Nguyễn Thành Long
Khoa Toán-tin học,
Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh
PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ
TP. Hồ Chí Minh 2020
Mục lục
Mục lục
1
1 Phương trình toán lý
1.1 Các khái niệm và ví dụ mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, các tính chất về nghiệm của chúng .
1.3 Phân loại các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 theo hai biến độc
lập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Sự thành lập các bài toán cơ bản cho các phương trình đạo hàm riêng tuyến
tính cấp 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Bài tập chương 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
4
6
8
9
2 Phương trình hyperbolic
2.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Nghiệm của bài toán Cauchy (bài toán giá trị ban đầu) cho một dây dài vô hạn.
2.3 Nghiệm của bài toán Cauchy cho sợi dây vô hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Nghiên cứu công thức D’Alembert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Bài toán đặt chỉnh. Ví dụ của Hadamard về bài toán không chỉnh. . . . . . . .
2.6 Ví dụ của Hadamard về bài toán không chỉnh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Dao động tự do của một sợi dây cố định tại hai đầu. Phương pháp Fourier. . .
2.7.1 Tóm tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Dao động cưỡng bức của dây cố định ở hai đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Tóm tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Dao động cưỡng bức của một sợi dây có hai đầu không cố định. . . . . . . . . .
2.9.1 Tóm tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Sơ đồ tổng quát của phương pháp Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11 Tính duy nhất nghiệm của bài toán hỗn hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12 Dao động của một màng tròn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13 Áp dụng phép biến đổi Laplace để giải bài toán hỗn hợp. . . . . . . . . . . . . . .
2.14 Bài tập chương 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
10
11
13
14
17
18
20
23
26
28
30
31
32
38
39
42
45
3 Phương trình parabolic
3.1 Phương trình nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Bài toán Cauchy cho phương trình nhiệt . . .
3.3 Truyền nhiệt trong một thanh hữu hạn . . . .
3.4 Phương pháp Fourier cho phương trình nhiệt.
3.5 Bài tập chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Tóm tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
46
46
47
51
53
58
59
59
4 Phương trình elliptic
4.1 Định nghĩa. Thành lập bài toán biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Nghiệm cơ bản của phương trình Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Công thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
63
64
65
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
Chương 0. MỤC LỤC
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
Công thức Green tích phân cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tính chất của hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phương pháp Fourier tìm nghiệm của bài toán Dirichlet trong hình tròn . . . .
Tích phân Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phương pháp Fourier tìm nghiệm của bài toán Dirichlet cho phương trình
Laplace trong hình chữ nhật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.1 Tóm tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 Bài toán Dirichlet cho phương trình Poisson trong hình chữ nhật . . . . . . . .
4.10.1 Tóm tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10.2 Tóm tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11 Bài tập chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Ôn
5.1
5.2
5.3
tập về phương trình toán
Phương trình sóng . . . .
Phương trình nhiệt . . .
Bài toán Dirichlet không
nhật . . . . . . . . . . . . .
5.4 Bài toán Dirichlet thuần
5.5 Bài toán Dirichlet không
nhật . . . . . . . . . . . . .
66
69
71
74
75
78
78
79
81
81
84
lý
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
thuần nhất cho phương trình Laplace trong hình chữ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
nhất cho phương trình Poisson trong hình chữ nhật .
thuần nhất cho phương trình Poisson trong hình chữ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
85
88
ví dụ ôn tập
Ví dụ về phương trình sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ví dụ về phương trình nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ví dụ về phương trình Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
92
94
96
7 Bổ túc về phương trình thường tuyến tính cấp hai
7.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất . . . . . . . . . . . . . .
7.1.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất có hệ số hằng . . . .
7.1.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất có hệ số hàm . . . . .
7.1.5 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất . . . . . . . . .
7.1.6 Phương pháp biến thiên hằng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.7 Phương pháp hệ số bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Phương trình vi phân Euler cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Phương trình vi phân Euler thuần nhất cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3 Phương trình vi phân Euler không thuần nhất cấp 2 . . . . . . . . . . . .
