大 学 物 理 学 教 案 1 授课章节 教学目的 教学重点、难点 第 1 章 质点运动学 1. 了解描述物体的运动的三个必要条件:参考系(坐标系),物理 模型(质点等),初始条件; 2. 熟悉掌握用适量描述物体运动的方法;即掌握四个物理量:位置 矢量、位移、速度、加速度的矢量定义式及其在直角坐标系、自然坐 标系中的表示式; 3. 掌握用微积分的方法处理运动学中的两类问题; 4. 掌握质点作圆周运动的线量、角量的描述; 5. 理解相对运动的有关概念和基本计算方法。 1. 2. 3. 4. 准确理解质点模型的内涵和外延,并能具体实际应用; 掌握任何物理量的矢量增量的模和矢量模的增量的区别。 准确理解线速度和角速度之间的矢量关系; 掌握运动参考系和静止参考系之间的物理量的具体描述。 教学内容 备注 绪论 1. 物理学的研究对象 物理学是关于自然界最基本形态的科学,它研究物质的结构和相互作用 以及物质的运动。 物质有两种不同的形态:一类是实物,另一类是场.实物包括微观粒子 和宏观物体,它的范围是从基本粒子的亚核世界到整个宇宙.场包括引力场、 电磁场和量子场等。 物质运动和物质间的相互作用是物质的普遍属性。 大学物理课程的内容体系可以按以下顺序: (1)力学和相对论——讨论机械运动和时空性质; (2)热学——讨论由大量分子组成的热力学系统的统计性规律和宏观表 现; (3)电磁学——讨论电磁场的运动规律和电磁相互作用; (4)波动学——讨论宏观领域的波动规律,包括机械波、电磁波和光波; (5)量子物理学——讨论微观粒子的波粒二象性和量子运动的特征。 2. 物理学和科学技术的关系 物理学是一切自然科学的基础,处于诸多自然科学学科的核心地位; 物理学的发展,广泛而直接地推动着技术的革命和社会的文明。 3. 如何学好大学物理学 1)注意大学物理与中学物理之不同,掌握矢量性,瞬时性,相对性; 2)突出物理图象与物理模型的建立,最后是整个物理框架的建立; 3)对于物理公式要注意前提条件和应用范围;对于物理概念要注意注 重其建立过程以及内涵和外延。 一、力学篇引言 力学的研究对象──机械运动 1 大学物理学 大 学 物 理 学 教 案 第 1 章 质点运动学 §1.1 参考系、坐标系、物理模型 运动学是研究如何描述物体的空间位置随时间变化的关系,即如何表示 一个物体的运动轨迹,运动的快慢,运动变化的情况等。 一、运动的绝对性和相对性 我们生活的世界是一个永恒运动着的物质世界,即使是最简单的机械 运动,从物体的位置变动来看,运动是绝对的,而“静止”只有相对的意 义。 但是,在描述物体的运动时,人们会发现同一个物体的运动,相对不 同的参考物体,可以得出完全不同的结论。如:在匀速运动的车厢内自由 落体的质点,在地面观察则做抛物线运动。 v v 车厢 地 不同参考系中运动的描述不同 二、参考系 在描述物体的运动时,被选作参考的物体或物体系称为参考系。 在地面及地面附近运动,通常取地球为参考系; 行星、天体运动通常取太阳为参考系。 三、坐标系 为了定量描述物体的运动,还需要在参考系上建立适当的几何框架即坐 标系。常用的有直角坐标系、极坐标系、自然坐标系、球坐标系等。 四、质点 实际物体都有大小和形状,一般说来,运动情况很复杂,但是,如果物 体的大小和形状在所研究的问题中不起作用或作用很小,就可以忽略其大小 和形状,而把它抽象为一个只有质量的几何点—质点。 应用质点模型的条件为: (1)当物体运动的空间范围 r 远大于物体自身线度 l 时; (2)物体只作平动时。 平动:其上任意两点的连线始终保持不变。 A A 物体的平动 2 大学物理学 大 学 物 理 学 教 案 §1.2 位置矢量 位移 速度 加速度 一、描述质点运动的物理量 1、位置矢量 由坐标原点引向考察点的矢量,简称位矢,用 r 表示。 在直角坐标系中为 r= xi + yj + zk, r x2 y2 z 2 ; r 的方向余弦是 x , r y cos , r z cos 。 r cos 在平面极坐标系中 r = rr0, 在自然坐标系中 r = r(s)。 运动方程 描写质点的位置随时间变化的函数关系式称为运动方程。记为 x = x(t),y = y(t),z = z(t) r = r(t), Y s = s(t)。 例 1: 如质点作圆周运动时,有 x = rcos t ,y = rsin t y 消去时间 t,就得轨道方程 \r x y r 。 2 2 v 2 t Y x 0 2、位移和路程 位移 r X 例 1-1 图 (1)定义: r r2 r1 , B A 3 大学物理学 大 学 物 理 学 教 案 注意: (1)增量的模 r 与模的增量 r 不是同一个量; (2)位移在直角坐标系中的表示式为 r xi + y j + z k 。 路程 s :t 时间内质点在空间内实际运行的路径距离位移和路程的比 较与联系: a.矢量与标量, b.r 仅由始未位置决定与轨道形状无关; (1) 不同处 s 与轨道形状及往返次数有关; c.