5
PROPIEDADES DE
LAS SECCIONES
5.1
GENERALIDADES
Ademas de la resistencia de la madera, caracterizada por los esfuerzos unitarios admisibles, el comportamiento de un miembro estructural tambien depende de las dimensiones y la forma de su seccion transversal. Estos dos
factores se consideran dentro de las propiedades de la seccion; son independientes del material del cual esta hecho el miembro. En este capitulo se estudia la defini cion y naturaleza de algun as de estas propiedades como fundamen to para su aplicacion posterior en el disefio de miembros estructurales.
5.2
CENTROIDES
El eentro de gravedad de un solido es un punto imaginario en el cual se considera que todo su peso esta concentrado 0 el punto a traves del cual pas a la resultante de su peso. El punto en un area plana que corresponde al centro de
gravedad de una placa muy delgada que tiene las mismas area y forma se conoce como el eenll'oide del area.
35
36
PROPIEDADES DE LAS SECCIONES
b
d
d/2
(a)
( b)
Figura 5.1
Cuando una viga se flexiona debido a una carga aplicada, las fibras por encima de un cierto plano en la viga trabajan en compresion y aquellas por abajo
de este plano, a tension. Este plano se conoce como la superficie neutra . La interseccion de la superficie neutra y la seccion transversal de la viga se conoce
como el eje neutro. EI eje neutro pasa por el centroide de la seccion; por ella es
importante que se conozca la posicion del centroide.
La posicion del centroide en secciones simetricas se determina facilmente.
Si la seccion posee un eje de simetrfa, obviamente el centroide estara sobre
ese eje; si hay dos ejes de simetrfa, el centroide se ubicara en su punto de interseccion; por ejemplo, la seccion transversal de la viga rectangular que se
muestra en la figura S.la tiene su centroide en su centro geometrico, el punto
de interseccion de las diagonales. EI centro ide de una seccion transversal
circular se encuentra en su centro (figura 5.1b).
Con respecto a la notacion dimensional, en generalla letra b representa el
ancho de la cara del miembro sobre el que se aplica la carga. La letra d representa el peralte 0 la altura de la cara de la viga paralela a la direccion de la Jfnea de accion de la carga. Algunas veces, el peraite se representa con la letra
h, pero se sigue la practica mas general del dise no estructural en la que d denota el peralte de la seccion transversal de una viga.
5.3
MOMENTO DE INERCIA
En la figura S.2n se ilustra una seccion rectangular de ancho h y peralte d con
el eje horizontal X-X que pasa por su centroide a una distancia c = d/2 a partir
de la cara superior. En la seccion, a representa un area infinitamente pequena
a una distanciaz del ejeXx. Si se multiplica esta area infinitesimal por el cuadrado de su distancia al eje, se obtiene la cantidad (a x ZZ). EI area completa
de la seccion esta constituida por un numero infinito de estas pequenas areas
elementales a diferentes distancias por arriba y por abajo del ejeX-x. Si se usa
la letra griega L para indicar la suma de un numero infinito, se escribe Laz z, 10
MOMENTO DE INERCIA
37
b
X
(a)
d
x
x
( b)
x
(c)
Figura 5.2
que significa la sum a de todas las areas infinitamente pequenas (de las que
esta compuesta la seccion), multiplicadas por el cuadrado de sus distancias
del ejeX-x. Esta cantidad se conoce como momenta de inercia de la seccion y
se denota por la letra l. Mas especfficamente, I x.x = Laz 2 es el mom enta de
inercia con respecto al eje marcado como X-x.
Entonces, el momenta de inercia se defi ne como la suma de los productos
que se obtienen al multiplicar todas las areas infinitamente pequeiias par el cuadrado de sus distancias a un eje. Las dimensiones lineales de las secciones
transversales de los miembros estructurales se dan en pulgadas y, debido a
que el momento de inercia es un area multiplicada por e l cuadrado de una distancia, se expresa en pulgadas a la cuarta potencia, es decir, pult. La deduccion de formulas para calcular los momentos de inercia de diferentes formas
geometricas se logra muy facilmente mediante el calculo. La obtencion de
estas formulas esta fuera del alcance de este libro, pero aquf se ilustra la aplicacion de dos de ellas.
