For Better Official Statistics PROPORSI, ESTIMASI, DAN GOODNESS OF FIT Materi Pertemuan ke-2 Analisis Data Kategorik Program D-IV Statistika ©2021 Politeknik Statistika STIS 1 PROPORSI TUNGGAL Data kategorik atau data kualitatif Data nominal Data ordinal Ukuran statistik: Modus Frekuensi kejadian yg diamati Proporsi Membedakan kelompok yg diamati Ada tingkatan For Better Official Statistics Misalkan dipilih sampel acak sebanyak 10 siswa dan dicatat berapa siswa yang pandai di bidang matematika dan yang tidak è n = 10 è Y = banyaknya siswa yang pandai matematika Y ~ binomial è Peluang terdapat k siswa yang pandai matematika dari n siswa 𝑛 ! 𝑃 𝑌=𝑘 = 𝜋 1−𝜋 𝑘 "#! k = 0,1,2,…, 10 Agung Priyo Utomo - agung@stis.ac.id 2 UJI HIPOTESIS: PROPORSI TUNGGAL Pada contoh sebelumnya, misalkan pihak sekolah beranggapan bahwa seharusnya 80% siswanya pandai matematika. Misalkan ternyata data sampel menunjukkan hanya 70% siswa yang pandai matematika Apakah proporsi sampel berbeda dg proporsi yg dihipotesiskan Apakah pernyataan pihak sekolah tidak didukung oleh sampel? Agung Priyo Utomo - agung@stis.ac.id For Better Official Statistics H0: π = 0,8 H1: π < 0,8 Statistik uji: 1. Exact test 2. Wald Test 3. Score test 4. Likelihood Ratio test 3 PROSEDUR UJI HIPOTESIS: PROPORSI TUNGGAL (1) Uji Wald • Jika n → ∞, bin ~ Normal • Syarat: nπ > 5 dan n(1-π) > 5 • Pada contoh, nπ = 10×0,8 = 8 dan n(1-π) = 10×0,2 = 2 • Untuk menguji H0: π = π0, statistik uji yg digunakan: 𝑝 − 𝜋! 𝑧= ~𝑁 0,1 𝑝 1 − 𝑝 ⁄𝑛 • Pada contoh, 𝑝 − 𝜋! 𝑧= = 𝑝 1 − 𝑝 ⁄𝑛 0,7 − 0,8 0,7 0,3 ⁄10 = −0,69 • Pada α = 5%, H0 ditolak jika 𝑧 < −1,645 • Keputusan: gagal tolak H0 è pernyataan pihak sekolah masih dapat diterima For Better Official Statistics Score Test • seperti uji Wald, namun estimasi varian proporsi didasarkan pada nilai π0 • Untuk menguji H0: π = π0, statistik uji yg digunakan: 𝑝 − 𝜋! 𝑧= ~𝑁 0,1 𝜋! 1 − 𝜋! ⁄𝑛 • Pada contoh, 𝑝 − 𝜋! 𝑧= = 𝜋! 1 − 𝜋! ⁄𝑛 = −0,79 0,7 − 0,8 0,8 0,2 ⁄10 • Pada α = 5%, H0 ditolak jika 𝑧 < −1,645 • Keputusan: gagal tolak H0 è pernyataan pihak sekolah masih dapat diterima Agung Priyo Utomo - agung@stis.ac.id 𝑧 !~𝜒"! è hanya untuk uji hipotesis 2 arah 4 PROSEDUR UJI HIPOTESIS: PROPORSI TUNGGAL (1) Agung Priyo Utomo - agung@stis.ac.id For Better Official Statistics 5 PROSEDUR UJI HIPOTESIS: PROPORSI TUNGGAL (2) Metode Likelihood Ratio • Membandingkan likelihood (probabilita) dari data observasi yg diperoleh menggunakan proporsi dibawah hipotesis nol (L0) terhadap data observasi yg diperoleh dari sampel (hasil estimasi, L1) likelihood ratio (LR) = L0/L1 • Jika L1 lebih besar dari L0, maka LR semakin kecil è cenderung gagal tolak H0 • Statistik uji LR adalah sebagai berikut: 𝐿! = −2 ln = −2 ln 𝐿! − ln 𝐿# 𝐿# • pd kasus proporsi tunggal, db = 1 • Tolak H0 jika 𝐺 " > 𝜒#" 𝐺" " ~𝜒$% For Better Official Statistics • Statistik uji ini hanya utk uji hipotesis 2 arah • Pada contoh: H0: π = 0,8 vs H1: π ≠ 0, 𝐿! = 𝑃 𝑌 = 7 = 10 0,8& 0,2 7 #!'& = 0,201 𝐿# = 𝑃 𝑌 = 7 = 10 0,7& 0,3 7 #!'