7.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình vi phân
tuyến tính cấp 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Bổ túc về hàm véctơ, ma trận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
100
100
101
104
106
109
110
113
118
118
118
120
Tài liệu tham khảo
129
6 Các
6.1
6.2
6.3
90
90
91
123
124
124
Chương 5
Ôn tập về phương trình toán lý
5.1
Phương trình sóng
8
u
a2 uxx = 0; 0 < x < L; t > 0;
>
>
< tt
u(0; t) = u(L; t) = 0; t 0;
Bài toán (P1 )
>
>
:
u(x; 0) = u0 (x); ut (x; 0) = u1 (x); 0
Nghiệm của bài toán (P1 ): u(x; t) =
An =
2
L
Bn =
Z
2
1
X
An cos
n=1
L
u0 (x) sin
0
Z
x
L:
n at
n at
+ Bn sin
L
L
n x
dx;
L
L
u1 (x) sin
n x
dx; n = 1; 2;
L
:
n a 0
8
u
a2 uxx = f (x; t); 0 < x < L; t > 0;
>
>
< tt
u(0; t) = u(L; t) = 0; t 0;
Bài toán (P2 )
>
>
:
u(x; 0) = u0 (x); ut (x; 0) = u1 (x); 0 x
Nghiệm của bài toán (P2 ): u(x; t) =
1
X
Tn (t) sin
n=1
L:
n x
; trong đó
L
8
2
< T 00 (t) + n a Tn (t) = fn (t);
n
L
:
Tn (0) = n ; Tn0 (0) = n ;
Z
2 L
n x
fn (t) =
dx;
f (x; t) sin
L 0
L
Z
Z
2 L
n x
2 L
n x
=
u
(x)
sin
dx;
=
u1 (x) sin
dx;
0
n
n
L 0
L
L 0
L
Giải ra tìm Tn (t) :
Tn (t) =
n at
L
n at
+ n sin
L
n a
L
Z t
L
n a
+
fn (s) sin
(t s ds; 8n = 1; 2;
n a 0
L
n cos
85
:
sin
n x
;
L
86
Chương 5. Ôn tập về phương trình toán lý
8
u
a2 uxx = f (x; t); 0 < x < L; t > 0;
>
>
< tt
u(0; t) = g0 (t); u(L; t) = gL (t); t 0;
Bài toán (P3 )
>
>
:
u(x; 0) = u0 (x); ut (x; 0) = u1 (x); 0 x
Nghiệm của bài toán (P3 ): u(x; t) = !(x; t) + v(x; t);
x
x
!(x; t) = gL (t) + 1
g0 (t);
L
L
8
v
a2 vxx = f1 (x; t); 0 < x < L; t > 0;
>
>
< tt
v(0; t) = v(L; t) = 0; t 0;
>
>
:
v(x; 0) = v0 (x); vt (x; 0) = v1 (x); 0 x L;
x 00
g (t)
f1 (x; t) = f (x; t) ! tt (x; t) = f (x; t)
L L
x
v0 (x) = u0 (x) !(x; 0) = u0 (x)
gL (0)
1
L
x 0
v1 (x) = u1 (x) ! t (x; 0) = u1 (x)
g (0)
1
L L
L:
trong đó
x 00
g (t);
L 0
1
x
g0 (0);
L
x 0
g (0):
L 0
Nếu thay điều kiện biên u(0; t) = u(L; t) = 0; t
0; bởi ux (0; t) = u(L; t) = 0; t
0; khi đó hàm
x
n x
n 2
1
; tương ứng với trị riêng
; tương ứng với trị
riêng sin
sẽ thay bởi Xn (x) = cos n
L
L
2 L
2
1
riêng n =
n
:
2 L
8
u
a2 uxx = 0; 0 < x < L; t > 0;
>
>
< tt
ux (0; t) = u(L; t) = 0; t 0;
Bài toán (P1 )
>
>
:
u(x; 0) = u0 (x); ut (x; 0) = u1 (x); 0 x L:
Nghiệm của bài toán (P1 ):
0
u(x; t) =
An =
2
L
Z
1 B
X
B
BAn cos
@
n=1
0
L
u0 (x)cos
|
|
n
p
n
{z
Bn =
2
n
1
2
a
0
L
at
+ Bn sin n
L
|
}
n at
1
2
Xn (x)=cos
Z
1
2
{z
p
u1 (x)cos
|
x
dx;
L
}
p
1
2
{z
at
L
n at
{z
1
2
Xn (x)=cos
p
x
dx; n = 1; 2;
L
}
nx
C
C
C cos
A
} |
n
{z
1
2
Xn (x)=cos
nx
n
1
:
p
x
;
L
}
nx
87
Chương 5. Ôn tập về phương trình toán lý
8
u
a2 uxx = f (x; t); 0 < x < L; t > 0;
>
>
< tt
ux (0; t) = u(L; t) = 0; t 0;
Bài toán (P2 )
>
>
:
u(x; 0) = u0 (x); ut (x; 0) = u1 (x); 0 x
1
X
Nghiệm của bài toán (P2 ): u(x; t) =
Tn (t)cos
n=1
|
n
