demonstrat conceptul de stabilitate aeroservoelastică robustă.
 = K = −
(0.1)
Matricea de feedback, K este utilizată numai ca element netrivial al
sistemului de control. Această situaţie nu este reală pentru sistemele
complexe deoarece actuatoarele şi senzorii au dinamici proprii care
trebuiesc luate în considerare.
1
Acestea sunt modelate ca operatori universali (‘trece-tot’) cu
amplificare pe tot domeniul frecvenţelor. [149], [150], [151], [152]
De asemenea, descrierea incertitudinilor asociate cu modelul în
buclă închisă va fi identică cu descrierea incertitudinilor asociate cu modelul
în buclă deschisă.
Se presupune că nu sunt erori de modelare în sistemul de control
deoarece ipoteza iniţială a fost că senzorii şi actuatoarele sunt ideale.
Modelul real va avea actuatoare şi incertitudinile asociate acestora, dar
aceste elemente nu sunt necesare pentru a demonstra conceptul de baza al
metodei  sinteză.
În modelul cu buclă închisă este inclus un semnal perturbativ pentru
a reprezenta efectul intrărilor externe cum ar fi posibilele rafale de vânt sau
sisteme de comandă.
Această perturbaţie este modelată ca un sistem operativ de
actuatoare, poziţia flapsurilor pentru acest model este de fapt comanda .
[153], [154], [155], [156]
Figura următoare prezintă modelul aeroservoelastic care conţine un
sistem de comandă automată cu feedback şi un model în buclă deschisă
căruia i s-au asociat incertitudinile.
2
Fig. 2.13. Model aeroelastic robust pentru sistemul tangaj-bataie si controller cu
parametrizarea asupra presiunii dinamice si incertitudini descriptive
Modelul aeroservoelastic poate fi scris sub forma următoare:
h
h
 
 
 
 
h
h
 

 
 
 z  A B   
 
 l=
 wl
 z m  C D   
 wm 
z 
h
w 
 
 h
 z 
 w 
 
h
 
 
d 
  
(0.2)
Sistemul de comandă automată cu feedback este o matrice relativ
simplă.
3
Acest lucru nu produce destabilizarea sistemului ci doar transformă
dinamicile, lucru evident prin diferenţa dintre matricea de stare a sistemului
cu buclă închisă comparativ cu matricea de stare a sistemului cu buclă
deschisă.
Aceste diferenţe rezultă din schimbările proprietăţilor modale dintre
modelele aeroelastic şi aeroservoelastic.
Frecvenţele naturale pentru modelul aeroservoelastic sunt mai mari
decât frecvenţele naturale ale modelului aeroelastic.
De asemenea valoarea amortizării a fost schimbată ca şi cum un mod
a crescut valoarea amortizării iar celălalt a scăzut-o din cauza sistemului de
comandă automată.
Aceste modificări nodale pot fi evidenţiate prin calcularea funcţiei
de transfer de la intrarea perturbată la măsurătorile bătăii pentru fiecare
model.
Valoarea maximă a funcţiei de transfer asociată modurilor pentru
modelul aeroservoelastic se obţine la frecvenţe mult mai mari decât în cazul
modelului aeroelastic.
Această valoare se obţine însă la frecvenţe puţin mai mari decât cele
naturale şi indică o descreştere a amortizării modale.[157], [158]
4
1.2. LIMITA STABILITĂŢII AEROELASTICE
Un mod simplu pentru estimarea limitei flutter-ului nominal este
introducerea în modelul aeroelastic a diferitelor valori ale presiunii
dinamice şi analiza amortizării modale similară cu analiza V-g.
Limita flutter-ului nominal corespunde presiunii dinamice mici la
care modelul devine instabil.
Acestă valoare reprezintă presiunea critică de flutter şi este dată de
presiunea dinamică la care amortizarea celui mai mic mod devine negativă.
Limitele flutter-ului nominal pot fi calculate utilizând şi metoda
 sinteză. Aceste limite sunt calculate prin variaţia perturbaţiei presiunii
dinamice şi găsirea celei mai mici perturbaţii destabilizatoare.
Cele două metode prezentate dau rezultate aproape identice şi indică
faptul că metoda  sinteză poate fi folosită cu mult succes în locul
metodelor clasice. [153]
Limitele flutter-ului robust pot fi determinate prin considerarea
modelului aeroelastic cu incertitudinile date de următoarea relaţie:
h
h
 
