Teoría de
ECUACIONES
ALGEBRAICAS
L. COUDER A.
Teoría de
ECUACIONES
ALGEBRAICAS
Luciano Couder Alonso
Departamento de Matemáticas
Escuela Superior de Física y Matemáticas
Instituto Politécnico Nacional
México, 1996
A mis padres
Norberta y Francisco
(en sus memorias)
A mi hijo Carlos
A mis hermanos
CONTENIDO
INTRODUCCIÓN
13
0 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS
0.1 Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2 Algoritmo de la división . . . . . . . . . . . . . . . .
0.3 Máximo común divisor . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.4 Primos relativos y números primos . . . . . . . . . .
0.5 El teorema fundamental de la aritmética . . . . . . .
0.6 EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 LOS NÚMEROS COMPLEJOS
1.1 El conjunto de los números complejos . . . . . . . .
1.2 Suma y multiplicación de complejos . . . . . . . . .
1.3 Los complejos como parejas ordenadas . . . . . . . .
1.4 Complejos conjugados. Valor absoluto de complejos
1.5 Las raíces cuadradas de un complejo . . . . . . . . .
1.6 Forma trigonométrica de un complejo . . . . . . . .
1.7 Fórmula de De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Resolución de la ecuación xn z = 0 . . . . . . . . .
1.9 Representación geométrica de las raíces de la ecuación
xn z = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Las raíces n–ésimas de la unidad . . . . . . . . . . .
1.11 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12 EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
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15
15
17
19
23
24
25
.
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.
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.
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31
31
34
41
42
46
50
54
58
.
.
.
.
62
63
66
67
2 POLINOMIOS
75
2.1 Conjuntos de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.2 Suma y multiplicación de polinomios . . . . . . . . . . 79
2.3 Divisibilidad de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . 90
9
10
CONTENIDO
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
El algoritmo de la división . . . . . . . . . . . . . . .
El teorema del residuo y la división sintética . . . . .
Máximo común divisor . . . . . . . . . . . . . . . . .
Polinomios primos relativos y polinomios irreducibles
EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
93
97
100
109
112
3 RAÍCES DE POLINOMIOS
117
3.1 Raíces de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.2 El teorema fundamental del álgebra . . . . . . . . . . 122
3.3 Multiplicidad de raíces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.4 Raíces imaginarias de polinomios con coe…cientes reales129
3.5 Raíces racionales de polinomios con coe…cientes enteros131
3.6 Acotamiento de las raíces reales de polinomios con
coe…cientes reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.7 Factorización de un polinomio en polinomios de raíces
simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.8 Relación entre las raíces y los coe…cientes de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.9 EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4 SEPARACIÓN DE RAÍCES
4.1 Raíces aisladas . . . . . . . . .
4.2 El signo de un polinomio para
valores de la indeterminada . .
4.3 El teorema de cambio de signo
4.4 El teorema de Rolle . . . . . .
4.5 El teorema de Descartes . . . .
4.6 El teorema de Sturm . . . . . .
4.7 EJERCICIOS . . . . . . . . . .
. . . . .
grandes
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
163
. . . . . . . . 164
y pequeños
. . . . . . . . 164
. . . . . . . . 168
. . . . . . . . 176
. . . . . . . . 181
. . . . . . . . 189
. . . . . . . . 199
5 APROXIMACIÓN DE RAÍCES
5.1 Sucesiones monótonas y acotadas . . . . . . . . . . .
5.2 El teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Concavidad y convexidad . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 El método de bisección . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 El método de regula falsi . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 El error de aproximación en el método de regula falsi
5.7 El método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8 El error de aproximación en el método de Newton .
207
. 208
. 213
. 216
. 218
. 222
. 231
. 235
. 244
CONTENIDO
11
5.9
El error de aproximación al combinar los métodos de
regula falsi y de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
5.10 Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
5.11 EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
6 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
6.1 Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . .
6.2 Matriz de coe…cientes . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Solución de sistemas de ecuaciones lineales. Método
de reducción de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
251
. 251
. 253
. 255
. 264
A SOLUCIÓN POR RADICALES DE LAS ECUACIONES
DE SEGUNDO, TERCER Y CUARTO GRADOS 273
A.1 El discriminante de una ecuación . . . . . . . . . . . . 274
A.2 La ecuación de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . 275
A.3 El discriminante de la ecuación de segundo grado . . . 276
A.4 La ecuación de tercer grado . . . . . . . . . . . . . . . 277
A.5 El discriminante de la ecuación de tercer grado . . . . 281
A.6 La ecuación de cuarto grado . . . . . . . . . . . . . . . 285
B EL USO DE LA COMPUTADORA
289
BIBLIOGRAFÍA
303
INTRODUCCIÓN
El presente libro es producto de la impartición, en repetidas veces, del primer curso de álgebra en la Escuela Superior de Física y
Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional (ESFM–IPN). Los
objetivos centrales son resolver la ecuación algebraica
an xn + an
n 1
1x
+ : : : + a1 x + a0 = 0
y resolver un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
El segundo objetivo se alcanza totalmente, pues se proporciona un
método, el de Gauss, por medio del cual puede decidirse si un sistema dado tiene o no solución; y en caso de tener, decidir si tiene
sólo una o más de una; y en cualquiera de estos casos, encontrarlas.
El primer objetivo sólo se alcanza totalmente en cuanto a las raíces
reales de ecuaciones con coe…cientes reales.
Consta este trabajo de siete capítulos numerados de 0 a 6. En
el Capítulo 0 se estudian algunas propiedades elementales de la aritmética de números enteros; además de que su presentación facilita
el estudio del Capítulo 2, algunos resultados aquí vistos serán útiles
en las demostraciones de otros, en capítulos siguientes. En el Capítulo 1 se estudian los números complejos y se resuelven algunas ecuaciones algebraicas de tipo particular. En el Capítulo 2 se estudian las
expresiones de la forma an xn +an 1 xn 1 +: : :+a1 x+a0 ; denominadas
polinomios, y que aparecen en el miembro izquierdo de las ecuaciones
algebraicas. En el Capítulo 3, se aborda formalmente el problema de
encontrar las raíces de un polinomio, es decir, de resolver la ecuación
algebraica an xn + an 1 xn 1 + : : : + a1 x + a0 = 0: En el Capítulo 4
se estudia el problema de separar las raíces reales de polinomios con
coe…cientes reales. En el Capítulo 5, una vez que se tienen separadas
13
14
INTRODUCCIÓN
las raíces reales de polinomios con coe…cientes reales, se dan métodos
para encontrar valores aproximados de tales raíces. Finalmente en
el Capítulo 6, se estudia el problema de resolver un sistema de m
ecuaciones lineales con n incógnitas.
Se supone el conocimiento de los números naturales N con sus
operaciones y propiedades; lo mismo en cuanto a los números enteros
Z; así como de los números racionales Q y de los números reales R:
También se supone el conocimiento de las propiedades de orden,
valor absoluto y de la exponenciación racional de los números reales;
así como la propiedad arquimedeana y el concepto de intervalo en
los mismos. Finalmente, se supone el conocimiento del principio de
Buen Orden y la demostración por inducción matemática.
Quiero expresar mi agradecimiento al Dr. Carlos Rentería Márquez
y al Dr. Roberto S. Acosta Abreu, quienes aparte de haber sido mis
profesores en algunos cursos, revisaron el presente trabajo. También
expreso mi agradecimiento a Ma. Eugenia Carrillo Hernández, quien
pacientemente mecanogra…ó el manuscrito.
Luciano Couder Alonso
México, D.F., abril de 1996
Capítulo 0
PROPIEDADES DE LOS
NÚMEROS ENTEROS
En este capítulo se estudiarán, brevemente, algunas propiedades
elementales de la aritmética de números enteros. Además de ser
útiles en posteriores resultados, son esencialmente las mismas que
veremos en el álgebra de polinomios, en el capítulo 2.
0.1
Divisibilidad
De…nición (0.1.1).– Sean a; b 2 Z: Decimos que b divide a a (o
que b es un factor de a o que a es un múltiplo de b) si existe q 2 Z tal
que a = bq:
Notación: Para decir que b divide a a escribiremos bja; y la
expresión b 6 ja signi…ca que b no divide a a: Por tanto, bja; si y sólo
si, existe q 2 Z tal que a = bq: Además, b 6 ja; si y sólo si, a 6= bq
para todo q 2 Z:
Observación: Si a = bq y b 6= 0; entonces q es único. En efecto:
si a = bq 0 ; entonces bq 0 = bq y como b 6= 0; se sigue que q 0 = q:
15
16CAPÍTULO 0. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Proposición (0.1.2).–En Z :
1. bjb; para cada b 2 Z:
2. bj0; para cada b 2 Z:
3. 1ja y
1ja; para cada a 2 Z:
4. 0ja () a = 0:
5. Si bj1; entonces b =
1:
6. Si bja y ajb; entonces a =
b:
7. Si bja y ajc; entonces bjc:
8. Si bja y bjc; entonces bja + c y bja
c:
9. Si bja; entonces bjac 8 c 2 Z:
10. Si bja y bjc; entonces bjas + ct 8 s; t 2 Z:
11. bja () bj
a ()
bja ()
bj
a:
12. bja () b jaj () jbj a () jbj jaj :
Demostración: Sólo demostraremos (5) y (6), los demás se dejan como ejercicio al lector.
(5) Si bj1; entonces existe q 2 Z tal que 1 = bq, luego b 6= 0 y q 6= 0
y también 1 = jbj jqj ; por lo tanto jbj 1 y jqj 1: Si jbj > 1;
entonces 1 = jbj jqj > jqj 1; lo cual es una contradicción. Así
que jbj = 1; de donde se sigue que b = 1:
(6) Si bja y ajb; entonces existen q1 ; q2 2 Z tales que a = bq1 y
b = aq2 ; por lo tanto a = a(q1 q2 ): Suponiendo que a 6= 0 (pues
si a = 0; entonces b = 0), tenemos que 1 = q1 q2 ; por tanto q1 j1;
y por (5) q1 = 1: Puesto que a = bq1 ; entonces a = b:
q.e.d.
0.2. ALGORITMO DE LA DIVISIÓN
jbj
17
Proposición (0.1.3).– Sean a; b 2 Z: Si bja; entonces a = 0 ó
jaj :
Demostración: Si bja; existe q 2 Z tal que a = bq; por lo tanto
jaj = jbj jqj : Si a 6= 0; entonces 1 jbj y 1 jqj ; de donde se sigue
que jbj jbj jqj ; o sea, jbj jaj :
q.e.d.
0.2
Algoritmo de la división
Teorema (0.2.1).–Si a; b 2 Z y b 6= 0; entonces existen q; r 2 Z;
únicos, tales que
a = bq + r
con 0
r < jbj :
En este caso a se llama dividendo, b se llama divisor, y los números q y
r se llaman, respectivamente, el cociente y el residuo de dividir a por b:
Demostración:
I) Suponemos primero que a > 0 y b > 0 (jbj = b): En este caso
procederemos por inducción sobre a:
i) Si a = 1 : Como b > 0; entonces b
1: Si b = 1; como
1 = 1 1 + 0; elegimos q = 1 y r = 0: Si b > 1; como
1 = b 0 + 1; elegimos q = 0 y r = 1: En cualquier caso
1 = bq + r con 0 r < b:
ii) Suponemos el resultado cierto para a; es decir, suponemos
que existen q1 ; r1 2 Z tales que a = bq1 +r1 con 0 r1 < b:
iii) Probaremos que el resultado es válido para a + 1; es decir,
probaremos que existen q; r 2 Z tales que a + 1 = bq + r
con 0
r < b: En efecto: Por hipótesis de inducción
a = bq1 + r1 con 0 r1 < b; entonces a + 1 = bq1 + r1 + 1
18CAPÍTULO 0. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS
con 0 < r1 +1 b: Si r1 +1 < b; como a+1 = bq1 +(r1 +1);
elegimos q = q1 y r = r1 + 1: Si r1 + 1 = b; se tiene que
a + 1 = b(q1 + 1) + 0; por lo que en este caso elegimos
q = q1 + 1 y r = 0: En cualquier caso a + 1 = bq + r con
0 r < b:
II) Suponemos ahora que a = 0 y b > 0: Como 0 = b 0+0; elegimos
q = 0 y r = 0; así obtenemos a = bq + r con 0 r < b:
III) Suponemos que a < 0 y b > 0: Como a < 0; entonces 0 < a
y por (I), existen q1 ; r1 2 Z tales que a = bq1 + r1 con
0 r1 < b; por lo tanto a = b( q1 )+( r1 ): Si r1 = 0; elegimos
q = q1 y r = 0: Si 0 < r1 ; como a = b( q1 1) + (b r1 ) con
0 < b r1 ; elegimos en este caso q = q1 1 y r = b r1 : En
cualquier caso a = b q + r con 0 r < b:
Observemos que de (I), (II) y (III) se sigue que si a 2 Z y b > 0;
entonces existen q; r 2 Z tales que a = bq + r con 0 r < b:
IV) Finalmente suponemos que a 2 Z y b < 0: Como b < 0; entonces 0 < b; y por la observación anterior, existen q1 ; r1 2 Z
tales que a = ( b)q1 + r1 con 0
r1 < b = jbj ; por tanto
a = b( q1 ) + r1 con 0 r1 < jbj : Eligiendo q = q1 y r = r1 ;
obtenemos a = b q + r con 0 r < jbj :
Probaremos ahora la unicidad de q y r :
Si existen q 0 ; r0 2 Z tales que a = bq 0 + r0 con 0
r0 < jbj ;
entonces bq + r = bq 0 + r0 ; por tanto b(q q 0 ) = r0 r; de donde
se sigue que bjr0 r; entonces, por la proposición (0.1.3), r0 r = 0
ó jbj
r0 r: Pero jbj
r0 r no es posible, porque 0
r < jbj
0
0
0
y0
r < jbj : Así que r
r = 0; por lo tanto r = r; por lo que
también b(q 0 q) = 0; y como b 6= 0; entonces q 0 = q:
q. e. d.
0.3. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
0.3
19
Máximo común divisor
Dados a; b 2 Z no ambos cero, construimos el conjunto
A = fx 2 Z x > 0; xja y xjbg:
Por el principio de buen orden, aplicado al conjunto
B = fy 2 Z j y > x; 8 x 2 Ag;
es posible probar que A tiene elemento máximo, a este lo podemos
de…nir como el máximo común divisor de a y b: Sin embargo, daremos
otra de…nición, la cual facilita su estudio posterior y desde luego
puede probarse que es equivalente a la anterior.
De…nición (0.3.1).–Sean a; b 2 Z; no ambos cero. Decimos que
d 2 Z; d > 0; es máximo común divisor (mcd) de a y b; si:
i) dja y djb:
ii) Si c 2 Z es tal que cja y cjb; entonces cjd:
Notación: Para decir que d es máximo común divisor de a y b,
escribiremos d = (a; b) ó d = mcd fa; bg:
Observación: Si d = (a; b); entonces d es único. En efecto: Si
también d0 = (a; b); entonces por la de…nición, d0 jd y djd0 ; luego por
(6) de la proposición (0.1.2), d0 = d:
Lema (0.3.2).–Sean a; b 2 Z; con b 6= 0: Si bja; entonces
jbj = (a; b):
Demostración:
20CAPÍTULO 0. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS
i) Como bjb y por hipótesis bja; entonces por (12) de la proposición (0.1.2), jbj b y jbj a:
ii) Si c 2 Z es tal que cja y cjb; entonces por (12) de la proposición
(0.1.2), c jbj :
De (i) y (ii) se sigue que jbj = (a; b):
q.e.d.
Lema (0.3.3).–Sean a; b 2 Z; no ambos cero. Si a = bq + r; para
algunos q; r 2 Z; entonces d = (a; b); si y sólo si, d = (b; r):
Demostración: Suponemos primero que d = (a; b) y probaremos que d = (b; r):
i) Como d = (a; b); entonces dja y djb; y como a = bq +r; entonces
djr; luego djb y djr:
ii) Si c 2 Z es tal que cjb y cjr; entonces cja; pues a = bq + r; por
lo tanto cjb y cja; luego cjd:
De (i) y (ii) se sigue que d = (b; r):
Probaremos ahora que si d = (b; r); entonces d = (a; b): En efecto:
Como a = bq +r; entonces r = b( q)+a; luego si d = (b; r); entonces,
por lo ya probado anteriormente, d = (a; b):
q.e.d.
Teorema (0.3.4) [Algoritmo de Euclides].– Dados a; b 2 Z; no
ambos cero, existe d = (a; b): Además, d es el mínimo entero positivo
para el cual existen s; t 2 Z tales que d = as + bt:
Demostración: Sin pérdida de generalidad podemos suponer
que b 6= 0. Por teorema (0.2.1), existen q1 ; r1 2 Z tales que
a = bq1 + r1 con 0
r1 < jbj :
0.3. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
21
Si r1 = 0; entonces por lema (0.3.2), jbj = (a; b): Si r1 > 0; nuevamente por teorema (0.2.1), existen q2 ; r2 2 Z tales que
b = r1 q2 + r2 con 0
r2 < r1 :
Si r2 = 0; entonces, por lema (0.3.2), r1 = (b; r1 ); y por lema (0.3.3)
r1 = (a; b): Si r2 > 0; continuamos el proceso anterior, obteniéndose
la siguiente tabla:
a = bq1 + r1
b = r1 q 2 + r 2
r 1 = r 2 q 3 + r3
rn
rn
rn
3
2
1
con 0 < r1 < jbj
con 0 < r2 < r1
con 0 < r3 < r2
= rn 2 q n 1 + rn
= rn 1 q n + r n
= rn qn+1 + rn+1
1
con 0 < rn 1 < rn
con 0 < rn < rn 1
con rn+1 = 0
2
9
>
>
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
>
>
;
( )
El proceso termina cuando para alguna n 2 N; rn > 0 y rn+1 = 0;
lo que siempre ocurre, pues en caso contrario el conjunto
fjbj ; r1 ; r2 ; r3 ; : : :g
N;
donde jbj > r1 > r2 > r3 > : : : ; no tendría elemento mínimo, lo que
contradiría el principio de buen orden.
A…rmamos que rn ; el último residuo diferente de cero, es el mcd
de a y b, es decir, rn = d = (a; b). En efecto: Procediendo de abajo
para arriba en la tabla ( ), por el lema (0.3.2), rn = (rn ; rn 1 ) y por
lema (0.3.3)
rn = (rn ; rn
1)
= (rn
1 ; rn 2 )
= : : : = (b; r1 ) = (a; b):
Veamos ahora que existen s; t 2 Z tales que rn = as + bt : Procediendo de arriba para abajo en la tabla ( ), se tiene que:
r1 = a(1) + b( q1 ):
22CAPÍTULO 0. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Si s1 = 1 y t1 =
q1 ; entonces
r1 = as1 + bt1 :
También
r2 = r1 ( q2 ) + b;
por lo tanto r2 = a( s1 q2 ) + b( t1 q2 + 1): Si s2 =
t2 = t1 q2 + 1; entonces
s1 q2 y
r2 = as2 + bt2 :
Análogamente, de la tabla ( )
r 3 = r2 ( q 3 ) + r 1 ;
por lo tanto r3 = a( s2 q3 + s1 ) + b( t2 q3 + t1 ): Si s3 =
y t3 = t2 q3 + t1 ; entonces
s2 q3 + s1
r3 = as3 + bt3 :
Continuando este proceso tenemos que
rn = asn + btn
donde sn = sn 1 qn + sn 2 y
tn = tn 1 qn + tn 2 : Eligiendo
s = sn y t = tn , obtenemos rn = d = as + bt; donde es claro que
s; t 2 Z:
Finalmente demostraremos que d es el mínimo entero positivo
para el cual existen s; t 2 Z tales que d = as + bt : Sea c 2 Z; c > 0;
tal que c = ax + by con x; y 2 Z: Como d = (a; b); entonces dja y djb
y por lo tanto djax + by; o sea, djc, luego d c:
q.e.d.
Ejemplo: Calcular el mcd de 60 y 168.
Solución:
2
60 168
48
1
48 60
12
3
12 48
0
0.4. PRIMOS RELATIVOS Y NÚMEROS PRIMOS
23
Por tanto, 12 = (60; 168):
Observación: Sean a; b 2 Z; no ambos cero. Si c 2 Z; c > 0; es
tal que c = ax + by; con x; y 2 Z; no necesariamente c es el mcd de
a y b. Sin embargo, si 1 = ax + by; con x; y 2 Z; entonces 1 = (a; b):
Proposición (0.3.5).– Si a; b 2 Z; son no ambos cero, entonces
(a; b) = (jaj ; jbj):
Demostración: Se deja al lector como ejercicio.
0.4
Primos relativos y números primos
De…nición (0.4.1).–Sean a; b 2 Z; no ambos cero. Decimos que
a y b son primos relativos, si 1 = (a; b):
Proposición (0.4.2).–Sean a; b; c 2 Z:
1. Si 1 = (a; b) y ajbc; entonces ajc:
2. Si 1 = (a; b); entonces 1 = (a; bn ) 8 n 2 N:
Demostración:
De (1): Como 1 = (a; b) entonces existen s; t 2 Z tal que
1 = as + bt; luego c = a(cs) + bc(t): Claro que aja y por hipótesis
ajbc; por lo tanto ajc:
De (2): Procederemos por inducción sobre n:
i) Si n = 1 : Claro que 1 = (a; b) implica que 1 = (a; b1 ):
ii) Suponemos que el resultado es válido para n; es decir, suponemos que 1 = (a; b) implica que 1 = (a; bn ):
24CAPÍTULO 0. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS
iii) Probaremos que el resultado es válido para n + 1; es decir,
probaremos que 1 = (a; b) implica que 1 = (a; bn+1 ) : Como
1 = (a; b); entonces existen s; t 2 Z tales que 1 = as + bt;
y además, por hipótesis de inducción, 1 = (a; bn ); por tanto
existen x; y 2 Z tales que 1 = ax+bn y. Multiplicando miembro
a miembro 1 = ax + bn y y 1 = as + bt; obtenemos
1 = a(axs + bxt + sbn y) + bn+1 (yt); por lo tanto 1 = (a; bn+1 ):
q.e.d.
De…nición (0.4.3).– Decimos que p 2 Z es número primo, si
p > 1 y los únicos divisores positivos de p; son 1 y p mismo.
Proposición (0.4.4).– Sean a; b 2 Z y sea p un número primo.
Entonces:
1) pja ó 1 = (a; p):
2) Si pjab; entonces pja o pjb:
Demostración:
De (1): Sea d = (a; p); entonces dja y djp; y por lo tanto d = 1 ó
d = p; de donde se sigue que pja ó 1 = (a; p):
De (2): Supongamos que p 6 ja; luego, por (1), 1 = (a; p): Como
por hipótesis pjab; entonces por proposición (0.4.2)(1), pjb:
q.e.d.
0.5
El teorema fundamental de la aritmética
Lema (0.5.1).–Si a 2 Z y a > 1; entonces el menor entero mayor
que 1 y que divide a a; es un número primo.
0.6. EJERCICIOS
25
Demostración: Sea A = fm 2 N m > 1 y mjag: Claro que
A 6= ; pues a 2 A: Por el principio de buen orden, A tiene un
elemento mínimo, sea este p: A…rmamos que p es número primo. En
efecto: Si p no es primo, entonces existe q 2 Z; con 1 < q < p; tal
que qjp: Como pja; entonces qja; por tanto q 2 A; lo cual es una
contradicción a la elección de p:
q.e.d.
Teorema (0.5.2) [Teorema fundamental de la aritmética].– Si
a 2 Z y a > 1; entonces a es primo ó existen p1 ; p2 ; : : : ; pk números
primos tales que
a = p1 p 2 : : : p k :
Además, si q1 ; q2 ; : : : ; qm son números primos tales que
a = q1 q2 : : : qm ;
entonces m = k y qi = pj para algunos i; j = 1; 2; :::; k:
Demostración: Se deja como ejercicio al lector.
0.6
EJERCICIOS
1. Sean a; b; c 2 Z: Decimos que c es combinación lineal de a y b,
si existen x; y 2 Z tales que c = ax + by:
1.1 Pruebe que 29 es combinación lineal de 5 y 7:
1.2 Escriba a 50 en dos formas diferentes como combinación
lineal de 5 y 2:
1.3 Si dja; djb y d 6 jc; pruebe que c no es combinación lineal
de a y b:
1.4 Pruebe que 64 no es combinación lineal de 10 y 25:
26CAPÍTULO 0. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS
1.5 Encuentre un entero m que no sea combinación lineal de
28 y 49:
1.6 Si m divide a cualquier combinación lineal de a y b; pruebe
que mja y mjb:
1.7 Decida si la ecuación 153 = 34 x + 51y tiene soluciones
enteras x y y:
1.8 Si c es impar, pruebe que la ecuación c = 14x + 72y no
tiene soluciones enteras x y y:
2. Si bjm para todo m 2 Z, pruebe que b =
1:
3. Si bja1 ; bja2 ; : : : ; bjan ; pruebe que bja1 + a2 + : : : + an :
4. Pruebe que:
4.1 8j(2n
4.2
6jn3
1)2
1; para cada n 2 N:
n; para cada n 2 N:
4.3 9jn3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 ; para cada n 2 N:
4.4 133j11n+2 + 122n+1 ; para cada n 2 N:
4.5 Si a; b; c son dígitos, entonces 143 divide al número (cifrado)
abcabc:
5. Si a; b 2 Z; pruebe que a
bjan
bn ; para cada n 2 N:
6. Sean a; b 2 Z; con b 6= 0: Pruebe que bja; si y sólo si, el residuo
de dividir a por b; es r = 0:
7. Aplicando el algoritmo de división, encuentre q y r para escribir
a = bq + r en los siguientes casos:
7.1 a = 0 y b = 5:
7.3 a = 18 y b = 46:
7.5 a = 23 y b = 52:
7.7 a = 32 y b = 57:
7.9 a = 28 y b = 46:
7.10 a = m3 + 3m2 + 3m + 2 y
8. Pruebe que (a; b) = (jaj ; jbj):
7.2
7.4
7.6
7.8
a = 138 y b = 11:
a = 137 y b = 18:
a = 14 y b = 8:
a = 18 y b = 4:
b = m + 1 (m > 0):
0.6. EJERCICIOS
27
9. Aplicando el algoritmo de Euclides y el ejercicio anterior, encuentre el mcd de:
9.1 a = 60 y b = 42:
9.3 a = 35 y b = 49:
9.5 a = 764 y b = 866:
9.2 a = 60 y b = 42:
9.4 a = 82 y b = 36:
9.6 a = 468 y b = 964:
10. Si (a; b) = 1; pruebe que la ecuación c = ax+by tiene soluciones
enteras x y y; para cada c 2 Z:
11. Sean a; b; c 2 Z: Si d = (a; b); pruebe que la ecuación
c = ax + by tiene soluciones enteras, si y sólo si, djc:
12. Si d > 0 es tal que dja; djb y d = as + bt; pruebe que d = (a; b):
13. Si d = (a; b) y d = as + bt; pruebe que (s; t) = 1 [?‘son únicos
s y t ?].
14. Si d = (a; b); a = dq1 y b = dq2 ; pruebe que (q1 ; q2 ) = 1:
15. Si cja y (a; b) = 1; pruebe que (b; c) = 1:
16. Si ajc; bjc y d = (a; b); pruebe que abjcd:
17. Si (a; b) = 1 y c 6= 0; pruebe que (a; b c) = (a; c):
18. Si k > 0; pruebe que (ak; bk) = k(a; b):
19. Si k 6= 0; pruebe que (ak; bk) = jkj (a; b)
20. Si (a; b) = 1; pruebe que (a + b; a
b) = 1 ó 2:
21. Si (a; b) = 1; pruebe que (am ; bn ) = 1 para todo m; n 2 N:
22. Si (a; b) = k; pruebe que (an ; bn ) = k n para todo n 2 N:
23. Sean m; n; k 2 N: Si mn = k 2 y (m; n) = 1; pruebe que m = a2
y n = b2 para algunos a; b 2 N:
24. Si (a; c) = 1 y (b; c) = 1; pruebe que (ab; c) = 1:
25. Si b2 ja2 ; pruebe que bja:
26. Si bn jan ; pruebe que bja:
28CAPÍTULO 0. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS
27. Si a 2 N y a 6= k 2 para todo k 2 N; pruebe que
p
a2
= Q:
p
= Q:
28. Si a 2 N y a 6= k n para todo k 2 N; pruebe que n a 2
29. Si a1 ; a2 ; : : : ; an son dígitos, pruebe que 9ja1 a2 : : : an ; si y sólo
si, 9ja1 + a2 + : : : + an (a1 a2 : : : an es número cifrado).
Sugerencia: Pruebe y use que 9j10n
1, para cada n 2 N:
30. Sean a0 ; a1 ; : : : ; an 2 Z; no todos cero. Decimos que d 2 Z;
d > 0; es máximo común divisor (mcd) de a0 ; a1 ; : : : ; an ; y
escribimos d = (a0 ; a1 ; : : : ; an ); si:
I) dja0 ; dja1 ; : : : ; djan :
II) Si c 2 Z es tal que cja0 ; cja1 ; : : : ; cjan ; entonces cjd:
30.1 Si d = (a0 ; a1 ; : : : ; an ); pruebe que d es único.
30.2 Pruebe que existe d = (a0 ; a1 ; : : : ; an ); y además que
existen s0 ; s1 ; : : : ; sn 2 Z tales que
d = a0 s0 + a1 s1 + : : : + an sn ;
y que d es el mínimo entero positivo con esta propiedad.
Sugerencia: Proceda por inducción. De otro modo, de…na A = fx 2 N j x = a0 t0 +a1 t1 + : : : + an tn ; con
t0 ; t1 ; : : : ; tn 2 Zg, veri…que que A 6= : Por el Principio
de Buen Orden, A tiene elemento mínimo, pruebe que este
satisface (I) y (II).
31. Sean a; b; c 2 Z; no todos cero. Pruebe que (a; b; c) = ((a; b); c):
32. Sean a0 ; a1 ; : : : ; an 2 Z; no todos cero. Pruebe que
(a0 ; a1 ; : : : ; an ) = (ja0 j ; ja1 j ; : : : ; jan j):
33. Sean a; b 2 Z; con a 6= 0 y b 6= 0. Decimos que m 2 Z;
m > 0; es mínimo común múltiplo (mcm) de a y b; y escribimos m = [a; b] ó m =mcm fa; bg; si:
I) ajm y bjm:
II) Si a j s y b j s para algún s 2 Z; entonces mjs:
33.1 Si m = [a; b]; pruebe que m es único.
33.2 Dados a; b 2 Z
f0g, pruebe que existe m = [a; b].
0.6. EJERCICIOS
29
33.3 Pruebe que [a; b] = [ jaj ; jbj] :
a b
:
(a; b)
33.5 Si k > 0; pruebe que [ak; bk] = k[a; b]:
33.4 Si a > 0 y b > 0; pruebe que [a; b] =
34. Escriba una de…nición de mcm de a; b 2 Z; sin la restricción de
que a 6= 0 y b 6= 0:
35. Sean a0 ; a1 ; : : : ; an 2 Z; con ai 6= 0 para cada i = 0; 1; : : : ; n:
Escriba una de…nición de mcm de a0 ; a1 ; : : : ; an : Además, enuncie y pruebe ejercicios similares a 33.1, 33.2, 33.3, 33.4 y 33.5.
36. Factorice en primos los siguientes números: 834; 656; 383; 637;
2831:
37. Si p es primo y pja1 a2 : : : an ; pruebe que pj ai para algún
i = 1; 2; : : : ; n:
38. Si a 2 Z y a < 1; pruebe que existen primos p1 ; p2 ; : : : ; pn
tales que a = p1 p2 : : : pn :
39. Sean a = p1 1 p2 2 : : : pnn y b = p1 1 p2 2 : : : pnn ; donde
p1 ; p2 ; : : : ; pn son números primos tales que pi 6= pj ; si i 6= j;
y donde i 0 y i 0; para cada i = 1; 2; : : : ; n:
39.1 Si d = p1 1 p2 1 : : : pnn con 0
i = mín f i ;
cada i = 1; 2; : : : ; n, pruebe que d = (a; b):
39.2 Si m = p11 p22 : : : pnn con 0
i = máx f i ;
cada i = 1; 2; : : : ; n; pruebe que m = [a; b]:
40. Sea n 2 N: Si 2n
ig ;
ig ;
para
para
1 es primo, pruebe que n es primo
41. Sea a 2 N; a > 1: Si p 6 ja para cada primo p tal que
p2 a; pruebe que a es primo (Teorema de Eratóstenes).
42. Sean a; b 2 Z: Si p 2 Z; p > 1; es tal que pjab implica pja o pjb;
pruebe que p es primo.
43. Si p es un número primo y n 2 N; pruebe que la suma de los
pn 1
:
divisores positivos de pn 1 es
p 1
44. Pruebe que el conjunto de números primos no es …nito.
Capítulo 1
LOS NÚMEROS
COMPLEJOS
1.1
El conjunto de los números complejos
Uno de nuestros objetivos es la resolución de ecuaciones algebraicas con una incógnita y de coe…cientes reales, es decir, de expresiones de la forma
an xn + an
n 1
1x
+ : : : + a1 x + a0 = 0;
donde an ; an 1 ; : : : ; a1 ; a0 son números reales llamados coe…cientes
de la ecuación, x es la incógnita (o indeterminada) y n
1; si
an 6= 0; es el grado de la ecuación. Resolver la ecuación anterior signi…ca encontrar todos los valores numéricos de la incógnita
x que la satisfagan, es decir, que al sustituir x por tales valores,
llamados soluciones o raíces de la ecuación, y efectuar las operaciones indicadas, el primer miembro de la ecuación se reduzca a cero.
Veremos enseguida que el conjunto de números reales no es su…ciente
para resolver cualquier ecuación de coe…cientes reales. En efecto:
Consideremos la ecuación
x2 + 1 = 0:
(1)
Supongamos que t 2 R es una solución de (1), entonces t2 +1 = 0;
por tanto t2 = 1: Si t > 0; entonces t2 > 0: Si t = 0; entonces
31
32
CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
t2 = 0: Si t < 0; entonces t2 > 0: Por tanto t2 6= 1; para todo
t 2 R: En consecuencia, no hay número real que satisfaga la ecuación
x2 + 1 = 0:
Consideremos ahora la ecuación
x2 + x + 1 = 0:
(2)
Sabemos que las soluciones reales de una ecuación del tipo
ax2 + bx + c = 0;
con a; b; c 2 R, son de la forma
p
b2
2a
b
4ac
:
Suponiendo que s 2 R es una solución de la ecuación (2), entonces
p
p
1+
3
1
3
s=
ó s=
:
2
2
p
En el primer caso
3 = 2s + 1; y en el segundo caso
p se tendría que
se tendría que
3 = (2s + 1): En cualquier caso se tendría que
3 = (2s + 1)2 ; donde 2s + 1 2 R; pues hemos supuesto s 2 R; y
esto no es posible ya que, como vimos antes, el cuadrado de todo
número real es positivo o cero. Así pues, tampoco hay número real
que satisfaga la ecuación (2).
Lo que haremos enseguida es ampliar el sistema de los números
reales, a un sistema de números donde, por lo menos, las ecuaciones
(1) y (2) tengan soluciones. De hecho, como veremos más adelante,
toda ecuación de coe…cientes reales o en el nuevo sistema, tendrá
soluciones en éste.
Una solución de la ecuación (1) sería un número i tal que i2 = 1;
el cual, como hemos visto, no puede ser número real. Las soluciones
de la ecuación (2) serían números de la forma
1
p
2
3
:
1.1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
33
Si en lugar de 3 dentro del radical, escribimos 3i2 ; y si intentamos
extender las leyes de radicales de números reales, tendríamos
p
p
1
3i2
1
3i
=
:
2
2
Así que las soluciones de la ecuación (2) serían
p
p
3
3
1
1
+
i y
i;
2
2
2
2
donde claro que
1
2;
p
3
2
y
p
3
2
son números reales.
Motivados por las ideas anteriores, hacemos la siguiente
De…nición (1.1.1).–Un número complejo es una expresión de la
forma a + bi; donde a y b son números reales e i es un símbolo.
Si con C denotamos al conjunto de los números complejos, entonces C = fa + bi j a 2 R y b 2 Rg:
La expresión a + bi se llama forma normal de un número complejo. Al número real a se le llama la parte real de a + bi, y lo
denotamos por a =Re(a + bi). Al número real b se le llama parte
imaginaria de a + bi; y lo denotamos por b =Im(a + bi):
De…nición (1.1.2).–Decimos que dos números complejos a + bi
y c + di son iguales, y escribimos a + bi = c + di; si a = c y b = d:
Si b 6= 0; al número complejo a+bi se le llama número imaginario,
y al complejo 0+bi se le llama número imaginario puro, y se le denota
simplemente por bi; esto es, bi = 0+bi: Al número complejo a+0i se
le denota simplemente por a; es decir, a = a + 0i; que es un número
real.
Por a
bi entenderemos el número complejo a + ( b)i; o sea que
a
b i = a + ( b)i:
34
CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Análogamente
a + bi
a bi
i
i
a+i
1.2
=
=
=
=
=
( a) + bi;
( a) + ( b)i;
0 + 1i;
0 + ( 1) i;
a + 1i:
Suma y multiplicación de complejos
De…nición (1.2.1).–Sean a + bi y c + di números complejos.
i) De…nimos la suma de a + bi y c + di; denotada por
(a + bi) + (c + di); como:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i:
ii) De…nimos la multiplicación de a + bi y c + di; denotada por
(a + bi) (c + di) o por (a + bi)(c + di); como:
(a + bi) (c + di) = (ac
bd) + (ad + bc)i:
Comentario: La suma de dos números complejos se ha de…nido,
naturalmente, como el complejo cuya parte real es la suma de partes
reales, y cuya parte imaginaria es la suma de partes imaginarias. La
multiplicación se ha de…nido bajo la siguiente indicación:
Si x; y; v; ! 2 R; sabemos que
(x + y)(v + !) = xv + y! + x! + yv:
Siguiendo esta idea, y como queremos i2 =
1; obtenemos
2
(a + bi) (c + di) = ac + bdi + adi + bci
= (ac
bd) + (ad + bc)i:
Teorema (1.2.2).–Los números complejos con las operaciones de
suma y multiplicación antes de…nidas, constituyen un campo, es decir,
satisfacen las siguientes propiedades:
1.2. SUMA Y MULTIPLICACIÓN DE COMPLEJOS
35
S1) 8z1 ; z2 2 C; z1 + z2 2 C:
S2) 8 z1 ; z2 ; z3 2 C; (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ):
S3) 8 z1 ; z2 2 C; z1 + z2 = z2 + z1 :
S4) Existe un único elemento
S5) 8 z 2 C; existe un único
2 C tal que z + = z; 8 z 2 C:
z 2 C tal que z + ( z) = :
M1) 8 z1 ; z2 2 C; z1 z2 2 C:
M2) 8 z1 ; z2 ; z3 2 C; (z1 z2 ) z3 = z1 (z2 z3 ).
M3) 8 z1 ; z2 2 C; z1 z2 = z2 z1 :
M4) Existe un único ` 2 C; tal que z ` = z 8 z 2 C:
M5) 8 z 2 C; z 6= ; existe un único
2 C tal que z
= `:
D) 8 z1 ; z2 ; z3 2 C; z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 :
Demostración:
De (S1): Es consecuencia inmediata de la de…nición de suma.
De (S2): Sean z1 = a + bi; z2 = c + di y z3 = e + f i; entonces
(z1 + z2 ) + z3 = ((a + bi) + (c + di)) + (e + f i)
= ((a + c) + (b + d)i) + (e + f i)
= ((a + c) + e) + ((b + d) + f )i
= (a + (c + e)) + (b + (d + f ))i
= (a + bi) + ((c + e) + (d + f )i)
= (a + bi) + ((c + di) + (e + f i))
= z1 + (z2 + z3 ):
De (S3): Se deja al lector.
De (S4): Sea z = a + bi un complejo arbitrario, y consideremos
el complejo 0 + 0i; entonces:
(a + bi) + (0 + 0i) = (a + 0) + (b + 0)i
= a + bi:
36
CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Por tanto,
= 0 + 0i es tal que z + = z; 8 z 2 C:
Veamos ahora que es único: Si también 0 es un complejo tal
que z + 0 = z; 8 z 2 C; entonces, en particular, + 0 =
y
0
+ = 0 : Como por (S3) + 0 = 0 + ; entonces 0 = :
En resumen, = 0 + 0i es único tal que z + = z; 8 z 2 C.
Como por notación 0 = 0 + 0i, entonces en lugar de escribimos
simplemente 0, o sea = 0 + 0i = 0:
De (S5): Dado z = a + bi; consideremos el complejo
a
bi = ( a) + ( b)i:
Claro que
(a + bi) + ( a
bi) = (a
a) + (b
b)i
= 0 + 0i
= 0:
Así que dado z = a + bi; z = (a + bi) = a bi es tal que
z + ( z) = 0: Veamos ahora que z es único: Si también z 0 es un
complejo tal que z + z 0 = 0; entonces
z0 = 0 + z0
= ( z + z) + z 0
=
z + (z + z 0 )
=
z+0
=
z:
Resumiendo, dada z = a + b i;
z + ( z) = 0:
z=
a
bi es el único tal que
De (M1): Es consecuencia inmediata de la de…nición de multiplicación.
De (M2): Se deja al lector.
1.2. SUMA Y MULTIPLICACIÓN DE COMPLEJOS
37
De (M3): Sean z1 = a + bi y z2 = c + di; entonces
z1 z2 = (a + bi) (c + di)
= (ac
bd) + (ad + bc)i
= (ca
db) + (da + cb)i
= (c + di) (a + bi)
= z2 z1 :
De (M4): Sea z = a + b i un complejo arbitrario y consideremos
el complejo ` = 1 + 0i: Claro que
z ` = (a + bi) (1 + 0i)
= (a
0) + (0 + b)i
= a + bi
= z:
Así pues, ` = 1 + 0 i es tal que z ` = z; 8 z 2 C:
Veamos ahora que ` es único: Si también `0 2 C es tal que
z `0 = z; 8 z 2 C; en particular ` `0 = ` y `0 ` = `0 ; y como
`0 ` = ` `0 ; entonces `0 = `:
Puesto que por notación a + 0 i = a; entonces 1 + 0 i = 1, así
que, en lugar de ` escribiremos simplemente 1:
De (M5): Sea z = a+bi 6= 0 (a 6= 0 o b 6= 0); y sea = x+yi un
complejo tal que z
= 1, es decir, (a + bi)(x + yi) = 1; entonces
(ax by) + (ay + bx)i = 1 y por lo tanto
ax
by = 1
(1)
y
a y + b x = 0:
(2)
Multiplicando (1) por a; y (2) por b; tenemos que
a2 x
aby = a
(3)
aby + b2 x = 0:
(4)
y
38
CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Sumando miembro a miembro las ecuaciones (3) y (4), se tiene
que a2 x + b2 x = a; entonces (a2 + b2 )x = a; y por tanto
x=
a2
a
:
+ b2
Multiplicando ahora (1) por b; y (2) por a; y haciendo un proceso análogo al anterior, se tiene que
y=
b
:
a2 + b2
Así pues, dado z = a + bi 6= 0;
=
a2
a
b
+ 2
i
2
+b
a + b2
es tal que z
= 1. Veamos ahora que
z 0 = 1; entonces
0
=
0
=
0
= (z
0
es tal que
1
(z
0
= (
es único: Si
)
z)
0
)
= 1
=
En lugar de
entonces
escribimos z
:
1;
o sea que, si z = a + b i 6= 0;
a
b
+
i
a2 + b2 a2 + b2
z
1
=
es el único tal que z z
1
= 1:
De (D): Se deja al lector.
q.e.d.
z1
Notación: Dados z1 ; z2 2 C; en lugar de z1 + ( z2 ); escribimos
z2 ; es decir,
z1 z2 = z1 + ( z2 ):
En particular, z
z = z + ( z): Análogamente,
z1
z2 = ( z 1 ) + ( z2 )
1.2. SUMA Y MULTIPLICACIÓN DE COMPLEJOS
39
y
z1 + z2 = ( z1 ) + z 2 :
Puesto que las once propiedades anteriores (denominadas axiomas de campo) son las mismas que cumplen los números reales, las
consecuencias de ellas son también las mismas que se tienen para
los números reales. Para recordar algunas de ellas, enunciamos la
siguiente
Proposición (1.2.3).–Si z; z1 ; z2 2 C; entonces:
1. z 0 = 0:
2.
z = ( 1) z y
( z) = z:
3. (z1 )( z2 ) = ( z1 )(z2 ) =
(z1 z2 ):
4. ( z1 )( z2 ) = z1 z2 :
5. Si z1 z2 = 0; entonces z1 = 0 o z2 = 0:
6. Si z + z1 = z + z2 ; entonces z1 = z2 :
7. Si z z1 = z z2 y z 6= 0; entonces z1 = z2 :
8. Si z 6= 0; entonces (z
1) 1
= z:
Demostración: Ejercicio.
Observación: Considerando la notación b+0i = b y 0+i = i; por
la conmutatividad de la multiplicación tenemos que ib = bi: Así que
también escribimos a+ib en lugar de a+bi: Análogamente, podemos
escribir bi + a ó ib + a en lugar de a + bi; debido a la conmutatividad
de la suma y a la notación a + 0i = a y 0 + bi = bi = ib:
De…nición (1.2.4).– Sean z1 ; z2 2 C; con z2 6= 0: Se de…ne el
z1
cociente de z1 y z2 ; denotado por ; como
z2
z1
= z1 z2 1 :
z2
40
CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
De la de…nición anterior se deduce que z
1
=1 z
1
=
1
:
z
Proposición (1.2.5).– Si z1 ; z2 ; z3 ; z4 2 C; con z2 6= 0 y z4 6= 0;
entonces:
1. (z2
1
z4 )
= z2 1 z4 1 :
z1
= z1 :
1
z1 z3
z 1 z3
=
:
3.
z 2 z4
z2 z4
2.
4.
z1 z3
z 1 + z3
+
=
:
z2 z2
z2
5.
z1 z3
z 1 z4 + z 2 z3
+
=
:
z2 z4
z2 z4
6. Si z3 6= 0;
1
z1
z2
z3
z4
=
z1 z 4
:
z2 z 3
z2 1
z4
1 = z :
z4
2
7.
z2
z4
8.
z2
z2
z2
=
=
:
z4
z4
z4
=
Demostración: Ejercicio.
De…nición (1.2.6).– Dados n 2 N y z 2 C; de…nimos z 1 = z y
n
z n+1 = z n z: Si z 6= 0; de…nimos z n = z 1 y z 0 = 1:
De la de…nición anterior se siguen las propiedades usuales, que
se tienen en los números reales, para la exponenciación entera de
números complejos. Más adelante hacemos una observación sobre
exponentes racionales.
1.3. LOS COMPLEJOS COMO PAREJAS ORDENADAS
41
Sea R el conjunto de los números complejos del tipo x + 0i, es
decir, R = fx+0i j x 2 Rg: Dados z1 ; z2 2 R, claramente z1 +z2 2 R
y z1 z2 2 R. Además, si z 2 R, entonces z 2 R y si z 6= 0;
z 1 2 R: De lo anterior se sigue que R, con las operaciones de C;
es un campo (compruébese!) contenido en C y además es una copia
del campo de números reales R; lo que nos ha permitido escribir
x+0i = x. Por las razones anteriores, convenimos que el campo de los
números reales está contenido en el campo de los números complejos,
simbólicamente, R
C: Se dice que un número complejo a + bi es
número real si b = 0; y si b 6= 0; se dice que es número imaginario.
1.3
Los complejos como parejas ordenadas
Dadas las parejas ordenadas (a; b); (c; d) 2 R2 , se tiene que
(a; b) = (c; d); si y sólo si, a = c y b = d. Por lo tanto, al complejo
a + bi lo podemos identi…car con la pareja ordenada (a; b) 2 R2 ; y
escribiremos (a; b) = a + bi. Observemos que
a = a + 0i
= (a; 0)
y
bi = 0 + bi
= (0; b) :
En particular 1 = 1 + 0i = (1; 0) e i = 0 + i = (0; 1): La suma y
multiplicación de complejos como parejas ordenadas, quedan como
sigue:
(a; b) + (c; d) = (a + c; b + d)
y
(a; b) (c; d) = (ac
bd; ad + bc):
Al identi…car al complejo a + bi con la pareja (a; b); de hecho
estamos identi…cando al conjunto de los números complejos con el
conjunto R2 ; o sea C = R2 ; y por lo tanto, geométricamente los
42
CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
números complejos son los puntos del plano cartesiano, llamado también plano complejo.
1.4
Complejos conjugados. Valor absoluto de
complejos
De…nición (1.4.1).–Sea a + bi un número complejo.
i) De…nimos el conjungado de a + bi; denotado por a + bi; como
a + bi = a
bi:
ii) De…nimos el valor absoluto o módulo de a + bi; denotado por
ja + bij; como la raíz cuadrada del número real a2 + b2 ; es decir,
p
ja + bij = a2 + b2 :
Observación: Geométricamente el valor absoluto o módulo, de
un complejo z; es la longitud del segmento que une el origen del
plano complejo con el punto que representa a z:
1.4. COMPLEJOS CONJUGADOS. VALOR ABSOLUTO DE COMPLEJOS43
Observación: p
Si z = a + bi; entonces z z = a2 + b2 ; de donde
se sigue que jzj = z z; y por lo tanto jzj2 = z z:
Proposición (1.4.2).– Si z1 y z2 son números complejos, entonces:
i) (z1 ) = z1 :
ii) z1 + z2 = z1 + z2 :
iii) z1 z2 = z1 z2 :
iv) z1
z2 = z1
v) Si z2 6= 0;
z2 :
z1
z2
=
z1
:
z2
Demostración: Sólo demostraremos (ii) y (iii). Los incisos (i),
(iv) y (v) debe demostrarlos el lector.
44
CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
De (ii): Sean z1 = a + bi y z2 = c + di; entonces:
z1 + z2 = (a + bi) + (c + di)
= (a + c) + (b + d)i
= (a + c)
(b + d)i
= (a + c) + ( b
= (a
bi) + (c
d)i
di)
= z1 + z2:
De (iii):
z1 z2 = (a + bi) (c + di)
= (ac
bd) + (ad + bc)i
= (ac
bd)
= (ac
bd) + (a( d) + ( b)c)i
= (a
bi) (c
(ad + bc)i
di)
= z1 z2:
q.e.d.
Proposición (1.4.3).–Si z1 y z2 son complejos, entonces:
i) jz1 j = 0; si y sólo si, z1 = 0:
ii) j z1 j = j z1 j:
iii) j z1 z2 j = j z1 j j z2 j:
iv) j z1 + z2 j
j z1 j + j z2 j:
v) Si z2 6= 0;
z1
jz1 j
=
:
z2
jz2 j
vi) j z1 j
j z2 j
j z1
z2 j:
Demostración: Sólo demostraremos (iii) y (iv), los demás incisos debe demostrarlos el lector.
1.4. COMPLEJOS CONJUGADOS. VALOR ABSOLUTO DE COMPLEJOS45
De (iii): Puesto que 8 z 2 C; j z j2 = z z; entonces
j z1 z2 j2 = (z1 z2 ) (z1 z2 )
= (z1 z2 ) (z 1 z 2 )
= (z1 z 1 ) (z2 z 2 )
= j z1 j2 j z2 j2
= (j z1 j j z2 j)2 :
por lo tanto j z1 z2 j = j z1 j j z2 j
De (iv):
j z1 + z2 j2 = (z1 + z2 ) (z1 + z2 )
= (z1 + z2 ) (z1 + z2 )
= z1 z 1 + z2 z 2 + z1 z2 + z 2 z1 :
O sea que
jz1 + z2 j2 = z1 z1 + z2 z2 + z1 z2 + z2 z1 :
(1)
Observemos que z1 z2 = z1 z2 = z1 z2 = z2 z1 : También
observemos que 8 z 2 C; z + z = 2Re z: Entonces de (1) se tiene que
j z1 + z2 j2 = j z1 j2 + j z2 j2 + 2Re( z1 z 2 ):
(2)
p
p
Puesto que 8 a; b 2 R; a j a j = a2
a2 + b2 ; entonces
8 z 2 C; Re z
j z j:
De donde se sigue, por (2), que
j z1 + z2 j2
j z1 j2 + j z2 j2 + 2j z1 z 2 j:
j z1 + z2 j2
j z1 j2 + j z2 j2 + 2j z1 j j z 2 j:
Por lo tanto
Como j z 2 j = j z2 j; entonces
j z1 + z2 j2
j z1 j2 + j z2 j2 + 2j z1 jj z2 j:
Por lo tanto
j z1 + z2 j2
(j z1 j + j z2 j)2 :
46
CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
En consecuencia
j z1 + z2 j
j z1 j + j z2 j:
q.e.d.
Ejemplo: Hallar el valor absoluto del complejo
z=
(4 + 3i)(1 + i)
:
1 7i
Solución:
jzj =
=
=
=
=
(4 + 3 i)(1 + i)
1 7i
j(4 + 3 i)(1 + i)j
j1 7ij
j4 + 3ijj1 + ij
j1 7ij
p p
25 2
p
50
1:
Observación: Si z es un número complejo, con z 6= 0, claro que
z
z
= 1:
z = j z j ; donde
jzj
jzj
1.5
Las raíces cuadradas de un complejo
Naturalmente que encontrar las raíces cuadradas de un número
complejo z; es equivalente a resolver la ecuación X 2 z = 0:
Consideremos pues la ecuación X 2 z = 0; la que podemos
escribir como X 2 = z: Sea z = a + bi y supongamos que X = x + yi
es tal que X 2 = z: Entonces (x + yi )2 = a + bi; de donde se sigue
1.5. LAS RAÍCES CUADRADAS DE UN COMPLEJO
47
que x2 y 2 + 2 x yi = a + bi; y por igualdad de números complejos
tenemos que
x2
y 2 = a y 2 xy = b:
(1)
Puesto que
(x2 + y 2 )2 = (x2
y 2 )2 + 4 x2 y 2 ;
entonces combinando esta ecuación con las ecuaciones (1), obtenemos
(x2 + y 2 )2 = a2 + b2 :
Puesto que x2 + y 2
0, entonces
x2 + y 2 =
p
a2 + b2 :
(2)
Como x2 y 2 = a, podemos escribir x2 = a + y 2 , y combinando
esta ecuación con la ecuación (2), obtenemos
p
a2 + b2 a
2
y =
;
2
de donde se sigue que
y=
sp
a2 + b2
2
a
:
Análogamente, de x2 y 2 = a, podemos escribir y 2 = x2 a y
combinando esta ecuación nuevamente con la ecuación (2), se tiene
que
p
a2 + b2 + a
2
x =
;
2
de donde se concluye que
sp
a2 + b2 + a
x=
:
2
Puesto que 2xy = b; entonces los signos de x y y, dependen del
signo de b: Así que, si b > 0; entonces x y y tienen el mismo signo,
y si b < 0 entonces x y y tienen signos opuestos. En consecuencia
tenemos que:
48
CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
I) Si b > 0; las dos raíces de la ecuación X 2 = a + bi vienen dadas
por:
sp
0s p
1
2
2
2
2
a +b +a
a +b
aA
X= @
+i
:
2
2
II) Si b < 0; las dos raíces de la ecuación X 2 = a + bi vienen dadas
por:
sp
0s p
1
2
2
2
2
a +b +a
a +b
aA
:
X= @
i
2
2
III) Si b = 0; la ecuación X 2 = a + bi se reduce a X 2 = a; cuyas
raíces son:
i) Si a
0; X =
ii) Si a < 0; X =
p
a:
p
i
a:
Observación: Es claro de los casos I), II) y III), que las dos
raíces cuadradas de un número complejo z 6= 0; son diferentes una
de otra por un cambio de signo, es decir, si x1 es una raíz cuadrada
de z, entonces x2 = x1 es la otra raíz cuadrada de z: De lo anterior
se deduce que las raíces de la ecuación cuadrática
A x2 + B x + C = 0;
donde A; B y C son números complejos, vienen dadas por
X=
B W
;
2A
donde W es una raíz de la ecuación
y2 = B 2
Ejemplos:
4AC:
1.5. LAS RAÍCES CUADRADAS DE UN COMPLEJO
49
1) Encontrar las raíces cuadradas del complejo z = 4 + 3i.