Rectimgulos
Considerese el rectangulo mostrado en la figura 5.2b. Su ancho es b y su peralte esd. Los dos ejes principales sonX-X y Y-Y, y ambos pasan por el centroide
de la secci6n. Se puede demostrar que el momenta de inercia de una seccion
rectangular con respecto a un eje que pasa por el centroide y es paralelo a la
base es Ix_x = bd 3/12. Con respecto al eje vertical, la expresion serfa I y_y =
db 3/ 12 • Sin embargo, en el diseno de vigas y tablones de madera, se acostumbra
trabajar solame nte con Ix_x y co nsiderar a b como la cara superior (sometida a
carga) en la f6rmula.
EjempLo . Calcule el momento de inercia de la seccion transversal de un a viga
de 6 x 12 (dimensiones efectivas de 5.5 x 11.5 pulgadas [140 x 290 mm]) con
respecto a un eje horizontal que pasa por el ce ntroide y es paralelo allado mas
corto.
Soluci6n: con respecto a la figura 5.2h , e l ancho b
peralte d = 11.5 pulgadas [290 mml . En tonccs,
= 5.5 pulgadas [140 mml y el
TABLA 5.1
Propiedades de la madera estructural con dimensiones efectivas estandar
(S4S)
.' b
-' fl -}
Dimensiones
nominales
b (pulgadas) d
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
Dimensiones
estand ares
efectivas
(S4S)
b (pulgadas) d
_' b
1 Lt·
,. I-
E~; ~id
Area
de la
seccion
A
Momento
de
inercia
Modulo
de la
seccion
S
Peso
aproxi·
mado'
1-112
1-1/2
1-1/2
1-1/2
1-1/2
1-1/2
1-1/2
1-1/2
x
x
x
x
x
x
x
x
2-1/2
3-1/2
4-1/2
4-1/2
7-1/4
9-1/4
11-1/4
13-1/4
3.750
5 .250
6.750
8.250
10.875
13.875
16.875
19.875
1.953
5.359
11 .391
20 .797
47.635
98.932
177.979
290.775
1.563
3.063
5.063
7.563
13.141
21.391
31.641
43 .891
0.911
1.276
1.641
2.005
2.643
3.372
4.102
4.831
12
14
16
2-1 /2
2-1/2
2-112
2-1/2
2-112
2-1/2
2-1/2
2-1/2
2-1/2
2-1/2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3/4
1-112
3-112
4-112
5-112
7-1/4
9-114
11-114
13-1/4
15-1/4
1.875
3.750
8 .750
1L250
13.750
18 . 125
23.125
28.125
33.125
38 . 125
0.088
0.703
8.932
18.984
34.661
79 .391
164.886
296.631
484.625
738 .870
0 .234
0 .938
5.104
8.438
12.604
21.901
35.651
52.734
73.151
96.901
0.456
0.911
2. 127
2.734
3.342
4 .405
5.621
6 .836
8.051
9 .266
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
I
2
3
4
5
6
8
10
12
14
16
3-1/2
3-1/2
3-1/2
3-1 /2
3-1/2
3-1/2
3-112
3-1/2
3-112
3-112
3-1/2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3/4
1-112
2-1/2
3-112
4-112
5-112
7-1 /4
9-1 /4
11-114
13-114
15-114
2.625
5.250
8.750
12.250
15 .750
19.250
25.375
32.375
39.375
46.375
53.375
0 . 123
0 .984
4 .557
12.505
26 .578
48 .526
111.148
230.840
415.283
678.475
1034.418
0.328
1.313
3.646
7.146
11 .813
17.646
30 .661
49.911
73.828
102.411
135.66
0.638
L276
2.127
2.977
3.828
4 .679
6.168
7.869
9.570
11 .266
12.975
x
x
x
x
2
3
4
5
4-1/2
4-112
4-1/2
4-1 /2
x 1-1/2
x 2-1/2
x 3-112
x 4-112
6.750
11.250
15.750
20.250
L266
5.859
16.078
34.172
1.688
4 .688
9. 188
15 . 188
1.641
2.734
3.828
4.922
3
4
5
6
8
10
12
14
I
2
4
5
6
8
10
• Peso en libras por pie, basado en una densidad promedio de 35 Ib/pie' (560 kg/m3).
