3-MAVZU.
BIRINCHI TARTIBLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR. BERNULLI VA
OʻZGARMASLARNI VARIATSIYALASH USULLARI. BERNULLI VA
KLERO TENGLAMALARI.
Ixtiyoriy birinchi tartibli differensial tenglamani yechish talab qilingan boʻlsa,
birinchi navbatda ushbu differensial tenglamada oʻzgaruvchilarni ajratish
mumkinmi-yoʻqligini tekshirish lozim. Agar differensial tenglamada
oʻzgaruvchilarni ajratishni iloji boʻlmasa, u holda differensial tenglamani bir
jinslilikka tekshirish lozim. Har ikkala holda ham differensial tenglamani yechish
algoritmini bilamiz.
Agar birinchi tartibli differensial tenglamada oʻzgaruvchilarni ajratishni iloji
boʻlmasa va tenglama bir jinsli ham boʻlmasa, u holda 90% holatlarda chiziqli bir
jinsli boʻlmagan birinchi tartibli differensial tenglamaga duch kelamiz.
Chiziqli bir jinsli boʻlmagan birinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy
koʻrinishi
𝑎(𝑥) ∙ 𝑦 ′ (𝑥) + 𝑏(𝑥) ∙ 𝑦(𝑥) = 𝑐(𝑥)
standart koʻrinishi esa
𝑦 ′ (𝑥) + 𝑝(𝑥) ∙ 𝑦(𝑥) = 𝑞(𝑥)
boʻladi.
Standart koʻrinishda berilgan chiziqli bir jinsli boʻlmagan birinchi tartibli
differensial tenglamani ikki xil usulda yechishni koʻrib chiqamiz:
1)
2)
Oʻzgarmasni variatsiyalash usuli.
Bernulli usuli.
Oʻzgarmasni variatsiyalash usuli algoritmi quyidagicha:
1. 𝑦 ′ + 𝑝(𝑥) ∙ 𝑦 = 0 – oʻzgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama yechiladi
⟹ 𝑦(𝑥) = 𝑓(𝑐, 𝑥) – umumiy yechim topiladi.
2. 𝒄 ni oʻrniga biror bir u(x) – x ning funksiyasini qoʻyamiz ⟹ 𝑐 = 𝑢(𝑥) ⟹
𝑦(𝑥) = 𝑓(𝑢(𝑥), 𝑥), usulning nomi ham shundan kelib chiqqan – oʻzgarmasni
variatsiyalash (oʻzgartirish)
3. 𝑦(𝑥) = 𝑓(𝑢(𝑥), 𝑥) ni 𝑦 ′ + 𝑝(𝑥) ∙ 𝑦 = 𝑞(𝑥) differensial tenglamaga qoʻyamiz.
Eslatma: Ushbu fokusdan keyin tenglama oʻzgaruvchilari ajraladigan differensial
tenglamaga kelishi lozim!
4. Hosil boʻlgan oʻzgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamani yechib, u(x)
ni topamiz.
5. u(x) ni ifodasini 𝑦(𝑥) = 𝑓(𝑢(𝑥), 𝑥) ga qoʻyib umumiy yechimni topamiz.