Solución: Basta resolver la ecuación x2 = 4 + 3i, en donde a = 4
y b = 3. Como b > 0; las raíces vienen dadas por
sp
0s p
1
2 + b2 + a
2 + b2
a
a
a
A:
x= @
+i
2
2
Por lo tanto
x=
0s
@
p
s
p
16 + 9 + 4
16 + 9
+i
2
2
En consecuencia
3
1
x1 = p + p i y
2
2
3
p
2
x2 =
1
4A
:
1
p i:
2
Así pues, las raíces cuadradas de z = 4 + 3 i son:
3
1
p +p i y
2
2
2) Resolver la ecuación x2
3
p
2
1
p i:
2
(1 + i)x + (6
2i) = 0:
Solución: Claramente A = 1; B = (1 + i) y C = 6 2i: Por lo
tanto, las soluciones de la ecuación dada vienen dadas por
x=
(1 + i)
2
W
donde W es una raíz de la ecuación y 2 =
;
24 + 10i:
Como las raíces de esta última son W = 1+5i y W =
entonces x1 = 1 + 3i y x2 = 2i son las raíces de
x2
(1 + i)x + (6
2i) = 0:
(1+5i);
50
CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
1.6
Forma trigonométrica de un complejo
Dado z 2 C; en la sección anterior resolvimos la ecuación
x2
z = 0:
En esta sección y la que sigue, estableceremos las condiciones para
resolver la ecuación más general
xn
z = 0:
Sea z = a + ib un número complejo y sea r = j z j: Si z 6= 0; considerando su representación geométrica, sea la medida del ángulo
que forman el eje real positivo y el segmento que une el origen del
plano complejo con el punto que representa a z; entonces se tiene
que a = r cos y b = r sen : En consecuencia z = a + ib puede escribirse en la forma z = r(cos + i sen ): A se le llama la amplitud
o argumento de z; y escribimos = arg z. Si z = 0; entonces r = 0;
y por lo tanto z = r(cos + i sen ) para cualquier :
En consecuencia, todo complejo z = a+bi puede expresarse como
z = r (cos + i sen );
donde r = j z j y
= arg z; llamada forma trigonométrica de z:
Puesto que 8 m 2 Z;
cos(2m + ) = cos( )
1.6. FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UN COMPLEJO
51
y
sen(2m + ) = sen( );
entonces = arg z puede tomar muchos valores, di…riendo cada dos
por múltiplos de 2 . Será siempre conveniente elegir de modo que
2 < <2 .
Dado z = a+bi; con a 6= 0 y b 6= 0; para determinar un argumento
de z podemos emplear la función tangente, pues por de…nición
tan( ) =
sen( )
;
cos( )
y las tablas trigonométricas, bajo las siguientes indicaciones:
Primero determinamos el ángulo agudo ! (positivo) por
! = tan
1
jbj
;
jaj
y luego:
i) Si a > 0 y b > 0; elegimos
=!>0 ó
ii) Si a < 0 y b < 0; elegimos
=!+
=!
>0 ó
2 < 0:
=!
< 0:
52
CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
iii) Si a > 0 y b < 0; elegimos
=2
iv) Si a < 0 y b > 0; elegimos
=
!>0 ó
!>0 ó =
=
! < 0:
! < 0:
1.6. FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UN COMPLEJO
53
Ejemplos:
Expresar en forma trigonométrica los siguientes números complejos:
1) z =
3 : En este caso r = 3 y
= : Así que
z = 3(cos + i sen ):
= 2 : Así que
2) z = 7i : En este caso r = 7 y
z = 7 cos
3) z =
1
2
z = cos
p
3
2 i
5
3
2
+ i sen
: En este caso r = 1 y
+ i sen
5
3
=
2
5
3
ó z = cos
:
ó
3
=
3:
+ i sen
Así que
3
:
54
CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
4) z = 8
p
8 3i : En este caso
r = 16;
Puesto que z = j z j
z
; entonces
jzj
z = 16
= 16
8
16
1
2
p
8 3
16 i
p
3
2 i :
Y por el ejemplo (3)
z = 16 cos
1.7
5
3
+ i sen
Fórmula de De Moivre
Sean
z1 = r1 (cos
1
+ i sen
1)
z2 = r2 (cos
2
+ i sen
2)
y
5
3
:
1.7. FÓRMULA DE DE MOIVRE
55
dos números complejos en forma trigonométrica, entonces:
z1 z2 = [r1 (cos
1
+ i sen
1 )]
= r1 r2 [(cos
1
= r1 r2 [(cos
1 cos 2
+i(cos
+ i sen
1 sen 2
[r2 (cos
2
+ i sen
2 )]
1)
2
+ i sen
2 )]
(cos
sen 1 sen 2 ) +
+ sen
1 cos 2 )]:
Puesto que
cos
1 cos 2
sen
1 sen 2
= cos(
1
+
2)
= sen (
1
+
2 );
+ i sen (
1
+
2 )] :
y
cos
1 sen 2
+ sen
1 cos 2
entonces
z1 z2 = r1 r2 [cos(
1
+
2)
(1)
En consecuencia, el módulo del producto es el producto de los
módulos de los factores, y el argumento del producto es la suma de
los argumentos de los factores.
Claro que si
z1 = r1 (cos
1
+ i sen
1 );
z2 = r2 (cos
..
.
2
+ i sen
2 );
zn = rn (cos
n
+ i sen
n );
entonces por (1), inductivamente, se tiene que
z1 : : : z2 = r1 : : : rn [cos(
1 + : : : + n ) + i sen ( 1 + : : : + n )]:
Si
z = r(cos + i sen )
(2)
56
CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
es un complejo en forma trigonométrica, entonces por (2)
z n = rn [cos(n ) + i sen (n )] :
(3)
De (3) se sigue que si j z j = r; entonces j z n j = rn ; y si arg z = ;
entonces arg z n = n :
Si j z j = 1; es decir, si
z = cos + i sen
entonces por (3) tenemos que
z n = cos(n ) + i sen (n ):
Pero
z n = [cos + i sen ]n ;
de donde se sigue la importante identidad conocida como fórmula de
De Moivre:
[cos + i sen ]n = cos(n ) + i sen (n ); 8 n 2 N:
Consideremos nuevamente los complejos en forma trigonométrica
z1 = r1 (cos
1
+ i sen
1)
z2 = r2 (cos
2
+ i sen
2 );
y
con z2 6= 0; entonces
z1
z2
=
=
=
r1 (cos
r2
1 cos 2
r1 (cos
r2 (cos
r1 (cos
r2 (cos
1
+ i sen
2 + i sen
1 + i sen
2 + i sen
1)
+ sen
1 sen 2 ) + i(sen 1 cos 2
cos2 2 + sen2 2
2)
cos
)
cos
2
1)
2
2
i sen
i sen
2
2
cos
1 sen 2 )
1.7. FÓRMULA DE DE MOIVRE
57
Como se sabe que
cos
1 cos 2
+ sen
1 sen 2
= cos(
sen
1 cos 2
cos
1 sen 2
= sen (
2 );
1
2)
1
y
cos2
2
z1
r1
=
[cos(
z2
r2
1
+ sen2
2
= 1;
entonces
2)
+ i sen (
1
2 )] :
(4)
En consecuencia, el módulo del cociente es el cociente de los
módulos del dividendo y el divisor, y el argumento del cociente es la
diferencia de los argumentos del dividendo y el divisor.
Si z = cos + i sen ; entonces z 6= 0; y puesto que
1 = cos 0 + i sen 0; entonces por (4)
1
cos + i sen
= cos(
) + i sen (
);
o sea que,
1
(cos + i sen )
= cos(
) + i sen (
):
Como 8 n 2 N
(cos + i sen )
n
= (cos + i sen )
1 n
;
por la fórmula de De Moivre se tiene que
(cos + i sen )
n
= cos( n ) + i sen ( n ):
En consecuencia, la fórmula de De Moivre es válida también para
los enteros negativos. Resumiendo tenemos que 8 m 2 Z
[cos + i sen ]m = cos(m ) + i sen (m );
pues si m = 0 cada miembro de la identidad anterior tiene valor 1:
58
CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
1.8
Resolución de la ecuación xn
z=0
Veremos enseguida que la ecuación
xn
z=0
donde z 2 C; z 6= 0 y n 2 N (n 1); es soluble en el campo de los
números complejos y que tiene exactamente n soluciones (o raíces)
distintas. Para encontrar las soluciones, la fórmula de De Moivre nos
será de gran utilidad.
En lugar de xn z = 0; con z 2 C; z 6= 0; podemos escribir
= z: Tanto a z como al valor numérico complejo, si lo hay,
de la incógnita x que resuelve la ecuación, los escribimos en forma
trigonométrica, digamos
xn
z = r(cos + i sen )
y
x = R(cos ' + i sen '):
Por lo tanto
[R(cos ' + i sen ')]n = r(cos + i sen );
o sea,
Rn [cos ' + i sen ']n = r(cos + i sen ):
De donde se sigue, aplicando la fórmula de De Moivre al primer
miembro de la ecuación, que
Rn [cos (n') + i sen (n')] = r(cos + i sen ):
En consecuencia, Rn = r y n' =
tanto
R=
p
n
r y '=
+ 2k
+ 2k
:
n
con k 2 Z; y por lo
1.8. RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN X N
Z=0
59
Resumiendo, si z = r(cos + i sen ), entonces
x=
p
n
r cos
+ 2k
+ 2k
+ i sen
n
n
(1)
donde k 2 Z; es un número complejo que es solución de la ecuación
xn = z:
Ahora probaremos que el número de soluciones (o raíces) distintas, de la ecuación xn = z; es exactamente n; y que se obtienen
sustituyendo en la fórmula (1) los valores de k = 0; 1; : : : ; n 1; es
decir, para cada valor de k = 0; 1; : : : ; n 1 que se sustituya en la
fórmula (1), se obtiene una solución distinta de las otras y son todas
las soluciones.
En efecto: considerando los enteros k y n; por el algoritmo de la
división tenemos que
k = nq + ` con 0
` < n:
(Así que ` es uno de los números 0; 1; : : : ; n
+ 2k
n
=
=
=
1); y entonces
+ 2(nq + `)
n
+ 2nq + 2`
n
+ 2`
+ 2q ;
n
por lo tanto
cos
+ 2k
n
= cos
+ 2`
n
+ 2k
n
= sen
+ 2`
n
y
sen
:
Lo anterior dice que 8 k 2 Z; existe ` 2 f0; 1; : : : ; n
cos
+ 2k
n
+i sen
+ 2k
n
= cos
+ 2`
n
1g tal que
+i sen
o sea, que a lo sumo hay n soluciones distintas de la ecuación
+ 2`
n
60
CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
xn = r(cos + i sen );
y se obtienen al sustituir k = 0; 1; : : : ; n
Sean ahora k1 ; k2 2 f0; 1; : : : ; n
xk1 =
p
n
xk2 =
p
n
1 en la fórmula (1).
1g tales que k1 6= k2 ; y sean
r cos
+ 2k1
+ 2k1
+ i sen
n
n
r cos
+ 2k2
+ 2k2
+ i sen
n
n
y
:
Si xk1 = xk2 ; entonces
+ 2k1
n
+ 2k2
+ 2s con s 2 Z:
n
=
Por lo tanto
2k1 = 2k2 + 2ns ;
y …nalmente
k1
k2 = ns:
Esto dice que k1 k2 es un múltiplo de n; lo que no es posible, ya
que 0 k1 n 1 y 0 k2 n 1; y por lo tanto
(n
1)
k1
k2
Resumiendo, si k1 ; k2 2 f0; 1; : : : ; n
xk1 6= xk2 :
n
1:
1g y k1 6= k2 ; entonces
Así pues, al sustituir cada k = 0; 1; : : : ; n 1 en la fórmula (1),
se obtiene una solución distinta de las otras, de la ecuación
xn = r(cos + i sen );
y son todas las soluciones.
En conclusión, todas las soluciones (o raíces) de la ecuación
xn = r(cos + i sen ) (r > 0)
1.8. RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN X N
Z=0
61
vienen dadas por
x=
p
n
r cos
sustituyendo k = 0; 1; : : : ; n
+ 2k
+ 2k
+ i sen
n
n
;
1:
Observación: Resolver la ecuación xn = z es equivalente a encontrar las raíces n-ésimas del complejo z:
Ejemplo: Resolver la ecuación x3 = 8i:
Solución: En este caso es claro que r = j8ij = 8 y que
= arg 8i = ; y por lo tanto
2
8i = 8(cos
+ i sen ):
2
2
Así que la ecuación dada puede escribirse como
x3 = 8(cos
+ i sen );
2
2
y sus soluciones vienen dadas por
p
+ 2k
+ 2k
3
x = 8 cos 2
+ i sen 2
3
3
sustituyendo k = 0; 1; 2:
Para k = 0;
x0 = 2 cos + i sen
6
! 6
p
3 1
= 2
+ i
2
2
p
=
3 + i:
Para k = 1;
5
5
+ i sen
6
6
!
p
3 1
+ i
2
2
x0 = 2 cos
= 2
=
p
3 + i:
;
62
CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Para k = 2;
3
3
+ i sen
2
2
i)
x0 = 2 cos
= 2(0
=
2i:
Así pues, las raíces o soluciones de x3 = 8i son:
p
x0 = p
3 + i;
x1 =
3 + i;
x2 = 2i:
1.9
Representación geométrica de las raíces
de la ecuación xn z = 0
De acuerdo con la sección anterior, si
z = r(cos + i sen );
entonces las raíces de la ecuación
xn
z=0
vienen dadas por
x=
p
n
r cos
+ 2k
+ 2k
+ i sen
n
n
sustituyendo k = 0; 1; : : : ; n 1: De donde se sigue, inmediatamente,
p
que todas las raíces tienen el mismo módulo R = n r; y por lo tanto,
p
geométricamente todas estan en la circunferencia de radio R = n r
y centro en el origen del plano.
Observemos ahora que la medida del ángulo entre dos raíces consecutivas, para k = j y k = j + 1; viene dada por la diferencia de los
argumentos de estas raíces, o sea, por
+ 2(j + 1)
n
+ 2j
n
=
2
:
n
1.10. LAS RAÍCES N–ÉSIMAS DE LA UNIDAD
63
Y como son n raíces, entonces son n ángulos y por lo tanto, la suma
de sus medidas es 2 : Así que, geométricamente las raíces parten a
p
la circunferencia de radio R = n r y centro en el origen, en n arcos
iguales.
Ejemplo: Representamos enseguida las raíces de la ecuación
x3 = 8i; resuelta en la sección anterior. Dichas raíces son:
x0 =
1.10
p
3 + i; x1 =
p
3 + i y x2 =
2 i:
Las raíces n–ésimas de la unidad
Encontrar las raíces n–ésimas de la unidad, signi…ca encontrar
las raíces o soluciones de la ecuación
xn
1 = 0:
Puesto que
1 = cos 0 + i sen 0;
64
CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
la ecuación anterior la podemos escribir como
xn = cos 0 + i sen 0:
Y por lo visto anteriormente, sus raíces o soluciones vienen dadas
por
2k
2k
x = cos
+ i sen
;
n
n
sustituyendo k = 0; 1; : : : ; n
1:
Debido a que
cos
2k
n
2k
n
+ i sen
= cos k
2
n
2
n
+ i sen
k
+ i sen
2
n
;
por la fórmula de De Moivre tenemos que
cos
2k
n
+ i sen
2k
n
2
n
= cos
k
:
En consecuencia, las raíces n–ésimas de la unidad, es decir, las
raíces de la ecuación
xn 1 = 0
se obtienen al sustituir k = 0; 1; : : : ; n
x = cos
2
n
1 en la fórmula
+ i sen
k
2
n
;
y son precisamente
1 = ! 0 ; !; ! 2 ; : : : ; ! n
donde
! = cos
2
n
+ i sen
1
2
n
;
:
Geométricamente las raíces n–ésimas de la unidad están sobre
la circunferencia de radio 1; con centro en el origen y, como vimos
anteriormente, la dividen en n arcos iguales.
1.10. LAS RAÍCES N–ÉSIMAS DE LA UNIDAD
65
Lo anterior puede emplearse para resolver la ecuación
xm + xm
1
+ : : : + x + 1 = 0:
En efecto: inductivamente o por multiplicación directa se comprueba que
xm+1
1)(xm + xm
1 = (x
1
+ : : : + x + 1):
Como 1 = ! 0 ; !; ! 2 ; : : : ; ! m son las raíces, distintas entre sí, de
la ecuación xm+1 1 = 0; entonces
0 = !k
m+1
1 = !k
1
para todo k = 0; 1; : : : ; m:
Si k
h
!k
m
1; entonces ! k 6= 1; es decir ! k
!k
m
+ (! k )m
1
+ : : : + !k + 1
i
1 6= 0; por lo tanto
+ : : : + !k + 1 = 0
para todo k = 1; 2; : : : ; m:
Resumiendo,
!; ! 2 ; : : : ; ! m
son raíces de la ecuación
xm + xm
1
+ : : : + x + 1 = 0:
Y son todas, pues si hubiera otra diferente de ellas, entonces también
lo sería de xm+1 1 = 0; lo que no es posible.
En conclusión, para resolver la ecuación
xm + xm
1
+ ::: + x + 1 = 0
basta resolver la ecuación
xm+1
1 = 0;
cuyas raíces son
1; !; ! 2 ; : : : ; ! m ;
66
CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
donde
! = cos
2
2
+ i sen
;
m+1
m+1
y de éstas,
!; ! 2 ; : : : ; ! m
son las raíces de
xm + xm
1
+ : : : + x + 1 = 0:
Ejemplo: Resolver la ecuación x3 + x2 + x + 1 = 0:
Solución: Basta resolver la ecuación
x4
1 = 0;
cuyas raíces vienen dadas por
x = cos
2k
2k
+ i sen
4
4
sustituyendo k = 0; 1; 2; 3: Y son precisamente:
Para k = 0; x0 = 1:
Para k = 1; x1 = ! = cos
2
+ i sen
2
Para k = 2; x2 = ! 2 = cos + i sen
Para k = 3; x3 = ! 3 = cos 32
= i:
=
1:
+ i sen 32
=
Así pues, las raíces de x3 + x2 + x + 1 = 0
1.11
i:
son: i; 1; y
i:
Notas
1. En los números reales tenemos de…nida una relación de orden
\ " que cumple con las siguientes propiedades:
1.12. EJERCICIOS
i) 8 x 2 R; x
67
x:
ii) Dados x; y 2 R; si x
yyy
iv) 8 x; y 2 R; x
x:
iii) Dados x; y; z 2 R; si x
yoy
x; entonces x = y:
yyy
z; entonces x
z:
Sin embargo, la relación de orden en los números reales no
puede ser extendida a los números complejos. De hecho, no
se puede de…nir en los números complejos una relación que
cumpla con todas las propiedades antes mencionadas.
2. Si x es un número real positivo y n es un número natural, con
p
n
x = x1=n denotamos al único número real positivo c tal que
cn = x: Puesto que un número complejo z 6= 0; tiene n raíces
p
n–ésimas distintas, el símbolo n z = z 1=n no representaría a
un complejo, sino a n posibles complejos. Sin la aclaración
anterior podemos tener resultados como el siguente:
3=
p
9=
p
( 3)( 3) =
p
3
p
3=
p
3i
p
3i =
3:
Lo que es una contradicción. Por tanto, las leyes de exponenciación racional que se tienen en los números reales positivos,
no se tienen en los complejos. Si z1 y z2 son números complejos
y z = z1 z2 ; lo más que podemos a…rmar es que cualquier raíz
n–ésima de z; será el producto de alguna raíz n–ésima de z1
por alguna raíz n–ésima de z2 :
1.12
EJERCICIOS
1. Sean z; z1 ; z2 ; z3 2 C: Pruebe que:
1.1 z 0 = 0:
1.2
z = ( 1)z:
1.3
( z) = z:
68
CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
1.4 ( z1 ) z2 = z1 ( z2 ) =
(z1 z2 ) :
1.5 ( z1 ) ( z2 ) = z1 z2 :
1.6 z1 (z2
z3 ) = z1 z2
1.7 Si z 6= 0; entonces z
z1 z3 :
1
1
= z:
1.8 Si z1 z2 = 0, entonces z1 = 0 ó z2 = 0:
1.9 Si z + z1 = z + z2 ; entonces z1 = z2 :
1.10 Si z z1 = z z2 y z 6= 0; entonces z1 = z2 :
2. Pruebe la proposición (1.2.5).
3. Sean z; z1 2 C con z 6= 0 y z1 6= 0; y sean m; n 2 Z: Pruebe
que:
1
:
zn
n
m
3.3 (z ) = z nm :
n
3.5 ( zz1 )n = zz n :
3.1 z
n
3.2 (zz1 )n = z n z1n :
=
3.4 z n z m = z n+m :
1
4. Escriba el conjugado de los siguientes complejos:
4.1 z = 3 + 2i:
4.3 z = 21 43 i:
4.2 z =
4.4 z =
3 + i:
8 51 i:
5. Escriba en forma normal los siguientes números complejos:
5.1 z = (a + 0i)(c + di):
5.3 z = 3 7i 8 2i:
2 i
5.5 z = 1+i
1 i
1+i :
5.2 z = a+bi
c+0i (c 6= 0):
5.4 z = 5 2i (6 4i)i:
i
5.6 z = (1+i)(2
i) :
3 2i
5+i :
1+i
5.9 z = i + 1 ii :
5.11 z = 1+i+ i i
5.8 z =
5.7 z =
i
1+i+ 1+i
:
5.10 z
5.12 z
(2+i)(1 2i)
:
3 i
(1+i)3
= 1 i :
i)
= (4+3i)(2
7 i
+
1
2
+ 32 i
3
:
6. Represente en el plano cartesiano los siguientes números complejos:
1.12. EJERCICIOS
69
6.1 z = 3 + 2i:
p
6.3 z = 8 + 8 3i:
6.2 z =
6.4 z =
7. Calcule z z; z + z; z
1 3i
1+3i :
i + 1i :
z
si:
z
zy
7.2 z = 71 2ii :
7.4 z = ( 3 2i)( 1 + 2i):
7.1 z = 3 + 5i:
7.3 z = 2 7i:
8. Sean z; z1 ; z2 ; : : : ; zn 2 C: Pruebe que:
8.1 z n = ( z )n ; para cada n 2 N:
8.2 Si z 6= 0; z
8.3 Si z 6= 0; z
1
= (z )
n
= (z)
1:
n;
para cada n 2 N:
8.4 z1 + z2 + : : : + zn = z1 + z2 + : : : + zn , para cada n 2 N
9. Si z; z1 ; z2 2 C; pruebe que:
9.1 jjz1 j
jz2 jj
jz1
9.2 jz1 + z2 j2 + jz1
9.3 j zj = jzj :
9.4 jz1
z2 j = jz2
z2 j :
z2 j2 = 2 jz1 j2 + 2 jz2 j2 :
z1 j :
9.5 jz1 z2 j es la longitud del segmento que une los puntos
que representan a z1 y z2 en el plano complejo.
9.6 jz n j = jzjn ; para cada n 2 N:
9.7 Si z 6= 0; z
9.8 Si z 6= 0; jz
1
= jzj
nj
= jzj
1
:
n
; para cada n 2 N:
10. Si z1 ; z2 ; : : : ; zn 2 C, pruebe que:
10.1 jz1 + z2 + : : : + zn j
jz1 j + jz2 j + : : : + jzn j :
10.2 jz1 z2 : : : zn j = jz1 j jz2 j : : : jzn j :
11. Calcule el módulo de los siguientes números complejos:
70
CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
11.1 z = i:
11.3 z = 1 + i p3 + 2i:
11.5 z = 12 + 23 i:
11.7 z =
11.9 z =
11.2 z = i:
11.4 z = 1i :
11.6 z = 1p2i :
(4 3i)(1 2i)
:
2 i
1
2
p
8
3
i (6
2
( 8 6i)6
(1+i)3 (3 4i)4
:
(4 3i)5
p
p
p 4
2i)3 ( 3
7i)
= ( (3 9+3i)+(2
3i) :
11.8 z =
8i)5
:
11.10 z
12. Calcule jzj si:
12.1 z =
12.2 z =
1 xi
1+xi
x2
con x 2 R:
1 + 2xi con x 2 R:
13. Si jzj = 3; ¿cuál es el valor máximo que puede tomar
1 + z + z3 ?
14. Resuelva las siguientes ecuaciones:
14.1 x2
14.3 x2
14.5 x2
14.2 x2 i = 0:
14.4 2ix2 4 p6i = 0:
3
14.6 x2 + 21
2 i = 0:
6 8i = 0
24 70i = 0:
p
1
3i = 0:
15. Pruebe que las soluciones de la ecuación Ax2 + Bx + C = 0 de
coe…cientes complejos A; B y C; vienen dadas por:
x=
B W
;
2A
donde W es cualquier solución de la ecuación
y2 = B 2
4 A C:
16. Resuelva las siguientes ecuaciones:
16.1
16.2
2x2 + 2x
x2
+ 2ix
5 = 0:
1 = 0:
16.3 x2
(2 + 3i)x
16.4 (2
2i)x2
1 + 3i = 0:
(11 + 9i)x
16 + 6i = 0:
1.12. EJERCICIOS
16.5 x2
71
x + 1 + i = 0:
17. Escriba en forma trigonométrica los siguientes números complejos:
17.1
17.3
17.5
17.7
17.9
z
z
z
z
z
= 35 :
= 4 p3i:
= 21 p23 i:
p
3 (1 + 3)i:
=1
p
:
= 8+8i
2
17.11 z =
p
3+i
p
17.12 z = 1 + 3
n
17.2 z = 6i:
17.4 z = 1 i:
p
17.6 z = 3 + 3 3i:
17.8 z = 2 + i:
17.10 z = 1 + cos + i sen
; con n 2 Z:
p
m
1
3 i ; con m 2 Z:
18. Interprete geométricamente la suma y la multiplicación de
números complejos.
19. Escribiendo z = cos + i sen
en la identidad
1 + z + z2 + : : : + zn
1
=
1 zn
;
1 z
pruebe que:
1 + 2 cos + 2 cos 2 + : : : + 2 cos(n
sen n
1) =
sen 12
1
2
y
sen + sen 2 + : : : + sen (n
1) =
cos 12
cos n
2 sen 12
1
2
:
20. Resuelva las siguientes ecuaciones. Escriba sus soluciones en
forma normal:
20.1
20.3
20.5
20.7
20.9
x2 = 1:
x4 = 16i:
ix6 + 4i = 0:
p
x4 = 8 8 3i:
x7 = 1:
20.2 x4 = 1:
20.4 x3 = 2i:
20.6 (1 i)x4 p
2 = 0:
1
4
20.8 x = 2p+ 23 i:
20.10 x3 = 4 3 + 4i:
72
CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
21. Resuelva las siguientes ecuaciones. Escriba sus soluciones en
forma normal:
21.1 x2 + x + 1 = 0:
21.2 x3 + x2 + x + 1 = 0:
21.3 x5 + x4 + x3 + x2 + x = 0:
21.4 x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0:
21.5 x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0:
22. Pruebe que si y1 ; y2 ; : : : ; y` son soluciones de la ecuación
y` + y`
1
+ : : : + y + 1 = 0;
entonces las soluciones x11 ; x12 ; : : : ; x1 k ; x21 ; x22 ; : : : ; x2 k ; : : : ;
x` 1 ; x` 2 ; : : : ; x` k de las respectivas ecuaciones xk = y1 ;
xk = y2 ; : : : ; xk = y` ; son todas las soluciones de
xk ` + xk (`
1)
+ : : : + xk + 1 = 0:
23. Resuelva las siguientes ecuaciones:
23.1 x4 + x2 + 1 = 0:
23.2 x6 + x3 + 1 = 0:
23.3 x6 + x4 + x2 + 1 = 0:
23.4 x15 + x12 + x9 + x6 + x3 + 1 = 0:
23.5 x9 + x7 + x5 + x3 = 0:
23.6 x12 + x8 + x4 + 1 = 0:
24. Si es una raíz n–ésima del complejo z, es decir, si es raíz
de xn = z y 1 ; 2 ; : : : ; n son las raíces de xn = 1; pruebe que
n
entonces
1;
2; : : : ;
n son todas las raíces de x = z:
25. Si y son raíces de xn = 1; pruebe que también
de xn = 1:
26. Si es raíz de xn = 1; pruebe que también
xn = 1:
1
es raíz
es raíz de
1.12. EJERCICIOS
27. Si es raíz de xn = 1; pruebe que también
xn = 1; para cada m 2 Z:
28. Si es raíz de xk = 1; pruebe que entonces
xk` = 1; para cada ` 2 N:
73
m
es raíz de
es raíz de
29. Si es raíz de xn = 1 y n = k` con k; ` 2 N; pruebe que la
raíz ` de xn = 1 es también raíz de xk = 1:
30. Decimos que es raíz primitiva de xn = 1; si es raíz de
xn = 1 y 0 ; 1 ; 2 ; : : : ; n 1 son diferentes entre sí, esto es,
son todas las raíces de xn = 1:
30.1 Pruebe que ! = cos 2n + i sen 2n es raíz primitiva de
xn = 1:
30.2 Encuentre todas las raíces primitivas de x6 = 1:
30.3 Encuentre todas las raíces primitivas de x5 = 1:
30.4 Si es raíz primitiva de xn = 1; pruebe que
primitiva de xn = 1; si y sólo si, 1 = (k; n):
k
es raíz
Capítulo 2
POLINOMIOS
2.1
Conjuntos de polinomios
Por convenir a nuestro objetivo de resolver la ecuación algebraica
an xn + an
n 1
1x
+ : : : + a1 x + a0 = 0;
(1)
estamos ahora interesados en estudiar las expresiones de la forma
an xn + an
n 1
1x
+ : : : + a1 x + a0 ;
a las que llamaremos polinomios en la indeterminada x:
Dada la ecuación algebraica (1), si an ; an 1 ; : : : ; a1 ; a0 son números enteros, decimos que la ecuación es de coe…cientes enteros; análogamente, si an ; an 1 ; : : : ; a1 ; a0 son números racionales o números
reales o números complejos, decimos que la ecuación es de coe…cientes racionales o de coe…cientes reales o de coe…cientes complejos,
respectivamente.
En lo que sigue, D representará cualquiera de los conjuntos de
números Z; Q; R ó C; con sus respectivas operaciones.
De…nición (2.1.1).– Un polinomio en la indeterminada x y de
coe…cientes en D; es una expresión de la forma
an xn + an
n 1
1x
+ : : : + a1 x + a0 ;
75
(2)
76
CAPÍTULO 2. POLINOMIOS
donde n 2 N[f0g; y donde las constantes an ; an 1 ; : : : ; a1 ; a0 pertenecen a D y son los coe…cientes del polinomio. Las expresiones
an xn ; an
n 1
;
1x
: : : ; a1 x; a0
se llaman términos o sumandos del polinomio. A an xn ; si an 6= 0 y
n 1; se le llama el término de mayor potencia o exponente; y a a0 término independiente o constante. Al término ak xk le llamamos término
de potencia o exponente k:
Observación: Además de la expresión (2) de un polinomio,
según las potencias decrecientes de la indeterminada, también se
permiten otras expresiones obtenidas de (2), al permutar los términos del polinomio. Por ejemplo la expresión según las potencias
crecientes de la indeterminada:
a0 + a1 x + a2 x2 + : : : + an xn :
También, en lugar de (2), se usa la expresión
a0 xn + a1 xn
1
+ : : : + an
1x
+ an :
Notación: Para denotar polinomios en la indeterminada x y de
coe…cientes en D; se utilizan las expresiones f (x); g(x); p(x); : : : Por
ejemplo
f (x) = an xn + an 1 xn 1 + : : : + a1 x + a0
y
g(x) = bm xm + bm
m 1
1x
+ : : : + b1 x + b0 :
Al conjunto de polinomios en la indeterminada x y de coe…cientes
en D; se le denota por D[x]; es decir,
D[x] = ff (x) j f (x) es polinomio de coe…cientes en Dg:
Así tenemos que:
Si D = Z;
Z[x] = ff (x) j f (x) es polinomio de coe…cientes en Zg:
2.1. CONJUNTOS DE POLINOMIOS
77
f (x) = 3x4 + 2x3 + 0x2 + ( 8)x + ( 6) 2 Z[x]:
Si D = Q;
Q[x] = ff (x) j f (x) es polinomio de coe…cientes en Qg:
2
f (x) = x3 + 3x2 +
3
1
2
x+
8
2 Q[x]:
5
Si D = R;
R[x] = ff (x) j f (x) es polinomio de coe…cientes en Rg:
f (x) = 5x3 +
p
3x2 +
p
7+2 3 x+
2 R[x]:
Si D = C;
C[x] = ff (x) j f (x) es polinomio de coe…cientes en Cg:
f (x) = 7x4 + ix3 +
p
2i x2 + (7 + 3i) x + 4 2 C[x]:
Observación: Puesto que Z Q
diato que Z[x] Q[x] R[x] C[x]:
R
C; entonces es inme-
Convención:
i) Si el coe…ciente ai ; i
0; de un polinomio, es cero, convenimos que el término con este coe…ciente se puede omitir al escribir el
polinomio; excepto cuando todos los coe…cientes son cero, en cuyo
caso escribiremos sólo el término independiente. Por ejemplo, los
polinomios
f (x) = 3x5 + 0x4 + 4x3 + 0x2 + 8x + 0
y
g(x) = 0x3 + 0x2 + 0x + 0
se pueden escribir como
f (x) = 3x5 + 4x3 + 8x y g(x) = 0;
respectivamente.
78
CAPÍTULO 2. POLINOMIOS
ii) Si el coe…ciente ai ; i
1; de un polinomio, es 1; es decir, si
ai = 1; con i 1; convenimos que se puede omitir este coe…ciente
al escribir el polinomio. Por ejemplo, el polinomio
f (x) = 1x3 + ( 3)x2 + 1x + 1
se puede escribir como
f (x) = x3 + ( 3)x2 + x + 1:
iii) Convenimos también en que a un polinomio que tiene términos con coe…cientes precedidos de signo menos, podemos escribirlo
anteponiendo a tales términos el signo menos del coe…ciente y omitiendo el signo más. Por ejemplo, el polinomio
1
f (x) = ( 3)x5 + 8x4 + x2 + ( a)x + ( 2)
2
se puede escribir como
f (x) =
1
3x5 + 8x4 + x2
2
ax
2:
De…nición (2.1.2).–Sea
f (x) = an xn + : : : + a1 x + a0 2 D[x]
con aj 6= 0 para al menos un j = 0; 1; 2; : : : ; n: De…nimos el grado de
f (x) como k; y escribimos gr f (x) = k; si y sólo si,
k = máx fj 2 f0; 1; 2; : : : ; ng j aj 6= 0g :
Observación: Si f (x) = a0 y a0 6= 0; por de…nición gr f (x) = 0:
No de…nimos el grado del polinomio
f (x) = 0xn + : : : + 0x + 0;
al cual denotamos por f (x) = 0 y llamaremos el polinomio cero.
Diremos que un polinomio es constante, si es el polinomio cero ó es
de grado cero.
2.2. SUMA Y MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
79
Es claro que para cada n 2 N [ f0g, existen polinomios de grado
n: Convenimos en decir que un polinomio es de primer, segundo,
tercer grado,. . . si tiene grado 1,2,3, . . . , respectivamente. También
se dice que un polinomio es lineal ó cuadrático, si tiene grado 1 ó 2,
respectivamente.
De…nición (2.1.3).–Sean f (x); g(x) 2 D[x]; con
f (x) = an xn + : : : + a1 x + a0
y
g(x) = bn xn + : : : + b1 x + b0 :
Decimos que g(x) es igual a f (x); y escribimos g(x) = f (x); si bi = ai
para cada i = 0; 1; 2; : : : ; n:
Observación: Si f (x) = an xn +: : :+a1 x+a0 ; entonces f (x) 6= 0;
es decir,
an xn + : : : + a1 x + a0 6= 0;
si y sólo si, aj 6= 0 para algún j = 0; 1; 2; : : : ; n:
2.2
Suma y multiplicación de polinomios
Sean f (x); g(x) 2 D [x] con
f (x) = an xn + : : : + a1 x + a0
y
g(x) = bm xm + : : : + b1 x + b0 :
Si n > m; claro que por como hemos convenido, podemos escribir
g(x) = 0xn + : : : + 0xm+1 + bm xm + : : : + b1 x + b0 :
Análogamente, si m > n podemos escribir
f (x) = 0xm + : : : + 0xn+1 + an xn + : : : + a1 x + a0 :
80
CAPÍTULO 2. POLINOMIOS
De…nición (2.2.1).–Sean f (x); g(x) 2 D[x]; con
f (x) = an xn + : : : + a1 x + a0
y
g(x) = bm xm + : : : + b1 x + b0 :
i) De…nimos la suma de los polinomios f (x) y g(x); denotada por
f (x) + g(x); como el polinomio
f (x) + g(x) = ck xk + : : : + c1 x + c0 ;
donde k = n si n
m ó k = m si m > n; y donde ci = ai + bi
para cada i = 0; 1; : : : ; k; conviniendo que bm+1 = : : : = bn = 0 ó que
an+1 = : : : = am = 0; si n > m ó m > n; respectivamente.
ii) De…nimos la multiplicación o producto de los polinomios f (x) y
g(x); denotada por f (x) g(x) o por f (x)g(x); como el polinomio
f (x) g(x) = dn+m xn+m + : : : + d1 x + d0 ;
donde
di =
X
a` bk
`+k=i
para i = 0; 1; : : : ; n + m; ` = 0; 1; : : : ; n y k = 0; 1; : : : ; m:
Notación: En lugar de f (x)+g(x) también se escribe (f +g)(x);
es decir,
(f + g)(x) = f (x) + g(x):
Análogamente, en lugar de f (x) g(x); también se escribe (f g)(x);
es decir,
(f g)(x) = f (x) g(x):
La de…nición de suma de polinomios dice, como ya es conocido,
que para sumar dos polinomios, se suman los coe…cientes de sus términos semejantes (los términos son semejantes si son constantes o
tienen la misma potencia). La de…nición de multiplicación de polinomios dice, como también ya es conocido, que para multiplicar dos
polinomios, se multiplican cada uno de los términos de un factor por
2.2. SUMA Y MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
81
cada uno de los términos del otro, conviniendo en que a bx = abx
y que ax bx = abx + ; y luego se reducen los términos semejantes
(sumando sus coe…cientes). El proceso para obtener la multiplicación
de dos polinomios puede hacerse de acuerdo al siguiente arreglo, también muy conocido, y que para mayor claridad haremos para el caso
particular en que
f (x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 y g(x) = b2 x2 + b1 x + b0 :
(b2 x2 + b1 x + b0 ) (a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 )
a3 b2 x5 + a3 b1 x4 + a3 b0 x3
a2 b2 x4 + a2 b1 x3 + a2 b0 x2
a1 b2 x3 + a1 b1 x2 +
a0 b2 x2 +
a1 b0 x
a0 b1 x +
a0 b0
a3 b2 x5 + (a3 b1 + a2 b2 )x4 + (a3 b0 + a2 b1 + a1 b2 )x3 +
+(a2 b0 + a1 b1 + a0 b2 )x2 + (a1 b0 + a0 b1 )x + a0 b0
O sea que en este caso,
f (x) g(x) = a3 b2 x5 + (a3 b1 + a2 b2 )x4 + (a3 b0 + a2 b1 + a1 b2 )x3
+(a2 b0 + a1 b1 + a0 b2 )x2 + (a1 b0 + a0 b1 )x + a0 b0 :
Puesto que la multiplicación de polinomios sólo depende de sus
coe…cientes, el arreglo anterior puede quedar de la siguiente manera:
b2
a3 b2
b1
a3 b1
a2 b2
b0
a3 b0
a2 b1
a1 b2
a2 b0
a1 b1
a0 b2
a3
a2
a1 b0
a0 b1
a0 b0
a1
a0
a3 b2 a3 b1 + a2 b2 a3 b0 + a2 b1 + a1 b2 a2 b0 + a1 b1 + a0 b2
a1 b0 + a0 b1 a0 b0
Así que
f (x) g(x) = a3 b2 x5 + : : : + (a1 b0 + a0 b1 )x + a0 b0
82
CAPÍTULO 2. POLINOMIOS
como ya se había obtenido.
Volviendo a la de…nición de multiplicación, tenemos que:
d0 = a0 b0 ;
d1 = a1 b0 + a0 b1 ;
d2 = a2 b0 + a1 b1 + a0 b2 ;
..
.
dn+m = an bm :
En general, escribiendo ai = 0 para i = n + 1; : : : ; n + m; y
bi = 0 para i = m + 1; : : : ; m + n; tenemos que:
di = ai b0 + ai
1 b1
+ : : : + a1 bi
1
+ a0 bi :
Ejemplos:
1. Si f (x) = 3x2 7x + 3 y g(x) = 5x3 + 2x + 1; entonces escribiendo f (x) = 0x3 + 3x2 7x + 3 y g(x) = 5x3 + 0x2 + 2x + 1;
tenemos que f (x) + g(x) = 5x3 + 3x2 5x + 4:
2. Si f (x) = 12 x3 8 y g(x) = 6x2 2x; entonces sumando
directamente tenemos que f (x) + g(x) = 21 x3 + 6x2 2x 8:
3. Sean f (x) = x5 2x2 + 3 y g(x) = 2x4 3x3 + x 1: Si queremos aplicar el segundo proceso para multiplicar, debemos escribir
f (x) = x5 +0x4 +0x3 2x2 +0x+3 y g(x) = 2x4 3x3 +0x2 +x 1, con
lo que se tiene:
2
2
2
-3
-3
0
-3
0
0
0
0
0
1
1
0
0
-4
-3
-1
-1
0
0
6
0
5
0
0
0
0
6
6
1
-0
0
-2
0
-2
0
-9
-11
2
0
0
2
0
3
3
-3
-3
0
3
2.2. SUMA Y MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
83
Y por lo tanto
f (x) g(x) = 2x9
3x8
3x6 + 5x5 + 6x4
11x3 + 2x2 + 3x
3:
En el arreglo anterior, los renglones de ceros pueden ser omitidos,
siempre y cuando se haga el corrimiento exacto hacia la derecha, esto
es:
2
2
2
-3
-3
-3
0
0
0
1
1
-4
-1
-1
6
-3
5
0
6
6
1
0
0
-2
-2
-9
-11
2
0
2
3
3
-3
-3
1
0
0
3
4. Multiplicar los polinomios
f (x) =
2x2 + x
y
g(x) = 4x3 + x2
4
-8
-8
1
-2
4
2
0
0
1
1
-5
10
0
10
5:
-2
-5
-5
De donde tenemos que
f (x) g(x) =
8x5 + 2x4 + x3 + 10x2
5x:
5. Si f (x) = c y g(x) = bm xm + : : : + b1 x + b0 ; es claro que
f (x) g(x) = c g(x) = cbm xm + : : : + cb1 x + cb0 :
84
CAPÍTULO 2. POLINOMIOS
6. Si f (x) = 3 y g(x) = 2x3
7x + 13 ; entonces
f (x) g(x) = 3g(x) = 6x3
21x + 1:
Proposición (2.2.2).–Si f (x); g(x) 2 D[x]; con f (x) 6= 0 y
g(x) 6= 0; entonces:
i) f (x) + g(x) = 0 ó gr (f (x) + g(x))
máx fgr f (x); gr g(x)g:
ii) f (x)g(x) 6= 0 y gr (f (x) g(x)) = gr f (x)+ gr g(x):
Demostración: Sean
f (x) = an xn + : : : + a1 x + a0
y
g(x) = bm xm + : : : + b1 x + b0 :
bm
Puesto que f (x) 6= 0 y g(x) 6= 0, podemos suponer que an 6= 0 y
6= 0; es decir, gr f (x) = n y gr g(x) = m:
De (i): Si f (x) + g(x) = 0; nada hay que demostrar. Suponemos
entonces que f (x) + g(x) 6= 0:
Si n > m; por de…nición de suma tenemos que
f (x) + g(x) = cn xn + : : : + c1 x + c0 ;
donde ci = ai + bi para i = 0; 1; 2; : : : ; n: Por lo tanto
cn = an + bn = an + 0 = an 6= 0:
De donde se sigue que
gr (f (x) + g(x)) = n = máx fgr f (x); gr g(x)g :
Si m > n; entonces
f (x) + g(x) = cm xm + : : : + c1 x + c0 ;
2.2. SUMA Y MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
85
donde cm = am + bm = 0 + bm = bm 6= 0; y por lo tanto
gr (f (x) + g(x)) = m = máx fgr f (x); gr g(x)g :
Si n = m; entonces
f (x) + g(x) = cn xn + : : : + c1 x + c0 ;
donde puede ocurrir que
cn = an + bn 6= 0
ó que
cn = an + bn = 0:
Puesto que f (x) + g(x) 6= 0; entonces cj 6= 0 para algún
j = 0; 1; : : : ; n: Sea k 2 f0; 1; : : : ; ng el máximo tal que ck 6= 0;
entonces
gr (f (x) + g(x)) = k
n = máx fgr f (x); gr g(x)g :
De (ii): Por de…nición
f (x) g(x) = dn+m xn+m + : : : + d1 x + d0 ;
donde
di =
X
a` bk :
`+k=i
Por lo tanto dn+m = an bm . Como an 6= 0 y bm 6= 0; entonces
dn+m 6= 0; y por tanto f (x) g(x) 6= 0; y además
gr (f (x) g(x)) = n + m = gr f (x) + gr g(x):
q.e.d.
Corolario (2.2.3).– Si f (x); g(x) 2 D[x]; con f (x) 6= 0 y
g(x) 6= 0; entonces:
i) gr f (x)
gr (f (x) g(x)) :
ii) gr (cf (x)) = gr f (x); si c 2 D y c 6= 0:
86
CAPÍTULO 2. POLINOMIOS
iii) gr (f (x) + c) = gr f (x); si c 2 D y f (x) + c 6= 0:
Demostración: Se deja como ejercicio al lector.
Teorema (2.2.4).–El conjunto de polinomios D[x]; con las operaciones de suma y multiplicación antes de…nidas, constituye un dominio
entero, es decir, satisface las siguientes propiedades:
S1) Si f (x); g(x) 2 D[x]; entonces f (x) + g(x) 2 D[x]:
S2) (f (x) + g(x)) + h(x) = f (x) + (g(x) + h(x)) ;
8 f (x); g(x); h(x) 2 D[x]:
S3) f (x) + g(x) = g(x) + f (x); 8 f (x); g(x) 2 D[x]:
S4) Existe un único polinomio o(x) 2 D[x] tal que
f (x) + o(x) = f (x); 8 f (x) 2 D[x]:
S5) Para cada f (x) 2 D[x]; existe un único polinomio
(x) 2 D[x] tal que f (x) + (x) = o(x):
M1) Si f (x); g(x) 2 D[x]; entonces f (x) g(x) 2 D[x]:
M2) (f (x) g(x)) h(x) = f (x) (g(x) h(x)) ;
8 f (x); g(x); h(x) 2 D[x]:
M3) f (x) g(x) = g(x) f (x); 8 f (x); g(x) 2 D[x]:
M4) Existe un único polinomio `(x) 2 D[x] tal que
f (x) `(x) = f (x); 8 f (x) 2 D[x]:
D) f (x) (g(x) + h(x)) = f (x) g(x) + f (x) h(x);
8 f (x); g(x); h(x) 2 D[x]:
E) Si f (x); g(x) 2 D[x] y f (x) g(x) = o(x); entonces
f (x) = o(x) ó g(x) = o(x):
Demostración:
De (S1): Es clara de la de…nición de suma de polinomios.
2.2. SUMA Y MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
87
De (S2): Se deja al lector.
De (S3): Sean
f (x) = an xn + : : : + a1 x + a0
y
g(x) = bm xm + : : : + b1 x + b0 :
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que n
tal caso escribimos
m; y en
g(x) = bn xn + : : : + bm xm + : : : + b1 x + b0
donde bm+i = 0 8 i 1: Puesto que ak ; bk 2 D; 8 k = 0; 1; : : : ; n; entonces ak + bk = bk + ak ; 8 k = 0; 1; : : : ; n; y en consecuencia
f (x) + g(x) = (an + bn )xn + : : : + (am + bm )xm +
+ : : : + (a1 + b1 )x + (a0 + b0 )
= (bn + an )xn + : : : + (bm + am )xm +
+ : : : + (b1 + a1 )x + (b0 + a0 )
= g(x) + f (x):
o sea,
f (x) + g(x) = g(x) + f (x)
como se quería probar.
De (S4): El polinomio o(x) es precisamente el polinomio cero, es
decir,
o(x) = 0xk + : : : + 0x + 0 = 0;
ya que dado f (x) = an xn + : : : + a1 x + a0 tenemos que:
f (x) + o(x) = (an + 0)xn + : : : + (a1 + 0)x + (a0 + 0)
= an xn + : : : + a1 x + a0
= f (x):
Así pues,
f (x) + o(x) = f (x):
La demostración de que o(x) es único, se deja al lector.
88
CAPÍTULO 2. POLINOMIOS
De (S5): Dado
f (x) = an xn + : : : + a1 x + a0
elegimos
(x) =
an xn
:::
a1 x
a0 :
Se comprueba inmediatamente que
f (x) + (x) = o(x):
La demostración de que (x) es único, se deja al lector.
Al polinomio (x) lo denotamos por
(x) =
f (x); es decir,
f (x):
Por tanto
f (x) + ( f (x)) = o(x):
En general, dados f (x); g(x) 2 D[x]; en lugar de f (x) + ( g(x))
escribiremos f (x) g(x); es decir,
f (x)
g(x) = f (x) + ( g(x)) :
En particular f (x) + ( f (x)) = f (x)
f (x):
De (M1): Es clara de la de…nición de multiplicación.
De (M2): Se deja al lector.
De (M3): Se deja al lector.
De (M4): El polinomio `(x) es precisamente el polinomio constante 1; es decir, `(x) = 1; ya que dado f (x) = an xn + : : : + a1 x + a0 ;
se comprueba inmediatamente que
f (x) `(x) = f (x) 1 = f (x):
La demostración de que `(x) = 1 es único, se deja al lector.
De (D): Se deja al lector.
De (E): Escribiendo en lugar de o(x); simplemente 0; demostraremos ahora que si f (x) g(x) = 0; entonces f (x) = 0 ó g(x) = 0: En
efecto: Supongamos que f (x) 6= 0 y g(x) 6= 0; entonces, por (2.2.2)
(ii), tenemos que f (x) g(x) 6= 0:
q.e.d.
2.2. SUMA Y MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
89
Puesto que las once propiedades anteriores son las que satisfacen
los números enteros, las consecuencias de ellas son las mismas que
se tienen para dichos números. Para recordar, algunas de ellas las
enunciamos en la proposición siguiente.
Proposición (2.2.5).–Si f (x); g(x); h(x) 2 D[x]; entonces:
i) f (x) 0 = 0:
ii)
f (x) = ( 1)f (x):
iii)
( f (x)) = f (x):
iv) f (x) ( g(x)) =
(f (x)g(x)) :
v) ( f (x)) (( g(x)) = f (x)g(x):
vi) Si f (x) + g(x) = f (x) + h(x); entonces g(x) = h(x):
vii) Si f (x) g(x) = f (x) h(x) y f (x) 6= 0; entonces g(x) = h(x):
Demostración: Se deja al lector.
Mientras que los números enteros están ordenados, los polinomios,
análogamente que los complejos, no están ordenados, es decir, en los
polinomios no se puede de…nir una relación de orden (ver notas 1.11).
El orden que se tiene en los enteros nos permite demostrar que si a
y b son números enteros y a b = 1; entonces (a = 1 y b = 1) ó (a = 1
y b = 1): Aprovechando las propiedades del grado, demostraremos
la siguiente proposición para los polinomios.
Proposición (2.2.6).– Si f (x); g(x) 2 D[x] y f (x) g(x) = 1;
entonces f (x) y g(x) son polinomios constantes distintos de cero.
Demostración: 1 es, en este caso, el polinomio constante
`(x) = 1: Debido a que 0 = gr (1) = gr (f (x) g(x)) ; entonces
90
CAPÍTULO 2. POLINOMIOS
gr f (x)+gr g(x) = 0; y como el grado de un polinomio es positivo o cero, entonces gr f (x) = 0 y gr g(x) = 0; de donde se sigue
que f (x) y g(x) son polinomios constantes distintos de cero.
q.e.d.
Una generalización de la proposición anterior, sería:
Si f (x) g(x) = c con c 6= 0; entonces f (x) y g(x) son polinomios
constantes distintos de cero.
Sobre la exponenciación en los polinomios sólo diremos que dado
f (x) 2 D[x] y n 2 N; se de…ne
f n (x) = f (x) f (x) : : : f (x):
|
{z
}
n veces
Y si f (x) 6= 0; se de…ne f 0 (x) = 1: Las leyes usuales para exponentes
no negativos se siguen de la de…nición anterior. Obsérvese que tanto
en los números enteros como en los polinomios, no tenemos exponenciación negativa (?‘por qué?).
2.3
Divisibilidad de polinomios
Por comodidad, en ésta y las siguientes secciones de este capítulo,
trabajaremos con K[x], donde K representa a cualquiera de Q; R ó
C, con sus respectivas operaciones. Las de…niciones y resultados que
tendremos son válidos para Z[x] haciendo en algunos casos alguna
restricción, debido a que en Z sólo 1 y 1 tienen inverso multiplicativo; y precisamente, la comodidad que obtenemos al trabajar con
K[x]; es que cualquier elemento distinto de cero de K (Q; R ó C);
tiene inverso multiplicativo.