Fuente: Compilado de datos del National Design Specification for Wood Construction (Referencia 1), con permiso de los editores, National Forest Products Association.
TABLA 5.1 (Confinuacion)
Dimensiones
nomina les
b (pulgadas) d
x I
6 x 2
6 x 3
6 x
6
Dimensio nes
esta ndares
efectivas
(S4S)
b (pu lgadas) d
Mome nto
de
in ercia
/
M6dulo
del a
secci6 n
S
Peso
a prox imado'
5- 1/ 2 x
3/4
4 . 125
0. 193
0 .516
1.003
1-112
8.250
1.547
2 .063
2.005
5- 1/2
x
x
2- 1/2
13.750
716 1
5.729
3 .342
5- 1/2
x
3-1 /2
19.250
19.65 1
11.229
4.679
5- 1/ 2
4
Area
de la
secci6n
A
6 x 6
5-112 x
5- 1/2
30.250
76 .255
27.729
7.352
6 x
8
5- 1/2 x
7-1 /2
41.250
193.359
5 1.563
10.026
x
x
10
5- 1/2 x
9- 1/2
52 .250
392.963
82.729
12.700
12
5- 1/2 x 11- 112
63 .250
697068
121.229
15 .373
5- 1/2
x
13-1 /2
74 .250
1127.672
167.063
18.047
5- 1/2
x
15- 1/ 2
85 .250
1706.776
220 .229
20.720
6
6
6 x 14
6
x
16
6 x 18
6 x 20
5- 1/2 x 17- 1/2
96.250
2456 .380
280 .729
23.394
5- 1/ 2 x 19- 1/ 2
107.250
3398.484
348 .563
26 .068
x 22
5- 1/2 x 2 1- 1/ 2
11 8.250
45 55 .086
423 .729
28.74 1
129 .250
5948. 191
506 .229
31.415
6
6 x 24
8 x
8 x
8x
8 x
8 x
8 x
8 x
8 x
8x
8 x
8 x
2
5- 1/2
x
7-1 /4
x
3/4
5.43R
0 .255
0 .680
1.322
7- 1/4 x
1- 1/ 2
10 .875
2.039
2 .7 19
2.643
23- 1/2
3
7- 1/4 x
2- 1/ 2
IR.125
9.440
7.552
4.405
4
7 - 1/4 x
3- 1/ 2
25.375
25 .904
14 .803
6 . 168
(,
7- 1/2 x
5- 1/ 2
41.250
103.984
37.8 13
10.026
8
7- 1/ 2 x
7- 1/ 2
56.250
263.672
70.3 13
13 .672
10
7- 1/ 2 x
9- 1/2
7 1.250
53 5 .859
11 2.813
17.3 18
12
7-112 x 11-1 /2
86.250
950 .547
165 .313
20 .964
14
7- 1/ 2 x 13- 1/ 2
101 .250
1537.734
227. 813
24.609
16
7 - 1/2 x 15- 1/2
116 .250
2327.422
300.3 13
28 .255
18
7- 112 x 17- 1/2
131.250
3349.609
382 .8 !3
31.90 I
8 x 20
8 x 22
8 x 24
7- 112 x 19- 1/2
7- 112 x 2 1- 1/ 2
146.250
4634 .297
475 .3 13
35.547
10 x
I
10 x
2
:1
4
6
8
10 x
10 x
10 x
10 x
10 x 10
10
x
161.250
62 11 .484
577.8 13
39. 193
x
23- 112
176.250
811 1.172
690 .3 13
42 .839
9- 1/4 x
9- 1/4 x
9- 1/4 x
3/4
1-1 /2
2-1 /2
6 .938
0.325
0 .867
1.686
13 .875
2 .602
3.469
3 .372
23 . 125
12 .044
9 .635
5.62 1
9- 1/4 x
3-112
32 .375
33 .049
18.885
7.869
9- 1/2 x
5-1 / 2
52 .250
131.7 14
47.896
12 .700
9- 1/2 x
7-1 /2
9- 1/2
71.250
333.984
89 .063
17.318
90 .250
678.755
142 .896
2 1.936
x 11- 1/2
109.250
1204.026
209.396
26 .554
9- 112 x 13- 1/ 2
128 .250
1947.797
288 .563
3 1. 172
7- 1/2
12
10 x 14
9- 112 x
9- 1/2
9- 1/2 x 15- 1/ 2
147.250
2948 .068
380 .396
35 .790
x
17- 1/ 2
166 .250
4242.R36
484 .896
40.40R
9 · 1/2 x 19- 1/ 2
9- 112 x 2 1- 1/2
185 .250
5870 . 109
602 .063
45 .026
10 x 22
204 .250
7867.879
731.896
49 .644
