Inleiding pagina 1
Wiskundige Vaardigheden
OLOD PraktijkonderzoekS1 – facet wiskunde
Bachelor in de voedings- en dieetkunde
Academiejaar 2022-2023
semester 1
Auteurs: V. Van Vlaslaer, I. Van den Bossche,
H. Nachtegaele, E. Lemmens
Lector: E. Lemmens
Cursus
Inleiding pagina 1
Inleiding
Deze cursus is gemaakt voor de studenten Voedings- en Dieetkunde (VD) aan de AP en bevat alle
theorie en oefeningen van en voor wiskunde die aan bod komen in het opleidingsonderdeel (OLOD)
PraktijkonderzoekS11. Wiskunde is een deel (of ander woord: facet) van het OLOD
PraktijkonderzoekS1; wiskunde telt mee voor 20% van het totaalresultaat.
Dit document kan je in pdf formaat terugvinden op Digitap:
-
Op de digitap pagina van het ‘vak’ PraktijkonderzoekS1, vind je een link terug naar een ander
‘vak’: Wiskundige Vaardigheden KRO
Wiskundige Vaardigheden KRO is dé digitap plaats voor alle studenten KRO (VD, Chemie en
Laboranten) die wiskunde op hun curriculum hebben staan
Als eerste stap op deze pagina dien je dan ook aan te duiden wat jij studeert
De cursus Wiskundige vaardigheden KRO bestaat dus ook volledig in digitale vorm, met stukjes
theorie en oefeningen net zoals in deze ‘papieren’ cursus. Hier en daar zijn er verschillen, maar de
thema’s zijn volledig vergelijkbaar. Deze cursus vormt met andere woorden een aanvulling op het
materiaal in digitap, of omgekeerd.
Hoe gaan we praktisch te werk?
✓ Op digitap staat een planning voor je klaar: ‘Overzicht per lesweek’ – zie ook volgende pagina
✓ Je bereidt zelf de lessen voor, zelfstandig werk (zw), aan de hand van het aangeboden
cursusmateriaal (digitaal en papier);
✓ Je komt naar de werkcolleges (WE), ingericht per groep en neemt actief deel aan deze
oefensessies om jezelf te toetsen naar de vaardigheden die je dient te verwerven;
✓ Heb je vragen dan stel je deze tijdens de werkcolleges of via het digitap FORUM
✓ Tijdens deze werkcolleges, is de lector E. Lemmens aanwezig om uitleg te geven,
voorbeeldoefeningen te maken, vragen te stellen, …
De nadruk ligt dus op:
A. Het verwerven van praktische vaardigheden, zoals ook vermeld in de ECTS fiches.
B. Zelfstudie: je studeert op je eigen tempo en maakt oefeningen zoveel als nodig
Praktische aspecten:
-
Belangrijkste doel: slagen op het examen wiskunde
Deelname aan de werkcolleges met een laptop is absoluut noodzakelijk
Uiteraard mag je ook je eigen rekenmachine(s) gebruiken
Eerste examenkans: week7 – dat is de week ná de herfstvakantie
We leren ook met Excel werken – eerste kennismakingsfilmpjes staan op digitap
Er is ook een studiewijzer beschikbaar op digitap
Tweede examenkans valt in de week net voor of net na de wintervakantie
Studiegids voor dit facet is terug te vinden op digitap
Dit studiemateriaal werd opgesteld door Hubert Nachtegaele, Ingrid Van den Bossche en Veerle Van
Vlaslaer en door Els Lemmens.
1
S1 betekent semester 1 – er is ook een OLOD Praktijkonderzoek S2
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Inleiding
Inleiding pagina 2
weeknummer
van
tot
Aantal
Inhoud
uur
wk1
wk2
wk3
19/09
26/09
3/10
23/09
30/09
7/10
2 Hfst1&2
2 Hfst5
0
wk4
wk5
wk6
vakantie
wk7
weeknummer
wk8
wk9
wk10
wk11
wk12
wk13
vakantie
vakantie
10/10
17/10
24/10
31/10
7/11
14/10
21/10
28/10
4/11
10/11
2 Hfst2&3
0
2 Hfst4
van
14/11
21/11
28/11
5/12
12/12
19/12
26/12
2/01
tot
18/11
25/11
2/12
9/12
16/12
23/12
30/12
6/01
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
2
Aantal
uur
0
2
0
2
2
2
Titel Hoofdstuk
Getallen, Cijfers, Eenheden & Rekenen, volgorde van bewerkingen,
wiskundige uitdrukkingen vereenvoudigen
Lineair Verloop
breuken & Verhoudingen, percenten, evenredigheden
Vergelijkingen
1ste EXAMENkans
Inhoud
Titel Hoofdstuk
Verbetering 1ste examen
Vragen studenten
Vragen studenten
Oefen examen
2de EXAMENkans
Inleiding
Inhoudstafel – pagina 1
Inleiding ........................................................................................................................................................... 1
1
Hoofdstuk1 Getallen, Cijfers, Eenheden ..................................................................................................... 1
1.1
Inleiding: Begrippen cijfers ................................................................................................................ 1
1.2
Wetenschappelijke notatie van getallen ........................................................................................... 7
1.3
Technische notatie van getallen (ingenieursnotatie) (niet echt noodzakelijk voor VD) .................. 8
1.4
Afronden, hoe doe je dat? .............................................................................................................. 10
1.5
Eenheden ........................................................................................................................................ 15
1.6
Oefeningen hoofdstuk 1 .................................................................................................................. 26
2
Hoofdstuk2 Rekenen, volgorde van bewerkingen, wiskundige uitdrukkingen vereenvoudigen .............. 32
2.1
Volgorde van bewerkingen ............................................................................................................. 32
2.2
Gebruik rekenhulp ........................................................................................................................... 35
2.3
Haakjes en distributiviteit ............................................................................................................... 35
2.4
Machten en wortels ........................................................................................................................ 36
2.5
Breuken ........................................................................................................................................... 41
2.6
Wiskundige uitdrukkingen vereenvoudigen .................................................................................... 44
2.7
Oefeningen ...................................................................................................................................... 45
3
Hoofdstuk3 Verhoudingen, percenten, evenredigheden .......................................................................... 48
3.1
Verhouding of breuk?...................................................................................................................... 48
3.2
Evenredigheden .............................................................................................................................. 54
3.3
Oefeningen ...................................................................................................................................... 64
4
Hoofdstuk4 Vergelijkingen ....................................................................................................................... 68
4.1
Wat bedoelt men in de wiskunde met "een vergelijking" ? ............................................................ 68
4.2
Soorten vergelijkingen .................................................................................................................... 68
4.3
Wat betekent "oplossen van een vergelijking" ? ............................................................................ 68
4.4
Heeft elke vergelijking oplossingen? ............................................................................................... 69
4.5
Hoe ga je te werk om een vergelijking op te lossen? ...................................................................... 70
4.6
Lineaire vergelijkingen – andermaal ............................................................................................... 73
4.7
Oefeningen ...................................................................................................................................... 76
5
Hoofdstuk5 Lineair Verloop ...................................................................................................................... 81
5.1
vb1 - Lineaire groei? ........................................................................................................................ 81
5.2
vb2 - Lineaire groei .......................................................................................................................... 83
5.3
vb3 – Meer punten op het examen? ............................................................................................... 85
5.4
vb4 - Calorieën tellen? .................................................................................................................... 87
5.5
Lineair verloop................................................................................................................................. 89
5.6
Wiskundige formulering lineaire groei ............................................................................................ 94
5.7
Oefeningen .................................................................................................................................... 100
6
Annex Woordenlijst & overzichten ......................................................................................................... 107
6.1
Overzicht van de 8 basisbewerkingen ........................................................................................... 107
6.2
eigenschappen van enkele speciale getallen ................................................................................ 108
6.3
eigenschappen van inverse bewerkingen ..................................................................................... 108
6.4
rekenregels .................................................................................................................................... 108
6.5
gelijkwaardige uitdrukkingen ........................................................................................................ 109
6.6
vergelijking van de eerste graad ................................................................................................... 110
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Inhoudstafel
Hoofdstuk1 – pagina 1
1 Hoofdstuk1 Getallen, Cijfers, Eenheden
Bedoeling van dit hoofdstuk:
•
•
•
De begrippen omtrent weergave van getallen en cijfers kennen.
Getallen kunnen weergeven in een opgegeven notatie.
Begrijpen waarom een eerlijke en duidelijke weergave van getallen belangrijk is.
1.1 Inleiding: Begrippen cijfers
1.1.1 Cijfer
Een cijfer is een notatie die een hoeveelheid weergeeft:
0, 1, 2, 3,4,5,6,7,8,9 zijn de cijfers die alom in de wereld gebruikt worden.
1.1.2 Getal
Een getal is een zinvolle combinatie van cijfers:
123, 300, 243567, 100000000000, ...
Even ter herhaling: eenheden, tientallen, 100-tallen, duizendtallen….
1.1.2.1 Oefening 1.1.2 deel 1
1. Geef het getal dat bestaat uit …. en alleen uit …:
a. 9 eenheden, 3 tientallen, 4 honderdtallen
b. 9 eenheden, 3 tientallen, 4 duizendtallen
c. 9 eenheden, 4 honderdtallen, 5 duizendtallen
d. 9 honderdtallen, 5 duizendtallen
e. 9 eenheden, 3 tientallen, 4 honderdtallen, 5 duizendtallen
f. 3 eenheden, 3 tientallen, 3 honderdtallen, 3 duizendtallen
g. 9 eenheden, 5 duizendtallen
2. Uit hoeveel eenheden, tientallen, honderdtallen, duizendtallen bestaan volgende
getallen:
a)
getal
1234
b)
12
c)
4545
d)
1111
eenheden
tientallen
honderdtallen
duizendtallen
Wat is niet zinvol? Bv. 00001 → 'Nullen' vóór een cijfer zijn niet zinvol - zie ook bij betekenis beduidend
cijfer.
Een positief getal is groter dan nul en heeft doorgaans geen toestandsteken vóór het getal staan.
Een negatief getal heeft wel een toestandsteken: -123 betekent 123 'onder nul' of links van het nulpunt op
de getallen-as.
Een geheel getal bevat geen kommateken of heeft als noemer 1.
Een decimaal getal bevat wel een kommateken en heeft dus en noemer verschillend van één. Een breuk is
ook een getal.
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk1 – pagina 2
Even ter herhaling: tienden, honderdsten, duizendsten.
Niet alle kommagetallen kan je als een breuk schrijven: pi, e, wortel van 2, ...
1.1.2.2 Oefening 1.1.2 deel 2
1. Schrijf als een decimaal getal
breuk
Decimaal getal
1
10
7
10
17
10
1
100
2. Schrijf als een breuk
Decimaal getal
0,012
0,1234
1,1
111,1
breuk
breuk
Decimaal getal
1
100
1
1000
1
10000
22
1000
Decimaal getal
breuk
3. Vervolledig de tabel met aanduiding tiendes, hondersten, duizendsten
a)
getal
0,1234
b)
1,2
c)
45,45
d)
111,1
gehelen
tiendes
hondersten
duizendsten
1.1.3 Beduidend cijfer
Een beduidend cijfer zegt iets over een ‘gemeten’ hoeveelheid. Een beduidend cijfer weglaten of
toevoegen verandert de nauwkeurigheid van het getal en dus van de meting.
Bv. Je meet met een lat de breedte van dit cursusblad en deze lat heeft mm-streepjes. Je meet precies 21
cm. Als je deze meting uitdrukt in mm dan wordt 21 cm, 210 mm. Dit getal geeft correct de
nauwkeurigheid weer: je meet tot op de mm en dus is de nul in het getal 210 beduidend. Als je deze
meting in cm uitdrukt, dien je 21,0 cm te noteren om de nauwkeurigheid correct weer te geven.
In woorden: je meet 21 cm en 0 mm.
1
3
Bv. Een halve pizza, kan je schrijven als 2 pizza of als 6 pizza, als je hem eerst in 6 stukken had gesneden.
Natuurlijk kan je een halve pizza ook noteren als 0,5 pizza: de 0 vóór de 5 is niet beduidend en de 5 is dat
5
wel: een 5 achter de komma betekent 5 tienden of als een breuk geschreven: 10.
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk1 – pagina 3
Bij het tellen van beduidende cijfers telt elk cijfer op elke plaats afzonderlijk mee.
Bijvoorbeeld in het getal: 11000,220077 staan elf beduidende cijfers.
1.1.3.1
Oefening 1.1.3
Geef het aantal beduidende cijfers van volgende getallen:
getal
Aantal beduidende
cijfers
12
12,0
0,12
0,13
0,013
13,0
13,01
getal
Aantal beduidende
cijfers
1111
1111,1
1011,0
345678
300008
0,00007
13,134
1.1.4 Decimaal getal
Een decimaal getal bevat een komma en kan, als het een rationaal decimaal getal is, ook als een breuk
geschreven worden. (Er bestaan ook irrationale decimalen getallen en die kunnen niet als een breuk
geschreven worden.)
Een decimaal getal bevat een gedeelte vóór de komma: het aantal gehelen en een gedeelte áchter de
komma: een fractie ofwel deel van een geheel.
1
Bijvoorbeeld: 6 = 0,167 → nul gehelen en 167 duizendsten (één zesde van een pizza)
7
Tweede voorbeeld: 6 = 1,167 → 1 geheel en 167 duizendsten (een volledige pizza en nog één zesde)
1.1.4.1
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
oefening 1.1.4: Schuif de komma … plaatsen op
13 : 10 =
13 : 100 =
0,13 x 10 =
0,0013 x 100 =
0,013 x 1000 =
13 : 1000 =
13 : 10000 =
1.1.5 Machten
Een macht van een getal, of beter gezegd, een getal tot een macht verheffen, is een bewerking waarbij je
dat getal een aantal keer met zichtzelf vermenigvuldigt.
Bijvoorbeeld het getal 3 verheffen tot de vierde macht: 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 34
Uiteraard bestaan er meer ingewikkelde vormen: met negatieve machten, met breuk-machten, …
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk1 – pagina 4
In het algemeen: een getal a verheffen tot de n-de macht, betekent dat je a n keer met zichzelf
vermenigvuldigt en wordt genoteerd met 𝑎𝑛 .
Rekenen met machten, optellen, delen en vermenigvuldigen komt aan bod in volgend hoofdstuk.
Enkele zeer bijzondere machten:
-
𝑎1 = 𝑎 ‘een eerste macht schrijven we niet’
𝑎0 = 1 ‘eender welk getal, behalve 0, tot de nulde macht, is 1
Er zijn twee bijzondere gebroken machten (een macht in de vorm van een breuk, wordt gebroken macht
genoemd) die hier worden vermeld vanwege hun hoge toepassingsgraad:
Vierkantswortel = verheffen tot de macht 1/2
Derdemachtswortel = verheffen tot de macht 1/3
En dan is er nog het begrip van een negatieve macht (hoe kan je nu een getal -n maal met zichzelf
vermenigvuldigen?):
𝑎−1 =
1
𝑎
Rekenen met machten in Excel? Gebruik het ‘hoedje’! ^ en zet de macht tussen haakjes (of gebruik de
functie macht, maar dat is iets ingewikkelder…) – zie volgende figuur.
bewerking vierkants- derdemachts- omgekeerde
wortel
wortel
getal
9
27
10
formule
=9^(1/2) =27^(1/3)
=10^(-1)
resultaat
3
3
0,1
Figuur 1: Berekening van de vierkantswortel, derdemachtswortel en van het omgekeerde in Excel
Figuur 2: Zelfde berekening als in figuur1, in Excel, maar mét celadressen
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk1 – pagina 5
1.1.5.1
Oefening 1.1.5
1. Reken uit, zonder rekenmachine en antwoord indien van toepassing met een kommagetal (en dus
niet met een breuk)
Bewerking
Omgekeerde van
Kwadraat
Derdemacht
Vierkantswortel
getal
1
5
10
8
0,01
0
7
10
0
3
0,1
16
0
9
resultaat
2. Reken uit, met rekenmachine
En rond af op twee cijfers na de komma
• 133
•
1
112
• −32
• (−3)2
•
713
12
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
getal
5
100
100000
5
2,5
1
11
100
1
10
1/2
4
121
400
resultaat
getal
250
1000
32
4
1,6
9
20
0,1
2
100
1/3
900
1/9
1/4
resultaat
Hoofdstuk1 – pagina 6
1.1.6 Machten van 10
Wat is er belangrijk aan machten van het getal 10: het getal stelsel waarin we werken is een decimaal
getal-stelsel, dat wil zeggen dat we tot 9 kunnen gaan en dat we dan een cijfer dienen bij te plaatsen ofwel
een plaats ernaast opnieuw beginnen te tellen. Het getal 10 speelt een cruciale rol.
Hieronder en lijstje van de bekendste machten van 10 mét hun verkorte schrijfwijze erbij alsook het prefix
waarmee deze macht wordt genoemd in combinatie met een eenheid (denk bv. aan meter m):
macht van 10
10−6
uitgeschreven
0,000001 =
Verkortte
schrijfwijze
E-06
prefix
micro
1
10−5
1000000
0,00001=
E-05
1
10
−4
100000
0,0001=
1
10000
1
10−3
0,001=
10−2
0,01=
10−1
0,1=
10
1
10
100
1000
10000
100000
1000000
10−0
101
102
103
104
105
106
1000
1
100
1
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
E-04
E-03
milli
E-02
centi
E-01
deci
E+01
E+02
E+03
E+04
E+05
E+06
deca
hecto
kilo
mega
Hoofdstuk1 – pagina 7
1.2 Wetenschappelijke notatie van getallen
Wat is "wetenschappelijke notatie" van een getal?
Wetenschappelijke notatie van een getal is notatie van het getal in de vorm:
1.2.1
𝑎 ∙ 10𝑛
Waarin...
•
•
•
•
•
•
•
•
𝑎 ∈ [1; 10[
in woorden: a is groter dan of gelijk aan 1, en kleiner dan 10.
𝑎 genoteerd wordt als decimaal getal (komma-getal),
dus met links van het decimaal teken slechts één cijfer (geen nul),
en rechts van het decimaal teken een aantal cijfers in overeenstemming met de
precisie waarmee het getal gekend is.
a bepaalt het aantal beduidende cijfers of precisie – zie §1.1.3
a wordt coëfficiënt of mantisse genoemd
𝑛 ∈ℤ
in woorden: is een geheel getal (positief, negatief, ook nul is toegelaten)
n is een macht of een exponent en staat bovenaan geschreven ofwel in superscript
" · " staat voor "vermenigvuldiging", dus identiek aan " × "
Verwar " · " echter niet met het gewone punt " . " dat vaak foutief als decimaal teken
gebruikt wordt.
10𝑛 lees je als 10 tot de macht n
zie tabel:
10³
10²
10
100
10-1
10-2
10-3
1000
100
10
1
0,1
0,01
0,001
Waar is "wetenschappelijke notatie" goed voor?
De wetenschappelijke getal-notatie maakt gebruik van "machten van tien" om reeds bij een
eerste blik op het getal een correcte indruk te geven van de grootteorde ervan.
Bijvoorbeeld:
1.2.2
•
•
•
in 1,26⋅106 toont de factor 106 meteen dat het om een getal van de orde 1 000 000
(miljoen) gaat, zonder dat we cijfers moeten tellen.
6,02214076⋅1023 (een belangrijk getal voor de chemie) is duidelijker en eenvoudiger
manipuleerbeer in berekeningen dan 602214076000000000000000)
(meestal wordt het afgerond tot 6,022⋅1023)
aan het getal 1,7⋅10-5 zie je meteen dat het gaat om iets dat 105 (100000) keer kleiner
is dan 1,7 wat niet meteen duidelijk is als je het schrijft als 0,000017
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk1 – pagina 8
Wetenschappelijke notatie is een unieke notatie:
•
•
•
1.2.3
•
•
Je kan een willekeurig getal met een gegeven precisie slechts op één enkele manier in
wetenschappelijke notatie zetten
nullen aan de rechterkant van a hebben altijd een betekenis op gebied van
beduidende cijfers
is wereldwijd in gebruik
Opdrachten
Zoek uit hoe wetenschappelijke weergegeven wordt op jouw rekentoestel.
In Excel spreadsheets kunnen getallen nooit superscript worden weergeven.
Zoek uit, of probeer uit, hoe getallen dan toch in wetenschappelijke notatie
weergegeven worden in Excel alsook op je rekenmachine
1.2.4 Meer info
In de woordenlijst bij "wiskundige vaardigheden": zie machten van 10 en de uitleg over de
verkorte notatie daarvan.
Wikipedia: Wetenschappelijke notatie ; Scientific notation
1.2.5 Oefening Beduidende cijfers en decimalen in wetenschappelijke notatie
Nummer Getal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1.3
Getal in
wetenschappelijke
notatie
Aantal B.C.’s
Aantal decimalen
3,1415
1,234 ∙ 103
0,234 ∙ 103
0,0234 ∙ 103
0,234 ∙ 103
76510 ∙ 10−3
7610 ∙ 10−3
76,510 ∙ 10−3
76510 ∙ 10−3
76010 ∙ 10−3
Technische notatie van getallen (ingenieursnotatie) (niet echt noodzakelijk voor VD)
Wat is "technische notatie" van een getal?
Net zoals in de "wetenschappelijke notatie" worden in "technische notatie" getallen genoteerd
in de vorm:
1.3.1
𝑎 ∙ 10𝑛
Maar bij technische notatie kiest men voor 𝑛 steeds een veelvoud van 3 (positief of negatief):
Voor 𝑎 geldt dan:
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk1 – pagina 9
•
•
•
𝑎 ∈ [1; 1000[
in woorden: is groter dan of gelijk aan 1, en kleiner dan 1000
𝑎 wordt genoteerd als geheel getal of als decimaal getal (komma-getal),
in overeenstemming met de precisie (aantal beduidende cijfers) waarmee het getal
gekend is.
Indien de meest geschikte keuze voor 𝑛 de "nul" is,
dan
𝑛
wordt de factor ∙ 10 weggelaten
"Technische notatie" wordt ook "Ingenieursnotatie" genoemd.
1.3.2
•
•
•
Waar is "technische notatie" goed voor?
Verband met voorvoegsels bij eenheden: zie verder (kilo, mega, ... milli, micro, ...)
Houden we van machten van1000? Denk aan miljoen, biljoen, triljoen, ...
De terminologie "Ingenieursnotatie" en "technische notatie" wijst er op dat deze vorm
van getallen weergeven heel gebruikelijk is in technische context.
1.3.3 Nadeel van technische notatie
In tegenstelling tot wetenschappelijke notatie kan er onduidelijkheid optreden omtrent de
precisie (aantal beduidende cijfers) waarmee het getal gekend is indien 𝑎 een geheel getal is
dat eindigt op één of meerdere nullen.
Bijvoorbeeld:
De volgende technische notaties staan voor dezelfde getalwaarden:
500 ·103 en 500,0 ·103
maar bij de eerste vorm is het niet helemaal duidelijk of de nullen beduidende cijfers zijn, of
enkel noodzakelijk zijn omwille van de keuze van de factor 103
De tweede vorm wijst er expliciet op dat het om 4 beduidende cijfers gaat:
de ",0" is er immers niet nodig om de getalwaarde aan te geven, maar enkel om erop te
wijzen dat dit getal gekend is tot op 0,1 ·103
Daarom:
Soms wordt een afwijkende vorm van technische notatie gebruikt, waarin men tussen
0,001 en 1 kiest in plaats van tussen 1 en 1000.
Bijvoorbeeld:
•
•
1.3.3.1
•
Technische notatie volgens de strikte definitie, met onduidelijkheid over 2 of 3
beduidende cijfers: 230 ·10-6
Afwijkende technische notaties voor dezelfde getalwaarde maar zonder
onduidelijkheid over aantal beduidende cijfers:
o 0,23 ·10-3 indien "twee beduidende cijfers" bedoeld wordt.
o 0,230 ·10-3 indien "drie beduidende cijfers" bedoeld wordt.
Denkvragen ...
Snap je waarom de strengere voorwaarde voor 𝑎 in "wetenschappelijke notatie" elke
onduidelijkheid over beduidende cijfers wegneemt,
terwijl die onduidelijkheid bij technische notatie in principe wel kan voorkomen?
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk1 – pagina 10
•
Zoek uit hoe wetenschappelijke en technische notatie weergegeven worden op jouw
rekentoestel.