De…nición (2.3.1).–Sean f (x); g(x) 2 K[x]: Decimos que g(x)
divide a f (x); o que g(x) es un factor de f (x); si existe q(x) 2 K[x]
tal que f (x) = g(x)q(x):
2.3. DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS
91
Notación: Para decir que g(x) divide a f (x) se escribe g(x)jf (x);
y si g(x) no divide a f (x) escribiremos g(x) 6 jf (x): Con esta notación
la de…nición anterior puede escribirse de la siguiente manera: Dados
g(x); f (x) 2 K[x]; g(x)jf (x); si y sólo si, existe q(x) 2 K[x] tal
que f (x) = g(x)q(x):
Ejemplo: En K[x]; g(x) = x + 1 divide a f (x) = x2 1; pues
eligiendo q(x) = x 1 tenemos que x2 1 = (x + 1)(x 1):
Comentario: Observemos que g(x) = 3 x y f (x) = 5 x2 + 6x
son elementos de Z[x]; sin embargo no existe q(x) 2 Z[x] tal que
f (x) = g(x)q(x): Por tanto, en Z[x] 3x no divide 5x2 + 6x; lo que sí
ocurre en K[x]; pues 5x2 + 6x = 3x 35 x + 2 :
Proposición (2.3.2).– Sean f (x); g(x) 2 K [x]: Si g(x) 6= 0 y
existe q(x) 2 K[x] tal que f (x) = g(x)q(x); entonces q(x) es único (si
el divisor es distinto de cero, el cociente es único).
Demostración: Por hipótesis f (x) = g(x)q(x): Supongamos
que
existe otro q1 (x) 2 K [x] tal que f (x) = g(x)q1 (x); entonces
g(x)q(x) = g(x)q1 (x); y aplicando la proposición (2.2.5) (vii) se tiene
que q1 (x) = q (x).
q.e.d.
Proposición (2.3.3).–En K [x] :
i) g(x)jg (x) para cualquier g(x) 2 K [x]:
ii) Si g(x) = 0 y g(x)jf (x); entonces f (x) = 0:
iii) Si g(x) = c con c 2 K; c 6= 0; entonces g(x)jf (x) para cualquier
f (x) 2 K[x]:
iv) Si f (x) = 0; entonces g(x)jf (x); para cualquier g(x) 2 K[x]:
92
CAPÍTULO 2. POLINOMIOS
v) Sea f (x) = c; con c 2 K y c 6= 0: Si g(x)jf (x); entonces
g(x) = a; con a 2 K y a 6= 0:
vi) Si g(x)jf (x) y f (x)jh(x); entonces g(x)jh(x):
vii) Si g(x)jf (x) y g(x)jh(x); entonces g(x)jf (x) + h(x) y
g(x)jf (x) h(x):
viii) Si g(x)jf (x); entonces g(x)jf (x) h(x) para cualquier
h(x) 2 K[x]: Particularmente si h(x) = c 6= 0:
ix) Sean f (x) 6= 0 y g(x) 6= 0: Si g(x)jf (x) y f (x)jg(x); entonces
f (x) = cg(x) para alguna constante c 6= 0:
x) g(x)jf (x) () cg(x)jf (x); con c 2 K y c 6= 0:
Demostración:
De (i): Eligiendo q(x) = 1 se tiene el resultado.
De (ii): Se deja al lector.
De (iii): Eligiendo q(x) =
cjf (x) para todo c 6= 0:
1
c f (x)
se tiene f (x) = cq(x); luego
De (iv): Se deja al lector.
De (v): Si g(x)jc (c 6= 0); entonces existe q(x) 2 K [x] tal que
c = g(x)q(x); por tanto gr (g(x) q(x)) = 0; entonces gr g(x) = 0
y gr q(x) = 0; en consecuencia g(x) es constante distinto de cero,
digamos g(x) = a:
De (vi): Si g(x)jf (x) y f (x)jh(x); entonces existen q1 (x);
q2 (x) 2 K[x]; tales que f (x) = g(x)q1 (x) y h(x) = f (x)q2 (x): Sustituyendo f (x) en esta última igualdad, se tiene que
h(x) = (g(x)q1 (x)) q2 (x); por lo tanto h(x) = g(x) (q1 (x)q2 (x)) :
Eligiendo q(x) = q1 (x)q2 (x) se tiene que h(x) = g(x)q(x); o sea,
g(x)jh(x):
De (vii), (viii), (ix), y (x): Se dejan como ejercicio al lector.
q.e.d.
2.4. EL ALGORITMO DE LA DIVISIÓN
93
Proposición (2.3.4).–Sean f (x); g(x) 2 K[x]; con g(x) 6= 0: Si
g(x)jf (x); entonces f (x) = 0 ó gr g(x) gr f (x):
Demostración: g(x)jf (x) implica que existe q(x) 2 K[x]; tal
que f (x) = g(x)q(x): Si f (x) 6= 0; entonces q(x) 6= 0; por tanto
gr f (x) = gr g(x)+gr q(x); y como el grado de un polinomio es positivo o cero, entonces gr g(x) gr f (x):
q.e.d.
2.4
El algoritmo de la división
El siguiente teorema a…rma que dados f (x); g(x) 2 K[x]; con
g(x) 6= 0; existen polinomios q(x); r(x) 2 K[x]; únicos, tales que
f (x) = g(x)q(x) + r(x); donde gr r(x) < gr g(x) ó r(x) = 0: En la
demostración se dá el método para encontrar q(x) y r(x):
Teorema (2.4.1) [Algoritmo de la división para polinomios].– Si
f (x); g(x) 2 K[x] y g(x) 6= 0; entonces existen q(x); r(x) 2 K[x];
únicos, tales que
f (x) = g(x)q(x) + r(x);
donde r(x) = 0 ó gr r(x) < gr g(x): A los polinomios q(x) y r(x) se les
llama, repectivamente, el cociente y el residuo de dividir f (x) por g(x):
Demostración: Sean
f (x) = am xm + : : : + a1 x + a0
y
g(x) = bn xn + : : : + b1 x + b0 ;
donde gr g(x) = n; es decir, bn 6= 0:
i) Si f (x) = 0; claro que existen q(x) = 0 y r(x) = 0 tales que
f (x) = g(x)q(x) + r(x); y se cumple r(x) = 0:
94
CAPÍTULO 2. POLINOMIOS
ii) Si m = gr f (x) < gr g(x) = n; entonces existen q(x) = 0 y
r(x) = f (x); tales que f (x) = g(x)q(x) + r(x) y se cumple que
gr r(x) = m < n = gr g(x):
iii) Supongamos ahora que m = gr f (x)
am m
x
bn
r1 (x) = f (x)
n
gr g(x) = n: Sea
g(x):
Por como se de…ne, r1 (x) cumple que r1 (x) = 0 ó gr r1 (x)
Además, de (1) se sigue que
f (x) =
am m
x
bn
n
(1)
m
1:
g(x) + r1 (x):
Si r1 (x) = 0 ó k1 = gr r1 (x) < gr g(x) = n; ya terminamos, pues
elegimos q(x) = abm
xm n 2 K[x] y r(x) = r1 (x) 2 K[x]:
n
Si k1 = gr r1 (x)
gr g(x) = n y r1 (x) es de la forma
r1 (x) = ck1 xk1 + : : : + c1 x + c0 ;
sea
ck1 k1
x
bn
r2 (x) = r1 (x)
n
g(x):
(2)
Por como se de…ne, r2 (x) cumple que r2 (x) = 0 ó
gr r2 (x) = k2 k1 1:
Sumando miembro a miembro (1) y (2), obtenemos
am m
x
bn
f (x) = g(x)
n
+
ck1 k1
x
bn
n
+ r2 (x):
Si r2 (x) = 0 ó k2 = gr r2 (x) < gr g(x) = n, ya terminamos, pues
c
elegimos q(x) = abm
xm n + bkn1 xk1 n 2 K[x] y r(x) = r2 (x) 2 K[x]:
n
Si k2 = gr r(x)
n; continuamos el proceso anterior, obteniéndose la siguiente tabla:
r1 (x)
=
f (x)
r2 (x)
=
..
.
=
r1 (x)
r` (x)
r`
am m n
x
g(x)
bn
1 (x)
ck 1
bn
xk1
ck
`
bn
1
con k1 = gr r1 (x) < m
n g(x)
xk`
1
con k2 = gr r2 (x) < k1
n
g(x) con r` (x) = 0 ó k` = gr r` (x) < n
9
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
;
(3)
2.4. EL ALGORITMO DE LA DIVISIÓN
95
El proceso termina cuando para alguna ` 2 N se cumple que
r` (x) = 0 ó gr r` (x) < gr g(x); lo cual siempre ocurre, ya que si para
cada ` 2 N; k` = gr r` (x) gr g(x) = n; entonces el conjunto
fm; k1 ; k2 ; : : : ; k` ; : : :g
N
donde m > k1 > k2 > : : : ; no tendría elemento mínimo, lo que
contradice el principio de buen orden.
Sumando miembro a miembro las igualdades de la tabla (3), obtenemos
f (x) = g(x)
am m
x
bn
n
+
ck1 k1
x
bn
n
+ ::: +
ck` 1 k`
x
bn
1
n
n
2 K[x]
+ r` (x);
donde r` (x) = 0 ó gr r` (x) < gr g(x):
Eligiendo
q(x) =
am m
x
bn
n
+
ck1 k1
x
bn
n
+ ::: +
ck` 1 k`
x
bn
1
y
r(x) = r` (x) 2 K[x];
se tiene que
f (x) = g(x)q(x) + r(x);
donde r(x) = 0 ó gr r(x) < gr g(x):
Veamos ahora que q(x) y r(x) son únicos. Si q 0 (x); r0 (x) 2 K[x]
son tales que f (x) = g(x)q 0 (x) + r0 (x); donde r0 (x) = 0 ó
gr r0 (x) < gr g(x); entonces
g(x)q(x) + r(x) = g(x)q 0 (x) + r0 (x);
por tanto
g(x) q(x)
q 0 (x) = r0 (x)
r(x):
De donde se sigue que g(x)jr0 (x) r(x); y por tanto r0 (x) r(x) = 0 ó
gr g(x) gr (r0 (x) r(x)) : Pero gr g(x) gr (r0 (x) r(x)) no puede
ocurrir, pues gr (r0 (x) r(x))
máxfgr r0 (x); gr r(x)g < gr g(x).
0
En consecuencia r (x) r(x) = 0; y esto implica que r0 (x) = r(x):
96
CAPÍTULO 2. POLINOMIOS
Además, como r0 (x) r(x) = 0; entonces g(x) (q(x) q 0 (x)) = 0;
y como g(x) 6= 0; entonces q(x) q 0 (x) = 0; de donde se sigue que
q 0 (x) = q(x):
q.e.d.
Ejemplo: Sean
f (x) = 2x3 + 3x2 + 2
y
g(x) = 3x2 + 2x
1:
Calcular q(x) y r(x):
Solución: Para calcular q(x) y r(x); podemos emplear, entre
otros, el siguiente arreglo bastante conocido:
3x2
+ 2x
1
2
3x
2x3
2x3
Por lo tanto q(x) = 32 x +
5
9
+
+
5
9
3x2
4 2
3x
5 2
3x
5 2
3x
y r(x) =
+
+
+
4
9x
2
2
3x
2
3x
10
9 x
4
9x
+
+
+
+
2
5
9
23
9
23
9 :
Comentario: Para que el algoritmo de división sea válido en
Z[x]; es necesario que el coe…ciente del término de mayor potencia,
del divisor, sea 1 ó 1: Es decir, si g(x) = bn xn + : : : + b1 x + b0 ;
entonces bn debe ser 1 ó 1; sólo así se garantiza encontrar siempre
c
q(x) y r(x) en Z[x]; pues los coe…cientes abm
; bkn1 ; : : : de q(x); y
n
también los coe…cientes de r(x); serán elementos de Z:
Proposición (2.4.2).–Si f (x); g(x) 2 K[x] y g(x) 6= 0; entonces
g(x)jf (x); si y sólo si, el residuo de dividir f (x) por g(x) (en el algoritmo
de división), es cero.
2.5. EL TEOREMA DEL RESIDUO Y LA DIVISIÓN SINTÉTICA97
Demostración: Se deja como ejercicio al lector.
2.5
El teorema del residuo y la división sintética
De…nición (2.5.1).–Sea f (x) 2 K[x] con
f (x) = an xn + : : : + a1 x + a0 ;
y sea c 2 K: El número
f (c) = an cn + : : : + a1 c + a0
obtenido al sustituir la indeterminada x por c; se llama el valor de f (x)
en c:
Observación: Si f (x) = a0 ; claro que f (c) = a0 para todo
c 2 K: Si f (x) = g(x) + h(x) y p(x) = g(x) h(x); entonces
f (c) = g(c) + h(c) y p(c) = g(c) h(c); para todo c 2 K:
Teorema (2.5.2) [Teorema del residuo].– Sea f (x) 2 K[x] y
sea c 2 K: El residuo de dividir f (x) por el polinomio x c 2 K[x]; es
f (c): Es decir,
f (x) = (x c)q(x) + f (c):
Demostración: Por algoritmo de división, existen q(x) y r(x);
elementos de K[x]; tales que
f (x) = (x
c)q(x) + r(x);
donde r(x) = 0 ó gr r(x) < gr (x c) = 1: Entonces r(x) = 0 ó
gr r(x) = 0; en consecuencia r(x) es una constante, digamos que
r(x) = r: Por tanto
f (x) = (x
c)q(x) + r:
98
CAPÍTULO 2. POLINOMIOS
Como
f (c) = (c
c)q(c) + r;
entonces r = f (c); y se tiene que
f (x) = (x
c)q(x) + f (c):
q.e.d.
Corolario (2.5.3).– f (c) = 0; si y sólo si, x
cjf (x):
Demostración: Se deja al lector.
El cociente q(x) y el residuo f (c) de dividir f (x) por x c; pueden
ser encontrados por un proceso conocido como división sintética, el
cual exponemos a continuación:
Sea
f (x) = an xn + an
con gr f (x) = n
n 1
1x
+ : : : + a1 x + a0
1: Como
f (x) = (x
entonces gr q(x) = n
q(x) = bn
c)q(x) + f (c);
1; luego q(x) es de la forma
n 1
1x
+ bn
n 2
2x
+ : : : + b1 x + b 0 :
n 1
1x
+ bn
n 2
2x
+ : : : + b1 x + b0 ) + f (c);
Por tanto
f (x) = (x
c)(bn
o sea,
f (x) = bn 1 xn + (bn 2 cbn
+(b1 cb2 )x2 + (b0
y por lo tanto
n 1
1 )x
+ (bn 3 cbn 2 )xn
cb1 )x + (f (c) cb0 ) ;
2
+ :::
2.5. EL TEOREMA DEL RESIDUO Y LA DIVISIÓN SINTÉTICA99
bn
bn
bn
cbn
cbn
2
3
b1
b0
f (c)
= an ;
= an 1 ;
= an 2 ;
..
.
1
1
2
cb2 = a2 ;
cb1 = a1 ;
cb0 = a0 :
Consecuentemente
bn
bn
bn
= an ;
= an 1 + cbn
= an 2 + cbn
..
.
1
2
3
1;
2;
b1 = a2 + cb2 ;
b0 = a1 + cb1 ;
f (c) = a0 + cb0 :
En resumen, conocemos bn 1 = an y a partir de éste conocemos
los demás coe…cientes de q(x) y también a f (c):
Para calcular fácilmente los coe…cientes de q(x) y a f (c), hacemos
el siguiente arreglo:
an
bn
1
= an
an
cbn
bn
1
1
2
an
cbn
bn
a1
cb1
b0
2
2
3
a0
cb0
f (c)
c
Ejemplos:
1. Calcular el cociente y el residuo de dividir f (x) = 7x3 4x2 +9
por x 2:
Solución:
7
7
-4
14
10
0
20
20
9
40
49
2
100
CAPÍTULO 2. POLINOMIOS
Por tanto, q(x) = 7x2 + 10x + 20 y f (2) = 49:
2. Sea f (x) = 3x5
7x4 + 9x2
1: Calcular f
Solución: Basta dividir f (x) entre x
3
3
-7
-1
-8
En consecuencia, f
2.6
0
8=3
8=3
9
8=9
73=9
1
3
=
0
73=27
73=27
1
3
-1
73=81
8=81
1
3
:
= x + 13 .
1=3
8
81 :
Máximo común divisor
De…nición (2.6.1).– Sean f (x); g(x) 2 K[x]: Decimos que
h(x) 2 K[x] es común divisor de f (x) y g(x) si h(x)jf (x) y h(x)jg(x):
Sean f (x); g(x) 2 K[x]; no ambos cero. Si h(x)jf (x) y h(x)jg(x);
entonces h(x) 6= 0; pues f (x) 6= 0 ó g(x) 6= 0; por lo tanto
gr h(x)
0: Además, si por ejemplo f (x) 6= 0; entonces
gr h(x) gr f (x): Ya se sabe que h(x) = c; con c 2 K y c 6= 0;
divide a cualquier polinomio, es decir, cjf (x) y cjg(x) 8 c 2 K; c 6= 0:
En consecuencia, todo polinomio de grado cero es divisor común
de f (x) y g(x); pero puede suceder que polinomios de grado mayor
que cero sean divisores comunes de f (x) y g(x): Lo que pretendemos
es encontrar un polinomio de máximo grado que sea común divisor
de f (x) y g(x); a un tal polinomio se le llamará máximo común divisor de f (x) y g(x), y siempre será posible encontrarlo, como veremos
enseguida. La de…nición de máximo común divisor que damos a continuación, facilita el estudio posterior de éste, y es equivalente a la
anterior.
De…nición (2.6.2).– Sean f (x); g(x) 2 K[x]; no ambos cero.
Decimos que d(x) 2 K[x] es máximo común divisor (mcd) de f (x) y
g(x); si:
2.6. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
101
i) d(x)jf (x) y d(x)jg(x):
ii) Si c(x) 2 K[x] es tal que c(x)jf (x) y c(x)jg(x); entonces
c(x)jd(x):
Notación: Para decir que d(x) es mcd de f (x) y g(x); que es lo
mismo que de g(x) y f (x); escribiremos d(x) = (f (x); g(x)) ó
d(x) = mcdff (x); g(x)g :
Observación: Si d(x) = (f (x); g(x)) ; de la parte (i) de la
de…nición anterior, se sigue que d(x) 6= 0:
Lema (2.6.3).– Sean f (x); g(x) 2 K[x]; con g(x) 6= 0: Si
g(x)jf (x); entonces g(x) = (f (x); g(x)) :
Demostración: Por hipótesis g(x)jf (x) y por otro lado es claro
que g(x)jg(x): Además, si c(x) 2 K[x] es tal que c(x)jf (x) y
c(x)jg(x); entonces particularmente c(x)jg(x). Por lo tanto
g(x) = ((f (x); g(x)) :
q.e.d.
Lema (2.6.4).–Sean f (x); g(x) 2 K[x]; no ambos cero. Si
f (x) = g(x)h(x) + p(x);
para algunos h(x); p(x) 2 K[x];entonces d(x) = (g(x); p(x)) ; si y sólo
si, d(x) = (f (x); g(x)) :
Demostración: Probaremos primero que si d(x) = (g(x); p(x)),
entonces d(x) = (f (x); g(x))
Si d(x) = (g(x); p(x)) ; entonces d(x)jg(x) y d(x)jp(x); por lo
tanto d(x)jg(x)h(x) y d(x)jp(x); y por lo tanto d(x)jg(x)h(x)+p(x);
o sea, d(x)jf (x): Consecuentemente, d(x)jf (x) y d(x)jg(x):
Si c(x) 2 K[x] es tal que c(x)jf (x) y c(x)jg(x); entonces
c(x)jf (x); c(x)jg(x) y c(x)jg(x)h(x);
102
CAPÍTULO 2. POLINOMIOS
de donde se sigue que
c(x)jg(x) y c(x)jf (x)
g(x)h(x);
o sea, c(x)jg(x) y c(x)jp(x): Puesto que d(x) = (g(x); p(x)) ; entonces
c(x)jd(x):
Debemos probar ahora que si d(x) = (f (x); g(x)) ; entonces
d(x) = (g(x); p(x)) : Como f (x) = g(x)h(x) +p(x), entonces
p(x) = g(x) ( h(x)) + f (x);
de donde se sigue, por lo antes probado, que si d(x) = (f (x); g(x)),
entonces d(x) = (p(x); g(x)) :
q.e.d.
Observación: En el lema anterior no se requiere que p(x) = 0
ó que gr p(x) < gr g(x):
El siguiente teorema garantiza la existencia del máximo común
divisor para cualesquiera dos polinomios, no ambos cero. La demostración proporciona el método para encontrarlo.
Teorema (2.6.5) [Algoritmo de Euclides para polinomios].– Si
f (x); g(x) 2 K[x] son no ambos cero, entonces existe d(x) 2 K[x]
tal que d(x) = (f (x); g(x)) : Además d(x) es polinomio de mínimo
grado para el cual existen s(x); t(x) 2 K[x] tales que
d(x) = f (x)s(x) + g(x)t(x):
Demostración: Puesto que alguno de f (x) o g(x) no es cero,
sin pérdida de generalidad, podemos suponer que g(x) 6= 0. Por el
algoritmo de división existen q1 (x); r1 (x) 2 K[x] tales que
f (x) = g(x)q1 (x) + r1 (x);
donde r1 (x) = 0 ó gr r1 (x) < gr g(x):
2.6. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
103
Si r1 (x) = 0 ya terminamos, pues por el lema(2.6.3) d(x) = g(x)
es máximo común divisor de f (x) y g(x):
Si r1 (x) 6= 0; aplicando el algoritmo de división a g(x) y r1 (x);
existen q2 (x); r2 (x) 2 K[x] tales que
g(x) = r1 (x)q2 (x) + r2 (x);
donde r2 (x) = 0 ó gr r2 (x) < gr r1 (x):
Si r2 (x) = 0; por el lema (2.6.3) r2 (x) = (g(x); r1 (x)) ; y por el
lema (2.6.4) r2 (x) = (f (x); g(x)) :
Si r2 (x) 6= 0; aplicando sucesivamente el algoritmo de la división,
continuamos el proceso como se indica en la siguiente tabla:
f (x)
g(x)
r1 (x)
..
.
rn 3 (x)
rn 2 (x)
rn 1 (x)
=
=
=
..
.
=
=
=
g(x)q1 (x) + r1 (x)
r1 (x)q2 (x) + r2 (x)
r2 (x)q3 (x) + r3 (x)
..
.
rn 2 (x)qn 1 (x) + rn 1 (x)
rn 1 (x)qn (x) + rn (x)
rn (x)qn+1 (x) + rn+1 (x)
y
y
y
..
.
y
y
y
gr r1 (x) < gr g(x)
gr r2 (x) < gr r1 (x)
gr r3 (x) < gr r2 (x)
..
.
gr rn 1 (x) < gr rn 2 (x)
gr rn (x) < gr rn 1 (x)
rn+1 (x) = 0
9
>
>
>
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
>
>
>
;
(1)
El proceso termina cuando para alguna n; rn (x) 6= 0 pero
rn+1 (x) = 0, y esto siempre ocurre, pues en caso contrario el conjunto
fgr g(x); gr r1 (x); gr r2 (x); : : :g
N;
donde gr g(x) > gr r1 (x) > gr r2 (x) > : : : ; no tendría elemento mínimo, lo que contradiría el principio de buen orden.
A…rmamos que d(x) = rn (x); el último residuo distinto de cero,
es máximo común divisor de f (x) y g(x): En efecto: Procediendo
de abajo para arriba en la tabla (1), puesto que rn+1 (x) = 0; entonces rn (x)jrn 1 (x); y por lo tanto, según el lema (2.6.3),
rn (x) = (rn
1 (x); rn (x)) :
104
CAPÍTULO 2. POLINOMIOS
Y aplicando el lema (2.6.4) se tiene que
rn (x) = (rn
= (rn
..
.
1 (x); rn (x))
2 (x); rn 1 (x))
= (g(x); r1 (x))
= (f (x); g(x)) :
Veamos ahora que existen s(x); t(x) 2 K[x] tales que
d(x) = rn (x) = f (x)s(x) + g(x)t(x):
En efecto: Procediendo de arriba para abajo en la tabla (1), se tiene
que
r1 (x) = f (x) + g(x) ( q1 (x))
= f (x)s1 (x) + g(x)t1 (x);
donde s1 (x) = 1 y t1 (x) = q1 (x): Análogamente
r2 (x) = r1 (x) ( q2 (x)) + g(x)
= f (x)s2 (x) + g(x)t2 (x);
donde s2 (x) =
s1 (x)q2 (x) y t2 (x) = 1
t1 (x)q2 (x). Así mismo
r3 (x) = r1 (x) + r2 (x) ( q3 (x))
= f (x)s3 (x) + g(x)t3 (x);
donde
s3 (x) = s1 (x)
s2 (x)q3 (x) y t3 (x) = t1 (x)
t2 (x)q3 (x):
Continuando el proceso anterior concluimos …nalmente que
rn (x) = d(x) = f (x)sn (x) + g(x)tn (x);
donde
sn (x) = sn
2 (x)
sn
1 (x)qn (x)
y tn (x) = tn
2 (x)
tn
1 (x)qn (x):
2.6. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
105
Además, por construcción sn (x); tn (x) 2 K[x]:
Eligiendo s(x) = sn (x) y t(x) = tn (x) obtenemos
d(x) = f (x)s(x) + g(x)t(x):
Supongamos ahora que p(x) 2 K[x]; p(x) 6= 0; es tal que
p(x) = f (x)h(x) + g(x)k(x)
para algunos h(s); k(x) 2 K[x]: Como d(x)jf (x) y d(x)jg(x), entonces d(x)jf (x)h(x) y d(x)jg(x)k(x); y por lo tanto
d(x)jf (x)h(x) + g(x)k(x); es decir, d(x)jp(x); y en consecuencia
gr d(x)
gr p(x): Esto prueba que d(x) es polinomio de mínimo
grado para el cual existen s(x); t(x) 2 K[x] tales que
d(x) = f (x)s(x) + g(x)t(x):
q.e.d.
Ejemplo: Aplicando el teorema anterior, calcular un máximo
común divisor de
f (x) = 3x4 + 9x3
3x2
12x
9
y
1
5
1
g(x) = x3 + x2 + x
2
3
3
1
:
2
Solución:
1 3
x
2
+ 53 x2 + 31 x
1
2
6x
3x4
3x4
+
2
9x3
10x3
x3
x3
+
3x2
2x2
5x2
10 2
x
3
5 2
x
3
+
+
12x
3x
9x
2
x
3
25
x
3
9
9
1
10
106
CAPÍTULO 2. POLINOMIOS
5 2
3x
25
3 x
3
2x
10
+
9
2
3
10 x
1 3
2x
1 3
2x
10
9 x
5 2
3x
5 2
3x
+
+
1
2
5 2
3x
5 2
2x
5 2
6x
5 2
6x
+
+
20
9
25
3 x
+
1
2
1
3x
3x
8
3x
25
6 x
3
2x
1
2
+
+
5
9
2
10
5x
10
3 x
10
3 x
+
10
10
0
Por lo tanto
3
9
d(x) = x + = (f (x); g(x)) :
2
2
Nos preguntamos ahora ?‘Es único el máximo común divisor de
dos polinomios?. La respuesta completa la dan las siguientes dos
proposiciones.
Proposición (2.6.6).– Sean f (x); g(x) 2 K[x]; no ambos cero.
Si d(x) es máximo común divisor de f (x) y g(x); entonces, para cada
c 2 K; c 6= 0; cd(x) es también máximo común divisor de f (x) y g(x):
Demostración: Por hipótesis, d(x) = (f (x); g(x)) ; entonces
d(x)jf (x) y d(x)jg(x); luego, por (2.3.3)(x), cd(x)jf (x) y cd(x)jg(x)
para cada c 2 K: Por otro lado, si k(x)jf (x) y k(x)jg(x), entonces k(x)jd(x) y por lo tanto, aplicando (2.3.3)(viii), k(x)jcd(x)
para cada c 2 K: En consecuencia, cd(x) = (f (x); g(x)) ; para cada
c 2 K; c 6= 0:
q.e.d.
Proposición (2.6.7).–Sean f (x); g(x) 2 K[x]; no ambos cero, y
sea d(x) mcd de f (x) y g(x): Si p(x) es también mcd de f (x) y g(x);
entonces p(x) = cd(x); para alguna c 2 K; c 6= 0:
2.6. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
107
Demostración: Puesto que d(x) = (f (x); g(x)) y también
p(x) = (f (x); g(x)) ; entonces d(x)jp(x) y p(x)jd(x); y como p(x) 6= 0
y d(x) 6= 0; aplicando (2.3.3) (ix), se sigue que p(x) = cd(x) para alguna c 2 K; c 6= 0:
q.e.d.
Convención: De las proposiciones (2.6.6) y (2.6.7) se sigue que
si d(x) es mcd de dos polinomios, d(x) no es único; y que cualesquiera
dos mcd sólo son diferentes por un factor constante distinto de cero.
Por tanto, si
d(x) = dk xk + dk
k 1
1x
+ : : : + d1 x + d0
con dk 6= 0; es mcd de dos polinomios, entonces
1
dk 1 k
d(x) = xk +
x
dk
dk
1
+ ::: +
d1
d0
x+
dk
dk
es también mcd de esos polinomios; y si d(x) = c, con c 6= 0 una
constante, también 1c d(x) = 1c c = 1 es mcd. Por lo anterior, vamos
a convenir en elegir como mcd de dos polinomios, a aquel cuyo coe…ciente del término de mayor potencia sea 1; esto en el caso de que
no sea constante; y si lo és, lo elegimos como 1: Con esta convención,
el mcd de dos polinomios es único. Si el coe…ciente del término de
mayor potencia de un polinomio d(x) es 1 o si d(x) = 1; diremos
que d(x) es polinomio mónico.
El siguiente resultado, junto con el lema (2.6.4), facilitan el cálculo del máximo común divisor.
Proposición (2.6.8).– Sean f (x); g(x) 2 K[x]; no ambos cero.
Si a; b 2 K con a 6= 0 y b 6= 0; entonces d(x) = (af (x); bg(x)) ; si y
sólo si, d(x) = (f (x); g(x)) :
Demostración: Se deja al lector.
108
CAPÍTULO 2. POLINOMIOS
Ejemplo 1. Para apreciar la utilidad de la proposición anterior,
calculamos nuevamente el mcd de los polinomios
f (x) = 3x4 + 9x3
3x2
12x
9
y
1
5
1
g(x) = x3 + x2 + x
2
3
3
1
:
2
Solución: Primero multiplicamos a g(x) por b = 6; así tenemos:
3x3 + 10x2 + 2x
por
por
3
x
3x4
3x4
+
+
1
9x3
10x3
x3
3x3
3x3
3
+
1
5
x2 + 5x + 6
por
3x
3x3
3x3
+
5
10x2
15x2
5x2
5x2
3x2
2x2
5x2
15x2
10x2
5x2
x2
+
+
1
9
x+3
x
x2
x2
+
+
2
5x
3x
2x
2x
+
+
+
+
2x
18x
16x
25x
9x
x
+
6
+
6
6
0
12x
3x
9x
27x
2x
25x
5x
9
+
+
+
+
3
+
+
+
3
30
27
3
9
27
3
30
6
2.7. POLINOMIOS PRIMOS RELATIVOS Y POLINOMIOS IRREDUCIBLES109
Por lo tanto d(x) = x + 3 es el mcd de f (x) y g(x):
Ejemplo 2: Calcular el mcd de los polinimios f (x) = x2
y g(x) = x + 3:
3x + 2
Solución:
x
x2
x2
x +3
por
6
3x
3x
6x
6x
1
20
1
x
x
x
+
+
+
2
+
+
2
18
20
1
3
3
3
3
0
Por lo tanto 1 = (f (x); g(x)) :
2.7
Polinomios primos relativos y polinomios
irreducibles
De…nición (2.7.1).– Sean f (x); g(x) 2 K[x]: Decimos que f (x)
y g(x) son primos relativos o primos entre sí, si (f (x); g(x)) = c;
donde c 6= 0 es una constante.
Observación: Por una convención anterior se tiene que f (x) y
g(x) son primos relativos, si y sólo si, (f (x); g(x)) = 1:
110
CAPÍTULO 2. POLINOMIOS
De…nición (2.7.2).– Sea (x) 2 K[x]; polinomio no constante.
Decimos que (x) es irreducible o primo en K[x]; si siempre que
(x) = f (x)g(x) con f (x); g(x) 2 K[x]; entonces alguno de f (x)
ó g(x) es polinomio constante. Decimos que (x) es reducible en K[x];
si (x) no es irreducible en K[x]; es decir, si existen f (x);
g(x) 2 K[x]; polinomios no constantes, tales que (x) = f (x)g(x):
Ejemplo: Todos los polinomios de primer grado son irreducibles.
Lema (2.7.3).– Si (x) 2 K[x] es polinomio no constante, entonces (x) es irreducible en K[x]; si y sólo si, f (x) 2 K[x] y f (x)j (x)
implica que f (x) = c ó f (x) = a (x); para algunas a; c 2 K; a 6= 0
y c 6= 0:
Demostración: Se deja al lector.
La irreducibilidad de un polinomio en K[x] depende de cuál
sea K; pues por ejemplo
(x)
= x2 2 2 R[x]; es reducible en R[x] ya
p
p
que x2 2 = (x
2)(x + 2): Sin embargo, (x) = x2 2 2 Q[x];
es irreducible en Q[x]: En efecto: Si x2 2 = f (x)g(x) con f (x);
g(x) 2 Q[x]; no constantes, entonces f (x) = x + a y g(x) = x + b:
Por lo tanto
x2 2 = x2 + (a + b)x + ab;
de donde se sigue que a + b = 0 y ab = 2; es decir, a = b
y ab = 2: Por tanto b2 = 2; luego b 2
= Q; lo que contradice
que g(x) 2 Q[x]:
Proposición (2.7.4).–Sean f (x); g(x); h(x); (x) 2 K[x]:
i) Si g(x)jf (x)h(x) y (g(x); f (x)) = 1; entonces g(x)jh(x):
ii) Si (x) es irreducible, entonces ( (x); f (x)) = 1 ó (x)jf (x):
iii) Si (x) es irreducible y
o (x)jg(x):
(x)jf (x)g(x); entonces
(x)jf (x)
2.7. POLINOMIOS PRIMOS RELATIVOS Y POLINOMIOS IRREDUCIBLES111
iv) Si g(x)jf (x); h(x)jf (x) y (g(x); h(x)) = 1; entonces
g(x)h(x)jf (x):
Demostración:
De (i): Como (f (x); g(x)) = 1; entonces existen s(x); t(x) 2 K[x];
tales que 1 = f (x)s(x) + g(x)t(x); y por lo tanto
h(x) = f (x)h(x)s(x) + g(x)h(x)t(x):
Puesto que g(x)jf (x)h(x) y claro que g(x)jg(x); entonces
g(x)jf (x)h(x)s(x) y g(x)jg(x)h(x)t(x): Por lo tanto
g(x)jf (x)h(x)s(x) + g(x)h(x)t(x); es decir, g(x)jh(x):
De (ii): Sea d(x) = ( (x); f (x)) ; entonces d(x)j (x) y d(x)jf (x):
Como d(x)j (x); aplicando el lema (2.7.3), se sigue que d(x) = c
ó d(x) = a (x); por tanto, ( (x); f (x)) = 1 ó (x)jf (x):
De (iii): Supongamos que (x) 6 jf (x); entonces por (ii),
( (x); f (x)) = 1; y como (x)jf (x)g(x); aplicando (i) tenemos que
(x)jg(x):
De (iv): Se deja al lector.
q.e.d.
Teorema (2.7.6).–Si f (x) 2 K[x] es no constante, entonces f (x)
es irreducible ó existen 1 (x); 2 (x); : : : ; s (x) 2 K[x] irreducibles,
tales que
f (x) = 1 (x) 2 (x) : : : s (x):
Además, si
f (x) = p1 (x)p2 (x) : : : pt (x)
con p1 (x); p2 (x); : : : ; pt (x) 2 K[x] irreducibles, entonces t = s y para
cada i = 1; 2; : : : ; t pi (x) = ci j (x) para algún j = 1; 2; : : : ; s y alguna
ci 2 K; ci 6= 0:
Demostración: Para demostrar la primera parte procederemos
por inducción sobre el grado de f (x): Si gr f (x) = 1; entonces f (x)
es irreducible. En efecto: Si existen g(x); h(x) 2 K[x] tales que
112
CAPÍTULO 2. POLINOMIOS
f (x) = g(x)h(x); entonces 1 = gr g(x)+gr h(x); y por lo tanto
gr g(x) = 0 ó gr h(x) = 0; es decir, alguno de g(x) o h(x) es constante. Supongamos que el resultado es válido para el caso en que
gr f (x)
n: Probaremos que entonces el resultado es válido para
el caso en que gr f (x) = n + 1: En efecto: Si f (x) es irreducible
ya terminamos. Si existen g(x); h(x) 2 K[x]; no constantes, tales
que f (x) = g(x)h(x); entonces 1 gr g(x)
n y 1 gr h(x)
n;
por tanto, por hipótesis de inducción, g(x) es irreducible o es producto de irreducibles y también h(x) es irreducible o es producto de
irreducibles. En consecuencia, f (x) es un producto de irreducibles,
digamos que
f (x) = 1 (x) 2 (x) : : : s (x)
donde
1 (x);
2 (x); : : : ;
s (x)
2 K[x] son irreducibles.
La demostración de la otra parte del teorema, se deja al lector.
q.e.d.
2.8
EJERCICIOS
1. Sume los polinomios f (x) y g(x) en los casos siguientes:
3x4 + 21 x3 + 7x2
1.1 f (x) =
1 2
2 x +8x
1.2 f (x) = 4x5
x + 1 y g(x) = 23 x3 + 12 x
3:
4x5 x4 +x3 + 12 x2 +9:
9 y g(x) =
7x3 +(2 i)x2 +i y g(x) = ix4 ix3 (2 i)x2 3:
1.3 f (x) =
3i)x2
1.4 f (x) = (2
7x + 2i y g(x) = ( 2 + 3i)x2 + 7x
2i:
2. Multiplique los polinomios f (x) y g(x) en los siguientes casos:
2.1 f (x) = 3x2
2.2 f (x) = 3ix2
2.3 f (x) =
x3
2
3:
7x + 2 y g(x) = 3x2 + 7x
+
8x + (2
2x2
+ 3x +
3i) y g(x) = (3
2i)x
1
3
1 2
2x
y g(x) =
4x3
+
2.4 f (x) = x
(a + bi) y g(x) = x
(a
bi):
2.5 f (x) = x
(2 + 3i) y g(x) = x
(2
3i):
3i:
+ 2x + 1:
2.8. EJERCICIOS
113
3. Sean f (x); g(x) 2 K[x] y sea c 2 K; c 6= 0: Si f (x) g(x) = c;
pruebe que f (x) y g(x) son polinomios constantes.
4. Sean f (x); g(x) 2 K[x]; con f (x) 6= 0 y g(x) 6= 0: Si g(x)jf (x)
y gr g(x) = gr f (x); pruebe que f (x) = c g(x); para alguna
c 2 K:
5. Aplicando el algoritmo de la división, calcule el cociente y el
residuo de dividir f (x) entre g(x) en los casos siguientes:
5.1 f (x) = 3x2
15x + 18 y g(x) = 2x
5.2 f (x) = x2
4x + 29 y g(x) = x
5.3 f (x) =
3x2
5.4 f (x) =
x5
7x + 8 y g(x) =
+
x4
x3
+
+
x2
1 y g(x) = x
1:
5.6 f (x) =
xn
1 y g(x) = x
1:
5.7 f (x) =
x7
5.8 f (x) = 3x5
2x3
+ 3x2
9x2 + 18x
(2
5.11 f (x) = (2
x + 1:
3 y g(x) = 2x2 + 2x + 2:
i)x2 + 2ix + 1:
i)x + 2i y g(x) = x2 + x + 12 :
9x2 + (1
3i)x3
+ 2:
x + 1 y g(x) = x4
5.9 f (x) = x10 + x5 + 1 y g(x) = (1
5.10 f (x) = 3ix5
5i):
1
2x
7x2
+ x + 1 y g(x) = x + 1:
5.5 f (x) = x5
+ 3x6
6:
ix2 + x
2i y g(x) = ix + 2:
6. Por división sintética calcule el cociente y el residuo de dividir
f (x) entre g(x); en los siguientes casos:
6.1 f (x) = x4 + 3x3 + 3x2 + 3x + 2 y g(x) = x + 2:
6.2 f (x) = x3
1 y g(x) = x +
6.3 f (x) = x3
ix2 + 9x
6.4 f (x) =
3x5
6.5 f (x) = 9x2
6.6 f (x) =
5x6
+ 96x +
4
3
1
2
3
2 i:
9i y g(x) = x + 3i:
y g(x) = x
7x + 2 y g(x) = x
ix4
p
1
3:
3 + i:
+ 1 y g(x) = x + 1:
7. Calcule f (c) en los casos siguientes:
7.1 f (x) =
7.2 f (x) =
3x3 + 6x2
3x5
6x3
+x
x + 1 y c = 0:75:
2
5
yc=
1:3:
114
CAPÍTULO 2. POLINOMIOS
7.3 f (x) = x3
ix2 + 9x
7.4 f (x) = x4 + 4ix3
7.5 f (x) =
7x5
9i y c = i:
6x2 + (2
1
2x
4x2
+
2
3
4i)x + 1 y c = 1
yc=
2i:
2
3:
8. Sea f (x) 2 K[x] y sean a; b 2 K; a 6= 0. Pruebe que el residuo
de dividir f (x) por ax b es f ab ; y por tanto
f (x) = (ax b)q(x) + f ab :
9. Aplicando el ejercicio (8), decida si g(x) divide a f (x) en los
siguientes casos:
9.1 f (x) = x4
9.2 f (x) =
x3
5x3 + 5x2 + 5x
6 y g(x) = 3x
6:
+ 8 y g(x) = 2x + 4:
9.3 f (x) = 10x3
2x2 + 3x
1 y g(x) = 2x
10. Sea f (x) 2 K[x] y sean a; b 2 K: Si x
a 6= b; pruebe que (x a)(x b)jf (x):
3:
ajf (x); x
bjf (x) y
11. Usando división sintética y el ejercicio (10), pruebe que f (x)
es divisible por g(x) en los siguientes casos:
11.1 f (x) = 2x4
7x3
11.2 f (x) = x5 + x4
2x2 + 13x + 6 y g(x) = x2
x
5x + 6:
1 y g(x) = x2 + 1:
11.3 f (x) = x4 + 2x2 + x + 2 y g(x) = x2 + x + 1:
11.4 f (x) = x4
x3
11.5 f (x) = (x + 1)5
12x2 + 16x
x5
64 y g(x) = x2
16:
1 y g(x) = x2 + x + 1:
12. Pruebe que x2 + x + 1j(x + 1)n
y 3 6 jn:
xn
1; si y sólo si, n es impar
13. Sea f (x) 2 Z[x] con f (x) = an xn + : : : + a1 x + a0 y sean
m; k 2 Z con k 6= 0 y (m; k) = 1: Si x m
k jf (x); pruebe que
mja0 y kjan :
14. Sea f (x) 2 Z[x] con f (x) = xn + an 1 xn 1 + : : : + a1 x + a0 y
sea c 2 Q: Si x cjf (x); pruebe que c 2 Z:
15. Sea f (x) 2 R[x] y sea z 2 C: Si x
x zjf (x):
zjf (x); pruebe que
2.8. EJERCICIOS
115
16. Sea f (x) 2 K[x] con f (x) = an xn + an 1 xn 1 + : : : + a1 x + a0
y sea s 2 K; s 6= 0: Pruebe que x sjf (x); si y sólo si,
x 1s jg(x) = an + an 1 x + : : : + a1 xn 1 + a0 xn :
17. Calcule el mcd de f (x) y g(x) en los casos siguientes:
17.1 f (x) = x4 + 2x2 + x + 2 y g(x) = x2 + x + 1:
17.2 f (x) = x5 + x4
x
1 y g(x) = x2 + 1:
17.3 f (x) = x3 + x2 + x + 1 y g(x) = x2
1:
17.4 f (x) = x6 + 2x5 + x3 + 3x2 + 3x + 2 y
g(x) = x4 + 4x3 + 4x2 x 2:
17.5 f (x) = 2x4 +2x3 3x2 2x+1 y g(x) = 3x3 +6x2 +6x+3:
17.6 f (x) = 10x6 9x5 12x4 + 2x2 x 1 y
g(x) = 4x5 + x4 7x3 8x2 x + 1:
17.7 f (x) = x3
ix2 + 9x
9i y g(x) = x + 3i:
17.8 f (x) = 3ix4 + (2 i)x3 + x2
g(x) = ix2 2ix + 2 3i:
3x + 2i y
18. Sea d(x) = (f (x); g(x)):
18.1 Si d(x) = f (x)s(x)+g(x)t(x); pruebe que (s(x); t(x)) = 1:
18.2 Si f (x) = d(x)q1 (x) y g(x) = d(x)q2 (x); pruebe que
(q1 (x); q2 (x)) = 1:
19. Si a 6= b; pruebe que (x
a; x
b) = 1:
20. Si (f (x); g(x)) = 1; f (x)jh(x) y g(x)jh(x); pruebe que
f (x)g(x)jh(x):
21. Si g(x)jh(x)p(x); g(x)jh(x)q(x) y (p(x); q(x)) = 1; pruebe que
g(x)jh(x)
22. Sean f (x); g(x); (x) 2 K[x]: Si (x) es irreducible y
(x)jf (x)g(x); pruebe que (x)jf (x) o (x)jg(x):
23. Pruebe que f (x) = an xn + an 1 xn 1 + : : : + a1 x + a0 es irreducible, si y sólo si, g(x) = an + an 1 x + : : : + a1 xn 1 + a0 xn
es irreducible.
24. Pruebe que f (x) = x2 + 1 es irreducible en Q[x]:
116
CAPÍTULO 2. POLINOMIOS
25. Pruebe que f (x) = x4 + 2x2 + 1 es reducible en Q[x]:
26. Sean f (x); g(x) 2 K[x] con f (x) 6= 0 y g(x) 6= 0: Decimos que
m(x) 2 K[x]; m(x) 6= 0; es mínimo común múltiplo (mcm) de
f (x) y g(x) si:
i) f (x)jm(x) y g(x)jm(x):
ii) Si h(x) 2 K[x] es tal que f (x)jh(x) y g(x)jh(x); entonces
m(x)jh(x):
Notación:Para decir que m(x) es mcm de f (x) y g(x); escribiremos m(x) = [f (x); g(x)] ó m(x) = mcmff (x); g(x)g:
26.1 Dados f (x); g(x) 2 K[x] con f (x) 6= 0 y g(x) 6= 0; pruebe
que existe m(x) 2 K[x] tal que m(x) = [f (x); g(x)]:
26.2 Si m(x) es mcm de los polinomios f (x) y g(x); pruebe que
am(x); con a 6= 0 constante, es también mcm de f (x) y
g(x):
26.3 Si m(x) y n(x) son mcm de los polinomios f (x) y g(x);
pruebe que entonces n(x) = am(x); para alguna constante
a 6= 0:
26.4 Pruebe que f (x) g(x) = a ((f (x); g(x)) [f (x); g(x)] ; para
alguna constante a 6= 0:
26.5 Calcule un mcm de f (x) = x5 + x4
x 1 y g(x) = x2 + 1:
26.6 Calcule un mcm de f (x) = x3 ix2 +9x 9i y g(x) = x+3i:
27. Haga un estudio sobre los conceptos de mcd y mcm para más
de dos polinomios. Sugerencia: revise los ejercicios 30 y 35 del
capítulo 0.
28. Sean f (x); g(x) 2 K[x] con gr f (x) = n y gr g(x) = m: Pruebe
que f (x) y g(x) tienen un común divisor no cosntante, si y sólo
si, existen f1 (x); g1 (x) 2 K[x]; distintos de cero, con
gr f1 (x) < n y gr g1 (x) < m tales que
f (x)g1 (x) + f1 (x)g(x) = 0:
Capítulo 3
RAÍCES DE
POLINOMIOS
En este capítulo vamos a trabajar, generalmente, con polinomios
de coe…cientes complejos, aunque tendremos algunos resultados sobre polinomios de coe…cientes reales, incluso sobre polinomios de
coe…cientes enteros.
3.1
Raíces de polinomios
De…nición (3.1.1).–Sea f (x) 2 C[x]; con gr f (x) = n
1y
f (x) = an xn + : : : + a1 x + a0 :
Decimos que c 2 C es raíz de f (x); si f (c) = 0; es decir, si
an cn + : : : + a1 c + a0 = 0:
Observación: De acuerdo con la de…nición anterior, decir que c
es raíz del polinomio
f (x) = an xn + : : : + a1 x + a0 ;
117
(1)
118
CAPÍTULO 3. RAÍCES DE POLINOMIOS
es equivalente a decir que c es solución o raíz de la ecuación algebraica
an xn + : : : + a1 x + a0 = 0:
(2)
En consecuencia, el problema de encontrar las soluciones o raíces
de la ecuación (2), es equivalente a encontrar las raíces del polinomio
(1). Observemos que un polinomio constante no tiene raíces, por
de…nición.
Lema (3.1.2).– Sea f (x) 2 C[x]; con gr f (x)
c1 ; c2 ; : : : ; cm 2 C diferentes, es decir, ci 6= cj si i 6= j:
1; y sean
Si c1 ; c2 ; : : : ; cm son raíces de f (x); entonces
(x
c1 )(x
c2 ) : : : (x
cm ) j f (x):
c1 )(x
c2 ) : : : (x
cm ) j f (x);
Recíprocamente, si
(x
entonces c1 ; c2 ; : : : ; cm son raíces de f (x):
Demostración: Suponemos que c1 ; c2 ; : : : ; cm son raíces diferentes de f (x); por inducción sobre m probaremos que
(x
c1 )(x
c2 ) : : : (x
cm ) j f (x):
i) Si m = 1; por teorema (2.5.2), existe q1 (x) 2 C[x]; tal que
f (x) = (x c1 )q1 (x) + f (c1 ): Como c1 es raíz de f (x); entonces
f (c1 ) = 0; por lo tanto f (x) = (x c1 )q1 (x); o sea, (x c1 ) j f (x):
ii) Suponemos el resultado cierto para m = k; esto es, suponemos
que si c1 ; c2 ; : : : ; ck son raíces diferentes de f (x); entonces
(x
c1 )(x
c2 ) : : : (x
ck ) j f (x):
Es decir, existe qk (x) 2 C[x] tal que
f (x) = (x
c1 )(x
c2 ) : : : (x
ck )qk (x):
3.1. RAÍCES DE POLINOMIOS
119
iii) Probaremos que el resultado se cumple para m = k + 1 : Si
c1 ; c2 ; : : : ; ck ; ck+1 son raíces diferentes de f (x); por (ii)
f (x) = (x
c1 )(x
c2 ) : : : (x
ck ) qk (x);
(3)
y por el teorema (2.5.2), existe qk+1 (x) 2 C[x]; tal que
qk (x) = (x
ck+1 )qk+1 (x) + qk (ck+1 ):
(4)
Puesto que ck+1 es raíz de f (x); por (3) tenemos que
0 = f (ck+1 ) = (ck+1
c1 ) : : : (ck+1
ck )qk (ck+1 );
y como ck+1 6= ci para cada i = 1; 2; : : : ; k; entonces ck+1 ci 6= 0;
para cada i = 1; 2; : : : ; k: Por lo tanto qk (ck+1 ) = 0: Asi que por (4),
qk (x) = (x ck+1 )qk+1 (x): Y sustituyendo esto en (3), se tiene que
f (x) = (x
c1 )(x
c2 ) : : : (x
ck )(c
ck+1 )qk+1 (x);
o sea,
(x
c1 )(x
c2 ) : : : (x
ck )(c
ck+1 ) j f (x):
Recíprocamente, si (x c1 ) : : : (c ci ) : : : (x cm ) j f (x); entonces
existe q(x) 2 C[x] tal que
f (x) = (x
c1 ) : : : (x
ci ) : : : (x
cm )q(x):
Para cada i = 1; 2; : : : ; m tenemos que
f (ci ) = (ci
c1 ) : : : (ci
ci ) : : : (ci
cm )q(ci ):
Por tanto, para cada i = 1; 2; : : : ; m; ci es raíz de f (x):
q.e.d.
Teorema (3.1.3).–Sea f (x) 2 C[x]: Si gr f (x) = n
f (x) tiene a lo más n raíces diferentes.
1; entonces
Demostración: Supongamos que c1 ; c2 ; : : : ; cm son raíces diferentes de f (x); entonces por el lema (3.1.2), existe qm (x) 2 C[x] tal
120
CAPÍTULO 3. RAÍCES DE POLINOMIOS
que f (x) = (x c1 )(x
f (x) 6= 0: Por tanto
gr f (x) = gr [(x
c2 ) : : : (x
c1 )(x
cm )qm (x); con qm (x) 6= 0 pues
c2 ) : : : (x
o sea, n = m+gr qm (x): Por tanto m
cm )] + gr qm (x);
n:
q.e.d.
Observemos que si
f (x) = (x
c1 )(x
c2 ) : : : (x
cm )qm (x)
y gr f (x) = m; entonces qm (x) es una constante diferentes de cero.
Proposición (3.1.4).– Si f (x); g(x); q(x) 2 C[x] son tales que
gr f (x)
1 y f (x) = g(x)q(x); entonces c es raíz de f (x); si y sólo
si, c es raíz de g(x) o de q(x): Particularmente, si f (x) = aq(x) con a
constante, entonces f (x) y q(x) tienen las mismas raíces.
Demostración: Suponemos primero que c es raíz de f (x), entonces 0 = f (c) = g(c) q(c); y por lo tanto g(c) = 0 o q(c) = 0; o sea,
c es raíz de g(x) o c es raíz de q(x):
Recíprocamente, si c es raíz de g(x) o c es raíz de q(x); entonces
f (c) = g(c)q(c) = 0: Por lo tanto c es raíz de f (x):
q.e.d.
Por el lema (3.1.2), si c1 ; c2 ; : : : ; cm son raíces diferentes de
f (x) = an xn + : : : + a1 x + a0 ;
con gr f (x) = n
1; entonces
f (x) = (x
c1 )(x
c2 ) : : : (x
cm )qm (x):
Y por la proposición (3.1.4), las otras raíces de f (x); si tiene, son
las de qm (x); donde gr qm (x) = n m: Para calcular a qm (x) basta
dividir a f (x) por (x c1 )(x c2 ) : : : (x cm ):
3.1. RAÍCES DE POLINOMIOS
121
De la demostración del lema (3.1.2), se sigue que
f (x) = (x
q1 (x) = (x
..