10 x 24
9- 1/ 2 x 23- 1/2
223. 250
10274 . 148
874 .396
54.262
10 x 16
10
x
18
10 x 20
9-1 12
TABLA 5.1
(Continuacion)
Dimensiones
no minales
b (pulgadas) d
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Dimensiones
estandares
efectivas
(545)
b (pulgadas) d
16
18
20
22
24
11 - 1/4
11-1 /4
11 - 1/4
11-1 /4
11 - 1/2
11 -1/2
11 - 1/2
11 - 1/2
11 -1 /2
11-1 12
11 - 1/2
I 1- 112
I I - 1/2
11 - 1/2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
14 x
14 x
14 x
2
3
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
13- 114
13 - 1/4
13- 1/4
13- 1/2
13- 1/2
13- 1/2
13-1 /2
13- 1/2
13- 1/2
13- 1/2
13- 1/2
13 - 112
13-1/2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
15 - 1/4 x
15-1 /4 x
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
2
3
4
6
8
10
12
14
15- 1/2 x
15-1 /2 x
15 - 112 x
3/4
1-1 12
2-1 12
3-1 12
5-112
7- 1/2
9- 112
11 - 1/2
13- 1/2
15- 1/2
17- 1/2
19- 1/2
2 1- 1/2
23- 1/2
1- 1/2
2- 112
3- 112
5-1 12
7-1 12
9- 112
11 - 1/2
13-1 /2
15-1 12
17- 1/2
19-1 /2
21 - 1/2
23-1 /2
2- 112
3-1 12
5-1 12
7-1 12
9- 112
15 - 1/2 x 11 - 112
15-1 /2
15-1/2
15 - 1/2
15- 112
15 - 1/2
15- 1/2
x
x
x
x
x
x
13-1 /2
15-1 /2
17-1 /2
19- 1/2
21-1 /2
23 - 1/2
Area
dela
seccio n
A
Momento
de
ine rcia
8.438
16.875
28. 125
39.375
63 .250
0 .396
3. 164
14 .648
40. 195
159.443
404 .297
Modul o
de la
seccio n
S
1.055
4.2 19
11 .7 19
22.969
57.979
Peso
aproximado'
2.051
4. 102
6.836
9.570
15.373
20.964
86250
109 .250
132.250
155 .250
178.250
20 1.250
224 .250
247.250
270 .250
821.651
1457.505
2357.859
3568. 713
5136.066
7 105 .922
9524 .273
12437. 129
IOU 13
172.979
253.479
349 .3 13
460.479
586 .979
728 .8 13
885 .979
1058.479
26.554
32. 144
37. 734
43 .3 25
48 .915
54.505
60 .095
65 .6X6
19 .875
33. 125
46 .375
74.250
10 1.250
128 .250
155 .250
182.250
209.250
236 .250
263 .250
290 .250
3 17.250
3.727
17.253
47.34
187. 172
474 .609
964 .547
1710.984
2767.922
4 189 .359
6029 .297
8341 .734
11180 .672
14600 . 109
4.969
13 .802
27052
68063
126.563
203.063
297.563
410 .063
540 .563
689 .063
855 .563
1040063
1242.563
4.83 1
8.051
11 .266
18.047
24.609
3 1.172
37. 734
44 .297
50 .X59
57.422
63.984
70 .547
77 109
38. 125
53 .375
X5 .250
116 .250
147.250
17H.250
209 .250
240 .250
271.250
302 .250
33 3250
364 .250
19.857
54.487
2 14.901
544 .922
I 107.443
1964.463
31779X4
4810004
6922 .523
9577547
12837.066
16763 .086
15 .885
31.135
78 . 146
145 .313
233 . 146
341.646
470 .8 13
620.646
791 . 146
984 .3 13
1194 . 146
1426 .646
9.267
12 .975
20 .720
28 .255
35.790
43 .325
50 .859
5X .394
65 .929
73.464
80 .998
88.533
TABLA 5.1 (Continuacion)
Dime nsiones
nomin ales
