ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
—————————————————
VŨ NGỌC TÚ
DÃY FAREY VÀ ÁP DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
—————————————————
VŨ NGỌC TÚ
DÃY FAREY VÀ ÁP DỤNG
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.01.13
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ
Thái Nguyên - Năm 2015
1
Lời cảm ơn
Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được
sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS Đàm Văn Nhỉ (Trường
Đại học Sư Phạm Hà Nội). Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
đến thầy và xin gửi lời tri ân nhất của tôi đối với những điều thầy đã dành
cho tôi.
Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng sau Đại học, quý thầy
cô giảng dạy lớp Cao học K7C (2014- 2016) Trường Đại học Khoa Học
- Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu
cũng như tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những
người đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt
quá trình học tập và thực hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 11 năm 2015
Người viết luận văn
Vũ Ngọc Tú
2
Mục lục
Lời cảm ơn
1
Mục lục
2
Mở đầu
1
1 Dãy Farey
3
1.1
Các tính chất của dãy Farey . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.1
Một số kiến thức chuẩn bị
. . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.2
Dãy Farey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.3
Tính chất của dãy Farey . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2
Độ dài của dãy Farey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3
Xấp xỉ số vô tỉ qua dãy Farey
. . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1
Xấp xỉ tốt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2
Mô tả hình học của phép xấp xỉ vô tỉ dựa vào dãy
phân số Farey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4
Đường tròn Ford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5
Từ đại số đến hình học và ngược lại . . . . . . . . . . . . . 26
3
2 Áp dụng
29
2.1
Hàm Zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2
Áp dụng của dãy phân số Farey . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3
2.2.1
Dãy phân số Farey và các giả thuyết . . . . . . . . . 32
2.2.2
Chứng minh chiều xuôi mệnh đề tương đương . . . . 33
2.2.3
Chứng minh chiều ngược lại . . . . . . . . . . . . . 35
Một số ví dụ khác về áp dụng của dãy phân số Farey . . . . 41
Kết luận
45
Tài liệu tham khảo
46
1
Mở đầu
Số học là một trong những lĩnh vực cổ xưa nhất của toán học và cũng là
những lĩnh vực tồn tại nhiều nhất những bài toán, những giả thuyết chưa
có câu trả lời. Trên con đường tìm kiếm lời giải cho những giả thuyết đó,
nhiều lý thuyết lớn của toán học đã nảy sinh.
Nếu như trước đây số học vẫn được xem là một trong những ngành lý
thuyết xa rời thực tiễn nhất thì ngày nay nhiều thành tựu mới nhất của
số học có ứng dụng trực tiếp vào các vấn đề của đời sống như thông tin,
mật mã, kĩ thuật máy tính. Trong số học có những con số đặc biệt ngoài
những tính chất đẹp đẽ kì diệu của nó những con số này còn có những ứng
dụng bất ngờ và sâu sắc trong toán học và các lĩnh vực khác.
Dãy Farey được đặt theo tên của nhà địa lý học John Farey, ông mô
tả dãy phân số Farey vào năm 1816. Trong bài viết của Farey đưa ra câu
hỏi sau: Có bao nhiêu số các phân số tối giản có giá trị khác nhau trong
khoảng (0,1)?.
Với mong muốn tìm hiểu vấn đề dãy Farey chúng tôi chọn đề tài “Dãy
Farey và áp dụng”. Mục đích chính của luận văn là trình bày lại một số
kết quả được công bố của Farey và các ứng dụng với các lí thuyết khác.
Luận văn gồm có 2 chương
Chương 1: Trong chương này chúng tôi trình bày lại về dãy Farey, như
các tính chất, độ dài, xấp xỉ các số qua dãy Farey, mối quan hệ giữa dãy
phân số Farey và đường tròn Ford.
2
Chương 2: Đưa ra các áp dụng của dãy Farey vào các lý thuyết khác.
Mặc dù đã cố gắng rất nhiều nhưng trong luận văn này không thể tránh
khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong có được những ý kiến đóng góp của
các thầy cô và các bạn.
Thái Nguyên, tháng 11 năm 2015
Tác giả
Vũ Ngọc Tú
3
Chương 1
Dãy Farey
1.1
1.1.1
Các tính chất của dãy Farey
Một số kiến thức chuẩn bị
Định nghĩa 1.1.1. Một hàm số f xác định trên N+ và nhận các giá trị
trong trường số thực R được gọi là hàm số học. Nói một cách khác, một
hàm số học là một ánh xạ f : N+ → R.
Định nghĩa 1.1.2. Cho f : N+ → R là một hàm số học. Hàm f được
gọi là một hàm nhân nếu f 6= 0 ( nghĩa là tồn tại ít nhất một số n ∈ N+
để f (n) 6= 0) và nếu với mọi a, b ∈ N+ thỏa mãn (a, b) = 1 thì f (ab) =
f (a).f (b).)
Ví dụ 1. Hàm số học f : N+ → R xác định bởi f (a) = am , m ∈ Z là một
hàm nhân.
Định lí 1.1.3. (Công thức tổng trải) Nếu số nguyên dương n có phân tích
tiêu chuẩn n = pα1 1 pα2 2 ...pαs s thì với mọi hàm nhân f ta có


αj
s
X
Y
X
1 +
f (d) =
f (pji ) .
d|n
i=1
j=1
4
Chứng minh. Khai triển tích ở vế phải của hệ thức trên ta có:


αj
s
Y
X
1 +
f (pji )
i=1
j=1
=
X
f (pλ1 1 )f (pλ2 2 ) · · · f (pλs s ), trong đó 0 ≤ λi ≤ αi , i = 1, ..., s,
=
X
f (pλ1 1 pλ2 2 · · · pλs s ), vì f là hàm nhân,
=
X
f (d), d = pλ1 1 p2λ2 · · · pλs s .
d|n
Định lý được chứng minh.
Định nghĩa 1.1.4. Hàm số học φ : N+ → R, n 7→ ϕ(n), trong đó φ(n) là
các số nguyên m thỏa mãn:


 0<m≤n

 (m, n) = 1
được gọi là hàm Euler.
Bổ đề 1.1.5. Hàm Euler φ là một hàm nhân.
Chứng minh. Rõ ràng φ(1) = 1. Nếu m = 1 hoặc n = 1 thì hiển nhiên ta
có φ(mn) = φ(m)φ(n). Nếu m, n > 1 và (m, n) = 1, ta viết tất cả các số
từ 1 đến mn theo bảng sau:
1
2
3
···
n
n+1
n+2
n+3
···
2n
···
···
···
···
···
(m − 1)n + 1 (m − 1)n + 2 (m − 1)n + 3 · · ·
(m − 1)n + n
Ta thấy các số nguyên tố với n là tất cả các số nằm ở cột i ∈ {1, 2, ..., n}
sao cho (i, n) = 1. Mỗi cột là một hệ thặng dư đầy đủ theo modulo(m)
nên trong mỗi cột có đúng φ(m) số nguyên tố với m. Do đó các số nguyên
tố với cả m và n là φ(m)φ(n).
5
Mặt khác ta lại có φ(mn) là các số tự nhiên k mà 1 6= k 6= mn sao cho
(k, mn) = 1. Nhưng (k, mn) = 1 nếu và chỉ nếu (k, m) = (k, n) = 1. Do
đó φ(mn) chính là các số nguyên dương không vượt quá mn nguyên tố
đồng thời với cả m và n. Điều này chứng tỏ rằng φ(mn) = φ(m)φ(n).
