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大学物理-质点运动学教案

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大 学 物 理 学 教 案
1
授课章节
教学目的
教学重点、难点
第 1 章 质点运动学
1. 了解描述物体的运动的三个必要条件:参考系(坐标系),物理
模型(质点等),初始条件;
2. 熟悉掌握用适量描述物体运动的方法;即掌握四个物理量:位置
矢量、位移、速度、加速度的矢量定义式及其在直角坐标系、自然坐
标系中的表示式;
3. 掌握用微积分的方法处理运动学中的两类问题;
4. 掌握质点作圆周运动的线量、角量的描述;
5. 理解相对运动的有关概念和基本计算方法。
1.
2.
3.
4.
准确理解质点模型的内涵和外延,并能具体实际应用;
掌握任何物理量的矢量增量的模和矢量模的增量的区别。
准确理解线速度和角速度之间的矢量关系;
掌握运动参考系和静止参考系之间的物理量的具体描述。
教学内容
备注
绪论
1. 物理学的研究对象
物理学是关于自然界最基本形态的科学,它研究物质的结构和相互作用
以及物质的运动。
物质有两种不同的形态:一类是实物,另一类是场.实物包括微观粒子
和宏观物体,它的范围是从基本粒子的亚核世界到整个宇宙.场包括引力场、
电磁场和量子场等。
物质运动和物质间的相互作用是物质的普遍属性。
大学物理课程的内容体系可以按以下顺序:
(1)力学和相对论——讨论机械运动和时空性质;
(2)热学——讨论由大量分子组成的热力学系统的统计性规律和宏观表
现;
(3)电磁学——讨论电磁场的运动规律和电磁相互作用;
(4)波动学——讨论宏观领域的波动规律,包括机械波、电磁波和光波;
(5)量子物理学——讨论微观粒子的波粒二象性和量子运动的特征。
2. 物理学和科学技术的关系
物理学是一切自然科学的基础,处于诸多自然科学学科的核心地位;
物理学的发展,广泛而直接地推动着技术的革命和社会的文明。
3. 如何学好大学物理学
1)注意大学物理与中学物理之不同,掌握矢量性,瞬时性,相对性;
2)突出物理图象与物理模型的建立,最后是整个物理框架的建立;
3)对于物理公式要注意前提条件和应用范围;对于物理概念要注意注
重其建立过程以及内涵和外延。
一、力学篇引言
力学的研究对象──机械运动
1
大学物理学
大 学 物 理 学 教 案
第 1 章 质点运动学
§1.1
参考系、坐标系、物理模型
运动学是研究如何描述物体的空间位置随时间变化的关系,即如何表示
一个物体的运动轨迹,运动的快慢,运动变化的情况等。
一、运动的绝对性和相对性
我们生活的世界是一个永恒运动着的物质世界,即使是最简单的机械
运动,从物体的位置变动来看,运动是绝对的,而“静止”只有相对的意
义。
但是,在描述物体的运动时,人们会发现同一个物体的运动,相对不
同的参考物体,可以得出完全不同的结论。如:在匀速运动的车厢内自由
落体的质点,在地面观察则做抛物线运动。
v
v
车厢
地
不同参考系中运动的描述不同
二、参考系
在描述物体的运动时,被选作参考的物体或物体系称为参考系。
在地面及地面附近运动,通常取地球为参考系;
行星、天体运动通常取太阳为参考系。
三、坐标系
为了定量描述物体的运动,还需要在参考系上建立适当的几何框架即坐
标系。常用的有直角坐标系、极坐标系、自然坐标系、球坐标系等。
四、质点
实际物体都有大小和形状,一般说来,运动情况很复杂,但是,如果物
体的大小和形状在所研究的问题中不起作用或作用很小,就可以忽略其大小
和形状,而把它抽象为一个只有质量的几何点—质点。
应用质点模型的条件为:
(1)当物体运动的空间范围 r 远大于物体自身线度 l 时;
(2)物体只作平动时。
平动:其上任意两点的连线始终保持不变。
A
A
物体的平动
2
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§1.2
位置矢量 位移 速度 加速度
一、描述质点运动的物理量
1、位置矢量
由坐标原点引向考察点的矢量,简称位矢,用 r 表示。
在直角坐标系中为
r= xi + yj + zk,
r  x2  y2  z 2
;
r 的方向余弦是
x
,
r
y
cos  ,
r
z
cos  。
r
cos 
在平面极坐标系中
r = rr0,
在自然坐标系中
r = r(s)。
运动方程
描写质点的位置随时间变化的函数关系式称为运动方程。记为
x = x(t),y = y(t),z = z(t)
r = r(t),
Y
s = s(t)。
例 1: 如质点作圆周运动时,有
x = rcos t ,y = rsin  t
y
消去时间 t,就得轨道方程
\r
x y  r 。
2
2
v
2
t
Y
x
0
2、位移和路程
位移 r
X
例 1-1
图
(1)定义: r  r2  r1 ,
B
A
3
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注意:
(1)增量的模 r 与模的增量 r 不是同一个量;
(2)位移在直角坐标系中的表示式为
r  xi +  y j + z k 。
路程 s :t 时间内质点在空间内实际运行的路径距离位移和路程的比
较与联系:
a.矢量与标量,