b (pulgadas) d
18
18
18
18
18
18
18
18
18
18
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
6
8
\0
12
14
16
18
20
22
24
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
22 X 6
22 X 8
22 X 10
22 X 12
22 X 14
22 X 16
22 X 18
22 X 20
22 X 22
22 X 24
24
24
24
24
24
24
24
24
24
24
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
Dimensiones
esta nd ares
efectivas
(S4S)
b (pulgadas) d
17-1 /2 x
17-1 /2 X
5- 112
7-1 12
9-1/2
Area
dela
seccion
A
Momento
de
in e rcia
I
Modulo
de la
secci on
S
Peso
aproximado·
96 .250
131.250
166.250
201.250
236.250
271.250
306.250
341.250
376.250
411.250
242 .630
615.234
1250.338
2217.943
3588.047
5430 .648
7815.754
10813 .359
14493.461
18926.066
88 .229
164.063
263 .229
385 .729
531.563
700.729
893.229
1109063
1348 .229
16\0.729
23 .394
31 .901
40 .408
48 .915
57.422
65 .929
74.436
82.943
91.450
99.957
\07.250
146.250
185 .250
224.250
263.250
302.250
341.250
380.250
419.250
458.250
270.359
685.547
1393 .234
2471.422
3998 . 109
6051.297
8708 .984
12049. 172
16149.859
21089.047
98 .313
182 .8 13
293 .313
429 .8 13
592.313
780.813
995 .313
1235 .813
1502.313
1794.813
26 .068
35 .547
45 .026
54 .505
63 .984
73.464
82 .943
92.422
101.901
111.380
21-1 /2 X 21-1 /2
21-1 /2 x 23-1 /2
118.250
161 .250
204.250
247.250
290.250
333 .250
376.250
419 .250
462 .250
505.250
298 .088
755 .859
1536.130
2724.901
4408.172
6671. 941
9602.211
13284 .984
17806 .254
23252.023
108 .396
201.563
323 .396
473 .896
653 .063
860 .896
1097.396
1362 .563
1656.396
1978 .896
28.741
39.193
49 .644
60.095
70 .547
80 .998
91.450
101.901
112 .352
122.804
23-1 /2 X 5-1 12
23-1 /2 X 7-1 12
23-1 /2 X 9-1 12
23-1 /2 X 11-112
23 - 1/2 X 13-112
23-1 /2 X 15-112
23-1 /2 X 17- 1/2
23-1 /2 X 19-112
23 - 1/2 X 21-1 /2
23-112 X 23-1 /2
129.250
176 .250
223.250
270 .250
317.250
364.250
411.250
458 .250
505.250
552 .250
325.818
826. 172
1679 .026
2978.380
4818.234
7292 .586
10495.441
14520.797
19462 .648
25415004
118.479
220.313
353.479
517.979
713 .813
940 .979
1199.479
1489 .313
1810.479
2162 .979
31.415
42 .839
54 .262
65 .686
77. 109
88 .533
99 .957
111.380
122.804
134 .227
17-112 X
17-1 /2 X 11-112
17-1 /2 X 13-1 12
17-1 /2 X 15- 1/2
17-1 12 X 17-1 /2
17- 1/2 X 19-1 /2
17-1 /2 X 21-112
17-112 X 23- 1/2
19-1 /2 X
19- 1/2 X
19-1 12 X
19- 1/2
19- 1/2
19-1 /2
19-1 /2
19-1 /2
19-1 /2
19-1 /2
X
X
5- 112
7-1 12
9- 1/2
11 - 112
13-1 12
X 15-1 /2
X
17-112
X 19-1 /2
X
21-112
X 23-1 /2
21-1 /2 X
5- 112
21-112
X
7- 112
21-112 X
9-1 /2
21-112
X 11 - 1/2
21-112 X 13-1 /2
21-1 /2 X 15-112
21-1 /2 X 17- 1/2
21-112
X
19-112
42
PROPIEDADES DE LAS SECCIONES
Ix _x
bd
3
= 12 =
(55) (ll .S?