1
1
Ví dụ 2. Ta có 36 = 22 .32 , khi đó: φ(36) = 36.(1 − )(1 − ) = 12.
2
3
Do đó có 12 phân số duy nhất với mẫu số 36.
Hàm Euler đã được sử dụng để trả lời cho câu hỏi có bao nhiêu phân
a
số tối giản nằm giữa 0 và 1 với b bất kì, a < b, (a, b) = 1. Một dãy các
b
phân số tối giản như vậy được gọi là dãy Farey.
1.1.2
Dãy Farey
a
thỏa mãn 0 ≤ a <
b
b ≤ n, (a, b) = 1, b =
6 0 và sắp xếp theo thứ tự tăng dần được gọi là dãy
Định nghĩa 1.1.6. Tập hợp các phân số tối giản
phân số Farey cấp n, kí hiệu là Fn .
Các số 0, 1 gọi là các phần tử cơ sở của mọi tập hợp phân số Farey và
1
0
viết được dưới dạng và .
1
1
0 1
Ví dụ 3. F1 = { , }
1 1
0 1 1
F2 = { , , }
1 2 1
0 1 1 2 1
F3 = { , , , , }
1 3 2 3 1
0 1 1 1 2 3 1
F4 = { , , , , , , }
1 4 3 2 3 4 1
Ta cũng có thể biểu diễn dãy phân số Farey như sau:
6
Hoặc dưới dạng cây Stern:
7
1.1.3
Tính chất của dãy Farey
Từ phần này trở đi của luận văn ta kí hiệu Fn là dãy phân số Farey.
Định lí 1.1.7. Nếu
c
a
và là hai phần tử liên tiếp của Fn thì (b + d) > n.
b
d
a+c
Chứng minh. Xét phân số
(phân số này được gọi là trung bình của
b+d
c
a
và ). Khi đó:
b
d
a+c a
bc − ad
− =
>0
b+d b
b(b + d)
và
c a+c
bc − ad
−
=
>0
d b + d d(b + d)
Do đó:
a c
a+c
∈( , )
b+d
b d
Nên nếu b + d ≤ n thì
a+c
a
c
∈ Fn . Điều này là vô lý vì và là hai phần
b+d
b
d
tử liên tiếp của Fn .
Định lí 1.1.8. Hai phần tử liên tiếp của Fn không có mẫu số giống nhau.
Chứng minh. Nếu b > 1 và
a c
, là hai phần tử liên tiếp trong Fn khi đó
b d
a + 1 ≤ c < d. Mặt khác:
a
a
a+1
c
<
<
≤
b
b−1
b
b
a
a
c
là một phần tử nằm giữa hai phần tử liên tiếp và vô lý.
b−1
b
d
Ta có điều phải chứng minh.
Do đó
Định lí 1.1.9. (Tính chất lân cận) Nếu
a
c
và là hai phần tử liên tiếp
b
d
của Fn thì ac − bd = 1.
Chứng minh. Đầu tiên ta cần chứng minh một bổ đề sau:
8
Bổ đề 1.1.10. Nếu (a, b) = 1 thì khi đó tồn tại các số nguyên dương (x, y)
sao cho:
bx − ay = 1
(1.1)
Chứng minh. Xét các số nguyên :
b, 2b, 3b, ..., (a − 1)b
và số dư của chúng khi chia cho a. Các số dư này đều khác nhau. Thật
vậy, nếu:
b1 b = q1 a + r
b2 b = q2 a + r
Với b1 , b2 ∈ {1, 2, ..., (a − 1)} thì:
(b1 − b2 )b = (q1 − q2 )a ≡ 0(moda)
mà b1 b2 ∈ {1, 2, ..., (a − 1)} nên b1 − b2 < a do đó b1 − b2 = 0.
Dễ thấy rằng bd 6≡ 0(moda) với mọi b ∈ {1, 2, ..., (a − 1)}. Do đó ít nhất
một trong các số b, 2b, 3b, ..., (a − 1)b có số dư là 1 khi chia cho a, suy ra
tồn tại x ∈ {1, 2, ..., (a − 1)} và y ∈ Z+ .
Ta chứng minh định lý (1.1.9)
Nếu (x0 , y0 ) là nghiệm của (1.1), khi đó (x0 + ra, y0 + ra) cũng là một
nghiệm với mọi số nguyên r. Chúng ta có thể chọn r sao cho:
n − b < y0 + ra ≤ n
đặt x = x0 + rb, y = y0 + rb khi đó (x, y) là một nghiệm của phương trình
trên và thỏa mãn:
(x, y) = 1, 0 ≤ n − b < y ≤ n
9
do đó
x
x
tối giản và y ≤ n nên là một phần tử của Fn . Ta cũng có:
y
y
1
a
x a
= +
>
y
b by
b
suy ra
x
a
x
c
x
a
nằm sau trong Fn . Nếu 6= thì cũng nằm sau , khi đó:
y
b
y
d
y
b
x c
dx − cy
1
− =
≥
y d
dy
dy
mà
1
c a bc − ad
− =
≥
d b
bd
bd
vì vậy:
bx − ay
x a
1
1
b+y
n
1
1
=
= − ≥
+
=
≥
≥
by
by
y b
dy bd
bdy
bdy
dy
(theo định lí (1.1.7))
x
c
Vô lý, vậy = do đó, bc − ad = 1
y
d
Ví dụ 4. Tìm số hạng tiếp theo của
Lời giải: Giả sử
28
trong F3451 .
39
h
là số hạng cần tìm. Theo định lý (1.1.9) ta có:
k
28k − 39h = 1
Đây là phương trình Diophant trong đó 28 và 39 là nguyên tố cùng nhau
28
(
là một số hạng của dãy Farey). Do đó, phương trình này là giải được
39
và có các nghiệm tổng quát là:
h = −5 + 28t
(1.2)
k = −7 + 39t
h
Lúc này chúng ta xác định với giá trị nào của t thì là số hạng tiếp theo
k
28
trong F3451 .
của
39
10
h
28
là hạng tử tiếp theo của
nên theo Định lý (1.1.8), ta
k
39
có: 39 + k > 3451. Ngoài ra:
Ta thấy, vì
k ≤ 3451
suy ra:
3412 < k ≤ 3451
Nhưng:
k = −7 + 39t
Bởi vậy:
3419 < 39t ≤ 3458.
Nên t = 88
h 3459
=
k
3425
a e c
Định lí 1.1.11. (Tính chất trung bình) Nếu , , là ba phần tử liên
b f d
tiếp của Fn thì:
e
a+b
=
f
c+d
Khi t = 88 thay vào h và k ở (1.2) ta có:
Chứng minh. Từ định lý (1.1.9) ta thu được:
be − af = 1,
f c − ed = 1
Giải hệ hai phương trình trên theo ẩn e và f ta có:
e=
b+d
a+c
,f =
bc − ad
bc − ad
Hay:
e
a+c
=
f
b+d
Ta được điều phải chứng minh.
(1.3)
11
1 1 2
1+2
Ví dụ 5. i) ; ; là các số hạng liên tiếp của F6 và ta thấy rằng
=
4 3 5
4+5
3 1
= .
9 3
1 3 2
3
1+2
ii) ; ; là các số hạng liên tiếp của F11 . Ở đây
=
.