Misol 1. 𝑦 ′ + 2𝑥𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑒 −𝑥
1. 𝑦 ′ + 2𝑥𝑦 = 0 ⟹
2. 𝑦 = 𝐶 ∙ 𝑒
2
−𝑥 2
𝑑𝑦
𝑦
2
= −2𝑥𝑑𝑥 ⟹ 𝑙𝑛|𝑦| = −𝑥 2 + 𝑐 ⟹ 𝑦 = 𝐶 ∙ 𝑒 −𝑥
⟹ 𝐶 = 𝑢(𝑥) ⟹ 𝑦 = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑒 −𝑥
′
2
3. (𝑢 ∙ 𝑒 −𝑥 ) + 2𝑥 ∙ 𝑢 ∙ 𝑒 −𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑒 −𝑥
−𝑥 2
2
2
2
⟹
−𝑥 2
2
𝑢′ ∙ 𝑒
+ 𝑢 ∙ (−2𝑥) ∙ 𝑒
+ 2𝑥 ∙ 𝑢 ∙ 𝑒 −𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑒 −𝑥
𝑢′ = 𝑥
1
4. 𝑢′ = 𝑥 ⟹ 𝑢 = 𝑥 2 + 𝐶
2
⟹
2
5. 𝑦 = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑒
−𝑥 2
1
⟹ 𝑦 = ( 𝑥 2 + 𝐶) ∙ 𝑒 −𝑥
2
2
𝑦
2
Misol 3. 𝑦 ′ + − 2𝑒 𝑥 = 0, 𝑦(1) = 𝑒
𝑥
Misol 4. 𝑦 ′ −
2𝑦
𝑥+1
= (𝑥 + 1)3 , 𝑦(0) =
Misol 5. 𝑦 ′ + 𝑦 ∙ 𝑡𝑔𝑥 =
1
2
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
Bernulli usuli algoritmi quyidagicha:
1. 𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑣 ⟹ bunda 𝑢, 𝑣 − hozircha nomaʼlum funksiyalar,
almashtirish bajaramiz.
2. 𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑣 almashtirishni differensial tenglamaga qoʻyamiz ⟹
(𝑢 ∙ 𝑣)′ + 𝑝(𝑥) ∙ 𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑞(𝑥) ⟹ 𝑢′ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣 ′ + 𝑝(𝑥) ∙ 𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑞(𝑥)
3. Ikkinchi va uchinchi qoʻshiluvchilardan qavsdan tashqariga chiqarsa
boʻladigan hamma narsa chiqariladi:
𝑢′ 𝑣 + 𝑢(𝑣 ′ + 𝑝(𝑥)𝑣) = 𝑞(𝑥)
4. Tenglamalar sistemasiga kelamiz:
𝑣 ′ + 𝑝(𝑥)𝑣 = 0
{ ′
𝑢 𝑣 = 𝑞(𝑥)
5. Birinchi tenglamadan v ni topamiz, faqat bu bosqichda C qatnashmaydi.
6. v ni ifodasini 2-tenglamaga qoʻyib u ni topamiz, C qatnashadi.
7. 𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑣 – ga u va v – lar ifodalarini qoʻyamiz.
Misol 2. 𝑦 ′ = 2𝑥(𝑥 2 + 𝑦)
1. 𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑣
2. 𝑢′ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣 ′ − 2𝑥 ∙ 𝑢 ∙ 𝑣 = 2𝑥 3 ⟹ 𝑢′ 𝑣 + 𝑢 ∙ (𝑣 ′ − 2𝑥 ∙ 𝑣) = 2𝑥 3
𝑣 ′ − 2𝑥𝑣 = 0
3. { ′
𝑢 𝑣 = 2𝑥 3
2
𝑑𝑣
4. 𝑣 ′ − 2𝑥𝑣 = 0 ⟹
= 2𝑥𝑑𝑥 ⟹ 𝑙𝑛|𝑣| = 𝑥 2 ⟹ 𝑣 = 𝑒 𝑥 ,
𝑣
bu bosqichda 𝑐 − qatnashmaydi.
2
5. 𝑢′ 𝑣 = 2𝑥 3 ⟹ 𝑢′ ∙ 𝑒 𝑥 = 2𝑥 3 ⟹ 𝑢′ = 2𝑥 3 ∙ 𝑒 −𝑥
2
⟹
2
2
2
𝑢 = ∫ 2𝑥 3 ∙ 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 2 ∙ 𝑒 −𝑥 − 𝑒 −𝑥 + 𝑐
2
2
2
2
6. 𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑣 ⟹ 𝑦 = (−𝑥 2 ∙ 𝑒 −𝑥 − 𝑒 −𝑥 + 𝑐) ∙ 𝑒 𝑥 = −𝑥 2 − 1 + 𝑐 ∙ 𝑒 𝑥 umumiy yechim boʻladi.
BERNULLI DIFFERENSIAL TENGLAMASI.
