2-MA’RUZA:
Bir jinsli va bir jinsliga olib kelinadigan differensial tenglamalar.
Amaliy masalalarga tadbiqi (Ko’zgu masalasi).
Reja:
1. Bir jinsli funksiya tushunchasi.
2. Bir jinsli tenglama va uni yechish usuli.
3. Bir jinsli tenglamalarga keltiriladigan tenglamalar.
Quyidagi differensial tenglama berilgan bo’lsin.
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
(1)
Agar M(x,y) va N(x,y) funksiyalar bir xil tartibdagi bir jinsli funtsiyalar
bo’lsa, u holda (1) tenglama bir jinsli tenglama deyiladi. Matematik analiz
kursidan ma’lumki, berilgan f(x,y) funksiya n - tartibli bir jinsli funksiya
deyiladi, agar ixtiyoriy t uchun
f(tx,ty)= t m f ( x, y )
(2)
tenglik o’rinli bo’lsa.
Endi ushbu ma’lumotdan foydalanib, (1) tenglamani tahlil etamiz
1
(2) tenglikda t=
almashtirish bajaramiz
х
у
1
f (1, )  m f ( x, y )
х
х
yoki
y
f ( x, y )  x m f (1, )
x
(3)
(3) formuladan foydalanib ( 1 ) ni quyidagicha yozamiz .
y
y
x m M (1, )
M (1, )
dy
M ( x, y)
x 
x  ( y )


y
y
dx
N ( x, y )
x
x m N (1, )
N (1, )
x
x
Demak bir jinsli tenglama
dy
y
 ( ) .
dx
x
(4)
Bu tenglamadan ko’rinadiki, koordinata boshida birorta ham integral chiziq
o’tmaydi.
Bir jinsli tenglamani yechish uchun
y=zx
(5)
almashtirish qilamiz, bunda z=z(x) yangi noma’lum funksiya (5) ni (4)
tenglamaga qo’yamiz, buning uchun
dy=xdz+zdx ( y   z x  z )
ko’rinishda yozish mumkin.
Differensialni (hosilani ) topamiz.
xdz  zdx
  z 
dx
soddalashtirsak ,
x
dz
 z   (z)
dx
yoki
dz
dx

 ( z)  z x
ko’rinishga keladi,
Bu o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamadir, so’ngi tenglamani integrallab
F(z,x,c)=0
funksiyani olamiz.
So’ng (5) almashtirishdan z ni topib
y
F( , x, c)  0 yoki F(x,u,s)=0
x
umumiy integralga ega bo’lamiz.
MISOL: Tenglamani yeching.
( y 2  2 xy )dx  x 2 dy  0
avvalo bu tenglama bir jinsli ekanligini ko’rsatamiz. (2) formulaga ko’ra x=xt ,
y=yt deb olamiz
(t 2 y 2  2 xtyt )dx  t 2 x 2 dy  0
t 2 ( y 2  2 xy )dx  t 2 x 2 dy  0
t 2 (( y 2  2 xy )dx  x 2 dy)  0
bundan kelib chiqadiki,
( y 2  2 xy )dx  x 2 dy  x  xt , y  yt   t 2 ( y 2  2 xy )dx  x 2 dy
bo’lib m=2 bo’ladi. U holda berilgan tenglama uchun y=zx almashtirish qilish
mumkin.
Bundan dy=zdx+xdz bo’lib, tenglamaga qo’yilsa
a) z 2  z  0
dz
dx


integrallab, topamiz:
2
x
z z
yoki
ln  z  1  ln z   ln x  ln c


z 1
 c yoki x(y-1)=yc.
z
b) z 2  z  0 bo’lsa, u holda
x
z ( z  1)  0 bo’lib , z=0, z=1 undan yuqoridagi almashtirishga ko’ra
y
 0, y  0
x
y
 1, y  x
x
ifodalarga ega bo’lamiz.
Demak umumiy integral x( y  1)  yc, y  0 .
Bir jinsli tenglamalarga keltiriladigan differensial tenglamalardan biri
 a x  b1 y  c1
dy
 f 1
 a 2 x  b2 y  c
dx
2





ko’rinishdagi tenglama bo’lib, unda s1
farqli bo’lsin. Unda 2 holni qaraymiz
1-hol:

а1
b1
a2
b2
(6)
va s2 lardan kamida bittasi noldan
 a1 b2  b1a2  0 bo’lsin
a1 x  b1 y  c1  0
sistemani yechib, x=x0, u=u0
a2 x  b2 y  c2  0
Bu holda 
  x  x0 ,
x    x0 ,
yechimni topamiz va
  y  y0
y    y0
(7)
almashtirish bajaramiz. (7) almashtirishni (6) tenglamaga qo’ysak
 a   a1 x0  b1  b1 y0  c1 
d
 ,
 f  1
d
a


a
x

b


b
y

c
2 0
2
2 0
2 
 2
 a   b1 
d
 ko’rinishga keladi.
 f  1
d
 a2  b2 
Bundan (4) ko’rinishdagi bir jinsli tenglamani olamiz, ya’ni


 a2  b1
d

 f


d
 a2  b2 



      .
 

 


Bu tenglamani oldingi usulda yechish mumkin.
2-hol. Agar

a1
b1
a2
b2
 a1b2  b1a  0
bo’lsa, u holda
a1
a2

b1
 k tenglikka ega bo’lamiz.
b2
Bundan esa
a1  a2 k , b1  b2 k bo’ladi. (6) tenglamaga qo’ysak
 a x  b2 y k  c1 
dy
  f1 (a2 x  b2 y)
 f  2
dx
 a2 x  b2 y  c2 
ko’rinishdagi tenglamaga ega bo’lamiz.
(8)
(8) tenglamada z=a2x+b2y almashtirish bajaramiz, u holda o’zgaruvchilarni
ajraladigan
dz
 a  bf1  z  tenglamaga hosil bo’ladi.
dx
Tekshirish uchun savollar
1. y   f ax  by  c  tenglama qanday yechiladi.
 a x  b1 y  c1 
 tenglamani yeching.
2. y   f  1
a
x

b
y

c
 2
2
2 
3. y   sin 2 x tenglamani yeching.
 1 
 tenglamani yeching.
4. y   f 
 2x  y 
5. Bir jinsli funksiya tushunchasi.
6. Bir jinsli tenglama ko’rinishi.
7. Bir jinsli tenglamaga keltiriladigan tenglamalar.
8. Umumlashgan bir jinsli tenglamani bir jinsli tenglamaga keltirish usuli.
y
y
9. y    e x tenglamani yeching.
x