2
=
L
Z
L
0
u0 (x)cos
|
h
n
{z
1
2
Xn (x)=cos
Giải ra tìm Tn (t) :
Tn (t) =
n cos
+
n
|
p
L
n
1
2
a
1
2
{z
Z
n at
t
p
p
{z
p
nx
nx
xi
dx;
L}
2
=
L
n
Z
L
0
nx
at
+
L
n
}
fn (s) sin
0
x
; trong đó
L
}
1
2
Xn (x)=cos
8
h
a i2
>
1
00 (t) +
>
Tn (t) = fn (t);
T
n
>
n
2
<
|
{z L }
2
na
>
>
>
:
Tn (0) = n ; Tn0 (0) = n ;
Z
h
2 L
xi
f (x; t)cos n 12
dx;
fn (t) =
L 0
L}
|
{z
Xn (x)=cos
n
L:
n
|
u1 (x)cos
|
h
n
{z
Xn (x)=cos
nL
1
2
a
1
2
p
sin
a
(t
L
{z
n a(t
s)
n
|
p
1
2
{z
at
L
n at
L:
Nghiệm của bài toán (P3 ): u(x; t) = !(x; t) + v(x; t); trong đó
!(x; t) = (x L) g0 (t) + gL (t);
8
v
a2 vxx = f1 (x; t); 0 < x < L; t > 0;
>
>
< tt
vx (0; t) = v(L; t) = 0; t 0;
>
>
:
v(x; 0) = v0 (x); vt (x; 0) = v1 (x); 0 x
! tt (x; t) = f (x; t)
v0 (x) = u0 (x)
!(x; 0) = u0 (x)
v1 (x) = u1 (x)
! t (x; 0) = u1 (x)
(x
(x
(x
L;
L) g000 (t)
L) g0 (0)
L) g00 (0)
}
p
gL00 (t);
gL (0);
gL0 (0):
xi
dx;
L}
nx
s) ds; 8n = 1; 2;
}
8
u
a2 uxx = f (x; t); 0 < x < L; t > 0;
>
>
< tt
ux (0; t) = g0 (t); u(L; t) = gL (t); t 0;
Bài toán (P3 )
>
>
:
u(x; 0) = u0 (x); ut (x; 0) = u1 (x); 0 x
f1 (x; t) = f (x; t)
1
2
:
88
Chương 5. Ôn tập về phương trình toán lý
5.2
Phương trình nhiệt
8
u
a2 uxx = 0; 0 < x < L; t > 0;
>
>
< t
u(0; t) = u(L; t) = 0; t 0;
Bài toán (P1 )
>
>
:
u(x; 0) = u0 (x); 0 x L:
n a
1
X
L
Nghiệm của bài toán (P1 ): u(x; t) =
An e
An =
2
L
Z
2
t
n=1
L
u0 (x) sin
0
n x
dx; n = 1; 2;
L
sin
n x
;
L
:
8
u
a2 uxx = f (x; t); 0 < x < L; t > 0;
>
>
< t
u(0; t) = u(L; t) = 0; t 0;
Bài toán (P2 )
>
>
:
u(x; 0) = u0 (x); 0 x L:
Nghiệm của bài toán (P2 ): u(x; t) =
1
X
Tn (t) sin
n=1
n x
; trong đó
L
8
2
< T 0 (t) + n a Tn (t) = fn (t);
n
L
:
Tn (0) = An ;
Z
2 L
n x
fn (t) =
f (x; t) sin
dx;
L 0
L
Z
2 L
n x
An =
u0 (x) sin
dx:
L 0
L
Giải ra tìm Tn (t) :
Tn (t) = An e
n a
L
2
t
+
Z
0
t
fn (s)e
n a
L
2
(t s)
ds; 8n = 1; 2;
:
8
u
a2 uxx = f (x; t); 0 < x < L; t > 0;
>
>
< t
u(0; t) = g0 (t); u(L; t) = gL (t); t 0;
Bài toán (P3 )
>
>
:
u(x; 0) = u0 (x); 0 x L:
Nghiệm của bài toán (P3 ): u(x; t) = !(x; t) + v(x; t); trong đó
x
x
g0 (t);
!(x; t) = gL (t) + 1
L
L
8
v
a2 vxx = f~(x; t); 0 < x < L; t > 0;
>
>
< t
v(0; t) = v(L; t) = 0; t 0;
>
>
:
v(x; 0) = v0 (x); 0 x L;
x 0
x 0
f~(x; t) = f (x; t) ! t (x; t) = f (x; t)
gL (t)
1
g (t);
L
L 0
x
x
v0 (x) = u0 (x) !(x; 0) = u0 (x)
gL (0)
1
g0 (0):
L
L
Nếu thay điều kiện biên u(0; t) = u(L; t) = 0; t
0; bởi ux (0; t) = u(L; t) = 0; t
0; khi đó hàm
n x
n 2
1
x
riêng sin
; tương ứng với trị riêng
sẽ thay bởi Xn (x) = cos n
; tương ứng với trị
L
L
2 L
2
1
riêng n =
n
:
2 L
89
Chương 5. Ôn tập về phương trình toán lý
8
u
a2 uxx = 0; 0 < x < L; t > 0;
>
>
< t
ux (0; t) = u(L; t) = 0; t 0;
Bài toán (P1 )
>
>
:
u(x; 0) = u0 (x); 0 x L:
1
X
An e
u0 (x)Xn (x)dx; n = 1; 2;
:
Nghiệm của bài toán (P1 ): u(x; t) =
2
An =
L
Z
"
n
1
2
!