 
 
 
h
h
 
 
 

 z  A B  
l

 =
 wl 
 z m  C D   
 wm 
z 
w 
 h
 h
 z 
 w 
 
 
h
 
  
5
(0.3)
Aceste limite indică faptul că la valori mici ale perturbaţiilor asupra
presiunii dinamice sistemul nu are proprietăţi de robusteţe stabile.
Limitele flutter-ului se calculează ca diferenţă între presiunea
dinamică operaţională şi presiunea critică asociată cu instabilitatea flutterului.
Limitele flutter-ului robust sunt mai mici decât limitele flutter-ului
nominal şi evidenţiază efectul introducerii incertitudinilor în analiză.
Diferenţele dintre cele două limite nu sunt semnificative în cazul
modelului tangaj-bătaie, însă ele demonstrează faptul că o valoare mică a
incertitudinii poate afecta analiza flutter-ului. [6]
De asemenea, frecvenţele sunt aproape identice cu cele generate de
modurile asociate limitelor flutter-ului nominal şi robust la care mecanismul
de flutter critic este esenţial.
Aceste incertitudini afectează presiunea dinamică la care apare
flutterul dar nu afectează semnificativ modurile critice.
Limita stabilităţii aeroservoelastice nominale poate fi estimată prin
aplicarea unei simple aproximaţii bazate pe analiza V-g.
Evoluţia proprietăţilor modale pentru modelul aeroservoelastic este
considerabil diferită de cea corespunzătoare analizei de flutter.
Estimarea presiunii critice la care instabilitatea aeroservoelastică
este întâlnită este dată de condiţia ca amortizarea să fie negativă. [6]
Prin metoda  sinteză se pot calcula instabilităţile şi limitele
stabilităţii aeroservoelastice robuste prin analiza sistemului în buclă închisă.
Frecvenţa asociată instabilităţii aeroservoelastice critice se modifică
semnificativ atunci când incertitudinea aste inclusă în analiză.
6
Modul critic suferă o modificare semnificativă a frecvenţei naturale
o data cu creşterea presiunii dinamice; după evaluarea proprietăţilor modale,
la valori mici ale presiunii se observă o descreştere a frecvenţei. [6]
1.3. ANALIZA PERFORMANŢELOR SISTEMULUI DE CONTROL
ACTIV ÎN CONDIŢII DE SATURAŢIE A POZIŢIEI ELEMENTULUI DE
EXECUŢIE
Problemele aeroelastice ale structurilor uşoare de vehicule
aerospaţiale moderne sunt rezultatul unor interacţiuni între forţele
aerodinamice, forţele structurale şi inerţiale.
Modelul matematic al problemei aeroelastice se bazează pe ecuaţiile
de mişcare ale lui Lagrange pentru dinamica structurală, precum şi pe o
abordare quasi-steady a forţelor aerodinamice generalizate din regimul
incompresibil.
Oscilaţiile sistemului aeroelastic pot fi suprimate utilizând tehnicile
de control activ. În cazul în care controlul este saturat, se micşorează
domeniul de stabilitate.
În cele ce urmează, Metoda funcţiei de descriere este folosită pentru
determinarea soluţiilor periodice ale unui sistem aeroelastic utilizând două
legi de control.
Proprietăţile de stabilitate ale sistemelor aeroservoelastice trebuiesc
studiate pentru a stabili anvelopa de zbor.
7
Rezultatul unei analize de stabilitate a sistemului aeroservoelastic
este determinarea anvelopei de zbor în care aeronava poate funcţiona în
condiţii de siguranţă. [159], [160]
Spre deosebire de aeroservoelasticitate, aeroelasticitatea consideră
doar interacţiunea dintre forţele aerodinamice, inerţie şi structurale.
Fenomenele aeroelastice ale structurilor de aeronave apar ca rezultat al
interacţiunilor dintre deformaţiile structurii elastice şi forţelor aerodinamice
induse de deformaţiile structurale.
Ele au o influenţă puternică asupra dinamicii structurale şi a
stabilităţii zborului şi, de asemenea, asupra performanţelor şi a controlului
aeronavei. Fără îndoială, fenomenul aeroelastic cel mai important datorită
