3.7 Бодлого бодох стратеги/аргачлал: Цахилгаан потенциалыг олох
Энэ бүлэгт бид цэнэгийн тархалт нь үргэлжилсэн болон хэсэг газрыг хамарсан
тохиолдолд хэрхэн цахилгаан потенциалыг олох талаар үзсэн билээ.Цахилгаан орноос
ялгаатай нь цахилгаан потенциал нь скаляр хэмжигдэхүүн юм. Хэсэг газрыг хамарсан
тархалтын үед бид сүперпосицыг ашиглах ба тус тусад нь нэмж олох юм.
𝑉 = 𝑘𝑒 ∑
𝑖
Үргэлжилсэн
тархалтын
үед,
𝑉=𝑘
𝑞𝑖
𝑟𝑖
интегралын
𝑒∫
тооцоолох
хэрэгтэй.
𝑑𝑞
𝑟
Цахилгаан орны олохтой адилханаар дараах алхамуудаар бид интегралыг тооцоолно
1. эхлээд бид энэ томьёог ашиглана. 𝑑𝑉 = 𝑘𝑒
𝑑𝑞
𝑟
2.цэнэг болох dq –г
𝜆𝑑𝑙 (урт)
dq= { 𝜎𝑑𝐴(талбай)
𝜌𝑑𝑉(эзэлхүүн)
цэнэг ямар хэмжээст байгаа биетээс нь хамаарч бичих
3.dq – г dV-гийн илэрхийлэл рүү хувиргах
4. r – хэмжээд тохируулан дифференциалаар илэрхийлж ,тохирсон координатыг сонгох
5.dV –г интегралын хувьсагчид орлуулж бичих
6. Интегралыг гүйцээж V-г олох
V-г олох илэрхийлээс бид цахилгаан ороныг 𝐸̅ = -∇𝑉 гэж олж болно.Түүнээс гадна
хариуг хэр үнэн гарсан эсэхийг шалгахдаа цэнэгийн тархалтаас маш хол хол орших P
цэгийг сонгоно. Хэрвээ цэнэгийн тархалт нь хязгаартай өгөгдсөн бол P цэгээс яг л өөр
нэг цэг мэт нөлөөлөх ёстой ба 1/r2 харицаагаар буурах болно.
3.8 Бодолт
3.8.1 2 цэнэгийн хоорондох цахилгаан потенциал
Зураг 3.8.1-д үзүүлсэн 2 цэнэгээс бүрдэх системийг авч үзье
Х тэнхлэг дээрх дурын цэгийн цахилгаан потенциалыг олоод схем байгуул.
Бодолт
Сүперпозиц-ийн аргаар цахилгаан потенциал олж болох ба Х тэнхлэг дээрх цэгийг
𝑉(𝑥) =
1
𝑞
1 (−𝑞)
𝑞
1
1
+
=
−
[
]
4𝜋𝜀0 |𝑥 − 𝑎| 4𝜋𝜀0 |𝑥 + 𝑎| 4𝜋𝜀0 |𝑥 − 𝑎| |𝑥 + 𝑎|
Дээрх илэрхийлэлийг өөрөөр бас
𝑉(𝑥)
1
1
= 𝑥
− 𝑥
𝑉0
| ⁄𝑎 − 1| | ⁄𝑎 + 1|
энд 𝑉0 = 𝑞/4𝜋𝑒0 𝑎 байна. 𝑥/𝑎 функцтай цахилгаан потенциалын схемийн хувьд
График дээр V(x) , 𝑥/𝑎 =±1 дээр салаж байгаан цэнэг орших цэгийг зааж байна.
3.8.2 Диполийн цахилгаан потенциал
Цахилгаан диполийг зураг 3.8.3-т үзүүлсэн шиг y- тэнхлэгт байна гэж бодье. x-y
тэнхлэг дээр орших P цэгийн цахилгаан потенциал ол, мөн V ашиглан цахилгаан орны
хэмжээг ол.