a
L
#2
t
Xn (x) =
n=1
L
n=1
0
8
u
a2 uxx = f (x; t); 0 < x < L; t > 0;
>
>
< t
ux (0; t) = u(L; t) = 0; t 0;
Bài toán (P2 )
>
>
:
u(x; 0) = u0 (x); 0 x L:
Nghiệm của bài toán (P2 ): u(x; t) =
(
1
X
Tn (t)Xn (x); trong đó
n=1
Tn0 (t)
+
a2
n Tn (t)
= fn (t);
Tn (0) = An ;
Z
2 L
f (x; t)Xn (x)dx;
fn (t) =
L 0
Z
2 L
An =
u0 (x)Xn (x)dx:
L 0
Giải ra tìm Tn (t) :
Tn (t) = An e
a2
nt
+
Z
t
fn (s)e
a2
n (t
s) ds;
0
8n = 1; 2;
:
8
u
a2 uxx = f (x; t); 0 < x < L; t > 0;
>
>
< t
ux (0; t) = g0 (t); u(L; t) = gL (t); t 0;
Bài toán (P3 )
>
>
:
u(x; 0) = u0 (x); 0 x L:
Nghiệm của bài toán (P3 ): u(x; t) = !(x; t) + v(x; t); trong đó
!(x; t) = (x L) g0 (t) + gL (t);
8
v
a2 vxx = f~(x; t); 0 < x < L; t > 0;
>
>
< t
vx (0; t) = v(L; t) = 0; t 0;
>
>
:
v(x; 0) = v0 (x); 0 x L;
f~(x; t) = f (x; t)
v0 (x) = u0 (x)
! t (x; t) = f (x; t)
!(x; 0) = u0 (x)
1
X
(x
(x
L) g00 (t)
L) g0 (0)
gL0 (t);
gL (0):
An e
a2
nt
Xn (x);
90
Chương 5. Ôn tập về phương trình toán lý
5.3
Bài toán Dirichlet không thuần nhất cho phương trình Laplace
trong hình chữ nhật
Bài toán
8
uxx + uyy = 0;
>
>
>
>
>
< u(0; y) = u(a; y) = 0;
>
u(x; b) = 0;
>
>
>
>
:
u(x; 0) = f2 (x);
Nghiệm của bài toán u(x; y) =
2
An =
a
5.4
Z
0
a
f2 (x) sin
(x; y) 2 (0; a)
0
y
b;
0
x
a;
0
x
a:
1
X
An
sh
n b
n=1 sh
a
n x
dx; n = 1; 2;
a
(0; b);
n (b y)
a
sin
n x
;
a
:
Bài toán Dirichlet thuần nhất cho phương trình Poisson trong
hình chữ nhật
8
uxx + uyy = f (x; y);
>
>
>
<
u(x; 0) = u(x; b) = 0;
Bài toán
>
>
>
: u(0; y) = u(a; y) = 0;
Nghiệm của bài toán u(x; y) =
(x; y) 2 (0; a)
0
x
a;
0
y
b:
X fn;m
n;m2N
n;m
fn;m
n;m
sin
(0; b);
n x
m y
sin
;
a
b
n 2 m2
2 ; m; n = 1; 2;
+ 2
;
a2
b
Z Z
4 a b
=
f (x; y)wn;m (x; y)dxdy; m; n = 1; 2;
ab 0 0
=
:
91
Chương 5. Ôn tập về phương trình toán lý
5.5
Bài toán Dirichlet không thuần nhất cho phương trình Poisson
trong hình chữ nhật
Bài toán
8
uxx + uyy = f (x; y);
>
>
>
>
>
< u(0; y) = u(a; y) = 0;
>
u(x; b) = 0;
>
>
>
>
:
u(x; 0) = f2 (x);
(x; y) 2 (0; a)
0
y
b;
0
x
a;
0
x
a:
(0; b);
Nghiệm của bài toán u(x; t) = u1 (x; y) + u2 (x; y); trong đó
u1 (x; y); u2 (x; y); lần lượt là nghiệm của các bài toán
8
uxx + uyy = 0;
(x; y) 2 (0; a) (0; b);
>
>
>
>
>
< u(0; y) = u(a; y) = 0; 0 y b;
và
>
u(x; b) = 0;
>
>
>
>
:
u(x; 0) = f2 (x);
8
u + uyy = f (x; y);
>
>
