Institut for Matematik
Århus Universitet
7. september 2021
ES
Målteori – Ugeseddel 3
Ved forelæsningerne d. 3/9 og 7/9 fortsatte vi
gennemgangen af frembragte σ-algebraer, idet vi
indledningsvist studerede eksempler på, at den
samme σ-algebra kan være frembragt af forskellige mængdesystemer. Vi bemærkede endvidere, at en egenskab P ved et mængdesystem D i
grundmængden X overføres til σ-algebraen σ(D )
frembragt af D , forudsat at det samlede system
af delmængder af X, som besidder egenskaben P,
udgør en σ-algebra i X (Sætning 1.1.11). Som
et eksempel herpå viste vi, at σ-algebraen i R
frembragt af systemet {{x} | x ∈ R} er lig med
{A ⊆ R | A eller Ac er tællelig}. Vi gennemgik derefter Afsnit 1.2, hvor vi indførte Borel-algebraen
B (Rd ) i Rd som σ-algebraen frembragt af systemet af åbne mængder i Rd . Vi beviste Sætning 1.2.4, som leverer en række alternative frembringersystemer for B (Rd ), nemlig dels systemet
D1 = {b2 (x, r) | x ∈ Rn , r > 0}
af åbne kugler mht. den sædvanlige metrik ρ2 på
Rd , og dels systemet
D2 = {(a1 , b1 )×· · ·×(ad , bd ) | ai < bi , i = 1, . . . , d}
af åbne, begrænsede rektangler i Rd . Beviset bygger på, at enhver åben mængde i Rd kan skrives
som en tællelig forening af åbne kugler, hvad
enten kuglerne dannes med hensyn til ρ2 eller
(den ækvivalente metrik) ρ∞ . Sidstnævnte resultat, Lemma 1.2.5, findes i en mere generel version som Lemma A.7.2. De bevises på samme
måde, men vi kom ikke ind på detaljerne i beviset. Idet Q er tæt i R, kan man i frembringersystemet D1 nøjes med at betragte x i Qd og r i
(0, ∞) ∩ Q, mens man i D2 kan nøjes med at betragte a1 , b1 , . . . , ad , bd fra Q. Da Qd er tællelig,
viser dette specielt, at B (Rd ) er tælleligt frembragt. Vi formulerede Korollar 1.2.6, som siger at
B (Rd ) ligeledes er frembragt af systemet
{(−∞, b1 ] × · · · × (−∞, bd ] | b1 , . . . , bd ∈ R},
hvor man igen kan nøjes med at betragte b1 , . . . , bd
fra Q. Beviset for d = 1 blev gennemgået.
Vi introducerede efterfølgende begrebet mål (Afsnit 1.3) og gav en række vigtige eksempler påsådanne. Specielt indførte vi (uformelt) Lebesgue
målet på Rd som det mål på B (Rd ), hvis værdi
på ethvert åbent rektangel er produktet af kantlængderne. Såvel eksistens som entydighed af et
mål med denne egenskab vil blive bevist i løbet
af dette kursus. Vi beviste derpå en række vigtige
egenskaber ved mål (Sætning 1.3.4); f.eks. identiteten:
∞
S
µ
An = lim µ(An ),
n=1
n→∞
som gælder for enhver voksende følge (An ) af målelige mængder.
Vi sprang afslutningsvist til Afsnit 4.1, hvor vi
indførte de målelige afbildninger mellem to målelige rum (X, E ) og (Y, F ) som de afbildninger
f : X → Y , der opfylder betingelsen:
f −1 (B) ∈ E
for alle B i F ,
(1)
hvor f −1 (B) er urbilledet af B ved f :
f −1 (B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B}.
Vi påbegyndte beviset for en række fundamentale egenskaber ved målelige afbildninger (Sætning 4.1.6). Specielt siger denne sætning, at sammensætning af målelige afbildninger fører til
nye målelige afbildninger, og at en afbildning
f : X → Y er E -F -målelig, hvis blot betingelsen i
(1) er opfyldt for alle B i et frembringersystem for
F.
Ved forelæsningerne d. 10. og 14. september
skal vi først færdiggøre Afsnit 4.1, idet vi specielt
skal vise, at en kontinuert funktion f : Rd → Rm
altid er B (Rd )-B (Rm )-målelig. Vi skal derpå studere målelige funktioner med værdier i R (Afsnit 4.2), idet vi specielt skal vise, at “regning”
med sådanne fører til nye målelige funktioner.
Dernæst skal vi studere hvordan målelighed opfører sig i forbindelse med f.eks. operationerne sup,
lim sup og lim for en en følge af målelige funktioner (Afsnit 4.3). Endelig skal vi studere målelighed for funktioner, der kun er defineret på delmængder af X (Afsnit 4.4), og vi skal indføre og
studere de såkaldte simple funktioner (Afsnit 4.5).
For hvilke værdier af s er denne grænseværdi endelig?
Lav tilsvarende analyse for grænseværdierne:
Z 1
lim
Ved Øvelserne i uge 37 regnes følgende opgaver:
I løbet af kurset vil der på nogle ugesedler optræde ‘ugens integral’. Det er en opgave, du kraftigt
anbefales selv at gennemarbejde inden øvelsesgangen. Det kan ikke forventes at den bliver taget
op til øvelserne.
• Opgave 1.10.
• Opgaverne 1.12, 1.13, 1.15.
• Opgave 1.16.
• Opgave 1.8.
Ugens integral(er). Antag at 0 < ε < M. Udregn, for alle s ∈ R Riemann-integralet (det sædvanlige integral fra 1. år),
Z M
xs dx.
ε→0 ε
Hvis der et tid tilovers, kan man desuden regne
Opgave 1.19 samt evt. resterende opgaver fra Ugeseddel 2.
xs dx.
ε
Udregn grænseværdierne:
Z M
lim
M→∞ 1
Afleveringsopgave 2 til aflevering i uge 37:
Opgave 1.14.
xs dx.
Erik Skibsted
2