Bernulli differensial tenglamasi deb,
𝑦 ′ + 𝑝(𝑥) ∙ 𝑦 = 𝑞(𝑥) ∙ 𝑦 𝑎
koʻrinishdagi differensial tenglamaga aytiladi.
Koʻrinib turibtiki Bernulli differensial tenglamasi tuzilishi boʻyicha chiziqli bir jinsli
boʻlmagan birinchi tartibli differensial tenglamani eslatayapti. Differensial tenglama
Bernulli differensial tenglamasi ekanligini aniqlash uchun oʻng tomonda y ning adarajasi qatnashganligidir.
𝑎 = 0 boʻlganda 𝑦 ′ + 𝑝(𝑥) ∙ 𝑦 = 𝑞(𝑥)
𝑎 = 1 boʻlganda 𝑦 ′ + (𝑝(𝑥) − 𝑞(𝑥)) ∙ 𝑦 = 0
koʻrinishdagi differensial tenglamalarga keladi, ularni qanday qilib yechishni esa
koʻrib chiqdik.
y ning darajasidagi a –musbat ham (a>0), manfiy ham (a<0), kasr son ham
1
1
(𝑎 = 2 ⟹ 𝑦 2 = √𝑦 ) boʻlishi mumkin.
Bernulli tenglamasi turli xil koʻrinishlarda berilishi mumkin:
𝑟(𝑥) ∙ 𝑦 ′ + 𝑝(𝑥) ∙ 𝑦 = 𝑞(𝑥) ∙ 𝑦 𝑎
𝑟(𝑥) ∙ 𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑞(𝑥) ∙ 𝑦 𝑎
𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑞(𝑥) ∙ 𝑦 𝑎
𝑦 ′ + 𝑝(𝑥) ∙ 𝑦 = 𝑦 𝑎
Muhimi y ning birdan farqli darajasi qatnashsa boʻlgani. a>0 boʻlganda y=0 yechim
Bernulli tenglamasining xususiy yechimi boʻladi.
Shunday qilib Bernulli tenglamasini yechish algoritmi quyidagicha:
1. Oʻng tomondagi 𝑦 𝑎 dan qutulish lozim. Buning uchun tenglamani ikkala
tomonini 𝑦 𝑎 ga boʻlamiz.
𝑦′
+ 𝑝(𝑥) ∙ 𝑦1−𝑎 = 𝑞(𝑥)
𝑎
𝑦
1−𝑎
2. 𝑦
dan qutulish lozim, buning uchun 𝑦1−𝑎 = 𝑧 deb belgilash kiritamiz.
3. 𝑧 ′ = (1 − 𝑎)
𝑦′
𝑦𝑎
⟹ 𝑦′ =
𝑦𝑎
1−𝑎
𝑧′ ⟹
1
1−𝑎
𝑧 ′ + 𝑝(𝑥) ∙ 𝑧 = 𝑞(𝑥)
koʻrinishdagi chiziqli bir jinsli boʻlmagan 1-tartibli differensial tenglamaga
kelamiz. Uni yechish algoritmini esa bilamiz.
Misol 3. √1 − 𝑥 2 ∙ 𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑦 2 , 𝑦(0) = −1
1. Oʻng tomonda y dan qutulish kerak.
2. Konturga olingan qoʻshiluvchida y dan qutulish kerak, buning uchun
1
𝑦
=𝑧
almashtirish bajaramiz.
3. 𝑧 ′ = −
𝑦′
𝑦2
⟹ 𝑦 ′ = −𝑦 2 ∙ 𝑧 ′ ⟹ −√1 − 𝑥 2 ∙ 𝑧 ′ + 𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 ⟹
𝑧′ −
1
√1 − 𝑥 2
𝑧=−
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥
√1 − 𝑥 2
Natijada Bernulli differensial tenglamasidan chiziqli bir jinsli boʻlmagan birinchi
tartibli differensial tenglamaga kelamiz. Bunday tenglamalarni yechish usullarini
esa bilamiz.