4 11 7
11 4 + 7
Nhận xét 1.1.12. Tính chất trung bình luôn tạo ra các phân số tối giản.
2
Vì vậy, phân số sẽ không được tạo ra bằng cách lấy trung bình.
4
1.2
Độ dài của dãy Farey
Trong phần trước ta đã làm quen với một số tính chất cơ bản của dãy
Farey, vấn đề đặt ra ở đây là có bao nhiêu phân số Farey trong một dãy
Farey bậc n? Do tất cả các phân số Farey đều ở dạng tối giản, nên với
một mẫu số b cho trước ta kí hiệu φ(b) là số các phân số Farey trong dãy
Farey bậc b. Ta có thể tính được số các phân số có trong Fn ( kể cả hai
1
0
phân số cơ sở là và ) dựa vào công thức sau :
1
1
N = 2 + φ(2) + φ(3) + ... + φ(n)
ta có thể tính được φ(n) với n > 1 qua công thức:
Y
1
φ(n) = n.
1−
p
p|n
Ví dụ 6. Khi n = 7 ta có
N = 2 + φ(2) + φ(3) + ... + φ(7) = 2 + 1 + 2 + 2 + 4 + 2 + 6 = 19
Do φ(n) luôn là số chẵn ngoại trừ trường hợp n = 1, 2 nên ta có:
N = 2 + φ(2) + φ(3) + ... + φ(n)
luôn là một số lẻ, do đó số các phân số cách đều
1
luôn bằng nhau.
2
12
Với n rất lớn thì việc tính N trở nên khó khăn hơn rất nhiều. Nhưng
nhờ một tính chất của phi-hàm Euler ta có thể tính toán dễ dàng hơn.
3n2
φ(1) + φ(2) + ... + φ(n) ≈ 2
π
3n2
tức là N = 2 + 2 . Giá trị xấp xỉ này sẽ ngày càng chính xác hơn khi giá
π
trị của n tăng. Ta có thể lập bảng tính như sau:
SỐ PHẦN TỬ CỦA DÃY FAREY
13
1.3
1.3.1
Xấp xỉ số vô tỉ qua dãy Farey
Xấp xỉ tốt
x
x
Cho α là một số vô tỉ và cho là phân số hữu tỉ. Nếu α −
bé hơn cả
y
y
x
x
α và thì ta gọi là một xấp xỉ của α .
y
y
p
Cho α là một số vô tỷ. Một xấp xỉ tốt của α là phân số thỏa mãn:
q
α−
p
1
< 2.
q
q
√
3 7
, là các xấp xỉ tốt của 2.
2 5
22 333 355
ii) Các phân số
,
,
là các xấp xỉ tốt của π .
5 106 113
Ví dụ 7. i) Các phân số
Phân số liên tục (liên phân số) là một công cụ quan trọng dùng để xấp
xỉ các số vô tỷ. Phương pháp này cho phép xây dựng cụ thể các xấp xỉ tốt
của một số vô tỷ. Mục đích chính của mục này là ứng dụng tính chất của
dãy Farey vào xấp xỉ tốt số vô tỷ.
Định lí 1.3.1. Cho α là số vô tỉ thỏa mãn 0 < α < 1, n là số nguyên tùy
x
ý. Khi đó, tồn tại phân số tối giản sao cho:
y
α−
x
1
<
với 0 < y < n.
y
(n + 1)y
Chứng minh. Cho α nằm giữa hai số hạng liên tiếp
a
c
và của dãy Farey
b
d
Fn .
Khi đó, ta có:
ad − bc = −1
b ≤ n,
d≤n
(1.4)
(1.5)
14
Hơn nữa:
a a+c
c
<
<
b
b+d d
Do đó chỉ có hai khả năng: α nằm giữa
c
d
Trong trường hợp thứ nhất : α −
a
a+c
a+c
và
hoặc giữa
và
b
b+d
b+d
1
a a+c a
<
− =
do (1.5)
b
b+d b
b(b + d)
Nhưng b + d ≥ n + 1 (theo định lí (1.1.7))
Bởi vậy:
α−
a
1
<
b
b(n + 1)
Trong trường hợp thứ hai: chứng minh một cách tương tự ta được:
1
c
−α<
d
d(n + 1)
Vậy hoặc
c
a
hoặc thoả mãn bất đẳng thức :
b
d
α−
x
1
với 0 < y ≤ n.
<
y
(n + 1)y
c
a
hoặc là hai số hạng của dãy phân số tối giản.
b
d
√
Ví dụ 8. Sử dụng n = 78. Khi đó α = 7 − 2 = 0, 6457513.... nằm giữa
20
31
hai số hạng liên tiếp
và
của Fn . Ta có:
31
48
Hơn nữa từ đó
Do đó,
α−
20
1
>
31
(78 + 1)31
α−
31
1
<
48
(78 + 1)48
31
là xấp xỉ của α nếu n = 78.
48
Định lí 1.3.2. (Dirichlet) Có vô hạn phân số tối giản
α−
x
1
< 2
y
y
x
sao cho:
y
(1.6)
15
Chứng minh. i) Cho n là một số nguyên dương và α nằm giữa hai số hạng
c
a
liên tiếp và của Fn .
b
d
a
c
Trong định lý (1.3.1) hoặc hoặc thoả mãn bất đẳng thức:
b
d
α−
x
1
với y ≤ n.
<
y
(n + 1)y
Lúc ấy
α−
x
1
< 2.
y
y
ii) Giả sử số các phân số thoả mãn (1.6) là hữu hạn. Cho các phân số:
x1 x2
xk
; ; ...;
y1 y2
yk
(1.7)
Khi đó ta luôn luôn tìm thấy số nguyên m sao cho:
α−
xi
1
với i = 1, 2, 3, ..., k.
>
yi
m
Với m đã biết theo Định lý (1.3.1) luôn tồn tại phân số
1
xm
1
< 2
<
ym
(m + 1)ym
ym
α−
thỏa mãn (1.6). Ngoài ra
xm
sao cho:
ym
xm
không trùng với các phân số trong (1.7) bởi
ym
vì:
α−
xm
1
1
<
<
ym
(m + 1)ym
m
trong khi:
α−
xi
1
>
với i = 1, 2, ..., k
yi
m
Vậy có sự mâu thuẫn. Bởi vậy số các phân số thỏa mãn (1.6) là vô hạn.
a
c
Định lí 1.3.3. Cho α nằm giữa hai số hạng liên tiếp
và
của dãy
b
d
a
c
Farey. Khi đó hoặc α −
< 2b12 hoặc α − < 2d12 .
b
d
16
Chứng minh. Có hai khả năng: hoặc α −
a
<
b
1
2b2
hoặc α −
a
>
b
1
2b2
a
là số vô tỉ.
b
Trong trường hợp thứ nhất định lý đúng.
Dấu "=" ở đây không xét vì α −
Trong trường hợp thứ hai ta có:
α−
1
a
a
=α− > 2
b
b
2b
(1.8)
Ta biết rằng:
1
c a
− =
d b
bd
Ngoài ra:
c a c
1
− =
−α + 2
d b
d
2b
Bởi vậy theo (1.8) ở trên:
c
1
1
>
−α + 2
bd
d
2b
Suy ra rằng:
1
c
1
1
−α<
− 2= 2−
d
bd 2b
2d
1
1
1
−
+
2b2 2b2 2d2
(d − b)2
1
1
<
= 2−
2d
2b2 d2
2d2
Định lý đã được chứng minh.