Meer info
Wikipedia: Engineering notation
1.3.3.2
1.4 Afronden, hoe doe je dat?
Afronden betekent dat je een (berekend) getal anders gaat noteren:
-
Bv1: 23,8 wordt afgerond naar 24
Bv2: 23,1 wordt afgerond naar 23
Bv3: 2,38E-4 wordt afgerond naar 2,4E-4
1.4.1 om af te ronden op n beduidende cijfers (BC)
Indien het aantal cijfers links van het decimaal teken groter is dan n, zet dat getal dan in
wetenschappelijke notatie.
Bv. 1248 dient afgrond op 2 BC’s
➔ eerst in wetenschappelijke notatie: 1,248E3
➔ afronden op 2 BC’s betekent in dit vb. dat er 2 cijfers dienen weggelaten te worden (waarom?
➔ de cijfers 4 en 8 dienen weg gelaten te worden en hierbij kijken we enkel naar het meest linkse,
zijnde het cijfer 4
➔ Omdat 4 nog te tellen valt op de rechterhand (0,1,2,3 en 4 tellen we met de eerste, rechterhand),
mogen we de cijfers 48 volledig weglaten zonder iets te wijzigen aan de cijfers die overblijven:
➔ 1,2E3 is het resultaat
Bv2. 1251 dient afgrond op 2 BC’s
➔ eerst in wetenschappelijke notatie: 1,251E3
➔ afronden op 2 BC’s betekent in dit vb. dat er 2 cijfers dienen weggelaten te worden
➔ de cijfers 5 en 1 dienen weg gelaten te worden en hierbij kijken we enkel naar het meest linkse,
zijnde het cijfer 5
➔ Omdat 5 wordt geteld op de linkerhand (0,1,2,3 en 4 tellen we met de eerste, rechterhand),
moeten we de cijfers 51 volledig weglaten mits wijziging aan de cijfers die overblijven: er dient
eentje bij opgeteld te worden bij het cijfer links van de 5
➔ Links van de 5 staat een 2 → die verandert in een 3
➔ 1,3E3 is het resultaat
Bv3. 1951 dient afgrond op 2 BC’s
➔ eerst in wetenschappelijke notatie: 1,951E3
➔ afronden op 2 BC’s betekent in dit vb. dat er 2 cijfers dienen weggelaten te worden
➔ de cijfer 51 dienen weg gelaten te worden en hierbij kijken we enkel naar het meest linkse, zijnde
het cijfer 5
➔ Omdat 5 wordt geteld op de linkerhand (0,1,2,3 en 4 tellen we met de eerste, rechterhand),
moeten we de cijfers 51 volledig weglaten mits wijziging aan de cijfers die overblijven: er dient
eentje bij opgeteld te worden bij het cijfer links van de 5
➔ Links van de 5 staat een 9 → die verandert in een 10
➔ Een 10 kunnen we niet schrijven: we schrijven het cijfer 0 en tellen eentje op bij het cijfer links van
eht aan te passen cijfer
➔ 2,0E3 is het resultaat
Samenvatting Afronden op n beduidende cijfers:
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk1 – pagina 11
➔ Zet getal in wetenschappelijke notatie
➔ Plaats achter het n-de beduidend cijfer een denkbeeldige verticale lijn.
➔ Is het eerste cijfer achter (rechts van) die lijn ...
•
•
een 0,1,2,3 of 4:
Laat dan alle cijfers rechts van die lijn weg.
Verder hoef je niets te doen.
een 5,6,7,8 of 9:
Laat dan alle cijfers rechts van die lijn weg,
en verhoog het cijfer voor (links van) die lijn met één.
Praktische tip omtrent afronden in Excel op aantal BC’s: zet ‘getalnotatie’ op wetenschappelijke notatie!
Stap 0: Zet je cursor op cel D1 en typ daarin 1951, zoals getoond in voorbeeld
Stap 1: In het groene menu lint is de start-tab aangeklikt
Stap 2: Kijk in het midden naar het vakje ‘Getal’
Stap 3: Verander de getalnotatie, van ‘Standaard’ naar ‘Wetenschappelijk’
Stap 4: het getal 1951 wordt anders genoteerd:
Stap 5: Wil je meer of minder BC’s? Gebruik dan de knoppen ‘Meer decimalen’ of ‘Minder decimalen’
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk1 – pagina 12
Figuur 3: Afronden op aantal BC’s in Excel
1.4.2 om af te ronden op n decimalen
Als het getal minder dan n decimalen bevat: ‘doe dan niets’ tenzij er gevraagd wordt om te antwoorden
met n decimalen.
Bijvoorbeeld: de uitkomst van je berekening is gelijk aan 1,2. Precies 1,2 – niets meer niets minder. Er
wordt gevraagd te antwoorden met 3 decimalen: 1,200 is dan je antwoord.
Als het getal meer dan n decimalen bevat:
Plaats achter het n-de decimaal (het n-de cijfer achter de komma) een denkbeeldige verticale lijn.
Is het eerste cijfer achter (rechts van) die lijn ...
•
•
een 0,1,2,3 of 4:
Laat dan alle cijfers rechts van die lijn weg.
Verder hoef je niets te doen.
een 5,6,7,8 of 9:
Laat dan alle cijfers rechts van die lijn weg,
en verhoog het cijfer voor (links van) die lijn met één.
Indien het cijfer links van de lijn een negen is, en met één verhoogd moet worden, dan wordt dat een nul
en heeft dat ook weer gevolg voor het tweede cijfer links ten opzichte van de (denkbeeldige) lijn.
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk1 – pagina 13
Voorbeelden afronden op n decimalen
vb1: 846,1254 afronden op 2 decimalen:
846,12|54
achter de streep staat een 5
de 2 voor de streep wordt dus een 3
dat geeft: 846,13
vb2: 25,29712 afronden op 2 decimalen:
25,29|712
achter de streep staat een 7
de 9 voor de streep wordt dus een nul,
en de 2 daarvoor wordt een 3
dat geeft: 25,30
Praktische tip ‘afronden op n decimalen’ in Excel → gebruik de ‘minder decimalen’ of Meer decimalen’
knoppen!
Figuur 4: afronden op n decimalen in Excel met de knoppen ‘Meer decimalen’ en ‘Minder decimalen’
In bovenstaand voorbeeld werd in elke cel hetzelfde getal gebruikt (met behulp van = ). Elk volgend getal
wordt getoond met één decimaal minder.
Merk op: Afronden in Excel betekent dat de cijfers die je niet ziet, weg zijn. Ze zijn er nog steeds maar
worden niet getoond.
Een voorbeeld: één plus één is drie:
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk1 – pagina 14
Figuur 5: optelling van afgeronde cijfers geeft verrassende resultaten!
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk1 – pagina 15
1.5 Eenheden
1.5.1 Elementaire kennis omtrent eenheden
1.5.1.1
•
•
•
•
•
Overzicht eenheden
lengte-eenheden:
o basiseenheid "meter" (m)
o de combinaties daarvan met de belangrijkste prefixen
massa-eenheden:
o basiseenheid "kilogram" (kg)
o de combinaties van gram (g) met andere prefixen dan "kilo" (k)
inhoudsmaten
o eenheid "liter" (L), relatie met basiseenheid ...
o de combinaties daarvan met de belangrijkste prefixen
tijd-eenheden:
o basiseenheid "seconde" (s)
o de 60-delige veelvouden daarvan
o kan dat ook met prefixen?
o vergelijking 60-delige notatie met decimale (10-delige) notatie (en de te veel
voorkomende fouten daarbij)
hoeveelheid-eenheden
o "dozijn", "gros", maar vooral natuurlijk de "hoeveelheid-materie" eenheid "mol"
Eenheden die niet behandeld worden op de volgende pagina's kunnen eventueel wel gebruikt
worden in de oefeningen.
Je hoeft daarvoor die eenheden nog niet te kennen: Als je weet hoe je moet omspringen met
lengte-eenheden, massa-eenheden, tijd-eenheden enz... dan kan je hetzelfde ook met alle
andere eenheden.
1.5.1.2
•
•
•
1.5.1.3
•
•
prefixen
overzicht
hoe gebruiken
relatie met technische notatie
oefeningen
Die vind je meteen in deze cursus (veelal in combinatie met oefeningen op "afronden"
en "beduidende cijfers")
Enkele eenvoudige voorbeelden:
De afmetingen van een brooddoos:
➔ Breedte 25,4 cm
➔ Hoogte 43 mm
➔ Lengte 1,7 dm
We willen alle eenheden gelijk zetten, bv. naar dm:
➔ Breedte 25,4 cm → van cm naar dm: de eenheid wordt 10 maal groter, dus het getal
dat erbij staat, wordt 10 maal kleiner → 25,4 wordt 2,54 of 25,4E-1
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk1 – pagina 16
➔ Hoogte 43 mm → van mm naar dm: de eenheid wordt 100 maal groter, dus het getal
dat erbij staat, wordt 100 maal kleiner → 43 wordt 0,43 of 43E-2
➔ Lengte 1,7 dm
Algemeen: Kijk naar het verschil in tiende macht tussen je eind- en begineenheid en pas je
getal aan met dezelfde maar tegengestelde macht van 10. Vermenigvuldigen met een macht
van 10 is heel gemakkelijk als je met wetenschappelijke notatie werkt.
∙ 10−3
3,46 km = 3,46∙ 103 m
∙ 10+3
(de eenheid wordt 1000 maal kleiner en dus
wordt het getal 1000 groter)
Voor vierkante of kubieke maten, opgelet: de aanpassing van cm² naar mm² is een sprong
van 102, dus je getal wordt maal 10-2.
3,46 m² = 3,46∙ 104 cm²
1.5.1.4
en vooral...
➔ eenheid fout betekent resultaat fout
➔ Wist je dat je in Excel ook beschikking hebt tot eenheden? Zie ook § 1.5.3.3
1.5.2 lengte-eenheid: Basiseenheid voor lengte: de meter (symbool: "m")
Deze cursus behandelt de lengte-eenheid als eerste omdat je deze kan beschouwen als "de moeder van
alle eenheden": heel wat van hetgeen op deze cursuspagina behandeld wordt is dus ook van toepassing
op massa-eenheden, inhoudsmaten, tijdseenheden, ...
Hoe interessant het ook mag zijn, deze cursus gaat niet in op de exacte wetenschappelijke
definitie van de "meter", en zeker niet op de geschiedenis daarvan.
De diehards mogen daarvoor vrijblijvend naar de betreffende Wikipedia pagina.
Voor ons in een technisch-wetenschappelijke (maar niet-academische) omgeving is:
•
•
"lengte" een fysische grootheid die we meten met een meetlat, of één van de
(eventueel hoog-technologische) alternatieven daarvoor.
(breedte, dikte, hoogte, omtrek, afstand ... zijn andere woorden voor "een lengte in één
of andere specifieke context")
"meter" de "standaard-lengte" waarmee we eender welke andere lengte ("L")
vergelijken in de vorm:
waarin ......... staat voor een getal (het "maatgetal") dat aangeeft
o
hoeveel keer de "meter" (m) in de "betreffende lengte" (L) past
o
welke de verhouding is tussen die betreffende lengte (L) en de lengte-eenheid
meter (m):
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk1 – pagina 17
1.5.3 Prefixen
Heel wat lengten (breedten, diktes, afstanden, ... ) zijn veel groter of kleiner dan de lengteeenheid "meter".
Voor dergelijke zeer grote of zeer kleine lengten is het maatgetal dus heel groot of heel klein,
soms onhandig groot of moeilijk voorstelbaar klein.
Hoe we heel grote of heel kleine getallen toch op een min of meer duidelijke manier kunnen
weergeven werd reeds eerder behandeld (zie "wetenschappelijke notatie" en "technische
notatie").
Een andere manier om "zeer grote" of "zeer kleine" maatgetallen te vermijden is: gebruik veel
grotere, of veel kleinere, aangepaste eenheden (de sterrenkunde gebruikt bijvoorbeeld de
lengte-eenheden AE, lichtjaar, parsec, de atoomfysica gebruikte vroeger de eenheid
Ångström).
Het internationale eenhedenstelsel (S.I.) combineert in een set van prefixen de wiskundige
handigheid van de technische notatie met het notatie-gemak van aangepaste eenheden.
Dat wordt duidelijker met volgend voorbeeld:
•
•
•
stel: L = 0,000148 m
noteer het maatgetal in technische notatie: L = 148E-6 m = 148 ∙ 10−6 m
mag ook de afwijkende technische notatie zijn: L= 0,148E-3 m = 0,148 ∙ 10−3 m
vervang de macht van 10 (samen met het vermenigvuldigingsteken "·" of samen met
de letter E) door een prefix bij de eenheid:
L = 148E-6 m = 148 ∙ 10−6 m = 148 µm = 0,148 mm
waarin:
o in µm de µ (Griekse letter "mu") staat voor "micro" (betekent: 1 miljoenste, of
10-6, of 1/1000000)
en de m voor "meter"
o in mm de eerste m staat voor "milli" (betekent: 1 duizendste, of 10-3, of
1/1000)
en de tweede m staat voor "meter"
Dit voorbeeld verduidelijkt de prefixen "micro" en "milli".
Er zijn prefixen voor machten van 10 tussen 10-15 tot 10+15 in stappen van 103 (denk aan
de "technische notatie", met machten die veelvoud zijn van 3).
Daarnaast zijn er ook nog vier prefixen voor de machten 10-2 ( c , "centi"), 10-1 ( d , "deci"),
10+1 ( da , "deca") , 10+2 ( h , "hecto").
Een totaaloverzicht van alle prefixen vind je op een afzonderlijke pagina.
1.5.3.1 Prefixen te kennen
Prefixen die je moet kennen en moet kunnen gebruiken
Hangt af van de opleiding die je volgt, eventueel van de afstudeerrichting
o
o
o
Alles vanaf micro ( µ , 10-6 ) tot en met mega ( M , 10+6 ) is voor iedereen
parate kennis.
Voor industriële chemische toepassingen en aanverwante (bv ook de
energiesector) zijn ook de prefixen giga ( G , 10+9 ) en tera ( T , 10+12 )
belangrijk.
Voor microbiologie en farmacie en aanverwante zijn ook de prefixen nano ( n ,
10-9 ) en pico ( p , 10-12 ) belangrijk.
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk1 – pagina 18
1.5.3.2
Wat je daarmee moet kunnen
o
o
Je moet in berekeningen waarin verschillende eenheden met prefixen
voorkomen deze via omzetting naar machten van 10 kunnen vereenvoudigen,
en het resultaat van die berekening terug kunnen weergeven met de juiste
eenheid en het best passende prefix.
Het best passende prefix kunnen kiezen: dat is het prefix waarbij het
maatgetal zo eenvoudig mogelijk geschreven kan worden (geen onbeduidende
nullen, geen nood voor machten van 10, weinig of geen nullen meteen na het
decimaal teken, ...)
1.5.3.3 Overzicht prefixen en prefixen in Excel
Zie bv SI-voorvoegsel > Overzicht op Wikipedia, waarvan hieronder een uittreksel...
Figuur 6: prefixen in het SI eenheden stelsel – extract Wikipedia
Omzetten van eenheden in Excel met de functie converteren:
resulteert in
resulteert in …. ………..
Figuur 7: eenheden in Excel – omzetten met ‘converteren’
In Excel zit een groot aantal eenheden vervat; hieronder een overzichtje van de beschikbare lengteeenheden:
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk1 – pagina 19
Prefix Multiplier Abbreviation
yotta
1,00E+24 "Y"
zetta
1,00E+21 "Z"
exa
1,00E+18 "E"
peta
1,00E+15 "P"
tera
1,00E+12 "T"
giga
1,00E+09 "G"
mega
1,00E+06 "M"
kilo
1,00E+03 "k"
hecto
1,00E+02 "h"
dekao
1,00E+01 "da" or "e"
deci
1,00E-01 "d"
centi
1,00E-02 "c"
milli
1,00E-03 "m"
micro
1,00E-06 "u"
nano
1,00E-09 "n"
pico
1,00E-12 "p"
femto
1,00E-15 "f"
atto
1,00E-18 "a"
zepto
1,00E-21 "z"
yocto
1,00E-24 "y"
Figuur 8: lijst van Excel- eenheden en-prefixen
1.5.3.4
Notatie-details
Hetgeen hieronder uitgelegd en geïllustreerd wordt voor lengte-eenheden geldt algemeen,
ook voor alle andere eenheden.
•
•
1.5.3.4.1
•
•
1.5.3.4.2
Maatgetal gevolgd door eenheid betekent eigenlijk maatgetal vermenigvuldigd
met eenheid
Die vermenigvuldiging wordt nooit expliciet voorgesteld door het symbool " · " of " × ",
een spatie volstaat altijd
Bij wetenschappelijke en technische notatie is het vermelden van het
vermenigvuldigingsymbool wel vereist tussen de mantissen en de exponent:
Als je in "178,2·10-2 m" het symbool " · " vergeet dan staat er "178,210-2 m",
wat eigenlijk "31,487 pm" betekent... (even nadenken en narekenen a.u.b.)
bij het noteren van een lengte (of andere grootheid), bijvoorbeeld: L =178,2 cm
zet je STEEDS een SPATIE tussen het maatgetal en de eenheid.
Bij het weergeven van metingen, waarnemingen, ... in verslagen, ... overal ...
"Lgemiddeld = 178,2 cm" is korter dan "De gemiddelde lengte bedraagt 178,2 centimeter".
"L = 178,2" is altijd FOUT, want een lengte is niet gelijk (≠) aan een getal, maar is
gelijk aan (=) een maatgetal vermenigvuldigd met een lengte-eenheid.
Ook bij tussenstappen in berekeningen
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk1 – pagina 20
Slordigheid met eenheden is vaak de oorzaak van rekenfouten.
Vermeld bij elk gegeven in elke tussenstap de eenheden, groepeer ze. Vereenvoudig ze,
maar vergeet ze niet!
Concrete voorbeelden volgen later, bij oefeningen in volgende hoofdstukken.
Een eenvoudig voorbeeld: de afmetingen van een brooddoos zijn de volgende:
Breedte 25,4 cm; hoogte 43 mm; lengte 1,7 dm.
De inhoud van deze brooddoos bedraagt: 25,4 cm X 43 mm X 1,7 dm.
Om deze inhoud uit te drukken in liter, ofwel dm³, moet elke afmeting in dm worden omgezet
→ 2,54 dm X 0,43 dm X 1,7 dm
Nu kunnen de drie getallen met elkaar vermenigvuldigd worden en leidt dit een resultaat van
1,9 dm³ = 1,9 L
1.5.3.4.3
•
•
Behalve ...
Bij berekeningen indien ...
o in de begeleidende tekst verantwoord wordt waarom de eenheden weggelaten
worden
o duidelijk gemaakt wordt welke de niet vermelde eenheden zijn voor de
argumenten en resultaten
o de berekening daardoor duidelijker is dan ze zou zijn met vermelding van de
eenheden
In spreadsheet cellen (Excel, Google Sheets, ...) ...
o omdat spreadsheets niet kunnen rekenen met cellen waarin tekst staat,
en getallen gevolgd door een eenheid worden door spreadsheets als tekst
opgevat
o maar dat omzeil je door in cellen links of rechts of erboven (kolom-kop, rij-kop)
de grootheid, de eenheid, ... te vermelden
→ zie
1.5.4 eenheid massa
Eerst en vooral dient de grootheid massa toegelicht: massa wordt enkel gebruikt door wetenschappers,
niet door leken. Gewicht neemt vaak de plaats in van massa:
“Dit brood heeft een gewicht van 800 gram.”
➔ Correcte versie: “Dit brood heeft een massa van 800 gram.” Niemand zegt dit.
“Deze persoon weegt 73 kg.”
➔ Correcte versie: “Deze persoon heeft een massa van 73 kg.” Niemand zegt dit.
“Deze hoeveelheid atomen hebben een massa van 3,6 microgram.”
“De atomaire massa bedraagt … nanogram.”
Wat is het verband tussen massa en gewicht? Dat heeft te maken met de aardse omstandigheden:
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk1 – pagina 21
Gewicht is een kracht die een massa uitoefent op zijn ondersteuning en die veroorzaakt wordt door de
aantrekkingskracht van de aarde op elke massa. Je gewicht is dus een kracht die je uitoefent, op bv. de
vloer.
Gewicht = massa X aantrekking van de aarde
Gewicht = massa X 9,81 N/kg.
De eenheid van kracht en dus ook van gewicht, is Newton, naar de bekende wetenschapper Isaac Newton.
De eenheid van massa is kg, kilogram.
De standaard eenheid van massa is dus gram; afgekort g.
Elke hoeveelheid materie heeft een massa en die is onafhankelijk van de aardse omstandigheden: 1kg
bloem heeft op aarde en op de maan en zelfs in het ISS, dezelfde massa van 1 kg.
(Dezelfde kg bloem heeft wel een ander gewicht op aarde dan op de maan en heeft geen gewicht in het
ISS – zie gewichtloosheid!)
Net zoals bij de grootheid lengte met als eenheid meter, kan je de standaardeenheid gram, combineren
met prefixen om een grotere of kleinere eenheid te gebruiken:
kg = kilogram = 1000 gram
mg = milligram = 0,001 gram
Ook belangrijk in de wereld van massa zijn de Engelse maten: 1 pound ofwel in het Nederlands: 1 pond,
zijnde en halve kilogram.
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk1 – pagina 22
1.5.5 Inhoudsmaten
1.5.5.1
Geen elementaire basiseenheid!
Omdat "inhoud" in principe gemeten kan worden met lengte-eenheden, bestaat er in het
eenhedenstelsel geen afzonderlijke basiseenheid voor.
Voorbeeld:
De inhoud van een rechthoekige tank kan je meten door lengte (L = x m), breedte (B = y m),
en hoogte (H = z m) te meten en te vermenigvuldigen.
De inhoud van die tank is dan: V = L · B · H = (x m)·(y m)·(z m) = x·y·z m³.
Vermits "meter" de basiseenheid voor lengte is, is de daarvan afgeleide basiseenheid voor
inhoud (of volume) de "kubieke meter": m3.
Praktische eenheid: de liter
1.5.5.2
Voor de dagelijkse behoeften valt de inhoudsmaat "kubieke meter" vrij groot uit. Dat deze als
"basiseenheid" geldt voor inhoud is eerder omwille van de wiskundige consistentie van het
eenhedenstelsel dan omwille van praktische redenen. Iets dat 1000 keer kleiner is dan 1
m3 komt al heel wat dichter bij bijvoorbeeld onze drankconsumptie. Van de vele praktische
(en onpraktische) inhoudsmaten die in de loop der eeuwen overal ter wereld gebruikt werden
werd in 1795 de "liter" naar voor geschoven als "de enige officiële inhoudsmaat". Men
definieerde "één liter" dan als "de inhoud gelijk aan die van een kubus met ribbe van 1
decimeter":
1 L = 1 dm3
Vermits: 1 dm = 0,1 m
is: 1 L = 1 dm3 = (0,1 m)3 = (0,1)3 (m)3 = 0,001 m3 = 1·10-3 m3
of:
1 L is één duizendste van een kubieke meter
of:
1 kubieke meter is 1000 L
Groter of kleiner...
De volgende combinaties van voorvoegsels met "L" worden regelmatig gebruikt:
1.5.5.2.1
hL (hectoliter ; 102 L):
Wordt bijvoorbeeld gebruikt in de voedingsindustrie voor het uitdrukken van productievolumes
van dranken:
Brouwerij Sint-Bernardus blijft groeien: “We hebben vorig jaar 42.500 hectoliter bier verkocht,
wat te vergelijken is met 12.750.000 flesjes van 33cl”
cL (centiliter ; 10-2 L):
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk1 – pagina 23
De eenheid centiliter is de gebruikelijke eenheid waarin het volume van één drankconsumptie uitgedrukt wordt.
(zelfde illustratie als hierboven)
mL (milliliter ; 10-3 L):
onthoud:
1 mL = 1 cm3
In lab-omgevingen en in de medische sector wordt de eenheid milliliter veel gebruikt.
Combineer de betekenis van "milli" (=10-3) met de definitie van de liter (= dm3) en met de
betekenis van "deci" (= 10-1) en van "centi" (= 10-2),
om aan te tonen dat "één milliliter" overeenkomt met de inhoud van een kubusje met ribbe
van 1 centimeter.