efectului său distructiv, este flutter-ului, adică o auto-oscilaţie a structurii
elastice sub acţiunea sarcinilor aerodinamice. Instabilităţile gen flutter
prezintă adesea un comportament distructiv, care determină o schimbare
bruscă a stabilităţii, în condiţiile unor mici schimbări ale condiţiilor de
zbor.
Mai mult, vibraţiile aeroelastice care au loc la toate regimurile de
zbor au un impact puternic asupra structurii, ducând la oboseala accentuată
a acesteia. [161]
Această parte se referă doar la fenomene aeroelastice care pot fi
evitate sau ţinute sub control de către tehnicile controlului activ.
Suprimarea fenomenului de flutter cu ajutorul controlului activ face
parte dintr-o tehnologie destul de nouă în domeniul aviaţiei, şi reprezintă
controlul instabilităţilor naturale ale sistemului aeroelastic.
Mai mult, conceptul de suprimarea activă a flutter-ului a este strâns
legată de problema mult mai realistă de a controla vibraţiile structurale
aeroelastice .
8
În consecinţă, controlul activ este de fapt investigat şi destinat atât
pentru prevenirea cât şi pentru reducerea flutter-ului datorat încărcărilor
structurale. Validarea acestui concept a fost dovedită teoretic dar şi
experimental. [162]
Se observă faptul că mecanismele asociate fenomenului de flutter
pot fi diferite de cele ale instabilităţii aeroservoelastice. Până în prezent, mai
multe metode de determinare a
instabilităţii aeroservoelastice
şi a
condiţiilor de flutter au fost dezvoltate şi sunt îmbunătăţite continuu
[1]...[5]. Un model matematic adecvat al sistemului aeroservoelastic de
studiu este baza pentru proiectarea controller-ului. [163]
De obicei, modelul este obţinut prin combinarea ecuaţiilor
sistemului aeroelastic cu dinamica actuatorului şi alegerea unor aproximări
liniare (a se vedea, de exemplu, [5], [6], [52]). În conformitate cu teoria
sistemelor liniare, legile de control asigură stabilizare rapidă, în astfel de
cazuri, iar proprietăţile de stabilitate se menţin pe întreag spaţiul stărilor. În
cazul în care controlul de stabilizare este constrâns, de exemplu prin
saturarea actuatorului, apropierea lineară a sistemului aeroelastic rezultat nu
mai este valabilă din cauza elementului de saturaţie al poziţiei actuatorului.
În astfel de cazuri regiunea de stabilitate în spaţiul stărilor poate fi mai mică
decât în situaţia controlului fără constrângeri.
Scopul este de a prezenta o metodă de analiză pentru determinarea
soluţiilor periodice ale sistemelor aeroelastice având şi un element de
saturaţie.
Metoda propusă se bazează pe funcţia de descriere. [164]
Să considerăm un sistem neliniar, prezentat în figura de mai jos:
9
r =0
u
+
G ( s ) = C ( sI − A) B
−1
y
−
 ( y)
y
 ( )
Fig. 2.14. Schema bloc a sistemului
Presupunem că intrarea externă este r = 0 şi studiem sistemul:
x = Ax + Bu
y = Cx
(2.126)
u = − ( y )
unde
x
n
, u , y  , ( A, B )
( C , A ) este observabilă şi  :
→
este
controlabilă,
perechea
este elemental nelinear time-invariant.
Funcţia de transfer a sistemului linear este dată de relaţia [69], [165]
G ( s ) = C ( sI − A ) B
−1
(2.127)
Interesează existenţa unei soluţii periodice care să satisfacă condiţia
y ( t + 2 /  ) = y ( t )
Pentru  t , unde  este frecvenţa de oscilaţie. O metodă generală de
determinare a soluţiilor periodice este bazată pe aşa numita metodă a
funcţiei de descriere [52] care constă în reprezentarea soluţiei periodice prin
10
serie Fourier. Rezultatul se bazează pe armonica de ordinul I a ieşirii, astfel
încât ecuaţia
G ( j )  ( a ) + 1 = 0
(2.128)
Să aibă soluţia ( a,  ) unde  ( a ) reprezintă funcţia de descriere
definită drept:
 (a) =