√
Ví dụ 9. Cho α = 2 − 1 = 0, 414213... Rõ ràng α nằm giữa hai số hạng
5
7
5
1
và
của F17 . Khi đó ta có α −
.
liên tiếp
<
17
12
12
2 × 122
5
12
Tương tự α nằm giữa hai số hạng liên tiếp
và
của F29 . Trong
12
29
12
1
trường hợp này α −
<
.
29
2 × 292
1.3.2
Mô tả hình học của phép xấp xỉ vô tỉ dựa vào dãy phân
số Farey
Xét số thực α > 0 . Trong mặt phẳng tọa độ xét đường thẳng d đi qua
gốc tọa độ O và có hệ số góc α.
17
1. Nếu α số hữu tỉ thì d chứa các điểm nguyên, có tọa độ (a, b) với
b
=α.
a
2. Nếu α là số vô tỷ thì d không chứa điểm nguyên nào ngoài gốc tọa
độ O.
b
là xấp xỉ tốt của α nếu đường thẳng
a
đi qua (a, b) và gốc tọa độ có hệ số góc gần với hệ số góc của d nhất trong
Về mặt hình học, một phân số
số tất cả các đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm nguyên (a, b0 ) (b’
thay đổi).
Xét dãy các điểm có tọa độ (Qk , Pk ) trong đó
Qk
là hội tụ thứ k trong
Pk
biểu diễn phân số liên tục của α .
Theo tính chất của liên phân số thì các hội tụ lẻ lập thành dãy tăng ngặt,
các hội tụ chẵn lập thành dãy giảm ngặt, nên các điểm Ak ((Qk , Pk ))k =
1, 2, ... liên tiếp đổi phía so với đường thẳng d (nghĩa là Ak , Ak+1 nằm trên
−−→
hai nửa mặt phẳng đối nhau xác định bởi đường thẳng d) và các tia OAk
tiệm cận dần tới d.
1
.
2
Dãy các thương riêng của phân số liên tục biểu diễn α có thể được mô
Hơn nữa, các tam giác OAk Ak−1 đều có diện tích bằng
tả bằng hình học như sau:
−
−
Giả sử →
e1 , →
e2 là các vectơ cơ sở (có tọa độ tương ứng (1,0), (0,1)). Như
−
−
vậy →
e1 nằm dưới d, →
e2 nằm trên d.
−
−
−
Chọn a0 là số nguyên dương lớn nhất sao cho: →
e3 = →
e 1 + a0 →
e2 nằm dưới
d.
−
−
−
Chọn a1 là số nguyên dương lớn nhất sao cho: →
e4 = →
e2 + a1 →
e3 nằm trên
d.
−
Cứ tiếp tục quá trình đó được dãy các vectơ →
ek có hệ số góc tiến tới k.
−
Ví dụ 10. Chứng minh rằng các tọa độ của các vectơ →
ek mô tả ở trên là
18
các hội tụ của phân số liên tục biểu diễn α . Hơn nữa các hệ số a0 , a1 , ...l
ần lượt là các thương riêng của phân số liên tục biểu diễn α .
α =< a0 , a1 , .... >
b
, a, b > 0, (a, b) = 1 và ứng
a
α với điểm Pα = P (a, b) trên mặt phẳng tọa độ. Như vậy mỗi số hữu tỷ
Bây giờ, xét các số hữu tỷ dương α =
dương được ứng với một điểm nguyên ở góc phần tư thứ nhất của hệ tọa
độ. Nối O(0, 0) với điểm Pα ta được tia dα . Nếu ta chỉ xét các điểm Pα
nằm trong tam giác ∆n xác định bởi điều kiện
0<x<y≤n
với n dương nào đó thì số điểm thỏa mãn là hữu hạn (tam giác này có
các đỉnh là (0, 0), (0, n), (n, n)). Và các tia dα tương ứng chia góc phần tư
thứ nhất thành một số hữu hạn các góc, giống như nan quạt. Từ đó ta có
thể sắp xếp các tia này ngược chiều kim đồng hồ, nghĩa là sắp xếp các tia
theo chiều tăng của hệ số góc. Đây chính là cách sắp xếp tương ứng với
sắp xếp các phân số trong dãy Farey Fn .
Tính chất lân cận của dãy phân số Farey được mô tả bằng hình học
như sau:
i) Hai điểm P (a, b) và Q(c, d) xác định hai tia cạnh nhau trong tam
giác ∆n khi và chỉ khi |ad − bc| = 1.
ii) Trong tam giác ∆n+1 , tia xác định bởi R(s, t) nằm giữa hai tia OP
và OQ khi và chỉ chỉ khi OPRQ là một hình bình hành (với giả thiết OP
và OQ nằm cạnh nhau trong ∆n ).
19
1.4
Đường tròn Ford
Một trong những mở rộng liên quan đến hình học của phân số Farey là
đường tròn Ford.
p
q
nằm trên trục Ox, ta dựng
các đường tròn tiếp xúc với Ox tại điểm đó,
p 1
tâm có tọa dộ là
,
được gọi là đường tròn Ford, kí hiệu C(p, q).
q 2q 2
Định nghĩa 1.4.1. Xét hệ trục tọa độ Oxy . Với mỗi phân số tối giản
Một số hình ảnh thể hiện mối liên hệ giữa đường tròn Ford và dãy phân
số Farey.
Hình 1.1:
Hình 1.2:
20
Hình 1.3:
Một số hình ảnh đẹp của đường tròn Ford sau khi được cách điệu.
Hình 1.4:
21
Hình 1.5:
Hình 1.6:
22
Hình 1.7:
Ta có một số tính chất cơ bản của đường tròn Ford như sau:
Tính chất 1.4.2. (Tính chất trung bình của đường tròn Ford) Hai đường
tròn Ford C(a, b) và C(c, d) hoặc tiếp xúc với nhau, hoặc nằm ngoài nhau.
Điều kiện để hai đường tròn này tiếp xúc là |ad − bc| = 1.
Chứng minh. Gọi D là khoảng cách giữa tâm của 2 đường tròn. r, R tương
ứng là bán kính của đường tròn C(a, b), C(c, d).
23
Khi đó ta có
2
(r + R) =
1
1
+
2b2 2d2
2
Xét hiệu số D2 − (r + R)2 :
a c 2 1
1 2
1 2 (ad − bc)2 − 1
1
2
2
D −(r+R) =
−
+
−
−
+
=
≤0
b d
2b2 2d2
2b2 2d2
b2 d2
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi |ad − bc| = 1.
Nhận xét 1.4.3. Có duy nhất một bộ số nguyên thủy pi-ta-go cho bất kì
cặp đường tròn Ford nào tiếp xúc nhau.
Hình 1.8: Góc vuông biểu diễn các bộ ba Pi - ta - go khác nhau
Nhận xét 1.4.4. Có một đường tròn Ford tương ứng với mỗi số hữu tỉ.
Nếu chúng ta bắt đầu với đường tròn C(1) và C(0) và một đường thẳng,
thì ta có thể tạo ra các điểm hữu tỉ trên trục thực bởi cách xây dựng đường
tròn Ford.
Từ tính chất này ta dễ dàng thấy được bất cứ hai phân số Farey liên
tiếp nào được biểu diễn trên hệ trục tọa độ cũng có hai đường tròn Ford
tiếp xúc với nhau.
24
Ví dụ 11. Hình sau tương ứng với dãy Farey bậc 7.