µL (microliter ; 10-6 L):
Deze eenheid kom je zeker tegen in de microbiologische labs, o.a. bij het gebruik van
micropipetten.
Toon op ongeveer dezelfde manier aan als hierboven dat "één microliter" overeenkomt met
de inhoud van een kubusje met ribbe van 1 ......... .
Combinaties die je nooit tegenkomt zijn
"kL" (dit zou immers gelijk zijn aan 1 ......... , en die eenheid wordt wel gebruikt als het over
grote volumes vloeistoffen gaat)
"nL " (met dergelijke kleine volumes wordt niet concreet gewerkt)
Over de afkorting "L" van "liter"
Taalkundig is de kleine letter l de correcte afkorting voor liter, althans in het Nederlands.
Taalkundigen hebben waarschijnlijk een speciale gave om 111 en 11l van steeds van elkaar
te onderscheiden. Om verwarring tussen het cijfer "1" en het symbool voor liter te vermijden
wordt in technische en wetenschappelijke kringen echter zo veel mogelijk aangeraden om de
hoofdletter L als symbool voor liter te gebruiken (chemici onder jullie: zoek op wat hierover in
een recente versie van CRC staat, begin jaren 2000 werd in CRC enkel de hoofdletter
aanvaard).
1.5.5.2.2
Andere niet-coherente inhoudsmaten
In de petrochemie kom je de "barrel" tegen, of de "vaten" ("barrel" is het Engelse woord voor
de inhoudsmaat "vat")
1 barrel (afgekort bbl) = 42 US Gallon = 9702 kubieke inch = 9702 · (2,54
cm)3 = 158987 cm3 ≈ 159 L
1.5.5.2.3
Een Engels biervat is 163,7 L
Een Amerikaans biervat is 117,3 L
Een vat is geen ton ......
Dit laatste alleen maar om duidelijk te maken dat ons "Europees" eenhedenstelsel (dat overal
gebruikt wordt, behalve in Engeland en in een stukje Amerika) een stuk eenvoudiger is dan
de eenheden-spraakverwarring in die Angelsaksische wereld.
Opmerking: de eenheid ‘ton’ in Excel? Kijk eens na hoeveel kg een ton is in Excel 😉
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk1 – pagina 24
1.5.6 tijd-eenheden
1.5.6.1 Basis-eenheid voor tijdsverloop
De "seconde", afgekort met de kleine letter "s"
(seconde niet afkorten tot "sec")
Het hoeft niet altijd tiendelig te zijn
In het gebruikelijke systeem van eenheden (S.I.) zijn de verhoudingen tussen de
basiseenheid en de afgeleide eenheden voor eenzelfde grootheid altijd machten van 10. Bij
de tijdseenheden worden andere verhoudingen gebruikt:
1.5.6.2
•
•
•
de eenheid "minuut", afgekort als "min": 1 min = 60 s
de eenheid "uur", afgekort als "h": 1 h = 60 min = 60 · 60 s = 3600 s
de eenheid "dag" (afkorting ???): 1 dag = 24 h
1.5.7 hoeveelheid-eenheden
1.5.7.1 "dozijn" en "gros" ...
Graag 4 kg sinaasappels a.u.b.
Indien een leraar in een klas van 24 leerlingen elke leerling één sinaasappel wil geven, dan is
het een risico om "4 kg sinaasappels" te bestellen. Afhankelijk van de grootte en de
sappigheid kan het aantal sinaasappels in die 4 kg tussen de 16 en de 32 stuks liggen. In een
dergelijke situatie bestelt deze leraar beter een zeker aantal sinaasappels.
Graag 24 sinaasappels a.u.b.
Graag 2 dozijn sinaasappels a.u.b.
In een grootkeuken worden eieren niet per stuk gekocht, ook niet per kg...
Realistischer is:
Bestel 12 dozijn eieren a.u.b. = bestel 12 × 12 eieren a.u.b.
a.u.b. = bestel 1 gros eieren a.u.b.
=
bestel 144 eieren
"dozijn" en "gros" zijn duidelijk en exact gedefinieerde hoeveelheden, net zoals "kilogram"
een duidelijk gedefinieerde massa (of gewicht) is, en "liter" een duidelijk gedefinieerde inhoud
(of volume).
"kilogram" en "liter" zijn GEEN eenheden waarmee hoeveelheden uitgedrukt worden, het zijn
eenheden waarmee massa's en volumes uitgedrukt wordt.
"dozijn" en "gros" zijn WEL eenheden waarmee hoeveelheden uitgedrukt worden:
Met 2 dozijn sinaasappels kan de leraar aan elk van de 24 leerlingen in zijn klas exact één
sinaasappel geven.
Met 1 gros eieren kan het bedrijfsrestaurant 144 klanten exact één (hard of zacht gekookt)
eitje voorschotelen.
... om "mol" te verduidelijken
Ook in de chemie rekent men voor reagentia en eindproducten...
1.5.7.2
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk1 – pagina 25
o
o
o
soms met massa's (uitgedrukt in kg, g, mg, µg)
soms met volumes (uitgedrukt in m 3, L, mL)
maar ook heel veel met hoeveelheden (uitgedrukt in "aantal atomen" of "aantal
moleculen").
De hoeveelheid-eenheden "dozijn" en "gros" zijn in de praktijk echter te klein voor de chemie.
Zelfs de telwoorden "miljoen", "miljard", "biljoen", ... zijn pietluttig voor de "aantallen
moleculen" die in de praktijk betrokken zijn bij chemische reacties.
Daarom heeft de chemie zijn eigen "hoeveelheid-eenheid" gedefinieerd, de "mol":
1 mol "deeltjes" = 6,022 140 76 × 1023 "deeltjes"
Waarin "6,022 140 76" een exact getal van 9 beduidende cijfers is.
(dit is de definitie zoals geldig sinds 20/05/2019,
zie https://en.wikipedia.org/wiki/Mole_(unit)#Exact_number_(2018) en referenties daarin)
Deze eenheid kan net als andere eenheden gecombineerd worden met voorvoegsels:
1 kmol "deeltjes" = 1·103 mol "deeltjes"
1 mmol "deeltjes" = 1·10-3 mol "deeltjes"
1 µmol "deeltjes" = 1·10-6 mol "deeltjes"
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk1 – pagina 26
1.6 Oefeningen hoofdstuk 1
1.6.1 Afronden
Bron oefeningen: Basisvaardigheden rekenen voor de gezondheidszorg, Wolters-Noordhoff, p. 13
1. Zet volgende breuken om in een kommagetal. Rond af tot op twee cijfers
na de komma. Gebruik zo nodig een rekentoestel/Excel.
2
3
45
150
8
9
1265
1000
5
3
1265
100
73
12
75500
1200
2. Zet volgende breuken om in een kommagetal. Rond af tot op drie cijfers
na de komma. Gebruik zo nodig een rekentoestel/Excel.
2
3
15599
224
10
6
25000
358
2
140
580
250000
25
58
59
38
126
38
1559
24
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk1 – pagina 27
3. Rond af in ml.
0,001 l
0,2582 l
0,8255 l
4. Rond af in mg.
0,2588 g
0,0589 g
8,5673 g
5. Schrijf als kommagetal, afgerond op twee cijfers achter de komma.
1
3
500
0, 38
15
5
6, 95
106
53
0, 09
 5, 4
18
10
 0,18
18
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk1 – pagina 28
40

0, 6
120 9, 6
625 1

125 6
0,6

7,6
7,6
0,6
1.6.2 Beduidende cijfers
1. Bepaal het aantal beduidende cijfers van onderstaande getallen
1,094 km
0,0107 cm
12,5 g
40725 mm
0,00250 dm
325,0 m
13 kg
27,001 kg
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk1 – pagina 29
2. Rond onderstaande getallen af op 3 BC
12,45m
0,0001500 g
21450 cm
5,1395.10 3 m
0,12054 kg
1246 m
3. Maak onderstaande berekeningen. Let op het aantal beduidende cijfers
14.10 3 cm . 7,45 cm
89,0 m .6
34,78 kg : 4,2 kg
7456 m : 0,056 m
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk1 – pagina 30
1.6.3 Omzetten van meetresultaten
Maak de omzetting. Let op het aantal beduidende cijfers
75,2 m =
cm
0,0124 m =
mm
3.10 4 kg =
g
0,0000400 km =
cm
6,4 km =
m
27,5 cm =
m
23,45 L =
mL
90,8 mL =
L
46,5 dm3 =
mL
23 cm 3 =
L
45,2 cm 3 =
dL
345 cL =
cm 3
12,5 mL =
dm 3
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk1 - pagina 31
1.6.4 Oefeningen op de wetenschappelijke notatie
1. Schrijf voluit:
a. 376 x 1E03
b. 376 x 1E-03
c. 123E09
d. 1,23E09
2. Hoeveel mg is 250 kg
a. Voluit geschreven?
b. In de wetenschappelijke notatie geschreven?
3. Mevr. Willemse heeft Multiple Sclerose en krijgt hiervoor 1 keer per week 6 miljoen IE
interferon β ingespoten in de bilspier (intramusculair)
a. Hoe schrijf je dit getal voluit?
b. Hoeveel eenheden interferon β krijgt mevrouw Willemse per jaar?
4. Otto van der Brink krijgt na zijn chemotherapie gedurende 10 dagen 1 keer per dag
neupogen® onderhuids geïnjecteerd (subcutaan). Op het etiket staat dat iedere
wegwerpspuit 30 x 106 IE neupogen® bevat.
a. Schrijf dit getal voluit.
b. Hoeveel IE heeft hij na 10 dagen gehad?
5. Mr. De Bruin heeft een ontsteking van het hartzakje (endocarditis). Hij krijgt per dag 6
miljoen eenheden natriumpenicilline, gedurende 6 weken. Hoeveel eenheden krijgt hijin
totaal? Schrijf dit getal in de wetenschappelijke notatie.
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk2 - pagina 32
2 Hoofdstuk2 Rekenen, volgorde van bewerkingen, wiskundige
uitdrukkingen vereenvoudigen
Bij het berekenen van een formule, speelt de volgorde een zeer belangrijke rol.
Zonder kennis van de juiste volgorde en de spelregels hieromtrent, ga je gegarandeerd de mist in
met of zonder rekenmachine.
2.1 Volgorde van bewerkingen
Tekst lezen doen we (in Europese talen) van links naar rechts, hoewel bij het "diagonaal lezen" toch
eerst gekeken wordt naar de kernwoorden van een zin.
Bij het uitvoeren van wiskundige bewerkingen gelden voorrangsregels: sommige bewerkingen (bv ×
en : ) moeten uitgevoerd worden voor andere (bv + en - )
Deze voorrangsregels kunnen verder gemanipuleerd worden door het plaatsen van haakjes.
Hieronder een overzicht van die voorrangsregels, met illustraties:
2.1.1
Haakjes
Bewerkingen binnen haakjes worden eerst uitgevoerd.
o
Haakjes zijn er om duidelijk te maken dat de getallen ertussen, bij elkaar horen:
▪ 3 ∙ (2 + 6) = 3 ∙ 8 = 24
Of anders uitgerekend:
▪
3 ∙ (2 + 6) = 3 ∙ 2 + 3 ∙ 6 = 6 + 18 = 24
Dezelfde getallen en dezelfde bewerkingen maar zonder haakjes:
o
▪ 3 ∙ 2 + 6 = 6 + 6 = 12
Indien haakjes genest zijn: de binnenste haakjes eerst:
▪ 3 ∙ (2 + (4 + 2)) = 3 ∙ (2 + 6) = 3 ∙ 8 = 24
Dezelfde getallen en dezelfde bewerkingen maar zonder haakjes:
▪
o
3 ∙ 2 + 4 + 2 = 6 + 6 = 12
Ook binnen de haakjes gelden de voorrangsregels:
▪ 3 ∙ (2 + (3 ∙ 4 + 2)) = 3 ∙ (2 + (12 + 2)) = 3 ∙ (2 + 14) = 48
Dezelfde getallen en dezelfde bewerkingen maar zonder haakjes:
▪
3 ∙ 2 + 3 ∙ 4 + 2 = 6 + 12 + 2 = 20
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk2 - pagina 33
Op "haakjes" wordt nog afzonderlijk dieper ingegaan in §2.3.
2.1.2
Machten en Wortels
Wat is een macht? Zie §1.1.5.
Rekenregels voor machten worden hier ter informatie vermeld en uitgebreid ingeoefend in §2.4.
1
𝑎𝑥
𝑥
= √𝑎
𝑎−𝑥 =
𝑎1⁄𝑥
(zo is a1⁄2 = √𝑎)
𝑎 𝑥 ⋅ 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑥+𝑦
𝑎𝑥
= 𝑎 𝑥−𝑦
𝑎𝑦
(𝑎 𝑥 )𝑦 = 𝑎 𝑥⋅𝑦
(𝑎 ± 𝑏)𝑥 ≠ 𝑎 𝑥 ± 𝑏 𝑥
(𝑎 ⋅ 𝑏)𝑥 = 𝑎 𝑥 ⋅ 𝑏 𝑥
𝑎 𝑥 𝑎𝑥
( ) = 𝑥
𝑏
𝑏
Waarbij a en b uiteraard verschillen van 0.
𝑥 3 → neem de derde macht van x
3
𝑥 2 = 𝑥 2∙3 = 26 → bij combinatie van 2 machten, dus een macht van een macht, dan dien je de
machten te vermenigvuldigen.
Zoals bij opeenvolgende vermenigvuldigingen en delingen geldt dan de afspraak:
Als er geen haakjes zijn dan reken je van links naar rechts.
2.1.3 Breuken
o
o
o
𝑥−2
𝑥−3
Teller en noemer afzonderlijk uitwerken, of eerst de breuk vereenvoudigen (zie later)
Ook binnen teller en noemer afzonderlijk gelden de voorrangsregels.
Behandel teller en noemer alsof ze elk afzonderlijk tussen haakjes staan.
→ eerst uitrekenen wat er in de teller staat, dan wat er in de noemer staat en dan delen
Met andere woorden: een horizontale breukstreep houdt de teller bij elkaar alsof er haakjes rond
staan en houdt de noemer bij elkaar alsof er haakjes rondstaan.
24 − 10 14
=
=2
12 − 5
7
12 − 4
8
=
= 0,5
24 − 8 16
12 − 4 ∙ 2
12 − 8
4
=
= = 0,5
24 − 8 ∙ 2 24 − 16 8
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk2 - pagina 34
(12 − 4) ∙ 2 12 − 4
=
= 0,5
(24 − 8) ∙ 2 24 − 8
(12 − 4) ∙ 2
8∙2
1∙2
=
=
(24 − 8) ∙ 3 16 ∙ 3 2 ∙ 3
2.1.4 Vermenigvuldigingen en delingen
-
-
krijgen altijd voorrang op som en verschil:
met 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑐 wordt steeds bedoeld: vermenigvuldig b met c en tel het resultaat daarvan
bij a
Bij eventuele opeenvolging van vermenigvuldigingen en delingen...
o deze vermenigvuldigingen en delingen van links naar rechts uitvoeren indien er geen
haakjes staan.
12 ∙ 2/3 ∙ 4 = 24/3 ∙ 4 = 8 ∙ 4 = 32
12 ∙ 2/3 ∙ 4 ≠ 12 ∙ 2/(3 ∙ 4) = 24/12 = 2
2
12 ∙ 2 ∙ 4 4 ∙ 2 ∙ 4
12 ∙ ∙ 4 =
=
= 32
3
3
1
o
o
uitgezonderd indien het om de "vermenigvuldiging" gaat in wetenschappelijke of
technische notatie van getallen. Die vermenigvuldiging heeft voorrang, alsof er
haakjes staan rond het op die manier genoteerde getal.
3
5∙3
15
5 ∙ 3/16 ∙ 102 = 5 ∙
=
=
= 9,4 ∙ 10−3
2
2
16 ∙ 10
16 ∙ 10
16 ∙ 102
Werken met wetenschappelijke notatie waarbij de tiende macht vervangen wordt
door de letter E, neemt alle verwarring weg:
5∙
3
3
15
=5∙
=
= 9,4 ∙ 10−3
16𝐸2
16𝐸2 16𝐸2
2.1.5 som en verschil
o
Pas uitvoeren nadat binnen die uitdrukking, of binnen de haakjes waartussen die
som of verschil voorkomt, alle vermenigvuldigingen en delingen reeds uitgevoerd
zijn.
2.1.6 Samenvatting volgorde van bewerkingen
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
bewerkingen tussen de haakjes (haakjes uitwerken van binnen naar buiten)
machten/wortels
de overige bewerkingen tussen haakjes (haakjes uitwerken van binnen naar buiten)
vermenigvuldiging/deling
optelling/aftrekking
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk2 - pagina 35
2.2 Gebruik rekenhulp
2.2.1 Gebruik van Excel
De afbeelding toont duidelijk dat Excel ‘juist’ rekent!
Figuur 9: Excel rekenmachine
2.2.2 Gebruik GSM of andere apps
Ontdek zelf hoe goed je ingebouwde rekenmachine op je gsm werkt!
2.2.3 Gebruik rekenmachine
Je rekenmachine werkt op dezelfde manier als Excel.
2.3 Haakjes en distributiviteit
2.3.1 Waarom haakjes?
Haakjes in wiskundige uitdrukkingen zijn soms noodzakelijk, soms worden ze enkel toegevoegd om
de formules leesbaarder, duidelijker te maken.
2.3.1.1
Voorbeelden van niet-noodzakelijke haakjes
sin 30° is bijna even duidelijk als sin(30°)
De versie met haakjes verdient hier toch de voorkeur.
𝑥+𝑦
(𝑥+𝑦)
en
3
3
betekenen allebei dat eerst de som uitgevoerd moet worden, en het resultaat daarvan gedeeld moet
worden door 3. De haakjes rond de teller zijn hier totaal overbodig omdat de deling als een breuk
genoteerd wordt.
2.3.1.2
Voorbeelden van noodzakelijke haakjes
Wordt de deling echter met een schuine breukstreek (/) of deelteken (:) genoteerd, dan zijn de
haakjes wel noodzakelijk:
(𝑥 + 𝑦)/𝑧 ≠ 𝑥 + 𝑦/𝑧
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk2 - pagina 36
Voor wie het niet gelooft: vervang hierboven overal bv x, y en z door 2:
(2 + 2)/2 = 4/2 = 2 ≠ 2 + 2/2 = 2 + 1 = 3
Hieronder wordt hetzelfde getoond voor de vermenigvuldiging...
2.3.2 Distributiviteit van × t.o.v. +
Wat zie je hiernaast? (𝑥 + 𝑦) ∙ 𝑧 Het is een vermenigvuldiging met 2 factoren: factor (x+y) en factor z
Of zelfde treintje maar verwisseld van wagon: 𝑧 ∙ (𝑥 + 𝑦)
Hoe bereken je zulk een uitdrukking?
𝑧 ∙ (𝑥 + 𝑦) = 𝑧 ∙ 𝑥 + 𝑧 ∙ 𝑦
𝑜𝑓
(𝑥 + 𝑦) ∙ 𝑧 = 𝑥 ∙ 𝑧 + 𝑦 ∙ 𝑧
Met echte getallen:
(100 + 1) ∙ 15 = 100 ∙ 15 + 1 ∙ 15 = 1500 + 15 = 1515
Natuurlijk kan je eerst de bewerking tussen haakjes maken: 101 ∙ 15 = ⋯ maar dat lukt niet uit het
hoofd terwijl het vorige treintje erg makkelijk uit te rekenen was.
2.3.3 let op met de deling...
Distributiviteit van de deling ten opzichte van de optelling, werkt maar in één richting:
(𝑥 + 𝑦)/𝑧 = 𝑥/𝑧 + 𝑦/𝑧
een som delen door een getal → elke term dient gedeeld door dat getal
En werkt dus niet als je deler en deeltal verwisselt! 𝑧/(𝑥 + 𝑦) ≠ 𝑧/𝑥 + 𝑧/𝑦 Logisch toch?
(100 + 10)/2 = 100/2 + 10/2 = 50 + 5 = 55
2/(100 + 10) ≠ 2/100 + 2/10 = 0,02 + 0,2 = 0,22
2/(100 + 10) = 2/110 = 1/55 = 0,018
Dit komt verder nog aan bod bij (oefeningen op) vereenvoudiging van breuken...
2.4 Machten en wortels
Bedoeling
De korte bewijsjes en verantwoordingen die in de tekst hieronder opgenomen zijn horen niet tot de
leerstof voor deze cursus. Ze zijn enkel bedoeld om te laten zien dat alle eigenschappen van machten
terug te voeren zijn tot de definitie van "gehele macht".
Je moet deze eigenschappen wel kunnen toepassen in berekeningen, dus in het bijzonder in alle
oefeningen in deze cursus. Toch is het ook belangrijk dat je begrijpt dat "eigenschappen" geen regels
zijn die gepostuleerd worden door jouw wiskunde-leraar of door één of andere nog hogere macht
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk2 - pagina 37
(dit woord nu even in een andere betekenis), maar dat "eigenschappen" verklaard (bewezen) kunnen
worden uit definities en andere (eenvoudigere) eigenschappen. We bouwen de eigenschappen van
machten hieronder hiërarchisch op: vertrekkend van de definitie eerst de eenvoudigste
eigenschappen, en gradueel verder naar steeds minder eenvoudige eigenschappen...
In het algemeen is het trouwens ook gemakkelijker om eigenschappen te onthouden indien je min of
meer weet waar die eigenschappen vandaan komen.
Hieronder zijn a, b, c, ... willekeurige getallen en n, m, k, ... willekeurige strikt positieve gehele
getallen.
2.4.1 definitie en eigenschappen
2.4.1.1 definitie van "gehele macht"
𝑎𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ … ∙ 𝑎 = 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡 𝑣𝑎𝑛 𝑛 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑘𝑒 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑛 𝑎
n identieke
factoren
Een macht wordt dus gewoonlijk met een superscript genoteerd.
Sommige computerprogramma's of rekenmachines gebruiken een afwijkende notatie: a^n
Soms wordt de verkorte notatie voor machten van 10 gebruikt: 4,325·104 genoteerd als 4,325E04 of
4,325e04
2.4.1.2 macht 1
𝑎1 = 𝑎
Dit volgt natuurlijk rechtstreeks uit de definitie hierboven.
2.4.1.3 kwadraten en derde machten van eenvoudige gehele getallen
Van enkele getallen herken je best de tweede macht (= kwadraat) en de derde macht
meteen, gewoon omdat deze veel voorkomen.
In de tabel hieronder staan de belangrijkste. Wat leeg is, is minder belangrijk.
a
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
a2
0
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
a3
0
1
8
27
64
125
1000
2.4.1.4 machten van twee
Voor sommige (eerder de technische) toepassingen is het interessant om de machten
van 2 tot op zekere hoogte min of meer van buiten te kennen of snel te kunnen
terugvinden (ergens in jouw achterhoofd):
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk2 - pagina 38
n
0
1
2
3
4
5
2n
1
2
4
8
16
32 64
2.4.1.5
6
7
8
128 256
9
10
11
12
512
1024
...
...
product van twee gehele machten met zelfde grondtal
𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛+𝑚
Deze eigenschap toon je aan door twee maal de definitie van "gehele macht" te
gebruiken:
23 ∙ 25 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 28
2.4.1.6
macht nul
𝑎0 = 1
Deze eigenschap volgt uit de voorgaande door daarin voor m nul te kiezen:
𝑎0 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛+0 = 𝑎𝑛 hieruit volgt dat 𝑎0 gelijk aan 1 moet zijn.
2.4.1.7
negatieve machten
1 𝑛 1𝑛
1
𝑎−𝑛 = ( ) = 𝑛 = 𝑛
𝑎
𝑎
𝑎
Deze eigenschap volgt uit de twee voorgaande eigenschappen door m = -n te kiezen:
1
𝑎−𝑛 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−𝑛 = 𝑎0 = 1 Hieruit volgt dat 𝑎−𝑛 = 𝑎𝑛
Met deze eigenschappen is de definitie van "positieve gehele machten" uitgebreid tot
"alle gehele machten".