KLERO DIFFERENSIAL TENGLAMASI
Taʼrif. x va y ga nisbatan chiziqli boʻlgan koeffitsiyentlari esa 𝑦 ′ ning funksiyalari
boʻlgan differensial tenglamaga
𝐹(𝑦 ′ ) ∙ 𝑥 + 𝑄(𝑦 ′ ) ∙ 𝑦 + 𝑅(𝑦 ′ ) = 0
LAGRANJ DIFFERENSIAL TENGLAMASI deyiladi.
Ushbu tenglamani yechish algoritmi quyidagicha:
1) Umumiy yechimni topish uchun 𝑝 = 𝑦 ′ oʻzgaruvchi almashtiriladi.
Differensial tenglama quyidagicha koʻrinishga keltiriladi:
𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑓(𝑝) + 𝜑(𝑝)
bunda 𝑓(𝑝) = −
𝐹(𝑦 ′ )
𝑄(𝑦 ′ )
,
𝜑(𝑝) = −
𝑅(𝑦 ′ )
𝑄(𝑦 ′ )
2) Ushbu tenglamani 𝑦 ′ = 𝑝 ⟹ 𝑑𝑦 = 𝑝𝑑𝑥
differensiallaymiz.
ekanligini eʼtiborga olib
𝑑𝑦 = 𝑑(𝑥 ∙ 𝑓(𝑝) + 𝜑(𝑝)) ⟹ 𝑝𝑑𝑥 = 𝑓(𝑝)𝑑𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑓 ′ (𝑝)𝑑𝑝 + 𝜑 ′ (𝑝)𝑑𝑝
3) x ga nisbatan chiziqli boʻlgan ushbu differensial tenglamaning yechimi
x=F(p,c) boʻlsa, u holda Lagranj differensial tenglamaning umumiy yechimi
quyidagicha boʻladi:
𝑥 = 𝐹(𝑝, 𝑐)
{
𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑓(𝑝) + 𝜑(𝑝) = 𝐹(𝑝, 𝑐) ∙ 𝑓(𝑝) + 𝜑(𝑝)
Taʼrif. x va y ga nisbatan chiziqli boʻlgan koeffitsiyentlari esa 𝑦 ′ ning funksiyalari
boʻlgan quyidagicha differensial tenglamaga
𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑦 ′ + 𝜑(𝑦 ′ )
KLERO DIFFERENSIAL TENGLAMASI deyiladi.
Klero differensial tenglamasi Lagranj differensial tenglamasining xususiy holi
hisoblanadi. Ushbu differensial tenglamani yechish algoritmi quyidagicha:
1) 𝑦 ′ = 𝑝 ⟹ 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑝 + 𝜑(𝑝)
2) 𝑦 ′ = 𝑝 ⟹ 𝑑𝑦 = 𝑝𝑑𝑥 ⟹ 𝑑𝑦 = 𝑑(𝑥 ∙ 𝑝 + 𝜑(𝑝)) ⟹
𝑦 ′ 𝑑𝑥 = 𝑝𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑝 + 𝜑 ′ (𝑝)𝑑𝑝 ⟹ 𝑝𝑑𝑥 = 𝑝𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑝 + 𝜑 ′ (𝑝)𝑑𝑝
Oxirgi ifodani dx ga boʻlamiz
𝑝=𝑝+𝑥
𝑥 + 𝜑 ′ (𝑝) = 0
3) {
𝑑𝑝 = 0
𝑑𝑝
𝑑𝑝
𝑑𝑝
+ 𝜑 ′ (𝑝)
⟹ (𝑥 + 𝜑 ′ (𝑝))
=0
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
⟹
Birinchi yechim: 𝑑𝑝 = 0 ⟹ 𝑝 = 𝐶 ⟹ 𝑦 = 𝐶 ∙ 𝑥 + 𝜑(𝐶)
𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑝 + 𝜑(𝑝)
Ikkinchi yechim esa: {
parametrik tenglamalar sistemasini yechish
𝑥 + 𝜑 ′ (𝑝) = 0
orqali hosil qilinadi. Hosil boʻlgan F(x,y)=0 ikkinchi yechim ixtiyoriy oʻzgarmas
sonni oʻz ichiga olmaydi va umumiy yechimdan ham C ning biror bir qiymati orqali
hosil qilinmaydi, demak xususiy yechim emas. Bunday yechimlar maxsus yechim
(integral) hisoblanadi. Shunday qilib Klero tenglamasining maxsus yechimi
umumiy yechim (integral) bilan berilgan toʻgʻri chiziqlar oilasining egilish chizigini
aniqlaydi, boshqacha qilib aytganda maxsus yechimning ixtiyoriy nuqtasiga
oʻtqazilgan urinma ham differensial tenglama yechimi boʻladi.