Tính chất 1.4.5. (Tương tự tính chất lân cận trong chuỗi Farey) Giả sử
a
e
c
< < là ba phần tử liên tiếp của Fn . Khi đó C(a, b) và C(e, f ) tiếp
b
f
d
xúc với nhau tại điểm
e
b
1
A1 =
−
,
f f (b2 + f 2 ) b2 + f 2
và C(e, f ) và C(c, d) tiếp xúc với nhau tại điểm
e
d
1
A2 =
+
,
f f (d2 + f 2 ) d2 + f 2
Chứng minh. Kí hiệu độ dài các đường như trong hình vẽ.
25
Áp dụng định lí Thales ta có:
a
b
do đó
x
−
e
f
=
1
2b2
1
2f 2
−
1
2b2
=
1
2f 2
y
−
1
2b2
b
b2 − f 2
x=
;y = 2 2
.
f (b2 + f 2 )
2f (b + f 2 )
Tọa độ điểm A1 = (x1 , y1 ), trong đó:
e
e
b
e
1
1
1
−x= −
,
y
=
+
−
−
b
=
1
f
f f (b2 + f 2 )
f 2f 2 2b2
b2 + f 2
e
d
1
Tương tự ta cũng tính được toạ độ của A2 =
+
,
.
f f (d2 + f 2 ) d2 + f 2
Ta được điều phải chứng minh.
x1 =
Ví dụ 12. Xét góc vuông của tam giác mà có các đỉnh là tâm của C(1),
1
1
tâm C( ) và điểm (1, ). C(1) tiếp xúc với trục thực tại 1 mà trong ví dụ
2
8
c
1
1
là và C( ) tiếp xúc tại = ab .
d
2
2
4 3 5
Ta có thể tính được độ dài các cạnh của tam giác là , , .
8 8 8
Nhận xét 1.4.6. (Như tính chất lân cận trong chuỗi Farey). Từ định lí
trên ta thấy đường tròn Ford có chứa nhiều thông tin hơn dãy Farey. Trong
0
dãy Farey tổng quát Fn không chỉ ra được và 11 là lân cận của nhau (
1
trên F1 ). Trong sơ đồ các tập đường tròn tổng quát Cn ta thấy rằng C(0)
và C(1) tiếp xúc nhau và suy ra nó là lân cận trong dãy Farey. Chúng ta
có thể nói rằng những thông tin về " lân cận" được chỉ ra trong các sơ đồ
của vòng tròn Ford.
26
1.5
Từ đại số đến hình học và ngược lại
Trong phần này chúng ta sẽ phác thảo một phương pháp tiếp cận lý thuyết
nhóm phân tích của đường tròn Ford. Chúng ta sẽ thấy rằng phương pháp
này dẫn đến một số kết quả mới. Giả thiết của phần này tương tự như với
Nhóm, Nhóm tác động và biến đổi Mobius.
Nhắc lại nhóm ma trận SL2 (Z) là tập hợp của 2 × 2 ma trận với hệ số
nguyên mà |bc − ad| = 1. Các phần tử trong hàng và cột của ma trận là
nguyên tố cùng nhau.
Định nghĩa 1.5.1. Đường tròn Ford với bán kính vô hạn C( 01 ) bằng với
đường R + i.
Hình 1.9: Hình ảnh miêu tả đường tròn Ford C( 10 )
Chúng tôi sẽ xét các đường tròn Ford như đường cong trong mặt phẳng
phức hơn là trong mặt phẳng Descartes như trước.
Mệnh đề 1.5.2. Cho ma trận ab dc ∈ SL2 (Z) tương ứng với phương pháp
biến đổi Mobius ánh xạ từ C( 10 ) đến C( ab ).
Mệnh đề trên có thể được biểu diễn trực tiếp dưới dạng: cho điểm x + i
nằm trên đường thẳng R + i = C( 10 ). Ánh xạ đến điểm z =
ax+ai+c
bx+bi+d
nằm
27
trên C( ab ) có tâm là ( ab , 2b12 ) và có bán kính là
đường tròn được cho bởi |z − ( ab + i( 2ba2 ))|2 =
1
2b2 do đó phương
( 2b12 )2 và kiểm tra
trình các
được các
điểm nằm trên đường tròn này.
Mệnh đề 1.5.3. Sự tác động trên hai đường tròn Ford C( ab ) và C( dc ) bảo
toàn |bc − ad| = 1.
Mệnh đề trên cho thấy ánh xạ từ đường tròn Ford vào đường tròn Ford.
Với hai kết quả này chúng ta có thể chứng minh được hai tính chất quan
trọng của đường tròn Ford (tính lân cận và tính chất trung bình ).
Định lí 1.5.4. Các tính chất trung bình cố định cho đường tròn Ford.
Hình 1.10: Hình vẽ được sử dụng trong chứng minh định lí 1.5.4
28
Hình 1.11: Cung có đường kính là
c
d
−
a
b
Chứng minh. Chúng ta xét các lân cận C( 10 ) và C(0) và các trung bình
của nó C(1). Khi ta làm việc với nhóm và nhóm tác động thì đủ để chỉ
ra ánh xạ từ ab dc tới đường tròn C( ab ), C( dc ) tới a+c
b+d tương ứng, mà ta đã
chứng minh trong các mệnh đề trên. Suy ra điều phải chứng minh.
Những ưu điểm của phương pháp tiếp cận nhóm lý thuyết này là:
1. Chúng ta có thể tìm thấy các giao điểm của hai đường tròn Ford ngay
lập tức. Từ C(1) ∩ C(0) = i chúng ta có thể kết luận rằng C( ab ) ∩ C( dc ) =
ai+c
bi+d
2. Chúng ta có thể thấy rằng nửa đường tròn có đường kính là
c
d
− ab đi
qua các điểm giao nhau của hai đường tròn C( ab ) và C( dc ),
3. Chúng ta có thể sử dụng đường tròn Ford để diễn tả số vô tỉ liên tục
bằng dãy phân số của vòng tròn số hữu tỉ Ford.
29
Chương 2
Áp dụng
2.1
Hàm Zeta
Định nghĩa 2.1.1. Hàm Zeta Riemann được định nghĩa với mọi z ∈
C \ {1} như sau:
∞
X
1
1
1
=
+
+ ...
ζ(z) =
z
z
z
n
1
2
n=1
(2.1)
trong đó nz = ezlnn .
Hàm Zeta hội tụ tuyệt đối với mọi số phức z với Re(z) > 1.
1 1 1
•ζ(1) = + + + ... = ∞ (chuỗi điều hòa) do đó z = 1 là 1 cực điểm.
1 2 3
•ζ(z) = 0 với z = −2, −4, −6, ... chúng được gọi là các số không tầm
thường.
Các số không tầm thường xảy ra tại s = −2, −4, −6, −8, ... vì mối quan
hệ giữa các hàm zeta và số Bernoulli:
ζ(1 − n) =
−Bn
, n ∈ N, n ≥ 2
n
với Bn = 0 khi n ≥ 3 lẻ.
Hàm Zeta liên quan đến sự phân bố của các số nguyên tố bằng với tích
30
Euler (p là số nguyên tố):
ζ(z) =
Y
p
1
1
1
=
.
....
1 − p−z
1 − 2−z 1 − 3−z
Nhận xét 2.1.2. Đặt z = x + iy , ta có nz = nx+iy = nx .niy suy ra
|nz | = nx = nRez .