< xx
u(x; 0) = u(x; b) = 0;
>
>
:
u(0; y) = u(a; y) = 0;
0
x
a;
0
x
a;
(x; y) 2 (0; a)
0
x
a;
0
y
b:
(0; b);
Chương 6
Các ví dụ ôn tập
6.1
Ví dụ về phương trình sóng
Ví dụ 1. Giải bài toán
8
u
uxx = 4t sin3 ( x) ; 0 < x < 1; t > 0;
>
>
< tt
u(0; t) = 2t; u(1; t) = t; t 0;
>
>
:
u(x; 0) = sin (2 x) ; ut (x; 0) = u1 (x); 0 x
2
1:
Giải. Ta có a = L = 1; f (x; t) = 4t sin3 ( x) ; = g0 (t) = 2t; gL (t) = t; u0 (x) = sin (2 x) ; u1 (x) =
x + sin (5 x) : Trước hết, ta đưa bài toán về điều kiện biên thuần nhất bằng cách đặt
!(x; t) =
x
gL (t) + (1
L
Khi đó !(0; t) = 2t; !(1; t) = t; 8t
x
x
)g0 (t) = t + (1
L
1
x)2t = (2
x)t:
0: Ta tìm nghiệm bài toán dưới dạng
u(x; t) = !(x; t) + v(x; t);
uxx = f (x; t) = 4t sin3 ( x) :
sau đó thay vào phương trình utt
(v + !)tt
(v + !)xx = f (x; t);
ta thu được
vtt
vxx = f (x; t)
! tt = f (x; t) = 4t sin3 ( x) :
Các điều kiện đầu
v(x; 0) = u(x; 0)
vt (x; 0) = ut (x; 0)
!(x; 0) = u0 (x)
! t (x; 0) = u1 (x)
!(x; 0) = u0 (x) = sin (2 x)
(2
x) = sin (5 x) = v1 (x):
Như vậy ta tìm hàm v(x; t) là nghiệm của bài toán
8
v
vxx = 4t sin3 ( x) = f (x; t); 0 < x < 1; t > 0;
>
>
< tt
v(0; t) = v(1; t) = 0; t 0;
>
>
:
v(x; 0) = sin (2 x) v0 (x); vt (x; 0) = sin (5 x) = v1 (x); 0
Ta tìm nghiệm v(x; t) bài toán này dưới dạng
v(x; t) =
1
X
Tn (t) sin (n x) ;
n=1
trong đó ta phải tìm Tn (t) như sau:
92
v0 (x);
x
1:
93
Chương 6. Các ví dụ ôn tập
Phương trình vi phân cho Tn (t) :
vtt (x; t) =
vxx (x; t) =
1
X
Tn00 (t) sin (n x) ;
n=1
1
X
(n )2 Tn (t) sin (n x) ;
n=1
vtt
vxx =
1 h
X
n=1
i
Tn00 (t) + (n )2 Tn (t) sin (n x)
= f (x; t) = 4t sin3 ( x) = 3t sin ( x)
1
X
=
fn (t) sin (n x) ;
t sin (3 x)
n=1
8
< 0;
3t;
Tn00 (t) + (n )2 Tn (t) = fn (t) =
:
t;
1 6= n 6= 3;
n = 1;
n = 3:
Các điều kiện đầu cho Tn (t) :
v(x; 0)
1
X
=
Tn (0) sin (n x) = v0 (x) = sin (2 x) =
n=1
vt (x; 0)
=
n sin (n
x) ; 0
x
1
1
X
n sin (n
x) ; 0
x
1
n=1
() Tn (0) =
1
X
1
X
n
0;
1;
=
Tn0 (0) sin (n
n 6= 2;
n = 2;
x) = v1 (x) = sin (5 x) =
n=1
n=1
() Tn0 (0) =
n
=
0;
1;
n 6= 5;
n = 5:
Giải bài toán sau để tìm Tn (t) :
Tn00 (t) + (n )2 Tn (t) = fn (t);
Tn (0) =
n;
Tn0 (0)
n
=
ta thu được
Z
1
sin (n t) +
Tn (t) = n cos (n t) +
n
n
n
(i) n 2 N f1; 2; 3; 5g :
n
=
n
t
fn (s) sin (n (t
s)) ds:
0
= 0; fn (t) = 0;
Tn (t) = 0:
(ii) n = 2 :
2
= 1;
2