.
qm
1 (x)
= (x
c1 )q(x);
c2 )q2 (x);
cm )qm (x):
Así que otro modo de calcular qm (x) es aplicando sucesivamente
la división sintética a
f (x); q1 (x); : : : ; qm
1 (x)
con
x
c1 ; x
c2 ; : : : ; x
cm ;
respectivamente, lo que se indica en el siguiente arreglo:
an
bn
dn
2
1
= an
= bn
`n
1
an
c1 bn
bn
c2 dn
dn
1
1
2
2
3
..
.
..
.
m
...
...
...
...
...
...
a2
c1 b2
b1
c2 d1
d0
a1
c1 b1
b0
c2 d0
0
a0
c1 b0
0
c1
c2
..
.
cm
`1 `0 0
donde
qm (x) = `n
n m
mx
+ : : : + `1 (x) + `0 :
Ejemplo:
Sabiendo que 2 i y
f (x) = x4 + (4
3 son raíces del polinomio
2i)x3 + (4
encontrar sus otras raíces.
8i)x2 + (3
8i)x
6i;
122
CAPÍTULO 3. RAÍCES DE POLINOMIOS
Solución:
1
4
1
1
2i
2i
4
3
1
4
8i
8i
4
3
1
3
8i
8i
3
3
0
6i
6i
0
2i
3
Por lo tanto, f (x) = (x 2i)(x + 3)(x2 + x + 1): Las otras raíces
de f (x) son las de q(x) = x2 + x + 1; las cuales pueden ser calculadas
por la fórmula
p
b2 4ac
b
:
x=
2a
Obteniéndose x1 =
1
2
+
p
3
2 i
y x2 =
p
3
2 i:
1
2
Finalmente tenemos que
f (x) = (x
1
2i)(x + 3) x +
2
p !
p !
1
3
3
x+ +
i
i ;
2
2
2
o sea que
p
1
3
2i; 3;
+
i y
2
2
son todas las raíces de f (x):
3.2
1
2
p
3
i
2
El teorema fundamental del álgebra
Hasta ahora hemos visto que un polinomio de grado n 1 tiene
a los más n diferentes raíces, pero no sabemos todavía si siempre
tiene el menos una raíz. En los casos en que n = 1 ó n = 2; es fácil
comprobar que el polinomio tiene una ó dos raíces, respectivamente.
El siguiente resultado, conocido como el teorema fundamental del
álgebra, aclara plenamente el problema, garantizando la existencia
de raíces de polinomios de grado n 1; la demostración del mismo no
la escribiremos aquí, pues junto a su grado de di…cultad se encuentra
el hecho de no ayudar en modo alguno a encontrar las raíces. Quienes
3.2. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA
123
tengan oportunidad de tomar un curso de Funciones de Variable
Compleja podrán ver una demostración sencilla, y en todo caso puede
leerse una demostración en alguno de: [3], [5] u [8] de la bibliografía.
Recordemos que el númereo complejo a + bi es número real si
b = 0; y le llamamos número imaginario, si b 6= 0:
Teorema (3.2.1) [Teorema fundamental del álgebra].– Si
f (x) 2 C[x] y gr f (x) = n
1; entonces f (x) tiene al menos una
raíz compleja (real o imaginaria).
Corolario (3.2.2).– Si f (x) 2 C[x] y gr f (x) = n
f (x) tiene n raíces (no necesariamente diferentes).
1; entonces
Demostración: Por el teorema (3.2.1) existe c1 2 C tal que
f (c1 ) = 0; por lo tanto f (x) = (x c1 )q1 (x) con q1 (x) 2 C[x] y
gr q1 (x) = n 1:
Si n 1 = gr q1 (x) = 0; ya terminamos, pues entonces q1 (x) es
constante, n = 1; y la única raíz de f (x) es c1 : Si n 1 = gr q1 (x) 1;
aplicamos ahora el teorema (3.2.1) a q1 (x); y tenemos que existe
c2 2 C [c2 no tiene que ser diferente de c1 ] tal que q1 (c2 ) = 0; por lo
tanto q1 (x) = (x c2 )q2 (x) con q2 (x) 2 C[x] y gr q2 (x) = n 2:
Por tanto, f (x) = (x c1 )(x c2 )q2 (x): Si n 2 = gr q2 (x) = 0;
ya terminamos, pues en este caso q2 (x) es constante, n = 2, y las
dos raíces de f (x) son c1 y c2 : Si n 2 = gr q2 (x) 1; continuamos
el proceso anterior hasta obtener
f (x) = (x
c1 )(x
c2 ) : : : (x
con qn (x) 2 C[x] y gr qn (x) = n
constante, digamos a: Entonces
f (x) = a(x
c1 )(x
cn )qn (x);
n = 0: Por tanto qn (x) es una
c2 ) : : : (x
cn ):
Las n raíces de f (x) son c1 ; c2 ; : : : ; cn ; mismas que por el proceso en
que se obtienen, no necesariamente son diferentes.
q.e.d.
124
CAPÍTULO 3. RAÍCES DE POLINOMIOS
Observación: Si f (x) = an xn + an 1 xn 1 + : : : + a1 x + a0 y
gr f (x) = n
1; por corolario (3.2.2), existen a; c1 ; c2 ; : : : ; cn 2 C
tales que f (x) = a(x c1 )(x c2 ) : : : (x cn ): Por lo tanto
f (x) = a xn + ( c1
= axn + a( c1
c2
c2
cn )xn
cn )xn
:::
:::
1
1
+ :::
+ ::: ;
entonces
an xn + an
n 1
1x
+ : : : = axn + a( c1
c2
:::
cn )xn
1
+ :::;
y en consecuencia a = an :
Resumiendo, si
f (x) = an xn + : : : + a1 x + a0
y c1 ; c2 ; : : : ; cn son las raíces de f (x); no necesariamente diferentes,
entonces
f (x) = an (x c1 )(x c2 ) : : : (x cn ):
3.3
Multiplicidad de raíces
Sea f (x) 2 C[x] con f (x) = an xn + : : : + a1 x + a0 ; gr f (x) = n y
n 1: Si c1 ; c2 ; : : : ; cn son las n raíces de f (x); entonces
f (x) = an (x
c1 )(x
c2 ) : : : (x
cn ):
Como las raíces c1 ; c2 ; : : : ; cn no tienen que ser diferentes, sean
r1 ; r2 ; : : : ; rk (1 k n) las diferentes raíces de f (x); digamos que
r1 aparece 1 veces como raíz de f (x); r2 aparece 2 veces como raíz
de f (x); : : : ; rk aparece k veces como raíz de f (x): Entonces
f (x) = an (x
r1 ) 1 (x
r2 )
2
: : : (x
donde
1
+
2
+ ::: +
k
= n:
rk ) k ;
3.3. MULTIPLICIDAD DE RAÍCES
El hecho que ri aparezca
lente a que x ri aparezca
cuencia tenemos la siguiente
125
veces como raíz de f (x); es equivaveces como factor de f (x); en conse-
i
i
De…nición (3.3.1).– Sea f (x) 2 C[x]; con gr f (x)
1: Sea
c 2 C raíz de f (x) y sea 2 N: Decimos que c es raíz de multiplicidad
; de f (x); si
(x
c) jf (x) y (x
c)
+1
j/f (x):
Observación: El número c es raíz de multiplicidad ; de f (x);
si y sólo si, f (x) = (x c) q(x) y c ya no es raíz de q(x); es decir,
x c 6 jq(x):
Convención: Convenimos en decir que c es raíz simple, doble ó
triple de f (x); si c es raíz de multiplicidad 1; 2 ó 3; respectivamente,
de f (x):
Ejemplo: El polinomio
f (x) = x8 + x7
tiene las raíces
1; 2; i y
x6
3x5
7x4
9x3
7x2
5x
2
i: ?‘Qué multiplicidad tiene cada una?
Solución:
1
1
1
1
1
Por tanto,
1
-1
0
-1
-1
-1
-2
-1
-3
-1
0
-1
1
0
2
2
3
5
-3
1
-2
0
-2
-2
-4
-5
-9
-7
2
-5
2
-3
4
1
9
10
-9
5
-4
3
-1
-1
-2
-10
-12
-7
4
-3
1
-2
2
0
-5
3
-2
2
0
-2
2
0
-1
-1
-1
-1
1 es raíz triple de f (x); y se tiene que
f (x) = (x + 1)3 (x5
2x4 + 2x3
4x2 + x
2):
(1)
126
CAPÍTULO 3. RAÍCES DE POLINOMIOS
1
-2
2
0
2
2
1
1
2
0
2
4
6
-4
4
0
12
12
1
0
1
24
25
-2
2
0
2
2
Entonces 2 es raíz simple de f (x); y por (1) se tiene que
f (x) = (x + 3)3 (x
1
1
1
1
0
i
i
i
2i
i
3i
2)(x4 + 2x2 + 1):
2
-1
1
-2
-1
-3
-4
0
i
i
i
0
1
-1
0
(2)
i
i
i
En consecuencia, i es raíz doble de f (x); y por (2) tenemos que
f (x) = (x + 1)3 (x
1
1
1
Finalmente,
2)(x
2i
i
i
i
0
i)2 (x2 + 2ix
-1
1
0
1):
(3)
i
i
i es raíz doble de f (x); y por (3) tenemos que
f (x) = (x + 1)3 (x
2)(x
i)2 (x + i)2 :
Nuestro objetivo siguiente es dar otro criterio, diferente de la
de…nición (3.3.1), y que emplearemos más adelante, para decidir sobre la multiplicidad de raíces. Este otro criterio involucra la derivada
de un polinomio, la cual de…nimos a continuación.
De…nición (3.3.2).–Sea f (x) 2 C[x]; con
f (x) = an xn + an
n 1
1x
+ : : : + a2 x2 + a1 x + a0 :
3.3. MULTIPLICIDAD DE RAÍCES
127
De…nimos la derivada de f (x); denotada por f 0 (x) ó por f (1) (x); como
el polinomio
f 0 (x) = nan xn
1
+ (n
1)an
n 2
1x
+ : : : + 2a2 x + a1 :
En particular, si f (x) = a0 (polinomio constante), se de…ne f 0 (x) = 0:
Dado m 2 N; m 2; de…nimos la m-ésima derivada de f (x); denotada
por f (m) (x); como el polinomio
h
f (m) (x) = f (m
1)
i0
(x):
Convención: Por notación f 0 (x) = f (1) (x); y convenimos en
escribir f 00 (x) y f 000 (x) en lugar de f (2) (x) y f (3) (x); respectivamente.
Ejemplo: Calcular todas las derivadas del polinomio
f (x) = 3x4
Solución:
f 0 (x)
f 00 (x)
f 000 (x)
f (4) (x)
f (k) (x)
=
=
=
=
=
8x2
3x + 7:
12x3 16x
36x2 16;
72x;
72;
0; 8 k 5:
3;
Proposición (3.3.3).– Si f (x); g(x) 2 C[x]; c 2 C y n 2 N;
entonces:
i) (f + g)0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x):
ii) (f g)0 (x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x):
iii) f (x) = (x
c)n =) f 0 (x) = n(x
c)n
1
Demostración: Se deja como ejercicio al lector.
128
CAPÍTULO 3. RAÍCES DE POLINOMIOS
Observemos que un caso particular de (3.3.3) (ii), es cuando
f (x) = a (polinomio constante). En tal caso (ag)0 (x) = ag 0 (x):
Lema (3.3.4).–Si f (x) 2 C[x] y c 2 C es raíz de f (x); entonces
c es raíz de multiplicidad
1 de f (x); si y sólo si, c es raíz de
multiplicidad
1 de f 0 (x): Entendiéndose que
1 = 0 signi…ca que
0
c no es raíz de f (x):
Demostración: Si c es raíz de multiplicidad de f (x); entonces
f (x) = (x c) q(x); donde q(c) 6= 0: Derivando a f (x) tenemos que
f 0 (x) = (x
c)
1
q(x) + (x
c) q 0 (x):
Claramente (x c) 1 jf 0 (x) y (x c) jf
/ 0 (x); pues si (x c) jf 0 (x);
entonces (x c)jq(x); lo que contradice que q(c) 6= 0: Por tanto, c es
raíz de multiplicidad
1 de f 0 (x):
Recíprocamente, sea la multiplicidad de la raíz c en f (x); entonces por lo ya probado, c es raíz de multiplicidad
1 de f 0 (x) y
por lo tanto
1=
1; o sea, = :
q.e.d.
Teorema (3.3.5).–Sea f (x) 2 C[x]; con gr f (x) = n 1; y sea
c 2 C: El número c es raíz de multiplicidad
1 de f (x); si y sólo si,
f (c) = 0; f 0 (c) = 0; f 00 (c) = 0; : : : ; f (
1)
(c) = 0 y f ( ) (c) 6= 0:
Demostración: Suponemos primero que c es raíz de f (x) de
multiplicidad ; entonces c es raíz de multiplicidad
1 de f 0 (x):
0
Como f (m) (x) = f (m 1) (x); entonces c es raíz de multiplicidad
2;
3; : : : ;
(
1) = 1 y
= 0 de los polinomios
f 00 (x); f 000 (x); : : : ; f ( 1) (x) y f ( ) (x); respectivamente. En consecuencia
f (c) = 0; f 0 (c) = 0; f 00 (c) = 0; : : : ; f (
1)
(c) = 0 y f ( ) (c) 6= 0:
3.4. RAÍCES IMAGINARIAS DE POLINOMIOS
129
Recíprocamente, si
f (c) = 0; f 0 (c) = 0; f 00 (c) = 0; : : : ; f (
1)
(c) = 0 y f ( ) (c) 6= 0;
entonces por el lema (3.3.4), c es raíz de multiplicidad 1; 2; : : : ;
1
(
1)
(
2)
0
y de f
(x); f
(x); : : : ; f (x) y f (x); respectivamente. En
particular, c es raíz de multiplicidad de f (x):
q.e.d.
3.4
Raíces imaginarias de polinomios con coe…cientes reales
Lema (3.4.1).–Si f (x) es un polinomio de coe…cientes reales, es
decir, f (x) 2 R[x] y z 2 C; entonces f (z) = f (z):
Demostración: Sea
f (x) = an xn + an
donde, por hipótesis, an ; an
n 1
1x
+ : : : + a1 x + a0 ;
1 ; : : : ; a1 ; a0
f (z) = an z n + an
1z
n 1
2 R: Entonces
+ : : : + a1 z + a0 :
Por lo tanto
f (z) =
=
=
=
=
an z n + an 1 z n 1 + : : : + a1 z + a0
an z n + an 1 z n 1 + : : : + a1 z + a0
an z n + an 1 z n 1 + : : : + a1 z + a0
an (z)n + an 1 (z)n 1 + : : : + a1 (z) + a0
f (z):
q.e.d.
Teorema (3.4.2).–Sea f (x) un polinomio de coe…cientes reales,
es decir, f (x) 2 R[x]: Si z = a + bi es raíz imaginaria (b 6= 0) de f (x);
de multiplicidad ; entonces z = a bi es también raíz de f (x); de la
misma multiplicidad :
130
CAPÍTULO 3. RAÍCES DE POLINOMIOS
Demostración: Sea
f (x) = an xn + : : : + a1 x + a0 ;
donde, por hipótesis, an ; an 1 ; : : : ; a1 ; a0 2 R: Si z = a + bi (b 6= 0)
es raíz de f (x); de multiplicidad ; entonces, por teorema (3.3.5),
f (z) = 0; f 0 (z) = 0; : : : ; f (
1)
(z) = 0 y f (
)
(z) 6= 0:
Por lo tanto
f (z) = 0; f 0 (z) = 0; : : : ; f (
1) (z)
= 0 y f(
) (z)
6= 0:
Aplicando el lema (3.4.1) a los polinomios de coe…cientes reales
f (x); f 0 (x); : : : ; f ( 1) (x) y f ( ) (x); tenemos que
f (z) = 0; f 0 (z) = 0; : : : ; f (
1)
(z) = 0 y f (z) 6= 0:
De donde se sigue, por el mismo teorema (3.3.5), que z es raíz de
f (x) de multiplicidad :
q.e.d.
Ejemplo:
Encontrar todas las raíces de
f (x) = x4
2x3 + 6x2
2x + 5;
sabiendo que 1 2i es una raíz. Escribir a f (x) como un producto
de factores cuadráticos de coe…cientes reales.
Solución:
Como f (x) 2 R[x] y 1 2i es raíz de f (x), entonces por (3.4.2),
1 + 2i también es raíz de f (x):
1
1
1
2
1 2i
1 2i
1 + 2i
0
6
5
1
0
1
2
1 2i
1 2i
1 + 2i
0
5
5
0
1
2i
1 + 2i
3.5. RAÍCES RACIONALES DE POLINOMIOS
131
Así que
f (x) = (x
(1
(1 + 2i)) (x2 + 1);
2i)) (x
y por lo tanto las raíces de f (x) son 1 2i; 1 + 2i; i y i: Además,
la escritura de f (x) como producto de factores cuadráticos de coe…cientes reales, es
f (x) = (x2
3.5
2 x + 5)(x2 + 1):
Raíces racionales de polinomios con coe…cientes enteros
Antes de enunciar el siguiente teorema, recordemos que cualquier
número racional se puede escribir como el cociente de dos enteros
primos relativos.
Teorema (3.5.1).–Sea
f (x) = an xn + an
n 1
1x
+ : : : + a1 x + a0
un polinomio de coe…cientes enteros, es decir, f (x) 2 Z[x]; con
gr f (x) = n
1: Si el número racional pq es raíz de f (x) y p y q
son enteros primos relativos, entonces p j a0 y q j an :
Demostración:
Si
p
q
es raíz de f (x) = an xn + an
an
p
q
n
+ an
1
n 1
p
q
n 1 +:::+a x+a ;
1x
1
0
p
+ : : : + a1 + a0 = 0;
q
o sea,
an
pn
+ an
qn
pn
1
1 n 1
q
p
+ : : : + a1 + a0 = 0:
q
entonces
132
CAPÍTULO 3. RAÍCES DE POLINOMIOS
Por lo tanto
an pn + an
1p
p 1
q + : : : + a1 pq n
+ an
1p
1
+ a0 q n = 0:
(1)
Entonces
p an pn
1
n 2
q + : : : + a1 q n
1
=
a0 q n ;
de donde se sigue que pja0 q n : Como p y q son primos relativos,
entonces por (0.4.2)(2), p y q n son primos relativos, y aplicando
(0.4.2)(1) tenemos que pja0 :
Análogamente, de (1) se tiene que
q an
1p
n 1
+ : : : + a1 pq n
2
+ a0 q n
1
=
an pn ;
y por lo tanto qjan pn ; de donde se sigue, por los mismos argumentos
anteriores, que qjan :
q.e.d.
Corolario (3.5.2).–Sea
f (x) = an xn + : : : + a1 x + a0
un polinomio de coe…cientes enteros, es decir, f (x) 2 Z[x]; con
gr f (x) = n 1: Si m 2 Z es raíz de f (x); entonces mja0 :
Demostración: Al entero m podemos verlo como el número
racional m
1 ; donde claro que m y 1 son primos relativos, así que
aplicando (3.5.1) tenemos que mja0 :
q.e.d.
p
q
Así pues, si p y q son enteros primos relativos y el número racional
es raíz de
f (x) = an xn + an
n 1
1x
+ : : : + a1 x + a0 2 Z[x];
es condición necesaria que pja0 y qjan ; pero esta condición no es
su…ciente, es decir, si m y k son enteros primos relativos tales que
3.5. RAÍCES RACIONALES DE POLINOMIOS
133
mja0 y kjan ; no necesariamente m
k es raíz de f (x): Puede suceder
que f (x) ni tenga raíces racionales, en todo caso m
k sólo es candidato
a raíz racional de f (x): Se sigue entonces que para encontrar los
candidatos a raíz racional de f (x); encontramos todos los divisores
m de a0 y todos los divisores k de an ; y precisamente los diferentes
cocientes m
k son los candidatos a raíz racional de f (x): Para decidir
si f (x) tiene raíces racionales y cuáles son, debemos calcular el valor
de f (x) en cada candidato m
k ; lo que, como se sabe, puede hacerse
fácilmente por división sintética. Si se tiene que a0 = 0; entonces
f (x) = an xn + : : : + at+1 xt+1 + at xt con t
1 y at 6= 0;
y por lo tanto
f (x) = xt an xn
t
+ : : : + at+1 x + at :
Así que 0 es raíz de multiplicidad t de f (x); y las demás raíces
racionales de éste, si tiene, son las de
an xn
t
+ : : : + at+1 x + at ;
al cual se le aplica el proceso antes mencionado.
Ejemplos:
1. Encontrar las raíces racionales del polinomio
f (x) = 3x4 + 4x3
x2 + 4x
4:
Solución:
Los divisores de 4; que son los mismos que de 4; son:
m = 1; 1; 2; 2; 4 y 4: Los divisores de 3 son: k = 1; 1; 3; 3:
Así que los candidatos a raíces racionales de f (x) son:
m
1 1
2 2
4
4
= 1; 1; ;
; 2; 2; ;
; 4; 4; y
:
k
3 3
3 3
3
3
Evaluando por división sintética en 1; 1; 13 ; 13 y 2; vemos que
no son raíces de f (x): Ahora evaluamos a f (x) en 2 :
3
3
3
4
6
2
6
8
1
4
3
16
19
4
6
2
38
40
4
4
0
2
2
134
CAPÍTULO 3. RAÍCES DE POLINOMIOS
Así que
2 es raíz simple de f (x): Ahora evaluamos en
3
3
2
2
0
3
0
3
2
2
0
2
3
:
2
3
Por lo tanto f (x) = (x + 2) x 23 3x2 + 3 ; de donde se sigue
que las únicas raíces racionales de f (x) son 2 y 32 ; pues 3x2 + 3 no
tiene raíces racionales.
2. Encontrar las raíces racionales del polinomio
f (x) = 2x4
2x3 + 5x2 :
Solución:
f (x) = x2 (2x2
2x + 5);
así que 0 es raíz doble de f (x) y si tiene otras raíces racionales, éstas
son las mismas que las de q(x) = 2x2 2x + 5; el cual, como puede
verse, no tiene raíces racionales.
que
Observación: Sea f (x) 2 Q[x] con gr f (x) = n
f (x) =
con an ; an
an n an
x +
bn
bn
1 n 1
x
+ ::: +
1
1 ; : : : ; a1 ; a0 ; bn ; bn 1 ; : : : ; b1 ; b0
1; y digamos
a1
a0
x+
b1
b0
2 Z:
Sea s 2 Z; con s =
6 0; un múltiplo común de bn ; bn 1 ; : : : ; b1 ; b0
(por ejemplo: s = bn bn 1 : : : b1 b0 ).
s
y di = ci ai :
Para cada i = 0; 1; 2; : : : ; n; sean ci =
bi
Sea
q(x) = dn xn + dn 1 xn 1 + : : : + d1 x + d0 :
1
q(x) (verifíquese) donde, por construcción,
s
q(x) 2 Z[x]: Sabemos por (3.1.4) que f (x) y q(x) tienen las mismas
raíces. Por tanto pq ; donde p y q son enteros primos relativos, es raíz
de f (x); si y sólo si, pq es raíz de q(x), al que puede aplicársele el
teorema (3.5.1).
Claro que f (x) =
3.6. ACOTAMIENTO DE LAS RAÍCES REALES
135
Ejemplo: Encontrar las raíces racionales del polinomio
f (x) = x4
1
3
x+ :
2
16
Solución:
1
(16x4 8x + 3);
16
por lo tanto, las raíces racionales de f (x) son las mismas que las de
q(x) = 16x4 8x + 3: Los divisores de 3 son: m = 1; 1; 3 y 3: Los
divisores de 16 son k = 1; 1; 2; 2; 4; 4; 8; 8; 16 y 16: Así que
los candidatos a raíz racional de f (x) son:
f (x) =
m
k
= 1; 1; 12 ;
3; 3; 32 ;
1
2;
3
2;
1
4;
3
4;
1
4;
3
4;
1
8;
3
8;
1
8;
3
8;
1
16 ;
3
16 ;
1
16 ;
3
16 :
Evaluando por división sintética, encontramos que solamente
es raíz doble de f (x):
3.6
1
2
Acotamiento de las raíces reales de polinomios con coe…cientes reales
Dado el polinomio de coe…cientes enteros
f (x) = an xn + : : : + a1 x + a0 ;
dependiendo de an y a0 ; la cantidad de candidatos a raíces racionales
de f (x) puede ser relativamente grande, lo que hace laborioso determinar cuáles son raíces en caso de que haya. Enseguida daremos
un método fácil de aplicar, con el cual se reduce la cantidad de
candidatos a raíz racional de un polinomio con coe…cientes enteros.
Más generalmente, el método se aplica para encontrar los intervalos
en que se encuentran, en caso de haber, las raíces reales positivas y
negativas de un polinomio de coe…cientes reales. Este método también será de utilidad en el tema de separación de raíces reales de
polinomios con coe…cientes reales.
136
CAPÍTULO 3. RAÍCES DE POLINOMIOS
De…nición (3.6.1).–Sea f (x) un polinomio de coe…cientes reales,
es decir, f (x) 2 R[x]:
i) Decimos que M 2 R es cota superior para las raíces reales positivas (negativas) de f (x); si r M para cada r raíz real positiva
(negativa, respectivamente) de f (x):
ii) Decimos que m 2 R es cota inferior para las raíces reales positivas (negativas) de f (x); si m r para cada r raíz real positiva
(negativa, respectivamente) de f (x):
Observación: Dado f (x) 2 R[x]; claro que 0 es cota inferior (superior) para las raíces reales positivas (negativas, respectivamente)
de f (x): Si m1 < 0 y M1
0 son cotas inferior y superior, respectivamente, para las raíces reales negativas de f (x), entonces éstas,
en caso de haber, estarán en el intervalo [m1 ; M1 ] : Análogamente, si
m2 0 y M2 > 0 son cotas inferior y superior, respectivamente, para
las raíces reales positivas de f (x); entonces éstas, en caso de haber,
estarán en el intervalo [m2 ; M2 ] : Más generalmente, las raíces reales
de f (x); en caso de haber, estarán en el intervalo [m1 ; M2 ] : Si 0 es
raíz de f (x) de multiplicidad k; entonces f (x) = xk g(x); luego f (x)
y g(x) tienen las mismas raíces diferentes de cero, y por lo tanto,
encontrar las cotas superior e inferior para las raíces reales positivas
y negativas de f (x) es lo mismo que hacerlo para g(x):
Enseguida de…nimos el importante concepto de grá…ca de un polinomio de coe…cientes reales, lo que nos permitirá tener una visión
geométrica de sus raíces reales.
De…nición (3.6.2).–Sea f (x) un polinomio de coe…cientes reales,
es decir, f (x) 2 R[x]: De…nimos la grá…ca de f (x), denotada por Gf ;
como el conjunto de puntos Gf = f(t; f (t)) j t 2 Rg :
Observación: c 2 R es raíz de f (x) 2 R[x]; si y sólo si, la
grá…ca de f (x) interseca al eje X; del plano cartesiano, en el punto
(c; 0) :
3.6. ACOTAMIENTO DE LAS RAÍCES REALES
137
En las …guras (a) y (b) dibujamos las grá…cas de los polinomios
f (x) = x3 2x2 x + 2 y g(x) = x3 32 x2 2; respectivamente. Los
números m1 ; M1 ; m2 y M2 son cotas.
Teorema (3.6.3).–Sea f (x) 2 R[x] con gr f (x) = n
1y
f (x) = an xn + : : : + a1 x + a0 :
Si an > 0; entonces existe M 2 R; M > 0; tal que
f (x) = (x
M )(bn
n 1
1x
+ : : : + b1 x + b0 ) + f (M );
donde bi 0 8 i = 0; 1; 2; : : : ; n 1 y f (M ) 0: Además, en este
caso M es cota superior para las raíces reales positivas de f (x):
Demostración: Como an > 0 por la propiedad arquimedeana
de los números reales, existe s1 > 0 tal que
d1 = s1 an + an
1
> 0:
Análogamente, como d1 > 0; existe s2 > 0 tal que
d2 = s2 d1 + an
2
> 0:
138
CAPÍTULO 3. RAÍCES DE POLINOMIOS
Continuando este proceso obtenemos lo siguiente:
Existe s1 > 0 tal que d1 = s1 an + an 1 > 0
Existe s2 > 0 tal que d2 = s2 d1 + an 2 > 0
Existe s3 > 0 tal que d3 = s3 d2 + an 3 > 0
...........................................
Existe sn > 0 tal que dn = sn dn 1 + a0 > 0
9
>
>
>
>
=
>
>
>
>
;
(1)
Sea M = máxfs1 ; s2 ; : : : ; sn g: Por el teorema (2.5.2) y la división
sintética, sabemos que
f (x) = (x
M )(bn
n 1
1x
+ : : : + b1 x + b0 ) + f (M );
donde
bn
bn
bn
= an > 0;
= M bn 1 + an
= M bn 2 + an
..
.
1
2
3
1;
2;
b0 = M b1 + a1 ;
f (M ) = M b0 + a0 :
Como M
si 8 i = 1; 2; : : : ; n; de (1) se sigue que
bn
bn
d1
d2
..
.
2
3
b0
f (M )
> 0;
> 0;
dn 1 > 0;
dn > 0:
Veamos ahora que M es cota superior para las raíces reales positivas de f (x): Si t > M > 0; entonces t
M > 0; y
bn 1 tn 1 + : : : + b1 t + b0 > 0; ya que bi 0 8i = 0; 1; 2; : : : ; n 1; y
de hecho bn 1 = an > 0: Puesto que f (M ) 0; entonces
f (t) = (t
M )(bn
1t
n 1
+ : : : + b1 t + b0 ) + f (M ) > 0:
Así que cualquier t > M > 0 no es raíz de f (x); lo que quiere decir
que M es cota superior para las raíces reales positivas de f (x):
q.e.d.
3.6. ACOTAMIENTO DE LAS RAÍCES REALES
139
Observación: Sea f (x) = an xn + : : : + a1 x + a0 2 R[x] tal que
an < 0: Como los polinomios f (x) y
f (x) = ( an )xn + : : : + ( a1 )x + ( a0 )
tienen las mismas raíces, encontrar una cota superior para las raíces
positivas de f (x) es lo mismo que hacerlo para f (x); y como
an > 0; el teorema (3.6.3) se le aplica a este último.
La siguiente proposición completa un método para encontrar las
cotas de las raíces reales, positivas y negativas, de un polinomio de
coe…cientes reales.
Proposición (3.6.4).–Sea f (x) 2 R[x] con gr f (x) = n
1y
f (x) = an xn + : : : + a1 x + a0 :
i) Si K > 0 es cota superior para las raíces positivas del polinomio
(x) = an + an
entonces
1
K
1x
+ : : : + a1 xn
1
+ a0 xn = xn f
1
x
;
es cota inferior para las raíces positivas de f (x):
ii) Si L > 0 es cota superior para las raíces positivas del polinomio
(x) = ( 1)n an xn + ( 1)n
entonces
1
an
n 1
1x
+ : : : + ( 1)a1 x + a0 = f ( x);
L es cota inferior para las raíces negativas de f (x):
iii) Si N > 0 es cota superior para las raíces positivas del polinomio
'(x) = ( 1)n an +( 1)n
entonces
1
N
1
an
1 x+: : :+(
1)a1 xn
1
+a0 xn = xn f
1
x
es cota superior para las raíces negativas de f (x):
Demostración:
;
140
CAPÍTULO 3. RAÍCES DE POLINOMIOS
De (i): Si r > 0 es raíz de f (x); entonces
f (r) = an rn + an
1r
n 1
+ : : : + a1 r + a0 = 0:
Por lo tanto
1
an rn + an
rn
1r
n 1
+ : : : + a1 r + a0 = 0;
es decir,
an + an
1
1
r
1
r
+ : : : + a1
n 1
+ a0
1
r
n
= 0;
o sea,
1
r
1
r
Como r > 0; entonces
implica
1
K
= 0:
> 0; luego por hipótesis
1
r
K lo que
r:
De (ii): Si r < 0 es raíz de f (x); sea s =
r = s: Así tenemos que
an ( s)n + an
1(
s)n
1
r > 0; por lo tanto
+ : : : + a1 ( s) + a0 = 0;
o sea,
( 1)n an sn + ( 1)n
1
an
n 1
1s
+ : : : + ( 1)a1 s + a0 = 0:
Esto signi…ca que (s) = 0; y como s = r > 0; se tiene por hipótesis
que s L: Por lo tanto L
s; o sea, L r:
De (iii): Se deja como ejercicio al lector.
q.e.d.
Observación: El hecho de encontrar cotas superiores e inferiores
para las raíces positivas o negativas de un polinomio f (x) 2 R[x];
no signi…ca que este tenga raíces positivas o negativas, sino que en
caso de tenerlas están entre las cotas. Si el término independiente de
3.7. FACTORIZACIÓN EN POLINOMIOS DE RAÍCES SIMPLES141
f (x) es cero, entonces f (x) = xk g(x); por lo que conviene trabajar
con g(x):
Ejemplo: Encontrar las cotas superiores e inferiores para las
raíces positivas y negativas del polinomio
f (x) = x4
1
3
x+ :
2
16
Solución:
Como f (x) =
1
(16 x4
16
8x + 3); nos conviene trabajar con
g(x) = 16x4
8x + 3:
(i):
16
16
0
16
16
0
16
16
8
16
8
3
8
11
1
Por lo tanto 1 es cota superior para las raíces positivas de f (x):
(ii):
(x) = 3x4
8x3 + 16
3
3
Por lo tanto
1
3
8
9
1
0
3
3
0
9
9
16
27
43
3
es cota inferior para las raíces positivas de f (x):
(iii): (x) = ( 1)4 16x4 + ( 1)( 8)x + 3; o sea, (x) = 16x4 +
8x + 3: Como (x) no tiene coe…cientes negativos, entonces no tiene
raíces positivas y en consecuencia f (x) no tiene raíces negativas.
3.7
Factorización de un polinomio en polinomios de raíces simples
Dado un polinomio f (x) 2 C[x]; los resultados de esta sección nos
permitirán decidir cuántas raíces simples, dobles, triples,. . . , tiene.
142
CAPÍTULO 3. RAÍCES DE POLINOMIOS
Particularmente, vamos a poder decidir si f (x) tiene raíces múltiples
y en tal caso encontrar un polinomio que tenga exactamente las
diferentes raíces de f (x); cada una como raíz simple.
Teorema (3.7.1).– Sea f (x) 2 C[x]; con gr f (x) = n
digamos que
f (x) = an xn + : : : + a1 x + a0 :
Si c1 ; c2 ; : : : ; cm 2 C son las diferentes raíces de f (x) y
sus respectivas multiplicidades, entonces
d(x) = (x
c1 )
1
1
(x
c2 )
2
1
: : : (x
1;
m
1
n
cm )
2; : : : ;
1 y
es el máximo común dividor de f (x) y f 0 (x):
Demostración: Sea k(x) = mcd ff (x); f 0 (x)g:
Por hipótesis tenemos que
f (x) = an (x
c1 ) 1 (x
c2 )
2
: : : (x
cm )
m
:
Por lo tanto
f 0 (x) = an
1 (x
+
2 (x
+
m (x
c1 )
1
c1 ) (x
1
c1 ) (x
1
1
(x
c2 )
c2 )
c2 )
1
2
2
2
: : : (x
: : : (x
: : : (x
m
cm )
cm )
cm )
m
m
+
+ ::: +
1
;
de donde se sigue que d(x)jf (x) y d(x)jf 0 (x); y en consecuencia
d(x)jk(x): Entonces existe q(x) 2 C[x] tal que
k(x) = d(x)q(x):
(1)
Vamos a probar que q(x) 6= 0 es un polinomio constante. Si
q(x) no es constante, sea c una raíz de q(x); entonces c es raíz
de k(x); luego c es raíz de f (x) y por lo tanto c = ci para algún
i = 1; 2; : : : ; m:
Como k(x)jf 0 (x); entonces f 0 (x) = k(x) h(x); con h(x) 2 C[x]; y
por (1)
f 0 (x) = d(x)q(x)h(x):
(2)
3.7. FACTORIZACIÓN EN POLINOMIOS DE RAÍCES SIMPLES143
Como ci es raíz de q(x); entonces existe p(x) 2 C[x] tal que
q(x) = (x ci )p(x); y sustituyendo esto en (2) se tiene que
f 0 (x) = d(x)(x
ci )p(x)h(x):
(3)
Puesto que
d(x) = (x
c1 )
1
1
: : : (x
ci )
i
1
: : : (x
cm )
m
1
;
por (3) tenemos que
f 0 (x) = (x
c1 )
1
1
: : : (x
ci )
i
: : : (x
cm )
m
1
p(x)h(x);
f 0 (x)
de donde se sigue que la multiplicidad de ci en
es al menos
i ; lo que contradice el Lema (3.3.4), pues ci es de multiplicidad
1 en f 0 (x): En
i en f (x); y por lo tanto tiene multiplicidad i
consecuencia, q(x) 6= 0 es constante y por lo tanto
d(x) = mcd ff (x); f 0 (x)g:
q.e.d.
Dado f (x) 2 C[x]; con
f (x) = an xn + : : : + a1 x + a0
y gr f (x) = n
1; sean g1 (x) el producto de todos los factores
lineales correspondientes a las raíces simples de f (x); g2 (x) el producto de los distintos factores lineales correspondientes a las raíces
dobles de f (x); g3 (x) el producto de los distintos factores lineales correspondientes a las raíces triples de f (x); : : : ; g` (x) el producto de los
distintos factores lineales correspondientes a las raíces de multiplicidad ` de f (x): Suponiendo que f (x) no tiene raíces de multiplicidad
mayor que ` y conviniendo en que gk (x) = 1 si f (x) no tiene raíces
de multiplicidad k; para 1 k < `; tenemos que
f (x) = an g11 (x)g22 (x)g33 (x) : : : g`` (x):
Del teorema (3.7.1) se sigue que
d1 (x) = g2 (x)g32 (x) : : : g ` 1 (x) es el mcd de f (x) y f 0 (x);
d2 (x) = g3 (x)g42 (x) : : : g`` 2 (x) es el mcd de d1 (x) y d01 (x);
d3 (x) = g4 (x) : : : g`` 3 (x) es el mcd de d2 (x) y d02 (x);
..
.
d`
= g` (x) es el mcd de d` 2 (x) y d0` 2 (x);
d` (x) = 1 es el mcd de d` 1 (x) y d0` 1 (x):
1 (x)
144
CAPÍTULO 3. RAÍCES DE POLINOMIOS
Por lo anterior, sean
f1 (x) =
f2 (x) =
f3 (x) =
f (x)
= an g1 (x)g2 (x) : : : g` (x);
d1 (x)
d1 (x)
= g2 (x)g3 (x) : : : g` (x);
d2 (x)
d2 (x)
= g3 (x)g4 (x) : : : g` (x);
d3 (x)
..
.
f` (x) =
d` 1 (x)
= g` (x):
d` (x)
Finalmente tenemos que
an g1 (x) =
g2 (x) =
f1 (x)
;
f2 (x)
f2 (x)
;
f3 (x)
..
.
g`
f` 1 (x)
;
f` (x)
g` (x) = f` (x):
1 (x)
=
En resumen, dado f (x) 2 C[x];
f (x) = an xn + : : : + a1 x + a0 ;
el proceso anterior indica cómo obtener los polinomios
g1 (x); g2 (x); : : : ; g` (x):
En efecto, al tener f (x); calculamos f 0 (x) y encontramos
d1 (x) = mcd ff (x); f 0 (x)g:
3.7. FACTORIZACIÓN EN POLINOMIOS DE RAÍCES SIMPLES145
Enseguida calculamos d01 (x) y encontramos
d2 (x) = mcd fd1 (x); d01 (x)g:
Continuando este proceso, obtenemos los polinomios mónicos
d1 (x); d2 (x); : : : ; d` (x) = 1:
Ahora calculamos los polinomios
f1 (x) =
f2 (x) =
f3 (x) =
f (x)
;
d1 (x)
d1 (x)
;
d2 (x)
d2 (x)
;
d3 (x)
..
.
f` (x) =
d` 1 (x)
:
d` (x)
Y …nalmente obtenemos
an g1 (x) =
g2 (x) =
f1 (x)
;
f2 (x)
f2 (x)
;
f3 (x)
..
.
g`
f` 1 (x)
;
f` (x)
g` (x) = f` (x):
1 (x)
=
Por construcción, los polinomios g1 (x); g2 (x); : : : ; g` (x) tienen,
cada uno, raíces simples; y también todas las raíces del polinomio
f1 (x) = an g1 (x)g2 (x) : : : g` (x) son simples y son precisamente las
diferentes raíces de f (x). Así que para encontrar las diferentes
raíces de f (x) basta encontrar las raíces de g1 (x); g2 (x); : : : ; g` (x):
Las raíces de g1 (x) son raíces simples de f (x); las raíces de g2 (x) son
raíces dobles de f (x); : : : ; las raíces de g` (x) son raíces de multiplicidad ` de f (x):
146
CAPÍTULO 3. RAÍCES DE POLINOMIOS
Ejemplo: Consideremos el polinomio
f (x) = x4 + x3
entonces f 0 (x) = 4x3 + 3x2
6x
3x2
x + 2;
1:
Calculemos d1 (x) = mcdff (x); f 0 (x)g :
4x3 + 3x2
6x
x
4x4
4x4
1
+
+
por 4
por
+
1
3
9x2 + 2x
4x
36x3
36x3
11
por 9
por
1
4x3
3x3
x3
4x3
4x3
+
+
19
27x2
8x2
19x2
171x2
171x2
12x2
6x2
6x2
24x2
3x2
27x2
9x2
+
1
128
x
1
9x
9x2
9x2
+
+
+
1
2x
9x
11x
x
x
+
+
+
54x
44x
10x
90x
38x
128x
x
4x
x
3x
12x
6x
6x
2x
+
8
+
+
+
+
8
32
1
33
11
9
+
+
9
81
209
128
1
11
+
11
1
1
0
Por lo tanto d1 (x) = x 1: De donde se sigue que d01 (x) = 1; y
en consecuencia d2 (x) = 1 (En este caso ` = 2).
3.7. FACTORIZACIÓN EN POLINOMIOS DE RAÍCES SIMPLES147
Calculemos ahora
f1 (x) =
x
x3
x4
x4
1
2x2
x3
x3
2x3
2x3
+
+
+
f (x)
:
d1 (x)
+
x
3x2
2
x
+
2
3x2
2x2
x2
x2
x
+
2
x
x
2x
2x
+
2
+
2
2
0
Por lo tanto
f1 (x) = x3 + 2x2
x
2:
Como d2 (x) = 1; entonces
f2 (x) = x
Enseguida calculamos g1 (x) =
x
1
x2
x3
x3
+
+
+
1:
f1 (x)
:
f2 (x)
3x
2x2
x2
3x2
3x2
+
+
2
x
x
3x
2x
2x
Por lo tanto
g1 (x) = x2 + 3x + 2
= (x + 1)(x + 2)
2
2
+
2
2
0
148
CAPÍTULO 3. RAÍCES DE POLINOMIOS
y
g2 (x) = f2 (x) = x
1:
Finalmente tenemos que las raíces de f (x) son:
raíces simples y 1 como raíz doble.
1y
2 como
Observación: Subrayamos que si d1 (x) = mcdff (x); f 0 (x)g; entonces las raíces de
f (x)
f1 (x) =
d1 (x)
son simples y son las diferentes raíces de f (x); de donde se sigue que
si d1 (x) = 1; entonces todas las raíces de f (x) son simples y además
f (x) y f 0 (x) no tienen raíces comunes.
3.8
Relación entre las raíces y los coe…cientes
de un polinomio
Sea f (x) 2 C[x] con gr f (x) = n
f (x) = an xn + an
n 1
1x
1y
+ : : : + a1 x + a0 :
Sean c1 ; c2 ; : : : ; cn las raíces de f (x); no necesariamente diferentes. Entonces
f (x) = an (x
c1 )(x
c2 ) : : : (x
cn ):
Observemos que
c1
=
x
(x
c1 )(x
x
c2 )
=
x2
c1 ;
(c1 + c2 )x + c1 c2 ;
(x
c1 )(x
c2 )(x
c3 )
=
x3
(c1 + c2 + c3 )x2
c1 )(x
c2 )(x
c3 )(x
c4 )
=
+(c1 c2 + c1 c3 + c2 c3 )x
(x
x4
c 1 c 2 c3 ;
(c1 + c2 + c3 + c4 )x3
+(c1 c2 + c1 c3 + c1 c4 + c2 c3 + c2 c4 + c3 c4 )x2
(c1 c2 c3 + c1 c2 c4 + c1 c3 c4 + c2 c3 c4 )x
+c1 c2 c3 c4 :
3.8. RELACIÓN ENTRE LAS RAÍCES Y LOS COEFICIENTES149
Inductivamente se sigue que
(x
c1 )(x
c2 ) : : : (x
cn )
xn
=
(c1 + c2 + : : : + cn )xn
1
+
n 2
+(c1 c2 + : : :)x
(c1 c2 c3 + : : :)xn
3
+
k
+ : : : + ( 1) (c1 c2 : : : ck + : : :)xn
k
+
+ : : : + ( 1)n c1 c2 : : : cn
(compruébese por inducción matemática).
Para abreviar, sean s1 la suma de los números c1 ; c2 ; : : : ; cn ; s2
la suma de los productos de los números c1 ; c2 ; : : : ; cn tomando dos
a la vez; s3 la suma de los productos de los números c1 ; c2 ; : : : ; cn
tomando tres a la vez;. . . ; sk la suma de los productos de los números
c1 ; c2 ; : : : ; cn tomando k a la vez;. . . ; sn el producto de los números
c1 ; c2 ; : : : ; cn :
De lo anterior se sigue que
f (x) = an [xn
s1 xn
1
+ s2 xn
2
: : : + ( 1)k sk xn
k
+ a n s 2 xn
2
: : : + ( 1)k an sk xn
+ : : : + ( 1)n sn ];
por lo tanto
f (x) = an xn
a n s 1 xn
1
k
+ : : : + ( 1)n an sn :
Y como
f (x) = an xn + an
n 1
1x
+ : : : + an
n k
kx
entonces
an
1
=
an s1 ;
an
2
= an s2 ;
..
.
an
k
= ( 1)k an sk ;
..
.
a0 = ( 1)n an sn :
+ : : : + a1 x + a0 ;
150
CAPÍTULO 3. RAÍCES DE POLINOMIOS
Y por lo tanto
an 1
;
an
s1 =
s2 =
an 2
;
an
..
.
an k
;
an
sk = ( 1)k
..
.
sn = ( 1)n
a0
:
an
Estas últimas relaciones se conocen como fórmulas de Vieta.
Ejemplo: Encontrar las raíces del polinomio
f (x) = 3x3
8x2 + 3x + 2;
sabiendo que el producto de dos raíces es 2.
Solución: Sean c1 ; c2 ; c3 las raíces de f (x); entonces:
8
3
c1 + c2 + c3 =
(1)
c1 c2 + c1 c3 + c2 c3 = 1
(2)
2
3
c1 c2 c3 =
(3)
Sean c1 y c2 tales que c1 c2 = 2; entonces por (3) tenemos que
2c3 = 32 ; y por lo tanto c3 = 13 :
Aplicando división sintética se tiene que
3
3
8
1
9
3
3
6
2
2
0
1
3
Así que las otras raíces de f (x) son las del polinomio
3x2
9x + 6;
3.9. EJERCICIOS
151
el cual puede factorizarse como sigue
3x2
9x + 6 = 3(x
1)(x
En resumen, c1 = 1; c2 = 2 y c3 =
3.9
1
3
2):
son las raíces de f (x):
EJERCICIOS
1. Sabiendo que f (x) = x4 + 2x3 7x2 8x + 12 tiene las raíces
1 y 2; encuentre el polinomio cuadrático que tiene las demás
raíces de f (x) y también éstas.
2. Sabiendo que
1 y 3 son raíces de
f (x) = x4 + 2x3
12x2
10x + 3;
encuentre sus demás raíces.
p
3. Sabiendo que 1 i y 2 son raíces de f (x) = x4
encuentre sus demás raíces.
4. Una raíz de f (x) = 20x3
otras raíces.
30x2 + 12x
x3
a(a + 1) es
17x2 + 15x + 9;
encuentre sus otras raíces.
7. Dado que 1 + 2i es raíz de
f (x) = x3
2(1 + i)x2
encuentre sus demás raíces.
(1
4;
1 es 21 : Encuentre las
5. Una raíz de f (x) = x3 (2a + 1)x2 + a(a + 2)x
a + 1. Encuentre las otras raíces.
p
p
6. Sabiendo que 1 + 2 y 1
2 son raíces de
f (x) = 2x4
2x3 + 4x
2i)x + 2(1 + 2i);
152
CAPÍTULO 3. RAÍCES DE POLINOMIOS
4
3
2
8. Dos raíces
p de f (x) = x (1+2i)x +( 4+i)x +(3+6i)x+3 3i
son i y 3: Encuentre las otras raíces.
9. Escriba como producto de factores lineales los siguientes polinomios
9.1
9.3
9.5
9.7
f (x) = x4
h(x) = x3
g(x) = x3
f (x) = x4
1:
i:
x2 + x 1:
x2 + 1:
10. Pruebe que sen n sen 2n
9.2
9.4
9.6
9.8
g(x) = x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1:
f (x) = x5 3x4 + x3 + x2 3x + 1:
h(x) = x4 5x2 + 6:
g(x) = x5 x4 + x3 2x2 + 2x 2:
(n 1)
= 2nn 1 :
n
xn 1 + xn 2 + : : : + x + 1
: : : sen
[Sugerencia: Escriba f (x) =
como un
producto de factores lineales, luego sustituya x por 1 y tome
…nalmente el valor absoluto en ambos miembros].
11. Sea f (x) 2 C[x] con gr f (x) = n 1: Si f (0) 6= 0 y
c1 ; c2 ; : : : ; cn 2 C; con ci 6= 0 para cada i = 1; 2; : : : ; n; son las
raíces de f (x); pruebe que
f (x) = f (0) 1
x
c1
1
x
c2
::: 1
x
cn
:
12. Sean f (x); g(x) 2 C[x]; con gr f (x) = n y gr g(x) = m; y sean
c1 ; c2 ; : : : ; ck 2 C; con ci 6= cj si i 6= j: Si f (ci ) = g(ci ) para
cada i = 1; 2; : : : ; k y k >máx fn; mg; pruebe que f (x) = g(x):
13. Escriba un polinomio de mínimo grado que tenga las raíces:
13.1 1; 0; 1:
13.3 1; 1; 2; 2:
13.5 i; i; 1 + i; 1
13.2
13.4
1; 2; 3:
i; 1 12 i:
1
2; 2
i:
14. Encuentre el polinomio f (x) de mínimo grado tal que
f ( 1) = 0; f (0) = 0; f (1) = 0 y f (2) = 1:
15. Escriba un polinomio f (x) de mínimo grado que tenga a 1 y a
1 como raíces simples, a 3 como raíz doble, a 2 como raíz
triple y tal que f (0) = 1:
16. Encuentre un polinomio f (x) de mínimo grado que tenga las
raíces 0; 2 + i; 2 i y tal que f ( 1) = 1 y f (1) = 1:
3.9. EJERCICIOS
153
17. Escriba un polinomio f (x) de mínimo grado y de coe…cientes
reales que tenga a 1 como raíz doble, a 1 i como raíz simple,
y tal que f ( 1) = 10 y f (0) = 2:
18. Demuestre que el único polinomio f (x) de grado n 1 que tiene
las raíces x2 ; x3 ; : : : ; xn y tal que f (x1 ) = 1; es
f (x) =
donde g(x) = (x
x1 )(x
(x
g(x)
x1 )g 0 (x1 )
x2 ) : : : (x
xn ):
[Sugerencia: Para la unicidad use el ejercicio (12)].
19. Sean x1 ; x2 ; : : : ; xn 2 C distintos entre sí, sean
y1 ; y2 ; : : : ; yn 2 C y sea g(x) = (x x1 )(x x2 ) : : : (x
Demuestre que
f (x) =
g(x)
(x x1 )g 0 (x1 ) y1
+
g(x)
(x x2 )g 0 (x2 ) y2
+ ::: +
xn ):
g(x)
(x xn )g 0 (xn ) yn
tiene grado no mayor que n 1; que f (xi ) = yi para cada
i = 1; 2; : : : ; n y que f (x) es único con las propiedades anteriores [Así queda resuelto el problema de encontrar un polinomio de mínimo grado que para los números x1 ; x2 ; : : : ; xn ;
distintos entre si, tome los valores dados y1 ; y2 ; : : : ; yn ; respectivamente].
20. En cada caso, encuentre el polinomio f (x) de mínimo grado
que satisface las condiciones que se piden:
20.1 f (0) = 1; f (1) = 2; f (2) = 0; f (3) =
20.2 f ( 3) =
1 y f (4) =
2:
2; f ( 1) = 1; f (0) = 2; f (2) = 1 y f (3) = 3:
1
1
20.3 f
2 = 0; f (0) = 2 ; f (2) = 2; f (4) = 0; f (5) =
f (7) = 4:
20.4 f ( i) = 1; f (i) = 1 + i; f (1
20.5 f (1 + i) = 0; f (1
2i) =
i) =
1y
i y f (1 + i) = i:
4; f ( 2) = 1 + i y f (3i) = 1
21. Demuestre que f (x) 2 C[x] es dividido por el cuadrado de un
polinomio no constante, si y sólo si, el mcd de f (x) y f 0 (x) es
un polinomio no constante.
154
CAPÍTULO 3. RAÍCES DE POLINOMIOS
22. Sea f (x) 2 C[x], con gr f (x)
f 0 (x). Pruebe que:
1; y sea d(x) mcd de f (x) y
22.1 f (x) y f 0 (x) tienen al menos una raíz en común, si y sólo
si, d(x) es no constante.
22.2 Si r 2 C es raíz simple de f (x); entonces r no es raíz de
d(x):
22.3 r 2 C es raíz de multiplicidad > 1 de f (x); si y sólo si,
r es raíz de multiplicidad
1 de d(x):
22.4 Si q(x) es el cociente de dividir f (x) por d(x); entonces
las raíces de q(x) son simples y son las diferentes raíces
de f (x).
23. Aplicando (22.3), encuentre las raíces de:
23.1 f (x) = x3
4x2
x4
8x3
23.2 f (x) =
3x + 18:
+ 22x2
23.3 f (x) = 4x5 + 8x4
24x + 9:
23x3
19x2 + 55x
25:
24. Encuentre todas las raíces de los siguientes polinomios y escriba
éstos como producto de factores lineales y/o cuadráticos de
coe…cientes reales.
24.1 f (x) = x4
4x3 + 5x2
24.2 f (x) = x3
3x2
x5
3x4
24.3 f (x) =
6x
+ 4x3
2x
2; dado que 1 + i es raíz.
p
20; dado que 1
3i es raíz.
