For Better Official Statistics
PROPORSI, ESTIMASI, DAN
GOODNESS OF FIT
Materi Pertemuan ke-2
Analisis Data Kategorik
Program D-IV Statistika
©2021 Politeknik Statistika STIS
1
PROPORSI TUNGGAL
Data kategorik
atau data
kualitatif
Data nominal
Data ordinal
Ukuran statistik:
Modus
Frekuensi
kejadian yg
diamati
Proporsi
Membedakan
kelompok yg
diamati
Ada tingkatan
For Better Official Statistics
Misalkan dipilih sampel acak sebanyak 10
siswa dan dicatat berapa siswa yang
pandai di bidang matematika dan yang
tidak
è n = 10
è Y = banyaknya siswa yang pandai
matematika
Y ~ binomial
è Peluang terdapat k siswa yang pandai
matematika dari n siswa
𝑛 !
𝑃 𝑌=𝑘 =
𝜋 1−𝜋
𝑘
"#!
k = 0,1,2,…, 10
Agung Priyo Utomo - agung@stis.ac.id
2
UJI HIPOTESIS: PROPORSI TUNGGAL
Pada contoh
sebelumnya, misalkan
pihak sekolah
beranggapan bahwa
seharusnya 80%
siswanya pandai
matematika.
Misalkan ternyata
data sampel
menunjukkan hanya
70% siswa yang
pandai matematika
Apakah proporsi
sampel berbeda
dg proporsi yg
dihipotesiskan
Apakah
pernyataan pihak
sekolah tidak
didukung oleh
sampel?
Agung Priyo Utomo - agung@stis.ac.id
For Better Official Statistics
H0: π = 0,8
H1: π < 0,8
Statistik uji:
1. Exact test
2. Wald Test
3. Score test
4. Likelihood Ratio test
3
PROSEDUR UJI HIPOTESIS: PROPORSI TUNGGAL (1)
Uji Wald
• Jika n → ∞, bin ~ Normal
• Syarat: nπ > 5 dan n(1-π) > 5
• Pada contoh, nπ = 10×0,8 = 8 dan n(1-π) =
10×0,2 = 2
• Untuk menguji H0: π = π0, statistik uji yg
digunakan:
𝑝 − 𝜋!
𝑧=
~𝑁 0,1
𝑝 1 − 𝑝 ⁄𝑛
• Pada contoh,
𝑝 − 𝜋!
𝑧=
=
𝑝 1 − 𝑝 ⁄𝑛
0,7 − 0,8
0,7 0,3 ⁄10
= −0,69
• Pada α = 5%, H0 ditolak jika 𝑧 < −1,645
• Keputusan: gagal tolak H0 è pernyataan pihak
sekolah masih dapat diterima
For Better Official Statistics
Score Test
• seperti uji Wald, namun estimasi varian
proporsi didasarkan pada nilai π0
• Untuk menguji H0: π = π0, statistik uji yg
digunakan:
𝑝 − 𝜋!
𝑧=
~𝑁 0,1
𝜋! 1 − 𝜋! ⁄𝑛
• Pada contoh,
𝑝 − 𝜋!
𝑧=
=
𝜋! 1 − 𝜋! ⁄𝑛
= −0,79
0,7 − 0,8
0,8 0,2 ⁄10
• Pada α = 5%, H0 ditolak jika 𝑧 < −1,645
• Keputusan: gagal tolak H0 è pernyataan pihak
sekolah masih dapat diterima
Agung Priyo Utomo - agung@stis.ac.id
𝑧 !~𝜒"! è hanya untuk uji hipotesis 2 arah
4
PROSEDUR UJI HIPOTESIS: PROPORSI TUNGGAL (1)
Agung Priyo Utomo - agung@stis.ac.id
For Better Official Statistics
5
PROSEDUR UJI HIPOTESIS: PROPORSI TUNGGAL (2)
Metode Likelihood Ratio
• Membandingkan likelihood (probabilita) dari data
observasi yg diperoleh menggunakan proporsi
dibawah hipotesis nol (L0) terhadap data observasi
yg diperoleh dari sampel (hasil estimasi, L1)
likelihood ratio (LR) = L0/L1
• Jika L1 lebih besar dari L0, maka LR semakin kecil è
cenderung gagal tolak H0
• Statistik uji LR adalah sebagai berikut:
𝐿!
= −2 ln
= −2 ln 𝐿! − ln 𝐿#
𝐿#
• pd kasus proporsi tunggal, db = 1
• Tolak H0 jika 𝐺 " > 𝜒#"
𝐺"
"
~𝜒$%
For Better Official Statistics
• Statistik uji ini hanya utk uji hipotesis 2 arah
• Pada contoh: H0: π = 0,8 vs H1: π ≠ 0,
𝐿! = 𝑃 𝑌 = 7 =
10
0,8& 0,2
7
#!'&
= 0,201
𝐿# = 𝑃 𝑌 = 7 =
10
0,7& 0,3
7
#!'&
= 0,267
sehingga
𝐺"
𝐿!