= 0; f2 (t) = 0;
T2 (t) =
(iii) n = 5 :
5
= 0;
5
1
=
t) = cos (2 t) :
= 1; f5 (t) = 0;
T5 (t) =
(iv) n = 1 :
2 cos (2
5
5
= 0; f1 (t) = 3t;
Z
1 t
T1 (t) =
f1 (s) sin ( (t
sin (5 t) =
1
sin (5 t) :
5
1
0
s)) ds =
3
Z
0
t
s sin ( (t
s)) ds =
3
J1 :
94
Chương 6. Các ví dụ ôn tập
(v) n = 3 :
=
3
3
T3 (t) =
Tính Jk =
Rt
0
= 0; f3 (t) =
1
3
Z
t;
t
f3 (s) sin (3 (t
s)) ds =
0
s sin (k (t
Z
1
3
t
s sin (3 (t
s)) ds =
0
1
3
J3 :
s)) ds; k = 1; 3:
Z
Jk =
t
s sin (k (s
t)) ds
0
=
s
cos (k (s
k
t))
t
0
Z
t
1
0
cos (k (s
k
sin (k (s t)) t
t
+
k
(k )2
0
t
1
sin (k t)
=
+
k
k
(k )2
=
=
t))
ds
sin (k t)
k
t
:
Vậy
Jk =
1
k
sin (k t)
k
t
:
Do đó,
T1 (t) =
T3 (t) =
3
J1 =
1
3
31
J3 =
t
1 1
3 3
sin ( t)
3
=
sin (3 t)
3
t
t
2
=
sin ( t)
1
9
2
t
;
sin (3 t)
3
:
Công thức nghiệm v(x; t) như sau
v(x; t) =
1
X
Tn (t) sin (n x) = T1 (t) sin ( x) + T2 (t) sin (2 x) + T3 (t) sin (3 x) + T5 (t) sin (5 x)
n=1
=
3
1
9
sin ( t)
t
2
2
t
sin ( x) + cos (2 t) sin (2 x)
sin (3 t)
3
sin (3 x) +
1
sin (5 t) sin (5 x) :
5
Cuối cùng ta có được nghiệm u(x; t) của bài toán
u(x; t) = !(x; t) + v(x; t);
3
= (2 x)t + 2 t
1
9
6.2
2
t
sin ( t)
sin (3 t)
3
sin ( x) + cos (2 t) sin (2 x)
sin (3 x) +
1
sin (5 t) sin (5 x) :
5
Ví dụ về phương trình nhiệt
Ví dụ 1. Giải bài toán
8
x
>
ut uxx = 2 + + 4e t sin3 x; 0 < x < ; t > 0;
>
>
<
u(0; t) = 2t; u( ; t) = 3t; t 0;
>
>
>
:
u(x; 0) = sin (7x) ; 0 x
:
95
Chương 6. Các ví dụ ôn tập
Giải. Ta có a = 1; L = ; f (x; t) = 2 +
x
+ 4e
t sin3 x;
= g0 (t) = 2t; gL (t) = 3t; u0 (x) = sin (7x) :
Trước hết, ta đưa bài toán về điều kiện biên thuần nhất bằng cách đặt
x
gL (t) + (1
L
!(x; t) =
Khi đó !(0; t) = 2t; !( ; t) = 3t; 8t
x
x
)g0 (t) = 3t + (1
L
x
)2t = (2 +
x
)t:
0: Ta tìm nghiệm bài toán dưới dạng
u(x; t) = !(x; t) + v(x; t);
sau đó thay vào phương trình ut
uxx = f (x; t) = 2 +
(v + !)t
x
+ 4e
(v + !)xx = f (x; t) = 2 +
t sin3 x
x
+ 4e
:
t
sin3 x;
ta thu được
vt
vxx = f (x; t)
! t = 4e
t
sin3 x = f~(x; t):
Điều kiện đầu
v(x; 0) = u(x; 0)
!(x; 0) = u0 (x)
!(x; 0) = u0 (x) = sin (7x)
v0 (x):
Như vậy ta tìm hàm v(x; t) là nghiệm của bài toán
8
v
vxx = 4e t sin3 x f~(x; t); 0 < x < ; t > 0;
>
>
< t
v(0; t) = v( ; t) = 0; t 0;
>
>
:
v(x; 0) = sin (7x) v0 (x); 0 x
:
Ta tìm nghiệm v(x; t) bài toán này dưới dạng
v(x; t) =
1
X
Tn (t) sin (nx) ;