2.4.1.8
vierkantswortels, kubiekswortels, nde machtswortels
𝑛
Definitie: √𝑎 = 𝑏 ⇔ 𝑏 𝑛 = 𝑎
in woorden: De nde machtswortel van a is b op voorwaarde dat de nde macht van b gelijk
is aan a
Voor n = 3 noemen we dit de kubiekwortel ofwel derdemachtswortel:
3
√8 = 2 𝑤𝑎𝑛𝑡 23 = 8
Voor n = 2 noemen we dit de vierkantswortel:
√16 = 4 𝑜𝑓 − 4 𝑤𝑎𝑛𝑡 42 = (−4)2 = 16
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk2 - pagina 39
2.4.1.9 macht van een macht
𝑐
𝑎𝑏 = 𝑎𝑏∙𝑐
𝑐
𝑐
Bewijs: 𝑎𝑏 = (𝑎𝑏 ) Gebruik haakjes om fouten te vermijden!
Het bewijs hiervan vind je hiernaast.
2.4.1.10 fractionele machten
Fractionele machten zijn een andere notatie voor nde machtswortels:
𝑛
1
√𝑎 = 𝑎𝑛
Dat dit een correcte en consequente notatie is volgt uit de definitie van nde machtswortel
en voorgaande eigenschap:
In het bijzonder:
Onthoud dat berekeningen waarin wortels voorkomen in het algemeen eenvoudiger
uitgewerkt kunnen worden door de wortels als fractionele machten te noteren. Je kan
daarop dan de eigenschappen van machten toepassen.
2.4.1.11 rationele machten
Met "rationele getallen " worden alle getallen bedoeld die geconstrueerd kunnen worden
als een breuk van twee gehele getallen (bv n en m).
Rationele machten zijn dus machten waarbij de macht een rationeel getal is.
Rationele machten zijn gebaseerd op een combinatie van wat hierboven staat over
"fractionele machten" en over "macht van een macht":
𝑛
𝑚
𝑚
𝑛
𝑎𝑚 = √𝑎𝑛 = ( √𝑎)
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk2 - pagina 40
Hiermee is de definitie van machten nog verder uitgebreid van "gehele machten" tot
"rationele machten".
2.4.1.12 zijn er nog andere machten?
Merk op dat in het bovenstaande vertrokken werd van de heel eenvoudige definitie van
"strikt positieve gehele machten" om via de eigenschappen daarvan de bewerking
"machtsverheffing" ook te veralgemenen naar achtereenvolgens nulde macht, negatieve
machten, rationele machten. Van "eenvoudig intuïtief begrijpelijk" naar meer "abstracte
wiskunde", waarvan de toepassingen echter onmisbaar zijn voor wetenschap en
techniek.
De wiskunde heeft er ook iets op gevonden om machtsverheffing te veralgemenen tot
niet-rationale machten (zoals bv pi en ). Van die uitbreiding is het meer dan voldoende
dat je weet hoe je met bv jouw rekenapparaat zoiets kan uitrekenen. Probeer het eens
uit:
2.4.2 Machten en wortels: wat mag en wat mag niet?
Kan eender welke gehele macht van eender welk getal?
2.4.2.1
positieve gehele machten: geen probleem
Gehele machten van zowel alle negatieve als alle positieve getallen kunnen berekend worden. Om
gehele machten te berekenen heb je immers in feite niets anders nodig dan de vermenigvuldiging.
Merk wel op dat:
•
•
even machten altijd positief zijn, zowel voor positieve als voor negatieve
argumenten
oneven machten...
o positief zijn als het argument positief is
o negatief zijn als het argument negatief is
en dit zal hieronder gevolgen hebben voor wortels...
2.4.2.2
negatieve gehele machten: ook bijna geen probleem
Om volgende redenering te begrijpen veronderstel je best even dat n een positief geheel
getal is.
"-n" is dan natuurlijk een negatief geheel getal.
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk2 - pagina 41
1
Vermits 𝑎−𝑛 = 𝑛 kan elke negatieve gehele macht berekend worden,
𝑎
tenminste als het argument a niet nul is. Want als a nul is dan is an nul en delen door nul
is niet mogelijk.
Kan eender welke positieve gehele wortel uit eender welk getal?
Hieronder moet je weer veronderstellen dat n een positief geheel getal is...
𝑛
√𝑎 bestaat indien er (minstens één) getal b bestaat waarvoor geldt: 𝑏 𝑛 = 𝑎
Bovenstaande opmerking over het teken van even en oneven gehele machten heeft hier
implicaties:
-
Als a negatief is en n even is, dan bestaat er geen enkel getal b waarvoor b n = a.
Even machten zijn immers altijd positief.
Als a positief is en n even, dan bestaan er steeds twee getallen waarvoor bn = a,
namelijk: +|b| en -|b|
𝑛
Als n oneven is, dan bestaat √𝑎 wel altijd voor eender welke a, en die n-de
wortel heeft hetzelfde teken als a.
2.5 Breuken
Wat wordt bedoeld met "een breuk" ?
Zie daarvoor het onderwerp "breuk" in de woordenlijst van deze cursus.
2.5.1 Breuken als handiger alternatief voor "delen door"
De wiskundige bewerking "delen door" (:) heeft een vervelende tekortkoming: 𝑎: 𝑏 ≠ 𝑏: 𝑎
Maar "delen door" is gelukkig ook identiek aan "vermenigvuldigen met het inverse":
1
1
𝑎: 𝑏 = 𝑎 ∙ = 𝑎 ∙ 𝑏 −1 = ∙ 𝑎 = 𝑏 −1 ∙ 𝑎
𝑏
𝑏
De tekortkoming van de bewerking "delen door" kan je dus omzeilen door elke deling te herschrijven
als een vermenigvuldiging met het inverse. Je kan dan gebruik maken van de commutatieve
eigenschap van de vermenigvuldiging om verdere stappen te zetten in het berekenen of
vereenvoudigen van wiskundige uitdrukkingen. Daarbij kan je dan gebruik maken van de
eigenschappen (rekenregels) die hieronder opgesomd en kort verklaard worden.
2.5.2 Rekenregels voor breuken
2.5.2.1
De elementaire regels
De volgende elementaire rekenregels voor breuken worden verduidelijkt bij het trefwoord "breuk" in
de woordenlijst bij deze cursus:
Som van twee breuken met gelijke noemer:
en natuurlijk ook:
𝑐
𝑏
𝑑
𝑐−𝑑
𝑏
𝑏
− =
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
𝑐
𝑏
𝑑
𝑐+𝑑
𝑏
𝑏
+ =
Hoofdstuk2 - pagina 42
Product van een breuk met een getal:
𝑎
𝑎∙𝑐
𝑐
∙𝑐 =
=𝑎∙
𝑏
𝑏
𝑏
Betekenis van een geheel getal voor een breuk?
𝑎
𝑏
𝑏
𝑎∙𝑏
=𝑎∙ =
𝑐
𝑐
𝑐
De commutatieve eigenschap van de vermenigvuldiging geldt natuurlijk ook als één of
beide van de factoren breuken zijn:
𝑎
𝑏
∙𝑐 =𝑐∙
2.5.2.2
𝑎
en
𝑏
𝑎
𝑏
𝑐
𝑐
𝑎
𝑑
𝑑
𝑏
∙ = ∙
Product van twee (of meer) breuken
In de woordenlijst van deze cursus bij het trefwoord "breuk" wordt aangetoond
dat:
1 1
1
∙ =
𝑚 𝑛 𝑚∙𝑛
Dit kan veralgemeend worden tot:
𝑎 𝑐 𝑎∙𝑐
∙ =
𝑏 𝑑 𝑏∙𝑑
De verantwoording daarvan vind je in de kader rechts.
En dat kan nog verder veralgemeend worden tot:
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑
𝑎∙𝑏∙𝑐∙𝑑
∙ ∙ ∙ ∙⋯=
∙⋯
𝑚 𝑛 𝑝 𝑞
𝑚∙𝑛∙𝑝∙𝑞
In woorden: De vermenigvuldiging van twee (of meer) breuken, geeft een nieuwe breuk waarvan
- de teller het product is van de afzonderlijke tellers,
- en de noemer het product is van de afzonderlijke noemers.
2.5.2.3
Macht van een breuk
𝑎 𝑛
𝑎 𝑎 𝑎
𝑎
Uit voorgaande eigenschap volgt: (𝑏 ) = 𝑏 ∙ 𝑏 ∙ 𝑏 ∙ ⋯ ∙ 𝑏 waarbij er in het rechterlid n factoren staan.
In woorden: De nde macht van een breuk is een nieuwe breuk waarvan de teller de nde macht is van de
oorspronkelijke teller en de noemer de nde macht is van de oorspronkelijke noemer.
2.5.2.4
Inverse van een breuk
𝑎 −1
𝑎
Vermits (𝑏 ) ∙ (𝑏 )
𝑎 −1
is (𝑏 )
𝑎 1
𝑎 −1
= (𝑏 ) ∙ (𝑏 )
𝑏
=𝑎
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
𝑎 1−1
= (𝑏 )
𝑎 0
= (𝑏 ) = 1
𝑎
𝑏
𝑎∙𝑏
en (𝑏 ) ∙ (𝑎) = 𝑏∙𝑎 = 1
Hoofdstuk2 - pagina 43
2.5.2.5
Breuk gedeeld door breuk
𝑎
𝑏 =𝑎∙ 1 =𝑎∙𝑑 =𝑎∙𝑑
𝑐 𝑏 𝑐 𝑏 𝑐 𝑐∙𝑑
𝑑
𝑑
Breuk gedeeld door breuk? Vermenigvuldig met de omgekeerde breuk.
2.5.2.6
Som van twee breuken met verschillende noemers
Eén van de meest elementaire eigenschappen van breuken (zie ergens hierboven) zegt hoe breuken
met gelijke noemer opgeteld moeten worden.
Om twee breuken met verschillende noemer op te tellen moeten ze dus eerst op gelijke noemer
gebracht worden. Dat kan je altijd door de teller en noemer van de ene breuk te vermenigvuldigen
met de noemer van de andere breuk en dat doe je voor beide breuken:
𝑎 𝑐 𝑎 𝑑 𝑐 𝑏 𝑎∙𝑑 𝑐∙𝑑 𝑎∙𝑑+𝑐∙𝑑
+ = ∙ + ∙ =
+
=
𝑏 𝑑 𝑏 𝑑 𝑑 𝑏 𝑏∙𝑑 𝑏∙𝑑
𝑏∙𝑑
dus:
2.5.2.7
𝑎
𝑏
𝑐
𝑎∙𝑑+𝑐∙𝑑
𝑑
𝑏∙𝑑
+ =
en
𝑎
𝑏
𝑐
𝑎∙𝑑−𝑐∙𝑑
𝑑
𝑏∙𝑑
− =
Breuken vereenvoudigen
Met "een breuk vereenvoudigen" wordt bedoeld: de breuk schrijven met kleinere, eenvoudigere
getallen voor teller en noemer maar natuurlijk zodanig dat de waarde van de breuk dezelfde blijft.
Bijvoorbeeld indien teller (a) en noemer (b) beide deelbaar zijn door éénzelfde geheel getal n :
Als 𝑎 = 𝑐 ∙ 𝑛 en 𝑏 = 𝑑 ∙ 𝑛
(met 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑛 ∈ ℤ ) dan is:
Het resultaat is dan een "eenvoudigere breuk": wat
voorstellen dan wat
5
25
1
5
𝑎
𝑏
𝑐∙𝑛
𝑐
𝑛
𝑐
𝑐
= 𝑑∙𝑛 = 𝑑 ∙ 𝑛 = 𝑑 ∙ 1 = 𝑑
betekent kunnen we ons eenvoudiger
betekent.
Breuken vereenvoudigen kan bijvoorbeeld via de procedure voor ontbinden van teller en noemer in
priemfactoren. Dat ontbinden in priemfactoren moet je niet zelf kunnen uitvoeren. Mits
beschikbaarheid van een factorisatie programma moet je een vereenvoudiging zoals in het voorbeeld
hieronder wel kunnen uitvoeren:
147
=? ? ?
231
Via https://www.wolframalpha.com/input/?i=factorize+147 vind je: 147 = 3 · 72
VIa https://www.wolframalpha.com/input/?i=factorize+231 vind je: 231 = 3 · 7 · 11
dus:
147
3 ∙ 72
7
=
=
231 3 ∙ 7 ∙ 11 11
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk2 - pagina 44
2.6 Wiskundige uitdrukkingen vereenvoudigen
Een wiskundige uitdrukking waarin enkel getallen en eenvoudige bewerkingen voorkomen ( + ; - ; ×
; ÷ ) kan je volledig uitrekenen.
Mits een rekenmachine te gebruiken kan dat ook als er "moeilijkere" bewerkingen of functies in
voorkomen ( √ ; machten ; log ; sin ; ... ).
Volledig uitgewerkt blijft er van een dergelijke wiskundige uitdrukking enkel "één getal" over.
Maar als er "onbekenden" ( x ; y ; ... ) of "parameters" ( a ; b ; ... ) of "variabelen" ( tijd t ; lengte L ; ...
) in voorkomen, waarvan "de waarde" (nog) niet gekend is of variabel is, dan kan je de betreffende
wiskundige uitdrukking niet volledig uitrekenen.
Om wiskundige uitdrukkingen met onbekenden onderling eenvoudig te vergelijken bestaan er
daarom afspraken om deze op een zo eenvoudig mogelijke manier en zo eenvormig mogelijk te
noteren.
Alvorens de regels hiervoor te overlopen bekijken we twee voorbeelden:
Links en rechts staan "mathematisch identieke" uitdrukkingen, maar rechts zijn ze in
overeenstemming met de vereenvoudigingsregels genoteerd:
niet volgens de regels
wel volgens de regels
(𝑚/𝐿)/𝐿
𝑚 ∙ 𝐿−2
𝑠0 + 𝑡 ∙ (𝑣0 + 𝑡 ∙ 0,5 ∙ 𝑎)
𝑎 2
∙ 𝑡 + 𝑣0 ∙ 𝑡 + 𝑠0
2
ook aanvaardbaar
𝑚
𝐿2
𝑎
𝑠0 + 𝑣0 ∙ 𝑡 + ∙ 𝑡 2
2
De regels die hierop toegepast werden zijn:
•
•
•
•
•
•
opeenvolgende breukstrepen vermijden; gebruik negatieve machten in plaats van
breukstrepen
haakjes uitwerken waar mogelijk
in veeltermen: de termen rangschikken zodat de termen met de hoogste machten vooraan
staan
(wat bedoeld wordt met "veelterm", "term" en "factor": zie woordenlijst van deze cursus)
binnen elke term eerst getallen, dan parameters ( 𝑎 ; 𝑣0 ; ... ), dan de onbekenden ( x ; y ; ...
) en/of variabelen ( t ; ... )
indien binnen een term meerdere parameters voorkomen: in alfabetische volgorde
indien binnen een term meerdere onbekenden of variabelen voorkomen: in alfabetische
volgorde (m voor L ; x voor y )
Waarom zou je wiskundige uitdrukkingen vereenvoudigen?
Computers rekenen het toch uit voor ons...
•
•
Je moet het wiskundig probleem echter eerst in de computer ingeven voor deze het voor jou
verder kan uitrekenen. Ook de software waarmee je berekeningen laat uitvoeren door een
computer stelt eisen aan de vorm waarin formules gegeven worden. Hoe eenvoudiger het
wiskundig probleem geformuleerd wordt, hoe minder kans op vergissingen bij het vertalen
ervan naar de software (bv Excel of Google Sheets).
Je wilt toch ook een beetje doorzicht in het probleem waar je de computer (of de
rekenmachine) mee opzadelt. Jij moet immers de resultaten gaan uitleggen bij jouw klant,
cliënt, baas, aandeelhouder, ... . Via een vereenvoudigde wiskundige uitdrukking krijg je
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk2 - pagina 45
beter en sneller inzicht in de behandelde problematiek dan via een nodeloos ingewikkelde
formule. Met "computer says no" maak je weinig indruk.
2.7 Oefeningen
2.7.1 Bereken
a) 17,5 − 23,9 16,7 + 0,325 =
b) 17,5 − 23,9  (16,7 + 0,325) =
c)
(17,5 − 23,9)16,7 + 0,325 =
d)
(17,5 − 23,9) (16,7 + 0,325) =
e) 18 − 3  5 + 10  2 =
f)
(18 − 9)  3 − 9  (6 − 3) =
g) 12 − (4 + (8  (12 − 4)) − 5) =
h)
(− 6) − (12)+ (− 4) (− 2) −−18
=
−6
i) 0,89 + 5,23  9,12 − 3,27  2,75 =
j)
(18,34 + 5,26) 9,84 − 12,04  (5,23 − 1,05) =
k)
(− 8,75)/(− 2,43) − (− 5,22) (− 0,14) =
l)
m)
n)
o)
1
1
4
+6=
2
1
−2=
3
8
9
∙ =
3 11
3
4
2
÷5=
1
p) 164 =
2
q) 8−3 =
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk2 - pagina 46
r)
13
2∙3
=
s) 1 +
t) 1 +
u) 2 +
1
1+
=
1
1
1+
2
1
2+
1
1
3+ 1
4+
5
1
2+
=
=
1
1
2+ 1
2+
2
v) √2500 =
3
w) √1000 =
x) 4√0,001 =
y) 3√0,008 =
3
z) √27000 =
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Antwoorden - Hoofdstuk2 – pagina 47
Antwoorden Hoofdstuk2
§2.7.1
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
x)
y)
z)
-381,305
-389,3975
-106,555
-108,96
8
0
-51
-13
47,3985
229,3436
2,87
5/12
1/6
24/11
15/8
2
¼
13/6
8/5
225/157
70/29
50
10
10^(-3/4)
0,2
30
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk3 - pagina 48
3 Hoofdstuk3 Verhoudingen, percenten, evenredigheden
3.1 Verhouding of breuk?
𝑇𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟
Een breuk is een uitdrukking van de vorm 𝑁𝑜𝑒𝑚𝑒𝑟 𝑚𝑒𝑡 𝑁𝑜𝑒𝑚𝑒𝑟 ≠ 0
Breuken kan je in verschillende ‘types’ indelen naargelang de invulling van teller en noemer.
Volgende paragrafen bespreken verschillende types breuken, relevant voor de opleiding
KRO. Eén tyoe breuk, de stambreuk herinner je je misschien nog van de lagere school.
3.1.1 Ratio of verhouding
Een ratio is een breuk waarmee men de verhouding tussen twee componenten (wel met een
zelfde eenheid, niet noodzakelijk behorend tot een zelfde geheel) uitdrukt.
Een ratio laat men meestal als breuk staan en is onbenoemd (dwz heeft geen eenheid).
Vb1: Een oplossing wordt gemaakt met 4ml serum en 10ml zoutoplossing.
- de ratio serum tegen zoutoplossing =
- de ratio zoutoplossing tegen serum =
- de ratio serum tegen totaal volume =
Vb2: Een populatie A bestaat uit 17 mannen en 23 vrouwen en een populatie B bestaat uit
33 mannen en 27 vrouwen.
- de ratio man/vrouw voor populatie A =
- de ratio vrouwen populatie A/populatie B =
3.1.2 Proportie
Een proportie is een breuk waarmee men de ‘relatieve grootte’ van een deel uitdrukt ten
opzichte van een geheel: de teller maakt dus in principe deel uit van de noemer; de noemer
is altijd het geheel.
Een proportie wordt meestal als getalwaarde (tussen 0 en 1) uitgedrukt en heeft geen
eenheid.
Vb1: Een oplossing wordt gemaakt met 4ml serum en 10ml zoutoplossing. Bereken
- de proportie serum op totaal volume =
- de proportie zoutoplossing op totaal volume =
Vb2: Een populatie A bestaat uit 17 mannen en 23 vrouwen en een populatie B bestaat uit
33 mannen en 27 vrouwen.
- de proportie vrouwen van populatie A =
- de proportie ‘uit B’ van het totaal aantal mannen =
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk3 - pagina 49
3.1.3 Verdunningsfactor van een oplossing
Een speciale proportie: de verdunningsfactor van een oplossing
Een verdunningsfactor van bv. 2/5 staat voor 2 volumes staal worden verdund tot 5 volumes
oplossing (door toevoegen van 5-2=3 volumes oplosmiddel). De noemer is dan het totale
volume van de oplossing
𝑥
𝑥 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑠 𝑠𝑡𝑎𝑎𝑙
𝑣𝑒𝑟𝑑𝑢𝑛𝑛𝑖𝑛𝑔𝑠𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 =
𝑦
𝑦 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑎𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
2
Vb1: De verdunningsfactor voor een oplossing van 2 ml staal en 10 ml oplosmiddel = 12
Vb2: Terugrekenen van een verdunde concentratie: Na een verdunning 4/125 heeft een
oplossing een concentratie van 1,78 µg/ml: hoe groot was de oorspronkelijke concentratie?
125
1,78 × 4 =55,6 µg/ml
3.1.4 Rate of snelheid
Een rate is een breuk waarin de teller een verandering uitdrukt en de noemer is een maat
voor de tijdsperiode waarin deze verandering gemeten werd. Teller en noemer hebben dus
niet dezelfde eenheid: ‘rate’ is dus een benoemd getal (bvb. m/s voor snelheid,
aantal/persoonsjaren voor incidentiecijfer,…)
1. De snelheid van een voertuig bedraagt 50 km/uur
2. De toevoersnelheid bedraagt 2 ml/min
3. zie ook epidemiologie (methoden en onderzoek)
3.1.5 Percentage
Het woord percentage komt van het Latijn of van het Italiaans Pro Cento en betekent letterlijk: per
honderd. Een percentage drukt een ratio uit waarbij de noemer gelijk aan 100 is. Op die manier kan
je gemakkelijk ratios vergelijken.
3.1.5.1
Hoe bereken je x% van iets / hoeveel % is , een ratio in % uitdrukken?
Een proportie kan je uitdrukken als een percentage (%):
1. De noemer (dus het geheel) krijgt als waarde 100; bv. een proportie van 200 gram op een
200
2
40
totaal van 500 gram – 2 delen op 5:
= =
= 40%; in de voorlaatste stap
500
5
100
vermenigvuldigen we zowel teller als noemer met het getal 20 om tot de noemer-waarde
van 100 te komen ofwel om tot een percentage te komen.
3
2. Dus een proportie van 3% staat voor de breuk 100 of de getalwaarde 0,03.
3. De proportie serum op het totaal volume omgerekend naar %
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk3 - pagina 50

4
14
=
?
100
 ? = 100 ×
4
= 28,6%.
14
5
5
4. 5%, ofwel 100, van 213, is hetzelfde als 100 ∙ 213 = 10,65 → een percentage berekenen
van een ‘hoeveelheid’ is een vermenigvuldiging met als ene factor een breuk op 100, het
percentage, en als andere factor het getal waarvan je het percentage berekent.
15
15∙24
15∙6
3∙6
18
∙ 24 = 100 = 25 = 5 = 5 = 3,6 of ………………………………………….
100
15 ∙ 24 = 10∙24 + 5∙ 24=240+120=360 te delen door 100 = 3,6
5. 15% van 24 =
6. Vergelijk volgende verhoudingen door ze om te zetten naar percentages: één op veertien en
1
13
13 op 100: ∙ 100 ≈ 7% en
= 13%
14
100
8
25
7. Bereken hoeveel 8% van 25 is: 100 ∙ 25 = 100 ∙ 8 = éé𝑛 𝑣𝑖𝑒𝑟𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑛 8 = 2 Deze
berekening toont aan dat 8% van 25 ook kan berekend worden door 25% van 8 te
berekenen.
3.1.5.2 Hoe bereken je een procentuele toename?
Een procentuele toename betekent dat je getal, dat bv. een hoeveelheid van iets voorstelt, groter
wordt.
-
Een percentage bereken je met de bewerking ‘vermenigvuldiging’
Een getal dat groter wordt, dien je te vermenigvuldigen met een getal groter dan 1
Als een getal toeneemt met x%, dan vermenigvuldigen we dat met een factor groter dan 1, namelijk:
1 + x%.
Vb1: Vorig jaar volgden 300 studenten deze cursus. Dit jaar is er een toename van 7,35%.
De factor waarmee we het aantal studenten gaan vermenigvuldigen om het huidige aantal te
berekenen:
1 + 7,35% = 1 + 0,0735 = 1,0735
➔ 300 ∙1,0735 = 322; Dit jaar zijn er 322 studenten.
Vb2: Wat als er volgend jaar, een toename van 3,56% is?
