Tõenäosuse tihedus
Tõenäosuse tihedus e. tihedusfunktsioon I
Jaotusfunktsiooni abil on raske otsustada juhusliku suuruse
käitumise üle mingi punkti ümbruses. Seetõttu kasutatakse lisaks
jaotusfunktsioonile ka sellest tuletatud tihedusfunktsiooni.
F(x) – juhusliku suuruse jaotusfunktsioon.
Tõenäosus, et juhuslik suurus X satub poollõiku [x; x+x) on siis
F = F(x+x) – F(x)
Pikkusühiku kohta tuleb keskmiseks tõenäosuseks siis
F
pk ( x ) 
x
Tihedusfunktsioon II
Juhusliku suuruse tõenäosuse tiheduseks p(x) e.
tihedusfunktsiooniks e. jaotustiheduseks nimetatakse keskmise
tõenäosuse tiheduse piirväärtust vahemiku pikkuse x
tõkestamatul kahanemisel:
F ( x )  F ' ( x )
p( x )  lim
x 0
x
Tihedusfunktsioon on võrdne jaotusfunktsiooni tuletisega.
Diskreetsel juhuslikul suurusel ei ole tihedusfunktsiooni, kuna
vastav piirväärtus on juhusliku suuruse võimalike väärtuste kohal
lõpmatu.
Näide 1
Leida juhusliku suuruse tihedusfunktsioon, kui jaotusfunktsioon
on järgmine :
0

F ( x )  x 2 / 4
1

, kui x  0,
, kui 0 < x < 2,
, kui 2  x.
Lahendus
 0,
p( x )  F ' ( x )   2x / 4 = x / 2 ,

 0,
kui x  0,
kui 0 < x < 2,
kui 2  x.
Tihedusfunktsiooni omadused
p( x )  0
1)
See omadus järeldub asjaolust, et mittekahaneva
funktsiooni F(x) tuletis ei saa olla negatiivne.

2)
 p( x )dx  1

Päratu integraal
Tõestus

t
t

t
t
 p( x )dx  lim
 F ' ( x )dx
 p( x )dx  lim
t 
t 
 lim F (t )  lim F (t )  1 0  1
t 
t 
 limF ( x )  =
t
t 
t
mida oligi vaja näidata.
Jaotusfunktsiooni omadused
Tihedusfunktsiooni graafik
Tihedusfunktsiooniks saab olla ainult nimetatud kaht tingimust
rahuldav funktsioon.
Tihedusfunktsiooni graafiku põhjal on lihtne otsustada, kui sageli
satuvad juhusliku suuruse X väärtused punkti x ümbrusse.
Tüüpiline tihedusfunktsiooni graafik
p(x)
S=1
0
x
Juhusliku suuruse antud poollõiku sattumise
tõenäosus
x2
P( x1  X  x2 )  F ( x2 )  F ( x1 )  F ' ( x ) dx.
x1
Kuna F ' ( x )  p( x ), siis
x2
P ( x1  X  x2 )   p( x ) dx.
x1
Juhusliku suuruse antud poollõiku sattumise tõenäosus on võrdne
tihedusfunktsiooni graafiku aluse kõverjoonelise trapetsi pindalaga
p(x)
vahemikus (x1, x2).
S = P(x1  X < x2)
0
x1
x2
x
Jaotusfunktsiooni leidmine
tihedusfunktsiooni kaudu
x
P (   X  x )   p( x ) dx.
Kui x1 = - ja x2 = x, siis

Teiselt poolt P( - < X < x) = P(X < x) = F(x) ja seega
x
F ( x )   p( x ) dx.

Jaotusfunktsiooni väärtus punktis x on arvuliselt võrdne
tihedusfunktsiooni graafiku aluse pindalaga abstsissist x vasakul.
p(x)
S = F(x)
0
x
x
Näide 2 - Cauchy jaotus (I)
Juhusliku suuruse tihedusfunktsioon on antud kujul
a
p( x ) 
.
2
1 x
Leida kordaja a väärtus, jaotusfunktsioon ja P(-1 < X < 1).
Lahendus
Tihedusfunktsiooni 2. omaduse kohaselt peab kehtima võrdus

a
1
   a 


1 
dx

a

dx
 a  arctan x   a    (  ) 

2
2
2 
 1  x
 1  x
2

Seega
a = 1 / .
ja
1
p( x ) 
.
2
 (1  x )
Sellise jaotusfunktsiooniga juhusliku suuruse kohta öeldakse, et ta
on Cauchy jaotusega.
Näide 2 (II)
Jaotusfunktsioon avaldub kujul
dx
1

F(x)  
 (arctan x  )
2

(
1

x
)


2
x
Antud vahemikku sattumise tõenäosus
P ( 1  x  1) 
1
dx
1
1
 arctan x 1 

2
 11  x

1
1 
  1
   ( )  .
 4
4  2