b.r  仅由始未位置决定与轨道形状无关;
(1) 不同处 
 s  与轨道形状及往返次数有关;
c.在一般情况下 r  s.

(2) 联系在 t →0 时, dr  ds ,但仍然 dr  dr 。
3、 速 度
平均速度 v  r 与平均速率 v  s
t
t
(1)、在一般情况下平均速度大小不等于平均速率 v  v .
(2)
、 v 在直角坐标系中的表示式
v
x y
z
i
j
k
t
t
t


s ds
r dr
与瞬时速率 v  lin
的关系:


t 0 t
t 0 t
dt
dt
ds
(1)
、瞬时速度大小 v  dr  dS  v ,等于瞬时速率 v 
。
dt
dt
dt
瞬时速度 v  lin
v  v  0 ,  0 为切线方向单位矢量。
(2)、 v 在直角坐标系中的表示式
v
dx dy
dz
i
j k =
dt
dt
dt
vx i + v y j + v z k 。
4、加速度
v
与瞬时加速度
t
v dv d 2 r
,
a  lin


t 0 Δt
dt dt 2
平均加速度 a 
速度的增量
加速度在直角坐标系中的表示
2
2
2
a  d x2 i + d y2 j + d z2 k ,
dt
dt
dt
4
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= a x i + a y j + az k 。
例 2: 如图,一人用绳子拉着小车前进,小车位于高出绳端 h 的平台上,
人的速率 v0 不变,求小车的速度和加速度大小。
解 小车沿直线运动,以小车前进方向为 x 轴正方向,以滑轮为坐标原
点,小车的坐标为 x,人的坐标为 s,由速度的定义,小车和人的速度大小
应为
例2图
v车 
dx
,
dt
v人 
ds
 v0 ;
dt
由于定滑轮不改变绳长,所以小车坐标的变化率等于拉小车的绳长的变化
率,即
v车 
2
2
dx dl 。