n=1
trong đó ta phải tìm Tn (t) như sau:
Phương trình vi phân cho Tn (t) :
vt (x; t) =
vxx (x; t) =
1
X
Tn0 (t) sin (nx) ;
n=1
1
X
n2 Tn (t) sin (nx) ;
n=1
vt
vxx =
1
X
Tn0 (t) + n2 Tn (t) sin (nx)
n=1
= f~(x; t) = 4e t sin3 x = 3e
1
X
=
f~n (t) sin (nx) ;
n=1
Tn0 (t) + n2 Tn (t) = f~n (t) =
Các điều kiện đầu cho Tn (t) :
v(x; 0)
=
1
X
8
<
0;
3e t ;
:
e t;
() Tn (0) = An =
sin x
1
X
n=1
0;
1;
n 6= 7;
n = 7:
e
t
sin (3x)
1 6= n 6= 3;
n = 1;
n = 3:
Tn (0) sin (nx) = v0 (x) = sin (7x) =
n=1
t
An sin (nx) ; 0
x
96
Chương 6. Các ví dụ ôn tập
Giải bài toán sau để tìm Tn (t) :
Tn0 (t) + n2 Tn (t) = f~n (t);
Tn (0) = An ;
ta thu được
Tn (t) = An e
n2 t
+
Z
t
n2 (t s)
fn (s)e
ds:
0
(i) n 2 N f1; 3; 7g : An = 0; f~n (t) = 0;
Tn (t) = 0:
(ii) n = 7 : A7 = 1; f~7 (t) = 0;
72 t
T7 (t) = A7 e
(iii) n = 1 : A1 = 0; f~1 (t) = 3e
Z t
f1 (s)e
T1 (t) =
=e
49t
:
s
(t s)
t;
(t s)
ds = 3
s)
t
e
e
ds = 3te t :
0
0
(iv) n = 3 : A3 = 0; f~3 (t) = e t ;
Z t
2
T3 (t) =
f3 (s)e 3 (t
Z
Z
ds =
0
t
e
s
e
9(t s)
ds =
0
1
e
8
9t
e
t
:
Công thức nghiệm v(x; t) như sau
v(x; t) =
1
X
Tn (t) sin (nx) = T1 (t) sin (x) + T3 (t) sin (3x) + T7 (t) sin (7x)
n=1
= 3te
t
sin x +
1
e
8
9t
e
t
sin (3x) + e
49t
sin (7x)
Cuối cùng ta có được nghiệm u(x; t) của bài toán
u(x; t) = !(x; t) + v(x; t);
1
x
e
= (2 + )t + 3te t sin x +
8
6.3
9t
e
t
sin (3x) + e
49t
sin (7x) :
Ví dụ về phương trình Laplace
Ví dụ 1. Giải bài toán
8
>
> uxx + uyy = 12 sin (5 x) sin(9y); 0 < x < 1; 0 < y < ;
<
u(0; y) = u(1; y) = 0; 0 y
;
>
>
:
u(x; ) = 0; u(x; 0) = x sin ( x) ; 0 x
:
Giải. Ta có nghiệm của bài toán dưới dạng tổng u(x; t) = u1 (x; y) + u2 (x; y); trong đó u1 (x; y);
u2 (x; y); lần lượt là nghiệm của các bài toán
8
u + uyy = 0; 0 < x < 1; 0 < y < ;
>
>
< xx
u(0; y) = u(1; y) = 0; 0 y
;
Bài 1
>
>
:
u(x; ) = 0; u(x; 0) = x sin ( x) ; 0 x
;
8
u + uyy = 12 sin (5 x) sin(9y); 0 < x < 1; 0 < y < ;
>
>
< xx
u(0; y) = u(1; y) = 0; 0 y
;
Bài 2
>
>
:
u(x; ) = u(x; 0) = 0; 0 x
:
97
Chương 6. Các ví dụ ôn tập
Giải bài 1 theo công thức
1
X
n (b y)
n x
An
sh
sin
;
n b
a
a
n=1 sh
a
Z a
2
n x
f2 (x) sin
=
dx; n = 1; 2;
;
a 0
a
u(x; y) =
An
với a = 1; b = ; f2 (x) = x sin ( x) :
Như vậy
1
X
u1 (x; y) =
An
sh [n (
sh (n 2 )
n=1
An = 2
Z
1
y)] sin (n x) ;
Z 1
f2 (x) sin (n x) dx = 2 x sin ( x) sin (n x) dx; n = 1; 2;