Сүперпозицийн аргаар P цэг дэхь потенциалыг
𝑉 = ∑ 𝑉𝑖 =
𝑖
1
𝑞
𝑞
( − )
4𝜋𝜀0 𝑟+ 𝑟−
𝑟± 2 = 𝑟 2 + 𝑎2 ∓ 2𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃. Хэрвээ 𝑟 ≫ 𝑎 гэдгээр хязгаарлах юм бол,
1 1
1
1
= [1 + (𝑎 ⁄ 𝑟)^2 ∓ 2(𝑎 ⁄ 𝑟) 𝑐𝑜𝑠 𝜃]−1⁄2 = [1 − (𝑎⁄𝑟)2 ± (𝑎⁄𝑟) cos 𝜃 + ⋯]
𝑟𝑧 𝑟
𝑟
2
Болох ба диполийн потенциал нь ойролцоогоор
𝑉=
𝑞
1
1
[1 − (𝑎⁄𝑟)2 + (𝑎⁄𝑟) cos 𝜃 − 1 + (𝑎⁄𝑟)2 + (𝑎⁄𝑟 cos 𝜃 + ⋯)]
4𝜋𝜀0 𝑟
2
2
𝑞
2𝑎 cos 𝜃 𝑝 cos 𝜃
𝑝⃗ ∙ 𝑟⃗
≈
∙
=
=
2
4𝜋𝜀0 𝑟
𝑟
4𝜋𝜀0 𝑟
4𝜋𝜀0 𝑟 2
⃗⃗ = 2𝑎𝑞𝒋̂ бол цахилгаан диполийн момент(moment) юм.
𝒑
⃗⃗=
∇
𝜕
1 𝜕
1
𝜕
̂
𝑟̂ +
𝜃̂ +
∅
𝜕𝑟
𝑟 𝜕𝜃
𝑟 sin 𝜃 𝜕∅
Потенциалийн фунц 𝑟 болон 𝜃 хамаарах ба цахилгаан орон 𝒓̂ болон 𝜃̂ чиглэлтэй
байх ба цахилгаан орон нь
𝐸𝑟 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑟
=
𝑝 cos 𝜃
,
2𝜋𝜀0 𝑟 3
𝐸𝜃 = −
1 𝜕𝑉
𝑟 𝜕𝜃
=
𝑝 sin 𝜃
, 𝐸∅ =0
4𝜋𝜀0 𝑟 3
3.8.3 Аннулусын цахилгаан потенциал
Зураг 3.8.4-т үзүүлсэн шиг 𝜎 цэнэгийн нягтаршилтай аннулусыг авч үзье.Харалдаа
тэнхлэгт орших P цэг дэхь цахилгаан потенциалыг ол.
Бодолт:
P цэгээс r зайтай дифференциал элемент авч үзье. 𝑑𝐴 агуулж буй цэнэгийн хэмжээ
𝑑𝑞 = 𝜎𝑑𝐴 = 𝜎(𝑟′𝑑𝜃)𝑑𝑟′
Үүний P цэгт нөлөөлөх цахилгаан потенциал нь
𝑑𝑉 =
1 𝑑𝑞
1 𝜎𝑟′𝑑𝑟′𝑑𝜃
=
4𝜋𝜀0 𝑟
4𝜋𝜀0 √𝑟′2 + 𝑧 2
Аннулусыг бүхэлд нь интегралчилвал
𝑉=
𝑏 2𝜋
𝜎
𝑟′𝑑𝑟′𝑑𝜃
2𝜋𝜎 𝑏 𝑟′𝑑𝑆
𝜎
∫ ∫
=
∫
=
[√𝑏 2 + 𝑧 2 − √𝑎2 + 𝑧 2 ]
4𝜋𝜀0 𝑎 0 √𝑟′2 + 𝑧 2 4𝜋𝜀0 𝑎 √𝑟′2 + 𝑧 2 2𝜀0
Бид доорох интегралчилалыг ашиглаад гаргасан
∫
𝑑𝑠 𝑠
√𝑠 2 + 𝑧 2
= √𝑠 2 + 𝑧 2
Хязгаар нь 𝑎 → 0 бас 𝑏 → 𝑅 байх ба цахилгаан потенциал нь
𝑉=
𝜎
[√𝑅 2 + 𝑧 2 − |𝑧|]
2𝜀0
Энэ хариу нь тэгшитгэл 3.5.14 –ийн R радиустай тусгаарлагч дискийнэ хариутай таарч
байгааг харж болно.