4x + 4; dado que 1 + i es raíz.
24.4 f (x) = x4
4x2 + 8x
4; dado que 1
24.5 f (x) = x6
raíz.
3x5 + 4x4
6x3 + 5x2
24.6 f (x) = x7 + 2x5
x4 + x3
2x2
i es raíz.
3x + 2; dado que i es
1; dado que
i es raíz.
25. Pruebe que un polinomio de coe…cientes reales y de grado impar, tiene al menos una raíz real.
26. Escriba un polinomio de coe…cientes reales y de grado tres, que
tenga la raíces 1 y 3 2i:
3.9. EJERCICIOS
155
27. Si el polinomio de coe…cientes reales f (x) = x3 + ax2 + bx 20
tiene la raíz 3 + i; encuentre sus otras raíces y determine a y b:
28. El polinomio f (x) = x3 (8 + i)x2 + (19 + 7i)x
la raíz 1 + i. ?‘Es también 1 i raíz de f (x)?
12
12i tiene
29. Si el polinomio de coe…cientes reales f (x) = x3 + px + q tiene
la raíz imaginaria a + bi; pruebe que entonces tiene la raíz 2a
30. Sabiendo que las raíces de f (x) = 3x3 + 4x2 + 8x + 24 tienen
el mismo módulo, encuéntrelas.
31. Escriba a f (x) = x6 1 como un producto de factores lineales
y cuadráticos de coe…cientes reales.
32. Sean p; q 2 R: Demuestre que 4p3 + 27q 2 = 0 es una condición
necesaria y su…ciente para que el polinomio f (x) = x3 + px + q
tenga una raíz doble [Sugerencia: Observe que la raíz doble
tiene que ser real].
33. Si (x) 2 R[x] es irreducible en R[x]; pruebe que gr (x) = 1
ó gr (x) = 2:
34. Sea f (x) 2 Q[x] y sean a; b; c 2 Q tal que c > 0 y c 6= d2
p
para todo d 2 Q: Pruebe que si a + b c es raíz de f (x) de
p
multiplicidad ; entonces también a b c es raíz de f (x) de
la misma multiplicidad [Sugerencia: Proceda por inducción
sobre ].
35. Encuentre todas las raíces de:
35.1 f (x) = x3
35.2 f (x) =
x4
35.3 f (x) = x4
35.4 g(x) = x3
es raíz.
3x2
5x + 7; dado que 1
p
8 es raíz.
p
+ 4x + 2; dado que 2 + 2 es raíz.
p
3x2 + 10x 6; dado que 1 + 3 es raíz.
p
6x2 + ax + b; con a; b 2 Q; dado que 1
5
13x2
36. Si f (x) = x3 + ax2 + bx + 28; con a; b 2 Q; tiene la raíz 3
encuentre sus demás raíces y determine a y b.
p
2;
37. Encuentre las raíces enteras, si hay, de los siguientes polinomios:
156
CAPÍTULO 3. RAÍCES DE POLINOMIOS
37.1 f (x) = x3
10x2 + 18x
37.2 g(x) =
2x3
18x2
37.3 h(x) =
3x4
24x3
37.4
37.5
+
f (x) = 15 x5
g(x) = 3x6
16:
+ 32x
x4 +
28:
21x2
2 3
5x
147x + 168:
21
5 x + 54:
120x3 + 27x2 :
5x2 +
40x5 + 130x4
38. Encuentre las raíces racionales, si hay, de los siguientes polinomios:
38.1 f (x) = 3x3
2x2 + 9x
38.2 g(x) =
2x4
38.3 h(x) =
10x3
38.4 f (x) =
x5
+
+
38.7
38.8
6:
10x2
+ 30x
x3
3x2 :
2x2
38.9 h(x) =
38.10 f (x) =
8x5
+
11x4
+
3x2
9:
5x + 1:
11 2
9
h(x) =
4 x + 4x
f (x) = 3x5 + 12 x4 7x3
g(x) = 2x6 + x5 9x4
x4
6x5
+ 6x:
19x2
1 4
2x
38.5 g(x) = 24x3
38.6
7x3
x3
1
2:
+ 2x2 + 52 x
6x3
5x2
+ 5x
6:
1:
7x + 6:
17:
39. Pruebe que f (x) = 30xn
cada n 2:
91 no tiene raíces racionales para
40. Si r es raíz racional del polinomio con coe…cientes enteros
f (x) = xn + an 1 xn 1 + : : : + a1 x + a0 ; pruebe que r debe
ser un número entero.
41. Si f (x) es un polinomio de coe…cientes enteros y los números
f (0) y f (1) son impares, pruebe que f (x) no tiene raíces enteras.
42. Si f (x) es un polinomio de coe…cientes enteros y ninguno de
los números f ( 1); f (0) y f (1) es divisible por 3, pruebe que
f (x) no tiene raíces enteras.
43. Sea f (x) = an xn + : : : + a1 x + a0 un polinomio de coe…cientes
enteros, y sea m un entero que divide a a0 : Si existe k; número
entero, tal que m k no divide a f (k); pruebe que entonces m
no es raíz de f (x):
3.9. EJERCICIOS
157
44. Pruebe que la grá…ca de un polinomio de coe…cientes reales y
de grado 1; es una recta.
45. Pruebe que la grá…ca de un polinomio de coe…cientes reales y
de grado 2; es una parábola que abre para arriba o para abajo,
según el coe…ciente de x2 sea positivo o negativo, respectivamente.
46. Sea f (x) = an xn + an 1 xn 1 + : : : + a1 x + a0 un polinomio
de coe…cientes complejos y sea z un complejo distinto de cero.
Pruebe que:
46.1 z es raíz de f (x); si y sólo si,
g(x) = an + an
1x
1
z
es raíz de
+ : : : + a1 xn
1
+ a0 xn :
46.2 z es raíz de f (x); si y sólo si, z es raíz de g(x) =
( 1)n an xn + ( 1)n 1 an 1 xn 1 + : : : + ( 1)a1 x + a0 .
46.3 z es raíz de f (x); si y sólo si, z1 es raíz de g(x) =
( 1)n an + ( 1)n 1 an 1 x + : : : + ( 1)a1 xn 1 + a0 xn .
47. Sea f (x) = an xn + : : : + a1 x + a0 un polinomio de coe…cientes
reales. Si ai
0 (ó ai
0) para cada i = 0; 1; : : : ; n; pruebe
que f (x) no tiene raíces reales positivas.
48. Sea f (x) = a2k x2k + a2(k 1) x2(k 1) + : : : + a2 x2 + a0 un polinomio de coe…cientes reales. Si a0 > 0 y a2i
0 para cada
i = 1; 2; : : : ; k (ó a0 < 0 y a2i
0 para cada i = 1; 2; : : : ; k);
pruebe que f (x) no tiene raíces reales.
49. Con referencia a los ejercicios 47 y 48, ?‘qué puede decir sobre
las raíces reales de los siguientes polinomios?
49.1 f (x) = x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1:
49.2 f (x) = 3x4 + x3 + 9x:
49.3 f (x) =
x6
7x3
2x2
49.4 f (x) =
2x7
3x5
5x3 :
+
+
6x
4:
49.5 f (x) = 2x8 + 5x6 + x4 + 9x2 + 1:
49.6 f (x) =
4x6
x4
7:
158
CAPÍTULO 3. RAÍCES DE POLINOMIOS
49.7 f (x) = 9x8 + 3x2 + 2:
49.8 f (x) = 6x8 + 2x4 + 3x2 :
49.9 f (x) = x9 + 3x5 + 7x3 + x:
49.10 f (x) =
4x7
9x5
x3
4x:
50. Encuentre cotas superiores e inferiores para las raíces positivas
y negativas de los siguientes polinomios:
50.1 f (x) = 2x3
50.2 f (x) =
50.3 f (x) =
7x2 + 10x
3x6
8x5
9x4
6x5 + 20x2
+ 10x3
27x2 :
5x + 10:
50.4 f (x) =
2x4
50.5 f (x) =
x6
50.6 f (x) =
3x9
50.7 f (x) =
2 7
3 4
7x3 + 8x 12 :
3x
5x
3 8
x + 7x3 12 x2 :
p5 5
p
p7 x3 + 3 2x2 :
2x
2
7 8
4
2
3 x + 4x + 8x + 3:
50.8 f (x) =
50.9 f (x) =
50.10 f (x) =
+
7x3
6:
+
9x2
+ 7x + 2:
5x5
x4
7x6
12x4
+
+
12x3 + 12x2
1:
8x3 :
51. Encuentre cotas superiores e inferiores para las raíces positivas
y negativas de los siguientes polinomios. También encuentre,
si hay, sus raíces racionales.
51.1 f (x) = 24x3
2x2
5x + 1:
2x5
x4
x2 :
51.2 f (x) =
+
51.3 f (x) = 3x5 + 12 x4
51.4 f (x) =
x6
1 5
6x
7x3 + 2x2 + 52 x
+
1 4
6x
+
5 2
6x
1:
x:
52. Sea f (x) = an xn + : : : + a1 x + a0 un polinomio de coe…cientes
reales. Si an > 0 y el primer coe…ciente negativo de f (x); contando de izquierda a derecha, está precedido por k coe…cientes
positivos o cero, y si G denota el máximo valor absoluto de los
coe…cientes negativos, pruebe que
r
G
M =1+ k
an
es cota superior para las raíces positivas de f (x):
3.9. EJERCICIOS
159
53. Aplique el criterio dado en el ejercicio 52, para encontrar cotas
superiores e inferiores de las raíces positivas y negativas de los
siguientes polinomios:
53.1 f (x) = x5 + 4x4
53.2 f (x) =
53.3 f (x) =
4x7
7x6
7x2
8x6
+
22x5
40x + 1:
+ 98x4
3x4 + 8x3
73x3 + 5x2 :
9x + 4:
54. Sea f (x) = an xn + an 1 xn 1 + : : : + a1 x + a0 un polinomio
de coe…cientes complejos con gr f (x) = n
1: Para cada
i = 0; 1; : : : ; n; sea Ai = jai j ; y sea
F (x) = An xn
An
n 1
1x
:::
A1 x
A0 2 R[x]:
Si M > 0 es un real tal que F (x) = (x M )q(x)+F (M ); donde
F (M ) 0 y donde los coe…cientes de q(x) son no negativos (y
por tanto M es cota superior para las raíces reales positivas de
F (x)), pruebe entonces que M es cota superior para el módulo
de las raíces de f (x):
55. Aplicando el criterio dado en el ejercicio 54, encuentre una
cota superior para el módulo de las raíces de los siguientes
polinomios:
55.1 f (x) = 2x4
55.2 g(x) =
2x5
7x3 + 6x2
ix3
+ (5
5:
5i)x2
(3 + 2i)x + 10:
56. Sea f (x) = an xn + an 1 xn 1 + : : : + a1 x + a0 un polinomio de
coe…cientes reales. Si an
an 1
:::
a0 > 0; pruebe que
M = 1 es cota superior para el módulo de las raíces de f (x)
[Sugerencia: Considere el polinomio (x 1)f (x)].
57. Sea f (x) = an xn + an 1 xn 1 + : : : + a1 x + a0 un polinomio
de coe…cientes
reales. Si ai > o
0 para cada i = 0; 1; 2; : : : ; n y
n
ai 1
= máx ai j i = 1; 2; : : : ; n ; pruebe que es cota superior para el módulo de las raíces de f (x): [Sugerencia: Escriba
x = y y aplique 56].
58. Aplicando el método de factorizar un polinomio en polinomios
de raíces simples, encuentre las raíces de los siguientes polinomios. Diga la multiplicidad de cada raíz.
160
CAPÍTULO 3. RAÍCES DE POLINOMIOS
58.1 f (x) = x3
7x2 + 15x
(3 +
p2 :
3
2
i)x +
(4 + 2i)x
x4
2x3
2x2
58.2 g(x) = 3x3
3x
58.3 h(x) = x3
58.4 f (x) =
x5
9:
+
58.5 g(x) = 2x6
12x5 + 19x4
58.6 h(x) = 2x4
x + 38 :
+x
6x3
8x2
3x:
58.8 g(x) = x6
3x5 + 6x3
3x2
3x6
7x4
58.9 h(x) =
+
58.10 f (x) = x8 + x7
5x5
8x6
1:
6x3 + 9x2 :
58.7 f (x) = x5
x7
(2 + 2i):
3x + 2:
+ 7x3
5x2 + 3x
6x5 + 21x4 + 9x3
1:
22x2
4x + 8
59. Decida si los siguientes polinomios tienen raíces de multiplicidad mayor que uno, y en tal caso encuéntrelas.
59.1 f (x) = x3
59.2 g(x) =
x5
3x + 1:
+ 5x4
59.3 h(x) = x4
59.4 f (x) =
10x + 2:
8x3 + 22x2
24x + 9:
8x4
59.5 g(x) = x3
59.6 h(x) =
20x2
4x5
59.7 f (x) = x5
20x3
(3
7x + 1:
2i)x2 + (4
4i)x
23x3
19x2
12x4 + 46x3
40x2
+
8x4
+
18x2
(2
+ 55x
4i):
25:
96x + 128:
60. Si f (x) es polinomio de coe…cientes complejos y
gr f (x) = n
1; pruebe que f 0 (x) divide a f (x); si y sólo si,
f (x) = a(x c)n con a; c 2 C:
61. Encuentre las raíces a; b; c de los siguientes polinomios:
61.1 f (x) = 2x3
4x3
7x2
61.2 f (x) =
aritmética [a = r
61.3 f (x) = x3
5x + 4; si a + b = 3:
12x2 + 3x + 5;
7x2
si a; b y c están en progresión
s; b = r y c = r + s].
42x + 216; si c2 = ab:
61.4 f (x) = x3 (3 2i)x2 +(4 4i)x (2 4i); si a+b = 2 i:
61.5 f (x) = x3
2x2
5x + 6; si
a
b
= 3:
3.9. EJERCICIOS
161
61.6 f (x) = 2x3
11x2
7x + 6; si ab = 3:
61.7 f (x) = 3x3 26x2 + 52x 24; si a; b; y c
están en progresión geométrica [a = rs ; b = r y c = rs].
87x + 27; si b = a1 :
61.8 f (x) = 3x3 + 17x2
61.9 f (x) = x3
61.10 f (x) = x3
27x2 + 242x
720; si a =
b+c
2 :
x2 + 3x + 5; si a + b = 2i:
62. Si f (x) = x3 9x2 + kx 24; encuentre k y las raíces de f (x),
si éstas están en progresión aritmética.
63. Si f (x) = 2x3 6x2 + 3x + k; encuentre k y las raíces a; b y c
de f (x) si a = 2b + 2c:
64. Si las raíces de f (x) = x3 + px2 + qx + r están en progresión
geométrica, encuentre la relación entre p; q y r:
65. Encuentre las raíces a; b; c y d de los siguientes polinomios:
65.1 f (x) = x4
65.2 f (x) =
4x4
65.3 f (x) = x4
65.4 f (x) =
9x4
2x3 + 2x2
+
28x3
+
x
33x2
56x + 16; si a = b y c = d:
5x3 + 6x2 + 4x
+
9x3
+
2x2
2; si a + b = 1:
8; si a = b = c:
14x + 4; si a = 2b:
66. Pruebe que la suma de las raíces n–ésimas de la unidad, es
cero.
67. Pruebe que el producto de las raíces n–ésimas de la unidad es
1 ó 1; según si n es impar o par, respectivamente.
68. Si g(x) 2 Q[x] es irreducible en Q[x]; pruebe que todas las
raíces de g(x) son simples. [Sugerencia: Bajo la hipótesis,
pruebe y use que si c es raíz de g(x); entonces g(x) es polinomio de mínimo grado en Q[x] tal que g(c) = 0].
69. Si f (x); g(x) 2 Q[x] son irreducibles en Q[x] y tienen una raíz
en común, pruebe que f (x) = ag(x) para alguna constante
a 2 Q:
Capítulo 4
SEPARACIÓN DE
RAÍCES
Posiblemente el lector ya se preguntó por qué razón no se ha
abordado el problema general de resolver una ecuación algebraica
(encontrar las raíces de un polinomio) por medio de fórmulas como
las que se emplean para las ecuaciones de primero y segundo grados. La respuesta es simple: El noruego Abel (1802 – 1829) y el
francés Evariste Galois (1811 – 1832) probaron que una ecuación
algebraica general de grado n
5; no es soluble por radicales, es
decir, no pueden encontrarse sus raíces por fórmulas que involucren
sólo operaciones de suma, multiplicación y radicación sobre sus coe…cientes, como ocurre con la ecuación de segundo grado. Desde luego
que hay ecuaciones particulares, de grado arbitrario, que pueden resolverse por radicales; de hecho Galois establece las condiciones bajo
las cuales, una ecuación de grado n 5 es soluble por radicales. En
cuanto a las ecuaciones generales de tercer y cuarto grados, fueron
resueltas por radicales, por los italianos Tartaglia (1500 – 1557) y
Ferrari (1522 –1565), respectivamente.
Una vez aclarado lo anterior, proseguimos con el estudio sobre la
resolución de ecuaciones algebraicas, es decir, sobre raíces de polinomios.
En este capítulo y en el que sigue, sólo trabajaremos con polinomios de coe…cientes reales y estaremos interesados exclusivamente
163
164
CAPÍTULO 4. SEPARACIÓN DE RAÍCES
en las raíces reales de éstos.
4.1
Raíces aisladas
De…nicion (4.1.1).– Sea f (x) 2 R[x]; sea r 2 R una raíz de
f (x) y sean a; b 2 R; con a < b: Decimos que r está aislada en
el intervalo abierto ]a; b[; si r 2 ]a; b[ y ]a; b[ no tiene otras raíces de
f (x): Y decimos que las diferentes raíces reales de f (x) están separadas,
cuando cada una de ellas está aislada en un intervalo abierto.
Ejemplo: El polinomio f (x) = x3 21 x2 2x + 1 tiene sus raíces
reales separadas en los intervalos ] 2; 1[ ; ]0; 1[ y ]1; 2[ :
Para separar las raíces reales de un polinomio de coe…cientes
reales, es necesario decidir cuántas raíces reales diferentes tiene; o
más generalmente, cuántas raíces reales tiene en un intervalo dado
]a; b[; contando y sin contar multiplicidad.
4.2
El signo de un polinomio para grandes y
pequeños valores de la indeterminada
De…nición (4.2.1).–Sea y 2 R; con y 6= 0: De…nimos el signo de
y; denotado por sig (y); como sig (y) = 1; si y > 0; y como
sig (y) = 1; si y < 0:
Teorema (4.2.2).–Si g(x) 2 R[x] y
g(x) = c1 x + c2 x2 + : : : + cn xn ;
entonces para cada " > 0 existe
> 0 (que depende de ") tal que
jg (t)j < " si t 2 R y jtj < :
4.2. EL SIGNO DE UN POLINOMIO
165
Demostración: Dada " > 0; demostraremos que el número
=
"
c+"
1;
donde
c = máx jci j i = 1; 2; : : : ; n ;
satisface las condiciones que se piden. En efecto:
Dado t 2 R;
g(t) = c1 t + c2 t2 + : : : + cn tn :
Por lo tanto
jc1 j jtj + jc2 j jtj2 + : : : + jcn j jtjn :
jg(t)j = c1 t + c2 t2 + : : : + cn tn
Si r = jtj y c = máx jci j i = 1; 2; : : : ; n ; entonces
jg(t)j
cr + cr2 + : : : + crn ;
jg(t)j
c r + r2 + : : : + rn :
o sea,
Observemos que si r 6= 1;
1 + r + r2 + : : : + rn
1 rn
;
1 r
1
=
r
rn+1
:
1 r
y por lo tanto
r + r2 + : : : + rn =
De donde se sigue que
jg(t)j
Si 0
tanto 0
c
r
rn+1
1 r
:
r < 1; entonces rn < 1; por lo tanto rn+1
r rn+1 r: Consecuentemente
0
r
rn+1
1 r
r
1
r
:
(1)
r; y por lo
166
CAPÍTULO 4. SEPARACIÓN DE RAÍCES
Entonces por (1) se tiene que
cr
jg(t)j
En conclusión, si jtj = r <
lo tanto
cr
1
r
1
r
"
c+"
:
1; entonces rc + r" < "; y por
< "; o sea, jg(t)j < ":
q.e.d.
Corolario (4.2.3).–Sea f (x) 2 R[x]; con
f (x) = an xn + an
n 1
1x
+ : : : + a1 x + a0
y an 6= 0: Si t 2 R y jtj es su…cientemente grande
jtj > 2c + 1; donde c = máx
an i
an
i = 1; 2; : : : ; n
;
entonces
sig f (t) = sig an tn :
Demostración: Sea t 2 R; con jtj > 1; entonces
f (t) = an tn + an
1t
n 1
+ : : : + a1 t + a0 :
Por lo tanto
f (t) = an tn 1 +
Si s =
1
t
an 1 1
a1 1
a0 1
+ ::: +
+
:
n
1
an t
an t
an tn
y para cada i = 1; 2; : : : ; n; ci =
f (t) = an tn 1 + c1 s + : : : + cn
Dado " = 12 ; si jsj <
"
c+" ;
an i
an ;
n 1
1s
entonces
+ cn sn :
donde c = máx jci j i = 1; 2; : : : ; n ;
por teorema (4.2.2) tenemos que
c1 s + : : : + cn
n 1
1s
1
+ cn sn < :
2
4.2. EL SIGNO DE UN POLINOMIO
Por tanto
1
< c1 s + : : : + cn
2
167
n 1
1s
1
+ cn sn < :
2
De donde se sigue que
0<1
1
< 1 + c1 s + : : : + cn
2
n 1
1s
1
+ cn sn < 1 + :
2
En consecuencia, si jsj es su…cientemente pequeño,
jsj =
1
1
<
;
jtj
2c + 1
es decir, si jtj es su…cientemente grande, jtj > 2c + 1; entonces
sig f (t) = sig an tn :
q.e.d.
Corolario (4.2.4).–Sea f (x) 2 R[x]:
i) Si f (x) = an xn + an 1 xn 1 + : : : + a1 x + a0 con a0 6= 0; y t 2 R
con jtj su…cientemente pequeño
jtj <
1
2c+1 ; donde
c = máx
ai
a0
i = 1; 2; : : : ; n
;
entonces
sig f (t) = sig a0 :
ii) Si f (x) = am+k xm+k +am+k 1 xm+k 1 +: : :+am+1 xm+1 +am xm
con am 6= 0 y m
1; y si t 2 R con 0 < jtj su…cientemente
pequeño
0 < jtj <
1
; donde c = máx
2c + 1
am+i
am
entonces
sig f (t) = sig am tm :
i = 1; 2; : : : ; k
;
168
CAPÍTULO 4. SEPARACIÓN DE RAÍCES
Demostración: Se deja como ejercicio al lector.
Convención: Sea f (x) 2 R[x]: Las expresiones f (+1) = +1
y f (+1) = 1; signi…can que para t > 0 su…cientemente grande,
f (t) > 0 y f (t) < 0; respectivamente. Así mismo, f ( 1) = +1
y f ( 1) = 1 signi…can que para t < 0; con jtj su…cientemente
grande, f (t) > 0 y f (t) < 0; respectivamente.
Ejemplos:
1. Si f (x) = x5
10x2 + 20000; entonces
f (+1) = +1 y f ( 1) =
2. Si f (x) = 2x6
1:
80x3 + 100x2
106 ; entonces
f (+1) = +1 y f ( 1) = +1:
3. Si f (x) =
f (+1) =
4. Si f (x) =
f (+1) =
4.3
3x4 + 20x3
10x2 + 108 ; entonces
1 y f ( 1) =
1:
2x5 + 80x4 + 100; entonces
1 y f ( 1) = +1:
El teorema de cambio de signo
Teorema (4.3.1).– Sea f (x) 2 R[x] y sean a; b 2 R tales que
a < b: Si sig f (a) 6= sig f (b); entonces existe r 2 ] a; b[ tal que
f (r) = 0: Es decir, si a < b y los números f (a) y f (b) tienen signos diferentes, entonces f (x) tiene al menos una raíz entre a y b:
Demostración: Geométricamente el resultado es evidente, véanse
las …guras (13.1) y (13.2).
4.3. EL TEOREMA DE CAMBIO DE SIGNO
169
Este teorema es un caso particular de uno más general, conocido como propiedad de Darboux, sobre funciones continuas, el cual
seguramente ya conoce el lector.
Enseguida damos algunos resultados que serán útiles en la demostración:
I) Si f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + : : : + an xn es un polinomio de coe…cientes reales y c es un número real, entonces existen
A0 ; A1 ; A2 ; : : : ; An números reales tales que
f (x) = A0 + A1 (x
c) + A2 (x
c)2 + : : : + An (x
c)n :
En efecto: Aplicando sucesivamente el teorema (2.5.2) tenemos
que
qn
f (x) = (x
c)q1 (x) + f (c);
q1 (x) = (x
..
.
c)q2 (x) + q1 (c);
1 (x)
= (x
c)qn (x) + qn
qn (x) = constante:
1 (c);
170
CAPÍTULO 4. SEPARACIÓN DE RAÍCES
Por lo tanto
f (x)
=
f (c) + (x
c)q1 (x)
=
..
.
f (c) + q1 (c)(x
c) + (x
=
f (c) + q1 (c)(x
c) + q2 (c)(x
c)2 q2 (x)
c)2 + : : : + qn (c)(x
c)n ;
o sea,
f (x) = A0 + A1 (x
c)2 + : : : + An (x
c) + A2 (x
c)n
donde A0 = f (c) y Ai = qi (c) para cada i = 1; 2; : : : ; n:
II) Sea f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + : : : + an xn un polinomio de
coe…cientes reales, y sea c un número real. Entonces, para
cada " > 0 existe > 0 (que depende de " y de c) tal que
jf (s)
f (c)j < " si s 2 ]c
; c + [:
En efecto: Por el resultado anterior
f (x) = A0 + A1 (x
c) + A2 (x
c)2 + : : : + An (x
c)n ;
y evaluando f (x) en el número real c + t se tiene que
f (c + t) = f (c) + A1 t + A2 t2 + : : : + An tn ;
por lo tanto
f (c + t)
f (c) = A1 t + A2 t2 + : : : + An tn :
Por el teorema (4.2.2), si
A = máx
=
"
A+"
> 0 donde
jAi j i = 1; 2; : : : ; n ;
y si jtj < ; entonces
jf (c + t)
f (c)j = A1 t + A2 t2 + : : : + An tn < ":
Escribiendo s = c + t se tiene que t = s c; y como js cj < ;
si y sólo si, c
< s < c + ; si y sólo si, s 2 ]c
; c + [;
"
entonces para cada " > 0 existe = A+" tal que
jf (s)
f (c)j < " si s 2 ]c
; c + [:
4.3. EL TEOREMA DE CAMBIO DE SIGNO
171
III) Sea f (x) un polinomio de coe…cientes reales, y sea c un número
real.
i) Si f (c) > 0; entonces existe
cada s 2 ]c
; c + [:
ii) Si f (c) < 0; entonces existe
cada s 2 ]c
; c + [:
> 0 tal que f (s) > 0 para
> 0 tal que f (s) < 0 para
En efecto:
(i): Supongamos que para cada > 0 existe s 2 ]c
tal que f (s) 0: Tomando " = f (c) se tiene que
jf (s)
f (c)j = jf (c)
f (s)j = f (c)
f (s)
;c + [
";
lo que contradice (II).
(ii): Se procede en forma análoga a (i).
IV) De…nición.– Sea A un conjunto de números reales. Decimos
que r 2 R es una cota superior de A; si r a para todo a 2 A:
Decimos que A está acotado superiormente, si A tiene cota
superior.
Observemos que si r es cota superior de A y t > r; entonces
también t es cota superior de A:
V) De…nción.–Sea A un conjunto de números reales. Decimos que
r0 es cota superior mínima de A; y escribimos r0 = sup A; si:
i) r0 es cota superior de A:
ii) Si r es también cota superior de A; entonces r0
r:
Obsérvese que si A tiene cota superior mínima, ésta es única.
VI) Axioma: Si A es un conjunto no vacío de números reales y está
acotado superiormente, entonces A tiene cota superior mínima.
172
CAPÍTULO 4. SEPARACIÓN DE RAÍCES
Procedemos ahora a demostrar el teorema.
Como sig f (a) 6= sig f (b);
( ) Supongamos primero que f (a) < 0 y f (b) > 0:
Sea A = fs j a
s
b y f (t) < 0 si t 2 [a; s]g :
Como a 2 A; entonces A 6= : Además, puesto que f (a) < 0;
entonces por III(ii), existe > 0 tal que f (s) < 0 para todo
s 2 [a; a + [:
Por otro lado, claro que b es cota superior de A; y como f (b) > 0;
entonces por III(i), existe > 0 tal que f (t) > 0 para todo
t 2 ]b
; b]:
De estas observaciones se sigue que A tiene cota superior mínima,
digamos que ésta es c: Además a < c < b:
A…rmamos que f (c) = 0: En efecto:
Si f (c) < 0; entonces por III(ii), existe > 0 tal que f (t) < 0
para cada t 2 ]c ; c+ [: Como c = sup A; entonces existe t1 2 A tal
4.3. EL TEOREMA DE CAMBIO DE SIGNO
173
que c
< t1 c (pues en caso contrario c no sería el sup A). Esto
signi…ca, por como se de…ne A, que f (u) < 0 para cada u 2 [a; t1 ]:
Pero si t2 es tal que c < t2 < c + ; entonces f (v) < 0 para cada
v 2 [t1 ; t2 ]; y en consecuencia f (w) < 0 para cada w 2 [a; t2 ]; de
modo que t2 2 A: Esto último contradice que c = sup A. Por lo
tanto no es posible que f (c) < 0:
Si f (c) > 0; entonces por III(i), existe > 0 tal que f (t) > 0 para
cada t 2 ]c
; c + [: Nuevamente, como c = sup A; entonces existe
t1 2 A tal que c
< t1 < c (pues en caso contrario c no sería el
sup A), pero ésto signi…ca que f (t1 ) < 0; lo que contradice que
f (t1 ) > 0: Por lo tanto no es posible que f (c) > 0:
Así pues, como f (c) < 0 y f (c) > 0 no son posibles, la única
alternativa es f (c) = 0:
( ) Suponemos ahora que f (a) > 0 y f (b) < 0: En este caso, sea
g(x) = f (x): Entonces g(a) < 0 y g(b) > 0: Por lo probado en ( ) ;
existe c 2 ]a; b[ tal que g(c) = 0; y como g(x) = f (x); entonces
f (c) = 0.
q.e.d.
Corolario (4.3.2).– Si f (x) 2 R[x] tiene grado impar, entonces
f (x) tiene al menos una raíz real.
Demostración: Sea f (x) = a2k+1 x2k+1 + a2k x2k + : : : + a1 x + a0
con gr f (x) = 2k + 1:
i) Si a2k+1 > 0; entonces por el corolario (4.2.3) f ( 1) = 1
y f (+1) = +1; o sea, sig f ( 1) 6= sig f (+1), por lo tanto
existe r 2 ] 1; +1[ tal que f (r) = 0:
ii) Si a2k+1 < 0; entonces por el corolario (4.2.3) f ( 1) = +1
y f (+1) = 1; o sea, sig f ( 1) 6= sig f (+1); por lo tanto
existe r 2 ] 1; +1[ tal que f (r) = 0:
q.e.d.
174
CAPÍTULO 4. SEPARACIÓN DE RAÍCES
Corolario (4.3.3).– Sea f (x) 2 R[x] con grado par y digamos
que f (x) = a2k x2k + a2k 1 x2k 1 + : : : + a1 x + a0 : Si sig a2k 6= sig a0 ;
entonces f (x) tiene al menos dos raíces reales, una positiva y otra
negativa.
Demostración: Se deja como ejercicio al lector.
Corolario (4.3.4).– Sea f (x) 2 R[x] con f (x) 6= 0; y sean
a; b 2 R con a < b: Si f (x) no tiene raíces en [a; b]; entonces
sig f (s) = sig f (t) para cada s; t 2 [a; b]:
Demostración: Supongamos que existen s; t 2 [a; b]; con s < t;
tales que sig f (s) 6= sig f (t); entonces por el teorema (4.3.1), existe
r 2 ]s; t[
[a; b] tal que f (r) = 0; lo cual contradice que f (x) no
tiene raíces en [a; b]:
q.e.d.
Corolario (4.3.5).–Sea f (x) 2 R[x] y sean a; b 2 R con a < b:
Si f (a) 6= 0 y f (b) 6= 0; entonces:
i) f (x) no tiene raíces en ]a; b[ ó tiene, contando multiplicidad, un
número par de raíces en ]a; b[; si y sólo si, sig f (a) = sig f (b):
ii) f (x) tiene, contando multiplicidad, un número impar de raíces en
]a; b[; si y sólo si, sig f (a) 6= sig f (b):
Demostración: Si r1 ; r2 ; : : : ; rk son las diferentes raíces de f (x)
en ]a; b[; y 1 ; 2 ; : : : ; k son sus respectivas multiplicidades, entonces
f (x) tiene, contando multiplicidad, 1 + 2 + : : : + k raíces en ]a; b[
y
f (x) = (x r1 ) 1 (x r2 ) 2 : : : (x rk ) k q(x);
(1)
donde q(x) no tiene raíces en [a; b]; puesto que si tuviera alguna, ésta
también lo sería de f (x); y ya han sido elegidas todas las raíces de
4.3. EL TEOREMA DE CAMBIO DE SIGNO
175
éste en ]a; b[; además de que por hipótesis a y b no son raíces de f (x):
De (1) tenemos que
f (a) = (a
r1 ) 1 (a
r2 )
f (b) = (b
r1 ) 1 (b
r2 )
2
: : : (a
rk ) k q(a)
: : : (b
rk ) k q(b):
y
2
Particularmente
f (a) = ( 1) 1 (r1
a) 1 ( 1) 2 (r2
a)
2
: : : ( 1) k (rk
a) k q(a);
o sea,
f (a) = ( 1)
1 + 2 +:::+ k
(r1
a) 1 (r2
a)
2
: : : (rk
a) k q(a):
Por lo tanto
f (a)
= ( 1)
f (b)
1+
2 +:::+
k
r1 a
b r1
1
2
r2 a
b r2
:::
rk a
b rk
k
q(a)
:
q(b)
Como a < ri < b para cada i = 1; 2; : : : ; k; y además q(a) y
q(b) tienen el mismo signo debido a que q(x) no tiene raíces en [a; b];
1 + 2 +:::+ k ; y consecuentemente
entonces sig ff (a)
(b) = ( 1)
sig f (a) = sig f (b); si y sólo si,
1
+
2
+ ::: +
k
es par
y
sig f (a) 6= sig f (b); si y sólo si,
1
+
2
+ ::: +
k
es impar.
q.e.d.
Suponiendo que en la …gura (15.1), siguiente, se dibuja una porción de la grá…ca de un polinomio f (x); por el corolario (4.3.5), r1 es
raíz de multiplicidad par y r2 es raíz simple o de multiplicidad impar.
En la …gura (15.2) se dibuja parte de la grá…ca de un polinomio que
no tiene raices en el intervalo [a; b]:
176
4.4
CAPÍTULO 4. SEPARACIÓN DE RAÍCES
El teorema de Rolle
De…nición (4.4.1).–Sea f (x) 2 R[x] y sean a; b 2 R; con a < b;
raíces de f (x): Decimos que a y b son raíces consecutivas de f (x); si
éste no tiene raíces en ]a; b[:
Teorema (4.4.2) [Teorema de Rolle].–Si a; b 2 R; con a < b; son
raíces consecutivas de f (x) 2 R[x]; entonces f 0 (x) tiene al menos una
raíz, y en todo caso un número impar de raíces, contando multiplicidad,
en ]a; b[:
Demostración: Sean
1y
1 las respectivas multiplicidades de las raíces a y b de f (x); entonces
f (x) = (x
a) (x
b) q(x);
4.4. EL TEOREMA DE ROLLE
177
donde claro que q(x) no tiene raíces en [a; b]: Aplicando las propiedades de derivación tenemos que
f 0 (x) = (x
a)
1
b) q(x) + (x
(x
a) (x
b)
1
q(x) + (x
a) (x
b) q 0 (x);
y por lo tanto
f 0 (x) = (x
a)
1
(x
b)
1
g(x);
(1)
donde
g(x) = (x
b)q(x) + (x
a)q(x) + (x
a)(x
b)q 0 (x):
Puesto que
g(a) = (a
entonces
b)q(a) 6= 0 y g(b) = (b
g(a)
=
g(b)
a
b
a)q(b) 6= 0;
b q(a)
:
a q(b)
Como q(x) no tiene raíces en [a; b]; entonces
q(a)
q(b)
> 0; además
a b
b a
>0y
< 0; por lo tanto sig g(a) 6= sig g(b); de donde se sigue
por teorema (4.3.1), que existe r 2 ]a; b[ tal que g(r) = 0: De hecho, por corolario (4.3.5) (ii), g(x) tiene, contando multiplicidad, un
número impar de raíces en ]a; b[: Por (1), f 0 (x) y g(x) tienen, contando multiplicidad, las mismas raíces en ]a; b[; de donde se sigue el
resultado.
q.e.d.
Corolario (4.4.3).– Sea f (x) 2 R[x]: Si c; d 2 R; con c < d;
son raíces consecutivas de f 0 (x); entonces f (x) tiene a lo más una raíz
simple en ]c; d[:
Demostración: Si f (x) tiene raíz en ]c; d[; ésta es simple. En
efecto: Si r 2 ]c; d[ es raíz de multiplicidad > 1 de f (x); entonces
r es raíz de multiplicidad
1
1 de f 0 (x); contradiciendo que
0
c y d son raíces consecutivas de f (x): A lo más hay una raíz de
f (x) en ]c; d[: En efecto: Si hay más de una, sean a; b 2 ]c; d[; con
a < b; raíces consecutivas de f (x); entonces por teorema (4.4.2),
178
CAPÍTULO 4. SEPARACIÓN DE RAÍCES
existe r 2 ]a; b[ ]c; d[ tal que f 0 (r) = 0, lo cual contradice que c y
d son raíces consecutivas de f 0 (x):
q.e.d.
Análogamente a la demostración del corolario anterior, se demuestra que si s y t son, respectivamente, las raíces reales más pequeña y más grande de f 0 (x); entonces f (x) tiene a lo más una raíz
simple en cada uno de los intervalos ] 1; s[ y ]t; +1[:
Si c < d son raíces consecutivas de f 0 (x); entonces f (x) no tiene
raíz en ]c; d[; si f (c)f (d) 0; y tiene una raíz simple si f (c)f (d) < 0:
Similarmente, si s y t son, respectivamente, la más pequeña y la más
grande raíces de f 0 (x); entonces f (x) no tiene raíz en los intervalos
] 1; s[ y ]t; +1[; si tiene el mismo signo en los respectivos extremos,
o si f (s) = 0 ó f (t) = 0; según sea el intervalo; y tiene una raíz simple
si tiene signos contrarios en los extremos del intervalo que se trate.
En resumen, dado f (x) 2 R[x]; si c1 ; c2 ; : : : ; ck son las diferentes
raíces reales de f 0 (x); con c1 < c2 < : : : < ck ; entonces posiblemente
algunos ci sean raíz de f (x); de multiplicidad mayor que 1; y los
intervalos
]
1; c1 [ ; ]c1 ; c2 [ ; : : : ; ]ck
1 ; ck [ ;
]ck ; +1[
son los candidatos para aislar las otras raíces reales, simples, de f (x):
Corolario (4.4.4).–Si f (x) 2 R[x] tiene r raíces reales, contando
multiplicidad, entonces f 0 (x) tiene al menos r 1 raíces reales, contando
multiplicidad.
Demostración: Sean c1 ; c2 ; : : : ; ck ; con c1 < c2 < : : : < ck ; las
diferentes raíces reales de f (x); y sean 1 ; 2 ; : : : ; k sus respectivas
multiplicidades. Como suponemos que f (x) tiene r raíces reales,
entonces 1 + 2 + : : : + k = r: Puesto que ci es raíz de f (x) de
multiplicidad i ; entonces ci es raíz de multiplicidad i 1 de f 0 (x);
4.4. EL TEOREMA DE ROLLE
179
entendiéndose que i 1 = 0 signifca que ci no es raíz de f 0 (x):
Por el teorema (4.4.2), f 0 (x) tiene al menos una raíz en cada uno de
los k 1 intervalos ]c1 ; c2 [ ; ]c2 ; c3 [ ; : : : ; ]ck 1 ; ck [; y en consecuencia
f 0 (x) tiene al menos ( 1 1) + ( 2 1) + : : : + ( k 1) + k 1 = r 1
raíces reales.
q.e.d.
Del corolario anterior se sigue inmediatamente que si todas las
raíces de f (x) 2 R[x] son reales, entonces todas las raíces de f 0 (x)
son reales. Además, entre cada dos raíces consecutivas de f (x); f 0 (x)
sólo tiene una raíz simple.
También del corolario anterior se sigue que f 0 (x) no puede tener
más raíces imaginarias que f (x) 2 R[x]: En efecto: supongamos que
n = gr f (x): Sean 2k y r los números respectivos de raíces imaginarias
y raíces reales de f (x); y sean 2k 0 y r0 los números respectivos de
raíces imaginarias y raíces reales de f 0 (x): Entonces n = 2k + r y
n 1 = 2k 0 + r0 : Por el corolario anterior r0
r 1; por lo tanto
0
2k + r
2k + r 1 = n 1; de donde se sigue que 2k + r0 2k 0 + r0 ;
y en consecuencia 2k 2k 0 :
Ejemplos:
1. Si f (x) 2 R[x] es un polinomio de tercer grado, entonces
tiene al menos una raíz real r1 ; la que, si no es cero, se encuentra en
alguno de los internvalos ]m; 0[ ó ]0; M [; donde m y M son cotas inferior y superior, respectivamente, de las raíces reales de f (x): Si cero
es raíz de f (x); las otras dos raíces pueden encontrarse fácilmente.
Derivando a f (x); el polinomio f 0 (x) es de segundo grado y sus raíces
x1 y x2 pueden ser encontradas por la fórmula general. Si x1 y x2
son imaginarias, entonces la única raíz real de f (x) es r1 ; pues f 0 (x)
no puede tener más raíces imaginarias que f (x): Supongamos ahora
que x1 y x2 son reales y que x1 = x2 : Si x1 es raíz de f (x); entonces
x1 = r1 es raíz triple de f (x). Si x1 no es raíz de f (x); entonces f (x)
sólo tiene la raíz real r1 la que también se encuentra en alguno de los
internvalos ]m; x1 [ ó ]x1 ; M [: Finalmente suponemos que x1 y x2 son
reales y que x1 < x2 : Si x1 (ó x2 ) es raíz de f (x); entonces f (x) tiene
180
CAPÍTULO 4. SEPARACIÓN DE RAÍCES
tres raíces reales, x1 (ó x2 ) como raíz doble y la otra raíz en alguno
de los intervalos ]m; x1 [ ó ]x2 ; M [; si ninguna de x1 y x2 es raíz de
f (x), entonces puede ocurrir que f (x) tenga tres raíces reales, una
en cada uno de los intervalos ]m; x1 [ ; ]x1 ; x2 [ y ]x2 ; M [; esto en el
caso que f (m)f (x1 ) < 0; f (x1 )f (x2 ) < 0 y f (x2 )f (M ) < 0; y puede
ocurrir que f (x) sólo tenga la raíz real r1 en alguno de los intervalos
mencionados.
2. Separar las raíces reales del polinomio
f (x) = x5
80x + 35:
Solución: f 0 (x) = 5x4 80; por lo tanto f 0 (x) = 5(x4 16):
Claramente f 0 (x) tiene a 2 y 2 como raíces reales y sus otras dos
raíces son imaginarias. En consecuencia f (x) tiene al menos dos
raíces imaginarias y a lo más tres raíces reales.
Puesto que
f ( 1) f ( 2) f (2) f (+1);
+
+
entonces f (x) tiene tres raíces reales simples, separadas en los internvalos ] 1; 2[ ; ] 2; 2[ y ]2; +1[ ; o más precisamente, en los
intervalos ] 4; 2[ ; ]0; 2[ y ]2; 3[ :
3. Separar las raíces reales del polinomio
f (x) = x6
6x5 + 4:
Solución: f 0 (x) = 6x5 30x4 ; por lo tanto f 0 (x) = 6x4 (x 5):
Claramente todas las raíces de f 0 (x) son reales: 0 como raíz de multiplicidad cuatro y 5 como raíz simple.
Puesto que
f ( 1) f (0) f (5) f (+1);
+
+
+
entonces f (x) tiene dos raíces reales simples, separadas en los intervalos ]0; 5[ y ]5; +1[; o más precisamente, separadas en los intervalos
]0; 1[ y ]5; 6[ :
4.5. EL TEOREMA DE DESCARTES
181
El ejemplo (3) muestra que todas las raíces de f 0 (x) pueden ser
reales y sin embargo, no todas las raíces de f (x) son reales.
4.5
El teorema de Descartes
Sea a0 ; a1 ; a2 ; : : : ; an una sucesión …nita de números reales diferentes de cero. Entonces términos consecutivos ai y ai+1 tienen signos diferentes o iguales. En el primer caso decimos que presentan una
variación de signo, y en el segundo caso decimos que presentan una
permanencia de signo. Con V denotamos el número de variaciones
de signo en la sucesión y con P el número de permanencias.
Si en una sucesión …nita de números reales a0 ; a1 ; a2 ; : : : ; an ; hay
términos iguales a cero, contamos sus variaciones y permanencias de
signo en la sucesión que resulta de descartar a éstos.
Ejemplos:
1. En la sucesión 3; 2; 5; 7; 1; 4; 5; 8 se tiene que V = 4 y
P = 3:
2. En la sucesión
V = 5 y P = 1:
6; 7; 0; 23; 0; 0; 9; 8; 0; 5; 1 tenemos que
Observación: Si el primer y el último término de la sucesión de
números reales a0 ; a1 ; a2 ; : : : ; an ; tienen el mismo signo, claramente
V = 0 ó V es un número par; y si tienen signos diferentes, entonces
V es un número impar.
Lema (4.5.1).–Sea f (x) 2 R[x] con gr f (x) = n
f (x) = a0 xn + a1 xn
1
+ : : : + an
1x
+ an ;
1y
182
CAPÍTULO 4. SEPARACIÓN DE RAÍCES
donde a0 > 0 y an 6= 0: Si c es un número real positivo, entonces el
número V0 de variaciones de signo en la sucesión de los coe…cientes de
f (x); es menor en un número impar que el número V de variaciones de
signo en la sucesión de los coe…cientes de (x c)f (x):
Demostración: Si todos los coe…cientes a0 ; a1 ; a2 ; : : : ; an son
positivos, el resultado se satisface claramente, pues el primer y el
último término en la sucesión de los coe…cientes de (x c)f (x); tienen
signos diferentes y por lo tanto V V0 = V es impar.
Supongamos que hay coe…cientes negativos en la sucesión de coe…cientes de f (x): Contando de izquierda a derecha, sea ak1 el primer
coe…ciente negativo de f (x); sea ak2 el primer coe…ciente positivo
después de ak1 ; sea ak3 el primer coe…ciente negativo después de
ak2 ; : : : ; sea akm el último coe…ciente que tiene signo opuesto a akm 1
[particularmente akm tiene el mismo signo que an y de hecho puede
ser an ]. Entonces
f (x) = (a0 xn + : : :) + (ak1 xn
n km
+(akm 1 x
1
k1
+ : : :) + (ak2 xn
n km
+ : : :) + (akm x
k2
+ : : :) + : : : +
+ : : : + an ):
Como los coe…cientes en cada paréntesis tienen el mismo signo y
los signos de los coe…cientes en paréntesis consecutivos son diferentes,
entonces V0 = m:
Por otro lado
(x
c)f (x) = p0 xn+1 + p1 xn + p2 xn
1
+ : : : + pn x + pn+1 ;
donde
p0 = a0 ;
p1 = a1 ca0 ;
p2 = a2 ca1 ;
..
.
pk i
= aki
..
.
caki
pn = an can
pn+1 =
can :
1;
1;
4.5. EL TEOREMA DE DESCARTES
183
A…rmamos que los términos de la sucesión
p0 ; pk1 ; pk2 ; : : : ; pkm ; pn+1
son diferentes de cero y que sus signos coinciden, en el mismo orden,
con los de la sucesión
a0 ; ak1 ; ak2 ; : : : ; akm ;
an :
En efecto: como p0 = a0 y pn+1 = can ; entonces p0 y pn+1 son
diferentes de cero y tienen, respectivamente, los mismos signos que
a0 y an : Además pki = aki caki 1 ; donde aki 1 tiene el mismo
signo que aki 1 ; por tanto aki 1 tiene signo diferente a aki ; y puesto
que c > 0; entonces pki 6= 0 y tiene el mismo signo que aki ; para cada
i = 1; 2; : : : ; m:
Como V0 = m es el número de variaciones de signo en la sucesión
a0 ; ak1 ; ak2 ; : : : ; akm ; entonces m + 1 es el número de variaciones de
signo en la sucesión a0 ; ak1 ; ak2 ; : : : ; akm ; an y por lo tanto, de la
sucesión p0 ; pk1 ; pk2 ; : : : ; pkm ; pn+1 :
Estamos ahora interesados en el número de variaciones de signo
en la sucesión de coe…cientes p0 ; p1 ; p2 ; : : : ; pn+1 de (x c)f (x):
En cada una de las m + 1 sucesiones
p0 ; : : : ; p k 1 ;
pk1 ; pk1 +1 ; : : : ; pk2 ;
..
.
pkm 1 ; pkm 1 +1 ; : : : ; pkm ;
pkm ; pkm +1 ; : : : ; pn+1 ;
el primer y el último término tienen signos diferentes, por lo tanto
cada sucesión tiene un número impar de variaciones de signo. Quitando una variación de signo en cada una de ellas, tenemos m + 1
184
CAPÍTULO 4. SEPARACIÓN DE RAÍCES
variaciones que corresponden a la sucesión p0 ; pk1 ; pk2 ; : : : ; pkm ; pn+1 ;
en consecuencia, la sucesión
p0 ; p1 ; p2 ; : : : ; pn+1
tiene
V = m + 1 + 2`
variaciones de signo, donde ` 0; y por lo tanto V
un número impar, como se quería demostrar.
V0 = 2` + 1 es
q.e.d.
Lema (4.5.2).– Si un polinomio f (x) 2 R[x] no tiene raíces positivas, entonces el número de variaciones de signo en la sucesión de sus
coe…cientes es cero ó es par.
Demostración: Sin pérdida de generalidad podemos suponer
que f (x) = a0 xn + a1 xn 1 + : : : + an ; con an 6= 0 y n 1; pues si
f (x) = xk g(x); entonces f (x) y g(x) tienen las mismas raíces positivas.
Como f (x) no tiene raíces positivas, entonces f (0) y f (+1)
tienen el mismo signo, es decir, an y a0 tienen el mismo signo, de
donde se sigue que el número de variaciones de signo en la sucesión
a0 ; a1 ; a2 ; : : : ; an es cero ó es par.
q.e.d.
Teorema (4.5.3) [Teorema de Descartes].– El número de raíces
reales positivas, contando multiplicidad, de f (x) 2 R[x]; es menor o
igual que el número de variaciones de signo en la sucesión de sus coe…cientes; y si es menor, lo es por un número par.
Demostración: Sin pérdida de generalidad podemos suponer
que
f (x) = a0 xn + a1 xn
1
+ : : : + an ;
4.5. EL TEOREMA DE DESCARTES
185
con a0 > 0; an 6= 0 y n 1; puesto que si f (x) = xk g(x); entonces
f (x) y g(x) tienen las mismas raíces positivas, y también f (x) y
f (x) tienen las mismas raíces positivas.
Sean c1 ; c2 ; : : : ; cr las raíces positivas, no necesariamente diferentes, de f (x): Entonces
f (x) = (x
c1 )(x
c2 ) : : : (x
cr )q(x);
donde q(x) no tiene raíces positivas, y por lo tanto, según el lema
(4.5.2), el número de variaciones de signo en la sucesión de sus coe…cientes es cero o es par.
Sean V0 ; V1 ; V2 ; : : : ; Vr los números de variaciones de signo en la
sucesión de coe…cientes de los polinomios
q(x);
(x c1 )q(x);
(x c1 )(x c2 )q(x);
..
.
(x
c1 )(x
c2 ) : : : (x
cr )q(x) = f (x);
respectivamente. Por el lema (4.5.1)
V1 =
V2 =
..
.
V0 + 2`1 + 1;
V1 + 2`2 + 1;
Vr = V r
1
+ 2`r + 1:
De donde se sigue que
Vr = V0 + 2(`1 + `2 + : : : + `r ) + r;
y por lo tanto
Vr
r = V0 + 2`
donde V0 es cero o es par y ` = `1 + `2 + : : : + `r
0:
q.e.d.
186
CAPÍTULO 4. SEPARACIÓN DE RAÍCES
Si con V designamos el número de variaciones de signo en la
sucesión de los coe…cientes de f (x) 2 R[x]; y con r designamos su
número de raíces reales positivas, contando multiplicidad, entonces,
por el teorema de Descartes, V = 2` + r con ` 0:
Si V = 0; entonces r = 0; es decir, si el número de variaciones de
signo es cero, entonces f (x) no tiene raíces positivas.
Si V = 1; entonces ` = 0 y r = 1; es decir, si el número de
variaciones de signo es uno, entonces f (x) tiene justamente una raíz
positiva simple.
Corolario (4.5.4).– El número de raíces reales negativas, contando multiplicidad, de
f (x) = a0 xn + a1 xn
1
+ : : : + an 2 R[x];
es menor o igual que el número de variaciones de signo en la sucesión
de los coe…cientes del polinomio
g(x) = ( 1)n a0 xn + ( 1)n
1
a1 xn
1
+ : : : + an = f ( x);
y si es menor, lo es por un número par.
Demostración: Es fácil comprobar que c es raíz de g(x) de
multiplicidad ; si y sólo si, c es raíz de f (x) de multiplicidad :
Aplicando el Teorema de Descartes a g(x); se obtiene el resultado.
q.e.d.