Do đó
∞
∞
X
X
1
1
ζ (z) =
=
nz
nRez
n=1
n=1
∗
(2.2)
Ta thấy chuỗi (2.2) hội tụ trên Rez > 1 nên chuỗi (2.1) hội tụ tuyệt đối
1
1
1
trên Rez > 1. Mặt khác với δ > 0 ta có z = Rez ≤ 1+δ với mọi
nP
n
n
∞
∗
n ∈ N , mọi z ∈ {z : Rez ≥ 1 + δ} Do chuỗi n=1 hôi tụ nên chuỗi (2.1)
hội tụ đều trên z ∈ {z : Rez ≥ 1 + δ}.
2.2
Áp dụng của dãy phân số Farey
Trong phần này chúng tôi nêu lại một số giả thuyết tương đương với giả
thuyết Riemann mà có sử dụng lý thuyết về dãy phân số Farey.
Giả thuyết Riemann:
Tất cả các không điểm phi tầm thường của hàm zeta Riemann nằm trên
đường s =
1
2
+ it.
Chú ý rằng mọi không điểm nằm trên đường trên không phải là phi
tầm thường, nhưng các không điểm phi tầm thường thì nằm trên đường
đó với mọi t. 1500000000 nghiệm mà ζ(s) = 0 đã được tìm thấy và nằm
trên đường đó (mà không phải trên đường khác), nhưng một cách chứng
minh cho tất cả các trường hợp thì chưa được chỉ ra.
Trong khi nó chưa được chứng minh, thì tồn tại mệnh đề tương đương
với giả thuyết Riemann là mệnh đề phỏng đoán của Mertens.
31
Kí hiệu : f (x) = o(g(x)) nghĩa là f (x) là đại lượng nhỏ hơn của g(x).
Nói cách khác, với mọi hằng số C > 0
|f (x)| ≤ C.|g(x)|
tương đương với
f (x)
=0
x→∞ g(x)
lim
Giả thuyết Mertens:
Trước khi đi vào phỏng đoán của Mertens, ta định nghĩa các hàm Mobius
và hàm Mertens như sau:
Định nghĩa
2.2.1. Hàm Mobius


0
nếu k là số chính phương
µ(k) =

(−1)p nếu k là tích của p các số nguyên tố phân biệt
Một số là số không chính phương nếu nó không chứa bất kì số chính
phương trong sự phân tích thành thừa số nguyên tố của nó ( tất cả các số
nguyên t của nó là duy nhất).
Ví dụ 13. 18 = 32 .2 nên 18 là số không chính phương.
•µ(1) = 1
•µ(2) = (−1)1 = −1 vì 2 là số nguyên tố
•µ(4) = µ(22 ) = 0 vì 4 là số chính phương.
•µ(6) = µ(3.2) = (−1)2 = 1 vì 6 là tích của hai số nguyên tố.
Định nghĩa 2.2.2. Hàm Mertens
M (n) =
X
µ(1)
k≤n
•M (2) = µ(1) + µ(2) = 1 + (−1) = 0
•M (3) = µ(1) + µ(2) + µ(3) = 1 + (−1) + (−1) = −1
•M (6) = 1 + (−1) + (−1) + 0 + (−1) + 1 = 1
(2.3)
32
Hàm Mertens là hàm biến đổi chậm, chỉ có thể tăng hoặc giảm 1 tại
nhiều nhất ở mỗi bước, và không có n sao cho |M (n)| > n.
Năm 1885, nhà toán học người Hà Lan Thomas Joannes Stieltjes gải
thiết rằng không có n sao cho |M (n)| > n1/2 , nhưng một trăm năm sau đó
vào năm 1985 đã được chứng minh là sai bởi Andrew Odlyzko và Herman
te Riele.
Tuy nhiên, các giả thuyết Riemann là tương đương với các giả thiết yếu
sau :
1
M (n) = 0(n 2 + )
(2.4)
Với mọi > 0. Nói cách khác, với mọi C :
1
+
M (n) = 0(Cn2 )
Nghĩa là |M (n)| được bao bởi n1/2+ . Suy ra nó tương đương với giả thuyết
Riemann bằng cách sử dụng dãy phân số Farey.
2.2.1
Dãy phân số Farey và các giả thuyết
Như giả thiết Mertens, trước hết ta cần chỉ ra các mệnh đề tương đương,
nó cần phải sử dụng một số định nghĩa sau.
Định nghĩa 2.2.3. Cho L(n) là độ dài của dãy Farey Fn và rv là số hạng
thứ v của dãy. Ta định nghĩa hiệu:
δv = rv − v/L(n)
Ví dụ 14. F5 = { 01 , 15 , 14 , 13 , 25 , 12 , 35 , 32 , 34 , 45 , 11 }
L(5) = 11
δ1 =
0
1
−
1
11
1
= − 11
δ2 =
1
5
−
2
11
=
1
55
(2.5)
33
....
δ11 =
1
1
−
11
11
=0
Năm 1924, định lí Franel-Landau đã chỉ ra:
L(n)
X
1
|δv | = o(n 2 + )
(2.6)
v=1
với mọi > 0 và n liên quan đến Fn , tương đương với gải thiết Riemann.
Đây là liên kết giữa dãy Farey và giả thuyết Riemann. Để chỉ ra sự
tương đương của nó với giả thuyết Riemann, phần còn lại của luận văn
này sẽ chứng minh điều đó, nghĩa là:
L(n)
X
1
1
|δv | = o(n 2 + ) ⇔ M (n) = o(n 2 + )
(2.7)
v=1
Vì vậy, điều này là đúng nếu và chỉ nếu Mertens giả thiết là đúng, nó tương
đương với các giả thuyết Riemann. Chúng ta sẽ chứng minh các mệnh đề
tương đương này từ trái qua phải và từ phải qua trái.
Chìa khóa để chứng minh liên quan đến δv của M (x). Nếu điều đó được
thực hiện thì chúng ta có thể bắt đầu chứng minh (2.7)
Để làm điều này, đầu tiên chúng ta chỉ ra một hàm thực được xác định
trong đoạn [0, 1]. Cho rv kí hiệu cho các phần tử của chuỗi Farey, như ở
trên. Tổng số các hàm tại các điểm trong dãy Farey có thể liên quan đến
hàm Mertens hàm bằng phương trình sau:
L(n)
X
f (rv ) =
v=1
2.2.2
∞ X
k
X
k=1
n
j
f ( )M ( )
k
k
j=1
Chứng minh chiều xuôi mệnh đề tương đương
Trong phần này, ta phải chỉ ra rằng
L(n)
X
v=1
1
1
|δv | = o(n 2 + ) ⇒ M (n) = o(n 2 + )
(2.8)
34
Sử dụng công thức (2.8) và áp dụng nó cho hàm số f (u) = e2πiu ta được.
L(n)
X
2πiu
e
k
∞ X
X
=
v=1
Bổ đề 2.2.4.
Pk
j=1 e
n
e2πij/k M ( )
k
j=1
k=1
2πij/k
= 0 trừ khi k = 1 trong trường hợp đó nó bằng
1.