12
= 697 pulg 4 [285 X
10' mm
4
]
En la tabla 5.1 se muestra el momento de inercia de varias dimensiones estandares efectivas para madera estructural y, de este modo, no es necesario
resolver esta formula. En relacion con la tabla, se debe empezar por la lfnea
con la dimension nominal 6 x 12 y leer 697.068 en la cuarta columna. Aunque los val ores que se dan en la tabla tienen solo tres cifras decimales, por 10
general con los primeros tres dfgitos se tiene toda la precision necesaria para
la mayorfa de los calculos estructurales.
Si esta viga de 6 x 12 se usa con ellado de 12 pulgadas en sentido horizontal,!x_x se ca1cula mediante b = 11.5 Yd = 5.5, y se obtiene el valor dado en la
tabla para el tamano nominal de 12 x 6. EI diagrama de referencia en la parte
superior de la tabla indica el uso constante de las dimensiones designadas
comobyd.
Secciones circulares
EI momento de inercia de una seccion transversal circular, como la de un poste 0 el de un pilote de cimentacion, es el mismo con respecto a cualquier eje
que pase por su centroide. La formula para esta condicion es Ix-x = nd 4j64.
Debido a que el ejeX-X en la figura 5.2c puede ser cualquier eje que pase por
su centroide, se acostumbra usar el sfmbolo I IJ. Entonces, si el diametro real
del miemhro es 10 pulgadas r250 mm 1,
I II
5.4
nd 4
= 64 =
3.1416 (lot
64
= 491
4
pulg [192 x 10" mm
4
]
TRANSFERENCIA DE MOMENTOS DE INERCIA
A EJES PARALELOS
En el diseno de vigas compuestas se necesita determinar el momento de inercia de la seccion transversal total. En la figura 5.3a se muestra un tipo de seccion transversal para elementos compuestos de esta c1ase. Para lograr esto, se
deben transferir los momentos de inercia de un eje a otro, mediante la ecuaci6n de transferencia de ejes, algunas veces llamadaf6rmula de transferencia 0
f6rmula de ejes paralelos. Se Ie define aS1: el momenta de inercia de una seccion con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pas a por su propio centroide es igual al momenta de inercia de la seccion con respecto a su propio
eje de gravedad (centroidal), mas su area multiplicada por el cuadrado de la
distancia perpendicular entre los dos ejes. Su expresion matematica es:
I
= I II + AZ2
TRANSFERENCIA DE MOMENTOS DE INERCIA A EJES PARALELOS
43
En esta formula
I
10
=
=
A
z
=
=
momento de inercia de la seccion con respecto al eje dado,
momento de inercia de la seccion con respecto a su propio eje de gravedad (centroidal) paralelo al eje dado,
area de la seccion,
distancia entre los dos ejes paralelos.
Ejemp[o. Una viga compuesta del tipo que se muestra en la figura 5.3a tiene
un peralte total de 32 pulgadas (812 mm) y patines que constan de dos elementos de madera de 8 x 6 (190 x 140 mm) . Con la formula de transferencia,
calcule el momento de inercia de los elementos de madera del patIn con respecto al eje centroidal X-x.