3.8.4 цэнэгтэй утасны хажууд хөдөлж буй цэнэг
z-тэнхлэгт орших (𝑧 = −𝑑) гаас (𝑧 = 𝑑) урттай нарийн савааг авч үзье.Саваа нь эерэг Q
цэнэгтэй ба 2𝑑 урттай ба цэнэгийн нягтаршил нь 𝜆 = 𝑄/2𝑑 .
a. z-тэнлэгт орших 𝑧 > 𝑑 цэгт орших цахилгаан потенциалыг ол.
b. хэрвээ электрон 𝑧 = 4𝑑 гээс 𝑧 = 3𝑑 хооронд хөдөлсөн бол потенциал энергийн
өөрчлөлтийг ол
c. электрон хөдөлгөөнгүй байдлаас 𝑧 = 4𝑑 лууявсан бол 𝑧 = 3𝑑 дээрх хурдын ол
Бодолт
Хялбарчилахын тулд потенциал энерги нь хязгааргүй буюу 0 гэж үзье. Цэнэг нь 𝑑𝑞 =
𝜆𝑞𝑧I мөн z-тэнхлэгт байралж байна гэж үзье. Үүний цахилгаан потенциалд үзүүлэх
нөлөө нь 𝑧 > 𝑑 нь
𝑑𝑉 =
𝜆
𝑑𝑧′
4𝜋𝜀0 𝑧 − 𝑧′
Саваа уртаар интегралчилах юм бол
𝑉(𝑧) =
𝑧−𝑑
𝜆
𝑑𝑧′
𝜆
𝑧+𝑑
∫
=
ln (
)
4𝜋𝜀0 𝑧+𝑑 𝑧 − 𝑧′ 4𝜋𝜀0
𝑧−𝑑
b. дээрх тэгшитгэлээс 𝑧 = 4𝑑 байх цахилгаан потенциал нь
𝑉(𝑧 = 4𝑑) =
𝜆
4𝑑 + 𝑑
𝜆
5
ln (
)=
ln ( )
4𝜋𝜀0
4𝑑 − 𝑑
4𝜋𝜀0
3
мөн 𝑧 = 3𝑑 орших цахилгаан потенциал нь
𝑉(𝑧 = 3𝑑) =
𝜆
3𝑑 + 𝑑
𝜆
ln (
)=
ln 2
4𝜋𝜀0
3𝑑 − 𝑑
4𝜋𝜀0
2цэгийн цахилгаан потенциалын өөрчлөлт нь
∆𝑉 = 𝑉(𝑧 = 3𝑑) − 𝑉(𝑧 = 4𝑑) =
𝜆
6
ln ( ) > 0
4𝜋𝜀0
5
цахилгаан потенциалын өөрчлөлт нь потенциал энергийн өөрчлөлтийг q хуваасантай
тэнцүү учраас , үүнээс бид
∆𝑈 = 𝑞∆𝑉 = −
|𝑒|𝜆
6
ln ( ) < 0
4𝜋𝜀0
5
электроны цэнэг нь 𝑞 = −|𝑒| байх болно.
c. хэрвээ электрон нь хөдөлгөөнгүй байдлаас 𝑧 = 4𝑑 очсон бол кинетик энерги нь
1
∆𝐾 = 𝑚𝑣𝑓2
2
Энэрги хадгалагдах хуулийн дагуу, кинетик энергийн өөрчлөлт нь
∆𝐾 = −∆𝑈 =
|𝑒|𝜆
6
ln ( ) > 0
4𝜋𝜀0
5
𝑧 = 3𝑑 үед хурд нь
2|𝑒| 𝜆
6
𝑣𝑓 = √
ln ( )
4𝜋𝜀0 𝑚
5
Консепцийн асуултууд
1.цахилгаан потенциал болон цахилгаан потенциал энергийн ялгаа?