Lema (4.5.5).–Sea f (x) = a0 xn + a1 xn 1 + : : : + an 2 R[x] con
an 6= 0 y gr f (x) = n 1: Si V y V 0 son los números de variaciones de
signo en las sucesiones de coe…cientes de f (x) y
g(x) = ( 1)n a0 xn + ( 1)n
respectivamente, entonces V + V 0
1
a1 xn
n:
1
+ : : : + an = f ( x);
4.5. EL TEOREMA DE DESCARTES
187
Demostración: Procederemos por inducción sobre n: Para
n = 1; presenta variación de signo sólo uno de los polinomios
f (x) = a0 x + a1 ó g(x) =
a0 x + a1 = f ( x):
O sea que, en este caso V + V 0 = 1: Supongamos que el resultado
se satisface para los polinomios de grado menor que n: Probaremos
que entonces se satisface para los polinomios de grado n: Si f (x) es
de grado n; entonces f (x) es de la forma
f (x) = a0 xn + an ` x` + : : : + an ;
donde an ` es el primer coe…ciente distinto de cero después de a0 ; y
por lo tanto 0 ` n 1:
Sea p(x) = an ` x` + : : : + an : Entonces f (x) = a0 xn + p(x) y
f ( x) = ( 1)n a0 xn + p( x); donde p( x) = ( 1)` an ` x` + : : : + an :
Si V1 y V2 son los números de variaciones de signo en la sucesión de coe…cientes de p(x) y p( x); respectivamente, entonces por
hipótesis de inducción V1 + V2 `:
Si ` = n 1; sólo uno de los polinomios f (x) ó f ( x) presentará
una variación de signo en los coe…cientes a0 y a1 = an ` ó en los
coe…cientes ( 1)n a0 y ( 1)n 1 a1 = ( 1)` an ` ; respectivamente. Por
lo tanto
V + V 0 = V1 + V2 + 1 ` + 1 = n:
Si ` n 2, entonces cada uno de los polinomios f (x) ó f ( x)
puede presentar variaciones de signo en los coe…cientes a0 y an ` ó
( 1)n a0 y ( 1)` an ` ; respectivamente. Por lo tanto
V +V0
V1 + V2 + 2
`+2
(n
2) + 2 = n:
q.e.d.
Corolario (4.5.6).–Sea f (x) = a0 xn + a1 xn 1 + : : : + an 2 R[x]
con an 6= 0 y gr f (x) = n 1: Sean V y V 0 los números de variaciones
de signo en las sucesiones de coe…cientes de f (x) y
g(x) = ( 1)n a0 xn + ( 1)n
1
a1 xn
1
+ : : : + an = f ( x);
188
CAPÍTULO 4. SEPARACIÓN DE RAÍCES
respectivamente. Si todas las raíces de f (x) son reales, entonces su
número de raíces positivas es V y su número de raíces negativas es V 0 ;
contando multiplicidad, en cada caso.
Demostración: Sea r el número de raíces positivas de f (x)
y sea r0 su número de raíces negativas, contando multiplicidad en
cada caso. Como todas las raíces de f (x) son reales y el término
independiente an 6= 0; entonces r + r0 = n; donde n = gr f (x): Por el
lema (4.5.5) V + V 0 n: Como por el teorema (4.5.3) y el corolario
(4.5.4), V = r + 2` y V 0 = r0 + 2`0 ; con ` 0 y `0 0; entonces
n = r + r0
V +V0
n;
por lo tanto
r + r0 = V + V 0 = r + r0 + 2(` + `0 ):
En consecuencia ` = 0 y `0 = 0; de donde se sigue que r = V y
r0 = V 0 :
q.e.d.
Ejemplos:
1. En el polinomio f (x) = x4 + 12x2 + 5x 9 se tiene que V = 1;
y como f ( x) = x4 + 12x2 5x 9; entonces V 0 = 1: En Conclusión
f (x) tiene sólo dos raíces reales, una positiva y una negativa.
2. Si f (x) = x2k 1 con k 1; entonces V = 1 y V 0 = 1; pues
f ( x) = f (x): Por lo tanto f (x) tiene sólo dos raíces reales, una
positiva y una negativa.
3. En el polinomio f (x) = x4 x2 +x 2 se tiene que V = 3: Como
f ( x) = x4 x2 x 2; entonces V 0 = 1: Así que f (x) tiene una
o tres raíces positivas y justamente una raíz negativa. Observemos
ahora que
h(x) = (x + 1)f (x) = x5 + x4
x3
x
2
4.6. EL TEOREMA DE STURM
189
tiene las mismas raíces positivas que f (x): Por lo tanto f (x) tiene
justamente una raíz positiva.
4.6
El teorema de Sturm
Dado un polinomio de coe…cientes reales, si los resultados hasta
ahora vistos en este capítulo, no son su…cientes para decidir cuál es
su número de raíces reales y por lo tanto separarlas, entonces podrá aplicársele el Teorema de Sturm, el cual, aunque tedioso, dará
su número exacto de raíces reales. Aclaremos de una vez que el
Teorema de Sturm se aplica a polinomios de coe…cientes reales que
sólo poseen raíces simples. Sin embargo, esto no es obstáculo para
que se le aplique, indirectamente, a un polinomio arbitrario de coe…cientes reales, pues por lo visto en 3.7 [Capítulo 3, Sección 7], si
d1 (x) = mcdff (x); f 0 (x)g; entonces las raíces de f1 (x) = df1(x)
(x) son
simples y son las diferentes raíces de f (x): Además, los polinomios
g1 (x); g2 (x); : : : ; g` (x); obtenidos en el capítulo y sección mencionados, contienen cada uno raíces simples, y precisamente las raíces de
g1 (x); g2 (x); : : : ; g` (x) son las raíces simples, dobles,. . . , y de multiplicidad `; respectivamente, de f (x); con lo que se reunen todas las
raíces reales de éste, contando multiplicidad.
De…nición (4.6.1).–Sea f (x) un polinomio de coe…cientes reales
que sólo posee raíces simples. Una sucesión …nita ordenada de polinomios diferentes de cero y de coe…cientes reales
f0 (x) = f (x); f1 (x); f2 (x); : : : ; fs (x)
se llama sistema de Sturm para f (x); si se cumplen las condiciones
siguientes:
1) El último polinomio fs (x); no tiene raíces reales.
2) Dos polinomios consecutivos de la sucesión, no tienen raíces comunes.
190
CAPÍTULO 4. SEPARACIÓN DE RAÍCES
3) Si c es raíz real de un polinomio intermedio fk (x); 1
entonces fk 1 (c) y fk+1 (c) tienen signos diferentes.
k
s
1;
4) Si c es raíz real del polinomio f (x); entonces el producto f (t)f1 (t)
cambia su signo de menos a más, cuando al crecer t pasa por c:
Enseguida demostraremos que siempre existe un sistema de Sturm
para un polinomio de coe…cientes reales, que sólo posee raíces simples. Con tal …n, damos primero el siguiente
Lema (4.6.2).– Sea h(x) un polinomio de coe…cientes reales, y
sea c 2 R: Si h(c) 6= 0; entonces existe > 0 tal que sig h(t) = sig h(c)
para cada t 2 ]c
; c + [:
Demostración: Es consecuencia inmediata de los resultados
III (i) y III (ii) dados en el teorema (4.3.1). Una demostración alternativa es la siguiente:
Si h(x) no tiene raíces reales, el resultado es evidente, pues si
hubiera cambio de signo entonces h(x) tendría al menos una raíz
real. Supongamos ahora que h(x) tiene raíces reales y sean éstas
c1 ; c2 ; : : : ; ck : Sea
= mínfjci
cj i = 1; 2; : : : ; kg:
Claramente > 0; pues ci 6= c para cada i = 1; 2; : : : ; k: Además,
por como se de…ne ; h(x) no tiene raíces en ]c
; c + [; de donde
se sigue, por el corolario (4.3.4), que sig h(t) = sig h(c) para cada
t 2 ]c
; c + [:
q.e.d.
Proposición (4.6.3).– Cualquier polinomio f (x) de coe…cientes
reales y que sólo tiene raíces simples, posee un sistema de Sturm.
4.6. EL TEOREMA DE STURM
191
Demostración: Construiremos una sucesión de polinomios diferentes de cero y coe…cientes reales
f0 (x) = f (x); f1 (x); f2 (x) ; : : : ; fs (x);
y luego demostraremos que esta satisface las cuatro condiciones de
un sistema de Sturm. Por hipótesis f (x) es no constante, pues debe
tener raíces.
Sabemos que f0 (x) = f (x): Sea f1 (x) = f 0 (x): Aplicando el algoritmo de división a f0 (x) y f1 (x); tenemos que
f0 (x) = f1 (x)q1 (x) + r1 (x):
Si r1 (x) 6= 0; sea f2 (x) = r1 (x): Aplicando el algoritmo de
división a f1 (x) y f2 (x); se tiene que
f1 (x) = f2 (x)q2 (x) + r2 (x):
Si r2 (x) 6= 0; sea f3 (x) =
r2 (x):
En general si ya se tienen los polinomios fk 1 (x) y fk (x); el polinomio fk+1 (x) será el residuo, si éste no es cero, de dividir fk 1 (x)
por fk (x); tomado con signo contrario (multiplicado por 1).
El método para construir la sucesión f0 (x); f1 (x); f2 (x); : : : se
diferencia del algoritmo de Euclides, aplicado a los polinomios f (x)
y f 0 (x); solamente en que cada vez se cambia el signo del residuo y
la división siguiente se efectúa por este residuo con signo cambiado.
Como en el cálculo del mcd de dos polinomios, el cambio de signo
en el residuo no afecta, entonces el proceso de construir la sucesión
terminará en un polinomio fs (x) que será el mcd de f (x) y f 0 (x):
Así pues, ya tenemos una sucesión de polinomios diferentes de
cero y de coe…cientes reales
f0 (x) = f (x); f1 (x); f2 (x) ; : : : ; fs (x);
donde
f1 (x) = f 0 (x) y fk+1 (x) =
rk (x)
192
CAPÍTULO 4. SEPARACIÓN DE RAÍCES
si por el algoritmo de división
fk
1 (x)
= fk (x)qk (x) + rk (x);
o sea,
fk
1 (x)
= fk (x)qk (x)
fk+1 (x):
(I)
Sólo falta probar que esta sucesión satisface las cuatro condiciones
de un sistema de Sturm:
1) Como f (x) sólo tiene raíces simples, entonces f (x) y f 0 (x)
no tienen raíces comunes, y por el teorema (3.7.1) fs (x); el mcd de
ambos, es una constante y en consecuencia no tiene raíces reales.
2) Si los polinomios consecutivos fk (x) y fk+1 (x); tienen una raíz
c en común, entonces por (I), c también es raíz de fk 1 (x): Como
fk
2 (x)
= fk
1 (x)qk 1 (x)
fk (x);
resulta que c también es raíz de fk 2 (x): Continuando este proceso
con
fk 3 (x); fk 4 (x); : : : ; f1 (x); f0 (x);
concluimos que c es raíz de f 0 (x) = f1 (x) y de f (x) = f0 (x); lo que
contradice que f (x) sólo tiene raíces simples.
3) Si c es raíz de fk (x); con 1
k
s 1, entonces por (2)
fk 1 (c) 6= 0 y fk+1 (c) 6= 0; y por (I) se sigue que fk 1 (c) = fk+1 (c):
Por lo tanto fk 1 (c) y fk+1 (c) tienen signos diferentes.
4) Supongamos que f (x) tiene raíces reales, y digamos que éstas
son c1 ; c2 ; : : : ; ck ; donde c1 < c2 < : : : < ck :
Puesto que f (x) sólo tiene raíces simples, dada una raíz ci de
éste, se tiene que f 0 (ci ) 6= 0; y por el lema (4.6.2), existe > 0 tal
que sig f 0 (t) = sig f 0 (ci ) para cada t 2 ]ci
; ci + [: Observemos que
según el teorema de Rolle, < mínfjci ci 1 j; jci ci+1 jg; si éste
fuera el caso.
4.6. EL TEOREMA DE STURM
193
Por otro lado
f (x) = (x
c1 )(x
c2 ) : : : (x
ci ) : : : (x
ck )q(x)
donde q(x) es diferente de cero, de coe…cientes reales y no tiene raíces
reales, por lo que sig q( ) = sig q( ) para cualesquiera ; 2 R:
Derivando a f (x) tenemos que
f 0 (x) = (x
c2 )(x
+(x
c3 ) : : : (x
c1 )(x
+ : : : + (x
ci ) : : : (x
c2 ) : : : (x
c1 )(x
ci
ck )q(x) + : : : +
1 )(x
c2 ) : : : (x
ci+1 ) : : : (x
ck )q(x)
0
ci ) : : : (x
ck )q (x);
ci+1 ) : : : (ci
ck )q(ci ):
por lo tanto
f 0 (ci ) = (ci
c1 ) : : : (ci
ci
1 )(ci
a) Supongamos que f 0 (ci ) > 0; es decir, supongamos que
(ci
c1 ) : : : (ci
ci
1 )(ci
ci+1 ) : : : (ci
ck )q(ci ) > 0: (II)
Por lo tanto para cada t 2 ]ci
; ci + [; se tiene que f 0 (t) > 0
y también tenemos, por (II) y según la regla de los signos, que
(t
c1 ) : : : (t
Si t 2 ]ci
f (t) = (t
ci
1 )(t
ci+1 ) : : : (t
ck )q(t) > 0:
(III)
; ci [; entonces por (III) tenemos que
c1 ) : : : (t
ci
1 )(t
ci )(t
pues se agregó el factor negativo (t
ci+1 ) : : : (t
ck )q(t) < 0
ci ):
Si t 2 ]ci ; ci + [; también por (III) se tiene que
f (t) = (t
c1 ) : : : (t
ci
1 )(t
ci )(t
pues se agregó el factor positivo (t
ci+1 ) : : : (t
ci ):
ck )q(t) > 0
194
CAPÍTULO 4. SEPARACIÓN DE RAÍCES
b) Supongamos ahora que f 0 (ci ) < 0; es decir, supongamos que
(ci
c1 ) : : : (ci
ci
1 )(ci
ci+1 ) : : : (ci
ck )q(ci ) < 0: (IV )
Entonces para cada t 2 ]ci
; ci + [; se tiene que f 0 (t) < 0 y
también tenemos, por (IV ) y según la regla de los signos, que
(t
Si t 2 ]ci
f (t) = (t
c1 ) : : : (t
ci
1 )(t
ci+1 ) : : : (t
ck )q(t) < 0:
(V )
; ci [; por (V ) se tiene que
c1 ) : : : (t
ci
1 )(t
ci )(t
pues se agregó el factor negativo (t
ci+1 ) : : : (t
ck )q(t) > 0
ci ):
Si t 2 ]ci ; ci + [; también por (V ) tenemos que
f (t) = (t
c1 ) : : : (t
ci
1 )(t
ci )(t
pues se agregó el factor positivo (t
ci+1 ) : : : (t
ck )q(t) < 0
ci ):
De (a) y (b) se sigue que si c es raíz real de f (x); entonces el
producto f (t)f1 (t) cambia su signo de menos a más, cuando al crecer
t pasa por c:
q.e.d.
Si f (x) es un polinomio de coe…cientes reales que sólo posee raíces
simples y
f0 (x) = f (x); f1 (x); : : : ; fs (x)
es un sistema de Sturm para f (x); entonces claramente
a0 f0 (x); a1 f1 (x); : : : ; as fs (x)
donde a0 ; a1 ; : : : ; as son números reales positivos, es también un sistema de Sturm para f (x): Por lo tanto, en el método expuesto, según
la proposición anterior, para construir un sistema de Sturm de f (x);
con el …n de facilitar la obtención de éste, se pueden multiplicar los
polinomios que intervienen como divisor y dividendo, y también los
residuos parciales, por constantes positivas. El efecto de ésto sobre el
4.6. EL TEOREMA DE STURM
195
residuo …nal es que éste también aparece multiplicado por una constante positiva [Recordemos que para hallar solamente el mcd de dos
polinomios, se puede multiplicar por cualquier constante diferente de
cero].
Si en el proceso de construir un sistema de Sturm para f (x);
según la proposición anterior, llegamos a un polinomio fm (x); el
cual se sabe de algún modo que no tiene raíces reales, entonces la
sucesión truncada
f0 (x) = f (x); f1 (x); : : : ; fm (x)
es también un sistema de Sturm para f (x); pues claramente satisface
las condiciones 1, 2, 3, y 4 de la de…nición (4.6.1).
De…nición (4.6.4).–Sea f (x) un polinomio de coe…cientes reales
que sólo posee raíces simples, y sea
f0 (x) = f (x); f1 (x); : : : ; fs (x)
(1)
un sistema de Sturm para f (x): Si el número real c no es raíz de f (x);
al número de variaciones de signo en la sucesión …nita ordenada
f0 (c); f1 (c); : : : ; fs (c)
(2)
lo denotaremos por W (c); y se le llama el número de variaciones de signo
que presenta el sistema de Sturm (1), del polinomio f (x); en x = c:
Recuérdese que si algunos términos de la sucesión (2) son iguales
a cero, sus variaciones de signo se cuentan en la sucesión que resulta
de descartar éstos.
Teorema (4.6.5) [Teorema de Sturm].– Sea f (x) un polinomio
de coe…cientes reales que sólo posee raíces simples. Si los números
reales a y b; con a < b; no son raíces de f (x); entonces respecto a un
sistema de Sturm
f0 (x) = f (x); f1 (x); : : : ; fs (x)
196
CAPÍTULO 4. SEPARACIÓN DE RAÍCES
para f (x); W (a)
W (b) y la diferencia W (a)
número de raíces reales de f (x) en ]a; b[:
W (b) es igual al
Demostración: Veamos como cambia el número W (t) al crecer
t: Mientras t no pase por alguna raíz de alguno de los polinomios del
sistema de Sturm
f0 (x) = f (x); f1 (x); : : : ; fs (x);
los signos de éstos no cambiarán, y por lo tanto no variará el número
W (t): En virtud de esto y debido a que el polinomio fs (x) no tiene
raíces reales, sólo queda examinar el paso de t por una raíz de uno
de los polinomios intermedios fk (x); 1
k
s 1; y el paso de t
por una raíz de f (x):
Si c es una raíz del polinomio fk (x); 1
k
s 1; entonces
por la condición (2), fk 1 (c) y fk+1 (c) son diferentes de cero. De
donde se sigue, por el lema (4.6.2), que existe > 0; posiblemente
muy pequeño, de tal modo que en el intervalo [c
; c + ]; los polinomios fk 1 (x) y fk+1 (x) conservan, cada uno, su signo constante,
que además son diferentes por la condición (3). Por lo anterior
tenemos que cada uno de los sistemas de números
fk
1 (c
fk
1 (c
); fk (c
); fk+1 (c
)
y
+ ); fk (c + ); fk+1 (c + )
presentan exactamente una variación de signo, independientemente
de los signos que tengan los números fk (c
) y fk (c + ):
Por lo tanto, al pasar t por una raíz de uno de los polinomios
intermedios del sistema de Sturm, la variación de signos en este sistema sólo puede trasladarse, más no puede aparecer de nuevo ni
desaparecer, por lo que durante tal paso W (t) no varía.
Supongamos ahora que c es una raíz de f (x): Entonces por la
condición (2), c no es raíz de f1 (x): Luego por el lema (4.6.2), existe
4.6. EL TEOREMA DE STURM
> 0 tal que en el intervalo ]c
constante.
197
; c + [; f1 (t) mantiene su signo
Si el signo de f1 (t) en ]c
; c + [ es positivo, por la condición
(4), f (t) cambia su signo de menos a más, cuando al crecer t por c:
Por lo tanto, a los sistemas de números
f (c
); f1 (c
) y f (c + ); f1 (c + )
les corresponden los sistemas de signos
; +
y + ; +;
o sea, en el sistema de Sturm se pierde una variación de signo.
Si el signo de f1 (t) en ]c
; c + [ es negativo, nuevamente por
la condición (4), f (t) cambia su signo de más a menos, cuando al
crecer t pasa por c: Por lo tanto, a los sistemas de números
f (c
); f1 (c
) y f (c + ); f1 (c + )
les corresponden los sistemas de signos
+ ;
y
;
;
es decir, el sistema de Sturm pierde una variación de signo.
Así pues, W (t) varía al crecer t, solamente cuando t pasa por
una raíz de f (x); disminuyendo exactamente, en este caso, en una
unidad.
q.e.d.
Para decidir cuántas raíces reales tiene un polinomio f (x) de
coe…cientes reales que sólo posee raíces simples, basta aplicarle el
teorema de Sturm en el intervalo ] 1; 1[; y aplicándoselo en los
intervalos ] 1; 0[ y ]0; 1[; si 0 no es raíz, se decide su número
de raíces negativas y positivas, respectivamente. Si estamos interesados en separar las raíces reales de f (x); entonces acotamos éstas,
obteniéndose una cota inferior m y una cota superior M: Enseguida
198
CAPÍTULO 4. SEPARACIÓN DE RAÍCES
subdividimos el intervalo ]m; M [ en nuevos intervalos, los que a su
vez pueden ser subdivididos, tomando puntos convenientes, hasta
que la diferencia de variaciones de signo del sistema de Sturm, en los
extremos de algunos intervalos, sea 1; lo cual se logra en una …nitud
de pasos. Tales subintervalos separan las raíces reales de f (x):
Ejemplo: Separar las raíces reales de
f (x) = x5 + 5x4
20x2
10x + 2:
Solución: Aplicando el proceso del resultado (4.6.3), y el hecho
de poder multiplicar los polinomios que en él intervienen por constantes positivas, obtenemos el siguientes sistema de Sturm para f (x) :
f0 (x) = x5 + 5x4
20x2
4
3
8x
3
2
1;
f1 (x) = x + 4x
f2 (x) = x + 3x
10x + 2;
2;
2
f3 (x) = 3x + 7x + 1;
f4 (x) = 17x + 11;
f5 (x) = 1:
Se aplicó el proceso indicado para obtener un sistema de Sturm de
f (x); aún sin saber que éste sólo posee raíces simples, lo que resulta
ser cierto debido a que el último residuo diferente de cero, f5 (x); es
una constante. Si esto último no ocurriera, entonces los polinomios
obtenidos no formarían un sistema de Sturm para f (x); y en tal caso
habría que aplicar 3.7 [capítulo 3, sección 7].
Acotando las raíces reales de f (x); obtenemos que
inferior y 2 es cota superior.
5 es cota
Para aplicar el teorema de Sturm, hacemos la siguiente tabla:
4.7. EJERCICIOS
c
1
0
1
–5
3
2
–1
0
1
2
199
f0 (c)
–
+
+
–
+
–
–
+
–
+
f1 (c)
+
–
+
+
–
+
+
–
–
+
f2 (c)
–
–
+
–
–
+
+
–
+
+
f3 (c)
+
+
+
+
+
–
–
+
+
+
f4 (c)
–
+
+
–
–
–
–
+
+
+
f5 (c)
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
W
5
2
0
5
4
3
3
2
1
0
Por lo tanto f (x) tiene sus cinco raíces reales, de las cuales tres
son negativas y dos son positivas. Están separadas en los intervalos
]
4.7
5; 3[; ]
3; 2[; ]
1; 0[; ]0; 1[ y ]1; 2[:
EJERCICIOS
1. Sea f (x) = an xn + : : : + a1 x + a0nun polinomio de coe…o
cientes reales, con an 6= 0. Si c = máx anan 1 ; : : : ; aan1 ; aan0 ;
pruebe que M = 2c + 1 es cota superior para las raíces positivas de f (x); y que m = 2c 1 es cota inferior para las raíces
negativas de f (x):
2. Aplicando el ejercicio (1), encuentre una cota superior para las
raíces positivas, y una cota inferior para las raíces negativas,
de los siguientes polinomios:
2.1 f (x) =
2.2 f (x) =
3x5 + 9x4
7x4
7x2
21x3 + 48x2
3x + 1:
x + 5:
200
CAPÍTULO 4. SEPARACIÓN DE RAÍCES
3. Sea f (x) = an xn + : : : + a1 x + an0 un polinomio de coe…cientes
o
reales, con a0 6= 0: Si c = máx aan0 ; : : : ; aa20 ; aa10 ; pruebe
1
que m1 = 2c+1
es cota inferior para las raíces positivas de f (x);
1
y que m2 = 2c+1
es cota superior para las raíces negativas de
f (x):
4. Aplicando el ejercicio (3), encuentre una cota inferior para las
raíces positivas, y una cota superior para las raíces negativas,
de los siguientes polinomios:
4.1 f (x) = 4x5
4.2 f (x) =
7x4
2x3 + 8x + 1:
3x4 + 6x3
5x2 + 30:
5. Sea f (x) = am+k xm+k + : : : + am+1 xm+1 + am xm un polinomio
de coe…cientes reales, con am 6= 0 y m 1: Si
am+k
am+2
am+1
;:::;
;
am
am
am
c = máx
;
1
pruebe que m1 = 2c+1
es cota inferior para las raíces positivas
1
de f (x); y que m2 = 2c+1
es cota superior para las raíces
negativas de f (x):
6. Aplicando el ejercicio (5), encuentre una cota inferior para las
raíces positivas, y una cota superior para las raíces negativas,
de los siguientes polinomios:
6.1 f (x) = 2x7
6.2 f (x) =
4x6 + 9x4 + 6x3 :
12x5
8x4 + 6x3
2x2 :
7. Calcule f (+1) y f ( 1) en los siguientes casos:
7.1 f (x) = 3x7
9x4 + 28x2 + 3x + 86:
7.2 f (x) = x6 + 18x5
7.3 f (x) =
x5
7.4 f (x) =
7x8
46x3
+
32x2
+
63x5
78x2
123:
95:
97x + 54:
8. Compruebe que los siguientes polinomios tienen raíces en los
intervalos indicados:
4.7. EJERCICIOS
201
8.1 f (x) = 8x3
4x2
18x + 9 en ]
8.2 g(x) = x3
3x2
8.3 h(x) = x4
12x2
12x
5x4 + 16x3
9x2
3; 2[; ]1; 83 [ y ] 83 ; 3[:
4x + 13 en ]
8.4 p(x) =
Aísle la cuarta raíz.
2; 1[; ]0; 1[ y ]1; 2[:
3 en ]
3; 2[ y ]3; 4[:
12x + 2 en ] 1; 0[; ]0; 12 [; ] 12 ; 1[:
9. Compruebe que los siguientes polinomios tienen al menos dos
raíces reales:
9.1 f (x) = 5x6
9.2 g(x) =
4x3 + 6x2
x4 + 6x3
7x
8:
3x2 + 2x + 23:
10. Compruebe que el polinomio de coe…cientes reales
f (x) = 7x4 + ax3 + bx2 + cx
3
tiene al menos dos raíces reales.
11. Compruebe que el polinomio de coe…cientes reales
f (x) = 2x3 + ax2 + bx + 5
tiene al menos una raíz negativa.
12. Si f (x) = an xn + : : : + a1 x + a0 es un polinomio de coe…cientes
reales tal que sig an 6= sig a0 ; pruebe que f (x) tiene un número
impar de raíces positivas.
13. Demuestre que para cada número real ; el polinomio f (x) =
(x 2)(x 5)(x 7)(x 9) + (x 4)(x 6)(x 8)(x 11)
tiene todas sus raíces reales y simples. Sepárelas [Observe que
si = 1; gr f (x) = 3]:
14. Demuestre que para cada
f (x) = x(x2
1)(x
2 R; el polinomio
2) + (2x + 1)(3x
2)(2x
tiene todas sus raíces reales y simples. Sepárelas.
3)
202
CAPÍTULO 4. SEPARACIÓN DE RAÍCES
15. Si a1 ; a2 ; : : : ; an y b1 ; b2 ; : : : ; bn 1 son números reales tales que
a1 < b1 < a2 < b2 < : : : < an 1 < bn 1 < an ; pruebe que para
cada 2 R; el polinomio
f (x) = (x
a1 ) : : : (x
an ) + (x
b1 ) : : : (x
bn
1)
tiene todas sus raíces reales y simples. Sepárelas.
16. Si a1 ; a2 ; : : : ; an y b1 ; b2 ; : : : ; bn son números reales tales que
a1 < b1 < a2 < b2 < : : : < an < bn ; pruebe que para cada
2 R; el polinomio
f (x) = (x
a1 ) : : : (x
an ) + (x
b1 ) : : : (x
bn )
tiene todas sus raíces reales y simples. Sepárelas.
17. Si a1 ; a2 ; : : : ; an son números reales tales que a1 < a2 < : : : <
an y A1 ; A2 ; : : : ; An son números reales positivos y A 2 R;
pruebe que la ecuación
A+
A1
A2
An
+
+ ::: +
=0
x a1 x a2
x an
tiene todas sus raíces reales y simples. Encuentre intervalos
que contengan exactamente una raíz.
18. Sea f (x) un polinomio de coe…cientes reales y sea r raíz real
de f (x): Describa la grá…ca de f (x) en una vecindad de r; en
los casos siguientes:
18.1 r es raíz de multiplicidad par.
18.2 r es raíz de multiplicidad impar.
19. Sea f (x) = ax2 + bx + c un polinomio de coe…cientes reales,
con a =
6 0:
19.1 Si f (t) = at2 + bt + c
que b2 4ac 0:
0 para cada número real t; pruebe
19.2 Pruebe que f (t) tiene el mismo signo para cada número
real t; si y sólo si, b2 4ac < 0:
4.7. EJERCICIOS
203
20. Sean a; b 2 R; con a < b: Si f (x) y g(x) son polinomios de
coe…cientes reales tales que f (a) < g(a) y g(b) < f (b); pruebe
que existe r entre a y b tal que f (r) = g(r):
21. Aplicando el teorema de Rolle, y sus corolarios, diga cuántas
raíces reales tiene cada uno de los siguientes polinomios y de
éstas, cuántas son positivas y cuántas son negativas. Separe
dichas raíces.
21.1 f (x) = x5
21.2 f (x) =
21.3 f (x) =
5x + 1:
x3
3x2 + 3x
4x3
+
5x2
21.4 f (x) = x3 + (6
p
2:
2x
1:
2)x2 + (10
21.5 f (x) = 4x5 + 25x4 + 40x3
21.6 f (x) =
3x4
21.7 f (x) = x6
8x3
21.9 f (x) = x5
21.11 f (x) =
40x2
p
2 2:
160x + 1:
+ 96x + 8:
6x5 + 4:
21.8 f (x) = 3x5
21.10 f (x) =
24x2
p
4 2)x + 4
25x3 + 60x
3x3 + 2x2
2x5
+
5x4
10:
5:
10x3
x4 + 4x3
20x2 + 40x + 5:
4x2 + 24x + 1:
21.12 f (x) = 5x6 + 24x5 + 30x4
20x3
75x2
60x + 3:
22. Determine los valores reales de A para los cuales el polinomio
f (x) = (x + 3)3 A(x 1) tiene sus tres raíces reales.
23. Pruebe que una condición necesaria y su…ciente, para que el
polinomio de coe…cientes reales f (x) = x3 + px + q; tenga sus
tres raíces reales y distintas, es que 4p3 + 27q 2 < 0:
24. Sea f (x) un polinomio de coe…cientes reales, con gr f (x) 1:
Si f 0 (x) no tiene raíces reales, pruebe que f (x) es de grado
impar y tiene sólo una raíz real simple.
25. Pruebe que las raíces del polinomio
f (x) =
son:
1 n
1
x + : : : + x2 + x + 1
n
2
204
CAPÍTULO 4. SEPARACIÓN DE RAÍCES
25.1 Todas imaginarias, si n es par.
25.2 Una real y las demás imaginarias, si n impar.
26. Sea f (x) un polinomio de coe…cientes reales. Si todas las raíces
de f (x) son reales y de ellas p son positivas, pruebe que entonces f 0 (x) tiene p ó p 1 raíces positivas.
27. Si f (x) es un polinomio de coe…cientes reales tal que su k–ésima
derivada f (k) (x) tiene raíces imaginarias, pruebe que entonces
f (x) tiene raíces imaginarias.
28. Aplicando el terorema de Descartes, decida cuántas raíces reales
positivas y cuántas raíces reales negativas, tienen cada uno de
los siguientes polinomios. Sepárelas.
28.1 f (x) = x3 + x
1:
28.2 f (x) = x6 + x4
x3
x
2:
38.3 f (x) =
xn
1 si n es par.
28.4 f (x) =
xn
1 si n es impar.
28.5 f (x) = xn + 1 si n es impar.
28.6 f (x) = 2x5 + 4x3
28.7 f (x) =
x4
x2
2x:
3x2 + 4x + 6:
28.8 f (x) = 3x6 + x4 + 6x2 + 1:
28.9 f (x) = x3 + 3x2 + 1:
28.10 f (x) = x3
x2 +2x+1 [Sugerencia: multiplique por x+1]
28.11 f (x) = x4
x2 + x
28.12 f (x) = 1 2x + 3x2
plique por (x + 1)2 ].
2 [Sugerencia: multiplique por x + 2]
:::
2nx2n
1
[Sugerencia: multi-
29. Sea f (x) = a0 xn + a1 xn 1 + : : : + ak xn k un polinomio de
coe…cientes reales, y sea g(x) = a0 xk + a1 xk 1 + : : : + ak : Si
Vf ; Vf0 ; Vg y Vg0 son los números de variaciones de signo en la
sucesión de coe…cientes de f (x); f ( x); g(x) y g( x); respectivamente, pruebe que Vf + Vf0 = Vg + Vg0 :
30. Sea f (x) un polinomio de coe…cientes reales. Si f (x) tiene
al menos un término con coe…ciente cero, entre dos términos
4.7. EJERCICIOS
205
cuyos coe…cientes tienen el mismo signo, ó f (x) tiene más de
un término con coe…ciente cero, entre dos términos cuyos coe…cientes tienen signos opuestos, pruebe que f (x) tiene raíces
imaginarias. [Sugerencia: use (29) y que si gr f (x) = n y V y V 0
son los números de variaciones de signo en la sucesión de coe…cientes de f (x) y f ( x); respectivamente, entonces V +V 0 n]:
31. Aplicando los ejercicios (27) ó (30), decida si los siguientes
polinomios tienen raíces imaginarias:
31.1 f (x) = x3 + x2 + x
31.2 f (x) = x4 + 2x2
31.3 f (x) =
3x5
31.4 f (x) = x4
1:
x + 1:
4x2
+ 2x
x3 + x2
5:
x + 1:
32. Aplicando el teorema de Sturm, decida cuántas raíces reales
tiene cada uno de los siguientes polinomios, y sepárelas.
32.1 f (x) = x3 + 3x2
32.2 f (x) =
3x4
32.3 f (x) = x4
1:
6x2
+ 8x
4x3 + x2 + 6x + 2:
32.4 f (x) = x6 + 2x5
32.5 f (x) = x5
3:
3x4
5x4 + 10x3
6x3 + 2x2 + 4x + 1:
5x2 + 1:
32.6 f (x) = x10 4x9 5x8 +26x7 6x6 40x5 +40x4
8x2 + 6x 1:
32.7 f (x) = x5 + 5x4
32.8 f (x) = x4
32.9 f (x) =
x6
20x2
10x + 2:
4x3 + 12x2
12x + 5:
6x5
24x3 + 22x2
+
16x4
12x3
12x + 4:
33. Los siguientes polinomios sólo tienen raíces simples. Aplicando
el teorema de Sturm separe sus raíces reales, si tienen.
33.1 f (x) = x4 + 4x3 + 3x2
2x
5:
33.2 f (x) = x4
6x
6:
33.3 f (x) =
x5
4x3 + 3x2
2x4
+
x3
8x + 6:
206
CAPÍTULO 4. SEPARACIÓN DE RAÍCES
34. Aplicando el método que considere más conveniente, en cada
caso, separe las raíces reales de los siguientes polinomios:
34.1 f (x) = x4 + 32x
34.2 f (x) =
x5
60:
5x
2:
34.3 f (x) = x4 + x3 + x
34.4 f (x) =
x3
7x + 7:
34.5 f (x) = x3 + x2
2x
34.6 f (x) =
x5
2x4
+
34.7 f (x) =
x4
4x2
+ 8x
34.8 f (x) = x4 + 12x
5:
34.9 f (x) =
34.10 f (x) =
x3
x5
1:
+
+
7x2
x4
x3
1:
8x + 6:
4:
+ 1:
+ 2x2
1:
Capítulo 5
APROXIMACIÓN DE
RAÍCES
Después de separar las raíces reales de un polinomio de coe…cientes reales f (x); lo que puede hacerse con los métodos expuestos en
el capítulo anterior, seguramente nos interesará determinar el valor
de alguna o de todas estas raíces. Supongamos que ya se estableció
que f (x) tiene sólo una raíz simple en el intervalo ]a; b[ (siempre
pueden elegirse a y b racionales), generalmente no es posible determinar el valor exacto de ; pero existen diferentes métodos por
medio de los cuales puede aproximársele tanto como se desee. En
este capítulo expondremos tres métodos para aproximarse al valor
de la raíz : El primero de ellos nos produce una sucesión de intervalos ]a1 ; b1 [; ]a2 ; b2 [; ]a3 ; b3 [; : : : cada uno de los cuales contiene a
; además de que ]a; b[ ]a1 ; b1 [ ]a2 ; b2 [ : : : ; y de tal forma que
la distancia jbn an j se hace arbitrariamente pequeña al crecer n;
por lo que si deseamos aproximarnos a la raíz con un error menor
que " > 0; bastará construir la sucesión hasta un intervalo ]ak ; bk [ tal
que jbk ak j < "; y elegir como aproximación a ; cualquiera de los
k
números ak ; bk ó ak +b
2 : Los otros dos métodos nos producen, cada
uno, una sucesión de números reales a1 ; a2 ; a3 ; : : : tales que la distancia jan
j se hace arbitrariamente pequeña al crecer n; por lo que
si deseamos aproximarnos a la raíz con un error menor que " > 0;
basta construir la sucesión hasta un número ak tal que jak
j < ";
y elegir precisamente a ak como la aproximación.
207
208
CAPÍTULO 5. APROXIMACIÓN DE RAÍCES
En las siguientes tres secciones, damos algunas de…niciones y resultados útiles para la demostración de los teoremas de aproximación,
que veremos posteriormente. Si el lector lo desea, puede darles sólo
una rápida lectura y pasar luego a las secciones que siguen.
5.1
Sucesiones monótonas y acotadas
De…nición (5.1.1).–Una sucesión ini…nita de números reales, es
una regla que asocia a cada número natural n un único número real n :
A los números reales 1 ; 2 ; 3 ; : : : se les llama términos de la sucesión;
y a n se le llama término general de la sucesión.
Notación: En lugar de decir sucesión in…nita de números reales,
diremos simplemente sucesión, o sucesión de números reales. A una
sucesión cuyos términos son 1 ; 2 ; 3 ; : : : la denotaremos por f n g:
Así, los términos de la sucesión f n g son 1 ; 2 ; 3 ; : : : Particularmente, los términos de la sucesión n+1
son 2; 32 ; 43 ; : : : .
n
De…nición (5.1.2).– Sean f
reales.
ng
y f
i) De…nimos la suma de las sucesiones f
sión f n + n g :
ng
ng
sucesiones de números
yf
ng ;
como la suce-
ii) De…nimos la diferencia de las sucesiones f
sucesión f n
ng :
ng
yf
ng ;
como la
iii) De…nimos el producto de las sucesiones f
sucesión f n n g :
ng
y f
ng ;
como la
iv) Si n 6= 0 para cada n; de…nimos
n elocociente de las sucesiones
n
f n g y f n g ; como la sucesión
:
n
5.1. SUCESIONES MONÓTONAS Y ACOTADAS
209
De…nición (5.1.3).– Decimos que un número real L es límite
de la sucesión f n g ; si para cada " > 0 existe un número natural k;
que depende de "; tal que si n es número natural y n > k; entonces
j n Lj < ":
Notación: Para decir que L es límite de la sucesión f
cribiremos lim n = L:
ng ;
es-
n!1
En lugar de decir que L es límite de la sucesión f n g; también
decimos que la sucesión f n g converge a L; o que n tiende a L: Una
sucesión se llama convergente si tiene límite, y se llama divergente si
no tiene límite.
Proposición (5.1.4).– Si una sucesión f
éste es único.
ng
tiene un límite L;
Demostración: Puede verse en [4] y [7].
Teorema (5.1.5).– Si f
entonces:
ng
yf
ng
son sucesiones convergentes,
n+
ng
es convergente y lim (
n+
n)
= lim
n+
ii) f
n
ng
es convergente y lim (
n
n)
= lim
n
iii) f
n
i) f
iv)
n
n
n
ng
o
n!1
n!1
es convergente y lim (
n!1
es convergente y lim
n!1
para cada n y lim
n!1
n
n
n
=
n
lim
n!1
n)
n
lim
n!1 n
6= 0:
Demostración: Puede verse en [4] y [7].
n!1
n!1
= lim
n!1
n
n!1
lim
n
lim
n
n!1
lim
n!1
; en el caso que
n
n:
6= 0
210
CAPÍTULO 5. APROXIMACIÓN DE RAÍCES
Dado un número real c; siempre podemos construir una sucesión
f n g tal que n = c; para cada n: Esta se dice ser la sucesión con
término constante n = c; o sucesión constante fcg: Claramente
lim c = c: Si en el teorema anterior, f n g es la sucesión con término
n!1
constante n = c; entonces tenemos que:
lim c +
n
= c + lim
lim c
n
= c
n
= c lim
n!1
n!1
lim c
n!1
lim
n!1
c
n
;
n!1 n
lim ;
n!1 n
;
n!1 n
c
lim
=
n!1 n
:
Observación (5.1.6).– Si f n g es una sucesión convergente,
entonces para cada " > 0 existe un número natural k tal que
j
n
mj
<"
si n > k y m > k: En efecto: sea " > 0 y supongamos que
L = lim n ; entonces existe un número natural k tal que
j
n!1
"
2
Lj <
n
j
n
y j
mj
=j
m
n
Lj < 2" si n > k y m > k: Por lo tanto
L+L
mj
j
n
Lj + j
m
Lj < "
si n > k y m > k:
De…nición (5.1.7).–Sea f
ng
una sucesión de números reales.
i) Decimos que f n g es no decreciente si n
n+1 para cada n:
En el caso particular de que n < n+1 para cada n; decimos que
f n g es creciente.
ii) Decimos que f n g es no creciente si n+1
n para cada n: En
el caso particular de que n+1 < n para cada n; decimos que
f n g es decreciente.
5.1. SUCESIONES MONÓTONAS Y ACOTADAS
211
Las sucesiones no decrecientes y las no crecientes, se llaman, en
general, sucesiones monótonas.
En el capítulo 4, sección 4.3, dijimos que un conjunto A de
números reales está acotado superiormente, si existe r 2 R tal que
a r para cada a 2 A; y que un número real r con esta propiedad, se
llama cota superior de A: Dijimos también que r0 es el sup A; si r0 es
cota superior de A y r0 r; para cada r que sea cota superior de A:
Además, dimos por axioma que todo conjunto no vacío de números
reales, acotado superiormente, tiene sup. Claro que el sup es único.
En seguida hablaremos de conjuntos acotados inferiormente.
De…nición (5.1.8).– Sea A un conjunto de números reales. Decimos que s 2 R es una cota inferior de A; si s a para cada a 2 A:
Se dice que A está acotado inferiormente si A tiene cota inferior.
Es claro que si s es cota inferior de A y t < s; entonces también
t es cota inferior de A:
De…nición (5.1.9).– Sea A un conjunto de números reales. Decimos que s0 es cota inferior máxima de A; y escribimos s0 = inf A;
si:
i) s0 es cota inferior de A:
ii) Si s es también cota inferior de A; entonces s
s0 :
Obsérvese que si A tiene cota inferior máxima, ésta es única.
Proposición (5.1.10).–Si A es un conjunto no vacío de números
reales y está acotado inferiormente, entonces A tiene cota inferior máxima.
212
CAPÍTULO 5. APROXIMACIÓN DE RAÍCES
Demostración: Se deja como ejercicio al lector [sugerencia: defínase B = fx j x es cota inferior de Ag: Pruebe que B es no vacío
y que está acotado superiormente. En consecuencia B tiene sup,
digamos x0 : Pruebe que x0 = inf A].
De…nición (5.1.11).– Decimos que un conjunto A de números
reales está acotado, si está acotado tanto superior como inferiormente.
De…nición (5.1.12).– Sea f n g una sucesión de números reales
y sea A = f n j n 2 Ng el conjunto de sus términos.
i) Decimos que f n g está acotada superiormente, si el conjunto A
de sus términos está acotado superiormente, es decir, si existe
M 2 R tal que n M; para cada n:
ii) Decimos que f n g está acotada inferiormente, si el conjunto A de
sus términos está acotado inferiormente, es decir, si existe m 2 R
tal que m
n ; para cada n:
iii) Decimos que f n g está acotada, si el conjunto A de sus términos está acotado, es decir, si existen m; M 2 R tales que
m
M; para cada n:
n
Teorema (5.1.13).–Si f n g es una sucesión monótona y acotada,
entonces f n g es convergente.
Demostración: Sea A = f n j n 2 Ng el conjunto de los
términos de f n g: Por hipótesis A está acotado, y como A 6= ;
entonces existen `; L 2 R tales que L = sup A y ` = inf A: Por lo tanto
`
L; para todo n 2 N:
n
Supongamos que f n g es no decreciente, es decir, n
n+1
para cada n 2 N: Probaremos que f n g converge a L: En efecto:
para cada " > 0; existe k 2 N tal que L " < k ; pues en caso contrario L no sería sup A: Como n
n+1 para cada n 2 N; entonces
L " < k
L < L + " para cada n > k; es decir,
n
5.2. EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO
213
L " < n < L + " para cada n > k: Por lo tanto " < n L < "
para todo n > k; y en consecuencia j n Lj < " para cada n > k;
es decir, f n g converge a L:
Supongamos ahora que f n g es no creciente, es decir, n+1
n
para cada n 2 N: Probaremos que en este caso f n g converge a `:
En efecto: para cada " > 0; existe k 2 N tal que k < ` + "; pues en
caso contrario ` no sería inf A: Como n+1
n para cada n 2 N,
entonces ` " < `
<
`
+
"
para
cada
n > k; es decir,
n
k
` " < n < ` + " para cada n > k: Por lo tanto, " < n ` < "
para cada n > k; y en consecuencia j n `j < " para cada n > k:
q.e.d.
Teorema (5.1.14).– Sea f (x) 2 R[x]: Si f n g es una sucesión
que converge a L; entonces la sucesión ff ( n )g converge a f (L):
Demostración: Sea " > 0: Por lo visto en (4.3.1)(II), existe
> 0; que depende de "; tal que si jt Lj < ; entonces
jf (t) f (L)j < ": Como > 0 y f n g converge a L; entonces existe
k 2 N tal que j n Lj < para cada n > k: Por lo tanto, existe
k 2 N tal que jf ( n ) f (L)j < " para cada n > k; es decir, ff ( n )g
converge a f (L):
q.e.d.
5.2
El teorema del valor medio
Lema (5.2.1).–Si a; b 2 R; con a < b; son raíces de f (x) 2 R[x];
entonces existe r 2 ]a; b[ tal que f 0 (r) = 0:
Demostración: Sea c 2 [a; b] la raíz de f (x) consecutiva de a;
entonces a < c
b; luego por teorema (4.4.2) [Teorema de Rolle],
existe r 2 ]a; c[ ]a; b[ tal que f 0 (r) = 0:
q.e.d.
214
CAPÍTULO 5. APROXIMACIÓN DE RAÍCES
Lema (5.2.2).– Sea f (x) 2 R[x] y sean a; b 2 R; con a < b: Si
f (a) = f (b); entonces existe r 2 ]a; b[ tal que f 0 (r) = 0:
Demostración: Sea g(x) = f (x) f (a): Entonces g(a) = 0 y
también g(b) = 0; pues f (b) = f (a): Por lo tanto, según el lema
(5.2.1), existe r 2 ]a; b[ tal que g 0 (r) = 0: Como g 0 (x) = f 0 (x); entonces f 0 (r) = 0:
q.e.d.
Teorema (5.2.3) [Teorema del valor medio para polinomios].–
Si f (x) 2 R[x] y a; b 2 R; con a < b; entonces existe r 2 ]a; b[ tal que
f 0 (r) =
f (b)
b
f (a)
:
a
f (b)
b
f (a)
(x
a
Demostración: Sea
h(x) = f (x)
a):
Claramente h(x) 2 R[x] y h(a) = h(b): Además
h0 (x) = f 0 (x)
f (b)
b
f (a)
:
a
Entonces por el lema (5.2.2) aplicado a h(x); existe r 2 ]a; b[ tal que
0 = h0 (r)
= f 0 (r)
f (b)
b
f (a)
;
a
es decir, existe r 2 ]a; b[ tal que
f 0 (r) =
f (b)
b
f (a)
:
a
q.e.d.
5.2. EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO
215
De…nición (5.2.4).–Sea f (x) 2 R[x] y sean a; b 2 R; con a < b:
i) Decimos que f (x) es decreciente en el intervalo [a; b]; si para todo
t1 ; t2 2 [a; b] tal que t1 < t2 ; se tiene que f (t2 ) < f (t1 ):
ii) Decimos que f (x) es creciente en el intervalo [a; b]; si para todo
t1 ; t2 2 [a; b] tal que t1 < t2 ; se tiene que f (t1 ) < f (t2 ):
Corolario(5.2.5).–Sea f (x) 2 R[x] y sean a; b 2 R; con a < b:
i) Si f 0 (t) < 0 para cada t 2 [a; b]; entonces f (x) es decreciente en
el intervalo [a; b]:
ii) Si f 0 (t) > 0 para cada t 2 [a; b]; entonces f (x) es creciente en el
intervalo [a; b]:
Demostración:
De (i): Sean t1 ; t2 2 [a; b] tales que t1 < t2 : Entonces, por el
teorema (5.2.3), existe r 2 ]t1 ; t2 [ tal que
f (t2 ) f (t1 )
:
t2 t1
Como f 0 (t) < 0 para cada t 2 [a; b]; entonces f 0 (r) < 0; es decir
f 0 (r) =
f (t2 ) f (t1 )
< 0:
t2 t1
De donde se sigue que f (t2 ) < f (t1 ); pues t2
t1 > 0:
De (2): Sean t1 ; t2 2 [a; b] tales que t1 < t2 : Entonces por el
teorema(2.5.3), existe r 2 ]t1 ; t2 [ tal que
f (t2 ) f (t1 )
:
t2 t1
Como por hipótesis f 0 (t) > 0 para cada t 2 [a; b]; entonces f 0 (r) > 0;
es decir
f (t2 ) f (t1 )
> 0:
t2 t1
De donde concluimos que f (t1 ) < f (t2 ):
q.e.d.
f 0 (r) =
216
CAPÍTULO 5. APROXIMACIÓN DE RAÍCES
5.3
Concavidad y convexidad
De…nición (5.3.1).–Sea f (x) 2 R[x]; y sean a; b 2 R con a < b:
i) Decimos que f (x) es cóncavo en el intervalo [a; b]; si para todo
; t; 2 [a; b] tales que < t < ; se tiene que
f (t)
t
f( )
>
f( )
f( )
:
ii) Decimos que f (x) es convexo en el intervalo [a; b]; si para todo
; t; 2 [a; b] tales que < t < ; se tiene que
f (t)
t
f( )
<
f( )
f( )
:
Observemos que si f (x) es cóncavo en [a; b]; geométricamente su
grá…ca corresponde al tipo de la …gura (16.1); y si f (x) es convexo en
[a; b]; el dibujo de su grá…ca corresponde al tipo de la …gura (16.2).
5.3. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD
217
Lema (5.3.2).–Sea g(x) 2 R[x]; y sean a; b 2 R con a < b:
i) Si g(a) = g(b) y g 0 (x) es decreciente en [a; b]; entonces
g(t) > g(a) = g(b) para cada t 2 ]a; b[:
ii) Si g(a) = g(b) y g 0 (x) es creciente en [a; b]; entonces
g(t) < g(a) = g(b) para cada t 2 ]a; b[:
Demostración:
De (i): Supongamos que existe t 2 ]a; b[ tal que g(t)
g(a) =
g(b). Entonces, por el teorema del valor medio, existe t1 2 ]a; t[ y
existe t2 2 ]t; b[ tales que
g 0 (t1 ) =
g(t)
t
g(a)
g(b)
y g 0 (t2 ) =
a
b
g(t)
:
t
Claramente t1 ; t2 2 [a; b] y t1 < t2 : Como hemos supuesto que
g(t) g(a) = g(b); entonces g 0 (t1 ) 0 y g 0 (t2 ) 0; y por lo tanto
g 0 (t1 ) g 0 (t2 ); lo que contradice que g 0 (x) es decreciente en [a; b]: En
consecuencia, g(t) > g(a) = g(b) para todo t 2 ]a; b[:
De (ii): Se procede en forma análoga a la demostración de (i).
q.e.d.
Teorema (5.3.3).–Sea f (x) 2 R[x]; y sean a; b 2 R con a < b:
i) Si f 0 (x) es decreciente en [a; b]; entonces f (x) es cóncavo en [a; b]
ii) Si f 0 (x) es creciente en [a; b]; entonces f (x) es convexo en [a; b]
Demostración:
De (i): Dados ;
2 [a; b] con
g(x) = f (x)
f( )
< ; sea
f( )
(x
):
218
CAPÍTULO 5. APROXIMACIÓN DE RAÍCES
Claramente g( ) = g( ) = f ( ): Además, como f 0 (x) es decreciente
en [a; b] y
f( ) f( )
g 0 (x) = f 0 (x)
;
entonces g 0 (x) es también decreciente en [a; b]; y particularmente en
[ ; ]: Aplicando el lema (5.3.2) (i) a g(x); en el intervalo [ ; ];
tenemos que g(t) > g( ) = g( ) = f ( ) si t 2 ] ; [; es decir
f (t)
f( )
f( )
(t
) > f( )
si t 2 ] ; [; y por lo tanto
f (t)
t
f( )
si ; t; 2 [a; b] son tales que
es cóncavo en [a; b]:
>
f( )
f( )
< t < ; lo que quiere decir que f (x)
De (ii): Se procede en forma análoga a la demostración de (i).
q.e.d.
5.4
El método de bisección
Sea f (x) un polinomio de coe…cientes reales y sean a y b números
reales, con a < b; tales que f (a)f (b) < 0: Por lo tanto f (x) tienen
al menos una raíz en el intervalo ]a; b[: El método de bisección para
aproximarnos a una raíz de f (x) en ]a; b[; consiste en hacer bisecciones sucesivas de intervalos, empezando con el intervalo ]a; b[; para
obtener una sucesión de intervalos ]a1 ; b1 [; ]a2 ; b2 [; ]a3 ; b3 [; : : : que
contienen en común al menos una raíz de f (x); además de que la
longitud jbn an j se hace arbitrariamente pequeña al crecer n: De
hecho, como veremos enseguida, se cumplirá que
]a1 ; b1 [
]a2 ; b2 [
]a3 ; b3 [ : : : .