Soluci6n : 1) La figura 5.3b se construye a partir de los datos dados. Por sime-
tria, el cje centroidal se eneuentra en la mitad del peralte, a 16 pulgadas (406
mm), desde la cara superior.
2) EI eje de gravedad de cada pieza de 8 x 6 se ubica en su centro, con
z = 16 - 2.75 = 13.25 pulgadas (336 mm).
3) De la tabla 5.1,10 para una picza de 8 x 6 cs 104 pulg4 (43.45 X 106 mm 4)
y su area esA = 41.25 pulg 2 (26.6 x 103 mm 2 )
4) AI sustituir en la formula de transferencia, el momento de inercia de una
de las piczas de 8 x 6 es
Ix
= III + AZ2 = 104 + (41.25 x
= 7346 pulg4 (3 x 10'1 mm4)
13.252 )
5) EI momento de inercia del patIn inferior tam bien es 7 346 pulg4, por 10
que el Ix total para ambas piezas es igual a 2 x 7346 = 14692 pulg 4 •
i 155"
, I -+-
Patir, superior
Alma de madera
~--=~ contrachapada
13.25"
X
Patin inferior
-
II
II
II
II
II
II
II
II
11II
II
II
II
II
:kJ1:
16"
X
32"
l~ J _ _ _ _ _~
( b)
(a )
Figura 5 .3
44
5.5
PROPIEDADES DE LAS SECCIONES
M6DULO DE LA SECCI6N
Una de las propiedades de las secciones que utiliza el ingeniero estructurista
se conoce como m6duLo de La secci6n. Su uso en el diseno de vigas se explica
posteriormente (capftulos 6 a 9); en este momento, solo es necesario saber
que si I es el momenta de inercia de una seccion con respecto a un eje que
pas a por el centroide y c es La distancia desde La orilla mas aLejada de La secci6n
hasta eL mismo eje, el modulo de la seccion es igual a lie. La letra Sse usa para
denotar el modulo de la seccion. Debido a que I est a en pulgadas a la cuarta
potencia (pulgt) y c es una dimension lineal en pulgadas, el modulo de la seccion S = lie esta en pulgadas a la tercera potencia (pulg 3).
Para la seccion transversal de la viga rectangular que se muestra en la figura 5.2a, b es el ancho de la seccion y del peralte. La distancia desde la orilla
mas alejada hasta el eje x-x es c = d/2. Se sabe que I x.x para la seccion es
bd 3/12. Por 10 tanto, el modulo de la seccion es
I bd 3 d bd 3 2
bd 2
S=-=-.;- - = - x - obien S = c
12
2
12 d
6
Rara vez es necesario resolver esta formula porque se dispone de extensas tabias que proporcionan el modulo de la seccion para diversas formas estructurales (vease la tabla 5.1.)
Ejemplo. Calcule el modulo de la seccion de una viga de 8 x 10 con respecto a
un eje que pasa por el centroide y es paralelo allado mas corto.
Solucion : al consul tar la tabla 5.1, se encuentra que las dimensiones efectivas de este miembro son 7.5 por 9.5 pulgadas. El modulo de la seccion se encuentra en la cuarta columna como 112.8 pulg3. Al verificar este valor,
bd 2
6
S =-
5.6
=
7.5 x 9.5 x 9.5
6
= 112.8 pulg
3
RADIO DE GIRO
Esta propiedad de la seccion transversal de un miembro estructural esta relacionada con el diseno de miembros suje tos a compresion. Depende de las dimensiones y de la forma geometrica de la seccion y es un fndice de la rigidez
de la seccion cuando se usa como columna 0 codal. El radio de giro se define
matematicamente como r = .J 1 / A, donde I es el momenta de inercia yAel
area de la seccion. Se expresa en pulgadas porque el momento de inercia esta
en pulgadas a la cuarta potencia y el area de la seccion transversal esta en pulgadas cuadradas. El radio de giro no se usa tan ampliamente en el diseno de
madera estructural como en el diseno de acero estructural. Para las secciones
PROPIEDADES DE LAS FORMAS GEOMETRICAS COMUNES
45
rectangulares quc se emplean comunmente en las co lumnas de madera, es
mas conveniente substituir el radio de giro por la dimension lateral minima en
los procedimientos de disefio de columnas.