在一般情况下 r s. (2) 联系在 t →0 时, dr ds ,但仍然 dr dr 。 3、 速 度 平均速度 v r 与平均速率 v s t t (1)、在一般情况下平均速度大小不等于平均速率 v v . (2) 、 v 在直角坐标系中的表示式 v x y z i j k t t t s ds r dr 与瞬时速率 v lin 的关系: t 0 t t 0 t dt dt ds (1) 、瞬时速度大小 v dr dS v ,等于瞬时速率 v 。 dt dt dt 瞬时速度 v lin v v 0 , 0 为切线方向单位矢量。 (2)、 v 在直角坐标系中的表示式 v dx dy dz i j k = dt dt dt vx i + v y j + v z k 。 4、加速度 v 与瞬时加速度 t v dv d 2 r , a lin t 0 Δt dt dt 2 平均加速度 a 速度的增量 加速度在直角坐标系中的表示 2 2 2 a d x2 i + d y2 j + d z2 k , dt dt dt 4 大学物理学 大 学 物 理 学 教 案 = a x i + a y j + az k 。 例 2: 如图,一人用绳子拉着小车前进,小车位于高出绳端 h 的平台上, 人的速率 v0 不变,求小车的速度和加速度大小。 解 小车沿直线运动,以小车前进方向为 x 轴正方向,以滑轮为坐标原 点,小车的坐标为 x,人的坐标为 s,由速度的定义,小车和人的速度大小 应为 例2图 v车 dx , dt v人 ds v0 ; dt 由于定滑轮不改变绳长,所以小车坐标的变化率等于拉小车的绳长的变化 率,即 v车 2 2 dx dl 。 dt dt 2 又由图可以看出有 l =s +h ,两边对 t 求导得 2l dl ds 2s 。 dt dt 或 v车 v人 s s v0 s ; v人 2 2 l s h s 2 h2 同理可得小车的加速度大小为 a dv车 dt s v02 h 2 2 h 。 3 2 2 1.3 曲线运动的描述 运动学中的两类问题 一、直线运动的描述 若质点作直线运动,只须一个坐标即可描述。若使坐标轴与质点直线运 动的轨迹重合,则质点的运动方向只有两种可能,要么与坐标轴正向相同, 要么与坐标轴负向相同。故在直线运动中,质点的运动方向可在标量前冠以 正、负号表示之。 (1)已知位移求速度、加速度,用求导法 即由 x = x(t) ,相应有 5 大学物理学 大 学 物 理 学 教 案 2 d x dx v , a 。 dt 2 dt (2)已知加速度,用积分的方法推导匀变速直线运动的三个公式。由 初始条件决定积分常数。 根据 a dv , dt 所以 dv = adt 两边积分有 dv adt 。 若匀加速运动,则 v = at + c1 。 将初始条件 t = 0,v = v o 代入得 c1 =v 0 , 所以 v =v o +a t; 又 即 dx , dt v dx = vdt =(v o + at)dt , 再积分得 dx v o at dt ,若匀加速直线运动有 1 x v o t at 2 c 2 。 2 将 t = 0,x = x o 故 代入得 c2 x o ; 1 x - x o v o t at 2 。 2 2 例 3:一质点沿 x 轴运动,其加速度 a=-kv ,式中 k 为正常数,设 t=0 时,x=0,v=0;① 求 v,x 作为 t 的函数的表示式;② 求 v 作为 x 的函数 的表示式。 解:① 因为 dv kv2 ,则有 dt dv v 2 k dt ; 积分得 1 kt c 。 v 代入 x=0,v= v 0 后,有 c=-1/v 0 。从而,可得 1 1 kt , v v0 6 大学物理学 大 学 物 理 学 教 案 也就是, v0 ; 1 v0 kt v 再根据 v dx ,则 dx v dt ,代入初始条件,进行积分 dt x t v0 dt , 1 v0 kt 0 dx 0 可得 x ② 根据 1 ln( v0 kt 1) 。 k dv dv dx dv v kv2 ,可得 dt dx dt dx dv kdx , v 代入初始条件,进行积分 v x dv v v 0 kdx , 0 可得 ln v kx v0 v v 0 e kx 例 4:一质点沿 x 轴运动,其中加速度与位置的关系式为 a 2 bx 2 , 设质点在 x=0 处,v= 10m s ,试求质点在任何坐标处的速度值。 -1 解 ∵ a dv dv dx dv v ,由 a dt dx dt dx dv v 2 bx 2 , dx 2 bx 2 得 vdv (2 bx 2 )dx 。 积分得 ∵ ∴ 1 2 2 v 2x bx 3 c , 2 3 x 0 , v 10m/s , c 50 m/s , v (4x 1 4 3 bx 100) 2 (m/s) 。 