Departamento de Ingenierı́a Mecánica y Metalúrgica
ICM2803 - Dinámica de Sistemas Mecánicos
Profesor: David Acuña
Fecha: 28 de Agosto, 2020
Tarea 1
Escoja y resuelva cinco de los problemas que se presentan a continuación. La resolución de dichos problemas
es INDIVIDUAL y debe ser entregada de forma digital a través de la plataforma Canvas y en archivos
separados en formato PDF; uno por cada problema resuelto. Si responde a mano, procure hacerlo de manera
legible, pues lo que no se entienda en el proceso de revisión será considerado incorrecto.
La fecha de entrega es el dı́a viernes 11 septiembre a las 12:00 hrs. (según hora del sistema Canvas).
Indicación (Notación): Para denotar vectores utilice una flecha sobre la variable. Por ejemplo: ~v .
Problema 1
Un disco de radio r rueda sin resbalar a lo largo del interior de una pista circular fija de radio R (con R > r),
como se muestra en la figura. El centro de la pista circular se indica con el punto O, mientras que el centro
del disco se indica con el punto P . El ángulo θ se mide desde la dirección fija vertical hacia abajo desde el
centro del disco (dirección OA), mientras que el ángulo φ se mide entre la dirección OP y la dirección OQ,
siendo Q un punto en el borde del disco. Sabiendo que el punto Q coincide con el punto A (siendo A el
punto ubicado en la parte más inferior de la pista) cuando θ y φ son cero, determine las siguientes cantidades
relativas a un observador en un marco de referencia fijo:
1. La velocidad angular y la aceleración angular del disco.
2. La velocidad y aceleración del punto Q.
Exprese sus respuestas en términos del ángulo φ (y las derivadas temporales de φ).
Figura 1: Problema 1.
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Problema 2
Un disco de radio R gira libremente en torno a su centro en un punto ubicado en el extremo de un brazo de
longitud L, como se muestra en la figura. El mismo brazo pivotea libremente en su otro extremo en el punto
O hasta el eje vertical. Finalmente, el eje gira con velocidad angular constante Ω en relación con el suelo
(marco de referencia inercial). Sabiendo que φ describe la ubicación de un punto P en el borde del disco
relativa a la dirección OQ y que θ se forma entre el brazo y la dirección vertical hacia abajo, determine las
siguientes cantidades según las ve un observador fijo al suelo:
1. La velocidad angular del disco.
2. La velocidad y aceleración del punto P .
Figura 2: Problema 2.
Problema 3
Una barra delgada de longitud l está articulada a un aro como se muestra en la figura. El aro se desliza
libremente a lo largo de una pista horizontal fija. Si se sabe que x es el desplazamiento horizontal del aro
y que θ describe la orientación de la barra en relación con la dirección vertical, determine la velocidad y
la aceleración del extremo libre de la barra según la ve un observador fijo en la pista (marco de referencia
inercial).
Figura 3: Problema 3.
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Problema 4
Considere una curva espiral descrita en coordenadas esféricas por las ecuaciones:
r = R,
θ = N φ,
donde R y N son constantes conocidas (N entero par). Una partı́cula se mueve sobre la espiral partiendo
desde el extremo superior (φ = 0) y manteniendo una velocidad angular cenital constante y conocida, φ̇ = ω0 .
Se pide:
1. Utilizando coordenadas esféricas, escriba los vectores velocidad y aceleración para una posición arbitraria de la partı́cula sobre su trayectoria.
2. Determine el valor del radio de curvatura de la trayectoria en el ecuador (φ =
π
2 ).
3. Encuentre una expresión para la longitud total de la espiral y para el tiempo que la partı́cula tarda en
recorrerla. Indicación: De ser difı́cil de calcular, puede dejar expresada la integral.
Figura 4: Problema 4.
Problema 5
Se observa una partı́cula en movimiento con respecto a un sistema de referencia inercial. La trayectoria está
dada por las siguientes funciones:
r = Aekθ , z = hr,
donde r, θ y z son, respectivamente, coordenadas cilı́ndricas, siendo A, k y h valores escalares constantes y
mayores que cero. Suponiendo que su rapidez es constante (v0 ) y conocida:
1. Calcule la velocidad ~v de la partı́cula en función de θ, A, k, h y v0 .
2. Encuentre su aceleración ~a en función de los mismos parámetros.
3. Pruebe que ~a ⊥ ~v .
4. Encuentre una expresión para θ(t).
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Problema 6
Un brazo de longitud l está articulado en uno de sus extremos al centro de un disco de radio r, como se
muestra en la figura. El disco rueda sin resbalar a lo largo de una superficie horizontal fija. Utilizando la
variable x para describir la posición del centro del disco y la variable θ para describir la orientación del brazo
relativa a la dirección vertical hacia abajo, determine las siguientes cantidades según las ve un observador
fijo al suelo (marco de referencia inercial):
1. La velocidad y aceleración del centro del disco.
2. la velocidad y aceleración del extremo libre del brazo.
Figura 5: Problema 6.
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