(Nola: use dim e nsiones efeetivas esUi ndar en la solucion de los problem as
siguientes, a menos que se especifique otra eosa.)
Problema 5.6.A
Verifique el caleulo del va lor listado en la tabla 5.1 para obtener e l mom e nta
de inerci a de un tabl on de 12 x 4 con respecto a un e ie horizontal que pasa
por el ce ntroide, paralelo allado mas largo.
Problema 5.6.B
Si se hace girar al tablon del problema 5.6A alrededor de su eje longitudin a l
(para que quede como uno de 4 x 12), i.cual es el momenta de inercia con respecto al eje centroidal paralelo allado mas corto?
Problema 5.6.C
Caleu le el momento de inercia de un poste con un di a metro real de 8 pulgadas, con respecto al eje centroidal de su seccion transversal circu lar. i.Es esto
mayor 0 menor que ellx .x de un pie derecho de 8 x 8 nominal?
Problema 5.6.0
Si los eleme ntos de madera del patin en una viga compuesta de madera y madera contrachapada (figura 5.3b), constan de piezas de 6 x 4 con los lados de
6 pulgadas horizontales y si la viga tiene un peralte total de 24 pulgadas, determine el momenta de inercia de los e lementos del patin con respecto al eje
centroida l X-X de la seccion compuesta.
Problema 5.6.E
Verifique pa r med io de l ca lcul o el va lor li stado en la tabl a 5. 1 para obten er e l
mod ulo de la seccion de un miembro de 10 x 8 con respecto a un e ie que pasa
por el centroide , paralelo al lado mas largo.
Problema 5.6.F
Obtenga e l radio de giro del poste deseri to e n el prob lema S.6.C.
5.7
PROPIEDADES DE LAS FORMAS
GEOMETRICAS COMUNES
Las figuras que co nstan de secciones transve rsa les de madera estandar 0 produ ctos manufacturad os, estan identifi cadas y sus propiedades estan tabul adas
46
PROPIEDADES DE LAS SECCIONES
en diversos textos de consulta sobre disefio. Cuando se producen figuras especiales cortando productos estandar 0 al ensamblar secciones con piezas individuales, se deben determinar sus propiedades por medio del caIculo, como se
explica en este capitulo. Para este fin, es necesario usar frecuentemente las
propiedades de figuras geometricas simples, como el cfrculo, rectangulo y
triangulo. En la figura 5.4 se dan las propiedades de algunas figuras geometricas comunes.
'fa}
,l
b d3
1=,
12
b d2
S, =6-
,l
b
J01
A = bd
,l
d
r, =112
c = d/2
1,=
64
.". d 3
S =-
'
d
2
S = --
,l
b
l
32
'
3
r, =
J3
A =
-bd
2
d
TIP
l
A
d
= bd
I, =
s,
- b, d,
bd'- b,d,'
12
I, =
I
c
= momento de inercia
Figura 5.4
4
(d 4 _ d,4)
64
,,(d 4 - d,4)
d
=-
2
S, = ....::....c:..:-.--=.:....:
32 d
r. =
2
= area
w(d 2 _d,2)
1T
6d
'1
.JIi3
= ..::....:.=---=..l.'-"'
bd 3 - b,d,'
S, =
24
d
r, =
A
c =~
A
=
'1
c =2d
3
'4
bd'
36
bd 2
I, =
l
b
,
r.:
.,
3
b d2
r~l'
,. d2
4
". d 4
A=-
c =-
b
b d'
1 =--
c =b
dJB1
l
A = bd
S = mOdulo de Ia secci6n =
i-
~
4
If
r = radio de giro =
Propiedades de figuras geometricas comunes.