0,201
= −2 ln
= −2 ln
= 0,567
𝐿#
0,267
"
• Nilai 𝜒!,!);#
= 3,84, sehingga gagal tolak H0
Agung Priyo Utomo - agung@stis.ac.id
6
RANGKUMAN: UJI PROPORSI TUNGGAL
Agung Priyo Utomo - agung@stis.ac.id
For Better Official Statistics
7
GOODNESS-OF-FIT TEST (1)
• Penelitian ttg kecakapan siswa di bidang
matematika yg dikategorikan menjadi 4, yaitu
mahir/sangat baik, baik, cukup, dan kurang. Pihak
sekolah beranggapan bahwa pada awalnya dari
seluruh siswanya, 15% termasuk dalam kategori
sangat baik, 40% baik, 30% cukup, dan 15% kurang.
Jika diberikan suatu program khusus utk
meningkatkan kemampuan matematika dg harapan
dapat meningkatkan kemampuan mereka, apakah
anggapan pihak sekolah didukung oleh informasi
sampel?
For Better Official Statistics
• Sebuah perusahaan snack, memproduksi snack dg
kemasan yang didalamnya terdiri atas 4 warna.
Misal perusahaan tersebut bermaksud menguji
apakah komposisi warna isi snack dalam satu
kemasan sama.
• Setelah menerapkan kurikulum baru, pihak PT
bermaksud menguji apakah distribusi kemampuan
mahasiswanya berbeda secara signifikan
dibandingkan sebelumnya (dilihat melalui distribusi
grade nilai yang diperoleh, yaitu A, B, C, D)
Agung Priyo Utomo - agung@stis.ac.id
8
GOODNESS-OF-FIT TEST (2)
• Pada kasus disini terdapat lebih dari 2 kategori dan
yang diamati adalah distribusi frekuensi dari setiap
sel.
• Hipotesis:
H0: Frekuensi harapan sama dg frekuensi
sampel (Distribusi frekuensi harapan
sesuai/didukung oleh informasi
sampel)
H1: Frekuensi harapan tidak sama dg
frekuensi sampel (Distribusi frekuensi
harapan tidak sesuai/tidak didukung
oleh informasi sampel)
For Better Official Statistics
Statistik Uji:
1. Pearson Chi-Squared Test Statistic
"
Tolak H0 jika 𝑋 " > 𝜒(,;
-'# )
2.
Likelihood Ratio Test Statistic
"
Tolak H0 jika 𝐺 " > 𝜒(,;
-'# )
Agung Priyo Utomo - agung@stis.ac.id
9
GOODNESS-OF-FIT TEST (3)
1.
For Better Official Statistics
Pearson Chi-Squared Test Statistic
Contoh:
Penelitian ttg kecakapan siswa dalam bidang matematika dikategorikan menjadi 4, yaitu sangat
baik, baik, cukup, dan kurang. Pihak sekolah beranggapan bahwa pd awalnya dari seluruh siswanya,
15% termasuk kategori sangat baik, 40% baik, 30% cukup, dan 15% kurang. Jika diberikan suatu
program khusus utk meningkatkan kemampuan matematika dg harapan dapat meningkatkan
kemampuan mereka, apakah anggapan pihak sekolah didukung oleh informasi sampel? Hasilnya
sbb:
Agung Priyo Utomo - agung@stis.ac.id
10
GOODNESS-OF-FIT TEST (5)
1.
For Better Official Statistics
Pearson Chi-Squared Test Statistic
Hipotesis:
H0: Distribusi Frekuensi harapan sama dg frekuensi sampel
H1: Distribusi Frekuensi harapan tidak sama dg frekuensi sampel
Statistik Uji:
"
"
"
Nilai 𝜒(!,!);
-'# ) = 𝜒(!,!); /'# ) = 𝜒(!,!);0) = 7,82
"
Karena X2 > 𝜒(!,!);0)
= 7,82, maka H0 ditolak, artinya distribusi frekuensi harapan tidak sama dg
frekuensi observasi.
Jika dilihat distribusi frekuensi pada tabel, pihak sekolah berhasil meningkatkan kemampuan
matematika siswa.
Agung Priyo Utomo - agung@stis.ac.id
11
GOODNESS-OF-FIT TEST
1.
For Better Official Statistics
Likelihood Ratio Test Statistic
Hipotesis:
H0: Distribusi Frekuensi harapan sama dg frekuensi sampel
H1: Distribusi Frekuensi harapan tidak sama dg frekuensi sampel
Statistik Uji:
"
Karena G2 > 𝜒(!,!);0)
= 7,82, maka H0 ditolak.
Agung Priyo Utomo - agung@stis.ac.id
12
GOODNESS-OF-FIT TEST
Agung Priyo Utomo - agung@stis.ac.id
For Better Official Statistics
13
LATIHAN (1)
For Better Official Statistics
Agung Priyo Utomo - agung@stis.ac.id
14
LATIHAN (2)
For Better Official Statistics
Agung Priyo Utomo - agung@stis.ac.id
15
For Better Official Statistics
Terimakasih
Agung Priyo Utomo - agung@stis.ac.id
16