2.цахилгаан орон нь x-тэнхлэгтэй параллел. Нэг цэнэг дээр гадны ямар нэгэн хүчээр
үйлчилүүлэхгүйгээр аль зүгт уг цэнэгийг зөөж болох вэ?
3. цахилгаан шуургатай үед металаар хийсэн машин суух нь аюулгүй юу? Тайлбарла
4.яагаад equipotential гадаргуунууд цахилгаан ороны шугамтай перпендукляр байдаг вэ
5.үүссэн хонхорхой болон цэнэглэгдсэн бөмбөрцөгийн цахилгаан орон нь 0. Энэ нь
бөмбөрцөгийн доторх потенциал 0 гэсэн үг мөн үү?
3.10 Нэмэлт бодлого
3.10.1 Куб
𝑞 цэнэгийн хэмжээтэй 8 ижилхэн цэнэгийг 𝑎талын урттай кубын булан тус тарааж
тавихад хэр их ажил хийгдэх вэ?
3.10.2
Гурван 𝑞 = 3.00 × 10−18 𝑐 хэмжээтэй цэнэг болон нэг 𝑞1 = 6 × 10−6 𝑐 цэнэг x- тэнхлэг
дээр зураг 3.10.1 дээр үзүүлсэн шиг
байралжээ. 𝑞 болон 𝑞1 хоорондох
зай нь
𝑎 = 0.600𝑚.
Зураг 3.10.1
a. хоёр 𝑞1 цэнэгээс q цэнэгт үйлчилэх нийт хүч юу вэ
b. хоёр 𝑞1 цэнэгээс нөлөөлөх координатын эхийг дайрсан цахилгаан орон нь
хэд байх вэ
c. хоёр 𝑞1 цэнэгээс нөлөөлөх координатын эхийг дайрсан цахилгаан потенциал
хэд байх вэ
3.10.3 цэнэг дээр хийгдэх ажил
𝑞1 = 3.0𝜇𝐶,𝑞2 = −4𝜇𝐶 нь эхлээд r0 нь 2.0cm байсан. Гадны хүч цэнэгүүдийг rf=5cm
болтол нөлөөлсөн.
a. Цэнэгүүдийг r0 оос rf хүртэл хөдөлгөх цахилгаан орны нийт хийсэн ажилыг ол.
Уг ажил эерэг үү сөрөг үү?
b. Цэнэгүүдийг r0 оос rf хүртэл хөдөлгөх гадны хүч хэр их ажил хийсэн бэ? Уг
ажил эерэг үү сөрөг үү?
c. r0 нь 2.0cm байх үеийн потенциал энергийг ол
d. rf=5cm байх үеийн потенциал энергийг ол
e. анхны байрлал болон эцсийн байрлал 2-ийн потенциал энергийн ялгаа юу вэ?
3.10.4 E-г V-гээс тооцоолох
Огторгуйд орших цахилгаан потенциал нь
𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑉0 − 𝐸0 𝑧 +
𝐸0 𝑎3 𝑧
(𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )3⁄2
𝑎 нь уртын тогтмол тоо бол цахилгаан орны x,y,z бүрэлдэхүүнүүдийг ол.
3.10.5 савааны цахилгаан потенциал
Зүүн тал нь координатын эх дээр орших L урттай савааны цэнэгийн нягтаршил нь
𝜆 = 𝛼𝑥 ба 𝛼 нь эерэг тогтмол тоо юм.
a. 𝛼-гийн хэмжээ юу вэ?
b. 𝐴 цэгт орших цахилгаан потенциалийг ол.
c. 𝑥 тэнхлэгээс b зайд орших, савааны перпендукляр бисектрис болох B цэг дээрх
цахилгаан потенциалыг ол.
