‫מקום‪ ,‬מהירות קווית ותאוצה קווית‬
‫ˆ‪r t   xt iˆ  y  y  ˆj  xt k‬‬
‫‪d r t ‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪d vt ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪d 2 r t ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪dt 2‬‬
‫‪v‬‬
‫זווית‪ ,‬מהירות זוויתית ותאוצה זוויתית‬
‫כוחות חיכוך‪:‬‬
‫‪f k  k N‬‬
‫‪f S max   S N‬‬
‫חוק הוק‪:‬‬
‫‪F  k r‬‬
‫כוח בשדה חשמלי ומגנטי‬
‫‪F  qE  qv  B‬‬
‫תאוצה במערכת מסתובבת‬
‫(צנטריפוגלית‪+‬קוריוליס)‪:‬‬
‫‪ t ‬‬
‫‪d  t ‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dw  t  d 2  t ‬‬
‫‪ t  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪arot  aI      rrot   2  vrot‬‬
‫‪w t  ‬‬
‫עבודה ואנרגיה‬
‫אנרגיה קינטית‪:‬‬
‫‪v AB  v A  v B‬‬
‫מהירות יחסית‪:‬‬
‫תנועה מעגלית לא אחידה‪a  aT  aR :‬‬
‫אנרגיה פוטנציאלית‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫תנועה מעגלית אחידה‪:‬‬
‫תדירות‪:‬‬
‫‪T‬‬
‫‪1‬‬
‫‪T‬‬
‫עבודת הכוח‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪WA B   F  d S     d ‬‬
‫‪f ‬‬
‫‪A‬‬
‫‪2‬‬
‫מהירות זוויתית‪:‬‬
‫‪T‬‬
‫תאוצה קוית וזויתית‪:‬‬
‫מהירות קוית וזויתית‪:‬‬
‫אורך קשת וזוית‬
‫)‪U(x,y,z‬‬
‫כובדית על פני כדור הארץ‪UG=mgy :‬‬
‫‪1‬‬
‫אלסטית‪U el  kx 2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪mm‬‬
‫גרביטציונית‪U g  G 1 2 :‬‬
‫‪r‬‬
‫‪qq‬‬
‫חשמלית‪U E  k 1 2 :‬‬
‫‪r‬‬
‫‪v2‬‬
‫תאוצה רדיאלית‪:‬‬
‫‪aR ‬‬
‫‪R‬‬
‫וקטור התאוצה משיקית‪aT  a V V :‬‬
‫זמן מחזור‪:‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪mv‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪a R‬‬
‫‪v  R‬‬
‫‪s R‬‬
‫משוואות תנועה‬
‫החוק השני של ניוטון (במסה קבועה)‪:‬‬
‫‪ F  ma‬‬
‫‪Ek ‬‬
‫‪A‬‬
‫עבודה כוללת‪:‬‬
‫‪W  Ek  U‬‬
‫כוח משמר‪:‬‬
‫‪F  U‬‬
‫ˆ‪z‬‬
‫ˆ‪y‬‬
‫ˆ‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪Fz‬‬
‫‪Fy‬‬
‫‪Fx‬‬
‫‪0‬‬
‫שווי משקל‬
‫יציב‪:‬‬
‫רופף‪:‬‬
‫*אדיש‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ F ‬‬
‫‪U' (x)  0 ‬‬
‫‪U' ' (x)  0‬‬
‫‪U' ' (x)  0‬‬
‫קו ישר קבוע‬
‫‪dW‬‬
‫‪ F v‬‬
‫‪dt‬‬
‫הספק מכני רגעי‪:‬‬
‫גוף קשיח‬
‫‪P‬‬
‫‪2‬‬
‫מומנט התמד‬
‫‪P  mv‬‬
‫תנע קווי‬
‫‪I   mi ri‬‬
‫‪i‬‬
‫‪tf‬‬
‫‪J   Fdt‬‬
‫מתקף‪:‬‬
‫מומנט התמד לגבי ציר סימטריה‬
‫‪ti‬‬
‫‪J  P  Pf  Pi‬‬
‫מתקף ותנע‪:‬‬
‫מוט‬
‫גליל מלא‬
‫‪n‬‬
‫‪m r‬‬
‫‪i i‬‬
‫מרכז מסה‬
‫‪i 1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪m‬‬
‫‪i‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ML2‬‬
‫‪12‬‬
‫‪Rcm ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪MR 2‬‬
‫‪2‬‬
‫גליל חלול דק‬
‫‪MR2‬‬
‫‪i 1‬‬
‫טבעת גלילית‬
‫‪‬‬
‫מערכת עם מסה משתנה‬
‫כדור חלול‬
‫‪dV‬‬
‫‪u dM F ext‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪dt M (t ) dt M (t‬‬