điều này đơn giản với các phương trình được đưa ra từ trước
L(n)
M (n) =
X
e2πirv
v=1
L(n)
=
X
e2πi[v/L(n)+δv ]
v=1
L(n)
=
X
L(n)
e
2πiv/L(n)
(e
2πiδv
− 1) +
v=1
⇒ |M (n)| ≤
PL(n)
v=1
(2.9)
X
e2πiv/L(n)
v=1
|(e2πiδv − 1)| + 0
Sắp xếp lại vế phải ta được
L(n)
|M (n)| ≤
X
|eπiδv ||(eπiδv − e−πiδv )|
v=1
L(n)
=2
X
| sin(πδv )|
v=1
L(n)
≤ 2π
X
|δv |
v=1
Sử dụng (2.6) vầ cho 2π.K() = K 0 () ta có bất đẳng thức sau
|M (n) ≤ K 0 ()n1/2+ |
Vì vậy
M (n) = o(n1/2+ ), ∀ > 0
35
2.2.3
Chứng minh chiều ngược lại
Trong phần này ta phải chỉ ra rằng
1/2+
M (n) = o(n
)⇒
X
|δv | = o(n1/2+ )
Định nghĩa 2.2.5. Đa thức Bernoulli. Vị trí thứ n của đa thức Bernoulli
Bn (u) thỏa mãn phương trình
Z x+1
Bn (u)du = xn
(2.10)
x
Đa thức Bernoulli có thể được mở rộng với chu kì 1, kí hiệu là B̄n (u).
Ví dụ 15.
1
2
1
B̄1 (u) = u − [u] +
2
B1 (u) = u +
Hình 2.1: Đồ thị của B1 (u) và B̄1 (u)
(2.11)
(2.12)
36
Tính chất của đa thức Bernoulli sẽ được sử dụng như sau:
k−1
1
)]
Bn (ku) = k n−1 [Bn (u) + Bn (u + ) + ... + Bn (u +
k
k
(2.13)
Chú ý rằng tính chất này cũng được sử dụng cho đa thức Bernoulli tuần
hoàn.
Định nghĩa hàm G như sau:
L(n)
G(u) =
X
B̄1 (u + rv )
(2.14)
v=1
Và I là:
Z
1
I=
[G(u)]2 du
(2.15)
0
Sử dụng (2.8) ta có thể viết G như sau:
G(u) =
∞ X
k
X
k=1
n
j
B̄1 (u + )M ( )
k
k
j=1
Áp dụng (2.13)
G(u) =
∞
X
n
B̄1 (ku)M ( )
k
k=1
(2.16)
Có hai biểu thức cho G, và do đó hai cách để đánh giá I.
Đầu tiên xét phương trình (2.14). Công thức này chỉ ra rằng với mọi
hàm Farey rv , hàm giảm xuống bằng 1 và tăng với một đường dốc của
L(n) giữa rv và rv+1 .
Giữa rv và rv+1 , G hoạt động như hàm G(u) = L(n)u − v − 1/2, Điều
này chỉ ra một cách biểu diễn mới của I :
L(n) Z r
v
X
I=
(L(n)u − v − 1/2)2 du
v=1
L(n)
=
X
v=1
rv −1
1 (L(n)u − v + 1/2)3 rv
|rv −1
L(n)
3
37
Hình 2.2: G(u) sử dụng các phần tử F3 và F4
Hình 2.3: G(u) sử dụng các phần tử từ F5
Vì số hạng đầu tiên của mọi dãy Farey là 0, r0 = 0 nên:
L(n)
I=
X
v=1
1 (L(n)rv − v + 1/2)3
1 (L(n)rv−1 − v + 1/2)3
−
L(n)
3
L(n)
3
38
Thay thế L(n)rv = L(n)[rv −
v
L(n)
+
v
L(n) ]
= L(n)δv + v
L(n)
1 X
I=
[(L(n)δv + 1/2)3 − (L(n)δv−1 − 1/2)3 ]
3L(n) v
L(n)
1 X
=
[(L(n)δv + 1/2)3 − (L(n)δv − 1/2)3 ]
3L(n) v
L(n)
1 X
1
1
=
[2.3(L(n)δv )2 . + ( )3
3L(n) v
2
2
L(n)
= L(n)
X
δv2 +
v=1
1
12
(2.17)
Nó cho ta một công thức rõ ràng cho I .
Sử dụng G(u) trong (2.16) và tổng hữu hạn, ta có thể đánh giá I như
sau:
L(n) L(n)
I=
a=1
Cho Iab =
R1
0
n
n
M ( )M ( )
a
b
b=1
XX
Z
1
B̄1 (au)B̄1 (bu)du
(2.18)
0
B̄1 (au)B̄1 (bu)du mà có thể được đánh giá một cách rõ ràng.
Để tìm một công thức rõ ràng cho Iab , ta cần xét ba trường hợp.
1. b = 1.
2. b và a nguyên tố cùng nhau.
3. a và b không nguyên tố cùng nhau.
Lúc đầu, có vẻ khó để xem xét những trường hợp này, nhưng một khi
các công thức cho b = 1 là thu được thì hai trường hợp kia cũng thu được,
và cung cấp cho chúng ta những công thức cho bất kỳ giá trị của a và b.
Trường hợp 1: b = 1
Z
a
Ia1 =
B̄1 (au)B̄1 (u)du
0
Thay v = au ⇒ du = a−1 dv =
Ra
0
B̄1 (v)B̄1 ( av )a−1 dv
(2.19)
39
Thay v = k + t ⇒ dv = dt = a−1
Pa−1 R 1
k=0 0
B̄1 (k + t)B̄1 ( ka . at )dt
Sử dụng tính tuần hoàn của B̄1 và (2.13)
R1
= a−1 0 B̄1 (t)B̄1 (a. at )dt
R
a−1 0 1(t − 2t )2 dt
⇒ Ia1 = (12a)−1
Trường hợp 2: Với a và b là nguyên tố cùng nhau.
Giống như các bước ở trên, ta tìm ra được công thức sau:
Z 1
bt
−1
Iab = a
B̄1 (t)B̄1 (a. )dt
a
Z0 1
B̄1 (t)B̄1 (bt)dt
= a−1
0
Giống như trong (2.19) nhưng ta thay a = 1. Vì vậy:
= a−1 I1b
= a−1 (12b)−1
= (12ab)−1
Trường hợp 3: a và b không nguyên tố cùng nhau. Cho c = (a, b) là ước
chung lớn nhất của a và b. Thì a = αc và b = βc.
Z 1
Iab =
B̄1 (αcu)B̄1 (βcu)du
0 Z
c
−1
=c
B̄1 (αt)B̄1 (βt)dt
0
= Iαβ
(12αβ)−1
Thay αβ =
ab
c2
ta được:
c2
=
12ab
Bây giờ chúng ta phải tính giá trị của Iab với mọi giá trị của a và b. Nếu
40
a và b là nguyên tố cùng nhau, chúng ta đặt c = 1, nếu nó không nguyên
tố cùng nhau, chúng ta cho c = gcd(a, b) như trước.