5.4. EL MÉTODO DE BISECCIÓN
219
Los intervalos Ik = ]ak ; bk [; k = 1; 2; 3; : : : ; se obtienen recursivamente del modo siguiente:
Elegimos ]a1 ; b1 [ como el intervalo ]a; b[; es decir, a1 = a y b1 = b:
Para obtener el intervalo ]a2 ; b2 [; bisectamos a ]a1 ; b1 [ en los inter1
valos ]a1 ; m1 [ y ]m1 ; b1 [; donde m1 = a1 +b
2 : Si f (m1 ) = 0; nada
más hay que hacer, pues habremos encontrado una raíz de f (x) en
]a1 ; b1 [ = ]a; b[: Si f (m1 ) 6= 0; entonces el intervalo ]a2 ; b2 [ es aquel
donde a2 = a1 y b2 = m1 si f (a1 )f (m1 ) < 0; ó a2 = m1 y b2 = b1 si
f (m1 )f (b1 ) < 0: Claro que ]a1 ; b1 [ ]a2 ; b2 [; y estos intervalos contienen al menos una raíz en común de f (x): En general, si ya tenemos el intervalo ]ak ; bk [; k 1; construímos el intervalo ]ak+1 ; ak+1 [;
bisectando el intervalo ]ak ; bk [ en los intervalos ]ak ; mk [ y ]mk ; bk [;
k
donde mk = ak +b
2 : Si f (mk ) = 0; nada más hay que hacer, pues
hemos encontrado una raíz de f (x) en ]a; b[: Si f (mk ) 6= 0; entonces
el intervalo ]ak+1 ; bk+1 [ es aquel donde
ak+1 = ak
y bk+1 = mk
si f (ak )f (mk ) < 0
ak+1 = mk
y bk+1 = bk
si f (mk )f (bk ) < 0:
ó
Claro que los intervalos ]a1 ; b1 [; ]a2 ; b2 [; ]a3 ; b3 [; : : : antes construídos, cumplen que ]a1 ; b1 [ ]a2 ; b2 [ ]a3 ; b3 [ : : : y contienen en
común al menos una raíz de f (x):
220
CAPÍTULO 5. APROXIMACIÓN DE RAÍCES
Observemos ahora que:
b2
a2 =
b1 a1
2 ;
b3
a3 =
..
.
b2 a2
2 ;
ak+1 =
..
.
bk ak
2 ;
bk+1
Por lo tanto
bk+1
ak+1 =
b
a
2k
para cada k = 1; 2; 3; : : : ; pues a1 = a y b1 = b:
b a
n 1
n!1 2
Como lim
= 0; entonces para cada " > 0 existe un número
natural k tal que jbn
an j =
b a
2n 1
< "; para cada n > k:
En consecuencia, si deseamos aproximarnos a una raíz de f (x) en
el intervalo ]a; b[; con un error menor que " > 0; debemos construir la
sucesión de intervalos ]a1 ; b1 [; ]a2 ; b2 [; ]a3 ; b3 [; : : : hasta un intervalo
]an ; bn [; existe tal número n; de modo que jbn an j < "; y elegir
n
como valor aproximado a cualquiera de los números an ; bn ó an +b
2 :
Es importante hacer notar que si además de que f (a)f (b) < 0;
sabemos que f (x) tiene sólo una raíz en el intervalo ]a; b[; entonces
por el método anterior nos aproximamos justamente a :
Ejemplo: El polinomio f (x) = x3 3x + 1 tiene una raíz simple
en el intervalo ]1:5; 2[: Aproximarse a ella con un error menor que
" = 1016 :
Solución: f (1:5) =
f (1:5)f (2) < 0:
0:125 < 0 y f (2) = 3 > 0; por lo tanto
5.4. EL MÉTODO DE BISECCIÓN
221
a1 = 1:5,
b1 = 2;
m1 = 1:75,
f (m1 ) = 1:09375:
a2 = a1 ,
b2 = m1 ;
m2 = 1:625,
f (m2 ) = 0:41601563:
a3 = a2 ,
b2 = m2 ;
m3 = 1:5625,
f (m3 ) = 0:12719727:
a4 = a3 ,
b4 = m3 ;
m4 = 1:53125,
f (m4 ) = 0:0033274521:
a5 = m4 ,
b5 = b4 ;
m5 = 1:54687,
f (m5 ) = 0:060771943:
a6 = a5 ,
b6 = m5 ;
m6 = 1:5390625,
f (m6 ) = 0:028410434:
a7 = a8 ,
b7 = m6 ;
m7 = 1:5351563,
f (m7 ) = 0:012441218:
a8 = a7 ,
b8 = m7 ;
m8 = 1:5332031,
f (m8 ) = 0:0045093382:
a9 = a8 ,
b9 = m8 ;
m9 = 1:5322266,
f (m9 ) = 0:00055655837:
a10 = a9 ,
b10 = m9 ;
m10 = 1:5317383,
f (m10 ) =
1:0014165426:
a11 = m10 ,
b11 = b10 ;
m11 = 1:5319824,
f (m11 ) =
0:00043026358:
a12 = m11 ,
b12 = b11 ;
m12 = 1:5321045,
f (m12 ) = 0:000063077547:
a13 = a12 ,
b13 = m12 ;
m13 = 1:5320435,
f (m13 ) =
0:00018361211:
a14 = m13 ,
b14 = b13 ;
m14 = 1:532074,
f (m14 ) =
0:000060269609:
a15 = m14 ,
b15 = b14 ;
m15 = 1:5320892,
f (m15 ) = 1:4035031
a16 = a15 ,
b16 = m15 ;
m16 = 1:5320316,
f (m16 ) =
2:9432587
10
5
:
a17 = m16 ,
b17 = b16 ;
m17 = 1:5320854,
f (m17 ) =
1:4016405
10
5
:
a18 = m17 ,
b18 = b17 ;
m18 = 1:5320873,
f (m18 ) =
6:3069165
10
6
:
a19 = m18 ,
b19 = b18 ;
m19 = 1:5320883,
f (m19 ) =
2:4521723
10
6
:
Como jb19 a19 j < 1097 <
aproximación deseada, es decir,
1
;
106
10
6
:
entonces m = 1:5320888 es la
1:5320888:
222
5.5
CAPÍTULO 5. APROXIMACIÓN DE RAÍCES
El método de regula falsi
Sea f (x) un polinomio de coe…cientes reales, con gr f (x)
sean a y b números reales, con a < b; tales que:
2; y
1) f (a)f (b) < 0:
2) f 00 (x) no tiene raíces en [a; b]:
De las condiciones (1) y (2) se sigue que f (x) tiene justamente
una raíz simple en ]a; b[: En efecto: por (1), (4.3.1) y (4.3.5)(ii), f (x)
tiene, contando multiplicidad, un número impar de raíces en ]a; b[:
Por (2), (3.3.5) y (4.4.2), f 0 (x) tiene a lo más una raíz simple en [a; b]:
En consecuencia, f (x) no tiene en ]a; b[ raíces de multiplicidad igual
o mayor que 3. Además, si f (x) tuviera en ]a; b[ alguna raíz doble,
entonces tendría al menos otra raíz simple en tal intervalo; pero en
este caso f 0 (x) tendría al menos dos raíces en ]a; b[; contradiciendo
que f 0 (x) tiene a lo más una raíz simple en ]a; b[: Así pues, f (x)
tampoco tiene raíces dobles en ]a; b[: Finalmente, si f (x) tuviera más
de una raíz simple en ]a; b[; entonces tendría al menos tres, por lo que
entonces f 0 (x) tendría al menos dos raíces en ]a; b[; contradiciendo
que tiene a lo más una raíz simple en [a; b]: De lo anterior se concluye
que f (x) tiene justamente una raíz simple en ]a; b[:
Observemos también que de la condición (2), se deduce que f (x)
es cóncavo o convexo en [a; b]: En efecto: como f 00 (x) no tiene raíces
en [a; b]; entonces conserva su signo en todo este intervalo, es decir,
f 00 (t) < 0 para cada t 2 [a; b]; ó f 00 (t) > 0 para cada t 2 [a; b]: En
consecuencia, según el corolario (5.2.5), se tiene, respectivamente,
que f 0 (x) es decreciente en [a; b]; ó f 0 (x) es creciente en [a; b]: De
donde se sigue, debido al teorema (5.3.3), que f (x) es cóncavo o
convexo en [a; b]; respectivamente.
Como por la condición (1), f (a) y f (b) tienen signos opuestos,
y por la condición (2), f 00 (a) y f 00 (b) tienen el mismo signo, entonces ocurre una y sólo una de: [ f (a)f 00 (a) > 0 y f (b)f 00 (b) < 0 ] ó
[ f (a)f 00 (a) < 0 y f (b)f 00 (b) > 0 ]:
5.5. EL MÉTODO DE REGULA FALSI
223
Para obtener las condiciones (1) y (2), podemos suponer, debido a
la sección 3.7, que f (x) sólo tiene raíces simples. Una vez establecida
la condición (1), con el teorema de Sturm, por ejemplo, para obtener
la condición (2), debemos decidir, con el teorema de Sturm, por
ejemplo, si f 00 (x) tiene raíces en [a; b]; si no tiene, ya tenemos las
condiciones (1) y (2) sobre el intervalo [a; b]: Si f 00 (x) tiene raíces en
[a; b]; entonces calculamos d(x) = mcd ff (x); f 00 (x)g: Si d(x) no tiene
raíces en [a; b]; lo que puede averiguarse con el teorema de Sturm, por
ejemplo, entonces f (x) y f 00 (x) no tienen raíces en común en [a; b];
y sólo debemos estrechar este intervalo, aplicando algunos pasos del
método de bisección, tanto a f (x) como a f 00 (x); hasta obtener un
intervalo en que se cumplan las condiciones (1) y (2), a la vez. Si
d(x) tiene alguna raíz en [a; b]; entonces tiene justamente una y es
la que tiene f (x) en [a; b] y que también será, por lo tanto, raíz de
f 00 (x); en este caso, reemplazamos al polinomio f (x) por d(x); pues
este tiene la raíz que nos interesa de f (x) en [a; b]; además de que
gr d(x) gr f (x) 2: Una vez reemplazado f (x) por d(x); repetimos
con éste el proceso anterior, mismo que terminará, pues los grados
de los polinomios reemplazantes van decreciendo.
Si se satisfacen las condiciones (1) y (2), elegimos 1 como el
extremo del intervalo [a; b]; tal que f ( 1 )f 00 ( 1 ) > 0; y elegimos
00
1 como el extremo del intervalo [a; b]; tal que f ( 1 )f ( 1 ) < 0: El
método de regula falsi para aproximarnos a la raíz de f (x) en [a; b];
consiste en tomar como primer valor aproximado de al número 1 ;
y como segundo valor aproximado de al número
2
=
1
f(
f ( 1)
f(
1)
1)
(
1
1 );
el cual se obtiene al intersecar el eje X con la recta
y
f(
1)
=
f(
1)
f(
1
1
1)
(x
1)
denominada recta secante a la grá…ca de f (x); y que pasa por los
puntos ( 1 ; f ( 1 )) y ( 1 ; f ( 1 )) : Efectivamente, como se verá en la
demostración del teorema que sigue, 2 estará más próximo a que
1 ; y de hecho quedará entre los números 2 y 1 : Como el intervalo
no vacío, formado por los números 2 y 1 ; es un subintervalo de [a; b]
que contiene a ; entonces f (x) satisface las condiciones (1) y (2) en
224
CAPÍTULO 5. APROXIMACIÓN DE RAÍCES
este subintervalo, y además debe cumplirse que f ( 2 )f 00 ( 2 ) < 0: Por
lo que si deseamos una mejor aproximación a la raíz ; la tomamos
como
f ( 1)
(
1 );
3 = 1
f ( 2) f ( 1) 2
la cual se obtiene al intersecar el eje X con la recta
y
f(
1)
=
f(
2)
f(
2
1
1)
(x
1)
secante a la grá…ca de f (x); y que pasa por los puntos (
( 2 ; f ( 2 )) :
En general probaremos que la sucesión f
ya dijimos y
n+1
=
1
f ( 1)
f ( n) f (
1)
(
n g;
n
donde
1 ; f ( 1 ))
1
y
es como
1)
para n = 1; 2; 3; : : : ; el cual se obtiene al intersecar el eje X con la
recta
f ( n) f ( 1)
y f ( 1) =
(x
1)
n
1
secante a la grá…ca de f (x); y que pasa por los puntos ( 1 ; f ( 1 )) y
( n ; f ( n )) ; converge monótonamente a : Enseguida ilustramos lo
antes dicho con el dibujo de la grá…ca de un caso particular.
5.5. EL MÉTODO DE REGULA FALSI
225
Teorema (5.5.1) [regula falsi ].–Sea f (x) un polinomio de coe…cientes reales, con gr f (x) 2; y sean a; b números reales, con a < b;
tales que:
1) f (a)f (b) < 0:
2) f 00 (x) no tiene raíces en [a; b]:
Si 1 es el extremo del intervalo [a; b]; tal que f ( 1 )f 00 ( 1 ) < 0 [es
decir, 1 = a si f (a)f 00 (a) < 0 ó 1 = b si f (b)f 00 (b) < 0] y 1 es el
extremo del intervalo [a; b] tal que f ( 1 )f 00 ( 1 ) > 0 [es decir, 1 = a si
f (a)f 00 (a) > 0 ó 1 = b si f (b)f 00 (b) > 0], entonces la sucesión f n g;
donde 1 es como ya dijimos, y
n+1
=
1
f(
f ( 1)
f(
n)
1)
para n = 1; 2; 3; : : : ; converge a la única raíz
(
n
1)
de f (x) en [a; b]:
Demostración: De las condiciones (1) y (2) se tienen los siguientes cuatro casos:
i) f (a) < 0; f (b) > 0 y f 00 (t) < 0 para todo t 2 [a; b]: En este
caso 1 = a y 1 = b:
ii) f (a) > 0; f (b) < 0 y f 00 (t) > 0 para todo t 2 [a; b]: En este
caso 1 = a y 1 = b:
iii) f (a) < 0; f (b) > 0 y f 00 (t) > 0 para todo t 2 [a; b]: En este
caso 1 = b y 1 = a:
iv) f (a) > 0; f (b) < 0 y f 00 (t) < 0 para todo t 2 [a; b]: En este
caso 1 = b y 1 = a:
El dibujo de la grá…ca de f (x) en el intervalo [a; b]; de acuerdo con
los casos anteriores, corresponde, respectivamente, a las siguientes
…guras:
226
CAPÍTULO 5. APROXIMACIÓN DE RAÍCES
El caso (ii) se reduce al caso (i), considerando el polinomio f (x)
en lugar de f (x): Este cambio no modi…ca a la sucesión f n g; pues
f ( 1)
f ( n) f (
1)
=
f(
f(
n)
1)
( f(
1 ))
:
El caso (iii) se reduce al caso (ii), reemplazando el polinomio f (x)
5.5. EL MÉTODO DE REGULA FALSI
227
por el polinomio g(x) = f ( x); el cual satisface las condiciones (1)
y (2) en el intervalo [ b; a]: Claro que
es la única raíz de g(x)
en [ b; a]; si y sólo si, es la única raíz de f (x) en [a; b]: Además,
f n g es la sucesión que se obtiene para g(x) en [ b; a]; si y sólo
si, f n g es la sucesión que se obtiene para f (x) en [a; b]. Finalmente,
f n g converge a
; si y sólo si, f n g converge a :
El caso (iv) se reduce al caso (iii) considerando el polinomio
f (x) en lugar de f (x): Este cambio no modi…ca a la sucesión f n g;
pues como ya dijimos
f ( 1)
f ( n) f (
1)
=
f(
f(
n)
1)
( f(
1 ))
:
Como consecuencia de los comentarios anteriores, bastará demostrar el teorema para el caso (i). Con este …n, primero demostraremos
que la sucesión f n g converge, por mostrar que es monótona y acotada; luego demostraremos que converge precisamente a la raíz de
f (x):
Recordemos que las hipótesis para el caso (i) son: f (a) < 0;
f (b) > 0 y f 00 (t) > 0 para todo t 2 [a; b]: Por lo tanto, 1 = a y
1 = b:
Como f 00 (t) < 0 para todo t 2 [a; b]; entonces por el corolario
(5.2.5)(i), f 0 (x) es decreciente en [a; b]; y en consecuencia, según el
teorema (5.3.3)(i), f (x) es cóncavo en [a; b]:
A…rmamos que a = 1 < < n+1 < n
1 = b para cada
n 2 N: En efecto: procedemos por inducción sobre n:
Si n = 1; veamos que a = 1 < < 2 < 1
que a = 1 < < 1
1 = b: Sólo resta probar que
Como
f ( 1)
(
1)
n+1 = 1
f ( n) f ( 1) n
1
= b: Claro
< 2 < 1:
para cada n 2 N; entonces
2
=
1
f ( 1)
f ( 1) f (
1)
(
1
1 ):
(I)
228
CAPÍTULO 5. APROXIMACIÓN DE RAÍCES
Puesto que f (
1)
< 0 y f(
0<
f(
1)
1)
> 0; entonces
< f(
1)
f(
1 );
y por lo tanto
0<
f ( 1)
f(
1)
f(
< 1:
1)
Consecuentemente
f ( 1)
f ( 1) f (
0<
pues 0 <
1:
1
2
<
(
1)
1
<
1
1
Por lo tanto
1
es decir,
1)
1:
f(
f ( 1)
f(
1)
1)
(
1)
1
<
1;
Además, puesto que
1
2
entonces por (II),
f ( 1)
f ( 1) f (
=
1
2
> 0; es decir
(
1
1
<
1)
1 );
2:
Hasta este momento hemos probado que
a=
1
<
<
2
1
= b:
1
Puesto que f (x) es cóncavo en [a; b]; entonces
f(
2)
f(
2
1
1)
>
f(
1)
f(
1
1
1)
> 0;
y por lo tanto
f(
2)
>
f(
1)
f(
1
1
1)
(
2
1)
+ f(
1)
(
1
1 ):
pues
2
1
=
f ( 1)
f ( 1) f (
1)
=0
(II)
5.5. EL MÉTODO DE REGULA FALSI
229
Como f ( 2 ) > 0 y f ( 1 ) < 0; donde a = 1 < 2 < 1 = b;
entonces f (x) tiene al menos una raíz en [ 1 ; 2 ]: Pero la única raíz
de f (x) en [a; b] es ; por lo tanto a = 1 < < 2 < 1
1 = b;
como queríamos probar.
Supongamos ahora que a =
alguna n 2 N: Probaremos que
a=
1
<
<
1
<
<
n+2
<
n+1
<
n+1
1
n
1
= b; para
= b:
Por hipótesis de inducción es claro que
a=
<
1
<
n+1
1
= b:
Sólo resta probar que < n+2 < n+1 : Como f (x) no tiene raíces
en ] ; 1 [; entonces sig f ( n+1 ) = sig f ( 1 ); es decir, f ( n+1 ) > 0:
Por lo tanto, 0 < f ( 1 ) < f ( n+1 ) f ( 1 ); y en consecuencia
0<
f ( 1)
f ( n+1 ) f (
1)
< 1;
de donde se sigue que
0<
pues 0 <
f ( 1)
f ( n+1 ) f (
1)
(
1)
n+1
<
n+1
1
1:
n+1
Por lo tanto
es decir,
n+2
1
f ( 1)
f ( n+1 ) f (
<
n+1 :
1)
(
1)
n+1
<
n+1 ;
Puesto que
n+2
entonces por (III),
1
=
n+2
f ( 1)
f(
n+1 )
f(
1
1)
(
> 0; es decir,
n+1
1 );
<
n+2 :
1
(III)
230
CAPÍTULO 5. APROXIMACIÓN DE RAÍCES
Hasta aquí hemos probado que
a=
<
1
n+2
<
n+1
1
= b:
Debido a que f (x) es cóncavo en [a; b]; tenemos que
f(
n+2 )
f(
n+2
1
1)
>
f(
n+1 )
f(
n+1
1
1)
;
por lo tanto
f(
n+2 )
>
f(
n+1 )
f(
n+1
1
1)
(
1)
n+2
+ f(
1)
=0
pues
1
n+2
Como f (
n+2 )
f ( 1)
f ( n+1 ) f (
=
> 0 y f(
a=
<
1
1)
1)
(
1
<
n+2
<
1 ):
< 0; donde
<
n+1
1
entonces f (x) tiene al menos una raíz en [
raíz de f (x) en [a; b] es ; por lo tanto
a=
n+1
n+2
<
n+1
= b;
1;
1
n+2 ]:
Pero la única
= b;
como queríamos probar.
Hemos demostrado que f n g es una sucesión acotada y monótona decreciente. Entonces, según el teorema (5.1.13), f n g es convergente y converge a ` = inf f n j n 2 Ng: En consecuencia
a=
1
<
`
n
1
= b;
para cada n 2 N; pues es cota inferior de f n g: Como f n g converge a `; entonces según el teorema (5.1.14), la sucesión ff ( n )g
converge a f (`): A…rmamos que f (`) 6= f ( 1 ): En efecto: como
` 2 [ ; 1 ]; entonces f (`)
0; y como f ( 1 ) < 0; entonces
f (`) 6= f ( 1 ):
5.6. EL ERROR DE APROXIMACIÓN EN EL MÉTODO DE REGULA FALSI231
Puesto que
n+1
=
1
f(
f ( 1)
f(
n)
1)
(
1 );
n
aplicando el teorema (5.1.5) tenemos que
` =
=
lim
n+1
n!1
lim
n!1
=
1
f ( 1)
f ( n) f (
f ( 1)
(`
f (`) f ( 1 )
1
1)
(
n
1)
1 ):
De donde se sigue que f (`) = 0; y por lo tanto ` = ; pues
única raíz de f (x) en [a; b]:
es la
q.e.d.
5.6
El error de aproximación en el método de
regula falsi
Según el teorema (5.5.1), si f (x) es un polinomio de coe…cientes
reales, con gr f (x) 2; y a y b son números reales, con a < b; tales
que:
1) f (a)f (b) < 0:
2) f 00 (x) no tiene raíces en [a; b]:
Entonces la sucesión f n g; donde 1 es el extremo del intervalo [a; b]
tal que f ( 1 )f 00 ( 1 ) < 0 [ 1 = a si f (a)f 00 (a) < 0 ó 1 = b si
f (b)f 00 (b) < 0] y
n+1
=
1
f ( 1)
f ( n) f (
1)
(
n
1)
con 1 el extremo del intervalo [a; b] tal que f ( 1 )f 00 ( 1 ) > 0 [ 1 = a
si f (a)f 00 (a) > 0 ó 1 = b si f (b)f 00 (b) > 0], converge, creciendo o
decreciendo, a la única raíz de f (x) en [a; b]:
232
CAPÍTULO 5. APROXIMACIÓN DE RAÍCES
Además de las condiciones (1) y (2) del teorema (5.5.1), agreguemos la condición:
3) f 0 (x) no tiene raíces en [a; b]:
Una vez satisfechas sobre [a; b] las condiciones (1) y (2), por esta
última, f 0 (x) tiene a lo más una raíz simple en [a; b]: En caso de
tenerla, lo que puede decidirse con el teorema de Sturm, por ejemplo, podemos estrechar el intervalo [a; b] aplicando algunos pasos del
método de bisección a f 0 (x) y a f (x); para conseguir un intervalo en
que se cumplan las tres condiciones.
Sea [a; b] un intervalo en que se satisfacen las tres condiciones
mencionadas. Como
n+1
=
n
=
1
f ( 1)
f(
n)
f(
(
1)
1 );
n
entonces
n+1
=
f ( 1)
(
f ( n) f ( 1)
f ( n)
(
1 );
f ( n) f ( 1) n
1
n
n
1)
por lo tanto
f(
n)
=
f(
n)
f(
n
1
1)
(
n );
n+1
y por tanto
f( )
f(
n)
=
f(
n)
f(
n
1
1)
(
n ):
n+1
(IV )
Por el teorema (5.2.3), existe x1 en el intervalo abierto no vacío
formado por y n ; y existe x2 en el intervalo abierto no vacío
formado por 1 y n ; tales que
f 0 (x1 ) =
f(
n)
n
f( )
=
f( )
f(
n
n)
5.6. EL ERROR DE APROXIMACIÓN EN EL MÉTODO DE REGULA FALSI233
y
f 0 (x2 ) =
f(
n)
f(
n
1
1)
:
En consecuencia, (IV) puede escribirse como
f 0 (x1 )(
n)
= f 0 (x2 )(
n ):
n+1
Puesto que f 0 (t) 6= 0 para cada t 2 [a; b]; entonces
=
f 0 (x2 )
(
f 0 (x1 )
n+1
=
n
n );
n+1
y por lo tanto
n+1 +
n
f 0 (x2 )
(
f 0 (x1 )
n+1
n );
o sea,
n+1
=
f 0 (x2 ) f 0 (x1 )
(
f 0 (x1 )
=
jf 0 (x2 ) f 0 (x1 )j
jf 0 (x1 )j
n ):
n+1
De donde se sigue que
n+1
n+1
n
:
(V )
Como f 00 (x) no tiene raíces en [a; b]; entonces conserva su signo en
todo [a; b]; es decir, f 00 (t) > 0 ó f 00 (t) < 0 para cada t 2 [a; b]: Luego,
por el corolario (5.2.5), f 0 (t) es creciente o decreciente en el intervalo
[a; b]: Por lo tanto f 0 (a) < f 0 (t) < f 0 (b) ó f 0 (b) < f 0 (t) < f 0 (a); para
cada t 2 ]a; b[: En consecuencia, si
M = máx
f 0 (a) ; f 0 (b)
y
m = mín
f 0 (a) ; f 0 (b)
;
entonces m < jf 0 (t)j < M; para cada t 2 ]a; b[; ya que al no tener
f 0 (x) raíces en [a; b]; conserva su signo en este intervalo.
234
CAPÍTULO 5. APROXIMACIÓN DE RAÍCES
Por otro lado, como f 0 (x) conserva su signo en [a; b]; entonces
f 0 (x2 )
f 0 (x1 ) =
f 0 (x2 )
f 0 (x1 ) :
De las observaciones anteriores y de (V), se sigue que
M
n+1
m
m
n+1
n
:
(V I)
Dada > 0; por la observación (5.1.6), existe un número natural
k: Por lo tanto, si deseamos una
k tal que n+1
n < ; si n
aproximación con un error menor que " > 0; a la raíz de f (x) en
[a; b]; basta construir la sucesión f n g; hasta un término k+1 ; tal
que
m"
k+1
k <
M m
donde M = máx fjf 0 (a)j ; jf 0 (b)jg y m = mín fjf 0 (a)j ; jf 0 (b)jg ; y elegir a k+1 como la aproximación deseada, pues en este caso
k+1
< ":
Ejemplo: El polinomio f (x) = x3 3x + 1 tiene una raíz simple
en el intervalo [1:5; 2]: Aproximarse a dicha raíz con un error menor
que " = 1016 :
Solución:
f (x) = x3 3x + 1;
f 0 (x) = 3x2 3;
f 00 (x) = 6x:
1) f (1:5) =
0:125 y f (2) = 3; por lo tanto f (1:5)f (2) < 0:
2) Como f 00 (x) = 6x; claro que f 00 (x) no tiene raíces en [1:5; 2]:
3) Las raíces de f 00 (x) = 3x2
no tiene raíces en [1:5; 2]:
3 son 1 y
1; por lo tanto f 0 (x)
5.7. EL MÉTODO DE NEWTON
235
Por otro lado f 0 (1:5) = 3:75 y f 0 (2) = 9; por lo tanto m = 3:75
y M = 9:
1
Como f (1:5)f 00 (1:5) < 0 y f (2)f 00 (2) > 0; entonces
= 2:
Debemos construir la sucesión f
n+1
=
1
f(
n g;
f ( 1)
f(
n)
para n = 1; 2; 3; : : : ; hasta un término
k+1
es decir, j
k+1
kj
<
7
;
107
k
<
donde
1)
(
k+1
n
1
1
= 1:5 y
= 1:5 y
1)
tal que
m"
;
M m
pues en este caso
k+1
<
1
:
106
Haciendo los cálculos tenemos que:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
1:5;
1:52;
1:527588813;
1:530421282;
1:531471955;
1:531860794;
1:532004576;
1:532057725;
1:532077369;
1:532084630;
1:532087313;
1:532088305;
1:532088672:
7
Como j 13
12 j < 107 ; entonces
13 = 1:532088672 es la
aproximación deseada, es decir,
1:532088672:
5.7
El método de Newton
Sea f (x) un polinomio de coe…cientes reales, con gr f (x)
sean a y b números reales, con a < b; tales que:
2; y
236
CAPÍTULO 5. APROXIMACIÓN DE RAÍCES
1) f (a)f (b) < 0:
2) f 00 (x) no tiene raíces en [a; b]:
3) f 0 (x) no tiene raíces en [a; b]:
De las condiciones (1) y (2), según vimos en la sección 5.5, se
sigue que f (x) tiene justamente una raíz simple en ]a; b[: En este
caso, ésto también se sigue de las propiedades (1) y (3), lo que puede
deducirse fácilmente.
Como también vimos en la sección 5.5, de la condición (2) se
sigue que f (x) es cóncavo o convexo en [a; b]:
Por otro lado, según la condición (1), f (a) y f (b) tienen signos opuestos. Por la condición (2), f 00 (a) y f 00 (b) tienen el mismo
signo. En consecuencia, ocurre una y sólo una de f (a)f 00 (a) > 0 ó
f (b)f 00 (b) > 0:
Para obtener las condiciones (1), (2) y (3), podemos proceder
como indicamos, al principio y cuando hablamos del error, en la
sección 5.5.
Si se satisfacen las condiciones (1), (2) y (3), y elegimos 1 como
el extremo del intervalo [a; b]; tal que f ( 1 )f 00 ( 1 ) > 0; el método
de Newton para aproximarse a la raíz de f (x) en [a; b]; consiste
en elegir como primer valor aproximado de a 1 ; y como segundo
valor aproximado de ; al número
2
=
1
f ( 1)
f 0( 1)
que se obtiene al intersecar el eje X con la recta
y
f(
1)
= f 0(
1 )(x
1 );
denominada recta tangente a la grá…ca de f (x) en el punto ( 1 ; f ( 1 )).
Efectivamente, como veremos en la demostración del terorema que
sigue, 2 está más próximo a que 1 ; y de hecho quedará entre
los números 2 y 1 ; donde 1 es el extremo del intervalo [a; b] tal
que f ( 1 )f 00 ( 1 ) < 0: Como la raíz queda en el intervalo no vacío
5.7. EL MÉTODO DE NEWTON
237
formado por los números 2 y 1 ; y éste es un subintervalo de [a; b];
entonces f (x) satisface las condiciones (1), (2) y (3) en este subintervalo, y además debe cumplirse que f ( 2 )f 00 ( 2 ) > 0: Por lo tanto, si
deseamos una mejor aproximación a ; la elegimos como el número
3
=
f ( 2)
f 0( 2)
2
el cual, como antes, se obtiene al intersecar el eje X con la recta
y
f(
2)
= f 0(
2 )(x
2 );
tangente a la grá…ca de f (x) en el punto ( 2 ; f ( 2 )) : En general,
probaremos que la sucesión f n g; donde 1 es como ya dijimos, y
n+1
=
n
f(
f 0(
n)
n)
para n = 1; 2; 3; : : : ; el cual se obtiene al intersecar el eje X con la
recta
y f ( n ) = f 0 ( n )(x
n );
tangente a la grá…ca de f (x) en el punto (
tonamente a la raíz :
n ; f ( n )) ;
converge monó-
Enseguida ilustramos geométricamente lo antes dicho, con un
caso particular.
238
CAPÍTULO 5. APROXIMACIÓN DE RAÍCES
Teorema (5.7.1) [Método de Newton].– Sea f (x) un polinomio
de coe…cientes reales, con gr f (x) 2; y sean a y b números reales, con
a < b; tales que:
1) f (a)f (b) < 0:
2) f 00 (x) no tiene raíces en [a; b]:
3) f 0 (x) no tiene raíces en [a; b]:
Entonces la sucesión f n g; donde 1 es el extremo del intervalo
[a; b] tal que f ( 1 )f 00 ( 1 ) > 0 [ 1 = a si f (a)f 00 (a) > 0 ó 1 = b si
f (b)f 00 (b) > 0] y
f ( n)
n+1 = n
f 0( n)
para n = 1; 2; 3; : : : ; converge a la única raíz
[a; b]:
de f (x) en el intervalo
Demostración: De las condiciones (1) y (2) se tienen los siguientes cuatro casos:
i) f (a) < 0; f (b) > 0 y f 00 (t) < 0 para cada t 2 [a; b]: En este
caso 1 = a:
ii) f (a) > 0; f (b) < 0 y f 00 (t) > 0 para cada t 2 [a; b]: En este
caso 1 = a:
iii) f (a) < 0; f (b) > 0 y f 00 (t) > 0 para cada t 2 [a; b]: En este
caso 1 = b:
iv) f (a) > 0; f (b) < 0 y f 00 (t) < 0 para cada t 2 [a; b]: En este
caso 1 = b:
El dibujo de la grá…ca de f (x) en el intervalo [a; b]; de acuerdo con
los casos anteriores, corresponde, respectivamente, a las siguientes
…guras:
5.7. EL MÉTODO DE NEWTON
239
El caso (ii) se reduce al caso (i), considerando el polinomio f (x)
en lugar de f (x): Este cambio no modi…ca a la sucesión f n g; pues
f(
f 0(
n)
n)
=
f(
f 0(
n)
n)
:
240
CAPÍTULO 5. APROXIMACIÓN DE RAÍCES
El caso (iii) se reduce al caso (ii) reemplazando el polinomio f (x)
por el polinomio g(x) = f ( x); el cual satisface las condiciones (1),
(2) y (3) en el intervalo [ b; a]: Claro que
es la única raíz de
g(x) en [ b; a]; si y sólo si, es la única raíz de f (x) en [a; b]:
Además, f n g es la sucesión que se obtiene para g(x) en [ b; a];
si y sólo si, f n g es la sucesión que se obtiene para f (x) en [a; b]:
Finalmente, f n g converge a
; si y sólo si, f n g converge a :
El caso (iv) se reduce al caso (iii), considerando el polinomio
f (x) en lugar de f (x). Este cambio no modi…ca a la sucesión
f n g; pues como ya dijimos
f(
f 0(
n)
n)
=
f(
f 0(
n)
n)
:
Como consecuencia de los comentarios anteriores, bastará demostrar el teorema para el caso (i). Con este …n, primero demostraremos
que la sucesión f n g converge, por mostrar que es monótona y acotada; luego demostraremos que converge precisamente a la raíz de
f (x):
Recordemos que las hipótesis para el caso (i) son: f (a) < 0;
f (b) > 0 y f 00 (t) < 0 para cada t 2 [a; b]: Por lo tanto 1 = a:
Puesto que f 00 (t) < 0 para cada t 2 [a; b]; entonces por el corolario
(5.2.5)(i), f 0 (x) es decreciente en [a; b]; es decir, f 0 (t2 ) < f 0 (t1 ) si
t1 ; t2 2 [a; b] y t1 < t2 :
Observemos también que f 0 (t) > 0 para cada t 2 [a; b]: En efecto:
Por el teorema (5.2.3), existe c 2 [a; b] tal que
f 0 (c) =
f (b)
b
f (a)
:
a
Como f (a) < 0; f (b) > 0 y a < b; entonces f 0 (c) > 0; y por lo tanto
f 0 (t) > 0 para cada t 2 [a; b]; pues como f 0 (x) no tiene raíces en
[a; b]; conserva su signo en todo este intervalo.
A…rmamos que
a=
1
n
<
n+1
<
<b
5.7. EL MÉTODO DE NEWTON
241
para cada n 2 N: En efecto: procedemos por inducción sobre n:
Si n = 1; veamos que a = 1
< b: Claro que
1 <
2 <
a= 1
< b: Sólo resta probar que 1 < 2 < : Como
1 <
1 < ; por el teorema (5.2.3), existe t1 2 ] 1 ; [ tal que
f 0 (t1 ) =
f( )
f(
1)
;
1
0
es decir, f ( 1 ) = f 0 (t1 )(
1 ); pues f ( ) = 0: Puesto que f (x)
0
0
es decreciente en [a; b]; entonces f (t1 ) < f ( 1 ); y por lo tanto
0
f ( 1 ) = f 0 (t1 )(
1 ) < f ( 1 )(
1 ); o sea,
f(
1)
< f 0(
1 )(
1 ):
Como f 0 (t) > 0 para cada t 2 [a; b]; entonces f 0 (
tanto
f ( 1)
<
1;
f 0( 1)
de donde se sigue que
2
Además, como
1
=
= a y f (a) < 0; entonces
2
es decir,
1
<
2:
f ( 1)
< :
f 0( 1)
1
1
f ( 1)
> 0;
f 0( 1)
=
Por lo tanto
a=
1
1
<
2
<
< b:
Supongamos ahora que
a=
1
n
<
n+1
<
<b
para alguna n 2 N: Probaremos que entonces
a=
1
n+1
<
n+2
<
< b:
1)
> 0; y por lo
242
CAPÍTULO 5. APROXIMACIÓN DE RAÍCES
Por hipótesis de inducción, a = 1
n+1 < < b; por lo tanto,
sólo resta probar que n+1 < n+2 < : Como n+1 < ; entonces
por el teorema (5.2.3), existe t2 2 ] n+1 ; [ tal que
f 0 (t2 ) =
f( )
f(
n+1 )
;
n+1
es decir,
f(
n+1 )
= f 0 (t2 )(
n+1 )
pues f 0 ( ) = 0: Puesto que f 0 (x) es decreciente en [a; b]; entonces
f 0 (t2 ) < f 0 ( n+1 ); y por lo tanto
f(
n+1 )
= f 0 (t2 )(
n+1 )
< f 0(
n+1 )(
n+1 );
o sea,
f(
n+1 )
< f 0(
n+1 )(
n+1 ):
Como f 0 (t) > 0 para cada t 2 [a; b]; entonces
f(
f 0(
n+1 )
=
n+1
n+1 )
<
n+1 :
De donde se sigue que
n+2
f(
f(
f 0(
n+1 )
n+1 )
< :
Además, como f (x) no tiene raíces en [a; [; y f (a) < 0; entonces
n+1 ) < 0; y por lo tanto
n+2
es decir,
n+1
<
n+2 :
a=
n+1
f(
f 0(
=
n+1 )
n+1 )
> 0;
Entonces
1
como queríamos probar.
n+1
<
n+2
<
< b;
5.7. EL MÉTODO DE NEWTON
243
Hasta aquí tenemos probado que la sucesión f n g es acotada y
monótona creciente. Por lo tanto, según el teorema (5.1.13), f n g es
convergente, y converge a L = supf n j n 2 Ng: Consecuentemente
a=
n
1
L
n+1
<b
para cada n 2 N:
Como f n g converge a L; entonces, según el teorema (5.1.14), las
sucesiones ff ( n )g y ff 0 ( n )g convergen a f (L) y a f 0 (L); respectivamente. Además, f 0 (L) 6= 0; pues f 0 (x) no tiene raíces en [a; b]:
Puesto que
n+1
=
f(
f 0(
n
n)
n)
;
aplicando el teorema (5.1.5) tenemos que
L =
=
=
lim
n+1
lim
n
n!1
n!1
lim
n!1
f ( n)
f 0( n)
lim f (
n)
lim f 0 (
n)
n!1
n
n!1
= L
f (L)
:
f 0 (L)
De donde se sigue que f (L) = 0; y por lo tanto L = ; pues
única raíz de f (x) en [a; b]:
es la
q.e.d.
244
CAPÍTULO 5. APROXIMACIÓN DE RAÍCES
5.8
El error de aproximación en el método de
Newton
Según el teorema (5.7.1), si f (x) es un polinomio de coe…cientes
reales, con gr f (x) 2; y a y b son números reales, con a < b; tales
que:
1) f (a)f (b) < 0:
2) f 00 (x) no tiene raíces en [a; b]:
3) f 0 (x) no tiene raíces en [a; b]:
Entonces la sucesión f n g; donde
tal que f ( 1 )f 00 ( 1 ) > 0 y
n+1
=
1
es el extremo del intervalo [a; b]
f(
f 0(
n
n)
n)
para n = 1; 2; 3; : : : ; converge, creciendo o decreciendo, a la única
raíz de f (x) en ]a; b[:
Como
n+1
=
f(
f 0(
n
n)
n)
para cada n = 1; 2; 3; : : : ; entonces
f 0(
n )( n+1
n)
= f( )
f(
n)
(I)
pues f ( ) = 0: Por el teorema (5.2.3), existe t1 en el intervalo abierto
no vacío formado por los números y n tal que
f 0 (t1 ) =
f( )
f(
n)
:
n
Por lo tanto
f( )
f(
n)
= f 0 (t1 )(
n ):
En consecuencia, (I) puede escribirse como
f 0(
n )( n+1
n)
= f 0 (t1 )(
n ):
5.8. EL ERROR DE APROXIMACIÓN EN EL MÉTODO DE NEWTON245
Como f 0 (t) 6= 0 para cada t 2 [a; b]; entonces
n
=
f 0( n)
(
f 0 (t1 )
n ):
n+1
Por lo tanto
n
+
n+1
n+1
=
f 0( n)
(
f 0 (t1 )
n+1
n ):
De donde se sigue que
n+1
=
f 0(
n)
f 0 (t
f 0 (t1 )
(
1)
n ):
n+1
(II)
Puesto que f 00 (x) no tiene raíces en [a; b]; entonces conserva su
signo en todo este intervalo, es decir, f 00 (t) > 0 ó f 00 (t) < 0 para cada
t 2 [a; b]: Y por lo tanto, según el corolario (5.2.5), f 0 (x) es creciente
o decreciente en el intervalo [a; b]: En consecuencia
f 0 (a) < f 0 (t) < f 0 (b) ó f 0 (b) < f 0 (t) < f 0 (a);
para cada t 2 ]a; b[: Así que, si
f 0 (a) ; f 0 (b)
M = máx
y
m = mín
f 0 (a) ; f 0 (b)
;
entonces m < jf 0 (t)j < M; para cada t 2 ]a; b[; ya que al no tener
f 0 (x) raíces en [a; b]; conserva su signo en este intervalo.
Como f 0 (x) conserva su signo en el intervalo [a; b]; pues no tiene
raíces en el mismo, entonces
f 0(
n)
f 0(
f 0 (t1 ) =
n)
f 0 (t1 ) :
De las observaciones anteriores y por (II), tenemos que
j
n+1
j
M
m
m
j
n+1
nj :
(III)
246
CAPÍTULO 5. APROXIMACIÓN DE RAÍCES
Dada > 0; por la observación (5.1.6), existe un número natural
k tal que j n+1
n j < ; si n > k: Por lo tanto, si deseamos una
aproximación con un error menor que " > 0; a la raíz de f (x) en
[a; b]; basta construir la sucesión f n g hasta un término k+1 ; tal
que
m"
j k+1
;
kj <
M m
donde
M = máx
f 0 (a) ; f 0 (b)
y
m = mín
y elegir a
k+1
f 0 (a) ; f 0 (b)
;
como la aproximación deseada, pues en este caso
j
j < ":
k+1
Ejemplo: El polinomio f (x) = x3 3x + 1 tiene una raíz simple
en el intervalo [1:5; 2]: Aproximarse a con un error menor que
" = 1016 :
Solución: f (x) = x3
1) f (1:5) =
3x + 1; f 0 (x) = 3x2
3 y f 00 (x) = 6x:
0:125 y f (2) = 3; por lo tanto f (1:5)f (2) < 0:
2) Como f 00 (x) = 6x; claro que f 00 (x) no tiene raíces en [1:5; 2]:
3) Las raíces de f 0 (x) = 3x2
tiene raíces en [1:5; 2]:
3 son 1 y
1; por lo tanto f 0 (x) no
Por otro lado f 0 (1:5) = 3:75 y f 0 (2) = 9; por lo tanto m = 3:75
y M = 9:
Como f (2)f 00 (2) > 0; entonces
Debemos construir la sucesión f
n+1
=
n
1
= 2:
n g;
f(
f 0(
donde
n)
n)
1
=2y
5.9. EL ERROR DE APROXIMACIÓN AL COMBINAR LOS MÉTODOS247
para n = 1; 2; 3; : : : ; hasta en término
j
es decir, j
kj
k+1
<
kj
k+1
7
;
107
<
k+1
tal que
m"
;
M m
pues en este caso j
k+1
j<
1
:
106
Haciendo los cálculos tenemos que:
1
2
3
4
5
6
=
=
=
=
=
=
2;
1:666666667;
1:548611111;
1:532390162;
1:532088989;
1:532088886:
7
Como j 6
5 j < 107 ; entonces 6 = 1:532088886 es la aproximación deseada, es decir,
1:532088886:
5.9
El error de aproximación al combinar los
métodos de regula falsi y de Newton
De las demostraciones de los teoremas (5.5.1) y (5.7.1), se sigue
que la sucesión f n g; que se obtiene por el método de regula falsi,
converge decreciendo a la raíz ; si y sólo si, la sucesión f n g; que
se obtiene por el método de Newton, converge creciendo a la raíz
: Inversamente, la sucesión f n g converge creciendo a ; si y sólo
si, la sucesión f n g converge decreciendo a : En consecuencia, para
cualesquiera números naturales m y k; la raíz se encuentra entre
los números m y k :
Sea " > 0: Como f n g y f n g convergen a ; entonces existen
números naturales n1 y n2 tales que j m
j < 2" ; para cada m n1 ;
"
yj k
j < 2 ; para cada k n2 : Por lo tanto, existen m y k números
naturales tales que j m
k j < "; pues
j
m
kj
=j
m
+
kj
j
m
j+j
k
j<
" "
+ ="
2 2
248
si m
CAPÍTULO 5. APROXIMACIÓN DE RAÍCES
n1 y k
n2 :
De lo anterior se sigue que, si deseamos una aproximación con un
error menor que " > 0; a la raíz de f (x) en [a; b]; bastará construir
las sucesiones f n g y f n g hasta los términos m y k ; respectivamente, tales que j m
k j < "; y elegir como aproximación de ; a
k
cualquiera de los números m ; k ó m +
; pues como ya dijimos,
2
se encuentra entre los números m y k :
Ejemplo: El polinomio f (x) = x3 3x + 1 tiene una raíz simple
en el intervalo [1:5; 2]: Aproximarse a ella con un error menor que
" = 1016 :
Solución: Siendo éste el mismo ejemplo que se trabajó el método
de regula falsi y en el método de Newton, sólo hacemos notar que
las sucesiones f n g y f n g deben construirse hasta los términos
12 = 1:532088305 y 5 = 1:532088989; respectivamente, pues en
1
este caso j 12
al
5 j < 106 ; y elegimos como aproximación de
1
número 2 ( 12 + 5 ) = 1:532088647:
5.10
Comentarios
El método de Newton para aproximarse a una raíz de un polinomio, es un caso particular de los conocidos como Métodos iterativos, que se aplican en general a funciones de variable real.
Para los métodos iterativos, se plantea resolver la ecuación
x = g(x); donde g(x) es una función. En este sentido es posible
demostrar que: Si g(x) es continuamente diferenciable en un intervalo ]a; b[ y a g(x) b; para cada x 2 [a; b]; y además
= máx g 0 (x) < 1;
a x b
entonces:
1) x = g(x) tiene una única solución
en [a; b]:
5.10. COMENTARIOS
249
2) Para cualquier x1 2 [a; b]; si xn+1 = g(xn ) para n = 1; 2; 3; : : : ;
la sucesión fxn g converge a :
3) j
xn j
n
j
x1 j y lim
n!1
xn+1
xn
= g 0 ( ):
Si por otro lado se sabe que es solución de la ecuación x = g(x);
que g(x) es continuamente diferenciable en un intervalo vecindad de
y que jg 0 ( )j < 1; entonces se puede demostrar que los tres resultados
anteriores se cumplen escogiendo a x1 su…cientemente próximo a :
Para el caso del Método de Newton, g(x) = x ff0(x)
(x) : Por lo
que si f (x) es un polinomio que tiene una raíz en un intervalo
[a; b]; basta pedir que g(x) esté de…nida y que jg 0 ( )j < 1; para que,
eligiendo x1 su…cientemente próximo a ; la sucesión fxn g; donde
n)
xn+1 = g(xn ) = xn ff0(x
(xn ) para n = 1; 2; 3; : : : ; converja a :
Si
es raíz de multiplicidad p > 1 de f (x); entonces
f (x) = (x
)p h(x); y por lo tanto
g(x) = x
(x
)h(x)
;
ph(x) + (x
)h0 (x)
de donde se sigue que
g 0 (x) = 1
h(x)
ph(x) + (x
)h0 (x)
(x
)q 0 (x)
donde
q(x) =
h(x)
:
ph(x) + (x
)h0 (x)
En consecuencia, g 0 ( ) = 1 p1 < 1; pues p > 1; y por lo tanto el
método de Newton sigue siendo convergente aún cuando sea raíz
múltiple.
250
5.11
CAPÍTULO 5. APROXIMACIÓN DE RAÍCES
EJERCICIOS
1. Aplicando el método de bisección, aproxímese con un error
menor que " = 10 6 ; a cada una de las raíces, que se encuentran
en los intervalos indicados, de los siguientes polinomios:
1.1 f (x) = 8x3
1.2 f (x) =
x3
1.5 f (x) =
18x + 9; ]
12x2
12x
x5 + 2x4
x5
3x3
2; 1[; ]0; 1[ y ]1; 2[:
4; 3[; ]1; 23 [ y ] 23 ; 2[:
7x + 7; ]
1.3 f (x) = x4
1.4 f (x) =
4x2
3; ]
x3 + 8x
+ 2x2
5; ]
3; 2[ y ]3; 4[:
6; ]
2;
2; 1[; ]0; 1[ y ]2; 3[:
3
2 [;
]
3
2;
1[ y ]1; 2[
2. Aplicando el método de regula falsi, haga lo que se pide en el
ejercicio (1).
3. Aplicando el método de Newton, haga lo que se pide en el
ejercicio (1).
4. Aplicando los métodos que considere más convenientes, en cada
caso, separe las raíces reales de los siguientes polinomios, y
aproxímese a cada una de ellas con un error menor que
" = 10 6 :
4.1 f (x) = x3 + 9x
6:
4.2 f (x) = x4 + x3 + x
4.3 f (x) =
x4
1:
4x + 1:
4.4 f (x) = x4
80x + 35:
x6
+ 6x5 + 9x4
4.5 f (x) =
4.6 f (x) = 3x4
6x2 + 8x
4.7 f (x) = x5
5x4 + 10x3
2x3
6x2 + 1:
3:
5x2 + 1:
Capítulo 6
SISTEMAS DE
ECUACIONES
LINEALES
6.1
Sistemas de ecuaciones lineales
En la primera parte de este trabajo hemos estado interesados en
resolver la ecuación
an xn + an
n 1
1x
+ : : : + a1 x + a0 = 0;
en donde la única incógnita es x; teniendo grado n: Ahora estamos
interesados en resolver un sistema de m ecuaciones lineales con n
incógnitas, es decir, un sistema de m ecuaciones, cada ecuación con
n incógnitas y cada incógnita de grado 1:
De…nición (6.1.1).– Una ecuación lineal con n incógnitas y de
coe…cientes complejos, es una expresión de la forma
a1 x1 + a2 x2 + : : : + an xn = b;
(I)
donde los números complejos a1 ; a2 ; : : : ; an ; y b son los coe…cientes de
la ecuación, y x1 ; x2 ; : : : ; xn son las n incógnitas.
251
252
CAPÍTULO 6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Observemos que, particularmente, los coe…cientes de la ecuación
pueden ser números reales, en cuyo caso la ecuación lineal se dice ser
de coe…cientes reales.
De…nición (6.1.2).– Decimos que la n–ada S = (c1 ; c2 ; : : : ; cn );
con ci número complejo para cada i = 1; 2; : : : ; n; es solución de la
ecuación (I); si al sustituir x1 ; x2 ; : : : ; xn por c1 ; c2 ; : : : ; cn ; respectivamente, la ecuación se reduce a la identidad numérica
a1 c1 + a2 c2 + : : : + an cn = b:
De…nición (6.1.3).–Un sistema de m ecuaciones lineales, con n
incógnitas y de coe…cientes complejos, es una expresión de la forma:
9
a11 x1 + a12 x2 + : : : + a1n xn = b1 >
>
>
a21 x2 + a22 x2 + : : : + a2n xn = b2 =
(II)
..
..
..
..
.
.
.
. >
>
>
;
am1 x1 + am2 x2 + : : : + amn xn = bm
donde las constantes aij y bi ; con i = 1; 2; : : : ; m y j = 1; 2; : : : ; n;
llamadas coe…cientes del sistema, son números complejos; x1 ; x2 ; : : : ; xn
son las n incógnitas; y m puede ser mayor, menor o igual que n:
Hemos de…nido un sistema de m ecuaciones lineales, en general,
con coe…cientes complejos; particularmente los coe…cientes pueden
ser reales, tomando en cuenta que si la parte imaginaria de un número
complejo es cero, éste es un número real.
De…nición (6.1.4).–Decimos que el sistema de ecuaciones lineales
(II) es homogéneo, si bi = 0 para cada i = 1; 2; : : : ; m; y si bi 6= 0 para
alguna i = 1; 2; : : : ; m; entonces decimos que es no homogéneo.
De…nición (6.1.5).– Decimos que la n–ada S = (c1 ; c2 ; : : : ; cn );
con ci número complejo para cada i = 1; 2; : : : ; n; es solución del sistema de ecuaciones lineales (II), si dicha n–ada es solución de cada
ecuación del sistema.
6.2. MATRIZ DE COEFICIENTES
253
Observemos que la n–ada S = (c1 ; c2 ; : : : ; cn ) es una solución del
sistema, y no n soluciones.
Para cualquier sistema de ecuaciones lineales, hay tres posibilidades de solución:
a) Tiene una solución única.
b) Tiene más de una solución.
c) No tiene solución alguna.
Si un sistema de ecuaciones lineales tiene al menos una solución,
se dice ser consistente; y si no tiene solución, se dice ser inconsistente.
Si el sistema tiene justamente una solución se dice ser determinado;
y si tiene más de una solución, se dice ser indeterminado.
Resolver un sistema de ecuaciones lineales, signi…ca encontrar sus
soluciones o decidir que no tiene solución.
Un sistema homogéneo siempre tiene la solución trivial
S = (x1 = 0; x2 = 0; : : : ; xn = 0);
pero puede tener otras soluciones.
6.2
Matriz de coe…cientes
De…nición (6.2.1).– Sean cij 2 C; con i = 1; 2; : : : ; m y
j = 1; 2; : : : ; n: Al arreglo rectangular
2
3
c11 c12 : : : c1n
6 c21 c22 : : : c2n 7
6
7
6 ..
..
.. 7
4 .
.
. 5
cm1 cm2 : : : cmn
254
CAPÍTULO 6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
se le denomina matriz de m renglones o …las, y n columnas. Los
números cij se llaman elementos o entradas de la matriz.
Notación: A las matrices se les denota, generalmente, con letras
mayúsculas A; B; C; : : : Para decir que A es una matriz de m renglones y n columnas, se escribe Am n : Escribimos [cij ]m n para representar una matriz de m renglones y n columnas con entradas cij :
Ejemplo:
2
3
A=4 1
8
5 2
0 3
6 5
3
0
1 5
4
es una matriz de tres renglones y cuatro columnas.
De…nición (6.2.2).–Sea
a11 x1
a21 x1
..
.
+
+
a12 x2
a22 x2
..
.
+ ::: +
+ ::: +
a1n xn
a2n xn
..