‫כדור מלא‬
‫‪ u‬מהירות יחסית לגוף‬
‫דיסקה‬
‫‪2‬‬
‫‪MR 2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪MR 2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪MR 2‬‬
‫‪2‬‬
‫משוואת התנועה לגוף קשיח‬
‫תנועה הרמונית פשוטה‬
‫‪ I‬‬
‫תנודות ללא ריסון‪:‬‬
‫משוואת התנועה ‪x   x‬‬
‫ופתרונה‪x(t )  A sin(t   ) :‬‬
‫אנרגיה קינטית סיבובית‬
‫‪1 2‬‬
‫‪I‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪E K  MVcm2  I 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫תנודות עם ריסון‪:‬‬
‫‪E rot ‬‬
‫‪1‬‬
‫משוואת התנועה ‪x  x  0 2 x  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪:)  ‬‬
‫משפט שטיינר‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0 ‬‬
‫) ‪ Ae sin( 0   t  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪x(t )  ‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪ A1  A2t  e  t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 02 t‬‬
‫‪  2 02 t‬‬
‫‪A‬‬
‫‪e‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e   t 0 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪i‬‬
‫‪‬‬
‫‪  rF‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫ופתרונה עבור המקרים השונים (‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪m R12  R22‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪I=Icm+Mh2‬‬
‫תנע זוויתי‬
‫‪J  r  p  I‬‬
‫הכוח הריבועי ההפוך‬
‫‪C‬‬
‫ˆ‪F  2 r‬‬
‫‪r‬‬
‫כוח המשיכה‪C  GM1M 2 :‬‬
‫כוח חשמלי‪C  kQ1Q2 :‬‬
‫מסלולים בכוח ריבועי הפוך‪:‬‬
‫‪1 1‬‬
‫משוואת המסלול ‪ 1  e cos  ‬‬
‫‪r s‬‬
‫‪1 CM‬‬
‫‪ – s‬רוחב החתך הקוני‬
‫‪‬‬
‫‪s‬‬
‫‪J2‬‬
‫‪ - e‬אקסצנטריות‬
‫‪1/2‬‬
‫‪ 2 EJ 2 ‬‬
‫‪e  1  2 ‬‬
‫‪ C M‬‬
‫היפרבולה ‪e>1‬‬
‫פרבולה ‪e=1‬‬
‫אליפסה ‪0<e<1‬‬
‫מעגל ‪e=0‬‬
‫כאשר ‪ M‬מסת הגוף‪ J ,‬תנע זויתי‪ E ,‬אנרגיה‬
‫אנרגיה כוללת של גוף במסלול אליפטי‪:‬‬
‫‪Mm‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪E  G‬‬
‫משוואות האליפסה‪:‬‬
‫‪r2  r1‬‬
‫‪r2  r1‬‬
‫‪e‬‬
‫) ‪a(1  e2‬‬
‫‪1  e cos ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ r1, r2‬המרחקים‬
‫לפריהליון‪/‬אפהליון‬
‫‪ a‬הציר הגדול של האליפסה (המרחק ממרכז‬
‫האליפסה לקצה המרוחק ביותר)‪.‬‬
‫‪ b  a 1  e 2‬הציר הקטן של האליפסה‪.‬‬
‫חוקי קפלר‬
‫‪ .1‬כוכבי לכת נעים במסלולים אליפטיים‬
‫סביב השמד כאשר השמש באחד‬
‫ממוקדיהם‪.‬‬
‫‪ .2‬הרדיוס וקטור‪ ,‬המחבר את השמש עם‬
‫כוכב‪-‬הלכת מכסה שטחים שווים‬
‫בזמנים שוים‪.‬‬
‫‪GM a13 a23‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪4 2 T12 T2 2‬‬
‫‪ T‬זמן מחזור‪ a ,‬הציר הגדול של‬
‫האליפסה‪.‬‬
‫הקבוע הגרביטציוני‬
‫‪m3‬‬
‫‪G  6.67 1011 2‬‬
‫‪s kg‬‬
‫‪M e  61024 kg‬‬
‫‪Re  6.4 106 m‬‬
‫תורת היחסות‬
‫יחידות‬
1eV  1.602 10
19
1