& = 0,267 sehingga 𝐺" 𝐿! 0,201 = −2 ln = −2 ln = 0,567 𝐿# 0,267 " • Nilai 𝜒!,!);# = 3,84, sehingga gagal tolak H0 Agung Priyo Utomo - agung@stis.ac.id 6 RANGKUMAN: UJI PROPORSI TUNGGAL Agung Priyo Utomo - agung@stis.ac.id For Better Official Statistics 7 GOODNESS-OF-FIT TEST (1) • Penelitian ttg kecakapan siswa di bidang matematika yg dikategorikan menjadi 4, yaitu mahir/sangat baik, baik, cukup, dan kurang. Pihak sekolah beranggapan bahwa pada awalnya dari seluruh siswanya, 15% termasuk dalam kategori sangat baik, 40% baik, 30% cukup, dan 15% kurang. Jika diberikan suatu program khusus utk meningkatkan kemampuan matematika dg harapan dapat meningkatkan kemampuan mereka, apakah anggapan pihak sekolah didukung oleh informasi sampel? For Better Official Statistics • Sebuah perusahaan snack, memproduksi snack dg kemasan yang didalamnya terdiri atas 4 warna. Misal perusahaan tersebut bermaksud menguji apakah komposisi warna isi snack dalam satu kemasan sama. • Setelah menerapkan kurikulum baru, pihak PT bermaksud menguji apakah distribusi kemampuan mahasiswanya berbeda secara signifikan dibandingkan sebelumnya (dilihat melalui distribusi grade nilai yang diperoleh, yaitu A, B, C, D) Agung Priyo Utomo - agung@stis.ac.id 8 GOODNESS-OF-FIT TEST (2) • Pada kasus disini terdapat lebih dari 2 kategori dan yang diamati adalah distribusi frekuensi dari setiap sel. • Hipotesis: H0: Frekuensi harapan sama dg frekuensi sampel (Distribusi frekuensi harapan sesuai/didukung oleh informasi sampel) H1: Frekuensi harapan tidak sama dg frekuensi sampel (Distribusi frekuensi harapan tidak sesuai/tidak didukung oleh informasi sampel) For Better Official Statistics Statistik Uji: 1. Pearson Chi-Squared Test Statistic " Tolak H0 jika 𝑋 " > 𝜒(,; -'# ) 2. Likelihood Ratio Test Statistic " Tolak H0 jika 𝐺 " > 𝜒(,; -'# ) Agung Priyo Utomo - agung@stis.ac.id 9 GOODNESS-OF-FIT TEST (3) 1. For Better Official Statistics Pearson Chi-Squared Test Statistic Contoh: Penelitian ttg kecakapan siswa dalam bidang matematika dikategorikan menjadi 4, yaitu sangat baik, baik, cukup, dan kurang. Pihak sekolah beranggapan bahwa pd awalnya dari seluruh siswanya, 15% termasuk kategori sangat baik, 40% baik, 30% cukup, dan 15% kurang. Jika diberikan suatu program khusus utk meningkatkan kemampuan matematika dg harapan dapat meningkatkan kemampuan mereka, apakah anggapan pihak sekolah didukung oleh informasi sampel? Hasilnya sbb: Agung Priyo Utomo - agung@stis.ac.id 10 GOODNESS-OF-FIT TEST (5) 1. For Better Official Statistics Pearson Chi-Squared Test Statistic Hipotesis: H0: Distribusi Frekuensi harapan sama dg frekuensi sampel H1: Distribusi Frekuensi harapan tidak sama dg frekuensi sampel Statistik Uji: " " " Nilai 𝜒(!,!); -'# ) = 𝜒(!,!); /'# ) = 𝜒(!,!);0) = 7,82 " Karena X2 > 𝜒(!,!);0) = 7,82, maka H0 ditolak, artinya distribusi frekuensi harapan tidak sama dg frekuensi observasi. Jika dilihat distribusi frekuensi pada tabel, pihak sekolah berhasil meningkatkan kemampuan matematika siswa. Agung Priyo Utomo - agung@stis.ac.id 11 GOODNESS-OF-FIT TEST 1. For Better Official Statistics Likelihood Ratio Test Statistic Hipotesis: H0: Distribusi Frekuensi harapan sama dg frekuensi sampel H1: Distribusi Frekuensi harapan tidak sama dg frekuensi sampel Statistik Uji: " Karena G2 > 𝜒(!,!);0) = 7,82, maka H0 ditolak. Agung Priyo Utomo - agung@stis.ac.id 12 GOODNESS-OF-FIT TEST Agung Priyo Utomo - agung@stis.ac.id For Better Official Statistics 13 LATIHAN (1) For Better Official Statistics Agung Priyo Utomo - agung@stis.ac.id 14 LATIHAN (2) For Better Official Statistics Agung Priyo Utomo - agung@stis.ac.id 15 For Better Official Statistics Terimakasih Agung Priyo Utomo - agung@stis.ac.id 16