dt dt
2
又由图可以看出有 l =s +h ,两边对 t 求导得
2l
dl
ds
 2s 。
dt
dt
或
v车 
v人 s
s
v0 s
;
 v人

2
2
l
s h
s 2  h2
同理可得小车的加速度大小为
a
dv车

dt
s
v02 h 2
2
h

。
3
2 2
1.3 曲线运动的描述 运动学中的两类问题
一、直线运动的描述
若质点作直线运动,只须一个坐标即可描述。若使坐标轴与质点直线运
动的轨迹重合,则质点的运动方向只有两种可能,要么与坐标轴正向相同,
要么与坐标轴负向相同。故在直线运动中,质点的运动方向可在标量前冠以
正、负号表示之。
(1)已知位移求速度、加速度,用求导法
即由 x = x(t)
,相应有
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2
d x
dx
v
, a
。
dt 2
dt
(2)已知加速度,用积分的方法推导匀变速直线运动的三个公式。由
初始条件决定积分常数。
根据
a
dv
,
dt
所以 dv = adt 两边积分有
 dv   adt 。
若匀加速运动,则 v = at + c1 。
将初始条件 t = 0,v = v o 代入得 c1 =v 0 ,
所以 v =v o +a t;
又
即
dx
,
dt
v
dx = vdt =(v o + at)dt ,
再积分得
 dx   v
o
 at dt ,若匀加速直线运动有
1
x  v o t  at 2  c 2 。
2
将
t = 0,x = x o
故
代入得 c2  x o ;
1
x - x o  v o t  at 2 。
2
2
例 3:一质点沿 x 轴运动,其加速度 a=-kv ,式中 k 为正常数,设 t=0
时,x=0,v=0;① 求 v,x 作为 t 的函数的表示式;② 求 v 作为 x 的函数
的表示式。
解:① 因为
dv
 kv2 ,则有
dt
dv
v
2
   k  dt ;
积分得

1
  kt  c 。
v
代入 x=0,v= v 0 后,有 c=-1/v 0 。从而,可得
1 1

 kt ,
v v0
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也就是,
v0
;
1  v0 kt
v
再根据 v 
dx
,则 dx  v  dt ,代入初始条件,进行积分
dt
x
t
v0
dt ,
1  v0 kt
0
 dx  
0
可得
x
②
根据
1
ln( v0 kt  1) 。
k
dv dv dx
dv

v
  kv2 ,可得
dt dx dt
dx
dv
  kdx ,
v
代入初始条件,进行积分
v
x
dv
v v  0  kdx ,
0
可得
ln
v
 kx
v0
 v  v 0 e  kx
例 4:一质点沿 x 轴运动,其中加速度与位置的关系式为 a  2  bx 2 ,
设质点在 x=0 处,v= 10m  s ,试求质点在任何坐标处的速度值。
-1
解
∵ a
dv dv dx dv

 v ,由 a
dt dx dt dx
dv
v  2  bx 2 ,
dx
 2  bx 2 得
vdv  (2  bx 2 )dx 。
积分得
∵
∴
1 2
2
v  2x  bx 3  c ,
2
3
x  0 , v  10m/s ,
c  50 m/s , v  (4x 
1
4 3
bx  100) 2 (m/s) 。
3
二、曲线运动的描述
1、平面曲线运动
加速度的切向分量和法向分量
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切向加速度与法向加速度
由上面两图可看出, t  0 时, v   0 、 vn  n0 ,
所以有:
(1) 切向加速度: a 
dv dv
d 2s
 0  2 0 。
dt
dt
dt
(2) 法向加速度:
an 
dvn
dθ
dθ ds
dθ
 v n0  v
n0  v 2 n0 。
dt
dt
ds dt
ds
ds