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b3/EnvelopeAnim.gif
Klero differensial tenglamasi koʻp hollarda analitik geometriyada 2-tartibli egri
chiziqlarni qurish uchun ishlatiladi. Egri chiziqni uning urinmasiga qoʻyilgan
xossalari boʻyicha aniqlaydigan geometrik masalalar Klero tenglamasiga olib keladi.
Ushbu xossa aynan urinmaga tegishli boʻlib, urinadigan nuqtaga tegishli emas.
Haqiqatdan ham urinma tenglamasi:
𝑌 − 𝑦 = 𝑦 ′ (𝑋 − 𝑥) yoki 𝑌 = 𝑦 ′ 𝑋 + (𝑦 − 𝑥𝑦 ′ )
Urinmaning har qanday xossasi (𝑦 − 𝑥𝑦 ′ ) va 𝑦 ′ oʻrtasidagi munosabat bilan
aniqlanadi:
Ф(𝑦 − 𝑥𝑦 ′ , 𝑦 ′ )=0
Ushbu tenglamani 𝑦 − 𝑥𝑦 ′ ga nisbatan yechilsa, aynan
𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑦 ′ + 𝜑(𝑦 ′ ) Klero tenglamasiga kelamiz.
Misol. 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑦 ′ + (𝑦 ′ )2
1) 𝑦 ′ = 𝑝 ⟹ 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑝 + 𝑝2
2) 𝑦 ′ = 𝑝 ⟹ 𝑑𝑦 = 𝑝𝑑𝑥 ⟹ 𝑑𝑦 = 𝑑(𝑥 ∙ 𝑝 + 𝑝2 )
𝑦 ′ 𝑑𝑥 = 𝑝𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑝 + 2𝑝𝑑𝑝 ⟹ 𝑝𝑑𝑥 = 𝑝𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑝 + 2𝑝𝑑𝑝
Oxirgi ifodani dx ga boʻlamiz
𝑝 =𝑝+𝑥
𝑑𝑝
𝑑𝑥
+ 2𝑝
𝑑𝑝
𝑑𝑥
⟹ (𝑥 + 2𝑝)
𝑑𝑝
𝑑𝑥
= 0 – ushbu tenglama mumkin boʻlgan
ikki xil yechimga ega.
𝑥 + 2𝑝 = 0
3) {
𝑑𝑝 = 0
⟹
1-yechim: 𝑑𝑝 = 0 ⟹ 𝑝 = 𝐶 ⟹ 𝑦 = 𝐶 ∙ 𝑥 + 𝜑(𝐶)
umumiy integrali (yechimi) toʻgʻri chiziqlar
oilasini tashkil qiladi.
Klero tenglamasining
2-yechim: yechim parametrik koʻrinishda
tenglamalar sistemasidan topiladi:
𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑝 + 𝑝2
⇒
{
𝑥 + 2𝑝 = 0
ushbu sistemadan 𝑝 ni yoʻqotib
yechimni topamiz
𝑥
𝑝=−
2
ikkinchi
𝑥
𝑥 2
𝑥2
𝑥2
⇒ 𝑦 = 𝑥 ∙ (− ) + (− ) = −
⇒ 𝑦=−
2
2
4
4
Ikkinchi yechim ixtiyoriy oʻzgarmas sonni oʻz ichiga olmaydi va umumiy
yechimdan ham C ning biror bir qiymati orqali hosil qilinmaydi, demak xususiy
yechim emas. Bunday yechimlar maxsus yechim (integral) hisoblanadi.
https://www.desmos.com/calculator/c1gcgdzeec