:
0
0
Z a
Z a
Tính toán An = 2 f2 (x) sin (n x) dx = 2 x sin ( x) sin (n x) dx =; n = 1; 2;
:
0
0
Ta viết
An =
Z
1
x [cos ((n
1) x)
cos ((n + 1) x)] dx = Jn
x cos ((n
1) x) dx:
Jn+2 ;
0
Jn =
Z
1
0
Tính toán Jn :
n=1:
J1 =
Z
0
n
2:
Jn =
Z
1
x cos ((n
0
=
1
1
xdx = :
2
sin ((n 1) x)
1) x) dx = x
(n 1)
cos ((n 1) x)
((n 1) )2
1
=
0
cos ((n
((n
1
0
Z
1
0
n
1) 1
1) ) 1
(
=
2
(n
1) )
sin ((n 1) x)
dx
(n 1)
1
1)2 2
:
Suy ra
Jn+2 =
Do đó, với n
2; ta có
An = Jn
=
=
n=1:
( 1)n+1 1
( 1)n 1 1
=
:
(n + 1)2 2
(n + 1)2 2
( 1)n 1 1 ( 1)n 1 1
( 1)n 1 1
1
=
2
2
2
2
2
(n 1)
(n + 1)
(n 1)2
1 (n + 1)2 (n 1)2
(n2 1)2
8
< 0;
n lẻ 3,
1
4n
8
n
=
; n chẵn.
: 2 2
(n2 1)2
(n
1)2
Jn+2 =
( 1)n
1
2
( 1)n
1
2
A1 = J1
J3 =
1
2
0=
1
2
1
(n + 1)2
98
Chương 6. Các ví dụ ôn tập
Như vậy
An =
Nghiệm của bài toán 1 là:
u1 (x; y) =
1
X
n=1
=
=
An
sh [n (
sh (n 2 )
A1
sh [ (
sh ( 2 )
1
2sh (
2)
8
>
>
>
<
1
;
2
0;
8
n
;
2 (n2
1)2
>
>
>
:
n lẻ
3,
n chẵn.
y)] sin (n x)
y)] sin ( x) +
1
X
k=1
sh [ (
n = 1;
y)] sin ( x)
A2k
sh [2k (
sh (2k 2 )
1
16 X
2
k=1
(2k 2
y)] sin (2k x)
k
1)2 sh (2k
2)
sh [2k (
y)] sin (2k x) :
Giải bài 2 theo công thức
X fn;m
u2 (x; y) =
n;m
n;m
n;m2N
n2 m2
sin
n x
m y
sin
;
a
b
2
+ 2
; m; n = 1; 2;
;
a2
b
Z Z
4 a b
f (x; y)wn;m (x; y)dxdy; m; n = 1; 2;
ab 0 0
=
fn;m =
;
với a = 1; b = ; f (x; y) = 12 sin (5 x) sin(9y):
Như vậy
X fn;m
u2 (x; y) =
sin (n x) sin (my) ;
fn;m =
Tính toán fn;m =
4
Z 1Z
0
Ta có
n;m
+ m2 ; m; n = 1; 2;
;
Z 1Z
4
f (x; y) sin (n x) sin (my) dxdy; m; n = 1; 2;
= n
n;m
n;m2N
2 2
0
:
0
f (x; y) sin (n x) sin (my) dxdy; m; n = 1; 2;
:
0
fn;m =
4
Z 1Z
12 sin (5 x) sin(9y) sin (n x) sin (my) dxdy
Z
Z
48 1
sin (5 x) sin (n x) dx
sin(9y) sin (my) dy
0
0
(
0; (n; m) 6= (5; 9);
48
0; (n; m) 6= (5; 9);
=
; (n; m) = (5; 9):
12; (n; m) = (5; 9):
4
0
=
=
0
Do đó
fn;m
=
n;m
Nghiệm của bài toán 2 là:
0;
12
;
:
25 2 + 81
X fn;m
u2 (x; y) =
n;m2N
=
8
<
25
2
(n; m) 6= (5; 9);
(n; m) = (5; 9):
sin (n x) sin (my) =
n;m
12
sin (5 x) sin (9y) :
+ 91
f5;9
5;9
sin (5 x) sin (9y)
99
Chương 6. Các ví dụ ôn tập
Cuối cùng ta có được nghiệm u(x; t) của bài toán
u(x; t) = u1 (x; y) + u2 (x; y)
=
1
2sh (
2)
sh [ (
y)] sin ( x)
12
sin (5 x) sin (9y) :
25 + 81
2
1
16 X
2
k=1
(2k 2
k
1)2 sh (2k
2)
sh [2k (
y)] sin (2k x)