J
1  2
1MeV  10 eV
v
c
, 
6
‫פוטון‬/‫אור‬
‫טרנספורמצית לורנץ‬
c  3 10 m / sec ‫מהירות האור‬
8
x '    x  vt 
E ph  P  c :‫אנרגית הפוטון‬
f
1

v
f0
1
c
 vx 
t '   t  2 
 c 
‫אפקט דופלר הקלאסי‬
‫טרנספורמצית מהירויות‬
1 v
f viewed
c f

transfered
1 v
c
‫אפקט דופלר יחסותי‬
Vy ' 
Vy
 V v 
 1  x 2 x 
c 

Vx ' 
Vz ' 
Vx  vx
V v
1 x 2 x
c
Vz
 V v 
 1  x 2 x 
c 

‫תנע ואנרגיה יחסותיים‬
E   mc
p   mv
2
E 2  P2c2  m2c4
‫טרנספורמציה לתנע ואנרגיה יחסותיים‬
E '    E  vx Px 
v 

Px '    Px  x2 E 
c 

Py '  Py
,
F
P

c
E
,
Pz '  Pz
dP d ( mv )
:‫כוח‬

dt
dt
i
vcm
i
i
i
2
‫מהירות מערכת מרכז המסה‬
‫מתמטיקה‬
‫וקטורים‬
‫מכפלה סקלרית‬
   
a  b  a b cos  a x bx  a y by  a z bz
‫זהויות טריגונומטריות‬
sin(a  b)  sin a cos b  cos a sin b
sin(a  b)  sin a cos b  cos a sin b
cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b
cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b
sin 2a  2sin a cos a
cos 2a  cos ² a - sin ² a  2 cos ² a - 1  1 - 2 sin ² a
â  b̂  cos 
aˆ 

a
a
‫וקטור יחידה‬
 

a  a  a x2  a y2  a z2  a  a


b ‫ על‬a ‫היטלי וקטור‬

( a  bˆ)  bˆ
 
a  b | a || b | sin 
:‫מכפלה וקטורית‬
‫כיוון כלל יד ימין‬
a  b   a y bz  az by  xˆ   az bx  axbz  yˆ   axby  a y bx  zˆ
‫טריגונומטריה‬
:‫שטחים ונפחים‬
. A r
2
: r ‫שטח עיגול ברדיוס‬
P  2 r : r ‫הקף מעגל ברדיוס‬
S  4 r 2 : r ‫מעטפת כדור ברדיוס‬
4 r 3
V
3 : r ‫נפח כדור ברדיוס‬
V   r 2 h : h ‫ בגובה‬r ‫נפח גליל ברדיוס‬
S  2 rh : h ‫ בגובה‬r ‫מעטפת גליל ברדיוס‬
:‫משפט הסינוסים והקוסינוסים‬
a
b
c


 2r
sin  sin  sin 
c 2  a 2  b2  2ab cos
)‫ (נק' שיווי משקל‬x0 ‫ סביב‬f ‫פיתוח טיילור של‬
f ( x) 


i 0
f
(i )
( x0 )
( x  x 0 )i
i!
dl  rd :‫אורך קשת‬
‫מערכת פולארית‬
2 
r̂  x̂ cos   ŷ sin 
  sin  d d  4
0 0
.
ˆ  x̂ sin   ŷ cos 

r (t )  rrˆ

v (t )  rrˆ  rˆ

a (t )  [r  r 2 ]rˆ  [ 2r  r]ˆ
‫קואורדינטות‬
‫כדוריות‬
‫גליליות‬
(r ,  ,  )
x  r sin  cos  ,
y  r sin  sin  ,
z  r cos  ,
‫קרטזיות‬
‫ערכים‬
( r , , z )
( x, y, z )
x  r cos  , y  r sin  , z  z
y
x 2  y 2  r 2 , tan  
x
-‫טרנספור‬
‫מציות‬
x2  y 2  z 2  r 2
z
z
cos   
,
2
r
x  y2  z2
y
x
0     , 0    2
tan  
 f 
1  2
1 
1 f
(r  f r ) 
(sin( ) f ) 
2
r r
r sin( ) 
r sin( ) 
f 
1  
(sin( ) f    r 

r sin( )  
 