.
=
=
b1
b2
..
.
am1 x1 + am2 x2 + : : : + amn xn = bm
un sistema de ecuaciones lineales, con coe…cientes en C: A las matrices:
2
3
2
3
a11 a12 : : : a1n
a11 a12 : : : a1n b1
6 a21 a22 : : : a2n 7
6 a21 a22 : : : a2n b2 7
6
7
6
7
A=6 .
yB=6 .
7
.
.
..
..
.. 7
.
.
.
.
4 .
4 .
.
. 5
.
.
. 5
am1 am2 : : : amn
am1 am2 : : : amn bm
se les llama matriz principal y matriz ampliada, respectivamente, del
sistema de ecuaciones dado.
Ejemplo: Sea el sistema de ecuaciones
3x1 + 2x2
7x3 =
x1 + 3x2
=
7x1
+ 2x3 =
0
1
2
6.3. SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS255
Entonces
2
A=4
3
2
7
0 5 yB=4
2
3 2
1 3
7 0
3 2
1 3
7 0
7
0
2
3
0
1 5
2
son las matrices principal y ampliada, respectivamente, de dicho sistema.
6.3
Solución de sistemas de ecuaciones lineales.
Método de reducción de Gauss
Por medio del método de reducción de Gauss, dado cualquier sistema de ecuaciones lineales, siempre garantizamos encontrar, si hay,
sus soluciones, o decidir que no tiene solución, es decir, garantizamos
resolverlo.
De…nición (6.3.1).– Dos sistemas de m ecuaciones lineales, con
n incógnitas y de coe…cientes en C; se dicen ser equivalentes, si poseen
el mismo conjunto de soluciones.
Observación: Claro que si un sistema A es equivalente a un
sistema B; y éste es equivalente a un sistema C; entonces los sistemas
A y C son equivalentes.
Ejemplo: El sistema
9x1 + 3x2 =
3x1 + 6x2 =
2
12
es equivalente al sistema
3x1 + x2 =
x1
2x2 =
!‘Compruébese!
2
3
4
256
CAPÍTULO 6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
El método de reducción de Gauss para resolver un sistema de
ecuaciones lineales, consiste en hacer reemplazamientos sucesivos del
sistema, por otro equivalente, hasta obtener uno que esté en forma
esencialmente resuelto, y que desde luego será equivalente al sistema
original. Las operaciones permitidas sobre las ecuaciones de un sistema, para obtener otro sistema equivalente, se llaman operaciones
elementales [sobre renglón] y son las siguientes:
i) Intercambiar cualesquiera dos ecuaciones del sistema.
ii) Reemplazar una ecuación del sistema por un r–múltiplo de ella
misma [r 2 C; r 6= 0]:
iii) Reemplazar una ecuación del sistema, por la ecuación que resulta de sumarle a sus correspondientes miembros, un
r–múltiplo de otra ecuación [r 2 C; r 6= 0]:
Proposición (6.3.2).–Después de efectuar cualesquiera de las operaciones (i), (ii) y (iii), mencionadas anteriormente, sobre un sistema
de ecuaciones lineales, el sistema que resulta le es equivalente, es decir,
tienen el mismo conjunto de soluciones.
Demostración: Sea
a11 x1
..
.
+
a12 x2
..
.
+ ::: +
a1n xn
..
.
=
b1
..
.
ak1 x1
..
.
+
ak2 x2
..
.
+ ::: +
akn xn
..
.
=
bk
..
.
a`1 x1
..
.
+
a`2 x2
..
.
+ ::: +
a`n xn
..
.
am1 x1 + am2 x2 + : : : + amn xn
9
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
=
>
>
= b` >
>
>
>
.. >
>
. >
>
>
;
= bm
(A)
un sistema de ecuaciones lineales, y supongamos que S = (c1 ; c2 ; : : : ; cn )
es una solución de éste.
i) Intercambiando la `–ésima ecuación con la k–ésima, obtenemos
el sistema
6.3. SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS257
a11 x1
..
.
+
a12 x2
..
.
+ ::: +
a1n xn
..
.
=
b1
..
.
a`1 x1
..
.
+
a`2 x2
..
.
+ ::: +
a`n xn
..
.
=
b`
..
.
ak1 x1
..
.
+
ak2 x2
..
.
+ ::: +
akn xn
..
.
am1 x1 + am2 x2 + : : : + amn xn
9
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
=
>
>
= bk >
>
>
>
.. >
>
. >
>
>
;
= bm
(B)
Claro que, S = (c1 ; c2 ; : : : ; cn ) es solución del sistema (A), si y
sólo si, S es solución del sistema (B). Es decir, los sistemas (A) y
(B) son equivalentes.
ii) Reemplazando la k–ésima ecuación del sistema (A), por un
r–múltiplo de ella misma, r 6= 0; obtenemos el sistema
a11 x1
..
.
+
a12 x2
..
.
+ ::: +
a1n xn
..
.
rak1 x1 + rak2 x2 + : : : + rakn xn
..
..
..
.
.
.
a`1 x1 + a`2 x2 + : : : + a`n xn
..
..
..
.
.
.
am1 x1 + am2 x2 + : : : + amn xn
9
>
>
>
>
>
>
>
>
>
= rbk >
>
=
..
. >
>
= b` >
>
>
>
.. >
>
>
. >
>
;
= bm
=
b1
..
.
(C)
Para probar que los sistemas (A) y (C) son equivalentes, basta
probar que S = (c1 ; c2 ; : : : ; cn ) es solución de la k–ésima ecuación de
(A), si y sólo si, S es solución de la k–ésima ecuación del sistema
(C), lo cual es evidente.
iii) Reemplazando la k–ésima ecuación del sistema (A), por la
ecuación que resulta de sumarle, a sus correspondientes miembros,
un r–múltiplo (r 6= 0) de la l–ésima ecuación, obtenemos el sistema
258
CAPÍTULO 6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
a11 x1
..
.
+ ::: +
a1n xn
..
.
(ra`1 + ak1 )x1 + : : : + (ra`n + akn )xn
..
..
.
.
a`1 x1
..
.
+ ::: +
a`n xn
..
.
am1 x1
+ ::: +
amn xn
9
>
>
>
>
>
>
>
>
>
= rb` + bk >
>
=
..
(D)
.
>
>
>
=
b`
>
>
>
>
..
>
>
.
>
>
;
=
bm
=
b1
..
.
Para probar que los sistemas (A) y (D) son equivalentes, basta
probar que si S = (c1 ; c2 ; : : : ; cn ) es solución de (A), entonces S es
solución de la k–ésima ecuación de (D); y que si S = (c1 ; c2 ; : : : ; cn )
es solución de (D), entonces S es solución de la k–ésima ecuación de
(A). En ambos casos la prueba es evidente.
q.e.d.
Enseguida veremos que siempre es posible, mediante la aplicación
de las operaciones elementales un número …nito de veces, llevar un
sistema de ecuaciones lineales a otro que le sea equivalente y que esté
en forma esencialmente resuelto. Para ello, observemos que efectuar
las operaciones elementales sobre las ecuaciones de un sistema, es
lo mismo que hacerlo sobre los renglones de la matriz ampliada del
sistema, obteniéndose una matriz equivalente por renglones, que es
la matriz ampliada de un sistema equivalente al inicial. Por tanto,
para probar que siempre es posible llevar un sistema de ecuaciones
lineales, mediante la aplicación de las operaciones elementales un
número …nito de veces, a otro sistema que es equivalente y que esté
en forma esencialmente resuelto, basta probar que la matriz ampliada
del sistema se puede llevar, mediante la aplicación de las operaciones
elementales [sobre renglón] un número …nito de veces, a una matriz
equivalente por renglones, que será la matriz ampliada de un sistema que es equivalente al inicial y que está en forma esencialmente
resuelto.
De…nición (6.3.3).–Sea A = [aij ]m n una matriz. Los números
ai1 ; ai2 ; : : : ; ain se llaman entradas del i–ésimo renglón; y los números
a1` ; a2` ; : : : ; am` se llaman entradas de la `–ésima columna. Se dice
6.3. SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS259
que un renglón de A es diferente de cero, si alguna de sus entradas es
diferente de cero. Se llama entrada principal de un renglón, al primer
número diferente de cero del renglón, contando de izquierda a derecha.
De…nición (6.3.4).–Decimos que una matriz, de m renglones y k
columnas, está en forma normal de Hermite, o escalonada por renglones,
si satisface las condiciones siguientes:
1) Los renglones cero están abajo de todos los renglones diferentes
de cero.
2) La entrada principal de un renglón diferente de cero, es 1:
3) La columna que contiene la entrada principal de un renglón, tiene
ceros en sus demás entradas.
4) Si la entrada principal del i–ésimo renglón, está en la ti –ésima
columna, entonces t1 < t2 < : : : < tr ; donde r es el número de
renglones diferentes de cero.
Ejemplo: Sean las matrices
2
3
2
1 0 0
3
0 1 0
2 5 y B=4 0 0 1
A=4 0 0 1
0 0 0
0
1 0 0
3
3
3 5
1
En este caso, A está en forma normal de Hermite, no así B:
Por como se de…ne, una matriz en forma normal de Hermite
puede verse como la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones
lineales que está en forma esencialmente resuelto. En consecuencia,
dado un sistema de ecuaciones lineales, para encontrar otro que le sea
equivalente y que esté en forma esencialmente resuelto, basta aplicar
las operaciones elementales, sobre renglón, a la matriz ampliada del
sistema dado, hasta obtener una matriz en forma normal de Hermite,
lo que siempre puede hacerse en una …nitud de pasos. En efecto:
260
CAPÍTULO 6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Teorema (6.3.5).–Si A es la matriz ampliada de un sistema de m
ecuaciones lineales con n incógnitas, entonces, mediante la aplicación,
un número …nito de veces, de las operaciones elementales sobre renglón,
A puede llevarse a una matriz que esté en forma normal de Hermite.
Demostración: Sea
2
a11
6 a21
6
A=6 .
4 ..
a12
a22
..
.
a13
a23
..
.
:::
:::
a1n
a2n
..
.
b1
b2
..
.
am1 am2 am3 : : : amn bm
3
7
7
7
5
Podemos suponer a11 6= 0; pues si no es así, intercambiamos el
primer renglón con otro cuya primera entrada sea diferente de cero
[operación (i)]. Aplicando la operación (ii), multiplicamos el primer
renglón por a111 y obtenemos una matriz de la forma
2
6
6
A1 = 6
4
1
a21
..
.
c12
a22
..
.
c13
a23
..
.
:::
:::
c1n
a2n
..
.
d1
b2
..
.
am1 am2 am3 : : : amn bm
3
7
7
7
5
que es equivalente por renglones a A:
Si ai1 es diferente de cero, i
2; aplicando la operación (iii),
reemplazamos el i–ésimo renglón de A1 ; por el que resulta de sumarle
a él mismo, el producto de ai1 por el primer renglón. Así obtenemos
una matriz de la forma
2
3
1 c12 c13 : : : c1n d1
6 0 c22 c23 : : : c2n d2 7
6
7
A2 = 6 .
..
..
..
.. 7
.
4 .
.
.
.
. 5
0 cm2 cm3 : : : cmn dm
que es equivalente por renglones a A1 ; y por lo tanto a A:
Los renglones cero, si hay, se colocan abajo de todos los renglones
diferentes de cero.
6.3. SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS261
Nos …jamos ahora cuál es el renglón, entre el segundo y el
m–ésimo, cuya entrada principal aparece primero. Este renglón
puede ser el segundo, si no lo es, se intercambia con el apropiado.
Enseguida se hace con él, lo que se hizo con el primer renglón. A
continuación, como se hizo con la primera columna, aplicando la operación (iii) se anulan las demás entradas de la columna que contenga
la entrada principal, igual a 1; del segundo renglón. Así obtenemos
una matriz del tipo
2
6
6
6
A3 = 6
6
4
1 0 e13 : : : e1n f1
0 1 e23 : : : e2n f2
0 0 e33
e3n f3
.. ..
..
..
..
. .
.
.
.
0 0 em3 : : : emn fm
3
7
7
7
7
7
5
que es equivalente por renglones a A2 ; y por lo tanto a A:
Los renglones cero, si hay, se colocan abajo de todos los renglones
diferentes de cero.
Continuamos el proceso anterior, el cual terminará cuando lo apliquemos al último renglón diferente de cero, que puede ser a lo más
el m–ésimo.
q.e.d.
Ejemplo 1 : Resolver el sistema
3x + 2y
z = 1
x
2y + z = 3
Solución:
3
1
(ii)
~
2
2
1
0
2
1
1 1
1 3
(i)
1
3
1
1
2
~
1
3
2
2
(iii)
~
(iii)
1 3
1 1
1 0
0 1
~
0
1
2
1
1
1
0
2
8
1
4
3
8
262
CAPÍTULO 6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
La última matriz está en forma normal de Hermite. Por lo tanto
x = 1
1
z =
1
2
y
Es decir
x = 1
1
1+ z
2
y =
Si z = c; las soluciones del sistema dado son de la forma
S = (1; 1 + 21 c; c): Particularmente, (1; 1; 0) es una solución.
Ejemplo 2 : Resolver el sistema
x
y + 2z =
3x + y + 2z =
2x + 4y + 6z =
0
8
4
Solución:
2
4
1
3
2
2
1
4 0
0
2
1 2
1 2
4 6
1
1
2
2
1
10
1 0 0
~ 4 0 1 0
0 0 1
(iii)
3
2
0 (iii)
8 5 ~ 4
4
3
2
0 (iii)
2 5 ~ 4
4
8
3
4
3
2
3
3
5
1
0
0
1 0
0 1
0 0
1
4
2
2
4
10
1
1
12
3
0 (ii)
8 5 ~
4
3 2
2 (ii) 1 0
2 5 ~ 4 0 1
0 0
8
1
1
1
3
2
2 5
2
3
La última matriz está en forma normal de Hermite. Por lo tanto
8
x =
3
4
y =
3
2
z =
3
6.3. SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS263
Así que la única solución del sistema dado, es S =
8 4
3; 3;
2
3
:
Ejemplo 3 : Resolver el sistema
x
4y + z = 0
2x + 2y
3z = 0
3x + 2y
4z = 0
Solución:
2
1
4 2
3
2
4
2
2
1 0
4
0 1
~
0 0
(iii)
3
2
1 0 (iii) 1
3 0 5 ~ 4 0
0
4 0
4
10
14
3
1 0
1
5
2 0
0 0
3 2
1 0 (ii) 1
5 0 5 ~ 4 0
7 0
0
4
1
14
3
1 0
1
5
2 0
7 0
La última matriz está en forma normal de Hermite. Por lo tanto
x
y
z = 0
1
z = 0
2
Consecuentemente
x = z
1
y =
z
2
Si z = c; las soluciones del sistema dado, son de la forma
S = c; 12 c; c : En particular, (2; 1; 2) es una solución.
Observación: Si la matriz en forma normal de Hermite, de un
sistema de ecuaciones, tiene un renglón cuyas entradas, excepto la
última contando de izquierda a derecha, son ceros, claro que tal
sistema es inconsistente, es decir, no tiene solución.
264
CAPÍTULO 6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
6.4
EJERCICIOS
1. Diga cuáles de los siguientes, son sistemas de ecuaciones lineales:
1.1
2x1 + 3x2 +
x3 = 0
x1 x2
2x2 + x2 x3 = 1
1.2
x
3y + z =
x + y1
z =
p
x = y
1.3
x = z
1.4
3x1
4x3
1.5 2x
3
1
2z
3x4 = 0
3x4 = 0
3y + z = 4
1.6
ix + (1
3x
i)y =
iy =
i
1
1.7
5x
2y + z = 3x
x + 3y + z = 3y
2x + y
4z = 3z
2. Escriba la matriz ampliada de cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
2.1
x1 +
x1 + 2x2
x1 +
2.2 2x2
x3 = 1
x3 = 0
x4
=
x3 + x5 =
2x3 + x4 =
1
0
1
6.4. EJERCICIOS
265
x1
3x2 =
2.3 2x1 + 4x2 =
3x1
x2 =
0
1
2
2.4
2ix1
(2
3x1 +
i)x2 =
ix2 = 3
2.5
2x
y + z
x + y + 2z +
3x +
4z
x + y +
+
2.6 x1 + 3x2
w
w
w
w
7x3 =
i
2i
=
=
=
=
0
0
0
0
3
3. Escriba el sistema de ecuaciones lineales correspondiente a cada
una de las siguientes matrices ampliadas:
2
1
3.1 4 2
0
2
2
1
6 0
3.3 6
4 0
0
3.4
3.5
3
0 0
1 0 5
1 1
1
1
1
3.2 4
3
1 0
1 3 5
2 0
0
1
3
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1 0 3 1
0 1 0 3
1
i
2
1 1+i
3
1
3 7
7
1 5
4
5
2
i
i
266
CAPÍTULO 6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
4. Diga cuáles de las siguientes matrices están en forma normal
de Hermite:
2
3
1 0 0
4.1 4 0 0 0 5
0 1 0
2
3
0 1 0
4.2 4 1 0 0 5
0 0 1
3
1 2 0 3 0
4.3 4 0 0 1 0 0 5
0 0 0 0 1
2
3
3 2
1 4 5
1 0
2
1 0 0
4.4 4 0 1 0
0 0 1
1
0
4.5
i 2+i
0
1 2
i
i
5. Halle la forma normal de Hermite asociada a cada una de las
siguientes matrices:
2
3
4
2
5.1
1
2
i
5.2 4 1
1
2
1 0
4
0 1
5.3
0 0
3
1 2 0
1 1 1 5
3 0 0
1
i
2
2i
3
0 0
1 0 5
1 0
4
3
1
7
4
1
3
10
2 5
2
6.4. EJERCICIOS
267
2
3
1 0 0 5
5.4 4 0 0 1 3 5
0 1 0 4
6. Cada una de las siguientes matrices representa un sistema de
ecuaciones lineales. Resuelva el sistema.
2
3
0
1 5
0
1 0 0
6.1 4 0 1 0
0 0 1
2
3
3 2
1 4 5
1 0
1 0 0
4
0 1 0
6.2
0 0 1
3
1 2 0 0
6.3 4 0 0 1 0 5
0 0 0 1
2
2
1
6 0
6.4 6
4 0
0
6.5
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
3
5
2
0
3
1
1 7
7
4 5
0
1 i 0
2i
0 0 1 3 i
7. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
2x1 + x2 + x3 = 8
2x2
x3 = 1
7.1 3x1
4x1
7x2 + 3x3 = 10
7.2
(1
i)x +
x + (1
2y =
i)y =
i
i
268
CAPÍTULO 6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
2x1
3x2 =
7.3 2x1 + x2 =
3x1 + 2x2 =
7.4
2
1
1
2x
y + z = 0
x + 2y
3z = 0
x1
2x2 +
x3
4x4 = 1
7.5 x1 + 3x2 + 7x3 + 2x4 = 2
x1
12x2
11x3
16x4 = 5
7.6
(1
ix
(1 i)y +
z =
3x + (3 + 3i)y + (2 3i)z =
i)x
2y
(3 i)z =
3x + 2y
x
y
7.7
3x
2y
y
x1
x2
7.8 x3
x5
x4
7.9
+
+
+
+
+
x2
x3
x4
x4
x3
=
w =
w =
w =
z
x3
x4
x5
x3
x2
=
=
=
=
=
5
0
4
1
1
1
1
1
1
3x1 + x2 + x3 + x4 = 0
5x1
x2 + x3
x4 = 0
3x2
2x2
x1
7.10 2x1
x1
5x2
x1 + x2
7.11
z
i
0
2i
7x3
4x3
4x3
7x3
+ x3
+ 5x4 + 2x5
x5
+ 2x4 + x5
+ 6x4
+
x5
ix
(1 + i)y
=
x
2y + z =
x +
2iy
z =
0
1
1
=
=
=
=
=
0
0
0
0
0
6.4. EJERCICIOS
7.12
269
6x
4y + z = 2x
4x
2y
z = 2y
x + y + 3z = 2z
8. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, donde
a; b y c son constantes:
8.1
2x + y = a
x + 2y = b
x + y + z = a
+ z = b
8.2 x
y + z = c
9. Demuestre que la forma normal de Hermite asociada a una
matriz, es única.
10. Demuestre que ad bc 6= 0; si y sólo si, la forma normal de
Hermite asociada a la matriz
a b
c d
es
1 0
0 1
11. Demuestre que el sistema de ecuaciones lineales
ax + by = 0
cx + dy = 0
tiene únicamente la solución trivial x = 0 y y = 0; si y sólo si,
ad bc 6= 0:
12. Demuestre que el sistema de ecuaciones lineales
ax + by = e
cx + dy = f
tiene solución única, si y sólo si, ad
bc 6= 0:
270
CAPÍTULO 6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
13. Si S1 = (c1 ; c2 ; : : : ; cn ) y S2 = (d1 ; d2 ; : : : ; dn ) son soluciones de
un sistema homogéneo de m ecuaciones lineales con n incógnitas, y de coe…cientes en C; pruebe que
S1 + S2 = (c1 + d1 ; c2 + d2 ; : : : ; cn + dn )
y
rS1 = (rc1 ; rc2 ; : : : ; rcn )
para cada r 2 C; son también soluciones de dicho sistema.
14. Considere los siguientes sistemas de ecuaciones lineales de
coe…cientes en C:
9
a11 x1 + : : : + a1n xn = b1 >
>
>
a21 x1 + : : : + a2n xn = b2 =
(I)
..
..
..
.
.
. >
>
>
;
am1 x1 + : : : + amn xn = bm
y
a11 x1
a21 x1
..
.
+ ::: +
+ ::: +
a1n xn
a2n xn
..
.
am1 x1 + : : : + amn xn
9
= 0 >
>
>
= 0 =
..
. >
>
>
;
= 0
(II)
Si S1 = (c1 ; : : : ; cn ) y S2 = (d1 ; : : : ; dn ) son soluciones de (I),
y S0 = (e1 ; : : : ; en ) es solución de (II); pruebe que
S1
S2 = (c1
d1 ; : : : ; cn
dn )
es solución de (II), y que
S1 + S0 = (c1 + e1 ; : : : ; cn + en )
es solución de (I).
15. Si un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas y de
coe…cientes en C; tiene dos soluciones diferentes, pruebe que
entonces tiene una in…nidad de soluciones.
16. Encuentre la relación entre a; b y c; para que el siguiente sistema
de ecuaciones lineales sea consistente.
x + y + 2z = a
x
+ z = b
2x + y + 3z = c
6.4. EJERCICIOS
271
17. Determine para qué valores de ; el siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene soluciones no triviales.
(
3)x +
x + (
y = 0
3)y = 0
18. En los casos siguientes, determine para qué valores de k; el
sistema de ecuaciones lineales es:
i) inconsistente (no tiene solución).
ii) determinado (tiene solución única).
iii) indeterminado (tiene más de una solución).
18.1
x
x
y = 1
= k
18.2
2x
y
x
y
x + 2y
18.3
kx + y + z = 1
x + ky + z = 1
x + y + kz = 1
k2 y
kz = 0
2z = 1
= k
x + 2y
y +
18.4 3x
4x + y + (k 2
3z = 4
5z = 2
14)z = k + 2
19. Si las ecuaciones lineales
a1 x1 + a2 x2 + : : : + an xn = c
y
b1 x1 + b2 x2 + : : : + bn xn = d
tienen el mismo conjunto de soluciones, pruebe que entonces
existe una constante r tal que d = rc y bi = rai ; para cada
i = 1; 2; : : : ; n:
Apéndice A
SOLUCIÓN POR
RADICALES DE LAS
ECUACIONES DE
SEGUNDO, TERCER Y
CUARTO GRADOS
De acuerdo con la versión de diferentes autores, mientras las ecuaciones generales de primer y segundo grados fueron resueltas desde
la antigüedad, la ecuación general de tercer grado había resistido todos los esfuerzos de los matemáticos anteriores al italiano Scipio Del
Ferro, quien …nalmente logró resolverla a principios del siglo XVI,
durante el renacimiento en Italia. De acuerdo a la costumbre de su
tiempo, Del Ferro no publicó sus resultados, sino que se los comunicó
a uno de sus discípulos, mismo que, tras la muerte de aquel, retó al
gran matemático Tartaglia (1500-1557), también italiano, a que resolviera un cierto número de ecuaciones de tercer grado. Tartaglia
aceptó el reto y, antes del plazo …jado en éste, encontró un método
para resolver cualquier ecuación cúbica de la forma x3 + px + q = 0:
Así como Del Ferro, Tartaglia no publicó su método; pero un profesor
de física y matemática de Milán, Cardan (1501-1576), lo convenció
de que se lo comunicara, bajo la promesa de mantenerlo en secreto.
Cardan violó su promesa y publicó el resultado de Tartaglia en su
273
274
APÉNDICE A: SOLUCIÓN POR RADICALES
trabajo Ars Magna (El arte sumo) en 1545. Desde entonces, las fórmulas para resolver una ecuación de tercer grado se conocen como
fórmulas de Cardan.
Poco después de la resolución de la ecuación cúbica, el también
matemático italiano, alumno de Cardan, Ferrari (1522-1565) resolvió
la ecuación general de cuarto grado.
Los procesos que aquí exponemos, para obtener las fórmulas para
resolver las ecuaciones de tercer y cuarto grados, se sustentan en
los trabajos de los matemáticos italianos mencionados, y se basan
en transformaciones especiales y complicadas de la ecuación respectiva, que bien pueden parecer arti…ciales y accidentales, pero que
ocurrieron en la intensa búsqueda de métodos para resolver dichas
ecuaciones.
De la ecuación de primer grado ax + b = 0; sólo diremos que su
b
única solución es x =
a
A.1
El discriminante de una ecuación
De…nición (A.1.1).–Sea
an xn + : : : + a1 x + a0 = 0
(1)
una ecuación de grado n
2 y de coe…cientes complejos; y sean
x1 ; x2 ; : : : ; xn sus raíces, no necesariamente diferentes. El discriminante
de dicha ecuación se de…ne como:
D = a2n
n
2
Y
(xi
1 i<j n
xj )2 :
(2)
A.2. LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
275
Observación: En lugar de la ecuación (1) de la de…nición anterior, podemos hablar del polinomio
f (x) = an xn + : : : + a1 x + a0 :
En este caso se dice que (2) es el discriminante del polinomio f (x):
A.2
La ecuación de segundo grado
Consideremos la ecuación general de segundo grado, de coe…cientes complejos a; b; c; (a 6= 0); y con incognita x
ax2 + bx + c = 0:
(1)
Si el número complejo t es raíz de (1), entonces
at2 + bt + c = 0:
(2)
Multiplicando ambos miembros de (2) por 4a; se obtiene
4a2 t2 + 4abt + 4ac = 0:
Sumando b2
(3)
4ac en ambos miembros de (3), se obtiene
4a2 t2 + 4abt + b2 = b2
4ac;
es decir,
(2at + b)2 = b2
por tanto
2at + b =
y en consecuencia
t=
b
p
p
b2
b2
2a
4ac;
4ac;
4ac
:
p
Para evitar confusión con la expresión b2 4ac; recordemos que
por ser b2 4ac número complejo, entonces tiene dos raíces complejas
276
APÉNDICE A: SOLUCIÓN POR RADICALES
y 2 ; donde 2 =
1 : Así que la expresión
a cualquiera, pero sólo a una, de 1 y 2 :
1
p
b2
4ac representa
En resumen, las dos raíces (no necesariamente diferentes) de la
ecuación ax2 + bx + c = 0 vienen dadas por la fórmula
x=
A.3
b
p
b2
2a
4ac
:
El discriminante de la ecuación de segundo grado
Las raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0 son
x1 =
b+
p
b2
2a
4ac
y
x2 =
b
p
b2
2a
4ac
:
Por tanto, el discriminante de dicha ecuación es D = a2 (x1
sea,
D = b2
x2 )2 ; o
4ac:
Observemos que si la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0
es de coe…cientes reales, entonces:
i) Tiene dos raíces reales diferentes, si y sólo si, D > 0:
ii) Tiene una raíz real doble, si y sólo si, D = 0:
iii) Tiene dos raíces imaginarias diferentes, si y sólo si, D < 0:
A.4. LA ECUACIÓN DE TERCER GRADO
A.4
277
La ecuación de tercer grado
Consideremos ahora la ecuación general de tercer grado
Ax3 + Bx2 + Cx + D = 0
(1)
con coe…cientes complejos A; B; C y D; (A 6= 0); y con incógnita x:
Como A 6= 0; y puesto que la ecuación
1
(Ax3 + Bx2 + Cx + D) = 0
A
tiene las mismas raíces que la ecuación (1), entonces no se pierde
generalidad si en lugar de ésta, escribimos
x3 + bx2 + cx + d = 0
(2)
con b; c y d números complejos.
Sustituyendo x = y
y
b
3
b
en (2), se tiene que
3
3
+b y
b
3
2
+c y
b
3
+ d = 0;
por tanto
y3 + c
b2
3
bc 2b3
+
3
27
y+ d
= 0:
En consecuencia, resolver la ecuación cúbica (2) se reduce a resolver la ecuación
y 3 + py + q = 0;
donde
p=c
b2
y q=d
3
bc 2b3
+
:
3
27
Si y1 ; y2 y y3 son las raíces de y 3 + py + q = 0; entonces:
x1 = y1
b
;
3
278
APÉNDICE A: SOLUCIÓN POR RADICALES
x2 = y2
x3 = y3
b
;
3
b
;
3
son las raíces de (2).
Resolveremos ahora la ecuación
y 3 + py + q = 0:
(3)
Escribiendo y = u + v en (3) (esto es, transformando la ecuación de
una incógnita en otra con dos incógnitas), tenemos que
(u + v)3 + p(u + v) + q = 0:
Desarrollando la expresión anterior, y escribiendo sus términos
en forma apropiada, se tiene que
u3 + v 3 + q + (3uv + p)(u + v) = 0:
(4)
Cualquiera que sea el valor numérico de la suma de u y v (en
este caso una raíz de la ecuación (3)), siempre podemos determinar
a u y v imponiéndoles la condición adicional que su producto uv
sea un número pre…jado. En efecto: Supongamos que u + v = r e
impongamos la condición adicional uv = s; entonces v = r u y
uv = s; por tanto v = r u y u(r u) = s; por tanto v = r u
y u2 ru + s = 0: En cosecuencia v = r u; y u puede calcularse
por la fórmula para resolver una ecuación de segundo grado. Esto
demuestra lo que se a…rmó.
Enseguida determinaremos a u y v; sabiendo que la suma u + v
es raíz de la ecuación y 3 + py + q = 0; e imponiendo la condición
adicional
p
uv =
:
(5)
3
Sustituyendo (5) en (4) tenemos que
u3 + v 3 + q = 0:
(6)
A.4. LA ECUACIÓN DE TERCER GRADO
279
De (5) y (6) se sigue que
p3
27
u3 v 3 =
(7)
y
u3 + v 3 =
q:
(8)
Puesto que
(z
u3 )(z
v3) = z2
(u3 + v 3 )z + u3 v 3 ;
entonces, por (7) y (8), u3 y v 3 son las dos soluciones de la ecuación
de segundo grado
p3
= 0:
(9)
z 2 + qz
27
Por otro lado, las soluciones de la ecuación (9), vienen dadas por:
r
q
q2
p3
z1 =
+
+
2
4
27
y
q
z2 =
2
Por tanto, podemos escribir
r
q2
p3
+ :
4
27
u 3 = z1 y v 3 = z2 :
(10)
Las ecuaciones (10) pueden resolverse por el método expuesto en
la sección 1.8 del capítulo 1. Cada una de dichas ecuaciones tiene
tres raíces, digamos u1 ; u2 y u3 ; para u3 = z1 ; y v1 ; v2 y v3 ; para
v 3 = z2 :
Por lo expuesto en las secciones 1.8 y 1.10 del capítulo 1, las
raíces de la ecuación
x3 = 1
280
APÉNDICE A: SOLUCIÓN POR RADICALES
son:
w0 = 1;
w
=
w2 =
p
1+i 3
;
2 p
1 i 3
:
2
Es fácil comprobar (Ver ejercicio 24 del capítulo 1) que las raíces
de
u 3 = z1
son:
u1 ;
u2 = wu1
y u3 = w 2 u1 ;
y las raíces de
v 3 = z2
son:
v1 ;
v2 = wv1
y v3 = w2 v1 :
No perdamos de vista que estamos determinando valores de u y
v; de modo que la suma u + v sea raíz de y 3 + py + q = 0; y que
p
además u y v satisfagan la condición adicional uv =
Hemos
3
determinado tres posibles valores u1 ; u2 y u3 para u; y tres posibles
p3
valores v1 ; v2 y v3 para v: Pero observemos que (ui vj )3 =
no
27
p
implica que ui vj =
; para cada i; j = 1; 2; 3: Si elegimos u1 y v1
3
p
de modo que u1 v1 =
; y a los que denotaremos por
3
s
r
3
q
q2
p3
u1 =
+
+
2
4
27
y
v1 =
s
3
q
2
r
q2
p3
+ :
4
27
Entonces las raíces de
y 3 + py + q = 0
A.5. EL DISCRIMINANTE DE LA ECUACIÓN DE TERCER GRADO281
son:
y1 = u1 + v1 ;
y2 = wu1 + w2 v1 ;
y3 = w2 u1 + wv1 :
Las expresiones anteriores son conocidas como f ormulas de
Cardan; para calcular las raíces de la ecuación y 3 + py + q = 0:
A.5
El discriminante de la ecuación de tercer
grado
De acuerdo a las fórmulas de Cardan, y de acuerdo a la de…nición
(A.1.1), el discriminante de la ecuación
y 3 + py + q = 0
es
D = (y1
y2 )2 (y1
y3 )2 (y2
y3 )2 :
Enseguida calcularemos D: Para esto recordemos que
w=
1 1p
+
3i
2 2
es raíz de la ecuación
x3
1 = 0;
y por tanto
w3 = 1 y w2 + w + 1 = 0:
Entonces
y1
y2 =
=
=
=
(u1 + v1 ) (wu1 + w2 v1 )
(1 w)u1 w2 v1 + w3 v1
(1 w)u1 + (1 w)( w2 v1 )
(1 w)(u1 w2 v1 );
(1)
282
APÉNDICE A: SOLUCIÓN POR RADICALES
y1
y3 =
=
=
=
(u1 + v1 ) (w2 u1 + wv1 )
(1 w2 )u1 wv1 + w3 v1
(1 w2 )u1 + (1 w2 )( wv1 )
(1 w2 )(u1 wv1 );
y2
y3 =
=
=
=
(wu1 + w2 v1 ) (w2 u1 + wv1 )
(w w2 )u1 wv1 + w2 v1
(w w2 )u1 + (w w2 )( v1 )
(w w2 )(u1 v1 ):
(1
w)(1
Además,
p
3
2 i
3
2
w2 ) =
3
2
+
p
3
2 i
= 3
y
w
Puesto que (x
u1
v1
1)(x
u1
v1
1
w2 =
w)(x
w
p
3i:
w2 ) = x3
u1
v1
w2
=
1; entonces
u1
v1
3
1;
por tanto
(u1
v1 )(u1
wv1 )(u1
w2 v1 ) = u31
v13 :
Por (10) de la sección A.4, de (2) se sigue que
(u1
v1 )(u1
En consecuencia,
wv1 )(u1
w2 v1 ) = 2
r
q2
p3
+ :
4
27
(2)
A.5. EL DISCRIMINANTE DE LA ECUACIÓN DE TERCER GRADO283
D = [(y1 y2 )(y1 y3 )(y2 y3 )]2
= (1 w)(u1 w2 v1 )(1 w2 )(u1 wv1 )(w w2 )(u1 v1 )
= (1 w)(1 w2 )(w w2 )(u1 v1 )(u1 wv1 )(u1 w2 v1 )
q
2
p
2
p3
= 3 3i 2 q4 + 27
=
108
=
27q 2
q2
4
+
p3
27
4p3 :
Resumiendo, el discriminante de la ecuación
y 3 + py + q = 0
es
D=
4p3
27q 2 :
Si y1 ; y2 y y3 son las raíces de
y 3 + py + q = 0;
donde
p=c
b2
3
y
q=d
bc 2b3
+
;
3
27
se sabe que
x1 = y1
b
;
3
x2 = y2
b
;
3
x3 = y3
b
3
y
son las raíces de
x3 + bx2 + cx + d = 0:
2
2
284
APÉNDICE A: SOLUCIÓN POR RADICALES
Por tanto
x1
x2 = y1
y2 ;
x1
x3 = y1
y3 ;
x2
x3 = y2
y3 :
y
En consecuencia, el discriminante de
x3 + bx2 + cx + d = 0
es
=
4p3
27q 2 ;
es decir,
= 18bcd
4b3 d + b2 c2
4c3
27d2 :
Consideremos el caso en que la ecuación cúbica
x3 + bx2 + cx + d = 0
es de coe…cientes reales (y por tanto, también su ecuación asociada
y 3 + py + q = 0 es de coe…cientes reales). Como dicha ecuación es de
grado impar, entonces tiene al menos una raíz real. En consecuencia,
exiten las siguientes tres posibilidades en cuanto a sus raíces:
i) Tiene tres raíces reales diferentes.
ii) Tiene tres raíces reales y por lo menos dos de ellas iguales.
iii) Tiene una raíz real y dos raíces complejas conjugadas.
En el primer caso, claramente, el discriminante
es positivo.
En el segundo caso, el discriminante es cero. En el tercer caso, el
discriminante
es negativo, pues si x1 = + i y x2 =
i son
las dos raíces complejas conjugadas, entonces
= (x1 x2 )2 (x1 x3 )2 (x2 x3 )2
= [2 i]2 [(
x3 ) + i]2 [(
x3 )
2
2 2
2
=
4
(
x3 ) +
< 0:
i]2
A.6. LA ECUACIÓN DE CUARTO GRADO
285
Debido a las tres posibilidades anteriores, si una ecuación cúbica
es de coe…cientes reales, entonces:
a) Tiene sus tres raíces reales diferentes, si y sólo si, su discriminante es positivo.
b) Tiene sus tres raíces reales y al menos dos iguales, si y sólo si,
su discriminante es cero.
c) Tiene una raíz real y dos complejas conjugadas, si y sólo si, su
discriminante es negativo.
A.6
La ecuación de cuarto grado
Consideremos ahora la ecuación general de cuarto grado,
Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E = 0
(1)
donde los números complejos A; B; C; D; E (A 6= 0) son los coe…cientes de la ecuación y x es la incógnita.
Puesto que
1
(Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E) = 0
A
tiene las mismas soluciones que la ecuación (1), entonces podemos
expresar la ecuación general de cuarto grado en la forma
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0:
Si la ecuación (2) la escribimos en la forma
x4 + ax3 =
bx2
cx
d
(2)
286
APÉNDICE A: SOLUCIÓN POR RADICALES
y sumamos
a2 2
4 x
a ambos miembros de esta expresión, entonces
x4 + ax3 +
a2 2 a2 2
x = x
4
4
bx2
cx
d;
por tanto
a
x2 + x
2
2
=
a2
4
b x2
cx
d:
(3)
Si el miembro derecho de la expresión (3) fuera un cuadrado
perfecto, esto es, si fuera de la forma (ex + f )2 ; entonces resolver
dicha expresión, y por tanto resolver (2), sería inmediato. Pero en
general dicho miembro derecho no es un cuadrado perfecto.
que
a
y2
Sumando x2 + x y +
a ambos miembros de (3) tenemos
2
4
x2 +
2
a
x
2
+ x2 +
a
x
2
y+
y2
4
=
a2
4
b x2
cx
d + x2 +
a
x
2
y+
y2
;
4
por tanto
x2 + a2 x +
y 2
2
=
a2
4
b + y x2 +
c + 12 ay x +
d + 41 y 2 :
(4)
Vamos a determinar y de modo que el miembro derecho de la
expresión (4) sea un cuadrado perfecto. Para esto observemos que
Ax2 + Bx + C = (ex + f )2 ;
si y sólo si,
B2
4AC = 0:
En efecto:
Ax2 + Bx + C = (ex + f )2 =)
Ax2 + Bx + C = e2 x2 + 2ef x + f 2 =)
A = e2 ; B = 2ef y C = f 2 =)
B2
4AC = 0:
A.6. LA ECUACIÓN DE CUARTO GRADO
Recíprocamente, si B 2
Ax2 + Bx + C
A x2 +
B
x
A
=
A x+
B
2A
=
B
A x + 2A
p
B
Ax + 2p
A
+C
A
p
B 2 4AC
2A
x+
B
2A
+
p
B 2 4AC
2A
2
2
(ex + f )2
=
p
4AC = 0; entonces
=
=
con e =
287
B
A y f= p :
2 A
En consecuencia, el miembro derecho de (4) será un cuadrado
perfecto, es decir,
a2
4
1
c + ay x +
2
b + y x2 +
1
d + y2
4
= (ex + f )2 ;
si y sólo si,
2
1
c + ay
2
4
a2
4
b+y
1
d + y2
4
= 0;
si y sólo si,
c2
1
acy + a2 y 2
4
4
a2 d a2 y 2
+
+ bd
4
16
1 2
by
4
1
dy + y 3
4
= 0;
si y sólo si,
y 3 + by 2 + (4d
ac)y + a2 d
4bd + c2 = 0;
si y sólo si,
y3
by 2 + (ac
4d)y + (4bd
a2 d
c2 ) = 0:
(5)
Si y0 es una es una solución , cualquiera, de la ecuación cúbica
(5), la cual es llamada la resolvente de la ecuación (2) de grado
cuatro, entonces por (4) tenemos que
a
y0
x2 + x +
2
2
2
= (ex + f )2 ;
288
por tanto
y
APÉNDICE A: SOLUCIÓN POR RADICALES
a
y0
x2 + x +
= ex + f
2
2
a
y0
x2 + x +
=
2
2
ex
f:
(6)
(7)
Las cuatro soluciones que se obtienen al resolver (6) y (7), son
las raíces de (2).
Apéndice B
EL USO DE LA
COMPUTADORA
Considerando que las computadoras son poderosas herramientas,
particularmente, para ahorrarse tiempo y esfuerzo en el trabajo de
calcular, enseguida proporcionamos algunos programas, escritos en
lenguaje PASCAL, para hacer el cálculo que en cada caso se indica.
Es ocioso decir que en el mercado existen varios programas para
computadora, con los cuales pueden realizarse gran cantidad de
cálculos, y también sobra decir la importancia que tiene para el
estudiante de ciencias, saber, o por lo menos tener la idea, de cómo
se hacen dichos programas.
289
290
APÉNDICE B: EL USO DE LA COMPUTADORA
{PROGRAMA #1}
{ESTE PROGRAMA CALCULA EL MCD DE DOS NUMEROS ENTEROS}
PROGRAM MCD (INPUT,OUTPUT);
VAR
a,b,a1,b1,r1,r2:integer;
BEGIN
WRITELN(’ESCRIBA LOS NUMEROS DE LOS QUE QUIERE HALLAR
EL MCD:’);
read(a,b);
a1:=abs(a);
b1:=abs(b);
r1:=a1 mod b1;
if r1>0 then
begin
repeat
r2:=b1 mod r1;
b1:=r1;
r1:=r2;
until r2=0;
writeln(’EL MCD ES:’,b1);
end
else
writeln(’EL MCD ES:’,b1);
readln;
readln;
END.
APÉNDICE B: EL USO DE LA COMPUTADORA
291
{PROGRAMA #2}
{ESTE PROGRAMA CALCULA LAS RAICES DE UNA ECUACION DE
SEGUNDO GRADO}
PROGRAM RAIZ (input, output);
VAR
a,b,c,d,d1,x1,x2,r1,r2:real;
BEGIN
writeln(’ESCRIBA LOS COEFICIENTES a, b, c DE LA
ECUACION’);
read(a,b,c);
d:=sqr(b) - 4*a*c;
if d < 0 then
begin
d1:= abs(d);
r1:= -b/(2*a);
r2:=sqrt(d1)/(2*a);
writeln(’LAS SOLUCIONES SON:’);
writeln(’x1 = ’,r1:8:8, ’ + ’, r2:8:8,’i’);
writeln(’x2 = ’,r1:8:8, ’ - ’, r2:8:8,’i’);
end
else
begin
x1:=(-b+sqrt(d))/(2*a);
x2:=(-b-sqrt(d))/(2*a);
writeln(’LAS SOLUCIONES SON:’);
writeln(’x1= ’,x1:8:8);
writeln(’x2= ’,x2:8:8);
end;
readln;
readln;
END.
292
APÉNDICE B: EL USO DE LA COMPUTADORA
{PROGRAMA #3}
{ESTE PROGRAMA CALCULA EL MCD DE DOS POLINOMIOS}
PROGRAM MCDPOLIN (INPUT,OUTPUT);
USES CRT;
type
vector=array[-2..100] of real;
VAR
a,b,f,g,h,r:vector;
m,n,i,j,k,z,p,q,pasa:integer;
BEGIN
CLRSCR;
writeln(’ESCRIBA EL GRADO DEL DIVIDENDO’);
read(m);
writeln(’ESCRIBA EL GRADO DEL DIVISOR’);
read(n);
writeln(’ESCRIBA LOS COEFICIENTES am,...,a1,a0 DEL
DIVIDENDO’);
for i:=0 to m do
begin
read (a[m-i]);
end;
writeln(’ESCRIBA LOS COEFICIENTES bn,...,b1,b0 DEL
DIVISOR’);
for j:=0 to n do
begin
read (b[n-j]);
end;
if not(m<n) then
begin
for i:=0 to m do
f[i]:=a[i];
for j:=0 to n do
APÉNDICE B: EL USO DE LA COMPUTADORA
293
g[j]:=b[j];
end
else
begin
k:=m;
m:=n;
n:=k;
for i:=0 to m do
f[i]:=b[i];
for j:=0 to n do
g[j]:=a[j];
end;
z:=m;
pasa:=1;
while pasa=1 do
Begin
If n=0 then
begin
textcolor(15);
writeln(’EL MCD DE LOS POLINOMIOS ES 1’);
pasa:=2;
end
else
BEGIN
while not(z<n) do
begin
for i:=1 to n do
r[z-i]:=f[z-i]-(f[z]/g[n])*(g[n-i]);
for i:=1 to (z-n) do
r[(z-n)-i]:=f[(z-n)-i];
for i:=1 to z do
begin
f[z-i]:=r[z-i];
end;
z:=z-1;
end;
294
APÉNDICE B: EL USO DE LA COMPUTADORA
p:=n;
for i:=0 to p do
h[i]:=g[i];
q:=z;
repeat
if not(f[q]=0) then
begin
for i:=0 to q do
begin
g[i]:=f[i];
end;
n:=q;
z:=p;
for i:=0 to z do
f[i]:=h[i];
f[-1]:=8;
pasa:=pasa+1;
end
else
begin
q:=q-1;
f[-q-2]:=8;
end;
until f[-1]=8;
if pasa=2 then
pasa:=pasa-1
else
BEGIN
pasa:=2;
textcolor(15);
writeln(’EL MCD TIENE LOS COEFICIENTES
dp,...,d1,d0’);
for i:=0 to p do
writeln(h[p-i]:8:8);
END;
END;
End;
READLN;
APÉNDICE B: EL USO DE LA COMPUTADORA
295
READLN;
END.
{PROGRAMA #4}
{ESTE PROGRAMA TAMBIEN CALCULA EL MCD DE DOS POLINOMIOS}
PROGRAM MCDPOLIN (INPUT,OUTPUT);
USES CRT;
type
vector=array[0..100] of real;
VAR
a,b,f,g,h,r :vector;
cont,m,n,i,j,k,z,p,q,pasa:integer;
tol :real;
{ procedimientos para el cálculo del m.c.d.
polinomios }
de dos
Procedure division;
begin
WHILE NOT(n>z) DO
BEGIN
for i:=1 to n do
r[z-i]:=f[z-i]-(f[z]/g[n])*(g[n-i]);
for i:=1 to (z-n) do
r[(z-n)-i]:=f[(z-n)-i];
for i:=1 to z do
begin
f[z-i]:=r[z-i];
end;
z:=z-1;
296
APÉNDICE B: EL USO DE LA COMPUTADORA
END;
p:=n;
for i:=0 to p do
h[i]:=g[i];
q:=z;
end;
Procedure residuos;
begin
cont:=q;
repeat
if not ((f[q]=0) OR (ABS(f[q]) < tol)) then
begin
for i:=0 to q do
begin
g[q-i]:=f[q-i];
end;
n:=q;
q:=q-i;
for j:=0 to p do
f[p-j]:=h[p-j];
z:=p;
pasa:=pasa+1;
end
else
begin
q:=q-1;
cont:=cont-1;
end
until (cont=-1) or (pasa=2);
if pasa=2 then
pasa:=pasa-2
else
begin
writeln(’EL MCD TIENE LOS COEFICIENTES
dp,...,d1,d0’);
for i:=0 to p do
writeln(h[p-i]:8:8);
end;
APÉNDICE B: EL USO DE LA COMPUTADORA
end;
BEGIN
CLRSCR;
writeln(’ESCRIBA EL GRADO DEL DIVIDENDO’);
READ(M);
WRITELN(’ESCRIBA EL GRADO DEL DIVISOR’);
READ(N);
WRITELN(’ESCRIBA LA TOLERANCIA’);
READ(TOL);
WRITELN(’ESCRIBA LOS COEFICIENTES am,...,a1,a0 DEL
DIVIDENDO’);
FOR i:=0 to m do
begin
read (a[m-i]);
end;
WRITELN(’ESCRIBA LOS COEFICIENTES bn,...,b1,b0 DEL
DIVISOR’);
for j:=0 to n do
begin
read (b[n-j]);
end;
if not(m<n) then
begin
for i:=0 to m do
f[i]:=a[i];
for j:=0 to n do
g[j]:=b[j];
end
else
begin
k:=m;
m:=n;
n:=k;
for i:=0 to m do
f[i]:=b[i];
for j:=0 to n do
g[j]:=a[j];
end;
297
298
APÉNDICE B: EL USO DE LA COMPUTADORA
z:=m;
Repeat
pasa:=1;
if not (n=0) then
begin;
division;
residuos;
end
else
begin
writeln(’EL M.C.D. ES 1’);
pasa:=1;
end;
until pasa=1;
readln;
readln;
END.
{PROGRAMA # 5}
{PROGRAMA PARA APROXIMAR RAICES DE POLINOMIOS, POR EL
METODO DE NEWTON}
PROGRAM APROXNWT (INPUT, OUTPUT);
USES CRT;
VAR
f,g,h,p,q,r,s,u,v,y,z:array [-1..100] of real;
n,i:integer;
a,b,e,k,m,w,x1,x2,x3:real;
BEGIN
clrscr;
textcolor(7);
APÉNDICE B: EL USO DE LA COMPUTADORA
299
writeln(’ESCRIBA EL GRADO n>1 DEL POLINOMIO’);
readln(n);
writeln(’ESCRIBA LOS COEFICIENTES an,...,a1,a0 DEL
POLINOMIO’);
for i:=0 to n do
readln(f[n-i]);
WRITELN(’ESCRIBA LOS EXTREMOS a y b, CON a<b, DEL
INTERVALO’);
READ(a,b);
Writeln(’ESCRIBA EL ERROR DE APROXIMACION e DESEADO’);
read(e);
for i:=0 to (n-1) do
p[n-i-1]:=(n-i)*f[n-i]; {primera derivada}
for i:=1 to (n-1) do
q[n-i-1]:=(n-i)*p[n-i]; {segunda derivada}
g[n-1]:=f[n];
for i:=1 to n do
g[n-i-1]:=f[n-i]+(a*g[n-i]); { g[-1]=f(a) }
h[n-1]:=f[n];
for i:=1 to n do
h[n-i-1]:=f[n-i]+(b*h[n-i]); { h[-1]=f(b) }
r[n-2]:=p[n-1];
for i:=2 to n do
r[n-i-1]:=p[n-i]+(a*r[n-i]); { r[-1]=f’(a) }
s[n-2]:=p[n-1];
for i:=2 to n do
s[n-i-1]:=p[n-i]+(b*s[n-i]); { s[-1]=f’(b) }
if n=2 then
u[-1]:=q[0]
else
begin
u[n-3]:=q[n-2];
for i:=3 to n do
u[n-i-1]:=q[n-i]+(a*u[n-i]); { u[-1]=f’’(a) }
end;
300
APÉNDICE B: EL USO DE LA COMPUTADORA
if n=2 then
v[-1]:=q[0]
else
begin
v[n-3]:=q[n-2];
for i:=3 to n do
v[n-i-1]:=q[n-i]+(b*v[n-i]); { v[-1]=f’’(b) }
end;
if abs(r[-1])>abs(s[-1]) then
begin
k:=abs(r[-1]);
m:=abs(s[-1]);
end
else
begin
k:=abs(s[-1]);
m:=abs(r[-1]); { k=MAX f’(a),f’(b) y
m=MIN f’(a),f’(b) }
end;
w:=(m*e)/(k-m);
textcolor(15);
WRITELN(W);
if g[-1]*u[-1]>0 then
x1:=a
else
x1:=b;
textcolor(15);
WRITELN(X1);
repeat
y[n-1]:=f[n];
for i:=1 to n do
y[n-i-1]:=f[n-i]+(x1*y[n-i]); { y[-1]=f(x1) }
z[n-2]:=p[n-1];
for i:=2 to n do
z[n-i-1]:=p[n-i]+(x1*z[n-i]); { z[-1]=f’(x1) }
x2:=x1-(y[-1]/z[-1]);
APÉNDICE B: EL USO DE LA COMPUTADORA
x3:=x1;
x1:=x2;
writeln(x1);
until abs(x1-x3)<W;
gotoxy(15,20); {colocación del texto}
WRITELN(’LA APROXIMACION DESEADA ES X=’,X1);
READLN;
READLN;
END.
301
BIBLIOGRAFÍA
[1] Atkinson, Kendall E.:
An Introduction
Analysis. Editorial John Wiley & Sons., 1978.
to
Numerical
[2] Cárdenas, Humberto; Lluis, Emilio; Raggi, Francisco; Tomás,
Francisco: Algebra Superior. Editorial Trillas. México. Primera
Edición. Reimpresión 1976.
[3] Dickson, Leonard Eugene:
New First Course in the
Theory of Equations. Editorial John Wiley & Sons. Inc. New
York–London. Decimotercera edición, 1960.
[4] Kuratowski, Kazimierz: Introducción al Cálculo. Editorial
Limusa-Wiley, S. A. Primera edición, México, 1970.
[5] Kurosch, A. G.: Curso de Algebra Superior. Editorial Mir.
Moscú. Segunda edición, 1975.
[6] Moore, John T.: Elements of Linear Algebra and Matrix
Theory. Editorial McGraw–Hill Book Company, 1968.
[7] Spivak, Michael: Calculus (Cálculo In…nitesimal ). Editorial Reverté, S. A. 1977.
[8] Uspensky, J. V.: Theory of Equations. Editorial McGraw–Hill
Book Company, Inc. 1948.
303