三角函數的疊合 20220910 高中數學 年 班 座號： 姓名： [滿分 100 分] 一、填充題 （每格 10 分，共 60 分） π 1. 試求 y＝sin －x －2 cosx 的最大值為【 6 】，最小值為【 】。 答案： 3 ；－ 3 解析：先用差角公式展開，再疊合 π π π y＝sin －x －2 cosx＝sin cosx－cos sinx－2 cosx 6 6 6 1 3 3 3 ＝ cosx－ sinx－2 cosx＝－ sinx－ cosx 2 2 2 2 1 π π 3 ＝－ 3 sin x＋ cos x ＝－ 3 sin x cos ＋cos x sin 2 3 3 2 π ＝－ 3 sin x＋ 3 π 由疊合公式可知－ 3 － 3 sin x＋ 3 3 故 y 的最大值為 3 ，最小值為－ 3 難易度：中 出處：互動式教學講義範例 知識向度：正餘弦函數的疊合,和角公式與差角公式 2. 若 y＝3 sin2x＋4 sinx cosx，則 y 之最大值為【 】，最小值為【 】。 答案：4；－1 解析：由半角公式及二倍角公式可得 1－cos 2 x 3 3 y＝3× ＋2 sin2x＝ ＋2 sin2x－ cos2x 2 2 2 2 故 y 之最大值為 3 3 5 3 ＋ 2 2＋－ ＝ ＋ ＝4 2 2 2 2 2 y 之最小值為 3 3 5 3 － 2 2＋－ ＝ － ＝－1 2 2 2 2 難易度：難 出處：互動式教學講義類題 知識向度：半角公式,二倍角公式,正餘弦函數的疊合 3. 求 y＝cos2x－2 3 sinx cosx＋3 sin2x 的最大值為【 答案：4；0 解析：由半角公式及二倍角公式可得 】，最小值為【 】。 y＝ 1 cos 2 x 1＋cos 2 x － 3 sin2x＋3× 2 2 ＝2－cos2x－ 3 sin2x 1 3 ＝2－2 cos 2 x＋ sin 2 x 2 2 π π ＝2－2 sin cos 2 x＋cos sin 2 x 6 6 π ＝2－2 sin 2 x＋ 6 π 故當 sin 2 x＋ ＝－1 時，y 有最大值 2－2（－1）＝4 6 π 當 sin 2 x＋ ＝1 時，y 有最小值 2－2×1＝0 6 難易度：難 出處：互動式教學講義範例 知識向度：半角公式,二倍角公式,正餘弦函數的疊合 二、計算題 （每格 10 分，共 40 分） 1. 考慮 sinx＋ 3 cosx，試求： (１)疊合成正弦曲線的形式，即 r sin（x＋θ），其中 r＞0，－π＜θ＜π。 (２)疊合成餘弦曲線的形式，即 r cos（x＋θ），其中 r＞0，－π＜θ＜π。 解： π π 答案：(１) 2 sin x＋ ；(２) 2 cos x－ 3 6 解析：(１)依據正弦函數的和角公式，得 1 3 sinx＋ 3 cosx＝2 sin x＋ cos x 2 2 π π ＝2 sin x cos ＋cos x sin 3 3 π ＝2 sin x＋ 3 1 3 (２) sinx＋ 3 cosx＝2 sin x＋ cos x 2 2 π π ＝2 sin sin x＋cos cos x 6 6 π ＝2 cos x－ 6 〔另解〕 利用(１)的結果，可以利用 90°－θ 及－θ 關係 π π sinx＝cos －x ＝cos x－ 得： 2 2 π π π sinx＋ 3 cosx＝2 sin x＋ ＝2 cos x＋ － 3 3 2 π ＝2 cos x－ 6 難易度：易 出處：互動式教學講義範例 知識向度：正餘弦函數的疊合 2. 在 0 x 2π 的範圍內，解下列方程式及不等式： (１) 3 cosx－sinx＝1。 (２) 3 cosx－sinx 1。 解： 答案：(１) x＝ π 3π π 3π 或 ；(２) x 6 2 6 2 解析：由疊合公式可知 3 1 3 cosx－sinx＝2 cos x－ sin x 2 2 π π ＝2 cos x cos －sin x sin 6 6 π ＝2 cos x＋ 6 π π π 13π π 13π 令 θ＝x＋ ∵0 x 2π ∴ x＋ ，即 θ 6 6 6 6 6 6 1 (１)令 2 cosθ＝1 cosθ＝ 2 π 5π θ＝ 或 3 3 π π 5π π 3π x＋ ＝ 或 θ＝ 或 6 3 3 6 2 1 (２)令 2cosθ 1 cosθ 2 π 5π π 3π π 5π π ，即 x＋ x θ 6 3 3 3 3 6 2 π 3π 故不等式之解為 x 6 2 由圖知， 難易度：中 出處：互動式教學講義範例 知識向度：正餘弦函數的疊合