 1

f r 1 

(rf )   

r
sin(

)


r

r


 f 
f r
1 
 (r  f 
r  r

 f 
1 
1 f f z
(r  f r ) 

r r
r  z
 1 f z f   f r f z
 f  


r  
 r  z   z r
f 
1 
  (r  f  r  Z
r  r
 
1   2 f 
r

r 2 r  r 
1
 
f 
1
2 f
 2
 sin( )   2 2
r sin( )  
  r sin ( )  2
f x f y f z


x y z
 f f 
 f   z  y  X 
 y z 
f 
 f
  x  z Y 
 z x 
 f
f 
 y  x Z
 x y 



2 f 

 

 f 
2 f 
1   f  1  f  f

r  
r r  r  r 2  2 z 2
2
2
2 f 
2 f 2 f 2 f


x2 y 2 z 2
drrˆ  rdˆ  r sin  dˆ
drrˆ  rdˆ  dzzˆ
dxxˆ  dyyˆ  dzzˆ
r 2 sin drdd
rdrd dz
dxdydz
xˆ  sin  cos  rˆ  cos  cos ˆ  sin ˆ
yˆ  sin  sin  rˆ  cos  sin ˆ  cos ˆ
xˆ  cos  rˆ  sin ˆ
yˆ  sin  rˆ  cos ˆ
zˆ  cos  rˆ  sin ˆ
zˆ  zˆ
.
rˆ 
xxˆ  yyˆ  zzˆ
|r|
‫דיברגנץ‬
‫רוטור‬
‫לפלסיאן‬
dl
‫דיפרנציאל‬
‫אורך‬
dV
‫דיפרנציאל‬
‫נפח‬
‫וקטורי יחידה‬
‫אינטגרלים‬
x n 1
1.
 x n dx  n  1  c,
a
3.
x
dx 
‫טריגו‬
n  1
ax
c
ln a
 sinh xdx  cosh x  c
5.
 csc h
7.
2
8.
xdx   coth x  c
1
 sin xdx  2  x  sin x cos x 
1
 a  bx dx  b ln  a  bx 
19.
x
21.
23.
 tan xdx   ln cos x  c
1

dx

a2  x2
dx
a  x2
2
 arcsin
x
x
2
18.
xdx  tanh x  c
x
24.
x
a
 a  bx dx  b  b
22.
 ln( x  x 2  a 2 )  c
  
  
cos  cos   2 cos
 cos

 2 
 2 
9.
     
cos  cos   2 sin
 sin

 2   2 
  
  
sin   sin   2 sin
 cos

 2 
 2 
11.

13.
16.
19.
21.
22.
1. d
dx
d
1
 cot x   2
dx
sin x
1
7. d 
arccos x   
dx
1 x2
dx
1
1 x2
d x
a   a x ln a
dx
13. d  f  g   df g  f dg
dx
dx
dx
3. d 
cos x    sin x
dx
11.
5.
d
1
 cot x   2
dx
sin x
2.
d
 sin x   cos x
dx
4. d
dx
tgx  cos1
2
x
 x n   nx n1
2.
2. d
 sin x   cos x
dx
4. d
dx
tgx  cos1
2
10. d
dx
log x  1x log
a
a
e
d n
 x   nx n1
dx


sin 2  2 sin  cos
tan 2 
2 tan 
1  tan 2 






1
cos     cos   
2
10.
sin  sin  
1
cos     cos   
2
12.
sin  cos  
1
sin     sin   
2
dy dy du

dx du dx
d  f  f g  fg 
 
dx  g 
g2
14.
1
(1  cos )
2

cosh 2   sinh 2   1
cos cos  
12.
14.
2
tan 2
6.
8.

sin 2
1  tanh 2   cosh 2 
x
d
1
 arcsin x  
dx
1 x2
d
8.
arctgx  1 1x 2
dx
1  tan 2   sec 2 
cos 2  cos2   sin 2 
4.
6.
sin   
cos cos 
1  cos
2 1  cos
1
4
sin   cos4   1  sin 2 2
2
18.
2
5.
 arc cot x   
tan   tan  
14.
ln  a  bx 
2
dx
1
x
arctan  c
2 
a
a
a
dx
1
x
 x x 2  a 2  a arc sec a  c
dx
 ln( x  x 2  a 2 )  c
2
x  a2
x
d
 cos x    sin x
dx
9. d
tan   tan 
1  tan  tan 
7.
‫דיפרנציאלים‬
3.

14.
20.
x
c
a

tan    
5.
 cosh xdx  sinh x  c
 sec h

3. sin     sin  cos   cos  sin 
c
1
2
 cos xdx  2  x  sin x cos x 
16.
 ln xdx  x(ln x  1)
dx
1  x  a

ln
 c
 a 2 2a  x  a 
2
 e dx  e

1. cos     cos  cos   sin  sin 
dx  ln x  c
10.
2
17.
4.
1
 coth xdx  ln sinh x  c
12. cos xdx  sin x  c

 tanh xdx  ln cosh x  c
11. sin xdx   cos x  c

15.
x
6.
9.
13.
2.
20.
15.
1  cot 2   csc 2 
17.
cos2

2

1
(1  cos )
2
3
sin 6   cos6   1  sin 2 2
4
23.
coth 2   1  sinh 2 