➔ 300*1,0735*1,0356 = 334 studenten
Vb3: Wat als er 3 opeenvolgende jaren, een toename van 3,55% optreedt?
➔ 300*1,0355^3 = 333
Vb4: Als het aantal studenten toeneemt van 300 naar 316. Hoeveel bedraagt de procentuele
toename?
➔ 316/300 = 1,0533333… → 5,3%
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk3 - pagina 51
3.1.5.3 Hoe bereken je een procentuele afname?
Zie vorige paragraaf, enige verschil: om een procentuele afname te berekenen, vermenigvuldig je het
oorspronkelijke aantal met een factor kleiner dan 1, namelijk 1 – x%.
Vb1: Een afname met 2%:
➔ ∙ (1 − 2%) = ∙ 0,98
Vb2: Dertien opeenvolgende afnames met 1%:
➔ ∙ (1 − 1%)13 = ∙ 0,9913 = ∙ 0,877
Vb3: Als er nu 300 studenten zijn, terwijl er vorig jaar 315 waren, hoeveel bedraagt de procentuele
afname?
➔ 300/315 = 0,95 ofwel een afname met 5%
3.1.5.4
Percentages combineren
Beeld je in dat van alle studenten eerstejaars KRO, er 50% slaagt in het eerste jaar en daarvan slaagt
er 95% voor de volledige opleiding. Hoeveel studenten, van alle eerstejaars, slaagt erin de volledige
opleiding af te werken?
Hoe kan je dit berekenen? Beschouw de gegeven percentages als een kans:
-
Je hebt 50% kans om te slagen in het eerstejaars
Je hebt, als geslaagde voor het eerste jaar, 95% kans om te slagen in de volledige opleiding
Als je wil weten hoeveel kans je maakt om de opleiding af te maken, dan moet én slagen in je
eerstejaars én slagen in de volledige opleiding. Het woordje én kan je vertalen als de bewerking ∙
Je dient dus beide percentages te vermenigvuldigen:
50% ∙ 95% = 47,5% slaagkans om je bachelor diploma te halen!
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk3 - pagina 52
3.1.6 Oefeningen verhoudingen
3.1.6.1
Bereken de proportie
3. In een gerecht wordt 500 gram bloem gebruikt en 300 gram (=300 ml) water. Het totaal
gewicht van het gerecht is 800 gram. Bereken beide proporties als kommagetallen met 3
beduidende cijfers.
4. In een gerecht wordt 500 gram bloem gebruikt en 330 gram (=330 ml) water én ook nog 5
gram zout en 10 ml olie, welk een massa heeft van 12 gram. Bereken alle proporties als
kommagetallen met 3 beduidende cijfers.
5. In een vat sangria van 12 liter zit 3 dm³ fruit en de rest is ‘sangriawijn’. Bereken beide
proporties. Tip: zet alles naar de eenheid liter.
6. Bij een restaurantrekening is er voor 34 € aan drank te betalen en 72 € aan eten. Druk deze
proporties uit in kommagetallen met drie beduidende cijfers.
7. Een mengsel bestaat uit drie bestanddelen zijnde stof A, stof B en stof C. De totale massa
bedraagt 76 gram. Bereken de massa’s van de stof A, B en C als je weet dat de proportie van
A 0,36 bedraagt en dat die van B het dubbel bedraagt.
8. Een mengsel bestaat uit drie bestanddelen zijnde stof A, stof B en stof C. De totale massa
bedraagt 76 gram. Bereken de massa’s van de stof A, B en C als je weet dat de proportie van
A 0,36 bedraagt en dat die van B de helft van die van A bedraagt.
3.1.6.2
1.
2.
3.
4.
5.
Bepaal de snelheid of rate
Per uur neemt het volume met 1,2 mL toe.
Per week neemt de lengte met 0,32 cm toe.
In een tijdspanne van 2 uur wordt er een afstand afgelegd van 3 km.
Voor elke gereden 100 km gaat er 1,2 micrometer af van de banddikte
Per kg wol heb je 30 m draad
3.1.6.3 Proporties en percentages
3.1.6.3.1 Schrijf als percentage(s)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
2 delen op een geheel van 100 delen
100 delen bevatten 6,3 delen
18 delen + 82 delen = geheel
5 delen op een geheel van 50 delen
1,1 delen + 26 delen = geheel
Het dubbel
De helft
Een kwart
Een verdrievoudiging
Een vertienvoudiging
Één achtste
13 van de 200
Een op de duizend
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk3 - pagina 53
n)
o)
p)
q)
r)
Één op de tienduizend
X 1,25
X 0,5
X 0,2
X2
3.1.6.3.2
s)
t)
u)
v)
w)
x)
Rekenen met %
3% + 10%
25% – 5%
65 × 10%
30 : 15%
20% : 5%
20% × 10%
3.1.6.4
Verhoudingen, verdunningen
a) Een kopje van 1dl bevat koffie en melk in een verhouding 7:2.
- Hoeveel mL melk heb je nodig om 1 L koffie in dezelfde verhouding
(koffie/melk) te schenken? (222 mL)
-
Hoeveel kopjes koffie kan je dan in totaal verdelen? (10)
b) Industrieel geproduceerde chocoladekoekjes bevatten 80 chocoladeschilfers per 1 kg
deeg.
- Wat is de ratio van chocoladeschilfers t.o.v. het deeg?
- 1 chocoladeschilfer weegt 1 gram. Wat is de gewichtsverhouding van de
chocolade t.o.v. het deeg? (0,08)
c) Voor het produceren van frisdrank wordt 100 ml glucose-fructose suikersiroop
aangelengd tot 1 L. Wat is de verdunningsfactor van de uiteindelijke oplossing? (10)
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk3 - pagina 54
3.2 Evenredigheden
3.2.1 Evenredigheid
Het begrip evenredigheid is vaak gebruikt en ook wel goed gekend. Recht evenredig en omgekeerd
evenredig hebben een wiskundige betekenis die wordt toegelicht in §3.2.4 en hier ingeleid aan de
hand van enkele voorbeelden. Vooraleer je deze bestudeert, nog enkele algemeenheden:
1. Een grootheid is een meetbaar of telbaar iets; bv.: tijd, aantal van iets, lengte, massa, …
2. Een verband tussen twee grootheden is een relatie tussen die 2 grootheden
3. Eén van de twee grootheden is de onafhankelijke; de andere is de afhankelijke:
o Een onafhankelijke grootheid is er één die je kan kiezen, eentje die de oorzaak is van
de verandering van de andere grootheid
o Een afhankelijke grootheid is het gevolg
4. Een evenredig verband betekent dat er een evenredigheidsconstante kan worden bepaald
5. Een evenredigheidsconstante is een getal
o Waarmee je de ene grootheid dient te vermenigvuldigen om de andere te vinden
(RE)
o Als je die deelt door de ene grootheid, vind je de andere (OE)
6. RE Recht Evenredig betekent:
o meer van de ene grootheid, betekent ook meer van de andere grootheid
o minder van de ene grootheid, betekent ook minder van de andere grootheid
De verhouding tussen de twee grootheden is constant
7. OE Omgekeerd Evenredig betekent:
o meer van de ene grootheid, betekent minder van de andere grootheid
o minder van de ene grootheid, betekent meer van de andere grootheid
Het product van de twee grootheden is constant
Met symbolen:
RECHT EVENREDIG
OMGEKEERD EVENREDIG
GROOTHEID1 = G1
𝐺1
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝐺2
GROOTHEID 2 = G2
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
𝐺1 ∙ 𝐺2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Hoofdstuk3 - pagina 55
Geef voor volgende verhalen telkens de onafhankelijke en de afhankelijke grootheid:
nr
verhaal
1
De tijd die je spendeert aan je studies en het resultaat dat je
behaalt op het examen.
De energiewaarde van een portie havermout en het gewicht van
die portie.
De tijd nodig om een portie voeding op te warmen en het gewicht
van die portie.
De tijd nodig om een portie op te warmen, in de microgolf, en het
vermogen van die microgolf.
Het aantal studenten in de aula en
de bijhorende hoeveelheid geproduceerde warmte in die aula.
De temperatuur in een gevulde aula en het vermogen van de airco.
De tijd nodig om van 0 tot 100 km per uur te versnellen en het
vermogen van de auto/motto.
De prijs van een auto/motto en het vermogen van de auto/motto.
Het aantal keer squad uitvoeren en de spierkracht in de beentjes.
2
3
4
5
6
7
8
9
Grootheid 1
Onafhankelijke
Welke kies je?
Grootheid 2
Afhankelijke
Welke is het gevolg?
RE of OE
Voorbeeld1: Volgende tabel geeft een aantal mogelijkheden weer voor een kort tripje, bv. vanuit centraal station A’pen naar één van de AP campussen:
Scenario
nr
1
2
3
4
beschrijving
Met velo aan 12 km per uur
Te voet aan 4 km per uur
Met step aan 25 km per uur
Met eigen fiets aan 15 km per uur
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Grootheid 1
Onafhankelijke
Grootheid 2
Afhankelijke
Evenredigheids
constante
Hoofdstuk3 - pagina 56
Voorbeeld2: Volgende tabel geeft een aantal mogelijkheden weer om een bad te laten leeglopen:
Scenario
nr
1
2
3
4
beschrijving
Grootheid 1
Onafhankelijke
Grootheid 2
Afhankelijke
Evenredigheidsconstante
Grootheid 1
Onafhankelijke
Grootheid 2
Afhankelijke
Evenredigheidsconstante
Met een grote opening aan 5 liter per minuut
Met een kleine opening aan 2,5 liter per minuut
Met drie extra large openingen aan 24 liter per minuut
Met 25 kleine openingen aan 75 liter per minuut
Voorbeeld3: enkele voorbeelden uit de voeding en labowereld:
Scenario
nr
1
2
3
4
beschrijving
Een recept vermeldt dat je 300 gram rijst dient te
gebruiken voor 3 personen.
Per minuut dat je oplossing verwarmd wordt door de
warmte van de bunsenbrander, stijgt de temperatuur
met 1,6°.
De specifieke smeltwarmte van paraffine bedraagt 180
kJ/kg.
Hoeve chocoladepasta bevat – volgens de tabel van Nubel(*) – 1975
kJ. (*)hoeve-NL.pdf (nubel.com)
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk3 - pagina 57
3.2.2 Recept?
Al eens gekookt? Enkel nog maar een ei gebakken… geen enkel probleem!
Hierbij een ingrediëntenlijst voor een recept, met dank aan ‘Health in a Box’:
Figuur 10: ingrediëntenlijst
Wat stel je vast? Vul aan:
1.
2.
3.
4.
Hoe meer personen, des te meer/minder(*) nodig van ‘Champignons de Paris’.
Als je het aantal personen verdubbelt, dan ………………………….. ook het aantal
lookteentjes.
Vul de hoeveelheden in per persoon, in de eerste kolom.
Stel dat je dit gerecht voor 12 personen dient klaar te maken, vervolledig dan
onderstaande tabel:
(*) schrappen wat niet past
Ingrediënt
Eendenborst
Champignons de Paris
lookteentje
olie
1 persoon
12 personen
Het verband tussen de hoeveelheid van een ingrediënt en het aantal personen is een
recht/omgekeerd evenredig verband. De evenredigheidsconstanten zijn weergegeven in de
eerste/tweede/derde kolom.
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk3 - pagina 58
3.2.3 Moeilijker voorbeeld en (herhaling) terminologie
Het voorbeeld is totaal hypothetisch,
grotendeels verzonnen,
en heeft enkel te maken met de smaak
van de auteur#Hubert Nachtegaele (chocolade en goede TV serie).
Op de afdeling “verpakking” van het bedrijf Tytgat Chocolat worden pralines
verpakt in dozen. Bij de planning van alle inpak-opdrachten dient rekening
gehouden te worden met de werkdruk voor de medewerkers. Daarbij spelen
drie variabelen een rol:
•
•
•
Het aantal medewerkers dat ingeschakeld wordt bij inpakken: 𝑀
Het aantal dozen dat gevuld wordt: 𝐷
De werktijd die de medewerkers besteden aan inpak-activiteiten: 𝑡
Bij de planning wordt in eerste instantie verondersteld dat elke medewerker voor wat betreft het
werk op de afdeling verpakking altijd identiek werkt:
•
•
•
Elke medewerker werkt aan hetzelfde tempo.
Elke medewerker werkt op elk uur van de dag aan hetzelfde tempo.
Medewerkers beïnvloeden elkaars tempo niet.
Als deze veronderstellingen overeenstemmen met de werkelijkheid dan is evident dat…
3.2.3.1
RE verband 1
als je het aantal medewerkers M vergroot met een factor, bv. verdubbelt, dat je dan, in pakweg
één week, het dubbel aantal dozen inpakt.
Als het aantal medewerkers 𝑴 met een factor n groter gemaakt wordt,
dan zal het aantal dozen 𝑫 die gevuld worden ook n keer groter zijn,
indien de werktijd dezelfde blijft.
Anders geformuleerd:
Bij eenzelfde werktijd 𝑡 heeft de verhouding
𝐷
𝑀
tussen het aantal gevulde dozen 𝐷 en het aantal
ingeschakelde medewerkers 𝑀 steeds dezelfde waarde:
Dit soort verband tussen 𝐷 en 𝑀 noemt men een
𝑛𝐷
𝑛𝑀
=
𝐷
𝑀
recht evenredig verband.
De verhouding
𝐷
𝑀
kan je lezen als:
het aantal gevulde dozen gedeeld door het aantal daarvoor ingeschakelde medewerkers
binnen een zekere gegeven werktijd.
OF als:
het aantal gevulde dozen per medewerker binnen die gegeven werktijd.
Dan is ook het evident dat …
3.2.3.2
RE verband 2
als je tweemaal zoveel dozen moete vullen, dat je dan, met hetzelfde aantal werknemers, twee
keer zoveel tijd nodig hebt.
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk3 - pagina 59
Als het aantal te vullen dozen 𝑫 met een factor n groter gemaakt wordt,
dan de werktijd 𝒕 die nodig is n keer groter zijn,
indien het aantal ingeschakelde medewerkers 𝑴 hetzelfde blijft.
Anders geformuleerd:
Bij eenzelfde aantal ingeschakelde medewerkers 𝑀 heeft de verhouding
gevulde dozen 𝐷 en de benodigde werktijd 𝑡 steeds dezelfde waarde:
Dit soort verband tussen 𝑀 en 𝑡 noemt men een
𝐷
𝑛𝐷
𝑡
𝑛𝑡
tussen het aantal
=
𝐷
𝑡
recht evenredig verband.
De verhouding
𝐷
𝑡
kan je lezen als:
het aantal gevulde dozen gedeeld door de daarvoor benodigde werktijd voor een gegeven
aantal ingeschakelde medewerkers.
OF als:
het aantal gevulde dozen per tijdseenheid (bv per uur) voor een gegeven aantal
ingeschakelde medewerkers.
Dan is het ook evident dat…
3.2.3.3
OE verband
als je dubbel zoveel werknemers inzet, dat je dan maar de helft van de tijd nodig hebt om
eenzelfde hoeveelheid dozen in te pakken
Als het aantal medewerkers 𝑴 met een factor n groter gemaakt wordt,
dan de werktijd 𝒕 die nodig is n keer kleiner zijn,
indien het aantal te vullen dozen 𝑫 hetzelfde blijft.
Anders geformuleerd:
Bij eenzelfde aantal te vullen dozen 𝐷 heeft het product 𝑀 ∙ 𝑡 van het aantal ingeschakelde
medewerkers 𝑀 en de benodigde werktijd 𝑡 steeds dezelfde waarde:
𝑡
=𝑀∙𝑡
𝑛
Dit soort verband tussen 𝑀 en 𝑡 noemt men een
𝑛𝑀 ∙
omgekeerd evenredig verband.
3.2.3.4
RE en OE
Bij de recht evenredigheden (a) en (b) vonden we een constante verhouding:
𝐷
𝑀
en
𝐷
𝑡
Bij de omgekeerd evenredigheid (c) vonden we een constant product: 𝑀 ∙ 𝑡
Gecombineerd geeft dat de “constante” breuk:
•
𝐷
𝑀∙𝑡
Als bij constante 𝑀 de 𝐷 met een factor n groter gemaakt wordt, dan wordt ook 𝑡 met een
factor n groter en verandert de waarde van de breuk
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
𝐷
𝑀∙𝑡
niet.
Hoofdstuk3 - pagina 60
•
Als bij constante 𝑡 de 𝐷 met een factor n groter gemaakt wordt, dan wordt ook 𝑀 met een
factor n groter en verandert de waarde van de breuk
•
De waarde van de breuk
•
𝑀∙𝑡
niet.
Als bij constante 𝐷 de 𝑀 met een factor n groter gemaakt wordt, dan wordt 𝑡 met een
factor n kleiner en verandert de waarde van de breuk
•
𝐷
𝐷
𝑀∙𝑡
𝐷
𝑀∙𝑡
niet.
is dus een constante en kan je lezen als:
het aantal gevulde dozen gedeeld door de daarvoor benodigde werktijd en gedeeld door het
aantal ingeschakelde medewerkers.
OF als:
het aantal gevulde dozen per tijdseenheid per ingeschakelde medewerkers.
Deze breuk heeft dus de betekenis van een “dozen-vul-snelheid” voor de medewerkers.
Als we de dozen-vul-snelheid kennen, dan kunnen we alle berekeningen uitvoeren die nodig zijn voor
het opstellen van de planning voor de inpak-afdeling!
De coördinator van de inpakafdeling bij Tytgat Chocolat weet uit observatie van het werk dat het
inschakelen van 15 medewerkers gedurende 4 werkuren leidt tot 720 gevulde dozen pralines.
De dozen-vul-snelheid (dvs) is dus:
𝐷
720 𝑑𝑜𝑧𝑒𝑛
𝑑𝑜𝑧𝑒𝑛
𝑑𝑣𝑠 = 𝑀∙𝑡 = 15 𝑚𝑒𝑑𝑒𝑤𝑒𝑟𝑘𝑒𝑟𝑠 ∙ 4 ℎ = 12 𝑚𝑒𝑑𝑒𝑤𝑒𝑟𝑘𝑒𝑟 ∙ℎ
Als je de dozen-vul-snelheid (dvs) een “eenheid” geeft (in dit geval “dozen per medewerker per uur”)
dan kan dat helpen om bij berekeningen vergissingen te vermijden.
Daarmee kan het aantal gevulde dozen berekend worden voor willekeurig aantal ingeschakelde
medewerkers en voor willekeurige werktijd via:
𝐷 = 𝑑𝑣𝑠 ∙ 𝑀 ∙ 𝑡 = (12
𝑑𝑜𝑧𝑒𝑛
)∙𝑀∙𝑡
𝑚𝑒𝑑𝑒𝑤𝑒𝑟𝑘𝑒𝑟 ∙ ℎ
Vergelijking 1: recht en omgekeerd evenredig – formule voor de berekening van het aantal dozen
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk3 - pagina 61
3.2.3.5 grafische voorstelling RE en OE
3.2.3.5.1 RE grafisch
In grafiek betekent het verband tussen het aantal dozen en het aantal ingeschakelde werknemers:
Deze vorm is typerend voor een recht evenredig verband: een rechte lijn.
De grafiek voor 𝐷 in functie van 𝑀 is een rechte lijn door het nulpunt met als vergelijking:
𝐷 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ∙ 𝑀
De constante in deze vergelijking is de evenredigheidsconstante tussen het aantal dozen en het
aantal werknemers, met andere woorden D/M en bedraagt in dit voorbeeld 48 dozen/medewerker
voor 4 uur werken en 12 dozen/medewerker voor 1 uur werken.
De evenredigheidsconstante voor 4h uur werken is groter wat ertoe leidt dat deze lijn steiler loopt
ten opzichte van de lijn voor slechts één uur werken.
Reken na en zoek op de grafiek:
In 4 h werken kunnen 20 ingeschakelde medewerkers 960 dozen vullen:
Vul daarvoor in de formule – zie Vergelijking 1 - voor 𝐷 in: “𝑀 = 20 𝑚𝑒𝑑𝑒𝑤𝑒𝑟𝑘𝑒𝑟𝑠” en
“𝑡 = 4 ℎ”
Of D = 48 dozen/medewerker*20 medewerkers = 960 dozen
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk3 - pagina 62
3.2.3.5.2
OE grafisch
Maar ook de nodige werktijd 𝑡 kan uitgerekend worden, en in grafiek gezet worden, met dezelfde
formule, maar dan anders geschreven:
𝑡 =
𝐷
=
𝑑𝑣𝑠 ∙ 𝑀
𝐷
𝑑𝑜𝑧𝑒𝑛
(12
)∙𝑀
𝑚𝑒𝑑𝑒𝑤𝑒𝑟𝑘𝑒𝑟 ∙ ℎ
Vergelijking 2: formule voor de tijd nodig om een aantal dozen te vullen
Deze vorm is typerend voor een omgekeerd evenredig verband: een hyperbool.
De grafiek voor 𝑡 in functie van 𝑀 verloopt hyperbolisch met als vergelijking: 𝑀 ∙ 𝑡 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
De constante in deze vergelijking is de evenredigheidsconstante tussen het aantal medewerkers en
het de tijd nodig, met andere woorden M∙t en bedraagt in dit voorbeeld 100 medewerker*uur voor
1200 dozen te vullen en 33,3333 medewerker*uur voor 400 dozen te vullen.
De evenredigheidsconstante voor 1200 dozen te vullen is groter wat ertoe leidt dat deze lijn steiler
daalt ten opzichte van de lijn voor slechts 400 dozen te vullen.
Reken na en zoek op de grafiek:
Om 1200 dozen te vullen hebben 3 medewerkers 33h en 20min werkuren nodig.
Vul daarvoor in de formule – zie Vergelijking 2 - voor 𝑡 in: “𝑀 = 3 𝑚𝑒𝑑𝑒𝑤𝑒𝑟𝑘𝑒𝑟𝑠” en
“𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 100𝑚𝑒𝑑𝑒𝑤𝑒𝑟𝑘𝑒𝑟 ∙ 𝑢𝑢𝑟”
Of gebruik de eenvoudige 𝑀 ∙ 𝑡 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 → 3 ∙ 𝑡 = 100 → 𝑡 =
en één derde van een uur ofwel 20 minuten.
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
100
3
= 33,333 → 33 uur
Hoofdstuk3 - pagina 63
3.2.4 Definitie
Men noemt twee (met elkaar verwante) grootheden x en y ‘recht evenredig’ als hun
verhouding gelijk is aan een constante waarde C (C = de evenredigheidsfactor en C  0), dus
𝑦
𝑥
= 𝐶 of 𝑦 = 𝐶 ⋅ 𝑥
Voorbeeld: Hoeveel gram opgeloste stof bevat 20ml van een oplossing als 250ml oplossing
36 gram stof bevat?
36
250
=
?
20
(recht evenredig)
Men noemt twee (met elkaar verwante) grootheden x en y ‘omgekeerd evenredig’ als de
verhouding x en 1/y gelijk is aan een constante waarde C, dus
𝑥
1
𝑦
𝐶
= 𝐶 of 𝑥 ⋅ 𝑦 = 𝐶 of 𝑦 = 𝑥
3.2.5 Samengevat
•
Een recht evenredig verband tussen twee variabelen betekent:
o Als de ene variabele n keer groter wordt, dan wordt de andere variabele ook n keer
groter
o De verhouding (de ene variabele gedeeld door de andere) heeft steeds dezelfde
waarde
o Een grafiek van de ene variabele in functie van de andere variabele is een rechte lijn
door het nulpunt
… indien alle andere variabelen die eventueel een rol zouden kunnen spelen constant
gehouden worden.
•
Een omgekeerd evenredig verband tussen twee variabelen betekent:
o Als de ene variabele n keer groter wordt, dan wordt de andere variabele n keer
kleiner
o Het product van de twee variabelen heeft steeds dezelfde waarde
o Een grafiek van de ene variabele in functie van de andere variabele is hyperbool
… indien alle andere variabelen die eventueel een rol zouden kunnen spelen constant
gehouden worden.
3.2.6 Een speciale evenredigheid: de regel van drie
Voorbeeld1: Als de inhoud van 7 eetlepels van een bepaalde stof 157 gram weegt, bereken
het gewicht van de inhoud van 3 eetlepels van deze stof.
157
7
=
?
