Σήματα α‐Συστή ήματα Μετασχχηματισ σμός Z ‐ Λυμένε ς ασκήσ σ εις Κωνσταντίίνος Κοτρόπ πουλος Τμήμα Πλη ηροφορικήςς Θεσσαλλονίκη, Ιούννιος 2013 Άδ δειες Χρή ήσης Το παρόν π εκπα αιδευτικό υλικό υ υπόκειται σε άδ δειες χρήση ης Creative Commons.. Για εκπαιδευτικό υλικό, υ όπωςς εικόνες, που π υπόκειτται σε άλλο ου τύπου άδ δειας χρήση ης, η άδεεια χρήσης αναφέρετα α ι ρητώς. Χρηματοδό ότηση Το παρόν εκπ παιδευτικό υλικό έχειι αναπτυχθ θεί στα πλλαίσια του εκπαιδευτικού έργο ου του διδάσκοντα δ α. Το έργγο «Ανοικκτά Ακαδη ημαϊκά Μαθήματα στο Αρισ στοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσ σαλονίκης» » έχει χρ ρηματοδοτή ήσει μόνο τη ανα αδιαμόρφωσ ση του εκπα αιδευτικού υλικού. Το έργο έ υλοπο οιείται στο πλαίσιο το ου Επιχειρησιακού Προ ογράμματο ος «Εκπαίδεευση και Δια Βίου Μάθηση» » και συγχχρηματοδοττείται από ό την Ευρω ωπαϊκή Ένωση (Ευρ ρωπαϊκό Κο οινωνικό Τα αμείο) και από α εθνικού ύς πόρους. Θεσσαλλονίκη, Ιούννιος 2013 Z Z z ! ! " α #$ xa [n] = α|n| , #$ xb [n] = #$ #%&$ 0 < |α| < 1. ⎧ ⎪ ⎪ 1 0≤n≤N −1 ⎪ ⎨ #%'$ 0 n>N ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 0 n < 0 ⎧ ⎪ ⎪ n ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 2N − n xc [n] = ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 0 0≤n≤N N + 1 ≤ n ≤ 2N #%($ n > 2N n < 0 ) #$ Xa (z) = −1 n=−∞ α −n z −n + ∞ n α z n=0 −n = ∞ n=1 & n n α z + ∞ n=0 αn z −n ' = + αz z(1 − α2 ) 1 = + , 1 − αz 1 − αz −1 (1 − αz)(z − α) |α| < |z| < 1 . |α| #%*$ , - %& Im{z} & .% .0 .* .' . .' .* .0 .% & 1 |a| |a| & ./ . - %&1 2 ./ & Re{z} &/ Xa(z) #$ Xb (z) = N −1 xb [n] z n=0 = −N −n = N −1 z −n n=0 N 1−z z −1 , = N −1 −1 1−z z (z − 1) #%/$ z = 0 – – 3 N , N − 1 + , - %' π2 N = 44 #$ Xc (z) = Z{ xb [n − 1] ∗ xb [n] } ⇔ Xc (z) = z −1 Xb (z) · Xb (z) 1 (z N − 1)2 (z N − 1)2 Xc (z) = z −1 N −1 2 = (z ) (z − 1)2 z 2N −1 (z − 1)2 + , - %( N = 4 #%0$ & .% .0 .* .' . .' .* .0 .% & Im{z} 2π N +56" N − 1 & ./ - %'1 2 & .% .0 .* .' . .' .* .0 .% & 8 - %* 3 Re{z} . ./ & Xb(z) N = 4 Im{z} ' ' +56" 2N − 1 7 ' Re{z} ' & - %(1 2 ( ./ . ./ & Xc(z) N = 4 Z 4 X(z)4 # $ X(z)4 Fourier - 9 4 ! #$ ! #$ 9 %*: #$ ; - %*: - - %* * : 5 4 Im{z} - %*1 2 1 1 3 2 + + −1 + + |z|=1 3 Re{z} <5 %7' ) # $ = Fourier 2> x[n]4 Z ; ROC : 1 < |z| < 2. 3 #%7$ ; ROC 9 &?(4 9 ; ROC ' (4 - #$ 2 ! @ ROC 1 #&$ 1 3 #'$ 2 < |z| < 3 4 < |z| < 2 #$ 3 9 " ROC |z| > 3 4 #$ " ROC – = ROC – = / ROC 5 ROC ! Z = ! 4 #$ X(z) = 1+ #$ X(z) = #$ 1+ 1 1 |z| > . 2 #%%$ 1 1 |z| < . 2 #%A$ 1 −1 , z 2 1 −1 , z 2 1 − 12 z −1 X(z) = , 1 + 34 z −1 + 18 z −2 #$ 1 − 12 z −1 X(z) = , 1 − 14 z −2 #$ X(z) = 1 − αz −1 , z −1 − α 1 |z| > . 2 #%&.$ 1 |z| > . 