Σήματα
α‐Συστή
ήματα
Μετασχχηματισ
σμός Z ‐ Λυμένε ς ασκήσ
σ εις
Κωνσταντίίνος Κοτρόπ
πουλος
Τμήμα Πλη
ηροφορικήςς
Θεσσαλλονίκη, Ιούννιος 2013
Άδ
δειες Χρή
ήσης
Το παρόν
π
εκπα
αιδευτικό υλικό
υ
υπόκειται σε άδ
δειες χρήση
ης Creative Commons.. Για
εκπαιδευτικό υλικό,
υ
όπωςς εικόνες, που
π υπόκειτται σε άλλο
ου τύπου άδ
δειας χρήση
ης, η
άδεεια χρήσης αναφέρετα
α
ι ρητώς.
Χρηματοδό
ότηση
Το παρόν εκπ
παιδευτικό υλικό έχειι αναπτυχθ
θεί στα πλλαίσια του εκπαιδευτικού
έργο
ου του διδάσκοντα
δ
α. Το έργγο «Ανοικκτά Ακαδη
ημαϊκά Μαθήματα στο
Αρισ
στοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσ
σαλονίκης»
» έχει χρ
ρηματοδοτή
ήσει μόνο τη
ανα
αδιαμόρφωσ
ση του εκπα
αιδευτικού υλικού.
Το έργο
έ
υλοπο
οιείται στο πλαίσιο το
ου Επιχειρησιακού Προ
ογράμματο
ος «Εκπαίδεευση
και Δια Βίου Μάθηση»
» και συγχχρηματοδοττείται από
ό την Ευρω
ωπαϊκή Ένωση
(Ευρ
ρωπαϊκό Κο
οινωνικό Τα
αμείο) και από
α εθνικού
ύς πόρους.
Θεσσαλλονίκη, Ιούννιος 2013
Z
Z z ! ! " α #$
xa [n] = α|n| ,
#$
xb [n] =
#$
#%&$
0 < |α| < 1.
⎧
⎪
⎪
1 0≤n≤N −1
⎪
⎨
#%'$
0 n>N
⎪
⎪
⎪
⎩ 0 n < 0
⎧
⎪
⎪
n
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 2N − n
xc [n] =
⎪
⎪
0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ 0
0≤n≤N
N + 1 ≤ n ≤ 2N
#%($
n > 2N
n < 0
)
#$
Xa (z) =
−1
n=−∞
α
−n
z
−n
+
∞
n
α z
n=0
−n
=
∞
n=1
&
n
n
α z +
∞
n=0
αn z −n
'
=
+ αz
z(1 − α2 )
1
=
+
,
1 − αz 1 − αz −1
(1 − αz)(z − α)
|α| < |z| <
1
.
|α|
#%*$
, - %&
Im{z}
&
.%
.0
.*
.'
.
.'
.*
.0
.%
&
1
|a|
|a|
&
./
.
- %&1 2
./
&
Re{z}
&/
Xa(z)
#$
Xb (z) =
N
−1
xb [n] z
n=0
=
−N
−n
=
N
−1
z −n
n=0
N
1−z
z −1
,
= N −1
−1
1−z
z
(z − 1)
#%/$
z = 0
–
–
3 N , N − 1 + , - %' π2 N = 44
#$
Xc (z) = Z{ xb [n − 1] ∗ xb [n] } ⇔ Xc (z) = z −1 Xb (z) · Xb (z)
1 (z N − 1)2
(z N − 1)2
Xc (z) = z −1 N −1 2
=
(z
) (z − 1)2
z 2N −1 (z − 1)2
+ , - %( N = 4
#%0$
&
.%
.0
.*
.'
.
.'
.*
.0
.%
&
Im{z}
2π
N
+56" N − 1
&
./
- %'1 2
&
.%
.0
.*
.'
.
.'
.*
.0
.%
&
8 - %*
3
Re{z}
.
./
&
Xb(z) N = 4
Im{z}
'
'
+56" 2N − 1
7
'
Re{z}
'
&
- %(1 2
(
./
.
./
&
Xc(z) N = 4
Z 4 X(z)4 # $ X(z)4 Fourier - 9 4 ! #$ ! #$ 9 %*:
#$ ; - %*:
- - %* *
: 5 4 Im{z}
- %*1 2
1
1
3
2
+
+
−1
+
+
|z|=1
3
Re{z}
<5 %7'
)
# $ = Fourier 2> x[n]4 Z
; ROC :
1
< |z| < 2.
3
#%7$
; ROC 9 &?(4 9 ; ROC ' (4 - #$ 2 ! @ ROC 1
#&$
1
3
#'$
2 < |z| < 3
4 < |z| < 2
#$ 3 9 " ROC |z| > 3
4 #$ " ROC –
=
ROC
–
= /
ROC
5 ROC ! Z = ! 4 #$
X(z) =
1+
#$
X(z) =
#$
1+
1
1
|z| > .
2
#%%$
1
1
|z| < .
2
#%A$
1 −1 ,
z
2
1 −1 ,
z
2
1 − 12 z −1
X(z) =
,
1 + 34 z −1 + 18 z −2
#$
1 − 12 z −1
X(z) =
,
1 − 14 z −2
#$
X(z) =
1 − αz −1
,
z −1 − α
1
|z| > .
2
#%&.$
1
|z| > .
2
#%&&$
1
|z| > | |.
α
#%&'$
)
# $ @ Z 4 4 x[n] = (
5 4 &
&
&
&
− 12 z −1
− 12 z −1
+ 12 z −1
+ 14 z −2
+ 14 z −2
− 14 z −2
− 18 z −3
−1 n
) u[n].