3
 ? =3 ×
157
7
en
157
7
is dus de evenredigheidsfactor
Voorbeeld2: Als 190 kopjes koffie kunnen gezet worden met 5 pond koffie, hoeveel kopjes
kunnen er dan gezet worden met 3 pond koffie?
Voorbeeld3: Als 25 meter koperdraad 105 kg weegt, hoeveel weegt dan 60 meter van
dezelfde draad?
Voorbeeld4: Voor de bereiding van een bepaald gerecht voor 14 personen heeft men 110
gram van een bepaald ingrediënt nodig. Hoeveel gram heeft men dan nodig als men deze
bereiding voor 31 personen wil uitvoeren?
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk3 - pagina 64
3.2.7 Toepassing: voedingsmiddelentabel: Nubel (www.nubel.com)
De titel boven alle waarden in deze tabel is “hoeveelheid per 100g” (de enige uitzondering
op deze regel is zout).
 de wiskunde in Nubel: evenredigheden met als noemer 100g
•
Vissticks bevatten 15,1g proteïne per 100g. Eén visstick weegt 28g. Je eet twee sticks.
Hoeveel gram proteïne eet je op?
15,1𝑔
100𝑔
?
15,1𝑔
= 56𝑔  ? = 100𝑔 × 56𝑔
56
 anders geschreven ? = 15,1𝑔 × 100 = 15,1𝑔 × 0,56
 algemeen: waarde voor G (in gram) = waarde Nubel × evenredigheidsfactor
𝐺
en de evenredigheidsfactor = 100 (dit is een ratio)
•
Cornflakes bevatten 1577 kJ/100g. Je portie moet 1125kJ bevatten. Over hoeveel gram
cornflakes gaat het?
1577𝑘𝐽
100𝑔
=
1125𝑘𝐽
?
?=
1125𝑘𝐽
1577𝑘𝐽
100𝑔
3.3 Oefeningen
3.3.1 Vraagstukken
a) Meer dan driekwart van de jongeren heeft een smartphone. Dat blijkt uit de bevraging
‘Apestaartjaren’ van de onderzoeksgroep voor Media en ICT (MICT) aan de UGent in
opdracht van Graffiti Jeugddienst en Jeugdwerknet. Toch gebruikt slechts één derde van de
jongeren met een smartphone mobiel internet. De tweejaarlijkse bevraging van het MICT
werd uitgevoerd bij 1 495 jongeren tussen 12 en 18 jaar.(naar Datanews Knack, 05-08-20123)
a. (a) Hoeveel jongeren van het onderzoek hebben geen smartphone? (374)
b. (b) In Vlaanderen zijn er ongeveer 620 000 jongeren tussen 12 en 18 jaar. Hoeveel
Vlaamse jongeren hebben dan een smartphone? (465000)
c. (c) Hoeveel van de Vlaamse jongeren die een smartphone hebben gebruiken ook
mobiel internet? (155000)
b) In Spanje zijn er veel meer mensen die kunnen en willen werken dan dat er openstaande
vacatures zijn. Vooral de jeugdwerkloosheid is bijzonder groot. Actuele cijfers (juni 2012)
schatten dat 49,5% van de jonge volwassenen in Spanje werkloos zijn.
a. (a) Hoeveel jongeren zijn er in totaal werkloos als je weet dat er 4 000 000 jongeren
zijn in Spanje? (1980000)
b. (b) Welke van de volgende breuken drukt dit getal het beste uit? 4/10, 1/2, 3/5 (1/2)
c) De aanbevolen dagelijkse hoeveelheid (ADH) voor suiker is 60 g. Als je één blikje cola van 33
cl liter drinkt, is dit al 58 % van de ADH.
a. (a) Bereken hoeveel gram suiker één colablikje bevat. (34,8g)
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk3 - pagina 65
b. (b) Hoeveel Liter cola mag je dan maar drinken per dag om de ADH voor suiker niet
te overschrijden? (0,57 L)
3.3.2 Evenredigheden en Nubel
a)
Een boerenbrood (800g) wordt gesneden in 33 boterhammen. Het energiegehalte van
boerenbrood is 1247 kJ/100g. Je smeert een boterham met 28g bereide américain (997
kJ/100g). Bereken het energiegehalte van deze boterham.
b)
Een aubergine bevat 3,0 g suiker per 100g. Drie aubergines wegen samen 478 g en worden door
vier personen (gelijke portie) opgegeten. Hoeveel gram suiker eet iedere persoon.
c)
Een gesuikerde sandwich weegt 60g. Zo’n sandwich wordt belegd met 2 sneetjes salami (één
sneetje weegt 10g). De sandwich bevat 10,8 g vet per 100g en de salami bevat 31,8 g vet per
100g. Hoeveel gram vet bevat dit geheel?
d)
Een appel weegt 120g en je eet van deze appel slechts 109g op (11 g schil ed.). De appel bevat
1,5 g vezels per 100g. Hoeveel gram vezels eet je op?
e)
Cheddar bevat 1690 kJ/100g. Je portie kaas moet 400kJ bevatten. Hoeveel gram cheddar is dit?
f)
Een nectarine weegt  150g. Een nectarine bevat 7,6 g/100g suikers. Je eet 1,5 nectarine op.
Hoeveel gram suikers is dit?
g)
Aardbeientaart bevat per 100g 25,4g verteerbare koolhydraten. Een taart van 1174g wordt in
acht gelijke stukken gesneden. Hoeveel gram verteerbare koolhydraten zitten in één stuk?
h) Volgens het voedingsetiket zitten er 300 calorieën in 100 gram chips. Hoeveel
calorieën zitten er dan in een zakje van 30 gram chips? (90 cal)
i)
Een auto rijdt met een gemiddelde snelheid van 600 km in 5 uur (300 minuten) tijd
naar de andere stad. Hoeveel kilometer rijdt die auto in 7u30min aan dezelfde
snelheid? (900 km)
j)
Een halfvol vat met olie weegt 35 kg. Wat weegt een vol vat als je weet dat het vat
zelf 14 kg weegt? (56 kg)
k) Twee pompen met hetzelfde debiet, vullen een vijver in 3u.30 min. In hoeveel
minuten kan je deze vijver met vijf van deze pompen vullen? (84 min)
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk3 – Antwoorden - pagina 66 / 94
§3.1.6.1
3.
4.
5.
6.
7.
8.
0,625 proportie brood en 0,375 proportie water
PB = 0,557; PW = 0,368; PZ = 0,001; PO = 0,0134
PF = 0,25; PW = ¾
PD = 0,321; PE = 0,679
Gaat niet
A = 27,36 g; B = 13,68 g; C = 34,96 g
§3.1.6.2
1.
2.
3.
4.
5.
1,2 mL/uur
0,32 cm / week
3 km / 2 uur = 1,5 km/ uur
0,012 µm/km
30m/kg
§3.1.6.3.1
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
2%
6,3%
18% + 82% = 100%
10%
4,06% + 95,94% = 100%
200%
50%
25%
300%
1000%
12,5%
6,5%
0,1%
0,01%
125%
50%
20%
200%
§3.1.6.3.2
s) 13%
t) 20%
u) 6,5
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk3 – Antwoorden - pagina 67 / 94
v) 200
w) 4
x) 2%
§3.3.2
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
552 kJ
11 g
12,84 g vet
1,635 g
24 g
17,1 g
37,3 g
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk4 - pagina 68
4 Hoofdstuk4 Vergelijkingen
4.1 Wat bedoelt men in de wiskunde met "een vergelijking" ?
Vergelijking: Een wiskundige uitdrukking waarin minstens één "onbekende" voorkomt en
een gelijkheidsteken.
De "onbekende" stelt men in wiskunde-lessen of wiskunde-oefeningen heel veel voor
door de letters 𝑥 en 𝑦, maar in toepassingen van wiskunde worden de "onbekenden"
veelal voorgesteld door de symbolen voor bijvoorbeeld concentraties 𝑐 of de tijd 𝑡.
Drie ingewikkelde voorbeelden:
•
een vergelijking met één onbekende (𝑥): 𝑥 7 + √𝑥 + 4 = log(𝑥)
•
een vergelijking met twee onbekenden (𝑥 en 𝑦): 𝑦 =
•
een vergelijking uit de chemie:
𝑥2
𝑥 2 −𝑦2
−𝑡
𝑐𝑡 = 𝑐0 ∙ 𝑒𝑥𝑝 ( )
𝑇
Twee zeer eenvoudige voorbeelden:
•
•
een vergelijking die zo eenvoudig is dat ze meteen ook "opgelost" is: 𝑥 = 5
een vergelijking die enkel maar zegt dat twee "onbekenden" (of "variabelen") op
een constante na aan elkaar gelijk zijn: 𝑦 = 𝑥 + 3
4.2 Soorten vergelijkingen
Omdat het belang heeft voor wat je met een vergelijking verder kan aanvangen is het
belangrijk dat je aan de aard van een vergelijking het volgende kunt herkennen:
Het aantal onbekenden:
•
•
Slechts één onbekende...
Meerdere onbekenden...
De vorm:
•
•
•
•
lineaire vergelijkingen: de onbekenden komen erin voor enkel vermenigvuldigd
met getallen, met daarbij nog getallen bijgeteld. Geen vermenigvuldigingen
tussen de onbekenden of machten van de onbekenden.
kwadratische vergelijkingen: zoals lineaire vergelijkingen, maar ook het
kwadraat van de onbekende kan in de vergelijking voorkomen.
met veeltermen: behalve "getallen" komen er ook gehele machten van de
onbekende
met "hogere functies" zoals 𝑙𝑛, 𝑒𝑥𝑝, 𝑠𝑖𝑛, ... en met niet-gehele machten van de
onbekenden...
4.3 Wat betekent "oplossen van een vergelijking" ?
Een vergelijking waarin slechts één onbekende voorkomt is "opgelost" als je
de oplossingenverzameling van de vergelijking geeft.
Enkele voorbeelden:
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk4 - pagina 69
-
-
De oplossing van 2𝑥 + 1 = 7 is 3
Of men schrijft de "opgeloste" vergelijking in de vorm: 𝑥 = 3
De oplossingen van de vergelijking(𝑥 − 3) ∙ (𝑥 − 7) ∙ (𝑥 + 2) ∙ (𝑥 − 11) ∙ (𝑥 + 1) = 0
zijn: 3,7,-2,11, -1
want de gelijkheid in de vergelijking is voldaan als 𝑥 daarin overal vervangen
wordt door één van deze opgesomde oplossingen.
Als je in vorig voorbeeld de haakjes allemaal uitwerkt dan krijg je een bijna
identiek voorbeeld waarin je ziet dat het gaat om een vergelijking met een
veelterm van de 5de graad: 𝑥 5 − 18 ∙ 𝑥 4 + 70 ∙ 𝑥 3 + 120 ∙ 𝑥 2 − 431 ∙ 𝑥 − 462 = 0
met als oplossingen: 3,7,-2,11, -1 want de gelijkheid in de vergelijking is voldaan
als 𝑥 daarin overal vervangen wordt door één van deze opgesomde oplossingen.
Het woord oplossingenverzameling hierboven wijst er op dat sommige vergelijkingen
meer dan één oplossing hebben. In het tweede voorbeeld worden die oplossingen
opgesomd met telkens een ";" ertussen. In Engelstalige (wiskundige) teksten worden
oplossingen opgesomd met telkens een "," ertussen. Voor ons zou dat verwarrend zijn
omdat we de komma meestal als decimaal teken gebruiken.
Je kan oplossingenverzamelingen ook veilig opsommen door voor elke oplossing een
nieuwe regel te gebruiken.
De wiskunde gebruikt ook accolades { ... , ... , ... , } als symbool voor
"verzameling". Daarmee zou de oplossing van het tweede voorbeeld geschreven
worden als:
•
De oplossingenverzameling van de vergelijking 𝑥 5 − 18 ∙ 𝑥 4 + 70 ∙ 𝑥 3 + 120 ∙ 𝑥 2 −
431 ∙ 𝑥 − 462 = 0 is: {3 , 7 , −2 , 11 , −1}
Een vergelijking met meerdere onbekenden is "opgelost" naar één van de
onbekenden (bijvoorbeeld naar 𝑦 indien je de vergelijking kan herschrijven in de vorm:
𝑦= ⋯
waarin links slechts die ene onbekende staat en rechts een wiskundige uitdrukking
waarin die ene onbekende niet meer staat.
Als een vergelijking op die manier geschreven kan worden, dan kan de waarde van die
onbekende uitgerekend worden op voorwaarde dat de waarde van de andere
onbekenden gegeven wordt en ingevuld wordt in de uitdrukking aan de rechterkant.
4.4 Heeft elke vergelijking oplossingen?
4.4.1 Niet elke vergelijking heeft oplossingen
Een eenvoudig voorbeeld daarvan is de vergelijking: 𝑥 2 = −5
Er bestaat geen enkel (reëel) getal waarvan het kwadraat negatief is, dus er is geen oplossing
voor xx in deze vergelijking.
Men zegt dan:
•
•
•
deze vergelijking heeft geen oplossingen
de oplossingenverzameling van deze vergelijking is leeg
de oplossingenverzameling van deze vergelijking is {} (d.i. het symbool voor "de lege
verzameling")
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk4 - pagina 70
Gaat het om een vergelijking die opgesteld is om een oplossing te vinden voor een concreet
toegepast (technisch, medisch, ...) probleem, dan kan je het antwoord als volgt formuleren:
“Het probleem waarvoor deze vergelijking staat heeft geen oplossingen omdat het in strijd is met ...”
4.4.2 Niet elke vergelijking kan je eenvoudig wiskundig oplossen
Enkel voor lineaire en kwadratische vergelijkingen bestaan er eenvoudige wiskundige methodes om
de oplossingen te vinden.
Voor vergelijkingen met hogere machten dan 2 kan je soms ook nog met min of meer eenvoudige
wiskundige methodes de oplossingen vinden.
Voor vergelijkingen met hogere functies erin, of met niet gehele machten, is het meestal niet
mogelijk om de oplossingen te vinden met eenvoudige wiskundige methoden. In dat geval moet je
grijpen naar de computer (de zogenaamde numerieke oplossingsmethodes).
Voor vergelijkingen met één of twee onbekenden is er ook de mogelijkheid om via grafische
methoden te weten te komen of er oplossingen zijn, en welke die oplossingen (ongeveer) zijn.
4.5 Hoe ga je te werk om een vergelijking op te lossen?
4.5.1 Voorbeeld 1: een lineaire of eerstegraadsvergelijking
15𝑥 − 7 = 2𝑥 + 17
3𝑥 − 2 = −2𝑥 − 5
links en rechts "+7"
links en rechts " + "
15𝑥 − 7 + 7 = 2𝑥 + 17 + 7
dat geeft:
dat geeft:
15𝑥 = 2𝑥 + 24
links en rechts "−2𝑥"
links en rechts " + "
15𝑥 − 2𝑥 = 2𝑥 + 24 − 2𝑥
dat geeft:
dat geeft:
13𝑥 = 24
links en rechts "delen door 13"
links en rechts "delen door "
13𝑥 24
=
13
13
dat geeft:
𝑥=
dat geeft:
24
13
𝑥=
waarmee de vergelijking opgelost is.
Opmerking: “links” en “rechts” staat voor linker- en rechterlid.
Wat je hier in elke stap herkent is: "links en rechts ... "
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk4 - pagina 71
"Links" blijft gelijk aan "Rechts" enkel indien je in elke stap met "Links" en met
"Rechts" net dezelfde manipulatie uitvoert.
Voorbeeld 2: tweedegraadsvergelijking met wortel
4.5.2
Om
15𝑥−7
√3𝑦 2 +2
=2
op te lossen naar 𝑦 beginnen we met links en rechts te
vermenigvuldigen met √3𝑦 2
15𝑥 − 7
√3𝑦 2
+2
+2
wat geeft:
∙ √3𝑦 2 + 2 = 2 ∙ √3𝑦 2 + 2
⇔ 15𝑥 − 7 = 2 ∙ √3𝑦 2 + 2
daarna, links en rechts kwadrateren, wat geeft:
(15𝑥 − 7)2 = 4 ∙ (3𝑦 2 + 2)
Alvorens een volgende manipulatie "met links en met rechts" identiek te kunnen uitvoeren moeten
de haakjes in de uitdrukkingen links en rechts uitgewerkt worden. Dat geeft:
225𝑥 2 − 210𝑥 + 49 = 12𝑦 2 + 8
Nu eerst links en rechts "-8"
en daarna links en rechts "delen door 12" geeft:
225𝑥 2 − 210𝑥 + 49 − 8 12𝑦 2 + 8 − 8
225 2 210
41
=
⇔ 𝑦2 =
𝑥 −
𝑥+
12
12
12
12
12
De oplossing "naar 𝑦" van deze vergelijking vind je nu door links en rechts de vierkantswortel te
nemen:
75 2 35
41
𝑥 − 𝑥+
4
2
12
𝑦 = ±√
waarin de ± ingevoerd moet worden, omdat y enkel in de vorm van een kwadraat voorkomt in de
oorspronkelijke vergelijking zal voor elke .gevonden positieve oplossing ook het negatieve daarvan
aan de oorspronkelijke vergelijking voldoen.
Aanvullend bij "met links en met rechts identieke manipulaties uitvoeren" moet je
in sommige stappen links en/of rechts haakjes of bewerkingen uitwerken alvorens
je terug een mogelijkheid ziet om "met links en met rechts identieke manipulaties
uit te voeren".
4.5.3 Werkwijze samengevat
•
•
Identieke manipulaties uitvoeren "met linkerlid" en "met rechterlid"
Binnen linkerlid en/of rechterlid bewerkingen of haakjes uitwerken
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk4 - pagina 72
•
Welke manipulaties? Deze die je leiden naar het afzonderen van de onbekende aan één kant
van het gelijkheidsteken.
Om die manipulaties te vinden moet je soms even verschillende wegen uitproberen, of
ervaring opdoen en gebruiken...
4.5.4 Kan je deze werkwijze altijd volgen?
Nee, in veel ingewikkelde vergelijkingen is het onmogelijk om de onbekende volledig af te zonderen.
In dat geval zijn enkel numerieke of grafische methoden mogelijk om iets over de oplossing(en) van
de vergelijking te weten te komen. Die grafische numerieke en methoden kan je ook toepassen op de
vrij eenvoudige vergelijkingen waarop in deze cursus oefeningen gemaakt worden. Om die
numerieke en grafische methoden echt te begrijpen en verstandig te kunnen gebruiken is het echter
nodig dat je het probleem "oplossen van vergelijkingen" voldoende begrijpt. De beste weg naar het
begrijpen van dat problemen is: oefeningen maken op eenvoudige vergelijkingen die je ook zonder
die numerieke en grafische methoden kunt oplossen.
4.5.5 Vergelijking van de eerste graad – Algemene vorm
Alle vergelijkingen met een onbekende van de eerste graad zijn (via gelijkwaardige
uitdrukkingen) terug te brengen tot de standaardvorm 𝑎 ⋅ 𝑥 + 𝑏 = 0.
De oplossing van deze uitdrukking: 𝑎 ⋅ 𝑋 + 𝑏 = 0 ⇔ 𝑋 =
−𝑏
𝑎
Hierbij staat 𝑋 voor
•
•
of de onbekende x
of een uitdrukking waarin de onbekende x bij een macht/wortel of
exponentiële/logaritme hoort. In dit geval los je eerst de vergelijking op naar deze
uitdrukking 𝑋 en zoek je de waarde voor x uit 𝑋 door de gelijkwaardige uitdrukkingen
met macht/wortel of exponentiële te gebruiken
Controle van de oplossing bij bestaansvoorwaarden:
•
•
•
x staat in een noemer → noemer  0?
x staat onder een wortel (n even) → uitdrukking onder de wortel  0?
x staat na een logaritme → uitdrukking na de logaritme > 0?
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk4 - pagina 73
4.6 Lineaire vergelijkingen – andermaal
4.6.1 Voorbeeld vraagstuk vertalen naar lineaire vergelijking
Een moeder stuurt haar zoon met €20 naar de winkel om 4 zakken bloem. Als beloning mag haar
zoon voor €4 snoepjes kopen. Haar zoontje komt terug van de winkel met €11,2.
De moeder wil weten hoeveel 1 pak bloem kost.
Oplossing
Om dit vraagstuk op te lossen zullen we een vergelijking opstellen met één onbekende x.
Deze onbekende is de prijs van een pak bloem → één zak bloem = x euro
We ‘vertalen’ de gegevens en krijgen dan de volgende vergelijking:
20 - 4∙ 𝑥 - 4 = 11,2
Vertalen?
Een moeder stuurt haar zoon met €20 naar de winkel om 4 zakken bloem → één zak bloem
kost x euro en dus kosten 4 zakken bloem 4∙ 𝑥. Als beloning mag haar zoon voor €4 snoepjes
kopen. Haar zoontje komt terug van de winkel met €11,2 → rest
De 20 € is goed voor:
-
Én 11,2 euro rest
Én 4∙x euro aan bloem
Én 4 euro aan snoepjes
In de vorm van een vergelijking – eenheden laten we weg! – wordt dit:
20 = 11,2 + 4∙ 𝑥 + 4
Of anders geformuleerd:
Met 20 € koop je 4∙ 𝑥 en 4€ aan snoepjes, en dan blijft er nog 11,2 € over.
Kopen wordt vertaald naar betalen en betalen betekent dat er geld afgaat van het beginbedrag:
20 - 4∙ 𝑥 – 4 = 11,2
4.6.2 Oplossingsstrategie
In een vergelijking spreken we steeds van een linker- en een rechterlid.
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk4 - pagina 74
Alles wat links van “=” staat noemen we linkerlid (LL)
Alles wat rechts van de “=” staat noemen we rechterlid (RL)
Om een vergelijking op te lossen zijn er een aantal rekenregels die we kunnen gebruiken:
1. wanneer we bij het linker- EN rechterlid hetzelfde getal optellen (of aftrekken) blijft de
gelijkheid gelden.
2. wanneer we het linker- EN rechterlid met hetzelfde getal (behalve 0) vermenigvuldigen
(of erdoor delen) blijft de gelijkheid gelden.
3. wanneer we het linker- EN rechterlid tot dezelfde macht verheffen (of de
vierkantswortel nemen) dan blijft de gelijkheid gelden.
Zie ook: http://wiskunde-interactief.be/
Deze regels mogen we dus gebruiken om een vergelijking op te lossen. Daarnaast gaan we best als
volgt te werk:
1. alle termen die x bevatten zetten we in het linkerlid
2. eventueel vereenvoudigen
3. alle getallen zonder x plaatsen we in het rechterlid
4. eventueel vereenvoudigen
5. bereken x
In het geval van het voorbeeld krijgen we:
20 - 4x – 4 = 11,2
 16 - 4x = 11,2
 16 - 4x – 16 = 11,2 -16
 -4x = -4,8
 4x = 4,8
 x = 4,8 / 4
 x = 1,2
Een zak bloem kost dus € 1,20.
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk4 - pagina 75
Duid aan welke rekenregel(s) er wordt(en)
toegepast:
a)
b)
c)
d)
3x = -3  x = -1
2x-4 = 0  2x = 4
-1+x = -1  x = 0
–x+1 = 0  x = 1
4.6.3 Praktisch een lineaire vergelijking oplossen
We merken meteen dat deze manier van vergelijkingen oplossen vrij uitgebreid is en veel
schrijfwerk vergt. We kunnen de bovenstaande regeltjes ook anders bekijken.
16 - 4x = 11,2
 16 - 4x – 16 = 11,2 -16
 -4x = -4,8
In bovenstaande tweede stap, trekken we van beide leden 16 af. Dit doen we om ervoor te zorgen dat
het getal 16 uit het LL verdwijnt.
Je kan ook simpelweg zeggen dat 16 verhuist van LL naar RL door er -16 van te maken.
Een term (+ of - ) van lid verhuizen, omdat je deze aan de andere kant van de vergelijking wenst te
hebben, doe je door deze term zijn teken te veranderen.
 -4x = -4,8
 4x = 4,8
 x = 4,8 / 4
In bovenstaande stappen, zowel de tweede als de derde, worden beide leden vermenigvuldigd,
gedeeld door een getal. Je kan ook zeggen, dat in stap 3, de factor 4 (dus maal 4), verhuist van het
LL naar het rechterlid en dat door deze verhuis, maal verandert in gedeeld door.