2 #%&&$ 1 |z| > | |. α #%&'$ ) # $ @ Z 4 4 x[n] = ( 5 4 & & & & − 12 z −1 − 12 z −1 + 12 z −1 + 14 z −2 + 14 z −2 − 14 z −2 − 18 z −3 −1 n ) u[n]. 2 + 12 z −1 − 12 z −1 + 14 z −2 − 18 z −3 #%&($ 0 x[n] = ( −1 )n u[n] 2 #$ 3 x[n] = −( −12 )n u[−n−1] B & & 'z 'z 'z * z 2 * z2 * z 2 % z 3 1 −1 z 2 & ' z * z2 C % z3 x[n] = −( −1 )n u[−n − 1] 2 #$ 1 − 12 z −1 1 − 12 z −1 = 1 + 34 z −1 + 18 z −2 (1 + 14 z −1 )(1 + 12 z −1 ) −3 4 1 = |z| > 1 −1 + 1 −1 , 2 1 + 4z 1 + 2z X(z) = 1 1 x[n] = − 3(− )n + 4(− )n u[n]. 4 2 #$ X(z) = 1 − 12 z −1 1 , 1 −2 = 1 − 4z 1 + 12 z −1 |z| > #%&*$ #%&/$ 1 2 1 x[n] = (− )n u[n]. 2 #%&0$ #%&7$ # $ ! α2 1 − αz −1 1 − α(z −1 − α) − α2 1 − α2 = = −α + z −1 − α z −1 − α z −1 − α 2 −1 1−α 1 −α (1 − α2 ) = −α + , |z| > | | = −α − −1 −1 −1 −1 −α(1 − α z ) 1−α z α X(z) = #%&%$ x[n] = −αδ[n] − α−1 (1 − α2 )α−n u[n] = −αδ[n] − α−(n+1) (1 − α2 )u[n]. #%&A$ 7 Z Z ! #$ (1 − z −1 )2 . (1 − 12 z −1 ) #%'.$ (z − 1)2 . (z − 12 ) #%'&$ (z − 14 )5 . (z − 12 )6 #%''$ (z − 14 )6 . (z − 12 )5 #%'($ #$ #$ #$ ) 5 x[n] 4 X(z) = ∞n=0 x[n] z −n <5 z 4 ! X(z) z = ∞4 z = ∞ lim X(z) = ∞. #%'*$ (1 − z −1 )2 1 − 2z −1 + z −2 1 − 2z + z 2 = lim = 1. = lim z→∞ (1 − 1 z −1 ) z→∞ z→∞ 1 − 12 z −1 z 2 − 12 z 2 #%'/$ z→∞ # $ ; 4 lim #$ 2 4 #$ ; 4 lim (z − 1)2 = ∞. z→∞ (z − 1 ) 2 #%'0$ (z − 14 )5 = 0. z→∞ (z − 1 )6 2 #%'7$ (z − 14 )6 = ∞. z→∞ (z − 1 )5 2 #%'%$ lim #$ 2 4 lim % ! Z - # $#$ - #$ # $ 2 1 − 13 z −1 X(z) = 1 + 13 z −1 #%'A$ x[n] 9 #$ ; X(z) = x[n] 3 z − − 18 z −1 1 4 #$ 2 X(z) = ln(1 − 4z), #$ X(z) = ) 1 1 − 13 z −3 , #%(.$ 1 |z| < . 4 #%(&$ |z| > 3−1/3 . #%('$ # $ " & 13 z −1 & C 13 z −1 & 13 z −1 & 23 z −1 C 29 z −2 23 z −1 C 23 z −1 C 29 z −2 C 29 z −2 29 z −2 272 z −3 1 1 x[n] = δ[n] + 2(− )n u[n − 1] = 2(− )n u[n] − δ[n]. 3 3 #%(($ #$ 3 3 3z −1 = = z − 14 − 18 z −1 z(1 − 14 z −1 − 18 z −2 ) (1 − 12 z −1 )(1 + 14 z −1 ) 4 4 . = 1 −1 − 1 − 2z 1 + 14 z −1 X(z) = #%(*$ A <; &?' &?* ; x[n] <5 x[n] 4 ROC1 |z| > 1 1 x[n] = 4( )n u[n] − 4(− )n u[n]. 2 4 #$ > Taylor ln(1 + x) x[n] = B #%(/$ |x| ≤ 1 1 4 ∞ −1 i (4z) (4z)−l = − = i l i=1 l=−∞ X(z) = ln(1 − 4z), 1 2 1 |z| < 1 −n 4 u[−n − 1]. n #%(0$ #%(7$ #$ 3 4 ! & & 13 z −3 & C 13 z −3 & C 13 z −3 C 19 z −6 C 13 z −3 13 z −3 C 19 z −6 C 19 z −6 19 z −6 C 271 z −9 ; ⎧ ⎨ ( 1 )n/3 n = 0, 3, 6, 9, . . . 3 x[n] = ⎩ 0 . #%(%$ + - %/ Z 4 X(z)4 x[n] Y (z)4 y[n] = x[−n + 3] Y (z) ) 5 X(z) = (z 2 z , − z + 12 )(z + 34 ) 3 |z| > . 4 D y[n] = x[−n + 3] = x[−(n − 3)] #%(A$ #%*.$ &. Im{z} - %/1 2 Re{z} − 21 1 2 + + − 34 + 1 2 <5 %70 x[−n] ( −n4 Y (z) = z −3 X(z −1 ) = = z −3 z −1 (z −2 − z −1 + 12 )(z −1 + 34 ) 8 3 z (2 − 2z + z 2 ) ( 43 + z) . #%*&$ ; z = 04 z = − 43 1 ± j 4 ; x[n] 2>4 x[−n+3] 4 ROC1 |z| < 43