2
 ( a sin  ) sin  d
 a 0
(2.129)
Ca fiind posibila soluţie periodică a sistemului din Figura 2.14,
având expresia y ( t ) = a sin t . [69]
În cazul în care elemental nelinear  ( y ) este funcţia de saturaţie,
acesta se poate ilustra ca în figura de mai jos:
 ( y)
45

y
Fig. 2.15. Elementul de saturaţie a poziţiei actuatorului
În urma unui calcul direct bazat pe relaţia (2.129) se obţine:
1 pentru 0  a  

2
 (a) =  2 
 
   

arcsin
+
1
−
  pentru a  1 .

a
a

 a  
 
11
Soluţia
( a,  ) ecuaţiei
(2.128) este determinată
uşor astfel
G ( j ) = U ( ) + jV ( ) , unde U ( ) şi V ( ) reprezintă partea sa reală,
respectiv partea imaginară.
Apoi, rezultă că (2.128) este echivalentă cu
U ( )  ( a ) + 1 = 0
(2.130a)
V ( )  ( a ) = 0
(2.130b)
În cazul în care din (2.130b) se obţine direct frecvenţa oscilaţiilor,
din (2.130a) se determină amplitudinea acestora, a. [69], [166]
12
Stabilitatea sistemului aeroelastic
Se consideră un
sistem aeroelastic, având variabilele de stare
h, h,  şi  şi variabila de intrare este bracajul  al suprafeţei de comandă.
Parametri modelului considerat depind de viteza aerului, U şi de
densitatea acestuia,  . [5],[6] iar ecuaţia diferenţială se scrie
m x b 
 m
q+
m x b
I 
 

1
 

U b 2 cz  − a  
ch + U bcz
2
 
+
q+


2 
3  1

U
b
c
c
−

U
b
c
−
a

m

z 

2


2 
2
k
 − U bcz 
U b cz 
+ h
q
=



2 2 
2 2  
 0 k − U b cm 
 U b cm 
(2.131)
T
Unde s-a făcut notaţia q := [h a ] .
Polii sistemului sunt reprezentaţi în Figura 2.16 unde se poate vedea
clar că pentru viteze mai mari decât cea critică U * = 11.2 m / s sistemul
aeroelastic trece în domeniul de instabilitate. [69]
1
Fig. 2.16. Sistemul in buclă deschisă-valorile proprii pentru U ≥ 6 m/s
Tabelul 2.1. Parametrii nominali din ecuaţia de mişcare
U = 6m / s
a = −0.6
m = 12.387 kg
b = 0.135 m
I = 0.065 Kg m 2
ch = 27.43 kg / s
x = 0.2466
c = 0.036 Kg m 2 / s
cz = 3.358
kh = 2844.4 n / m
cz = 6.28
cm = 12.387
k = 3.525 Nm / rad
cm = −0.635
Legea de comandă este proiectată astfel încât să stabilizeze sistemul
aeroelastic pentru a mări factorul de amortizare. [6]
Procedura de proiectare se bazează pe reprezentarea politopică a
sistemului (2.131) având parametrii U şi  .
Legea de comandă obţinută cu această metodă are forma[69]
T
 = K1  h h    ,
Unde
2