Door gebruik te maken van deze twee vereenvoudigde regeltjes:
Voor een term: + in het ene lid wordt – in het andere lid en de omgekeerde ervan,
Voor een factor: x in het ene lid wordt / in het andere lid en de omgekeerde ervan,
wordt het vrij eenvoudig om vergelijkingen op te lossen.
Voorbeeld
3x – 7 = 8x + 3
We plaatsen de -7 naar het rechterlid en de +8x naar het linkerlid; hierbij worden de tekens bij
beide termen veranderd en we krijgen:
3x – 8x = 3 + 7
We rekenen uit:
-5x = 10
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk4 - pagina 76
Alleen x mag overblijven in het linkerlid, dus brengen we de factor -5 naar het andere lid
waarbij de vermenigvuldiging met -5, een deling door -5 wordt. Zo krijgen we:
10
x = −5 = -2
Op deze manier is de vergelijking veel sneller opgelost!
Je kan de gevonden oplossing altijd zelf controleren op de juistheid ervan. Je vult de gevonden
waarde van x in, in de oorspronkelijke vergelijking en controleert of ze klopt:
3.(-2)-7=8.(-2)+3
-6-7=-16+3
-13=-13 OK!
4.7 Oefeningen
4.7.1 Soort vergelijking?
a)
b)
c)
d)
e)
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑎𝑥 2 + 𝑐 = 0
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 = 0
𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑎
1
=4
𝑥
4.7.2 Lineaire of eerstegraadsvergelijkingen oplossen
a) 5x=2
b) 2+2x=-x
c) 4x-2=7x-5
d) 3x+8=5x-2
e) -5x+8+3x=4x+7
f)
2x+5=3x+5
g) 4x-8=4x+5
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk4 - pagina 77
h)
3
𝑥
+5 =
10
2𝑥
i)
𝑥
3
+2−2=0
j)
𝑥2 − 9 = 0
−2
𝑥
k) 𝑥 2 − 3𝑥 2 + 72 = 0
4.7.3 Vraagstukken
a) Bach, Mozart en Beethoven leefden samen 157 jaar. Bach werd 9 jaar ouder dan
Beethoven en Beethoven leefde 20 jaar langer dan Mozart. Hoe oud werden ze elk?
b) Een appel bevat 2 keer meer energie in joule als een perzik. Twee appels en één perzik samen
bevatten evenveel energie als twee bananen. Als één banaan 150 J bevat, hoeveel is de energie in
één perzik?
c) Een elektrische sensor bevat 5 gram koper en de assemblagetijd bedraagt 3 uur: de totale
productieprijs is 33,75 EUR. Een ander type sensor bevat 4 gram koper maar de
assemblage duurt 5 uur: de productieprijs is nu 40 EUR.
Het bedrijf moet een levering van 120 sensoren verzorgen voor de prijs van 4394 EUR.
Bereken hoeveel sensoren van beide types geleverd zullen worden.
d) Als de lengte van een rechthoek 3 keer de breedte is en de omtrek is 40 m; geef dan de
afmetingen.
e) Je beschikt over twee flessen alcohol-water oplossingen: A van 30% en B van 70 %.
Hoeveel liter van elk heb je nodig om 150 liter van 45 % te maken?
f) Een fles A bevat een zoutoplossing van 12 % en een fles B bevat een oplossing van 20 %.
Hoeveel A en B heb je nodig om 4 liter oplossing te maken van 15 %?
g) Hoeveel liter water moet je toevoegen aan 50 liter oplossing om de nitraatconcentratie
hierin te verlagen van 30 % naar 12 %?
h) Je beschikt over 2.5 ton erts dat 30 % zuiver koper bevat. Hoeveel erts met 75 % koper
moet je hierbij voegen om een materiaal te maken dat 50 % zuiver koper bevat?
i) Je moet 10 liter zuuroplossing maken (25 %). Je gebruikt zeker 2 l van een 50 %
oplossing en je hebt nog twee flessen met resp. 10 % en 20 %. Geef de te gebruiken
hoeveelheden.
j) Een cm3 water bevat ongeveer 3.3 1022 moleculen. Naar schatting is de hoeveelheid
water op aarde 1.7 1018 m3. Schat over hoeveel moleculen het gaat?
k) Als 10 ml staal wordt toegevoegd aan 190 ml oplosmiddel, over welke verdunning
spreken we dan?
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk4 - pagina 78
l) Men gebruikt in een toestel een verdunning 1 deel staal – 3 delen oplosmiddel. Met welke factor
dient de aflezing van het toestel gecorrigeerd te worden om de waarde voor het oorspronkelijke
staal terug te vinden?
m) Een hoeveelheid serum werd verdund volgens de verhouding 1/100 en het resultaat van
de meting bedroeg voor deze oplossing 45,0 U/l. Wat is het resultaat voor het zuiver
serum?
n) 20µl serum en 80 µl oplosmiddel worden samengevoegd. Van deze oplossing wordt 10 µl met 40
µl oplosmiddel samengevoegd. Wat is de verdunning van dit laatste product?
o) Na een reeks verdunningen heeft de oplossing een concentratie van 0,433 mg/l en een
verdunningsfactor van 1/1500. Hoe groot was de oorspronkelijke concentratie?
p) Een vliegtuig vliegt 1500 km in 5 uur met de wind mee. Op de terugweg duurt dezelfde
reis (tegen de wind) 6 uur. Bereken de snelheid van de wind en de echte snelheid (zonder
wind) van het vliegtuig.
q) De strooidienst heeft 24 ton van een mengsel zand/zout nodig dat 25% zout bevat. De dienst
beschikt over mengsels van 15% en van 30%. Hoe moet men mengen?
r) Twee auto’s rijden elk een afstand van 300 km. De ene rijdt per uur 10 km meer dan de
andere en komt één uur voor de andere aan. Bereken de snelheid voor beide wagens.
s) Als 190 kopjes koffie kunnen gezet worden met 5 pond koffie, hoeveel kopjes kunnen er
dan gezet worden met 3 pond koffie?
t) In 6 uur kan men 380 studenten inschrijven. Hoelang zal het dan duren om (tegen
dezelfde snelheid) 500 studenten in te schrijven?
u) Als 25 meter koperdraad 105 kg weegt, hoeveel weegt dan 60 meter van dezelfde draad?
v) Voor de bereiding van een bepaald gerecht voor 14 personen heeft men 110 gram van
een bepaald ingrediënt nodig. Hoeveel gram heeft men dan nodig als men deze
bereiding voor 31 personen wil uitvoeren?
4.7.4
enkele raadseltjes. Los volgende meerkeuzevragen op zonder rekenapparaat
a) Het is 18 uur. Hoe laat zou het zijn als men een tiendelig systeem (1 dag = 10 uur, elk uur
bevat 100 minuten en één minuut bestaat uit 100 seconden) zou gebruiken?
15 uur 7,5 uur 6,33 uur 8 uur 6 uur
b) Geef het verschil tussen 0,9 en 1,0
0,1 0,9 0,01 0,8 0,09
c) Een karaf bevat een liter plus een halve karaf. Hoeveel liter bevat deze karaf?
1 1,5 1,75 2 3
d) De negen muzen ontmoeten de drie gratiën die ieder een mand met appels dragen. De
gratiën delen appels uit aan de muzen tot iedereen evenveel appels heeft. Om hoeveel
vruchten zou het in totaal kunnen gaan?
9 27 36 51 81
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk4 - pagina 79
e) Als het meer van Genève leeg zou zijn, hoe lang duurt het dan voor de Rhône het meer
opnieuw gevuld zou hebben? (debiet van de rivier is 2200 m³s-1 en de inhoud van het
meer is 20 km³)
1 dag 1 week 1 maand 100 dagen 1 jaar
f) Wat is de gemiddelde waarde van 1024 en 10-24?
0 100 1012 10-12 geen van de vorige antwoorden
g) Men schildert de buitenkant van een kubus. De kubus wordt in 27 identieke kubusjes
verdeeld. Er zijn dan kubusjes met 3 geschilderde zijvlakken, met 2 of 1 of geen
geschilderde zijvlakken. Welke soort kubus komt het meeste voor?
geen één twee drie meerdere soorten
h) De snelheidsmeter van een auto overdrijft met 10%. Als je 100 kmh-1 afleest, hoe snel
rijd je dan echt?
88
89 90 90 91 92
i) In een kudde kamelen en dromedarissen, telt men 28 hoofden en 45 bulten. Hoeveel
dromedarissen zijn er?
10 11 12 13 14
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk4 – Antwoorden - pagina 80
§4.7.1
a)
b)
c)
d)
e)
2de graad
2de graad
2de graad
1ste graad
1ste graad
§4.7.2
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
2/5
2/3
1
5
1/6
0
Vals
12/5
-7
3 of -3
6 of -6
Vraagstukken + raadseltjes: aan te vullen
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk5 - pagina 81
5 Hoofdstuk5 Lineair Verloop
5.1 vb1 - Lineaire groei?
Volgende grafieken worden beschikbaar gesteld op
https://www.vub.ac.be/groeicurven/groeicurven.html
Figuur 11: gestalte, gewicht, pubertaire ontwikkeling 2 - 20 jaar jongens
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk5 - pagina 82
Figuur 12: BMI, 2- 20 jaar jongens
Figuur 13: groeisnelheid 2 - 20 jaar jongens
Bovenstaande curven kan je gebruiken om je eigen groeicurven te vergelijken met de curven die
afgeleid werden uit de gegevens van een significant aantal Vlaamse jongeren.
De laatste grafiek – Jaarlijkse toename in gestalte - toont dat:
- De toename van de gestalte per jaar, traag zakt in de eerste +- 11 jaar
- Tussen pakweg het 11de en het 14de levensjaar, stijgt de groeisnelheid erg fel
- Vanaf het 14de tot +- het 17de levensjaar, daalt de groeisnelheid erg fel
- Na het 17de levensjaar zakt de groeisnelheid naar 0
Het verloop van zulke curven kan wiskundig beschreven worden. Stel je even voor dat er een
bibliotheek aan beschrijvingen beschikbaar is, met per beschrijving ook het verloop van de lijn.
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk5 - pagina 83
Deze bibliotheek zou erg uitgebreid zijn gelet op het groot aantal vormen dat een curve kan
aannemen.
Dit deel van de cursus ‘Wiskundige vaardigheden KRO’ spitst alle aandacht op één soort verloop:
gestage toename of gestage afname. Op een grafiek ziet een gestage verandering eruit als een rechte
lijn, of in wiskunde taal, een rechte en deze wordt gekenmerkt door een constante toename of
constante afname.
Hieronder enkele voorbeelden van relaties tussen een onafhankelijke en afhankelijke grootheid met
de bijhorende opdracht om de beschrijving aan de curve te koppelen:
1. De grootheid neemt af en de snelheid waarmee ze afneemt is constant.
2. De grootheid neemt af met een sterke afname van de snelheid, tot quasi 0.
3. De grootheid neemt af en de snelheid waarmee de grootheid afneemt neemt gestaag toe.
Figuur 14: drie voorbeelden van verschillende relaties tussen twee grootheden
5.2 vb2 - Lineaire groei
Een voorbeeld waarbij we het aantal stuks in stock voorstellen als functie van de tijd en waarbij er
per dag 3 stuks worden verkocht waardoor het aantal stuks in stock, met drie per dag afneemt. De
beginwaarde van de stock bedraagt 100.
Enkele waarden zetten we in een functie-waardentabel:
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk5 - pagina 84
Onafhankelijke
variabele
TIJD in dagen
Horizontale as of X-as
Afhankelijke variabele
AANTAL stuks in stock
Verticale as of Y-as
0
10
20
Dag 0
Dag 10
Per dag gaan er 3 stuks de
stock uit; na 10 dagen zijn er
10*3 stuks de stock uitgegaan
→ 100 – 10*3 = 70
Dag 20
100
Dit is de
beginwaarde!
100-20*3=40
Om een functie-waarden tabel in te vullen, kies je een aantal waarden voor x en ‘bereken’ je de
bijhorende y waarde. x is de onafhankelijke variabele en die kan je kiezen, binnen de perken van het
zinvolle. y is de afhankelijke variabele en die hangt dus af van de gekozen x-waarde.
Onafhankelijke
variabele
TIJD in dagen
Horizontale as of X-as
Afhankelijke variabele
AANTAL stuks in stock
Verticale as of Y-as
x
0
10
20
33
y
100
100 – 10*3 = 70
100-20*3=40
100-33*3=1
Bovenstaande tabel toont 4 koppels: een koppel is een set van twee waarden, x en y en wordt
genoteerd met haakjes: (x,y)
(0,100), (10,70), (20,40), (33,1)
Deze koppels kunnen we ‘uitzetten’ in een grafiek; een grafiek heeft een horizontale as waarop we
de x-waarde aflezen en een verticale as en daarop lezen we de y-waarde af.
Hieronder zijn de koppels nogmaals opgelijst en tevens uitgezet in een grafiek:
elk koppel wordt een gevulde stip op de plaats van de overeenstemmende x én ywaarde
de koppels werden verbonden door een lijn
Figuur 15: grafiek van een lineair verband – een rechte – met aanduiding van 4 punten
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk5 - pagina 85
In bovenstaande grafiek kan je vaststellen dat de 4 punten-koppels perfect op één rechte lijn liggen:
dat is een lineair verband.
5.3 vb3 – Meer punten op het examen?
Wist je dat er een recht evenredig verband bestaat tussen het aantal keer dat een student de les
bijwoont – bij voorkeur zo actief mogelijk – en het resultaat dat diezelfde student behaalt op het
examen? Uit een mini-onderzoek bij eerstejaars in een coronajaar waarbij er aanwezigheden dienden
opgetekend, blijken volgende ‘metingen’. In de grafiek zie je deze metingen voorgesteld als blauwe
stippen. Het betreft een doe-vak, net zoals wiskunde.
Laat je door Excel het best passende lineair verband zoeken, dan komt er als resultaat:
y = 1,2x + 5,5 (met als correlatiecoëfficiënt 0,9 - betekenis hiervan wordt in eventuele cursus
statistiek toegelicht)
Best passende lijn? De totale afstand van alle metingen tot aan deze lijn, is de kleinste. Eén lijn
vinden die door alle metingen gaat is onmogelijk. Dat komt omdat het hier over echte getallen gaat
die de plaats van die punten bepaalt, en dus niet om wiskundig berekende getallen.
Wat betekent dit lineair verband?
0
1
2
3
4
5
6
7
8
gemiddelde score
8,4
4,4
9,8
8,5
10,3
12,5
12,3
13,1
15,1
Figuur 16: verband tussen aantal keer naar de les geweest en resultaat op examen
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk5 - pagina 86
Begrijp je dit verhaal volledig? Toon dat aan door de juiste verbindingen te leggen - één voorbeeld is
al getoond:
a) x, op de horizontale as
b) y, de verticale as
c) De ‘groeisnelheid’
bedraagt 1,2 punten per
les.
d) De student kiest de
waarde op de …-as,
e) met als gevolg de
waarde op de … - as.
f) De vergelijking van de
rechte
g) Maximum aantal lessen
dat er kon gevolgd
worden
h) De beginwaarde
bedraagt 5,5
i) hoeveel bedraagt het
gemiddelde resultaat
van een student die
tweemaal naar de les is
geweest, volgens de
vergelijking van de best
passende lijn?
j) De maximum
gemiddelde score
bedraagt …
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
I.
II.
III.
een student die nul keer naar de les is
geweest, haalt een gemiddelde score
van 5,5
y
8
IV.
15
V.
13,2
VI.
aantal keer naar de les geweest
VII.
gemiddelde score
VIII.
y = 5,5x + 1,2
IX.
x
X.
per keer dat de student een les volgt,
haalt hij gemiddeld, 1,2 punten meer
Hoofdstuk5 - pagina 87
5.4 vb4 - Calorieën tellen?
Uit onderzoek blijkt dat er een verband bestaat tussen de energiebehoefte van een mens in rust en
zijn lichaamsgewicht. Hoe groter het lichaamsgewicht, hoe meer calorieën nodig.
Volgende grafiek – uit “Leven zonder diabetes van Roy Taylor uitgegeven bij Nieuwezijds – toont de
resultaten van dit onderzoek en laat zien dat de relatie tussen lichaamsgewicht en energiebehoefte,
een …………………………… relatie is:
Figuur 17: relatie tussen energiebehoefte en lichaamsgewicht
Volgende cijfers gelden als gemiddelde waarden:
voor een vrouw met een gewicht van 70 kg, bedraagt de energiebehoefte, 1 calorie
per minuut
→ ……………………………… calorieën per uur
→ ……………………………… calorieën per dag
een vrouw met een gewicht van 100 kg, zit aan een verbruik van 74 cal per uur
→ ……………………………… calorieën per uur
→ ……………………………… calorieën per dag
Aan de hand van deze gegevens en in de wetenschap dat het verloop lineair is, kunnen we nu de
‘vergelijking’ van de lijn opstellen die getoond is in de grafiek.
Om dat te doen, vullen we de volgende tabel aan.
➔ Vul eerst de waarde in bij 70 kg en bij 100 kg lichaamsgewicht
➔ Bepaal daarna hoeveel calorieën er per 10 kg bijkomt of afgaat, stap voor stap:
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk5 - pagina 88
𝑣𝑒𝑟𝑠𝑐ℎ𝑖𝑙 𝑖𝑛 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟𝑖𝑒ë𝑛 𝑝𝑒𝑟 𝑑𝑎𝑔
𝑣𝑒𝑟𝑠𝑐ℎ𝑖𝑙 𝑖𝑛 𝑔𝑒𝑤𝑖𝑐ℎ𝑡
… 𝑐𝑎𝑙−. . . 𝑐𝑎𝑙 𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑢𝑖𝑡𝑟𝑒𝑘𝑒𝑛𝑒𝑛
𝑐𝑎𝑙
=
→
100 𝑘𝑔 − 70𝑘𝑔
30 𝑘𝑔
➔ Per 30 kg extra lichaamsgewicht, komt er ………. cal bij
➔ Per 10 kg komt er 1/3 van ………………. bij → …….. cal per 10 kg
➔ per kg komt er ….. cal bij
➔ de ‘calorie-groei’ per kg lichaamsgewicht per dag bedraagt dus …………..
𝑐𝑎𝑙
𝑘𝑔
➔ deze waarde is vergelijkbaar met een evenredigheidsconstante
Bereken nu alle waarden in de rij voor calorieverbruik bij een vrouw
Lichaamsgewicht 50
[kg]
Calorieverbruik
voor vrouw [cal]
volledige dag
60
70
80
90
100
EXTRA 1: Kan je ook voor jouw precies gewicht, de dagelijkse energiebehoefte bepalen?
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
EXTRA 2: Maak een grafiek, in Excel of op een ruitjesblad, met de gegevens van bovenstaande tabel.
EXTRA 3: Herhaal alles voor calorieverbruik bij de man, aan de hand van volgende gegevens:
-
voor een man, iets meer namelijk 70 calorieën per uur → …. calorieën per dag
verder verloopt het calorieverbruik ‘parallel’ aan dat van een vrouw
Lichaamsgewicht 50
[kg]
Calorieverbruik
voor man [cal]
volledige dag
60
70
80
90
100
EXTRA 4: Voeg de gegevens van de energiebehoefte van de man toe aan de grafiek met de gegevens
van de vrouw
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk5 - pagina 89
5.5 Lineair verloop
5.5.1 Algemene beschrijving
Als een grootheid lineair verandert ten opzichte van een andere, dan is de snelheid waarmee ze
verandert constant en vertrekt ze van een beginwaarde.
De grootheid die afhangt van de andere, ofwel de grootheid die een gevolg is van de andere, noemen
we de afhankelijke variabele en deze stellen we voor door de letter y en lezen we af op de verticale
as, de Y-as.
De andere grootheid, de onafhankelijke, stellen we voor door een x en lezen we af op de X-as.
De snelheid waarmee de afhankelijke verandert, noemen we a. Deze snelheid kan positief of negatief
zijn.
De beginwaarde waarmee de afhankelijke start, noemen we b.
Als x = 0 dan is y = b
dit is de betekenis van de startwaarde of beginwaarde b
Als x = 1 dan is y = b+a
na 1 (uur, km, …) is er bij y a bijgekomen (of afgegaan) – dat
is de betekenis van a, de groeisnelheid
Als x = 2 dan is y = b+2a
na 2 (uur, km, …) is er bij y 2 maal a bijgekomen (of
afgegaan) – dat is de betekenis van a, de groeisnelheid
Als x = 3 dan is y = b+3a
na 3 (uur, km, …) is er bij y 3 maal a bijgekomen (of
afgegaan) – dat is de betekenis van a, de groeisnelheid
Enz
De algemene vorm:
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
met
-
b = beginwaarde ofwel de waarde die y aanneemt, als de x-waarde nul is
a = snelheid waarmee de y-waarde verandert
Daar de groeisnelheid constant is, volstaat het om 2 “momenten” te kennen om het “volledige”
verloop te kennen.
5.5.2 groeisnelheid
Hieronder enkele voorbeelden (h, i, j, k) van gestaag dalende grootheden, weergegeven in een
grafiek:
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk5 - pagina 90
Figuur 18: lineair dalend; 4 verschillende lineaire relaties
Elke van deze vier grootheden, daalt: als je de x waarde laat toenemen, dus van links naar rechts
beweegt over de x-as, dan neemt de bijhorende y-waarde af; maw de y-waarde zakt omdat ze van
boven naar beneden verandert.
Hoe kan je de snelheid (van toename of afname) bepalen? Een snelheid is een verhouding: per
verandering in x, is er een bijhorende verandering in y en die laatste dien je te delen door de eerste:
𝑠𝑛𝑒𝑙ℎ𝑒𝑖𝑑 =
Bijvoorbeeld voor de lijn j:
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
𝑣𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑖𝑛 𝑦
𝑣𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑖𝑛 𝑥
Hoofdstuk5 - pagina 91
(0,0.5)
(0.3,-0.4)
Figuur 19: snelheid van rechte j (stippellijn)
➔ Je duidt twee ‘leesbare’ punten aan op de lijn (zie bollen linker figuur)
➔ Zet de coördinaten bij deze punten (zie stippellijn bij meest rechtse punt)
➔ 𝑠𝑛𝑒𝑙ℎ𝑒𝑖𝑑 =
𝑣𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑖𝑛 𝑦
𝑣𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑖𝑛 𝑥
➔ verandering in x: van 0 naar 0.3 is een verandering van 0.3 – 0 = 0.3
➔ verandering in y: van 0.5 naar -0.4 is een verandering van -0.4 - 0.5 = -0.9
−0.9
➔ snelheid =
= −3
0.3
Opmerking: Wat zou dit kunnen betekenen, een snelheid van afname van 3 → Stel dat je drie stuks
per dag verkoopt, dan neemt de hoeveelheid stuks die je hebt, af met drie per dag. Op de grafiek
staat dan op de horizontale as, de dagen en op de verticale as, het aantal stuks.
Deze snelheid kan je ook ‘aflezen’ op de grafiek:
➔ je zoekt twee punten op de rechte waartussen in de horizontale richting een afstand is van
‘één’, bijvoorbeeld één groot ruitje
➔ je telt het bijhorend aantal ruitjes in de verticale richting
➔ één naar rechts, drie naar beneden → snelheid is -3
Dit aflezen van de snelheid op de grafiek is alleen mogelijk als ‘mooie’ afleesbare driehoek kan
gevormd worden tussen twee aanduidbare punten
Figuur 20: aflezen van de snelheid van een lineair verband op de grafiek - tussenafstand = 1
De snelheid van rechte k aflezen gaat iets makkelijker, zelfs al is het niet mogelijk om twee punten te
vinden waartussen een horizontale afstand van 1:
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk5 - pagina 92
Figuur 21: aflezen van de snelheid van een lineair verband op de grafiek - tussenafstand ≠ 1
De punten aangeduid in bovenstaande grafiek, hebben een onderlinge horizontale afstand van 2 en
een onderlinge verticale afstand van 3 waardoor de snelheid kan berekend worden:
➔ 𝑠𝑛𝑒𝑙ℎ𝑒𝑖𝑑 =
𝑣𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑖𝑛 𝑦
𝑣𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑖𝑛 𝑥
=
−3
2
Het ‘min’ teken in de teller van bovenstaande breuk, is afkomstig van de daling die optreedt in de ywaarde, als de x-waarde toeneemt, maw, de snelheid is negatief want het is een dalende rechte.