d
∵
∴ an 
v2
n0 。
ρ
2、抛体运动
地面上物体以某一初速被抛出后,在竖直平面内的运动叫做抛体运动。
不计阻力时,抛体的加速度就是重力加速度,所以这是一种匀加速度运动。
用直角坐标系最方便。
ax 
dv x
 0,
dt
ay 
dv y
dt
 g 。
积分得
v0
vx  vocos ,
v y  vosin  - gt ,
x  vocost ,
1
y  v o sin t - gt 2 。
2
3、 圆 周 运 动
圆周运动的线量描述
(1)自然坐标系及其速度、加速度表示式
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位矢 r  r (s ) ,位移 dr  ds 0 ;
速度 v 
ds
 0  v 0 ;
dt
加速度 a  a  an 
(2)
dv
v2
τ 0  n0 。
dt
ρ
2
匀速圆周运动: a  0 , an  v  常数。
R
v
v
0
2
R n0
匀速圆周运动
圆周运动的角量描述
(1)角位置,角位移; 角速度  
d
;
dt
d d 2
 2 。
dt
dt
如果是匀角加速圆周运动,则有
(2)角加速度  
  0   t ,
1
2
  0   t   t 2 ,
 2  02  2 (   0 ) 。
2、线量与角量的关系
ds  Rd ;
v
ds
d
R
 R ,
dt
dt
v2
a n   R 2 。
R
dv
d
a 
R
 R ;
dt
dt
2
例 5:一质点其速度表示式为 v=1+s ,则在任一位置处其切向加速度 a
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为多少。
解:∵ a 
dv
ds
 2s  2vs  2s(1  s 2 )
dt
dt
§1.4 相对运动
参照系彼此之间有相对运动
一、绝对位矢、牵连位矢、相对位矢
绝对位矢 r — 质点相对静止参照系的位矢
牵连位矢 r0 — 运动参照系相对静止参照系的位矢
相对位矢 r  — 质点相对运动参照系的位矢
r = r0 + r  。
二、相对速度,牵连速度,相对速度
 ,
v绝  v 牵  v相
一般表示为
rAC  rAB  rBC ,
vAC  vAB  vBC 。
(A 为运动质点,B 为第一参照系,C 为第二参照系。)
例 6:一人骑自行车向东行。在速度为 10m  s 时,觉得有南风;速度
-1
增至 15m  s 时,觉得有东南风。求:风的速度。
解
画出速度矢量图如下:
-1
v 人地 = 15
v 人地 = 10

v 风人
45
v 风人=
5
 = 27
例 1-5
v 风地
图
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
风的速度不变,
v 风人  v 人地  v 风地 ,
v风人  v人地  v 风地
。
由图中不难得出:
v风地  10 2  52  11.2m  s -1 。
风向与正东方向夹角   arctg
5
 27  、即东偏北 27 。
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复习与思考



dv
dv
dr
dr
1. |Δ r |与Δr 有无不同?|
|和
有无不同?|
|和
有
dt
dt
dt
dt
无不同?其不同在哪里?试举例说明。
2. 设质点的运动方程为 x=x(t),y=y(t),在计算质点的速度和加速度
时,有人先求出 r= x  y ,然后根据 v=
2
2
dr
d2r
,及 a= 2 而求得结果;
dt
dt
又有人先计算速度和加速度的分量,再合成求得结果,即
2
2
 dx   dy 
v      及a 
 dt   dt 
2
 d2x   d2y 
 2    2 
 dt   dt 
2
你认为两种方法哪一种正确?为什么?两者差别何在?
3. 一个物体能否被看作质点,你认为主要由以下三个因素中哪个因素
决定:
(1) 物体的大小和形状;
(2) 物体的内部结构;
(3) 所研究问题的性质。
4. 下面几个质点运动学方程,哪个是匀变速直线运动?
(1)x=4t-3;
(2)x=-4t3+3t2+6;(3)x=-2t2+8t+4;(4)x=2/t2-4/t。
给出这个匀变速直线运动在 t=3s 时的速度和加速度,并说明该时刻运动是加
速的还是减速的。(x 单位为 m,t 单位为 s)
5.
在以下几种运动中,质点的切向加速度、法向加速度以及加速度
哪些为零哪些不为零?
(1) 匀速直线运动;(2) 匀速曲线运动;(3) 变速直线运动;(4) 变速曲
线运动。
-1
6. 一船以速率 v1 =30km·h 沿直线向东行驶,另一小艇在其前方以速
-1
率 v2 =40km·h 沿直线向北行驶,问在船上看小艇的速度为多少?在艇上看
船的速度又为多少?
1
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