3 二、曲线运动的描述 1、平面曲线运动 加速度的切向分量和法向分量 7 大学物理学 大 学 物 理 学 教 案 切向加速度与法向加速度 由上面两图可看出, t 0 时, v 0 、 vn n0 , 所以有: (1) 切向加速度: a dv dv d 2s 0 2 0 。 dt dt dt (2) 法向加速度: an dvn dθ dθ ds dθ v n0 v n0 v 2 n0 。 dt dt ds dt ds ds d ∵ ∴ an v2 n0 。 ρ 2、抛体运动 地面上物体以某一初速被抛出后,在竖直平面内的运动叫做抛体运动。 不计阻力时,抛体的加速度就是重力加速度,所以这是一种匀加速度运动。 用直角坐标系最方便。 ax dv x 0, dt ay dv y dt g 。 积分得 v0 vx vocos , v y vosin - gt , x vocost , 1 y v o sin t - gt 2 。 2 3、 圆 周 运 动 圆周运动的线量描述 (1)自然坐标系及其速度、加速度表示式 8 大学物理学 大 学 物 理 学 教 案 位矢 r r (s ) ,位移 dr ds 0 ; 速度 v ds 0 v 0 ; dt 加速度 a a an (2) dv v2 τ 0 n0 。 dt ρ 2 匀速圆周运动: a 0 , an v 常数。 R v v 0 2 R n0 匀速圆周运动 圆周运动的角量描述 (1)角位置,角位移; 角速度 d ; dt d d 2 2 。 dt dt 如果是匀角加速圆周运动,则有 (2)角加速度 0 t , 1 2 0 t t 2 , 2 02 2 ( 0 ) 。 2、线量与角量的关系 ds Rd ; v ds d R R , dt dt v2 a n R 2 。 R dv d a R R ; dt dt 2 例 5:一质点其速度表示式为 v=1+s ,则在任一位置处其切向加速度 a 9 大学物理学 大 学 物 理 学 教 案 为多少。 解:∵ a dv ds 2s 2vs 2s(1 s 2 ) dt dt §1.4 相对运动 参照系彼此之间有相对运动 一、绝对位矢、牵连位矢、相对位矢 绝对位矢 r — 质点相对静止参照系的位矢 牵连位矢 r0 — 运动参照系相对静止参照系的位矢 相对位矢 r — 质点相对运动参照系的位矢 r = r0 + r 。 二、相对速度,牵连速度,相对速度 , v绝 v 牵 v相 一般表示为 rAC rAB rBC , vAC vAB vBC 。 (A 为运动质点,B 为第一参照系,C 为第二参照系。) 例 6:一人骑自行车向东行。在速度为 10m s 时,觉得有南风;速度 -1 增至 15m s 时,觉得有东南风。求:风的速度。 解 画出速度矢量图如下: -1 v 人地 = 15 v 人地 = 10 v 风人 45 v 风人= 5 = 27 例 1-5 v 风地 图 10 大学物理学 大 学 物 理 学 教 案 风的速度不变, v 风人 v 人地 v 风地 , v风人 v人地 v 风地 。 由图中不难得出: v风地 10 2 52 11.2m s -1 。 风向与正东方向夹角 arctg 5 27 、即东偏北 27 。 10 11 大学物理学 大 学 物 理 学 教 案 复习与思考 dv dv dr dr 1. |Δ r |与Δr 有无不同?| |和 有无不同?| |和 有 dt dt dt dt 无不同?其不同在哪里?试举例说明。 2. 设质点的运动方程为 x=x(t),y=y(t),在计算质点的速度和加速度 时,有人先求出 r= x y ,然后根据 v= 2 2 dr d2r ,及 a= 2 而求得结果; dt dt 又有人先计算速度和加速度的分量,再合成求得结果,即 2 2 dx dy v 及a dt dt 2 d2x d2y 2 2 dt dt 2 你认为两种方法哪一种正确?为什么?两者差别何在? 3. 一个物体能否被看作质点,你认为主要由以下三个因素中哪个因素 决定: (1) 物体的大小和形状; (2) 物体的内部结构; (3) 所研究问题的性质。 4. 下面几个质点运动学方程,哪个是匀变速直线运动? (1)x=4t-3; (2)x=-4t3+3t2+6;(3)x=-2t2+8t+4;(4)x=2/t2-4/t。 给出这个匀变速直线运动在 t=3s 时的速度和加速度,并说明该时刻运动是加 速的还是减速的。(x 单位为 m,t 单位为 s) 5. 在以下几种运动中,质点的切向加速度、法向加速度以及加速度 哪些为零哪些不为零? (1) 匀速直线运动;(2) 匀速曲线运动;(3) 变速直线运动;(4) 变速曲 线运动。 -1 6. 一船以速率 v1 =30km·h 沿直线向东行驶,另一小艇在其前方以速 -1 率 v2 =40km·h 沿直线向北行驶,问在船上看小艇的速度为多少?在艇上看 船的速度又为多少? 1 12 大学物理学