Điều này dẫn đến kết quả cuối cùng của I là:
I=
∞ X
∞
X
n
n c2
M ( )M ( )
a
b 12ab
b=1
a=1
(2.20)
Sử dụng M (n) = 0(n1/2+ ), ∀ > 0, thì tồn tại C thỏa mãn M (n) <
Cn(1/2)+ . Thay thế giá trị của M (n) ta được:
I<
∞ X
∞
X
a=1
n 1/2+ n 1/2+ c2
C( )
C( )
a
b
12ab
b=1
1+2 C
=n
∞ X
∞
2 X
12
1+2 C
=2
c2
(αcβc)(3/2)+
a=1 b=1
∞ X
∞ X
∞
2 X
12
a=1 b=1 c=1
c2
α3/2 β 3/2 c3/2
2
c
, dùng công thức của I trong (2.17), và tổng vô hạn hội tụ đến
Cho K + 12
0
L(n)
L(n)
X
δv2 < Kn1+2
v=1
Lấy căn bậc hai hai vế ta được:
L(n)
L(n)1/2 (
X
(δv2 ))1/2 < K 1/2 n1/2+
v=1
Bước cuối cùng chỉ ra rằng:
L(n)
X
v=1
L(n)
1/2
|δv | ≤ L(n)
(
X
(δv2 ))1/2
(2.21)
v=1
Điều này được thực hiện bằng cách áp dụng bất đẳng thức Cauchy-
41
Schwarz:
L(n)
L(n)
X
X
|δv | = |
v=1
(±1)δv |
v=1
L(n)
≤ (1 + 1 + 1 + ... + 1)1/2 (
L(n)
X
(δv2 ))1/2
v=1
L(n)
1/2
= L(n)
(
X
(δv2 ))1/2
v=1
Do đó ta thu được:
L(n)
X
|δv | < K 1/2 n1/2+
v=1
với mọi > 0. Vậy
L(n)
X
|δv | = o(n1/2+ )
v=1
Kết thúc chứng minh mệnh đề (2.7).
2.3
Một số ví dụ khác về áp dụng của dãy phân số
Farey
Định lí 2.3.1. Nếu α nằm giữa hai số hạng liên tiếp
a
c
và
của dãy
b
d
Farey. Khi đó, bất đẳng thức
α−
1
x
<√
y
5y 2
thoả mãn bởi một trong các phân số sau:
(2.22)
a a+c c
;
; .
b b+d d
a
c
hoặc thỏa mãn (2.22). Khi
b
d
đó, định lý hiển nhiên đúng. Vì vậy, chúng ta giả thiết rằng:
Chứng minh. Nếu một trong các phân số
α−
1
a
≥√
b
5b2
(2.23)
42
và
α−
1
c
≥√
d
5d2
(2.24)
Cộng vào (2.23) và (2.24) chúng ta thu được:
1
1
1
c a
− ≥√
+
d b
5 b2 b2
Dấu của đẳng thức không xảy ra vì một số vô tỷ không thể bằng một số
hữu tỷ được. Nhưng chúng ta biết rằng
c a
1
− =
d b
bd
cho nên
1
1
>√
bd
5
1
1
+ 2
2
b
b
Từ đó suy ra
d2 −
√
5bd + b2 < 0
(2.25)
Bằng một vài phép biến đổi đại số ta được
√
√
1
1
(2 − 5)b2 + (2 + 5)bd + d2
1
1
√
√
+
=
−
b(b + d)
5 b2 (b + d)2
5b2 (b + d)2
√
√ 2
1
√
2
(6 − 2 5)b − 4( 5 − 1)bd + 4d
2
d
−
5bd + b2
2
√
√
=
−
5b2 (b + d)2
5b2 (b + d)2
2
√
1 √
( 5 − 1)b − 2d − (d2 − 5bd + b2 )
√
= 2
(*)
5b2 (b + d)2
Theo (2.25) thì kết quả của (*) là một số thực dương. Do đó:
1
1
1
1
<√
+
b(b + d)
5 b2 (b + d)2
(2.26)
Chứng minh tương tự ta được:
1
1
<√
d(b + d)
5
1
1
+
d2 (b + d)2
(2.27)
43
a
a+c
a+c
Chỉ có hai khả năng: hoặc α nằm giữa và
hoặc α nằm giữa
b
b+d
b+d
c
và .
d
Trong trường hợp thứ nhất ta có:
a+c
a+c a a
1
1
−α=
− − α−
≤
−√
b+d
b+d b
b
b(b + d)
5b2
1
1
1
1
√
+
−
<√
5 b2 (b + d)2
5b2
1
1
<√
5 (b + d)2
Do đó:
a+c
1
1
−α< √
b+d
5 (b + d)2
(2.28)
Trong trường hợp thứ hai chúng ta có:
a + c c a + c c
1
1
α−
= −
−
−α ≤
−√
b+d d b+d
d
d(b + d)
5d2
1
1
1
1
√
+
−
<√
5 d2 (b + d)2
5d2
Do đó:
α−
a+c
1
<√
b+d
5(b + d)2
(2.29)
Từ (2.28) và (2.29) suy ra định lý được chứng minh.
√
√
5
Định lí 2.3.2. (Hurwizts) Cho α =
và β > 5 thì bất đẳng thức
2
α−
x
1
< 2
y
βy
(2.30)
có hữu hạn nghiệm.
Chứng minh. Cho phân số
a
thỏa mãn (2.22), nghĩa là ta có
b
√
5 a
1
−
< 2
2
b
βb
(2.31)
44
Để chứng minh định lý ta phải chỉ ra rằng b chỉ có hữu hạn giá trị khác
nhau. Lúc này từ bất đẳng thức (2.31) suy ra:
!
√
√
√
√
5 a
5 a
1
1
+ 5 >
−
− + | 5|
2
2
βb βb
2
b
2
b
√
√
a
5−1 a
5 √
≥
−
−
+ 5
b
2
b
2
√
√
5−1 a
5+1
a
−
+
=
b
2
b
2
|a2 + ab − b2 |
=
b2
Ở đây a2 + ab − b2 là tích số của các số vô tỉ nên nó khác 0. Suy ra:
√
1
1
1
+
5
>
βb2 βb2
b2
hoặc:
Đặt β =
√
√
1
+ 5 >β
βb2
(2.32)
5 + δ với δ là số thực dương. Khi đó ta có:
√
√
1
√
+ 5> 5+δ
( 5 + δ)
Nghĩa là
b2 <
1
√
δ( 5 + δ)
Như vậy ta đã chứng minh b chỉ có hữu hạn giá trị khác nhau. Bởi vậy
định lý trên đúng.
45
Kết luận
Nội dung chính của luận văn bao gồm.
- Giới thiệu về dãy phân số Farey và các tính chất của nó.
- Mối quan hệ của số vô tỉ và dãy phân số Farey, giữa đường tròn Ford và
dãy Farey.
- Giới thiệu hàm Zeta, giả thuyết Riemann và các mệnh đề tương đương
với giả thuyết Riemann.
- Một số áp dụng của dãy Farey trong số học.
Do vấn đề được đề cập trong luận văn là tương đối phức tạp, hơn nữa do
thời gian và khả năng còn hạn chế nên mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng
luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả mong nhận được những
ý kiến đóng góp quý báu của thầy cô giáo và những người quan tâm để
luận văn được hoàn thiện hơn.
46
Tài liệu tham khảo
Tài liệu Tiếng Việt
[1] Nguyễn Mạnh Dũng (2009), "Vẻ đẹp của phân số Farey", Tạp chí toán
học Math.Vn, (02) tr. 09 - 19.
[2] Phùng Hồ Hải (2013), "Xấp xỉ tốt, phân số liên tục, dãy Farey", Thông
tin Toán học, Hội Toán học Việt Nam, 17 (3), tr. 21 - 24.
Tài liệu Tiếng Anh
[3] Neville. E. H (1950), The Farey Series of Order 1025, Cambridge
University Press.
[4] Pianta. J, Warwick. J ( 2012), The Farey Sequence, Year 4 Project
University of Edinburgh.