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk5 - pagina 93
Samengevat:
Figuur 22: RICO of groeisnelheid aan de hand van een voorbeeld
5.5.3 Beginwaarde
Kijken we opnieuw naar vorige figuur en stellen we dat op de x-as, de tijd wordt voorgesteld,
-
Welke curve(n) heeft op tijdstip 0 , een waarde 0?
Welke curve(n) hebben een waarde verschillend van 0, op tijdstip 0 en hoeveel bedraagt die
beginwaarde?
Figuur 23: voorbeelden bepalen beginwaarde ofwel intercept
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk5 - pagina 94
5.6 Wiskundige formulering lineaire groei
5.6.1 Definitie
Een veeltermfunctie van de eerste graad in x is een lineaire functie: de grafiek is een rechte.
- Term: ‘iets’ dat je optelt bij een ander ‘iets’
- Veelterm: meer dan één term
- Functie: a black box: at the left side, the x goes in and at the right side, a transformed
x, named y, comes out; Een functie heft een functievoorschrift, meestal f genaamd en
is een wiskundige uitdrukking van x; de notatie f(x); voorbeeld: f(x) = 3x+4
- Eerste graad = lineair: de ‘x’ komt voor als x1, als x tot de eerste macht maar die
1
eerste mach wordt niet genoteerd, dus x komt voor als x (en niet als x², √𝑥, 𝑥, 𝑥 3 , …)
- Grafiek: lijn die de punten van de functie (x,f(x)) vormt in een assenkruis met x op de
horizontale as en y op de verticale as
Er geldt (euclidische meetkunde): door twee verschillende punten van het georiënteerde
vlak gaat juist één rechte. Georiënteerd vlak = een vlak met beide assen (x en y)
5.6.2 algemene bespreking
Wiskundig
f(x) = ax + b
Betekenis
Het functievoorschrift f, schrijft voor om x met
het getal a te vermenigvuldigen en vervolgens
het getal b op te tellen bij het product van a
met x.
a = snelheid
b = zie verder
de definitieverzameling = ℜ
Welke x-waarden kan je invullen in het
functievoorschrift? TIP: voor een lineair
verloop is het antwoord altijd ℝ, de
verzameling van de reële getallen!
𝑏
nulpunt: 𝑥 = − 𝑎
𝑏
 (− 𝑎 , 0)is een punt van de rechte
intercept = b  (0,b) is een punt van de
rechte
tekenen van de grafiek: twee punten (bvb.
nulpunt en intercept) volstaan
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Voor welke x-waarde, wordt y=0?
f(x) = ax + b of y = ax + b = 0
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0
⟺ 𝑎𝑥 = −𝑏
−𝑏
⟺ 𝑥=
𝑎
Als x 0 is, dan is y = a*0 + b = b
Als x=0 dan is y=b
Als x een tijd voorstelt, dan is op tijdstip nul, de
y-waarde gelijk aan b. Vandaar dat b ook de
beginwaarde wordt genoemd.
In een grafiek zet je de twee punten (0,b) en
−𝑏
( 𝑎 , 0) uit en vervolgens trek je de lijn.
Deze twee punten zijn de snijpunten met de
assen.
Hoofdstuk5 - pagina 95
Gevolgen:
als b = 0  de rechte gaat door de oorsprong (0,0)
er geldt: 𝑎 > 0 ⇔ 𝑠𝑡𝑖𝑗𝑔𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑡𝑒
𝑎 < 0 ⇔ 𝑑𝑎𝑙𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑡𝑒
𝑎 = 0 ⇔ horizontale rechte
- speciaal geval: een verticale rechte heeft als vergelijking 𝑥 = 𝑔𝑒𝑡𝑎𝑙
5.6.3 een wiskundig voorbeeld 𝑓(𝑥) = −3 ∙ 𝑥 + 4
- de definitieverzameling = ℝ
4
- het nulpunt: x = 3 (oplossing van −3 ⋅ 𝑥 + 4 = 0)
- het intercept is + 4 (f(x=0) = -3·0 + 4)
- enkele punten voor de grafiek: (twee zijn eigenlijk voldoende)
x
-2 -1 0
1
2
3
-
f(x)
-
10
7
4
1
-2
-5
de grafiek:
5.6.4 bespreking van de grafiek 𝑦 = 𝑎 ⋅ 𝑥 + 𝑏
We kiezen op de rechte twee verschillende punten: (x1,y1) en (x2,y2)
Dit betekent dat 𝑦2 = 𝑎 ⋅ 𝑥2 + 𝑏 en 𝑦1 = 𝑎 ⋅ 𝑥1 + 𝑏
5.6.4.1
aflezen van b op de figuur
De constante b uit het voorschrift is de waarde van het intercept
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk5 - pagina 96
y5
4
y23
y2-y1
y1
α
2
x2-x1
1
b

nulpunt
intercept
0
-2
-1
-b/a
0
x1 1
x2
2
3
4
x
-1
Figuur 24: grafiek van een rechte
5.6.4.2
aflezen van a op de figuur met de tangens
We tekenen een rechthoekige driehoek met als schuine zijde het gedeelte van de rechte
tussen de twee opgegeven punten;
in deze driehoek geldt de tangensregel:
𝑦2 −𝑦1
𝑥2 −𝑥1
= 𝑡𝑔𝛼
hierin staat  voor de georiënteerde hoek tussen de positieve x-as en de rechte
𝑦 −𝑦
invullen van de uitdrukkingen voor y2 en y1  𝑡𝑔𝛼 = 𝑥2 −𝑥1 =
2
𝑎⋅𝑥2 +𝑏−(𝑎⋅𝑥1 +𝑏)
𝑥2 −𝑥1
1
=𝑎
 a is dus de tangens van de georiënteerde hoek die de rechte met de positieve x-as insluit
𝑦 −𝑦
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑎𝑙 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑐ℎ𝑖𝑙
a = richtingscoëfficiënt van de rechte (afkorting: rico) 𝑎 = 𝑥2−𝑥1 = ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑎𝑙 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑐ℎ𝑖𝑙
2
1
b = constante of intercept van de rechte
 gevolgen:
-
evenwijdige rechten hebben dezelfde richtingscoëfficiënt
horizontale rechten (=0°) hebben een rico = 0 en de vergelijking is van de vorm y = b
verticale rechten (=90°) hebben geen rico en de vergelijking is van de vorm x = getal
als 0° <  < 90° dan is tg>0 en dus 𝑎 > 0 ⇔ 𝑠𝑡𝑖𝑗𝑔𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑡𝑒
als 90° <  < 180° dan is tg<0 en dus 𝑎 < 0 ⇔ 𝑑𝑎𝑙𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑡𝑒
als  = 0° dan is tg = 0 en dus 𝑎 = 0 ⇔ horizontale rechte
tg is een stijgende functie; dus hoe groter de waarde van |a| hoe steiler de rechte
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk5 - pagina 97
5.6.5 opstellen van de vergelijking van een rechte
Dit betekent dat we zoeken naar de waarde van a en b; vervolgens invullen in y = ax + b
waarin a en b echte getalen zijn (kunnen 0 zijn!).
5.6.5.1
bepalen van a en b op de grafiek
a = de helling van de rechte
- in orthonormaal assenstelsel is a = tg ( meten met gradenboog)
- driehoek tekenen, de zijden meten volgens de assen en tangensregel toepassen
b = de getalwaarde van het snijpunt van de rechte met de y-as
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk5 - pagina 98
5.6.5.2
gegeven twee punten (x1,y1) en (x2,y2)
Werkwijze
Voorbeeld: de vergelijking van de
rechte door (1,2) en (3,1)
werkwijze1
𝑦2 − 𝑦1
𝑎=
𝑥2 − 𝑥1
b volgt uit invullen van één van de twee punten,
bv. punt 1 invullen:
𝑦1 = 𝑎 ⋅ 𝑥1 + 𝑏
werkwijze 2
𝑦2 −𝑦1
de formule 𝑦 − 𝑦1 = 𝑥 −𝑥 ⋅ (𝑥 − 𝑥1 ) invullen en
2
1−2
1
= − = −0,5
3−1
2
2 = -0,51 + b → b = 2,5
𝑎=
𝑦−2=
1
omrekenen naar 𝑦 = 𝑎 ⋅ 𝑥 + 𝑏
1−2
⋅ (𝑥 − 1)
3−1
werkwijze 3
het stelsel {
1⋅𝑎+1⋅𝑏 =2
{
3⋅𝑎+1⋅𝑏 =1
𝑥1 ⋅ 𝑎 + 1 ⋅ 𝑏 = 𝑦1
oplossen
𝑥2 ⋅ 𝑎 + 1 ⋅ 𝑏 = 𝑦2
Oplossing
𝑦 = −0,5 ⋅ 𝑥 + 2,5
5.6.5.3 gegeven een punt (x1,y1) en een richting a
Werkwijze
Voorbeeld: de vergelijking van de
rechte door (-1,3) met rico + 4
werkwijze1
a=4
a is gekend
b volgt uit 𝑦1 = 𝑎 ⋅ 𝑥1 + 𝑏
3 = 4(-1) + b → b = 7
werkwijze 2
de formule 𝑦 − 𝑦1 = 𝑎 ⋅ (𝑥 − 𝑥1 )
𝑦 − 3 = 4 ⋅ (𝑥 − (−1))
Oplossing
𝑦 =4⋅𝑥+7
5.6.6 Nog meer voorbeelden lineaire functies
Teken de grafiek van 𝑦 = 2 ⋅ 𝑥 + 5
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk5 - pagina 99
Geef de vergelijking van de rechte door de punten (4,-6) en (-1,3)
Geef de vergelijking van de rechte evenwijdig aan 𝑦 = 6 ⋅ 𝑥 − 4,5 en door het punt (2,2)
Geef de vergelijking van de rechte door de oorsprong die een hoek van 127° met de
positieve x-as maakt
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk5 - pagina 100
5.7 Oefeningen
Tip: maak van alle gegevens een visualisatie!
1. Zet een kruisje in de laatste kolom van onderstaande tabel indien het verband op die rij
lineair is.
x
p
q
r
s
t
u
v
-5
20
-11,5
-2,5
5
0,25
-4
2,5
-4
17
-7
-2
3,2
0,16
-3
2
-3
14
-3,5
-1,5
1,8
0,09
-2
1,5
-2
11
-1
-1
0,8
0,04
-1
1
-1
8
0,5
-0,5
0,2
0,01
0
0,5
0
5
1
0
0
0
1
0
1
2
0,5
0,5
0,2
0,01
2
-0,5
2
-1
-1
1
0,8
0,04
3
-1
Lineair?
Indien Lineair: y = …x + …
TIP: gebruik Excel! Kopieer deze getallen in Excel en visualiseer ze in een grafiek en vraag vervolgens
de trendlijn op indien lineair verloop.
2. Zet een kruisje in de laatste kolom van onderstaande tabel indien het verband op die rij
lineair is.
Een kogel wordt in de lucht geschoten. De hoogte van de kogel ten opzichte van de tijd.
Een rijdende auto met cruise control aan. De verplaatsing ten opzichte van de tijd.
Een rijdende auto, op de afrit van een autosnelweg. De verplaatsing ten opzichte van de tijd.
Je stopt elke week 20 euro in je spaarpot. Het bedrag in ten opzichte van de tijd.
Je geeft elke week geld uit op café – geld vanuit je spaarpot waarin 1000 euro. De eerste
week 20 euro, de tweede week 30 euro, de derde week 40 euro, … Je overblijvend geld in de
spaarpot ten opzichte van de tijd.
Een belegging met enkelvoudige intrest. Het bedrag ten opzichte van de tijd.
Een belegging met samengestelde intrest.
3. Hierbij de uitslagen van een volleybal match met daarbij de tijd per set. Verandert de tijd
lineair met het aantal gemaakte punten? Indien ja, wat is dan het verband?
Set
Score team A
Score team B
Tijd
(minuten)
Eerste set
27
29
Tweede set
11
25
Derde set
25
12
Vierde set
25
5
Vijfde set
11
15
42,0
27,0
27,8
22,5
19,5
Tip: breng deze waarden over naar Excel en maak er en grafiek van!
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk5 - pagina 101
4. Stel voor volgende beschrijvingen de wiskunde formulering op:
a.
b.
c.
d.
Een fietser fietst met een constante snelheid van 15 km/uur. Hij is vertrokken om 0 uur.
Een fietser fietst met een constante snelheid van 15 km/uur. Hij is vertrokken om 1 uur.
Een fietser fietst met een constante snelheid van 15 km/uur. Hij is vertrokken om 10 uur.
Een fietser fietst met een constante snelheid van 15 km/uur. Hij is vertrokken om 0 uur en
heeft een voorsprong van 5 km gekregen ten opzichte van de startplaats.
e. Een fietser fietst met een constante snelheid van 15 km/uur. Hij is vertrokken om 10 uur en
heeft een voorsprong van 5 km gekregen ten opzichte van de startplaats.
5. leid uit de gegeven grafieken de vergelijking van de gegeven rechte af
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk5 - pagina 102
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk5 - pagina 103
6. teken de grafiek van volgende rechten; mag ook met Excel natuurlijk 😉
a)
b)
c)
d)
e)
𝑥−2=𝑦
𝑦 =3⋅𝑥−1
𝑦 = −2 ⋅ 𝑥
𝑦 = −5 − 5 ⋅ 𝑥
5 ⋅ 𝑦 = −15 + 3 ⋅ 𝑥
7. plaats de vergelijking bij de corresponderende rechte
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk5 - pagina 104
de vergelijkingen: −3 ⋅ 𝑦 = 2 ⋅ 𝑥 + 6
𝑦=3
2⋅𝑦 = 𝑥+2
𝑥=3
𝑦 =2⋅𝑥
10
6
8
6
4
4
2
2
0
-2 0
-2
0
-1
1
3
4
6
-4
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
-1
2
1
3
5
0
-1 -1
1
3
5
-2
8. Geef van volgende rechten telkens rico, intercept, door oorsprong of niet en stijgend
of dalend?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
𝑦 = −8 ⋅ 𝑥
𝑦 = 6 ⋅ 𝑥 + 25
3 ⋅ 𝑥 = 12 + 𝑦
−12 = 4 ⋅ 𝑥 − 7
5 ⋅ 𝑦 − 12 = 3 ⋅ 𝑥
2 ⋅ 𝑥 − 17 + 𝑦 = 0
𝑥=𝑦
−𝑥 + 2 ⋅ 𝑦 = 5
𝑦−5=0
2 ⋅ 𝑦 = −5
2⋅𝑥+5⋅𝑦 =0
9. stel telkens de vergelijking van de gevraagde rechte op
a)
b)
c)
d)
e)
horizontaal door (3,-5)
het nulpunt is 2 en het intercept is –3
door (2,-3) en (5,3)
door (-1,-4) met richtingscoëfficiënt 0,5
door (4,2) en de hoek x-as – rechte is 135°
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk5 - pagina 105
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
richtingscoëfficiënt is 6 en intercept is 7
door (1,5) en evenwijdig aan 2x + y = 10
door (0,0) en evenwijdig aan, y = 0,5x – 17
richtingscoëfficiënt –1 en intercept 2
door (1,2) en (-4,-6)
door (0,0) en evenwijdig aan 3y + 2x = 6
door (-8,6) en (2,4)
door de oorsprong en (-4,6)
door (2,-4) met richtingscoëfficiënt nul
door de oorsprong en (5,0)
door de oorsprong en (5,1)
hoek tussen x-as en rechte is 65° en door (1,5)
door de oorsprong en evenwijdig aan 2x - 3y + 5 = 0
door (5.2,3.1) en (7.6,-0.5)
door (-1,-2) en met rico –0,4
door (2,3) en evenwijdig aan y = 4
door (2,1) en evenwijdig aan y = 2 – x
door (-1,3) en (0,3)
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Hoofdstuk5 – Antwoorden - pagina 106
Antwoorden Hoofdstuk 5
1.
2.
3.
4.
5.
p: y=-3x+5; r=0,5x; t: y=X+1; v:y=-0,5x
eerste en laatste rij niet
ja; rico = +-0,75
a) y=15x; b) y=15x-15; c) y = 15x-150; d) y=15x+5; e) y=15x-145
y=2x+1; y=-3x; y = -2x-1; y = 5x + 5; y = x+2
6.
7. y=3; y = 2x; y=x/2 + 1; x = 3
8.
a) R = -8; b=0; door O; dalend
b) R = -6; b = 25; niet door 0; stijgend
c) R = 3; b = 12; niet door O; stijgend
d) Is geen rechte; x = -5/4; is verticale lijn
e) R = 3/5; b = 12/5; niet door O; stijgend
f) R = -2; b = 17; niet door O; dalend
g) R = 1; b = 0; door 0; stijgend
h) R = ½; b = 5/2; niet door 0; stijgend
i) R = 0; Constante; y = 5
j) R = 0; Constante; y = -5/2
k) R = -2/5; b= 0; door O; dalend
9.
a) y = -5
b) y = -3/2x – 3
c) …
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Annex - pagina 107
6 Annex Woordenlijst & overzichten
6.1 Overzicht van de 8 basisbewerkingen
optelling (rekenmachine +)
aftrekking (rekenmachine -)
 resultaat van de bewerking = som
notatie: 7 + 3
 resultaat van de bewerking = verschil
benaming: 7 en 3 zijn termen
notatie: 10 – 7
benaming: 10 en 7 zijn termen
vermenigvuldiging (rekenmachine )
deling (rekenmachine )
 resultaat van de bewerking = product
 resultaat van de bewerking = quotiënt
notatie: 73 of 7 × 3
notatie:
benaming: 7 en 3 zijn factoren
21
7
of 21/7 of 21 ÷ 7
benaming: 21 is deeltal of teller en 7 is deler of noemer
nde-macht (rekenmachine ^n)
nde-machtswortel (rekenmachine nx)
 resultaat van de bewerking = nde macht
 resultaat v.d. bewerking = ndemachtswortel
notatie: bvb. 𝑥 3 staat voor 𝑥 ⋅ 𝑥 ⋅ 𝑥
benaming: x is grondtal en 3 is exponent
•
1
3
√7 = ? ⇔ 7 = ?3
3
1
√7 = 73
benaming: 7 is grondtal en 3 is wortelexponent
gevolgen:
•
𝑛
notatie: √𝑥 of 𝑥 𝑛
als n = 0, dan is 70 =1 (definitie)
1
als n < 0, dan staat 7−3 voor 3
7
gevolgen:
•
•
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
als n even is, kan de bewerking alleen uitgevoerd worden
op reële getallen  0; het resultaat is per definitie  0
als n oneven is, kan de bewerking uitgevoerd worden op
alle reële getallen
Annex - pagina 108
6.2 eigenschappen van enkele speciale getallen
voor optelling/aftrekking:
𝑥±0=𝑥
voor vermenigvuldiging:
voor deling:
0⋅𝑥 =0
1⋅𝑥 =𝑥
0
𝑥
= 0 (𝑥 ≠ 0)
bestaat niet
𝑥
0
1
𝑥
= 𝑥 −1 (𝑥 ≠ 0)
=𝑥
𝑥
1
voor machten:
𝑥 0 = 1 (x  0)
𝑥1 = 𝑥
6.3 eigenschappen van inverse bewerkingen
voor optelling/aftrekking:
𝑥−𝑥 =0
voor vermenigvuldiging/deling:
𝑥⋅
1
=1
𝑥
voor machten/machtswortels:
𝑛
𝑛
√𝑥 𝑛 = 𝑥 en ( √𝑥)𝑛 = 𝑥
6.4 rekenregels
6.4.1 voorrangsregels
(1) bewerkingen tussen de haakjes die horen bij (2) en (3) (haakjes uitwerken van binnen naar
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
buiten)
exponentiële/logaritmen
machten/wortels
de overige bewerkingen tussen haakjes (haakjes uitwerken van binnen naar buiten)
vermenigvuldiging/deling
optelling/aftrekking
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Annex - pagina 109
6.4.2 gebruik van haakjes
optelling/aftrekking:
𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
𝑎 − (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 − 𝑏 − 𝑐
vermenigvuldiging/deling:
𝑎 ⋅ (𝑏 ⋅ 𝑐) = 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑐
𝑏 𝑎⋅𝑏
𝑎⋅ =
of met haakjes 𝑎 ⋅ (𝑏/𝑐) = (𝑎 ⋅ 𝑏)/𝑐 = 𝑎 ⋅ 𝑏/𝑐
𝑐
𝑐
𝑎
𝑎 𝑎
≠ ⋅ of met haakjes 𝑎/(𝑏 ⋅ 𝑐) = 𝑎/(𝑏 ⋅ 𝑐)
𝑏⋅𝑐 𝑏 𝑐
distributieve eigenschappen:
𝑎 ± (𝑏 ⋅ 𝑐) = 𝑎 ± 𝑏 ⋅ 𝑐
𝑎 ± (𝑏/𝑐) = 𝑎 ± 𝑏/𝑐
𝑎 ⋅ (𝑏 ± 𝑐) = 𝑎 ⋅ 𝑏 ± 𝑎 ⋅ 𝑐
(𝑎 ± 𝑏)/𝑐 = 𝑎/𝑐 ± 𝑏/𝑐
𝑎/(𝑏 ± 𝑐) = 𝑎/(𝑏 ± 𝑐)
6.4.3 rekenregels met machten/machtswortels/exponentiële
1
𝑎𝑥
𝑥
= √𝑎
𝑎 −𝑥 =
𝑎 1⁄𝑥
(zo is a1⁄2 = √𝑎)
𝑎 𝑥 ⋅ 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑥+𝑦
𝑎𝑥
= 𝑎 𝑥−𝑦
𝑎𝑦
(𝑎 𝑥 )𝑦 = 𝑎 𝑥⋅𝑦
(𝑎 ± 𝑏)𝑥 ≠ 𝑎 𝑥 ± 𝑏 𝑥
(𝑎 ⋅ 𝑏)𝑥 = 𝑎 𝑥 ⋅ 𝑏 𝑥
𝑎 𝑥 𝑎𝑥
( ) = 𝑥
𝑏
𝑏
6.5 gelijkwaardige uitdrukkingen
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD
Annex - pagina 110
optelling/aftrekking:
𝑥+𝑎 =𝑏 ⇔𝑥 =𝑏−𝑎
𝑥−𝑎 =𝑏 ⇔𝑥 =𝑏+𝑎
vermenigvuldiging/deling: (a  0)
𝑏
𝑎⋅𝑥 =𝑏 ⇔𝑥 =
𝑎
𝑥
=𝑏 ⇔𝑥 =𝑎⋅𝑏
𝑎
𝑎
𝑎
= 𝑏 (𝑥 ≠ 0) ⇔ 𝑥 =
𝑥
𝑏
𝑥 ⋅ 𝑦 = 0 ⇒ 𝑥 = 0 of 𝑦 = 0
𝑥
=0⇒𝑥=0
𝑦
machten/wortels:
𝑛
als n even (en a ≥ 0) : 𝑥 𝑛 = 𝑎 ⇔ 𝑥 = ± √𝑎
𝑛
𝑛
als n oneven: 𝑥 𝑛 = √𝑎
√𝑥 = 𝑎 ⇔ 𝑥 = 𝑎 𝑛
6.6 vergelijking van de eerste graad
Alle vergelijkingen met een onbekende van de eerste graad zijn (via gelijkwaardige uitdrukkingen)
terug te brengen tot de standaardvorm 𝑎 ⋅ 𝑥 + 𝑏 = 0.
De oplossing van deze uitdrukking:
𝑎⋅𝑥+𝑏 =0⇔𝑥 =
−𝑏
𝑎
Hierbij staat 𝑥 voor
•
•
of de onbekende x
of een uitdrukking waarin de onbekende x bij een macht/wortel of exponentiële/logaritme
hoort. In dit geval los je eerst de vergelijking op naar deze uitdrukking 𝑋 en zoek je de
waarde voor x uit 𝑋 door de gelijkwaardige uitdrukkingen met macht/wortel of exponentiële
te gebruiken
Controle van de oplossing bij bestaansvoorwaarden:
•
•
x staat in een noemer → noemer  0?
x staat onder een wortel (n even) → uitdrukking onder de wortel  0?
Cursus Wiskunde KRO ’22-’23 - VD