K1 =  44.1008 3.8667 1.005 −0.0042 


(2.132)
În cele ce urmează, se prezintă o metodă de proiectare alternativă a
legii de control realizată pe baza
optimizării liniar-pătratice care este
considerată din motive comparative.
În cazul în care sistemul (2.131) este reprezentat în următoarea
formă în spaţiul stărilor
x = Ax + Bu
(2.133)
T
unde x =  h h    şi variabila de control u este bracajul  , se poate
verifica faptul că la U  11.2 m / s , matricea de stare A are două valori
proprii stabile şi două valori proprii instabile (cu partea reală pozitivă).
Apoi, în scopul de a stabiliza sistemul aeroelastic este suficient a
stabiliza doar modurile instabile.
Efectuăm descompunerea Schur a matricei de stare A şi se obţine
[51]
A
QT AQ =  s
0
unde As 
2 2
*
=: A
Aa 
este matrice Hurwitz , Aa 
22
este matricea anti-Hurwitz,
Q este matricea unitate şi * denotă o matrice bloc irelevantă [5].
Se poate scrie [51]
bs 
b := QT b =   ,
ba 
se determină factorul de amplificare k astfel încât Aa − ba k este Hurwitz.
[51] După cum s-a menţionat mai sus, acest factor de amplificare va fi
obţinut prin rezolvarea unei probleme liniar-patratice ce constă în găsirea lui
k, astfel încât funcţia cost să fie minimă [52]
3

J ( u ) =  u 2 ( t ) dt
0
Soluţia acestei probleme este dată de k = baT X unde X este soluţia
stabilizatoare a ecuaţiei de tip Bernoulli
AaT X + XAa − Xba baT X = 0
Având în vedere transformarea de mai sus, vectorul de stare
 xs 
corespunzător reprezentării (2.133) devine x = QT x =   , xs , xa 
 xa 
2
astfel încât reprezentarea echivalentă în spaţiul stărilor a ecuaţiei (2.133)
este
x = Ax + bu
(2.134)
Intrucât comanda este de forma u = kxa = Kx , unde K :=  0 k  se
obţine relaţia
A
A − bK =  s
0
* 
= QT AQ − QT bK
Aa − ba k 
(2.135)
Care arată faptul că K - factorul de amplificare, stabilizează perechea
( A, b ) .
Pentru ultima egalitate a relaţiei (2.135) rezultă că factorul de
amplificare pentru ( A, b ) este
K 2 = KQT =  0.8 0.07 0.04 0.007 
(2.136)
Pentru o viteză considerată de U = 11.2 m / s ambele amplificări K1
şi K 2 menţionate mai sus oferă stabilizarea legilor de comandă indiferent de
condiţiile iniţiale. [52]
4
Analiza de stabilitate în cazul saturaţiei comenzii
Metoda funcţiei de descriere poate fi folosită şi pentru determinarea
eventualelor soluţii periodice ale sistemului in buclă închisă, prezentat în
Figura 2.17.
Initial
condition