2
+ 12 z −1
− 12 z −1
+ 14 z −2
− 18 z −3
#%&($
0
x[n] = ( −1
)n u[n]
2
#$ 3 x[n] = −( −12 )n u[−n−1] B &
& 'z
'z
'z * z 2
* z2
* z 2 % z 3
1 −1
z
2
&
' z * z2 C % z3
x[n] = −( −1
)n u[−n − 1]
2
#$
1 − 12 z −1
1 − 12 z −1
=
1 + 34 z −1 + 18 z −2
(1 + 14 z −1 )(1 + 12 z −1 )
−3
4
1
=
|z| >
1 −1 +
1 −1 ,
2
1 + 4z
1 + 2z
X(z) =
1
1 x[n] = − 3(− )n + 4(− )n u[n].
4
2
#$
X(z) =
1 − 12 z −1
1
,
1 −2 =
1 − 4z
1 + 12 z −1
|z| >
#%&*$
#%&/$
1
2
1
x[n] = (− )n u[n].
2
#%&0$
#%&7$
# $ ! α2 1 − αz −1
1 − α(z −1 − α) − α2
1 − α2
=
=
−α
+
z −1 − α
z −1 − α
z −1 − α
2
−1
1−α
1
−α (1 − α2 )
= −α +
,
|z| > | |
= −α −
−1
−1
−1
−1
−α(1 − α z )
1−α z
α
X(z) =
#%&%$
x[n] = −αδ[n] − α−1 (1 − α2 )α−n u[n]
= −αδ[n] − α−(n+1) (1 − α2 )u[n].
#%&A$
7
Z Z ! #$
(1 − z −1 )2
.
(1 − 12 z −1 )
#%'.$
(z − 1)2
.
(z − 12 )
#%'&$
(z − 14 )5
.
(z − 12 )6
#%''$
(z − 14 )6
.
(z − 12 )5
#%'($
#$
#$
#$
)
5 x[n] 4 X(z) = ∞n=0 x[n] z −n <5 z 4 ! X(z) z = ∞4 z = ∞ lim X(z) = ∞.
#%'*$
(1 − z −1 )2
1 − 2z −1 + z −2
1 − 2z + z 2
=
lim
= 1.
=
lim
z→∞ (1 − 1 z −1 )
z→∞
z→∞
1 − 12 z −1
z 2 − 12 z
2
#%'/$
z→∞
# $ ; 4 lim
#$ 2 4 #$ ; 4 lim
(z − 1)2
= ∞.
z→∞ (z − 1 )
2
#%'0$
(z − 14 )5
= 0.
z→∞ (z − 1 )6
2
#%'7$
(z − 14 )6
= ∞.
z→∞ (z − 1 )5
2
#%'%$
lim
#$ 2 4 lim
%
! Z - # $#$ - #$ # $ 2 1 − 13 z −1
X(z) =
1 + 13 z −1
#%'A$
x[n] 9 #$ ; X(z) =
x[n] 3
z − − 18 z −1
1
4
#$ 2 X(z) = ln(1 − 4z),
#$
X(z) =
)
1
1 − 13 z −3
,
#%(.$
1
|z| < .
4
#%(&$
|z| > 3−1/3 .
#%('$
# $ " & 13 z −1
& C 13 z −1
& 13 z −1
& 23 z −1 C 29 z −2
23 z −1
C 23 z −1 C 29 z −2
C 29 z −2
29 z −2 272 z −3
1
1
x[n] = δ[n] + 2(− )n u[n − 1] = 2(− )n u[n] − δ[n].
3
3
#%(($
#$
3
3
3z −1
=
=
z − 14 − 18 z −1
z(1 − 14 z −1 − 18 z −2 )
(1 − 12 z −1 )(1 + 14 z −1 )
4
4
.
=
1 −1 −
1 − 2z
1 + 14 z −1
X(z) =
#%(*$
A
<; &?' &?* ; x[n] <5
x[n] 4 ROC1 |z| >
1
1
x[n] = 4( )n u[n] − 4(− )n u[n].
2
4
#$ > Taylor ln(1 + x) x[n] =
B #%(/$
|x| ≤ 1 1
4
∞
−1
i
(4z)
(4z)−l
= −
=
i
l
i=1
l=−∞
X(z) = ln(1 − 4z),
1
2
1
|z| <
1 −n
4 u[−n − 1].
n
#%(0$
#%(7$
#$ 3 4 ! &
& 13 z −3
& C 13 z −3
& C 13 z −3 C 19 z −6
C 13 z −3
13 z −3 C 19 z −6
C 19 z −6
19 z −6 C 271 z −9
; ⎧
⎨ ( 1 )n/3 n = 0, 3, 6, 9, . . .
3
x[n] =
⎩ 0
.
#%(%$
+ - %/ Z 4 X(z)4 x[n] Y (z)4 y[n] = x[−n + 3] Y (z)
)
5 X(z) =
(z 2
z
,
− z + 12 )(z + 34 )
3
|z| > .
4
D y[n] = x[−n + 3] = x[−(n − 3)]
#%(A$
#%*.$
&.
Im{z}
- %/1 2
Re{z}
− 21
1
2
+
+
− 34
+
1
2
<5 %70
x[−n] ( −n4 Y (z) = z −3 X(z −1 ) =
=
z −3 z −1
(z −2 − z −1 + 12 )(z −1 + 34 )
8
3
z (2 − 2z + z 2 ) ( 43 + z)
.
#%*&$
; z = 04 z = − 43 1 ± j 4 ; x[n] 2>4 x[−n+3] 4 ROC1 |z| < 43