3.10.6 Цахилгаан потенциал
Орон зайн зарим хэсэгт цахилгаан потенциал өгөгдсөн байна гэж үзье
𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑉0 𝑒𝑥𝑝(−𝑘|𝑧|) cos 𝑘𝑥
Цахилгаан оронг ол. x-z хавтгайд цахилгаан орны шугамыг зур.
3.10.7 Цахилгаан потенциалаар цахилгаан орныг тооцоолох
Доорх Зураг 3.10.3-д харуулсан шиг цахилгаан потенциал нь х тэнхлэгийн
дагуу өөр өөр байдаг гэж бодъё.
Потенциал нь х, у чиглэлд өөр байна. Үзүүлсэн зайнд Ех завсарыг
тодорхойлох:
a. Хамгийн их үнэмлэхүй утга (хариу: ab зайнд 25V/m )
b. Хамгийн бага (хариу: cd зайнд 0V/m)
c. x-ийн функц шиг Ех талбай
d. Цэнэгийн хуваарилалтын ямар төрөл нь потенциалын өөрчлөлтийн
төрлүүдийг үйлдвэрлэх вэ? Тэд хаана байрладаг вэ? (хариу: x тэнхлэгийн
дагуу b , c, d гэх мэт цэгт байрлах YZ чиглэл дэх цэнэгийн байрлал ) нэгж
талбай 𝜎 − д ноогдох цэнэглэгдсэн цэнэгийн байрлал нь 0/(σε_0 )
хэмжээний цахилгаан орны хэвийн бүрэлдэхүүнийг бий болгодог.)
3.10.8 Цахилгаан потенциал болон цахилгаан потенциал энерги
a талтай зөв адил хажууд гурвалжин булан тус бүрт, зураг 3.10.4 дээр
харуулсан шиг q, +2q, -q цэнэгүүд байрлана.
V=0 буюу хязгааргүйд байна гэж үзвэл +q болон –q 2ыг холбох
шугамын дундах буюу P цэг дэх цахилгаан потенциал нь хэд байх вэ?
[ хариу: 𝑞 ⁄√2 𝜋𝜀0 𝑎. ]
b.
3 цэнэгийн нийт потенциал энерги хэд байх вэ? Энэ хариуны
a.
−𝑞2
тэмдэг нь юуг заах вэ? [ хариу: 4√2𝜋𝜀 𝑎, сөрөг тэмдэг нь
0
хязгааргүйгээс цэнэгүүдийг хөдлөгсөн биетэд ажил хийгдсэн гэдгийг
илэрхийлж байна.]
c. +3q цэнэгтэй 4дэгч цэнэг нь хязгааргүйгээс P цэг лүү удаанаар
ойртсон.Энэ процесст хэр их ажил хийгдсэн бэ? ? Энэ хариуны
тэмдэг нь юуг заах вэ? [ хариу: +3𝑞 2 /√2𝜋𝜀0 𝑎 нэмэх цэнэг нь
хязгааргүйгээс цэнэгийг хөдөлгөсөн биет ажил хийсэн гэдгийг
харуулж байна.
3.10.9. Цахилгаан орон, потенциал болон энерги
+5Q , -5Q ,3Q гэх 3 цэнэг, y-тэнхлэг дээр тус бүр y= +4a, y = 0, y= -4a
байрлалд байна. P цэг x-тэнхлэг дээр x= 3a байрлалд байна.
a. Энэ цэнэгүүдийг угсрахад хэр их инерги шаардсан бэ?
b. P цэг дээрх цахилгаан орон Ε ⃗ -гийн x, y,болон z бүрэлдэхүүнүүд
хэд байх вэ?
c. V = 0 буюу хязгааргүйд гэж үзвэл, P цэг дээрх цахилгаан потенциал V
хэд байх вэ?
d. + Q болох 4дэгч цэнэг хязгааргүйгээс P цэглүү очсон гэвэл гурван
цэнэгээс үйлчлэх F ⃗ хүчний x, y, z бүрэлдэхүүнүүд хэд байх вэ?
e. + Q болох 4дэгч цэнэгийг хязгааргүйгээс P лүү хөдөлгөхөд хэр их
ажил зарцуулагдсан бэ?