−
G (s)
y
Aeroelastic
system
Fig. 2.17. Sistemul aeroelastic cu element de saturaţie a poziţiei actuatorului
Stabilizarea sistemului aeroelastic cu saturarea comenzii în cazul în
care
funcţia
de
transfer
G ( s ) = K ( sI − A ) b , cu K
−1
a
componentei
liniare
este
de
forma
luând valorile K1 şi K 2 date de relaţiile
(2.132) şi respectiv (2.136).
În cazul în care K = K1 , metoda funcţiei de descriere considerând
frecvenţa  = 16.72 rad / s rezultă următoarele soluţii periodice obţinute
pentru fiecare caz in parte, astfel: [167]
 = 0.3 rad
(
 0.3) y ( t ) = 2.38sin (16.72t )
5
 = 0.2 rad
(
 0.2 ) , y ( t ) = 1.25sin (16.72t )
 = 0.1 rad
(
 0.1) , y ( t ) = 0.6sin (16.72t ) .
Răspunsurile în timp ale sistemului aeroelastic pentru diferite
condiţii iniţiale sunt ilustrate pentru  = 0.3 rad în Figurile 2.17 ÷ 2.19.
[167]
1
0.5
y
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
time [s]
Fig. 2.18. Soluţia stabilă pentru x0 = [0.03 0 0.5 0.21]T
6
2.5
2
1.5
1
y
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
time [s]
1.4
1.6
1.8
2
Fig. 2.19. Soluţia periodică pentru x0 = [0.03 0 1 0.21]T
60
40
y
20
0
-20
-40
-60
0
0.5
1
1.5
time [s]
2
2.5
Fig. 2.20. Soluţia instabilă pentru x0 = [0.03 0 1.1 0.21]T
7
3
Se repetă analiza pentru cazul în care K = K2 şi se obţin următoarele
soluţii periodice pentru: [167]
 = 0.3 rad , y ( t ) = 0.7 sin (12.27t )
 = 0.2 rad , y ( t ) = 0.49sin (12.27t )
 = 0.1 rad , y ( t ) = 0.25sin (12.27t )
Răspunsul în timp corespunzător cazurilor studiate este prezentat în
Figurile 2.20 ÷ 2.22
0.8
0.6
0.4
y
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0
1
2
3
4
tims [s]
5
6
7
Fig. 2.21. Soluţia stabilă pentru x0 = [0.62 0 0 0]T
8
8
2.5
2
1.5
1
y
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
time [s]
Fig. 2.22. Soluţia instabilă pentru x0 = [0.7 0 0 0]T
Ciclul limită corespunzător
soluţiei periodice în spaţiul stărilor
transformat ( xa1 , xa 2 ) este ilustrat în Figura 2.23
8
6
4
x
a2
2
0
-2
-4
-6
-8
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
x a1
0.2
0.4
0.6
0.8
Fig. 2.23. Ciclul limită în spaţiul stărilor ( xa1 , xa 2 ) pentru d = 0.3
9
Rezultatele de mai sus arată că, în cazul în care variabila de control
 este limitată la domeniul de stabilitate care nu coincide cu întreg spaţiul
stărilor, în acest caz comanda nu este saturată.
Cum era de aşteptat, această regiune scade cu nivelul de saturaţie al
poziţiei actuatorului  . [167]
Metoda funcţiei de descriere este o metodă eficientă pentru
determinarea soluţiilor periodice ale sistemelor aeroelastice controlate, luînd
în considerare şi elementul de saturaţie al poziţiei actuatorului.
Pe baza aceastei metode de analiză în domeniul stabilităţii, sistemele
neliniare pot fi astfel complet determinate.
Acest lucru este extrem de util în evaluarea corectă a performanţei
legii de control în cazul saturaţiei poziţiei actuatorului.
Rezultatele numerice subliniază o amplitudine şi o frecvenţă de
valoare mai mică pentru soluţiile periodice, în cazul în care este aplicată
legea de control activă concepută prin tehnici de control optimal.
Metoda funcţiei de descriere poate fi, de asemenea, utilizată pentru
a analiza efectele saturaţiei controlului asupra domeniului de stabilitate al
sistemelor aeroelastice. [52], [167]
10
1.1. CONCLUZII
Aceste exemple demonstrează că există mai multe metode de a
include incertitudinile în modelul aeroelastic.
Totuşi, un avantaj cert este obţinerea unui model robust care include
incertitudinile în matricele din spaţiul stărilor pentru modelul aeroelastic
nominal.
În primul rând, această metodă necesită mult mai puţine cunoştinţe
de algebră decât alternativa acestor rezultate care include incertitudinile în
ecuaţiile de mişcare.
Metoda bazată pe includerea incertitudinilor direct în ecuaţiile de
mişcare prezintă anumite avantaje în foarte multe aplicaţii.
Unul dintre avantaje este posibilitatea includerii directe a
incertitudinilor în parametrii specifici şi siguranţa că aceste incertitudini nu
afectează şi alţi parametri.
Desigur, aceste rezultate nu sunt foarte importante pentru modelele
cu comandă lentă ale modelului tangaj-bătaie dar ele sunt relevante în cazul
modelelor cu comandă superioară.
Sunt analizate perturbaţiile ce afectează comportarea dinamică a
sistemelor fizice, metoda acomodării la perturbaţie a sistemului dinamic şi
reglarea sistemelor prin absorbţia perturbaţiilor de către sistemul de reglaj.
11
Pe modelul secţiunii tipice a fost construit modelul aeroelastic şi
aeroservoelastic robust, incertitudile parametrice fiind analizate cu ajutorul
metodei  sinteză.
Limitele flutter-ului robust sunt mai mici decât limitele flutter-ului
nominal şi evidenţiază efectul introducerii incertitudinilor în analiză.
Diferenţele dintre cele două limite nu sunt semnificative în cazul
modelului tangaj-bătaie, însă ele demonstrează faptul că şi o valoare mică a
incertitudinii poate afecta analiza flutter-ului. [6]
12